1
Universitatea Universit atea ”Transilvania” din Bra¸sov sov ˆInv˘at a¸˘ ¸tamˆ a˘mˆ ant ant Deschis la Distant¸˘ ¸a˘ (IDD (ID D Bra¸sov) sov) Facultatea: Matematic˘ a ¸si si Inform Inf ormati atic˘ c˘a Specializarea: Specializarea: Informatic˘ Informatic˘ a, a, anul I
˘ MATEMATICA ˘ ANALIZA Radu P˘ alt˘ anea ¸si si
Eugen P˘ alt˘ anea
2006
REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII “TRANSILVANIA” DIN BRAŞOV
2
Cuprins 1 Rel Relat ¸ii, ¸ii, funct¸ii, ¸ii, mult¸imi num˘ arabile 1.1 1.1 Rela Relat¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.1.11 Rela Relat¸ii ¸t ii pe o mult¸ime . . . . . . . 1.1. 1.1.22 Funct unct¸ii . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Familii amilii de mult mult¸imi . . . . . . . . . . . . 1.3 Numere Numere cardina cardinale. le. Mult Mult¸imi ¸imi num˘arabile .
. . . . .
5 5 5 7 8 8
2 Corpul numerelor reale 2.1 Definir Definirea ea axioma axiomatic tic˘ a˘ mult¸imii numerelor reale . . . . . . . . . . . . 2.2 S¸ir ¸ iruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 9 9
3 Serii numerice. 3.1 3.1 Defin Definit it¸ii. ¸ii. Generalit˘at a¸ti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Criteri Criteriii de com compara parat¸tie pen pentru tru ser serii iile le cu term termen enii poz pozit itiv ivi. i. . . . . . . 3.3 3.3 Crit Criteerii rii dire direct ctee pen pentru tru serii erii cu term termen enii pozi poziti tiv vi . . . . . . . . . . .
11 11 12 13
4 Funct unct ¸ii reale de o variabil˘ a 4.1 4.1 Defin Definit it¸ii ¸ii ¸si si rezultate rezult ate de baz˘a 4.2 Teoreme de medie . . . . . 4.3 Regulile lui l’Hospital . . . 4.4 Polinomul lui Taylor . . . .
. . . .
15 15 18 19 20
5 S ¸ iruri ¸si si serii de funct f unct¸ii. 5.1 S¸iruri ¸iruri de funct¸ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Seri Seriii de func funct¸tii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Serii de puteri. Se Serii Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 21 22 23
6 Spa¸iul ¸t iul Rn 6.1 Structu Structura ra vecto vectorial rial˘ a˘ a lui Rn . . . . 6.2 Topologia opologia spat spa¸iului ¸tiului Rn . Generalit˘at a¸ti 6.3 S¸ iruri iru ri ˆın spat spa¸iul ¸tiul Rn . . . . . . . . . . 6.4 6.4 Mul¸imi ¸timi compacte compa cte ¸si si mult¸imi conexe
25 25 26 28 28
. . . .
. . . .
. . . .
3
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
4 7 Limi Limitta ˘ ¸si continuitate. 7.1 Limi Limite te de funct funct¸ii . . . . . . . . 7.2 7.2 Funct unct¸ii cont ontinue ˆıntr-un punct . 7.3 7.3 Funct unct¸ii ¸ii continue pe o mult¸ime . 7.4 Aplicatii liniare . . . . . . . . .
CUPRINS
. . . .
29 29 30 31 32
. . . . .
33 33 34 36 37 38
9 Integrala Riemann 9.1 9.1 Defin Definit it¸ii. Cri Criterii de integra grabilitate. te. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Propri Propriet et˘ at a˘¸tile integralei Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 41 42 44
10 Integrala multipl˘ a 10.11 M˘ 10. asura Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Integrabili Integrabilitatea tatea Riemann multipl˘ multipl˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 10..3 Calculul integral ralelor multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45 45 46 47
11 Integrale improprii. Integrale cu parametru 11.1 Int Integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Integrale cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11..3 Integrale ale improprii rii cu para arametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49 49 50 51
12 Integrale curbilinii 12.1 Drumuri ¸si si curbe curb e ˆın spat¸iul ¸iul Rn . . . 12.2 Integrala Integrala curbilinie curbilinie de prima spet¸˘ ¸a˘ . 12.3 Integrala Integrala curbilinie curbilinie de spet¸a a doua . 12.4 Aplica Aplicat¸tii . . . . . . . . . . . . . . . .
53 53 55 55 58
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
8 Calculu Calculull difere diferent nt¸ial 8.1 Deriv Derivat atee part par¸tiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 8.2 Dife Difere rent nt¸iabilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Deriv Derivat atee part par¸iale ¸tiale ¸si si difere dif erent nt¸iale de ordin super perior 8.4 Polinomul lui Taylor. Ex Extreme . . . . . . . . . . 8.5 8.5 Funct unct¸ii ¸ii implicite. Transform˘ari regulate . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . .
Capitolul 1
Relat ¸ii, ¸ii, funct ¸ii, ¸ii, mult¸imi ¸imi num˘ arabile 1.1
Rela¸ii ¸ t ii
R
Definit¸ia ¸ia 1.1.1 Un triplet = (A,B,GR ) unde A ¸si si B sunt dou˘ a mult ¸imi nevide, iar GR este o submult ¸ime a produsului cartezian A B , se nume¸ nu me¸ste st e relat¸ie ¸ie ˆıntre ın tre mult mu lt ¸imile A ¸si si B . Mult ¸imea GR A B se nume¸ste ste graficul relat ¸iei .
× R
⊂ × R
∈
Fiind dat˘a o relat¸ie ¸ie = (A,B,GR ), vom spune c˘a elementul a A este es te ˆın relat ¸ia cu elementul b B ¸si si vom nota not a a b, dac˘a (a, b) GR . In cazul particular B = A vom spune c˘a este o relat¸ie ¸ie pe mult¸imea ¸imea A.
R
1.1. 1.1.1 1
∈
R
R
∈
Rela ela¸ii ¸t ii pe o mult¸ime ¸ime
Pentru a indica ˆınzestrarea unei mult¸imii ¸imii A cu o relat¸ie ¸ie utiliza utiliz a ˆın general genera l notat¸ia ¸ ia (A, (A, ).
R
vom
R se nume¸ nu me¸ste: st e: fle xiv˘ a, dac˘ • reflex a (∀) a ∈ A a R a • simetric˘a, dac˘ a (∀) a, b ∈ A a R b ⇒ b R a ant isim imet etri ric˘ c˘ a, dac˘ • antis a (∀) a, b ∈ A a R b ∧ b R a ⇒ a = b • tran tr anzi ziti tiv˘ v˘ a, dac˘ a (∀) a,b,c ∈ A a R b ∧ b R c ⇒ a R c • total˘a, dac˘ a (∀) a, b ∈ A a R b ∨ b R a
Definit¸ia ¸ia 1.1.2 Fie (A,
R).
R = (A,A,GR)
Relat ¸ia
R
Definit¸ia ¸ia 1.1.3 O relat ela¸t ie definit˘ a pe o mult ¸ime A se nume¸ nu me¸ste st e relat¸ie ¸ ie de echivalent¸˘ ¸a ˘ dac˘ a este reflexiv˘ a, simetric˘ a ¸si si tranziti tranz itiv˘ v˘ a. 5
6
˘ CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II, FUNCT ¸ II, MULT ¸ IMI NUM ARABILE
∼ ∈
Fie (A, ) o mult¸me ˆınzestrat˘a cu o relat¸ie de echivalent¸a˘. Pentru fiecare element a A, definim mult¸mea: a= x
{ ∈ A | x ∼ a}
numit˘ a clasa de echivalent¸a ˘ a elementului a, relativ la relat¸ ia ”
∼ ”.
R
Definit¸ia 1.1.4 O relat ¸ie definit˘ a pe o mult ¸ime A se nume¸ste relat¸ie de ordine dac˘ a este reflexiv˘ a, antisimetric˘ a ¸si tranzitiv˘ a.
≤ ≤
O mult¸ime A ˆınzestrat˘ a cu o relat¸ie de ordine se nume¸ste mult¸ime ordonat˘ a ¸si se noteaz˘a (A, ). Dac˘ a relat¸ia de ordine este total˘a atunci mult¸imea A se nume¸ste total ordonat˘ a; ˆın caz contrar, mult¸imea A se nume¸ste part¸ial ordonat˘ a. Ment¸ion˘ am deasemenea urm˘atoarele notat¸ii convent¸ionale: a b b a; a < b a b a = b; a > b a b a = b. Prezent˘ am ˆın continuare cˆateva not¸iuni fundamentale legate de conceptul de m˘ arginire ˆın mult¸imi ordonate.
≤
≥ ⇔ ≤
⇔ ≤ ∧
⇔ ≥ ∧
≤
Definit¸ia 1.1.5 Fie (A, ) o mult ¸ime ordonat˘ a ¸si X a mult ¸imii A. Un element a A se nume¸ste:
⊂A
o submult ¸ime nevid˘ a
∈
• majorant al mult ¸imii X , dac˘ a: (∀) x ∈ X x ≤ a • minorant al mult ¸imii X, dac˘ a: (∀) x ∈ X a ≤ x • cel mai mare element al mult ¸imii X, dac˘ aapart ¸ine mult ¸imii X ¸si este un majorant al acestei mult ¸imi
• cel mai mic element al mult ¸imii X, dac˘ a apart ¸ine mult ¸imii X ¸si este un minorant al acestei mult ¸imi
• marginea superioar˘a (supremumul) mult ¸imii X, dac˘ a este cel mai mic majorant al mult ¸imii X
• marginea
inferioar˘ a (infimumul) mult ¸imii X, dac˘ a este cel mai mare minorant al mult ¸imii X
Mult ¸imea X se nume¸ste m˘ argini˘ a dac˘ a admite cel put ¸in un minorant (este minorat˘ a) ¸si respectiv cel put ¸in un majorant (este majorat˘ a), adic˘ a:
∃
( ) a, b
∈ A (∀) x ∈ X
a
≤x≤b
7
1.1. RELAT ¸ II
1.1.2
Funct ¸ii
R
Definit¸ia 1.1.6 O relat ¸ie = (A,B,GR ), se nume¸ste relat¸ie funct¸ional˘ a dac˘ a satisface proprietatea (numit˘ a de univocitate):
∀ ∈ A (∀) b, c ∈ B aRb ∧ aRc ⇒
( )a
b = c.
O relat ¸ie funct ¸ional˘ a f = (A,B,Gf ), se nume¸ste funct¸ie dac˘ a este definit˘ a pe mult ¸imea A cu valori ˆın B, adic˘ a: ( )a
∀ ∈ A (∃) b ∈ B
a f b (sau (a, b)
∈G ) f
→ ∈
Notat¸ia uzual˘a pentru o funct¸ie f = (A,B,Gf ) este f : A B. Existent¸a ¸si unicitatea elementului b B, asociat unui element fixat a A, avˆ and proprietatea (a, b) Gf , justific˘ a utilizarea curent˘ a a notat¸iei f (a) = b. Astfel avem:
∈
∈
{
| ∈ A}
Gf = (a, f (a)) a
→
→
Definit¸ia 1.1.7 Fie funct ¸iile f : A B, ¸si g : B C. 1) Funct¸ia compus˘ a g f : A C este definit˘ a prin: g f (a) = g(f (a)), ( ) a A 2) Funct ¸ia f se nume¸ste:
◦
→
◦
∀ ∈
• injectiv˘a, dac˘ a (∀) a1, a2 ∈ A f (a1) = f (a2) ⇒ a1 = a2 • surjectiv˘a, dac˘ a (∀) b ∈ B (∃) a ∈ A f (a) = b • bijectiv˘a, dac˘ aeste injectiv˘ a ¸si surjectiv˘ a • inversabil˘a, dac˘ a (∃) g : B → A f ◦ g = 1 ∧ g ◦ f = 1 A
B
Teorema 1.1.1 O funct ¸ie este inversabil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a este bijectiv˘ a.
→
Definit¸ia 1.1.8 Fie funct ¸ia f : A B, ¸si mult ¸imile X Imaginea mult¸imii X prin funct ¸ia f este mult ¸imea:
{
⊂ A,
| ∈ X } = { y ∈ B | (∃) x ∈ X
f (X ) = f (x) x
Y
⊂ B. }
f (x) = y .
Preimaginea mult ¸imii Y prin funct ¸ia f este mult ¸imea: f −1 (Y ) = x
{ ∈ A | f (x) ∈ Y }.
→
O funct¸ie f : A B este surjectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a f (A) = B. Pe de alt˘a parte, atragem atent¸ia c˘a definit¸ia ”preimaginii” nu este legat˘a de invesabilitate.
˘ CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II, FUNCT ¸ II, MULT ¸ IMI NUM ARABILE
8
1.2
Familii de mult ¸imi
Definit¸ia 1.2.1 Fie o mult ¸ime A, cu mult ¸imea submult ¸imilor sale mult ¸ime nevid˘ a (numit˘ a mult ¸imea indexilor).
P (A), iar I o
• O mult ¸ime F ⊂ P (A) se nume¸ste familie de mult¸imi (p˘ art ¸i ale mult ¸imii A).
• O funct ¸ie I : I → P (A), I (i) = A
∈ I
i se nume¸ste familie indexat˘ a de mult¸imi (p˘ art ¸i ale mult ¸imii A) ¸si se noteaz˘ a i
I = { A | i ∈ I . } = (A ) ∈ i
i i I
In particular, o familie indexat˘a dup˘a mult¸imea numerelor naturale se nume¸ste ¸sir de mult¸imi ¸si se noteaz˘a (An )n∈N . Un ¸sir (An )n∈N de mult¸imi se nume¸ste cresc˘ ator dac˘a An An+1 , ( ) n N, ¸si respectiv descresc˘ ator dac˘a An An+1, ( ) n N.
⊃
1.3
⊂
∀ ∈
∀ ∈
Numere cardinale. Mult ¸imi num˘ arabile
Pentru a compara dou˘a mult¸imi dup˘a ordinul lor de ”m˘arime”, vom utiliza not¸iunile de funct¸ie injectiv˘a ¸si respectiv bijectiv˘a. Definit¸ia 1.3.1 Spunem c˘ a dou˘ a mult ¸imi nevide A ¸si B au aceea¸si putere cardinal˘ a (sunt cardinal echivalente) dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie bijectiv˘ a f : A B ¸si ˆın acest caz not˘ am A B.
→
∼
Cardinal echivalent¸a mult¸imilor prezint˘a propriet˘ a¸tile specifice unei relat¸ii de echivalent¸a˘. Propozit ¸ia 1.3.1 Echivalent ¸a cardinal˘ a a mult ¸imilor este reflexiv˘ a, simetric˘ a ¸si tranzitiv˘ a. Propriet˘a¸tile echivalent¸ei cardinale justific˘a definirea numerelor cardinale drept ”clase de echivalent¸a˘ cardinal˘ a”. Definit¸ia 1.3.2 Se nume¸ste num˘ ar cardinal orice familie de mult ¸imi cuprinzˆ and toate mult ¸imile de aceea¸si putere cardinal˘ a cu o mult ¸ime nevid˘ a fixat˘ a. Num˘ arul cardinal asociat unei familii de mult ¸imi de accea¸si putere cardinal˘ a reprezint˘ a cardinalul fiec˘ arei mult ¸imi apart ¸inˆand familiei respective. Utiliz˘ am notat ¸ii de tipul:
{ − mult ¸ime | X ∼ A };
a = X
∀
a = card (X ), ( ) X
∼ A.
Cardinalul mult¸imii numerelor naturale se nume¸ste ”alef zero”. Vom utiliza notat¸ia: card(N) =
H0
Definit¸ia 1.3.3 O mult ¸ime se nume¸ste num˘ arabil˘ a dac˘ a este cardinal echivalent˘ a cu mult ¸imea numerelor naturale (are cardinalul ”alef zero”).
Capitolul 2
Corpul numerelor reale 2.1
Definirea axiomatic˘ a mult ¸imii numerelor reale
Definit¸ia 2.1.1 Se nume¸ste mult¸imea numerelor reale o mult ¸ime nevid˘ a R, ˆınzetrat˘ a cu dou˘ a operat ¸ii interne + ¸si ¸si cu o relat ¸ie de ordine , care verific˘ a urm˘ atoarele propriet˘ at ¸i: 1) (R, +, ) este un corp (algebric) comutativ; 2) (R, ) este o mult ¸ime total ordonat˘ a; 3) Relat ¸ia de ordine ” ” este compatibil˘ a cu operat ¸iile algebrice de adunare (+) ¸si respectiv ˆınmult ¸ire ( ), adic˘ a sunt satisf˘ acute axiomele
·
≤
≤
·
≤ · (i) (∀) x,y,z ∈ R x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (ii) (∀) x,y,z ∈ R x ≤ y ∧ z ≥ 0 ⇒ xz ≤ yz. 4) Orice mult ¸ime nevid˘ a ¸si m˘ arginit˘ a superior, A ⊂ R, admite margine superioar˘ a, (deci exit˘ a sup A), (Axioma marginii superioare).
2.2
S ¸iruri de numere reale
Un ¸sir (xn )n∈N cu termenii ˆın R trebuie ˆınt¸eles ca o funct¸ie ϕ : N care not˘am xn = ϕ(n), n N.
∈
→ R pentru
Definit¸ia 2.2.1 S ¸ irul (xn )n∈N se nume¸ste:
• m˘arginit, dac˘ a
∀ ∈ N |x | ≤ m
∃
( ) m> 0 ( ) n
n
• monoton cresc˘ator (respectiv descresc˘ator), dac˘ a (∀) n ∈ N x ≤ x +1 (respectiv x ≥ x +1 ) • convergent, dac˘ a (∃) a ∈ R (∀) ε > 0 (∃) N ∈ N (∀) n ∈ N n ≥ N ⇒ |x − a| < ε ¸si ˆın acest caz not˘ am x → a n
n
n
n
ε
n
9
n
10
CAPITOLUL 2. CORPUL NUMERELOR REALE
• fundamental (sau ¸sir Cauchy), dac˘ a (∀) ε > 0 (∃) N ∈ N (∀) n, m ∈ N
n, m
≥ N ⇒ |x − x | < ε ε
n
m
Teorema 2.2.1 (i) orice ¸sir convergent este fundamental; (ii) orice ¸sir fundamental este m˘ arginit; (iii) dac˘ a un ¸sir fundamental admite un sub¸sir convergent atunci ¸sirul este convergent. Teorema 2.2.2 Orice ¸sir monoton ¸si m˘ arginit din R este convergent Teorema 2.2.3 R este complet ˆın sens Cauchy, adic˘ a are proprietatea c˘ a orice ¸sir fundamental este convergent ˆIn continuare vom introduce noi not¸iuni legate de extindererea mult¸imii R, cu dou˘ a noi elemente + ¸si . Convenim s˘a not˘ am R = R , mult¸imea numit˘ a dreapta ˆıncheiat˘ a. Definim limitele ”infinite” ale ¸sirurilor reale astfel:
∞ −∞
• lim →∞ x n
n
=
∞
∪{−∞ ∞}
dac˘ a
∀
∃
( ) m > 0 ( ) N
• lim →∞ x n
n
=
−∞
∈ N (∀) n ∈ N
n
≥ N ⇒
xn > m
∈ N (∀) n ∈ N
n
≥ N ⇒
xn < m
dac˘a
∀
∃
( ) m < 0 ( ) N
In finalul discut¸iei despre ¸sirurile de numere reale, amintim cˆateva criterii importante de convergent¸a˘. major˘ arii: Dac˘ a pentru ¸sirurile (xn )n∈N ¸si ( pn )n∈N , cu propriet˘a¸tile pn > 0, ( ) n N ¸si pn 0 ¸si num˘arul real a avem
• Criteriul
∀ ∈ → |x − a| ≤ p , (∀) n ∈ N, n
atunci xn
n
→ a;
• Criteriul cle¸ste: Dac˘a pentru ¸sirurile (x ) ∈ , (a ) ∈ ¸si (b ) ∈ , cu propriet˘a¸tile a → c, b → c, avem a ≤ x ≤ b , (∀) n ∈ N, atunci x → c; • Criteriul lui Stolz: Dac˘a pentru ¸sirurile (a ) ∈ ¸si (b ) ∈ , cu propriet˘a¸t ile 0 < b < b +1 , (∀) n ∈ N ¸si b → ∞ , avem a +1 − a lim →∞ b +1 − b = c n n
n
N
n n
n n
N
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
atunci limn→∞
an bn
= c.
n
n
n
n
N
n n
N
N
Capitolul 3
Serii numerice. 3.1
Definit ¸ii. Generalit˘ at¸i.
ˆIn acest capitol vom studia seriile de numere reale. Cu ajutorul seriilor se poate da un sens not¸iunii de ”sum˘a” a termenilor unui ¸sir de numere reale. Definit¸ia 3.1.1 Fie un ¸sir de numere reale (an )n∈N . Se nume¸ste seria ata¸sat˘ a ¸sirului dat, ansamblul format din ¸sirurile (an )n∈N ¸si (S n )n∈N , unde S n := a0 + . . . + an , (n 0). Aceast˘ a serie se noteaz˘ a cu an . Termenii an se numesc
≥
n 0
≥
termenii seriei, iar termenii S n se numesc sumele part¸iale ale seriei. ˆ In cazul a, iar ˆın caz ˆın care ¸sirul (S n )n∈N este convergent, seria se nume¸ste convergent˘ contrar, seria se nume¸ste divergent˘ a. Limita ¸sirului (S n )n∈N , ˆın cazul ˆın care exist˘ a, se nume¸ste suma seriei ¸si se noteaz˘ a cu
∞
n=0
an .
Calitatea unei serii de a fi convergent˘ a sau divergent˘ a poart˘ a numele de natura seriei.
Seria
n 0
an , precum ¸si suma ei, ˆın cazul convergent¸ei se mai noteaz˘a prin
≥
a0 + a1 + . . .. Exemplul 3.1.1 Seria geometric˘ a se define¸ste prin
q n , unde q
n 0 n+1
≥
∈ R. Avem
S n = 1 + q + . . . + q n = 1−1q−q , pentru q = 1 ¸si S n = n + 1, pentru q = 1. Rezult˘a c˘a seria este convergent˘a ¸si are suma 1−1 q , dac˘a q < 1 ¸si este divergent˘a cˆ and q 1. ˆIn plus suma seriei este + pentru q 1.
| |≥
−
∞ 1
Exemplul 3.1.2 Fie seria =
− 1 1
1 2
n 1
+ ... +
1
n
≥
1 n+1
n(n+1) .
≥
Pentru n
||
≥ 1, avem S
n
=
1 12
1 · + . . . n(n+1)
. Dup˘a reducerea termenilor asemenea, obt¸inem
1 S n = 1 n+1 . Deoarece limn→∞ S n = 1, conchidem c˘a seria este convergent˘a ¸si are suma egal˘a cu 1.
−
11
12
CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE.
Exemplul 3.1.3 Fie =
n
k=0
1 k!
1 − ( +1)! k
seria
n 1
=
1 0!
≥
1 − ( +1)! n
n
(n+1)! .
= 1
Avem
S n
n
=
k
k=0
1 − ( +1)! . n
=
(k+1)!
Obt¸inem limn→∞ S n = 1. Deci
seria este convergent˘a cu suma 1. Propozit ¸ia 3.1.1 i) Dac˘ a ˆıntr-o serie
n 0
an , ad˘ aug˘ am, elimin˘ am, sau modifi-
≥
c˘ am un num˘ ar finit de termeni, natura seriei nu se schimb˘ a, ci doar suma ei se modific˘ a, ˆın cazul cˆand este convergent˘ a. ii) Dac˘ a tot ¸i termenii unei serii se ˆınmult ¸esc cu o constant˘ a k = 0, atunci natura seriei nu se modific˘ a dar, ˆın cazul convergent ¸ei, suma noii serii este egal˘ a cu suma seriei date ˆınmult ¸it˘ a cu k.
Teorema 3.1.1 (Criteriul general al lui Cauchy) Seria
n 0
an , este conver-
≥
∈
gent˘ a, dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice ε > 0, exist˘ a un indice nε N, astfel ˆıncˆ at, pentru orice n nε ¸si m nε , n m, avem an + . . . + am < ε.
≥
≥
≤
|
|
Observat¸ia 3.1.1 Condit¸ia din criteriul lui Cauchy, se poate formula pentru seria an , ˆın mod echivalent astfel: pentru orice ε > 0, s˘a exist˘e un indice nε N,
∈
n 0
≥
astfel ˆıncˆat, pentru orice n
≥n
ε
Corolarul 3.1.1 Dac˘ a seria
¸si orice p
n 0
≥
≥ 0, s˘a avem |a
n
|
+ . . . + an+ p < ε.
an este convergent˘ a, atunci limn→∞ an = 0.
Observat¸ia 3.1.2 Reciproca din Corolarul 3.1.1 nu este adev˘arat˘ a. Definit¸ia 3.1.2 Seria
n 0
este convergent˘ a.
an se nume¸ste absolut convergent˘ a, dac˘ a seria
≥
|
n 0
an
≥
Teorema 3.1.2 (Criteriul absolutei convergent ¸e) Orice serie absolut convergent˘ a este convergent˘ a. Observat¸ia 3.1.3 Reciproca teoremei de mai sus nu este adev˘arat˘ a. Definit¸ia 3.1.3 O serie se nume¸ste semiconvergent˘ a, dac˘ a ea este convergent˘ a, dar nu este absolut convergent˘ a.
3.2
Criterii de comparat¸ie pentru seriile cu termeni pozitivi.
Observat¸ia 3.2.1 Dac˘ a
n 0
≥
an este o serie cu termeni pozitivi: an
≥ 0, (n ≥ 0),
atunci ¸sirul sumelor part¸iale (S n )n∈N este cresc˘ator. ˆIn consecint¸a˘, seria
n 0
≥
an
este convergent˘a , dac˘ a ¸si numai dac˘a ¸sirul (S n )n∈N este m˘a rginit. Dac˘ a ¸sirul
|
3.3. CRITERII DIRECTE PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI
(S n )n∈N este m˘arginit, si deci seria este convergent˘a, not˘ am
∞
n=0
¸sirul (S n )n∈N este nem˘arginit, ¸si deci seria este divergent˘ a, avem
an <
∞
n=0
an
13
∞. Dac˘a = ∞.
Teorema 3.2.1 (Criteriul 1 de comparat ¸ie) Fie seriile cu termeni pozitivi, an ¸si bn , pentru care exist˘ a n0 N astfel ˆıncˆat
n 0
∈
n 0
≥
≥
≤ b , pentru orice n ≥ n0. ∞ ∞ ∞ i) Dac˘ a a < , atunci a < ∞. =0 =0 ∞ ∞ ii) Dac˘ a a = ∞, atunci b = ∞. =0 =0 an
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Teorema 3.2.2 (Criteriul de comparat ¸ie cu limit˘ a) Fie seriile cu termeni strict pozitivi, an ¸si bn . Presupunem c˘ a exist˘ a l [0, ) astfel ˆıncˆat n 0
∈ ∞ ∪{∞}
n 0
≥
≥
bn = l. n→∞ an lim
∞
i) Dac˘ a
n=0
ii) Dac˘ a
∞
n=0
3.3
∞, ¸si l < ∞, atunci ∞=0 b < ∞. ∞ = ∞, ¸si l > 0, atunci b = ∞. =0
an < an
n
n
n
n
Criterii directe pentru serii cu termeni pozitivi
Teorema 3.3.1 (Criteriul r˘ ad˘ acinii, sau criteriul lui Cauchy) Fie seria cu termeni pozitivi, an . Not˘ am
n 0
≥
C n :=
∞
n=0
k
√a , n ∈ N. n
i) Dac˘ a exist˘ a q < 1 ¸si un indice n0 an <
∞,
n
∈ N, astfel ˆıncˆat C ≤ q, (n ≥ n0), atunci n
ii) Dac˘ a exist˘ a un sub¸sir de indici (nk )k∈N astfel ˆıncˆat C nk
∈ N, atunci
∞
n=0
an =
∞.
Corolarul 3.3.1 Fie seria cu termeni pozitivi
n 0
≥
= lim supn→∞ C n .
∞
i) Dac˘ a l < 1, atunci
n=0
ii) Dac˘ a l > 1, atunci
∞, = ∞.
an <
∞
n=0
an
an .
≥ 1, pentru orice S˘ a not˘ am l
:=
14
CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE.
Teorema 3.3.2 (Criteriul raportului, sau criteriul lui D’Alembert) Fie seria cu termeni strict pozitivi an . Not˘ am:
n 0
≥
an+1 . an
Dn :=
∞
n=0
∞
n=0
i) Dac˘ a exist˘ a q < 1 ¸si un indice n0 an <
∞,
n
∈ N, astfel ˆıncˆat D ≥ 1,
ii) Dac˘ a exist˘ a un indice n0 an =
∈ N, astfel ˆıncˆat D ≤ q, (n ≥ n0), atunci n
∞.
Corolarul 3.3.2 Fie seria cu termeni strict pozitivi
n 0
(n
≥ n0),
an . Presupunem c˘ a exist˘ a
≥
limn→∞ Dn = l. i) Dac˘ a l < 1, atunci seria converge. ii) Dac˘ a l > 1, atunci seria diverge.
Exemplul 3.3.1 (Seria armonic˘ a) Seria armonic˘ a de parametru α 1 fine¸ste prin nα . Avem
atunci
∈ R se de-
n 1
≥
∞ 1
n=1
=
nα
< =
∞, ∞,
α>1 . α 0
≤
Teorema 3.3.3 (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie seria cu termeni strict pozitivi an . Not˘ am:
n 0
≥
∞
n=0
−
an+1 Rn := n 1 , (n N). an i) Dac˘ a exist˘ a q > 1 ¸si n0 N, astfel ˆıncˆat Rn an <
q, (n
≥
∈ N, astfel ˆıncˆat R ≤ 1, (n ≥ n0), atunci
∈
∞,
ii) Dac˘ a exist˘ a n0
∈
n
Corolarul 3.3.3 Fie seria cu termeni strict pozitivi
n 0
≥
∞
n=0
n0 ), atunci
an =
∞.
an . Presupunem c˘ a exist˘ a
≥
limn→∞ Rn = l.
∞
i) Dac˘ a l > 1, atunci
n=0
ii) Dac˘ a l < 1, atunci
∞, = ∞.
an <
∞
n=0
an
Aplicat¸ie Pentru a determina natura seriei
n 1
≥
an n! nn ,
·
a > 0, not˘ am cu an termenul gen-
eral. Avem limn→∞ ana+1 = ae . Aplicˆ and criteriul raportului, forma cu limit˘a, n obt¸inem: serie convergent˘a, pentru a < e ¸si serie divergent˘a pentru a > e. Dac˘ a an+1 e a = e, avem an = a c˘a ¸sirul (an )n∈N nu converge la 0, n > 1. Atunci rezult˘ (1+ n1 ) deci seria este divergent˘a.
Capitolul 4
Funct ¸ii reale de o variabil˘ a 4.1
Definit ¸ii ¸ si rezultate de baz˘ a
Definit¸ia 4.1.1 Fie a R. O mult ¸ime V R se nume¸ste vecin˘ atate, a punctului a dac˘ a exist˘ a ε > 0 astfel ˆıncˆat (a ε, a + ε) V .
∈
⊂
−
⊂
Definit¸ia 4.1.2 O mult R se nume¸ste vecin˘ ¸ime V atate a lui , dac˘ a exist˘ a α R, astfel ˆıncˆat (α, ) V . O mult ¸ime V R se nume¸ste vecin˘ atate a lui , dac˘ a exist˘ a α R, astfel ˆıncˆ at ( , α) V .
⊂ ∞ ∈ ∞ ∪ {∞} ⊂ ⊂ −∞ ∈ −∞ ∪ {−∞} ⊂ Definit¸ia 4.1.3 Fie D ⊂ R. Un element a ∈ R se nume¸ste punct de acumulare al lui D, dac˘ a pentru orice vecin˘ atate, V a lui a, exist˘ a x ∈ V , astfel ˆıncˆ at a. x= Definit¸ia 4.1.4 Fie D ⊂ R, f : D → R ¸si a ∈ R punct de acumulare a lui D. Spunem c˘ a funct ¸ia f are limit˘ a, ˆın punctul a, dac˘ a exist˘ a l ∈ R, cu proprietatea c˘ a pentru orice vecin˘ atate U a lui l exist˘ a o vecin˘ atate V a lui a astfel ˆıncˆat pentru a s˘ a avem f (x) ∈ U . orice x ∈ V ∩ D, x = Observat¸iile 4.1.1 i) Condit¸ia din definit¸ia de mai sus poate fi scris˘a ˆın form˘a echivalent˘a astfel:
• Dac˘a a ∈ R, l ∈ R : (∀) ε > 0, (∃)δ > 0, (∀) x ∈ D, x = a, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − l| < ε. • Dac˘a a ∈ R, l = ∞ : (∀) α ∈ R, (∃)δ > 0, (∀) x ∈ D, x = a, |x − a| < δ ⇒ ε
ε
f (x) > α.
• Dac˘a a = ∞, l ∈ R (∀) α ∈ R, (∃)δ
∀ ∈ D, x > α ⇒ |f (x)−l| < ε.
> 0, ( ) x
α
• Dac˘a a = ∞, l = ∞ (∀) α ∈ R, (∃)β ∈ R (∀) x ∈ D, x > β ⇒ f (x) > α. α
Dac˘ a a sau l sunt egali cu
α
−∞, se obt¸ine o scriere analoag˘a cu cele pentru +∞. 15
˘ CAPITOLUL 4. FUNCT ¸ II REALE DE O VARIABILA
16
∈
Definit¸ia 4.1.5 Elementul unic l R care apare in Definit ¸ia 4.1.4 se nume¸ste limita, a funct ¸iei f ˆın punctul a. Limita funct ¸iei se noteaz˘ a cu limx→a f (x).
⊂
→
∈
Teorema 4.1.1 (Heine) Fie D R, f : D R ¸si a R un punct de acumulare a lui D. Sunt echivalente urm˘ atoarele afirmat ¸ii: i) limx→a f (x) = l, ii) pentru orice ¸sir (xn )n∈N cu limita a ¸si cu termeni xn D, xn = a, avem limn→∞ f (xn ) = l.
∈
⊂
→ ∈
∈
Corolarul 4.1.1 Fie D R, f : D R ¸si a R un punct de acumulare a lui D. Dac˘ a exist˘ a l1 , l2 R, l1 = l2 ¸si dou˘ a ¸siruri (x1n )n∈N , (x2n )n∈N , unde pentru i = 1, 2, avem xin D, xin = a, (n N), limn→∞ xin = a, ¸si limn→∞ f (xin ) = li , atunci funct ¸ia f nu are limit˘ a ˆın a.
∈
Propozit ¸ia 4.1.1 R. Fie a un punct i) Dac˘ a f (x) limx→a f (x) = l. ii) Dac˘ a f (x)
|
∈
→
⊂
(Criteriul major˘ arii) Fie funct ¸iile f, g : D R, unde D de acumulare a lui D. l g(x), ( ) x D, l R ¸si limx→a g(x) = 0, atunci
−|≤ ∀ ∈ ∈ ≥ g(x), (∀) x ∈ D ¸si lim → g(x) = ∞, atunci lim → f (x) = ∞. Teorema 4.1.2 Fie funct ¸iile f, g : D → R, D ⊂ R ¸si a un punct de acumulare a lui D, Presupunem c˘ a exista limitele lim → f (x) = l ¸si lim → g(x) = l , unde l , l ∈ R. S˘ a not˘ am cu oricare din operat ¸iile +, −, ·, /. Dac˘ a este /, atunci, 0, (∀) x ∈ presupunem ˆın plus c˘ a exist˘ a o vecin˘ atate V a lui a astfel ˆıncˆat g(x) = ˆ D ∩ V . In aceste condit ¸ii, dac˘ a l l are sens ˆın R, atunci exist˘ a lim → (f ∗ g)(x) x
x
a
x
a
f
x
a
a
g
g
f
g
f
x
a
¸si este egal˘ a cu lf lg . Pe scurt
∗
lim (f g)(x) = (lim f (x)) (lim g(x)).
x
→a
x
→a
→
x
→a
⊂ ∈ ∩
Definit¸ia 4.1.6 Funct ¸ia f : D R, D R, se nume¸ste continu˘ a ˆın punctul a D, dac˘ a pentru orice vecin˘ atate V a lui f (a), exist˘ a o vecin˘ atate U , a lui a, astfel ˆıncˆ at f (x) V , pentru orice x D V . ˆ In cazul contrar funct ¸ia se nume¸ste discontinu˘ a ˆın a.
∈
∈
Observat¸ia 4.1.1 O definit¸ie echivalent˘a a continuit˘a¸tii ˆın punctul a este: ( ) ε > 0, ( )δε > 0, ( ) x D, x a < δ ε f (x) f (a) < ε.
∃
∀ ∈
| − |
⇒|
→
−
|
∀
⊂
Definit¸ia 4.1.7 O funct ¸ie f : D R, D R se nume¸ste continu˘ a pe D, dac˘ a ˆ ea este continu˘ a ˆın orice punct din D. In caz contrar se nume¸ste discontinu˘ a. Propozit ¸ia 4.1.2 Fie f : D R, D R ¸si fie a D, care este totodat˘ a punct de acumulare a lui D. Funct ¸ia f este continu˘ a ˆın a, dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a limita: lim f (x) = f (a).
→
⊂
∈
x
→a
Un enunt ¸ similar are loc pentru continuitatea lateral˘ a.
˘ 4.1. DEFINIT ¸ II S ¸ I REZULTATE DE BAZ A
→
17
⊂ ∀ ∈ ∩
Teorema 4.1.3 Fie funct ¸iile f, g : D R, D R. S˘ a not˘ am cu oricare din operat ¸iile +, , , /. Dac˘ a este /, atunci, presupunem ˆın plus c˘ a exist˘ a o vecin˘ atate V a lui a astfel ˆıncˆat g(x) = 0, ( ) x D V . Dac˘ a funt ¸iile f ¸si g sunt continue ˆıntr-un punct a D, atunci f g este continu˘ a ˆın a.
−·
∈
Teorema 4.1.4 Fie funct R, D, E R. Dac˘ ¸iile f : D E, g : E a f este continu˘ a ˆıntr-un punct a D, iar g este continu˘ a ˆın f (a), atunci g f este continu˘ a ˆın a.
→
∈
→
→
⊂
◦
⊂
Definit¸ia 4.1.8 O funct ¸ie f : D R, D R se numet ¸e convex˘ a, (respectiv strict convex˘ a, concav˘ a, strict concav˘ a) pe D, dac˘ a pentru orice puncte x < y din D ¸si pentru orice λ (0, 1), astfel ˆıncˆ at λx + (1 λ)y D, avem λf (x) + +(1 λ)f (y) f (λx + (1 λ)y) 0, (respectiv > 0, 0, < 0).
−
∈ −
−
− ≤
≥
∈
Definit¸ia 4.1.9 Spunem c˘ a funct ¸ia f : I R, unde I este un interval, are proprietatea lui Darboux, dac˘ a imaginea f (J ) a oric˘ arui subinterval J I este un interval.
→
⊂
Observat¸ia 4.1.2 Proprietatea lui Darboux poate fi enunt¸at˘a ¸si astfel: pentru orice puncte x < y din I ¸si orice λ astfel ˆıncˆat f (x) < λ < f (y) sau f (y) < λ < f (x), exist˘a un punct c, x < c < y astfel ˆıncˆat f (c) = λ. Teorema 4.1.5 Orice funct ¸ie continu˘ a pe un interval are proprietatea lui Darboux.
→
Teorema 4.1.6 (Weierstrass) Orice funct ¸ie continu˘ a f : [a, b] R este m˘ arginit˘ a ¸si ˆı¸si atinge marginile. Mai concret, exist˘ a m, M R ¸si exist˘ a xm , xM [a, b], astfel ˆıncˆat i) m f (x) M, ( ) x [a, b]. ii) f (xm ) = m ¸si f (xM ) = M .
∈
∈
≤
≥
∈
∀ ∈
ˆIn continuare vom considera not¸iunea de derivabilitate a unei funct¸ii reale.
→
⊂
∈
Definit¸ia 4.1.10 Fie funct ¸ia f : D R, D R ¸si a D, care este totodat˘ a punct de acumulare a lui D. Numim derivata funct ¸iei f ˆın a, elementul f (a) R, definit prin f (x) f (a) f (a) := lim , x→a x a
∈
∈
− −
ˆın cazul cˆand limita exist˘ a. Dac˘ a f (a) R, atunci funct ¸ia f se nume¸ste derivabil˘ a ˆın a. Dac˘ a D este un interval, iar f este derivabil˘ a ˆın orice punct din D, atunci f a pe D, iar funct R, care ia ˆın orice se nume¸ste funct¸ie derivabil˘ ¸ia f : D punct a D valoarea f (a), se nume¸ste funct¸ia derivat˘ a a lui f . Funt ¸ia f se nume¸ste primitiva funct ¸iei f .
∈
∈
→
Teorema 4.1.7 O funct ¸ie derivabil˘ a ˆıntr-un punct este continu˘ a ˆın acel punct.
˘ CAPITOLUL 4. FUNCT ¸ II REALE DE O VARIABILA
18
→
∈
Teorema 4.1.8 Fie funct ¸iile f, g : D R derivabile ˆın punctul a D. Atunci exist˘ a: i) (f + g) (a) = f (a) + g (a). ii) (f g) (a) = f (a) g(a) + f (a) g (a). iii) Dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate V a lui a astfel ca g(x) = 0, ( ) x D V , atunci
·
·
·
g (a)f (a) f (a)g (a) . g 2 (a)
−
exist˘ a f g (a) = iv) Dac˘ a f este constant˘ a, atunci f (a) = 0.
∀ ∈ ∩
Teorema 4.1.9 ( Derivarea funct¸iilor compuse) Fie funct ¸iile f : D E ¸si g : E R, D, E R. Fie a D un punct de acumulare a lui D ¸si presupunem c˘ a b := f (a) este punct de acumulare a lui E . Dac˘ a f este derivabil˘ a ˆın a ¸si g este derivabil˘ a ˆın b, atunci g f : D R este derivabil˘ a ˆın a ¸si
→
⊂
→
∈
◦
→
(g f ) (a) = g (b) f (a).
◦
·
Teorema 4.1.10 (Derivarea funct ¸iilor inverse) Fie I, J intervale ¸si funct ¸ia f : I J bijectiv˘ a ¸si continu˘ a. Dac˘ a f este derivabil˘ a ˆın a, ¸si f (a) = 0, atunci − 1 f este derivabil˘ a ˆın punctul b = f (a) ¸si
→
(f −1 ) (b) =
1
. f (a)
→
⊂
Definit¸ia 4.1.11 (Derivate de ordin superior) Fie funct ¸ia f : D R, D R ¸si a D, punct de acumulare a lui D. Definim derivatele de ordinul k, k 0 ale lui f ˆın a, ˆın mod recursiv astfel: f (0) (a) := f (a), iar dac˘ a k > 0, atunci k) ( derivat˘ a f (a) se define¸ste ˆın cazul cˆand exist˘ a o vecin˘ atate V a lui a , astfel c˘ a f admite derivat˘ a de ordin (k 1) ˆın toate punctele lui D V ¸si ˆın plus funct ¸ia k−1) ( f : D V R este derivabil˘ a ˆın a. Atunci definim
⊂
≥
∈
−
∩ →
∩
f (k) (a) := (f (k−1) ) (a).
4.2
Teoreme de medie
→
⊂
∈ ∀ ∈ ∩
Definit¸ia 4.2.1 Fie f : D R, D R. Un punct x0 D se nume¸ste punct de maxim local, respectiv punct de minim local al lui f , dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate V a lui x0 , astfel ˆıncˆ a t s˘ a avem f (x) f (x0 ), ( ) x D V , respectiv f (x) f (x0 ), ( ) x D V . Un punct care este de maxim local sau de minim local se nume¸ste punct de extrem local.
≥
≤
∀ ∈ ∩
→
≥
⊂
Definit¸ia 4.2.2 Fie funct ¸ia f : D R, D R. Un punct ˆın care f ˆı¸si atinge valoarea maxim˘ a se nume¸ste punct de maxim global, iar un punct ˆın care f ˆı¸si atinge valoarea minim˘ a se nume¸ste punct de minim global. Un punct de maxim sau de minim global se nume¸ste punct de extrem global. Observat¸ia 4.2.1 Orice punct de extrem global este ¸si un punct de extrem local de acela¸si tip.
19
4.3. REGULILE LUI L’HOSPITAL
→
⊂
Teorema 4.2.1 (Fermat) Fie f : D R, D R ¸si un punct x0 este punct de acumulare la stˆanga ¸si la dreapta pentru D. Dac˘ a i) x0 este punct de extrem local pentru funct ¸ia f ¸si ii) f este derivabil˘ a ˆın x0 , atunci f (x0 ) = 0.
∈ D.
care
→
Teorema 4.2.2 (Darboux) Dac˘ a o funct ¸ie f : I R, I interval, este derivabil˘ a pe I , atunci funct ¸ia derivat˘ a f : I R are proprietatea lui Darboux pe I .
→
Teorema 4.2.3 (Rolle) Fie funct ¸ia f : [a, b] i) f este continu˘ a pe [a, b], ii) f este derivabil˘ a pe (a, b) ¸si iii) f (a) = f (b), atunci exist˘ a c (a, b), astfel ˆıncˆ at f (c) = 0.
→ R. Dac˘ a
∈
Teorema 4.2.4 (Cauchy) Fie funct ¸ia f : [a, b] i) f este continu˘ a pe [a, b], ii) f este derivabil˘ a pe (a, b) ¸si iii) g (x) = 0, pentru orice x (a, b), atunci g(b) = g(a)¸si exist˘ a c (a, b) astfel ˆıncˆat
∈
→ R. Dac˘ a
∈
f (b) g(b)
− f (a) = f (c) . − g(a) g (c)
Dac˘ a alegem funct¸ia g(x) = x ˆın Teorema lui Cauchy se obt¸ine urm˘atoarea teorem˘ a, numit˘a ¸si teorema cre¸sterilor finite. Teorema 4.2.5 (Lagrange) Fie funct ¸ia f : [a, b] i) f este continu˘ a pe [a, b] ¸si ii) f este derivabil˘ a pe (a, b), atunci exist˘ a c (a, b) astfel ˆıncˆat
∈
f (b)
4.3
→ R. Dac˘ a
− f (a) = f (c)(b − a).
Regulile lui l’Hospital
ˆIn acest paragraf prezent˘ am regulile lui l’Hospital pentru rezolvarea unor cazuri de nedeterminare de limite de funct¸ii. Teorema 4.3.1 (Regula pentru cazul 00 ) Fie I R un interval, a un punct de acumulare a lui I ¸si f, g : I R. Dac˘ a sunt ˆındeplinite condit ¸iile: i) f ¸si g sunt derivabile pe I a , ii) g (x) = 0, ( ) x I , iii) limx→a f (x) = 0 ¸si limx→a g(x0 ) = 0, iv) exist˘ a l R astfel ˆıncˆat limx→a f g ((xx)) = l, atunci g(x) = 0, ( ) x I a ¸si exist˘ a limita
∀ ∈
∈
→ \{ }
∀ ∈ \{ }
f (x) = l. x→a g(x) lim
⊂
˘ CAPITOLUL 4. FUNCT ¸ II REALE DE O VARIABILA
20
Teorema 4.3.2 (Regula pentru cazul ∞ ∞ ) Fie I R un interval, a un punct de acumulare a lui I ¸si f, g : I R. Dac˘ a sunt ˆındeplinite condit ¸iile: i) f ¸si g sunt derivabile pe I a , ii) g (x) = 0, ( ) x I iii) limx→a g(x0 ) = , iv) exist˘ a l R astfel ˆıncˆat limx→a f g ((xx)) = l, atunci exist˘ a o vecin˘ atate V a lui a, astfel ˆıncˆ at g(x) = 0, ( ) x I V a ¸si exist˘ a limita f (x) lim = l. x→a g(x)
∈
4.4
⊂
→ \{ }
∀ ∈ ∞
∀ ∈ ∩ \{ }
Polinomul lui Taylor
Polinomul lui Taylor asociat unei funct¸ii derivabile de ordin superior ¸si unui punct din domeniul s˘a de definit¸ie, este ales astfel ˆıncˆat s˘a dea cea mai bun˘a aproximare local˘ a a funct¸iei, dintre toate polinoamele de acela¸si grad cu polinomul lui Taylor considerat. Avem urm˘atoarea definit¸ie de baz˘a. Definit¸ia 4.4.1 Fie funct ¸ia f : D R, D R, derivabil˘ a de ordinul n N ˆın punctul a D. Se nume¸ste polinomul lui Taylor de ordinul n al funt ¸iei f ˆın punctul a, urm˘ atorul polinom algebric:
→
∈
f (a) T a,n (f )(x) = f (a) + (x 1!
· −
⊂
∈
f (n) (a) a) + . . . + (x n!
n
· − a) ,
(x
∈ R).
(4.1)
Numim restul polinomului lui Taylor de ordinul n al funct ¸iei f ˆın punctul a, funct ¸ia: Ra,n (f )(x) = f (x) T a,n (f )(x), (x D).
−
→
∈
Teorema 4.4.1 Fie f : I R, I interval. Dac˘ a funct ¸ia f este derivabil˘ a de ordinul n 1 ˆıntr-un punct a I , atunci
≥
∈
Ra,n (f )(x) = 0. x→a (x a)n lim
−
Teorema 4.4.2 (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange) Fie I un interval ¸si f : I R o funct ¸ie derivabil˘ a de ordinul n + 1, n N pe I . Atunci pentru orice dou˘ a puncte a ¸si x din I , x = a, exist˘ a un punct c situat ˆıntre a ¸si x, astfel ˆıncˆ at s˘ a avem
→
∈
n
f (x) =
f (k) (a) (x k! k=0
k
· − a)
+
f (n+1)(c) (x (n + 1)!
· − a) +1. n
Capitolul 5
S ¸ iruri ¸ si serii de funct¸ii. 5.1
S ¸iruri de funct ¸ii.
⊂
Definit¸ia 5.1.1 Se nume¸ste ¸sir de funct¸ii, definite pe o mult ¸ime D R ¸si cu R . valori reale, orice aplicat ¸ie din mult ¸imea N ˆın mult ¸imea funct ¸iilor f : D Un astfel de ¸sir de funct ¸ii se noteaz˘ a prin (f n )n∈N .
{
→ }
Definit¸ia 5.1.2 S R, D R, se nume¸ste con¸ irul de funct ¸ii (f n )n∈N , f n : D vergent punctual, sau convergent simplu, dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie f : D R, astfel ˆıncˆat pentru orice x D fixat, avem limn→∞ f n (x) = f (x). Funct ¸ia f se nume¸ste limita ¸sirului (f n )n∈N ¸si se noteaz˘ a prin limn→∞ f n .
→
⊂
→
∈
→
⊂ → − |
Definit¸ia 5.1.3 S ¸irul de funct ¸ii (f n )n∈N , f n : D R, D R, se nume¸ste convergent uniform, pe D, dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie f : D R, astfel ˆıncˆat pentru orice ε > 0, exist˘ a un indice nε N astfel ˆıncˆat f n (x) f (x) < ε, pentru orice n N, n nε ¸si orice x D.
∈
≥
∈
∈
|
→
⊂
Teorema 5.1.1 Fie ¸sirul de funct ¸ii (f n )n∈N , f n : D R, D R ¸si o funct ¸ie f : D R. Sunt echivalente urm˘ atoarele afirmat ¸ii: i) S ¸ irul de funct ¸ii (f n )n∈N nu converge uniform la f pe D ¸si ii) Exist˘ a δ > 0, un sub¸sir de indici (nk )k∈N ¸si un ¸sir (xk )n∈N , xk D, astfel ˆıncˆ at f nk (xk ) f (xk ) δ, ( ) k N.
→
|
−
|≥
∈
∀ ∈
Exemplul 5.1.1 S˘a ar˘ at˘ a m c˘a ¸sirul de funct¸ii f n (x) = xn , x [0, 1], converge simplu dar nu converge uniform. ˆIntr-adev˘ ar, se obt¸ine imediat c˘a limn→∞ f n (x) = f (x), x [0, 1], unde
∈
∈
f (x) =
∈
0, x [0, 1) . 1, x = 1
Pentru a ar˘a ta c˘ a convergent¸a nu este uniform˘a, indic˘ am trei metode: alegem 1 ¸sirul de puncte (xn )n∈N , xn = n , obt¸inem limn→∞ f n (xn ) = e. Atunci, aplicˆ and Teorema 5.1.1 rezult˘a c˘a (f n )n∈N nu converge uniform la f . 21
22
CAPITOLUL 5. S ¸ IRURI S ¸ I SERII DE FUNCT ¸ II.
→
Teorema 5.1.2 (Transferul limitei) Fie ¸sirul de funct ¸ii (f n )n∈N , f n : D R, D R, uniform convergent la funct ¸ia f : D R ¸si fie x0 un punct de acumulare al lui D. Presupunem c˘ a pentru orice n N, exist˘ a limx→x0 f n (x) = ln , ln R. Atunci ¸sirul (ln )n∈N este convergent, iar funct ¸ia f are limit˘ a ˆın punctul x0 egal˘ a cu limita ¸sirului (ln )n∈N . Pe scurt avem
⊂ ∈
→ ∈
lim lim f n (x) = lim lim f n (x).
x
→x n→∞ 0
n
→∞ x→x
0
Teorema 5.1.3 (Transferul continuit˘ a¸tii) Orice ¸sir uniform convergent de funct ¸ii continue, are limita tot o funct ¸ie continu˘ a. Teorema 5.1.4 (Transferul derivabilit˘ a¸tii) Fie ¸sirul de funct ¸ii (f n )n∈N , definite pe inervalul m˘ arginit I . Presupunem c˘ a i) funct ¸iile f n , n 0 sunt derivabile pe I , iar ¸sirul (f n )n∈N converge uniform pe I la o funct ¸ie g : I R, ii) exist˘ a un punct x0 I , astfel ˆıncˆ at ¸sirul (f n (x0 ))n∈N este convergent. Atunci ¸sirul de funct ¸ii (f n )n∈N converge uniform pe I la o funct ¸ie derivabil˘ a f : I R ¸si in plus f = g.
≥ →
∈
→
5.2
Serii de funct ¸ii.
→
⊂
Definit¸ia 5.2.1 Fie ¸sirul de funct ¸ii (f n )n∈N , f n : D R, D R. Se nume¸ste seria de funct¸ii ata¸sat˘ a ¸sirului (f n )n∈N , ansamblul format din ¸sirurile de funct ¸ii (f n )n∈N ¸si (S n )n∈N , unde S n := f 0 + . . . + f n , (n N). Aceast˘ a serie de funct ¸ii se noteaz˘ a cu f n . Dac˘ a ¸sirul de funct ¸ii (S n )n∈N , numit ¸sirul sumelor part¸iale,
∈
n 0
≥
este convergent punctual pe mult ¸imea D, atunci seria se nume¸ste convergent˘ a punctual, sau convergent˘ a simplu, iar funct ¸ia limit˘ a se nume¸ste suma seriei de funct¸ii ¸si se noteaz˘ a prin
∞
n=0
f n . Dac˘ a ¸sirul (S n )n∈N este convergent uniform,
atunci seria se nume¸ste la rˆ andul ei uniform convergent˘a. Seria
n 0
≥
f n se mai noteaz˘a ¸si prin f 0 + f 1 + . . ..
Teorema 5.2.1 (Criteriul lui Weierstrass) Fie seria de funct ¸ii f n : D
n 0
f n ,
≥
→ R, D ⊂ R ¸si fie seria numeric˘ a ≥0 a . Dac˘ a sunt ˆındeplinite condit ¸iile: i) |f (x)| ≤ a , (∀) x ∈ D, (∀) n ∈ N, ii) a < ∞, atunci seria de funct ¸ii f converge uniform pe D. ≥0 ≥0 n
n
n
n
n
n
n
n
Teorema 5.2.2 (Transferul limitei) Fie seria de funct ¸ii
n 0
⊂
→
≥
f n , f n : D
→ R,
D R convergent˘ a uniform, avˆ and suma f : D R. Fie x0 un punct de acumulare al lui D. Presupunem c˘ a pentru orice n N, exist˘ a limx→x0 f n (x) = ln ,
∈
23
5.3. SERII DE PUTERI. SERII TAYLOR.
ln
∈ R.
Atunci seria
x0 egal˘ a cu
n 0
n 0
ln este convergent˘ a, iar funct ¸ia f are limit˘ a ˆın punctul
≥
ln . Pe scurt avem
≥
lim
x
→x n≥0 0
f n (x) =
lim f (x).
≥ →x
n 0
x
0
Teorema 5.2.3 (Transferul continuit˘ a¸tii) Dac˘ a seria de funct ¸ii
n 0
f n ,
≥
R, D R este uniform convergent˘ f n : D a ¸si toate funct ¸iile f n sunt continue pe D, atunci funct ¸ia sum˘ a este tot continu˘ a pe D.
→
⊂
Teorema 5.2.4 (Transferul derivabilit˘ a¸tii) Fie seria de funct ¸ii derivabile f n , f n : D R, D R. Dac˘ a
→
n 0
≥
i) seria
n 0
≥
⊂
f n este uniform convergent˘ a la o funct ¸ie g : D
ii) exist˘ a un punct x0 atunci seria
n 0
∈ D, astfel ˆıncˆat
n 0
≥
→ R ¸si
f n (x0 ) este convergent˘ a,
f n este uniform convergent˘ a, iar suma sa este o funct ¸ie deri-
≥
vabil˘ a, cu derivata egal˘ a cu g. Pe scurt avem:
f n
=
n 0
n 0
≥
5.3
f n .
≥
Serii de puteri. Serii Taylor.
ˆIn acest paragraf vom studia un caz particular, de mare important¸a˘, de serii de funct¸ii ¸si anume seriile de puteri. Seriile de puteri reprezint˘a extinderea not¸iunii de polinom algebric. Definit¸ia 5.3.1 Se nume¸ste serie de puteri centrat˘a ˆın x0 , o serie de funct ¸ii n de forma an (x x0 ) , unde (an )n∈N este ¸sirul coeficient ¸ilor, x0 R este un
− ∈ punct fixat, iar x ∈ R este variabila. Dac˘ a x0 = 0, seria se numet ¸e simplu serie n 0
≥
de puteri.
Definit¸ia 5.3.2 (Formula Cauchy-Hadamard) Numim raza de convergent¸a ˘ a seriei an xn , num˘ arul R [0, ) , definit astfel:
∈ ∞ ∩{∞}
n 0
≥
R :=
1 lim supn→∞
Observat¸ia 5.3.1 Fie seria de puteri
n 0
| | n
an
.
an xn . Raza de convergent¸a˘ a seriei se
≥
poate calcula ¸si dup˘a urm˘ atoarele formule: R=
1 limn→∞
| | n
an
;
¸si
an R = lim , n→∞ an+1
ˆın cazul cˆand exist˘a limitele care apar ˆın aceste formule.
24
CAPITOLUL 5. S ¸ IRURI S ¸ I SERII DE FUNCT ¸ II.
Teorema 5.3.1 (Teorema razei de convergent¸a ˘ a lui Abel) Fie seria de n puteri an x avˆ and raza de convergent ¸˘ a R [0, ) .
∈ ∞ ∩{∞}
n 0
≥
i) Dac˘ a R > 0, atunci seria de puteri converge absolut pentru orice x cu x < R. ii) Dac˘ a R < , atunci seria de puteri este divergent˘ a pentru orice x cu x > R. iii) Dac˘ a R > 0 ¸si 0 < r < R, atunci seria de puteri este uniform convergent˘ a pe intervalul [ r, r].
|| ||
∞
−
Observat¸ia 5.3.2 Din teorem˘ a rezult˘a c˘a dac˘a R = 0, domeniul de convergent¸a˘ al seriei de puteri se reduce la mult¸imea 0 , iar dac˘a R = , domeniul de convergent¸a˘ este R. Dac˘a 0 < R < , ˆın general nu se poate spune numic despre convergent¸a ˆın punctele R. Sunt serii care converg ˆın unul sau ambele puncte, precum ¸si serii care diverg ˆın ambele puncte.
∞
±
Teorema 5.3.2 O funct ¸ie f : (x0
∈
{}
∞
− R, x0 + R) → R,
−
f (x) =
n 0
an (x
≥
n
− x0) ,
x (x0 R, x0 + R), unde R > 0 este raza de convergent ¸˘ a a serie de puteri, este indefinit derivabil˘ a pe intervalul (x0 R, x0 + R) ¸si
−
1 f (k) (x0 ), ( ) k N. k! Definit¸ia 5.3.3 Fie funct ¸ia f : D R, D R. Presupunem c˘ a exist˘ a un punct a D, astfel ˆıncˆ at, f admite derivate de orice ordin ˆın punctul a. Seria de puteri centrat˘ a ˆın a 1 (n) f (a)(x a)n , n! n≥0
·
ak =
∀ ∈
→
∈
⊂
−
se nume¸ste seria Taylor a funct ¸iei f ˆın punctul a. Dac˘ a a = 0, atunci aceast˘ a serie se mai nume¸ste ¸si serie MacLaurin. Dezvolt˘ arile Mc Laurin ale principalelor funct¸ii elementare sunt urm˘atoarele:
∞ xn x x2 exp(x) = 1 + + + ... = , 1! 2! n! n=0 ∞ ( 1)n−1
−
ln(1 + x) =
n
n=1
(1 + x)r =
∞
n=0
unde
3
r n
r n
xn ,
∀ ∈ (−1, 1), r > 0, r(r − 1) . . . (r − n + 1) :=
5
− x3! + x5! + . . . =
cos x := 1
− x2! + x4! − . . . =
4
∀ ∈ (−1, 1),
( )x
xn , ( ) x
sin x := x
2
∀ ∈ R,
( )x
r!
( 1)2n+1 2n+1 x , (2n + 1)! n≥0
− −
·
( 1)2n 2n x , (2n)! n≥0
·
(x
∈ R),
(x
∈ R).
Capitolul 6
Spat ¸iul Rn 6.1
Structura vectorial˘ a a lui R n
Definit¸ia 6.1.1 Not˘ am prin Rn , n 1 produsul cartezian R . . . R, (de n ori). Spat ¸iul Rn se nume¸ste spat¸iul aritmetic n-dimensional. Elemenetele lui Rn se numesc puncte sau vectori. Orice element x Rn se reprezint˘ a sub forma x = (x1 , . . . , xn ), unde xi R, (1 i n) se numesc componentele lui x. Pe spat ¸iul Rn se introduc urm˘ atoarele dou˘ a operat ¸ii:
≥
∈
n
× ×
∈
≤ ≤
n
n
• adunarea + : R × R → R , definit˘ a prin: x + y := (x1 + y1 , . . . , x + y ), (∀) x = (x1 , . . . , x ) ∈ R , (∀) y = = (y1 , . . . , y ) ∈ R ¸si • amplificarea cu scalar: R × R → R , (notat˘ a prin juxtapunerea open
n
n
n
n
n
n
n
ranzilor), definit˘ a prin:
∀
λx := (λx1 , . . . , λ xn ), ( ) x = (x1 , . . . , xn )
n
∈ R , (∀) λ ∈ R.
Ment¸ion˘am c˘a vom nota ˆıntotdeauna elementele spact¸iului Rn , n 2 cu litere ˆıngro¸sate, eventual indiciate: a, b, x, a1 , a2 ¸s.a.m.d., ˆın timp ce numerele reale le vom nota ˆıntotdeauna cu litere normale, eventual indiciate: a, b, x, a1 , a2 , ¸s.a.m.d.
≥
Se observ˘a imediat c˘a Rn ˆınzestrat cu operat¸iile de adunare ¸si amplificare cu scalar este un spat¸iu vectorial. Not˘ am 0 = (0, . . . , 0) Rn . Avem ( 1)x = x ¸si 0x = 0, pentru orice x Rn . Pentru orice indice 1 i n, not˘am cu ei , vectorul ei = (0, . . . , 1, . . . , 0), unde 1 apare pe pozit¸ia a i-a. Mult¸imea e1 , . . . , en , formeaz˘ a baza canonic˘a a n n spat¸iului R . Orice x = (x1 , . . . , xn ) R , admite o unic˘a reprezentare ˆın raport cu aceast˘a baz˘a ¸si anume x = x1 e1 + . . . + xn en .
∈
∈
−
≤ ≤
{
∈
− }
Definit¸ia 6.1.2 Introducem urm˘ atoarele tipuri de mult ¸imi speciale ˆın Rn : n
• Dac˘ a a, b ∈ R , se nume¸ste segmentul de capete a ¸si b, mult ¸imea [a, b] := {ta + (1 − t)b| t ∈ [0, 1]}. 25
CAPITOLUL 6. SPAT ¸ IUL RN
26 n
• O mult ¸ime C ⊂ R se nume¸ste convex˘a, dac˘ apentru orice puncte a, b ∈ C , avem [a, b] ⊂ C . • Dac˘ a a, v ∈ R , v = 0, se nume¸ste dreapta ce trece prin a ¸si de direct ¸ie v, mult ¸imea {a + tv| t ∈ R}. De asemenea, mult ¸imea {a + tv| t ∈ [0, ∞)} se nume¸ste semidreapta de n
cap˘ at a ¸si de sens v.
Definit¸ia 6.1.3 Pentru indicii 1 i n, funct ¸iile πi : Rn R, definite prin n πi (x1 , . . . , xn ) = xi , (x1 , . . . , xn ) R , se numesc funct ¸iile proiect¸ie de indice i.
∈
≤ ≤
→
Definit¸ia 6.1.4 Fie funt ¸ia f : D Rn , unde D este o mult ¸ime oarecare. Pentru R, funct indicii 1 i n, not˘ am cu f i : D ¸iile f i := πi f . Funct ¸iile f i se numesc funct¸iile componente de indice i ale funct ¸iei f .
→
≤ ≤
→
◦
Observ˘ am c˘a funct¸ia f considerat˘a ˆın definit¸ia precedent˘a, admite reprezentarea f = (f 1 , . . . , fn ).
Topologia spat ¸iului Rn . Generalit˘ at¸i
6.2
Definit¸ia 6.2.1 Se nume¸ste norma unui element x num˘ arul real pozitiv: x := x21 + . . . + x2n .
n
∈R,
x = (x1 , . . . , xn ),
Propozit ¸ia 6.2.1 Norma are urm˘ atoarele propriet˘ at ¸i: a) x = 0, dac˘ a ¸si numai dac˘ a x = 0, cˆ and x Rn . b) λx = λ x , pentru orice x Rn ¸si λ R. (Proprietatea de omogenitate) c) x + y x + y , pentru orice x, y Rn . ( Inegalitatea triunghiului sau Inegalitatea lui Minkowski).
| | ≤
∈
∈
∈
∈
Propozit ¸ia 6.2.2 Pentru orice punct x 1 i n avem
≤ ≤
n
∈ R , x = (x1, . . . , x ), ¸si orice indice n
|x | ≤ x ≤ i
n
| |
x j .
(6.1)
j =1
Definit¸ia 6.2.2 Pentru x, y Rn , num˘ arul d(x, y) := distant¸a dintre punctele x ¸si y.
∈
Propozit ¸ia 6.2.3 Distant ¸a are urm˘ atoarele propriet˘ at ¸i: a) d(x, y) = 0, dac˘ a ¸si numai dac˘ a x = y, x, y Rn . b) d(x, y) = d(y, x), pentru orice x, y Rn . c) d(x, z) d(x, y) + d(y, z), pentru orice x, y, z Rn .
≤
∈
∈
∈
x − y
se nume¸ste
˘ ¸ I 6.2. TOPOLOGIA SPAT ¸ IULUI RN . GENERALIT AT
Definit¸ia 6.2.3 Dac˘ a a ¸si de raz˘ a r, mult ¸imea
n
∈R
27
¸si r > 0, se nume¸ste sfer˘a deschis˘ a de centru a n
{ ∈ R | y − x < r }.
B(a, r) := y Definit¸ia 6.2.4 Mult ¸imea A astfel ˆıncˆat A B(0, R).
⊂
n
⊂R
se nume¸ste marginit˘ a, dac˘ a exist˘ a R > 0,
Definit¸ia 6.2.5 Se nume¸ste vecin˘ atate a unui punct a Rn , orice mult ¸ime n V R cu proprietatea c˘ a exist˘ a un num˘ ar r > 0, astfel ˆıncˆat B(a, r) V . Not˘ am cu a familia vecin˘ at˘ at ¸iilor lui a.
⊂
∈
V
⊂
Sferele deschise centrate ˆıntr-un punct a sunt cele mai simple vecin˘at˘a¸t i ale punctului a. Definit¸ia 6.2.6 O mult ¸ime A Rn se nume¸ste mult¸ime deschis˘ a, dac˘ a pentru pentru orice a A, exist˘ a r > 0, astfel ˆıncˆat B(a, r) A, (sau echivalent, dac˘ a A este vecin˘ atate pentru toate punctele sale).
⊂
∈
⊂
Propozit ¸ia 6.2.4 Familia mult ¸imile deschise are urm˘ atoarele propriet˘ at ¸i: n a) Mult ¸imea vid˘ a si spat ¸iul R sunt mult ¸imi deschise. b) O reuniune arbitrar˘ a de mult ¸imi deschise este o mult ¸ime deschis˘ a. c) Intersect ¸ia a dou˘ a mult ¸imi deschise este o mult ¸ime deschis˘ a.
∅
⊂ P
O familie de mult¸imi τ (X ), unde X este o mult¸ime oarecare, care verific˘a condit¸ iile a), b), c), din Propozit¸ia 6.2.4 se nume¸ste spat¸iu topologic. Deci ˆın Propozit¸ia 6.2.4 am demostrat c˘a spat¸iul Rn , ˆınzestrat cu familia de mult¸imi deschise, a¸sa cum au fost definite ˆın Definit¸ia 6.2.6, este un spat¸iu topologic. Definit¸ia 6.2.7 O mult ¸ime din Rn se nume¸ste ˆınchis˘ a, dac˘ a complementara sa este o mult ¸ime deschis˘ a. Definit¸ia 6.2.8 Fie A
n
⊂R
¸si a
n
∈ R . Punctul a se nume¸ste:
• punct interior al lui A, dac˘ a exist˘ a r > 0 astfel ˆıncˆat B(a, r) ⊂ A • punct aderent al lui A, dac˘ apentru orice r > 0, avem B(a, r) ∩ A = ∅. • punct de acumulare al lui A, dac˘ apentru orice r > 0, avem ∅. B(a, r) ∩ A \ {a} = Definit¸ia 6.2.9 Fie A
n
⊂ R . Definim:
• interiorul lui A, notat cu A◦ , mult ¸imea punctelor interioare ale lui A, • aderent¸a sau ˆınchiderea lui A, notat˘ a cu A, mult ¸imea punctelor aderente ale lui A.
CAPITOLUL 6. SPAT ¸ IUL RN
28
6.3
S ¸ iruri ˆın spat¸iul Rn
Definit¸ia 6.3.1 Un ¸sir (xk )k∈N se nume¸ste convergent, dac˘ a exist˘ a a Rn , astfel ˆıncˆ at, limk→∞ xk a = 0. ˆ In acest caz punctul a se nume¸ste limita ¸sirului (xk )k∈N ¸si se noteaz˘ a cu limk→∞ xk .
∈
−
Propozit ¸ia 6.3.1 Fie ¸sirul (xk )k∈N , unde xk = (xk 1 , . . . , xk n ), k punctul a Rn , a = (a1 , . . . , an ). Sunt echivalente: i) limk→∞ xk = a, ii) limk→∞ xk i = ai , pentru orice indice 1 i n.
∈
∈ N ¸si
fie
≤ ≤
Cu a jutorul ¸sirurilor putem caracteriza punctele aderente, punctele de acumulare ¸si mult¸imile ˆınchise. Propozit ¸ia 6.3.2 Fie A Rn ¸si a Rn Avem: i) a este punct aderent al mult ¸imii A, dac˘ a ¸si numai dac˘ a, exist˘ a un ¸sir (xk )k∈N , de puncte din A, convergent la a. ii) a este punct de acumulare al mult ¸imii A, dac˘ a ¸si numai dac˘ a exit˘ a un ¸sir de puncte (xk )k∈N , din A a , convergent la a.
⊂
∈
\{ }
Propozit ¸ia 6.3.3 O mult ¸ime A Rn este ˆınchis˘ a, dac˘ a ¸si numai dac˘ a orice ¸sir convergent de puncte din A are limita ˆın A.
⊂
6.4
Mult ¸imi compacte ¸ si mult¸imi conexe
Numim acoperire cu deschi¸si a unei mult¸imi A deschise Di , i I cu proprietatea c˘a A i∈I Di .
{
∈ }
⊂
n
⊂ R , o familie de mult¸imi
Definit¸ia 6.4.1 O mult ¸ime A Rn se nume¸ste compact˘a, dac˘ a din orice acoperire cu deschi¸si a lui A se poate extrage o subacoperire finit˘ a, adic˘ a dac˘ a A i∈I Di cu Di deschi¸si, exist˘ a indicii i1 , . . . , ik , astfel ˆıncˆ at A Di1 . . . Dik .
⊂
⊂
Teorema 6.4.1 (Borel-Lebesque) Fie A i) A este compact˘ a, ii) A este m˘ arginit˘ a ¸si ˆınchis˘ a.
∪ ∪
⊂
n
⊂ R . Sunt echivalente:
Definit¸ia 6.4.2 O mult ¸ime A Rn se nume¸ste conex˘ a, dac˘ a nu exist˘ a dou˘ a mult ¸imi deschise D1 , D2 cu propriet˘ at ¸ile: a) A D1 = ¸si A D2 = , b) A D1 D2 ¸si c) A D1 D2 = . ˆ In caz contrar, mult ¸imea A se nume¸ste disconex˘a.
∩ ∅ ⊂ ∪ ∩ ∩
∩
⊂ ∅
∅
Teorema 6.4.2 Orice mult ¸ime convex˘ a A
n
⊂R
este conex˘ a.
Teorema 6.4.3 O mult ¸ime din R este conex˘ a, dac˘ a ¸si numai dac˘ a ea este un interval.
Capitolul 7
Limit˘ a¸ si continuitate. Funct¸iile care vor interveni ˆın acest capitol vor fi de forma f : D Rm , unde D Rn , n, m 1. O astfel de funct¸ie se nume¸ste funct¸ie scalar˘ a dac˘a m = 1 a, dac˘a m 2. De asemenea, funct¸ia f se nume¸ste ¸si respectiv funct¸ie vectorial˘ de o variabil˘ a, dac˘a n = 1 ¸si de mai multe variabile, dac˘a n 2.
⊂
→
≥
7.1
≥
≥
Limite de funct¸ii
Definit¸ia 7.1.1 Fie funct Rm , D Rn , n 1, m 1 ¸si fie a Rn ¸ia f : D un punct de acumulare al lui D. Fie de asemenea l Rm . Spunem c˘ a l este limita funct ¸iei f ˆın punctul a, (sau ˆınc˘ a limita global˘ a a lui f ˆın a), dac˘ a, pentru orice vecin˘ atate V a lui l, exist˘ a o vecin˘ atate U a lui a, astfel ˆıncˆ at
→
f (U
⊂
≥ ∈
≥
∈
∩ D \ {a}) ⊂ V.
(7.1)
. Definit¸ia 7.1.2 Dac˘ a funct ¸ia f : D Rm , D Rn admite limit˘ a ˆın punctul a D , atunci limita sa, (despre care se poate ar˘ ata c˘ a este unic˘ a), se noteaz˘ a cu limx→a f (x).
→
∈
⊂
m
→
n
→ R , D ⊂ R , f = (f 1, . . . , f ), unde ∈ D ¸si l ∈ R , l = (l1, . . . , l ). Sunt
Propozit ¸ia 7.1.1 Fie funct ¸ia f : D f i : D R, (1 i m). Fie a echivalente: i) limx→a f (x) = l, ii) limx→a f i (x) = li , pentru orice 1
≤ ≤
m
m
m
≤ i ≤ m. ◦ Definit¸ia 7.1.3 Fie funct ¸ia f : D → R , D ⊂ R , a ∈D, v ∈ R, ; v = 0 ¸si l ∈ R . Spunem c˘ a l este limita dup˘a direct¸ia v a lui f ˆın punctul a, dac˘ a: m
n
m
lim f (a + tv) = l.
→0
t
ˆ In cazul particular cˆ and v = ei , 1 limita part¸ial˘ a de indice i.
(7.2)
≤ i ≤ n, atunci limita de mai sus se nume¸ste 29
˘ S CAPITOLUL 7. LIMIT A ¸ I CONTINUITATE.
30
Exemplul 7.1.1 Funct¸ia f : R2
\ {(0, 0)} → R, definit˘a prin
xy 2 f (x, y) := 2 , (x, y) x + y4
∈ R2.
are ˆın punctul (0, 0) limite dup˘a orice direct¸ie egale, dar nu admite limit˘a global˘ a. ˆIntr-adev˘ ar, s˘a consider˘am o dreapt˘ a arbitrar˘ a care trece prin origine. Ea poate fi reprezent˘a printr-o ecuat¸ie de forma y = mx, unde m R, sau prin x = 0. Limita ˆın punctul (0, 0), ˆın raport cu direct¸ia dreptei respective este ˆın primul mx3 caz: limx→0 f (x,mx) = limx→0 x2 + = limx→0 1+mx = 0, iar ˆın al doilea caz: m4 x4 m4 x2 limy→0 f (0, y) = limy→0 0 = 0. Pentru a constata c˘a f nu admite limit˘a global˘ a ˆın origine, s˘a lu˘am (xk , yk ) := 1 1 1 1 1 ( k2 , k ), k 1. Atunci limk→∞ f ( k2 , k ) = limk→∞ 2 = 12 .
∈
≥
∈◦
Propozit ¸ia 7.1.2 Fie funct ¸ia f : D Rm , D Rn ¸si a D. Dac˘ a f admite limita (global˘ a) l ˆın punctul a, atunci ea admite limite dup˘ a orice direct ¸ie v = 0 ˆın a ¸si toate sunt egale cu l.
→
⊂
Teorema 7.1.1 (Heine) Fie funct ¸ia f : D echivalente: i) exist˘ a limx→a f (x), ii) pentru orice ¸sir (xk )k∈N de puncte xk valorilor: (f (xk ))k∈N este convergent. Mai mult, ˆın cazul cˆ and acestea au loc, atunci
m
→R
, D
⊂R
n
¸si a
∈ D .
Sunt
∈ D \ {a}, convergent la a, ¸sirul
lim f (x) = lim f (xk ),
x
→a
k
→∞
pentru orice ¸sir (xk )k∈N ca mai sus. Teorema 7.1.2 (Criteriul Cauchy-Bolzano) Fie funct ¸ia f : D Rm , D Rn ¸si a D . Sunt echivalente: i) exist˘ a limx→a f (x), ii) pentru orice ε > 0 exist˘ a δε > 0, astfel ˆıncˆat pentru orice puncte x, y D a , astfel ˆıncˆat x a < δ ε , ¸si y a < δ ε , avem f (x) f (y) < ε.
⊂
→
∈
∈ \{ }
−
−
⊂ ∈
− a ∈ D , ¸si fie funct ¸iile
Propozit ¸ia 7.1.3 (Criteriul major˘ arii) Fie D Rn , f : D Rm ¸si ϕ : D R. Dac˘ a exist˘ a l Rm , astfel ˆıncˆ at i) f (x) l ϕ(x), pentru orice x V D a , unde V este o vecin˘ atate a punctului a, ii) limx→a ϕ(x) = 0, atunci exist˘ a limx→a f (x) = l.
→
7.2
− ≤
⊂ ∈ ∈ ∩ \{ }
→
Funct ¸ii continue ˆıntr-un punct
Definit¸ia 7.2.1 Spunem c˘ a o funct ¸ie f : D Rm , D Rn este continu˘ a (global) ˆın punctul a D, dac˘ a pentru orice vecin˘ atate V a lui f (a) exist˘ ao vecin˘ atate U a lui a astfel ˆıncˆ at f (U D) V .
∈
→
∩ ⊂
⊂
31
7.3. FUNCT ¸ II CONTINUE PE O MULT ¸ IME
Propozit ¸ia 7.2.1 Fie o funct ¸ie f : D Rm , D Rn ¸si punctul a D. Avem: i) Dac˘ a a este un punct izolat al lui D, atunci f este continu˘ a ˆın a. ii) Dac˘ a a este un punct de acumulare a lui D, atunci f este continu˘ a ˆın a, dac˘ a ¸si numai dac˘ a f are limit˘ a ˆın a ¸si limx→a f (x) = f (a).
→
⊂
∈
Propozit ¸ia 7.2.2 O funct ¸ie f : D Rm , D Rn , f = (f 1 , . . . , fm ) este continu˘ a ˆın punctul a D, dac˘ a ¸si numai dac˘ a toate funct ¸iile componente f i : D R, 1 i m, sunt continue ˆın a.
→
→
∈
≤ ≤
⊂
Propozit ¸ia 7.2.3 O funct ¸ie f : D Rm , D Rn este continu˘ a ˆın punctul a D, dac˘ a ¸si numai dac˘ a pentru orice ¸sir (xk )k∈N , de puncte din D, avem limk→∞ f (xk ) = f (a).
→
∈
⊂
Definit¸ia 7.2.2 Fie o funct Rm , D Rn , fie a = (a1 , . . . , an ) D ¸ie f : D ¸si fie un indice 1 i n. Spunem c˘ a f este continu˘ a part¸ial ˆın punctul a D, ˆın raport cu variabila de indice i, dac˘ a funct ¸ia part ¸ial˘ a ϕa,i (xi ) := = f (a1 , . . . , xi , . . . , an ), xi xi R (a1 , . . . , xi , . . . , an ) D , este continu˘ a ˆın punctul ai . De asemenea, spunem simplu, c˘ a f este continu˘ a part¸ial ˆın punctul a, dac˘ a ea este continu˘ a part ¸ial ˆın a ˆın raport cu toate variabilele.
→
≤ ≤
∈
⊂
∈
∈{ ∈ |
Propozit ¸ia 7.2.4 Dac˘ a funct ¸ia f : D atunci ea este continu˘ a part ¸ial ˆın a.
∈ }
m
→R
, D
n
⊂R
este continu˘ a global ˆın a,
Teorema 7.2.1 Fie D Rn , E Rm ¸si fie funt ¸iile f : D E ¸si g : E R p . Fie a D ¸si not˘ am cu b := f (a). Dac˘ a funct ¸ia f este continu˘ a ˆın punctul a, iar funct ¸ia g este continu˘ a ˆın punctul b, atunci funct ¸ia g f : D R p este continu˘ a ˆın punctul a.
⊂
∈
7.3
⊂
◦
→ →
→
Funct ¸ii continue pe o mult¸ime
Definit¸ia 7.3.1 Funct ¸ia f : D Rm , D ea este continu˘ a ˆın orice punct din D.
→
⊂R
Teorema 7.3.1 O funct ¸ie f : D Rm , D numai dac˘ a, pentru orice mult ¸ime deschis˘ a B n 1 − U R astfel ˆıncˆat f (B) = D U .
→ ∩
∈
n
se nume¸ste continu˘ a pe D dac˘ a n
⊂ R este continu˘ a pe D, dac˘ a ¸si ⊂ R , exist˘ a o mult ¸ime deschis˘ a m
Teorema 7.3.2 Dac˘ a D Rn este mult ¸ime compact˘ a ¸si dac˘ a funct ¸ia f : D m R este continu˘ a, atunci mult ¸imea f (D) este compact˘ a.
⊂
→
→
Corolarul 7.3.1 (Teorema lui Weierstrass) Dac˘ a D Rn este compact˘ a, atunci orice funct ¸ie continu˘ a f : D R este m˘ arginit˘ a ¸si ˆı¸si atinge marginile. Aceasta ˆınseamn˘ a c˘ a exist˘ a, m, M R, ¸si xm , xM D astfel ca i) m f (x) M , pentru orice x D ¸si ii) m = f (xm ), M = f (xM ).
≤
≤
→ ∈ ∈
⊂
∈
˘ S CAPITOLUL 7. LIMIT A ¸ I CONTINUITATE.
32
Teorema 7.3.3 Dac˘ a D Rn este mult ¸ime conex˘ a, iar funct ¸ia f : D continu˘ a, atunci mult ¸imea f (D) este conex˘ a.
⊂
m
→R
este
Definit¸ia 7.3.2 Funct ¸ia f : D Rm , D Rn se nume¸ste uniform continu˘ a pe D dac˘ a, pentru orice ε > 0, exist˘ a δε > 0, astfel ˆıncˆ at pentru orice x, y D, cu x y < δ ε s˘ a avem f (x) f (y) < ε.
−
→ −
⊂
∈
Teorema 7.3.4 Orice funct ¸ie continu˘ a definit˘ a pe o mult ¸ime compact˘ a, f : D m n R , D R , este uniform continu˘ a pe domeniul de definit ¸ie D.
→
⊂
→
Definit¸ia 7.3.3 O funct ¸ie f : D Rm , D Rn , se nume¸ste lipschitzian˘ a pe D dac˘ a exist˘ a o constant˘ a M > 0, astfel ˆıncˆat
→
⊂
f (x) − f (y) ≤ M · x − y, pentru orice puncte x, y ∈ D. (7.3) Propozit ¸ia 7.3.1 Orice funct ¸ie f : D → R , D ⊂ R , care este lipschitzian˘ a pe m
n
D este uniform continu˘ a pe D ¸si orice funt ¸ie uniform continu˘ a este continu˘ a.
7.4
Aplicatii liniare
Definit¸ia 7.4.1 O aplicat ¸ie L : Rn Rm , n, m 1, se nume¸ste liniar˘ a dac˘ a ˆındepline¸ste condit ¸ia L(ax + by) = aL(x) + bL(y), pentru orice x, y n R , ¸si orice a, b R. Not˘ am cu (Rn , Rm ), mult ¸imea aplicat ¸iilor liniare din Rn ˆın Rm .
→
∈
≥
∈
L
Vom prezenta ˆın continuare reprezentarea matriceal˘a ˆın raport cu bazele canonice a aplicat¸iilor liniare. Fie e1 , . . . , en , baza canonic˘a a spat¸iului Rn ¸si fie e1 , . . . , em , baza canonic˘a a spat¸iului Rm . Dac˘a L (Rn , Rm ), atunci pentru orice 1 j n exist˘a o reprezentare unic˘a
{
{
} ≤ ≤
}
∈L
m
L(e j ) =
ai,j ei .
i=1
Matricea A := (ai,j ) 1≤i≤m , de ordin (m, n) se nume¸ste matricea ata¸sat˘ a 1 j n
≤≤
aplicat¸iei liniare L, ˆın raport cu bazele canonice. Reprezentare matriceal˘ a a operatorilor liniari este: L(x) =
y1 .. .
=
ym
Definit¸ia 7.4.2 Pentru orice L
a1,1 . . . a1,n ......... am,1 . . . am,n n
m
x1 .. .
.
xn
∈ L(R , R ) not˘ am L := inf {M | L(x) ≤ M x, (∀) x ∈ R }. n
Num˘ arul L se nume¸ste norma operatorului L. Teorema 7.4.1 Pentru orice L (Rn , Rm ) ¸si orice x Rn , avem L(x) x . ˆ L In consecint ¸˘ a orice aplicat ¸ie liniar˘ a este lipschitzian˘ a.
·
∈L
∈
≤
Capitolul 8
Calculul diferent¸ial 8.1
Derivate part ¸iale
∈◦
Definit¸ia 8.1.1 Fie D Rn , f : D R, a D, a = (a1 , . . . , an ). Not˘ am argument ¸ii funct ¸iei f cu x1 , . . . , xn . Spunem c˘ a funct ¸ia f este derivabil˘ a part¸ial ˆın raport cu variabila xi , 1 i n, ˆın punctul a dac˘ a exit˘ a num˘ arul ∂ f R astfel ˆıncˆat are loc urm˘ atoarea limit˘ a (de funct ¸ie real˘ a ¸si de variabil˘ a ∂ x i (a) real˘ a):
⊂
→ ≤ ≤
∈
∂ f f (a1 , . . . , ai−1 , xi , ai+1, . . . , an ) (a) = lim xi →ai ∂ xi xi ai
−
− f (a1, . . . , a ) . n
Num˘ arul ∂∂xf i (a), notat ¸si f x i (a) se nume¸ste derivata part¸ial˘ a a funct¸iei f ˆın raport cu variabila xi , ˆın punctul a. Dac˘ a funct ¸ia f admite derivate part ¸iale ˆın punctul a ˆın raport cu toate variabilele xi , (1 i n), atunci f se nume¸ste derivabil˘ a part¸ial ˆın punctul a.
≤ ≤
∈◦
Definit¸ia 8.1.2 Fie D Rn , a D, v Rn , v = 0. Fie de asemenea funct ¸ia m vectorial˘ a f : D R , f = (f 1 , . . . , fm ), f i : D R, (1 i m). Not˘ am argument ¸ii funct ¸iei f cu x1 , . . . , xn . Spunem c˘ a funct ¸ia f admite derivat˘ a part¸ial˘ a ˆın punctul a ˆın raport cu variabila xi , dac˘ a pentru orice indice (1 j m), ∂fj exist˘ a ∂ x i (a).
→
⊂
∈
→
≤ ≤
≤ ≤
Deoarece derivabilitatea part¸ial˘ a a funct¸iilor vectoriale se reduce imediat, prin definit¸ia dat˘a la derivabilitatea funct¸iilor scalare componente, ˆın continuare vom trata doar cazul funct¸iilor cu valori reale.
∈◦
Propozit ¸ia 8.1.1 Fie D Rn , a D ¸si f : D R. Dac˘ a f este derivabil˘ a part ¸ial ˆın raport cu variabila xi ˆın punctul a, atunci f este continu˘ a part ¸ial ˆın raport cu variabila xi ˆın punctul a.
⊂
∈◦
→
Definit¸ia 8.1.3 Fie D Rn , a D ¸si fie funct ¸iile f i : D R, 1 i m derivabile part ¸ial ˆın punctul a. Not˘ am argument ¸ii acestor funct ¸ii cu variabilele
⊂
→
33
≤ ≤
34
CAPITOLUL 8. CALCULUL DIFERENT ¸ IAL
∈{
}
x1 , . . . , xn . Pentru orice indici j1 , . . . , jm 1, . . . , n , definim ( dup˘ a numele lui C. Jacobi), Jacobianul funct ¸iilor f 1 , . . . , fm ˆın raport cu variabilele x j1 , . . . , x jm , determinantul de ordin m D(f 1 , . . . , fm ) (a) := D(x j1 , . . . , x jm )
∈◦
∂ f 1 ∂ x j1 (a)
... .. .. . . ∂ f m ∂ x j (a) . . . 1
∂ f 1 ∂ x jm (a)
.. .
∂ f m ∂ x jm (a)
.
Definit¸ia 8.1.4 Fie D Rn , a D ¸si f : D R. Dac˘ a f este derivabil˘ a part ¸ial ˆın punctul a, numim gradientul lui f ˆın punctul a, vectorul
⊂
f (a) :=
→
∂ f ∂ f (a), . . . , (a) . ∂ x1 ∂ xn
Gradientul lui f ˆın a se mai noteaz˘ a ¸si prin grad f (a).
∈◦
Definit¸ia 8.1.5 Fie D R3 , a D ¸si f : D R3 , f = (P,Q,R). Not˘ am argument ¸ii lui f cu x, y, z. Dac˘ a f este derivabil˘ a part ¸ial ˆın punctul a, atunci definim: i) rotorul lui f ˆın punctul a, ca fiind vectorul
⊂
rot f (a) :=
∂R (a) ∂y
−
∂Q ∂ P (a), (a) ∂z ∂z
→
−
∂R ∂Q (a), (a) ∂x ∂x
−
∂ P (a) . ∂y
¸si ii) divergent ¸a lui f ˆın punctul a, ca fiind num˘ arul real div f (a) :=
8.2
∂ P ∂Q ∂R (a) + (a) (a). ∂x ∂y ∂z
·
Diferent ¸iabilitatea
∈◦
Definit¸ia 8.2.1 Fie D Rn , a D ¸si f : D Rm . Spunem c˘ a funct ¸ia f este n diferent¸iabil˘ a ˆın punctul a, dac˘ Rm astfel a exist˘ a un operator liniar L : R ca s˘ a existe limita (ˆın Rm ):
⊂
lim
x
→a
f (x)
→
→
− f (a) − L(x − a) = 0. x − a
(8.1)
ˆ In acest caz, operatorul L se nume¸ste diferent¸iala funct ¸iei f ˆın punctul a ¸si se noteaz˘ a prin df (a). Observat¸ia 8.2.1 Condit¸ia de diferent¸iablitate poate fi exprimat˘a echivalent, astfel: exist˘a o funct¸ie ω : D Rm , astfel ca s˘a avem
→ f (x) = f (a) + df (a)(x − a) + x − aω(x), (∀) x ∈ D ¸si
lim ω(x) = 0.
x
→a
(8.2)
35
8.2. DIFERENT ¸ IABILITATEA
Definit¸ia 8.2.2 O funct ¸ie f : D Rm , D Rn , D deschis, se nume¸ste diferent¸iabil˘ a pe D, dac˘ a f este diferent ¸iabil˘ a ˆın orice punct a D.
→
∈
∈◦
→
∈
Propozit ¸ia 8.2.1 Fie D Rn , a D ¸si f : D Rm , f = (f 1 , . . . , fm ). Funct ¸ia f este diferent ¸iabil˘ a ˆın punctul a dac˘ a ¸si numai dac˘ a toate funct ¸iile componente ˆ f i : D R, 1 i m sunt diferent ¸iabile ˆın a. In plus, ˆın acest caz avem df (a) = (df 1 (a), . . . , df m (a)).
⊂
→
≤ ≤
∈◦
Teorema 8.2.1 Fie D Rn , a D ¸si f : D R. Dac˘ a f este diferent ¸iabil˘ a ˆın punctul a, atunci ea este derivabil˘ a part ¸ial ˆın a ¸si ˆın plus funct ¸ia liniar˘ a df (a) : n R R este definit˘ a prin:
⊂
→
→
n
df (a)(h1 , . . . , hn ) =
∂ f (a) h j , ∂ x j j =1
( ) (h1 , . . . , hn )
·
∀
n
∈R .
(8.3)
Observat¸ia 8.2.2 Notat¸ia clasic˘a a diferent¸ialei este: n
df (a) =
∂ f (a)dx j . ∂ x j j =1
(8.4)
∈◦
Definit¸ia 8.2.3 Dac˘ a D Rn , a D ¸si funct ¸ia f : D este derivabil˘ a part ¸ial ˆın punctul a, atunci matricea
⊂
J(f, a) :=
∂ f 1 ∂ x 1 (a)
.. .
... .. .
∂ f 1 ∂ x n (a)
∂ f m (a) ∂ x1
...
∂ f m (a) ∂ xn
.. .
→R
m
, f = (f 1 , . . . , fm )
se nume¸ste matricea lui Jacobi a funct ¸iei f ˆın punctul a. Teorema 8.2.2 Fie D Rn , E Rm ¸si funct ¸iile f : D E ¸si g : E R p . ◦ ◦ Fie punctele a D ¸si b E astfel ca b = f (a). Dac˘ a funct ¸ia f este diferent ¸iabil˘ a ˆın punctul a, iar funct ¸ia g este diferent ¸iabil˘ a ˆın punctul b, atunci funct ¸ia g f : p D R este diferent ¸iabil˘ a ˆın punctul a ¸si
⊂ ∈
∈
⊂
→
→
◦
→
◦
◦
d(g f )(a) = dg(b) df (a). Propozit ¸ia 8.2.2 (Formula deriv˘ arii funct¸iilor compuse) Fie D
⊂R
m
∈
¸si funct ¸iile f : D
◦
→ E,
(8.5) n
⊂ R , E ⊂◦ f = (f 1 , . . . , f ), g : E →. Fie punctele a ∈D m
¸si b E astfel ca b = f (a). Not˘ am cu x1 , . . . , xn argument ¸ii funct ¸iei f ¸si cu y1 , . . . , ym , argument ¸ii funct ¸iei g. Dac˘ a funct ¸iile f 1 , . . . , fm sunt diferent ¸iabil˘ a ˆın punctul a, iar funct ¸ia g este diferent ¸iabil˘ a ˆın punctul b, atunci funct ¸ia compus˘ a h:D R, h = g f are derivatele part ¸iale:
→
◦
∂h (a) = ∂ x j
m
∂g ∂ f i (b) (a), ∂ yi ∂ x j i=1
·
1
≤ j ≤ n.
(8.6)
36
CAPITOLUL 8. CALCULUL DIFERENT ¸ IAL 2
f Exemplul 8.2.1 S˘ a se calculeze ∂∂ f si ∂ , pentru funct¸ia f (x, y) := xϕ( xy , xy), x ¸ ∂x 2 unde ϕ : R2 R este o funct¸ie diferent¸iabil˘ a.
→
Not˘am argument¸ii lui ϕ prin u, v. Pentru simplificare, ˆın calculele care urmeaz˘a, nu mai scriem argument¸ii funct¸iilor, ace¸stia fiind subˆant¸ele¸si. Aceast˘a simplificare a scrierii este uzual˘a ˆın calculele cu derivate part¸iale. Avem ∂∂ f x = ϕ + x ∂∂ ϕu ∂∂ ux + ∂∂ ϕv ∂∂ xv = ϕ + xy ∂∂ ϕu + xy ∂∂ ϕv . 2
∂ f = ∂∂ ϕu ∂x 2 ∂ϕ ∂ +xy ∂u ∂v
· ·
8.3
∂u + ∂∂ ϕv ∂x ∂u ∂ ∂ x + ∂v
·
∂v ∂x ∂ϕ ∂v
+
1 ∂ϕ
+
y ∂u ∂v 2 ∂x = y
·
x y
·
··
·
∂ϕ ∂ ∂u + ∂u ∂ u ∂x ∂ϕ ∂ϕ x ∂ u + 2y ∂ v + y 2
∂ϕ ∂ ∂v ∂v ∂ u ∂x ∂ 2 ϕ 2 ∂ 2 ϕ + xy 2 ∂u ∂v 2
·
+ y ∂∂ ϕv + 2
∂ + 2x ∂u∂v.
Derivate part ¸iale ¸ si diferent ¸iale de ordin superior ◦ n m
⊂
∈
→
Definit¸ia 8.3.1 Fie D R , a D ¸si f : D R . Not˘ am variabilele lui f cu x1 , . . . , xn . Spunem c˘ a f admite derivat˘ a part¸ial˘ a de ordinul k, k 2, ˆın ∂ k f punctul a, ˆın raport cu variabilele xi1 , . . . , xik , notat˘ a ∂x i ...∂xi (a), sau cu
≥
k
(k)
1
f xi1 ,...,xik (a), dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate V a punctului a, astfel ca s˘ a existe derivata k−1 f
part ¸ial˘ a ∂x i ∂
k−1
...∂xi1 (x),
cˆ and x
∈ V ¸si aceasta s˘ a fie derivabil˘ apart ¸ial ˆın raport cu
variabila xik ˆın punctul a, adic˘ a
∂ k f ∂ (a) := ∂x ik . . . ∂ xi1 ∂x ik
∂ k−1 f ∂x ik−1 . . . ∂ xi1
(a).
De asemenea, spunem c˘ a funct ¸ia f este diferent¸iabil˘ a de ordinul k ˆın punctul a, dac˘ a f admite toate derivatele part ¸iale de ordinul k ˆın punctul a. Definit¸ia 8.3.2 O funct Rm , unde D Rn este un deschis, se ¸ie f : D nume¸ste derivabil˘ a part¸ial de ordinul k pe D, k 1 dac˘ a f este derivabil˘ a part ¸ial de ordinul k ˆın orice punct a D. Dac˘ a f admite derivate part ¸iale de k a C pe D. Not˘ ordinul k continue pe D spunem c˘ a funct ¸ia f este de clas˘ am cu k m k C (D, R ), ¸si simplu cu C (D), dac˘ a m = 1, mult ¸imea funct ¸iilor de clas˘ a C k pe D.
→
⊂ ≥
∈
∈◦
Definit¸ia 8.3.3 Fie D Rn , a D ¸si f : D Rm . Spunem c˘ a f este diferent¸iabil˘ a de ordinul k, k 2 ˆın punctul a, dac˘ a f admite pe o vecin˘ atate a lui a toate derivatele part ¸iale de ordinul k 1, ¸si dac˘ a aceste derivate part ¸iale sunt diferent ¸iabile ˆın punctul a.
⊂
≥
→
−
∈◦ →
Definit¸ia 8.3.4 Fie D Rn , a D ¸si f : D R diferent ¸iabil˘ a ˆın punctul a. Numim diferent¸iala de ordinul k a funct¸iei f ˆın punctul a, notat˘ a dk f (a), R, definit˘ aplicat ¸ia dk f (a) : Rn . . . Rn a prin
⊂
× × k
ori
n
k
→
d f (a)(h1 , . . . , hk ) =
...
i1 =1
pentru orice h1 , . . . hk
n
∈R
n
ik
∂ k f (a) h1,i1 . . . hk,ik , ∂x . . . ∂ x i i 1 k =1
, unde h j = (h j,1 , . . . , h j,n ), (1
≤ j ≤ k).
37
8.4. POLINOMUL LUI TAYLOR. EXTREME
∈◦
Teorema 8.3.1 Fie D Rn , a D ¸si f : D R. Dac˘ a f admite derivate part ¸iale de ordinul k pe o vecin˘ atate a punctului a, ¸si dac˘ a acestea sunt continue ˆın punctul a, atunci f este diferent ¸iabil˘ a de ordinul k ˆın a.
⊂
→
∈◦
Teorema 8.3.2 (Schwartz) Fie D R2 , f : D R ¸si (a, b) D. Not˘ am 2 2 ∂ f ∂ f cu x ¸si y argument ¸ii lui f . Dac˘ a f admite dertivatele part ¸iale ∂x∂y ¸si ∂y∂x pe o vecin˘ atate a punctului (a, b) ¸si dac˘ a acestea sunt continue ˆın punctul (a, b), atunci avem ∂ 2 f ∂ 2 f (a, b) = (a, b). ∂x∂y ∂y∂x
⊂
→
Definit¸ia 8.3.5 Cu notat ¸iile din Definit ¸ia 8.3.4, not˘ am dk f (a) hk := dk f (a)(h, . . . , h),
·
h := (h1 , . . . , hn ).
k
ori
Dac˘ a ˆın plus, derivatele part¸iale de ordinul k sunt simetrice, atunci diferent¸iala admite, cu notat¸iile din Definit¸ia 8.3.4 o reprezentare de forma: dk f (a) hk =
·
j1 +...+jn =k
k! ∂ k f (a) (h1 ) j1 . . . (hn ) jn , ( j1 )! . . . ( jn )! ∂ j1 x1 . . . ∂ j n xn
·
·
ji 0, 1 i n
≥ ≤≤
unde h = (h1 , . . . , hn ) Rn . Pentru diferent¸iala de ordinul al doilea, rezult˘a imediat din Definit¸ia 8.3.4, urm˘ atoarea reprezentare:
∈
2
2
d f (a) h = (h1 , . . . , hn )H(f, a) h = (h1 , . . . , hn )
·
h1 .. .
,
hn
n
∈ R , unde H(f, a) :=
∂ 2 f ∂x i ∂x j
(a)
, 1 i,j n
≤ ≤
se nume¸ste matricea lui Hesse a funct¸iei f ˆın punctul a. Cu notat¸iile clasice diferent¸iala de ordinul doi se reprezinta sub forma: n
2
d f (a) =
8.4
∂ 2 f ∂ 2 f 2 (a)(dx ) + 2 (a) dxi dx j . i 2x ∂ ∂x ∂x i i j i=1 1≤i<≤n
(8.7)
Polinomul lui Taylor. Extreme ◦ n
Definit¸ia 8.4.1 Fie D R , a D ¸si f : D R, diferent ¸iabil˘ a de ordinul k ˆın punctul a. Numim polinomul lui Taylor de ordin k, k 0 ata¸sat funct ¸iei f n ˆın punctul a, funct ¸ia polinomial˘ a T a,k (f ) : R R, definit˘ a prin
⊂
T a,k (f )(x) = f (a) +
∈
1 df (a) (x 1!
→ →
≥
· − a) + . . . + k!1 d f (a) · (x − a) k
k
x
n
∈R .
38
CAPITOLUL 8. CALCULUL DIFERENT ¸ IAL
Teorema 8.4.1 (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange) Fie D Rn , D deschis ¸si convex. Fie f : D R, de clas˘ a C k+1 , k 0 pe D. Pentru orice puncte a, x D, exist˘ a un punct c [a, x], astfel ˆıncˆ at avem:
→
∈
≥
∈
f (x) = T a,k (f )(x) +
⊂
1 dk+1 (c) (x (k + 1)!
· − a) +1. k
Definit¸ia 8.4.2 Fie D Rn , a R. Spunem c˘ a punctul a D ¸si f : D este un punct de maxim local, (respectiv de minim local) al funct ¸iei f , dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate V a lui a astfel ca f (x) f (a), ( ) x V D, (respectiv f (x) f (a), ( ) x V D). Punctul a se nume¸ste de extrem local al lui f dac˘ a el este de maxim local sau este de minim local.
⊂
≥
∈
→
≤
∀ ∈ ∪
∈◦
∀ ∈ ∪
Teorema 8.4.2 Fie D Rn , a D ¸si f : D R. Dac˘ a a este punct de extrem local pentru funct ¸ia f ¸si dac˘ a f este diferent ¸iabil˘ a ˆın punctul a, atunci df (a) = 0.
⊂
→
∈◦
Teorema 8.4.3 Fie D Rn , a D ¸si f : D R de clas˘ a C 2 pe o vecin˘ atate deschis˘ a V D a punctului a. Presupunem c˘ a i) df (a) = 0 ¸si ii) forma p˘ atratic˘ a h d2 f (a) h2 , h Rn este pozitiv definit˘ a, (respectiv negativ definit˘ a). Atunci a este punct de minim local, (respectiv punct de maxim local) a lui f .
⊂
⊂
→
8.5
→
·
∈
Funct ¸ii implicite. Transform˘ ari regulate
Fie D Rn+m , n 1, m 1. Vom nota elementele lui D sub forma (x, y), n Rm , unde x = (x1 , . . . , xn ) R ¸si y = (y1 , . . . , ym ) Rm . Fie funct¸ia F : D F = (F 1 , . . . , Fm ). Ecuat¸iei F (x, y) = 0, (8.8)
⊂
≥
∈
≥
∈
→
⊂
∅
ˆıi corespunde o mult¸ime de solut¸ii M D. Dac˘a M = s˘a not˘ am M x := n m R ( )y R , astfel ca (x, y) = x M . Atunci pentru orice x M x m putem alege un y R , astfel ca (x, y) M . Cu alte cuvinte exist˘a funct¸ii m ϕ : M x R , astfel ca (x, ϕ(x)) M, x M x , adic˘a echivalent, F (x, ϕ(x)) = 0. Suntem condu¸si la urm˘atoarea definit¸ie.
{ ∈ |∃ ∈ ∈ →
∈ } ∈ ∈
∈
∈
Definit¸ia 8.5.1 Cu notat a definit˘ a ¸iile de mai sus, se nume¸ste funct¸ie implicit˘ m n de ecuat¸ia (11.1), orice funct ¸ie ϕ : E R , E R cu proprietatea c˘ a pentru orice x E s˘ a avem i) (x, ϕ(x)) D ¸si ii) F (x, ϕ(x)) = 0.
∈
→
⊂
∈
Putem privi funct¸iile implicite definite de ecuat¸ia (11.1) ca explicit˘ari ale vectorului y ˆın funct¸ie de vectorul x, sau echivalent ca ”rezolvarea” sistemului de ecuat¸ii F i (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0, 1 i m
≤ ≤
ˆın raport cu necunoscutele y1 , . . . , ym , ˆın funct¸ie de parametrii x1 , . . . , xn .
˘ REGULATE 8.5. FUNCT ¸ II IMPLICITE. TRANSFORM ARI
39
Exemplul 8.5.1 Fie n = 1, m = 1 ¸si funct¸ia F : R2 R, F (x, y) = x2 + y2 1, (x, y) R2 . Mult¸imea M a solut¸iilor ecuat¸iei F (x, y) = 0 este constituit˘a din punctele aflate pe cercul de raz˘a 1, centrat ˆın origine, iar proiect¸ia M x a acestei mult¸imi pe axa Ox este [ 1, 1]. Observ˘a m c˘a exist˘a doar dou˘ a funct¸ii implicite continue, definite pe [ 1, 1] de ecuat¸ia F (x, y) = 0 ¸si anume: ϕ1 (x) := 1 x2 ¸si ϕ2 (x) := 1 x2 . Mai mult observ˘am c˘a dac˘a se cunoa¸ste un punct (a, b), care verific˘ a condit¸ia F (a, b) = 1 ¸si dac˘a a = 1, atunci doar una dintre funct¸iile ϕ1 ¸si ϕ2 are graficul trecˆand prin punctul (a, b). Dac˘a ˆıns˘a a = 1, atunci prin punctul (a, b), trec graficele ambelor funct¸ii. De asemenea avem ∂∂ F ( 1, 0) = 0. y
→
∈
−
−
−√ −
−
√ −
±
±
±
Teorema 8.5.1 (Teorema funct ¸iilor implicite) Fie D Rn+m , n 1, m 1 ¸si fie funct ¸ia F : D Rm , F = (F 1 , . . . , Fm a exist˘ a un punct ). Presupunem c˘
∈
⊂
→
◦
≥
≥
(a, b) D, astfel ˆıncˆat: a) exist˘ a o vecin˘ atate W D a punctului (a, b) pe care funct ¸ia F admite derivate part ¸iale continue, b) F (a, b) = 0, F 1 ,...,F m ) c) D( D(y1 ,...,ym ) (a, b) = 0. Atunci exist˘ a o vecin˘ atate deschis˘ a U Rn a lui a ¸si o vecin˘ atate deschis˘ a m V R a lui b, ¸si o funct ¸ie unic˘ a ϕ : U V , ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm ) cu propriet˘ at ¸ile: i) ϕ(a) = b ¸si ii) pentru orice x U , avem (x, ϕ(x)) D ¸si F (x, ϕ(x)) = 0. De asemenea, iii) funct ¸ia ϕ este de clas˘ a C 1 pe U ¸si avem pentru orice 1 i m, 1 j n:
⊂
⊂ → ∈
⊂
∈
≤ ≤
∂ ϕi (x) = ∂ x j
1, . . . , F ) − D(y1, . . .D(F , y −1 , x , y +1 , . . . , y m
i
j
m)
i
(x, ϕ(x)) /
≤ ≤
D(F 1 , . . . , Fm ) (x, ϕ(x)). D(y1 , . . . , ym )
iv) Dac˘ a funct ¸ia F este de clas˘ a C k pe W , atunci ϕ este de clas˘ a C k pe U . Exemplul 8.5.2 S˘a se determine y ¸si y , pentru funct¸ia y(x), definit˘a implicit prin ecuat¸ia x3 + y3 3xy = 0.
−
Not˘am F (x, y) := x3 + y 3 y (x) = =
∂ ∂x
− ( 2− ) . xy y2 x
3
y (x) x2 y 2 (x) x
− −
− 3xy. Avem y(x) = −
=
∂ F ∂x ∂ F ∂y
(y 2 x)(y 2x) (2yy 1)(y x2 ) (y 2 x)2
−
− − −
−
−
y x2 . y2 x
− Apoi − +y +x )−2xy = −2xy(−3(xy = y −x)
(x, y) =
3
2
3
3
Definit¸ia 8.5.2 Fie D Rn un domeniu din Rn , adic˘ a o mult ¸ime deschis˘ a ¸si n conex˘ a. Fie f : D R , f = (f 1 , . . . , fn ), avˆ and argument ¸ii x1 , . . . , xn . Funct ¸ia a, ( sau schimbare de coordonate) pe D, f se nume¸ste transformare regulat˘ 1 dac˘ a f este de clas˘ a C pe D ¸si ˆın orice punct a D avem
→
⊂
∈
D(f 1 , . . . , fn ) (a) = 0. D(x1 , . . . , xn )
40
CAPITOLUL 8. CALCULUL DIFERENT ¸ IAL
Definit¸ia 8.5.3 Fie D Rn , unde n 2. Fie funct ¸iile f : D R ¸si F i : ◦ D Rm , (1 i m), cu 1 m < n. Spunem c˘ a punctul a D este punct de maxim local, (respectiv de minim local) al funct¸iei f cu leg˘ aturile F i (x) = 0, x D, (1 i m), dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate V D a punctului a, astfel ˆıncˆ at, pentru orice punct x V , cu proprietatea c˘ a F i (x) = 0, x D, (1 i m), s˘ a avem f (x) f (a), (respectiv f (x) f (a)). Un punct care este de maxim local sau de minim local cu leg˘ aturi, se nume¸ste punct de extrem local cu leg˘ aturi.
→ ∈
≤ ≤ ≤ ≤ ∈ ≤
⊂
≥
≤
∈
⊂
∈
≥
→
≤ ≤
Teorema 8.5.2 Teorema multiplicatorilor lui Lagrange Fie D Rn ¸si fie funct ¸iile f : D R, F i : D Rm , (1 i m), cu 1 m < n. Presupunem c˘ a
→
→
◦
≤ ≤
⊂
≤
exist˘ a un punct a D cu urm˘ atoarele propriet˘ at ¸i: i) F i (a) = 0, (1 i m), ii) exist˘ a o vecin˘ atate deschis˘ a U D a punctului a, astfel c˘ a pentru orice punct x U care verific˘ a condit ¸iile F i (x) = 0, (1 i m), diferent ¸a f (x) f (a) are semn constant sau este nul˘ a pe U , iii) funct ¸iile f , F 1 , . . . , Fm sunt de clas˘ a C 1 pe U , iv) rangul matricei ( ∂∂ xF ji (a)) 1≤i≤m este m.
∈
≤ ≤
⊂
∈
≤ ≤
1 j n (λ01 , . . . , λ0m )
≤≤
−
Atunci exist˘ a vectorul , λ = Rm , numit vectorul multiplicatorilor lui Lagrange, astfel ˆıncˆ at dΘ(a, , λ0 ) = 0, unde funct ¸ia Θ : D Rm R, numit˘ a Lagrangeanul problemei, se define¸ste prin 0
∈
×
→
m
Θ(x, λ) = f (x) +
i=1
·
λi F i (x), x = (x1 , . . . , xn )
m
∈ D, λ = (λ1, . . . , λ ) ∈ R m
.
Observat¸ia 8.5.1 Condit¸ia dΘ(a, λ0 ) = 0, const˘a ˆıntr-un sistem de n+m ecuat¸ii, cu n + m necunoscute, care principial poate fi rezolvat. Exemplul 8.5.3 S˘ a determin˘am punctele de extrem local al funct¸iei f (x,y,z) = x 2y+2z, (x,y,z) R3 , cu leg˘atura x2 +y 2 +z 2 = 9.Pentru ceasta consider˘am Lagrangeanul problemei L(x,y,z,λ) = x 2y + 2z + λ(x2 + y2 + +z 2 9). Din condit¸ia dL(x,y,z) = 0, obt¸inem solut¸iile (x,y,z,λ) = 1, 2, 2, 12 . Pentru a verifica dac˘a punctul ( 1, 2, 2) este punct de extrem local, proced˘am ˆın felul urm˘a tor. Consider˘ am funct¸ia ajut˘atoare Θ(x,y,z) = L x,y,z, 12 =
−
∈
−
−
−
−
± −
−
= x 2y + 2z + 12 (x2 + y2 + z 2 ). Avem d2 Θ(x, y)(h1 , h2 , h3 ) = (h1 )2 + (h2 )2 + +(h3 )2 , (h1 , h2 , h3 ) R3 . Apoi diferent¸iind leg˘ atura, ˆın punctul ( 1, 2, 2), obt¸inem dx 2dy + 2dz = 0. Deoarece, dx(h1 , h2 , h3 ) = h1 , dy(h1 , h2 , h3 ) = h2 ¸si dz(h1 , h2 , h3 ) = h3 , obt¸inem h1 = 2h2 2h3 . Substituind ˆın d2 Θ(x, y)(h1 , h2 , h3 ), obt¸inem 5(h2 )2 + 5(h3 )2 8h2 h3 . Aceast˘a form˘ a p˘atratic˘a, ˆın variabilele h2 , h3 este pozitiv definit˘a. Deci punctul ( 1, 2, 2) este punct de minim local. ˆIn mod asem˘an˘ ator, se arat˘ a c˘ a punctul (1, 2, 2) este punct de maxim local.
−
−
∈
−
−
−
− −
−
−
Capitolul 9
Integrala Riemann 9.1
Definit ¸ii. Criterii de integrabilitate.
Definit¸ia 9.1.1 Se nume¸ste diviziune a intervalului [a, b], un ¸sir finit ordonat de puncte ∆ := a = x0 < . . . < x n = b . Not˘ am ∆ := max1≤i≤n xi xi−1 . Num˘ arul ∆ se nume¸ste norma diviziunii ∆. Not˘ am cu ∆[a, b], familia tuturor diviziunilor intervalului [a, b].
{
}
| −
|
Definit¸ia 9.1.2 Fie ∆ = a = x0 < .. . < xn = b ∆[a, b]. Spunem c˘ a familia de puncte ξ = (ξi )1≤i≤n este un sistem de puncte intermediare compatibile cu diviziunea ∆, dac˘ a avem ξi [xi−1 , xi ], (1 i n). Not˘ am cu (∆) familia sistemelor de puncte intermediare compatibile cu diviziunea ∆.
{
}∈ ≤ ≤
∈
→
S
{ ∈
Definit¸ia 9.1.3 Pentru o funct ¸ie f : [a, b] R, o diviziune ∆ = a = x0 < . .. < < xn = b ¸si un sistem de puncte intermediare ξ = (ξi )1≤i≤n , ξi [xi−1 , xi ], (1 i n), not˘ am cu σ∆ (f, ξ) suma Riemann ata¸sat˘ a tripletului format din f , ∆ ¸si ξ, definit˘ a prin
≤ ≤
}
≤
n
σ∆ (f, ξ) =
f (ξi )(xi
i=1
→
− x −1). i
Definit¸ia 9.1.4 Funct ¸ia f : [a, b] R se nume¸ste integrabil˘ a Riemann pe intervalul [a, b], dac˘ a exist˘ a un num˘ ar I R, astfel c˘ a pentru orice ε > 0, exist˘ a δε > 0 cu proprietatea c˘ a pentru orice diviziune ∆ ∆[a, b] cu ∆ < δε ¸si orice sistem de puncte ξ (∆), avem
∈
∈
∈ S
|I − σ∆(f, ξ)| < ε. Not˘ am f
∈ R[
a, b] ,
dac˘ a funct ¸ia f este integrabil˘ a Riemann pe intervalul [a, b].
Definit¸ia 9.1.5 Num˘ arul unic I , care apare ˆın definit ¸ia precedent˘ a din , se nume¸ste b b integrala Riemann a funt ¸iei f ¸si se noteaz˘ a cu a f , sau cu a f (x) dx, unde x este o variabil˘ a aleas˘ a arbitrar. De asemenea not˘ am
a
b
−
b
f :=
a
41
f.
42
CAPITOLUL 9. INTEGRALA RIEMANN
Pentru funt¸iile m˘arginite pe un interval [a, b], vom introduce sumele Darboux.
→
Definit¸ia 9.1.6 Dac˘ a funct ¸ia f : [a, b] R este m˘ arginit˘ a, atunci pentru orice diviziune ∆ := a = x0 < .. . < xn = b , not˘ am cu
{
}
n
S ∆ (f ) :=
n
sup
i=1 x [xi−1 , xi ]
f (x) ¸si s∆ (f ) :=
∈
i=1
inf
x [xi−1 , xi ]
∈
f (x),
sumele Darboux superioar˘ a ¸si respectiv inferioar˘ a ale funct ¸iei f ˆın raport cu diviziunea ∆. Teorema 9.1.1 Fie funct ¸ia f : [a, b] R. Sunt echivalente afirmat ¸iile urm˘ atoare i) f [a, b] . ii) Funct¸ia f este m˘arginit˘a ¸si pentru orice ε > 0 exist˘a δε > 0, astfel ˆıncˆat pentru orice ∆ ∆[a, b] cu ∆ < δε ¸si orice ξ (∆), avem S ∆ (f ) s∆ (f ) < ε. (Criteriul lui Darboux) iii) Funct¸ia f este m˘arginit˘a ¸si pentru orice ε > 0 exist˘a ∆ ∆[a, b] astfel ca S ∆ (f ) s∆ (f ) < ε.
→
∈R
∈
∈ S
∈
−
9.2
−
Primitive
→ ∈
→
Definit¸ia 9.2.1 Fie funct ¸iile f : I R ¸si F : I R, unde I este un interval al axei reale. Spunem c˘ a F este o primitiv˘ a a lui f pe inervalul I , dac˘ a F este deriv abil˘ a pe I ¸si avem F (x) = f (x), x I . Not˘ am cu f sau cu f (x) dx mut ¸imea primitivelor lui f . f ¸si respectiv f (x) dx se nume¸ste integrala nedefinit˘ a a lui f .
Propozit ¸ia 9.2.1 Dac˘ a o funct ¸ie f admite pe un interval, o primitiv˘ a F , atunci toate primitivele lui f difer˘ a de F printr-o constant˘ a aditiv˘ a. Deci avem
{
f = F +
C |C ∈ R}.
Un rezultat general este urmatorul: Teorema 9.2.1 Orice funct ¸ie f continu˘ a pe un interval I , admite primitive pe I . Exist˘ a dou˘ a metode generale de a reduce calculul primitivelor unor funct¸ii la calculul primitivelor unor funt¸ii mai simple, ¸si anume metoda ”integr˘arii prin p˘art¸i” ¸si metoda ”schimb˘arii de variabil˘a”. Teorema 9.2.2 (Teorema integr˘ arii prin p˘ art¸i) Fie funct R ¸iile f, g : I derivabile pe I . Dac˘ a funct ¸ia f g admite primitive pe I , atunci funct ¸ia f g admite primitive pe I ¸si ˆın plus avem
→
fg = fg −
f g.
43
9.2. PRIMITIVE
Teorema 9.2.3 (Prima schimbare de variabil˘a) Fie intervalele I, J ¸si funct ¸iile ϕ : I J ¸si f : J R. Presupunem c˘ a ϕ este derivabil˘ a pe I , iar f are primitive pe J . Dac˘ a F este o primitiv˘ a a lui f pe intervalul J , atunci F ϕ : I R este o primitiv˘ a a funct ¸iei (f ϕ)ϕ : I R.
→
→
◦
◦
→
→
Observat¸ia 9.2.1 Teorema precedent˘a permite reducerea calcului integralei nedefinite f (ϕ(x))ϕ (x) dx, la calculul integralei nedefinite f (t) dt.
Teorema 9.2.4 (A doua schimbare de variabil˘ a) Fie intervalele I, J ¸si func¸iile t ϕ : I J ¸si f : J R. Presupunem c˘ a ϕ este bijectiv˘ a, derivabil˘ a ¸si cu invers˘ a derivabil˘ a. Not˘ am cu v : J I , funct ¸ia invers˘ a lui ϕ. Dac˘ a F : J R este o primitiv˘ a a funct ¸iei f v pe intervalul J , atunci funct ¸ia F ϕ : I R este o primitiv˘ a a funct ¸iei f ϕ pe intervalul I .
→
→
→
◦
◦
→
→
Observat¸ia 9.2.2 Teorema precedent˘ a reduce calculul integralei nedefinite f (ϕ(x)) dx la calculul integralei nedefinite f (t)v (t) dt.
k+1
) Primitivele de baz˘a sunt urm˘atoarele 1) (x + a)k dx = (x+ka+1 + , a 1 1 R, k = 1, 2) x+ a R, 3) x2 + dx = a1 arctg xa + a dx = ln x + a + a2
C − | | C ∈ C ± | C C C − C C
C√, a = 0 4) x2 a2 + ,
1 − dx =
x2 a2
a = 0, 6)
1 2a
√
ln
x a x+a
− + , a = 0, 5)
1
− dx = arcsin
a2 x2
x a
+ ,
√
∈
1
± dx = ln |x +
x2 a2
a = 0, 7)
sin x dx =
cos x + , 8) cos x dx = sin x + , 9) cos12 x dx = tg x + , 10) sin12 x dx = x ctg x + , 11) ax dx = lna a + , a > 0, a = 1. ˆIn continuare vom urm˘ari modul de calcul al integralelor funct¸iilor rat¸ionale ¸si a unor tipuri de integrale care se reduc la acestea. A. Primitivele functiilor rationale. Calculul primitivelor integralelor de forma P (x) dx, unde P ¸si Q sunt polinoame se face prin metoda desfacerii ˆın fract ¸ii Q(x) simple, parcurcˆand urm˘atorele etape: Etapa 1. Se aplic˘a, numai dac˘a gr P gr Q, ˆın caz contrar se trece direct la Etapa 2. Dac˘ a gr Q gr P , ˆımp˘art¸im pe Q la P . (x) Etapa 2. Dac˘ a gr P < gr Q, atunci se descompune funct¸ia P , ˆın fract¸ii simple, Q(x) folosind metoda coeficient¸ilor nedeterminat¸i. Fract¸iile simple sunt de forma:
−
C
C
≥
≥
1)
α , (x + a)n
sau
2)
βx + γ , (x2 + bx + c)n
unde α, β, γ, a, b, c R, n N, n 1 ¸si b2 < 4c. Etapa 3. Determinarea primitivelor fract¸iilor simple. Avem urm˘atoarele cazuri: α α 1 1−n + , dac˘ 1) x+ an 2; a dx = α ln x + a + ; 2) (x+a)n dx = 1−n (x + a)
|
3) Integrala de forma
βt +δ t2 +d2 n
∈ ∈ | C
βx +γ , x2 +bx+cn
≥
β, γ, b, c
∈ R,
C
≥
b2 < 4c, se reduce la integrala 2
dt, cu ajutorul schimbarii de variabil˘a t = x+ 2b , unde am notat d2 := c b4 ¸si δ := γ βb ın suma a dou˘a integrale. Dac˘a n = 1 ambele 2 , iar aceasta se desface ˆ integrale rezultate sunt imediate, iar ˆın cazul n 2, integrala (t2 +1d2 )n dt se face stabilind o formul˘a de recurent¸a˘, ˆıntimp ce cea de a doua este imediat˘a.
−
≥
−
44
CAPITOLUL 9. INTEGRALA RIEMANN
B. Primitivele unor clase de funct¸ii reductibile la cele rat¸ionale Tipul B1. La integrale de forma:
R x,
n
ax+b cx+d
dx, unde R este o funct¸ie
rational˘a de dou˘a variabile, se poate face schimbarea de variabil˘a t =
√
n
ax+b cx+d .
Tipul B2. La integrale de forma R(x, ax2 + bx + c) dx, unde R este o funct¸ie rational˘a de dou˘a variabile, putem folosi una din urm˘atoarele substut¸ii: 1) Dac˘ a 2 2 a > 0, atunci ax + bx + c = ax + t; 2) Dac˘a c > 0, atunci ax + bx + c = c + tx, 3) Dac˘a ∆ > 0, atunci ax2 + bx + c = t(x α), unde α R este o r˘ad˘ acin˘a a polinomului ax2 + bx + c. Tipul B3. La integralele de forma xm (axn + b) p dx, unde a, b R, a, b = 0, m, n, p Q, putem folosi urm˘atoarele substitut¸ii, 1) Dac˘a p Z, atunci t = xr , unde r N este numitorul comun ale numerelor rat¸ionale m ¸si n; 2) Dac˘a p Z ¸si mn+1 Z atunci t = s axn + b, unde s este numitorul lui p ¸si 3) Dac˘a p Z ¸si m+1 Z, dar mn+1 + p Z, atunci t = s a + bx−n , unde s este numitorul lui p. n Tipul B4. La integralele de forma R(sin x, cos x) dx, unde R este o funct¸ie rat¸ional˘ a de dou˘a variabile, se poate face schimbarea de variabil˘a t = tg x2 . Dac˘a putem scrie R(sin x, cos x) = f (tg x), se face schimbarea t = tgx, dac˘a putem scrie R(sin x, cos x) = sin xf (cos x) se face schimbarea t = cos x, iar dac˘a putem scrie R(sin x, cos x) = cos xf (sin x) se face schimbarea t = sin x.
√
√
∈
9.3
√
√
√
−
∈
∈ ∈ ∈
√ ∈
∈
∈
∈
√
∈
Propriet˘ a¸ t ile integralei Riemann
Teorema 9.3.1 (Formula Leibniz-Newton) Dac˘ a f o primitiv˘ a F pe intervalul [a, b], atunci avem
∈ R[
a, b]
¸si dac˘ a F admite
b
f = F (b)
a
− F (a). ∈ R[
Teorema 9.3.2 (Proprietatea de liniaritate) Dac˘ a f, g tru orice α, β R avem αf + βg si ab (αf + βg) = α [a, b] ¸
∈
∈∈ R
Teorema 9.3.3 (Proprietatea de monotonie) Dac˘ a f, g b b atunci a f a g.
≤
Teorema 9.3.4 Dac˘ a f f M , atunci m(b a)
a, b] ,
atunci penb b a f + β a g.
∈ R[
a, b]
¸si f
≤ g,
∈ R[ ] ¸si exist˘ a constantele m, M ∈ R astfel ca m ≤ ≤ − ≤ f ≤ M (b − a). Teorema 9.3.5 Dac˘ a f ∈ R[ ] , atunci | f | ≤ |f |. Teorema 9.3.6 (Proprietatea de aditivitate la interval) Dac˘ a f ∈ R[ ] ¸si c ∈ (a, b), atunci f = f + f . Teorema 9.3.7 (Teorema I de medie) Dac˘ a f ∈ C [a, b], atunci exist˘ a un punct c ∈ [a, b] astfel ca f = f (c)(b − a).
a, b
b a
b a
a, b
b a
c a
b a
b a
b a
a, b
Capitolul 10
Integrala multipl˘ a 10.1
M˘ asura Jordan
Definit¸ia 10.1.1 Numim cub n - dimensional, (sau simplu cub), oricem mult ¸ime n din R de forma C = I 1 . . . I n , unde pentru orice indice 1 i n, I i este un interval m˘ arginit din R, adic˘ a un interval de una din urm˘ atoarele forme: (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], a b. Cubul se va numi deschis, dac˘ a toate intervalele I i sunt deschise ¸si se va numi ˆınchis, dac˘ a aceste intervale sunt ˆınchise. Pentru orice astfel de cub, consider˘ am volumul s˘ au, num˘ arul, definit prin
× ×
≤ ≤
≤
·
vol(C ) = l(I 1 ) l(I 2 ) . . . l(I n ), unde pentru orice indice 1
≤ i ≤ n, l(I ) reprezint˘ a lungimea intervalului I . Definit¸ia 10.1.2 Numim mult¸ime elementar˘ a ˆın R , orice mult ¸ime E ⊂ R care se poate reprezenta ca o reuniune finit˘ a de cuburi n - dimensionale. Not˘ am cu E (R ), familia mult ¸imilor elementare din R . i
i
n
n
n
n
p
n
∈ E (R ), E = =1 C , unde C , 1 ≤ i ≤ n sunt cuburi ◦ ◦ n- dimensionale cu proprietatea c˘ a C ∩ C = ∅, pentru orice i = j, 1 ≤ i, j ≤ n. Definit¸ia 10.1.3 Fie E
i
i
p
i
j
Definim volumul lui E ca fiind num˘ arul:
p
vol(E ) :=
vol(C i ).
i=1
Definit¸ia 10.1.4 Pentru orice mult ¸ime A interioar˘ a, num˘ arul:
{
n
∈ B(R ), definim m˘asura n
| ∈ E (R ), E ⊂ A},
λi (A) := sup vol(E ) E
¸si definim m˘ asura Jordan exterioar˘ a, num˘ arul:
{
n
| ∈ E (R ), A ⊂ F }.
λe (A) := inf vol(F ) F 45
Jordan
˘ CAPITOLUL 10. INTEGRALA MULTIPLA
46 Definit¸ia 10.1.5 O mult ¸ime A avem
n
∈ B(R ) se nume¸ste m˘asurabil˘a Jordan, dac˘ a λi (A) = λe (A).
Dac˘ a mut ¸imea A este m˘ asurabil˘ a Jordan, not˘ am cu λ(A), valoarea comun˘ a a lui ar m˘ asura Jordan a lui A. λi (A) ¸si λe (A) ¸si numim acest num˘ Not˘ am cu (Rn ) familia mult ¸imilor m˘ asurabile Jordan.
M
10.2
Integrabilitatea Riemann multipl˘ a
n Not˘a m cu ¸imilor din Rn care sunt compacte, (echivalent c (R ) familia mult m˘arginite ¸si ˆınchise) ¸si care au interiorul nevid.
M
n Definit¸ia 10.2.1 Fie D a ∆ = D1 , . . . , D p c (R ). O familie finit˘ nume¸ste diviziune a mult ¸imii D dac˘ a are urm˘ atoarele propriet˘ act ¸i:
∈M
{
}
se
p
a)
i=1
◦
Di = D,
∩ ◦ ∅ ∈M
≤
≤
≤ ≤
b) Di D j = , pentru orice 1 i, j p, i = j, n c) Di si λ(Di ) > 0, pentru orice 1 i p. c (R ) ¸ Pentru o astfel de diviziune ∆, vom nota cu ∆ , norma diviziunii, definit˘ a prin δ := max δ(Di ),
1≤ ≤ unde δ(D ) := sup{x − y | x, y ∈ D } este diametrul mult ¸imii D . i p
i
i
i
Not˘ am cu ∆(D), familia diviziunilor lui D.
n Definit¸ia 10.2.2 Fie D si fie ∆ ∆(D), ∆ = D1 , . . . , D p . Un c (R ) ¸ sistem de puncte c = (ci )1≤i≤ p , cu propietatea ci Di , 1 i p se nume¸ste compatibil cu diviziunea ∆. Not˘ am cu (∆) familia sistemelor de puncte intermediare compatibile cu diviziunea ∆.
∈M
∈ ∈ S
n Definit¸ia 10.2.3 Fie D c (R ), f : D ¸si c (∆), c = (ci )1≤i≤ p . Num˘ arul
∈ S
∈M
{
≤ ≤
}
→ R, ∆ ∈ ∆(D), ∆ = {D1, . . . , D } p
p
σ∆ (f, c) :=
f (ci )λ(Di ),
i=1
se nume¸ste suma Riemann ata¸sat˘ a funct ¸iei f ˆın raport cu diviziunea ∆ ¸si cu sistemul de puncte intermediare c. n Definit¸ia 10.2.4 Funct ¸ia f : D R, unde D ste integrac (R ), se nume¸ bil˘ a pe D, dac˘ a exist˘ a un num˘ ar I R astfel ca pentru orice ε > 0, s˘ a existe δε > 0, astfel ca pentru orice ∆ ∆(D) cu ∆ < δ ε ¸si pentru orice c (∆) s˘ a avem σ∆ (f, c) I < ε.
→ ∈M ∈ ∈ | − |
∈ S
47
10.3. CALCULUL INTEGRALELOR MULTIPLE
ˆ In acest caz num˘ arul I se nume¸ste integrala Riemann sau integrala multipl˘a a lui f pe D ¸si se noteaz˘ a cu f , sau f (x) dx, sau c˘ a cu f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn .
D
D
D
a ¸si se mai noteaz˘ Dac˘ a n = 2, integrala multipl˘ a se nume¸ste integral˘ a dubl˘ a cu a n = 3, integrala multipl˘ a se nume¸ste integral˘ a tripl˘ a ¸si se D f (x, y) dxdy. Dac˘ mai noteaz˘ a cu D f (x,y,z) dxdydz. Not˘ am cu (D) familia funct ¸iilor integrabile pe D.
R
Enunt¸a˘m ˆın continuare princi[alele propriet˘a¸ti ale integralei multiple: n Teorema 10.2.1 Fie D c (R ). i) Dac˘ a f, g (D), atunci pentru orice α, β R, avem αf + βg D (αf + βg) = α D f + β D g (Proprietatea de limiaritate) ii) Dac˘ a f, g (D), atunci f g (D). iii) Dac˘ a f (D), atunci f (D).
∈M
∈R ∈R ∈R
∈
∈ R(D) ¸si
∈R | |∈R
n Teorema 10.2.2 (Proprietatea de aditivitate la domeniu) Fie D c (R ) R. Presupunem c˘ ¸si f : D a aven descompunerea D = D1 D2 , unde D1 , D2
→
◦
n
◦
∈ M (R ) ¸si D1 ∩ D2= ∅. c
D1
f +
D2
Dac˘ a f
f.
∈M
∪
∈ R(D), atunci exist˘ a egalitatea:
D
∈
f =
n Teorema 10.2.3 Fie D c (R ). Avem: i) Dac˘ a f : D R este o funct ¸ie constant˘ a, f (x) = a, (x D), D f = aλ(D). ii) Dac˘ a f (D) are proprietatea f (x) 0 ,( )x D, atunci D f 0 (Proprietatea de pozitivitate). iii) Dac˘ a f, g (D) au proprietatea c˘ a f (x) g(x), ( ) x D, atunci D f D g (Proprietatea de monotonie). iv) Pentru orice f (D) avem D f d f . v) Pentru orice f (D) avem mλ(D) M λ(D), unde m := D f = inf f (x), iar M := sup f (x).
≤ x
∈D
∈M
→ ∈R ∈R ∈R ∈R ∈D
x
≥
|
∈
∀ ∈ ≤ ∀ ∈
| ≤ | | ≤
≥
≤
vi) Dac˘ a f C (D) ¸si D este mult ¸ime conex˘ a, atunci exist˘ a un punct c astfel ca D f = f (c)λ(D)(Teorema de medie).
10.3
∈
∈ D,
Calculul integralelor multiple
Motoda de baz˘a al calcului integralelor multiple este dat˘a de formula de iterare, care reduce integrala a unei funct¸ii de mai multe variabile, la integrala unei funct¸ii cu un num˘ar mai mic de variabile. ˆIn final calculul integralelor funct¸iilor de mai multe variabile se reduce la calculul integralelor funct¸iilor de o variabil˘a. Teorema 10.3.1 Fie D Rn ¸si fie ϕ, ψ : D R, dou˘ a funct ¸ii continue, astfel ca ϕ(x) ψ(x), (x D). Consider˘ am mult ¸imea K ϕ,ψ := (x, y) x D, ϕ(x) y ψ(x) , Dac˘ a f : K ϕ,ψ R, este continu˘ a, atunci exist˘ a ¸si sunt egale urm˘ atoarele
≤ }
∈
∈
→
→
{
| ∈
≤ ≤
˘ CAPITOLUL 10. INTEGRALA MULTIPLA
48 integrale:
K ϕ,ψ
D
f (x1 , . . . , xn , y)dx1 . . . d xn dy =
dx1 . . . d xn . . . d xn
ψ (x1 ,...,xn )
ϕ(x1 ,...,xn )
f (x1 , . . . , xn , y) dy.
O alt˘ a metod˘ a de calcul al integralelor multiple este dat˘a de schimbarea de variabil˘ a.
→
Teorema 10.3.2 (Teorema schimb˘ arii de variabil˘ a) Fie ϕ : U V , un n difeomorfism, ˆıntre mult ¸imile deschise U, V R , ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ). Dac˘ a A n U, A si f : ϕ(A) R este o funct ¸ie continu˘ a, atunci avem c (R ) ¸
∈M
⊂
→
ϕ(A)
f (y) dy =
f (ϕ(x))
A
·
D(ϕ1 , . . . , ϕn ) dx1 . . . d xn . D(x1 , . . . , xn )
⊂
(10.1)
Exemplul 10.3.1 S˘a calcul˘am D xydxdy, unde D = (x, y) R2 y x2 , y x + 2 . Determin˘am intersect¸ia curbelor y = x2 ¸si y = x + 2. Rezolvˆand sistemul celor dou˘a ecuat¸ii, obt¸inem solut¸iile x = 1, y = 1 ¸si x = 2, y = 4. Deci mult¸imea D poate fi reprezentat˘a sub forma D = (x, y) R2 x [ 1, 2], x2 y x+2 2 x + 2 . Aplicˆ and Corolarul 10.3.1, obt¸inem: D xy dx dy = −1 dx x2 xy dy =
}
} 2
−1
1 2 x+2 2 xy x2
dx =
1 2
2
− {
−1 x[(x + 2)
2
D
≤ }
∈
∈
| ≥
| ∈ − {
xdxdy, unde D = (x, y)
≤
≤ ≤
− x4] dx etc.
Exemplul 10.3.2 S˘a se calculeze 4, x y .
{
∈ R2 | x2 + y2 ≤
∈ ∞
∈
Facem schimbarea de variabile: x = ρ cos t, y = ρ sin t, ρ [0, ), t [0, 2π]. Variabilele ρ, t se numesc coordonatele polare ale punctului (x, y), ˆın timp ce variabilele x, y se numesc coordonatele carteziene ale acestui punct. Inegalit˘a¸tile x2 + y 2 4 ¸si x y se transcriu ˆın coordonate polare sub forma ρ 2 ¸si respectiv cos t sin t. Ultima inegalitate este echivalent˘a, cu 14 π t 34 π Dac˘ a not˘am ϕ(ρ, t) = (x(ρ, t), y(ρ, t)), (ρ, t) [0, ) R, atunci avem D = ϕ(Ω), unde (x,y ) 1 3 Ω = [0, 2] ¸ inˆand cont de relat¸ia D = ρ, avem : 4 π, 4 π . T D(ρ,t)
≤
≤
≤
×
∈ ∞×
xdxdy =
D
−√
Ω
x(ρ, t)
D(x, y) dρdt = D(ρ, t)
D(x, y) x(ρ, t) dρdt = D(ρ, t) Ω 2
=
0
≤ ≤
2
ρ sin t
3 π 4 1 π 4
0
dρ 2
dρ =
3 π 4
2
2
0
1 π 4
2
ρ2 cos t dt =
ρ dρ =
−
√
8 2 . 3
≤
Capitolul 11
Integrale improprii. Integrale cu parametru 11.1
Integrale improprii
Definit¸ia 11.1.1 Dac˘ a I R este un interval, not˘ am cu I mult ¸imea funct ¸iilor f : I R care sunt integrabile Riemann pe orce subinterval compact [c, d] din I .
⊂
→
R
Definit¸ia 11.1.2 Fie f R ¸si b R, sau b = . Spunem [a,b) , unde a c˘ a funct ¸ia f este integrabil˘ a impropriu pe intervalul [a, b), dac˘ a exist˘ a ¸si este finit˘ a limita
∈R
∈
∈
∞
B
lim
B
→b
f.
(11.1)
a
Limita de mai sus se nume¸ste integrala improprie a lui f pe intervalul [a, b) ¸si se noteaz˘ a prin f , sau f (x) dx. Vom spune c˘ a integrala f este conver-
[a,b)
[a,b)
[a,b)
gent˘ a, dac˘ a funct ¸ia f este integrabil˘ a impropriu pe [a, b) ¸si vom spune c˘ a aceast˘ a integral˘ a este divergent˘ a, ˆın caz contrar. ˆIn mod analog se definesc integralele improprii pe intervale semideschise de forma (a, b], unde a R , b R.
∈ ∪{−∞} ∈ ∈R
∈
−∞
∈
Definit¸ia 11.1.3 O funct ¸ie f R sau a = , iar b R (a,b) , unde a sau b = se nume¸ste integrabil˘ a improprie pe (a, b), dac˘ a exist˘ a un punct c (a, b), astfel ca ambele integrale improprii f ¸si f s˘ a fie convergente. ˆ In
∈
∞
(a,c]
acest caz se definec¸ste
(a,b)
f :=
f +
(a,c]
[c,b)
f.
[c,b)
Teoria acetor integrale se poate reduce la cazul integralele de forma
[a, b)
49
f .
50CAPITOLUL 11. INTEGRALE IMPROPRII. INTEGRALE CU PARAMETRU
∈R
Teorema 11.1.1 (Criteriul absolutei convergent ¸e) Fie f a [a, b) . Dac˘ integrala improprie f este convergent˘ a, atunci integrala improprie f este
| |
[a, b)
convergent˘ a.
[a, b)
Pentru integralele improprii a funct¸iilor pozitive avem urm˘atoarele criterii de comparat¸ie. Teorema 11.1.2 (Criteriul de comparat¸ie cu inegalit˘ a¸ t i) Fie f, g astfel ca 0 f g. i) Dac˘ a integrala g converge, atunci integrala f converge.
≤ ≤
ii) Dac˘ a
[a, b)
f =
[a, b)
∞, atunci
a,b) ,
[a, b)
g=
[a, b)
∞.
Teorema 11.1.3 (Criteriul de comparat ¸ie cu limit˘ a) Fie f, g ca f > 0, g > 0. Dac˘ a exist˘ a l (0, ) astfel ca
∈
∈ R[
∞
∈ R[
a,b) ,
astfel
f (x) = l, xb g(x) lim
atunci integralele improprii
f ¸si
[a, b)
11.2
g au aceea¸si natur˘ a.
[a, b)
Integrale cu parametru
Definit¸ia 11.2.1 Fie I, J intervale din R. Fie f : I proprietatea c˘ a pentru orice punct x J , avem f ( , x) funct ¸iile ϕ, ψ : J I . Funct ¸ia F : J R, definit˘ a prin
→
∈ →
× J → R o funct ¸ie cu ∈ R . Fie de asemenea
·
I
ψ (x)
F (x) :=
ϕ(x)
f (t, x) dt,
(x
∈ J ),
(11.2)
se nume¸ste integral˘ a cu parametru (cu capete variabile). Dac˘ a funct ¸iile ϕ¸si ψ sunt constante: ϕ(x) = a, ψ(x) = b, x J , atunci integrala cu parametru se nume¸ste integral˘ a cu parametru cu capete fixe.
∈
Teorema 11.2.1 Dac˘ R este continu˘ a funct ¸ia f : I J a global pe I J , iar funct ¸iile ϕ, ψ sunt continue pe J , atunci funct ¸ia F : J R, definit˘ a ˆın (11.2) este continu˘ a pe J .
× →
×
→
Teorema 11.2.2 Dac˘ a funct ¸ia f : I J R, (t, x) f (t, x), (t, x) I J , ∂f admite derivata part ¸ial˘ a ∂x , continu˘ a global pe I J , iar funct ¸iile ϕ, ψ admit derivate part ¸iale continue pe J , atunci are loc formula:
× →
F (x) = f (ψ(x), x)ϕ (x) − f (ϕ(x), x)ϕ (x) +
×
Teorema 11.2.3 Dac˘ a f : [a, b] [c, d] egale integralele iterate urm˘ atoare:
b
a
d
c
×
ψ (x)
ϕ(x)
→
∈ ×
∂f (t, x) dt, ∂x
(x
∈ J ).
(11.3)
→ R este continu˘ a, atunci exist˘ a ¸si sunt
d
b
f (t, x) dx dt =
c
a
f (t, x) dt dx.
(11.4)
51
11.3. INTEGRALE IMPROPRII CU PARAMETRU
11.3
Integrale improprii cu parametru
× →
∈ ∪{∞} · ∈R →
⊂
Definit¸ia 11.3.1 Fie funct ¸ia f : [a, b) J R, unde b R , iar J R este un interval. Presupunem c˘ a, pentru orice x J , f ( , x) si integrala [a, b) ¸ improprie f (t, x) dt este convergent˘ a. Funct ¸ia F : J R, definit˘ a prin:
∈
[a,b)
F (x) :=
[a,b)
f (t, x) dt,
x
∈ J,
(11.5)
se nume¸ste integral˘ a improprie cu parametru. Definit¸ia 11.3.2 ˆ In condit ¸iile din Definit ¸ia 11.3.1, spunem c˘ a integrala cu parametru F : J R, definit˘ a prin relat ¸ia (11.5) este uniform convergent˘ a pe J , dac˘ a pentru orice ε > 0, exist˘ a, bε (a, b), astfel ca, pentru orice B (bε , b) ¸si orice x J s˘ a avem
→
∈
∈
−
B
[a,b)
f (t, x) dt
∈
f (t, x) dt < ε.
a
× → ∈R
Teorema 11.3.1 (Criteriul lui Weierstrass) Fie funct ¸ia f : [a, b) J R, unde b R , iar J R este un interval. Presupunem c˘ a, pentru orice a exist˘ a o funct ¸ie ϕ x J , f ( , x) [a, b) . De asemenea, presupunem c˘ [a, b) cu urm˘ atoarele propriet˘ at ¸i: 1) f (t, x) ϕ(t), pentru orice (t, x) [a, b) J ¸si 2) integrala improprie a. Atunci funct ¸ia F : J R ϕ este convergent˘
∈ ∪ {∞} ∈ · ∈R | |≤
⊂
∈
×
→
[a,b)
definit˘ a prin relat ¸ia (11.5) este uniform convergent˘ a pe J . Teorema 11.3.2 Dac˘ a funct ¸ia f : [a, b) J R, este continu˘ a global, iar integrala cu parametru F : J R, definit˘ a ˆın (11.5) este uniform convergent˘ a pe J , atunci funct ¸ia F este continu˘ a pe J ,
× →
→
Teorema 11.3.3 Fie funct ¸ia f : [a, b) J R, J interval, care admite derivat˘ a ∂f part ¸ial˘ a ∂x , continu˘ a global pe [a, b) J . Presupunem c˘ a: 1) pentru orice x J , integrala improprie f (t, x) dt este convergent˘ a, ¸si
×
∈
2) integrala cu parametru
[a,b)
∈
x J . Atunci funct ¸ia F : J
× →
[a,b) ∂f ∂x (t, x) dt,
este uniform convergent˘ a ˆın raport cu
→ R, definit˘ aˆın (11.5) este derivabil˘ a continuu pe J ¸si ∂f F (x) = (t, x) dt, x ∈ J. ∂x
[a,b)
Teorema 11.3.4 Dac˘ a funct ¸ia f : [a, b) J R, unde J = [c, d], este continu˘ a globol, iar integrala cu parametru F : J R, definit˘ a ˆın (11.5) este uniform convergent˘ a pe J , atunci exist˘ a egalitatea:
× → →
d
c
[a,b)
d
f (t, x) dt dx =
[a,b)
c
f (t, x) dx dt.
52CAPITOLUL 11. INTEGRALE IMPROPRII. INTEGRALE CU PARAMETRU ˆIn ˆıncheierea acestui paragraf prezent˘ am funct¸iile lui Euler, care se definesc folosind integrale improprii cu parametru. Definit¸ia 11.3.3 Funct ¸ia beta se define¸ste prin:
1 0
B(a, b) :=
−
0+0
ta−1 (1
− t) −1 dt, b
a > 0, b > 0.
Definit¸ia 11.3.4 Funct ¸ia gama se define¸ste prin: Γ(a) :=
0
∞ a−1 −t t e dt, a > 0.
Principalele propriet˘a¸t i ale acestor funct¸ii le prezent˘am ˆın teorema urm˘ atoare: Teorema 11.3.5 Avem: 1) Funct ¸ia B(a, b), (a, b) (0, ) (0, ), exist˘ a ¸si este indefinit derivabil˘ a pe domeniul de definit ¸ie. 2) Funct ¸ia Γ(a), a (0, ), exist˘ a ¸si este indefinit derivabil˘ a pe domeniul de definit ¸ie. 3) B(a, b) = B(b, a), (a, b) (0, ) (0, ). a)Γ(b) 4) B(a, b) = Γ( Γ(a+b) , a > 0, b > 0. 5) Γ(a + 1) = aΓ(a), a > 0. 6) Γ(n + 1) = n!, n N. 7) Γ(a)Γ(1 a) = sinππa , a (0, 1).
∈ ∞× ∞ ∈ ∞ ∈ ∞× ∞ ∈
−
∈
Exemplul 11.3.1 S˘a calcul˘am integrala improprie I = lui Euler. Dac˘a facem schimbarea de variabil˘a y = I =
∞
0+0
dx 1 = x4 + 1 4
√
1 π 2 = = π. 4 sin π4 4
·
1
∞
1
x4 +1
dx , x4 +1
folosind funct¸iile
, obt¸inem
− − 1 3 1 1 Γ = · y (1 − y)− dy = B ,
1 0
1 4
3 4
0+0
4
4 4
4
π
−0
2
Exemplul 11.3.2 S˘a calcul˘am integrala cu parametru I (a) :=
0+0
3 4
Γ
1 4
Γ(1)
arctg(atgx) tg x
=
dx, a
R, folosind metoda deriv˘arii ˆın raport cu parametru. S˘ a not˘ am , pentru a R fixat arctg(atgx) π F a (x) = , x 0, 2 . Funct¸ia F a se poate prelungi prin continuitate ˆın tg x
∈
capetele intervalului, prin F (0) = a ¸si F
π
2
∈
π
= 0. Atunci I (a) =
I (a) poate fi considerat˘a integral˘ a neimproprie. Avem, I (a) =
π 2
0
2
F a (x) dx. Deci
0
1 1+a2 (tg x)2
dx. Cu
1 schimbarea de variabil˘a t = tg x2 , ajungem la rezultatul I (a) = π2 a+1 . Atunci π π I (a) = 2 ln a + 1 + C . Deoarece I (0) = 0, obt¸inem I (a) = 2 ln a + 1 , a R.
· |
|
· |
·
| ∈
∈
Capitolul 12
Integrale curbilinii ˆIn acest capitol vom trata problema integr˘arii funct¸iilor reale de mai multe variabile ”de-a lungul” curbelor parametrizate (drumurilor) din spat¸iul Rn .
12.1
Drumuri ¸si curbe ˆ ın spat ¸iul Rn
Definit¸ia 12.1.1 O funct ¸ie continu˘ a γ = (γ 1 , γ 2 , , γ n ) : [a, b] Rn se nume¸ste drum din spat ¸iul Rn . Mult ¸imea γ = γ ([a, b]) Rn (imaginea funct ¸iei γ ) este suportul drumului. Drumul γ se nume¸ste:
··· ⊂
{}
→
• ˆınchis, dac˘ a γ (a) = γ (b); • simplu, dac˘ a este o funct ¸ie injectiv˘ a pe [a, b); • neted, dac˘ a este o funct ¸ie de clas˘ a C 1 (derivabil˘ a, cu derivata continu˘ a). Fie drumurile γ 1 : [a, b] → R , γ 2 : [c, d] → R , cu γ 1 (b) = γ 2 (c). Drumul notat γ ∪ γ 2 : [a, b + d − c] → R , definit prin : γ 1 (t), t ∈ [a, b] (γ 1 ∪ γ 2 )(t) = γ 2 (t − b + c), t ∈ [b, b + d − c] n
n
n
se nume¸ste suma drumurilor γ 1 ¸si γ 2 . Drumul γ − : [a, b] Rn definit prin:
→
γ − (t) = γ (a + b se nume¸ste opusul drumului γ : [a, b]
− t), t ∈ [a, b] n
→R .
Pentru a ”identifica” dou˘a drumuri de acela¸si tip, vom defini pe mult¸imea drumurilor din Rn o relat¸ie de echivalent¸a˘. Definit¸ia 12.1.2 Dou˘ a drumuri γ 1 : [a, b] Rn ¸si γ 2 : [c, d] Rn se numesc echivalente ¸si not˘ am γ 1 γ 2 dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie continu˘ a, strict cresc˘ atoare ¸si surjectiv˘ a φ : [c, d] [a, b] astfel ˆıncˆat γ 2 = γ 1 φ.
→
→
∼
→
◦
53
54
CAPITOLUL 12. INTEGRALE CURBILINII
∼
Putem verifica cu u¸surint¸a˘ c˘a relat¸ ia ” ” definit˘a mai sus este o relat¸ie de n echivalent¸a˘ pe mult¸imea drumurilor din R . De asemenea constat˘a m c˘a dou˘ a drumuri echivalente au acelea¸si extremit˘a¸ti ¸si pot fi numai simultan ˆınchise, simple. Pentru echivalent¸a drumurilor netede, putem presupune suplimentar c˘a funct¸ia φ din definit¸ia de mai sus este de clas˘a 1 .
C
Definit¸ia 12.1.3 O curb˘ a Γ din spat ¸iul Rn se define¸ste ca o clas˘ a de drumuri echivalente. Orice drum γ apart ¸inˆ and clasei respective se nume¸ste o parametrizare a curbei Γ. Curba se nume¸ste simpl˘a (ˆınchis˘a, neted˘a) dac˘a parametriz˘ arile sale sunt simple (ˆınchise, netede). Din propriet˘a¸tile variat¸iei m˘arginite a funct¸iilor reale deducem formula de calcul a lungimii unei curbe netede (cu parametriz˘ari netede). Definit¸ia 12.1.4 Fie Γ o curb˘ a neted˘ a care admite parametrizarea neted˘ a γ : n R , γ = (γ 1 , γ 2 , , γ n ). Atunci lungimea sa se define¸ste prin formula [a, b]
→
···
b
l(Γ) =
γ (t) dt =
a
n
b
(γ i (t))2 dt.
a
i=1
Formula de mai sus este independent˘ade parametrizarea curbei Γ.
12.2
Integrala curbilinie de prima spet ¸a ˘
Fie Γ o curb˘a neted˘a din Rn iar γ : [a, b] R o parametrizare a sa. Fie de n asemenea o funct¸ie continu˘a f : D R R, cu γ D.
⊂
→
→
{ }⊂
Definit¸ia 12.2.1 Se nume¸ste integral˘ a curbilinie de prima spet ¸˘ a pe curba Γ, cu parametrizarea γ , num˘ arul real
b
f dl =
γ
a
f (γ (t))γ (t) dt =
b
a
n
(γ i (t))2 dt.
f (γ (t))
i=1
Definit¸ia de mai sus a integralei curbilinii de prima spet¸a˘ este independent˘a de parametrizari. Prezent˘ am cˆateva propriet˘ a¸t i fundamentale ale acestui tip de integral˘a curbilinie, considerˆ and parametriz˘ ari fixate. 1. 2. 3. 4.
γ 1 ∪γ 2 f dl =
γ 1
f dl +
γ (α1 f 1 + α2 f 2 ) dl = α1 γ 1 dl γ −
= l(γ );
f dl =
γ f
dl.
γ 2
f dl;
γ f 1 dl + α2
γ f 2
dl, α1 , α2
∈ R;
55
12.3. INTEGRALA CURBILINIE DE SPET ¸ A A DOUA
12.3
Integrala curbilinie de spet¸a a doua
Vom defini ˆın continuare un alt tip de integral˘ a curbilinie constˆand ˆın integrarea formelor diferent¸iabile de gradul I de-a lungul curbelor rectificabile din Rn . Fie aplicat¸iile dxi (Rn , R) de proiect¸ie de indice i 1, 2, , n definite prin dxi (t1 , t2 , , tn ) = ti , t = (t1 , t2 , , tn ) Rn , i = 1, 2, , n.
∈L
···
Fie o mult¸ime deschis˘a U
∈{
⊂R
n
···
∈
¸si aplicat¸iile continue P i : U
Definit¸ia 12.3.1 Aplicat ¸ia continu˘ a ω : U P n dxn , cu
···
n
→ L(R , R),
ω(t) = P 1 (t)dx1 + P 2 (t)dx2 +
→ R,
··· } ···
i = 1, 2,
··· , n.
ω = P 1 dx1 + P 2 dx2 +
··· P (t)dx , t ∈ U, n
n
se nume¸ste form˘ a diferent¸iabil˘ ade gradul I. Forma ω se nume¸ste:
• exact˘a, dac˘ aexist˘ ao funct ¸ie de clas˘ a C 1 f : U → R astfel ˆıncˆat ω = df (deci = P , i = 1, 2, ··· , n) pe domeniul U . • ˆınchis˘a, dac˘ afunct ¸iile P sunt de clas˘ a C 1 pe domeniul U ¸si satisfac relat ¸iile j. = , (∀) i = ∂f ∂x i
i
∂P j ∂x i
∂P i ∂x j
i
Definit¸ia 12.3.2 Numim integral˘ a curbilinie de spet ¸a a doua a formei diferent ¸iabile n
→
de gradul I ω =
i=1
γ : [a, b]
P i dxi : U
n
→ L(R , R), de-a lungul curbei netede, cu parametrizarea
U , num˘ arul real b
ω=
γ
a
P 1 (γ (t))γ 1 (t) + P 2 (γ (t))γ 2 (t) +
··· + P (γ (t))γ (t) n
n
dt.
Definit¸ia de mai sus este independent˘a de parametrizarea curbei Γ. Propriet˘a¸tile elementare ale integralei curbilinii de spet¸a a doua, pentru parametriz˘ari fixate, sunt urm˘atoarele: 1. 2. 3.
−
γ 1 ∪γ 2 ω =
γ 1
ω+
γ 2
ω;
γ (α1 ω1 + α2 ω2 ) = α1 γ −
ω=
γ ω1 + α2
γ ω.
γ ω2 ,
α1 , α2
∈ R;
Un rezultat fundamental legat de ”independent¸a de drum” a integralei curbilinii de spet¸a a doua este dat de teorema urm˘atoare. Teorema 12.3.1 Fie U Rn o mult ¸ime conex˘ a ¸si deschis˘ a ¸si ω o form˘ a diferent ¸iabil˘ a de gradul I definit˘ ape U . Urm˘ atoarele afirmat ¸ii sunt echivalente: (i) pentru oricare dou˘ a drumuri netede cu suportul ˆın U , γ 1 ¸si γ 2 , avˆ and acela¸si ”cap˘ at de plecare” ¸si acela¸si ”cap˘ at de sosire” avem
⊂
ω=
γ 1
γ 2
ω
56
CAPITOLUL 12. INTEGRALE CURBILINII
(ii) pentru orice drum rectificabil ˆınchis γ cu suportul ˆın U avem
ω=0
γ
(iii) ω este o form˘ a diferent ¸iabil˘ a exact˘ a. ˆ In acest caz, dac˘ a ω = df pe domeniul U , iar γ este un drum neted cu suportul ˆın U , ce une¸ste punctele x, y U , avem
∈
y
ω=
γ
ω = f (x)
x
− f (y).
Urm˘atoarea teorem˘ a stabile¸ste leg˘atura ˆıntre not¸iunile de form˘a diferent¸iabil˘ a exact˘a ¸si respectiv ˆınchis˘a. Teorema 12.3.2 Fie ω =
n
i=1
P i dxi o form˘ a diferent ¸iabil˘ a, cu P i de clas˘ a
C 1 pe
o mult ¸ime deschis˘ a ¸si convex˘ a. Atunci ω este exact˘ a daca ¸si numai dac˘ a este ˆınchis˘ a. ˆIn final vom enunt¸a Teorema lui Green, care stabile¸ste o leg˘atur˘a ˆıntre integrala curbilinii de spet¸a a doua pe drumuri ˆınchise, simple din spat¸iul R2 ¸si integrala dub˘a. Ment¸in˘am urm˘ atorul rezultat:
Teorema 12.3.3 (Jordan) Orice drum ˆınchis ¸si simplu γ din R2 , descompune spat ¸iul R2 ˆın: R2 = D E γ , unde γ este imaginea lui γ , D c si E sunt mult ¸imi deschise ¸si disjuncte, γ = Fr D = Fr E ¸si astfel ca D este mult ¸ime m˘ aginit˘ a, iar E este mult ¸ime nem˘ arginit˘ a. Mult ¸imea D se nume¸ste interiorul drumului γ , iar mult ¸imea E se nume¸ste exteriorul drumului ga.
∪ ∪{ } {}
{}
Pentru un drum ˆınchis, se poate preciza sensul de parcurgere, care poate fi direct sau invers ¸si care corespunde intuitiv, sensului direct trigonometric ¸si respectiv invers trigonometric care se consider˘a pe un cerc. Definit¸ia riguroas˘ aa sensului unui drum ˆınchis, o vom omite. Teorema 12.3.4 Fie U R2 o mult ¸ime deschis˘ a ¸si convex˘ a ¸si fie P, Q : U R, 1 dou˘ a funct ¸ii de clas˘ a C pe U . Fie de asemenea un drum simplu ¸si ˆınchis γ ˆın U cu sens direct, cu imaginea notat˘ a γ . Not˘ am cu D1 interiorul drumului γ , ¸si 2 D = D1 γ . Presupunem c˘ a D (R ). Avem formula:
⊂
∪{ }
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
γ
→
{} ∈M
D
∂Q (x, y) ∂x
−
∂P (x, y) dxdy. ∂y
(12.1)
Universitatea ”Transilvania” din Bra¸sov Facultatea: Matematic˘ a ¸si Informatic˘a, DIDIFR - Bra¸sov Specializarea: Informatic˘ a, anul I, an univ. 2005-2006
˘ MATEMATICA ˘ ANALIZA
Tema de verificare 1
1. S˘a se studieze convergent¸a seriei numerice n! p( p + 1) . . . ( p + n − 1) n ≥1
ˆın raport cu parametrul real p > 0. 2. S˘a se arate c˘a ¸sirul de funct¸ii f n : [1, ∞) → R, definite prin f n (x) =
x2 n2 + x4
, n ∈ N,
este uniform convergent pe mult¸imea [1, ∞). 3. S˘a se determine raza de convergent¸a˘, mult¸imea de convergent¸a˘ ¸si suma seriei de puteri
∞ (2n + 1)x
2n
.
n=0
4. S˘a se dezvolte ˆın serie Taylor ˆın jurul originii, funct¸ia f (x) = (x +1) ln(1+x).
5. S˘a se stabileasc˘a convergent¸a ¸si s˘a se calculeze integrala
∞
0
1
√dx
(x+1) x2 +x+1
.