ESIME ZACTENCO – ING. EN CONTROL Y A U T O M A T I Z A C I Ó N
AN A N Á L I S I S N U M É R I C O
Práctica 3 – Métodos Eliminación sin normalizar, normalizando, gauss-jordan, matriz inversa, factorización lu y gaussseidel
A L E J A N D R O R O S A S PRIETO 3AV6
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz
CONTENIDO )
$*jetivo++ $*jetivo+++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++ ++++++ Introducc Introducción+ ión++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++++ ++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++ +++++++++++ +) Eliminac Eliminación ión sin norma normalizar lizar+++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++ ++++++++++++ + Eliminac Eliminación ión normalizan normalizando+++ do+++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++++ ++++++++++++++++++ +++++++++++++ +++3 3 +3 auss-.ord auss-.ordan++ an+++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++ ++/ / +/ Matriz Matriz inversa+++ inversa++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++++++ +++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++0 +++++++++++0 +0 1actorizac actorización ión %#+++++++++ #++++++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++++++ +++++++++++++++++++0 +++++++++0 +2 auss-!e auss-!eidel idel+++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++++++ ++++++++++++++++++++ +++++++++++++++ ++++2 2 3 esarr esarrollo ollo+++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++++++ ++++++++++++ 4 3+) iagrama iagramass de 5ujo+++++ 5ujo+++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++++++4 ++++++++++4 3+)+) 3+)+) Eliminac Eliminación ión sin norma normalizar lizar++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++++++ +++++++++++++4 +++4 3+)+ 3+)+ Eliminac Eliminación ión ormali ormalizand zando++++ o+++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++++ +++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++ ++++++++++++++6 ++++6 3+)+3 3+)+3 auss-.ord auss-.ordan++ an+++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++++ +++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++ ++++++++++++++ +++7 7 3+)+/ 3+)+/ Matriz Matriz Inversa++ Inversa+++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++++++++ ++++++++++++++++ +++++)8 )8 3+)+0 3+)+0 1actorizac actorización ión %#++++++++ #+++++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ +++++++++++++)) ++++++++)) 3+)+2 3+)+2 auss-!e auss-!eidel idel+++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++++ ++++++++++++++++) +++++++++) 3+ 'ódigo 'ódigo de de P Prog rograma rama+++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++++++ +++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++ +++++++++++++ +++)3 )3 3++) 3++) Eliminac Eliminación ión sin sin normali normalizar+ zar++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++++++ ++++++++++++++)3 +++++)3 3++ 3++ Eliminac Eliminación ión ormali ormalizand zando++++ o+++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++)/ ++++++++++)/ 3++3 3++3 auss-.ord auss-.ordan++ an+++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++++++ ++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++)0 +++++++++)0 3++/ 3++/ Matriz Matriz inversa+ inversa++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++ ++++++++++++++++ +++++++++++++++++)0 +++++++)0 3++0 3++0 1actorizac actorización ión %#++++++++ #+++++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ +++++++++++++)2 ++++++++)2 3++2 3++2 auss-!e auss-!eidel idel+++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++++ ++++++++++++++++)4 +++++++++)4 3+3 Ejem9los Ejem9los de (9licac (9licación++ ión++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++ ++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++ +++++++++++++ ++)6 )6 3+/ Ejecutar Ejecutar los los 9rogram 9rogramas+++ as++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++++++ ++++++++++++++++++++ +++++++++++++ +++)7 )7 3+/+) 3+/+) Eliminac Eliminación ión sin sin normali normalizar+ zar++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++++++ ++++++++++++++)7 +++++)7 3+/+ 3+/+ Eliminac Eliminación ión ormali ormalizand zando++++ o+++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++8 ++++++++++8 3+/+3 3+/+3 auss-.ord auss-.ordan++ an+++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++++++ ++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++) +++++++++) 3+/+/ 3+/+/ Matriz Matriz inversa+ inversa++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++ ++++++++++++++++ +++++++++++++++++ +++++++ 3+/+0 3+/+0 1actorizac actorización ión %#++++++++ #+++++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ +++++++++++++3 ++++++++3 3+/+2 3+/+2 auss-!e auss-!eidel idel+++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++++ ++++++++++++++++/ +++++++++/ / 'onclusi 'onclusión++ ón+++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++ 0 0 :i*liogr :i*liograf;a af;a+++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++ +++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ ++++++++++ +++++++++++++++ +++++++++++++++++ +++++++0 0
)
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz
Métodos Eliminación sin normalizar, normalizando, auss-.ordan, matriz inversa, factorización %# y auss-!eidel 1 OBJETIVO Investigar los diferentes métodos 9ara as; 9oder crear un diagrama con su 9rocedimiento de resolución y a9licarlo en diferentes ejem9los de a9licación usando
2 INTRODUCCIÓN 2.1 ELIMINACIÓN SIN
NORMALIZAR Para resolver ecuaciones no lineales usando este método es necesario tener un sistema de ecuaciones, se selecciona como 9ivote a a )) y se 9rocede a
Para a)
(
b2 = b2 −
b1∗ a21 a11
( ( (
a23= a23−
a22= a22−
a21= a21 −
•
)
a 13∗a21 a11 a12∗a21 a11 a11∗a 21 a11
) ) )
=0
Para a3)
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz b3 =b3−
(
b1∗a31 a11
(
a 13∗a31
(
a12∗a31
(
a11∗a 31
a33 = a33 −
a32 = a32 −
a31 = a31 −
•
)
a11
a11
a 11
) ) )
=0
Para a3
b3 =b3−
(
b2∗ a32 a22
)
(
a 23∗a32
(
a22∗ a32
a33 = a33 −
a32 = a32 −
a22
a 22
)
)
=0
#na vez >ue o*tuvimos los ceros se 9rocede a calcular x , x , x 1
x 3=
x 2=
x 1=
b3 a33
(
b2− a23∗ x 3
)
a 22
b1−( a 13∗ x 3 )−( a12∗ x 2) a 11
3
2
3
+
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz
2.2 ELIMINACIÓN NORMALIZANDO Este método es similar al método sin normalizar a e=ce9ción de >ue en este método se normaliza cada ?la 9ara as; aue en el método sin normalizar 9ero sin dividir entre el 9ivote+ es9ués se normaliza la segunda ?la dividiendo * , a3, y a entre a e igual forma >ue en el método sin normalizar, 9ero sin dividir entre el 9ivote se ue o*tuvimos los ceros se 9rocede a calcular x , x , x 1
2
3
+
x 3=b3
x 2=b2− ( a23∗ x 3 ) x 1=b1−( a13∗ x 3 )− ( a12∗ x 2 )
2.3 $AUSS%JORDAN El 9rimer 9aso 9ara tra*ajar con este método es
2
#na vez
•
Para a)3 b1= b1−
(
a13∗b 3 a33
(
a13= a13− •
)
a 13∗a33 a33
)
=0
Para a3
/
3
+
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz b2= b2−
(
a23∗b 3 a33
(
a23 = a23 −
•
)
a 23∗a33 a33
)
=0
Para a)
b1= b1−
(
a12∗b2 a22
(
a12 = a12 −
)
a12∗ a22 a 22
)
=0
#na vez >ue o*tuvimos los ceros se 9rocede a calcular x , x , x 1
x 3=
x 2=
x 1=
2
3
+
b3 a33 b2 a22 b1 a11
2.& MATRIZ
INVERSA Este método es sencillo en 9rocedimiento 9ues *asta con
0
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz (l
2.' (ACTORIZACIÓN LU En este método contaremos con tres matrices A%, # y *B •
% 1
a21 a11
•
0
0
1
0
a31
a 32 '
a11
a 22 '
1
# !e o*tiene
•
: Matriz creada con los resultados
!e 9rocede a calcular la matriz D de la siguiente forma@
[ ][ ] [ ] 1
a 21 a 11
0
0
1
0
Z 1 Z 2
a 31
a32 '
a 11
a22 '
1
b1
=
Z 3
b2 b3
#na vez calculada la matriz D se calcula la matriz C, >ue será la matriz con los resultados, de la siguiente forma@
[ ][ ] X 1
Z 1
2
Z 2
X 3
Z 3
[ MatrizU ] X =
2
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz
2.) $AUSS%SEIDEL Este método se *asa en iteraciones 9ara o*tener una a9ro=imación segn el margen de error solicitado+ !e usan las siguientes formulas en cada iteración ue 9ara la 9rimera iteración X ( )= X ( )= X ( )=0 1 0
X 1 (1) =
X 2 (1) =
X 3 (1 )=
(
b 1− a 12∗ X 2
)− ( a ∗ x ) 13
3
a11
(
b2− a21∗ X 1
) −( a ∗ x ) 23
3
a22
(
b3− a31∗ X 1
) −( a ∗ x ) 32
2
a33
4
2 0
3 0
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz
3 DESARROLLO 3.1 DIA$RAMAS
DE (LUJO
3.1.1 Eli*i+a,i-+ "i+ +r*aliar
6
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz 3.1.2 Eli*i+a,i-+ Nr*alia+/
7
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz 3.1.3 $a0""%Jr/a+
)8
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz 3.1.& Ma!ri I+ver"a
))
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz 3.1.' (a,!ria,i-+ LU
)
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz 3.1.) $a0""%Sei/el
)3
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz
3.2 CÓDI$O DE PRO$RAMA 3.2.1 Eli*i+a,i-+ "i+ +r*aliar
% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales % Método de Eliminación sin normalizar % Autor: Alejandro Rosas Prieto clear all; clc; print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por el método de Eliminación sin normalizar#n#n"; A& input !"Matriz A: "; '& input !"(ector de terminos independientes ': "; )n* +,&size!A; -istema./ngresado&)A ', or i&0:n10; or 2&i30:n ; m&A!2*i4A!i*i; or j&i30:n; A!2*j& A!2*j1m5A!i*j; end A!2*i&6; '!2&'!21m5'!i; end end A&)A ', or i&n:10:0; 7&6; or j&i30:n 7&73A!i*j58!j; end 8!i&!'!i174A!i*i; end 8
)/
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz 3.2.2 Eli*i+a,i-+ Nr*alia+/
% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales % Método de Eliminacion normalizando % Autor: Alejandro Rosas Prieto clear all; clc; print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por el método de Eliminación normalizando#n#n"; A& input !"Matriz A: "; )r*c,&size!A; Matriz.A&A %Eliminación 9acia adelante or 2&0:c or i&230:r or j&c:10:2 A!2*j&A!2*j4A!2*2; A!i*j&A!i*j1!A!i*25A!2*j; end end end copia&A!r*r; or 2&r:0:c A!r*2&A!r*24copia; end A %sustitución 9acia atrás 8!r&A!r*c; or i&r10:10:0 7&6; or j&i30:r 7&73A!i*j58!j; end 8!i&!A!i*c174A!i*i; end 8
)0
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz 3.2.3 $a0""%Jr/a+ % Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales % Método de auss ordan % Autor: Alejandro Rosas Prieto clc clear all print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por el método de auss1ordan#n#n" ; A& input !"Matriz A: "; )r*c,&size!A; Matriz.A&A %pi
3.2.& Ma!ri i+ver"a clc clear all print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por el método de Matriz /n10 or 7&0:r =!7*0&A!7*c; end
)2
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz Ans&/n<5=
3.2.' (a,!ria,i-+ LU
% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales % Método de ?actorización L@ % Autor: Alejandro Rosas Prieto clear all; clc; print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por el método de ?actorizacion L@#n#n"; A& input !"Matriz A: "; '& input !"(ector de terminos independientes ': "; )r* c,&size!A; Matriz./ngresada&)A ', L&)0 6 6; 6 0 6; 6 6 0,; L!*0&A!*04A!0*0; L!B*0&A!B*04A!0*0; or i&0:r10; or 2&i30:r ; m&A!2*i4A!i*i; or j&i30:r; A!2*j& A!2*j1m5A!i*j; i 2&&B i j&& L!B*&A!B*4A!*; end end end A!2*i&6; '!2&'!21m5'!i; end end C!B*0& '!B*04A!B*B; C!*0& !'!*01!A!*B5C!B*04A!*; C!0*0& !'!0*01!A!0*B5C!B*01!A!0*5C!*04A!0*0; L @&A Ans&C
)4
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz 3.2.) $a0""%Sei/el
% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales % Método de auss1-eidel % Autor: Alejandro Rosas Prieto clear all; clc; print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por el método de auss1-eidel#n#n"; A& input !"Matriz A: "; E& input !"Error: "; )r* c,&size!A; or 7&0:r D!7*0&A!7*c; end C0&6; C&6; CB&6; Ea0&6; Ea&6; EaB&6; c&6; +9ile Ea0&EFFEa&EFFEaB&E C0ant&C0; C0&!D!0*01!A!0*5C1!A!0*B5CB4A!0*0; Cant&C; C&!D!*01!A!*05C01!A!*B5CB4A!*; CBant&CB; CB&!D!B*01!A!B*05C01!A!B*5C4A!B*B; Ea0&!!C01C0ant4C05066; Ea&!!C1Cant4C5066; EaB&!!CB1CBant4CB5066; c&c30; end /teraciones&c C0 C CB
)6
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz
3.3 E JEMPLOS DE APLICACIÓN
)7
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz
3.& E JECUTAR
LOS PRO$RAMAS
3.&.1 Eli*i+a,i-+ "i+ +r*aliar
8
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz 3.&.2 Eli*i+a,i-+ Nr*alia+/
)
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz 3.&.3 $a0""%Jr/a+
3.&.& Ma!ri i+ver"a
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz
3
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz 3.&.' (a,!ria,i-+ LU
/
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz 3.&.) $a0""%Sei/el
0
I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(% E!IMEz
& CONCLUSIÓN En conclusión, cada uno de los métodos tiene su lado 9ositivo y negativo 9or ejem9lo el método de auss-!eidel el cual 9odemos tra*ajar con valores iniciales 9ero el tra*ajo es más 9ues las iteraciones suelen ser mucue res9ecta a auss-.ordan, el método 9uede 9arecer uno de los más fáciles, 9ero no es as;, 9ues en este método se llega al resultado de la eliminación gaussiana 9ero, a 9esar de >ue se 9uede o*tener el resultado con eso, tam*ién se de*e de a9licar el método de .ordan lo >ue ue >ueremos o*tener+ %a 1actorización %# no es de gran com9lejidad, 9ero si te e>uivocas en algn calculo al 9rinci9io del método 9erderás tiem9o calculando una a9ro=imación >ue no será correcta+ En mi o9inión, el método de eliminación normalizando es el más rá9ido, con?a*le y menos com9licado de a9licar a la
' BIBLIO$RA(A Mé t o do snu mé r i c o spa r ai n ge ni e r o s.Qui St eavenC,Chapr a. nt aedi c i ón .L ug ar :Mc Gr a w Hi l l ,200 7.
2
