Propiedades de la matriz inversa
La inversa de una matriz, si existe, es única. La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:
Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:
Y, evidentemente:
Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:
donde de A.
es el determinante de A y
es la transpuesta transpuest a de la matriz de adjuntos
[editar editar]] Demostración de la unicidad de la inversa Supongamos que B y C son son inversas de A AB = BA = I AC = = CA = I
Multiplicando por C BA)C = ( BA = IC = = C BA)C = AC ) = BI = ( BA = B( AC = B
De modo que B=C y y se prueba que la inversa es única.
[editar editar]] Demostración del criterio de inversibilidad inversibilidad de las matrices cuadradas Se probará la doble implicación.
[editar editar]] Necesidad Suponiendo que existe B tal que AB = BA = I . Entonces al aplicar la función determinante se obtiene
usando la propiedad det( I ) = 1
Por lo tanto, det( A) es distinto de cero.
[editar editar]] Suficiencia Suponiendo que el determinante de A es distinto de cero, sea aij es el elemento ij de la la matriz A y sea Aij la matriz A sin la fila i y la columna j (comúnmente conocida como jésimo menor de A). Entonces
Sea
, entonces
Esta afirmación es válida propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación nos conduce a una matriz con la columna j igual a la columna k y y los demás términos iguales a los de A. Entonces
donde δ jk = 1 cuando j = k y k y δ jk = 0 cuando
Es decir que A tiene inversa izquierda
. Entonces
[editar editar]] Necesidad Suponiendo que existe B tal que AB = BA = I . Entonces al aplicar la función determinante se obtiene
usando la propiedad det( I ) = 1
Por lo tanto, det( A) es distinto de cero.
[editar editar]] Suficiencia Suponiendo que el determinante de A es distinto de cero, sea aij es el elemento ij de la la matriz A y sea Aij la matriz A sin la fila i y la columna j (comúnmente conocida como jésimo menor de A). Entonces
Sea
, entonces
Esta afirmación es válida propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación nos conduce a una matriz con la columna j igual a la columna k y y los demás términos iguales a los de A. Entonces
donde δ jk = 1 cuando j = k y k y δ jk = 0 cuando
Es decir que A tiene inversa izquierda
. Entonces
Como
, entonces AT también tiene inversa izquierda que es
Entonces
luego, aplicando la transpuesta
Que es lo que se quería demostrar
[editar editar]] Métodos de inversión de matrices [editar editar]] Solución analítica [editar editar]] Inversión de matrices 2×2 Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy mu y sencillo. Se puede hacer de 1 la siguiente manera: manera:
Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero.
Ejemplo numérico:
[editar editar]] Inversión de matrices de órdenes superiores Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:
Donde y
es la matriz adjunta, de la matriz original; es la matriz de adjuntos de A.
es el determinante de A
[editar editar]] Métodos numéricos El método de eliminación de Gauss-Jordan puede Gauss-Jordan puede utilizarse para para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición descomposic ión LU LU,, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada
Rango de una matriz
Se llama menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).
En una matriz cualquiera Am×n puede haber varios menores menores de un cierto orden p dado.
Definición El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A).
Consecuencia Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
Cálculo del rango usando determinantes Si a un menor M de orden h de la matriz A se le añade la fila p y la columna q de A (que antes no estaban en el menor), obtenemos un menor N de orden h+1 que se dice obtenido de M orlando este menor con la fila p y la columna q.
Ejemplo El método para el cálculo del rango es un proceso iterado que sigue los siguientes pasos: Antes de comenzar el método se busca un elemento no nulo, ya que si todos los elementos son 0, el rango será 0. El elemento encontrado será el menor de orden k=1 de partida.
1. Se orla el menor de orden k hasta encontrar un menor de orden k+1 no nulo. Cuando se 2. 3.
encuentra un menor de orden k+1 no nulo se aplica a éste el método. Si todos los menores orlados obtenidos añadiéndole al menor de partida los elementos de una línea i0 son nulos, podemos eliminar dicha línea porque por que es combinación de las que componen el menor de orden k . Si todos los menores de orden k+1 son nulos el rango es k. (Si aplicamos bien el método en realidad, al llegar a este punto, la matriz tiene orden k).
Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss
Transformaciones elementales Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango varíe. Es fácil comprobar que estas transformaciones no varían el rango usando u sando las propiedades de los determinantes
1. Si se permutan 2 filas ó 2 columnas el rango no varía. 2. Si se multiplica o divide una línea por un número no nulo el rango no cambia. 3. Si a una línea de una matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por un número no nulo 4.
el rango no varía. Se pueden suprimir las filas o columnas que sean nulas, las filas o columnas que sean que sean proporcionales a otras, sin que que el rango de la matriz varíe.
Método de Gauss El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la diagonal principal se anulen ( aij = 0, i>j). Para conseguir "triangularizar" la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula. Una vez aplicado este proceso de triangularización, el rango de la matriz es el número de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fácil probarlo usando las propiedades de los d eterminantes.
Determinantes Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
, con (Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i() es la signatura de la permutación) También se suele escribir:
Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3 Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:
En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:
Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento a ij. Dada la matriz
la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:
Llamamos menor complementario del elemento a ij al determinante de la matriz complementaria del elemento aij , y se representa por ij Se llama adjunto de a ij , y se representa por por Aij, al número ( – 1)i+jij.
El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos. Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:
La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad.
Nota Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros Ejemplo
Propiedades de los determinantes Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.
det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...) Ejemplo
Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.
det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...) Ejemplo
Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica: det (A·B) = det (A) · det (B) Ejemplo
Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:
det (L1, L2, L3...) = det (L2, L1, L3...) Ejemplo
Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero. det (0, L2, L3...) = 0 Ejemplo
Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero. det (L1, L1, L3...) = 0 Ejemplo
Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula. det (L1, k·L1, L3...) = 0 Ejemplo
Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.
det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0 Ejemplo
Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía. det (F1 + F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) + det (F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) Ejemplo
Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.
det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k·L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0 Ejemplo
Cálculo de determinantes por el método de Gauss
Se conoce cómo método de Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando las propiedades de éstos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes. Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones:
Permutar 2 filas ó 2 columnas. Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo. Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
Cálculo de la matriz inversa usando determinantes
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (A ij). Ejemplo Si tenemos una matriz tal que det (A) 0, se verifica:
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas). Ejemplo
Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangularización superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangularización inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa. Matriz inversa
Dada una matriz A, ¿Podremos encontrar otra matriz B tal que A·B=B·A=I? Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A -1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas.
Condición necesaria y suficiente para que una matriz sea invertible es que no sea singular, es decir, que su determinante sea no nulo |A| ≠ 0
Cálculo de la matriz inversa 1. Método de Gauss-Jordan Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1). Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3. b) Permutar dos filas c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.
La matriz inversa de A es
Matriz Inversa por el Método de Gauss-Jordan
AX=Y
matriz aumentada.
Solo son invertibles para sistemas cuadrados. Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de coeficientes orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: Paso 1. Construir la matriz n 2n M = (A
I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la
matriz identidad I en la derecha. Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal
principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo. Ejemplo:
Consideremos una matriz 3 3 arbitraria
Paso 1.
Paso 2.
Ejemplo:
Supongamos que queremos encontrar la inversa de
La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado ( A no es invertible). A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.
,
,
,
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:
Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.
por
=
Resolver Ejemplo 1: Si el sistema tiene solución única y escuadrado pude ser invertible.
al aplicar Gauss es observable que el sistema tendrá una infinidad de soluciones Como analizaremos más tarde , el determinante debe ser diferente de cero, para este caso Det (M)=0
Ejemplo:
Det (M) = -4
El sistema sí es invertible, y M -1 es:
Encontrando la inversa de una matriz Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices n × n. Para ello se aumenta la matriz dada, digamos A con una matriz identidad simplemente escribiendo las filas de la identidad a continuación de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada:
se construiría
y ahora se realizan las operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada que sean necesarias para obtener la forma escalonada reducida de la matriz A; sumando tanto a la segunda como a la tercera fila la primera obtenemos
multiplicamos la segunda fila por -1 y la intercambiamos con la primera
ya tenemos el pivote de la primera fila que usamos para hacer ceros debajo
ahora usamos el pivote de la segunda fila
y por último cambiamos de signo la tercera fila y usamos el pivote correspondiente
El proceso ha finalizado porque en la parte izquierda tenemos la forma escalonada reducida de A y puesto que ésta es la matriz identidad, entonces A tiene inversa y su inversa es la matriz que aparece a la derecha, en el lugar que al principio ocupaba la identidad. Cuando la forma escalonada reducida que aparece no es la identidad es que la matriz de partida no tiene inversa.
Ejercicios resueltos de matr iz inversa 1Calcular
por el método de Gauss la matriz inversa de:
2Calcular
por el método de Gauss la matriz inversa de:
3Hallar
por determinantes la matriz inversa de:
4¿Para
qué valores de x la matriz
no
admite matriz inversa?
5Para
qué valores de
x la matriz
admite matriz inversa?
Ejercicios resueltos de matr iz inversa
1 Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:
no
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el método Gauss para t ransformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.
F2 - F1
F3 + F2
F2 - F3
F1 + F2
La matriz inversa (-1) F2
es:
Ejercicios resueltos de matr iz inversa
2 Calcular por el método de Gauss la m atriz inversa de:
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el método Gauss para t ransformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.
Ejercicios resueltos de matr iz inversa
3 Hallar por determinantes la matriz inversa de:
Ejercicios resueltos de matr iz inversa
4
¿Para qué valores de x la matriz admite matriz inversa?
Para cualquier valor real de m existe la matriz inversa A -1
Ejercicios resueltos de matr iz inversa
5
no
Para
qué
valores
de
x
la
matriz
no
admite matriz inversa?
Para x = 0 la matriz A no tiene inversa.
OPERACIONES CON MATRICES Sean las siguientes tablas se consignan los precios de dos artículos de diferentes calidad ofrecidos en dos almacenes:
Primer almacén: Calidad A
Calidad B
Artículos X
60
40
Artículos Y
70
50
Segundo Almacén: Calidad A
Calidad B
Artículos X
50
30
Artículos Y
80
40
1. 1. Representa los precios de los artículos en dos matrices. 2. 2. Si se desea comprar una muestra de cada calidad en los dos almacenes,¿cuánto dinero se debe pagar por articulo? 3. 3. Representa la solución en una matriz
Adición de matrices Con dos matrices del mismo orden se pueden formar una nueva matriz, cuyos elementos se obtienen sumando las componentes correspondientes de las matrices. Así si Amxn = (a ij) mxn y Bmxn = (b ij) mxnla suma de A y B es la matriz A+B de orden mxn obtenida al sumar los elementos correspondientes de A y B. La matriz A+B de orden mxn esta dada por:
a11+ b11 A+B = [ aij+ bij ] =
a12 + b12 .......... a1n + b1n
a21+ b21
a22 + b22 .......... a2n + b2n
am1+ bm1
am2 + bm2 .......... amn + bmn
Diferencia de matrices La diferencia de dos matrices es un caso particular de la suma. Como toda matriz A puede ser multiplicada por el escalar (-1) para obtener – A, reducimos la resta de dos matrices a la suma de la matriz minuendo, con la matriz sustraendo multiplicada por el escalar (-1). Si A y B son matrices del mismo orden: A-B = A+ (-1)B Ejemplo: Dadas lasa matrices
A=
-4
5 -2
1
3
-2 -1
4
y B=
-2 -1 -5
0
5 1/2 -3
1
5
-5
Calcular: A-B -4
5 -2
1
3
4
-2 -1 -5
-(-2) +
-(+5)
-(-1) -(1/2)
-(-3) -(+5)
0 -(+1) -(-5)
=
-4
5 -2
1
3
4
2 +
-5
-2 -1 -5
1
0
-1/2 -1
3 -5
5
=
-2
6
-2
-5
-1/2
-1
3
-5
5
Producto de matrices Sean las matrices A y B llamaremos producto de matrices A y B, en ese orden, a la matriz C cuyo elemento genérico Cij es la suma de los productos de la fila i de A por los correspondientes elementos de la columna j de B, o sea : C = A . B en donde: Cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j +..........+aip . bpj de acuerdo con la definición, para que dos matrices se puedan multiplicar, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda, como por ejemplo:
Producto de una matriz por un escalar Dada una matriz A mxn = (a ij) mxn y un numero real K , el producto de K.A es la matriz de orden mxn que se obtiene de multiplicar cada elemento de A por K K. Amxn = ( K. a ij) mxn Considera la matriz: A=
-1
2
4
5
La expresión 3.A denota tres veces la matriz A como sumando; es decir el producto entre tres y la matriz A
3.A=
-3
6
12
-15
En general: Para multiplicar una escalar por una matriz, se multiplica el escalar por cada elemento de la matriz: a b K.
Ka
Kb
Kc
Kd
= c d
ATRÁS
SI GUI ENTE
Ver Ejercicios del 1 al 9
INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA La Matriz A es inversible o regular o no singular, si y solo si existe una matriz B tal que su producto por A, a izquierda o derecha, es la IDENTIDAD
AB=BA=I A inversa de A, si existe, se la denota mediante A -1. Siendo por definición:
A A-1 = A-1 A = I Observamos que A y son inversas entre si, y en consecuencia
(A-1 )-1 = A
Para determinar la inversa de una matriz, si es que existe, se utiliza Operaciones Elementales o Método de Gauss. El método de Gauss nos permite determinar el rango de una matriz mediante un número finito de operaciones elementales del tipo: Permutación de dos filas entre si, o de dos columnas entre si, Multiplicación de una fila o de una columna por un escalar no nulo, Adición de una fila a otra ,o adición de una columna a otra. Señalamos que se opera exclusivamente sobre las filas de la matriz, y que además el método se hace extensivo a la determinación de la inversa de una matriz no singular y a la resolución de sistemas lineales. Esencialmente, mediante las operaciones elementales indicadas, se trata de formar el máximo numero de vectores canónicos linealmente independientes. Tal número es precisamente, el rango de la matriz. A continuación se muestra como se obtiene la matriz inversa utilizando las operaciones elementales:
El método de Gauss Jordán también nos ofrece otra manera de hallar la inversa de una matriz la mecánica del procedimiento a seguir es la siguiente: 1. Se elige como pivote cualquier elemento cualquier elemento no nulo de la matriz dada, y se divide por él la fila correspondiente. 2. Los restantes elementos de la columna del pivote se transforman en ceros. 3. el transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina siguiendo la regla del "rectángulo", es decir, es igual a su diferencia con el producto contradiagonal dividido por el pivote. 4. Se reitera el mecanismo eligiendo como pivote un elemento no nulo que no pertenezca ni a la fila ni a la columnas de los pivotes anteriores. 5. El número de vectores canónicos linealmente independientes es el rango de una matriz
A
I
Sea A una matriz no singular de orden n x n, a su derecha se escribe la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. La matriz así indicada es del tipo n x 2n, y a ella se le aplica el método de Gauss Jordán hasta lograr que A se transforme en identidad
A
I
I
B
Si los vectores canónicos obtenidos no resultan ordenados de modo que constituyan una matriz diagonal , la identidad se logra mediante una adecuada permutación de filas de la matriz completa. la matriz resultante a la derecha es la inversa
ATRÁS
SIGUIENTE
Ver Ejercicio 10
Trasposicion de Matrices
La trasposición de una matriz A es una operación que consiste en colocar las filas de A en forma de columna, respetando su orden. Se obtiene de esta manera otra matriz que se llamará la traspuesta de A y se representará por A t. Si
-1 A=
-1
2
0
1
2
3
entonces
At =
1
2
2
0
3
En consecuencia, para hallar la traspuesta de una matriz, se cambian filas por columnas. Observamos, además, que toda matriz 1 x 1 es igual a su traspuesta
La traspuesta de una suma es la suma de las traspuestas, o sea:
( A + B )t = At + Bt La traspuesta del producto de un escalar por cualquier matriz es igual al producto del escalar por la traspuesta de la matriz
(
A )t =
Ejemplo:
At
-1
0
0
A= 0
0
1
0
1
0
a y
B=
b c
Calculamos: ( Bt . A )t Como
Bt. A = ( a
-1
0
0
0
b c). 0
1
0 1
=
( -a
c
b)
0
-a resulta entonces que: ( Bt . A )t =
c b
La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto de las traspuestas en orden permutado, o sea:
( A . B )t = Bt . At
La trasposición verifica que:
( At ) t = A Hacer click en el siguiente boton (simulador) y podrás obtener la traspuesta de algunas matrices. Observa la relación que hay entre los elementos de A y At.
CASOS ESPECIALES DE TRASPOSICIÓN DE MATRICES
En algunas ocasiones, la trasposición produce resultados especiales, a tener en cuenta. Es el caso de lo que se denomina matriz simétrica y matriz antisimétrica.
ATRÁS SIGUIENTE
Ver Ejercicios 11 al 22
Determinante; definición y elementos Toda matriz cuadrada A tiene asociado un numero real, denominado determinante y se simboliza: A
una matriz y su correspondiente determinante tienen el mismo orden.
Calculo del determinante de una matriz El valor del determinante de una matriz de orden 1 es el valor del único elemento de la misma A1x1 = (a11) entonces A a El valor del determinante de una matriz de orden 2 es el producto de los elementos a y ade la diagonal principal menos el producto de los elementos a y a .El primer termino a a lleva el signo + porque la permutación de los índices de las columnas (1,2) es par. El segundo terminoa a lleva el signo - ya que la permutación de los índices de las columnas (2,1) es impar
Para calcular el valor del determinante de una matriz cuadrada de orden 3 se aplica un método conocido con el nombre de Regla de Sarrus que consiste en escribir ,a continuación de la tercera fila, la primera y segunda filas en ese orden:
En el desarrollo aparecen 3!=6 sumandos. En cada uno de ellos intervienen 3 factores entre los que hay un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna. Cada sumando va precedido del signo + ó – según la paridad de la permutación formada por los índices de columnas. Así, el término a12 . a21 . a33 lleva signo menos ya que la permutación (2, 1, 3) es impar.
En siguiente simulador podrás encontrar una determinante de 3x3 solo debes colocar el valor de los coeficientes con los controles que se encuentran en la parte superior e inferior del simulador
matricial Se llama Sistema de ecuaciones a un conjunto formado por mas de una ecuación. Los Sistemas se denotan de acuerdo con sus dimensiones. si un sistema consta de m ecuaciones con n incógnitas el sistema se llama de dimensión n x m se puede resolver por diferentes métodos. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se llama sistema de 2 x 2.
Solución de una ecuación: Se llama solución de una ecuación al conjunto de valores de la variables que satisfacen las ecuaciones simultáneamente. Por ejemplo en el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 3x-4y=5 6x-7y=3 son solución los valores: x = -23/3, y = -7 En cambio, los valores x = 4 e y = 2 no son solución porque al reemplazar a las variables x,y por estos valores, no se cumple la igualdad La solución del sistema debe satisfacer las ecuaciones simultáneamente. Un sistema de dos ecuaciones lineales con las incógnitas x e y viene dado por: a11 x + a12 y = b1
Donde a11,a12,a13,a21,a22,b1,b2 son números reales
a21 x + a22 y = b2 Puede expresarse como: a11
a12
x *
a21
a22
A.X=B
b1 =
y
F orma matri cial del sistema b2
A-1 . A . X = A -1 . B
X = A-1 . B
Dado el sistema: x - 2y = 1
su forma matricial es:
1
-2
x
1 - x + 3y = 2
*
=
-1
3
y
2
Calculo de A-1: 2c=3c 1 -2 y a=3
a – 2 c = 1 a
b
* -1 3 = 3 d – 1
1
0
-a + 3 c = 0
= c
1+ c=1
b -2d=0
d
0
1
-b+3d=1
2d d=
1 y b=2
x
3
X = A-1 . B
2
=
1 *
y
1
1
2
x
3.1 + 2 .2
7
1.1+ 1.2
3
=
x=7 e y=3 y
al representar una función lineal en un plano de coordenadas cartesianas se obtiene una recta que pasa por el origen. Al representar una función de grafica lineal, se obtiene una recta que corta al eje vertical en el punto P En el siguiente simulador podrás encontrar la solución de cualquier sistema de ecuaciones con dos incógnitas cambiando los coeficientes a 11, a12, a21 , a22 ,b1 y b2
Interpretación geométrica de la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: Solucionar un sistema de ecuaciones con dos incógnitas consiste en encontrar valores para x e y que satisfagan ambas ecuaciones. Gráficamente, resolver un sistema de ecuaciones consiste en establecer el punto de corte de las rectas. Por lo tanto, en un sistema se puede presentar una de las siguientes situaciones:
El sistema tiene una solución La solución es un punto P o= (x1,y1)
Que pertenece a las dos rectas. Esto significa que las rectas se interceptan en el punto (x1,y1)
y1
El sistema tiene infinitas soluciones Las rectas se interceptan en un infinito número de puntos. Las dos ecuaciones corresponden a la misma recta.
r 1 = r 2
x1
Sistema Compatible indeterminado
Sistema Compatible determinado ATRAS
SIGUIENTE
Sistema de Ecuaciones de 3x3. Método matricial Mientras las ecuaciones lineales de dos dimensiones representan rectas, las ecuaciones ax + by +cz = d , representan planos. lineales con tres variables: Para representar un plano se necesitan tres puntos que no estén en la misma recta. Y estos se determinan encontrando tres soluciones de la ecuación a representar.
Ejemplo: Representar gráficamente la ecuación 4x + 3y + 2z = 12
Solución: Buscamos tres triplas que satisfagan la ecuación. Las triplas mas fáciles de encontrar son las correspondientes a los puntos de intersección del plano con cada uno de los ejes. Estas se obtienen al hacer que dos de las tres variables sean cero y resolviendo la ecuación para la otra.
Ubicamos en el eje de tres coordenadas y trazamos el plano determinado por la ecuación 4x + 3y + 2z = 0. Todos los puntos que pertenezcan a este plano son soluciones de la ecuación.
Solución de los sistemas de tres Ecuaciones con tres variables. En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Cada una de las ecuaciones representa un plano. De acuerdo con las posibles relaciones que se den entre los tres planos, se determina el tipo de solución que tiene el sistema
Teorema de Cramer La regla de Cramer es un método para resolver, mediante el uso de determinantes, sistema de ecuaciones cuadrados, es decir, que contengan el mismo número de
ecuaciones que de incógnitas. El procedimiento se explica para un sistema de ecuaciones de 2 x 2 y de manera análoga se puede resolver cualquier sistema cuadrado de n x n. El valor de cada variable es el cociente entre el determinante que se obtiene al sustituir, en el determinante del sistema, la columna de coeficientes de la variable por la columna de los términos independientes, y el determinante del sistema .
A.X=B
como A es no singular, premultiplicamos por su inversa
A-1 . ( A . X ) = A-1 . B ( A-1. A) . X = A-1 . B 1 . X = A-1 . B
asociando Luego
en consecuencia
X = A-1 . B es la única solución del sistema Resolvemos mediante el teorema de Cramer el siguiente sistema:
x1 + 2 x2 - 2 x3 = - 1 x1
- x3 = - 1
2 x1 - x2 + x3 = 3
la matriz de coeficientes es
A=
1
0
1
2 -2
2
-1
-1
1
y su inversa será ( ver simulador para determinar la inversa de la matriz ): y su inversa, determinada por el simulador, es:
A-1=
0
1/5
2/5
-1
3/5
1/5
-1
1/5
2/5
Como la solución es X
X=
Entonces:
= A-1. B, se tiene:
0 1/5
2/5
-1 3/5
1/5
-1 1/5
2/5
-1 .
– 1
1 =
3
-1 0
x1=1 ; x2= -1 y x3 = 0
En general: a11 x + a12 y + a13 z = b11 a21 x + a22 y + a23 z = b21 a31 x + a32 y + a33 z = b31 En el siguiente simulador podrás obtener mediante la regla de Cramer la solución de un sistema de ecuaciones de 3 X 3
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es Homogéneo si todos los términos independientes son nulos, es decir :
a11 x + a12 y + a13 z = 0 a21 x + a22 y + a23 z = 0 a31 x + a32 y + a33 z = 0 Todo sistema de ecuaciones homogéneo es consistente, ya que una solución es:
x1= x2= ........= xn = 0, esta solución se denomina Solución trivial. En el caso que haya otras soluciones se denomina Solución no trivial
Atrá s
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ver ejer cicio 27
Ejercitación Ejercicios 1- 9 10 11- 22 23 - 26 27
Ejercicios del 1 al 9 1.
Indicar el orden de cada una de las siguientes matrices:
2
1
0
2
A=
B= 3
2
-1
2
3
-2 1
0
2 C=
6
4
-3
1/3
D=
0 1
2.
Calcular el valor de K y P, en cada uno de los casos, para que las matrices A y B resulten iguales
a)
2
2+k
A=
2
4-k
p+5
3
y B= -1
3
b)
2 k+p
4
A=
3+p y
8
-3
4
B= 8
3p-k
3.
Dadas las siguientes matrices:
3
2
1
C=
3 -1
2
D= -3
2
4
3
4
-1
0
3
E= 0
1 -1/2
2
Hallar el resultado de las siguientes operaciones
a)C + E b) C + 2.D c)1/3. E 1/2. D –
d) C ( D + 2 E) –
4. Un
fabricante de productos químicos posee 3 plantas. La producción en las dos ultimas semanas esta consignada en la siguiente tabla Semana 1
Betún
Pegante
Cera
Planta 1 Planta 2 Planta 3
3000 2000 1500
1600 1700 2500
1800 2500 4000
Semana 2
Betún
Pegante
Cera
1600
2000
3100
1700 1800
2100 2200
2600 1950
Planta 1 Planta 2 Planta 3
a) Determina una matriz A para la producción de la primera semana. b) Determina una matriz B para la producción de la segunda semana. c) Adiciona los datos respectivos por fila y columna de las tablas. d) ¿Qué representa cada uno de los datos de la matriz A + B ?
5. En una fabrica de artículos deportivos, la producción por hora en tres talleres esta relacionada por la matriz:
Taller 1 Taller 2 Taller 3
8 9 7
6 5 11
13 15 21
17 24 32
17 25 16
40 41 42
37 32 35
a) A cada columna asígnale el nombre de un articulo deportivo. b) Explica que representa la tercera columna de acuerdo al articulo que le asignaste. c) ¿Cuál es la producción durante 5 horas en el taller dos? d) ¿Cuál es la producción durante 6 horas en cada taller? Representa dicha producción como la matriz 6F e) ¿qué indican las matrices 2F, 3F y 8F?
Producto de matrices 6.
A un fabricante de ropa le han pedido 5 pantalones, 3 sacos, 12 camisas y 16 corbatas. El precio de cada pantalón es de $65, el de un saco $72. el de una camisa $44 y el de cada corbata $20.
a)
Expresa mediante una matriz fila el pedido de ropa.
b)
Expresa el precio unitario de la ropa en una matriz columna.
c)
7.
Utiliza el producto de matrices para calcular el dinero que recibe el fabricante.
Completar en cada caso el orden de la matriz para que se verifique que A . B = C
a)
A2 x 3 . B3 x 3
b)
A3 x 2 . B............. = C3 x 5
c)A
8.
. B1 x 3
= C...........
= C2 x 3
………
Calcular los siguientes productos, indicando en cada caso el orden de la matriz producto
a)
2 2
3
1
1
0 -1
.
0 1
b)
2 -1 0 1
0 1/2
1 3
.
0 2 ½
c)
3
-1
2
1
1
–
3 0 ½
.
2 0
9. En una empresa, la cantidad de vehículos, por modelo, en cada ruta de transporte urbano, esta indicado por la tabla T: T
Modelo A
Modelo B
Modelo C
Modelo D
Ruta 1 4 7 4 2 Ruta 2 2 6 5 4 Ruta 3 1 2 5 8 En cada día de la semana, el consumo de galones de gasolina por modelo está indicado en la tabla G: G Modelo
Lunes
Martes Miércoles
Jueves
Viernes
12
8
11
10
15
Modelo B
7
9
6
7
23
Modelo C
9
8
8
28
9
Modelo
15
16
15
19
6
A
D
a) Escribe las matrices T y G determinadas por las tablas. b) Realiza el producto de T x G. Observa que al multiplicar la primera fila de T por la primera columna de G se obtiene: 4 x 12 + 7 x 7 + 4 x 9 + 2 x 15 = 163 que representa el consumo de gasolina el día lunes en la ruta 1 c) ¿ Que representa cada fila de la matriz T x G? d) ¿ cual es el consumo de gasolina en la ruta 3 el día jueves?
Ejercicio 10 10. Hallar, si existe, la inversa de: a) 1
2
A = -1
3
b)
A=
1
0
-1
1
2
-2
2
-1
1
VOLVER
c)
A=
1
-1
1
0
0
1
1
2
1
1
-1
1
1
1
0
2
1
1
0
1
-2
0
1
1
-1
0
0
1
-1
-1
0
1
d)
M=
0
e)
A=
f)
B=
1
-1
0
0
1
-1
-1
0
2
0
Ejercicios 11 al 22
VOLVER
11.- ¿Qué posición ocupa el elemento a24 tras realizar la trasposición de la matriz A? ¿Qué posición ocupa el elemento aij tras realizar la trasposición de la matriz A? 12.- ¿Qué posición ocupan el elemento a22 en la matriz traspuesta? ¿Qué posición ocupan, en general, los elementos aii en la matriz traspuesta? 13.- ¿Qué posición ocupa la fila tercera de A en la matriz traspuesta? 14.- ¿Qué sucede con las columnas de A al realizar la trasposición? 15.- ¿Qué matriz se obtiene al realizar la trasposición de A dos veces consecutivas? Intenta representar esta propiedad en forma de expresión matemática (fórmula). 16.- ¿Qué relación existe entre el número de filas y el número de columnas de una matriz simétrica? ¿Y en el caso de una antisimétrica? 17.- ¿Qué matriz se obtiene al trasponer una matriz simétrica? 18.- ¿Qué matriz se obtiene al trasponer una matriz antisimétrica? 8.4.- ¿Qué sucede con los elementos de la diagonal principal en el caso de una matriz antisimétrica? ¿A qué se debe este fenómeno? 19.- ¿Qué sucede con los elementos que no están en la diagonal principal en el caso de las matrices simétricas? ¿Y en las antisimétricas? 20.- ¿Cuál será la condición que debemos respetar para construir una matriz simétrica? 21.- ¿Cuál será la condición que debemos respetar para construir una matriz antisimétrica? 22.- ¿Es posible construir una matriz que sea simétrica y antisimétrica simultáneamente?
Ejercicios 23 al 26
VOLVER
23.- Aplica el método de Sarrus para calcular los determinantes asociados a las siguientes matrices:
4 a)
9 1
7 9 -2
b)
-5 3 2
½
-3
2
9
-2
3
-1
4
6
-3 c)
2
-1
4 -5
8
9 -2
3
24.- Calcula los determinantes de cada una de las siguientes matrices:
-3 2 -1 a)
4 -5 8
4
9
1
7
9
-2
-5
3
2
b)
9 -2 3
¼ 25.- ¿ Es el determinante justifica tu respuesta -4
8 -2 -3 5 6
2
9 -2
3
6 -1
1/8 -2
1
c)
1/2 -3
igual a ½ -4
16 -3 6
4
-4 5 1
26.- Hallar el valor de x que verifique cada una de las siguientes igualdades:
-2
?
a)
x
x +2
1/3
-1
=4
b)
1
-2x
-1
0
x
2
-3
Ejercicio 27
-x
= 6
1
VOLVER
27.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por medio la regla de Cramer a) 2x + 5y = 4 3x + 2y = -5 b) 3x – 5y = 9 x + 2y = -4 c) x + 4y = 5 4x – 7y = -26 d) 2 ( x + 2y) = 14 3x + 5y = 21 e) 1/5 ( 5x – 10y) = 8 3x + y = -8 f) 5x – 3y + 7z = 31 4x – 5y + 9z = 23
-3x + 5y + 7z = -1 g) 2x + 4y - 5z = -21 5x – 3y + 4z = 24 4x - 2y - 3z = -23 h) 4x + 9y - 5z = 48 7x – 2y + 9z = 40 3x + 5y - 7z = -2 i) x – 2y + 3z = 8 2x +y – z = 3 -2x – y + 2z =1
ATRÁS
Inversa y el método de Gauss-Jordan En primer lugar, dar una consecuencia del teorema 2.5.8 y luego lo utilizan para encontrar la inversa de una matriz invertible.
C OROLLARY 2. 5. 13 Que ser u n i nverti ble
matriz. Supongamos que un a secuencia de elementales de fila-operaciones r educe a la matri z identi dad. Luego la mi sma secuencia de elemental es de fila-operaciones cuando se aplica a los r endi mi entos de identidad de matr iz Prueba. Dejar ser una matriz cuadrada de orden Además, vamos a
ser una secuencia de operaciones elementales de renglón tal que Entonces
Esto implica
6pt height6pt ancho de la profundidad 0pt
Resumen: Vamos a matriz
ser un
matriz. Aplicar el método de Gauss-Jordan a la
Supongamos que la forma escalonada reducida de la matriz Si
entonces
o de lo contrario
E JEMPLO 2. 5. 14 En cuentr e la inversa de la matri z
no es invertible.
uti li zando el
mé todo de Gauss-J or dan .
Solución: Considere la posibi li dad de la matr iz secuenci a de pasos en el mé todo de Gauss-Jor dan son l os siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Una
es
7.
8. Por lo tanto, la inversa de la matriz dada es
E XERCISE 2. 5. 15 En cuentr e la inversa de las sigui entes matr ices uti lizando el mé todo de Gauss-J or dan .
La inversa de una matriz de nxn Véase nuestro texto (Rolf, página 163) para un análisis de matrices inversas. Brevemente, matrices inversas se comportan como recíprocos hacer por números reales: el producto de una matriz y es inversa es una matriz de identidad . Sea el nombre de nuestra matriz de nxn: no cuadrados matrices no tienen inversa. Los pasos -1. siguientes se producirá la inversa de A, escrito A Nótese la similitud entre este método y GAUSS / JORDANIA método utilizado para resolver un sistema de ecuaciones. Aumentar la matriz de nxn con la nxn matriz identidad I n, ver texto (Rolf, Pág. 163) o [1] desplazarse hacia abajo [A | E n]
[2]
Pivote en los elementos de la matriz en las posiciones 1-1, 2-2, 3-3, continuando a través de nn en ese orden, con el objetivo de crear una copia de la matriz identidad I n en la parte izquierda de la matriz aumentada. Si uno de los elementos pivotantes es cero, entonces primero intercambie su fila con una fila inferior. Si no hay ningún intercambio tal produce un elemento pivote no-cero, entonces la matriz A no tiene inversa. Este paso [2] es equivalente al paso 2 en la página 163 de nuestro texto Rolf, dando como resultado (REDUCIDA) forma diagonal . Vea un ejemplo de abajo , y probar el motor de pivote al comprobar sus habilidades de pivote. [A | E n] ===> [E n | A
[3]
-1]
Cuando el paso [2] por encima de lo contrario, la mitad derecha de la última matriz A-1, aumentada será el inverso deseado, escribir por separado, y ya está, como en el ejemplo siguiente . Mc
Nota El profesor Farland nombra a operaciones de fila sólo un poco diferente de nuestro 1: texto: seguir el estilo de nombres profesor de McFarland.
Nota 2: Salida interactiva el profesor Mc Farland de MOTOR PIVOT como usar operaciones de fila. Nota 3: Comparación de los 3 pasos anteriores para los que se utilizan en GAUSS / JORDANIA .
Ejemplo de encontrar la inversa de una matriz A Véase nuestro texto (Rolf, Pág. 163) para un ejemplo, a continuación hay otro ejemplo: Debemos encontrar la inversa de la matriz A a la derecha
A continuación se muestra la misma matriz A, aumentada por el 3x3 de identidad de la matriz. El primer pivote encicled en rojo
Debajo están las operaciones de fila requerido para la primera pivotante
A continuación se muestra el resultado de realizar P1 , por lo que el pivote (2-2 posición) es ahora "1". A continuación realizamos P2
A continuación se muestra el resultado de realizar P1 , por lo que el pivote (3-3 posición) es ahora "1". A continuación realizamos P2 .
Un =
Pivote en Siguiente en "3" en la posición 2-2 abajo, rodeado en rojo
Operaciones de fila de P2 están por debajo de
A continuación se muestran las operaciones de fila de la P2
1 -1 3 2 1 2 -2 -2 1
Las columnas de la 3x3 matriz de identidad son de color azul, ya que volverá a aparecer en el lado izquierdo
El resultado de la pivotante segundo está por debajo. Estamos ahora pivote sobre el elemento en la posición 3-3, cercada en rojo a continuación
El resultado de la tercera (y última) está por debajo de giro con el 3x3 de identidad de matriz de color azul
La matriz a continuación -1 no es A
(Reducido) DIAGONAL FORMULARIO E
Así, nuestro paso final es separar el inverso deseado a partir de la matriz anterior:
A =
-1
Nota: EL MÉTODO matriz inversa para resolver un sistema de ecuaciones a utilizar la discusión anterior, e incluso continuar con el problema anterior.
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Inversa de una matriz utilizando operaciones elementales de renglón También se llama el método de Gauss-Jordan.
Esta es una manera divertida de encontrar la inversa de una matriz ... ... jugar con las filas (Adición, multiplicación y canjearlos) hasta que su matriz A en la matriz identidad I.
Y también por hacer los cambios en un Matriz de identidad se convierte por arte de magia en el Inverso!
Las "operaciones elementales de renglón" son cosas simples, como la adición de filas, multiplicación e intercambio ... pero déjame que te enseñe con el ejemplo!
Ejemplo: encontrar la inversa de la "A":
Empezamos con la matriz A, y anótelo en una matriz de identidad que junto a él:
(Esto se llama la "matriz aumentada")
Matriz de identidad La "Matriz de identidad" es el equivalente a la matriz de la número "1":
Una matriz de identidad 3x3
Se trata de "cuadrado" (tiene el mismo número de filas y columnas), Dispone de 1 s en la diagonal y 0 s en todas partes. Su símbolo es la letra mayúscula que.
Ahora hacemos todo lo posible para convertir el "A" (la matriz de la izquierda) en una matriz de identidad. El objetivo es hacer que la matriz A tiene 1 s en la diagonal y 0 s en otros lugares (una matriz de identidad) ... y el lado derecho viene adelante para el paseo, con cada operación que se está realizado sobre él también. Pero sólo podemos hacer estas "operaciones elementales de fila:
intercambiar filas multiplicar o dividir cada elemento en la fila AA por una constante sustituir una fila añadiendo o restando un múltiplo de otra fila a lo
Y debemos hacerlo con toda la fila, de esta manera:
Comience con un lado de la I En este ejemplo, mi primer paso fue añadir la fila 2 a la fila 1, luego dividir la fila 1 por 5, Luego tome 2 veces la primera fila, y restar de la segunda fila, Ahora la mitad de la segunda fila, Ahora cambiar la segunda y tercera fila, Por último, resta la tercera fila de la segunda fila, Y hemos terminado!
Y la matriz A se ha convertido en una matriz de identidad ... ... y al mismo tiempo una Matriz Identidad obtuve una hecha en A -1
HECHO! Al igual que la magia, y tan divertido como resolver cualquier rompecabezas.
Y tenga en cuenta: no hay manera "correcta" de hacer esto, sólo seguir jugando hasta que lo logre!
(Compare esta respuesta con la que nos dieron en la inversa de una matriz utilizando menores de edad, cofactores y Adjugate . ¿Es lo mismo? ¿Qué método te gusta más?)
Matrices más grandes Usted puede hacer esto con matrices más grandes, por ejemplo, trate de esta matriz de 4x4:
Iniciar de este modo:
Vea si usted puede hacerlo usted mismo (yo empezaría dividiendo la primera fila por 4, pero depende de usted cómo lo hace). Usted puede comprobar su respuesta utilizando la calculadora de la matriz (utilice el "inv (A)" el botón).
¿Por qué funciona? Me gusta pensar que de esta manera:
si la posición "8" en "1" (dividiendo por 8), e hizo lo mismo con "1" se convertiría en "1/8"
Y "1/8" es la inversa (multiplicativa), de 8
O, más técnicamente: El efecto total de todas las operaciones de fila es el mismo que multiplicar por A -1 Así que me convierte en una (por A -1 A = I ) Y se convierte en un -1 (debido a que A = A -1 I -1) Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Multiplicación de matrices determinante de una matriz Matrix Calculator Índice de Algebra
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Módulo para La matriz inversa Fondo Teorema ( matriz inversa ) Supongamos que es un matriz no singular. Formar la matriz aumentada de dimensión . Utilice eliminación Gauss-Jordan para reducir la matriz de modo que la identidad es en la primera columnas. Entonces el inverso está localizado en columnas . La matriz aumentada se ve así:
Prueba de la matriz inversa la matriz inversa Podemos utilizar el desarrollado anteriormente de Gauss-Jordan subrutina para encontrar la inversa de una matriz.
Programas de ordenador , la matriz inversa la matriz inversa Algoritmo (completa eliminación Gauss-Jordan). Construir la solución del sistema lineal mediante el uso de eliminación Gauss-Jordan. Se prevén intercambios de renglones si son necesarios. Subrutina Mathematica (completa eliminación Gauss-Jordan).
Ejemplo 1. Utilice eliminación Gauss-Jordan para encontrar la inversa de la matriz
.
Solución 1. Definición ( Hilbert Matriz ). Los elementos de la matriz de Hilbert para
y
de orden n son
.
Algunas matrices de Hilbert. Ejemplo 2. Encuentre la inversa de la 5 × 5 matriz de Hilbert
.
Solución 2. Ejemplo 3. Matrices de Hilbert son conocidos por ser mal condicionada. Considere la matriz A dada por
Encuentre la inversa de la 5 × 5 matriz A que se aproxima a la inversa de la 5 × 5 matriz de Hilbert . Observación. Las entradas en la matriz para este ejercicio se debe escribir a mano con el fin de asegurarse de que sólo seis decimales se almacenan en el ordenador. Solución 3.
La matriz inversa de Hilbert La fórmula para los elementos de la matriz inversa de Hilbert conocido por ser
de orden n es
que puede expresarse utilizando los coeficientes binomiales . Cuando computaciones exactas son necesarias estas fórmulas se debe utilizar en lugar de utilizar una subrutina o construido en procedimiento para computar el inverso de . Verificación.
Aplicación a continua aproximación de mínimos cuadrados La continua aproximación de mínimos cuadrados a una función en el intervalo [0,1] para el conjunto de funciones puede resolverse mediante el uso de las ecuaciones normales (1)
para
.
Cuando el producto interno es . Resolver el sistema lineal (1) para los coeficientes y la construcción de la función de aproximación .
Definición ( Gram Matriz ). El Gram matriz G es una matriz de productos internos donde los elementos son . El caso cuando el conjunto de funciones es
va a
