Ejercicios Resueltos Matriz Inversa

MATRICES INVERSAS En la teoría de matrices solamente solamente ciertas clases de matrices cuadradas tienen inverso multiplicativos multiplicativos a diferenci diferencia a de algebra algebra común común donde donde cada cada número número real real a diferen diferente te de cero tiene tiene su inverso inverso multiplicativo b.

Matriz identidad La matriz identidad tiene 1 en la diagonal principal y 0 en las otras posiciones. Ejemplos de matrices identidad de diferentes ordenes.

 I 2

1  0

0



1

 I 3

1  0 0

0

0

 0  1 

1 0

 I 4

1 0  0  0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

  0  1 0

Matriz transpuesta Es la matriz que obtenemos de cambiar  las  las filas por  las  las columnas columnas.. La transpuesta de  A la T  representamos por  A .

Ejemplo :

Matriz Adjunta Definicin: !i " es una matriz cuadrada cuadrada n # n y $ es la matriz de sus cofactores% entonces la "djunta la  "djunta adjA de " % denotada por  que es la transpuesta de la matriz $ cuadrada n # n  .

 A11  A  12  . adjA   B T     .  .   A1n

Definición de inersa de una matriz!

 A21

...

 An1 

 A22

...

 An 2

. . .

 A2 n

...

  .   .  .    Ann 

!i " es una matriz cuadrada de orden n. !i e#iste una matriz $ tal que  "$ & 'n & $" entonces $ se llama inversa de " y se denota con  A 1 . (!e lee )" inversa*+ Si a Si a es una matriz cuadrada tiene una inersa  y decimos que " es invertible. !i " no es una es una matriz cuadrada no es posible inertirla . Ejemplo "! ,alcula la  A 1

   A    

1

3

2

2

5

0

0

1

2

    

Solución #rimero calculamos el Determinante de A

   A    

Usando la fila 1  A   ( 1)

 2



( 1) 

5

0

 1 2

 A

1

3

2

2

5

0

0

1

2

a

    

C11  + a12 C12  + a13C13

11

   + ( 3) ( 1)     3

2

0

0

2

   + ( 2 ) ( 1)   

2

5

0

1

 4

   ( 1) ( 10 )  + ( 3) ( 4 )  + ( 2 ) ( 2 )  26 

Se$undo calculamos la matriz de los cofactores de la matriz A% &A d'

 0  + 5   10  1  2   3 2   8 d   A    1  2    + 3 2   10  5 0 

 +

2

0

0

2

1

2

0

2



1

2

2

0

4  2   4

+  +

2

5

0

1

1 0 1 2

 2

3  1 1 3  11 5

       =     

 10  d   A   8   10 

Tercero con Tercero  con la matriz Adjunta A d obtenemos la matriz traspuesta &A d't%

 10  d   A   8  1 0 

4

2 4

2   1  11  

Cuarto encuentro la inersa de la matriz A( as)!

(  A ) d 

 t 

 10   4  2 

8 2 1

10   4  11  

4

2 4

2   1  11  

 5 5 4   13 13 13   2    13 113 2 13     1 1 11 26 26  13

 10 8 10 1  1  A   4 2 4 26  2 1 11 

      

Ejemplo *! ,alcula la  A 1

 1   A   2  6 

3 2 4

    

3 2 5

Solución #rimero calculamos el Determinante de A

 1   A   2  6 

Usando la fila 1  A  

 2



2



4

( 1) ( 1) 

 A

3 2 4

a

3 2 5

    

C11  + a12 C12  + a13C13

11

2  + 3 1   ( )( )  5    3

2 6

2  + 3 1   ( )( )  5    4

2

2

6

4

   ( 1) ( 2 )  + ( 3) ( 2 )  + ( 3) ( 4 )   20 

Se$undo calculamos la matriz de los cofactores de la matriz A% &A d'

  + 2  4   3 d   A    4    + 3  2 

 2  d   A   2 7  12 

2 23

8

2 5

 2



3 5

  27

+ 1

 12

 1

3 2

2 6

6

2

2 5

2

2

6

4

 2

+

3 5

 23

 1

3 2

 8

4   14   4 

Tercero con Tercero  con la matriz Adjunta A d obtenemos la matriz traspuesta &A d't%

6

+ 1 2

3 4

3 2

 4   14 4

          

=

d 

 A

 2    2 7  12 

4   14   4 

2 23

8

(  A ) d 

 t 

 2    2  4 

2 7

12

23

8

14

4

    

Cuarto encuentro la inersa de la matriz A as)!

 2 27 1  1  A   2 23 20  4 14 

 1 3 27   10 20 5 12   23 2 8    1 10 20 5 4     1 1 7 5 10 5 

      

E+ERCICI,S -tiliza el m.todo de los cofactores para /allar la inersa de las si$uientes matrices%

1  "'  2   1

 3  *'  2  1 

 5  8 5  

2 3

1

5

8

4

6

3

4

    

2  0'  4  6

2 4 5

  3   3 1

1  1' 3 1

 1  2   2 

2 4 0

Respuestas:

7

 2  "'  1  1  2

5

1 2

0 1

2 1 1

2

2

 1 1 1  8 4 8  17 1 *'  7 8 4 8   5 8 1 4 11 8 

    

 2 1 2  3 3 3   2 3 112 5 12   1 3 1 6 1 6 

      

      

 3  22  0'  1511   2 

1 22

1 11

11

1 11

6 1

0

      

1'