Analisis de Velocidad de Un Mecanismo ( Metodo Grafico)

25 ANALISIS ANALISI S CINEMATICO CINEMATICO DE DE MECANISMO MECANISMOS S PLANOS PLANOS

ANALISIS DE VELOCIDADES.

1- CONCEPTOS PREVIOS

2- ANALISIS GRAFICO DE VELOCIDADES.

2.1- Polígono de velocidades: método de las velocidades relativas. 2.1.1- Aplicación a órganos deslizantes. 2.1.2- Otros casos.

2.2- Método de los centros instantáneos de rotación. 2.1.1- Teorema de Aronhold-Kennedy Aronhold-Kennedy o de los tres centros. 2.1.2- Localización de los c.i.r.

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26 ANALISIS CINEMATICO DE MECANISMOS PLANOS

1-CONCEPTOS PREVIOS

Hasta ahora se ha realizado el estudio del movimiento de los mecanismos, esto es, el cálculo de las diferentes posiciones que ocupan los eslabones en el espacio, en función del valor de una variable (que se ha denominado variable de entrada ó primaria), así como de la trayectoria que describen los puntos del mecanismo ó puntos asociados a sus eslabones.

Este tema se centrará en la forma en que se recorren estas trayectorias en función del tiempo; es decir, se realizará el estudio de una de las características del movimiento de los puntos de los eslabones:

en definitiva, se analizarán las velocidades de estos puntos. Para ello, será necesario

conocer como varía con el tiempo la variable primaria de mecanismo: se deberá conocer la velocidad de entrada del eslabón motor del mecanismo.

Como en el tema anterior, el estudio de velocidades se enfocará desde dos métodos diferentes: por una parte se realizará el estudio de velocidades a través de métodos gráficos y por otra se establecerán las bases necesarias para poder acometer el estudio con métodos numéricos de gran aplicación en ordenadores.

La conveniencia de la aplicación, a un caso concreto, de un método u otro deberá ser elegida por el alumno en función de una serie de determinantes que en cada caso deberán ser evaluados; entre otros cabe destacar:

- Profundidad requerida en el análisis. - Precisión exigida. - Rapidez necesaria. - Disponibilidad de herramientas adecuadas.

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2.-ANALISIS GRAFICO DE VELOCIDADES.

Los métodos gráficos de cálculo de velocidades están basados en las relaciones geométricas existentes entre las magnitudes mecánicas, por lo tanto, es imprescindible para un buen uso de estos métodos el conocimientos previo de los conceptos cinemáticos que han sido estudiados en el curso de "Mecánica", sin los cuales la aplicación de métodos gráficos no tendría ningún sentido.

2.1-Polígono de velocidades: método de las velocidades relativas.

En la figura 1 se muestra un eslabón genérico de un mecanismo del cual se conoce la velocidad de uno de sus puntos, v , y la dirección de la velocidad de otro de sus puntos, el punto B. r

m direcci¾n perpendicular

a AB

a

VA

VA

VB

VBA B b

n

n

VB Polo

A

m

Fig-1. Polígono de velocidades de un eslabón genérico.

Se desea calcular la velocidad del punto B, y para ello se utilizará el método de las velocidades relativas, esto es:

v B = v + v BA A

Además se aprovechará el hecho de que la velocidad relativa del punto B respecto del punto A, v

, es BA

perpendicular a la línea que une los puntos A y B del eslabón. Teniendo esto en cuenta, se procederá como a continuación se indica, obteniéndose como resultado el polígono de velocidades mostrado en la figura 1.

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a) Se elige un polo, O, que será el origen de los vectores de velocidad. b) Se traza a escala el vector v . r

c) Por el polo se traza una recta n-n según la dirección de v B . d) Por el extremo de v

r

se traza otra recta m-m que sea perpendicular a la recta AB.

e) El punto de corte de m-m con n-n, determina el punto b del polígono de velocidades; el vector que va de O a b será v B y el que va de b a a será v BA . Por otra parte, la velocidad angular del r

eslabón será: ω

= v BA BA

Aplicando este método a un mecanismo, por ejemplo el de cuatro eslabones representado en la figura 2, se podrá realizar el análisis de velocidades del mismo.

En este casó se supondrá conocida la velocidad angular del eslabón OA, ω2.

3

B 3

A

AB

V

AC

B

b O V B c V C V V V a BA AC

4

2

4 2

V

C

O

O

1

BC

1

Fig-2. Análisis gráfico de velocidades del mecanismo de cuatro eslabones.

Al conocerse la dirección de V , y puesto que la velocidad del punto A puede ser calculada de inmediato mediante:

B

V

r

=

r

ω ⋅

OA

=ω

2

OA

⋅

2

se actuará como se ha indicado anteriormente, teniendo en cuenta la relación:

V B = V +V BA En la figura 2 se muestra el polígono de velocidades obtenido. MECANISMOS | ITSAV


Si se desea determinar la velocidad de un punto cualquiera asociado al eslabón 3 (tal como el C en el ejemplo que se está desarrollando), puesto que:

VC = V +V CA r

r

⇒

r

VC = V B +V

V = V C +V r

r

C

r

VB = V C +V BC

CB r

r

y al ser V AC perpendicular a AC y V BC perpendicular a BC , se trazarán por los extremos de V

y V B

sendas perpendiculares a AC y BC respectivamente, y el punto donde intersecten será el punto c buscado pues cumple con las dos expresiones vectoriales anteriormente planteadas.

2.1.1-Aplicación a órganos deslizantes.

Cuando se trata de analizar velocidades en el caso de que en el mecanismo aparezcan órganos deslizantes, tales como perfiles de ruedas dentadas, levas y guías móviles, aparece un caso de movimiento compuesto del punto.

Su solución mediante la aplicación de métodos gráficos se desarrollará a continuación.

En la figura 3 se muestra un mecanismo formado por dos perfiles que deslizan uno sobre otro ( el eslabón 2 se tomará como conductor y el 3 como conducido).

Y X Y' B

2

3

X' ω2

1

2 =M 3

1

Fig-3. Organos deslizantes.

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Si se desea calcular la velocidad de rotación del órgano conducido, sabiendo que la del eslabón 2 es ω , se operará de la siguiente forma: 2

a) Se determinarán los ejes fijos (unidos a la bancada) X´Y´ . b) Se examinará cuál es el sistema de referencia móvil, y se elegirán los ejes X e Y más convenientes en cada caso, asociados a uno de los eslabones Puesto que el movimiento del M puede considerarse como movimiento compuesto del punto:

V AB( M ) =V arras( M ) +V relat ( M

)

Esta fórmula puede simplificarse de la siguiente forma:

V

3

= V M 2 +V M /2 3

Donde la velocidad del punto M perteneciente al eslabón 2 (velocidad de arrastre del punto M, si se considera el sistema de referencia móvil asociado al eslabón 2) es conocida:

V M 2 =

ω

×

AM 2

2

Una vez calculada esta velocidad se procederá tal y como se explicó anteriormente pues la dirección de V M 3 es conocida (perpendicular a BM

) y también la de V 3

que es la dirección del /2

3 movimiento relativo y debe ser tangente a los dos perfiles en el punto de contacto (dirección de X en la

figura).

En la figura 4 se muestra el polígono de velocidades correspondiente al mecanismo que acaba de estudiarse.

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direccion X m 2

m 3

V M2

BM 3 M

3

a AM 2

O

Fig-4. Polígono de velocidades del mecanismo de la figura 3.

Por otra parte para calcular la velocidad angular del eslabón conducido, una vez conocido V M 3 es inmediato puesto que: ω

3

=

V M 3 BM 3

Se deja como ejercicio para el alumno el cálculo de velocidades en el caso de mecanismos con guías móviles como el de la figura 5, en el cual el eslabón motor es la manivela 2.

w2 2

3

A

M 4

1B

Fig-5. Mecanismo con guías móviles: mecanismo de tres eslabones.

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2.1.2-Otros casos.

Existen casos en los que los métodos vistos hasta ahora no son aplicables. Siempre que se trabaje con métodos gráficos, se deberá intentar buscar relaciones geométricas entre las diferentes magnitudes cinemáticas que puedan plasmarse fácilmente de forma gráfica; así, en el ejemplo de la figura 6 para calcular la velocidad del punto P se procederá como a continuación se detalla. Puesto que VCB = BC·ω

3

, pero también la velocidad del punto P respecto del punto B es

V PB = PB·ω 3 , se obtendrá: ω

ω

3

=

3

=

V CB CB } V PB

V PB V CB = PB CB

⇒

PB

V =w xA Bc

V CB V PB 3 B

2

BC

C

c

P

Vc V P o p B V b

4 2 D

2

A 1

CD

1

V =V C

+ V

B

Fig-6. Cálculo de la velocidad del punto P

CB

luego el punto P se determinará en la recta bc del polígono de velocidades mediante la semejanza de triángulos mostrada en la figura.

2.2-Método de los centros instantáneos de rotación.

Se define centro instantáneo de rotación (o de velocidades) de una pareja de eslabones como la ubicación instantánea de un par de puntos coincidentes, cada uno perteneciente a uno de los dos eslabones, para los que las velocidades absolutas son iguales. O de otra forma: para los que la velocidad aparente de uno de los puntos es cero, tal y como la percibe un observador situado en el otro eslabón.

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De forma más gráfica se podría decir que es el punto alrededor del cu al puede considerarse que uno de los eslabones gira con respecto del otro en un movimiento dado (con independencia de si el otro eslabón permanece fijo ó no).

Puesto que se ha adoptado el convenio de numerar los eslabones de los mecanismos, se designarán los c.i.r. utilizando los números de los eslabones asociados a él: así el

P 14 se identificará

como el centro instantáneo de rotación entre los eslabones 1 y 4.

Por otra parte, un mecanismo tendrá tantos centros instantáneos de rotación como formas diferentes existan de parear los números de los eslabones; así para un mecanismo de n eslabones existirán:

=

n •(n −1) 2

centros instantáneos de rotación.

2.2.1-Teorema de Aronhold-Kennedy o de los tres centros.

Este teorema se utilizará para determinar la posición de los c.i.r. que no hayan sido determinados por simple inspección, atendiendo a la definición de centro instantáneo de rotación.

El enunciado del teorema es el siguiente: Los tres centros instantáneos compartidos por tres cuerpos rígidos en movimiento relativo uno con respecto del otro (estén ó no conectados), están sobre la misma línea recta.

Para demostrar este teorema, se supondrá (según se muestra en la figura 7) que el eslabón 1 es estacionario y los 2 y 3 pivotan sobre el eslabón fijo 1.

Por simple inspección y atendiendo, como se ha comentado anteriormente, a la definición de centro instantáneo de rotación, se localizan de forma inmediata los c.i.r. P

y P 13.

12

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V P2 2 P

V P

3

3

P 12

P

1

13

Fig-7. Teorema de los tres centros.

Si se supone que el punto P

es el c.i.r. P 23, entonces, por definición de c.i.r. las velocidades absolutas de P2 y P3 deberán ser iguales, y esta circunstancia sólo podrá darse cuando el c.i.r. P23 esté sobre la línea que une P 12 y P 13 ( ya que sólo cuando esté localizado sobre dicha recta podrán las direcciones de V P y V P ser coincidentes) con lo que queda demostrado el teorema . 2

3

2.2.2-Localización de los c.i.r.

Para poder localizar los centros instantáneos de rotación de un mecanismo, se procederá como se indica a continuación:

a) Se calcula el número de c.i.r. existentes en el mecanismo:

=

n •(n −1) 2

b) Se realiza una lista de los centros y se dibuja un polígono con tantos vértices como eslabones.

c) Por simple inspección, atendiendo a la definición de centro instantáneo de rotación, se localizan todos los c.i.r. posibles.

d) Se aplica el teorema de Kennedy para determinar la posición de los restantes.

A continuación se muestran ejemplos comentados de localización de c.i.r. para diferentes mecanismos de frecuente utilización práctica.

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Ejemplo 1: Leva con seguidor oscilante de cara plana. 1

2

2

3

3 w2

13

13

23

1

Fig-8. C.i.r. de un mecanismo de leva con seguidor oscilante de cara plana.

El c.i.r. P23 debe estar sobre la recta que une las articulaciones. Por otra parte, si consideramos fijo el eslabón 3 (móviles 1 y2) la velocidad de A2 sobre 3 deberá tener la dirección indicada, por lo tanto (por definición de c.i.r) el c.i.r. P23 estará sobre la perpendicularidad a V A2 /3 trazada a partir del punto A.

Ejemplo 2: Mecanismo de cuatro eslabones.

P13

1

2

4

3

P34 V C C 3

B

4

P 23

P 24

B A2 w2 V 1 P

D

P

14

1

12

Fig-9. C.i.r. de un mecanismo de cuatro eslabones.

Sobre la línea P12- P 14 tiene que estar el c.i.r. P24, pero también sobre P23- P 34. Lo mismo ocurre con el centro instantáneo de rotación P 13 y las rectas P12- P 23 y P 14- P34 (ó por definición tiene que ser r

perpendicular a la dirección de V B y a la de VC ).

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Ejemplo 3: Mecanismo de biela-manivela con rueda y cremallera.

P13

1

2

4

3

4 C

P 34

Rodadura pura

A

P12 2

P

1

3

D

24

P 14

B P 23

Fig-10. C.i.r. de un mecanismo de biela-manivela con rueda y cremallera.

El c.i.r P13 estará sobre AB y sobre CD, pues son las rectas que unen los centros instantáneos de rotación P12- P 23 por una parte y P14- P 34 por la otra. Siguiendo el mismo razonamiento el P 24se hallará en el punto de intersección de las rectas AD y BC .

Ejemplo 4: Mecanismo de tres eslabones.

P 23

P13 P

1

2

4

3

23

P 2

B

3

34

4 C

A P 12

1

P 24

1

P 14

Fig-11. C.i.r. de un mecanismo de tres eslabones.

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Puesto que el movimiento relativo del eslabón 3 sobre el 2 es un deslizamiento (traslación) sobre este último, el c.i.r. P23 estará en el infinito sobre la recta perpendicular al eslabón 2. El c.i.r. P 13 estará localizado en la intersección de las rectas que unen los puntos P recta será la perpendicular al eslabón 2 que pase por el punto P

12).

14-P 34

y P12 -P23 (esta última

De igual forma se localizaría el

centro instantáneo de rotación P 24.

Una vez determinados los c.i.r. se pueden resolver problemas a través de ellos teniendo en cuenta que P ij es un punto perteneciente a los eslabones i y j, y que en el instante considerado tiene una velocidad absoluta que es igual para el punto perteneciente tanto a un eslabón como a otro.

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