Universidad de Guanajuato.
Dinámica de maquinaria.
Dr. José María Rico Martínez.
Análisis dinámico dinámico de un mecanismo de retorno rápido de un cepillo.
Puente Delgado Abraham.
Salamanca Gto. A 28 de Febrero de 2011.
Análisis dinámico de un mecanismo de retorno rápido de un cepillo. En el presente reporte se realiza el análisis dinámico de un mecanismo de retorno rápido de un cepillo. Un cepillo o “planer” es una máquina herramienta empleada para producir superficies planas en piezas mecánicas. Debido a que existe varios mecanismos de retorno rápido para cepillos se muestra el que se empleó para este ejercicio en la siguiente figura.
Objetivos del proyecto:
Para la cadena cinemática seleccionada, se debe suministrar, en un programa Matlab: 1. El análisis de posición del mecanismo. 2. El análisis de velocidad del mecanismo. 3. El análisis de aceleración del mecanismo. 4. La determinación de las aceleraciones de los centros de masas de los eslabones del mecanismo. 5. La determinación de las fuerzas de reacción en los pares cinemáticos del mecanismo.
Análisis de Posición.
Las ecuaciones de lazo del mecanismo de retorno rápido de un cepillo mostrado en la figura están dadas por:
+ =
+ = +
y
(1)
Si se seleccionan los ángulos asociados a los vectores, θ2 y θ4, a partir del semieje positivo X , las componentes escalares de la ecuación (1), a lo largo de los ejes X y Y están dadas por
si n 1+ = + = ++ == ++
(2) (3) (4) (5)
Debe notarse que algunos de los ángulos tienen valores muy simples, por ejemplo: θ 1
= 90° y
θ 6
= 0°
Que conviene sustituir, de manera que las ecuaciones se reducen a:
+= = == ++
Los parámetros del mecanismo son a1 , a2 y b1, mientras que las variables son θ2, θ4, a4, a6 y b4. Sin embargo, en esta cadena las longitudes a4 y b4 son independientes. Finalmente, si el eslabón motriz es el eslabón 2, el ángulo θ2 aun cuando es una variable, es un dato necesario y conocido para realizar el análisis de posición, de modo que las cuatro ecuaciones anteriores cuya solución constituye el análisis de posición están dadas por:
1(2(,, ,, ,, )=)= +2 −24 = 0 − 4 = 0 3(4(,, ,, ,, )=)= −− 2 − 4 = 0 2 − 4 = 0
(11) (12) (13) (14)
Estas ecuaciones constituyen un sistema de cuatro ecuaciones no lineales en las incógnitas, a4, θ4, b4 y a6. La solución de este sistema constituye el análisis de posición del mecanismo de retorno rápido.
Para dicha solución se presentan las ecuaciones (11) a (14) en forma matricial y la matriz jacobiana de dicho arreglo.
2 − 4 2 −− 44 = −+− 2 2 − 4 −4 4 0 0 4 0 0 =−00 4 −−4 4 −4 1 −4 0
El análisis de posición se realizara mediante el método iterativo de newton-raphson. Análisis de Velocidad.
Una vez que se tiene la solución del análisis de posición, se derivan las ecuaciones (11) a (14) con respecto al tiempo para obtener las ecuaciones correspondientes al análisis de velocidad del mecanismo, esta ecuaciones están dadas por:
12,, ,, ,, == −2 2−− 4+ 4 = 0 4− = 0 34,, ,, ,, == −+ 2 2 + − 4+ = 0 4− = 0
(15) (16) (17) (18)
Para la solución del análisis de velocidad, es necesario representar la ecuaciones (15) a (18) en forma matricial:
∗ = −4 4 2 0 0 4 − 2 0 0 −00 4 −−4 = 4 −4 − 2 1 −4 0 2
En donde la solución es:
=−4 4 0 − 4 − 4 0 00 −44 −4 −4
2 00 ∗−2 10 − 2 2
Ahora, para obtener las ecuaciones del análisis de aceleración se derivan las ecuaciones (15) a (18) con respecto del tiempo, estas ecuaciones son:
1, , , = − 2 + − − + 4 + 4 + = 0 2, , , = − 2 + − + − 4 + − + = 0
(21)
3, , , = + 2 +− 4− + + + = 0
4, , , = 2 − 4+ − + − + = 0 Este sistema de ecuaciones, se representa en forma matricial como se muestra enseguida:
−4 4 0 4 0 −00 4 −−4 4 −4 −4
(22) (23) (24)
∗ = 2 +222 −2 44 4 − 4 4 42 2 00 = 22 2 2 −222 +2 44 4 − 4 4 42 2 2 10 −−2222 2222 +−222222 −b−b44CosSinθθ44θθ 4422
Donde la solución de este sistema es:
= −4 44 00 − 4 − 00 −44 −4 −4
+ −2 − 4 00 ∗ 2 − +2 − 4 2 − −bCosθθ 01 −− 2 2 + −bSinθθ
Aceleraciones de los centros de masa.
Ahora es necesario determinar las aceleraciones de los centros de masas de los eslabones del mecanismo. Estas aceleraciones están dadas por:
Donde:
== ×× ++ ××( ×× ) = × + ×( × )+=0 × + ×( × ) = ==((ccos(os( ++)) ̂+̂+((ssiinn((++)) ̂ ̂ == cos(cos())̂̂++ ssiinn(()) ̂̂
Análisis dinámico del mecanismo de retorno rápido. A partir de los diagrama de cuerpo libre de los eslabones del mecanismo, se obtienen las siguientes ecuaciones.
Eslabón 2:
Eslabón 3:
Eslabón 4:
− =() − −=() + × − × = − − sincos(θ(+90)− +90°)==(() ) =0 ) ) + ( Ѳ +90° − ( Ѳ +90° = −s×in(θ++90)+N s i n ( θ +90°)− = ( ) / × + +× =Iα
Eslabón 5:
−+cossin((θ+90°)= ( ) +90°)− = ( ) =0 =0
Eslabón 6:
(43) =0
= ( ) −= =0()
Para resolver el sistema, se acomodan las ecuaciones en el siguiente arreglo matricial:
∗= = ∗ +cos( +) + = + ( + )++ cos ( +180+ ) 0 0
La solución será:
Donde:
Para resolver este mecanismo se hace uso de un pequeño programa en Matlab, debido a la complicación que representaría hacerlo a mano: Resultados:
A continuación se presentan las gráficas que arroja el programa estas son pues la mayor fuente de información acerca del comportamiento del mecanismo.
