UNIVERZITET U TUZLI
Mašinski fakultet Proizvodno mašinstvo Predmet: CAD/CAM sistemi
Seminarski rad Tema: FEM analiza
Student:
Profesor:
Amir Salihović
Dr.sc.Samir Butković, doc. Tuzla, 2013.
CAD/CAM sistemi
1.Uvod
Metoda konačnih elemenata spada u savremene metode numerič ke analize.Njezina primjena prvo je počela u oblasti proračuna inženjerskih konstrukcija.Osnovna ideja o tzv. fizičkoj diskretizaciji kontinuuma, na kojoj se zasniva MKE je vrlo stara, otprilike koliko i ljudsko nastojanje da se teško rješivi problemi zamjene jednostavnijim, za koje se lakše nalaze rješenja.Kao primjer za ilustraciju može se navesti problem odreĎivanja opsega ili površinekruga, na osnovu njegove podjele na manj e dijelove pravilnog oblika. Grčki matematičar i fizičar Arhimed, računao je broj π , odnosno granice izmeĎu kojih se nalazi numerička vrijednost ovog broja na taj način što je konturu kruga aproksimirao upisanim odnosno opisanim poligonom sa konač nim brojem stranica. Sa povećanjem broja stranica poligona, odnosno sa smanjivanjem njihove dužine, smanjivala se i razlika izmeĎ u granica u kojima se nalazi broj π, a povećavala tačnost njegove numerič ke vrijednosti. Otprilike u isto vrijeme, na sličan način, u starom Egiptu je računat volumen piramide i površina sfere, a u Kini je dat dokaz poznatog Pitagorinog teorema. Sa ovim prvim jednostavnim primjerima, otvorena su neka fundam entalna pitanja, kao što su: tačnost rješenja, gornja i donja granica aproksimacije, monotonost i brzina konvergencije i dr. koja su i danas u MKE veoma aktualna i značajna sa teoretskog i praktičnog stajališta. Razvoj metode konačnih elemenata poč eo je polovicom prošlog stoljeća. U početnoj fazi on se odvijao kroz dva meĎusobno nezavisna pristupa, prvo inženjerski, a odmah zatim matematički. Složene prostorne konstrukcije, u inženjerskim proračunima zamjenjivane su diskretnim sustavima koji su se sastojali od štapova i koji su rač unati po poznatim postupcima statike linijskih nosača. Od strane matematičara, tražena su približna rješenja odreĎenih graničnih zadataka pomoću diskretnih modela uz primjenu varijabilnih postupaka. Ova dva prilaza, inženjerski i matematički, kasnije su objedinjeni, što je bilo od ogromnogznačaja za dalji brzi razvoj i široku primjenu MKE . 2. Osnove na kojima se zasniva MKE
Metoda konačnih elemenata spada u metode diskretne analize. Za razliku od ostalih numeričkih metoda, koje se zasnivaju na matematič koj diskretizaciji jednadžbi graničnih problema, MKE se zasniva na fizič koj diskretizaciji razmatranog područ ja. Umjesto elementa diferencijalno malih dimenzija, osnovu za sva proučavanja predstavlja dio podr učja konačnih dimenzija, manje područ je ili konačni element. Zbog toga su osnovne jednadžbe pomoć u kojih se opisuje stanje u pojedinim elementima, a pomoću kojih se formulira i problem u cjelini, umjesto diferencijalnih ili integralnih, obične algebarske. Sa stajališta fizičke interpretacije, to znači da se razmatrano područ je, kao kontinuum sa beskonač no mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje diskretnim modelom meĎusobno povezanih konačnih elemenata, sa konačnim brojem stupnjeva slobode. S obzirom na to da je broj diskretnih modela za jedan granični problem neograničeno veliki, osnovni zadatak je da se izabere onaj model koji najbolje aproksimira odgovarajući granič ni problem.
Mašinski fakultet Tuzla
Page 2
CAD/CAM sistemi
Suština aproksimacije kontinuma po MKE, sastoji se u sljedećem: 1. Razmatrano područje kontinuuma, pomoću zamišljenih linija ili površina, dijeli se na odreĎeni broj manjih područja konač nih dimenzija. Pojedina manja područja se nazivaju konačni elementi, a njihov skup za cijelo područ je sustav ili mreža konač nih elemenata. 2. Pretpostavlja se da su konačni elementi meĎusobno povezani u konač nom broju tačaka, koje se usva jaju na konturi elementa. Te tačke se nazivaju čvorne tačke ili čvorovi. 3. Stanje u svakom konač nom elementu (npr. polje pomaka, deformacija, naprezanja, rasprostiranja temperature i sl.) opisuje se pomoć u interpolacionih funkcija i konačnog broja parametara u čvorovima koji predstavljaju osnovne nepoznate veličine u MKE. 4. Za analizu i proračun sustava konač nih elemenata važe svi principi i postupci koji važe za klasične diskretne sustave. 2.1. Različiti aspekti MKE
Prema načinu na koji se izvode i formuliraju osnovne jednadžbe MKE, odnosno jednadžbe za pojedine konačne elemente, postoje č etiri osnovna aspekta MKE i to: -
direktna metoda, varijabilna metoda, metoda rezidiuma i metoda energetskog balansa.
Direktna metoda je analogna metodi deformacije u proračunu linijskih nosač a. Ova
metoda se može koristiti kod relativno jednostavnih problema, a pogodna je zbog jasnog geometrijsko-mehaničkog znač enja pojedinih koraka aproksimacije. Varijabilna metoda se zasniva na principu o stacionarnosti funkcija. U problemima mehanike čvrstog tijela funkcija je obično potencijalna odnosno komplementarna energija sustava ili se funkcija formulira na osnovu ove dvije energije. Za razliku od direktne metode, koja se može primijeniti samo na elemente sasvim jednostavnog oblika, varijabilna metoda se podjednako uspješno primjenjuje na elemente
jednostavnog i elemente složenog oblika. je opći aspekt aproksimacije po MKE, koji se zasniva na diferencijalnim jednadžbama razmatranog problema. Ova metoda ima naroč ito primjenu kod onih problema kod kojih je teško formulirati funkciju i onih problema kod kojih funkcija uopće ne egzistira. Metoda reziduuma
se zasniva na balansu različ itih aspekta energije i ima primjenu u termostatičkoj i termodinamičkoj analizi kontinuuma. Od navedenih aspekta MKE, u mehanici č vrstih deformacijskih tijela od posebnog su značaja varijabilna metoda i metoda reziduuma, koje u područ ju primjene predstavljaju dvije komplementarne metode podjednake tač nosti. Za razliku od klasičnih varijabilnih Metoda energetskog balansa
metoda u kojima izbor interpolacionih funkcija zavisi od konfiguracije razmatranog problema, u MKE to nije slučaj, s obzirom na to da se interpolacione funkcije definiraju isključivo u okvirima pojedinih konač nih elemenata. Interpolacione funkcije su skup meĎusobno nezavisnih funkcija, koje se usvajaju za element, tako da su im Mašinski fakultet Tuzla
Page 3
CAD/CAM sistemi
vrijednosti u područ ju svih ostalih elemenata, osim elemenata na koji se odnose, identično jednake nuli. 2.2. Algoritamski koncepti MKE
Analiza i rješavanje problema mehanike kontinuuma po MKE uvijek se svode na tzv. proces korak po korak, što je od ogromnog praktičnog znač aja za primjenu računala u efektivnom proračunu. U tom procesu koji se može prikazati kao jednostavan algoritam, izdvaja se sljedećih šest najvažnijih koraka: 1. diskretizacija kontinuuma 2. izbor interpolacionih funkcija 3. računanje karakteristika elemenata 4. formiranje jednadžbi za mrežu konačnih elemenata
5. rješavanje sistema jednadžbi 6. proračun potrebnih utjecaja Od navedenih šest koraka, prva tri su naročito važna. Nač in diskretizacije, izbor oblika elemenata, kao i ukupnog broja elemenata, zavise od prirode problema koji se rješava i potrebne tačnosti traženog rješenja. Pored broja i oblika elemenata važan je i izbor čvorova, osnovnih nepoznatih u njima i interpolacionih funkcija. Pomoću interpolacionih funkcija se definira polje promjenjivih u svakom elementu, od njihovog izbora neposredno zavisi i kontinuitet na granicama izmeĎu pojedinih elemenata, a samim tim i tačnost aproksimacije. Promjenjive u elementu mogu biti skalarne, vektorske ili tenzorske velič ine. Karakter istike pojedinih elemenata odreĎ uju se nezavisno od mreže elemenata kao cjeline. Matrica krutosti se formira autonomno za pojedine elemente, a potom na osnovu njih, sasvim jednostavno, formira se matrica za sustav u cjelini. S obzirom na to da je geometrija elemenata po pravilu jednostavna, to praktično znači da se kompleksan problem razbija na niz jednostavnih. Posljednja tri koraka, iako su za praktične proračune od velikog značaja, danas spadaju u okvire r utinskog posla, koji je prilagoĎ en automatskom radu računala. 3. Opća teorija MKE Osnovni princip na kojem se zasniva MKE, kao što sam već rekao, sastoji se u podjeli razmatranog područja na konačan broj manjih područ ja odnosno elemenata, tako da se analizom pojedinih elemenata, uz pretpostavku o njihovoj meĎusobnoj povezanosti, analizira cjelina. Ovaj pristup u analizi, gdje se od posebnog ide ka općem, od individualnog ka univerzalnom, u kome se analizom dijelova zaključuje o cjelini, je poznati induktivni pristup, koji se primjenjuje u mnogim područ jima znanosti. Kod inženjerskih i drugih problema kod kojih se opća rješenja ne mogu dobiti u zatvorenom obliku induktivni pristup je od posebnog znač aja.U okviru MKE, razmatrano područ je zamjenjuje se velikim brojem malih dijelova konačnih dimenzija, koji su meĎusobno povezani u odreĎenom broju tač aka. Na ovaj način, područ je sa beskonačno mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje se diskretnim sustavom sa konačnim brojem stupnjeva slobode i analiz ira metodama diskretne analize. U matematičkoj formulaciji, ovo znač i da se razmatrani problem prevodi iz područja analize u područ je algebre. MKE se može shvatiti kao metoda numeričke analize o okviru koje se definira način prevoĎenja kontinuiranih fizič kih sustava u diskretne,
odnosno način formiranja sustava algebarskih jednadžbi pomoću kojih se aproksimira odreĎeni konturni zadatak. S obzirom na to da taj način nije jedinstven, Mašinski fakultet Tuzla
Page 4
CAD/CAM sistemi
to ni formulacija metoda konač nih elemenata nije jedinstvena. Postoje različite varijante MKE, koje u suštini znače isto, ali se razlikuju u pogledu formalnog pristupa. 3.1. Pretpostavke i pr ocedura proračuna: -
-
Uspostavljaju se osnovne relacije (funkcije) izmeĎu geometrijskih i fizičkih veličina na elementu diferencijalno malih dimenzija. Usvaja se pretpostavka neprekidnosti funkcija koje definišu ove veličine. Zavisnosti izmeĎu srednjih vrednosti ovih veličina proširuju se na cijeli domen. Dobijene su diferencijalne jednačine (obične ili parcijalne), odnosno integralne ili integrodiferencijalne jednačine. UtvrĎuju se konturni (granični) i inicijalni uslovi. Dobijenom jednačinom i graničnim, odnosno inicijalnim uslovima, definisan je granični problem. Rješenja graničnog problema mogu biti u zatvorenom obliku i/ili približna rješenja zasnovana na matematičkoj diskretizaciji jednačina graničnog problema. Približna r ješenja svode problem na domen algebre, tj. rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.
Mašinski fakultet Tuzla
Page 5
CAD/CAM sistemi
3.2. Karakteristike Metode konačnih elemenata (MKE) -
Savremena metoda numeričke analize, metoda diskretne analize. Jednostavna matematička formula cija i način za rješavanje problema.
-
Poddomen, konačni element, ima iste karakteristike kao i domen. Jednačine pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim konačnim elementima su obične algebarske jednačine. Domen sa beskonačno mnogo stepeni slobode zamenjen je diskretnim modelom meĎusobno povezanih konačnih elemenata sa konačnim brojem stepeni slobode (nepoznate veličine). Usvaja se pretpostavka da su konačni elementi povezani u konačnom broju tačaka, čvorovima modela.
-
-
Osnov za razmatranje problema (umjesto diferencijalno malog elementa) je dio domena konačnih dimenzija, poddomen, konačni element.
-
Problem izbora diskretnog modela i izbora nepoznatih (stepena slobode) koji
-
mogu da opišu odgovarajući konturni problem. Uslov za primjenu metode je bio razvoj računarske tehnike (mogućnost rješavanja velikih sistema jednačina).
3.3. Postupak 1. Razmatrani domen (brava) se dijeli na konačan broj poddomena (konačnih elemenata) , formiranje mreže konačnih elemenata.
2. Izbor konačnog broja parametara (nepoznatih veličina) u čvorovima za opisivanje razmatranog problema. 3. Izbor interpolacionih funkcija N za opisivanje stanja u svakom elementu pomoću usvojenih nepoznatih veličina. 4. UvrĎivanje parametara na konturi domena.
5. UtvrĎivanje čvornog opterećenja. 6. Postavljanje uslovnih jednačina, matrice sistema i vektora slobodnih članova. 7. Rješavanje nepoznatih parametara (r ješavanje sistema algebarskih jednačina).
Mašinski fakultet Tuzla
Page 6
CAD/CAM sistemi
3.4. Metoda deformacija
Na slici je prikazano područje D elastičnog kontinuuma, koji je ograničen konturom S, tako da su na djelu konture SϬ zadani konturni uvjeti po silama, a na djelu Su konturni uvjeti po pomacima. U području D djeluju zapreminske sile F (Fx, Fy, Fz), a na konturi SϬ površinske sile p ( px, py, pz). Za pomake u u području D se predpostavlja da su neprekidne funkcije koordinata u=u (x,y,z) odnosno: u = u (x,y,z) v = v (x,y,z) w = w (x,y,z)
Zadatak teorije elastičnosti, kada se problem formulira po pomacima, odnosno po metodi deformacije, sastoji se u odreĎ ivanju funkcija pomaka, koje zadovoljavaju uvjete ravnoteže i uvjete na konturi, odnosno diferencijalne jednadžbe i konturne uvjete. Granični zadatak koji je formuliran na ovaj način, u kinematič kom smislu, predstavlja sustav s beskonač nim brojem stupnjeva slobode. Zadatak je da se odredi ješenje ovog graničnog problema pomoću odgovarajućeg diskretnog sustava, sa r konačnim brojem stupnjeva slobode, odnosno kao rješenje odgovarajućeg sustava algebarskih jednačina. Razmatrano područje D dijeli se na konač an broj malih dijelova –konačnih elemenata, koji su meĎusobno povezani u odreĎenom broju tačaka, koje se nazivaju čvorovi.
Mašinski fakultet Tuzla
Page 7
CAD/CAM sistemi
Ako se pretpostavi da se pomaci u bilo kojoj tačci konač nog elementa mogu, na odreĎeni način, prikazati u zavisnosti od pomaka u č vorovima, onda se problem odreĎivanja polja pomaka u području D svodi na odreĎivanje pomaka u č vorovima, a broj pomaka u čvorovima je konačan. Pomaci u čvorovima u područ ju D i na konturi S odreĎuju se iz sustava jednadžbi, koje predstavljaju uvjete ravnoteže u čvorovima, uvjete kontinuiteta u čvorovima i konturnih uvjeta na konturi S. Ove jednadžbe se mogu formirati na osnovu principa virtualnih pomaka ili na osnovu varijabilnog principa o minimumu potencijalne energije. Kada je poznato polje pomaka, nije teško dobiti polje deformacija i polje napona 3.5. Analiza elemenata
Na slici je prikazan konačni element, koji je izdvojen iz sustava elemenata sa predhodne slike. Zbog jednostavnosti, element je prikazan kao dvodimenzionalni, ograničen sa pravolinijskim konturama. Ovim se ne želi suziti opseg razmatranja, koja važe za jednodimenzionalne i višedimenzionalne elemente sa ravnim i konturama.
Mašinski fakultet Tuzla
Page 8
CAD/CAM sistemi
Na elementu je usvojen odreĎen broj tač aka na konturi, koje se nazivaju čvorne tačke ili čvorovi. Čvorovi su obilježeni brojevima 1,2, … k … K, gdje je K ukupan broj čvorova. Ovi čvorovi se nazivaju vanjski čvorovi, da bi se razlikovali od čvorova koji mogu biti usvojeni u elementu i koji se nazivaju unutrašnji čvorovi. Ukupan broj unutrašnjih čvorova obilježen je sa R.U čvorovima elementa kao osnovne nepoznate veličine, usvajaju se parametri pomaka. Pod pomacima, ovdje se podrazumijevaju pomaci u generaliziranom smislu, tj. komponente pomaka, njihove kombinacije i sl. Broj parametara pomaka u čvorovima zavisi od prirode razmatranog problema. Npr. kod trodimenzionalnih problema u svakom č voru, za parametre pomaka se usvajaju po tri komponente pomaka (u, v, w) kod dvodimenzionalnih po dvije (u, v), kod savijanja ploča najmanje po tri itd. Parametri pomaka u čvorovima često se nazivaju stupnjevi slobode, po analogiji sa značenjem koje ove velič ine im aju u statici linijskih sustava. Ako je u svakom č voru usvojeno po S parametara pomaka, element ima
SxK vanjskih stupnjeva slobode i SxR unutrašnjih stupnjeva slobode. 4. Naponi i deformacije
Zamislimo da je elastično opterećeno tijelo presječeno na 2 dij ela nekom proizvoljnom ravninom, dejstvo odbačenog desnog dijela tijela zamjenjuju unutrašnje sile koje nastoje dovesti tijelo u ravnotežu.
Postaviti statičke jednačine ravnoteže, odrediti unutrašnje sile, komponente glavnog vektora i glavnog momenta.
Mašinski fakultet Tuzla
Page 9
CAD/CAM sistemi
Odnos unutrašnje sile i površine na koju ona djeluje je srednji napon p sr .Kada elementarna površina teži nuli, srednji napon teži totalnom naponu u tački presjeka. Komponenta totalnog napona koja leži u pravcu normale presjeka naziva se normalni napon Ϭ,dok ona koja leži u ravni presjeka predstavlja tangencijalni napon T. Kroz svaku tačku može se provući beskonačno mnogo ravni, te će u svakoj ravni totalni napon imati različitu vrijednost. Skup napona za sve presjeke koji prolaze kroz tačku karakteriše naponsko stanje u tački.
Naponsko stanje u tački je definisano sa 6 komponenti napona koje predstavljaju tenzor napona.
Površine u kojima tangencijalnih napona nema su glavne površine, a normalni naponi koji djeluju u tim površinama su glavni naponi. Kroz svaku tačku napregnutog Mašinski fakultet Tuzla
Page 10
CAD/CAM sistemi
tijela mogu da se postave tri meĎusobno okomite normalne ravni u kojima djeluju samo normalni naponi.
Složeno naponsko stanje se može predstaviti Von -Misesovim naponom. Von-Mises
napon je veoma značajna vrijednost čije dejstvo reprezentuje odgovarajuće troosno stanje. Ovako definisan efektivni napon pri prostornom naponskom stanju uvijek je moguće usporeĎivati sa odgovarajućim stvarnim naponom pri jednoosnom zatezanju, što je od praktičnog značaja.
Izraz za proračun Von -Mises napona kod složenog naponskog stanja Hukov zakon
Relativna deformacija: ε=
ΔL L0
Mašinski fakultet Tuzla
Page 11
CAD/CAM sistemi
Hukov zakon:
E
E
E tg
,
F S
MPa
0
E
FL0 S L
Veza izmeĎu napona i deformacije: k = Ϭ∙(ε+1) k – specifični deformacioni otpor 5. FEM analiza u programu CATIA - modeliranje objekta - odreĎivanje materijala i njegovih svojstava - odreĎivanje veličine mreže i njeno postavljanje - definisanje oslonaca - definisanje opterećenja - analiza
Na sljedećem primjeru će biti predstavljen primjer izvoĎenja FEM analize u program u Catia, te interpretacija rezultata, na proizvoljno modeliranom elementu.
Predmet ispitivanja je aluminijumska ručka (drška)
Formiranje mreže, postavljanje oslonaca i povr šinskog opterećenja (pritiska):
Mašinski fakultet Tuzla
Page 12
CAD/CAM sistemi
Raspored Von – Mises napona te prikaz maksimuma
Mašinski fakultet Tuzla
Page 13
CAD/CAM sistemi
Deformacija mreže
Polje deformacija
Uporedni prikaz Von-Mises napona i deformacija Mašinski fakultet Tuzla
Page 14
CAD/CAM sistemi
Sa prikazanih slika je vidljivo da su najopterećeniji segment i brave na mjestu uklještenja gdje se javlja i maximalni Von-Misesov napon. Najmanji napon je na neopterećenom dijelu brave i to u najdaljoj tački. TakoĎer vidimo i da je najveća deformacija-progib brave na gornjoj površini 1,61316 mm. S obzirom da je max.napon u ovoj analizi 91,6 Mpa koji je uzrokovan velikim silama koje nije moguće ostvariti pritiskom ruke na bravu, a za aluminijum napon na granici tečenja i zatezna čvrstoća imaju veće vrijednosti ( 95Mpa ), možemo zaključiti da ručka može izdržati
data opterećenja.
Mašinski fakultet Tuzla
Page 15