ALJABAR ABSTRAK

STRUKTUR ALJ AL JABAR JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNESA BUDI P. PRAWOTO

CONTENTS: 

GRUP



SUBGRUP



GRUP SIKLIK dan GRUP PERMUTASI



KOSET



SUBGRUP NORMAL



HOMOMORFISMA GRUP



ISOMORFISMA GRUP

GRUP DEFINISI 1.1 Suatu himpunan tak kosong G dikatakan membentuk grup jika di dalam G didefinisikan suatu operasi biner, dinotasikan o, sedemikian sehingga:

1. a, b G berlaku aob G 2. a, b  G berlaku ao(boc)  (aob)oc

3. e G  aoe  eoa  a untuk a G 1

4. a  G , a  G  aoa

1

AKSIOMA GRUP

1

 a oa  e

Jika himpunan G dengan suatu operasi o membentuk grup, maka grup G dinyatakan dinyatakan dengan notasi .

GRUP CONTOH 1.1 : Misalkan G himpunan semua bilangan bulat. Operasi o didefinisikan sebagai operasi penjumlahan bilangan bulat, atau untuk a dan b di dalam G maka aob = a+b. Apakah G dengan operasi o membentuk grup? Jawab: • G

himpunan tak kosong

OK

• G

tertutup terhadap operasi penjumlahan

OK

• G

bersifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan

OK

• Ada

elemen identitas ( e)

OK

• Ada

inversnya untuk tiap elemen (a-1)

OK

GRUP DEFINISI 1.2 Suatu grup disebut grup abelian  atau grup komutatif   jika untuk setiap a,b elemen G berlaku aob = boa. Karakteristik lain dari suatu grup G adalah banyaknya elemen G. Banyaknya elemen grup G disebut order   dari G yang dinotasikan o(G). Jika order dari G finit, maka G disebut grup finit .

GRUP CONTOH 1.2 : Misalkan G = {-1, 1}. Periksa apakan G membentuk grup dengan operasi perkalian bil. Real. Jika grup, periksa apakah grup G merupakan grup abelian ! CONTOH 1.3 : P = {0, 1, 2, 3, 4}, dengan operasi penjumlahan bilangan modulo 5. Periksa apakah P membentuk grup !

GRUP DEFINISI 1.3 Misalkan G grup. Untuk sebarang a  elemen G, didefinisikan a0=e, a1=a, a2=aoa, a3=aoa2 dst dan a-2=(a-1)2, a-3=(a-1)3, dst.

CONTOH 1.4 : Misalkan G grup semua bil rasional positif terhadap operasi perkalian bil rasional. Yang dimaksud 2 3  adalah 2x2x2=8, dan yang dimaksud 2-3 adalah (2-1)3=(1/2)3=1/2 x ½ x ½ = 1/8.

GRUP Latihan 1.1 : Berikut ini, tentukan mana yang membentuk grup. Jika tidak membentuk grup, tunjukan aksioma mana yang tidak berlaku. 1. G = himpunan bil. Bulat, dengan aob = a  – b . 2. G = himpunan bil. Bulat positif, dengan aob = a x b. 3. G = himpunan semua bil. Real tanpa nol, dengan aob=axb. 4. G = {a0, a1, …, a6}, dengan ai o a j = ai+j, jika i+j < 7 ai o a j = ai+j-7, jika i+j > 7. 5. G = {2, 4, 6, 8}, dengan operasi perkalian bilangan modulo 10.

SIFAT BERSAHAJA DARI GRUP TEOREMA 1.1 (KANSELASI) Jika suatu grup, maka untuk setiap a,b,c Є G berlaku: i. Jika aob = aoc, maka b = c, (kanselasi kiri) ii. jika boa = coa, maka b = c. (kanselasi kanan) TEOREMA 1.2 Jika suatu grup, maka elemen identitas (e) dalam G adalah tunggal. TEOREMA 1.3 Jika suatu grup, maka setiap elemen G mempunyai invers tunggal di G.

TEOREMA 1.4 Jika suatu grup, maka untuk setiap a elemen G berlaku (a-1)-1 = a. TEOREMA 1.5 Jika suatu grup, maka untuk semua a dan b Є G berlaku (aob)-1 = b-1oa-1. TEOREMA 1.6 Jika diketahui a,b Є  G, maka persamaan aox=b dan yoa=b mempunyai penyelesaian tunggal untuk x dan y elemen G.

Latihan 1.2 : 1. Jika G grup sehingga (aob)2 = a2ob2 untuk setiap a,b Є G. Buktikan G merupakan grup abelian. 2. Jika G grup, a anggota G dan m,n bil bulat positif. Buktikan bahwa (am)n = amn. 3. Tunjukan bahwa jika setiap elemen dari grup G merupakan invers dari sirinya sendiri, maka G adalah grup abelian. 4. Jika G grup dan a,b,c elemen G. Buktikan bahwa persamaan xoaoxoboa=xoboc mempunyai penyelesaian tunggal.

SUB GRUP Notice: Untuk selanjutnya, notasi operasi o  pada grup dihilangkan, misal aob ditulis ab. DEFINISI: Suatu subset H tak kosong dari grup G disebut subgrup dari G jika terhadap operasi di G, H membentuk grup. Subgrup dari G ditulis ( S
TEOREMA: one-step subgrup test Jika G merupakan grup, H subset G dan H tak kosong, maka H merupakan subgrup dari G jika hanya jika untuk setiap a,bЄH maka ab-1 Є H.

TEOREMA: two-step subgrup test Suatu subset H yang tak kosong dari grup G merupakan sbgrup G jika hanya jika: i. Untuk setiap a, b Є H maka ab Є H. ii. Untuk setiap a Є H maka a-1 Є H.

TEOREMA: finite subgrup test Jika H subset finit tak kosong dari grup G dan H tertutup terhadap operasi dalam G, maka H merupakan subgrup dari G. TEOREMA: Jika G adalah grup dan a adalah elemen G, maka = {an| n Є Z} adalah subgrup G. (a 0 didefinisikan sebagai identitas).

DEFINISI 2.2 Center dari suatu grup G didefinisikan dengan Z(G) = {a Є G|ax = xa untuk semua x Є G}. TEOREMA: Center dari suatu grup G adalah subgrup G. DEFINISI 2.3 (Centralizer) Jika G grup, a Є  G, maka C(a) yang didefinisikna dengan C(a)={x Є G|xa = ax} dinamakan centralizer  dari a dalam G. TEOREMA: Untuk setiap a elemen G, maka C(a) adalah subgrup G.

Latihan : 1. Misalkan mapping Tab untuk a,b bil real, memetakan bil real into bil real dengan rumus Tab: x   ax+b. misal G={Tab|a≠0}, tunjukkan bahwa G merupakan grup terhadap operasi komposisi mapping. 2. Dari soal nomer 1, apakah H={Tab Є G|a,b Є Q} merupakan subgrup G? 3. Jika K dan H subgrup dari grup G, apakah K gabungan H juga subgrup dari G? 4. Tunjukan bahwa order suatu elemen dalam grup sama dengan order elemen inversnya. 5. G adalah grup abelian yang memiliki dua elemen berorder 2. tujukkan bahwa G mempunyai subgrup berorder 4.

GRUP SIKLIK DEFINISI: Suatu grup G disebut grup siklik  jika ada a Є  G sehingga G={an|n Є Z}. Elemen a disebut generator dari G.

CONTOH 1.8: G = {e, a, a2, a3, a4, a5}, o(G) = 6; a disebut elemen pembangkit/generator dari grup G. Grup semacam ini dinyatakan dengan C6. Grup siklik berorder n dinyatakan Cn.

CONTOH 1.9: Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} dengan operasi (+5). Z5  = <1> ; 1 disebut elemen pembangkit/generator dari . CONTOH 1.10: Z8 = {0, 1, 2, …, 7} dengan operasi (+8). Z8 = <1> ; Z8 = <3>; Tentukan subgrup dari .

TEOREMA: Jika G adalah grup siklik berorder n dan k adalah pembagi n, maka banyaknya elemen G yang berorder k adalah ø(k). Dengan ø(k) menyatakan banyaknya bilangan bulat positif kurang dari k yang relatif prima terhadap k.

GRUP PERMUTASI Misal S himp finit yang mempunyai n elemen, yaitu S={x 1, x2, x3,…, xn,}. Jika ф mapping satu-satu dari S onto S, maka ф dapat dinyatakan sebagai ф :x1 xi1

x2 xi2 ………….

xn xin

Atau dapat dituliskan sebagai

 x1      xi1

x2

...

xn 

x i2

...

x in 



Atau lebih singkat dapat dituliskan sebagai

1      i1

2

...

n

i2

...

in 



Misal S himp tak kosong dengan o(S)=4, maka jika ф mapping yang memetakan: X1  X2 ; X2  X4 ; X3  X1 ; X4  X3 maka ф dapat dinyatakan dengan permutasi sebagai:

1     2

2

3

4

4

1

3



Selanjutnya, himp mapping bijektif pada himp dengan n elemen dinyatakan dengan Sn. Jadi himp mapping bijektif pada himp dengan 4 elemen dinyatakan dengan S4.

CONTOH 1.5: Diberikan S3. Maka banyaknya mapping bijektif pada himpunan dengan 3 elemen adalah 6, jadi o(S 3) = 6. Misal keenam elemen S3 adalah sbb:

1 P1 =  1

2

3

2

3

1 P4 =  1

2

3

3

2

 

1 P2 =  2

2

3

1

3

1 P5 =  2

2

3

3

1

 

1 2 P3 =  3 2 1 2 P6 =  3 1

3



1

3



2

Tabel operasinya:

o

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P1

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P2

P2

P1

P5

P6

P3

P4

P3

P3

P6

P1

P5

P4

P2

P4

P4

P5

P6

P1

P2

P3

P5

P5

P4

P2

P3

P6

P1

P6

P6

P3

P4

P2

P1

P5

Dari tabel terlihat bahwa S3 membentuk grup terhadap operasi perkalian permutasi. Istilah lain untuk menyatakan permutasi adalah cycle.

DEFINISI 1.4 Suatu permutasi P dari suatu himpunan A merupakan suatu cycle dengan panjang n, jika ada a1, a2, …, an Є A sehingga a1P= a2, a2P= a3, …, an-1P= an, anP= a1 dan xP=x untuk x Є A tetapi x bukan elemen {a 1, a2, …, an}. Ditulis : P = (a1, a2, …, an). CONTOH 1.6: Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} maka

1 (1,3,5,4)=  3

2

3

4

5

2

5

1

4



Karena cycle merupakan tipe khusus dari permutasi, maka 2 cycle dapat dioperasikan seperti pada 2 permutasi. Produk dari 2 cycle tidak musti berupa cycle. CONTOH 1.7: Misalkan 2 cycle dalam S 6, yaitu (1, 4, 5, 6) dan (2, 1, 5) Maka:

 1 2 3 4 5 6  1 2 3 4 5 6  (1,4,5,6)(2,1,5)=   5 1 3 4 2 6  4 2 3 5 6 1   

1 2 3 4 5 6    4 1 3 2 6 5    (1,4,2)(5,6) Bukan merupakan suatu cycle.

KOSET DEFINISI 2.5 Jika H subgrup dari G, a Є G, maka Ha = {ha|h Є H} disebut koset kanan  dari H dalam G dan aH = {ah|h Є  H} disebut koset kiri  dari H dalam G.

CONTOH 2.2: Misalkan G himp bil bulat membentuk grup terhadap operasi penjumlahan dan H himp bil bulat genap dengan operasi yang sama membentuk grup, maka S
Jika a Є  H, maka untuk setipa h Є  H, ha Є  H (sifat tertutup dalam H). Demikian juga untuk a Є  H, Ha={ha|h Є  H} = H. Begitu juga untuk koset kirinya, yaitu aH={ah|h Є H} = H. Dapat disimpulkan bahawa jika G grup, H subgrup dari G, maka untuk a Є H, Ha = aH = H.  Untuk

a,b Є  G sedemikian hingga jika a Є  Hb atau b Є Ha

maka Ha = Hb.  Jika ada c

Є G dengan c Є Ha dan c Є Hb maka Ha = Hb.

Berlaku juga untuk koset kiri.

TEOREMA 2.5 Ada korespondensi satu-satu antara sebarang dua koset kanan dari subgrup H dalam grup G. TEOREMA 2.6 Jika G grup finit dan H subgrup dari G maka o(H) adalah pembagi dari o(G). DEFINISI 2.6 ( indeks ) Jika H subgrup dari G, indeks dari H dalam G adalah banyaknya koset kanan berlainan dari H dalam G.

DEFINISI 2.7 Jika G suatu grup dan a Є  G, order (periode) dari elemen a adalah bilangan bulat positif terkecil m sehingga am=e. Digunakan notasi o(a) untuk order dari a. TEOREMA 2.7 Jika G grup finit dan a Є  G maka o(a)/o(G). (order a merupakan pembagi dari order G). TEOREMA 2.8 Jika G grup finit dan a Є G maka ao(G)=e.

TEOREMA 2.9 Jika G suatu grup finit dengan order bilangan prima p, maka G merupakan grup siklik. DEFINISI 2.8 Jika H dan K dua subgrup dari G, maka HK didefinisikan dengan HK = {x Є G|x = hk, h Є H, k Є K}. TEOREMA 2.10 Jika G suatu grup dan H subgrup dari G, maka HH = H. DEFINISI 2.9 Jika G grup dan H subgrup dari G, maka yang dimaksud dengan H-1 adalah: H-1 = {a-1|a Є H}.

TEOREMA 2.11 Jika H, K dua subgrup dari grup G, maka HK subgrup ddari G  jika hanya jika HK = KH. TEOREMA 2.12 Jika H, K subgrup dari grup abelian G, maka HK subgrup G.

Latihan 2.2 : 1. Jika H subgrup dari grup G, dan a Є G, buktikan bahwa aHa-1={aha-1|hЄH} merupakan subgrup dari G! 2. Tulislah semua koset kanan dari H dalam G, jika: a. G=(a) merupakan grup siklik dengan order 10 dan H=(a2) merupakan subgrup dari grup g. b. G=S3 dengan S={a, b, c} dan H={PЄG|aP=a}.

SUBGRUP NORMAL DAN GRUP FAKTOR DEFINISI 2.10 Suatu subgrup N dari G disebut subgrup normal dari grup G  jika hanya jika untuk setiap gЄG dan nЄN, gng-1ЄN. Selanjutnya, jika gng-1 diartikan sebagai himpunan semua gng -1 dengan nЄN atau gNg-1={gng-1 |n Є N}, maka DEFINISI 2.11 Suatu subgrup N dari G disebut subgrup normal dari grup G  jika hanya jika gNg-1 subset dari N untuk setiap gЄG.

TEOREMA 2.13 N merupakan subgrup normal dari grup G jika hanya jika jika gNg-1 = N untuk setiap gЄG. TEOREMA 2.14 Subgrup N dari grup G merupakan subgrup normal dari G  jika hanya jika setipa koset kiri dari N dalam G merupakan koset kanan dari N dalam G. TEOREMA 2.15 Jika N subgrup normal dari G maka produk 2 koset kanan dari N dalam G juga merupakan suatu koset kanan dari N dalam G.

TEOREMA 2.16 Jika G grup, N subgrup normal dari G, maka G/N merupakan suatu grup. Grup G/N ini disebut grup faktor dari G oleh N.