Aljabar Linier.DOCX

1

PERTEMUAN 1
KONSEP MATRIKS
Definisi Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk empat persegi panjang atau bujur sangkar yang ditulis di antara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ]. Matriks tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:
Am×n=a11a12 a1j a1na21a22 a2j a2n ai1ai2 aij ain am1am2 amj amn
Matriks juga dapat dinyatakan sebagai: Am×n=aijm×n
Di mana: aij= elemen atau unsur matriks
i= 1,2,3, … m, indeks baris
j= 1,2,3, … n, indeks kolom
Matriks di mana jumlah baris dan kolom sama disebut matriks bujursangkar. Matriks bujursangkar dengan n baris dan n kolom (ukuran n×n) mempunyai bentuk:
A=a11a12 a1j a1na21a22 a2j a2n ai1ai2 aij ain an1an2 anj ann
a11, a22, a33, …, aij, …, annuntuk i=j atau m=n disebut elemen diagonal utama matriks A.
Matriks dapat didefinisikan juga sebagai kumpulan beberapa vector kolom atau vector baris.
Contoh:
Tiga buah vector baris yaitu v1, v2, dan v3 membentuk matriks A.
v1=3, 4, 5
v2=4, 6, 8 A=v1v2v3 A=245468123
v3=1, 2, 3
Tiga buah vector kolom yaitu u1, u2, dan u3 membentuk matriks B.
u1=246, u2135, u3=789 B=u1u2u3=217438659
Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom (atau vector kolom) dan matriks dengan satu baris disebut matriks baris (atau vector baris).
Matriks baris A1xn: A=a1a2…an
Matriks kolom Bnx1 B=b1b2 bm
Contoh:
Matriks baris: a. A=321 b. B=abcd
Matriks kolom: a. C=35 b. D=157
Notasi matriks dinyatakan oleh huruf capital dan elemen atau entri matriks dinyatakan oleh huruf kecil.
Contoh: A=9-120, B=abcd, C=-25914208, D=abc235def
Ada beberapa istilah yang berkaitan dengan elemen, ukuran dan dimensi matriks yaitu:
Ukuran (size) matriks adalah jumlah baris dan kolom dari matriks.
Dimensi (dimension) matriks adalah baris x kolom dari matriks.
Ordo (order) matriks adalah jumlah baris atau kolom dari matriks bujur sangkar.
Elemen (element) matriks adalah semua nilai yang ada pada baris dan kolom matriks.
Entri (entry) matriks adalah nilai yang ada pada baris dan kolom tertentu dalam matriks.
Contoh:
Jika diketahui matriks B=2314
Dapat dinyatakan bahwa:
Matriks B mempunyai 2 baris dan 2 kolom B2x2
Ukuran matriks B adalah 2 x 2
Dimensi matriks B adalah 2 x 2
Ordo matriks B adalah 2
Elemen matriks B: 2, 3, 1, 4
Entri matriks B:b11=2, b12=3, b21=1, b22=4

Jika diketahui matriks B=123654789
Dapat dinyatakan bahwa:
MatriksA mempunyai 3 baris dan 3 kolom A3x3
Ukuran matriks A adalah 3 x 3
Dimensi matriks A adalah 3 x 3
Ordo matriks A adalah 3
Elemen matriks A:1, 2, 3, 6, 5, 4, 7, 8, 9
Entri matriks A: a11=1, a23=4, a32=8dst.

Jenis-Jenis Matriks
Jenis matriks dapat dibedakan berdasarkan susunan elemen matriks dan berdasarkan sifat dari operasi matriksnya.
Berdasarkan Susunan Elemen Matriks
Berdasarkan susunan elemen matriks, ada beberapa jenis matriks yaitu:
Matriks kuadrat/bujursangkar (square matrix) adalah matriks di mana jumlah baris (m) sama dengan jumlah kolom (n) atau m=n.
Contoh: A=2314, B=123654789
Matriks nol (null matrix) adalah matriks di mana semua elemennya mempunyai nilai nol (0).
Contoh: 02=0000, 03=000000000
Matriks diagonal (diagonal matrix) adalah matriks di mana semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol (0) dan minimal ada satu elemen pada diagonal utamanya bukan nol.
Contoh: A=3005, B=100000009
Matriks kesatuan/identitas (unit matrix, identity matrix) adalah matriks di mana semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu (1) dan elemen di luar diagonal utama bernilai nol
Contoh: I2=1001, I3=100010001
Matriks scalar (scalar matrix) adalah matriks diagonal di mana elemen pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan satu atau nol.
Contoh: A=4004, B=500050005
Matriks tridiagonal (tridiagonal matrix) adalah matriks diagonal di mana elemen sebelah kiri dan kanan diagonal utamanya bernilai tidak sama dengan (0).
Contoh: A=520252025
Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix, L) adalah matriks diagonal di mana elemen di sebelah kiri (bawah) diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh: L=1021, L=100230435
Matriks segitiga atas (upper triangular matrix, U) adalah matriks diagonal di mana elemen di sebelah kanan (atas) diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh: U=1203, U=532041005
Matriks simetris (symmetric matrix) adalah matriks bujursangkar di mana elemen ke aij sama dengan ke aji atau aij=aji untuk semua idan j.
Contoh: A=215142522, berlaku sifat AT=A
Matriks miring (skew matrix) adalah matriks bujursangkar di mana elemen ke aij sama dengan -aji atau aij=-aji untuk semua i dan j tetapi elemen diagonal utama tidak semuanya bernilai nol.
Contoh: M=756-504-6-42, berlaku sifat MT=-M
Matriks miring simetris (skew-symmetric matrix) adalah matriks bujur sangkar di mana elemen ke aij sama dengan -aji atau aij=-aji untuk semua i dan j dan semua elemen diagonal utama bernilai nol.
Contoh: M=056-504-6-40, berlaku sifat MT=-M

Berdasarkan Sifat Operasi Matriks
Berdasarkan operasi matriks, ada beberapa jenis matriks yaitu:
Matriks singular (singular matrix) adalah matriks yang determinannya bernilai nol.
Contoh: A=2424, B=232415000
Matriks nonsingular (non singular matrix) adalah matriks yang determinannya bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh: A=4004, B=221122212
Matriks hermit (hermit matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transpose conjugate-nya sama dengan matriks itu sendiri atau MT=M di mana M=conjugate kompleks matriks M.
Contoh:M=11-i21+i3i2-i0, M=11+i21-i3-i2i0,
MT=11-i21+i3i2-i0=M
Matriks hermit miring (skew hermit matrix) adalah matriks bujursangkar yang transpose conjugate-nya sama dengan negative matriks itu sendiri atau MT=-M
Contoh: M=-i1-i21-i3ii-2i0, M=-i1+i2-1+i-3i-i-2-i0,
MT=-i-1+i-21+i-3i-i2-i0=-M

Matriks uniter (uniter matrix) adalah matriks bujursangkar yang transpose-nya sama dengan invers conjugate-nya atau MT=MT atau MMT=MM-1=I
Contoh: M=0-ii0, M=0i-i0danMT=0i-i0
MMT=0i-i00i-i0=-i200-i2=1001
Matriks orthogonal (orthogonal matrix) adalah matriks bujursangkar yang transpose-nya sama dengan invers-nya atau MT=M-1 atau MTM=I
Contoh: M=1212-1212danMT=12-121212
MTM=12-1212121212-1212=1001=I
Matriks normal (normal matrix) adalah matriks bujursangkar yang mempunyai sifat : MMT=MT
Contoh :M=12+i2-i1, M=12-i2+i1
M=12+i2-i1
MMT=MTM 12+i2-i112+i2-i1
=12+i2-i112+i2-i1=24+2i4-2i2
=212+i2-i1=2MT
Matriks involunter (involunter matrix) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks identitas atau M2=I.
Contoh: M=-25151525
M2=M.M=-25151525-25151525=1001=I
Matriks idempotent (idempotent matrix) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks asal atau M2=M.
Contoh: M=2-2-4-1341-2-3
M2=2-2-4-1341-2-32-2-4-1341-2-3=2-2-4-1341-2-3=M
Matriks nilpotent (nilpotent matrix) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks nol atau MP=0, untuk p= bilangan bulat positif > 2.
Contoh: M=113526-2-1-3
M3=113526-2-1-3113526-2-1-3113526-2-1-3
M3=000000000
Matriks elementer (elementary matrix) adalah matriks hasil transformasi elementer terhadap matriks kesatuan (I).
Contoh: I=100010001
Transformasi elementer I12, I3k, dan I23k:
I12=010100001
I3(k)=10001000k
I23(k)=10001k001
Keterangan:
I12=b12 (baris 1 ditukar dengan baris 2)
I3(k)=b3(k)=k×b3 (baris 3 dikali dengan k)
I23(k)=b2+k×b3 (baris 2 + baris 3 dikali k)

Pertemuan 2
Transpose Matriks
Jika A adalah matriks ukuran m×n, maka transpose dari A, dinyatakan oleh AT, At, atau A', didefinisikan menjadi matriks n×m yang merupakan hasil pertukaran baris dan kolom dari matriks A.
JikamatriksA dinyatakan:
Am×n=aij,
Maka transpose matriksA dinyatakan:
AT=bij,
Di manabij=aji.

A=a11a12 a1na21a22 a2n . am1am2 amnAT=a11a21 am1a12a22 am2 . a1na2n amn

Contoh:
Tentukan transpose dari matriks berikut:
A=a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34, B=231456
Solusi:
Transpose dari matriks tersebut adalah sebagai berikut:
AT=a11a21a31a12a22a32a13a23a33a14a24a34, BT=215346
Tentukan transpose dari matriks berikut:
C=135, D=4, E=4-2062-319075-1
Solusi:
Transpose dari matriks tersebut adalah sebagai berikut:
CT=135, DT=4, ET=420-2-3701569-1
Sifat-sifat matriks transpose:
Jika A dan B adalah dua buah matriks yang berorde sama maka:
A±BT=AT±BT
Jika α scalar dan A matriks, maka : αAT=αAT
Jika A matriks, maka ATT=A
Jika A matriks bujur sangkar dan n positif, maka: AnT=ATn
Jika A, B dua matriks dengan ukuran masing-masing m×n dan n×p, maka ABT=BTAT.

Partisi Matriks
Partisi matriks adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertical antara baris dan kolom matriks. Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut submatriks.
Partisi matriks digunkan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu, misalnya mencari invers matriks. Setiap submatriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan kedalam matriks asalnya.
A=a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 A11A12A21A22
Atau
A=b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44 b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b44b44b14 B11B12B21B22

Matriks A11, A12, A21, dan A22 disebut submatriks dari matriks A.
A11=a11a12a21a22, A12=a13a14a23a24, A21=a31a32a41a42, dan A22=a33a34a43a44
Demikian juga B11, B12, B21, dan B22 merupakan submatriks dari matriks B.
B11=b11b21, B12=b12b13b14b22b23b24, B21=b31b41, danB22=b32b33b34b44b44b14

Contoh:
Tentukan submatriks yang terbentuk dari partisi matriks berikut
A=4-2062-319075-1
Solusi:
A114, A12=-206, A21=20 dan A22=-31975-1

A=4-2062-319075-1
Solusi:
A11=4-2, A12=06,
A21=2-307 dan A22=195-1
Bentukan submatriks yang terbentuk dari partisi matriks berikut
A=4-2062-319075-1
Solusi
A11=4-20, A12=6,
A21=2-31075 dan A22=9-1
A=4-2062-319075-1
Solusi:
A11=4-22-3, A12=0619, A21=07 dan A22=5-1
Tentukan matriks yang terbentuk dari submatriks berikut.
A11=4, A12=-206,
A21=20 dan A22=-31975-1
Solusi
A=A11A12A21A22
A=4-2062-319075-1 A=4-2062-319075-1
Tentukan matriks yang terbentuk dari submatriks berikut.
A11=4-2,A12=06,
A21=2-307 dan A22=195-1
Solusi
A=A11A12A21A22
A=4-2062-319075-1

A=4-2062-319075-1

Kesamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan nilai serta posisi elemen/entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut adalah sama.
Matriks Am×n=Bp×q adalah sama jika dan hanya jika m=p dan n=q.
Di mana Am×n=aij
Bp×q=bij
Atau aij=bij, untuk semua i=1, 2, .., m; dan j=1, 2, .., n.
Contoh:
A=B 135246789=135246789
A=B 2312=231J
Matriks A sama dengan B jika dan hanya jika J=2.
A B 2312 2316
A B 12 12

Matriks Gabungan
Matriks gabungan (Joining matrixs) adalah suatu matriks hasil paduan dari dua buah matriks yang biasanya diperlukan untuk operasi matriks tertentu, misalnya eliminasi Gauss. Matriks gabungan dapat berupa hasil proses augment atau stack. Augment adalah menempatkan sebuah matriks di sebelah matriks lainnya, sedangkan stack adalah menempatkan suatu matriks di atas matriks lainnya. Augment matriks A dan B disebut juga dengan istilah matriks ekstensi.
Jika diketahui matriks A dan B:
A=a11a12a13a21a22a23a31a32a33, B=b11b12b13b21b22b23b31b32b33
Maka matriks gabungan A dan B:
Augment A, B=a11a12a13b11b12b13a21a22a23b21b22b23a31a32a33b31b32b33
Stack A, B=a11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33
Contoh:
Jika diketahui matriks A dan B seperti berikut,
A=135246789, B=232244282
Tentukan:
Augment (A, B)
Augment (B, A)
Stack (A, B)
Stack (B, A)
Solusi:
a. 135246789232244282b. 232244282135246789
b. 135246789232244282c. 232244282135246789

PERTEMUAN 3
OPERASI MATRIKS
Definisi Operasi Matriks
Operasi matriks adalah operasi aljabar terhadap dua atau lebih matriks yang meliputi:
Penjumlahan
Pengurangan (selisih)
Perkalian
Perkalian langsung (Cronecker)
Pembagian
Pangkat
Operasi baris elementer (OBE)

Penjumlahan dan Pengurangan
Jenis matriks dapat dibedakan berdasarkan susunan elemen matriks dan berdasarkan sifat dari operasi matriknya. Penjumlahan dan pengurangan (selisih) matriks harus memperhatikan hal-hal berikut.
Matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika mempunyai ukuran atau dimensi sama.
Matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Matriks hasil penjumlahan atau pengurangan mempunyai ukuran yang sama dengan matriks asal.
Penjumlahan matriks adalah menambahkan elemen pada posisi yang sama pada matriks.
Pengurangan (selisih) matriks adalah mengurangi elemen pada posisi yang sama pada matriks.
Jumlah dua matriks A=(aij) dan B=bij yang berukuran m×n:
A+B=aij+bijjm×n untuk i=1, 2, …, m;
j=1, 2, …, n.
Selisih dua matriks A=(aij) dan B=bij yang berukuran m×n:
A-B=aij-bijjm×n untuk i=1, 2, …, m;
j=1, 2, …, n.
Contoh:
Tentukan penjumlahan dan selisih dari matriks-matriks berikut:
A=2-13046-610-5, B=47-89351-12
Solusi:
A+B=2+4-1+73+(-8)0+94+36+5-6+110+(-1)-5+2=66-59711-59-3

A-B=2-4-1-73-(-8)0-94-36-5-6-110-(-1)-5-2=-2-811-911-711-7
Tentukan penjumlahan dan selisih dari matriks A dan B berikut.
A=489150, B=375052
Solusi:
A+B=489150+375052=4+38+79+51+05+50+2=715141102

A-B=489150-375052=4-38-79-51-05-50-2=11410-2
Tentukan penjumlahan dari matriks-matriks berikut:
142536+123456=2659812
1234+1234+1234=36912
405-132+111357=516289

Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
A+B=B+A Sifat Komutatif
A+B+C=C+B+A
A+B+C=A+(B+C) Sifat Asosiatif
A+0=A
A-0=A

Perkalian Skalar Matriks
Jika k adalah bilangan real (scalar), maka perkalian scalar dengan matriks A=aijm×n:
kA=ka11ka12 ka1nka21ka22 ka2n kam1kam2 kamn=kaijm×n
Atau
Ak=a11ka12k a1nka21ka22k a2nk am1kam2k amnk=aijkm×n

Contoh:2
Jika A=2-13046-610-5 dan k = 2 tentukan kA dan Ak.
Solusi:
A=2×22×(-1)2×32×02×42×62×(-6)2×102×(-5)=4-260812-1220-10

Ak=2×2-1×23×20×24×26×2-6×210×2-5×2=4-260812-1220-10

Jika diketahui matriks A dan B berikut,
A=405-132, B=111357
Tentukan 2A dan 2A – B
Solusi:
2A=2405-132=8010-264
2A-B=2405-132-111357=7-19-513

Jika diketahui matriks A=123456 tentukan matriks 5A.
Solusi:
5A=5123456=5×15×25×35×45×55×6=51015202530
Sifat Perkalian Skalar Matriks
Jika A, B, C adalah matriks m x n, k1 dan k2 adalah scalar maka:
k1A=Ak1
k1k2A=k1k2A
1A=A
-1A=-A
k1A+B=k1A+k1B
k1+k2A=k1A+k2A

Perkalian Matriks
Jika A matriks ukuran m×p dan B matriks ukuran p×n, maka perkalian matriks A dan B:
AB=a11a12 a1pa21a22 a2p am1am2 ampb11b12 b1nb21b22 b2n bp1bp2 bpn
atau AB=k=1paikbkjm×n
untuk semua i=1, 2, …,m; j=1, 2, …, p.
AB = C
a11a12 a1p ai1ai2 aip amiami ampb11b1j b1nb21b2j b2n bp1bpj bpn=c11a1j a1n ci1aij ain cm1amj amm
Di mana :
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aipbpj=k=1paikbkj
Perkalian matriks yaitu mengalikan elemen baris ke-i matriks A dengan elemen kolom ke-j matriks B dan menjumlahkannya. Dimensi hasil perkalian matriks :

Dimensi matriks hasil perkalian

Am×p × Bp×n=ABn×n

Jumlah kolom A = jumlah baris B

Contoh:
Jika diketahui A=2-134 dan B=3-9257-6 tentukan AB.
Solusi:
AB=2-134×3-9257-6
=23+-1(5)2-9+-1(7)22+-1(6)33+4(5)3-9+4(7)32+4(-6)
=1-2510291-18

Jika diketahui A=-231-460 dan B=-13-24 tentukan AB.
Solusi:
AB=-231-460-13-24=-2-1+3(-2)-23+3(4)1-1+-4(-2)13+-4(4)6-1+0(-2)63+0(4)
=-467-13-618

Jika diketahui A=4735 dan B=9-268 tentukan AB.
Solusi:
AB=4×9+7×64×2+7×83×9+5×63×-2+5×8=78485734

Jika diketahui A=581027 dan B=-4-320 tentukan AB.
Solusi:
AB=5×-4+8×25×-3+8×01×-4+0×21×-3+0×02×-4+7×22×-3+7×0=-4-15-4-36-6

Jika diketahui A=1-102 tentukan A2.
Solusi:
A2=1-1022=1-1021-102
=1×1+(-1)×01×-1+(-1)×20×1+2×00×-1+2×2=1-304

Jika diketahui matriks A dan B berikut, tentukan AB.
A=123321, B=10-2021-132
Solusi:
AB=1×1+2×0+3×(-1)1×0+2×2+3×31×-2+2×1+3×23×1+2×0+1×(-1)3×0+2×2+1×33×-2+2×1+1×2
=-213627-2
Perkalian matriks bersifat non-komutatif. Jadi perkalian AB tidak sama dengan BA atau AB BA.
AB=k=1paikbkjm×n
AB=k=1paikbkjm×n
AB BA

Contoh:
Jika diketahui matriks A=0001 dan B=0010, tentukan AB dan BA.
Solusi:
AB=0×0+0×10×0+0×00×0+1×10×0+1×0=0010

BA=0×0+0×00×0+0×11×0+0×01×0+0×1=0000

JadiAB BA

Perkalian Matriks Identitas
Matriks identitas atau matriks satuan adalah matriks bujur sangkar di mana elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen di luar diagonal utama bernilai 0. Matriks identitas dinyatakan oleh I atau In di mana n adalah orde matriks.Perkalian suatu matriks (A) dengan matriks identitas:
AI=A IA=A
AI=IA=A
Contoh:
Jika diketahui matriks A=123456789 dan I=100010001, tentukan AI, IA, dan I2.
Solusi:
AI=123456789100010001=123456789
IA=100010001123456789=123456789
I2=100010001100010001=100010001

Sifat Perkalian Matriks
Jika A adalah matriks ukuran m×n, matriks B dan C mempunyai ukuran yang memungkinkan untuk operasi penjumlahan dan perkalian maka:
ABC=A(BC) Asosiatif
AB+C=AB+AC Distributif kiri
B+CA=BA+C Distributif kanan
rAB=rAB r = scalar
ImA=A=AIn Asosiatif

Aplikasi Perkalian Matriks

Menghitung Jumlah Baris Elemen Matriks.
Perkalian matriks baris berelemen 1 dengan suatu matriks.

R=111, A=147258369

Perkalian matriks baris 1 dengan matriks A menghasilkan jumlah total baris matriks A

RA=111.147258369=61524

Menghitung Jumlah Kolom Elemen Matriks.
Perkalian suatu matriks dengan matriks kolom berelemen 1.

A=147258369, C=111

Perkalian matriks A dengan matriks kolom 1 menghasilkan jumlah total kolom matriks A.

A=147258369.111=121518

Menghitung Perkalian Skalar (Dot/Inner Product) dua vector.
Perkalian matriks baris (vector baris) dengan matriks kolom (vektor kolom).
A=346, B=528

Perkalian matriks a dan b menghasilkan:
A=346.528=3×54×26×8=71
Merupakan jumlah perkalian elemen-elemen pada posisi yang sama dalam kedua vektor.
Menghitung Perkalian Luar (Outer Product) Dua Vektor.
Perkalian matriks kolom (vektor kolom) dengan matriks baris (vektor baris).
A=346, B=528

Perkalian matriks b dan a menghasilkan:
BA=528346=1520306812243248

Merupakan matriks hasil perkalian setiap pasangan elemen dari kedua matriks.

Menghitung Jumlah Kuadrat Elemen Matriks Baris.
Perkalian matriks baris (vektor baris) dengan transpose-nya:

A=346, AT=346

Perkalian matriks A dan AT menghasilkan:

AAT=346.346=32+42+62=9+16+36=61

Merupakan jumlah kuadrat dari elemen-elemen matriks baris.

Menghitung Jumlah Kuadrat Elemen Matriks Kolom.
Perkalian matriks kolom (vektor kolom) dengan transpose-nya:
A=528, AT=528

Perkalian matriks AT dan A menghasilkan:

AT=528.528=52+22+82=25+4+64=93

Merupakan jumlah kuadrat dari elemen-elemen matriks kolom.

Mendeskripsikan Sistem Persamaan Simultan.
Jika ada system persamaan simultan seperti berikut:
px1+qx2+rx3=P
ax1+bx2+cx3=Q
dx1+ex2+fx3=R

System persamaan simultan tersebut dapat dinyatakan:
AX=B
Di mana:
A=pqrabcdef, X=x1x2x3, B=PQR

Perkalian Langsung (Kronecker)
Perkalian langsung (direct) matriks disebut juga perkalian Kronecker matriks (). Jika A matriks ukuran m×n dan B matriks ukuran p×q, maka perkalian langsung (direct product atau Kronecker) AB adalah matriks ukuran mp×nq yang digambarkan sebagai matriks partisi.
Am×nBp×q=a11Ba12B a1nBa21Ba22B a2nB am1Bam2B amnB
Contoh:
Jika A=12-13 dan B=1-1123201-1023 tentukan AB
Solusi:
A2×2B3×4=1-1122-22432016402-1023-2046-11-1-23-336-3-20-1960310-2-3-3069
Jika A=122314021 dan B=112221121 tentukan AB
Solusi:
A3×3B3×3=112224224221442442121242242336112448663221884363121484000224112000442221000242121

Pembagian Matriks
Pembagian matriks biasanya dilakukan pada matriks bujur sangkar. Jika A dan B matriks ukuran m×n (m=n), maka pembagian matriks A dengan matriks B sebagai berikut:
Cm×n=Am×nBm×n C=A.B-1
Dm×n=Bm×nAm×n D=B.A-1
A-1 dan B-1 masing-masing adalah invers matriks A dan B.
A.A-1=I
B.B-1=I
Di mana I= matriks identitas
Contoh:
Jika A=2468 dan B=1234 tentukan C=AB.
Solusi:
C=AB=24681234 C=24681234-`1
=2468-213/2-1/2
=2002=21001=2I
Atau
C=24681234=224681234=21001=2I
C=AB=69691266615232342225 C=69691266615232342225-`1
=69691266615-16/511/52/511/5-6/5-2/52/5-2/51/5=300030003
=3100010001=3I
Atau
C=AB=69691266615232342225=3232342225232342225=3100010001=3I

Pangkat Suatu Matriks
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka pangkat (atau power) bilangan bulat (n) di mana n>0 dari matriks A sebagai berikut:
A0=1
A2=A.A
….
An=A.A……An
Di mana n>0
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar yang invertible (dapat dibalik) dan mempunyai invers, maka pangkat bilangan bulat (n) di mana n>0 dari matriks A sebagai berikut:
A-n=A-1n
A-n=A-1.A-1……A-1n
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar dan p dan q bilangan bulat positif, maka pangkat dari matriks A sebagai berikut:
ApAq=Ap+q
Apq=Apq
Bentuk pangkat matriks sering digunakan untuk analisis-analisis fungsi nonlinier, misalnya fungsi kuadrat. Bentuk matriks fungsi kuadrat P dari n variable: x1, x2, …, xn dapat ditulis sebagai berikut.
P=i=1nj=1naijxixj=a11x1x1+a12x1x2+…+a1nx1xn
+a21x2x1+a22x2x2+…+a2nx2xn
+an1x1x1+an2xnx2+…+annxnxn
Jika vektor X=x1, x2, …, xn dan matriks A=aij maka bentuk kuadrat matriks tersebut menjadi:
P=i=1nj=1naijxixj=i=1nxij=1naijxj=inxiAXi=XTAX
Di mana, XT adalah transpose dari matriks X.
Matriks A yang berhubungan dengan bentuk matriks kuadrat XTAX selalu merupakan matriks simetris. Jika matriks A tidak simetris atau entri aij aji, maka matriks A dapat dibentuk menjadi matriks simetris B menggunakan persamaan berikut.
bij=bji=aij+aji2
Untuk semua i dan j.
Sehingga bij+bji=aij+aji dan matriks B=bij merupakan matriks simetris hasil transformasi dari matriks A yang tidak simetris. Jadi matriks B sama dengan transpose B atau B=BT.
Contoh:
Jika diketahui matriks berikut A=2112
Tentukan dan buktikan:
A3
A2A=A2+1=A3
A22=A2×2=A4
Solusi:
A3=211221122112=14131314
A2=21122112=5445
A2A=54452112=14131314
Jadi A2A=A3
A2=21122112=5445,
A2A2=54455445=41204041
A4=2112211221122112=41204041
Jadi A22=A4

Jika diketahui fungsi kuadrat P seperti berikut.
P=a11x12+a12x1x2+a22x22
Tentukan bentuk matriks dari fungsi P.
Solusi:
x1x2a11a12a21a22x1x2=XTAX


P=8x12+5x1x2+3x2x1+6x22=8x12+8x1x2+6x22

Solusi:
x1x28536x1x2=XTAX

Karena matriks A tidak simetris, matriks A ditransformasi ke matriks B yang simetris.

b12=b21=a12+a212=5+32=4

Jadi fungsi P dalam bentuk matriks simetris B adalah sebagai berikut.
x1x28446x1x2=XTBX

P=2x12+4x22+2x32-4x1x2+6x3x2

Solusi:
x1x2x32-40040062x1x2x2=XTAX

Karena matriks A tidak simetris, matriksA ditransformasi ke matriks B yang simetris.
b12=b21=a12+a212=-4+02=-2
b32=b23=a32+a232=6+02=3
Jadi, fungsi P dalam bentuk matriks simetris B adalah sebagai berikut.
x1x2x32-20-243032x1x2x2=XTBX

Operasi Baris Elementer
Operasi baris elementer (OBE) adalah menukar suatu baris matriks dengan baris matriks yang lainnya atau mengalikan suatu baris dengan bilangan k (scalar) di mana k>O kemudian hasilnya ditambahkan ke baris lainnya pada matriks.
Notasi OBE:
bij = menukar baris ke-i dengan baris ke-j
bis = mengalikan baris ke-i dengan ss 0
bij(s) = ganti baris ke-i dengan baru yang merupakan baris ke-i ditambah baris ke-j yang dikalikan dengan s.
= bi+s.bj
Operasi baris elementer digunakan pada operasi eleminasi Gauss atau eliminasi Gauss Jordan.
Contoh:
Jika diketahui matriks123456057 tentukan hasil OBE untuk b12, b23, b234 secara berturut-turut,
Solusi:
123456057b12456123057b2(3)456369057b23(4)45632637057

Jika diketahui matriks 100010001 tentukan hasil OBE untuk b324, b32-4, b23 secara berturut-turut,
Solusi:
100010001b32(4)100010041b32(-4)100010001b23100001010

Soal untuk Latihan
Tentukan penjumlahan dari selisih dari matriks berikut

A=123146212, B=424635122

Jika diketahui A=221110221220 danB=142214121221 tentukan AB.

P=4x12+2x22+4x32-2x1x2+4x3x2


Pertemuan 4

Pembagian Matriks
Pembagian matriks biasanya dilakukan pada matriks bujur sangkar. Jika A dan B matriks ukuran m×n (m=n), maka pembagian matriks A dengan matriks B sebagai berikut:
Cm×n=Am×nBm×n C=A.B-1
Dm×n=Bm×nAm×n D=B.A-1
A-1 dan B-1 masing-masing adalah invers matriks A dan B.
A.A-1=I
B.B-1=I
Di mana I= matriks identitas
Contoh:
Solusi:
C=AB=24681234 C=24681234-`1
=2468-213/2-1/2
=2002=21001=2I
Atau
C=24681234=224681234=21001=2I
C=AB=69691266615232342225 C=69691266615232342225-`1
=69691266615-16/511/52/511/5-6/5-2/52/5-2/51/5=300030003
=3100010001=3I
Atau
C=AB=69691266615232342225=3232342225232342225=3100010001=3I

Pangkat Suatu Matriks
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka pangkat (atau power) bilangan bulat (n) di mana n>0 dari matriks A sebagai berikut:
A0=1
A2=A.A
….
An=A.A……An
Di mana n>0
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar yang invertible (dapat dibalik) dan mempunyai invers, maka pangkat bilangan bulat (n) di mana n>0 dari matriks A sebagai berikut:
A-n=A-1n
A-n=A-1.A-1……A-1n
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar dan p dan q bilangan bulat positif, maka pangkat dari matriks A sebagai berikut:
ApAq=Ap+q
Apq=Apq
Bentuk pangkat matriks sering digunakan untuk analisis-analisis fungsi nonlinier, misalnya fungsi kuadrat. Bentuk matriks fungsi kuadrat P dari n variable: x1, x2, …, xn dapat ditulis sebagai berikut.
P=i=1nj=1naijxixj=a11x1x1+a12x1x2+…+a1nx1xn
+a21x2x1+a22x2x2+…+a2nx2xn
+an1x1x1+an2xnx2+…+annxnxn
Jika vektor X=x1, x2, …, xn dan matriks A=aij maka bentuk kuadrat matriks tersebut menjadi:
P=i=1nj=1naijxixj=i=1nxij=1naijxj=inxiAXi=XTAX
Di mana, XT adalah transpose dari matriks X.
Matriks A yang berhubungan dengan bentuk matriks kuadrat XTAX selalu merupakan matriks simetris. Jika matriks A tidak simetris atau entri aij aji, maka matriks A dapat dibentuk menjadi matriks simetris B menggunakan persamaan berikut.
bij=bji=aij+aji2
Untuk semua i dan j.
Sehingga bij+bji=aij+aji dan matriks B=bij merupakan matriks simetris hasil transformasi dari matriks A yang tidak simetris. Jadi matriks B sama dengan transpose B atau B=BT.
Contoh:
Jika diketahui matriks berikut A=2112
Tentukan dan buktikan:
A3
A2A=A2+1=A3
A22=A2×2=A4
Solusi:
A3=211221122112=14131314
A2=21122112=5445
A2A=54452112=14131314
Jadi A2A=A3
A2=21122112=5445,
A2A2=54455445=41204041
A4=2112211221122112=41204041
Jadi A22=A4

P=a11x12+a12x1x2+a22x22
Solusi:
x1x2a11a12a21a22x1x2=XTAX


P=8x12+5x1x2+3x2x1+6x22=8x12+8x1x2+6x22

Solusi:
x1x28536x1x2=XTAX

Karena matriks A tidak simetris, matriks A ditransformasi ke matriks B yang simetris.

b12=b21=a12+a212=5+32=4

Jadi fungsi P dalam bentuk matriks simetris B adalah sebagai berikut.
x1x28446x1x2=XTBX

P=2x12+4x22+2x32-4x1x2+6x3x2

Solusi:
x1x2x32-40040062x1x2x2=XTAX

Karena matriks A tidak simetris, matriksA ditransformasi ke matriks B yang simetris.
b12=b21=a12+a212=-4+02=-2
b32=b23=a32+a232=6+02=3
Jadi, fungsi P dalam bentuk matriks simetris B adalah sebagai berikut.
x1x2x32-20-243032x1x2x2=XTBX

Operasi Baris Elementer
Operasi baris elementer (OBE) adalah menukar suatu baris matriks dengan baris matriks yang lainnya atau mengalikan suatu baris dengan bilangan k (scalar) di mana k>O kemudian hasilnya ditambahkan ke baris lainnya pada matriks.
Notasi OBE:
bij = menukar baris ke-i dengan baris ke-j
bis = mengalikan baris ke-i dengan ss 0
bij(s) = ganti baris ke-i dengan baru yang merupakan baris ke-i ditambah baris ke-j yang dikalikan dengan s.
= bi+s.bj
Operasi baris elementer digunakan pada operasi eleminasi Gauss atau eliminasi Gauss Jordan.

Contoh:
Jika diketahui matriks123456057 tentukan hasil OBE untuk b12, b23, b234 secara berturut-turut,
Solusi:
123456057b12456123057b2(3)456369057b23(4)45632637057

Jika diketahui matriks 100010001 tentukan hasil OBE untuk b324, b32-4, b23 secara berturut-turut,
Solusi:
100010001b32(4)100010041b32(-4)100010001b23100001010

Soal untuk Latihan
Tentukan penjumlahan dari selisih dari matriks berikut

A=123146212, B=424635122

Jika diketahui A=221110221220 danB=142214121221 tentukan AB.

P=4x12+2x22+4x32-2x1x2+4x3x2


Pertemuan 5
DETERMINAN MATRIKS

Definisi Determinan Matriks
Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi n2 elemen matriks bujur sangkar.Jika subskrip permutasi elemen matriks adalah genap (inversi genap) diberi tanda positif (+) sebaliknya jika subskrip permutasi elemen matriks adalah ganjil (inversi ganjil) diberi tanda negative (-).Inversi terjadi jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan subskrip permutasi elemen matriks.
Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujursangkar (matriks kuadrat).
Notasi determinan matriks A:
det(A)=AataudetA=A
Jika diketahui matriks A:
A=a11a12 a1i a1na21a22 a2i a2n ai1ai2 aii ain an1an2 ani ann
Makadeterminandarimatriks A:
detA=A=a11a12 a1i a1na21a22 a2i a2n ai1ai2 aii ain an1an2 ani ann
Atau
detA=a11a12 a1i a1na21a22 a2i a2n ai1ai2 aii ain an1an2 ani ann

Ada beberapa metode untuk menentukan determinan dari matriks bujursangkar yaitu:
Metode Sarrus
Metode Minor dan Kofaktor
Metode CHIO
Metode Eliminasi Gauss
Metode Dekomposisi matriks
1. Metode Sarrus
Perhitungan determinan matriks dengan metode Sarrus hanya dapat diterapkan pada matriks ukuran 2 x 2 dan 3 x 3.Determinan matriks yang ukurannya lebih besar dari 3 x 3 tidak bisa dihitung menggunakan metode Sarrus.
Metode Sarrus (disebut juga metode Spaghetti) menggunakan perkalian elemen matriks secara diagonal. Perkalian elemen matriks pada diagonal turun (dari kiri atas kekanan bawah) diberitanda positif (+) sedangkan perkalian elemen matriks pada diagonal naik (dari kiri bawah kekanan atas) diberitanda negative (-).
Determinan matriks ukuran 2 x 2:
A=a11a12a21a22

--
-
-
++detA=A=a11a12a21a22=a11a22-a21a12
+
+

det(A)=a11a22-a21a12
Atau jika diketahui matriks:
abcd
--
-
-
detabcd=abcd=ad-cb
++
+
+

Contoh:
Tentukan determinan dari matriks: A=2-314
Solusi:
detA=A=2-314=2×4-1×-3=8--3=11
Tentukan determinan dari matriks : A=-122-4
Solusi:
detB=B=-122-4=-1×(-4)-2×2=4-4=0

Determinan matriks ukuran 3 x 3:

A=a11a12a13a21a22a23a31a32a33
------
-
-
-
-
-
-

++++++a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a22a33-a12a23a31-a13a21a32a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a22a33-a12a23a31-a13a21a32detA=a11a12a13a21a22a23a31a32a33a11a12a21a22a31a32=
+
+
+
+
+
+
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
-a11a22a33-a12a23a31-a13a21a32
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
-a11a22a33-a12a23a31-a13a21a32

detA=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
-a11a22a33-a12a23a31-a13a21a32

Atau jika diketahui matriks:

--abcdefghi
-
-
----
-
-
-
-
++++detabcdefghi=abcdefghiabdegh=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb
+
+
+
+
++
+
+

Contoh :
Tentukan determinan dari matriks: A=15-31023-12
Solusi:

------
-
-
-
-
-
-
++++detA=15-31023-1215103-1
+
+
+
+
++
+
+

detA=1×0×2+5×2×3+-3×1×-1
-3×0×-3--1×2×1-2×1×5
=0+30+3-0--2-10=25

Tentukan determinan dari matriks: B=0213-124-41
--Solusi:
-
-
----
-
-
-
-
++++++detB=0213-124-41023-14-4
+
+
+
+
+
+

detB=0×-1×1+2×2×4+1×3×-4
-4×-1×1--4×2×0-1×3×2
=0+16-12+4-0-6=2
2. Metode Minor-Kofaktor
Perhitungan determinan matriks dengan metode Minor dan Kofaktor dapat diterapkan pada semua ukuran matriks bujur sangkar. Determinan matriks dapat dihitung dari minor dan kofaktor pada salah satu baris atau kolom matriks.
2.1. Penentuan Determinan Berbasis Baris Matriks
Menghitung determinan suatu matriks menggunakan salah satu baris matriks.
Jika diketahui suatu matriks A berukuran nχn:
A=a11a12 a1na21a22 a2n an1an2 ann
Maka determinan matriks A:
detA=j=1nakj.-1k+jMkj
detA=j=1nakj.Kkj, j=indek kolom
Atau
detA=ak1Kk1+ak2Kk2+ak2Kk2+…+akjKkjk=salah satu baris matriksdetA=ak1Kk1+ak2Kk2+ak2Kk2+…+akjKkjk=salah satu baris matriks
detA=ak1Kk1+ak2Kk2+ak2Kk2+…+akjKkj
k=salah satu baris matriks
detA=ak1Kk1+ak2Kk2+ak2Kk2+…+akjKkj
k=salah satu baris matriks
Contoh:
Tentukan determinan matriks berikut menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke-1.
A=15024-10-20
Solusi:
detA=1.-11+1M11+5.-11+2M12+0.-11+3M13
detA=1.-124-1-20+5.-132-100+0.-14240-2
=110-2+5-10-0+01-4-0
=-2+0+0=-2

A=15024-10-20
Solusi:
detA=2.-12+1.M21+4.-12+2M22+-1.-12+3M23
detA=2.-1350-20+4.-141000+-1.-15150-2
=2-10-0+410-0+-1-1-2-0
=0+0-2=-2

A=15024-10-20
Solusi:
detA=0.-13+1.M31+-2.-13+2M32+0.-13+3M33
detA=0.-14504-1+-2.-15102-1+0.-161524
=01-5-0+-2-1-1-0+014-10
=0-2+0=-2
Tentukan determinan matriks berikut, A=5124-10231161100-4
Solusi:
detA=5124-10231161100-4=1K41+0K42+0K43+-4K44
K41=-14+1124023161
K41=-1124023161
=-0-12+12461+2-12+21411+3-12+31216=18
K44=-14+4512-102116
K44=512-102116
=--1-12+11216+0-12+25216+2-12+35111=-4
detA=1K41+0K42+0K42+-4K44
=118+-4-4=34

2.2.Penentuan Determinan Berbasis Kolom Matriks
Menghitung determinan suatu matriks menggunakan salah satu kolom matriks.
Jika diketahui matriks A berukuran nχn:
A=a11a12 a1na21a22 a2n an1an2 ann
Maka determinan matriks A:
detA=i=1nail.-1i+lMil
detA=i=1nail.Kil, i=indek baris
Atau
detA=a1lK1l+a2lK2l+a3lK3l+…+ailKill=salah satu kolom matriksdetA=a1lK1l+a2lK2l+a3lK3l+…+ailKill=salah satu kolom matriks
detA=a1lK1l+a2lK2l+a3lK3l+…+ailKil
l=salah satu kolom matriks
detA=a1lK1l+a2lK2l+a3lK3l+…+ailKil
l=salah satu kolom matriks
Pemilihan kolom (atau baris) matriks untuk menghitung determinan suatu matriks usahakan pilih kolom atau baris yang elemennya banyak bernilai 0 atau 1 supaya mudah dalam penghitungannya.

Contoh:
Tentukan determinan matriks berikut menggunakan minor dan kofaktor pada kolom ke-1.
A=15024-10-20
Solusi:
detA=1.-11+1M11+2.-12+1M21+0.-13+1M31
detA=1.-124-1-20+2.-1350-20+0.-14504-1
=110-2+2-10-0+01-5-0
=-2+0+0=-2
A=15024-10-20
Solusi:
detA=5.-11+2.M12+4.-12+2M22+-2.-13+2M32
detA=5.-132-100+4.-141000+-2.-15102-1
=5-10-0+410-0+-2-1-1-0
=0+0-2=-2

A=15024-10-20

Solusi:
detA=0.-11+3.M13+-1.-12+3M23+0.-13+3M33
detA=0.-14240-2+-1.-15150-2+0.-161524
=01-4-0+-1-1-2-0+014-10
=0-2+0=-2

Tentukan determinan matriks berikut, A=12345678910111213141516
Solusi:
detA=1678101112141516-257891112131516+356891012131416-456791011131415
=1611121516-710121416+810111415-2511121516-79121316+89111315
+3510121416-69121316+89101314-4510111415-69111315+79101314
=1611.16-15.12-710.16-14.12+810.15-14.11
-2511.16-15.12-79.16-13.12+89.15-13.11
+3510.16-14.12-69.16-13.12+89.14-13.10
-4510.16-14.11-69.15-13.11+89.14-13.10
=16-4-7-8+8-4-25-4-7-12+8-8
+35-8-6-12+8-4-45-4-6-8+7-4
=10-20+30-40=0

Metode CHIO
Perhitungan determinan matriks dengan metode CHIO dapat diterapkan pada semua matriks bujur sangkar asalkan elemen pada a11 tidak sama dengan nol a11 0. Metode CHIO menghitung determinan matriks dengan cara mendekomposisi determinan yang akan dicari menjadi sub-sub determinan derajat dua 2x2 menggunakan elemen matriks baris ke-1 dan kolom ke-1 sebagai titik tolaknya. Dekomposisi tersebut dilakukan dengan menggunakan matriks berukuran 2x2 berikut:
a11a1nan1ann, untuk n=1, 2, 3, …, dst.
JikaA merupakan suatu matriks bujur sangkar A berukuran n×n:
A=a11a12 a1i a1na21a22 a2i a2n ai1ai2 aii ain an1an2 ani ann
detA=A=1a11n-2a11a12a21a22a11a13a21a23 a11a1ia21a2i a11a1na21a2na11a12a31a32a11a13a31a33 a11a1ia31a3i a11a1na31a3n a11a12ai1ai2a11a13ai1ai3 a11a1iai1aii a11a1nai1ain a11a12an1an2a11a13an1an2 a11a1ian1ani a11a1nan1ann
detA=A=1a11n-2a11a12 a1, n-1a21a22 a2,n-1 an-1,1an-1,2 an-1,n-1
Setiap dekomposisi determinan awal akan turun satu derajat, dekomposisi determinan dapat dihentikan sampai determinan tersebut menjadi berderajat dua.
detA=A=1a11n-2a11a1, n-1an-1,1an-1,n-1

Contoh:
Tentukan determinan matriks berikut:
A=15024-10-20
Solusi:
detA=113-21524102-1150-21000=-6-1-20
detA=0-2=-2

Hitung determinan matriks berikut:
A=3224234134124321
Solusi:
detA=134-2322332243421323432313432324432423441=1958-56-3-61-2-13
detA=19153-2586-35-56-6581-25-51-13
detA=1915-630-18-60
detA=1453780-0=1453780=84

Hitung determinan matriks berikut:
A=1234210332102401
Solusi:
detA=114-2122113201423123213311430122413201421=-3-6-5-4-8-120-6-7
detA=1-33-2-3-6-4-8-3-5-4-12-3-60-6-3-50-7
detA=1-301618-21
detA=1-30-18×16=1-3-288=96

Determinan matriks segitiga bawahL dan matriks segitiga atas U hasil eliminasi Gauss adalah hasil perkalian elemen pada diagonal utamanya atau aii.
Determinan Matriks Segitiga Bawah
Eliminasi Gauss merubah suatu matriks menjadi matriks segitiga bawahL melalui operasi baris elementer OBE.
A=a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 OBE l11000l21l2200l31l32l330l41l42l43l44=L
Determinan matriks A:
detA=l11×l22×l33×…×lii , i=indeks baris, ataudetA=l11×l22×l33×…×lnn , n=ordo matriksdetA=l11×l22×l33×…×lii , i=indeks baris, ataudetA=l11×l22×l33×…×lnn , n=ordo matriks
detA=l11×l22×l33×…×lii , i=indeks baris, atau
detA=l11×l22×l33×…×lnn , n=ordo matriks
Contoh:
Hitung determinan matriks berikut: A=1112212111322211
Solusi:
1112212111322211 OBE l11000l21l2200l31l32l330l41l42l43l44
1112212111322211b14-2b24-1b34-2-3-3-100-110-3-3102211b131b23-1
-6-6003200-3-3102211b12330003200-3-3102211=L
Jadi, determinanA=l11×l22×l33×l44=3×2×1×1=6

Tentukan determinan matriks berikut
B=2402020422404242
Solusi:
2402020422404242 OBE l11000l21l2200l31l32l330l41l42l43l44
2402020422404242b14-1b24(-2)-22-40-8-2-8022404242b131b23(2)
0400-420022404242b12-2-8000-420022404242=L
Jadi, detB=l11×l22×l33×l44=-8×2×4×2=-128

Determinan Matriks Segitiga Atas
Eliminasi Gauss merubah matriks menjadi matriks segitiga atasU menggunakan operasi baris elementer OBE.
A=a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 OBE u11u12u13u140u22u23u2400u33u34000u44=U
detA=u11×u22×u33×…×uii , i=indeks baris, ataudetA=u11×u22×u33×…×unn , n=ordo matriksdetA=u11×u22×u33×…×uii , i=indeks baris, ataudetA=u11×u22×u33×…×unn , n=ordo matriks
detA=u11×u22×u33×…×uii , i=indeks baris, atau
detA=u11×u22×u33×…×unn , n=ordo matriks
Contoh:
A=1-11-1-1-11124353111 OBE u11u12u13u140u22u23u2400u33u34000u44=U
Solusi:
1-11-1-1-11124353111b211b31-2b41-31-11-10-220061704-24b323b422
1-11-10-22000770024b43-2/71-11-10-22000770002=U
Jadi, detA=u11×u22×u33×u44=1×-2×7×2=-28

B=1234210332102401
Solusi:
1234210332102401 OBE u11u12u13u140u22u23u2400u33u34000u44
1234210332102401b212b31-3b41-212340-3-6-50-4-8-1200-6-7b32-43
12340-3-6-5000-16/300-6-7b3412340-3-6-500-6-7000-16/3=U
Jadi, determinanA=u11×u22×u33×u44=1×-3×-6×-163=-96

C=36912122135210242
Solusi:
detC=36912122135210242b11/3=336912122135210242b21-1b31-3
=3123400-1-30-1-7-110242b23=-312340-1-7-1100-1-30242b42(2)
=-312340-1-7-1100-1-302-10-20b2(-1)b3(-1)b4-1/10=3012340171100130212b43-1
=301234017110013000-1=30U
detC=ku11×u22×u33×u44=301×1×1×-1=-30

Tentukan determinan matriks berikut: D=213321752
Solusi:
detD=213321752b112=221/21/3321752b21-3b31-7
=211232012-72032-172b22b32=121123201-703-17b32-3
=121123201-7004=12U
detD=ku11×u22×u33=121×1×4=2

Metode Dekomposisi Matriks
Determinan suatu matriks dapat diperoleh dengan cara terlebih dahulu mendekomposisi matriks tersebut menjadi matriks segitiga bawahL dan matriks segitiga atasU. Determinan tersebut diperoleh dari hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama matriks Ldan U.
A=LU
a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44=l11000l21l2200l31l32l330l41l42l43l44u11u12u13u140u22u23u2400u33u34000u44
detA=l11×l22×l33×…×liiu11×u22×u33×…×uii,i=indek barisdetA=l11×l22×l33×…×liiu11×u22×u33×…×uii,i=indek baris
detA=l11×l22×l33×…×liiu11×u22×u33×…×uii,
i=indek baris
i=indek baris
Determinan Matriks Hasil Dekomposisi cara Crout
Menentukan determinan suatu matriks dengan cara matriks tersebut terlebih dahulu didekomposisi menggunakan metode Crout (elemen diagonal matriksL adalah 1).
a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 l11000l21l2200l31l32l330l41l42l43l44.1u12u13u1401u23u24001u340001
detA=l11×l22×l33×…×lii1×1×1×…×1, i=indek barisataudetA=l11×l22×l33×…×lii, i=indek barisdetA=l11×l22×l33×…×lii1×1×1×…×1, i=indek barisataudetA=l11×l22×l33×…×lii, i=indek baris
detA=l11×l22×l33×…×lii1×1×1×…×1, i=indek baris
atau
detA=l11×l22×l33×…×lii, i=indek baris
atau
Contoh:
A=3-121232-2-1
Solusi:
3-121232-2-1 l1100l21l220l31l32l331u12u1301u23001=3-121232-2-1

Tahap 1:
Tahap 2:
l11=a11=3
l21=a21=1
l31=a31=2
l11u12=a12 u12=a12l11=-13
l11u13=a13 u13=a13l11=23

Tahap 3:
l21u21+l22=a22 l22=a22-l21u12=2-1-13=73
l31u12+l32=a32 l32=a32-l31u12=-2-2-13=-43
Tahap 4:
l21u13+l22u23=a23 u23=a23-l21u13l22=3-12373=7373=1
Tahap 5:
l31u13+l32u23+l33=a33 l33=a33-l31u13-l32u23
=-1-223--431=-1
3-121232-2-1=30017302-43-11-1323011001
detA=l11×l22×l33=3×73×-1=-7
B=2-51-13-13-42
Solusi:
2-51-13-13-42 l1100l21l220l31l32l331u12u1301u23001=2-51-13-13-42

Tahap 1:
l11=a11=2
l21=a21=-1
l31=a31=3

Tahap 2:
l11u12=a12 u12=a12l11=-52=-2.5
l11u13=a13 u13=a13l11=12=0.5

Tahap 3:
l21u12+l22=a22 l22=a22-l21u12=3--1-2.5=0.5
l31u12+l32=a32 l32=a32-l31u12=-4-3-2.5=3.5

Tahap 4:
l21u13+l22u23=a23 u23=a23-l21u13l22
=-1--10.50.5=-0.50.5=-1

Tahap 5:
l31u13+l32u23+l33=a33 l33=a33-l31u13-l32u23
=2-30.5-3.5-1=4

2-51-13-13-42=200-10.5033.542-2.50.501-1001
detB=l11×l22×l33=2×0.5×4=4

Determinan Matriks Hasil Dekomposisi cara Doolittle
Menentukan determinan suatu matriks dengan cara matriks tersebut terlebih dahulu didekomposisi menggunakan metode Doolittle (elemen diagonal matriksU adalah 1).
a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 1000l21100l31l3210l41l42l431.u11u12u13u140u22u23u2400u33u34000u44
detA=1×1×1×…×1u11×u22×u33×…×uii, i=indek barisataudetA=u11×u22×u33×…×uii, i=indek barisdetA=1×1×1×…×1u11×u22×u33×…×uii, i=indek barisataudetA=u11×u22×u33×…×uii, i=indek baris
detA=1×1×1×…×1u11×u22×u33×…×uii, i=indek baris
atau
detA=u11×u22×u33×…×uii, i=indek baris
atau
Contoh:
Tentukan determinan matriks berikut: A=3-121232-2-1
Solusi:
3-121232-2-1 100l2110l31l321u11u12u130u22u2300u33=3-121232-2-1

Tahap 1:
l11=a11=3
l21=a21=-1
l31=a31=2

Tahap 2:
l21u11=a21 l21=a21u11=13
l31u11=a31 l31=a31u11=23

Tahap 3:
l21u12+u22=a22 u22=a22-l21u12=2-13-1=73
l21u13+u23=a23 u23=a23-l21u13=3-132=73

Tahap 4:
l31u12+l32u22=a32 l32=a32-l31u12u22=-2-23-173=-47

Tahap 5:
l31u13+l32u23+u33=a33 u33=a33-l31u13-l32u23
=-1-232--4773=-1

3-121232-2-1=100131023-4713-120737300-1
detB=u11×u22×u33=3×73×-1=-7

Tentukan determinan matriks berikut: B=2-13-4504218
Solusi:
2-13-4504218 100l2110l31l321u11u12u130u22u2300u33=2-13-4504218

Tahap 1:
l11=a11=2
l21=a21=-1
l31=a31=3

Tahap 2:
l21u11=a21 l21=a21u11=-42=-2
l31u11=a31 l31=a31u11=42=2

Tahap 3:
l21u12+u22=a22 u22=a22-l21u12=5--2-1=3
l21u13+u23=a23 u23=a23-l21u13=0--23=6

Tahap 4:
l31u12+l32u22=a32 l32=a32-l31u12u22=2-2-13=43

Tahap 5:
l31u13+l32u23+u33=a33 u33=a33-l31u13-l32u23
=18-23-436=4

2-13-4504218=100-21024312-13036004
detB=u11×u22×u33=2×3×4=24

Determinan Matriks Hasil Dekomposisi cara Cholesky
Menentukan determinan suatu matriks dengan cara matriks tersebut terlebih dahulu didekomposisi menggunakan metode Cholesky (elemen diagonal utama matriksL= elemen diagonal utama matriks U).
a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 l11000l21l2200l31l32l330l41l42l43l44u11u12u13u140u22u23u2400u33u34000u44
Di mana1ii=uii
detA=l11×l22×l33×…×liiu11×u22×u33×…×uii,ataudetA=l11×l22×l33×…×lii2,ataudetA=u11×u22×u33×…×uii2, i=indek barisdetA=l11×l22×l33×…×liiu11×u22×u33×…×uii,ataudetA=l11×l22×l33×…×lii2,ataudetA=u11×u22×u33×…×uii2, i=indek baris
detA=l11×l22×l33×…×liiu11×u22×u33×…×uii,atau
detA=l11×l22×l33×…×lii2,atau
detA=u11×u22×u33×…×uii2, i=indek baris

Contoh:
A=2-10-12-10-12
Solusi:
2-10-12-10-12 l1100l21l220l31l32l33u11u12u130u22u2300u33=2-10-12-10-12

Tahap 1:
111=u11=a11=2u12=a12111=-12
121=a21u11=-12u13=a13111=02=0
131=a31111=02=0

Tahap 2:
122=u22=a22-121u12=2--12-12=32
132=a32-131u12u22=-1-(0)-1232=132
Tahap 3:
133=u33=a33-131u13-132u23=2-00--132-132=43
2-10-12-10-12=200-123200-132432-120032132004
detA=l11×l22×l33u11×u22×u33
=2×32×432×32×43
=2×32×432=2×32×432=42=4

Tentukan determinan dari matriks berikut:
B=4242101441424
Solusi:
4242101441424 l1100l21l220l31l32l33u11u12u130u22u2300u33=4242101441424

Tahap 1:
111=u11=a11=4=2 u12=a12111=22=1
121=a21u11=22=1 u13=a13111=42=2
131=a31111=42=2

Tahap 2:
122=u22=a22-121u12=10-11=9=3
132=a32-131u12u22=14-213=123=4
u23=a23-l21u13l22=14-123=123=4

Tahap 3:
133=u33=a33-131u13-132u23=24-22-44=4=2

4242101441424=200130242212034002

detA=l11×l22×l33u11×u22×u33
=2×3×22×3×2=122=144

Sifat Determinan Matriks
Ada beberapa sifat determinan matriks yaitu:
Jika AT transpose dari matriks A, maka detA=det AT.
Contoh:
Tentukan determinan matriks A dan transpose-nya.
A=573-4
Solusi:
detA=573-4=-20-21=41
detAT=537-4=-41

Jika elemen suatu baris (kolom) matriksA=0, maka detA=0.
Contoh:
Determinan matriks yang mempunyai elemen pada satu atau lebih baris adalah nol.
A=622000922
Solusi:
detA=622000922=0+0+0-0-0-0=0

Determinan matriks yang mempunyai elemen pada satu atau lebih kolom adalah nol.
B=110420112
Solusi:
detB=110420112=0+0+0-0-0-0=0

Jika dua baris (kolom) matriksA adalah sama (identik), maka det A=0.
Contoh:
Determinan matriks yang mempunyai elemen pada dua (ataulebih) kolom sama.
C=622422922
Solusi:
detC=622422922=24+36+16-36-24-16=0

Tentukan determinan matriks yang mempunyai elemen pada dua (atau lebih) baris sama.
D=111420111
Solusi:
detD=111420111=2+0+4-2-0-4=0
Jika salah satu baris (kolom) matriksA merupakan kelipatan dari baris (kolom) lain, maka det A=0.
Contoh:
Determinan matriks berikut (elemen pada satu baris merupakan kelipatan baris yang lain).
E=622311922b1=2b2
Solusi:
detE=622311922=12+18+12-18-12-12=0

Tentukan determinan matriks berikut (elemen pada satu kolom merupakan kelipatan kolom yang lain).
F=221412824k1=2k3
Solusi:
detF=221412824=8+32+8-8-8-32=0

Jika elemen dalam satu baris matriks A dikalikan dengan scalar k, maka detA=k detA.
Contoh:
Tentukan determinan dari matriks berikut,
A=121448212b20.25121112212=B
Solusi:
detA=121448212=8+32+4-8-8-16=12
detB=4121112212=42+8+1-2-2-4=12

Jika setiap elemen pada salah satu baris (kolom) matriksA dikalikan dengan konstanta kemudian ditambahkan ke baris (kolom) lain, maka detA=detA.
Contoh:
A=5123074-14b31-3512307-11-4-2=B
Solusi:
detA=5123074-14=0+28-6-0+35-12=45
detB=512307-11-4-2=0-77-24-0+140+6=45

Jika salah satu baris (kolom) matriksA dipertukarkan dengan baris (kolom) lain, maka det(A)=-detA.
Contoh:
A=121112212b23121212112=B
Solusi:
detA=121112212=2+8+1-2-2-4=3
detA=121212112=2+4+2-1-2-8=-3

JikaA dan B adalah matriks ukurann×n, maka detAB=detA.detB.
Solusi:
A=6132, B=4312, AB=61324312=25201413
Solusi:
detAB=25201413=25×13-20×14=45
detA=6132=6×2-1×3=9
detB=4312=4×2-3×1=5
detA.detB=45=detAB

Determinan matriks diagonal merupakan perkalian dari elemen diagonal utama,
detL=l11×l22×l22×…×lnn
detU=u11×u22×u33×…×unn

Aplikasi Konsep Determinan
Konsep penentuan determinan dengan metode Sarrus dapat dipergunakan untuk menghitung luas segitiga yang panjang sisi-sisinya belum diketahui.
(a, b)(e, f)(c, d)(a, b)(e, f)(c, d)
(a, b)
(e, f)
(c, d)
(a, b)
(e, f)
(c, d)

Luas segitiga dengan titik (a,b), (c,d) dan (e,f) tersebut di atas dinyatakan oleh rumus berikut:
Luas A=12ab1cd1ef1..
X2, Y2X3, Y3X1, Y1BX2, Y2X3, Y3X1, Y1BAtau
X2, Y2
X3, Y3
X1, Y1
B
X2, Y2
X3, Y3
X1, Y1
B

Luas segitiga dengan titik x1, y1, x2, y2 dan x3, y3 tersebut di atas dinyatakan oleh rumus berikut:
Luas A=12x1y11x2y21x3y31..
Contoh:
Tentukan luas segitiga A dengan titik (1,2), (4,0), dan (6,2).

A6, 21, 24, 0A6, 21, 24, 0
A
6, 2
1, 2
4, 0
A
6, 2
1, 2
4, 0

Solusi:
Luas A=±12121401621..=120+12+8-0+2+8=5
Jadi luas segitiga A=5 satuan luas.

Tentukan luas segitiga B dengan titik (2,4), (2, -2), dan (5, 1).
2, 45, 12, -2B2, 45, 12, -2B
2, 4
5, 1
2, -2
B
2, 4
5, 1
2, -2
B

Solusi:
Luas B=±122412-21511..=12-4+20+2--10+2+8=9
Jadi luas segitiga B = 9 satuan luas.

Soal untuk Latihan
Tentukan determinan matriks berikut menggunakan metode Sarrus.
A=128281812
Tentukan determinan matriks berikut menggunakan metode Minor dan Kofaktor.
A=1461100132455842
Hitung determinan matriks B pada soal 3 menggunakan metode CHIO
B=1010122122111222211212121
Tentukan determinan matriks B pada soal 3 menggunakan metode eliminasi Gauss.
Dengan menggunakan konsep determinan matriks, tentukan luas segitiga A dengan titik (-2, -2), (4, 3), dan (1, 8).

Pertemuan 6

Determinan Matriks Segitiga Bawah
Eliminasi Gauss merubah suatu matriks menjadi matriks segitiga bawahL melalui operasi baris elementer OBE.
A=a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 OBE l11000l21l2200l31l32l330l41l42l43l44=L
detA=l11×l22×l33×…×lii , i=indeks baris, ataudetA=l11×l22×l33×…×lnn , n=ordo matriksdetA=l11×l22×l33×…×lii , i=indeks baris, ataudetA=l11×l22×l33×…×lnn , n=ordo matriks
Contoh:
Hitung determinan matriks berikut: A=1112212111322211
Solusi:
1112212111322211 OBE l11000l21l2200l31l32l330l41l42l43l44
1112212111322211b14-2b24-1b34-2-3-3-100-110-3-3102211b131b23-1
-6-6003200-3-3102211b12330003200-3-3102211=L

Jadi, determinanA=l11×l22×l33×l44=3×2×1×1=6

Tentukan determinan matriks berikut
B=2402020422404242
Solusi:
2402020422404242 OBE l11000l21l2200l31l32l330l41l42l43l44
2402020422404242b14-1b24(-2)-22-40-8-2-8022404242b131b23(2)
0400-420022404242b12-2-8000-420022404242=L
Jadi, detB=l11×l22×l33×l44=-8×2×4×2=-128

Determinan Matriks Segitiga Atas
Eliminasi Gauss merubah matriks menjadi matriks segitiga atasU menggunakan operasi baris elementer OBE.
A=a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 OBE u11u12u13u140u22u23u2400u33u34000u44=U
detA=u11×u22×u33×…×uii , i=indeks baris, ataudetA=u11×u22×u33×…×unn , n=ordo matriksdetA=u11×u22×u33×…×uii , i=indeks baris, ataudetA=u11×u22×u33×…×unn , n=ordo matriks
Contoh:
A=1-11-1-1-11124353111 OBE u11u12u13u140u22u23u2400u33u34000u44=U
Solusi:
1-11-1-1-11124353111b211b31-2b41-31-11-10-220061704-24b323b422
1-11-10-22000770024b43-2/71-11-10-22000770002=U
Jadi, detA=u11×u22×u33×u44=1×-2×7×2=-28

B=1234210332102401
Solusi:
1234210332102401 OBE u11u12u13u140u22u23u2400u33u34000u44
1234210332102401b212b31-3b41-212340-3-6-50-4-8-1200-6-7b32-43
12340-3-6-5000-16/300-6-7b3412340-3-6-500-6-7000-16/3=U
Jadi, determinanA=u11×u22×u33×u44=1×-3×-6×-163=-96

C=36912122135210242
Solusi:
detC=36912122135210242b11/3=336912122135210242b21-1b31-3
=3123400-1-30-1-7-110242b23=-312340-1-7-1100-1-30242b42(2)
=-312340-1-7-1100-1-302-10-20b2(-1)b3(-1)b4-1/10=3012340171100130212b43-1
=301234017110013000-1=30U
detC=ku11×u22×u33×u44=301×1×1×-1=-30

Tentukan determinan matriks berikut: D=213321752
Solusi:
detD=213321752b112=221/21/3321752b21-3b31-7
=211232012-72032-172b22b32=121123201-703-17b32-3
=121123201-7004=12U
detD=ku11×u22×u33=121×1×4=2

Metode Dekomposisi Matriks
Determinan suatu matriks dapat diperoleh dengan cara terlebih dahulu mendekomposisi matriks tersebut menjadi matriks segitiga bawahL dan matriks segitiga atasU. Determinan tersebut diperoleh dari hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama matriks Ldan U.
A=LU
a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44=l11000l21l2200l31l32l330l41l42l43l44u11u12u13u140u22u23u2400u33u34000u44
detA=l11×l22×l33×…×liiu11×u22×u33×…×uii,i=indek barisdetA=l11×l22×l33×…×liiu11×u22×u33×…×uii,i=indek baris
i=indek baris
i=indek baris

Determinan Matriks Hasil Dekomposisi cara Crout
Menentukan determinan suatu matriks dengan cara matriks tersebut terlebih dahulu didekomposisi menggunakan metode Crout (elemen diagonal matriksL adalah 1).
a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 l11000l21l2200l31l32l330l41l42l43l44.1u12u13u1401u23u24001u340001
detA=l11×l22×l33×…×lii1×1×1×…×1, i=indek barisataudetA=l11×l22×l33×…×lii, i=indek barisdetA=l11×l22×l33×…×lii1×1×1×…×1, i=indek barisataudetA=l11×l22×l33×…×lii, i=indek baris
atau
atau
Contoh:
A=3-121232-2-1
Solusi:
3-121232-2-1 l1100l21l220l31l32l331u12u1301u23001=3-121232-2-1

Tahap 1:
Tahap 2:
l11=a11=3
l21=a21=1
l31=a31=2
l11u12=a12 u12=a12l11=-13
l11u13=a13 u13=a13l11=23

Tahap 3:
l21u21+l22=a22 l22=a22-l21u12=2-1-13=73
l31u12+l32=a32 l32=a32-l31u12=-2-2-13=-43
Tahap 4:
l21u13+l22u23=a23 u23=a23-l21u13l22=3-12373=7373=1
Tahap 5:
l31u13+l32u23+l33=a33 l33=a33-l31u13-l32u23
=-1-223--431=-1
3-121232-2-1=30017302-43-11-1323011001
detA=l11×l22×l33=3×73×-1=-7
B=2-51-13-13-42
Solusi:
2-51-13-13-42 l1100l21l220l31l32l331u12u1301u23001=2-51-13-13-42

Tahap 1:
l11=a11=2
l21=a21=-1
l31=a31=3

Tahap 2:
l11u12=a12 u12=a12l11=-52=-2.5
l11u13=a13 u13=a13l11=12=0.5

Tahap 3:
l21u12+l22=a22 l22=a22-l21u12=3--1-2.5=0.5
l31u12+l32=a32 l32=a32-l31u12=-4-3-2.5=3.5

Tahap 4:
l21u13+l22u23=a23 u23=a23-l21u13l22
=-1--10.50.5=-0.50.5=-1

Tahap 5:
l31u13+l32u23+l33=a33 l33=a33-l31u13-l32u23
=2-30.5-3.5-1=4

2-51-13-13-42=200-10.5033.542-2.50.501-1001
detB=l11×l22×l33=2×0.5×4=4

Determinan Matriks Hasil Dekomposisi cara Doolittle
Menentukan determinan suatu matriks dengan cara matriks tersebut terlebih dahulu didekomposisi menggunakan metode Doolittle (elemen diagonal matriksU adalah 1).
a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 1000l21100l31l3210l41l42l431.u11u12u13u140u22u23u2400u33u34000u44
detA=1×1×1×…×1u11×u22×u33×…×uii, i=indek barisataudetA=u11×u22×u33×…×uii, i=indek barisdetA=1×1×1×…×1u11×u22×u33×…×uii, i=indek barisataudetA=u11×u22×u33×…×uii, i=indek baris
atau
atau
Contoh:
Tentukan determinan matriks berikut: A=3-121232-2-1
Solusi:
3-121232-2-1 100l2110l31l321u11u12u130u22u2300u33=3-121232-2-1

Tahap 1:
l11=a11=3
l21=a21=-1
l31=a31=2

Tahap 2:
l21u11=a21 l21=a21u11=13
l31u11=a31 l31=a31u11=23

Tahap 3:
l21u12+u22=a22 u22=a22-l21u12=2-13-1=73
l21u13+u23=a23 u23=a23-l21u13=3-132=73

Tahap 4:
l31u12+l32u22=a32 l32=a32-l31u12u22=-2-23-173=-47

Tahap 5:
l31u13+l32u23+u33=a33 u33=a33-l31u13-l32u23
=-1-232--4773=-1

3-121232-2-1=100131023-4713-120737300-1
detB=u11×u22×u33=3×73×-1=-7

Tentukan determinan matriks berikut: B=2-13-4504218
Solusi:
2-13-4504218 100l2110l31l321u11u12u130u22u2300u33=2-13-4504218

Tahap 1:
l11=a11=2
l21=a21=-1
l31=a31=3

Tahap 2:
l21u11=a21 l21=a21u11=-42=-2
l31u11=a31 l31=a31u11=42=2

Tahap 3:
l21u12+u22=a22 u22=a22-l21u12=5--2-1=3
l21u13+u23=a23 u23=a23-l21u13=0--23=6

Tahap 4:
l31u12+l32u22=a32 l32=a32-l31u12u22=2-2-13=43

Tahap 5:
l31u13+l32u23+u33=a33 u33=a33-l31u13-l32u23
=18-23-436=4

2-13-4504218=100-21024312-13036004
detB=u11×u22×u33=2×3×4=24

Pertemuan 7

Determinan Matriks Hasil Dekomposisi cara Cholesky
Menentukan determinan suatu matriks dengan cara matriks tersebut terlebih dahulu didekomposisi menggunakan metode Cholesky (elemen diagonal utama matriksL= elemen diagonal utama matriks U).
a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 l11000l21l2200l31l32l330l41l42l43l44u11u12u13u140u22u23u2400u33u34000u44
Di mana1ii=uii
detA=l11×l22×l33×…×liiu11×u22×u33×…×uii,ataudetA=l11×l22×l33×…×lii2,ataudetA=u11×u22×u33×…×uii2, i=indek barisdetA=l11×l22×l33×…×liiu11×u22×u33×…×uii,ataudetA=l11×l22×l33×…×lii2,ataudetA=u11×u22×u33×…×uii2, i=indek baris

Contoh:
A=2-10-12-10-12
Solusi:
2-10-12-10-12 l1100l21l220l31l32l33u11u12u130u22u2300u33=2-10-12-10-12

Tahap 1:
111=u11=a11=2u12=a12111=-12
121=a21u11=-12u13=a13111=02=0
131=a31111=02=0

Tahap 2:
122=u22=a22-121u12=2--12-12=32
132=a32-131u12u22=-1-(0)-1232=132
Tahap 3:
133=u33=a33-131u13-132u23=2-00--132-132=43
2-10-12-10-12=200-123200-132432-120032132004
detA=l11×l22×l33u11×u22×u33
=2×32×432×32×43
=2×32×432=2×32×432=42=4

Tentukan determinan dari matriks berikut:
B=4242101441424
Solusi:
4242101441424 l1100l21l220l31l32l33u11u12u130u22u2300u33=4242101441424

Tahap 1:
111=u11=a11=4=2 u12=a12111=22=1
121=a21u11=22=1 u13=a13111=42=2
131=a31111=42=2

Tahap 2:
122=u22=a22-121u12=10-11=9=3
132=a32-131u12u22=14-213=123=4
u23=a23-l21u13l22=14-123=123=4

Tahap 3:
133=u33=a33-131u13-132u23=24-22-44=4=2

4242101441424=200130242212034002

detA=l11×l22×l33u11×u22×u33
=2×3×22×3×2=122=144
Sifat Determinan Matriks
Ada beberapa sifat determinan matriks yaitu:
Jika AT transpose dari matriks A, maka detA=det AT.

Contoh:

Tentukan determinan matriks A dan transpose-nya.
A=573-4
Solusi:
detA=573-4=-20-21=41
detAT=537-4=-41

Jika elemen suatu baris (kolom) matriksA=0, maka detA=0.

Contoh:

Determinan matriks yang mempunyai elemen pada satu atau lebih baris adalah nol.
A=622000922
Solusi:
detA=622000922=0+0+0-0-0-0=0

Determinan matriks yang mempunyai elemen pada satu atau lebih kolom adalah nol.
B=110420112
Solusi:
detB=110420112=0+0+0-0-0-0=0

Jika dua baris (kolom) matriksA adalah sama (identik), maka det A=0.

Contoh:

Determinan matriks yang mempunyai elemen pada dua (ataulebih) kolom sama.
C=622422922
Solusi:
detC=622422922=24+36+16-36-24-16=0

Tentukan determinan matriks yang mempunyai elemen pada dua (atau lebih) baris sama.
D=111420111
Solusi:
detD=111420111=2+0+4-2-0-4=0
Jika salah satu baris (kolom) matriksA merupakan kelipatan dari baris (kolom) lain, maka det A=0.

Contoh:
Determinan matriks berikut (elemen pada satu baris merupakan kelipatan baris yang lain).
E=622311922b1=2b2
Solusi:
detE=622311922=12+18+12-18-12-12=0

Tentukan determinan matriks berikut (elemen pada satu kolom merupakan kelipatan kolom yang lain).
F=221412824k1=2k3
Solusi:
detF=221412824=8+32+8-8-8-32=0

Jika elemen dalam satu baris matriks A dikalikan dengan scalar k, maka detA=k detA.

Contoh:

A=121448212b20.25121112212=B
Solusi:
detA=121448212=8+32+4-8-8-16=12
detB=4121112212=42+8+1-2-2-4=12

Jika setiap elemen pada salah satu baris (kolom) matriksA dikalikan dengan konstanta kemudian ditambahkan ke baris (kolom) lain, maka detA=detA.

Contoh:
A=5123074-14b31-3512307-11-4-2=B
Solusi:
detA=5123074-14=0+28-6-0+35-12=45
detB=512307-11-4-2=0-77-24-0+140+6=45

Jika salah satu baris (kolom) matriksA dipertukarkan dengan baris (kolom) lain, maka det(A)=-detA.

Contoh:

A=121112212b23121212112=B
Solusi:
detA=121112212=2+8+1-2-2-4=3
detA=121212112=2+4+2-1-2-8=-3

JikaA dan B adalah matriks ukurann×n, maka detAB=detA.detB.

Solusi:

A=6132, B=4312, AB=61324312=25201413
Solusi:
detAB=25201413=25×13-20×14=45
detA=6132=6×2-1×3=9
detB=4312=4×2-3×1=5
detA.detB=45=detAB

Determinan matriks diagonal merupakan perkalian dari elemen diagonal utama,
detL=l11×l22×l22×…×lnn
detU=u11×u22×u33×…×unn

Aplikasi Konsep Determinan
Konsep penentuan determinan dengan metode Sarrus dapat dipergunakan untuk menghitung luas segitiga yang panjang sisi-sisinya belum diketahui.
(a, b)(e, f)(c, d)(a, b)(e, f)(c, d)
(a, b)
(e, f)
(c, d)
(a, b)
(e, f)
(c, d)

Luas segitiga dengan titik (a,b), (c,d) dan (e,f) tersebut di atas dinyatakan oleh rumus berikut:
Luas A=12ab1cd1ef1..
X2, Y2X3, Y3X1, Y1BX2, Y2X3, Y3X1, Y1BAtau
X2, Y2
X3, Y3
X1, Y1
B
X2, Y2
X3, Y3
X1, Y1
B

Luas segitiga dengan titik x1, y1, x2, y2 dan x3, y3 tersebut di atas dinyatakan oleh rumus berikut:
Luas A=12x1y11x2y21x3y31..
Contoh:
Tentukan luas segitiga A dengan titik (1,2), (4,0), dan (6,2).

A6, 21, 24, 0A6, 21, 24, 0
A
6, 2
1, 2
4, 0
A
6, 2
1, 2
4, 0

Solusi:
Luas A=±12121401621..=120+12+8-0+2+8=5
Jadi luas segitiga A=5 satuan luas.

Tentukan luas segitiga B dengan titik (2,4), (2, -2), dan (5, 1).
2, 45, 12, -2B2, 45, 12, -2B
2, 4
5, 1
2, -2
B
2, 4
5, 1
2, -2
B

Solusi:
Luas B=±122412-21511..=12-4+20+2--10+2+8=9
Jadi luas segitiga B = 9 satuan luas.

Soal untuk Latihan
Tentukan determinan matriks berikut menggunakan metode Sarrus.
A=128281812
Tentukan determinan matriks berikut menggunakan metode Minor dan Kofaktor.
A=1461100132455842

Hitung determinan matriks B pada soal 3 menggunakan metode CHIO
B=1010122122111222211212121
Tentukan determinan matriks B pada soal 3 menggunakan metode eliminasi Gauss.
Dengan menggunakan konsep determinan matriks, tentukan luas segitiga A dengan titik (-2, -2), (4, 3), dan (1, 8).

Pertemuan 8
INVERS MATRIKS

Mencari A-1 Dengan Menggunakan Matriks Elementer
Matriks bujur sangkar, A=aij dengan i=1, 2, …, m dan j=1, 2, … , n, disebut mempunyai invers jika terdapat matriks A-1 sedemikian rupa sehingga
AA-1=A-1A=I
Di mana I matriks satuan.
Jika A mempunyai invers maka A disebut matriks tak singular. Dan jika A tidak mempunyai invers maka matriksnya disebut matriks singular. Jika A mempunyai invers maka inversnya tunggal (unik). Untuk menunjukkan hal ini, perhatikan penjelasan di bawah ini.
Andaikan B dan C invers dari A sehingga dipenuhi hubungan BA=I dan CA=I, maka
B=IB=CAB=CAB=CI=C
Jadi, B=C, atau kedua invers matriks tersebut tunggal.
Sifat-sifat Invers Matriks
A+B-1=A-1+B-1.
AB-1=B-1A-1.
kA-1=1kA-1, di maka k: skalar (bilangan riil).
A-n=A-1A-1…A-1sebanyak n kali=AA…A-1sebanyak n kali, jika n=1, 2, …
Untuk mendapatkan invers suatu matriks, salah satu metode yang dapat dilakukan adalah menggunakan matriks elementer.
Contoh:
Manakah yang merupakan matriks elementer? Tentukan OBE-nya.
E1=100-3, E2=100001010, E3=10-5010001, E4=100000001

Penyelesaian
E1 diperoleh dari matriks satuan berordo 2 x 2 yang dikenai satu operasi baris elementer yang pertama yaitu mengalikan baris kedua dengan konstanta -3. E2 diperoleh dari matriks satuan 3 x 3 yang dikenai satu operasi baris elementer yang kedua yaitu menukar baris kedua dengan baris ketiga. Sedangkan E3 dikenai operasi baris elementer yang ketiga yaitu menjumlahkan baris pertama dengan kelipatan -5 baris ketiga. Sementara itu, matriks E4 bukan matriks elementer karena tidak mungkin melakukan operasi baris elementer sehingga matriks satuan menjadi matriks yang baris keduanya menjadi baris nol.
Perkalian matriks elementer dengan sembarang matriks yang sesuai dari sebelah kiri akan mempunyai pengaruh sebagaimana melakukan operasi baris elementer terhadap matriks tersebut. Sebagai contoh,
Jika A=130-302-44-21-15, di dapat E2A=130-3-21-1502-44 dan
E2A=11-25-2802-44-21-15
Perkalian matriks elementer dengan sembarang matriks dapat dilakukan asal memenuhi syarat perkalian dua matriks dari sebelah kanan mempunyai efek sebagaimana operasi kolom elementer dikenakan pada matriks tersebut.
Keistimewaan yang lain, setiap operasi baris elementer yang mengubah matriks satuan menjadi matriks elementer mempunyai lawan yang mengubah matriks elementer menjadi matriks satuan. Kenyataan ini diberikan dalam Tabel 4.1 di bawah ini.
Tabel.1 Operasi Baris Elementer yang Mengubah Matriks Elementer Menjadi Matriks Satuan, dan Sebaliknya.

OBE yang mengubah I menjadi E
Mengalikan satu baris dengan konstanta c 0.
Menukar baris ke-i dengan baris ke-j.
Menjumlahkan baris ke-i dengan kelipatan k kali baris ke-j.

OBE yang mengubah E menjadi I
Mengalikan satu baris dengan 1/c.
Menukar baris ke-i dengan baris ke-j.
Menjumlahkan baris ke-i dengan kelipatan -k kali baris ke-j.

Setiap matriks elementer mempunyai invers dan inversnya merupakan matriks elementer yang diperoleh dari lawan operasinya. Jika A matriks bujursangkar n×n dan matriks A tersebut ekuivalen baris dengan matriks satuan In maka dapat ditemukan m matriks elementer yang sedemikian rupa sehingga jika dikalikan dengan matriks A maka matriks A tersebut menjadi matriks satuan, sehingga
Em…E2E1A=In
Karena setiap matriks elementer mempunyai invers maka jika dilakukan perkalian dengan invers masing-masing matriks elementer didapat
E1-1E2-1…Em-1Em…E2E1A=E1-1E2-1…Em-1In
Atau
A=E1-1E2-1…Em-1In
Persamaan di atas menyatakan bahwa matriks A mempunyai invers.
Sebaliknya jika A mempunyai invers berarti dipenuhi hubungan
A-1A=I
Dengan mengambil
A-1=Em…. E2E1In
Karena matriks invers tunggal, maka diperoleh (jika A mempunyai invers), matriks A ekivalen baris dengan matriks satuan I.

A : IOBE~I : A-1

Gambar 1. Cara praktis untuk mendapatkan invers matriks bujur sangkar
Dari hasil di atas, cara praktis mendapatkan invers dari suatu matriks bujursangkar ialah dengan melakukan serangkaian operasi baris elementer secara bersamaan antara matriks A dengan matriks satuan I dengan target mengubah matriks A menjadi matriks satuan I dan akibatnya didapatlah perubah matriks I menjadi matriks A-1. Jika A tidak bisa menjadi matriks satuan berarti Atidak mempunyai invers. Hal ini dapat diperjelas dengan Gambar 1.
Contoh 1
Tentukan invers dari matriks berikut.
A=-1231, B=12-37-131-215-37, C41-231-1-4-20
Penyelesaian:
a. A I=-12 10 31 01-b1~1-2 -10 31 01b2-3b1~
1-2 -10 07 3113b2~1-2 -10 01 3737-b+2b2 ~ 10 1727 01 3737
Jadi A-1=17273717
b. B I=12-37 100-31-2 01015-37 001b2b1 ~ -31-2 01012-37 10015-37 001b2-4b1b3-5b1 ~
-31-2 01001-1 14002-3 051b3-2b2 ~ -31-2 01001-1 14000-1 -2-31b1-2b3b2-b3 ~
-310 47-2010 37-100-1 -2-31b1-b2 ~-300 10-1010 37-100-1 -2-31-13b1b1~
100 -130-13010 37-1001 23-1
Jadi, B-1=-130-1337-123-1
c. C I=41-2 10031-1 010-4-20 001b1+b2~10-1 1-1031-1 010-4-20 001b1-2b2b2-b3~
10-1 1-10012 -3400-2-4 4-41b3+2b22 ~10-1 1-10012 -340000 -240
Karena baris ketiga beruba baris nol yang berarti pula A tidak akan mungkin ekuivalen baris dengan matriks satuan I sehingga pada kasus ini matriks C tidak mempunyai invers.
Jika matriks koefisien suatu sistem persamaan linear mempunyai invers maka penyelesaian sistem persamaan linear tersebut didapat dengan mengalikan invers matriks koefisien bersangkutan dengan suku konstantanya, dengan kata lain persamaan matriks
AX=B
Jika A-1 ada maka solusinya adalah
X=A-1B
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut, dengan menghitung invers matriks koefisien terlebih dahulu
12x+6y+z=3
-6x+3y-z=2
8x+3y=-1
Penyelesaian:
Matriks koefisien sistem persamaan linear di atas adalah
12-61-6-3-1830
Dan matriks suku konstannya
32-1
Untuk mencari inversnya, bentuklah matriks lengkap yang diperbesar sebagai berikut.
1261 100-6-3-1 010830 001
Karena target kita adalah mengubah matriks koefisien menjadi matriks satuan maka langkah paling mudah ialah dengan menjumlahkan baris kedua dengan baris pertama untuk meng-nol-kan baris kedua kolom ketiga. Perhatikan bahwa matriks satuan mempunyai satu utama pada setiap kolom dan pada setiap baris serta entri yang lainnya nol semua. Cara yang diterapkan pada contoh ini tidak mengikuti prosedur membentuk matriks eselon baris terlebih dahulu yang kemudian diteruskan menjadi matriks eselon baris tereduksi, namun yang ingin dicapai terlebih dahulu adalah adanya satu utama pada setiap baris dan kolomnya, setelahnya ditata untuk mendapatkan sifat ketiga dan keempat dari matriks eselon baris tereduksi. Sehingga matriks tersebut menjadi
1261 100630 110830 001b1-2b2b3-b2~001-1-2-206301110200-2-1-1b31b2-3b3 ~
001 -1-20030 44-3200 -1-1113b212b3~001-1-200104343-1100-32-1212b3b1 ~
100 -12-12-12010 4343-1001 -1-20
Dengan demikian, invers matriks koefisiennya adalah
-12-12124343-1-1-20
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah
X=A-1 B=-12-12124343-1-1-20
Penerapan : Encoding dan Decoding Pesan-pesan Rahasia
Encoding merupakan kegiatan untuk menyembunyikan pesan sehingga orang yang tidak berhak tidak mampu mengetahui isi pesan yang sebenarnya, sedangkan decoding adalah kegiatan untuk menterjemahkan pesan yang telah di-encoding sehingga dapat diterima pesan aslinya.
Perhatikan urutan huruf-huruf berikut:

a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
O
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
spasi

16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27

Sebagai contoh, pesan: "Pergi ke pati" oleh urutan huru-huruf di atas disampaikan dengan pesan tanpa encoding seperti berikut.

16 05 18 07 09 27 11 05 27 16 01 20 09 27
Jika digunakan matriks encoding
1213
Maka pesan yang terkirim akan menjadi
1213165=2631, 1213187=3239, 1213927=6389, dst
Yang didapat
26 31 32 39 63 89 21 26 59 75 41 61 63 89
Di pihak yang menerima pesan, tentunya, untuk bias membaca pesan tersebut pihak yang bersangkutan harus mengubah pesan yang diterima dengan melakukan kegiatan decoding yaitu dengan mengalikan pesan yang terenkoding tadi dengan invers matriks encoding-nya yaitu
3-2-112631=1615, 3-2-113239=187, 3-2-116389=927, dst
Sehingga pesan aslinya dapat diketahui dengan benar.
SOAL-SOAL LATIHAN
Tentukan Matriks elementer yang menyebabkan matriks elementer di bawah ini menjadi matriks satuan (atau dengan istilah lain, invers matriks elementer)
E1=001010100 b. E2=1000-30001 c. E2=100-110001
Untuk Soal 2 sampai dengan 5 gunakan metode yang diberikan pada subbab ini.
Tentukan invers matriks di bawah ini, jika memang ada.
A=4311 b. A=2-2-23 c. A=1-2-24

D=-412-110-211 b. D=-121-3523-21 c. F=531321421

G=60001280024840481642 b. H=10211142-10000012 c. K=2030-2302411102-1-2

L=00005-11001-31102010121000-1 b. L=10000030-07-11102-20103-1001

Tentukan invers matriks diagonal di bawah ini.
D=30001000-2

Tunjukkan bahwa jika D matriks diagonal, maka D-1 adalah matriks diagonal yang entri-entri pada diagonal utama adalah invers dari entri-entri pada diagonal utama matriks D.

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN INVERS MATRIKS
Jika sistem persamaan linear
AX=B
Dengan matriks koefisien berbentuk bujur sangkar dan mempunyai invers, maka sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu
A-1AX=A-1B
IX=A-1B
X=A-1B
Akibatnya, jika A matriks bujursangkar dan mempunyai invers, sistem persamaan linear homogen, AX=0 hanya mempunyai penyelesaian trivial saja.
Jika diberikan beberapa sistem persamaan linear, dengan matriks koefisien bujursangkar, seperti
AX=B1, AX=B2, …, AX=Bk
Dan jika diketahui bahwa A mempunyai invers maka penyelesaian serangkaian sistem persamaan linear yang demikian ini menjadi mudah dan cukup sedikir perhitungan yang diperlukan yaitu cukup dengan mencari invers dan kemudian melakukan operasi perkalian matriks yaitu
X=A-1B1, X=A-1B2, …, X=A-1Bk
Dengan pengalaman ini kita dapat memperbesar matriks lengkap kita untuk beberapa sistem persamaan linear untuk kasus matriks koefisien sebarang yaitu
A B1 B2 … Bk

Contoh 3
Diberikan
A=213112102, B1=023, B2=-232, B3=20-2 dan diketahui: AX=B1,
AX=B2, AX=B3.
Tentukan:
Penyelesaian SPL-SPL tersebut dengan cara menentukan terlebuh dahulu A-1.
Penyelesaian SPL-SPL tersebut dengan menggunakan matriks lengkap yang diperbesar.
Penyelesaian:
A I,~213 100112 010102 001b2b1 ~ 102 001112 010213 100b2-b1b3-2b1
102 001010 01-101-1 10-2b3-b2~102 001010 01-100-1 1-1-2b1+2b3 ~
100 2-2-1010 01-100-1 1-1-1-b3~100 2-2-1010 01-1001 -111
A-1=2-2-101-1-111, sehingga penyelesaian SPL tersebut
X1=2-2-101-1111023=-7-15, X2=2-2-101-1-111-232=-1217, dan X3=62-4
A B1 B2 B3=213 0 -2 2112 2 3 0102 3 2 -2b3b1~102 3 2 -2112 2 3 0213 0 -2 2b2-b1b3-2b1~
Jadi, X1=-7-15, X2=-1217, X3=62-4

SOAL-SOAL
Tentukan penyelesaian SPL-SPL di bawah ini dengan menggunakan metode perkalian dengan invers matriks koefisiennya.
-x+3y-2z=b1
3x +3z=b2
2x+y+2z=b3
Jika:
b1=7, b2=-3, b3=-1 c. b1=3, b2=0, b3=-1
b1=5, b2=2, b3=-2 d. b1=2, b2=5, b3=3

x+3y+2z=b1
2x+6y+4z=b2
-x +2z=b3
Jika:
b1=0, b2=-3, b3=0 c. b1=-3, b2=0, b3=-1
b1=4, b2=2, b3=2 d. b1=4, b2=5, b3=4
Tentukan penyelesaian SPL-SPL pada soal 1 dengan menggunakan matriks lengkap yang diperbesar.
Tentukan penyelesaian SPL-SPL pada Soal 2 dengan menggunakan matriks lengkap yang diperbesar.
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear di bawah ini, dengan menggunakan matriks lengkap yang diperbesar.
x+3y+2z=b1
x+y-z=a
2x+3y+2z=b
x-y+z=c
Jika: aa=1, b=0, c=0, ba=0, b=1, c=0, c a=0, b=0, c=1. {Soal ini meminta anda untuk mencari invers matriks koefisien dari sistem persamaan linear.}
SOAL-SOAL TAMBAHAN
Selesaikanlah persamaan matriks di bawah ini,
X101-11031-1=120-315
X1×22-3-12+-3X1×2=-2 4
X2×32-22332-42-2+-25-12X2×3=01-1102
X2×3101011110+X2×3=-11010-102-1
X3×2231022241X2×35221=1330-42

Tunjukkan syarat yang berlaku atas matriks A dan B sehingga A+B2 A2+2AB+B2, dengan catatan kedua matriks tersebut bujur sangkar.
Jika diberikan matriks A seperti di bawah ini, tentukan syarat a sehingga matriks A tersebut mempunyai invers, dan tentukan pula syarat untuk a sehingga matriks tersebut tidak mempunyai invers.
a-211a-2
a01a10a02

Jika invers -4A seperti di bawah ini
-11-14014-14-1212-34
Tentukan matriks A.
Tunjukkan bahwa AB=BA jika dan hanya jika AB-1=B-1A.

Pertemuan 9
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Dengan Menggunakan Invers Matriks

Jika sistem persamaan linear
AX=B
Dengan matriks koefisien berbentuk bujur sangkar dan mempunyai invers, maka sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu
A-1AX=A-1B
IX=A-1B
X=A-1B
Akibatnya, jika A matriks bujursangkar dan mempunyai invers, sistem persamaan linear homogen, AX=0 hanya mempunyai penyelesaian trivial saja.
Jika diberikan beberapa sistem persamaan linear, dengan matriks koefisien bujursangkar, seperti
AX=B1, AX=B2, …, AX=Bk
Dan jika diketahui bahwa A mempunyai invers maka penyelesaian serangkaian sistem persamaan linear yang demikian ini menjadi mudah dan cukup sedikir perhitungan yang diperlukan yaitu cukup dengan mencari invers dan kemudian melakukan operasi perkalian matriks yaitu
X=A-1B1, X=A-1B2, …, X=A-1Bk
Dengan pengalaman ini kita dapat memperbesar matriks lengkap kita untuk beberapa sistem persamaan linear untuk kasus matriks koefisien sebarang yaitu
A B1 B2 … Bk

Contoh 3
Diberikan
A=213112102, B1=023, B2=-232, B3=20-2 dan diketahui: AX=B1,
AX=B2, AX=B3.
Tentukan:
Penyelesaian SPL-SPL tersebut dengan cara menentukan terlebuh dahulu A-1.
Penyelesaian SPL-SPL tersebut dengan menggunakan matriks lengkap yang diperbesar.

Penyelesaian:
A I,~213 100112 010102 001b2b1 ~ 102 001112 010213 100b2-b1b3-2b1
102 001010 01-101-1 10-2b3-b2~102 001010 01-100-1 1-1-2b1+2b3 ~
100 2-2-1010 01-100-1 1-1-1-b3~100 2-2-1010 01-1001 -111
A-1=2-2-101-1-111, sehingga penyelesaian SPL tersebut
X1=2-2-101-1111023=-7-15, X2=2-2-101-1-111-232=-1217, dan X3=62-4
A B1 B2 B3=213 0 -2 2112 2 3 0102 3 2 -2b3b1~102 3 2 -2112 2 3 0213 0 -2 2b2-b1b3-2b1~
Jadi, X1=-7-15, X2=-1217, X3=62-4

SOAL-SOAL
-x+3y-2z=b1
3x +3z=b2
2x+y+2z=b3
Jika:
b1=7, b2=-3, b3=-1 c. b1=3, b2=0, b3=-1
b1=5, b2=2, b3=-2 d. b1=2, b2=5, b3=3


x+3y+2z=b1
2x+6y+4z=b2
-x +2z=b3
Jika:
b1=0, b2=-3, b3=0 c. b1=-3, b2=0, b3=-1
b1=4, b2=2, b3=2 d. b1=4, b2=5, b3=4

Tentukan penyelesaian SPL-SPL pada soal 1 dengan menggunakan matriks lengkap yang diperbesar.

Tentukan penyelesaian SPL-SPL pada Soal 2 dengan menggunakan matriks lengkap yang diperbesar.

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear di bawah ini, dengan menggunakan matriks lengkap yang diperbesar.
x+3y+2z=b1
x+y-z=a
2x+3y+2z=b
x-y+z=c
Jika: aa=1, b=0, c=0, ba=0, b=1, c=0, c a=0, b=0, c=1. {Soal ini meminta anda untuk mencari invers matriks koefisien dari sistem persamaan linear.}
SOAL-SOAL TAMBAHAN
Selesaikanlah persamaan matriks di bawah ini,
X101-11031-1=120-315
X1×22-3-12+-3X1×2=-2 4
X2×32-22332-42-2+-25-12X2×3=01-1102
X2×3101011110+X2×3=-11010-102-1
X3×2231022241X2×35221=1330-42

Tunjukkan syarat yang berlaku atas matriks A dan B sehingga A+B2 A2+2AB+B2, dengan catatan kedua matriks tersebut bujur sangkar.

Jika diberikan matriks A seperti di bawah ini, tentukan syarat a sehingga matriks A tersebut mempunyai invers, dan tentukan pula syarat untuk a sehingga matriks tersebut tidak mempunyai invers.
a-211a-2
a01a10a02

Jika invers -4A seperti di bawah ini
-11-14014-14-1212-34
Tentukan matriks A.

Tunjukkan bahwa AB=BA jika dan hanya jika AB-1=B-1A.

Pertemuan 10
RANK DAN TRACE MATRIKS

Definisi Rank Matriks
Rank dari suatu matriks berukuran m×n adalah jumlah maksimum dari vektor baris (kolom) yang bebas linier (independen linier). Rank dari suatu matriks merupakan dimensi dari vektor baris (kolom) non-zero pada matriks tersebut.
Pada matriks bujur sangkarA, jika vektor baris dan vektor kolom yang bebas linier mempunyai dimensi yang sama, maka dimensi matriks tersebut merupakan rank matriks.
Misalnya diketahui matriks berukuran m×n:
A=a11a12 a1na21a22 a2n am1am2 amn
Vektor baris dari matriks A:
u1=a11a12 a1n
u2=a21a22 a2n
…,
um=am1am2 amn
Vektor kolom dari matriks A:
v1=a11a21 am1, v2=a12a22 am2,…, vn=a1na2n amn
Rank dari matriks A dinyatakan oleh rank(A)atau rA.
Notasi rank suatu matriks:
rankA rA
Rank matriks dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu matriks itu singular atau nonsingular. Jika A matriks bujur sangkar dengan dimensi nxn, maka:
Matriks A adalah nonsingular apabila rankA=n
Matriks A adalah singular apabila rankA Ada beberapa metode untuk menentukan rank dari suatu matriks yaitu minor matriks dan eliminasi Gauss (operasi baris elementer).
Metode Minor Matriks
Jika minor matriks A denganbarism determinannya tidak sama dengan nol dan jika minor matriks untuk baris m+1 deterimannya sama dengan nol, maka matriks A mempunyai rank sebesar matau rankA=m.
Jika M adalah minor dan m adalah indeks baris dari matriks A:
Mm×j 0, Mm+1×j=0 rank A=m
Contoh:
Tentukan rank dari matriks berikut, A=1213635105
Solusi:
detA=M3×3=1213635105=30+30+30-30+30+30=0
Determinan matriks A ukuran 3χ3 adalah o, ini menunjukkan bahwa rank (A) 3 atau rank A<3. Untuk itu, dilakukan perhitungan nilai minor-minor dari matriks A:
M2×2=1236=6-6=0
M2×2=1133=3-3=0
M2×2=2163=6-6=0
M2×2=12510=10-10=0
M2×2=1155=5-5=0
M2×2=21105=10-10=0
M1×1=1=1
M1×1=5=
Karena M1×1 o, maka rankA=1. Jadi rank matriks A adalah 1.
Tentukan rank dari matriks berikut,
A=11-132-26835-78
Solusi:
Matriks A ukuran 3χ4 tidak mempunyai determinan untuk menentukan rankA dilakukan perhitungan nilai minor-minor dari matriks A:
M3×3=11-12-2635-7=14+18-10-6+30-14=0
M3×3=1-13-2685-78=48-40+42-90-56+16=0
M3×3=1132-28358=-16+24+30--18+40+16=0
M3×3=1-132683-78=48-24-42-54-56-16=0
M2×2=112-2=-2-2=-4
M2×2=1-1-26=6-2=4
Karena M2×2 o, maka rankA=2. Jadi rank matriks A adalah 2.

Tentukan rank dari matriks berikut, A=3-24123-205432
Solusi:
M3×3=3-24123-205=30+12+0--16+0-10=68
M3×3=123-205432=0+40-18-0+15-8=15
Karena M3x3 o, maka rankA=3. Jadi rank matriks A adalah 3.

Eliminasi Gauss melalui transformasi baris elementer terhadap baris dan kolom matriks sehingga membentuk matriks Hermit Canonical yaitu:
Matriks yang setiap elemen di atas atau di bawah diagonal utama bernilai nol (0).
Elemen pada diagonal utama bernilai satu atau nol.
Hasil transformasi matriks tersebut melalui operasi baris elementer OBE membentuk matriks identitas I atau segitiga atas U dengan baris dan kolom sebesar m, maka matriks A mempunyai rank sebesar m atau rankA=m.
Jika,
A=a11a12 a1na21a22 a2n am1am2 amn OBE 10 001 0 00 1=Im000
Atau,
A=a11a12 a1na21a22 a2n am1am2 amn OBE 1* *01 * 00 1=Im*00
Maka, rankA=m
Contoh
Tentukan rank dari matriks berikut, A=21015520
Solusi:
A=21015520b3152015210b32-2A=2101500b115
141500b21-1140100b12-4100100 I20
Jadi rank A=2.

Tentukan rank dari matriks berikut, B=211324213
Solusi:
B=211324213b112b21-32b31-11121201252002b12-110-201252002b22
10-2015002b131b23-5210-201252002b312100010001 I3
Jad irankB=3.
Tentukan rank dari matriks berikut, C=11-132-26835-78
Solusi:
C=11-132-26835-78b21-2b31-311-130-48202-4-1b3212b2-14
11-1301-2-120000b12-11017201-2-120000
I21-272-120000
Jadi rankC=2.

Tentukan rank dari matriks berikut, D=3-24123-205432
Solusi:
3-24123-205432b211233-24-205432b21-3b312b41-4
1230-8-504110-5-7b2-18123015804110-5-7b12-2b32-4b415
107401580017200-318b13-734b23-568b43316810001000172000b3217100010001000
Jadi rank D=3.
Tentukan rank dari matriks berikut
E=-12045-33-720142-524614-92-4-47
Solusi:
1-20-4-533-720142-524614-92-4-47 1-20-4-5301-2-12-1650-121216-50-121216-5
10-4-28-371301-2-12-165000000000000 I2-4-28-3713-2-12-165000000000000
Jadi rankE=2.

Sifat Rank Matriks
Ada beberapa sifat rank matriks yaitu:
Jika matriks A berukuran mxn, maka:
rankA=rank AT
Jika A matriks ukuran m×n, maka vektor baris matriks A adalah bebas linier jika dan hanya jika
rankA=n
Jika A matriks ukuranm×n,maka vektor kolom matriks A adalah bebas linier jika dan hanya jika
rankA=m

Nullitas Matriks
Nullitas matriks adalah dimensi ruang nol (null space) pada suatu matriks. Nullitas matriks dinyat akan oleh nullA.
Jika matriks A berukuran mxn,
Maka: rank A+nullA=n
Null A adalah jumlah variabel nonpivot (baris zero)
Rank A adalah jumlah variabel pivot (baris non zero)
Jumlah dari variabel nonpivot dan pivotpada suatu matriks adalah n jumlah baris.
Contoh:
Tentukan rank dan null dari matriks berikut,
A=1*0*0*001*0*00001*000000

Solusi:
rankA=3
nullA=1

B=11-1301-2-120000

Solusi:
rankB=2
nullB=1

C=123015800172000

Solusi:
rankC=3
nullC=1

D=10-4-28-371301-2-12-165000000000000

Solusi:
rankC=2
nullC=2

Aplikasi Konsep Rank dan Nullitas Matriks
Konsep rank dan nullitas matriks dipergunakan untuk mengetahui kemungkinan pemecahan (solusi) dalam sistem persamaan linier simultan homogen maupun nonhomogen.
Mengetahui konsistensi sitem persamaan linier simultan.
AX=B adalah konsisten jika dan hanya jika
rankAB=rankA.
Mengetahui jumlah parameter dalam pemecahan atau solusi sistem persamaan linier simultan. Jika pada sistem persamaan linier simultan AX=B dengan jumlah persamaan m dan parameter yang tidak diketahui n adalah konsisten dan rankA=r, maka solusi pemecahan persamaan mempunyai n-r parameter.
Flowchart pemecahan sistem persamaan linier homogen dan non homogen masing-masing ditunjukkan pada Gambar 1 dan 2.
HomogenAX=0;X 0KonsistenX=0Rank A=nSolusi UniqueParameter=n-rRank A Homogen
AX=0;X 0
Konsisten
X=0
Rank A=n
Solusi Unique
Parameter=n-r
Rank A Solusi Infinite
Homogen
AX=0;X 0
Konsisten
X=0
Rank A=n
Solusi Unique
Parameter=n-r
Rank A Solusi Infinite

Gambar 1 Flowchart penyelesaian persamaan linier homogen

HomogenAX=0;X 0KonsistenRank A=Rank AB)TidakKonsistenRank A Homogen
AX=0;X 0
Konsisten
Rank A=Rank AB)
TidakKonsisten
Rank A Rank A=n
Solusi Unique
Rank A=n
Solusi Unique
Homogen
AX=0;X 0
Konsisten
Rank A=Rank AB)
TidakKonsisten
Rank A Rank A=n
Solusi Unique
Rank A=n
Solusi Unique

Gambar 2 Flowchart penyelesaian persamaan linier nonhomogen
Jika matriks A berukuran mxn, maka hanya ada satu solusi (unique) untuk AX=B jika dan hanya jika rankA=n.
Contoh:
Evaluasi kemungkinan pemecahan dari matriks sistem persamaan linier berikut:
AX=B 24-35111146-17x1x2x3=b1b2b3
Solusi: rank A 3dannull 4-3=1
Jadi pemecahan persamaan tidak unique.

AX=B 214416-31-1517x1x2x3x4=b1b2b3b4
Solusi: rank A=2dannull A=3-2=1,
Jadi pemecahan persamaan tidak unique.

AX=B 218100007010x1x2x3x4=b1b2b3b4
Jadi pemecahan persamaan unique.

AX=B 210010018070x1x2x3=b1b2b3
Jadi pemecahan persamaan unique.

x1+3x2-2x3=-7
4x1+x2+3x3=5 210010018070x1x2x3=b1b2b3
2x1-5x2+7x3=19
Solusi:
13-2-741352-5719OBE101201-1-30000
rank A=2dannull A=3-2=1,
Sistem persamaan tersebut adalah konsisten dan mempunyai solusi pemecahan infinitive. Di mana rankAB)=rank A=2, maka jumlah parameter solusi pemecahan persamaan tersebuta dalah 3-2=1.

Trace Matriks
Trace matriks adalah jumlah elemen diagonal utama pada matriks bujur sangkar (kuadrat). Jika matriks A adalah bujur sangkar (kuadrat) ukuran mxn, maka trace A dinyatakan oleh tr A.
Jika diketahui matriks A:
Maka trace dari matriks A:
tr A=i=1naii=j=1majj
Jadi trace suatu matriks bujursangkar adalah penjumlahan elemen-elemen pada diagonal utama matriks tersebut.
Contoh:
Tentukan trace dari matriks berikut,
A=1234
Solusi:
tr A=i=1naii=1+4=5

B=232221122
Solusi:
tr B=i=1naii=2+2+2=6

C=1432541-3-2
Solusi:
tr C=i=1naii=1+5-2=4
D=0122112322232333
Solusi:
tr D=i=1naii=0+1+2+3=6

Sifat Trace Matriks
Trace matriks mempunyai sifat penting dalam manipulasi suatu matriks bujursangkar yaitu:
1. tr kA=ktrA, k=skalar
2. tr A±B=tr A±tr B
3. trAB=trBA
4. tr B-1AB=trA
5. tr AAT=inj=1maij2

Soal untuk Latihan
Tentukan rank matriks A=211422 dan B=242484121 dengan menggunakan metode minor.
Tentukan rank matriks C dan D menggunakan eliminasi Gauss.
C=202484022684001001000110 dan D=424142204422

Tentukan nullitas dari matriks C dan D pada soal 2.
Evaluasi kemungkinan pemecahan dari matriks sistem persamaan linier berikut.
AX=B 214412422214x1x2x3x4=b1b2b3b4

Tentukan trace dari matriks E=2122131121412114.

Pertemuan 11
ELIMINASI GAUSS

SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Bentuk umum persamaan linear ialah
a1x1+a2x2+…+anxn=b
Dengan
a1, a2, …, an disebut koefisien
x1, x2, …, xn disebut anu (unknown)
b disebut suku konstan.
Perhatikan bahwa pangkat dari anu hanya satu, tidak ada perkataan antar anu, dan anu tidak muncul sebagai argument dari satu fungsi.
Penyelesaian persamaan linear adalah sehimpunan bilangan terurut yang jika disubstitusikan ke dalam persamaan linear akan menjadi valid. Sebagai contoh, penyelesaian persamaan linear 2x-3y+z=5 adalah {x=1, y=2, z=9}, tetapi {x=9, y=1, z=2} bukanlah penyelesaian persamaan linear tersebut walaupun angka-angka dalam himpunan tersebut seperti dalam penyelesaiannya, namun urutan yang dibalik, bukan merupakan solusi.
Sistem persamaan linear (SPL) ialah sehimpunan persamaan linear yang menjadi satu kesatuan, antar persamaan linear saling terikat.
Bentuk umum sistem persamaan linear ialah
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
Sistem persamaan linear di atas mempunyai n anu dan m persamaan. Penyelesaian sistem persamaan linear adalah penyelesaian setiap persamaan linear yang terdapat dalam sistem persamaan linear tersebut.

Contoh 1
Carilah penyelesaian persamaan linear berikut.
2x+y=-5
-3x-2y=12
Penyelesaian:
Sistem persamaan linear di atas adalah {x=2, y=-9}, sedangkan x=0, y=-5 bukan penyelesaian SPL tersebut karena hanya merupakan penyelesaian persamaan yang pertama saja.
Sistem persamaan linear mempunyai tiga kemungkinan banyaknya penyelesaian yaitu
Penyelesaian tunggal.
Penyelesaian takhingga banyaknya.
Tak ada penyelesaian.
yxyxyxyxyxyxKetiga kemungkinan banyaknya penyelesaian ini dapat digambarkan sebagai kombinasi dua buah garis pada bidang xy yaitu
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x

Berpotongan pada satu titik = penyelesaian tunggal
Berhimpit = berpotongan pada takhingga banyaknya titik = penyelesaian takhingga banyaknya
Sejajar = takberpotongan pada satu titik pun = taka da penyelesaian

Gambar 1 Ketiga kemungkinan banyaknya penyelesaian sistem persamaan linear
Sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian, baik penyelesaian tunggal maupun penyelesaian tak hingga banyaknya, disebut konsisten. Jika tak mempunyai penyelesaian disebut takkonsisten.

SOAL-SOAL
Manakah dari persamaan di bawah ini yang merupakan persamaan linear?
2x+4y-3z=1
-3xy-2y+5z=2
sin2x+e-3y+20z=3
3x+2x2-5x5=8
-x1+2x2-2x3+x4-5x5=0

Manakah yang menjadi penyelesaian persamaan linear: 2x+3y-z=-1
x=0, y=-1, z=3
x=1, y=2, z=9
x=2, y=1, z=5
x=-1, y=0, z=-1
t, s Rx=t, y=s, z=1+2t+3s

Manakan dari sehimpunan persamaan di bawah ini yang merupakan sistem persamaan linear?
-x+0,5y=0 d. 2sinα-cosβ+3tanγ=3
2x+3y=0 4sinα+2cosβ-2tanγ=2
6sinα-3cosβ+tanγ=9
x+x2-x3=1 e. 2x+siny=0
2x-x2+x3=-1 -xy+3y=1
x-x2+x3=5
x-2xy-3z=0
2x+xy-z=0
3x+xy+z=0
Manakah yang menjadi penyelesaian sistem persamaan linear untuk
-x+2y+z=3
-3y+z=3
2x-5y-z=-5
x=-2, y=0, z=1
x=1, y=1, z=2
x=1, y=-2, z=-1
t Rx=3t-5, y=t-1, z=t
x=0, y=2, z=-1

Lakukan pemisalan sehingga sehimpunan persamaan di bawah ini menjadi sistem persamaan linear.
x+x2-x3=1 b. 2sinα-cosβ+3tanγ=3
2x-x2-x3=-1 4sinα-2cosβ-2tanγ=2
x-x2+x3=5 6sinα-2cosβ-tanγ=9

ELIMINASI GAUSS-JORDAN
Sistem persamaan linear
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
Dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks yaitu
AX=B
Di mana A disebut matriks koefisien berordo m×n, X disebut matriks anu berordo n×1, dan B disebut matriks suku konstan berordo m×1, dan masing-masingnya adalah
A=a1a12…a1na21a2…a2n am1am2…amn, X=x1x2 xn, B=b1b2 bm
Berdasarkan pengalaman di SMU penyelesaian sistem persamaan linear tidak mengubah anu, tetapi hanya mengoperasikan secara aritmetik: koefisien (yaitu dibuat menjadi nol sehingga dengan sendirinya berkesan hilang) dan suku konstan. Karena itu SPL dapat diubah menjadi matriks lengkap atau matriks yang diperluas (augmented matrix), secara umum matriks lengkap sebagai berikut
a1a12…a1nb1a21a2…a2nb2 am1am2…amnbm
Terlihat pada matriks di atas bahwa matriks koefisien A diperluas dengan menambahkan satu kolom yang berisikan matriks suku konstan B. Berikut diberikan ciri-ciri matriks lengkap yang sederhana (yang penyelesaiannya mudah didapat). Ciri-ciri ini hanya dilihat dari entri yang merupakan matriks koefisien, dan dilihat dari kiri ke kanan.

Matriks eselon baris tereduksi bercirikan:
Pada setiap baris, entri tak-nol yang pertama adalah satu. Dan satu ini disebut satu utama
Jika terdapat baris nol, maka baris tersebut diletakkan pada baris yang terbawah.
Pada dua baris yang berurutan letak satu utama pada baris yang lebih bawah terletak lebih ke kanan.
Pada setiap kolom jika terdapat satu utama, entri-entri yang lain adalah nol.
Jika sebuah matriks hanya memenuhi ciri 1, 2, dan 3 saja matriks ini disebut matriks eselon baris.
Jika kita telah mempunyai matriks lengkap yang berbentuk matriks eselon baris tereduksi, maka penyelesaian SPL menjadi mudah ditemukan.
Contoh 2
Tentukan penyelesaian SPL yang memiliki matriks eselon baris tereduksi berikut:
100-101020014
Penyelesaian
Jika dikembalikan ke bentuk SPL matriks ini akan menjadi
1.x1+0.x2+0.x3=-1
0.x1+1.x2+0.x3=2
0.x1+0.x2+1.x3=4
{anu x1, x2, dan x3 dipilih karena banyak kolom pada matriks koefisien ada tiga buah}

Yang disederhanakan menjadi
x1=-1
x2=2
x3=4
Yang merupakan penyelesaian dari SPL tersebut.
Berikut diberikan contoh matriks eselon baris.
D=1250201-1121000-2-2 B=1-1132-40103001-2000-15 C=10023010-30010,
Dari contoh di atas terlihat bahwa entri di bawah satu utama selalu nol.
Untuk mendapatkan penyelesaian matriks eselon baris kita melakukan substitusi mundur, contoh diperlihatkan untuk matriks lengkap D sebagai berikut.
D=1250201-11210001-2 B=1-1132-40103001-2000-15 C=10023010-30010,
Langkah pertama kembalikan matriks lengkap bersangkutan menjadi SPL:
x1+2x2+5x3=2
x2+x3+12x4=1
x4=-2
Dengan memindahkan semua anu tak utama (yang tidak bersesuaian dengan satu utama) ke ruas kanan didapat
x4=-2
x2=1-x3-12x4
x1=2-2x2-5x3
Kemudian lakukan substitusi x4 ke persamaan kedua dan didapat x2=2+x3, dan dengan mensubstitusi x2 ke persamaan pertama didapatx1=2-22+x3-5x3=-2-7x3. Terlihat sampai tahap ini bahwa x3 menjadi anu bebas (bernilai sembarang bilangan riil), oleh karena itu dapat digantikan dengan parameter, misalkan t, sehingga penyelesaian matriks lengkap A diatas adalah
t Rx1=-2-7t, x2=2+t, x=t, x4=-2
Berikut diberikan contoh matriks eselon baris tereduksi.
D=1030201-1010001-2 E=100-40103001-2000-15 F=10023010-30010,
G=100-2010100000
Untuk matriks lengkap E, pada baris keempat, jika dikembalikan ke bentuk persamaan linear, didapat 0x1+0x2+0x3=-15 di mana jelas terlihat bahwa persamaan linear yang demikian ini tidak mungkin terjadi. Pada ruas kiri bernilai 0 sedangkan pada ruas kanan bernilai -15, karena itu berapapun nilai yang kita pilih untuk x1, x2, dan x3, keadaan itu tidak akan terpenuhi yang berarti pula SPL yang demikian ini tidak mempunyai penyelesaian (tak-konsisten).
Untuk memudahkan pencarian penyelesaiannya matriks lengkap ini diubah minimal menjadi matriks eselon baris atau lebih jauh lagi menjadi matriks eselon baris tereduksi.
Untuk mengubah matriks matriks lengkap tersebut diperlukan operasi yang tidak mengubah penyelesaian dari SPL yaitu operasi baris elementer (OBE) yaitu
Mengalikan satu baris dengan konstanta tak nol.
Menukar tempat dua baris.
Menjumlahkan satu baris dengan kelipatan baris yang lain.
Metode pengubah (pencarian penyelesaian SPL) ini dikenal dengan nama eliminasi Gauss (jika matriks lengkap diubah menjadi matriks eselon baris dan dilakukan substitusi mundur) atau eliminasi Gauss-Jordan (jika matriks lengkap diubah menjadi matriks eselon baris tereduksi dan dilakukan substitusi mundur). Skeme pencarian penyelesaian ini dapat dilukiskan pada Gambar 2 berikut.
SPLMatriks LengkapMatriks Eselon BarisMatriks Eselon Baris TereduksiSolusi SPLSubstitusi mundurSubstitusi mundurOBEOBESPLMatriks LengkapMatriks Eselon BarisMatriks Eselon Baris TereduksiSolusi SPLSubstitusi mundurSubstitusi mundurOBEOBE
SPL
Matriks Lengkap
Matriks Eselon Baris
Matriks Eselon Baris Tereduksi
Solusi SPL
Substitusi mundur
Substitusi mundur
O
B
E
O
B
E
SPL
Matriks Lengkap
Matriks Eselon Baris
Matriks Eselon Baris Tereduksi
Solusi SPL
Substitusi mundur
Substitusi mundur
O
B
E
O
B
E

Gambar 2 Eliminasi Gauss dan Eliminasi Jordan.

Contoh 2
Tentukan penyelesaian SPL berikut.
2x1+x2-x3+x4+3x5=23x1+2x2+x3-x4-2x5=03x2-x3+2x4-x5=-12x1+2x3-3x4+x5=3

Penyelesaian
Target pertama dalam penyelesaian SPL diatas adalah menjadikan entri pada baris pertama kolom pertama bernilai satu (perhatikan ciri matriks eselon baris)
21-1132321-1-2003-12-1-1202-313b2-b1~

21-1132321-1-2003-12-1-1202-313b2-3b1b4-2b1~
Entri baris 1 kolom 1 harus satu sehingga dilakukan OBE yang ketiga antara baris pertama b1 dan kedua b2
Entri di bawah satu utama harus nol sehingga dilakukan OBE yang ketiga untuk baris kedua b2 dan baris ketiga b3

112-2-5-20-1-5513603-12-1-10-2-21117-b2 ~

112-2-5-2015-5-13-603-12-1-10-2-21117b3-3b2b4+ 2b2

Entri baris 2 kolom 2 harus satu utama, untuk itu dilakukan OBE yang pertama pada b2
Entri di bawah satu utama harus nol sehingga dilakukan OBE yang ketiga untuk b3 dan b4

112-2-5-2015-5-13-600-16173817008-9-15-5b4b3 ~

112-2-5-2005-5-13-6008-9-15-500-16173817b4-2b3

Karena entri baris 3 kolom 3 dan baris 4 kolom 3 berkelipatan, untuk membuat nol, tentunya mudah, oleh karena cukup dilakukan OBE yang kedua dengan menukar b3 dan b4

Untuk membuat nol entri baris 4 kolom 3, cukup dilakukan OBE yang ketiga, yaitu dengan menjumlahkan b4 dengan 2 kali lipat b3
112-2-5-2015-5-13-6008-9-15-50001-8-7b1+2b4b2+5b4b3+9b4 ~

1120-21-160150-53-410080-87-680001-8-719b3 ~

Jika b3 dikalikan dengan 18 didapat matriks eselon baris dan jika digunakan eliminasi Gauss, lakukan subtitusi mundur. Dalam contoh ini akan diteruskan menjadi matriks eselon baris tereduksi, OBE kembali dilakukan untuk membuat entri di atas satu utama nol, yaitu OBE yang ketiga untuk b3, b2, dan b1

Untuk mendapatkan satu utama pada baris 3 kolom 3, tidak ada cara lain selain melakukan OBE yang pertama, yaitu mengalikan b3 dengan 18
1120-21-160150-53-4100108786880001-8-7b1+2b3b2+5b3 ~

11006810100118135800108786880001-8-7b1-b2

Entri di atas satu utama baris 3 kolom 3 harus nol, oleh karena itu dilakukan OBE ketiga pada b2 dan b1
Entri di atas satu utama baris 2 kolom 2 harus nol, oleh karena itu dilakukan OBE ketiga pada b1

1000-5812780100-11813580010-878-6880001-8-7

Sampai di sini telah didapat matriks eselon baris tereduksi. Penyelesaian didapat dengan mengembalikan matriks lengkap tersebut menjadi SPL dan dilakukan subtitusi mundur
Apabila matriks terakhir ini diubah ke SPL matriks ini akan menjadi
x1--58x5=-1278
x2-118x5=1358
x3-878x5=-688
x4-8x5=-7
Karena x5 dapat bernilai sembarang bilangan riil, maka x5 ini dapat diganti dengan parameter bilangan riil, misalkan t, sehingga penyelesaian SPL ini menjadi.
t Rx1=-1278+58t, x2=1358-118t, x3=-688+878t, x4=-7+8t, =t
Tanda ~ menyatakan ekuivalen, artinya matriks-matriks lengkap tersebut akan memiliki solusi yang sama, walaupun matriks lengkapnya tidak sama.

SOAL-SOAL
Bentuklah sistem persamaan linear berikut menjadi matriks lengkap.
2x+3y=4
3x+2y=-4
-2x1 +3x2 =-1
x1 +x3=4
2x1 -x2 +2x3=8
x1 +2x2 +2x3=7
4x1 +6x3 +3x4 -x5 = 3
-2x1-2x2+x3-3x4-5x5=-12x1+x2+2x3+3x4-3x5=22x1-x2+5x3+2x5=1
Tentukan penyelesaian dari SPL yang mempunyai matriks lengkap berbentuk matriks eselon baris dan/atau matriks eselon baris tereduksi yaitu B, C, D, F, H dan G pada contoh di halaman 30.
Lakukan eliminasi Gauss untuk mendapatkan penyelesaian SPL, berikut:
Sistem persamaan linear pada Soal 1a.
3x-y+z=-2
x+5y+2z=6
2x+3y+z=0
Sistem Persamaan linear pada Soal 1b.
5x1+2x2+10x4+16x4=16
3x1+x2-2x4=43x1+x2-9x3-19x4=-44x1+x2-3x4=5
Sistem persamaan linear pada Soal 1c.
Lakukan Eliminasi Gauss-Jordan untuk mendapatkan penyelesaian pada SPL Soal 3.

SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN
Sistem persamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear yang semua suku konstannya nol sehingga bentuk umum SPL homogen ini sebagai berikut.
a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0 am1x1+am2x2+…+amnxn=0
Karena semua suku konstan nol, maka jika dilakukan OBE tetap saja suku konstannya nol dan oleh karena itu matriks lengkap SPL homogen ini sering disingkat tanpa memasukkan kolom suku konstan yaitu
a11a12…a1na21a22…a2n am1am2amn
SPL homogen selalu konsisten, minimal mempunyai penyelesaian nol
x1=x2=…=xn=0
Yang disebut penyelesaian trivial. Jika terdapat penyelesaian yang lain, disebut penyelesaian tak-trivial.
Contoh 3
Tentukan penyelesaian SPL homogen berikut.
3x1+3x2+2x3+2x4=0
-2x1-2x2+x3+x4=0
2x1-2x2-3x3+3x4=0
3x1-3x2+4x3+4x4=0
Penyelesaian
33222-2-211122-3-3-333444b1+b2~1133-2-21122-3-33344b2+2b1b3+2b1b4+3b1 ~ 1133007700-9-900-5-517b2 ~
1133001100-9-900-5-5b3+9b2b4+5b2 ~1133001100000000b1+3b2 ~1100001100000000
Diubah ke SPL menjadi
1x1+1x2+0x3+0x4=0
0.x1+0.x2+1.x3+1.x4=0
0.x1+0.x2+0.x3+0.x4=0
0.x1+0.x2+0.x3+0.x4=0
Atau
x1+x2=0
x3+x4=0
Atau
x1=-x2
x3=-x4
Karena x2 dan x4 bernilai sebarang bilangan riil maka keduanya dapat diganti dengan parameter, misalnya, x2=t dan x4=s, sehingga penyelesaian SPL homogen tersebut ialah
t R"x1=-t, x2=t, x3=-s, x4=s
Kita tutup bab ini dengan satu teorema yang penting yaitu
Teorema 1:
Sistem Persamaan Linear Homogen selalu mempunyai penyelesaian tak trivial, jika banyaknya anu lebih besar dibandingkan banyaknya persamaan.
SOAL-SOAL
Tentukan penyelesaian SPL homogen di bawah ini.
2x-3y=0 c. 2x-y+3z=0
x+2y=0 x+2y+z=0

x+2y-z=0 d. x-y+z=0
x-2y+3z=0 2x-y+z=0
x+4y-3z=0 3x-y+z=0
Jika matriks lengkap SPL homogen dinyatakan seperti di bawah ini, tentukan penyelesaiannya:
-1232 b. -110-110001 c. 210420000 d. -2211-1122003300-1-1 e. 220-1-2-3234
Tentukan penyelesaian dari SPL berikut.
x1-2x2+x3-4x4=1
x1-3x2+7x3-2x4=2
x1-12x2-11x3-16x4=5

Tentukan syarat yang harus dipenuhi β agar SPL homogen di bawah ini mampunyai penyelesaian tak trivial.
x+y+2z=0x-2y+βz=02x-βy=0

Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, tentukan nilai α, β dan γ, dengan syarat 0 α, β, γ 2π dari sistem perusahaan berikut
2sinα1-cosβ+3tanγ=3
4sinα+2cosβ-2tanγ=2
6sinα-3cosβ+tanγ=9

Tentukan nilai a agar sistem persamaan linear berikut mempunyai a penyelesaian tunggal, b penyelesaian tak hingga banyaknya, ataupun c tidak mempunyai penyelesaian.
x+y-z+w=02x+4y-2w=43x+2y-z=12y+2z+a2-5w=a+3

Tentukan k agar sistem persamaan linear homogen berikut mempunyai penyelesaian tak trivial.
4x+y+z=03x+y-z=0x+y+kz=0

Tentukan syarat bagi a dan b agar sistem persamaan linear ini memiliki a penyelesaian tunggal, b memiliki penyelesaian jamak atau c tidak memiliki penyelesaian.
-x+3y-2z=-8x++z=23x+3y+az=b

Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut
3x+2y-z+3w=14x+5y+2w=03x+2y+4z-3w=36y+2z+w=0

Tentukan syarat untuk λ sehingga SPL homogen di bawah ini mempunyai penyelesaian trivial.
λ-3x+y=0x+λ-3y=0

Diberikan SPL di bawah ini, tentukan nilai a dan b, jika SPL mempunyai penyelesaian tunggal: x=1, y=-1, z=2
ax+by-3z=-3-2x-by+cz=-1ax+3y-cz=-3

Pertemuan 12
VEKTOR DALAM R2 DAN R3 SERTA
ARTI GEOMETRINYA

Pada bagian ini akan dibahas tentang vektor dan aplikasinya dalam R2dan R3. Sedangkan bagian selanjutnya akan dibahas vektor secara umum. Saat ini, kita hanya memfokuskan pada R2dan R3, sebab dalam ruang ini kita akan mudah membayangkan secara geometri.
Vektor-vektor dapat dinyatakan sebagai segmen garis berarah atau panah dalam R2dan R3.
Ekor panah dinamakan titik permulaan (titik awal, titik initial) sedangkan ujung panah sering disebut titik akhir (titik terminal) vektor.
BBbbaa
B
B
b
b
a
a
vvccuu
v
v
c
c
u
u
AA
A
A
Gambar 1 Gambar berbagai vektor
Sering dituliskan v=AB
Definisi 1:
Dua vektor v dan w dikatakan sama (ekuivalen) jika kedua vektor tersebut sama panjang dan arahnya dan dapan dituliskan v=w.
Definisi 2:
Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka v+w adalah vektor yang titik permulaannya berimpit dengan titik awal v dan titik akhirnya berimpit dengan titik akhir vektor w.
vv+wwvv+ww
v
v+w
w
v
v+w
w

Gambar 2 Gambar penjumlahan dua buah vektor
Dari gambar di atas penjumlahan dua vektor dapat dilihat sebagai diagonal paralelogram.
Arti Geometri Vektor
Dalam sistem koordinat kartesius, dua vektor dapat mempunyai titik awal yang berbeda.
v1v2u2u1xyv1v2u2u1xy
v1
v2
u2
u1
x
y
v1
v2
u2
u1
x
y

Gambar 3 Gambar vektor pada bidang koordinat
Terlihat pada gambar di atas bahwa vektor u1 mempunyai titik awal di titik (0, 0), sedangkan u2 berawal di titik (6, 0).Vektor v1 berawal juga di (0, 0) dan v2 berawal di (5, 1).
Jelas bahwa v+w=w+v.
-vv-vv
-v
v
-v
v
v+wv+wvv
v+w
v+w
v
v
ww
w
w

Gambar 4 Penjumlahan vektor dan vektor berlawanan arah
Definisi 3:
Vektor nol adalah vektor yang panjangnya nol dan disimbolkan dengan O.
Juga terlihat bahwa: w+0=0+w=w.
Definisi 4:
Apabila v sebuah vektor, maka -v adalah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor v.
Definisi 5:
Jika a dan b adalah dua vektor sembarang, pengurangan vektor didefinisikan sebagai: a-b=a+-b
a-b-bbaa-b-bba
a-b

-b

b

a

a-b

-b

b

a

Gambar 5 Pengurangan dua buah vektor
Definisi 6:
Jika a adalah sebuah vektor dan t adalah sebuah bilangan real (skalar), maka hasil perkalian ta didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya t kali panjang a dan arahnya sama dengan auntuk t>0. Jika t<0, hasil perkalian tersebut memberikan arah yang berlawanan dengan a. Jika t=0atau a=0, maka ta=0.
Apabila v adalah sebuah vektor dalam bidang dan titik awalnya diletakkan di titik (0, 0), maka koordinat v1, v2 dari v disebut komponen dari v dan dituliskan sebagai v=v2, v2. Vektor yang titik awalnya di titik pusat koordinat sering disebut vektor posisi.
vv1, v2xyvv1, v2xy
v
v1, v2
x
y
v
v1, v2
x
y

Gambar 6 Vektor pada bidang XY
Jadi, dua buah vektor v=v1, v2 dan w=w1, w2 adalah sama (ekuivalen) jika v1=w1dan v2=w2. Juga terlihat jelas bahwa:
v+w=v1, v2+w1, w2=v1+v2, w1+w2
v-w=v1, v2-w1, w2=v1+v2, w1-w2
kv =kv1, kv2 dengan k suatu skalar
sementara itu, dalam ruang R3, vektor v dapat dinyatakan sebagai: v=v1, v2, v3.
v0XYZv0XYZ
v
0
X
Y
Z
v
0
X
Y
Z

Gambar 7 Vektor pada ruang XYZ
Dalam ruang dimensi tiga dengan v=v1, v2, v3 serta w=w1, w2, w3 dapat dihasilkan:
v+w=v1, v2, v3+w1, w2, w3=v1+w1, v2+w2, v3+w3
v-w=v1, v2, v3-w1, w2, w3=v1-w1, v2-w2, v3-w3
k v =kv1, kv2, kv3 dengan k suatu scalar
kadang-kadang vektor tidak mempunyai titik awal di titik asal sehingga:
untuk bidang R2, bila suatu vektor v mempunyai titik awal di P1x1, y1 dan titik akhir di P2x2, y2, maka v=P1P2=x2-x1, y2-y1
untuk bidang R3, bila suatu vektor v mempunyai titik awal di P1x1, y1, z1 dan titik akhir di P2x2, y2, z2, maka v=P1P2=x2-x1, y2-y1, z2-z1
contoh 1:
tentukan komponen vektor v yang mempunyai titik awal di A2, 0, -3 dan mempunyai titik akhir di B1, 2, 3!
Jawab:
v=AB=1-2, 2-0, 3--3
v=-1, 2, 6
Vektor dapat juga digunakan untuk menyatakan proses translasi (pergeseran).
Pada sistem koordinat XOY yang digeser dengan vektor v=a, b, maka sumbu koordinat yang baru akan berbentuk X1O1Y1 dengan persamaan translasinya.
x1=x-adany1=y-b
Sedangkan untuk ruang dimensi tiga, akan mempunyai persamaan translasi:
x1=x-a, y1=y-b,danz1=z-c
Bila digeser dengan vektor v yang mempunyai komponen v=a, b, c.
Contoh 2:
Misalkan titik asal yang baru dari sistem koordinat adalah a, b=1, 2 dan titik P mempunyai koordinat 3, 4, maka koordinat X1O1Y1 dari titik Padalah 2, 2.
Gambarnya adalah sebagai berikut.
O1YY1 X1 X OPVektor OO1=(1, 2) yang menggeser XOY menjadi X1O1Y1O1YY1 X1 X OPVektor OO1=(1, 2) yang menggeser XOY menjadi X1O1Y1
O1
Y
Y1
X1
X
O
P
Vektor OO1=(1, 2) yang menggeser XOY menjadi X1O1Y1
O1
Y
Y1
X1
X
O
P
Vektor OO1=(1, 2) yang menggeser XOY menjadi X1O1Y1

Gambar 8 Pergeseran sistem Koordinat XOY

Norm dan Jarak
Sekarang kita akan melihat sifat-sifat vektor dalam ruang R2 atau ruang R3.
Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.
u+v=v+u
u+v+w=u+v+w
u+0=0+u=u
u+-u=0
k 1u=klu untuk suatu skalar k dan 1
t u+v=tu+tv untuk skalar t
m+nu=mu+nu untuk suatu skalar m dan n
1u=u
Definisi 7:
Panjang sebuah vektor w sering disebut norm w dan disimbolkan dengan w.
Dari teorema Phythagoras terlihat bahwa sebuah vektor w=w1, w2akan mempunyai panjang:
w=w12+w22
Sedangkan apabila w berada di R3dan w=w1, w2, w3, maka:
w=w12+w22+w32
Sementara itu, apabila vektor w mempunyai titik awal di P1x1, y1, z1 dan mempunyai titik akhir di titik P2x2, y2, z2, maka w=P1P2=x2-x1, y2-y1, z2-z1 dan
w=P1P2=x2-x12+y2-y12+z2-z12
Bila w di R2 dan titik awalnya P1=x1, y1 dan titik akhirnya P2x2, y2 maka norm (panjang) vektor w adalah:
w=P1P2=x2-x12+y2-y12
Contoh 3:
Jika vektor v mempunyai titik awal di A1, 2, 3 dan titik akhir B0, 1, 2, maka:
v=0-1, 1-2, 2-3=-1, -1, -1dan
Panjang (norm) v adalah:
v=-12+-12+-12=3
Beberapa teorema yang penting:
Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz x. y x . y
Pertidaksamaan segitiga x+y x+y
Persamaan Lagrange u x v2=u2v2-u . v2

Perkalian Titik dan Proyeksi dalam Vektor
Definisi 8:
Yang diartikan dengan sudut antara vektor u dan v adalah sudut yang dihasilkan oleh u dan v setelah titik awal vektor u dan titik awal vektor v diimpitkan dengan θ yang memenuhi 0 θ π.
vuθvuθuvθuvθvuθ=900vuθ=900
v
u
θ
v
u
θ
u
v
θ
u
v
θ
v
u
θ=900
v
u
θ=900

Gambar 9 Sudut Lancip, tumpul, dan siku-siku
Definisi 9:
Jika u dan v adalah 2 vektor dalam R2atau R3 dan θ adalah sudut antara udan v, maka perkalian titik dot product atau perkalian dalam Euclid adalah diberikan dengan:
u . v=uvcosθ, jikau 0 dan v 0
=0 Jika u=0 dan v=0
ABCacbθABCacbθAturan Cosinus:
A
B
C
a
c
b
θ
A
B
C
a
c
b
θ

Gambar 10 Segitiga ABC dan panjang sisi-sisinya
Apabila ABC adalah sebuah segitiga dan θ adalah sudut yang diapit oleh garis a dan garis b, maka:
a2=b2+c2-2 bccosθ
Rumus di atas dapat pula dinyatakan sebagai berikut,
Jika A, B, C adalah titik dengan A B dan A C, maka sudut θ antara AB dan AC memenuhi persamaan:
cosθ=AB2+AC2-BC22AB . AC
Definisi 10:
Misalkan u=u1, u2, u3 dan v=v1, v2, v3 dengan u 0 dan v 0, maka:
u . v=u1v1+u2v2+u3v3
Misalkan u=u1, u2 dan v=v1, v2 dengan u 0 dan v 0, maka:
u . v=u1v1+u2v2
vuv-u+uQv1, v2,v3+uPu1, u2,u3+uO+uθ+uvuv-u+uQv1, v2,v3+uPu1, u2,u3+uO+uθ+u
v
u
v-u

+u
Qv1, v2,v3

+u
Pu1, u2,u3

+u
O

+u
θ
+u
v
u
v-u

+u
Qv1, v2,v3

+u
Pu1, u2,u3

+u
O

+u
θ
+u

Gambar 11 Vektor PQ
Contoh 4:
Jika diketahui u=1, 2, 3dan v=2, -1, 1, maka
u . u=12+2-1+11=2-2+1=1
Jadi, u . v=1 dan sudut antara u dan v dapat dicari dengan:
cosθ=u.vu.v
u=12+2211=1+4+1=6
v=22+-1211=4+1+1=6
u . v=1
Sehingga
cosθ=u.vu.v=16 . 6=16
Berikut adalah hasil perkalian titik (perkalian dalam Euclid).
v=v2 dan v=v . v12
Jika u 0 dan v 0 dan θ adalah sudut antara vektor u dan v, maka:
θadalah sudut lancip jika dan hanya jika u . v>0
θadalah sudut tumpul jika dan hanya jika u . v<0
θ=π2jika dan hanya jika u . v=0
u . v=v . u
u . v+w=u . v+u . w
ku . v=ku. v=u . kv untuk suatu skalar k
v . v>0 jika v 0
v . v=0 jika v=0
Definisi 11:
Dua buah vektor u dan v disebut vektor-vektor yang ortogonal jika u . v=0.
Dalam arti geometri, ortogonal diartikan sebagai saling tegak lurus.
Perkalian titik ini mempunyai kegunaan untuk menguraikan sebuah vektor ke dalam jumlahan dua vektor yang saling tegak lurus.
Jika u dan v adalah vektor dalam R2atau R3, maka kita menuliskan u sebagai:
u=w1+w2
Dengan:
w1adalah vektor yang sejajar (kelipatan) dari v dan
w2adalah vektor yang ortogonal (tegak lurus) pada v.
Sebagai ilustrasi, perhatikan gambar berikut.
uvw1w2uvw1w2
u
v
w1
w2
u
v
w1
w2
uuvv
u
u
v
v

Gambar 12 Dekomposisi vektor
Vektor w1 dan w2 dapat disebut vektor yang merupakan komponen-komponen dari vektor u.
w1=u . vv2vdan w2=u-u . vv2
Contoh 5:
Jika diketahui vektor u=-1, 1, 2dan v=-1, -1, 1, tentukan komponen vektor u yang sejajar dengan v dan tentukan komponen vektor u yang tegak lurus pada v.
Jawab:
Katakanlah u=u1+u2, maka
u1=u . vv2v=-1, 1, 2-1, -1, 1-12+-12+12-1, -1, 1
u1=+1-1+23-1, -1, 1maka u1=-23,-23,23
u2=-1, 1, 2--23,-23,23=-13,53,43

Perkalian Silang
Perkalian silang dua buah vektor memegang arti penting dalam geometri, ilmu fisika, dan ilmu-ilmu teknik.
Definisi 12:
Perkalian silang dua buah vektor u=u1, u2, u3 dan v=v1, v2, v3, dalam ruang R3, disimbolkan dengan uxv dan didefinisikan sebagai:
u×v=u2v3-u3v2, u3v1-u1v3, u1v2-u2v1
Atau bila dituliskan dalam bentuk determinan adalah:
uxv=u2u3v2v3, -u1u3v1v3, u1u2v1v2
Contoh 6:
Bila u=1, 2, 1 dan v=-1, 2, 2
Tentukan u . v dan ux v !
Jawab:
u . v =1, 2, 1. -1, 2, 2=1-1+22+12
=-1+4+2=5
ux v =2122, -11-12, 12-12
=4-2, -2+1, 2+2
=2, -3, 4
ux v =2, -3, 4
Jadi, terlihat bahwa u . v adalah suatu skalar, sedangkan ux v adalah suatu vektor.
Beberapa sifat penting dari perkalian silang dua buah vektor (u dan v di dalam R3) adalah sebagai berikut.
u . ux v=0 (yaitu ux v tegak lurus dengan u)
v . ux v=0 (yaitu ux v tegak lurus dengan v)
ux v2=u2v2-u . v2
ux v=-(v x u)
uxv+w=ux v+ux w
u+v x w=ux w+vx w
kux v=kux v=ux kv
v . 0=0x u=0
ux u=0
Catatan:
Untuk ruang R3 ada 3 vektor khusus yang sering disebut vektor satuan standar, yaitu:
i=1, 0, 0, j=0, 1, 0,dank=0, 0, 1
Apabila digambarkan dalam koordinat R3 adalah sebagai berikut.
ik(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)ZYXik(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)ZYX
i
k
(0,0,1)
(0,1,0)
(1,0,0)
Z
Y
X
i
k
(0,0,1)
(0,1,0)
(1,0,0)
Z
Y
X
jj
j
j

Dari definisi perkalian silang dua buah vektor, maka diperoleh:
ix j=0010, -1000, 1001=0, 0, 1=k
Dengan cara yang sama akan diperoleh:
ix i =jx j=kx k=0
ix j =k, jx k=i, kx i=j
jx i =-k, kx j=-i, ix k=-j
Contoh 7:
Suatu vektor a=-1, 2, -2 dapat dinyatakan dalam bentuk vektor i , j, dan k.
a=-1, 2, -2 =-1, 0, 0+0, 2, 0+0, 0, -2
=-11, 0, 0+20, 1, 0+-20, 0, -1
=-1 i+2j+-2k.
a =-i+2j-2k.
Perhitungan perkalian silang dua vektor menggunakan "aturan tangan kanan", yaitu:
vuvxuuvuvxuuuxvuuvuxvuuv
v
u
vxu

u
v
u
vxu

u
uxv

u
u
v
uxv

u
u
v

Gambar 13 Perkalian silang dua vektor
Hasil yang menarik adalah norm dari perkalian silang dua vektor udan v.
Dari persamaan Lagrange dipunyai:
ux v2=u2v2-u . v2
Sedangkan u x v=uvcosθ, sehingga
ux v2=ux v2-uvcosθ2
=ux v2-u2v2cos2θ
ux v2=u2v21-cos2θ
ux v2=u2v2sin2θ
Jadi ux v=uvsinθ
Intepretasi geometri dari u x v merupakan luas paralelogram yang dibatasi vektor u.
ux v=uvsinθ
ux v=alastinggi
vvsinθuABCvvsinθuABC
v
vsinθ
u
A
B
C
v
vsinθ
u
A
B
C

Gambar 14 Interpretasi norm pada perkalian silang dua vektor
Untuk menghitung luas segitiga ABC adalah dengan mengalikan luas paralelogram dengan setengah.
Contoh 8:
Dengan menggunakan pengertian di atas, hitunglah luas segitiga yang mempunyai titik sudut di titik A1, 1, 0, B2, 1, 3, dan C4, 2, 1!

Aplikasi Vektor pada Bidang dan Garis
Pada bagian ini terutama akan dibahas tentang persamaan garis dan persamaan bidang pada ruang R3.
Definisi 13 (Persamaan Bidang Bentuk Vektor):
Sebuah bidang adalah himpunan titik-titik P yang memenuhi persamaan:
P=Po+sX+tYdengans dan t adalah suatu skalar serta X dan Y adalah dua buah vektor yang tidak paralel.
Teorema 1:
Tiga buah titik yang tidak segaris Ax1, y1, z1, Bx2, y2, z2, dan Cx3, y3, z3 dapat memiliki satu bidang yang melalui ketiga titik tersebut apabila mempunyai persamaan:
P=A+sAB+tACatau
AP=sAB+tAC
Persamaan bidang dalam Teorema 1 dapat pula dituliskan dalam bentuk parametric, yaitu:
x=x1+sx2-x1+tx3-x1
y=y1+sy2-y1+ty3-y1
x=z1+sz2-z1+tz3-z1 atau
x=x1+su1+tv1
y=y1+su2+tv2
z=z1+su3+tv3
Teorema 2:
Jika Ax1, y1, z1, Bx2, y2, z2, dan Cx3, y3, z3 adalah tiga buah titik yang tidak segaris, maka bidang yang melalui titik tersebut diberikan sebagai:
AP. ABxAC=O atau dapat ditulis dalam bentuk
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0di mana Px, y, z adalah sembarang titik.
Teorema 3 (Persamaan Bidang Bentuk Umum):
Persamaan bidang yang melalui tiga titik A, B, C seperti di atas dapat pula dituliskan dalam bentuk: ax+by+cz=d dengan
a=y2-y1z2-z1y3-y1z3-z1, b=x2-x1z2-z1x3-x1z3-z1, dan c=-x2-x1y2-y1x3-x1y3-y1.
Teorema 4:
Andaikan bidang a1x+b1y+c1z=d1 dan a2x+b2y+c2z=d2 memiliki normal yang tidak paralel, maka perpotongan kedua bidang tersebut membentuk garis L. selain itu, persamaan λa1x+b1y+c1z-d1+μa2x+b2y+c2z-d2=0 dengan λ dan μ yang keduanya tak sama dengan nol akan memberikan bentuk persamaan semua bidang yang melalui garis L.
Dengan kata lain, apabila ada sebuah titik PX0, Y0, Z0 dan sebuah vektor n=a, b, c yang tidak sama dengan nol, maka persamaan bidang yang ortogonal (tegak lurus) dengan vektor n akan berbentuk:
n . P0P=0
Zna, b, cXYPP0OZna, b, cXYPP0ODalam hal ini P adalah sembarang titik x, y, z yang terletak pada bidang tersebut.
Z
na, b, c
X
Y
P
P0
O
Z
na, b, c
X
Y
P
P0
O

Gambar 15 Sebuah bidang pada ruang XYZ dengan normal n=a, b, c
Bentuk persamaan bidang yang mempunyai normal n=a, b, c dan melalui titik P0X0, Y0, Z0 adalah:
aX-X0+bY-Y0+cZ-Z0=0
Dengan kata lain:
ax+by+cz+d=0
Merupakan sebuah persamaan garis yang mempunyai n=a, b, c sebagai vektor normalnya.
Teorema 5 (Jarak dari 1 titik ke bidang):
Jika P0X0, Y0, Z0 dan bidang S dengan persamaan
ax+by+cz=d, maka ada titik tunggal P pada bidang tersebut sehingga P0P adalah arah normal bidang S dan
P0P=ax0+by0+cz0-da2+b2+c2
Contoh 9:
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik 1, 2, 1 dan tegak lurus pada vektor n=1, 2, 3.
Jawab:
Persamaan bidang tersebut adalah:
1x-1+2y-2+3z-1 =0
x-1+2y-4+3z-3 =0
x+2y+3z-8 =0
Contoh 10:
Carilah persamaan bidang yang melalui titik A1, 1, 1, B2, 2, 1, dan C1, 1, -1.
Jawab:
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, persamaan bidang itu dimisalkan mempunyai persamaan:
ax+by+cz+d=0.
Titik A1, 1, 1 ada pada bidang tersebut, sehingga :a+b+c+d=0.
Titik B2, 2, 1ada pada bidang tersebut, sehingga: 2a+2b+c+d=0.
Titik C1, 1, -1 terletak pada bidang tersebut, sehingga: a+b-c+d=0.
Selesaikan ketiga persamaan di atas, maka kita akan mendapatkan persamaan bidang tersebut.
Definisi 14:
Persamaan garis L pada ruang R3 yang melalui titikAx0, y0, z0dan sejajar dengan vektor v=a, b, c yang tidak sama dengan nol akan mempunyai bentuk:
AP=t v
Dengan Px, y, z adalah titik sembarang yang terletak pada garis tersebut.

zv=a, b, cAx0, y0, z0Px, y, zyxzv=a, b, cAx0, y0, z0Px, y, zyx
z
v=a, b, c
Ax0, y0, z0
Px, y, z
y
x
z
v=a, b, c
Ax0, y0, z0
Px, y, z
y
x

Gambar 16 Sebuah garis pada ruang XYZ
AP=t v, apabila dijabarkan akan berbentuk:
x-x0, y-y0, z-z0=ta, tb, tc
Persamaan garis yang melalui titik Ax0, y0, z0 dan sejajar dengan vektor v=a, b, cakan berbentuk:
x=x0+ta
y=y0+tb
z=z0+tc
Dengan - Persamaan di atas tersebut persamaan parametrikuntuk garis.
Selain itu, persamaan garis yang melalui titik Ax0, y0, z0 dan sejajar dengan vektor v=a, b, cakan berbentuk:
x-x0a=y-y0b=z-z0c
Persamaan ini disebut persamaan simetrik untuk garis.
Teorema 6:
Jika A dan B adalah dua titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis yang memuat A dan B dan garis tersebut mempunyai persamaan:
AP=t AB atau
P=1-tA+tB atau
P=A+t ABdengan t adalah sembarang skalar.
Teorema 7 (Rasio Joachimsthal):
Jika t adalah parameter pada Teorema 6 di atas, maka:
t=APAB
t1-t=APPB jika P tidak sama dengan B
P terletak antara A dan B jika 0 B terletak antara A dan P jika 1<1
A terletak antara P dan B jika t<0
Teorema 8 (Jarak 1 titik ke garis):
Jika C adalah sebuah titik L adalah garis yang melalui A dan B, maka ada tepat satu titik P pada L sehingga CP tegak lurus AB, yaitu:
P=A+tABdengan t=AC . ABAB2
dan jarak CP=AC2AB2-AC . AB2AB
BPCABPCA
B
P
C
A
B
P
C
A

gambar 17 Jarak titik C terhadap garis AB
teorema 9 (Proyeksi Segmen Garis pada Garis):
apabila dua titik C1 dan C2 memiliki proyeksi berupa 2 titik pada garis AB, yaitu P1 dan P2 sehingga C1P1 dan C2P2 tegak lurus garis AB, maka:
P1P2=C1C2 . ndengan n=1ABAB

AP1P2BC2C1AP1P2BC2C1
A
P1
P2
B
C2
C1
A
P1
P2
B
C2
C1

Gambar 18 Proyeksi C1C2 pada garis AB
Contoh 11:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A1, 2, 1 dan sejajar vektor -1, 1, 1.
Jawab:
Dalam hal ini x0=1, y0=2, dan z0=1 dengan bentuk persamaan parametrik adalah:
x=1-t
y=2+t
z=1+tdengan- Dalam bentuk persamaan simetrik, persamaannya adalah:
x-1-1 =y-21=z-11atau 1-x=y-2=z-1
Contoh 12:
Jika A5, 0, 7dan B2, -3, 6, tentukan titik P pada garis Ab yang memenuhi APPB=3.
Jawab:
APPB=t1-t=3 bila dan hanya bilat1-t=3 atau-3.
Sehingga t = ¾ atau t = 3/2. Oleh karena itu, titik P yang dimaksud adalah
P114, 94, 254atauP12, 92, 112.
Contoh 13:
L adalah garis yang melalui A-4, 3, 1 dan B1, 1, 0, sedangkan N adalah garis yang melalui E1, 4, 7dan F(-4, -3, -13). Buktikan bahwa sepasang garis tersebut berpotongan dan tentukan titik potongnya.
Jawab:
Garis L mempunyai persamaan P=A+tAB atau
x, y, z=-4, 3, 1+t5, -2, -1.
Sementara itu, garis N mempunyai persamaan Q=E+sEF atau
x, y, z=1, 4, 7+s-5, -7, -20.
Samakan persamaan kedua garis tersebut dan setelah disederhanakan maka diperoleh SPL:
5t+5s=5
-2t+7s=1
-t+20s=6
Didapat t = 2/3 dan s = 1/3. Jadi, titik potong garis L dan garis N di titik K(-2/3, 5/3, 1/3).
Contoh 14:
Tunjukkan bahwa bidang x+y-2z=1 dan bidang x+3y-z=4 berpotongan membentuk garis dan tentukan persamaan garis tersebut !
Jawab:
Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Yordan, SPL:
x+y-2z=1
x+3y-z=4
Diselesaikan dan menghasilkan penyelesaian:
x=-12+52z, y=32-12z dan z bernilai sembarang.
Dapat pula ditulis sebagai berikut:
x=-12+52t
y=32-12t
z=t
Persamaan garis tersebut melalui titik A(-1/2, 3/2, 0) dan mempunyai vektor arah AB=52, -12, 1.

Ulangan Bab 4
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar.
Tentukan vektor AB dan gambarkan dalam sumbu koordinat XOY jika A(1, -1) dan B(4, 2).
Gambarkan dalam sumbu koordinat XOY, vektor w=2u+3v bila u=1, -1 dan v=1, 1.
Untuk menghitung luas segitiga dalam R2 dapat digunakan dua rumus, yaitu:
Luas segitiga =12u . v-projuv
vuv-projuvvuv-projuv
v
u
v-projuv
v
u
v-projuv

Luas segitiga =12u . vsinθ dengan sinθ=1-cos2θ
uvθuvθ
u
v
θ
u
v
θ

Dengan menggunakan kedua cara di atas, hitunglah luas segitiga yang mempunyai titik sudut A1, -1, B2, 2, dan C4, 0.

Tentukan titik di mana garis yang melalui A(3, -2, 7) dan B13, 3, -8 memotong bidang xz.
Misalkan A, B, dan C adalah tiga buah titik yang non-collinear (tidak segaris). E adalah titik tengah BC dan F adalah titik pada segmen EA yang memenuhi AFEF=2. Buktikan bahwa F=13A+B+C.
Titik F sering disebut sebagai titik pusat (centroid) segitiga ABC.
Buktikan bahwa titik A2, 1, 4, B1, -1, 2, dan C3, 3, 6 adalah collinear (terletak dalam satu garis).
Jika A(2, 3, -1) dan B(3, 7, 4), tentukan titik P pada garis AB yang memenuhi PAPB=25.
M adalah garis yang melalui A(1, 2, 3) yang sejajar dengan garis yang menghubungkan B(-2, 2, 0) dan C(4, -1, 7). Sementara itu, N adalah garis yang menghubungkan E(1, -1, 8) dan F(10, -1, 11). Buktikan bahwa M dan N berpotongan dan tentukan titik potongnya.
Buktikan bahwa sudut-sudut yang dibentuk titik A(-3, 5, 6), B(-2, 7, 9), dan C(2, 1, 7) adalah 300, 600, dan 900.
Tentukan titik pada garis AB yang terdekat dengan titik pusat (0, 0, 0) di mana A-2, 1, 3 dan B1, 2, 4.
Garis N ditentukan oleh dua bidang:
x+y-2z=1dan
x+3y-z=4.
Tentukan titik P dan N yang terdekat dengan titik C(1, 0, 1) dan tentukan jarak PC.
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (6, 0, 2) dan tegak lurus dengan garis yang merupakan perpotongan dua bidang:
3x-2y+z=1danx+y-2z=4
Tentukan panjang proyeksi segmen garis AB pada garis L, di mana A(1, 2, 3) dan B(5, -2, 6) serta garis L adalah garis yang melalui titik C dan D di mana C(7, 1, 9) dan D(-1, 5, 8).
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(3, -1, 2) dan yang tegak lurus pada garis L yang menghubungkan B(2, 1, 4) dan C(-3, -1, 7). Tentukan pula titik potong garis L dan bidang tersebut serta tentukan jarak dari A ke L.
B adalah titik yang terletak pada bidang 3x+4y+5z=10. Sementara itu, titik A(6, -1, 11) dan BA membentuk garis yang tegak lurus pada bidang tersebut. Tentukan B dan panjang jarak AB.
Tunjukkan bahwa segitiga dengan titik sudut A(-3, 0, 2), B(6, 1, 4), dan C(-5, 1, 0) mempunyai luas sebesar 12333.
Tentukan persamaan bidang melalui titik A(2, 1, 4), B(1, -1, 2), dan C(4, -1, 1).

Pertemuan 13
Aplikasi Vektor pada Bidang dan Garis
Pada bagian ini terutama akan dibahas tentang persamaan garis dan persamaan bidang pada ruang R3.
Definisi 13 (Persamaan Bidang Bentuk Vektor):
Sebuah bidang adalah himpunan titik-titik P yang memenuhi persamaan:
P=Po+sX+tYdengans dan t adalah suatu skalar serta X dan Y adalah dua buah vektor yang tidak paralel.
Teorema 1:
Tiga buah titik yang tidak segaris Ax1, y1, z1, Bx2, y2, z2, dan Cx3, y3, z3 dapat memiliki satu bidang yang melalui ketiga titik tersebut apabila mempunyai persamaan:
P=A+sAB+tACatau
AP=sAB+tAC
Persamaan bidang dalam Teorema 1 dapat pula dituliskan dalam bentuk parametric, yaitu:
x=x1+sx2-x1+tx3-x1
y=y1+sy2-y1+ty3-y1
x=z1+sz2-z1+tz3-z1 atau
x=x1+su1+tv1
y=y1+su2+tv2
z=z1+su3+tv3
Teorema 2:
Jika Ax1, y1, z1, Bx2, y2, z2, dan Cx3, y3, z3 adalah tiga buah titik yang tidak segaris, maka bidang yang melalui titik tersebut diberikan sebagai:
AP. ABxAC=O atau dapat ditulis dalam bentuk
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0di mana Px, y, z adalah sembarang titik.
Teorema 3 (Persamaan Bidang Bentuk Umum):
Persamaan bidang yang melalui tiga titik A, B, C seperti di atas dapat pula dituliskan dalam bentuk: ax+by+cz=d dengan
a=y2-y1z2-z1y3-y1z3-z1, b=x2-x1z2-z1x3-x1z3-z1, dan c=-x2-x1y2-y1x3-x1y3-y1.
Teorema 4:
Andaikan bidang a1x+b1y+c1z=d1 dan a2x+b2y+c2z=d2 memiliki normal yang tidak paralel, maka perpotongan kedua bidang tersebut membentuk garis L. selain itu, persamaan λa1x+b1y+c1z-d1+μa2x+b2y+c2z-d2=0 dengan λ dan μ yang keduanya tak sama dengan nol akan memberikan bentuk persamaan semua bidang yang melalui garis L.
Dengan kata lain, apabila ada sebuah titik PX0, Y0, Z0 dan sebuah vektor n=a, b, c yang tidak sama dengan nol, maka persamaan bidang yang ortogonal (tegak lurus) dengan vektor n akan berbentuk:
n . P0P=0
Zna, b, cXYPP0OZna, b, cXYPP0ODalam hal ini P adalah sembarang titik x, y, z yang terletak pada bidang tersebut.
Z
na, b, c
X
Y
P
P0
O
Z
na, b, c
X
Y
P
P0
O

Gambar 15 Sebuah bidang pada ruang XYZ dengan normal n=a, b, c
Bentuk persamaan bidang yang mempunyai normal n=a, b, c dan melalui titik P0X0, Y0, Z0 adalah:
aX-X0+bY-Y0+cZ-Z0=0
Dengan kata lain:
ax+by+cz+d=0
Merupakan sebuah persamaan garis yang mempunyai n=a, b, c sebagai vektor normalnya.
Teorema 5 (Jarak dari 1 titik ke bidang):
Jika P0X0, Y0, Z0 dan bidang S dengan persamaan
ax+by+cz=d, maka ada titik tunggal P pada bidang tersebut sehingga P0P adalah arah normal bidang S dan
P0P=ax0+by0+cz0-da2+b2+c2
Contoh 9:
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik 1, 2, 1 dan tegak lurus pada vektor n=1, 2, 3.
Jawab:
Persamaan bidang tersebut adalah:
1x-1+2y-2+3z-1 =0
x-1+2y-4+3z-3 =0
x+2y+3z-8 =0
Contoh 10:
Carilah persamaan bidang yang melalui titik A1, 1, 1, B2, 2, 1, dan C1, 1, -1.
Jawab:
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, persamaan bidang itu dimisalkan mempunyai persamaan:
ax+by+cz+d=0.
Titik A1, 1, 1 ada pada bidang tersebut, sehingga :a+b+c+d=0.
Titik B2, 2, 1ada pada bidang tersebut, sehingga: 2a+2b+c+d=0.
Titik C1, 1, -1 terletak pada bidang tersebut, sehingga: a+b-c+d=0.
Selesaikan ketiga persamaan di atas, maka kita akan mendapatkan persamaan bidang tersebut.
Definisi 14:
Persamaan garis L pada ruang R3 yang melalui titikAx0, y0, z0dan sejajar dengan vektor v=a, b, c yang tidak sama dengan nol akan mempunyai bentuk:
AP=t v
Dengan Px, y, z adalah titik sembarang yang terletak pada garis tersebut.

zv=a, b, cAx0, y0, z0Px, y, zyxzv=a, b, cAx0, y0, z0Px, y, zyx
z
v=a, b, c
Ax0, y0, z0
Px, y, z
y
x
z
v=a, b, c
Ax0, y0, z0
Px, y, z
y
x

Gambar 16 Sebuah garis pada ruang XYZ
AP=t v, apabila dijabarkan akan berbentuk:
x-x0, y-y0, z-z0=ta, tb, tc
Persamaan garis yang melalui titik Ax0, y0, z0 dan sejajar dengan vektor v=a, b, cakan berbentuk:
x=x0+ta
y=y0+tb
z=z0+tc
Dengan - Persamaan di atas tersebut persamaan parametrikuntuk garis.
Selain itu, persamaan garis yang melalui titik Ax0, y0, z0 dan sejajar dengan vektor v=a, b, cakan berbentuk:
x-x0a=y-y0b=z-z0c
Persamaan ini disebut persamaan simetrik untuk garis.
Teorema 6:
Jika A dan B adalah dua titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis yang memuat A dan B dan garis tersebut mempunyai persamaan:
AP=t AB atau
P=1-tA+tB atau
P=A+t ABdengan t adalah sembarang skalar.
Teorema 7 (Rasio Joachimsthal):
Jika t adalah parameter pada Teorema 6 di atas, maka:
t=APAB
t1-t=APPB jika P tidak sama dengan B
P terletak antara A dan B jika 0 B terletak antara A dan P jika 1<1
A terletak antara P dan B jika t<0
Teorema 8 (Jarak 1 titik ke garis):
Jika C adalah sebuah titik L adalah garis yang melalui A dan B, maka ada tepat satu titik P pada L sehingga CP tegak lurus AB, yaitu:
P=A+tABdengan t=AC . ABAB2
dan jarak CP=AC2AB2-AC . AB2AB
BPCABPCA
B
P
C
A
B
P
C
A

gambar 17 Jarak titik C terhadap garis AB
teorema 9 (Proyeksi Segmen Garis pada Garis):
apabila dua titik C1 dan C2 memiliki proyeksi berupa 2 titik pada garis AB, yaitu P1 dan P2 sehingga C1P1 dan C2P2 tegak lurus garis AB, maka:
P1P2=C1C2 . ndengan n=1ABAB

AP1P2BC2C1AP1P2BC2C1
A
P1
P2
B
C2
C1
A
P1
P2
B
C2
C1

Gambar 18 Proyeksi C1C2 pada garis AB
Contoh 11:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A1, 2, 1 dan sejajar vektor -1, 1, 1.
Jawab:
Dalam hal ini x0=1, y0=2, dan z0=1 dengan bentuk persamaan parametrik adalah:
x=1-t
y=2+t
z=1+tdengan- Dalam bentuk persamaan simetrik, persamaannya adalah:
x-1-1 =y-21=z-11atau 1-x=y-2=z-1
Contoh 12:
Jika A5, 0, 7dan B2, -3, 6, tentukan titik P pada garis Ab yang memenuhi APPB=3.
Jawab:
APPB=t1-t=3 bila dan hanya bilat1-t=3 atau-3.
Sehingga t = ¾ atau t = 3/2. Oleh karena itu, titik P yang dimaksud adalah
P114, 94, 254atauP12, 92, 112.
Contoh 13:
L adalah garis yang melalui A-4, 3, 1 dan B1, 1, 0, sedangkan N adalah garis yang melalui E1, 4, 7dan F(-4, -3, -13). Buktikan bahwa sepasang garis tersebut berpotongan dan tentukan titik potongnya.
Jawab:
Garis L mempunyai persamaan P=A+tAB atau
x, y, z=-4, 3, 1+t5, -2, -1.
Sementara itu, garis N mempunyai persamaan Q=E+sEF atau
x, y, z=1, 4, 7+s-5, -7, -20.
Samakan persamaan kedua garis tersebut dan setelah disederhanakan maka diperoleh SPL:
5t+5s=5
-2t+7s=1
-t+20s=6
Didapat t = 2/3 dan s = 1/3. Jadi, titik potong garis L dan garis N di titik K(-2/3, 5/3, 1/3).
Contoh 14:
Tunjukkan bahwa bidang x+y-2z=1 dan bidang x+3y-z=4 berpotongan membentuk garis dan tentukan persamaan garis tersebut !
Jawab:
Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Yordan, SPL:
x+y-2z=1
x+3y-z=4
Diselesaikan dan menghasilkan penyelesaian:
x=-12+52z, y=32-12z dan z bernilai sembarang.
Dapat pula ditulis sebagai berikut:
x=-12+52t
y=32-12t
z=t
Persamaan garis tersebut melalui titik A(-1/2, 3/2, 0) dan mempunyai vektor arah AB=52, -12, 1.
Soal-Soal Latihan
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar.
Tentukan vektor AB dan gambarkan dalam sumbu koordinat XOY jika A(1, -1) dan B(4, 2).
Gambarkan dalam sumbu koordinat XOY, vektor w=2u+3v bila u=1, -1 dan v=1, 1.
Untuk menghitung luas segitiga dalam R2 dapat digunakan dua rumus, yaitu:
Luas segitiga =12u . v-projuv
vuv-projuvvuv-projuv
v
u
v-projuv
v
u
v-projuv

Luas segitiga =12u . vsinθ dengan sinθ=1-cos2θ
uvθuvθ
u
v
θ
u
v
θ

Dengan menggunakan kedua cara di atas, hitunglah luas segitiga yang mempunyai titik sudut A1, -1, B2, 2, dan C4, 0.

Tentukan titik di mana garis yang melalui A(3, -2, 7) dan B13, 3, -8 memotong bidang xz.
Misalkan A, B, dan C adalah tiga buah titik yang non-collinear (tidak segaris). E adalah titik tengah BC dan F adalah titik pada segmen EA yang memenuhi AFEF=2. Buktikan bahwa F=13A+B+C.
Titik F sering disebut sebagai titik pusat (centroid) segitiga ABC.
Buktikan bahwa titik A2, 1, 4, B1, -1, 2, dan C3, 3, 6 adalah collinear (terletak dalam satu garis).
Jika A(2, 3, -1) dan B(3, 7, 4), tentukan titik P pada garis AB yang memenuhi PAPB=25.
M adalah garis yang melalui A(1, 2, 3) yang sejajar dengan garis yang menghubungkan B(-2, 2, 0) dan C(4, -1, 7). Sementara itu, N adalah garis yang menghubungkan E(1, -1, 8) dan F(10, -1, 11). Buktikan bahwa M dan N berpotongan dan tentukan titik potongnya.
Buktikan bahwa sudut-sudut yang dibentuk titik A(-3, 5, 6), B(-2, 7, 9), dan C(2, 1, 7) adalah 300, 600, dan 900.
Tentukan titik pada garis AB yang terdekat dengan titik pusat (0, 0, 0) di mana A-2, 1, 3 dan B1, 2, 4.
Garis N ditentukan oleh dua bidang:
x+y-2z=1dan
x+3y-z=4.
Tentukan titik P dan N yang terdekat dengan titik C(1, 0, 1) dan tentukan jarak PC.
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (6, 0, 2) dan tegak lurus dengan garis yang merupakan perpotongan dua bidang:
3x-2y+z=1danx+y-2z=4
Tentukan panjang proyeksi segmen garis AB pada garis L, di mana A(1, 2, 3) dan B(5, -2, 6) serta garis L adalah garis yang melalui titik C dan D di mana C(7, 1, 9) dan D(-1, 5, 8).
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(3, -1, 2) dan yang tegak lurus pada garis L yang menghubungkan B(2, 1, 4) dan C(-3, -1, 7). Tentukan pula titik potong garis L dan bidang tersebut serta tentukan jarak dari A ke L.
B adalah titik yang terletak pada bidang 3x+4y+5z=10. Sementara itu, titik A(6, -1, 11) dan BA membentuk garis yang tegak lurus pada bidang tersebut. Tentukan B dan panjang jarak AB.
Tunjukkan bahwa segitiga dengan titik sudut A(-3, 0, 2), B(6, 1, 4), dan C(-5, 1, 0) mempunyai luas sebesar 12333.
Tentukan persamaan bidang melalui titik A(2, 1, 4), B(1, -1, 2), dan C(4, -1, 1).

Pertemuan 14
RUANG VEKTOR

RUANG-NEUCLIDES
Konsep generalisasi dari vektor R2 atau R3 dikembangkan pada subbab ini. Seperti yang telah diketahui, sebuah vektor di R2 dinyatakan oleh sepasang bilangan terurutu=u1, u2, begitu juga vektor di R3 dinyatakan tiga bilangan terurut u=u1, u2, u3. Permasalahan mulai timbul setelah R3 yaitu apakah perlu konsep vektor dikembangkan R4, dan bagaimana visualisasinya. Jawabnya tentu perlu dikembangkan ke R4, R5, bahkan sampai Rn. Hal ini dapat dilihat pada sistem persamaan linear yang telah dibicarakan pada subbab sebelumnya yang ternyata permasalahan vektor bukan hanya sampai R3 melainkan sampai Rn. Masalah visualisasi tidak dapat dilaksanakan karena dunia ini hanya disusun oleh konsep tiga dimensi.
Definisi 1:
Sebuah vektor di Rn dinyatakan oleh n bilangan terurut yaitu u=u1, u2, …, un.

Pada R2 atau R3 sebuah urutan bilangan di atas ada maknanya yaitu sebagai titik atau sebagai vektor. Dalam Rn keduanya dianggap sama sehingga Rn merupakan generalisasi titik sekaligus generalisasi vektor.
Definisi 2:
Vektor nol ialah vektor yang semua entrinya nol, misalkan o=0, 0, …, 0.

Misalkan u, v Rn, dua vektor disebut sama, atau u = v, jika dan hanya jika u1=v1, u2=v2, …, un=vnsemua entri yang seletak sama.
Operasi-operasi pada Vektor di Rn
Penjumlahan
Misalkan u, v Rn, didefinisikan
u+v=u1+v1, u2+v2, …, un+vnentri yang seletak dijumlahkan.
Contoh 1
Diketahui u=2, -1, 9, 3, 4, v=1, -2, 3, -2, 1, 0, w=5, -8, 2, 3, 4, 5.
Hitunglah au+v, bu+w.
Penyelesaian
u+v=tidak terdefinisi karena u R5 sedangkan v R6.
u+w=1+5, -2+-8, 3+2, -2+3, 1+4, 0+5=6, -10, 5, 1, 5, 5.

Perkalian dengan Skalar
Misalkan u Rn, k skalar, didefinisikan
ku=ku1, ku2, …, kunsetiap entri dikalikan dengan skalar.
Contoh 2
Jika diketahui u=2, -1, 9, 3, 4, hitunglah -3u.
Penyelesaian
-3u=-6, 3, -27, -9, -12.
Dari didefinisikannya perkalian dengan skalar, kita memperoleh operasi pengurangan yaitu
u-v=u+-v=u+-1v
Sifat-sifat Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar.
Misalkan u, v, w Rn, k, l skalar, dalam hal ini berlaku
u+v=v+u komutatif
u+v+w=u+v+w asosiatif
u+o=o+u=u anggota identitas
u+-u=-u+u=o invers anggota
ku+v=ku+kv distributif terhadap skalar
k+lu=ku+lu distributif terhadap skalar
klu=klu asosiatif perkalian dengan skalar
1 . u=u perkalian dengan skalar 1
Kedelapan sifat di atas nantinya akan diambil sebagai sebuah kebenaran (aksioma) dan ditambah dengan dua aksioma ketertutupan yang dipakai untuk mendefinisikan ruang vektor.

Hasil-kali Titik (Hasil-kali dalam Euclides)
Misalkan u, v Rn, didefinisikan
u . v=u1v1+u2v2+…+unvn. jumlah dari semua hasil-kali entri yang seletak

Contoh 3
Jika diketahui u=2, -1, 9, 3, 4, v=1, -2, 3, -2, 1, 0, w=5, -8, 2, 3, 4, 5, hitunglah au . v, bv . w.
Penyelesaian
u . v= tidak terdefinisi, karena u R5, sedangkan v R6.
v . w=1.5+-2.-8+3.2+-2.3+1.4+0.5=5+16+6-6+4+0=25.
Sifat Hasil-kali Titik. Misalkan u, v, w Rn, k adalah skalar, dalam hal ini berlaku
u . v=v . u komutatif
u . v+w=u . v+u . w distributif
ku . v=ku. v=u . kv kehomogenan
u . u>0, jika u o, dan u . u=0, jika u=o kepositifan
Keempat sifat di atas nantinya akan diambil sebagai kebenaran (aksioma) untuk membentuk definisi hasil-kali dalam.

Norma/ Besar/ Panjang Vektor
Dari sifat hasil-kali titik bagian d di atas, dijamin bahwa hasil-kali titik antara vektor dengan vektor itu sendiri tak-negatif yang oleh karena itu dapat digunakan untuk mendefinisikan norma atau panjang vektor. Misalkan u Rn didefinisikan
u=u . u12akar dari hasil-kali titik dengan dirinya sendiri.
Contoh 4
Jika diketahui u=2, -4, 9, -2, 4, hitunglah norm atau panjang vektor ini.
Penyelesaian
Panjang vektor ini dapat diperoleh dari
u=2 . 2+-4. -4+9 . 9+-2 . -2+4 . 412
=4+16+81+4+1612
=11

Sudut antara Dua Vektor
Secara geometri kita tak mampu menggambarkan (memvisualisasikan) vektor Rn oleh karena itu sudut di antara dua vektor pun bukanlah sudut dalam makna yang dapat digambarkan seperti itu, melainkan sudut dalam makna gagasan saja. Misalkan u, v Rn, didefinisikan sudut di antara vektor udan v,dinyatakan sebagai kosinusnya:
cosθ=u . vuv, jika u o dan v o
Contoh 5
Jika diketahui u=2, -1, 9, 3, 4 dan v=1, -2, 3, -2, 1, hitunglah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor ini.
cosθ=u . vuv=2+2+27-6+14+1+81+9+161+4+9+1=2611119=262109

Jarak antara Dua Vektor
Hasil lain dari sifat hasil-kali titik pada bagian d sebelum ini dapat digunakan mendefinisikan jarak antara dua vektor. Misalkan u, v Rn, didefinisikan
du, v=u-v=u-v . u-v12norm dari u dikurang v.

Contoh 6
Jika diketahui u=2, -4, 9, -2, 4 dan v=1, -2, -0, 2, 3, hitunglah jarak kedua vektor ini.
Penyelesaian
du, v=u-v=1, -2, 9, -4, 1
=1 . 1+-2 . -2+9 . 9+-4 . -4+1 . 112=10312.
Himpunan semua vektor di Rn yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan, perkalian dengan skalar, dan hasil-kali titik yang telah didefinisikan di atas disebut ruang n Euclides.
Proyeksi Ortogonal
Misalkan u, v Rn, proyeksi ortogonal upada v adalah
proyvu=u . vv . vv
Yakni komponen uyang ortogonal pada v=u-proyvu.
SOAL-SOAL
Misalkanu=0, -1, 2, 3, 4, v=1, 2, -3, 2, 1, w=4, 2, 1, -3, 2, hitunglah:
u+v+w
2u+3v
u+2v-w
3v+2u-6w
Kerjakan kembali Soal 1 untuk
u+v e. dv,w
-2u+3v f. du+v, w
u+2v+-4w g. kosinus sudut antara u dan w
u+2v-w h. kosinus sudut antara u+v dan wz
Kerjakan kembali Soal 1 untuk
proyuv
proywu
Komponen wyang ortogonal terhadap u.
Komponen uyang ortogonal terhadap v.
Tentukan a, b, dan c sehingga u=a, -1, 0, 1 ortogonal terhadap
v=3, b, 1, -1, dan w=1, 1, -1, c, begitu juga jika vortogonal pada w.
Tentukan k sehingga sudut antara u=1, 1, -1, 1 dan v=k, 1, 2k, 0 sebesar π/3.

RUANG VEKTOR
Seperti yang telah dinyatakan sebelumnya dengan memperhatikan vektor Rn dan matriks Mn×m yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang mempunyai sifat yang sama mendorong didefinisikannya ruang vektor berikut.
Definisi 3:
Misalkan V adalah himpunan yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar (dalam hal ini skalar adalah bilangan real). V disebut ruang vektor jika memenuhi sepuluh aksioma berikut.
Untuk setiap u, v V, berlaku u+v Vtertutup penjumlahan
Untuk setiap u, v V, berlaku u+v=v+ukomutatif
Untuk setiap u, v, w V, berlaku u+v+w=u+v+wasosiatif
Ada o V, dan berlaku u+o=o+u=u, untuk setiap u Vanggota identitas
Untuk setiap u V, ada -u V, dan berlaku
u+(-u)=(-u)+u=o,anggota invers
Untuk setiap u V dan setiap k R, berlaku ku Vtertutup perkalian skalar
Untuk setiap u, v V dan setiap k R, berlaku
ku+v=ku+kvdistributif skalar
Untuk setiap u V dan setiap k, I R, berlaku
k+Iu=ku+Iudistributif skalar
Untuk setiap u V dan setiap k, I R, berlaku kIu=k(Iu)asosiatif skalar
Untuk setiap u V, berlaku 1.u=uperkalian dengan skalar 1
Anggota ruang vektor disebut vektor.
Dengan definisi ruang vektor yang demikian ini maka istilah "vektor" menjadi sangat luas; sebuah matriks ataupun fungsi disebut vektor juga panjang himpunan matriks atau fungsi itu yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar tersebut memenuhi kesepuluh aksioma di atas.
Sebagai contoh, oleh karena kesepuluh aksioma tersebut diambil dari vektorRn dan matriks Mn×m yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang biasa (standar), maka Rn dan matriks Mn×m adalah ruang vektor.
Contoh yang lain ialah himpunan semua polinom berderajat maksimal n yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang biasa yang dilambangkan dengan Pn.
Bentuk umum polinom ini adalah a0+a1x+a2x2+…+anxn, di mana
a0, a1, a2, …, an konstanta real,
Dan an 0, dan polinom ini disebut polinom berderajat n.
Operasi yang biasa pada polinom.
Misalkan p =a0+a1x+a2x2+…+anxn,
q =b0+b1x+b2x2+…+bnxn,
maka
p+q=a0+b0+a1+b1x+a2+b2x2+…+an+bnxn
koefisien yang seletak dijumlahkan
kp=ka0+ka1x+ka2x2+…+kanxnsetiap koefisien dikalikan k
Bukti. (Bahwa Pn Ruang Vektor)
Ambil p, q Pn, berarti kedua vektor ini dapat diuraikan sebagai
p =a0+a1x+a2x2+…+anxn
q =b0+b1x+b2x2+…+bnxn
Maka
p+q=a0+a1x+a2x2+…+anxn+b0+b1x+b2x2+…+bnxn
sifat asosiatif bilangan real
a0+b0, a1+b1, a2+b2, …, an+bnadalah konstanta real
p+q Pn

Ambil p, q Pn, berarti kedua vektor ini dapat diuraikan sebagai
q+p=b0+a0+b1+a1x+b2+a2x2+…+bn+anxn
sifat distributif bilangan real
p+q=b0+a0+b1x+a1x+b2x2+a2x2+…+bnxn+anxn
q+p=b0+b1x+b2x2+…+bnxn+a0+a1x+a2x2+…+anxn
p+q=q+p

Ambil p, q, r Pn, berarti ketiga vektor ini dapat diuraikan sebagai
r =c0+c1x+c2x2+…+cnxn
Maka
p+q+r=a0+b0+a1+b1x+a2+b2x2+…+an+bnxn+
c0+c1x+c2x2+…+cnxndistribusi bilangan real
p+q+r=a0+a1x+a2x2+…+anxn+b0+b1x+b2x2+…+bnxn+c0+c1x
+c2x2+…+cnxnasosiatif bilangan real
p+q+r=a0+a1x+a2x2+…+anxn+(b0+b1x+b2x2+…+bnxn+c0+c1x
+c2x2+…+cnxn) distributif bilangan real
p+q+r=a0+a1x+a2x2+…+anxn+(b0+c0+b1+c1x+b2+c2x2+
…+bn+cnxn)
p+q+r=p+q+r

Ada o Pn, yaitu o=0 {bilangan real nol}, dan ambil q Pn, yang berarti vektor ini dapat diuraikan sebagai
q=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
Maka
o+q=0+a0+a1x+a2x2+…+anxn=a0+a1x+a2x2+…+anxn=q
q+o=a0+a1x+a2x2+…+anxn+0=a0+a1x+a2x2+…+anxn=q
q+o=o+q=q

Ambil p Pn, yang berarti vektor ini dapat diuraikan sebagai
p=a0+a1x+a2x2+…+anxn,dan ada –p Pn,
Sehingga
-p=-1a0+a1x+a2x2+…+anxn=a0-a1x-a2x2-…-anxn
p+-p=a0+a1x+a2x2+…+anxn+a0-a1x-a2x2-…-anxn
asosiatif dan distributif bilangan real
p+-p=a0-a0+a1-a1x+a2-a2x2+…+an-anxn=0=o
-p+p=a0-a1x-a2x2-…-anxn+a0+a1x+a2x2+…+anxn
asosiatif dan distributif bilangan real
-p+p=-a0+a0+-a1+a1x+-a2+a2x2+…+-an+anxn=0=o
p+-p=-p+p=o

Ambilp Pn, yang berarti vektor ini dapat diuraikan sebagai
p=a0+a1x+a2x2+…+anxn ambil k R, sehingga
kp=ka0+a1x+a2x2+…+anxn=ka0+ka1x+ka2x2+…+kanxn.
Karena ka0, ka1, …, kan R, maka
kp Pn

Ambil p, q Pn, yang berarti kedua vektor ini dapat diuraikan sebagai
p=a0+a1x+a2x2+…+anxn, dan p=b0+b1x+b2x2+…+bnxn, sehingga ambil k R, maka
kp+q=ka0+b0+a1+b1x+a2+b2x2+…+an+bnxn
distributif bilangan real
kp+q=ka0+b0+ka1+b11+ka2+b2x2+…+kan+bnxn
kp+q=ka0+kb0+ka1+kb1x+ka2+kb2x2+…+kan+kbnxn
kp+q=ka0+kb0+ka1x+kb1x+ka2x2+kb2x2+…+kanxn+kbnxn
asosiatif bilangan real
kp+q=ka0+ka1x+ka2x2+…+kanxn+kb0+kb1x+kb2x2+…+kbnxn
kp+q=ka0+a1x+a2x2+…+anxn+kb0+b1x+b2x2+…+bnxn
kp+q=kp+kq

p=a0+a1x+a2x2+…+anxn, k, l R, kemudian
k+lp=k+la0+a1x+a2x2+…+anxn
k+lp=k+la0+k+la1x+k+la2x2+…+k+lanxn
k+lp=ka0+la0+ka1x+la1x+ka2x2+la2x2+…+kanxn+lanxn
k+lp=ka0+ka1x+ka2x2+…+kanxn+la0+la1x+la2x2+…+lanxn
k+lp=ka0+a1x+a2x2+…+anxn+la0+a1x+a2x2+…+anxn
k+lp=kp+lp

p=a0+a1x+a2x2+…+anxn, k, l R,
Kemudian
klp=kla0+a1x+a2x2+…+anxndistributif bilangan real
klp=kla0+kla1x+kla2x2+…+klanxnasosiatif bilangan real
klp=kla0+kla1x+kla212+…+klanxndistributif bilangan real
klp=kla0+la1x+la2x2+…+lanxn
klp=klp

p=a0+a1x+a2x2+…+anxn, kemudian
1. p=1a0+a1x+a2x2+…+anxnsifat bilangan real dikali satu
1. p=a0+a1x+a2x2+…+anxn
1. p=p
Dengan kesepuluh pembuktian ini dapat diambil kesimpulan bahwa Pn merupakan ruang vektor.
Contoh 7
Jika diketahui vektor p=1+2x-3x2-x3+2x4 dan q=5+4x2+2x3-2x4, hitunglah:
p+q.
-3p.
Penyelesaian
p+q=6+2x+x2+x3
-3p=-3-6x+9x2+3x3-6x4.
Contoh 8 (Himpunan Vektor Nol)
Buktikanlah bahwa O=o yang dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian skalar biasa termasuk ruang vektor.
Penyelesaian
O=o termasuk ruang vektor karena memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor berikut.
o+o=o O. tertutup terhadap penjumlahan
o+o=o+o=o komutatif
o+o+o=o+o+o=o asosiatif
Ada o O yang bersifat o+o=o+o=o elemen nol
Jika o O, maka selalu ada –o=o O, sehingga o+-o=-o+o=oinvers
ko=o O tertutup perkalian skalar
ko+o=ko+ko=o+o=o distributif
k+lo=ko+lo=o distributif
klo=klo=o asosiatif
1.o=o perkalian dengan satu

Contoh 9 (Vektor pada Bidang yang Melalui Titik Asal)
Persamaan bidang yang melalui titik asal adalah ax+by+cz=0. Buktikanlah bahwa himpunan semua vektor R3 pada bidang yang melalui titik asal dinyatakan oleh P=x, y, z R3 ax+by+cz=0 yang dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian skalar biasa dalam R3 merupakan ruang vektor.
Penyelesaian
Ambil u=u1, u2, u3, v=v1, v2, v3 P yang berarti kedua vektor ini memenuhi au1+bu2+cu3=0 dan av1+bv2+cv3=0 dan jumlah dari kedua persamaan ini au1+bu2+cu3+av1+bv2+cv3=0 atau au1+v1+bu2+v2+cu3+v3=0, yang berartiu+v P.
Ambil u=u1, u2, u3, v=v1, v2, v3 P, dan kerana u, v juga anggota R3 maka terpenuhilah aksioma ke-2.
Ambil u=u1, u2, u3, v=v1, v2, v3, w=w1, w2, w3 P, begitu pula u, v, dan w juga anggota R3 sehingga dipenuhi aksioma yang ke-3.
Ada o=0, 0, 0 P; karena a.0+b.0+c.0=0 dan karena ojuga anggota R3 maka dipenuhi aksioma ke-4.
Ambil u=u1, u2, u3 P, ada -u=-u1, -u2, -u3 P, karena a-u1+b-u2+c-u3=-au1+bu2+cu3=-0=0. Dan oleh karena u dan -u ini juga anggota R3 maka dipenuhi aksioma yang ke-5.
Ambil u=u1, u2, u3 P; akan ditunjukkan bahwa ku P yang berarti akan diperlihatkan ku1, ku2, ku3 memenuhi persamaan aku1+bku2+cku3=kau1+bu2+cu3=k.0=0.
Ambil u=u1, u2, u3, v=v1, v2, v3 P, kemudian ambil k skalar dank arena u, v juga anggota R3 dan k skalar real maka dipenuhi aksioma ke-7.
Ambil u=u1, u2, u3 P, kemudian ambil k, l skalar, dank arena u juga anggota R3 dan k, l skalar real maka dipenuhi aksioma ke-8.
Ambilu=u1, u2, u3 P, kemudian ambil k, l skalar, dank arena u juga anggota R3 dan k, l skalar real maka dipenuhi aksioma ke-9.
Ambil u=u1, u2, u3 P, 1.u=u.
Karena kesepuluh aksioma telah dipenuhi, himpunan vektor tersebut juga merupakan ruang vektor.
Contoh 10 (Bukan Ruang Vektor)
Andaikan M1abca, b, c R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan yang biasa di matriks 2 x 2 dan perkalian dengan skalar yang biasa di matriks 2 x 2. Buktikan bahwa M bukan ruang vektor.
Penyelesaian
Dari definisi M ini terlihat ada ketidakbiasaan disbanding himpunan matriks 2 x 2 yaitu entri pada baris pertama kolom pertama yang harus 1. Oleh sebab itu Mbukan ruang vektor karena tidak terpenuhi aksioma ketertutupan terhadap operasi penjumlahan.
Berikut diberikan contoh penyangkal (contoh yang tidak memenuhi aksioma) yaitu
u=12-34dan v=1023
Jika u dan vditambahkan diperoleh vektor 22-17 yang memiliki entri baris pertama kolom pertama bukan 1 (satu), sehingga M bukanlah ruang vektor seperti pada M, yang mensyaratkannya.
Contoh 11 (Bukan Ruang Vektor)
Jika V himpunan semua vektor di R3, dengan operasi penjumlahan
u+v=u1+v2, u2+v1, u3+v3,
Sedangkan perkalian dengan skalar ku=ku1, ku2, ku3.
Buktikan bahwa V ini bukan ruang vektor!
Penyelesaian
Dari definisi V terlihat ada yang tidak biasa yaitu operasi penjumlahan pada entri pertama dan kedua, yang secara intuisi kemungkinan kegagalan aksioma ruang vektor adalah di sini: oleh karena itu dicari contoh penyangkal yang sesuai, misalnya a=2, 3, -1dan b=4, 2, 4. Kemudian,
a+b=2+2, 3+4, -1+4=4, 7, 3
b+a=4+3, 2+2, -1+4=7, 4, 3
Karena a+b b+aberarti V ini tidak memenuhi aksioma ke 2 yaitu aksioma komutatif yang dengan demikian V ini bukanlah ruang vektor.
SOAL-SOAL
Untuk tiap-tiap soal di bawah ini tunjukkan bahwa himpunannya merupakan ruang vektor atau jika bukan ruang vektor berikan contoh penyangkalnya.
Misalkan V himpunan semua vektor di R3 dengan operasi yang didefinisikan sebagai berikut: untuk u=u1, u2, u3danv=v1, v2, v3 maka
u+v=u1+v1, u2+2v2, u3+v3, sedangkan ku=ku1, ku2, ku3.

Misalkan V himpunan semua vektor di R3 dengan operasi yang didefinisikan sebagai berikut: untuk u=u1, u2, u3danv=v1, v2, v3 maka
u+v=u1+v1, u2+v2, u3+v3,sedangkan ku=u1, u2, ku3.

Misalkan M himpunan semua matriks berordo 2 x 2 dengan operasi yang didefinisikan sebagai berikut: untuk m=abcd dan n=efgh, maka
m+n=a+eb+fc+gd+h dan km=kakbkc0

Misalkan V himpunan vektor di R3 yang mempunyai bentuk u=u1, u2, u3, dengan syarat 2u1+u2+u3=0, dengan kedua operasi yang biasa di vektor R3.

Misalkan V himpunan polinom di P2 yang mempunyai bentuk u=a0+a1x+a2x2, dengan syarat a0+a1=0, dengan kedua operasi yang biasa di vektor P2.

Misalkan V himpunan vektor di R3 yang mempunyai bentuk u=u1, u2, u3 dengan syarat u1+u2+u3=2, dengan kedua operasi yang biasa di vektor R3.

Misalkan P himpunan semua matriks berordo 2 x 2, dengan bentuk abcd dengan syarat a+b=0 dan c+2d=0, sedangkan kedua operasi yang biasa pada matriks 2 x 2.

Misalkan P himpunan semua matriks berordo 2 x 2, dengan bentuk abcd dengan syarat ad=0, sedangkan kedua operasi yang biasa pada matriks 2 x 2.

Misalkan V himpunan polinom di P2 yang mempunyai operasi penjumlahan untuk u=a0+a1x+a2x2, dan v=b0+b1x+b2x2 yang didefinisikan oleh u+v=a0+b0+1+a1+b1x+a2+b2x2, dan perkalian skalar yang biasa di vektor P2.

Misalkan V himpunan semua penyelesaian sistem persamaan linear homogen AX=O, dengan A berordo n×n, dengan operasi yang biasa pada Rn.

Aljabar Linier.DOCX

Recommend Documents