MEDAN ELEKTROMAGNET ALJABAR VEKTOR VEKTOR KELOMPOK KELOMPOK 2 BIMA MUSTAQIM (514 333 1002) M. GUNTUR PRATAMA (514 333 1010)
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS NEGERI MEDAN (UNIMED) 2014 0|Page
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum wr. Wb. Salam sejahtera buat kita semua.
Puji syukur marilah kita ucapkan kehadirat Allah SWT Tuhan yang maha esa. Karena dengan rahmat dan karunianya kami dari kelompok 2 dapat membuat dan menyelesaikan makalah ini dengan tepat waktu. Semoga makalah ini bermanaat dan bisa dipelajari dengan baik! makalah ini mengarahkan pada pembelajaran dan pengetahuan tentangAljabar "ektor. Kegiatan kreati semacam ini akan meningkatkan kemampuan dan pengetahuan seorang mahasiswa tentang Aljabar "ektor tersebut. Terakhir kami dari kelompok 2 mengucapkan terima kasih kepada #apak dosen pengampu mata kuliah $edan %lektromagnet.
Asalammu’alaikum wr. wb
$edan! September 2&'(
Kelompok 2
1|Page
DAFTAR ISI KATA P%)*A)TA+......................................................................................................i ,A-TA+ S..................................................................................................................ii #A# P%),A/010A).............................................................................................. ' '.'.
1atar #elakang $asalah...............................................................................'
'.2.
+umusan $asalah.........................................................................................'
'..
Tujuan...........................................................................................................'
#A# S......................................................................................................................2 2.'. "ektor Satuan..................................................................................................... . 2.2. Sistem koordinat persegi 3Kartesian Persegi4..................................................... 2.. Komponen5komponen "ektor Pada Koordinat Persegi................. .....................6 2.6. $edan "ektor......................................................................................................7 #A# P%)0T0P........................................................................................................8 .'.
Kesimpulan...................................................................................................8
a.
"ektor Satuan................................................................................................8
b.
Sistem koordinat persegi 3Kartesian Persegi4...............................................8
c.
Komponen5komponen "ektor Pada Koordinat Persegi................................8
d.
$edan "ektor................................................................................................9
.2.
Saran.............................................................................................................9
,A-TA+ P0STAKA.....................................................................................................:
2|Page
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar B!a"a#$ Ma%a!a& Aljabar ;ektor adalah operasi pada dua
atau lebih dari ;ektor yang meliputi
penambahan! pengurangan dan perkalian.
1.2. R''%a# Ma%a!a& a. b. c. d. e.
Apa itu aljabar ;ektor = Apa itu ;ektor satuan = #agaimana menjelaskan sistem koordinat persegi = Apa saja komponen5komponen ;ektor pada koordinat persegi = Apa itu medan ;ektor =
1.. T'*'a# a. b. c. d. e.
0ntuk menjelaskan apa itu aljabar ;ektor . 0ntuk menjelaskan apa itu ;ektor satuan. 0ntuk menjelaskan apa itu sistem koordinat persegi. 0ntuk menjelaskan komponen5komponen ;ektor pada koordinat persegi. 0ntuk menjelaskan apa itu medan ;ektor.
1|Page
+. BAB II ISI g. Setelah dideinisikan kuantitas besaran skalar dan kuantitas besaran ;ektor! sehingga dapat dilanjutkan dengan mendeinisikan aturan aritmetik
;ektor!
aljabar ;ektor dan terakhir kalkulus ;ektor! dimana aljabar skalar berbeda dengan aljabar ;ektor! yang banyak menyimpan inormasi! jika dibandingkan dengan aljabar skalar! misalnya perkalian dua ;ektor! akan jauh lebih rumit daripada perkalian dua buah skalar. h. Sebagai pembuka! operasi penjumlahan ;ektor mengikuti aturan jajaran genjang 3gambar '.'.4! yaitu A dan # dapat diperhatikan bahwa A > # ? # > A atau bahwa operasi penjumlahan ;ektor mengikuti hukum Komutati dan penjumlahan juga mengikuti hukum Asosiati. "ektor5;ektor dapat dikalikan dengan skalar! maka magnitudo ;ektor akan berubah! tetapi arahnya tetap! jika nilai skalar yang dikalikan bernilai positi! karena skalar bernilai negati akan mengubah magnitudo ;ektor dan sekaligus mengubah arahnya! pada hal ini berlaku hukum distributi! misalnya 3r>s4 3A>#4 ? rA > r# > sA> s# i. j.
#
k.
A>#
l.
A
m.
#
A A>#
n. o. Gambar 1. 1 Dua buah vektor dijumlahka secara grafis bermula dari titik awal yang sama, kemudian membentuk jajaran genjang atauun menggambarkan vektor kedua bermuara ada ujung vektor ertama, membentuk segitiga dari kedua vektor hal ini disebut metoda oligon.
.
!esimulan
".
#ukum aljabar vektor $
'. A > # ? # > A @@@@@@@@@@@.. 2. A > 3 # > 4 ? 3 A > # 4 > @@@@@... . 3 m > n 4A ? mA > nA @@@@@@@@.
r.
2|Page
/ukum Komutati /ukum Asosiati /ukum ,istributi
%. 2.1. V"t,r Sat'a# "ektor satuanB memiliki magnetudo sebesar satu dan arah yang selalu sama dengan sumbu koordinat terkait. $isalnyaB Sebuah ;ektor a untuk melambangkan sebuah ;ektor satuan! dan mengindikasikan arah dari ;ektor
satuan ini dengan menggunakan notasi
subskrip yang sesuai! sehingga a x , a y , a z adalah ;ektor5;ektor satuan didalam sistem koordinat persegi! masing5masing ;ektor ini secara berturut5turut memiliki arah yang sama dengan sumbu x,y! dan z dan panjang sebesar satu.
2.2. S-%t ",,r-#at /r%$- (Kart%-a# Pr%$-) 0ntuk dapat menjabarkan sebuah ;ektor secara akurat! harus ditentukan panjang! arah sudut! dan proyeksi5proyeksinya. Ada tiga metode untuk menjabarkan ;ektor5;ektor tersebut! yaituB a. Sistem Koordinat Persegi b. Sistem Koordinat Silinder5lingkaran c. Sistem Koordinat #ola Pada sistem koordinat persegi! ditarik tiga garis sumbu yang saling tegak lurus antara yang satu dengan yang lain! disebut sebagai x,y! dan z. Pendekatan yang paling umum dipergunakan adalah pada sistem koordinat persegi adalah kaidah tangan kanan atau arah perputaran sekrup.
Gambar 1. 2.%. 1&. Sistem Koordinat berorientasi tangan kanan! jika jari tangan kanan yang melengkung kedalam mengindikasikan arah perputaran sumbu x menuju sumbu y! maka ibu jari menunjukkan arah sumbu z . 2&. 1okasi titik5titik P 3'!2!4 dan C 32!525'4. '&. %lemen ;olume dierensisal di dalam sistem koordinat persegi dx, dy! dan dz ! secara umum adalah besaran5besaran dierensial yang paling independen.
'|Page
Gambar 1.2.(. $emperlihatkan titik P dan Q masing5masing secara berturut5 turut emiliki koordinat 3'!2!4 dan 32!52!'4. Titik P adalah lokasi perpotongan antara bidang x ? '! bidang y ? 2 dan bidang z ? dan titik Q adalah perpotongan bidang5 biddang x ? 2! y ? 52 dan z ? '. Tiga bidang saling berpotongan pada titik P dimana koordinat adalah D! y! dan E! kemudian dengan memperbesar tiap5tiap nilai koordinat dengan jumlah sangat kecil 3mendekati nol atau dengan kata lain jumlah dierensial4.
Gambar 1.2.). 0ntuk memperoleh tiga buah bidang yang sedikit begeser dari posisi awalnya dan saling berpotongan di titik P’ . Koordinat titik P’ ini adalah x > d x! y > d y! dan z > d z ! keenam bidang yang ada! yaitu tig bidang awal dan tiga bidang yang bergeser ini membentuk sebuah Paralepipedium! yang memiliki ;olume dv ? d xd yd z ! masing5masing permukaannya memiliki luas dierensial dS sebesar d xd y! d yd z dan d z d x! dan akhirnya jarak dari titik P ke titik P’ adalah garis
diagonal dari paralelepipedium itu panjangnya adalah
√ dx 2+ dy 2+ dz 2
. "olume elementer ini
ditampilkan pada gambar '.2.. titik P’ tampak dalam gambar ! na mun titik P berada pada sudut bangun tidak tampak. atatanB Plane artinya bidang tegak.
*|Page
2.. K,/,##",/,## V"t,r Paa K,,r-#at Pr%$0ntuk menjabarkan sebuah ;ektor di dalam sistem koordinat persegi! dengan memproyeksikan ke tiga buah ;ektor komponen! yang masing5masing mempunyai arah sejajar dengan sumbu x! sumbu y dan sumbu z atau ;ektor satuan i! j! dan k ! maka r ? x > y > z 3gambar '..A4
Gambar 1.'. %&. "ektor5;ektor komponen x, y! dan z untuk ;ektor r . (&. "ektor5 ;ektor satuan di dalam sistem koordinat persegi memiliki magnetudo sebesar satu dan arah yang sama dengan sumbu terkait . )&. "ektor R PQ sama dengan selisih ;ektor rq – rp.
+|Page
ontoh soal B ,ua buah titik P 3'F2F4 dan C32F52F'4! tentukan + PC =
PenyelesaianB rG
? 2i H 2 j > k
rp
? i > 2 j >k
+ PC
? rG H rp @@@@@@@@@@@@@@@@. Dalil oligon ? 3 2i H 2 j > k 4 H 3 i > 2 j > k 4 ? > i H 6 j H 2k atau
+ PC
? a x H 6a y H 2a z ?
|Page
√ 21
"ektor + PC itu tidak ;ektor yang mencuat keluar dari titik pusat! seperti ;ektor r ! akan tetap bahwa ;ektor5;ektor yang memiliki magnitudo dan arah sama adalah ;ektor5;ektor yang sama! sehingga untuk membantu ;isualisasi! dapat memindahkan atau menggeser ;ektor itu ke titik pusat! sebelum menentukan ;ektor komponennya. Suatu ;ekor - dapat dituliskan sebagai berikutB -
? - xa x > - ya y > - z a z
"ektor # dapat dituliskan sebagaiB #
? # xa x > # ya y > # z a z ! kemudian magnitudo ;ektor # ini dituliskan sebagai
#
?#?
√ Bx + By + Bz 2
2
2
"ektor satuan a# ? # I # searah dengan ;ektor #. $enentukan arah ;ektor satuan dengan arah tertentu adalah dengan menunjuk kesuatu arah dibagi dengan panjangnya 3magnitudonya4! misalnya ;ektor satuan yang memiliki arah yang sama dengan ;ektor # adalah B a B=
B
√ Bx 2+ By 2+ Bz
B |B|
= 2
ontoh soal B '. Sebuah ;ektor + ? aD > 7ay H 2 aE Tentukan ;ektor satuannya PenyelesaianB "ektor satuan B a + ? + I + ( 3 ax + 6 ay −2 az ) ? 7 3
?
7
3
?
-|Page
7
ax +
6 7
ay −
6
2
7
7
2 7
i + j − k
az
atau
2. Tuliskan ;ektor satuan yang mengarah dari titik pusat ke titik * 32! 52! 5'4 . Penyelesaian F 6. Pertama5tama ditentukan ;ektor yang berawal dari titik ke titik *! yaitu B (. * ? 2aD H 2ay H aE 7. Kemudian dihitung magnitudo *
−1 ¿2 ¿ 2 − ¿ +¿ 2 J*J? 2 2 +¿ √ ¿
8.
9.
aG =
G (2 ax −2 ay − az ) = =0,67 ax − 0,67 ay −0,33 az 3 |G|
:. 3,'.'4. ika diketahui titik5titik $ 3 5'!2!'4! ) 3!5!&4 dan P 352! 5! 564. TentukanlahB a. + $) b. + $) > + $P c.J r $ J d. a$P e. J 2r p H r ) J '&.
PenyelesaianB
a. + $)
b. + $P '(.
? + ) 5 + $ ''. ? 3 a x H a y 4 H 3 5a x > 2a y >a z 4 '2. ? 6a x H (a y H a z atau 13. ? 6 i H ( j H k ? 3 52a x H a y H 6a z 4 H 3 5a x > 2a y > a z 4 14. ? 5a x H (a y H (a z
+ $) > + $P ? 3 6a x H (a y H a z 4 > 3 5a x H (a y H (a z 4
'7.
? a x H '&a y H 7a z c. Jr$ J
?
2 2 2 √ (−1 ) + ( 2 ) + ( 1 ) =√ 6=2,45
R MP d. a$P
? R MP 1.
?
(−ax −5 ay −5 az ) √ 51
? 5 &!'6a x H &!8a y > &!8a z
e. 2 rP H r ) ? 3 56a x H 7a y H 9a z 4 H 3 :a x H :a y4 1!. ? 'a x > a y H 9a z ':. 2 r P 5 r ) 2&. 2'. 22. |Page
?
√ 169+ 9 + 64 =15,55
2.
2.4. Ma# V"t,r
"4. $edan ;ektor sebagai suatu ungsi dari sebuah ;ektor posisi! secara umum magnitudo dan arah ungsi akan berubah dari satu titik ke titik lainnya di dalam suatu ruang! magnitudo dan arah ini bergantung langsung pada nilai5 nilai koordinat di titik yang bersangkutan. Pada sistem koordinat persegi bahwa nilai magnitudo dan arah medan ;ektor ditentukan oleh ;ariabel x,y, dan z. 2(. ika suatu ;ektor dinyatakan dengan ;ektor posisi r! maka edan ;ektor dapat dinyatakan dalam notasi ungsionalnya sebagai *3r4 ? a x > a y > a z ! jika misalnya ;ektor posisi itu dalam bentuk kecepatan medan ;ektor ; ? ; x a x > ; y a y > ; z a z .
/|Page
2.
BAB III PENUTUP
.1. K%-/'!a# a. ektor atuan
28. "ektor satuanB memiliki magnetudo sebesar satu dan arah yang selalu sama dengan sumbu koordinat terkait. $isalnyaB Sebuah ;ektor a untuk melambangkan sebuah ;ektor satuan! dan mengindikasikan arah dari ;ektor satuan ini dengan menggunakan notasi subskrip yang sesuai! sehingga a x , a y , a z adalah ;ektor5;ektor satuan didalam sistem koordinat persegi! masing5masing ;ektor ini secara berturut5turut memiliki arah yang sama dengan sumbu x,y! dan z dan panjang sebesar satu. b. istem koordinat ersegi !artesian 3ersegi&
29. 0ntuk dapat menjabarkan sebuah ;ektor secara akurat! harus ditentukan panjang! arah sudut! dan proyeksi5proyeksinya. 2:. Ada tiga metode untuk menjabarkan ;ektor5;ektor tersebut! yaituB d. Sistem Koordinat Persegi e. Sistem Koordinat Silinder5lingkaran . Sistem Koordinat #ola &. 31. Pada sistem koordinat persegi! ditarik tiga garis sumbu yang saling tegak lurus antara yang satu dengan yang lain! disebut sebagai x,y! dan z. Pendekatan yang paling umum dipergunakan adalah pada sistem koordinat persegi adalah kaidah tangan kanan atau arah perputaran sekrup. c. !omonen4komonen ektor 3ada !oordinat 3ersegi
3". 0ntuk menjabarkan sebuah ;ektor di dalam sistem koordinat persegi! dengan memproyeksikan ke tiga buah ;ektor komponen! yang masing5masing mempunyai arah sejajar dengan sumbu x! sumbu y dan sumbu z atau ;ektor satuan i! j! dan k ! maka r ? x> y > z
10 | P a g e
d. 5edan ektor
33. $edan ;ektor sebagai suatu ungsi dari sebuah ;ektor posisi! secara umum magnitudo dan arah ungsi akan berubah dari satu titik ke titik lainnya di dalam suatu ruang! magnitudo dan arah ini bergantung langsung pada nilai5 nilai koordinat di titik yang bersangkutan. Pada sistem koordinat persegi bahwa nilai magnitudo dan arah medan ;ektor ditentukan oleh ;ariabel x,y, dan z. 6. ika suatu ;ektor dinyatakan dengan ;ektor posisi r! maka edan ;ektor dapat dinyatakan dalam notasi ungsionalnya sebagai *3r4 ? a x > a y > a z ! jika misalnya ;ektor posisi itu dalam bentuk kecepatan medan ;ektor ; ? ; x a x > ; y a y > ; z a z .
.2. Sara# (. $akalah ini sangat jauh dari kata sempurna! maka dari itu kami disini dari kelompok dua mengharapkan adanya kritik maupun saran yang membangun agar makalah ini menjadi makalah yang jauh lebih sempurna.
11 | P a g e
.
DAFTAR PUSTAKA
8.
/ard opy dari dosen mata kuliah $edan %lektromagnet
9.
httpBIIsta.uny.ac.idIsitesIdeaultIilesIpendidikanI,rs.L2&AgusL2&Santoso!
L2&$.Pd.I"%KT<+ :.
https#$$%uh&asha&a.'(rdpress.)(%$%ata*ku&iah*aljabar *vektor *%atriks$
12 | P a g e