Joel
TIM 12
01/11/2015
REPORTE
TEMA 5:
ALGEBRA DE BOOLE FUNCIONES LÓGICAS.
Magnitudes analógicas y digitales.
Los circuitos electrónicos se dividen en dos tipos de corrientes las cuales son analógicas y digitales esta última al parecer es más eficiente ya que es más sencillo el almacenamiento, el ruido no afecta como lo haría con las señales analógicas.
Señales digitales.
Una señal digital es discontinua, y sólo puede tomar dos valores o estados: 0 y 1, que pueden ser impulsos eléctricos de baja y alta tensión, interruptores abiertos o cerrados.
Variable lógica.
Una variable lógica es una variable que sólo puede tener dos valores posibles de forma que un valor excluye al otro, es decir que si tiene un valor el otro no puede ser. Por ejemplo, sí o no o también 0 o 1. Imaginemos que A es una variable que almacena la respuesta a la pregunta ¿vienes mañana? que sólo puede tener dos respuestas sí o no. Si es sí no puede ser no, si es no, no puede ser sí. Normalmente la variables lógicas de representan por 0 o 1 de forma numérica lo que conforma el sistema binario de numeración usado en sistemas digitales (dentro de los digitales están los computacionales).
Función lógica.
Una función lógica depende de dos casos en las cuales al momento de evaluarse pueden llegar a ser falsos o verdaderos por ejemplo: "si hay luz afuera y no hay ningún foco prendido, es de día".
Algebra de Boole.
El álgebra de Boole es una forma de evaluar los circuitos lógicos como si fueran las matemáticas de los circuitos electrónicos para poderlos comprenderlos de la mejor manera y así poder analizarlos de una forma más exacta y así poder llegar a los mejores resultados y a una precisión esperada. Ellas ejecutan las funciones básicas del álgebra de Boole a partir de cifras en código binario.
Esta estructura, desarrollada por George Boole en los años 1830s, se encuentra a la base de los sistemas informáticos actuales, los cuales opera exclusivamente con cantidades numéricas (codificadas en binario).
Puertas lógicas.
Las puertas lógicas son circuitos integrados que emplean la lógica matemática basada en dos números: 0 y 1, y varias operaciones (+, ·, negación) para procesar información. Para describir el funcionamiento de estas puertas se usan las tablas de verdad.
Lógica combinatoria:
La lógica combinatoria sólo considera funciones lógicas en las que el resultado depende exclusivamente de las entradas.
Lógica secuencial.
La lógica secuencial, en la cual el resultado depende de las entradas pero también puede depender de los estados de salida precedentes (efecto de "memoria").
Puerta amplificador.
Las puertas amplificadas utilizan 1 para 1 y 0 para 0, Retrasa la señal para así poder enviarla a más componentes que la que enviaba la señal original.
Puerta NOT o Inversor.
Esta puerta invierte el valor de entrada y lo cambia. Esta compuerta dispone de una sola entrada.
Por ejemplo:
Si pones su nivel de entrada en 1 (nivel de entrada alto) obtendrás un 0 (nivel de salida bajo).
Si pones su nivel de entrada en 0 (nivel de entrada bajo) obtendrás un 1 (nivel de salida alto).
Puerta AND.
La compuerta AND tiene dos entras y su operación es un producto entre las dos, esta no es un producto aritmético sus salidas serán altas si su nivel de entradas también están altos.
Puerta OR.
La puerta OR al igual que la puerta AND esta también posee como mínimo dos entradas y una sola salida y su operación lógica será una suma entre estas dos aunque en la suma de 1+1 es = 1 ya que en esta no existe acarreo.
Puerta NAND.
En la puerta NAND responde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su representación simbólica se remplaza la compuerta NOT por un círculo a la salida de la compuerta AND, si la salida de un nivel es bajo la entradas A B están en un nivel alto y si la salida del nivel es alto la entradas A B están en un nivel bajo. El termino NAND es una contradicción de NOT-AND.
Puerta NOR.
La puerta NOR es el resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta que resulta de la inversión de la operación lógica o inclusiva. Igual que antes, solo agregas un círculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR, la salida es un nivel bajo si cualquiera de sus entradas A o B están en un nivel Alto o si ambas están en un nivel Alto y la salida es alto si A y B son un nivel bajo.
COMPUERTA LÓGICA XOR.
En la electrónica digital hay unas compuertas que no son comunes. Una de ellas es la compuerta XOR o compuerta O exclusiva compuerta O excluyente.
El siguiente diagrama muestra en símbolo de una compuerta XOR(O exclusiva) de 2 entradas:
Comprender el funcionamiento de esta compuerta digital es muy importante para después poder implementar lo que se llama un comparador digital.
La figura de la derecha muestra la tabla de verdad de una compuerta XOR de 2entradas.
Y se representa con la siguiente función booleana
X = A.B + A.B
A diferencia de la compuerta OR, la compuerta XOR tiene una salida igual a "0" cuando sus entradas son iguales a 1.
Si se comparan las tablas de verdad de la compuerta OR y la compuerta XOR se observa que la compuerta XOR tendrá un uno ("1") en su salida cuando la suma de los unos "1" en las entradas sea igual a un número impar.
La ecuación se puede escribir de dos maneras:
X = A.B + A.B o
La siguiente figura muestra la tabla de verdad de una compuerta XOR de 3 entradas
De la misma manera que el caso anterior se puede ver que se cumple que X = 1 sólo cuando la suma de las entradas en "1" sea impar
Circuito XOR equivalente
También se puede implementar la compuertaXOR con una combinación de otras compuertas más comunes.
En el siguiente diagrama se muestra una compuerta XOR de dos entradas implementada con compuertas básicas: la compuerta AND, la compuerta OR y la compuerta NOT
COMPUERTA XNOR.
opera en forma exactamente opuesta a una compuerta XOR, entregando una salida baja cuando una de sus entradas es baja y la otra es alta y una salida alta cuando sus entradas son ambas altas o ambas bajas.
Es decir que una compuerta XNOR indica, mediante un lógico que su salida, cuando las dos entradas tienen el mismo estado.
Esta característica la hace ideal para su utilización como verificador de igual en comparadores y otros circuitos aritméticos
Para efectos prácticos una compuerta XNOR es igual una compuerta XOR seguida de un inversor.
CMOS.
Se caracterizan por su extremadamente bajo consumo de potencia, ya que se fabrican a partir de transistores MOSFET los cuales por su alta impedancia de entrada su consumo de potencia es mínimo.
Los dispositivos CMOS son muy susceptibles al daño por descargas electrostáticas entre un par de pines. Es la más popular en la actualidad.
TTL.
Utiliza elementos que son comparables a los transistores bipolares diodos y resistores discretos, y es probablemente la más utilizada. A raíz de las mejoras que se han realizado a los CI TTL, se han creado subfamilias.
Debido a su configuración interna, las salidas de los dispositivos TTL NO pueden conectarse entre sí a menos que estas salidas sean de colector abierto o de tres estados.
ADICIÓN BOOLEANA.
La representación matemática de una suma booleana de dos variables se hace por medio un signo más entre las dos variables.
La suma booleana es 1 si alguna de las variables lógicas de la suma es 1 y es 0 cuando todas las variables son 0. Esta operación se asimila a la conexión paralela de contactos.
MULTIPLICACIÓN BOOLEANA.
La representación matemática de una multiplicación booleana de dos variables se hace por medio un signo punto (·) entre las dos variables.
La multiplicación booleana es 1 si todas las variables lógicas son 1, pero si alguna es 0, el resultado es 0. La multiplicación booleana se asimila a la conexión serie de contactos.
LEYES CONMUTATIVAS.
En aplicación a los circuitos digitales, podríamos decir que no importa el orden de conexión de las entradas a una compuerta OR.
LEYES ASOCIATIVAS.
En aplicación a los circuitos digitales, podríamos decir que no importa el orden de conexión de las entradas a una compuerta AND.
TEOREMAS DE MORGAN
Morgan propuso dos teoremas que contribuyen al teorema de Boole, que demuestran equivalencia entre:
Las puertas NAND - NEGATIVA OR
Las puertas NOR Y NEGATIVA AND
El primer teorema nos dice que 'El complemento de un producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables'.
Por ejemplo:
Tener una compuerta AND es lo mismo que invertir dos compuertas OR
El segundo teorema se apoya en que 'El complemento de una suma de variables es igual al producto del complemento de las variables'
Este teorema se sumerge en el hecho de que una puerta NOR es lo mismo que invertir las entradas de una AND
Los anteriores teoremas tambien pueden aplicarse a expresiones con mas de dos variables:
Cada variable e los teoremas de morgan puede representar a una combinacion de otras variables, por ejemplo:
Si se aplica a la expresion obtenemos
Si a los dos terminos resultantes se les aplica por separado se aplica individualmente el teorema
, si se vuelve aplicar el teorema a (AB) y (BC) quedaria
Este resultado se podria simplificar aun mas pero con las reglas booleanas, ya no con morgan.
ANALISIS BOOLEANO DE LOS CIRCUITOS LOGICOS.
El algebra de boole nos permite comprender y expresar el funcionamiento de los circuitos logicos, conformado por combinacion de compuertas logicas de tal manera que aun sin aparatos de medicion podramos saber y comprender, el dato de salida por medio del conocimiento previo del dato a la entrada.
Para obtener la expresin booleana de un circuito ogico se deberan seguir los siguientes pasos:
Analizar los bit de entrada.
Avanzar por cada linea y escribir el dato a la entrada de cada puerta.
Realizar las operaciones que convenga de acuerdo a la puerta, asi hasta llegar a la salida final.
ELABORACIÓN DE UNA TABLA DE VERDAD
Al determinar la expresión booleana de un circuito lógico puede determinarse una tabla de verdad que represente su salida para todos los valores posibles de sus variables de entrada.
SIMPLIFICACION MEDIANTE ALGEBRA DE BOOLE
A la hora de aplicar algebra booleana es necesario simplificar lo más posible o convertir a una manera más conveniente.
A partir de simplificaciones se obtienen dos redes de compuertas equivalentes.
Forma estándar de las expresiones booleanas.
Las expresiones booleanas pueden convertirse en dos formas estándar: suma de productos o productos de suma.
Suma de productos:
Se puede decir que productos es la multiplicación booleana de variables o sus complementos. Cuando dos o más productos se suman mediante la suma booleana, la expresión se llama suma de productos
Conversión de una expresión general a formato suma de productos,
Las expresiones lógicas pueden ser transformadas a una expresión suma de productos aplicando el álgebra de Boole
Representación binaria de un término producto estándar
La suma de productos es igual a 1 si solo s uno o más de los términos productos que forman la expresión es igual a 1
Producto de maxterms
Esto permite un mejor análisis para la simplificación de dichas funciones, lo que es de gran importancia para la minimización de circuitos digitales
Implementación de un producto de sumas.
Esta expresión aplicada a interruptores sería el de la figura, se puede ver que hay dos ramas, en la superior dos interruptores inversos: a' y b' puestos en serie, lo que es equivalente a a'b', en la inferiores directos: a y b también en serie que es equivalente a ab, estos dos circuitos puestos en paralelo resultan a'b' + ab.
Mapas de Karnaugh
Es una herramienta muy utilizada para la simplificación de circuitos lógicos. Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método.
Estos pueden tener distintas dimensiones, las más usuales son: 2x2, 3x3, 4x4, 5x5, 2x3, 2x4, 2x5, etc.,
Se utilizan A, B y C para denominar las variables, aunque se podrían usar otras letras.
Mapas de karnaugh 3 variables.
Se agrupan las variables AB para identificar las columnas dejando la C para identificar las dos filas. Podría haberse hecho al revés sin que influya en el resultado final. Simplemente, es necesario ser coherente en la aplicación del método a la hora de extraer la función algebraica.
Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables.
Se utilizan A, B, C y D para denominar las variables, aunque se podrían usar otras letras
El valor binario de A y B, en la parte izquierda de la misma fila combinado con el valor de C y D en la parte superior de la misma columna.
Adyacencia de Celdas.
En el mapa de 3 variables, la celda 010 es adyacente a la celda 000, a la 011 y a la 110.
En el mapa de 3 variables, la celda 010 NO es adyacente a la celda 001, a la 111, a la 100 ni a la 101.
Minimización de una suma de productos n de una suma de productos mediante el mapa de karnaugh
La minimización de funciones sobre el mapa de karnaugh se aprovecha del hecho de que las casillas del mapa están arregladas de tal forma que entre una casilla y otra, en forma horizontal o vertical existe adyacencia lógica. Esto quiere decir que entre una casilla y otro solo cambia una variable.
Karnaugh de un Producto de Mapa de Karnaugh de un Producto de Sumas Esta Sumas Estándar
La construcción del mapa es similar a la suma de productos. La diferencia radica en que cada celda representa un Max término. La celda m2 corresponde al Max término 2, ubicado en la fila 0 y la columna 10. La unión de estos dos números da el número 010, cuyo equivalente es el término A+B'+C.
Adyacencia de Celdas.
Si en dos celdas adyacentes existen mini términos, o unos, se puede efectuar la operación de sacar factor común entre celdas y eliminar una variable, es importante tomar en cuenta que dos celdas son adyacentes si no difieren en más de un bit. Las reglas de adyacencia de los mapas de Karnaugh son:
1) Una celda es adyacente a todas las que tiene al lado.
2) Una celda no es adyacente a las que están en diagonal.
3) Celdas que difieren en más de un dígito no son adyacentes.
4) Las celdas de la primera fila son adyacentes a las de la última.
5) Las celdas de la primera columna son adyacentes a las de la última.
6) Las cuatro esquinas del mapa son adyacentes, siempre que todas tengan el mismo digito.
7) Una celda puede ser adyacente a más de una celda simultáneamente.
8) Solo se pueden agrupar grupos pares de celdas adyacente
