08/05/2017
Universidad Nacional Mayor Mayor de de San Marcos Marcos Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
Sistemas Digitales
Simplificación de Funciones Lógicas: Álgebra de Boole, Mapas Karnaugh, Método Quine-McCluskey, Espresso Ing. Armando Fermín Pérez 2017-1
Simplificación de Funciones Lógicas Simplificar una función o Consiste Consiste en hallar hallar una una expresi expresión ón algebraic algebraicaa equivalent equivalentee a la original, pero de menor tamaño (menos términos, términos con menos variables) o El objetiv objetivo o es reducir reducir al máxim máximo o el circuit circuito o con el que se implementa una función lógica. Metodología o Algebraica. Apli Apliccació ación n de axio axioma mass y prop propie ieda dade dess del del álgebra de Boole o
Eleme Element nto o comp comple leme ment ntar ario io,, elem elemen ento to neut neutro ro,, dist distri ribut butiv ivaa y asociativa
o Gráfica. Mapas de Karnaugh o Computacional. Quine-McCluskey, Espresso.
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Simplificación Algebraica de Funciones Lógicas
Ejercicios
ALGEBRA DE BOOLE 1. Dadas las sigu iguientes funciones lógicas: as:
a) Indíq díquese el número de puerta rtas necesaria rias para ara implementar cada una de las funciones si úni únicamente se dispone de puerta rtas NAND de dos entradas. b) Indíquese el número de puerta rtas necesaria rias para ara implementar cada una de las funciones si únicamente se dispone de puertas NOR de dos entradas.
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Ejercicios
Ejercicios
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Ejercicios
Ejercicios
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19.- Se desea implementar un circuito que controle el encendido de las luces intermitentes de un auto. El sistema dispone de una palanca que cuando se encuentra en posición subida genera una señal "PS" que activa el encendido de las luces intermitentes derechas ("LD"). Si se encuentra en posición bajada genera una señal "PB" que activa el encendido de las luces intermitentes izquierdas ("LI"). Si la palanca se encuentra en una posición intermedia (ni subida ni bajada) no se genera ninguna señal y por lo tanto no se enciende ninguna luz. Para que el sistema tenga el funcionamiento descrito es necesario que se introduzca la llave de encendido del motor y se encuentre en la posición de contacto, generando de esta manera la señal "C". El sistema dispone de una entrada adicional avería que cuando se encuentra activa genera la señal "A" activando los cuatro intermitentes independientemente de que el contacto se encuentre dado o no. Se pide: a) Tabla de verdad b) Simplificación de las funciones c) Si sólo se dispusiese de puertas NAND. Indíquese el número mínimo de puertas para implementar todo el circuito.
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20.Se desea implementar un circuito combinacional para intentar mantener entre dos valores la temperatura de una habitación. Para ello se dispone de un aparato de aire acondicionado, dos interruptores de acción manual y dos sensores de temperatura (ver figura). Cada sensor tiene asociada una señal que se activa cuando se alcanza la temperatura programada en dicho sensor. El sensor A activa la señal “T_Min” cuando la temperatura ambiente es superior a la mínima requerida, y el sensor B activa la señal “T_Max” cuando la temperatura ambiente es superior a la máxima requerida. Igualmente cada interruptor también tiene asociada una señal. Cuando se acciona el interruptor A se activa la señal “calor” y cuando se acciona el interruptor B se activa la señal “ frio”.
o o
o o
El circuito a implementar indicará el modo de funcionamiento del aparato de aire acondicionado mediante la activación de las señales “Aire_frío” (indica que debe expulsarse aire frío) o “Aire_caliente” (indica que debe expulsarse aire caliente). Para ello deben cumplirse los siguientes criterios: Cuando la temperatura ambiente no supere la temperatura mínima requerida deberá expulsarse aire caliente excepto cuando esté activa la señal “ frío” que, en dicho caso, no se expulsará ni aire caliente ni frío Cuando la temperatura ambiente esté entre los valores permitidos no se expulsará ni aire frío ni caliente excepto cuando esté activa la señal “frío” que se expulsará aire frío o la señal “calor” que se expulsará aire caliente Cuando la temperatura ambiente supere la temperatura máxima requerida deberá expulsarse aire frío excepto cuando esté activa la señal “ calor” que, en dicho caso, no se expulsará ni aire frío ni caliente En el caso de que las señales “frío” y “calor” se activen a la vez deberán ser ignoradas, el modo de funcionamiento será el mismo que si no estuvieran activadas Impleméntese dicho circuito con un costo mínimo.
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Ejercicios
Pregunta 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Solución A A D B D C B B C D B A
Simplificación Gráfica de Funciones Lógicas
Mapa de Karnaugh o Representación matricial de una tabla de verdad o Una celda del mapa de Karnaugh representa una fila de la tabla de verdad o En cada celda se coloca el valor de una salida de la función o La disposición espacial de las celdas es tal que los términos adyacentes de la función lógica están en celdas adyacentes o Dos términos se dicen adyacentes si sus valoraciones difieren en el valor de una sola variable o Los bordes del mapa de Karnaugh deben considerarse adyacentes
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Simplificación Gráfica de Funciones Lógicas
Método del Mapa de Karnaugh Difícil dibujar cubos de más de 4 dimensiones Mapa-K es un método alternativo de representar tablas de verdad que ayudan a visualizar adyacencias de hasta 6 dimensiones Más allá de eso, se necesitan métodos basados en computadoras A
0
B
2-variables Mapa-K
1
A AB CD
0 0
00
01
11
00
2 00
1
1
0
4
12
8
1
5
13
9
3
7
15
11
2
6
14
10
3 01 A
AB C
3-variables Mapa-K
00
01
11
10
C 10
0
1
D
11
0
2
6
4
1
3
7
5
B
4-variables Mapa-K
B
Esquema de Numeración: 00, 01, 11, 10 Código Gray — sólo un bit cambia de celda a celda
Simplificación Gráfica de Funciones Lógicas
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Mapa-K para cuatro y cinco variables AB CD
00
01
11
A
10
0
4
12
8
0
4
12
8
1
5
13
9
1
5
13
9
3
7
15
11
3
7
15
11
2
6
14
10
2
7
14
10
00
01 D
11 C
10 B (a)
(b) A
ABC DE
B 000
001
011
010
100
101
111
B
110
0
4
12
8
16
20
28
24
0
4
12
8
16
20
28
24
1
5
13
9
17
21
29
25
1
5
13
9
17
21
29
25
3
7
15
11
19
23
27
3
7
15
11
19
23
31
27
2
6
14
10
18
22
2
6
14
10
18
22
30
26
00
01
11 30
D
26
E
10 C
(c)
C
(d)
Mapa-K para seis variables B BCD AEF
C 000
001
011
010
100
101
111
C
110
0
4
12
8
16
20
28
24
0
4
12
8
16
20
28
24
1
5
13
9
17
21
29
25
1
5
13
9
17
21
29
25
3
7
15
11
19
23
31
27
3
7
15
11
19
23
31
27
2
6
14
10
18
22
30
26
2
6
14
10
18
22
30
26
32
36
44
40
48
52
60
56
32
36
44
40
48
52
60
56
33
37
45
41
49
53
61
57
33
37
45
41
49
53
61
57
35
39
47
43
51
55
63
59
35
39
47
43
51
55
63
59
34
38
46
42
50
54
62
58
34
38
46
42
50
54
62
58
000
001
011
E
F
010
100
101
111
A E
F
110 D (e)
D (f)
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Simplificación Gráfica empleando Mapas Karnaugh
Herramienta principal: Teorema de la Unicidad A
B
F
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
A
B
G
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
—
A (B' + B) = A
F = A B' + A B = A (B' + B) = A Valores de B cambian en filas donde F=1 (ON) B es eliminado, A permanece Valores de A no cambian en filas donde F=1 G = A' B' + A B' = (A' + A) B' = B' Valores de B permanecen iguales en filas G=1 A es eliminado, B permanece Valores de A cambian en filas donde G=1
Esencia de la Simplificación: Hallar dos subconjuntos de elementos del conjunto ON donde sólo una variable cambie su valor. Esta variable cambiante puede ser eliminada
Simplificación por Karnaugh de Funciones Lógicas
Método de simplificación o
Agrupar todas las celdas con el mismo valor, en uno o más grupos
o
Cada grupo contendrá un número de celdas adyacentes potencia de 2
o
Hacer los grupos lo más grande posibles
o
El número de grupos debe ser mínimo
o
Una celda puede estar en uno o más grupos
Fundamento del método o
Al tomar dos celdas adyacentes, sólo cambia el valor de una de las variables entre los dos términos. Aplicando distribuidad, elemento complementario y elemento neutro se elimina la variable que cambia de valor
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Simplificación por 1´s o
Agrupar las celdas de valor 1
o
Cada grupo representa a un término producto (no minitérmino, puesto que no aparecerán todas las variables de la función). Las variables de valor cero aparecerán complementadas.
o
Un grupo de 2 celdas elimina k variables del término resultante, y por tanto tendrá n-k variables
o
En cada grupo se eliminan las variables que cambian de valor de unas celdas a otras
Simplificación por 1´s
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Simplificación por 1´s
Simplificación por 0´s o
Agrupar las celdas de valor cero
o
Cada grupo representa un término suma (no maxitérmino, puesto que no aparecerán todas las variables de la función). Las variables de valor uno aparecerán complementadas
o
Un grupo de 2 celdas elimina k variables del término resultante, y por tanto tendrá n-k variables
o
En cada grupo se eliminan las variables que cambian de valor de unas celdas a otras
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Simplificación por 0´s
Ejemplos del Mapa-K: 4 variables A
AB
F(A,B,C,D) = m(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)
00
01
11
10
00
1
0
0
1
01
0
1
0
0
CD
F= D
11
1
1
1
1
10
1
1
1
1
C
B
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F(A,B,C,D,E) =Sm (2, 5, 7, 8, 10,13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 29, 31) = CE + ABE + BCDE + ACDE
F(A,B,C,D,E,F) = Sm (2, 8, 10, 18, 24, 26, 34, 37, 42, 45, 50, 53,58, 61) = DEF+ ADEF+ACDF
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Ejemplo de Diseño: Comparador de 2 bits A B C D
N1
F1 A B = C D =, >, < F2 A B < C D F3 A B > C D N2
A 0
B 0
0
1
1
0
1
1
C D 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1
F1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
F2 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
F3 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0
Diagrama de Bloques Y Tabla de Verdad Un Mapa-K de 4Variables para c/u de las 3 funciones de salida
Ejemplo de Diseño: Comparador de 2 bits AB CD
A 00
01
11
10
00
1
0
0
0
01
0
1
0
0
AB CD
A 00
01
11
10
00
0
0
0
0
01
1
0
0
0
D 11
0
0
1
11
1
1
0
0
0
0
1
00
01
11
10
00
0
1
1
1
01
0
0
1
1 D
1
C 10
A
D
0
C
AB CD
11
0
0
0
0
10
0
0
1
0
C 10
1
1
0
0
B
B
B
K-map for F1
K-map for F2
K-map for F3
F1 = F2 = F3 =
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Ejemplo de Diseño: Comparador de 2 bits A
AB CD
00
01
11
10
00
1
0
0
0
01
0
1
0
0
AB CD
A 00
01
11
10
00
0
0
0
0
01
1
0
0
0
D 11
0
0
1
0
10
0
0
0
1
C
A
AB CD
00
01
11
10
00
0
1
1
1
01
0
0
1
1
11
0
0
0
0
10
0
0
1
0
D 11
1
1
0
1
10
1
1
0
0
C
D C
B
B
B
K-map for F1
K-map for F2
K-map for F3
F1 = A' B' C' D' + A' B C' D + A B C D + A B' C D' F2 = A' B' D + A' C F3 = B C' D' + A C' + A B D' A xnor B xnor C xnor D
Ejemplo de Diseño: Sumador de 2 bits A B C D
N1 +
X N3 Y Z
A 0
B 0
N2 0
1
C 0 0
D 0 1
X 0 0
Y 0 0
Z 0 1
1 1 0
0 1 0
0 0 0
1 1 0
0 1 1
0 1 1
1 0 1
0 0 1
1 1 0
0 1 0
1
0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 1 1
1 1 0 0
0 1 0 1
1
1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
Diagrama de Bloques Y Tabla de Verdad Un Mapa K de 4Variables para c/u de las 3 funciones de salida
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Ejemplo de Diseño: Sumador de 2 bits ... A
AB CD
00
01
11
10
AB CD
00
0
0
0
0
01
0
0
1
0
A 00
01
11
10
AB CD
00
0
0
1
1
01
0
1
0
1
D 11
0
1
1
1
10
0
0
1
1
A 00
01
11
10
00
0
1
1
0
01
1
0
0
1
11
1
0
0
1
10
0
1
1
0
D
C
11
1
0
1
0
10
1
1
0
0
D
C
C
B
B
B
K-map for X
K-map for Y
K-map for Z
X= Z= Y=
Ejemplo de Diseño: Sumador de 2 bits ... AB CD
A 00
01
11
10
AB CD
00
0
0
0
0
01
0
0
1
0
A 00
01
11
10
AB CD
00
0
0
1
1
01
0
1
0
1
D 11
0
1
1
1
10
0
0
1
1
C
A 00
01
11
10
00
0
1
1
0
01
1
0
0
1
11
1
0
0
1
10
0
1
1
0
D 11
1
0
1
0
10
1
1
0
0
C
D C
B
B
B
K-map for X
K-map for Y
K-map for Z
X=AC + BCD + ABD Z = B D' + B' D = B xor D
1's en diagonal sugieren XOR! Mapa-K de Y no mínimo
Y = A' B' C + A B' C' + A' B C' D + A' B C D' + A B C' D' + A B C D = B' (A xor C) + A' B (C xor D) + A B (C xnor D) Número de puertas se reduce si se = B' (A xor C) + B (A xor B xor C) implementa con XOR
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Ejemplo de Diseño: Sumador de 2 bits ... \ A
A
\B
\ C
\D
Dos implementaciones de Y con y sin XOR
B
C
D
Nota: 1 XOR típicamente requiere 4 NAND !
Y1
X
X XOR Y
Y
Y2
Simplificación de Funciones Lógicas con Entradas Indiferentes
Entradas indiferentes o
Aquellas combinaciones de valores de entrada para las que no importa el valor de la salida, por o o
o o o
tratarse de una combinación de las entradas para la que no se ha especificado el comportamiento del circuito tratarse de una combinación de las entradas que es imposible
En la tabla de verdad, la salida para estas combinaciones es x En las formas canónicas, estas combinaciones se agrupan por separado en sumatorios o productorios del conjunto vacío Φ En la simplificación por Karnaugh, estas celdas se toman como si tuvieran valor uno o valor cero, como mejor convenga para maximizar la simplificación. o o
No todas las celdas “x” tienen que tomarse como 0 ó 1, sólo las que interese. Hacer un grupo nuevo que sólo contenga “x” o “x” y celdas que ya se han agrupado en otros grupos es innecesario y redunda en un circuito que no es el más sencillo posible.
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Simplificación de Funciones Lógicas con Entradas Indiferentes
Simplificación de Funciones Lógicas con Entradas Indiferentes
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Simplificación de Funciones Lógicas con Entradas Indiferentes
Errores más comunes o o o o
Hacer grupos innecesarios para agrupar celdas “x” en la simplificación de Karnaugh Multiplicar sumatorios o sumar productorios Expresar las formas canónicas olvidando los términos indiferentes ( ) Incluir los términos indiferentes como si fueran minitérminos o maxitérminos en las formas canónicas correspondientes
Simplificación de Funciones Lógicas con Entradas Indiferentes
Ejemplo: Visualizador de 7 segmentos Toma como entrada un dígito BCD (D,C,B,A) y obtiene como salida un código de encendido de 7 segmentos (a, b, c, d, e, f, g) para iluminar un visualizador.
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Simplificación de Funciones Lógicas con Entradas Indiferentes
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