Respuestas a los ejercicios propuestos del documento de Puertas Lógicas.Descripción completa
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Guia con el contenido Algebra de Boole, para la Unidad 1. Fundamentos de Electronica Digital. Asignatura: Soporte Computacional. CFT Andrés Bello Angol. ChileDescripción completa
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Teoremas del álgebra de Boole y de De Morgan de aplicación en Sistemas DigitalesDescripción completa
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Álgebra De Boole y Puertas Lógicas
Álgebra De Boole SUMA 0+0=0 0+1=1
1+1=1 1+0=1
MULTIPLICACIÓN 0 0
0 1
=
=
1=
0
0
0
=0
COMPLEMENTACION =1 1 = 0 0
Ejemplo con otros signos: A + A = A A + A = A A + 0 = A A + 0 = A A +1 =1 A +1 =1 A + A =1 A
A
A
= A
A
0
=
0
A
0
=
0
A
A
A
1 = A 1 = A A
=
A0
=
A1
=
A = A
0 1 =0
1 0
=
0
TEOREMA DE MORGAN A + B + C = A B C ABC = A + B + C
Ejemplo: •
A + BC + D = A BC D = A ( B + C )D = A D B + A D C •
A
(1 + B)
+ AB = A
=
A
⇒
Factor Común
Ejercicios: •
A + AB = A •
+ A B = A A B = A
( A
+B
)
A +B
= A B = A +B =
A(A + B) = AA + AB = A(1 + B) = A 1 = A
•
(A + B)(A + C) = AA AA + AC AC + BA + BC = A(1 + C ) + B( A + C ) = A + BA + BC = = A(B +1) + BC = A + BC •
A
+
B
+
C
+
ABC
B)( A
+
= A + B +C
+ A + B +C
= A +B +C
=
ABC
•
(A
C)
+
= AC = AC
A
•
B
+
C
+
+
+ A B +BC
(1 +B)
ABC
=
= AC
+ A B +BC
(1 +C )
+ A B
ABC
+ ABC
AC
( A
+ A
)
= AC
+ A B + AB C
+
AB
=
+
1
=
•
(Z + X Y )(Y +W) (( Z + X )
=Y
1)
+
=
( Z + X Y )
(Y
+
)
+W
= Z
XY
(Y
+
)
+W
( Z + X )
=
Y
+Y
Y +W
+W =
•
( X XY )( Y XY )
=( X XY
)(Y XY )
X +X = XY ( X +Y ) =( X +Y )( X +Y ) = X
= X Y +Y X = X ⊕Y
•
XYZ +Y ( X Z + X Z ) = X +Y + Z +Y ( X Z + X Z ) =Y (( X Z + X Z ) +1 ) +X + XZ =Y + X + Z =Y •
X + XY
Y Z + ZW = X
+
+ X Y
+Y + Z + Z +W = X + X +Y +Y + Z + Z +W =
1 + Z +W
= X +
1 + Z +W
1 +W
=
=
1
=
•
ABC D
A BC D
BC D
A B C
+ + + + + + = = + + + + + + = + (D
A B C
A B C A D
D
(D
(B
A C ( D
)
D
B C
B )
AB CD
)
)
AB D(C
A C
D
ABC
Puertas Lógicas PUERTA NOT O INVERSORA
Se trata de una operación que solo maneja una variable de entrada y otra de salida. La salida toma el estado opuesto o inverso del que tiene la entrada.
ENTRADA/INPUT
SALIDA/OUTPUT
Tabla De La Verdad De La Puerta Inversora NOT VALOR VALOR EN EN LA ENTR ENTRADA ADA VALOR VALOR EN LA SALID SALIDA A 0 1 1 0
A B C D C
A B C
)
PUERTA OR O SUMADORA Cuando distintas variables lógicas se combinan mediante la función OR, el resultado toma el estado alto, verdadero o 1 si alguna de ellas tiene dicho estado. La ecuación que representa la función OR de dos variables de entrada es la siguiente: X=A+B
Tabla De La Verdad De La Puerta Sumadora OR VALOR EN EN LA PARTE PARTE A VALOR EN EN LA PARTE PARTE B
0 0 1 1
0 1 0 1
VALOR OBTENIDO EN LA SALIDA 0 1 1 1
PUERTA NOR O SUMADORA INVERSORA Esta puerta produce la función inversa de la puerta OR, es decir, la negación de la suma lógica de las variables de entrada. Su comportamiento es equivalente a la de la puerta OR seguida de una NOT.
X = A + B
Tabla De La Verdad De La Puerta Sumadora Inversora NOR VALOR EN EN LA PARTE PARTE A VALOR EN EN LA PARTE PARTE B
0 0 1 1
0 1 0 1
VALOR OBTENIDO EN LA SALIDA 1 0 0 0
PUERTA AND O MULTIPLICADORA Cuando varias variables lógicas, de tipo binario, se combinan mediante la operación lógica AND, producen una variable de salida, que solo toma el nivel lógico 1, estado alto o verdadero, si todas ellas tienen dicho nivel o estado. La ecuación lógica de la función AND para dos variables de entrada es la siguiente: X
=
A
B
Tabla De La Verdad De La Puerta Multiplicadora AND VALOR EN EN LA PARTE PARTE A VALOR EN EN LA PARTE PARTE B
0 0 1 1
0 1 0 1
VALOR OBTENIDO EN LA SALIDA 0 0 0 1
PUERTA NAND O MULTIPLICADORA INVERSORA I NVERSORA La puerta NAND produce la función inversa de la AND, o sea, la negación del producto lógico de las variables de
entrada. Actúa como una puerta AND seguida de una NOT.
X = A
B
Tabla De La Verdad De La Puerta Multiplicadora Inversora NAND VALOR EN EN LA PARTE PARTE A VALOR EN EN LA PARTE PARTE B
0 0 1 1
VALOR OBTENIDO EN LA SALIDA 0 0 0 1
0 1 0 1
PUERTA OR EXCLUSIVA (OREX) La salida de esta compuerta es 1, estado alto o verdadero si cada entrada es 1 pero excluye la combinación cuando las dos entradas son 1. La función OR exclusiva tiene su propio símbolo gráfico o puede expresarse en términos de operaciones complementarias AND, OR.
A X = A ⊕B = AB + A B
B COMPUERTA OREX
Tabla De La Verdad De La Puerta OR Exclusiva (OREX) VALOR EN EN LA PARTE PARTE A VALOR EN EN LA PARTE PARTE B
0 0 1 1
0 1 0 1
VALOR OBTENIDO EN LA SALIDA 0 1 1 0
PUERTA NOR EXCLUSIVA (NOREX)
X = A ⊗B = AB AB + A B
COMPUERTA NOREX
Tabla De La Verdad De La Puerta NOR Exclusiva (NOREX)
VALOR EN EN LA PARTE PARTE A VALOR EN EN LA PARTE PARTE B
0 0 1 1
0 1 0 1
VALOR OBTENIDO EN LA SALIDA 1 0 0 1
PILA (1)
MASA (0)
AL AIRE (1)
Ejercicios: Implementar Implementar solo solo con NAND las puertas: NOT, OR, NOR y AND. •
NOT A
A
=
OR
A
NOR
A
AND
B = A +
B
A
A
B AB
B
Implementar Implementar solo con NOR las puertas: NOT, OR, NAND y AND •
NOT A
+ A =
OR
A
A
+
B
A
+
B
NAND AND A
B
A A
+
B
A
B
A
A B
B B
Implementar Implementar solo con NAND la puerta OREX. •
A
A + B
AB
+ AB =
A
B A
•
OREX
+
B
Implementar Implementar solo con NOR la puerta
A AB + AB
A
B
AB
+
B A
=
A
⊕
B
B A
Implementar Implementar solo con NAND la puerta NOREX •
A
B
A B + AB = A ⊗ B
A
B
•
NOREX
Implementar Implementar solo con NOR la puerta
A B
A
AB + B A
B A
+
B
Implementar Implementar Y+W con NAND Implementar Y+W con NOR •
AB + AB = A ⊗ B
Y
Y
Y + W
Y + W
+ W
W
•
Implementar
con AND
YXZ
Implementar con NOR •
YXZ
Y Y + YXZ
YX
Ejercicios Hoja1: A) Ob Obte tene nerr sim simpl plif ific icad ada a la la señ señal al de sali salida da.. B) Im Impl plem emen enta tarr con con pu puer erta tas s la sali salida da ya simplificada.
Esquema 1 A
* A + B
A B
A
+ AB = A
( A
+ B ) = A A + AB = A + B
Implementar con NOR Implementar con NAND
A
A
B
B
Implementar A conB las menos puertas posibles +
A
A
+
B
A
+
B
Esquema 2
B A
+
B
* A AB + B A
+
* ( AB + AB )(AB) =
( AB
+B A
) AB
( AB + AB )( )( AB)
+
( A B + AB )( A
+
(B +B )
= AB + A B + AB = A
* *(A +B)(A
B )
+
= AA
=
+B
)
( A
+B
)( A
)( AB )
+B
( A B A
= AB +
( A B + AB )( A
+
+ A BB + AB A + ABB
+ A B = A + A B = A + A B = A
( A
+B
(B +B )
+ AB +BA +BB = A + AB +BA = A
)
+B
)
)
=
( A B + AB )
= AB +
A +B
= A B =
A
+ A = A + A =
Implementar con NOR Implementar con NAND
A
+1 =
A
0
B
0
Implementar con las menos puertas posibles
0
=1
=
A
+
1= 1
Esquema 3 A
+
B
*A ⊗ B
AB + B A
* ( A B + AB )(AB) =
( AB
= AB
+B A
) AB
( A B + AB )( )( AB)
+
( A B
+
+ A B + AB
+ AB
(B
= A
+B
)( A
)
=
+B
)
( A
+B
= AB
)( A
)( AB )
+B
( A B A
+
( A B
+
+ A BB + AB A
+ A B = A + A B = A + A B = A
* *( A +B)(A +B) = A A + A B +B A +BB = A B +B A = A B
Implementar con NOR Implementar con NAND
+ AB
( A
+B
)( A
+ AB B
)
= A B
+B
)
)
=
( A B
= AB
A
=
+
+ AB
)
B
+
B A =( A +B )( B + A ) = AB +BA = A
=
A
B
A
+
A ⊕ B
B
A ⊗ B
A
B
B
ABC
B
*ABC
A
+
B
⊕ C
Esquema 4
* B AC
AC B
+
(1 + A
=B
=
B AC
+C + A +C
* * A +B +ABC
)
AC B
+
(C
+ A
=( A +B)(
=
( B + A
+C
ABC )
)
+C
)
( A
)
+C +B
=B A +BC
+B + AC
A +B
=
= ABC
ABC
BC =A
Implementar solo con NOR Implementar solo con NAND
A
A B
B
C
ABC
Implementar Implementar con las menos puertas posibles A B
+ AB + A C +C B =
Esquema 5 A
+
B
AB
A ⊕ B
+ B
A * (
+ B)(A + B ) = A A + A B + BA + BB = A B + BA = ( A + B)(B + A ) = AB + A B = A ⊕ B
