Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación”
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
ALGEBRA BOOLEANA nte!rantes"
De La Mata Espinoza Carlos
(20141185A) (20141185A) M3
Profesor "
Jexy Arturo eina Me!ina
#urso" ALGEBRA LNEAL $ección" #
%$2014
E&'ME En el presente traa*o +e,os re-opila!o al.unos e*er-i-ios los -uales nos ayu!aran a enten!er y lo.rar ,ane*ar ,e*or el /l.era !e $oole para lo -ual -a!a prole,a -ontara -on su respe-tia solu-in y pasos ue nos ayu!aran a enten!er el -a,ino a plantear -uan!o nos enrente,os a este tipo !e e*er-i-ios a,i6n !es-riire,os al.unas !e las -on-lusiones a las -uales lle.a,os lue.o !e realizar el traa*o espera,os ue nuestro traa*o sea !e .ran ayu!a para ,e*orar el enten!i,iento a-er-a !e estos te,as
A$&AC 7n t+is paper e +ae -o,pile! so,e exer-ises +i-+ ill +elp us un!erstan! an! +elp +i, -ope it+ $oolean al.era or +i-+ ea-+ issue ill eature its respe-tie solution an! steps t+at ill +elp us un!erstan! t+e ay to as9 +en a-e! it+ t+is 9in! o exer-ises :e also !es-rie so,e o t+e -on-lusions t+at e t+en peror, t+e *o e +ope t+at our or9 ill e o .reat +elp to i,proe t+e un!erstan!in. o t+ese issues
DED7CA;7A A.ra!e-e,os a to!as las personas ue -ontriuyeron en este traa*o a nuestro proesor ue nos asesor en ,u-+os in-onenientes a nuestros pa!res ue nos apoyan y a nuestra ueri!a uniersi!a! en la -ual nos or,a,os -on una alta -ali!a!
ALGEBRA DE BOOLE %&'&% Postulados y teoremas
Dentro !e las /l.eras !e $oole< es !e utili!a! !einir la (ivalente< es !e-ir -o,puesta por slo dos elementos As=< el /l.era es un -on*unto !e ele,entos inarios rela-iona!os entre s= ,e!iante las opera-iones l.i-as pro!u-to >)? y su,a >*?< ue -u,plen -on los si.uientes postula!os (las letras a< < -< et-< in!i-an ariales inarias)" 1) Existe el elemento identidad a+0=a a.1=a
2) Las !os opera-iones -u,plen -on la +ro+iedad conmutativa a+b=b+a a.b=b.a ,- Pro+iedad distri(utiva
a . (b + c) = (a . b) + (a . c) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
4) Co,ple,enta-in o inversión ló!ica a + a’ = 1 a . a’ = 0
Al.unos teore,as i,portantes son" 1) Dualidad" o!a i.ual!a! l.i-a si.ue sien!o /li!a si se inter-a,ian los opera!ores (@ y ) y los ele,entos !e i!enti!a! (0 y 1) La si,etr=a !e los postula!os !e,uestra este teore,a 2) El .l!e(ra es un con/unto cerrado es !e-ir< los resulta!os !e apli-ar las opera-iones l.i-as a las ariales< pertene-en al /l.era ,- En el .l!e(ra se cum+le 0ue a+1=1 a.0=0
1- Ley de dem+otencia a+a=a a.a=a 2- Ley de involución (a’)’ = a
3- Las o+eraciones ló!icas son asociativas a + (b + a) = (a + b) + c a . (b . c) = a . (b . c)
B) A(sorción" a = a + (a . b) a = a . (a + b) 4- Leyes de De 5or!an (a + b + c + d + .......+ n)’ = a’ . b’ . c’ . d’ ...........n’ (a . b . c . d .........n)’ = a’ + b’ + c’ + d’ + ..........+ n’
Con ex-ep-in !el teore,a 1< sie,pre apare-en !os expresiones< os6rese ue la se.un!a es la !ual !e la pri,era &e re-o,ien!a al alu,no !e,ostrar estos teore,as en or,a al.erai-a as/n!ose en los postula!os An -uan!o las opera-iones * y ) son !istriutias entre s=< !e a+ora en ,/s pres-in!ire,os !e los par6ntesis ue en-ierran los pro!u-tos l.i-os A!e,/s el s=,olo !el pro!u-to no se in!i-ar/ en lo su-esio De esta or,a< por e*e,plo< la expresin a + (b . c) . (d + e)
se es-riir/ a + b c (d + e)
%&'&' Funciones ló!icas
'na función ló!ica es una ariale inaria ue !epen!e !e otras ariales inarias rela-iona!as entre s= por las opera-iones l.i-as 'na un-in l.i-a se nota !e la si.uiente ,anera" f(a ,b ,c ,......., n) = {expresión lógica que involucra a las variables a ,b ,c , d,......, n}
La un-in a!optar/ el alor 0 o 1 !e a-uer!o a la expresin y al alor !eter,ina!o !e las ariales or e*e,plo" f(a ,b, c) = a b’ + a c
&e trata !e una un-in !e tres ariales a la -ual le -orrespon!e la si.uiente 6a(la de 7erdad8 er i.ura 1 ue!e !e-irse ue la tala !e er!a! es otra or,a !e expresar una un-in l.i-a
C $ A (a< < -) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 i.ura 1 %&'&'&% 6eoremas de funciones ló!icas
8) En el Fl.era !e $oole se -u,ple F(a, b, c,.....n) = a f(1, b, c,....n) + a’ f(0, b, c,.....n)
ara !e,ostrar esta i.ual!a! asta -on ree,plazar a = 1 y a = 0 en la expresin y erii-ar ue la ,is,a se -u,ple en a,os -asos a,i6n< -onsi!eran!o ue la un-in en -uestin no tiene restri--iones< se pue!e !e-ir ue ta,i6n es /li!a su !ual" (a, b, c,.....,n) = !a + f(0, b, c, ....n)" !a’ + f(1, b, c,....n)"
G se trata !e una un-in -ualuiera Este teore,a posee -orolarios ,uy tiles a la +ora !e si,plii-ar (otener una expresin ,/s si,ple !e la ,is,a un-in) un-iones
(expresiones en .eneral) l.i-as &e otienen ee-tuan!o el pro!u-to ,ie,ro a ,ie,ro !e la pri,era expresin por a o por aH< -o,o se in!i-a a -ontinua-in" a f(a, b, c, ....n) = a ! a f(1, b, c, ....n) + a’ f(0, b, c,.....n)"
apli-an!o propie!a! !istriutia al se.un!o ,ie,ro< se otiene" Primer #orolario
a f(a, b, c, ....n) = a f (1, b, c, ....n)
a’ f(a, b, c, ....n) = a’ ! a f(1, b, c, ....n) + a’ f(0, b, c,.....n)"
apli-an!o propie!a! !istriutia al se.un!o ,ie,ro< se otiene" a’ f(a, b, c, ....n) = a’ f (0, b, c, ....n)
$e!undo #orolario
Apli-an!o !uali!a! a los -orolarios< se otienen" a + f(a, b, c, ...n) = a + f(0, b, c, ....n) 6ercer #orolario
y a’ + f(a, b, c, ...n) = a’ + f(1, b, c, ....n)
#uarto #orolario
9- 6oda función ló!ica +uede e:+resarse en forma canónica8 es decir" I Co,o una sumatoria de t;rminos en los -uales apare-en to!as sus
ariales en or,a !e pro!u-to l.i-o (estos t6r,inos se lla,an M7EM&) I ; -o,o una +roductoria de t;rminos en los -uales apare-en to!as sus ariales en or,a !e su,a l.i-a (estos t6r,inos se lla,an MAEM&) En a,os -asos la un-in se !i-e expresa!a en or,a -anni-a y sus t6r,inos (ya sean ,inter,s o ,axter,s se lla,an t;rminos canónicos) &e !e,ostrar/ este teore,a para una un-in !e !os ariales (a< )< lue.o se +ar/ extensio para n ariales Apli-an!o el teore,a 1 a (a< )< se tiene" (a, b) = a f(1, b) + a’ f(0, b)
Apli-an!o nuea,ente el teore,a 1 a (1< ) y a (0< )< se tiene" (1, b) = b f(1, 1) + b’ f(1, 0) (0, b) = b f(0, 1) + b’ f(0, 0)
ee,plazan!o en la expresin ini-ial se otiene (a, b) = a b f(1, 1) + a b’ f(1, 0) + a’ b f(0, 1) + a’ b’ f(0, 0)
&e osera enton-es ue to!a un-in pue!e expresarse -o,o una su,atoria !e to!os sus ,inter,s< ae-ta!os -a!a uno !e ellos por un -oei-iente ue -onsiste en el alor !e la un-in (-al-ula!o ree,plazan!o las ariales por 1 o por 0 s=< en el ,inter, ue a-o,paKa< la ariale -orrespon!iente se en-uentra !ire-ta o ne.a!a respe-tia,ente) enien!o en -uenta ue (a< ) es una un-in -ualuiera !el /l.era !e $oole< su !ual ta,i6n lo ser/< por lo tanto" (a, b) = !a + b + f(0, 0)" !a + b’ + f(0,1)" !a’ + b + f(1, 0)" !a’ + b’ + f(1, 1)"
&e osera enton-es ue to!a un-in pue!e expresarse -o,o una pro!u-toria !e to!os sus ,axter,s< ae-ta!os -a!a uno !e ellos por un -oei-iente ue -onsiste en el alor !e la un-in (-al-ula!o ree,plazan!o las ariales por 0 o por 1 s=< en el ,axter, ue a-o,paKa< la ariale -orrespon!iente se en-uentra !ire-ta o ne.a!a respe-tia,ente) La .eneraliza-in !e los resulta!os oteni!os para un-iones !e n ariales< resulta ei!ente A in !e otener una nota-in ,/s sen-illa !e las un-iones l.i-as< se suele asi.nar a -a!a t6r,ino -anni-o un n,ero !e-i,al ue se otiene !an!o pesos a las ariales !e a-uer!o a s= las ,is,as se en-uentran expresa!as en or,a !ire-ta o ne.a!a El -onenio es el si.uiente" A7A$LE E&; A $ C D E IIII
1 2 4 8 1 32 IIIII i.ura 2
&i la ariale apare-e en or,a ne.a!a< el peso asi.na!o es -ero &e.n el -onenio enton-es< el t6r,ino -anni-o -ualuiera a’ b c’ d -orrespon!iente a un ,inter, !e una un-in !e -uatro ariales< ten!r/ el n,ero !e-i,al 10 El -onenio ,en-iona!o per,ite una ter-er or,a< lla,a!a -o,pa-ta< !e notar una un-in< a saer" F(a, b, c,....n) < (iN0< 2nI1) i f(i) N (iN0< 2nI1) [(2n – 1 - i) + f(i)] De la expresin anterior se !e!u-e una re.la para pasar !e una un-in -anni-a en ,inter,s a una en ,axter,s y i-eersa" #e buscan los $%r&inos canónicos que no es$'n en la expresión de la función, se los co&ple&en$a a n * 1. s$os ser'n los $%r&inos de la función buscada.
or e*e,plo" &ea la un-in !e 4 ariales (a, b, c, d) = Σ 4 (0, 1, , -, , /, 10, 1, 1, 1-)
Los t6r,inos -anni-os ue no est/n son" 2< 4< 8< O< 11 y 12 &us -o,ple,entos a 15 son" 13< 11< B< < 4 y 3 or lo tanto la expresin -anni-a en ,axter,s !e la un-in es" (a, b, c, d) = Π 4 (, , , /, 11, 1)
tese ue< a ,o!o !e erii-a-in< la su,a !el n,ero !e ,inter,s y ,axter,s !e una un-in< sie,pre es i.ual a 2n P 1 %&'&'&' 5inimi=ación de funciones ló!icas
Es i,portante otener la ,=ni,a expresin posile !e una un-in< esto es la ,enor -anti!a! !e ariales y opera-iones inolu-ra!as Los ,6to!os !e ,ini,iza-in se asan en los postula!os !el /l.era y a la -onenien-ia !e a.re.ar oportuna,ente t6r,inos en la expresin !e la un-in ara apli-ar los ,6to!os es ne-esario ue la un-in est6 expresa!a en forma canónica Co,o se io en el punto anterior< to!a un-in l.i-a es expresale en or,a -anni-a< ya sea en ,inter,s o ,axter,s &upn.ase ue una un-in -anni-a !e 4 ariales posee en su expresin los si.uientes t6r,inos -anni-os" .....+ a’ b c d’ + a b c d’+ .....
&e osera ue pue!e sa-arse a-tor -o,n !e la si.uiente or,a .....+ b c d’ (a’ + a)+ ........
&e.n el postula!o 4< a’ + a = 1 < por lo tanto .....+ b c d’ 1 +..... = ....+ b c d’ + .....
&e +a per!i!o la ariale a Este pro-e!i,iento se siste,atiza !ete-tan!o to!os los t6r,inos -anni-os !e la un-in ue !iieran en el esta!o (!ire-to o ne.a!o) !e slo una ariale< se sa-a a-tor -o,n entre ellos y se an eli,inan!o ariales &ea el si.uiente e*e,plo" (a, b, c, d) = Σ (0 , , , 1)
La expresin al.erai-a !e la ,is,a es" (a, b, c, d) = a’ b’ c’ d’ + a’ b’ c d’ + a’ b’ c’ d + a’ b’ c d
&e e ue los !os pri,eros son a!ya-entes< -o,o as= ta,i6n los !os lti,os ue!e sa-arse a-tor -o,n" (a, b, c, d) = a’ b’ d’ (c’ + c) + a’ b’ d (c’ + c) = a’ b’ d’ + a’ b’ d
Los !os t6r,inos ue ue!an< si ien no -anni-os< son a!ya-entes< ue!an!o inal,ente" (a, b, c, d) = a’ b’ (d’ + d) = a’ b’
E : eit-+ en 1O52< propuso un ,6to!o .r/i-o para la i!entii-a-in !e los t6r,inos a!ya-entes !e una un-in osterior,ente Mauri-e >arnau!? lo ,o!ii- tal -o,o se -ono-e a-tual,ente Consiste en ,apas apli-ales a un-iones !e !os< tres< -uatro y -in-o ariales ara un-iones !e ,/s ariales no resulta pr/-ti-o este ,6to!o .r/i-o< se usa un ,6to!o nu,6ri-o ue no se estu!ia en este -urso Los ,apas Qarnau.+ son los si.uientes" ara un-iones !e 4 ariales"
Los !os n,eros inarios en las -olu,nas y las ilas< ue si.uen un -!i.o Rray !e !os ariales< se -orrespon!en -on las ariales !ire-tas o ne.a!as !e -a!a -ua!ro< y los n,eros !e-i,ales son los asi.na!os a -a!a t6r,ino -anni-o se.n la -onen-in in!i-a!a -on anteriori!a! Esta tala .en6ri-a pue!e parti-ularizarse para una un-in !eter,ina!a ,ar-an!o en la ,is,a -on un 1 los t6r,inos -anni-os ue or,an parte !e la un-in
De esta or,a es sen-illo i!entii-ar los t6r,inos i.ura 3 -anni-os a!ya-entes ue ser/n los ue li,itan por los la!os or e*e,plo< el t6r,ino -anni-o 14< posee -uatros t6r,inos a!ya-entes ue son" 10 12 y 15 or,ar un .rupo entre !os unos -olin!antes en el ,apa se -orrespon!e -on sa-ar a-tor -o,n y per!er la ariale ue -a,ia Es !e suponer la -onenien-ia !e realizar los .rupos ue -onten.an ,ayor -anti!a! !e unos en su interior ero esto !ee se.uir -iertas re.las &ea la un-in !e 4 ariales si.uiente" (a, b, c, d) = # (0, 1, , , , /, , 2, 10, 11, 1, 1-)
El ,apa ue le -orrespon!e es el in!i-a!o en la i.ura 4 El .rupo 0I2 -orrespon!e a sa-ar a-tor -o,n -on p6r!i!a !e la ariale b
i.ura 4 El .rupo 3I1 pier!e la ariale b &e osera ue estos !os .rupos son a!ya-entes y se pue!en *untar en un solo .rupo 0I1I2I3 !on!e se pier!en las ariales a y El ,is,o razona,iento es /li!o para el .rupo 8IOI10I11 ue pier!e las ariales a y b &e osera ue estos .rupos son a!ya-entes y po!r=a or,arse un solo .rupo 0I1I2I3I8IOI10I11 !on!e slo ue!a la ariale -H ara el .rupo erti-al !e 8 unos se +a se.ui!o el ,is,o pro-e!i,iento< -ae a-larar ue los t6r,inos -anni-os 2< 3< 10 y 11 se +an usa!o !os e-es Esto pue!e realizarse ya ue se.n el teore,a 5< un ter,ino -anni-o po!r=a repetirse -uantas e-es se uiera sin alterar el alor !e la un-in La un-in ,ini,iza!a ue!a por lo tanto (a, b, c, d) = b + c’
Cae a-larar ue la lti,a expresin es una su,a porue la un-in ini-ial estaa en ,inter,s< es !e-ir era una su,atoria De lo isto pue!en enun-iarse la si.uiente re!la de formación !e .rupos" a) &e a.rupan la ,ayor -anti!a! !e unos posile< sie,pre ue sean una poten-ia !e !os y el .rupo resultante pue!a su!ii!irse en .rupos ,enores ) &e a.rupan los unos restantes si.uien!o la re.la a)< pu!ien!o usar (si es -oneniente) un uno ya a.rupa!o anterior,ente -) &e repite ) +asta realizar to!os los unos ara el -aso !e un-iones !e tres y !e !os ariales las talas son ,/s peueKas y la re.la !e or,a-in !e .rupos es la ,is,a &e inita al alu,no a su.erir -,o ser=as estas talas y isitar el r/-ti-o -orrespon!iente resolien!o los e*er-i-ios propuestos %&'&'&, #om+uertas ló!icas
La realiza-in pr/-ti-a (i,ple,enta-in) !e las un-iones l.i-as se +a-e por ,e!io !e las -o,puertas l.i-as ue son la ase -onstru-tia !e la ele-trni-a !i.ital o to!as las un-iones l.i-as presenta inter6s pr/-ti-o En la i.ura 5 se ,uestran las -o,puertas l.i-as ,/s -o,unes
i.ura 5 En la i.ura apare-en -o,puertas !e !os entra!as Existen -o,puertas !e ,/s entra!as !isponiles -o,er-ial,ente en -ir-uitos inte.ra!os (-+ips) en &&7 En un-in !e la -anti!a! !e -o,puertas por -+ip< se suele -lasii-ar a los C7 en es-alas !e inte.ra-in" &&7< es-ala !e inte.ra-in peueKa< +asta 10 -o,puertas por C7 M&7< es-ala !e inte.ra-in ,e!ia< !e 10 a 100 -o,puertas por C7 L&7< es-ala !e inte.ra-in .ran!e< !e 100 a 1000 -o,puertas por C7 L&7< es-ala !e inte.ra-in ,uy .ran!e< ,/s !e 1000 -o,puertas por C7 A la +ora !e i,ple,entar una un-in l.i-a es -uan!o se torna i,portante la ,ini,iza-in or e*e,plo< sea la un-in" (x, , 3) = Σ (, , -, )
&i i,ple,enta,os esta un-in sin ,ini,izar< otene,os el -ir-uito !e la i.ura
i.ura
