UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
TALLER : ALGEBRA MATERIAS : ALGEBRA DE FUNCIONES __________________________________________________________ S ea
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ÐEß ‘Ñ œ 0 Î0 À E Ò ‘ß E © ‘ ß entonces (0 „ 1Ñà Ð0 Ð 0 † 1Ñà también funciones de E Ò ‘ definidas por :
a) ,Ñ
Ð0 „ 1Ñ 1ÑÐÐBÑ œ 0ÐBÑ 0ÐBÑ „ 1Ð 1ÐB BÑ Ð0 † 1ÑÐBÑ œ 0 ÐB Ð BÑ † 1 Ð BÑ
-Ñ
Ð0 À 1ÑÐBÑ
œ
0ÐBÑ - 98 1Ð 1ÐBÑ 1ÐBÑ ß -9
Ð0 À 1Ñ son
Á!
Ejercicios resueltos: Dadas las funciones reales :
à 1ÐBÑ œ $BB
%$0 ÐBÑ œ B# $B "
à 2ÐBÑ œ B # B$
determinar: a)
Ð0 1ÑÐBÑ solución: B$ $B$ "$B "$B# "'B "'B" " Ð0 1ÑÐB 1ÑÐBÑÑ œ 0ÐBÑ 0ÐBÑ 1ÐBÑ 1ÐBÑ œ B # $B " $B$ B % œ $B%
a" Ñ
(0 1ÑÐ #Ñ œ
bÑ
(2Î1ÑÐBÑ
$Ð#Ñ$"$Ð#Ñ#"'Ð#Ñ" œ $# $Ð#Ñ%
Solución: (2Î1ÑÐBÑ œ b" Ñ
(2Î1ÑÐ#Ñ œ
c)
Ð0 † 2ÑÐBÑ
B# B$ B$ $B%
œ
ÐB$$ÑÐ$B%Ñ BÐB$Ñ
Ð#$$ÑÐ$†#%Ñ œ && #Ð#$Ñ
Solución:
Ð0 † 2ÑÐBÑ 2ÑÐBÑ œ 0 ÐBÑ ÐBÑ † 2ÐBÑ 2ÐBÑ œ ÐB ÐB # $B "Ñ † ÐB # B$Ñ œ B% $B $ B# $B B$ * Ejercicios propuestos: En los siguientes ejercicios, hallar las funciones indicadas y determine en cada caso su dominio.
+)
0 ÐB ÐBÑ œ $B# #B %
à 1Ð 1 ÐBÑ œ $B " à Ð0 Ð0 1ÑÐBÑ
,Ñ
0 ÐBÑ œ B
à 1Ð 1ÐBÑ œ
-Ñ
0 ÐB ÐBÑ œ Ð$B )Ñ #
.Ñ
0 ÐB ÐBÑ œ #
/Ñ
0 ÐB ÐBÑ œ B # "'
0Ñ
0 ÐBÑ œ $B
"
È # B $
È B # à Ð0 Î1ÑÐBÑ
à 1Ð 1ÐBÑ œ B à 1Ð 1ÐBÑ œ
" B
È *B
#
à 1Ð 1ÐBÑ œ B % "
È B "
à 1ÐBÑ œ $B
http://146.83.190.52/matematicas/varios/victor http://146.83.190.52/matematicas/varios/victor
à Ð0 Ð0 † 1ÑÐBÑ
à Ð0 Ð0 † 1ÑÐBÑ à Ð0 Ð0 1ÑÐBÑ à Ð0 Ð0 1ÑÐBÑ
%(
à Ð0 Ð0 † 1ÑÐBÑ
à Ð0 Ð0 ‡1 ‡1ÑÐBÑ
à Ð0 Ð0 Î1 Î1ÑÐBÑ
"
à Ð0 1ÑÐBÑ
È B"
Prof:
à Ð0 Î1ÑÐBÑ
Victor Henriquez Rojas
Ejercicios propuestos:
"Ñ Hallar, si es posible, las funciones compuestas Ð0 ‰ 1Ñ C Ð1 ‰ 0 Ñ, justifique su existencia, y cuando no exista, exista, redefinala redefinalas s si es posibleß y halle las compuesta. compuesta.
#Ñ
0 ÐBÑ œ " B #
à 1ÐBÑ œ
,Ñ
0 ÐBÑ œ B# B &
à 1ÐBÑ œ B %
-Ñ
# 0 ÐBÑ œ B"
à 1ÐBÑ œ B # "
.Ñ
0 ÐBÑ œ
/Ñ
0 ÐBÑ œ B"
" à 1ÐBÑ œ B '
0Ñ
0 ÐBÑ œ B#B&
à 1ÐBÑ œ $B
1Ñ
0 ÐBÑ œ B$ %
à 1ÐBÑ œ
È B
#
"
à 1ÐBÑ œ B "
È B %
Dada la función compuesta Ð0 ‰ 1Ñ hallar las correspondientes funciones 0 C 1
+Ñ -Ñ 3)
È B "
+Ñ
Ð0 ‰ 1Ñ œ ÐB # &Ñ $ Ð0 ‰ 1Ñ œ Ð$B "Ñ # Ð$B "Ñ
È
Ð0 ‰ 1Ñ œ $ B B # Ð0 ‰ 1Ñ œ #B#")B
,Ñ .Ñ
(*)
Dadas las funciones compuestas : +Ñ 0 ÐB "Ñ œ $B #ß hallar una expresión para 0 ÐBÑ Solución: Sea ? œ B "
Ö
B œ ? " . Entonces,
0Ð?Ñ œ $Ð? "Ñ # œ $? & 0ÐBÑ es: 0ÐBÑ 0ÐBÑ œ $B & Por lo tanto, la expresión para 0ÐBÑ ,Ñ
0 ÐB $Ñ œ &B )ß
hallar una expresión para 0 ÐBÑ
-Ñ
0 Ð#B (Ñ œ B# $ß
hallar una expresión para 0 ÐBÑ
.Ñ
0 Ð" #BÑ œ Bß
hallar una expresión para 0 ÐBÑ
/Ñ
B $B# 0 Ð # $ Ñœ % ß
hallar una expresión para 0 ÐBÑ
Determine las siguientes funciones compuestas justificando su existencia:
1ÐBÑ œ B # ;
2ÐBÑ œ B" &
1ÐBÑ œ B % ;
2ÐBÑ œ &B $
+Ñ
Ð0 ‰ 1 ‰ 2ÑÐBÑß
si
0 ÐBÑ œ $B # ;
,Ñ
Ð0 ‰ 1 ‰ 2ÑÐBÑß
si
0 ÐBÑ œ
-Ñ
Ð0 ‰ 1 ‰ 2ÑÐBÑß
si
0 ÐB Ñ œ B $ ;
#Ñ
Dadas las siguientes funciones compuestas, identificar las funciones que la componen:
È B
#
+Ñ
>ÐBÑ œ
-Ñ
# >ÐBÑ œ BB# # #
È B ; $
#B
¹
2ÐBÑ œ B& #
1ÐBÑ œ #B & ;
$
¹
,Ñ
# >ÐBÑ œ 68 "B "B#
.Ñ
>ÐBÑ œ 691 B 68B #
¹
¹
¸
¸
Graficar Graficar las siguientes siguientes funciones funcionesß indicando indicando en cada caso H97ß V /- ß G /<9=:
¸
+Ñ
0 ÐBÑ œ B )
.Ñ
0 ÐBÑ œ B"
1Ñ
" 0 ÐBÑ œ BB #
¸
¹ ¹
¹
¹
http://146.83.190.52/matematicas/varios/victor http://146.83.190.52/matematicas/varios/victor
,Ñ
0 ÐBÑ œ B &
¸
¸
-Ñ
0 ÐBÑ œ B # $B #
/Ñ
0 ÐBÑ œ B B
0Ñ
0 ÐBÑ œ B B
2Ñ
0 ÐBÑ œ B B"
¸ ¸
¸
¸
¹ ¹ Prof:
Victor Henriquez Rojas
¸
¸
Definición : Sea 0ÐBÑ una función real, diremos que : a)
0 /= T EV
,Ñ
0 /= MQTEV Í 0 Ð BÑ œ 0 ÐBÑà aBß B − H97 0
Í 0 Ð BÑ œ 0 ÐBÑ
;
aBß B − H97 0
Ejemplo : Determinar si la función 0 ÐB ÐBÑ œ B# $, es par, impar o no satisface ninguna de las condiciones. Solución :
0 Ð BÑ œ Ð BÑ # $ œ B # $ œ 0 ÐB ÐBÑ ,
¾ 0 /= T EV E VÞ
0ÐBÑ œ B $ $Bß es par, impar o no satisface ninguna de las Ejemplo : Determinar si la función 0ÐBÑ condiciones. Solución :
0Ð BÑ œ Ð BÑ3 $Ð BÑ œ B $ $B œ ÐB $ $BÑ $BÑ œ 0ÐBÑ ¾ 0 /= /= MQT EVÞ
0ÐBÑ œ B $ $Bß es par, impar o no satisface ninguna de las Ejemplo : Determinar si la función 0ÐBÑ condiciones. Solución :
0Ð BÑ œ Ð BÑ3 $Ð BÑ œ B $ $B œ ÐB$ $BÑ $BÑ Á 0 ÐBÑ ÐBÑ ÐB$ $BÑ $BÑ Á 0ÐBÑ 0ÐBÑ ¾ 0 89 89 /= TEV 83 MQT EVÞ EVÞ
Ejercicios propuestos : Determinar si las funciónes siguientes son pares, impares o no satisfacen ninguna de las condiciones, determine además los ceros y estudie las simetrías. a)
0 ÐBÑ œ #B$ B "
c)
0 ÐBÑ œ
È " B B
e)
0 ÐBÑ œ
É ¸B #¸ B
g)
##B 0 ÐBÑ œ B#BB #
#
#
http://146.83.190.52/matematicas/varios/victor http://146.83.190.52/matematicas/varios/victor
(*)
b)
0 ÐB Ñ œ " B B %
d)
0 ÐB Ñ œ B $
f)
# 0 ÐBÑ œ $BB$&B #
hÑ
0 ÐBÑ œ $B % #B # )
Prof:
Victor Henriquez Rojas
