BECERRA SULCA ANTHONY ANDREE [20072568H]
PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA N°1 2012-1)
(extraído de la P.C. 1, Semestre
F( a , b , c)=(a+ bc) a(a+ c)
a). Dada la función booleana:
Hallar su complemento y expresarlo en producto de términos máximos SOLUCIÓN: Nos piden su complemento, entonces: ************************** Recordar la LEY DE MORGAN:
´ B= A ´ .B ´ A+
´ A ´. B= A´ + B
Y
Según el problema: Se tiene
F( a , b , c)=(a+ bc) a(a+ c)
:
Aplicando complemento
:
F( a ´, b , c)=(a+ bc)´a(a+ c)
Aplicando Ley de Morgan
:
´ ) F( a ´, b , c)=(a+´ bc)+ a´ + (a+c ´ ´c ) ) + a´ +( a´ . c´ ) F( a ´, b , c)=( a´ .( b+
Ahora se debe recordar la LEY DE ABSORCIÓN:
A + ( A . B )=A ´ . B )= A+ B A +( A
A . ( A+ B )=A ´ +B )= A . B A .( A
a´ + ( ´a . c´ )= a´
En la función se observa:
´ ´c ) ) + a´ =a´ F( a ´, b , c)=( a´ .( b+
Luego:
Por lo tanto, la función complemento es
a´ .
Luego nos piden expresarlo como producto de términos máximos Utilizando la tabla de verdad:
F( a ´, b , c)= ´a
a
b
c
F=´a
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Mediante este método se debe saber que: El 1: son los términos mínimos El 0: son los términos máximos
1 1 1 1 0 0 0 0
SULCA ANTHONY ANDREE [20072568H] Nos piden el PRODUCTO DE TÉRMINOS MÁXIMOS: Observando la tabla:
´ )( a´ + b´ + c´ ) F( a ´, b , c)=( a´ + b+c)( a´ +b+ ´c )( a´ + b+c
F( a ´, b , c)=Π (4,5,6,7) b). Es verdadero o falso, justifique:
´ ) ( ´y . z )=0 ( x+ y ) ( ´z +w SOLUCIÓN: Sea:
F ( x , y , z , w )=( x+ y ) ( ´z +´ w ) ( ´y . z )=0
Aplicando la negación:
´ F ( x , y´ , z , w )=( x+ y ) ( ´z +´ w ) ( ´y . z )=1 Simplificando la nueva función booleana:
´´ ) ( ´y . z ) ( x+ y ) ( ´z +w Por la LEY DE MORGAN:
( x+´ y)+ ( ´z +w )+( ´y´. z )
Resolviendo:
´x . ´y + ´z + w+ y + ´z
********************** Tener en cuenta que:
´z + ´z =´z ´x . ´y + y= y + x´ Simplificando:
F ( x , y´ , z , w )= ´x + y + ´z ≠ 1→ F ( x , y , z , w ) ≠ 0
Respuesta: Se observa que el resultado final depende de la variables x, y, z; por lo tanto, se concluye que la función F no necesariamente será igual a 0
BECERRA SULCA ANTHONY ANDREE [20072568H] PROBLEMA N°2 1)
(extraído de la P.C. 1, Semestre 2012-
a). Demostrar que:
F ( A , B , C , D )= B´ ( A ⊕ C ) + B ( A ⊕ ( C ⊕ D ) )=Σ(2,3,5,6,8,9,12,15) SOLUCIÓN: ******************* Recordar que el operador
⊕
es “or exlusivo”:
´ . B+ A . B= ´ A ´ . B+ ´ A .B A ⊕B= A Se tiene:
F ( A , B , C , D )= B´ ( A ⊕ C ) + B ( A ⊕ ( C ⊕ D ) )
Remplazando la función XOR:
´ . C+ A . C ´ ) + B ( A ⊕ ( C´ . D+C . D ´ )) F ( A , B , C , D )= B´ ( A
´ ´ . C+ A . C ´ )+ B ( A ´ . ( C´ . D+C . D ´ )+ A . (C ´ . D+C ´ )) F ( A , B , C , D )= B´ ( A .D ´ B¿¿ F ( A , B , C , D )= B´ . A´ .C + B´ . A . C+ ´ B.A ´ .C ´ . D+B . A ´ . C . D+ ´ B . A .(CD+ C´ D) ´ ¿ F ( A , B , C , D )= B´ . A´ .C + B´ . A . C+ ´ B´ C+ A B ´ C+ ´ A ´ BC ´ D+ A´ BC D+ ´ AB C ´ D+ ´ ABCD F ( A , B , C , D )= A ******************** Se aplicará la propiedad:
X =X ( Y + Y´ )= XY + X Y´
´ B´ C( D+ D)+ ´ AB ´ C´ (D+ D)+ ´ A´ B C´ D+ A ´ BC D+ ´ AB C´ D+ ´ ABCD F ( A , B , C , D )= A Expresado mediante la SUMA DE TÉRMINO MÍNIMOS:
´ B´ CD+ A ´ B´ C D+ ´ AB ´ C´ D+ A B´ C´ D+ ´ A ´ BC ´ D+ A´ BC D+ ´ AB C´ D+ ´ ABCD F ( A , B , C , D )= A ´ B´ C D+ ´ A ´ BCD ´ ´ B C´ D+ A´ BC D+ ´ AB ´ C´ D+ ´ A B´ C´ D+ AB C´ D+ ´ ABCD F ( A , B , C , D )= A +A F ( A , B , C , D )=Σ(2,3,5,6,8,9,12,15)
… queda demostrado
A SULCA ANTHONY ANDREE [20072568H] b).Demostrar que:
A ⊕ ( B ⊕ C )=( A ⊕ B)⊕ C , donde
⊕
es el operador or
exclusivo SOLUCIÓN:
A ⊕(B ⊕C )= A ⊕( B´ . C+ B . C´ ) ´ B . C´ ) + A ´ .C + ´ ( B´ . C+ B . C´ ) A ⊕ ( B ⊕ C )= A ( B ´ ´.C . B ´. C´ )+ A ´ (B ´ . C+ B . C) ´ A ⊕ ( B ⊕ C )= A ( B ´ B+C)+ ´ ´ B´ . C+ B . C´ ) A ⊕ ( B ⊕ C )= A(B+ C).( A( ´ A( ´ B ´ .C + B . C) ´ A ⊕ ( B ⊕ C )= A(BC + B´ C)+ ´ A´ B´ C+ A ´ BC ´ A ⊕ ( B ⊕ C )= ABC+ A B´ C+ ´ A´ B´ C+ A ´ B C=A ´ ´ A´ B´ C+ ABC A ⊕ ( B ⊕ C )= ABC+ A B´ C+ B´ C´ + A´ B C+ ´ A´ B ) C+( ´ A ´ B+ ´ AB)C A ⊕ ( B ⊕ C )= A B´ C´ + A´ B C´ + A´ B´ C+ ABC =( A B+ ´ AB ) C=( A ⊕ B ) C+ ´ ( A ⊕ B) C A ⊕ ( B ⊕ C )=( A B´ + A´ B ) C´ + ( A´ B+
A ⊕ ( B ⊕ C )=( A ⊕ B ) C´ + ( A ⊕ B ) C A ⊕ ( B ⊕ C )=( A ⊕ B ) ⊕ C
… queda demostrado
A SULCA ANTHONY ANDREE [20072568H] PROBLEMA N°3 Semestre 2013-III)
(extraído de la P.C. 1,
En el circuito que se muestra a continuación fue diseñado para implementar la función lógica
´ F ( A , B , C , D )= A B´ D+B C´ D+ BC D , pero
no funciona correctamente. Loa cables de entradas de las puertas 1, 2 y 3 están enmarañados y apretados que nos llevaría mucho tiempo seguir cada cable para ver si la entradas son correctas. Sería muy útil encontrar un método que nos permitiera seguir tan solo
el
cable
mal
conectado.
Cuando
A=B=0 y C=D=1 . Las
entradas y salidas de las puerta 4 son como se muestran. ¿Qué puerta(s) está conectada incorrectamente o está funcionando mal?
SOLUCIÓN: De acuerdo al gráfico, nos piden hallar la(s) compuerta(s) que está(n) en mal funcionamiento Examinando compuerta 4:
la
´ 1+0+0=0 Entonces se observa que la compuerta 4 está en mal funcionamiento Función lógica
´ F ( A , B , C , D )= A B´ D+B C´ D+ BC D ´ ´ F ( A , B , C , D )= A B´ D+B C´´ D+ BC D ´´ ´ D . BC´ D ´ F ( A , B , C , D )= A B´´ D . B C
A SULCA ANTHONY ANDREE [20072568H] Una equivalencia del grafico mostrado es:
´´ ´ D . BC´ D ´ F ( A , B , C , D )= A B´´ D . B C Según
el
problema:
A=B=0 y C=D=1 Se puede designar:
Puerta 3:
Puerta 1:
´ A B´´ D=0.1.1=1
Puerta 2:
B C´´ D=0.0´ .1=1
´ 0.1´ .0=1 BC´ D=
Entonces se observa que también la compuerta 1 se encuentra en mal funcionamiento. Analizando la compuerta 1
´ 0+ ´ 0+ 1=1 ´ A B´´ D= A´ +B + D=
Puerta 1:
Pero según el grafico se observa que su resultado es igual a 0, entonces:
´ A B´´ D= A´ +B + D=0 → 0+0+ 0=0 Si:
´ A=0→ A=1 B=0 ´ D=0 → D=1
Entonces
A=1, B=0 y D=1 ; según este análisis se puede decir que
el cable mal conectado es el “A”, pero el proceso se puede rotar o repetir con las otras compuertas y nos ocasionaría diferentes resultados. Por lo tanto, no se puede averiguar con exactitud el cable mal conectado.
A SULCA ANTHONY ANDREE [20072568H] PROBLEMA N°4 2013-III)
(extraído de la P.C. 1, Semestre
Con el uso del Mapa de Karnaugh, encuentre la forma más simple en suma de productos de la función
F=f . g
, donde
f yg
están
dados por:
´ D+ A ´ C D+ ´ A ´ B C´ f = AB C´ + C ´ D)( ´ A+ ´ B+ ´ D)( A+ ´ B+ D) g=(A + B+ C+ SOLUCIÓN: *El objetivo es expresar la función f en término mínimos y luego en términos máximos.
´ C ´ D+ A´ C D+ ´ A ´ B C´ f ( A , B , C , D)=AB C+ ´ ´ B+ B) ´ C´ D+ A ´ C D( ´ B+ B)+ ´ A´ B C´ ( D+ D) ´ f ( A , B , C , D)=AB C´ (D+ D)+( A + A)( ´ AB+ A B+ ´ A ´ B+ A ´ B) ´ C´ D+ A ´ BC D+ ´ A ´ B´ C D+ ´ A ´ BC ´ D+ A ´ B C´ D¿ ´ f ( A , B , C , D)=AB C´ D+ AB C´ D+(
´ AB C´ D+ A B ´ C´ D+ A´ B C´ D+ A ´ B ´C ´ D+ A ´ BC D+ ´ A ´ B ´ C D+ ´ A ´ B C´ D+ A ´ f ( A , B , C , D)=AB C´ D+ AB C´ D+ ´ A B´ C´ D+ A ´ BC ´ D+ A´ B´ C´ D+ A ´ BC D+ ´ A ´ B´ C D+ ´ A ´ BC ´ D ´ ¿ f ( A , B , C , D)=AB C´ D+ AB C´ D+ f ( A , B ,C , D ) =Σ ( 1,2,4,5,6,9,12,13 )=Π (0,3,7,8,10,11,14,15)
**El objetivo es expresar la función g en términos máximos.
´ D)( ´ A+ ´ B+ ´ D+C . C)( ´ A+ ´ B+ D+C . C´ ) g( A , B , C , D)=( A + B+ C+ ´ D)( ´ A+ ´ B+C ´ ´ + B+ ´ C+ ´ D)( A+ ´ B+C+ D)( A+ ´ B+ C´ + D) g( A , B , C , D)=( A + B+ C+ + D)( A g( A , B , C , D)=Π (3,8,10,12,14)
*** Como piden
F=f . g=Π ( 0,3,7,8,10,11,14,15 ) . Π (3,8,10,12,14)
F=f . g=Π ( 0,3,7,8,10,11, 12,14,15 )=Σ(1,2,4,5,6,9,13) Utilizando el Mapa de Karnaugh
´ CD ´ L azo 1= A ´ BD ´ Lazo 2= A Lazo 3=C´ D La función simplificada de F es:
´ C D+ ´ A´ B D+ ´ C´ D F ( A , B , C , D )= A
