Álgebra
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E D U C A C A C I Ó N S E C U N D A R I A
ÁLGEBRA
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El libro de ÁLGEBRA 3, para el tercer año de educación secundaria, se complementa con el CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 3 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima.
Título de la obra:
Álgebra 3
Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria Hernán Hernández Bautista Director Académico: Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista Elvis Valerio Solari Asesor Académico:
Elvis Valerio Solari
Tomas Granados Marcelo Diseño y Diagramación: Eduardo Tomas Norma Guadalupe Guerrero Noel Marco Antonio Lizárraga Podestá Podestá
Corrección de Estilo:
Victor Francisco Bautista Victor Emilio Ventura Ventura Bismarck
Fotografía:
Yuri Hernández Hernánde z Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web
Primera edición: Tiraje:
Setiembre 2015 5000 ejemplares
Editado por: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail:
[email protected] Impreso en los talleres gráficos de Corporación Gráfica Navarrete S.A. Carretera Central 759 km 2 Sta. Anita - Lima 43 Impreso en Octubre 2015 Teléfono: (01) 362-0606 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio. Número de Proyecto Editorial: 31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-14416 ISBN: 978-612-4302-02-2
PRESENTACIÓN AL MAESTRO: El Estado Peruano dirige la política educativa a través del Ministerio de Educación. Sin embargo, la tarea de la educación es responsabilidad de todos los peruanos, en especial de los educadores, los educandos, las autoridades educativas y los padres de familia. El Diseño Curricular Nacional (DCN) de Educación Básica Regular, Regular, formulado por el Ministerio de Educación fija el marco de nuestro trabajo educativo, trabajo que desarrollamos con los textos escolares de Matemática Geniomátic de educación secundaria. Compartimos la propuesta de “Ofrecer una educación integral a los estudiantes mediante una formación científica, humanística y técnica. Afianzar su identidad personal social. Profundizar los aprendizajes logrados en el nivel de Educación Primaria. Orientar al desarrollo de capacidades que permitan al educando acceder a conocimientos humanísticos, científicos y tecnológicos en permanente cambio. Formar para la vida, el trabajo, la convivencia democrática, el ejercicio de la ciudadanía y para niveles superiores de estudio. Tenemos Tenemos en cuenta las características, ca racterísticas, necesidades y derechos de los púberes y adolescentes“. La labor docente, particularmente en Matemática, es una tarea apremiante en la que Geniomátic pretende apoyar, por lo que esperamos que este texto sea una herramienta útil y eficiente que aligere el trabajo con sus estudiantes.
AL ESTUDIANTE: ¿Qué piensas de la Matemática? El concepto que tengas de la Matemática es muy importante para tu aprendizaje. Algunos piensan que la matemática es un conjunto de reglas y fórmulas que hay que memorizar para el examen. Otros piensan que es un invento de muchos genios, difícil de comprender. comprender. Ambas ideas pueden perjudicar tu aprendizaje. La matemática es lógica y sentido común. Si en una caja pones 10 manzanas y le agregas 5 más, tendrás 15 manzanas. Si manejo un carro que yendo a 100 kilómetros por hora frena en 50 metros, el sentido común me dice que necesito unos 100 metros por adelante, para que en caso de una emergencia tenga tiempo de reaccionar y frenar con tranquilidad. En caso contrario debo bajar la velocidad. Los conocimientos matemáticos son muy útiles para resolver problemas de cuantificación como calcular áreas de terrenos, cantidad de materiales para construcción, estimar el tiempo de producción de un artefacto, etc. Este libro te ofrece una oportunidad para involucrarte en el maravilloso mundo de las ideas matemáticas, donde no hay límites para tu curiosidad, donde puedes explorar, explorar, imaginar, cuestionar, cuestionar, verificar, verificar, proponer, proponer, preguntar, preguntar, responder preguntas desde tu punto de vista, compartir tus inquiei nquietudes y trabajar en equipo. En este texto encontrarás los conocimientos matemáticos siempre asociados a una aplicación práctica que te servirán de guía para que hagas lo mismo con los ejercicios de la Actividad. Además, cuentas con alcances en la columna derecha, que reforzarán, te ayudarán a recordar y te informarán del tema principal. Los cuatro textos van acompañados por un Cuaderno de Trabajo que contienen ejercicios similares a los de la Actividad y otros, seleccionados en tres niveles de dificultad, para que puedas practicar, practicar, reforzar y profundizar tus conocimientos.
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3
ESTRUCTURA DEL TEXTO Sección inicial de la unidad Imagen motivadora Fotografía ilustrada que conecta una situación real con el tema de aprendizaje.
Número de la unidad Título de la unidad Imagen secundaria Imagen que muestra un detalle relacionado con el tema de la lectura.
Aprendizajes esperados y actitudes Contiene el listado de las capacidades que desarrollarás en la unidad.
Lectura motivadora Explica la relación entre la Matemática y una situación objetiva. Además formula preguntas que propician el análisis y reexión sobre el tema.
Sección central Número de capítulo Título del capítulo Recuperación de saberes previos Plantea situaciones que te servirán de base para iniciar el tema nuevo. Es algo que conoces o has tratado en los capítulos anteriores.
Formalización Contiene las deniciones y conceptos de los términos matemáticos.
Generación del conicto cognitivo Es una pregunta que tendrás que responder con el desarrollo o al terminar el capítulo.
Información complementaria Lecturas, notas, observación, historias, recursos tecnológicos, que contribuyen a reforzar y recrear el tema.
Problemas Plantea una aplicación desarrollada del tema.
Problemas Plantea una aplicación desarrollada del tema.
Actividad Es un conjunto de preguntas de análisis, reexión, de valoración, demostración, cálculo, búsqueda de relaciones, para que desarrolles, individual o colectivamente, con apoyo de tu profesor o tus compañeros.
Proyecto de aprendizaje Título del proyecto de aprendizaje Situación problemática Describe el tema del proyecto, su relación con la Matemática y el modo cómo abordamos en el proyecto.
Propósito del proyecto Expone los objetivos que se pretenden alcanzar con la realización del proyecto.
4
3
Gráfco ilustrado Actividades Contiene las etapas de ejecución del proyecto, paso a paso, y el tiempo que debe demandar cada etapa. Metacognición Son preguntas de reexión sobre los cono cimientos que has adquirido y tu grado de participación en la ejecución del proyecto.
ÍNDICE SECCIÓN INICIAL Capítulo 01:
01
ACTIVIDAD PROYECTO DE APRENDIZAJE
SECCIÓN CENTRAL Números reales
7
Actividad 01
9
10
Actividad 02
12
Capítulo 03: Expresiones algebraicas Polinomios Polinomios especiales
13
Actividad 03
16
Capítulo 04: Multiplicación algebraica Productos notables
17
Actividad 04
19
Capítulo 05: División algebraica I División de polinomios Métodos de división polinomial Teorema del resto o descartes
20
Actividad 05
22
Capítulo 06: División algebraica II Cocientes notables
23
Actividad 06
25
27
Actividad 07
28
29
Actividad 08
30
31
Actividad 09
34
35
Actividad 10
36
37
Actividad 11
39
40
Actividad 12
42
Sistema de los números reales Capítulo 02:
Exponentes y radicales Leyes de exponentes
NÚMEROS REALES Y POLINOMIOS 6
Capítulo 07:
02
Factorización I Factorización por identidades
Capítulo 08:
Factorización II Método del aspa
Capítulo 09:
Factorización III Método de los divisores binómicos
FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES 26
Capítulo 10: Cantidades imaginarias Unidad imaginaria Potencias enteras de la unidad imaginaria Capítulo 11:
Ecuaciones de 2do grado con una incógnita Resolución de la ecuación cuadrática Capítulo 12:
Ecuaciones II
Análisis de las raíces de una ecuación cuadrática Propiedades
Inecuaciones I
PROYECTO DE APRENDIZAJE 43 Resolviendo ecuaciones de 2° grado
45
Actividad 13
46
47
Actividad 14
49
50
Actividad 15
51
52
Actividad 16
53
54
Actividad 17
55
Capítulo 18: Relaciones binarias Relación Propiedades de las relaciones
56
Actividad 18
60
Capítulo 19: Funciones I Función Función lineal
62
Actividad 19
65
Funciones II
66
Actividad 20
68
69
Actividad 21
70
71
Actividad 22
73
74
Actividad 23
76
77
Actividad 24
79
Capítulo 13:
03
Ecuaciones I
Inecuaciones de 1° grado con una incógnita Capítulo 14:
Inecuaciones II Inecuaciones de 2° grado con una incógnita
Capítulo 15:
Inecuaciones III Inecuaciones fraccionari as
Capítulo 16:
Valor absoluto I Ecuaciones con valor absoluto
INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO 44
04
Capítulo 17:
Valor absoluto II Inecuaciones con valor absoluto
Capítulo 20:
Función cuadrática Gráca de la función cuadrática Capítulo 21:
Funciones III Función raíz cuadrada
Capítulo 22:
FUNCIONES
Funciones IV Función valor absoluto
Capítulo 23:
Funciones V Trazado de grácos de funciones
61
Capítulo 24:
Funciones VI Modelación de funciones
3
5
Unidad
01
Automatización industrial
NÚMEROS REALES Y POLINOMIOS AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL La automatización es un sistema en el que las tareas que habitualmente se realizan con operadores humanos son transferidas a elementos tecnológicos mecanizados. Consta principalmente de dos partes, la parte operativa, que son los elementos que hacen que las máquinas realicen las tareas deseadas, y el mando, que consiste esencialmente en un software controlado por una computadora. Una expresión algebraica representa un número que se obtiene sustituyendo las variables por su s valores. Las operaciones indicadas indican qué operaciones se deben realizar con los valores de las variables para obtener el resultado. tización de proceso toma ti Esquema de au to
- Encuentra una expresión algebraica que exprese tu gasto personal al mes. http://www.grupo-maser.com/
APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza Razonamiento y situaciones demostración
Comunica y Comunicación representa matemática
Elabora y usade Resolución estrategias problemas
• Reconoce a qué conjun- • Clasifica las expresio-
• Emplea diversas es-
nes algebraicas. • Describe los polinomios especiales. • Expresa el desarrollo de una expresión • Usa el valor numérico de algebraica como un una expresión algebraica. producto notable. • Identifica los cocientes • Emplea esquemas para notables. dividir polinomios.
trategias para resolver problemas con teoría de exponentes. • Emplea diversas estrategias para realizar operaciones con expresiones algebraicas, productos notables y división algebraica.
to numérico pertenece un número dado. • Reconoce las propiedades de la teoría de exponentes.
6
3
Razona Valoresyy argumenta actitudes • Propone ejemplos re-
ferentes a los sistemas numéricos. • Explica la importancia de la utilización de la teoría de exponentes, las expresiones algebraicas, productos notables, división algebraica y cocientes notables.
01
O L U T Í P A C
NÚMEROS REALES SISTEMA DE LOS NÚMEROS NÚMEROS REALES ¿Los números racionales pueden expresar la medida de cualquier longitud?
¿Cuántos números enteros hay entre –5 y 5?
{–4; –3; ...; 3; 4}
2
Ten Presente
El número cero (0) es la propiedad del conjunto nulo o vacío.
NÚMEROS NATURALES El número es una propiedad de los conjuntos. Estos conjuntos tienen la propiedad de que entre sus elementos se puede establecer una correspondencia de uno a uno. Esta propiedad se llama "número tres" y se simboliza por "3". Así surgen los números naturales en la historia, cuando el hombre comienza hacer corresponder los diversos conjuntos de su entorno con los dedos de sus manos. Al abstraer la propiedad liberó los dedos y se quedó con los nombres y símbolos que hoy conocemos conocemo s como los números naturales. Posteriormente surgió el cero como una propiedad del conjunto vacío.
Algunos autores no consideran el cero como número natural. Si no consideramos el cero como número natural, no tendría sentido la escritura de los números naturales que contienen cero, como 100; 408; etc.
Conjunto de los números naturales: N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
NÚMEROS ENTEROS
Nota
En N se puede sumar y multiplicar sin problemas, pero al restar, por ejemplo, 7 – 10, no encontramos la solución dentro N. Denimos el opuesto de un número natural distinto de cero como el mismo
número pero con signo (–). Estos números y el N forman el conjunto de los números enteros. Conjunto de los números enteros:
–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; ...} Z = {...; Z–
cero
Z+
(enter (enteros os negativ negativos) os) (enter (enteros os positiv positivos) os)
NÚMEROS RACIONALES Al dividir 7 entre 10 no resulta entero. Entonces para todo entero a diferente 1 1 de cero, se dene el inverso de a, denotado por , tal que a · = 1.
Fracción y número racional
Toda fracción es racional pero no todo racional es fraccionario. El número 3/7 es fraccionario y es racional. El número 15/5 es racional pero no es fraccionario, puesto que 15/5 = 3 es entero.
a a Por ejemplo, la división de 7 entre 10, se dene como el producto de 7 por el
inverso de 10, es decir: 7÷10 = 7×
1 10
=
7 10
(Número racional).
Por lo tanto, los números racionales son todos los que se pueden expresar como la división de un entero entre otro diferente de cero. a
Conjunto de los números racionales: Q = { / a, b Z b 0} b
3
7
I B I M E S T R E
CAPÍTULO 01
NÚMEROS REALES
NÚMEROS IRRACIONALES
E R T S E M I B I
En un triángulo rectángulo de catetos 1, la hipotenusa resulta 2 , por el teorema de Pitágoras. El número 2 no es racio 2 nal puesto que no existen dos enteros que divididos den 2 = 1,414213562..., A con innitas cifras decimales no periódi0 1 cas. Por lo tanto, 2 se llama, irracional. Algunos números irracionales: 2 , p, 3 , e, log7, ...
B 1 1
2
2
NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales ( R) está conformado por la unión del con junto de los números racionales (Q) y el de los irracionales (I). Conjunto de los números reales: R = Q I.
SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES El sistema de los números reales consta de R dotado de las operaciones de adición y multiplicación y la relación de orden mayor que (>), sujetos a un conjunto de propiedades. Problema 1:
Demostración:
Demuestra que el nú-
15 =
mero 15 es racional.
15 1
. El número 15 se puede expresar como
la división de dos enteros, entonces es racional.
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL El valor absoluto de un número real se
x si x 0 |x| = –x si x < 0
dene por la regla mostrada a la derecha,
y se interpreta en la recta real, como la distancia del número al cero u origen.
|–5| = 5
|5| = 5
–5
Propiedades del valor absoluto
0
• |a| 0, a R
• |a| = |–a|
• |a|= 0 a = 0
• |ab|=|a|| b|
• |a|2 = a2
•
• |a|=
a2
b
• x – 2 = 2x – 1 x – 2 = 1 – 2 x
Calcula x en |x – 2| = 2x – 1.
x = –1
Pero x
Solución:
8
b
a =
• |a|=|b| a = b a = –b
Problema 2:
• 2x – 1 0 x
a
5
1 2
1 2
x = 1
x=1 Rpta.: 1
3
Historia LOS NÚMEROS REALES Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes, alrededor del año 1000 a.n.e. Alrededor del 500 a.n.e. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales.
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO 01
Problema 3:
¿Cuántos números racionales con denominador 12 existen entre 1/3 y 3/4? Solución:
Homogenizando las fracciones. •
1 3
⇒
1×4 = 4 3×4 12
•
3 4
⇒
3×3 = 9 4×3 12
Sea x la fracción que cumple: 1 < x < 3 4 < x < 9 ⇒ 3 12 12 12 Los resultados son: {5/12 ; 6/12 ; 7/12 ; 8/12} En total son 4 fracciones.
I B I M E S T R E
Rpta.: 4
Actividad 01 01 1
Indica el valor de verdad de las siguientes pro-
7
posiciones.
2
3
1. –1 ∈ N
2.
3.
4.
3
8
∈N
El producto de dos números irracionales siempre es un número irracional. ( b. La diferencia de dos números irracionales siempre es un número irracional. ( c. El cociente de dos números irracionales algunas veces es racional. (
a.
– 3 ∈Q 4 5
∈Q
¿Cuántos números racionales con denominador 18 existen entre 1/2 y 1/3? Copia la tabla en tu cuaderno y marca con un
los conjuntos a los que pertenece cada número. Número Conjunto
–13
24/9
7
8
9
N
I R
Escribe dos números que cumplan la condición:
9
a) Número entero no natural. b) Número racional no natural. c) Número real no racional.
6
)
¿Cuántos de los siguientes números son son irracionales? b) 2,141414... d) 0,2468111...
Escribe dos ejemplos para cada caso:
a) El cociente de dos números racionales es un número no entero. b) El producto p roducto de dos números irracionales es un número natural.
) )
x 3 x sea un número
Dado el conjunto: C={
)
Halla la suma de los 4 primeros valores enteros
positivos de x para que entero. 10
a) 0,414243444546... c) 0,12345678...
)
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? La suma de dos números irracionales es un número irracional. ( b. El cociente de dos números enteros siempre es un número racional. ( c. La suma de dos números racionales puede ser un número entero. (
Q
5
)
a.
Z
4
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son ververdaderas?
1;
2;
3;
4;
5 ; ... }
1. La adición en C cumple la ley de clausura.
(
)
2. La multiplicación en C cumple la ley de cerradura.
(
)
3. Cada elemento del conjunto C tiene su inverso multiplicativo.
(
)
3
9
02
O L U T Í P A C
EXPONENTES Y RADICALES
LEYES DE EXPONENTES ¿Cuál de las igualdades es correcta?
E R T S E M I B I
¿Es posible reducir a una sola raíz
(x3)4 = x3+4 5
x
3
=
5
x
x 3 x2 4 x 5 x3 ?
3
(x2)5 = (x5)2
Para operar con letras es preciso conocer todas las reglas. Buena parte (por no decir casi todo) de estas reglas están en las leyes de exponentes.
2
Ten Presente
DEFINICIONES • Exponente
• Exponente • Exponente
natural
cero
x , si n = 1 n x = xxx ... x , si n > 1
x N
negativo
x0 = 1
x–1 =
x R
n factores
• Exponente
x–n =
x 0
fraccionario
1
m n
x x
• 3–2 =
1 3
2
=
(negativo)par = positivo
=x
m n
(positivo)impar = positivo
n N n 2
•
9
45 =
(negativo)impar = negativo •
3
1
n 0
o
Ejemplos:
• (3481)0 = 1
5
43
TEOREMAS
1. Bases iguales
(–E)0 –(E)0
–1
1 •
(–E)par –(E)par
positivo negativo −n
x
xn xm = xn + m
x
n
n
a b • =
= xn – m x 0
m
b
a
Ejemplo:
Problema 1:
−
Solución:
Si xy = 5, calcula:
x3 y6 x 6 y 3 ⋅
⋅
⋅
x2 y4 x 4 y 2
( x 3 y 6 )( x 6 y 3 )
⋅
( x 2 y 4 )( x 4 y 2 )
⋅
⋅
x3 x6 y 6 y 3 ⋅
=
⋅
⋅
x2 x4 y 4 y 2 ⋅
⋅
⋅
=
x9y9 x6 y6
=
( xy)9 ( xy)6
= (xy)9 – 6 = (xy)3 = (5)3 = 125 Rpta.: 125
2. Potencia y raíz de raíz
10
• (xm)n = (xn)m = xmn
• {[(xm)n] p}q = xmnpq
• (xm yn z p)q = xmq ynq z pq
•
3
m n
x
=
mn
x
0n = 0
(positivo)par = positivo
n m x
n
1n = 1
x = n xm
1
x 0, n N
• 53 = 5 5 5 = 125
a1 = a
3 2 = 7 2 7 3
EXPONENTES Y RADICALES
Problema 2:
CAPÍTULO 02
Solución:
Si xy = 3, calcula:
x yx x yz y xy y − xz
x yx + yz y xy− xz x yz y − xz
( x y )x + z ( y x )y − z ( x − y ⋅ y x )− z
2
=
Ten Presente
x yz y − xz
= x yx yxy = (xy)xy = 33 = 27 Rpta.: 27
p
n p
( x m )n ≠ x m
I B I M E S T R E
3. Exponente común
(xyz)n = xn ynzn
n xy
= n x n y
n
x x n , y 0 y = y n
n
x
n
=
x
, y 0
n y
y
Datos Problema 3:
Rolución:
Si abc = 2 Calcula:
a3 b 5c 5 a 5 c 5 ⋅
3
a a 3 (bc b c )5 ( ac) 5 3 ( ac)−2 (bc) −3 ( ba) −5
3
⋅
b2
3 =
=
2
−
c
−
2
⋅
b
3
−
c
⋅
−
a15 b 13c 15
3
b
3 ⋅
15 13 15 2 a 3 b 3 c 3 b3
−
5
a
5
b2
=
=
a15
3
13 + 2 a c b 3 5 5
a
b 13
=
10 a 8 b 5c 10
3
−
3
b2
=
3 ⋅
3
7
−
b
8
−
c 15
(abc )5
3
c
3 5
⋅
b2
−
b2
=
2 5 = 32
Rpta.: 32
Exponentes El concepto básico de los exponentes se remonta al menos hasta la antigua Grecia, cuando Euclides usó el término "potencia" para indicar el número de veces que un número debía multiplicarse por sí mismo.
4. Radicales sucesivos n
x
m
y
p
z
=
n
x
nm
y
mnp
z
4
•
x3 y z =
n
x a ÷ xb ÷ x c
x6 y
24
z
Regla práctica para bases iguales n
=
m
p
x a xb xc
nmp
am x( am
+
b ) p+c
=
Problema 4:
Solución:
Reduce la expresión:
24 8
x 3 3 x 2 4 x 3 x 2 ÷ x 3 ÷ 4 x 2
13
8 x( 3⋅3+ 2) 4+1 13
24 x( 2⋅2− 3) 4+ 2
p
m
nmp
24
=
am x( am
−
b ) p+c
8 x 45 13
24 6 x
8 x 45 13
= 24 6 x
8 8
= 24 x 39 13
39 8 39 13 ⋅ = x 24 = x 24 13 = x
Rpta.: x
3
11
CAPÍTULO 02
EXPONENTES Y RADICALES
Problema 5:
Problema 6:
n+1 n+2 Reduce E = 4 n + n4+ 1 4 + 4
Simplica el valor de la expresión: 8×9×220 N = 30 28×310×208
Solución:
Descomponiendo y factorizando. E R T S E M I B I
E= 4
·41 + 4n·42
n
4 + 4 n
n
·41
Solución:
(4 + 42)
= 4 n 4 (1 + 4) n
Descomponiendo y factorizando. 8×32×220 28×38×58×32×220 N = (2×3×5) = 28×310×(22×5)8 28×310×216×58
Reduciendo:
28 10 8 = 224 ×310×5 8 = 24 = 16 2 ×3 ×5
n 2 2 E = 4 n(4 + 4 ) = 4 + 4 = 4 E = 2 4 (1 + 4) 1+4
Rpta.: 16
Rpta.: 2
Actividad 02 02 1
Resuelve y expresa cada
operación en la base
indicada. a)
24 3 ⋅ 16 4
125 ⋅
b)
2
2 3
25
6
Simplifca
8 +
5
516
7
Reduce:
x⋅ x x
x
⋅
en base 5
M=
0 , 25 4
−2
−1
b)
4
2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 2 x − 3 + 2 x − 2 + 2 x −1 + 2 x
8
8 3
4
625
Reduce cada expresión:
a)
Calcula el valor de
⋅
en base 2
( 48)3 3
5
5 2
Reduce aplicando propiedades de potenciación:
Calcula el valor de:
M=
1410 ⋅ 158 ⋅ 212 ⋅ 10 4 14 4 ⋅ 35 5 ⋅ 27 3 ⋅ 343
10 factores 644 744 8
E=
x 2 ⋅ x 2 ⋅ x 2 ... x 2 3 3 3 x34 ... x ⋅ x42 ⋅ x44 14 3
9
5 factores
Reduce la expresión y calcula su valor: a −b
121a
+
a −b
4
Simplifca y calcula el valor de la expresión: n+3 n+1 A = 5 n+2 + 5 n 5 – 5
12
3
10
Reduce la expresión
33 ⋅
a−b
121b
11a + b
x3 x 4 x 6
x −3 , 5
03
O L U T Í P A C
EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ¿Cuál de estas exex presiones algebraicas es irracional?
La expresión: (2x + 3 y)2, ¿es un binomio o un trinomio?
2x3 + 3 x3 – 2x
I B I M E S T R E
3x3 – 2 3 x + 5x
Un polinomio es toda expresión algebraica racional entera en la que sus coecientes indican el campo en el que está denido y sus variables pue den tomar cualquier valor numérico.
2 7
x2 – 3x denido en el campo racional.
La expresión general de un polinomio en una variable es:
• M(x) = x3 + 3x2 – 2 x denido en el campo real. •
N(x) = 2x4 – 3x3 + 2x–1
no es polinomio, por
Ten Presente
Los polinomios pueden ser de 1 o más variables.
• P(x) = 2x3 – 3x2 + 7 denido en el campo de los enteros. • Q(x) = 5x4 –
2
P(x) = a0xn + a1xn–1+...+ an–1x + an
contener x–1.
Donde: n N: grado del polinomio
VALOR NUMÉRICO
a0: coeciente principal
Calculemos el valor de P(x) = (x – 3)3 + (x – 1)2 para x = 5
an: término independiente a0; a1; ...; an: coecientes
Sustituimos x por 5: P(5) = (5 – 3)3 + (5 – 1)2 P(5) = 24.
8
16
El valor numérico de un polinomio es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por determinados valores numéricos. Problema 1:
Una partícula se mueve en línea recta según la expresión P( t) = 2t3 – 4t2 + 2, en metros donde t son los segundos que pasa desde el inicio del movimiento. ¿Qué distancia se desplazada entre el tercer y el quinto segundo?
Ejemplo: Grado
P(x) = 3x4 – 5x2 + 2x + 8 Coeciente principal
Coecientes
Término independiente
Polinomio Polin omio mónico
Solución:
Un polinomio es mónico si su
Hasta el 3° segundo: P(3) = 2(3)3 – 4(3)2 + 2 P(3) = 20
coeciente principal es 1.
Hasta el 5° segundo: P(5) = 2(5)3 – 4(5)2 + 2 P(5) = 152
P(x) = x3 – 3x2 – 5x es mónico
Entre el 3° y 5° segundo: 152 – 20 = 132 132 m
5s
152 m 20 m 3s 132 m
Q(x) = 3x3 + x2 – x + 3 no es
mónico
CAMBIO DE VARIABLE Consiste en reemplazar las variables del polinomio por otras variables o expresiones. • P(x) = x2 + 2x – 5 P(x + 1) = (x + 1)2 + 2(x + 1) – 5
3
13
CAPÍTULO 03
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Problema 2:
P( y 5(8) – 3 = 37 y) = 5 y – 3 P(8) = 5(8)
Si P(x + 2) = 5x + 7, calcula P(8).
Método 2:
Solución:
P( x + 2 ) = 5x + 7
8
Método 1: E R T S E M I B I
P(6 + 2) = 5(6) + 7 P(8) = 37
Hacemos x + 2 = y x = y – 2 Luego: P( y y) = 5( y y – 2) + 7
2
Ten Presente
Rpta.: 37
Términos semejantes
SUMA DE COEFICIENTES Y Y TÉRMINO TÉRMINO INDEPENDIENTE P(1) = 7(1) 3 + 5(1) – 10 P(1) = 7 + 5 – 10 = 2 P(x) = 7x3 + 5x – 10 3
Sea:
P(0) = 7(0) + 5(0) – 10 P(0) = –10
Suma de
coecientes Término independiente
Dos términos no nulos son semejantes si tienen las mismas variables cada una con el mismo exponente. 3x2 y5 y –8 y5 x2 son semejantes 5x2 y5 y 3x5 y2 no son semejantes
Se observa que: Suma de coecientes: coef. = P(1)
Término independiente: T.I. = P(0) Problema 3: Calcula
Solución:
coef. = P(1) = 6(1 – 2) 4 – 2(1 – 3)2 coef. = –2
la coef. y el
T.I. de:
6
8
T.I. = P(0) = 6(0 – 2)4 – 2(0 – 3)2 T.I. = 78
P(x) = 6(x – 2)4 – 2(x – 3) 3)2
96
18
Rpta.: –2 y 78
GRADO DE UN POLINOMIO
2
Ten Presente
Grado relativo.- El grado relativo respecto a una variable es el mayor ex-
ponente que muestra la variable en el polinomio.
El grado del término independiente de un polinomio no nulo es cero.
GRx = 5 (G.R. respeto a x) En P(x, y) = 3x2 y 7 – 2x3 y + 5x 5 y6
GR y = 7 (G.R. respeto a y)
P(x) = 3x3 + 5x2 + 7
GA = 3 GA = 2 GA = 0
Grado absoluto.- Para un monomio es la suma de los grados relativos.
Para un multinomio es el grado del término con mayor grado absoluto. GR y
GRx
P(x, y) = 2x2 y5 – x4 y4 + x5 y GA(P) = 8
GA = 7
GA = 8
GA = 6
Problema 4:
Solución:
Si el grado de P(x, y) = 3x2 y3 – 5x2 yn es 6, calcula el grado de Q(x, y) = x2n y2 + yn+3 x2
P(x, y) = 3x2 y3 – 5x2 yn
GA = 5
2 + n = 6
GA = 2 + n
7 x2 Q(x, y) = x8 y2 + y
n = 4
GA(Q) = 10
GA = 10 GA = 9
Rpta.: 10
14
3
Cuando no se especica el tipo
de grado se sobreentiende que se trata del grado absoluto.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CAPÍTULO 03
POLINOMIOS ESPECIALES Los polinomios especiales se distinguen por alguna característica especial.
POLINOMIO ORDENADO P(x) = 3 + x2 – 2x3 + x4
ordenado ascendentemente
Q(x) = x5 + 3x3 – x + 2
ordenado descendentemente
Los exponentes de sus variables están ordenados.
I B I M E S T R E
POLINOMIO COMPLETO P(x) = x4 – 2x + 3 + x2 – 3x3
Este polinomio de grado 4 es completo, porque contiene todos los términos desde grado cero hasta el grado 4.
Ordenando: P(x) = x4 – 3x3 + x2 – 2x + 3 Problema 5:
Solución:
Ordena descendentemente:
Tiene 3 términos, y, por ser completo, es de grado 2. Entonces los exponentes son 0; 1 y 2. Esto es posible sólo si n = 0. Luego: P(x) = 4x2 – 5x + 2 (ordenado)
P(x) = 4x2–n – 5xn+1 + 2xn (n Z) sabiendo que es completo.
POLINOMIO HOMOGÉNEO P(x, y) = 2x5 y – 3x4 y2 + x3 y3
GA = 6
GA = 6
GA = 6
Son polinomios de más de una varia ble y más de un término, en el que cada término tiene el mismo grado.
Datos
Problema 6: Calcula m + n para que P( x, y) = xn ym–1 – mx3–n ym+2 + nxm y4–m sea ho-
mogéneo. Solución:
+ m – 1 = 3 – n + m + 2 n=3
• n
•
3 – n + m + 2 = m + 4 – m 3 – 3 + m + 2 = 4 m = 2
m + n = 2 + 3 = 5 Rpta.: 5
POLINOMIOS IDÉNTICOS P(x, y) = x2(2 y – y2)
P(2; 1) = 22[2(1) – 12] = 4
Q(x, y) = (x2 – x2 y) y y + x2 y
P(2; 1) = (22 – 22 · 1)1 + 22 · 1 = 4
Gráca de un polinomio de grado 7 en coordenadas cartesianas.
P(x, y) Q(x, y) idéntico
Cualesquiera sean los valores que demos a x e y, los polinomios P y Q tienen el mismo valor numérico. P y Q son idénticos. Problema 7: Determine a + b + c, si (a + 2)x4 – (1 – b)x2 + 6x
cx + 5x4 + 8x2.
Solución:
+ 2 = 5 a = 3
• a
•
– (1 – b) = 8 b = 9
• c
= 6 a + b + c = 18 18 Rpta.: 18 3
15
CAPÍTULO 03
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO 2
Ten Presente
Sea P(x) = (x + 3)2 – (x – 1)2 – 8(x + 1) P(3) = (3 + 3) 2 – (3 – 1)2 – 8(3 + 1) = 0
36
4
32
Cualesquiera sea el valor que demos a x, P(x) resulta siempre cero. P( x) es un polinomio idénticamente nulo. P(x) 0 E R T S E M I B I
Teorema 1 Para que dos polinomios: P(x) = a0xn + a1xn–1 +...+ an–1x + an Q(x) = b0xn + b1xn–1 +...+ bn–1x + bn
Problema 8: Evalúa las condiciones para que P(x) = (a + 2)x3 – (b + 3)x2 sea idéntica-
sean idénticos se debe cumplir:
mente nulo.
a0 = b0, a1 = b1, ..., an = bn
Solución: •
P(x) 0 a + 2 = 0 – (b + 3) = 0 a = –2 b = –3
Teorema 2
Rpta.: a debe ser –2 y b, –3
El polinomio: P(x) = a0xn + a1xn–1 +...+ an–1x + an es idénticamente nulo, siempre que: a0 = a1 = a2 = ... = an = 0
Actividad 03 03 1
Clasifca las siguientes expresiones algebraicas:
6
Si el grado del polinomio: P(x) = xn–1 + 4xn – 3 + 5xn – 6 es 5,
a) C(x; y) = x4 y3 z–2 – 3 x3 y
halla su término independiente. 2/3
b) E(x) =
2
x
2/ 3 4
x x
⋅
x3
7
Si el grado absoluto de
4
9
Halla el valor de m para que la expresión: 5
a
m
−2
( a2 )
( a ) 9 m
16
m
2−1
2/5
25−2
3
−1
sea de 8° grado.
3
x 3 −b y 9
Halla a + b + c,
si P(x) = 1 + axa + bxb + cxc
Los polinomios P(x) = (a – 1)x2 + 3x y Q(x) = 2x2 – (b + 1)x son idénticos. Calcula ba.
n el polinomio P(x; y) = xm ym – 1 – xm + 1 ym – 2 se tiene GRx = 5. Halla el GAP. E
10 5
1
es un polinomio completo y ordenado.
P(x) = ax2a – 1 + bx2a – 3 + cx2a – 5 es 13, calcula a.
2x a y7 −
es homogéneo. Halla a + b.
Si t1 = 4x2a – 1 y6 y t2 = 3 x13 yb – 2 son semejantes, calcula el valor de 5a + b. 8
3
El polinomio P(x; y) =
Calcula E =
a −b
c−b
si el polinomio
P(x) = a(x + 2)(x – 1) + (x + b)(x + 1) + 3x + c, es idénticamente nulo.
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
04
O L U T Í P A C
PRODUCTOS NOTABLES ¿Cómo se multiplica (a + b)(c + d)?
¿Qué es una
identidad?
(a + b) (c + d) Recuerda
ac + ad + bc + bd
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(x + a)(x + b) = x2 + xa + xb + ab (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
Ejemplos:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
• (x + 5)(x + 7) = x2 + 12x + 35
• (x – 8)(x + 3) = x2 – 5x – 24
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
• (x + 8)(x – 3) = x2 + 5x – 24
• (x – 5)(x – 6) = x2 – 11x + 30
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
Problema 1: Reduce
(x2 + 9x – 3)(x2 + 9x + 4) – (x2 + 9x)2.
Solución:
Para x2 + 9x = a: (a – 3)(a + 4) – a2 = a2 + a – 12 – a2 = a – 12 Reponiendo: a – 12 = x2 + 9x – 12 Rpta.: x2 + 9x – 12 2
Ten Presente
IDENTIDADES TRINÓMICAS (IDENTIDAD DE ARGAN'D) (x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = [(x2 + y2) + xy][(x2 + y2) – xy]
Identidad
= (x2 + y2)2 – (xy)2 = (x2)2 + 2x2 y2 + ( y y2)2 – x2 y2 = x4 + x2 y2 + y4 De donde: (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2 y2 + y4 (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
Una identidad algebraica es una igualdad de expresiones algebraicas, que siempre es verdadera cualquiera sean los valores que asuman las variables. Ejemplo:
(x2n + xn yn + y2n) (x2n – xn yn + y2n) = x4n + x2n y2n + y4n
En general:
a(a + b) = a2 + ab
Identidad de Lagrange
Problema 2: Reduce la expresión (x4 – x2 + 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1).
(a2 + b2)(x2 + y2)
Solución:
(x4 – x2 + 1)( 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = (x4 – x2 + 1)(x4 + x2 + 1)2 = x8 + x4 + 1
= (ax + by)2 + (ay – bx)2
Rpta.: x8 + x4 + 1
3
17
I B I M E S T R E
CAPÍTULO 04
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
TRINOMIO AL CUBO (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)
2
Ten Presente
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc = a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc E R T S E M I B I
Identidad de Gauss Problema 3:
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
Si: a + b + c = 5 y (a + b + c)(ab + bc + ac) = abc, calcula a3 + b3 + c3. Solución:
Se sabe que: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3( 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc
53 = a3 + b3 + c3 + 3abc – 3abc
Reemplazando:
Rpta.: 125
IGUALDADES CONDICIONALES a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) a3 + b3 + c3 = 3abc 2 2 2 2 (ab + bc + ac) = (ab) + (bc) + (ac) 2 (a + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4)
Problema 4: Demuestra que, si a + b + c = 0
(ab + bc + ac)2 = a2b2 + b2c2 + a2c2.
Demostración:
Recordemos que: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) Entonces:
(ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 + 2(abbc + abac + bcac) (ab + bc + ac)2 = a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2(abc abcdd + abc abcaa + abc abccc) (ab + bc + ac)2 = a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2abc(a + b + c)
0
(ab + bc + ac)2 = a2b2 + b2c2 + a2c2
L.q.q.d. Problema 5:
Si a + b + c = 0, calcula:
a(b + c ) 2 + b( a + c) 2 + c(a + b) 2 a3 + b 3 + c 3
.
Solución:
Si a + b + c = 0
a + b = –c a + c = –b b + c = –a
(a + b)2 = (–c)2 (a + b)2 = c2 (a + c)2 = (–b)2 (a + c)2 = b2 (b + c)2 = (–a)2 (b + c)2 = a2
Reemplazando en la expresión:
aa 2 a3
+ bb +b
2
3
+ cc +c
3
2
=
a3
+b
3
+c
3
a3
+b
3
+c
3
=1 Rpta.: 1
18
3
1 2
(a + b + c)
[(a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2]
a3 + b3 + c3 = 125
Si a + b + c = 0
a3 + b3 + c3 – 3abc =
MULTIPLICACIÓN MUL TIPLICACIÓN ALGEBRAICA
CAPÍTULO 04
Problema 6:
Problema 7:
Reduce la expresión:
Señala el valor numérico de:
M = 32 (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 1
E = (x2 + 5x + 7)2 – (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 20 x para x = 2 .
Solución:
M=
Solución:
32 (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 1
22 – 1 24 – 1 28 – 1 216 – 1 232 – 1 M = 32 232 – 1 + 1 = 32 232 = 2 Rpta.: 2
E = (x2 + 5x + 7)2 – [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] – 20x E = (x2 + 5x + 7)2 – [x2 + 5x + 4][x2 + 5x + 6] – 20x Haciendo x2 + 5x = a E = (a + 7)2 – (a + 4)(a + 6) – 20x E = a2 + 14a + 49 – a2 – 10a – 24 – 20x E = 4a + 25 – 20 x E = 4(x2 + 5x) + 25 – 20 x E = 4x2 + 25 = 4( 2 )2 + 25 = 8 + 25 E = 33 Rpta.: 33
Actividad 04 04 1
Relaciona las expresiones equivalentes:
1.
x2 – 6x – 7
b) (2x – 3)(2x + 3)
2.
x2 + 6x + 8
c)
3.
4x2 – 9
a)
(x + 4)(x + 2)
(x – 7)(x + 1)
6
Sean x e y números reales de modo que: x2 + y2 + 5 = 4x + 2 y. Calcula el valor de x3 + y3.
7
Si a + b + c = 10 y a2 + b2 + c2 = 10, calcula ab + ac + bc.
2
Expresa algebraicamente el área de cada gura: 8
3x – 2
2x + 3 2x + 3 3
Calcula el valor de
A= 3x – 2
16
E
a+b
Determina el valor de 3 3
si 5
3a+3b
=
3
9
a 3
+b
3
+c
3
3 ab( a + b)
−
Reduce la expresión:
A = (x + 2) (x – 2) (x2 – 2x + 4) (x2 + 2x + 4) + 64
si:
E = 24(52 + 1)(54 + 1)(58 + 1) + 1 4
Si a + b + c = 0 , calcula el valor de:
,
3 a5 b5 = 1
10
Si a + b + c = 5; a2 + b2 + c2 = 7
y a3 + b3 + c3 = 8, calcula
abc ab + bc + ac
.
Señala el valor numérico de:
M = (x4 – x2 + 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) para x = 4 3 . 3
19
I B I M E S T R E
05
O L U T Í P A C
DIVISIÓN ALGEBRAICA I
DIVISIÓN DE POLINOMIOS ¿Cuál es el polinomio que satisface la identidad?
E R T S E M I B I
¿Es posible calcular el resto sin efectuar la división de polinomios?
( x x + 1)3 + ( x x – 1)3 = 2 xP( x x)
2
Ten Presente
dividendo
Identidad fundamental:
divisor
D(x)
d(x)
R(x)
q(x)
[D(x)]º [d(x)]º D(x) = d(x) q(x) + R(x) [R(x)]º < [d(x)]º
cociente
resto o residuo
Clases de división División exacta (R(x) 0) D(x) = d(x)q(x)
Problema 1:
Solución:
Calcule el resto de la división: 3x 3
2 − 6x
+ 2x − 2
x2 − 3x + 1
3
División inexacta (R(x) 2
3x – 6x + 2x – 2 –3x3 + 9x2 – 3x 3x 2 – x – 2 –3x2 + 9x – 3 8x – 5
≡
0)
2
x – 3x + 1 3x + 3
D(x)
d(x)
R(x)
q(x)
D(x) = d(x)q(x) + R(x)
Resto
Propiedades de grado
MÉTODOS DE DIVISIÓN POLINOMIAL
[q(x)]º = [D(x)]º – [d(x)]º
MÉTODO DE RUFFINI Caso 1.- Para
divisores de la for-
ma:
2 xa
x = –3
Véase a la derecha la división de P(x) = 2x4 + 3x3 – 8x2 + 5x + 1 entre x + 3.
2
3
–8 –8
5
1
–6
9
–3
–6
–3
1
2
–5
cociente
resto
2x3 – 3x2 + x + 2
R = –5
Problema 2:
Solución:
Calcula el valor de a para que la división:
Divisor: x + 4 = 0 x = –4
2x3
+
5x 2
− 10 x +
x+
2a
4
2 x = –4
2
sea exacta.
[R(x)]ºmáx = [d(x)]° – 1
Divisor: x + 3 = 0 x = –3
5
–10
2a
–8
12
–8
–3
2
0
2a – 8 = 0 a = 4 Rpta.: 4
20
3
[P(x)]º = grado de P(x).
DIVISIÓN ALGEBRAICA I
Caso 2.- Para divisores de la forma:
CAPÍTULO 05
Divisor: 2x + 3 = 0 x = –
ax b
6
5
–4
6
–9
6
–3
6
–4
2
3
3
–2
1
–3
Véase a la derecha la división de: P(x) = 6x3 + 5x2 – 4x + 6 entre 2x + 3.
2
Obsérvese que el cociente se obtiene dividiendo el cociente de la primera etapa
÷2
2
2
cociente
resto
3x2 – 2x + 1
R = 3
3
entre el denominador de – .
3
Personaje
MÉTODO DE HORNER Los coecientes de los elementos de
Esquema de Horner
la división se completan, ordenan y se distribuyen según el esquema de la derecha. Veamos la división de: P(x) = 6x4 + x3 + 5x2 – 10
entre
÷
3 –2 4
La línea discontinua se traza después de dos coecientes del dividendo, contando de derecha a izquierda, porque el divisor es de grado 2.
÷ –3
6
2
Calcula el resto de la división: 3 x3
x2 − 5x + 8 3x2 − 5x + 2 +
(1786 – 1837)
Matemático inglés. A los 14 años se convirtió en maestro, cuatro años después se convirtió en director de la misma escuela en que estudió.
resto
cociente
3x2 + 2x – 4.
Problema 3:
William George Horner
d D i v i d e n d o i v i s o r
÷ 15
1 –4
5 8 –2
–1
5
0
–10
4 –10
20
–14
10
Solución:
3 5 –2
3
1
1 5 2
–5 –2 10 3
8
Como investigador, sólo tiene en su haber una contribución, el llamado "método Horner". Sin embargo, Horner no fue de los primeros en descubrir este método ya que Zhu Shijie lo había empleado 500 años antes. (http://mardel.bligoo.pe/metodo-de-horner)
–4 4
R = 3x + 4
resto
TEOREMA DEL RESTO O DE DESCARTES Supóngase que queremos hallar el resto de P(x) x – a dividir P(x) entre x – a. Entonces dividimos: R q(x) Si sustituimos x = a en (1), tenemos: P(x) = (x – a) q(x) + R (1) Se observa que: P(a) = (a – a) q(a) + R 0 El resto de dividir P(x) entre x – a es P(a) P(a) = R
Problema 4:
Solución:
Calcula el resto de la división
Divisor x – 4 R = P(4)
P(x) = (x – 3)5 – (x – 5)4 + 3x – 2
P(4) = (4 – 3) 5 – (4 – 5) 4 + 3(4) – 2
entre x – 4.
P(4) = 13 – (–1) 4 + 12 – 2 = 10 Rpta.: 10 3
21
I B I M E S T R E
CAPÍTULO 05
DIVISIÓN ALGEBRAICA I
Problema 5:
Problema 6:
Halla el valor de "a" y "b" para que la división:
Halla el resto de:
(x4 + 4x3 + 6x2 + ax + b) ÷ (x2 + 2x + 1) sea exacta.
(x + 2)(x + 3) + ( x + 6)(x - 1) x2 + 5x - 2
Solución:
x4 + 4x3 + 6x2 + ax + b x2 + 2x + 1 x4 + 2x3 + x2 x2 + 2x + 1 2x3 + 5x2 + ax 2x3 + 4x2 + 2x x2 + (a – 2)x + b x2 + 2x + 1 r(x) = 0 (a – 4)x + (b – 1)
E R T S E M I B I
a – 4 = 0
Solución:
Por el teorema del resto: x2 + 5x – 2 = 0 x2 + 5x = 2 Entonces: r = (x + 2)(x + 3) + (x + 6)(x – 1) r = (x2 + 5x + 6) + (x2 + 5x – 6) Reemplazando: r = (2 + 6) + (2 – 6) r = 8 + (–4) r = 4
a = 4 ; b – 1 = 0 b = 1 Rpta.: 4 y 1
Rpta.: 4
Actividad 05 05 1
Divide e indica el cociente y residuo en:
6
Al dividir 2x3 – x2 + 3x – 2 entre x2 – k se se obtiene un residuo cuyo término independiente es 2. Halla k .
7
El polinomio D(x) = 4x4 – 3x3 + 2x2 – x + 6 se divide entre un polinomio d(x) cuya suma de coecientes es 8. Si el residuo es R(x) = 4x2 – 6x + 2, halla la suma de coecientes del polinomio cociente.
8
Encuentra el residuo de dividir:
(18x3 – 9x2 + 7x – 9) ÷ (6 x2 – 5x + 3) 2
Obtenga la suma de coecientes del cociente de
la siguiente división: (3x4 + 2) ÷ ( x + 2) 3
Sabiendo que el resto de la división: 8 x 5 + 4 x 3 + m x 2 + nx + p 2x 3 + x 2 + 3
(2x44 + 3x37 – 3x8 + 7) ÷ (x7 – 1)
es R(x) = 5x2 – 3x – 7, calcula m + np. 9 4
5
Halla el resto de
Al dividir
6x4
−
( x − 4)80
+
( x − 4)60
x−5
4x 3
+x
2
+ 10x − 2a
3x + 1
Se obtiene resto –1. Halla a.
22
3
+
1
.
Halla el resto de la división: (5 x 4
+
7x2
+
9)
n
−
5x
10
4
(5 x 4 +
7x
+
2
7x2
+
+
7 )2
n+
1
+
15
8
Determina a, b, c si el polinomio:
x5 – 2x4 – 6x3 + ax2 + bx + c es divisible por
(x – 1)(x – 3)(x + 1).
06
O L U T Í P A C
DIVISIÓN ALGEBRAICA II COCIENTES NOTABLES (C.N.) ¿Cuál es el desarrollo de las expresiones?
Se puede calcular el coe ciente del término x24 y25 del cociente de ( x50 – y50)÷(x – y) sin efectuar la división?
x2 + y2
I B I M E S T R E
x3 + y3 x3 – y3
Los cocientes de estas 4 formas de división se pueden calcular sin efectuar la división, por eso se llaman cocientes notables.
xn − yn x−y
– –
,
xn + yn x+y
,
xn
+ +
−
yn
,
xn
+
yn
x+y
x−y
– +
+ –
Por eso no todas ellas son exactas. Veamos una forma práctica de averiguar cuáles son exactas y qué forma tiene el respectivo cociente. 1. Forma – : –
xn − yn exacto n N, x2 − y2 x−y 2 2 x – y = (x + y)(x – y) = x + y n 2. x−y Signos del x3 − y3 3 3 2 2 2 2 x – y = (x – y)(x + xy + y ) = x + xy + y cociente: + + + ... + x−y
+ 2. Forma + :
xn + yn
x3 + y3
x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
x+y
= x2 – xy + y2
3. Forma – : + x2 – y2 = (x + y)(x – y)
4. Forma + : –
exacto si n es impar. Signo del cociente: + – + – ... + x+y
xn
+
yn
x−y
x2
2 −y
x+y
= x – y
xn − yn x + y
exacto si n es par. Signo del cociente: + – + – ... –
nunca es exacto para n N y n 2.
Observación El cociente de
Problema 1:
Solución:
¿Cuál es el mínimo valor que pue3n+2 3n+2 de tomar n para que x + y x + y sea un cociente notable exacto?
3n + 2 impar y 3n + 2 2
xn ± y n x±y
siempre tiene n términos.
impar
Mínimo valor de n es uno. Rpta.: 1
3
23
CAPÍTULO 06
DIVISIÓN ALGEBRAICA II
TÉRMINO GENERAL DE UN COCIENTE NOTABLE x2 − y2 x−y
E R T S E M I B I
x3 + y3 x+y
xn ± yn
= xn–1 xn–2 y + xn–3 y3 – ... yn–1 x−y = x + y Divisor de la forma x – y: Divisor de la forma x + y: +1 xn–k yk ––11 = x2 – xy + y2 tk = xn–k yk ––11 tk = (–1) k +1 n, k N, n k
Problema 2:
Solución: +1 xn–k yk ––11 Divisor de la forma ( x + y) tk = (–1)k +1
calcula t30 + t51 en x
84
−
y
t30 = (–1) 31x84–30 y30–1 54 29 33 50 t30 + t51 = –x y + x y 52 84–51 51–1 t51 = (–1) x y
84
x+y
.
Problema 3:
Demostración:
Demuestre que la división
Es suciente demostrar que el residuo no es
xn
+
yn
x−y
es inexacta.
cero. Para ello usaremos el T. del resto. x – y = 0
El cociente notable de la
y) x = y R = P( y
P( y y) = yn + yn
R = 2 yn 0, n N, n 0
Las divisiones de esta forma resultan exactas siempre que: =
a
n b
= k
Solución:
¿Qué valor debe tener n
para que
x
3n+ 3
x3
−
−
y 16
3n + 3 3
y2
16 =
2
n + 1 = 8
sea un C.N.?
n = 7 Rpta.: 7
Problema 5:
Solución:
Si al dividir (xa – yb) entre (x – y4) se obtiene un cociente notable de 8 términos, halla a + b.
xa – yb x – y4
a = b =8 1 4 a = 8 ∧ b = 32
a + b = 8 + 32 = 40 Rpta.: 40
24
3
xn – yn x–y
b) Un polinomio de n términos completo y ordenado con respecto a ambas variables.
Número de términos del C.N.
Problema 4:
forma:
es: a) Un polinomio homogéneo de grado de homogeneidad (n – 1).
x m ± y n Divisiones de la forma a x ± y b
m
Datos
DIVISIÓN ALGEBRAICA II
Problema 6:
Si el cuarto término del desarrollo de es x3 yn, halla (m – n).
– x – y
xm
ym
CAPÍTULO 06
Problema 7: Halla n + a en el cociente notable
xn – 64 = x5 + 2x4 + ..... x – a
Solución: Solución:
Del dato: = 4) tk = xm–k yk ––11 (k = x3 yn = xm–4 y4–1
Del exponente del primer término: 5 = n – 1 n = 6 Del desarrollo del segundo término se deduce que: a = 2
Comparando exponentes: n = 4 – 1 n = 3 m – 4 = 3 m = 7 Luego: m – n = 7 – 3 = 4
Finalmente: T = n + a = 6 + 2 T = 8 Rpta.: 8
Rpta.: 4
Actividad 06 06 1
Identifca los cocientes notables exactos:
a. c.
x4 − y4
x 3 − 27 x+3
b.
x−y
x6 + 26 x+2
6
x5 − y5
d.
x−y 7
2
número de términos del desarrollo de los siguientes cocientes notables: a. c.
3
−
y6
15 m m
3
+n
10
+n
2
x 25 − y 3 6 − m
x 12 − ( x − y )12
b.
x+y
xn − y 5
2x − y
a 20 − 81 a5 − 3
d.
8
9 4
Si la división
x x
n
−1
2
−1
genera un cociente notable
5
Si la división
y 6n− 4
x3
−
y2
genera un cociente
+
( y + 2) 9
x+y
x am − y an x 5 a − y7 a
es
t17 = x15a y112a, calcula el décimo término.
10 −
( x − 2) 9
Si el décimo séptimo término del cociente nota ble generado por la división
de cuatro términos, halla la suma del tercer y el cuarto término. x7 n+ 2
valor numérico del término quinto del
para x = y = 1.
(x + y5)
yb
Halla el
cociente notable generado por
Si al dividir ( + ) entre se obtiene un cociente notable de 15 términos, halla a + b. xa
Halla el término de la posición 3 del cociente no-
table de 5 términos generado por la división:
Determina el x6
4a+8 32 Si la división x 5 – y4 genera un cociente x – y notable exacto y además, t4 = f (x; y), halla el valor de f (1; (1; 2).
Halla el valor reducido de:
E=
1+
8
2+
8
22 +
8
23 + ... +
8
215
notable, indica la cantidad de términos de su desarrollo.
3
25
I B I M E S T R E
Unidad
02
Ticrapo - Huancavelica
FACTORIZACIÓN FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES PRODUCTO CONSTANTE Si un artículo se ofrece a un precio muy bajo es probable que todos quieran comprarlo y, y, por el contrario, si se lo encarece, probablemente serán pocos los que compren. Lógicamente, al vendedor no le conviene ni lo uno ni lo otro. El producto del precio por el número de artículos es constante, entonces cuando un factor aumenta el otro disminuye. Para cruzar cruzar una cordillera lo ideal sería hacer un túnel, que ahorraría tiempo, pero el mantenimiento y el costo de construir un túnel puede resultar más caro que darse la vuelta por encima. Muchos fenómenos tienen estas características, expresarlo en forma de factores permite analizar los pros y los contras. - ¿Es más conveniente obtener una profesión que requiere mucho esfuerzo u obtener una carrera técnica y empezar a trabajar en poco tiempo? www.ugr.es/~iramirez/PluriMultiInter.doc
APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones
Comunica y representa
• Interpreta la factoriza-
• Comunica el resultado
ción de polinomios. • Identifica cuándo un número es imaginario. • Determina el conjunto solución de una ecuación lineal y una de segundo grado.
de sus factorizaciones. • Elabora un organizador visual sobre los números imaginarios. • Elabora un resumen sobre las propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática.
26
3
Elabora y usa estrategias • Halla la factorización
de un polinomio por diversos métodos.
•
Realiza operaciones Realiza operaciones con números imaginarios.
• Emplea diversas es-
trategias para resolver ecuaciones lineales y de segundo grado.
Razona y argumenta • Propone conjeturas
para factorizar polinomios. • Argumenta el uso de los números imaginarios. • Explica la importancia
de resolver problemas mediante ecuaciones.
07
O L U T Í P A C
FACTORIZACIÓN I MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN ¿Se puede saber cuántos divisores algebraicos tiene x3 y3(x – 1)4( y y + 1)5?
¿Cuál es el desarrollo de las expresiones?
( x x – y)2 ( x x + y)( x x2 – xy + y2)
Producto notable
(x + y)(x – y) = x2 – y2 Factorización
La factorización es contraria a la multiplicación. Consiste en poner las expresiones en forma de producto de factores.
FACTORIZACIÓN POR IDENTIDADES
x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 x2 – y2 = (x + y)(x – y) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
Uno de los objetos fundamentales del Álgebra es la resolución de ecuaciones. Para resolver ecuaciones unas veces convendrá tener las expresiones en forma de factores y otras veces en forma desarrollada.
Problema 1:
Problema 2:
Factoriza x8 – 1.
Factoriza x2 + y2 – xy(2 + xy).
Solución:
Solución:
x8 – 1 = (x4)2 – (1)2
= x2 + y2 – 2xy – x2 y2 = x2 – 2xy + y2 – x2 y2 = (x – y)2 – (xy)2 = (x – y + xy)(x + y – xy)
= (x4 + 1)(x4 – 1) = (x4 + 1)[(x2)2 – 12] = (x4 + 1)(x2 + 1)(x2 – 1) = (x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x – 1) Problema 3:
Problema 4:
Calcula el números de factores de 8x3 + y3 – 4x2 y – 2xy2.
Factoriza 8x3 + 4x2 + y3 – y2.
Solución:
= (8x3 + y3) + (4x2 – y2)
(8x3 + y3) – (4x2 y + 2xy2) [(2x)3 + y3] – 2xy(2x + y) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – 2xy(2x + y) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2 – 2xy) (2x + y)[(2x)2 – 2(2x) y y + y2] (2x + y)(2x – y)2 1)(2 + 1) – 1 = 5 # factores = (1 + 1)(2 Rpta.: 5
Ten Presente
Polinomio irreductible
Utilizaremos los productos notables en forma invertida. x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
2
Solución:
Un polinomio es irreductible cuando no se puede expresar como el producto de dos o más factores. 1; 2x – y; y2 + 1 • x2 + x + 1; Todo polinomio de primer grado o lineal es irreductible. • x + 3; 2x + y; x – y
Factor primo El factor primo de un polinomio es un factor irreductible.
Cantidad de factores Dado P(x) = A(x)a B(x)b C(x)c donde A(x), B(x) y C(x) son factores primos de P(x) entonces: • Número de factores primos = 3 • Número de factores de P(x):
(a + 1)(b + 1)(c + 1) – 1
= [(2x)3 + y3] + [(2x)2 – y2]
Ejemplo:
= (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) + (2x + y) (2x – y)
P(x; y) = x3 y4(x – y)2(x + y)
= (2x + y)(4x2 – 2xy + y2 + 2x – y)
# factores de P(x; y): (3 + 1)(4 + 1)(2+ 1)(2 + 1)(1 + 1)– 1) – 1 = 119
3
27
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 07
FACTORIZACIÓN I
Problema 5:
Problema 6:
Indica la cantidad de factores primos de:
Halla la suma de sus factores primos de x4 + x2 + 1.
x3 + y3 + 3xy(x + y) + (x + y)2
Solución:
Sumamos y restamos x2 para luego ordenar y formar una diferencia de cuadrados.
Solución:
Agrupamos los dos primeros términos:
Entonces: = x4 + x2 + 1 + x2 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 + 1 + x)(x2 + 1 – x) La suma de los factores es: = (x2 + 1 + x) + (x2 + 1 – x) = 2x2 + 2
= [x3 + y3 + 3xy(x + y)] + (x + y)2 = (x + y)3 + (x + y)2 = (x + y)2(x + y + 1) La expresión tiene 2 factores primos.
E R T S E M I B I I
Actividad 07 07 1
Relaciona cada binomio con su expresión facto-
6
P(x) = x8 – 1 e indica la cantidad de factores primos.
7
Factoriza
rizada:
2
I
4x2 – 25
(2 – 5x)(2 + 5x)
A
II
25 – x2
(2x + 5)(2x – 5)
B
III
4 – 25x2
(5 – x)(5 + x)
C
Agrupa convenientemente y factorza:
Identifca los factores primos y determina el nú-
mero de factores primo de:
y determina el número de factores
primo de: P(x, y, z) = z2x3 + y3 – z2 y3 – x3 8
Indica el número de factores primos del polino-
mio:
x( y y2 – z2) + y3 – yz2
3
Factoriza
P(a, b, c) = a2c + ac2 + bc2 + ac + bc – b2c 9
Factoriza el polinomio:
P(x) = (x + 3)(x + 2)(x + 1) + ( x + 2)(x + 1) + ( x + 1)
P(x, y) = 5x2 y(2x + y)3(3x + 1)5
e indica el número de factores primos. 4
Factoriza a2x2
– b2 y2 – a2 y2 + b2x2, agrupando convenientemente y aplicando productos nota bles.
10
Calcula la suma de coecientes del factor primo
del polinomio: P(x) = (x + 4)(x + 1)(x – 2)(x – 5) + 81
5
Determina los valores de x e y para que el poli-
nomio. P(x, y) = 6x2 y2 – 54x2 – 6 y2 + 54, se anule.
28
3
08
O L U T Í P A C
FACTORIZACIÓN II MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN ¿Qué valor debería tomar a para que: x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + a
¿Cuál es el producto de estas multiplicaciones?
( x x + 3)( x x – 5)
sea factorizable?
( x x + a)( x x + b)
¡!
MÉTODO DEL ASPA 1. Método del aspa simple:
x2 + 3x – 10
Las expresiones son factorizables por este método siempre que provengan del producto de dos binomios con término común.
x4 – 2x2 – 35 x2 – 8xy – 15 y2 ax2n + bxn + c
Ilustraremos el método con algunos ejemplos: • x2 – 2x – 15 = (x – 5)(x + 3)
–5 3
x x
• x2 – 2x – 35 = (x – 7)(x + 5)
x − 15 15 2 2x + x − 3 −7
Simplifca
x2 x
+
2
9 xy
+
+ 14y
6 xy
− 7y
2
2
Solución:
• 2x2 – 7x – 15 = (2 x + 3)(x – 5)
• x2 + 9xy + 14 y2 = (x + 7 y)(x + 2 y)
x
3 –5
x x
• 2x2 + x – 3 = (2x + 3)(x – 1)
2x x
3 –1
( 2 x + 3 )( x − 5 ) ( 2 x + 3 )( x − 1)
Ese signicado todavía aparece
en el diccionario de la Real Academia.
7 y 2 y
• x2 + 6xy – 7 y2 = (x + 7 y)(x – y) x x
Reemplazando:
cuando los personajes tienen problemas con los huesos van al algebrista para que se los coloquen. Pero, ¿qué saben los matemáticos de huesos?
también el arte de arreglar las dislocaciones de los huesos.
Solución:
2x
En las páginas del Quijote,
la palabra álgebra signicaba
Problema 2:
2x 2
EL ÁLGEBRA Y EL QUIJOTE
En realidad, nada. Lo que sucede es que antiguamente
–7 5
x x
Problema 1: Reduce
ax2n + bxn ym + cym
Interesante
7 y – y
Reemplazando: =
x−5 x −1
2. Método del aspa doble:
Este método es aplicable a polinomios de 6 términos que tienen una de estas formas.
( x + 7 y )( x + 2y ) ( x + 7y )(x − y)
=
x + 2y x−y
2x2 + 7xy + 3 y2 + 7x – 4 y – 15 Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F Ax2n + Bxn ym + Cy2m + Dxn + Eym + F
3
29
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 08
FACTORIZACIÓN II
Procedimientos:
1. Completamos y ordenamos el polinomio a factorizar. factorizar. 2. Se aplica aspa simple entre los primeros tres términos.
1°
2°
3°
4°
5° 6°
2x2 + 7xy + 3 y2 + 7x – 4 y – 15
3. Se aplica aspa simple simple entre los térmi-
3 y
x 2x
nos 3°, 5° y 6°, vericando que haya
aspa simple entre los términos extremos del polinomio y el 4° término.
5 –3
y
= (x + 3 y + 5)(2x + y – 3)
4. Los factores se toman en forma horizontal. Problema 3: Factoriza:
Problema 4: Indica la mayor suma de coecien-
3x2 + 5xy – 2 y2 – 11x – y + 6 e indique la suma de los términos término s independientes de los factores.
tes de uno de los factores de: 4x2 + 4xy – 15 y2 – 8x + 4 y + 3 Solución:
Solución: E R T S E M I B I I
4x2 + 4xy – 15 y2 – 8x + 4 y + 3
3x2 + 5xy – 2 y2 – 11x – y + 6 3x x
– y 2 y
–2 –3
(3x – y – 2)(x + 2 y – 3)
2x 2x
5 y –3 y
–3 –1
(2x + 5 y – 3)(2x – 3 y – 1)
coef = 4
coef = –2
–2 – 3 = – 5 Rpta.: –5
Rpta.: 4
Actividad 08 1
Factoriza P(x) = x2 + 3x – 18
5
mo de:
e indica la suma de los factores primos. 2
3x2 – 2xy – y2 + 5x – 5 y
Factoriza P(x) = 8x6 – 7x3 – 1 e indica la cantidad
de factores primos cuadráticos.
Factorice e indique la suma de sus factores pri-
6
Determina un factor de:
3(x – 2 y – 5)2 – 2x + 4 y + 5 3
4
P(x) = x4 – 34x2 + 225 e indica la suma de los factores primos.
Factoriza
7
Si (x + 1) es un factor de x2 + ax + 3, y (2x + 1) es un factor de bx2 – 5x – 3, el valor de a·b es:
8
¿En cuánto disminuye el número de factores primos de (3m – 1)(m – 3)(2m – 5)(6m + 1) si le restamos 20?
9
Factoriza
Expresa en forma factorizada el área de la gura
sombreada. 3x4 + y4
2x2 y 3x4 + y4 2x2 y
30
3
10
x4 + 2x3 + 4x2 + 3x – 28
Factoriza x4 + 2x3 y + 3x2 y2 + 2xy3 + y4
09
O L U T Í P A C
FACTORIZACIÓN III MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN ¿Cuántos factores tiene x3 + x2 – 2x – 2 en R?
Si P(2) = 0, ¿qué se puede armar de P( x)?
P( x x) = x3 – 2 x – 4
MÉTODOS DE LOS DIVISORES BINÓMICOS Este método es aplicable para polinomios en una variable de grado mayor que 2, siempre que admita al menos un factor de primer grado. Raíz de un polinomio.- Dado un polinomio P( x x) no constante, a es una I I B I M E S T R E
raíz o cero de P( x x) si, y solo si, P(a) = 0.
En P(x) = x3 – 2x – 4, P(2) = 2 3 – 2(2) – 4 = 0, entonces 2 es un cero o raíz de P(x). Además, por el teorema del resto, P(x) es divisible entre x – 2, lo que es lo mismo decir que (x – 2) es un factor de d e P(x). Determinación de las posibles raíces racionales de un polinomio P(x):
Precisamente el teorema del resto nos permite obtener los ceros de un polinomio a partir de una lista de los posibles ceros, que resultan de: Posible ceros =
divisores del término independiente
Nota
divisores del coeciente principal
Ejemplo:
¿PARA QUÉ FACTORIZAR?
Factoricemos P(x) = x3 – 2x2 – x + 2, por el método de los divisores binómicos.
Factorizar nos permite realizar operaciones con expresiones algebraicas. Como los factores están multiplicando, vamos a
Busquemos las raíces a partir de: divisores de 2 Posibles ceros = = {1; 2} = {1; –1; 2; –2} divisores de 1 Para x = 1: P(1) = (1)3 – 2(1)2 – (1) + 2 = 0 x – 1 es un factor. Para x = –1: P(–1) = (–1)3 – 2(–1)2 – (–1) + 2 = 0 x + 1 es otro factor.
poder simplicar, calcular el
MCD, resolver ecuaciones de grado superior, gracar funcio-
nes, etc
Para obtener el tercer factor podemos seguir probando con los restantes posibles ceros o dividir sucesivamente P( x) entre x – 1 y x + 1 por el método de Rufni. Optemos por lo último:
1
–2 1 x = 1 1 –1 x = –1 –1 1 –2 x – 2
–1 –1 –2 2
2 –2 0
P(x) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)
3
31
CAPÍTULO 09
FACTORIZACIÓN III
Problema 1:
Problema 2:
Factoriza 2x3 + x2 – 5x + 2.
Factoriza por
Solución:
divisores binómicos e indique la suma de factores lineales de 3x3 – 23x2 + 44x – 20.
1; 2
Posibles ceros =
divisores de 2 = divisores de 2
{
1; 2 ;
1 2
}
1; 2
Solución:
1; 2; 4; 5; 10; 20
Posibles = divisores de 20 = ceros divisores de 3
El otro factor lo obtenemos dividiendo P(x) entre (x – 1): 2 1 –5 2 2 3 –2 x = 1 2 3 –2 0 2x2 + 3x – 2 = (2x – 1)(x + 2)
3
}
El otro factor lo obtenemos dividiendo entre x – 2 por Rufni:
3 x = 2
3
–23
44
–20
6
–34
20
–17
10
0
(x – 2)(3x2 – 17x + 10) = ( x – 2)(3x – 2)(x – 5)
–1 2
x
20
P(1) = 4; P(–1) = –86; P(2) = 0 x – 2 es un factor
x – 1 es un factor de P(x)
2x
1; 2 ; 4; 4; ...;
1; 3
Para x = 1: 1: P(1) = 2(1)3 + (1)2 – 5(1) + 2 = 0
E R T S E M I B I I
{
3x x
P(x) = (x – 1)(2x – 1)(x + 2)
–2 –5
Problema 3:
Problema 4:
Al factorizar el polinomio:
Si x + 7 es un factor de x4 + ax3 – 5x2 + 2ax – 14, halla el factor primo cuadrático.
P(x) = x4 – 5x3 + 3x – 15 se tiene (ax3 + b)(cx + d). Halla a + b + c + d.
Solución:
Si x + 7 es un factor, entonces P(–7) = 0:
Solución:
1; 2; 3; 15
Posibles ceros =
divisores de 15 = {1; 3; 5; 15} divisores de 1
(–7)4 + a(–7)3 – 5(–7) 2 + 2a(–7) – 14 = 0 a = 6
P(x) = x4 + 6x3 – 5x2 + 12x – 14
1
Como x + 7 es un factor, dividimos entre x + 7:
P(1) = –16; P(–1) = –12; P(3) = –60 1
6 x = –7 –7 1 –1 1 x = 1 1 0 x2 + 2
P(–3) = 192; P(5) = 0 x – 5 es un factor Dividiendo entre x – 5 por Rufni: 1 x = 5
1
–5 5 0
0 0 0 x3 + 3
3 0 3
–15 15 0
–5 12 7 –14 2 –2 0 2 2 0
–14 14 0
Se observa que P(1) = 0
P(x) = (x3 + 3)(x – 5) ≡ (ax3 + b)(cx + d)
P(x) = (x + 7)(x – 1)(x2 + 2)
Factor primo cuadrático
a + b + c + d = 1 + 3 + 1 – 5 = 0 Rpta.: 0
32
3
Rpta.: x2 + 2
FACTORIZACIÓN III
CAPÍTULO 09
ARTIFICIOS DIVERSOS Son métodos que pueden ser utilizados para polinomios particulares, estructurando sus términos de modo que sea factorizable por algunos de los métodos estudiados. 1. Cambio de variable
Consiste en sustituir, por una variable, expresiones que se repiten, de modo que el polinomio quede simplicado. Luego, una vez hecha la factorización,
se restituyen las variables originales. Ejemplos:
Factoricemos: P(x) = (x + 2)2 + 3x – 34 P(x) = (x + 2)2 + 3x + 6 – 40 P(x) = (x + 2)2 + 3(x + 2) – 40 Para x + 2 = y: Q( y y) = y2 + 3 y – 40 = ( y + 8)( y y – 5) y y
8 –5
I I B I M E S T R E
Restituyendo: P(x) = (x + 2 + 8)(x + 2 – 5) P(x) = (x + 10)(x – 3) Problema 5:
Problema 6:
Factoriza:
Factoriza:
(x2 – y)[2(x2 – y) + 5z] – 2z[2(x2 – y) + 3z]
P(x; y) = 2(x2 – y)(x2 – y – z) + 3z(x2 – y – 5z)
Solución:
Solución:
Sea x2 – y = a: = a(2a + 5z) – 2z(2a + 3z) = 2a2 + 5az – 4az – 6z2 = 2a2 + az – 6z2 = (2a – 3z)(a + 2z)
Sea x2 – y = a: P(x; y; z) = 2a(a – z) + 3z(a – 5z) P(x; y; z) = 2a2 – 2az + 3az – 15z2 P(x; y; z) = 2a2 + az – 15z2
2a
–3z a 2z Restituyendo: = (2( x2 – y) – 3z)(x2 – y + 2z) = (2x2 – 2 y – 3z)(x2 – y + 2z)
3z –5z P(a; z) = (a + 3z)(2a – 5z) Restituyendo: P(x; y; z) = (x2 – y + 3z)(2(x2 – y) – 5z) P(x; y; z) = (x2 – y + 3z)(2x2 – 2 y – 5z) a 2a
2. Sumas y restas (quita y pon)
Consiste en obtener expresiones factorizables sumando y restando términos covenientemente. Ejemplo:
Factoricemos: P(x) = 9x4 – 16x2 + 4 P(x) = (3x2)2 – + 22 – 16x2 – 12x2 + 12x2
Para que sea un cuadrado perfecto, debe ser 12x2.
P(x) = (3x2)2 – 12x2 + 22 – 4x2 = (3x2 – 2)2 – (2x)2 P(x) = (3x2 – 2 + 2x)(3x2 – 2 – 2 x) P(x) = (3x2 + 2x – 2)(3x2 – 2x – 2) 3
33
CAPÍTULO 09
FACTORIZACIÓN III
Problema 7: Factoriza
Problema 8:
100x4 + 44x2 y2 + 9 y4
Solución:
(10x2)2 + 44x2 y2 + (3 y2)2 + 16x2 y2 – 16x2 y2
Luego de factorizar indique la suma de coecientes del factor factor no lineal de 7x3 – 3x2 – 3x – 1. Solución:
debe ser 2(10x2)(3 y2)
7x3 +
– 3x2 – 3x – 1 – x3 + x3
debe ser –x3
60x2 y2
= (10x2)2 + 60x2 y2 + (3 y2)2 – 16x2 y2
= 8x3 – (x3 + 3x2 + 3x + 1) = (2x)3 – (x + 1)3
= (10x2 + 3 y2)2 – (4xy)2
= [2x – (x + 1)][4x2 + 2x(x + 1) + (x + 1)2]
= (10x2 + 3 y2 + 4xy)(10x2 + 3 y2 – 4xy)
= [2x – x – 1][4x2 + 2x2 + 2x + x2 + 2x + 1] = (x – 1)(7x2 + 4x + 1) 7 + 4 + 1 = 12 Rpta.: 12
E R T S E M I B I I
Actividad 09 09 1
Determina la suma de los factores lineales de:
6
¿Cuántos factores factores primos resulta al factorizar
P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 2
Factoriza por divisores binómicos:
P(x) = x4 + 4 ?
7
sus factores primos.
P(x) = x3 + x2 – 5x – 2 e indique el producto de coecientes del factor cuadrático. 3
Factoriza P(x) = x4 + 5 x2 + 9 y halla la suma de
8
cuántos factores primos lineales resulta al factorizar: Determina
P(x) = x(x + 3)(x2 + 3x + 3) + 2
Luego de factorizar: M(x) = 9x5 – 28x3 + 18x2 + 3x – 2 podemos armar que:
9
1. Tiene 5 factores primos. 2. Tiene 4 factores primos. 3. Todos sus factores primos son lineales.
que resulta de factorizar: P(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1
10 4
Factoriza e indica los factores de:
x3 – 7x + 6
5
Halla la suma de los factores primos del polino-
mio: P(x) = 2x3 – x2 – 2x + 1
34
3
Determina la suma de coecientes del factor
Determina la
suma de los factores primos que resultan de factorizar: P(x; y) = 4x4 + y4
10
O L U T Í P A C
CANTIDADES IMAGINARIAS ¿Cuál es la solución de la ecuación?
¿Cuál es mayor, i o 2i?
x2 + 4 = 0
Cantidad imaginaria.- Es aquella que resulta de extraer la raíz de índice par
de un número negativo. 1,
Ejemplos:
−
−16
,
2,
4
−
2n − a , a R+ y n Z
−81
UNIDAD IMAGINARIA Es la cantidad imaginaria elemental que resulta de extraer la raíz cuadrada de –1 y se denota d enota por i. •
4 = 2i
•
−
−16
= 4i
1 = i i2 = –1
−
8=2 2 i
•
−
POTENCIAS ENTERAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA i1 = i
i0 = 1
Se dene:
Observación i + i2 + i3 + i4 = 0
Desarrollemos las potencias de in, n Z. 3° Grupo
1° Grupo
2° Grupo
i1 = i
i5 = i4 · i = i
i2 = –1
i6 = i4 · i2 = –1
i3 = i2 · i = –i
i7 = i4 · i3 = –i
i4 = (i2)2 =
i8 = (i4)2 =
1
i9 = i8 · i = i i10 = i8 · i2 = –1 i11 = i8 · i3 = –i i12 = i8 · i4 = 1 ...................
1
Obsérvese que las potencias de i se repiten cada grupo de 4 . En general las potencias de i sólo pueden tomar uno de estos valores: –1
i
–i
1
En general: in + in + 1 + in + 2 + in + 3 = 0,
n Z Cuatro potencias enteras sucesivas de i se anulan entre sí. La suma es cero. • i20 + i21 + i22 + i23 = 0 • i47 + i48 + i49 + i50 = 0
o
Cada vez que el exponente de i es múltiplo de 4 (4), la potencia es 1. Cuando o o o es 4 + 1 es i, cuando es 4 + 2 es –1 y cuando es 4 + 3, es –i. Problema 1: Calcula
Problema 2:
E = i50 + i100 + i201
Solución: o
Calcula
M = i + i2 + i3 + ... + i486
Solución: o
• 50 = 4 + 2 i50 = i 4 + 2 = i2 = –1 o • 100 = 4 i100 = i4 = 1 o o • 201 = 4 + 1 i201 = i 4 + 1 = i
E = –1 + 1 + i = i
M = i + i2 +...+ i4 + i5 +...+ i8 + i9 +...+ i484
0
0
0
+ i485 + i486
M = i485 + i486 = i484 · i + i484 · i2
1
1
M = i + (–1) = i – 1 Rpta.: i
Rpta.: i – 1 3
35
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 10
CANTIDADES IMAGINARIAS
POTENCIAS NEGATIVAS Recuerda
• i–1 = i–1 · i4 = i3 = –i 1 • i–2 = i–2 · i4 = i2 = –1 i = i
–1 i = –i • i–4 = i–4 · i4 = i0 = 1 • i–3 = i–3 · i4 = i
Problema 3:
i2 = –1
i3 = –i
i–2 = –1
i4 = 1
i–3 = i
• i4 = i8 = i12 = ... = i4k = 1
i–4 = 1
• Cualquier número multipli-
cado por una potencia de la forma i4k , no se altera.
Problema 4:
1+ i Reduce M = i–23 + 1−i
Efectúa
E
Ejemplo:
= (1 + i)2 + i + 3 i
Solución:
Solución:
• i–23 = i–24 · i = i
• (1 + i)2 = 12 + 2i + i2 (1 + i)2 = 2i
1
•
1+ i 1+ i ⋅
1− i 1+ i
i
5 =
2
=
(1 + i) 1−i
2
=
1 + 2i − 1 1 − ( −1)
=
• i + 3 i ⋅ i8
i
=
i + 3 i9
=
i + i3 –i
=
⋅
5 =
i5
=
i
0
(i + 1)2 = 2i (i – 1)2 = –2i
E = 2i + 0 = 2i Rpta.: 2i
i i4
Nota
–1
M = i + i = 2i E R T S E M I B I I
5
Rpta.: 2i
1+i =i 1− i
1−i = −i 1+i
Actividad 10 10 1
Indica cuántos elementos del conjunto:
5
reduce:
N = { −3 ; 3 −8 ; 4 − 7 ; 5 −1 ; 6 −3} son cantidades imaginarias. 2
A = i25 + i62 + i83 + i96 R = i + i2 + i3 + i4 + ... + i56
6
Calcula:
7
Determina el resultado de:
Reduce y calcula el valor de:
E= 3
Aplicando potencias de la unidad imaginaria,
−16 +
Señala verdadero
−25 +
−36 −
−81
N = i + 2i2 + 3i3 + 4i4 + 5i5 + 6i6 + 7i7 + 8i8
(V) o falso (F), según corres-
ponda: a. i2000; es equivalente a –1
( )
b. i2223; es equivalente a –i
( )
c. i6666; es equivalente a i
( )
d. i2000; es equivalente a 1
( )
8
Calcula el valor de: 12
14
9
Reduce la expresión:
E = (1 + i)2 + (1 – i)2 + 4
Relaciona correctamente:
A
i 243
i
I
B
i 125
–i
II
C
i 580
1
III
36
3
17
J = i11 + i13 + i15
10
1+ i 1− i + 1−i 1+ i
Determina el valor simplicado de:
E = i− i+5 i
11
O L U T Í P A C
ECUACIONES I ECUACIONES DE 2° GRADO CON UN INCÓGNITA ¿Cuándo el producto de dos factores es cero?
Factorice estos polinomios.
2
Ten Presente
2 –
P( x x) = x
x – 6 Identidad y ecuación
Q( x x) = 6 x2 – 16 x + 15
Una ecuación cuadrática o de 2° grado es aquella que se puede reducir a la forma: ax2 + bx + c = 0 Problema 1:
Solución:
Calcula m para que
Una ecuación cuadrática no puede contener un término cúbico: m – 3 = 0 m = 3 La ecuación resulta: 3x2 – 2x + 5 = 0 Rpta.: 3
(m – 3)x3 + mx2 – 2x + 5 = 0 sea de 2° grado.
(x + 2)2 = x2 + 4x + 4 es una identidad porque cualquiera sea el valor que tome x la igualdad se cumple. Mientras que x2 = 3x – 2 es verdadera solo cuando: x = 1 x = 2 Este conjunto de valores se llama conjunto solución: C.S. = {1; 2} Igualdades de este tipo son ecuaciones.
Resolver una ecuación
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA El principio en el que se basa la resolución de ecuaciones cuadráticas es: "El producto de dos factores es cero cuando uno de ellos es cero".
3x2 – 2x – 5 = 0 –5 x 1 (3x – 5)(x + 1) = 0 3x – 5 = 0 x + 1 = 0
Encontrar los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación es resolver la ecuación .
3x
La ecuación cuadrática, como la de la derecha, se factoriza por aspa simple, para expresarla en forma de dos factores, y luego se aplica el principio.
x =
C.S. =
5
{
3
5 3
Casos particulares •
x = –1
x2 = 16 x =
}
Resuelve 6x2 – 17x + 12 = 0
Si una de las raíces de x2 – ax + 6 = 0 es 3, calcule la otra raíz.
•
Solución:
Si x = 3 es raíz
6x2 – 17x + 12 = 0
x =
3 2
x =
Ecuación: x2 – 5x + 6 = 0 x x
3
Rpta.: C.S. =
{ } 3
2
;
4
x(x + a) = 0 x = 0 x = –a
2x2 – 5x = 0 x(2x – 5) = 0
x = 0 2x – 5 = 0
–3 –2
x = 0 x =
(x – 3)(x – 2) = 0 x1 = 3; x2 = 2
4
x2 + ax = 0
32 – a(3) + 6 = 0
a = 5
2x –3 3x –4 (2x – 3)(3x – 4) = 0 2x – 3 = 0 3x – 4 = 0
= 4
C.S. = {4; –4}
Problema 3:
Solución:
16
x = 4 x = –4
; −1
Problema 2:
e indica su C.S.
x2 = a x = a
Rpta.: 2
C.S. =
5 2
{ } 0;
5 2
3
3
37
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 11
ECUACIONES I
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR FÓRMULA GENERAL No todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por aspa simple. Cuando no se puede factorizar, se completa a cuadrados.
ax2 + bx + c = 0
Multiplicamos por 4a: 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
Por ejemplo resolvamos:
2
(2ax)2 + 2(2ax)b + b2 – b2 + 4ac = 0
x2 + 6x + 7 = 0
T.C.P.
(2ax + b)2 = b2 – 4ac
7 – 32 = 0 x2 + 2(x)(3) + 32 +
1. Si ∆ = 0, la ecuación tiene dos raíces racionales e iguales.
T.C.P.
2ax + b = ( x + 3) 2
=
2
x = –3 + 2 x = –3 – 2
∆ = b2 – 4ac
Problema 4:
Solución:
Resuelve:
( 2 x + 6 )2 −
2. Si ∆ > 0, la raíces son reales. a) Si ∆ > 0 y es e s cuadrado perfecto, las raíces son racionales. b) Si ∆ > 0 y no es cuadrado perfecto, las raíces son irracionales y conjugadas.
2a
Discriminante:
C.S. = {–3 + 2 ; –3 – 2 } C.
2x + 6
b 2 − 4 ac
b 2 − 4 ac
−b ± x=
x + 3 = 2
E R T S E M I B I I
3) Si ∆ < 0 las raíces son complejas y conjugadas. =
( x + 4 + 1) 2
2x + 6 = x + 4 + 2 x + 4 + 1
x + 4 = 1
( x + 1)2
=
(2 x + 4 )2
x2 + 2x + 1 = 4(x + 4) x=
x2 – 2x – 15 = 0
( −2)2 − 4(1)( −15)
−( −2) ±
2(1)
=
2±8 2
C.S. = {5}
Problema 5:
Solución:
Si x1 y x2 son raíces de:
x =
x2 – 2x – 2 = 0, calcula x1 – x2.
x =
( −2)2 − 4(1)(−2)
−( −2) ±
2(1) 2±
12 2
x = 1
3
=
2±2 3 2
x1 = 1 +
x1 – x2 = (1 +
3
3
y x2 = 1 –
) – (1 –
3
)=2
3 3
Rpta.: 2 3
38
Ten Presente
3
ECUACIONES I
CAPÍTULO 11
Problema 6:
Problema 7:
Indica la menor raíz de la ecuación:
Resuelve:
x + 1 x – 1 = 1 2 2 2
Solución:
Ordenando y elevando al cuadrado.
Solución:
( 2x + 1 – x – 4 )2 = (3)2 3x – 3 – 2 (2x + 1)(x – 4) = 9 (–2 (2x + 1)(x – 4)) 4))2 = 12 – 3 x 4(2x + 1)(x – 4) = (12 – 3 x)2 8x2 – 28x – 16 = 144 – 72 x + 9x2 x2 – 44x + 160 = 0 (x – 40)(x – 4) = 0
Multiplicando y reduciendo. 1 2 1 x2 – = 2 2 1 1 x2 – = 2 2 x2 = 1
De donde: (x + 1)(x – 1) = 0
2x + 1 – 1 – 3 = x – 4
⇒ x = –1 ∨ x = 1
De donde: x = 40
∨ x = 4
Rpta.: 40 y 4
Rpta.: –1
I I B I M E S T R E
Actividad 11 1
Resuelve la
ecuación x2 – 400 = 0 e indica su
7
C. S. 2
Resuelve
3x + 2
tado la mayor raíz.
Indica la menor raíz de la ecuación:
x +
x − 5
1
8
= − 1 5 25
1
Resuelve la ecuación e indica la solución entera
de:
2x
x −1 3
x + 3 y da como resul-
−1 =
−
2
=
3x
x +1
Resuelve (x + 3)2 + (x + 4)2 = (x + 5)2 e indica una
raíz.
9
Indica la menor solución de:
(x2 – x)2 – 8(x2 – x) = –12 4
Resuelve la ecuación x2 + 16x + 15 = 0 e indique
la suma de raíces. 5
10
Si las raíces de la ecuación x2 + 1 = 4x, son x1 y x2, donde x1 > x2, calcule x1 – x2.
Resuelve: 1
x = 1+
1
2+
1
1+
1
2+
6
1+
Al resolver: 3x
2
3x2
−
2x + 1
−
2x − 1
=
3x
calcule a·b.
2 +
e indica el valor aproximado de sus raíces.
3x − 2
se obtiene una raíz de la forma
1
a−
6
b
.
3
39
12
O L U T Í P A C
ECUACIONES II
ECUACIONES DE 2° GRADO CON UNA INCÓGNITA Resuelva por fórmula general las ecuaciones.
¿Se puede hallar la ecuación a partir de sus raíces?
x2 – 9 x + 14 = 0 x2 – 4 x + 1 = 0 x2 – 4 x + 7 = 0
ANÁLISIS DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
E R T S E M I B I I
La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática dependen del valor del discriminante: = b2 – 4ac
Discriminante: = b2 – 4ac
A la derecha se presentan las características de las raíces según el discriminante.
III. < 0 raíces, son complejas y conjugadas.
Para ax2 + bx + c = 0; a 0, a, b, c R 2
Ten Presente
I.
0 raíces son reales
II.
= 0 raíces son iguales
Problema 1:
Problema 2:
¿Qué valor debe tomar a para que las raíces de x2 – ax + 3 a = 0 sean
iguales?
Calcula el mínimo valor entero de a para que las raíces de x2 – 5x + 2a = 0 no sean reales.
Solución:
Solución:
Para que las raíces sean iguales = 0. (–a)2 – 4(1)(3a) = 0
Para que las raíces no sean reales: < 0 (–5)2 – 4(1)(2a) < 0
a2 – 12a = 0
a(a – 12) = 0
25 < 8a mín = 4
a = 0 a = 12 Rpta.: 4
Rpta.: 0 o 12
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Supóngase que 4 y –5 son las raíces de una ecuación cuadrática, entonces (x – 4)(x + 5) = 0, de donde x2 + x – 20 = 0. Obsérvese que el coeciente de x es –[4 + (–5)] = 1 y el término t érmino independien-
te, (4)(–5) = –20. En general, si x1 y x2 son las raíces de ax2 + bx + c = 0, entonces: ax2 + bx + c x2 +
40
b a
x +
c a
(x – x1)(x – x2) x2 – (x1 + x2)x + x1 x2
3
b + = – x x 1 2 a c = x x 1 2 a 1 b 1 = − + c x1 x2
Ecuaciones cuadráticas
ax2 + bx + c = 0
x1
x2
2
4
x
Los puntos comunes de una parábola con el eje X (para y = 0), son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.
ECUACIONES II
CAPÍTULO 12
Ejemplo: 3
En 2x2 + 3x – 18 = 0: x1 + x2 = – ; x1 x2 = 2
− 18
2
= –9 ;
1
x1
1 +
x2
3 = −
−18
1 =
6
Problema 3:
Solución:
x1 y x2 son las raíces de
x1 + x2 = –(–3)
x2 – 3x + 3 = 0, calcula
x1(x2 + 1) + x2(x1 + 1) = 2x1x2 + (x1 + x2)
x1(x2 + 1) + x2(x1 + 1)
x1 + x2 = 3 y x1x2 = 3 = 2(3) + 3 = 9 Rpta.: 9
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA A PARTIR DE DE SUS SUS RAÍCES Historia
Si las raíces de una ecuación cuadrática son, por ejemplo, 3 y –8, entonces la ecuación que las originó es (x + 3)(x – 8) = 0, de donde:
Raíces: x1 + x2 Ecuación: x2 – (x1 + x2)x + x1 x2 = 0
x2 + 5x – 24 = 0 8 + (–3)
3(–8)
Problema 4:
Solución:
Una de las raíces de la ecuación: 5 6x2 – ax – 20 = 0 es .
5
Cuando x = : 2
6
2
Obtenga la ecuación de raíces (a – 2) y (3 – a).
2
− a – 20 = 0 a = 7 2 2 5
5
Raíces: x1 = a – 2 = 7 – 2 x1 = 5 x2 = 3 – a = 3 – 7
x2 = –4
Ecuaciones de 2° grado
La ecuación de segundo grado y su resolución tienen un origen antiguo. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. En Grecia fue desarrollado por el matemático Diofanto de Alejandría. La resolución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeo-español Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
Ecuación: x2 – [5 + (–4)] x + (5)(–4) = 0 x2 – x – 20 = 0 Rpta.: x2 – x – 20 = 0
x12 = 4
Problema 5: Halla k ∈ N tal que x1 y 3x1 = x2, sean las raíces de
x2, con x2 + kx
+ 12 = 0.
Solución:
De la ecuación: x1∙x2 = 12/1 ⇒ x1∙x2 = 12 (1) Del dato: 3x1 = x2
x1 = 2 ⇒ x2 = 6
ó x1 = –2 ⇒ x2 = –6 Entonces: x1 + x2 = –k De donde: –2 + (–6) = –k ⇒ k = = 8
(2)
Reemplazando (2) en (1): x1(3x1) = 12
Rpta.: 8
3
41
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 12
ECUACIONES II
Problema 6:
Problema 7:
Determina el valor de k para que las raíces 18·x2 – 12·k ·x + (6·k – – 2) = 0, sean iguales.
de
Solución:
Para que sus raíces sean iguales su discriminante debe ser igual a cero, es decir, b2 – 4ac = 0 De la ecuación: a = 18 b = –12k c = 6k – – 2 Reemplazando en el discriminante: (–12k )2 – 4(18)(6k – – 2) = 0 144k 2 – 72(6k – – 2) = 0 k 2 – 3k + + 1 = 0
E R T S E M I B I I
–(–3) ± (–3)2 – 4(1)(1) 2(1)
= ⇒ k =
raíces de la ecuación: (2 p – 1)x2 + ( p p + 2)x – 7 p = 0 sea igual a –4/3. Solución:
La suma de las raíces es x1 + x2 = –b/a. Luego: –( p p + 2) –4 = 2 p – 1 3 3( p p + 2) = 4(2 p – 1) 3 p + 6 = 8 p – 4 3 p – 8 p = –4 – 6 –5 p = –10 ⇒ p = 2
• Por fórmula general: k = =
Calcula el valor de p de modo que la suma de las
3± 5 2
Rpta.: 2
Actividad 12 12 1
Halla n si la suma de raíces de la ecuación
6
ta como raíces las inversas de las raíces de:
7x2 – (3n + 1)x + 3 = 0 es 22/7. 2
Calcula el discriminante de la ecuación:
(x + 2)2 + (x + 3)2 = (x + 4)2 3
Forma la ecuación de segundo grado que admi-
4x2 + 21x + 5 = 0 7
Forma la ecuación de segundo grado de coecientes reales, si una de sus raíces es x1 = 1 – 3i; (i 2 = –1).
8
Halla el menor número par que se debe asignar a k en x2 + 8x + k = = 0, para que sus raíces sean
x1 y x2 son las raíces de la ecuación:
3x2 – x + 4k = = 0 Calcula el valor de k , si (x1 + 3)(x2 + 3) = 18. 4
El valor del discriminante de la ecuación 4x2 + mx + 3 = 0 es la unidad. Halla el mínimo valor de “m”.
5
Halla
n si las raíces de x2 – 2x(1 + 3n) + 7(3 + 7n) = 0
son iguales.
42
3
números complejos (no reales). 9
10
¿Cuáles son los valores que puede tomar k en en la 2 ecuación kx + 2x – 1 = 0 para que su conjunto solución contenga dos número reales? Halla los
valores de k para para que las raíces de la 2 ecuación x + kx + 8 = k sean reales y diferentes. (k < < 0)
PROYECTO DE APRENDIZAJE
RESOLVIENDO ECUACIONES DE 2° GRADO
SITUACIÓN SITUA CIÓN PROBLEMÁTICA
x
1
1
Uno de los temas que se estudia en matemática es la ecuación cuadrática o de segundo grado. Para su resolución se aplican diferentes métodos como el de factorización o la fórmula general. En este caso trabajaremos un proyecto para desarrollar ecuaciones de segundo grado empleando figuras geométricas como rectángulos y cuadrados de dos colores diferentes.
1
1
x
2 x
x
PROPÓSITO
• Resolver ecuaciones de segundo grado aplicando los conceptos del área del cuadrado y el rectángulo.
ACTIVIDADES x
Confeccionar tarjetas similares a las mostradas en la situación problemática.
x
1
1
1
x
x
x2 +
Se pide resolver ecuaciones como por ejemplo 3x + 2 = 0 formando con sus tarjetas figuras como la de la derecha. Cada lado lo igualan cero:
x+1 x
x + 1 = 0 ⇒ x = –1
x2
x + 2 = 0 ⇒ x = –2 , y ya está resuelta la ecuación
cuadrática. Se proponen operaciones similares para resolver en el aula, en el caso de intervenir cantidades negativas, deben usar tarjetas de otro color para representarlas.
x x+2
METACOGNICIÓN
Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y responde: ¿Qué aprendí hoy?
¿Cómo lo aprendí?
¿Cómo fue mi participación en el proyecto?
¿Para qué me será útil lo que aprendí?
3
43
Unidad
03
Uno de los productos de exportación ex portación son los espárragos
INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO BALANZA COMERCIAL La diferencia entre el valor de las exportaciones y el valor de las importaciones de un país se llama balanza comercial. Es positiva cuando las exportaciones son mayores que las importaciones, y negativa en caso contrario. Las importaciones son las compras que los ciudadanos, las empresas o el gobierno de un país hacen de bienes y servicios que se producen en otros países, los cuales son traídos al país comprador. Las exportaciones son los bienes o servicios que se producen en el país, los cuales son vendidos y enviados a clientes de otros países. o de to Quinua, produc t
tación por ta xp e x
- Averigua el tipo de balanza comercial del Perú Perú y analiza si es del tipo favorable. http://www.mef.gob.pe/
APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones
Comunica y representa
• Aplica las propiedades
de las desigualdades. • Usa las propiedades de las ecuaciones y las inecuaciones con valor absoluto. • Usa las propiedades de las relaciones.
44
3
• Representa en forma
gráfica los intervalos y sus operaciones. • Determina en una recta numérica el conjunto solución de una inecuación. • Representa en forma gráfica las relaciones binarias.
Elabora y usa estrategias • Resuelve proble-
•
mas con intervalos e inecuaciones. Resuelve ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.
• Emplea diversas estrategias para resolver problemas con relaciones.
Razona y argumenta • Justifica el uso de las
inecuaciones en la resolución de problemas. • Propone ejemplos de inecuaciones. • Argumenta el uso de las relaciones binarias.
13
O L U T Í P A C
INECUACIONES I INECUACIONES DE 1° GRADO CON UNA INCÓGNITA ¿Cuántos valores enteros puede tomar x en esta desigualdad?
Si un número se encuentra entre –1 y 6, ¿entre qué valores se encuentra su triple?
–1 2 x – 3 < 5
2
Ten Presente
a > b : "a es mayor que b" a < b : "a es menor que b" a b : "a es mayor o igual que b" a b : "a es menor o igual que b"
Una inecuación es una desigualdad que se satisface para un conjunto de valores de la incógnita, el cual se denomina conjunto solución (C.S.). Para resolver las inecuaciones se utilizan las propiedades de las desigualdades:
1.
2.
a < b
a < b
a + c < b + c
a–1 < 0
si a < 0 si a > 0 a–1 > 0
3.
ac < bc, si c > 0
0 < a < b
4.
ac > bc, si c < 0
Definiciones a R es positivo si a 0 a R es negativo si a < 0 a b a < b a = b a b a > b a = b a < b < c a < b b < c
1 1 > >0 a
b
1 1 a < b < 0 > a
b
Intervalos • Intervalo cerrado
2
Las inecuaciones de 1° grado son aquellas que se pueden reducir a una de las siguientes formas: ax + b > 0
ax + b 0
ax + b < 0
ax + b 0
7
2 x 7 x [2; 7] • Intervalo abierto
–3
I I I B I M E S T R E
5
–3 < x < 5 x –3; 5 Problema 1: Resuelve
Solución:
3x − 2 4
• Intervalo semiabierto
3x – 2 7(4) 3x 28 + 2
7
30
x
3
–5
x 10
–2
–5 x < –2 x [–5; –2〉
C.S. = –∞; 10] Intervalos infinitos • Problema 2: Resuelve –3 <
Solución: 3 − 2x 2
2
x a x [a; +∞
–3(2) < 3 – 2 x 2(2) –6 < 3 – 2x 4 –6 – 3 < –2 x 4 – 3 –9 < –2x 1 −9 −2
>
−2 x −2
≥
1
x −
2
;
1 −2
9 2
> x –
1 2
a
•
a x a x –∞; a]
9 2
3
45
CAPÍTULO 13
INECUACIONES I
Problema 3: 3x − 1
Si –2 < 2x − 3 5
4
< 1, ¿en qué intervalo se encuentra
4
−7
<
3
3
3
−
3
3
23 1 ⋅
3 5
<
<
23 −
15
<
2x − 3
5
(3) < (3) < 0(3) 0(3)
8(2) x(2) (2) > > 2(2) 2(2) 16 – 16 – 1 2x – 1 > 1 > 4 – 1
10 <
( 2 x − 3) ⋅ 2x − 3
3
–8(–1) –8(–1) –x(–1) (–1) > > –2(–1) –2(–1)
3
(2) < x( 2) < ( 2) 3 −
2−x
–6 – 2 2 – x – 2 < 2 < 0 – 2
5 <
< 0, ¿en qué intervalo se encuentra
?
–2(3) –2(3)
5
14 −
3x
3
Solución:
3 x − 1 –2(4) –2(4) < < (4) < < 1(4) 1(4) 4 (4) –8 + 1 < 1 < 3x – 1 + 1 < 1 < 4 + 1
−
Si –2 2x − 1
?
Solución:
7
Problema 4: 2−x
−
3
1 5
15
3
4 <
1 1
3
⋅
3 5
4
≥
<
2x − 1 4 2x − 1 4
>
≤
3 4 15 4
1 <
15
Rpta.:
−
23 15
;
1
Rpta.:
15
3 15 ; 4 5
Actividad 13 13 E R T S E M I B I I I
1
Si 2 x 6, ¿a qué intervalo pertenece 4x + 1?
2
Resuelve la inecuación:
6
3 x − 3 1 + 1 > −3 + 7 − 2x 3 3 9 2 4 3 8 2
(x + 2)(x – 1) + 26 < (x + 4)(x + 5) y da el conjunto solución. 3
Resuelve la inecuación
x 2
+
5−x 3
7
Si 4x + 1 –5; 2, halle la variación de
8
Si n > m > 0. Al resolver
1 >
6
e indica el mínimo valor entero que la verica.
4
Si
−13 20 ∈ ; , ¿a qué intervalo pertene9 x+6 2
Al resolver la inecuación
2
−
2x + 1 3
46
3
+
n
m
+ 2n 2
n
≥
m n
+
x m
3x + 5
.
se obtie-
+ 5 , donde n > m > 0.
Determine el intervalo al que pertenece:
E= + 9 x, se
obtiene C.S. = [2a – 3; +. Calcule el valor de a.
x
1
calcule m2 – 1. 9
x −1
m
ne como C.S. = −∞ ;
3x + 5
ce (x + 2)? 5
Encuentra el valor entero y negativo de x en:
10
5
x
2
+ 25
; x R.
Si F(x) = x2 – 12 x + 100 y G( x) = 43 – 4 x + x2, calcule el mínimo valor de F( x) más el máximo valor de G(x).
14
O L U T Í P A C
INECUACIONES II INECUACIONES DE 2° GRADO CON UNA INCÓGNITA ¿Cuál es el conjunto solución de estas ecuaciones?
Si el producto de dos factores es positivo, ¿qué se deduce de los factores?
x2 – 10 x + 21 = 0 2 x2 – 3 x – 20 = 0
x2 – 4 x + 1 = 0
Las inecuaciones de 2° grado son aquellas que se pueden reducir a una de las siguientes formas: ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c 0
ax2 + bx + c 0
Historia
Resolución por aspa simple
x2 – 2x – 35 0
Dada la inecuación la factorizamos por aspa simple.
–7 5 (x – 7)(x + 5) 0 P.C. = {7; –5} x x
Los ceros del polinomio factorizado se llaman puntos críticos (P.C.). Se gracan los puntos críticos en la recta real.
En cada intervalo y de derecha a izquierda se colocan los signos +, –, +, alternadamente.
+
– –5
Como el signo es mayor, el C.S. es la unión de los intervalos positivos y por po r ser incluye los P.C.
+ 7
C.S. = –∞; –5] [7; +∞
Los símbolos Menor que (<) y Mayor que (>) aparecen primero en la obra “Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas” (Las artes Analíticas Aplicadas a Resolver las Ecuaciones Algebraicas) de Thomas Harriot, que fuera publicada póstumamente en el año 1631.
Problema 1: Resuelve x2 + 3x – 4 < 0.
Solución:
x2 + 3x – 4 < 0 x x
–1 4
(x – 1)(x + 4) < 0 P.C. = {1; –4} +
– –4
+ 1
C.S. = –4; 1
Resolución por fórmula general
Cuando no se puede factorizar por aspa simple, se calculan los puntos críticos por la fórmula general de la ecuación cuadrática y se procede igual que en el caso anterior.
3
47
I I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 14
INECUACIONES II
Problema 2:
Problema 4:
Resuelve x2 – 4x – 1 > 0.
Resuelve
Solución:
Solución:
x + 2 < x – 4. 2
x = x =
−( −4) ±
(− 4)2 − 4(1)( −1) 2(1)
4±
20 2
La raíz cuadrada de un número no puede ser negativo ni la expresión dentro de la raíz cuadrada. En consecuencia: x + 2 0
x – 4 > 0 x –2 x > 4
x1 = 2 + 5 y x2 = 2 – 5
P.C. = {2 + 5 ; 2 – 5 } +
– 2– 5
Ten Presente
+
Además:
a2 < x2 < b2 • a < x < b < 0
b2 < x2 < a2 • a R, a2 0
0 x + 2 < x – 4
2+ 5
C.S. = –∞;2 – 5 ∪〈; 2 + 5 ; +∞
(1)
• 0 < a < x < b
Elevando al cuadrado:
( x + 2 )2 < (x – 4)2
x + 2 < x2 – 8x + 16 Problema 3:
x2 – 9x + 14 > 0
Resuelve 3x2 + x – 10 0.
(x – 7)(x – 2) > 0
Solución:
3x2 + x – 10 = (3x – 5)(x + 2) 0 3x
–5 2
x
P.C. = E R T S E M I B I I I
{
5 3
}
; − 2
+
– –2
C.S. = −2 ;
P.C. = {2; 7}
–2
+ 5/3
2
Fórmula general de la ecuación cuadrática:
4
ax2 + bx + c = 0
7
La solución es la intersección de (1) y (2): C.S. = 7; +∞
5 3
Problema 5:
Problema 6:
El conjunto solución de la inecuación (x – a)(x – b) < 0 es 〈3; 5〉. Halle R = 3a – b; si a < b
Resuelva x2 + x + 1 > 0
Solución:
Del conjunto solución se tiene: C.S. = 〈3; 5〉 ⇒ (x – 3)(x – 5) < 0 (x – a)(x – b) < 0
Solución:
Hallando su discriminante: b2 – 4ac = (1)2 – 4(1)(1) = 1 – 4 = –3
es menor que cero, y como el signo de la desigualdad es ">": C.S. = R
Comparando: a = 3; b = 5 Se pide: R = 3a – b = 3(3) – 5 = 9 – 5
⇒ R = 4
Rpta.: 4
48
3
Recuerda Recuerda
(2)
Rpta.: R
x =
−b ±
b 2 − 4 ac 2a
INECUACIONES II
CAPÍTULO 14
Problema 7:
Problema 8:
Si el conjunto solución de la inecuación: x2 – 25 < 0 es 〈a; b〉, halla el valor de la expresión: H = 3a – b + 4
Si x(x – a) ≤ x – 2 tiene por conjunto solución [1; 2]; halla el valor de a.
Solución:
x2 – ax – x + 2 ≤ 0
De la inecuación: x2 – 5 < 0 ⇒ (x + 5)(x – 5) < 0 x = –5 ; x = 5
x2 – x(a + 1) + 2 ≤ 0
+
–
Solución:
Del C.S. tenemos: (x – 1)(x – 2) ≤ 0 x2 – 3x + 2 ≤ 0 Comparando tenemos: a+1=3 a = 2
+
–∞ –5 5 +∞ El conjunto solución es: C.S. = 〈–5; 5〉 De donde se tiene: a = –5 y b = 5 Luego en la expresión pedida: H = 3a – b + 4 = 3(–5) – 5 + 4 ⇒ H = –16
Rpta.: 2
Rpta.: –16
Actividad 14 14 1
Relaciona cada inecuación con sus puntos críti-
4
Resuelve e indica el C.S. de x2 6x.
5
Resuelve x(x +
cos. A x2 – 5x ≤ 0 B x2 + 4x + 3 > 0 C x2 – 5x – 6 ≥ 0 2
I II II I
–1; 6 0; 5 –3; –1
3) < 10 e indica el número de
valores enteros que la verican.
e indica la suma de valores enteros que la verican la desigualdad x(x + 4) < 32.
6
Resuelve
7
Resuelve x2 – 3x – 1 < 0
8
Calcula la suma de valores enteros que verican la inecuación 2(x – 3)2 x(x – 4) + 18.
9
Si x 2; 5, ¿a qué intervalo pertenece x2 + 2x + 4?
¿Cuáles de las siguientes siguientes armaciones son ver-
daderas? 1. Los puntos críticos de una inecuación ( ) de segundo grado son las raíces del polinomio de segundo grado. 2. Toda inecuación de segundo grado ( ) tiene dos puntos críticos diferentes. 3. En toda inecuación de segundo grado ( ) los puntos críticos pertenecen al C. S. 3
Relaciona correctamente
cada inecuación con
su conjunto solución: A x(x + 3) < 0 B x(x – 3) ≤ 0 C x(x – 3) < 0
10
I II III
[0; 3] 〈0; 3〉 〈–3; 0〉
La inecuación: ax2 + bx + c < 4x2 – x + 3, tiene como C.S.
0;
2 3
. Calcula el valor de a · b · c.
3
49
I I I B I M E S T R E
15
O L U T Í P A C
INECUACIONES III
INECUACIONES INECUA CIONES FRACCIONARIAS ¿Cuál es el conjunto solución de estas inecuaciones?
Si el cociente de dos factores es positivo, ¿el producto es positivo o negativo?
( x x – 2)( x x – 3) > 0 ( x x – 1)( x x + 4) 0 (2 x + 1)( x x + 3) < 0
Consideremos la inecuación
x−3 x−2
≥0
La inecuación expresa que el cociente de (x – 3) entre x – 2 es positivo o bien cero.
Historia
Podría ser cero siempre que x – 3 = 0, pero x – 2 0 (x = 3 x 2). Si el cociente es positivo, entonces el producto también lo es: x−3 x−2
≥0
El Signo “Menor que” y “Mayor que”.
(x – 3)(x – 2) 0, con x 2
Obsérvese que la inecuación fraccionaria se ha transformado en una inecuación cuadrática, de las que tratamos en el capítulo anterior. Por lo tanto, una inecuación de la forma resolver como P(x)Q(x) ≷ 0.
E R T S E M I B I I I
Problema 1 x+5 Resuelve x−2
≤0
P( x) Q( x )
≷ 0, con Q(x)
–
+
.
0, se puede
+
–5
Johnson dice, que proba blemente él desarrolló los símbolos «mayor que» y «menor que» a partir de estas relaciones.
2
Resolución:
C.S. = –5; 2
P.C. = {2; –5}, x 2
Sin embargo, Seltman y Mizzy dicen que Harriot no usó los símbolos que aparecen en el trabajo que se publicó después de su muerte.
Problema 2 Resuelve
2x − 1
x+2
>
0
–
+
.
–2
+ 1/2
Resolución: P.C. =
{ } 1
2
, −2 , x
C.S. = –; –2 1/2; +
≠ −2
Problema 3 Resuelve
3x + 1 − 2x + 4
3x + 1
x−2
≤2
x−2
.
x−2
50
−2 ≤
0⇒
x+5 x−2
≤0
P.C. = {–5; 2}, x 2
Resolución: 3x + 1
≤0⇒
3 x + 1 − 2( x − 2 )
x−2
3
+ ≤
0
–5 C.S. = –5; 2
–
+ 2
Según Johnson, mientras Harriot estaba inspeccionando América del Norte, vio a un nativo americano con este símbolo en su brazo:
INECUACIONES III
CAPÍTULO 15
Problema 5
Problema 4 Resuelve
x+1 x +5 − x −2 x +1
≥2
El C.S. de la inecuación
.
Halla a + b.
Resolución:
Resolución:
x +1 x + 5 − −2 ≥ 0 x −2 x+1
3x + 5 3x + 5 – 3 ≤3 ⇒ ≤0 2x + 1 2x + 1
( x + 1)2 − ( x + 5)( x − 2) − 2( x − 2)( x + 1) ( x − 2)( x + 1) 2
−2 x + x + 15
≥
( x − 2)( x + 1)
(2 x + 5)( x − 3)
0⇒
3x + 5 ≤ 3 es 〈– ∞; a〉 ∪ [b; +∞]. 2x + 1
( x − 2)( x + 1)
≥0
≤
–3x + 2 ≤0 2x + 1 3x – 2 ⇒ ≥0 2x + 1
⇒
P.C. 2/3 y –1/2
0
–1/2
P.C. {–5/2; –1; 2; 3}, x 2; –1
2/3
C.S. = – ∞ + –1 ∪ 2 ; +∞ +∞ 2 3 Comparando: a = –1/2 y b = 2/3
+ + + – – –5/2 –1 2 3
a + b = –1/2 + 2/3 =
C.S. = –5/2; –1 2; 3
–1 + 2 = 1 2 3 6
Rpta.: 1/6
Actividad 15 15
1
Resuelve
ción. 2
3
4
6
x
− 16
>
0
e indica el conjunto solu-
7
( x − 1)( x − 2) ( x + 1)
≤
x −1
5 1− x
< −2
Resuelve la inecuación
9
Si la inecuación fraccionaria
x−3
−
2
x+2
≥0
.
(n – 1)x2 + (n – 2)x + (n – 2) ≤ 0; n ∈R, x2 + x + 1
?
Determina el conjunto solución de
1
8
¿Cuántos enteros verican verican la la inecuación inecuación fraccio fraccio+
I I I B I M E S T R E
0
2x + 1 Resuelve la inecuación fraccionaria ≤ 1 e x −1 indica su conjunto solución.
6
Determina el conjunto:
A = x ∈R/ 2 1 ≤ 1 x + 3 x(x + 6)
Resuelve la inecuación
naria
5
9 2
tiene C.S. = { }, halle los valores de n. 1
−
1
x +1 x
>
1. 10
Resuelve
(x2
+ 1)( x − 3)
( x + 2)7
5
≤
0 e indica su C.S.
Resuelve la inecuación fraccionaria:
1 + 1 0 ≥ x x + 1
3
51
16
O L U T Í P A C
VALOR ABSOLUTO I
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO ¿Cuántos números distan 5 unidades del cero en la recta numérica?
5
¿La raíz cuadrada de un número real puede ser negativa?
5
0
Las ecuaciones con valor absoluto son aquellas que contienen términos con valor absoluto en alguno de sus miembros. Para resolver este tipo de ecuaciones se utilizan los siguientes teoremas: 1.
x = a x x = = –a –a) a 0 ( x =
| x x|| = a
Problema 1
ii) 2x – 3 = –(2 – x)
Resuelve |2x – 3| = 2 – x.
|2x – 3|= 2 – x 2 – x 0 x2 5
i) 2x – 3 = 2 – x x =
3
(1)
Solución: |x2 – 3x + 1|= 3x – 5 3x – 5 0 3
1,67 (1)
i) x2 – 3x + 1 = 3x – 5
x =
Definición
x si x 0 |x| = –x si x < 0
5 3
Propiedades del valor absoluto
Rpta.: 5/3
(2)
Reduce |x2 – 3x + 1| = 3x – 5.
5
(3)
Solo (2) satisface (1).
Problema 2
x
x=5
(2) y (3) deben satisfacer (1).
Solución:
E R T S E M I B I I I
Recuerda
x2 – 6x + 6 = 0 x = 3 3 (2) ii) x2 – 3x + 1 = –3x + 5 x2 = 4 x = 2
(3)
(2) y (3) deben satisfacer (1): De (2) sólo 3 + 3 y de 3 sólo 2.
C.S. = {3 + 3 ; 2}
• |a| 0 a R • |a| = 0 a = 0 • |a|2 = a2 • |a| = a2 • |ab| = |a||b| •
a b
a =
b
• |a| = |b| a = b a = –b
2.
| x x|| = |y|
x2 = y2
Problema 3
Problema 4
Resuelve |3x + 3| = |2x – 2|
Resuelve |x + 2| = |2x – 7|
Solución:
Solución:
(3x + 3)2 = (2x – 2)2 9x2 + 18x + 9 = 4x2 – 8x + 4 5x2 + 26x + 5 = 0
(x + 2)2 = (2x – 7)2 x2 + 4x + 4 = 4x2 – 28x + 49 3x2 – 32x + 45 = 0
5x x
1 5
3x x
(5x + 1) (x + 5) = 0 x = –
1 5
(3x – 5) ( x – 9) = 0
x = –5
x =
1
5 3
x = 9 5
C.S. = {– ; –5}
C.S. = { ; 9}
5
52
–5 –9
3
3
VALOR ABSOLUTO I
CAPÍTULO 16
Problema 5
Problema 6
Resuelve la ecuación:
Resuelve la ecuación:
|x + 3| + |2x + 6| = |x + 11| Solución:
||2x + 5| + 4| = 13 Solución:
|x + 3| + 2|x + 3| = |x + 11|
|2x + 5| + 4 = 13
3|x + 3| = |x + 11|
Elevando al cuadrado:
|2x + 5| + 4 = –13
|2x + 5| = 9
2x + 5 = 9 2x = 4 x = 2
9(x2 + 6x + 9) = x2 + 22x + 121 8x2 + 32x – 40 = 0 8x +40 x –1
∨
∨
|2x + 5| = –17
2x + 5 = –9 2x = –14 x = –7
∅
(8x + 40)(x – 1) = 0
x = –5
∨ x = 1
Rpta.: –7 y 2
Rpta.: –5 y 1
Actividad 16 16 1
Resuelve |2x – 1| = x.
6
Halla el producto de elementos del C.S. de:
||8x + 3| + 9| = 28 2
Halla el conjunto solución de:
|2x – 5| = 1 – x
7
Determina el
menor de los elementos del C.S.
de: 3
Halla la
I I I B I M E S T R E
||x + 3| – 2| = 1
suma de elementos del conjunto solu-
ción de: |2x – 1| = |x + 4| 4
8
|3x + 6| – |x + 2| = |3x – 6|
Resuelve la ecuación: 2x + 5
x−3
Resuelve la ecuación:
=
3
9
Determina el número de soluciones de
|x + 2| + |4x + 8| = |2x –5|
e indica la solución entera.
e indica el menor de ellos. 5
Determina el conjunto solución de:
|x – 2| + |4x – 8| = 20
e indica la suma de elementos.
10
Resuelve la ecuación:
||x2 + 5| – 7| = x
3
53
17
O L U T Í P A C
VALOR ABSOLUTO II
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO ¿En qué intervalo se encuentran los números reales que en la recta real distan menos de 5 unidades del cero?
5
¿Cuál es mayor, la suma de los valores absolutos de 2 números o el valor absoluto de la suma?
5
–5
0
5
Las inecuaciones con valor absoluto son aquellas que contienen términos con valor absoluto en alguno de sus miembros. Para resolverlas debemos hacer uso de las propiedades: propi edades: 1.
| x x|| a
–a a x a a 0 –
Problema 1 Resuelve |2x – 3| x + 2.
Solución:
De (1): x –2 De (2): –2 – x 2x – 3 x 1/3 De (3): 2x – 3 x + 2 x 5
(2)
x + 2 0
–2 – x 2x – 3 x + 2
(1)
1 3
–2
(3)
5
C.S. = [1/3; 5]
E R T S E M I B I I I
2.
| x x|| a
–a a x a x –
Problema 2
x 6
Resuelve |x + 5| 2x – 1.
x–
4 3
Solución:
x + 5 2x – 1
3.
| x x|| |y|
x + 5 1 – 2x
6
x2 y2
Problema 3
2x2 + 5x – 3 = (2x – 1)(x + 3) 0
Resuelve |3x + 2| – |x – 4| 0.
2x x
Solución: |3x + 2| |x – 4|
–1 3 +
(3x + 2)2 (x – 4)2 9x2 + 12x + 4 x2 – 8x + 16 54
–4 3 C.S. = –; 6]
3
–3 C.S. = [–3; 1/2]
P.C. = { 1 ; –3} 2 –
+ 1/2
VALOR ABSOLUTO II
4. x x||a| 0
CAPÍTULO 17
a = 0 x 0
Problema 5 Resuelve |x2 + 3| 5.
Problema 4
Solución:
Resuelve |x – 2|(x + 2)2 (x + 1) 0.
|x2 + 3| 5 x2 + 3 ≤ –5 ∨ x2 + 3 5
Solución:
x2 ≤ –8 ∨ x2 2 x2 + 8 ≤ 0 ∨ x2 2
(x + 2)2 = |x + 2|2
|x – 2||x + 2|2 (x + 1) 0
Observamos que x2 + 8 = 0 no tiene solución en R
x + 2 = 0 x + 1 0 x = 2 x = –2 x –1
x – 2 = 0
–2
–1
x2 2 |x| 2 x ≤ – 2
∨ x
2
–4 –3 –2 – 2 –1 0 1 2 2 3 4
2
C.S. = 〈–∞; – 2] ∪ [ 2; ∞]
C.S. = {–2} [–1; +
Actividad 17
1
Resuelve |3x – 1| 5.
6
Halla la variación de
si x 2
3
Resuelve |2x + 5 | 9
e indica el complemento de su conjunto solución.
3 2
.
Si|x|< 3, halla el intervalo al que pertenece
1 . x – 4 a b
es:
8
Si
3 − 2x
x −1
a, x [4; 12], halla el menor valor
de a.
Si x –1; 1, reduce E = |x + 3| + 3 | x – 4| + 2 |x + 1|
5
7
El conjunto solución de la inecuación: |x – 3| > |2x + 1| es a; b. Luego, el valor de
4
1;
J = |2x – 1| + |x – 2|
9
Resuelva x2 +
3 |x| > 10 e indique el número de valores enteros que no puede tomar x.
Si |x – 4| 20 – |12 – 3x|, calcula la suma de valores enteros que la verican.
10
La raíz de la inecuación: 4
x−2
−5 +
8
x+3
− 10 ≤ 0
es un número:
3
55
I I I B I M E S T R E
18
O L U T Í P A C
RELACIONES BINARIAS
RELACIÓN ¿Se puede establecer una relación en el mismo conjunto?
¿Cuáles y cuántos son los resultados posibles del lanzamiento simultáneo de un dado y una moneda?
2
Ten Presente
Par ordenado El par ordenado es la abstracción de dos elementos ordenados, tal que cuando se invierte el orden resulta otro par.
PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjuntos no vacíos A y B, el producto cartesiano de A por B, es el conjunto denotado por A×B y formado por todos los pares ordenados (x; y), tal que x A y y B.
Matemáticamente es difícil decir "a primero, luego b". Los matemáticos han encontrado esta forma: Par ordenado
A×B = {(x; y) / x A x B}
(b; a) = {{b}, {a, b}} Segundo componente
Problema 1
Solución:
Primer componente
B
Representa grácamente
Así:
3
{1; 2; 3; 4; 5} × {1; 2; 3}
2
en el sistema cartesiano.
(b; a) = {{b}, {a, b}}
En consecuencia:
1 1
2
3
4
(a; b) (b; a), si a b (a; b) = (b; a) a = b
A
5
(a; b) = (c; d) a = c b = d E R T S E M I B I I I
RELACIÓN BINARIA B 4
El gráco representa el producto cartesiano
A×B. (A = {1; 2; 3; 4} y B = {1; 2; 3; 4})
3
En él hemos diferenciado con color rosado un subconjunto R de A×B, con elementos (x; y) tal que x + y < 6.
2
2
Ten Presente
1
R es una relación de A en B (R: A B) con regla de correspondencia x + y < 6.
1
2
3
4 A
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una relación R de A en B es cualquier subconjunto de A×B, y se denota por R: A B.
Relación binaria en A Una relación se puede denir
en el mismo conjunto. Sea A = {1; 2; 3; 4; 5}
Problema 2
Solución:
Sean A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} y B = {1; 2; 3} Graque la relación:
R = {(x; y) A×B / x y}
56
y sea R: A A o R A2
3
R = {(x; y) A2 / x + y = 6}
B 3
Entonces:
2 1 1
2
3
4
5
6
A
R = {(1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1)}
RELACIONES BINARIAS
CAPÍTULO 18
DOMINIO Y Y RANGO RANGO DE UNA RELACIÓN En una relación R de A en B (R: A B), A es el conjunto de partida y B, el de llegada. En R no siempre participan todos los elementos de A ni todos los de B.
B 4 3 2 1
Ten Presente
Relación en R A
Los elementos de A que intervienen en la relación conforman el dominio dominio y y los de B, el rango rango..
Problema 3:
2
En el gráco:
Una relación denida en R es
un subconjunto del producto cartesiano R×R o R2, su gráca está contenida en el plano cartesiano.
Dom(R) = {1; 2; 3; 6; 7; 8} Ran(R) = {1; 2; 3; 4}
Solución:
En el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5} se dene la relación:
2
x y = 2x – 3
3
4
5
R = {(x; y) A2 / 2x – y = 3}.
Dom(R) = {2; 3; 4} Halla el dominio y el rango de R. Ran(R) = {1; 3; 5}
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA RELACIÓN Usualmente una relación se representa grácamente mediante el diagrama
sagital o el cartesiano. R
A
A
B
B
1
2
4 3
Relación de A en B, con elementos discretos. R: A B
4
3
3
2
R
1
2
X
–2 –1 –1
1 1
2
3 A
1
2
3
I I I B I M E S T R E
–2
Relación deni-
da en un mis- Relación de A en B, con elemo conjunto. mentos discretos.
Relación denida
en R. R: A B A = [–2; 3] B = [–2; 3]
R: A B
Problema 4:
Y
Solución: Y 2
Determina el
dominio y rango de la relación: –2
Y 2
R
–1
–2
3 –1
X
3
X
Dom(R) = [–2; 3] Ran(R) = [–1; 0] [1; 2]
3
57
CAPÍTULO 18
RELACIONES BINARIAS
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES RELACIÓN REFLEXIVA Aquí R1 y R 2, son dos relaciones en A. R1 es reexiva porque todos los elementos de A están relacionados consigo mismo. R2 no es reexiva porque falta el ele mento (1; 1).
A = {1; 2; 3} {(1; 1), 1), (1; 2), (2; (2; 2), 2), (3; (3; 3)} 3)} • R1 = {(1; R1 es reexiva • R2 = {(1; 2), (2; 3), (2; (2; 2), 2), (3; (3; 3)} 3)}
R2 no es reexiva A
A 1
1
R en A2 es reexiva, si x A (x, x) R
2
Grácamente se conoce cuando to-
dos los elementos de A aparecen con su respectivo bucle.
3
3
2
R1 Todos los elementos de A están con su bucle.
R2 1 está sin bucle.
Problema 5
R = {(a; 2), (2; b), (3; b), (c, 4)} es una relación reexiva denida en A = {2; 3; 4}. Si a, b y c son diferentes entre sí, calcule ac + b. Solución:
Si b = 2 R = {(3 {(3; 2), (2; 2), (3; 2), (4 (4; 4)} No es reexiva. Si b = 3 R = {(2 {(2; 2), (2; 3), (3; 3), (4 (4; 4)} Sí es reexiva.
ac + b = 2 · 4 + 3 = 11 E R T S E M I B I I I
Rpta.: 11
RELACIÓN SIMÉTRIC SIMÉTRICA A En R1, 1 está relacionado con 4 y 4 con 1. El 2 está relacionado con 4 y 4 con 2. R1 es simétrica. En R 2, 1 está relacionado con 2 pero 2 no está relacionado con 1. R 2 no es simétrica.
A 1
1 2
A 4
3
R1
4 2
3
R2
R en A2 es simétrica, si (x, y) R ( y y, x) R Problema 6 Calcula x + y para que R = {(2;
3), (3; x), (5; y), (4; 5), (4; 4)} sea simétrica.
Solución:
Como (2; 3) R (3; 2) R x = 2 x + y = 2 + 4 = 6 Como (4; 5) R (5; 4) R y = 4
58
3
Rpta.: 6
Nota APLICACIONES Y RELACIONES BINARIAS Para algunos autores la diferencia entre aplicaciones y relaciones binarias está en que las aplicaciones son correspondencias de elementos entre distintos conjuntos, y las relaciones binarias, correspondencias entre elementos de un mismo conjunto.
RELACIONES BINARIAS
CAPÍTULO 18
RELACIÓN TRANSITIVA 2
En R1, 2 está relacionado con 1 y 1 con 4, por consiguiente 2 con 4. R1 es transitiva. 2
1
4
A
Ten Presente
A
2
2
3
3
4 1
En R2, 2 está relacionado con 3 y 3 con 4, pero 2 no está relacionado con 4. R2 no es transitiva.
Si una relación denida en un 1
4
4
R1
R2
Por ejemplo: en el conjunto de los seres humanos denamos la relación "x nació el mismo año que y".
R en A2 es transitiva, si (x, y) R ( y y, z) R (x, z) R Problema 7
La relación: R = {(1; 2), (3; 2), (2; 2)} ¿es transitiva?
Solución: (1; 2)
1
conjunto es de equivalencia, entonces divide al conjunto en clases de equivalencia.
Esta relación es reexiva, (3; 2)
(2; 2)
2
(1; 2)
2
3
(2; 2)
2
2
(3; 2)
Rpta.: Es transitiva
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Una relación es de equivalencia si, y sólo si, es reexiva, simétrica y tran -
sitiva. Problema 8 Demuestra que la relación de semejanza entre triángulos es una relación
simétrica y transitiva, por ende, de equivalencia. Por lo tanto esta relación divide a los seres humanos en clases de equivalencia según el año de nacimiento. Los que nacieron en el año 2000 pertenecen a una clase, los que nacieron en 1980, a otra clase, y así en todos los años. Además, un elemento pertenece a una y sólo una clase.
de equivalencia. Demostración:
-
I I I B I M E S T R E
Todo triángulo triángulo es semejante a sí mismo. La relación es reexiva. reexiva.
- Si un triángulo T1 es semejante a T2, entonces T2 es semejante a T2. La relación es simétrica. - Si un triángulo T1 es semejante a T 2 y T 2, semejante a T3, entonces T1 es semejante a T3. La relación es transitiva. La relación es reexiva, simétrica y transitiva, en consecuencia, es de
equivalencia. Problema 9
Problema 10
Halla el valor de x + y, (2x – 1; x – y) = (9; 2x – 3)
Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; ...; 10} y B = {1; 2; 3; ...; 14}, halla el dominio y rango de la relación: R = {(a; b) A×B / b = 2a}
Solución:
• 2x – 1 = 9 x = 5 • x – y = 2x – 3 y = –2
Solución:
∴ x + y = 5 + –2 = 3
Los pares que cumplen son: R = {(1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8), (5; 10), (6; 12), (7; 14)} Rpta.: 3
DR = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} RF = {2; 4; 6; 8; 10; 12} 3
59
CAPÍTULO 18
RELACIONES BINARIAS
Problema 11
Problema 12
Si R = {(2; 3), (3; 2), ( a; a), ( b; b), (3; 4), (2; c)} es una relación transitiva, calcula a · b · c.
Sea el conjunto A = {2; 3; 5} en el cual se dene la relación R = {(x; y)/x + y ≤ 8}, entonces R es:
Solución:
I.
a = 2 a = 3
• (2; 3) ∧ (3; 2) (2; 2) ∈ R
∨
b = 3 b = 2
• (2; 3) ∧ (3; 4) (2; 4) ∈ R
(2; c) ∈ R
R es reexiva
II. R es simétrica
III. R es transitiva
IV. R es equivalente
Solución:
R = {(2; 2), (2; 3), (2; 5), (3; 2), (3; 3), 3) , (3; 5), (5; 2), (5; 3)}
c=4
No es transitiva porque está (5; 2) y (2; 5) pero no está (5; 3). Tampoco es reflexiva porque falta (5; 5).
R = {(2; 3)(3; 2)(2; 2)(3; 3)(3; 4)(2; 4)}
Solo es simétrica.
∨
R = {(2; 3)(3; 2)(3; 3)(2; 2)(3; 4)(2; 4)} ∴a∙b∙c = 2∙3∙4 = 24
Rpta.: 24
Actividad 18 18 1
Si A×B = {(4; 1), (4; 5), (3; 1), (3; 5), (6; 1), (6; 5)}, halla el número de elementos de (A B)×B.
7
En A = {a2 – 3 / a Z+ 3 < a < 7} se dene la relación reexiva y transitiva:
R = {(13; n), (m; m), (33; p), (m; p), ( p p; m)}. 2
A y B son dos conjuntos tales que:
Determina
A×B = {(2; c), (a; d), (b; c), (b; 5)} B×A = {(4; a), (c; 3), (d; a), (d; b)} Halla c + d – a – b. E R T S E M I B I I I
3
m + n + p; (m, n y p son diferentes entre sí). 8
Si A = {2; x; y} y R = {(2; 2), (2; 6), (4; 6), (4; 4), (6;6)} denido en A×A, es reexiva, calcula x · y.
9
En el conjunto A = {2; 3; 4} se dene la relación relación reexiva:
Determina si son verdaderas (V) o falsas (F).
1. n(A×B) = n(B×A) 2. A×B = B×A 3. (A×B) (A×C) = A×(B C)
R = {(2; a), (2; 3), (b; 4), (3; c), (3; 2)}
las siguientes proposiciones. 4
Si: n(A×B) = 2n(B×C) = n(A×C) + 12 = 20, halla
5
Calcula a + b + c.
n(C)
Dados:
n(A) + n( B) .
A = {x N / x2 9} y B = {x Z / |2x – 1| = 3},
10
Según las grácas, ¿cuál representa una relación relación reexiva?
Y
Y
Y
halla n(A×B). 6
Dado el conjunto A = {2; 4; 6} se dene la rela-
ción R simétrica de A en A tal que: R = {(2; 4), (2; 6), ( a; 2), (4; b)}. Halla el valor de a – b. 60
3
(1)
X
(2)
X
(3)
X
Unidad
04
FUNCIONES VESTIMENTA Y TEMPERATURA La vestimenta permite protegerse de las condiciones climáticas del ambiente, en consecuencia, en las zonas frígidas se requiere mayor protección del frío mientras que en los lugares cálidos sólo requiere cubrir las partes necesarias del cuerpo. El volumen de ropa es una función de la temperatura temperatur a del ambiente. En las zonas frígidas no solamente se requiere ropa más gruesa, sino incrementar el número de atuendos, como guantes, gorros, chalina , entre otro. - ¿De qué crees que depende el desarrollo de un país? http://www.wto.org/spanish/tratop http://www.wto.org/s panish/tratop_s/devel_s/d _s/devel_s/d1who_s.htm 1who_s.htmll
APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones
Comunica y representa
• Relaciona funciones con • Representa en forma
su dominio y su rango. • Identifica la regla de correspondencia de una función lineal, cuadrática, raíz cuadrada, valor absoluto. • Modela problemas con funciones.
gráfica las funciones. • Elabora un esquema sobre las gráficas de funciones. • Traza la gráfica de una función lineal y afín. • Realiza desplazamientos de gráficos de funciones.
Elabora y usa estrategias • Emplea diversas estra-
Razona y argumenta • Argumenta el uso de la
tegias para resolver promodelización de funciones en la resolución de blemas con funciones. problemas. Elabora diversas estrategias para identificar • Propone ejemplos los distintos tipos de y contraejemplos de funciones. funciones y gráficas de funciones. • Resuelve problemas a través de las gráficas de funciones. •
3
61
19
O L U T Í P A C
FUNCIONES I
FUNCIÓN ¿Puede una circunferencia ser el gráco de una función?
¿Cuál es el diagrama sagital de estas relaciones?
R1 = {(1; 2), (2; 3), (3; 3)} R2 = {(1; 2), (1; 3), (2; 4)}
Una función es una relación con la particularidad de que no hay dos pares distintos con la misma primera componente. f
A
B
1
2
2
3
3
4
f es una función. A cada elemento de A le corresponde un solo elemento de B.
A
g
2
2
3
3
4
Ten Presente
No es función. A 1 le corresponden 2 y 3. (1; 2) y (1; 3) son dos pares diferentes con la misma primera componente.
B
1
2
Problema 1
¿Qué valor debe tomar x + y, para que f = = {(2; x + 2), (3; 5), (2; 7), (3; 2 y – 1)},
sea una función? Solución:
x + y = 5 + 3 = 8 2 y – 1 = 5 y = 3
•
(2; x + 2) = (2; 7) x + 2 = 7 x = 5
•
(3; 5) = (3; 2 y – 1)
Rpta.: 8
DOMINIO Y Y RANGO RANGO DE UNA FUNCIÓN
Por ejemplo: y = 2x – 1 Dando un valor a x se obtiene el valor correspondiente de y.
Solución:
En el gráco determine el domi-
2
nio y rango de la función:
1
Por eso también se expresa así: f (x) = 2x – 1
2 –2
1 –2
1
–1
3
2
–1
4
1
–1
4
–2
• y = 2x – 1 y = 2(7) – 1 = 13
Dom( f f ) = –2; 4] Ran( f f ) = [–3; 2]
3
3
Para x = 7:
–2
62
2
–1
–3 –3
Si (x; y) f : A B: A: conjunto de partida. B: conjunto de llegada. x: preimagen o variable independiente. y: imagen o variable dependiente.
Si (x; y) es un elemento de una función, la regla de correspondencia es el modo cómo están relacionados x e y.
Dominio de f (Dom( f f )) es el conjunto de valores de x. Rango de f (Ran( f f )) es el conjunto de valores de y.
E R T S E M I B V I
Una función f de de A en B, se denota así: f : A B
Regla de correspondencia
Si f es es una función y (x; y) f ; entonces:
Problema 2
Notación de una función
• f (x) = 2x – 1
(7) = 2(7) – 1 f (7) (7) = 13 f (7)
FUNCIONES I
CAPÍTULO 19
CÁLCULO DEL DOMINIO Y Y RANGO RANGO DE UNA FUNCIÓN 2
Ten Presente
Analicemos dos casos de cálculo del dominio y el rango: cuando el dominio viene dado con la función y cuando se tiene que aplicar la regla de máximo dominio.
f (x) =
; –1 < x 9 Función en R
• Cálculo del rango
–1 · 2 < x · 2 9 · 2 –2 – 3 < 3 < 2x – 3 18 – 3
En la función f de de la derecha ya está dado el dominio mediante el intervalo en el que se encuentra x.
−5
5
2x − 3
<
–1 <
El rango debemos buscar, a partir del dominio, el intervalo en el que se encuentra la expresión dada por la regla de correspondencia de la función.
5 2 x − 3 5
≤
15 15
x2 – 4x – 3,
5
3
f ) = –1; 3] Ran( f
0 – 7 x2 – 4x + 4 – 7 36 – 7
–4 x < 5
–7 x2 – 4x – 3 29
Solución:
f ) = [–7; 29] Ran( f
–4 – 2 x – 2 < 2 < 5 – 2 –6 x – 2 < 3 Regla de máximo dominio
f (x) =
Dada una función f (x) en R2 si no se menciona explícitamente la extensión de su dominio, se entiende que x toma todos los valores reales posibles para los cuales existe f (x).
2x − 5
+3
Se debe tener en cuenta: a 0 en a a 0
Recuerda
Cálculo del dominio: Problema 4: Calcula el dominio y el rango de
la función f (x) =
3
4 − x2
x −1
2x – 5 0 x
• Si
2
si |a| |b| 0 x b si |b| |a|
Cálculo del rango: 2x − 5
0
2x − 5
+ 3 3
f ) = [3; + Ran( f
x2 4
|x| 2 –2 x 2
x 0
0 x2 a 2
2
Cálculo el dominio:
a 0
• Si ab < 0 b x a
5
.
x =a
5
f ) = [ ; + Dom( f
Solución:
4 – x2 0
Se dice que f es es una función real de variable real o una función en R o en R2, si su dominio y rango son subcon juntos de los reales.
0 (x – 2)2 (–6)2
Calcula el rango de la función:
f (x) =
5
• Dom( f f ) = –1; 9]
Cuando el dominio viene dado con la función
Problema 3
2 x − 3
Ejemplo:
–6 x < 2 0 x2 36 –4 x < 8 0 x2 64
I V B I M E S T R E
Además x 1: –2
1
Dom( f f ) = [2; 2] – {1} Cálculo del rango: 4−x
2
2
4 − x2
x −1
0
3 4 − x2
x −1
0
f ) = [0; + Ran( f
0 |x – 1| > 0
3
63
CAPÍTULO 19
FUNCIONES I
FUNCIÓN LINEAL ¿Cómo es el gráco de estas funciones?
¿Puede el gráco de una
función ser un segmento?
f ( x x) = 2 x – 3 g ( x x) = 3 x + 2 4
Una función lineal es aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio de primer grado.
1 f (x) = x + 2 2 Y 1
intercepto
f (x) = mx + b
2
2
pendiente de la recta
Observe el ejemplo de la derecha.
–4
2
1 –3
–2
Ten Presente
X
–1
Función afín
GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN LINEAL El gráco de una función lineal es una recta o una gura geométrica incluida
en ella. Para gracar es suciente obtener dos
f (x) = x – 1; 0 x < 3
(1) = 1 – 1 = 0 (1; 0) f (1) (2) = 2 – 1 = 1 (2; 1) x = 2 f (2) x = 1
puntos de paso.
2
En el ejemplo de la derecha, para x = 1 y x = 2, elegidos arbitrariamente, hemos determinado los puntos (1; 0) y (2; 1).
Trazamos la recta que pasa por estos
1
–1
2
3
4
–1
y = mx + b, b 0
y = mx
–2
Función afín
Función lineal
Problema 5
Problema 6
Grafca la función: x f (x) = – + 2; x [1; 4
Si la función f (x) = 3 x – 2 b pasa por el punto (2; 8), dibuja su gráco.
Solución:
Si (2; 8) f f (2) (2) = 8:
f (x) = 2 (0; 2) 3 (3) = – + 2 = 1 x = 3 f (3) 3 (3; 1)
3(2) – 2 b = 8 b = –1 f (x) = 3x + 2
64
f (x) = k , k R
2
3
4
5
6
3
7
7
2 f (x) = 2
6
1
4
(0; 2) f Tenemos dos puntos de paso: (2; 8) y (0; 2)
Ejemplos:
8
5
(0) = 2 • Si x = 0 f (0)
f
2 1 1
Función constante
Solución:
x = 0 E R T S E M I B V I
f
1
puntos y en ella ubicamos el gráco de f (x), de acuerdo al dominio: 0 x < 3.
3
Muchos autores consideran que la función lineal es sólo aquella que pasa por el origen de coordenadas. A la que no pasa por el origen de coordenadas la llama función afín.
f
3 2 1 –1
1
2
–1 f (x) = –1
FUNCIONES I
CAPÍTULO 19
Problema 7 Determina la regla de corres-
Problema 8 Las siguientes grácas correspon-
pondencia de la función lineal: f (x) = ax + b cuya gráca es:
den a las funciones: f 1(x) = ax + 4 y f 2(x) = 3x – b
2
Ten Presente
Pendiente positiva y negativa
9 2
Puesto que el gráco de una
función lineal:
5
f (x) = mx + b
1 1
Calcula a + b.
2
Solución:
Solución:
a + b = 5 b = 5 – a f (2) (2) = 9 2a + b = 9
(1; 2) f 1 f 1(1) = 2 a + 4 = 2 a = –2
(1) = 5 f (1)
(1) (2)
(1) en (2): 2a + (5 – a) = 9 a = 4
(1; 2) f 2 f 2(1) = 2 3 – b = 2 b = 1
En (1): b = 5 – 4 b = 1
a + b = –2 + 1 = –1
es una recta, ésta tiene una pendiente (grado de inclinación respecto al eje X) dada por m, la cual puede ser positiva o negativa. 3
3
2 1
f (x) = 4x + 1 Rpta.: –1
2 1
3 1
3
2 2
m =
1
3 2
3
2
m = –
3 2
Actividad 19 19 1
2
3
Si el conjunto F = {(5; a), (6; 8), (5; 4), (6; a + b)} es una función, calcula a2 + b.
6
Dada la función F = {(2; 5), (3; 0), (–1; 6)}, calcula F(2) + 5F(–1) – F(3). Sean los conjuntos si se dene A = {1; 2; 3; 4} y
1 2 3 4 7
Sea f una una función lineal, tal que: f (–2) (–2) = 2 f (1) (1) = 5
8
Si f (x) = 2x + 1, determina la gráca de la fun ción g(x) = f ( f f (x)).
Halla el dominio y el rango de la función:
F(x) = 2 – x − 4 5
X
Esboza su gráca.
F = {(x; y) A×B / y = F(x) = 2x + 1},
4
4 3 2 1
Halla a×b.
B = {3; 5; 7; 9; 11; 13} la función: indica la suma de elementos del rango.
Y
La gura representa el gráco de la función lineal f (x) = ax + b.
9
Calcula la
pendiente que pasa por cada par de
puntos. a) (3; 4) y (0; –2)
b) (–1; 1) y (–2; –3)
Halla el dominio de la función:
F(x) = x − 4 + 4 9 − x
10
Si f (x) = 2 x + 3, determina el dominio de la función h, tal que h(x) =
1 + f ( x)
f ( f ( x) )
.
3
65
I V B I M E S T R E
20
O L U T Í P A C
FUNCIONES II
FUNCIÓN CUADRÁTICA ¿Cuál es el valor de la función en los puntos –2; –1; 1 y 3?
¿En cuántos puntos a lo
y
más se cortan los grá -
cos de una función lineal y de una cuadrática?
2 –2 –1
f (x) = ax2 + bx + c, a, b, c
1 2
x 5 4 3 2 1
R a 0
Dom( f f ) = R El gráfico es una parábola abierta hacia arriba si a > 0, y hacia abajo si a < 0.
y 125304
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
x
–2 –1 1 2 f (x) = x2
Las cuerdas de un puente forman una función cuadrática.
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA y
Para gracar una función cuadrática
2
f (x) = ax2 + bx + c ó y = ax2 + bx + c
1
se la debe transformar a la forma:
–1
= a(x – h)2 y – k =
1
2
3
x
–1
cuyo vértice está en (h, k ),), y dependiendo de a se abrirá hacia arriba o hacia abajo.
–2
(1; –2)
Vértice
y + 2 = (x – 1)2 Problema 1 Halla la regla funcional del grá -
Problema 2 La gráca de la función
co mostrado:
f (x) = (x – a)(x – b) es:
y –3
–3 –12 3 5
Solución E R T S E M I B V I
El vértice está en (–3; –12) y pasa por (0; –3). Sea la función con regla de correspondencia: = a(x – h)2 y + 12 = a(x + 3) 3)2 y – k = Como (0; –3) f –3 + 12 = a(0 + 3)2 a = 1 y + 12 = 1(x + 3)2 f (x) = x2 + 6x – 3 Rpta.: f (x) = x2 + 6x – 3 66
3
Matemática en la vida
x
Calcula a2 + b2.
Solución
Los ceros de f (x) son 3 y 5, entonces f (x) = (x – 3)(x – 5)
f (x) = (x – a) (x – b) (x – 3) (x – 5) {a; b} = {3; 5} a2 + b2 = 32 + 52 = 34 Rpta.: 34
FUNCIONES II
CAPÍTULO 20
Problema 3 Sea f R2 una función cuadrática tal que los pares ordenados (–2; 0) y (4; 0) pertenecen a f . Además f (1) (1) = –18. Calcula f (5). (5). Solución
Como (–2; 0) y (4; 0) pertenecen a f (x) entonces f (–2) (–2) = 0 y f (4) (4) = 0, entonces f (x) = a(x + 2)(x – 4) Además f (1) (1) = –18, entonces f (1) (1) = a(1 + 2)(1 – 4) = –18 a = 2 f (x) = 2(x + 2)(x – 4) f (x) = 2x2 – 4x – 16 (5) = 2(5)2 – 4(5) – 16 = 14 f (5) Problema 4 Determina el punto medio del segmento que une los puntos medios de
los vértices de la parábola descrita por las funciones: f (x) = 5(x – 1)(x – 5) y g(x) = x2 + 4x + 1 Solución
Para hallar las coordenadas de los vértices, debemos completar a cuadrados. 9 + 5 – 9) 9) y = 5(x – 3)2 – 4 f (x) = 5(x2 – 6x + 9 + y (x – 3)2 y + 20 = 5(x – 3)2 Vértice: V1 = (3; –20)
+ 4x + 4 + 4 + 1 – 4 g(x) = x2 y (x + 2)2
y = (x + 2)2 – 3
y + 3 = (x + 2)2 Vértice: V2 = (–2; –3) Punto medio de
V1V2
3 − 2 −20 − 3 1 = = , − 23 , = 2 2 2 2
Rpta.: (1/2; –23/2)
Problema 5
Problema 6
Determina los puntos de intersección de las grá -
Determina el vértice de la función cuadrática:
cas de las funciones:
F(x) = 3x2 + 12x – 5
F(x) = 4x2 y G(x) = 3x + 10
Solución:
Solución:
F(x) = 3x2 + 12x + 12 – 17
Como se intersectan ⇒ F(x) = G(x)
F(x) = 3(x2 + 4x + 4) – 17
4x2 = 3x + 10 4x2 –
F(x) = 3(x + 2)2 – 17
3x – 10 = 0
4x
+5 ⇒ x = –5/4
x
–2 ⇒ x = 2
F(x) + 17 = 3( x + 2)2
I V B I M E S T R E
⇒ Vértice: (–2; –17)
Si x = 2 ⇒ F(2) = 4(2)2 = 16 ⇒ (2; 16) –5 –5 2 25 –5 25 ⇒ x = –5/4 ⇒ F = 4 = 4 ; 4 4 4 4 –5 25 Rpta.: (2; 16) y ;
4 4
Rpta.: (–2; –17)
3
67
Actividad 20 1
Copia y completa las tablas de las funciones:
a) x = 3x2 + 1 x
La gráca gráca corresponde corresponde a la función función f (x) = x2 – 7x+ 10.
b) y = x2 – 1
(x; y)
y
6
x
1
1
2
2
3
3
4
4
y
Y
(x; y)
f
4 a
2
Determina el vértice de la función cuadrática:
b
X
Calcula ab.
f (x) = 2x2 + 4x – 6. 7 3
La gráca de la la función f (x) = a(x – b)(x – c) es:
¿Qué ecuación ecuación representa representa la la siguiente siguiente gráca? gráca?
a) y = x2
(3; 11)
y
(4; 10)
b) y = x2 – 2 c) y = x2 + 2
(2; 6) –1
(1; 3) x
4
Calcula a2 + b2 + c.
8
Esboce la gráca de la función: f (x) = x2 – 4x + 3.
5
3
9
Observa la cantidad de cilindros en cada la y
Sea f : R R una función cuadrática tal que los pares ordenados (–1; (–1; 0) 0) y (5; 0) pertenecen a f. Si además f (6) (6) = –21, calcula f (4). (4). Grafca las funciones:
f (x) = (x – 2)2 + 4 y g(x) = (1 – x)(x – 3).
en cada grupo:
Luego determina la menor distancia entre sus respectivas grácas.
fig. 1
fig. 2
fig. 3
fig. 4
a) Si y es el número de cilindros y x es el número de las, establece la regla de correspondencia entre y y x. E R T S E M I B V I
b) Determine cuantos cilindros se tendrá en la gura 200.
68
3
10
Determina los puntos de intersección de las grá-
cas de las funciones: f (x) = 6x2 y g(x) = x + 12.
21
O L U T Í P A C
FUNCIONES III FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA ¿Cuál es el dominio de estas funciones?
¿Cómo es el gráco de la función f (x) = x 2 ?
f ( x x) = x − 2 g ( x x) = 4 − x
Y 3 2 1
f (x) = x ; x 0
Dom( f f ) = [0; +; Ran( f f ) = [0; +
f (x) = x
X
Vértice
Problema 1
Problema 3
¿Cuáles de los puntos: (1; 1), (4; 2), (3; 9) y (4; –2)
¿En qué punto se encuentra el vértice del gráco de
pertenecen al gráco f (x) = x ? Solución:
Diferenciemos los puntos de la forma (x; x ) con los de la forma ( x ; x). Los puntos de y = x , son de la forma (x; x ): (1; 1) = (1; 1 ), (4; 2) = (4; 4 ) Rpta.: (1; 1) y (4; 2)
Solución:
Sea (h, k ) el vértice de la función f (x) = x , entonces: y – k = = x − h (–1; 2) f 2 – k = =
1
− −h
(2 – k )2 = –1 – h (1) h = –1 – (2 – k )2
(2; 3) f 3 – k = = 2 − h (3 – k )2 = 2 – h h = 2 – (3 – k )2
(2)
(1) = (2): –1 – (2 – k )2 = 2 – (3 – k )2 –1 – (4 – 4k + + k 2) = 2 – (9 – 6k + + k 2) –1 – 4 + 4k – – k 2 = 2 – 9 + 6k – – k 2 k = = 1 h = –2 ⇒ (–2; 1)
Problema 2 Grafca f (x) = x − 2
la función raíz cuadrada que pasa por los puntos (–1; 2) y (2; 3)?
+ 3.
Solución:
Rpta.: (–2; 1)
Sea f (x) = y = x − 2 + 3 y – 3 = x − 2 El gráco es de la raíz cuadrada pero con vértice
en (2; 3).
Problema 4 Determina el rango de la función:
f (x) = x − 5 + x2 ; si 5 x 9
6 Solución:
4
• 5 x 9 25 x2 81 f (x) = x − 2 + 3
2
• 5 – 5 x – 5 9 – 5
(1) 0 ≤
x−5 ≤
4
0 x−5 2 2
4
6
(2)
(1 + 2): 25 x − 5 + x2 83 f ) = [25; 83] Ran( f
3
69
I V B I M E S T R E
CAPÍTULO 21
FUNCIONES III
Gracamos para hallar los valores comunes de x.
Problema 5 Halla el dominio de la función:
F(x) = 2 3x – 9 – 9 – 6 – x 6
3
Solución:
Hallando los valores que puede tomar x en cada radicando. 3x – 9 ≥ 0 ∧ 6 – x ≥ 0 3x ≥ 9 –x ≥ –6 x ≥ 3 x ≤ 6
Como los valores de x determinan el dominio: Dom(F) = [3; 6] Rpta.: Dom(F) = [3; 6]
Actividad 21 21 1
2
y determina la función raíz cuadrada que corresponde a los valores de la siguiente ta bla: Grafca
x
1
6
13
22
f (x)
2
3
4
5
7
La gráca de la la función: f (x) =
ax + b
tiene la forma: Y 3
Indica el dominio y rango de cada función.
a)
2
b) Y
Y
g(x) = x – 2
f (x) = x + 3
X
X
13 2
Determina el valor de ab.
X
8
Esboza la gráca de la función:
f (x) = 1 + x − 2 . 3
Halla el dominio de la función:
F(x) =
12 − x
+
2x − 6
9
.
¿Cuántos puntos en común presentan las grá-
cas de: f (x) = –x2 + 2x; x R g(x) = x ; x 0?
4
E R T S E M I B V I
Esboza el gráco de la función f (x) determina su dominio.
= x2 − 9 y 10
La gráca de la función de dominio máximo: f (x) = x − 1 +
5
Construye la gráca de la función:
F(x) = x + 4 .
6
Y
g(x) = 2 − x + 3.
70
3
a Determina ab + c2.
es:
f (x)
c
Esboza la gráca de la función:
5−x
b
X
22
O L U T Í P A C
FUNCIONES IV FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO ¿En qué dieren el grá co de estas funciones?
¿Cuál es la diferencia entre el gráco de f (x) = x – 3 y la de g(x) =|x – 3|?
f ( x x) = x f ( x x) = – x
x si x 0 f (x) = |x| = –x si x < 0
Dom( f f ) = R
Y
Gráco de
f (x) = |x| f (x) = |x|
Ran( f f ) = R
X
|x| si x < 2 Grafca f (x) = 2 2 x < 4 3 x – 4 x 4
2
Problema 1
Ten Presente 5 4
FUNCIONES DE DOMINIO PARTIDO
3
2
2
Solución:
Gracamos independientemente y =|x|, y = 2 e y =
3 2
–2 –1
x – 4
Son funciones formadas por diferentes reglas de correspondencia para diferentes intervalos del dominio.
1 1
2
3
5
4
6
identicando los tramos de acuerdo al dominio. dom inio.
Ejemplo:
F(x) =
EFECTOS EN EL GRÁFICO DEL VALOR ABSOLUTO cuando se aplica el valor absoluto, a una función lineal, toda la
y = f (x)
x + 1, si x > 0 x – 1, si x < 0
Su representación gráca es:
y = | f (x)|
parte debajo del eje X se reeja
respecto a dicho eje.
1
Problema 2
Se muestra el gráco de f (x) = 2x2 – 2. Dibuja el gráco de f (x) =|2x2 – 2|. Y
y = x + 2
y = |x + 2| 2
2
1
1
–1
2
–2
1 –2 –1
1
2
–2
–1
X
Y
–1
2 1
–2
Solución:
–2 –1
1
2
X
–1
La parte que queda debajo del eje X se reeja respecto a él.
I V B I M E S T R E
–1
f (x) =|2x2 + 2|
–2
3
71
CAPÍTULO 22
FUNCIONES IV
Problema 3
Solución:
Dibuja el gráco de y = | f (x)| si el gráco corresponde a y = f (x).
–2
y =| f (x)|
Y
Y
y = f (x) –3
–1
2
1
–3
X
–2
–1
X
2
1
Problema 4 Grafca f (x) =||x – 1| – 2|.
Solución:
y =|x – 1|
y =|x – 1| – 2
y =||x – 1| – 2|
Y
Y
Y
X –3 –2 –1
X
1
2
4
3
X
Problema 5
Problema 7
Halla un punto de intersección de las grácas de
Determina el área de región determinada función F(x) = 3 –|x – 2| y el eje X.
las funciones: f (x) = x + 1 y g(x) = |x – 2|
Y
por la
F(x) = 3 –|x – 2|
Solución:
x + 1 = |x + 2|
(x + 1 = x – 2 ∨ x + 1 = –[x – 2]) ∧ x + 1 ≥ 0 ( (
1 = –2 1 = –2
∨ x + 1 = –x + 2) ∧ ∨
1 x = ) 2
∧
x ≥ –1
1 x ≥ –1 ⇒ x = 2
Reemplazando el valor de x en f (x):
X Solución:
Hallando los puntos en eje X. f (x) = 0 ⇒ 3 – |x – 2| = 0
f (1/2) (1/2) = 1 + 1/2 = 3/2
El punto de intersección es: (1/2; 3/2)
|x – 2| = 3 ⇒ x = 5 y x = –1
Las respectivas coordenadas son (–1; 0) y (5; 0) Problema 6 E R T S E M I B V I
De la gura:
Si f (x) = 3x – 5 calcula el valor de M= f (–1) (–1) + f (10) (10) + f (3). (3).
Y F(x) = 3 –|x – 2| 3
Solución:
f (–1) (–1) = 3(–1) – 5 = –8
3
f (0) (0) = 3(0) – 5 = 5 f (3) (3) = 3(3) – 5 = 4
–1
X
6
Luego: M = f (–1) (–1) + f (0) (0) + f (3) (3) = –8 + 5 + 4 = 1 Rpta.: 1
72
5
3
El área es: A = b∙h = (6)(3) ⇒ A = 9 2 2
Rpta.: 9
Actividad 22 1
Sea f (x) = |x – 3|.
6
Dibuja el gráco de
f (x) = |2x + 3| – 5
(3) + f (–3) (–3) – f (2) (2) Calcula f (3)
y calcula el área de la región limitada por el grá2
co y el eje X.
El gráco de f (x) (x) = |x + a|
pasa por el punto (–5; 13). Determina f (a). 7 3
Dibuja el gráco de
f (x) = |2(x + 3)2 – 4| + 5
Halla el dominio y rango de la función
f (x) = |x + 3| – 4. 8 4
Halla la regla de correspondencia de la función f cuya gráca se muestra.
El gráco muestra el gráco de la función f . Determina el dominio y rango de la función g(x) = | f (x)|
Y 2
Y
3
1
–4
X 5
–2
f
f
–6
–3
–4
X 9
5
f
Halla la regla de correspondencia de la función f cuya cuya gráca se muestra.
El gráco muestra el gráco de la función f . Determina el dominio y rango de la función g(x) = | f (x)|
Y 2
Y
–3
f
3 X f
2 10
–2
–1
X
Si f (x) = |x – 3a| + 5 y f (0) (0) + f (6) (6) = 17, halla el valor de a.
I V B I M E S T R E
3
73
23
O L U T Í P A C
FUNCIONES V
TRAZADO DE GRÁFICAS DE FUNCIONES ¿Cómo es el gráco de estas funciones?
f ( x) x) = x = x2
¿En qué dieren los grá(–x) y – f (x)? cos de f (–
g ( x) x) = 2 x2 1 h( x) x) = x2 2
En base al gráco de una función elemental f (x) se puede obtener la gráca de funciones más complejas.
Historia
DESPLAZAMIENTOS Desplazamiento horizontal y = f (x)
y = f (x – k )
–k
k
Sea la gráca de f (x), y sea k > > 0.
y = f (x + k )
Se desplaza a la derecha al reemplazar x por x – k .
Se desplaza a la izquierda reemplazando x por x + k .
FUNCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas magnitudes, como la velocidad de un cuerpo en movimiento. El nombre de función la propuso de Leibnitz.
Desplazamiento vertical y – h = f (x) h
–h Leibnitz
y + h = f (x)
Sea la gráca de f (x), y sea h > 0. E R T S E M I B V I
Problema 1 Grafca la función:
Y
f (x) = x2 + 6x + 7
y + 2 = (x + 3)2
Y
Solución:
f (x) = x2 + 6x + 9 + 9 + 7 – 9 y = (x + 3)2 – 2
y = x2
X –2
y + 2 = (x + 3)2
74
–3
X
3
2
f (x) = x + 6x + 7
FUNCIONES V
CAPÍTULO 23
REFLEXIÓN Respecto al eje X Y
y = f (x)
Respecto al eje Y Y y = – f (x)
X X
(–x) y = f (–
Nota
Problema 2
Y
Graque la función:
y = –x
y = x
Y
f (x) = – 2 − x + 3
1
La gráca de F(x) = es:
Solución:
Primero gracamos: y = – y – 3 = –
−x
Y
Y
y – 3 = –(x – 2)
3
y = – –x
, luego
f
X
−( x − 2)
x
X
X
1
X
2
–1 1
f (x) =
–x + 2 + 3
–1
DILATACIÓN ILATACIÓN Y Y COMPRESIÓN COMPRESIÓN Dada una función f (x), la gráca de af (x), (a > 0) resulta:
2x2
f (x) = x2
( ) se comprime Si a > 1 horizontalmente y crece verticalmente. af (x) se dilata ho Si 0 < a < 1 rizontalmente y se achata verticalmente. af x
y se denomina hipérbola
2 f (x) 1 f (x) 2 1 x2 2
Problema 3 Grafca la función f (x) = 2|x – 2| – 1.
Solución: Hacemos f (x) + 1 = 2|x – 2| y + 1 = 2|x – 2|. Y y = 2|x| = | | y x Y
Y
y + 1 = 2|x – 2|
2
X
–1
X Problema 4 Grafca la función f (x) =
Solución: Y y = x2
X
1 2
Gráfico de y =|x| con vértice en (2; –1)
(x + 3)2 – 2.
I V B I M E S T R E
Y
Y y = 1 x2 2
X
–3 –2
X
X
Gráfico de y = 1/2 x2 con vértice en (–3; –2). 3
75
CAPÍTULO 23
FUNCIONES V
Es una parábola cuyo vértice es V( 2 ; 3 2 )
Problema 5 Grafca aproximadamente la función:
Y
f (x) = (x – 2 )2 + 3 2
f (x)
Solución:
En la función cuadrática:
3 2
(x) – k = = (x – h)2, el vértice es ( h; k ) y es abierto hacia arriba. Dando forma a la función:
V X
2
f (x) – 3 2 = (x – 2 )2
Actividad 23 23 1
2
Dibuja la gráca de la función f (x) = |x – 1|.
8
Según el gráco compare a y b. Y
Determina el área de la región determinada por la función f (x) = –2x + 6 y los ejes coordenadas.
f (x) = ax 3
f (x) = bx
2
2
Según la gráca calcula f (6) (6) + f (2) (2) + f (–2). (–2). Y
X
2 y = f (x)
1
–3
X
9
Se muestra la gráca de f (x) = x + a + b. Calcula a – b.
la
función,
Y 4
Grafca la función f (x) = (x – 1)2 + 4.
1 5
X
Grafca la función f (x) = |(x + 2)2 – 4|.
2
E R T S E M I B V I
6
Grafca la función f (x) =||x – 2| – 2| – 2.
7
Halla la regla de correspondencia de la función
cuya gráca se muestra.
10
Halla la regla de correspondencia de la función f , cuya gráca se muestra.
Y
Y 2
X
2 f
–1 –4
76
3
X
24
O L U T Í P A C
FUNCIONES VI MODELACIÓN DE FUNCIONES La trayectoria que describe una partícula en movimiento, ¿es siempre una función?
¿Qué trayectoria describe un balón lanzado en tiro libre?
Una empresa de comunicaciones lanza una oferta de cable, teléfono e Internet a S / . 70 por los tres primeros meses, pero de 120 soles por mes, a partir del cuarto mes.
400
Calculemos el gasto en estos servicios al cabo de t meses después de adquirido el servicio.
200
En 3 meses se gasta = S / . 70 En t meses (con t > 3) hay (t – 3) meses adicionales.
100 70
Por cada mes adicional se paga S / . 120, entonces por los (t – 3) meses adicionales el gasto es 120 (t – 3). El gasto luego t meses es 70 + 120 ( t – 3) = 120 t – 290.
S / .
300
G( t)
t 3
6 meses
Gastos por servicios de comunicación.
Sea G(t) la función del gasto, en soles, por los servicios de comunicación en un tiempo de t meses, entonces: 70 si 0 < t 3 G(t) = 120t – 290 si 3 < t
• El volumen de agua en el recipiente es:
Problema 1:
En un recipiente cilíndrico vacío de 50 cm de radio y 40 cm de altura, se suelta agua a razón de 2 litros por minuto. Determina la altura h del nivel de agua en función del tiempo t en minutos. Calcula el dominio de la función. Solución: 2 L/min
40 cm
h 50 cm
•2
L 1000 cm3 min × 1L
= 2000 cm3 / min
p(50)2h = 2500ph Luego: 2500ph = 2000t h(t) =
5π
t
El volumen del recipiente es: V = pr2h p(50)2 40 = 100 000 p cm3 El volumen de agua no puede superar el volumen del recipiente: 2000t 100 000p t 50p
• En t minutos ha entrado 2000 t
cm3 de agua y ha alcanzado h cm de altura.
4
Luego: h(t) =
4
t ; 0 t 50p
5 π
Función
Dominio
3
77
I V B I M E S T R E
CAPÍTULO 24
FUNCIONES VI
Problema 2:
Problema 3:
Arturo tiene 500 amigos en su cuenta de Facebook, y observa que el número de sus amigos aumenta en 50 por semana.
La distancia que recorre un cuerpo que se deja caer libremente
1. Halla el número de amigos al cabo de t semanas. 2. ¿Luego de cuántas semanas tendrá 1000 amigos?
g es la aceleración de la gravedad y t, el tiempo en segundos.
1
está dada por d(t) = gt2, donde 2
Cuando tenga 1000 amigos,
La catarata más alta del Perú es Gocta, con 771 m de altura. Exprese la distancia (en m) en función del tiempo (en s) que recorre una gota de agua desde el inicio de la catarata y el tiempo que tarda en llegar al piso. Considere la aceleración de la gravedad, 10 m/s2?
A(t) = 1000:
Solución:
Solución:
En t semanas aumenta en 50t, más los 500 que ya tiene, hacen: A(t) = 500 + 50 t
A = # amigos
500 + 50t = 1000 t = 10
d(t) =
1 2
(10)t2 d(t) = 5t2
Cuando llega al piso d(t) = 771: Rpta.: 1. 500 + 50t;
2. 10 meses
5
= 12,45
Rpta.: d(t) = 5t2, 12,45
Interesante
Las cataratas Yumbilla, de 895,4 m y Gocta, de 771 m de caída se encuentran, respectivamente, en los distritos de Valera y de Cuispes, de la provincia de Bongorá, departamento de Amazonas. Antes del descubrimiento de Yumbilla, Gocta fue considerada la más alta del Perú y la la tercera del mundo. Yumbilla, si bien hoy es la más alta del Perú y, también, la tercera del mundo, consiste en cuatro caídas o saltos. La más alta del mundo es la catarata Salto del Ángel de 972 m (Venezuela) seguida de Tugella Fals de 948 m (Sudáfrica).
• El costo variable es lo que se
Problema 4:
Una empresa que fabrica CD's tiene un costo jo de 50 mil soles y de
200 soles por cada millar de CD's. Exprese el gasto total G en función del número n millares de CD's fa bricados. Además calcule el costo de fabricar un CD cuando produce 500 millares. Solución:
• 200 soles = 0,2 mil soles • El costo jo es lo que gasta la la fáfá E R T S E M I B V I
771
771 = 5t2 t =
¡!
brica así produzca o no CD's.
gasta exclusivamente en la producción, (por cada millar 0,2 mil soles) entonces en n millares gasta 0,2 n mil soles. Luego: Costo total = Costo jo + Costo variable
G(n) =
50
+
0,2n
Para n = 500 millares: G(500) = 50 + 0,2(500) = 60 mil
Yumbilla
Si 500 millares le cuesta 60 mil, entonces un CD le cuesta: 60 ÷ 500 = 0,12 soles. Rpta.: G(n) = 50 + 0,2n; S / . 0,12
Gocta
78
3
FUNCIONES VI
CAPÍTULO 24
Problema 5
altura 8
Una planta mide 2 cm. Pero en adelante crece 0,5 cm semanalmente. Determina una función afín que dé la altura de la planta en función del tiempo y repre-
crecimiento
6
séntela grácamente. Solución:
4
Altura inicial = 2 cm
2
F(x) = 0,5x + 2
Crecimiento semanal = 0,5 cm
2
4
6
8
10 tiempo
La función es: F(x) = 0,5x + 2
Actividad 24 24 1
El lado de un cuadrado mide 5 cm. Expresa el aumento del perímetro en función del aumento del lado del cuadrado en x centímetros.
6
El lado de un cuadrado de 20 cm de lado se aumenta en x cm. Expresa el aumento del área en términos de x.
2
Un kilogramo de azúcar cuesta 2,5 soles. Expresa el valor del azúcar en función del número de kilogramos.
7
Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa en función de la longitud x del otro cateto.
3
El precio P por metro cuadrado de un terreno está dado por P(x) = 800/ x2, donde x es la distancia, en kilómetros, de la ubicación del terreno al centro de la ciudad. ¿Cuánto cuesta 200 m 2 de terreno ubicado a 20 km del centro de la ciudad.
8
En una semicircunferencia de 30 cm de diámetro se toma un punto, a x cm de uno de los extremos del diámetro, desde el cual se traza una perpendicular al arco de la semicircunferencia. Expresa la longitud de la perpendicular en términos de x.
4
Un vendedor tiene una escala de descuento dada por D(n) = np/50; donde n es el número de artículos que compra el cliente y p, el precio. Un cliente compra 12 artículos de 200 soles y otro, los mismos artículos pero 15 unidades. Determina la diferencia de descuentos que obtienen.
9
Cinco personas contratan un taxi por 40 soles. Cuando x de las personas no quieren pagar, cuánto más tienen que pagar cada uno de los restantes. Expresa el resultado en términos de x.
10
Entre dos personas pueden realizar una una tarea en 20 horas. Sea x la diferencia de tiempos en horas que tardarían en hacer dicha tarea por separado. Expresa en función de x, el tiempo que demora
5
Al inicio de las clases el profesor de matemática le dice a sus alumnos que todos tienen 20 en puntualidad, pero que les quitará 0,2 puntos p untos por cada día que lleguen tarde. Expresa el puntaje de cualquier alumno en función del número n de tardanzas.
en hacer la tarea solo el más eciente.
3
79
I V B I M E S T R E
SÍMBOLOS DE LA PATRIA Somos libres, seámoslo siempre, y antes niegue sus luces el sol, que faltemos al voto solemne que la patria al Eterno elevó.
Bandera
Himno Nacional del Perú
Escudo
ACTA DE SUSCRIPCIÓN DEL ACUERDO NACIONAL El 22 de julio de 2002, conscientes de nuestra responsabilidad de alcanzar el bienestar de la persona, así como el desarrollo humano y solidario en el país, los representantes de las organizaciones políticas, religiosas, de la sociedad civil y del Gobierno, sin perjuicio de nuestras legítimas diferencias, hemos aprobado un conjunto de políticas de Estado que constituyen un Acuerdo Nacional, a cuya ejecución nos comprometemos a partir de hoy.
3.- Competitividad del país
Las políticas que hemos acordado están dirigidas a alcanzar cuatro grandes objetivos:
4.- Estado efciente, transparente y descentralizado
• Democracia y Estado de Derecho • Equidad y justicia social • Competitividad del país • Estado eciente, transparente y descentralizado
1.- Democracia y Estado de Derecho Convenimos en que el Estado de Derecho y la democracia representativa son garantía del imperio de la justicia y de la vigencia de los derechos fundamentales, así como un aspecto esencial conducente a lograr la paz y el desarrollo del país.
2.- Equidad y justicia social Armamos que el desarrollo humano integral, la susuperación de la pobreza y la igualdad de acceso a las oportunidades para todos los peruanos y peruanas, sin ningún tipo de discriminación, constituyen el eje principal de la acción del Estado.
Concordamos que para lograr el desarrollo humano y solidario en el país, el Estado adoptará una política económica sustentada en los principios de la economía social de mercado, rearmando su rol promotor, regulador, solidario y subsidiario en la actividad empresarial.
Armamos nuestra decisión de consolidar un Estado eciente, transparente y descentralizado al servicio de las personas, como sujetos de derechos y obligaciones. Finalmente, nos comprometemos a establecer los mecanismos de seguimiento necesarios para institucionalizar el cumplimiento de las veintinueve políticas de estado del Acuerdo Nacional, mediante la convocatoria a reuniones periódicas nacionales y regionales del Acuerdo Nacional, el establecimiento de una secretaría técnica autónoma, la creación de una ocina estatal de apoyo y enlace, y su difusión permanente a la sociedad en su conjunto. En testimonio de lo cual este Acuerdo Nacional que ahora suscribimos tiene carácter vinculante y quedará abierto a la adhesión de otras fuerzas políticas y organizaciones sociales, comprometiéndonos a observarlo y cumplirlo durante los próximos veinte años. Suscrito en la ciudad de Lima, siendo presidente de la República don Alejandro Toledo Manrique, a los veintidós días del mes de julio del año dos mil dos.
