UNIDAD 3: LGEBRA
131
E
l álgebra es una de las herramientas más potentes que ha creado el ser humano para el desarrollo del pensamiento matemático. En álgebra las letras se utilizan como símbolos, que representan a números que no conocemos o que no queremos especificar. La ventaja del álgebra es que permite escribir de forma concisa y sin ambigüedades expresiones que en lenguaje verbal resultan extensas e imprecisas. El álgebra se inició con el estudio de las ecuaciones, que hasta el siglo XVI se reducía a describir, de forma verbal, los pasos involucrados en la resolución de algunos casos particulares de ecuaciones. La generalización de los métodos de resolución solo fue posible con la incorporación de un invento notable: el álgebra simbólica. El matemático hindú Al-Khwarizmi (siglo IX d.C), que escribió el primer tratado de ecuaciones, trabajaba de forma retórica, resolvía la ecuación x2 10x 39 de la siguiente forma: Debes tomar la mitad del número de raíces, que en este caso es 5, multiplicarlo por sí mismo, obtienes 25, al que le sumas el número 39, con resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces y obtienes 3, 3 , que es el valor buscado” “
Con el simbolismo algebraico podemos resumir toda esta información en una fórmula, la solución de la ecuación cuadrática del tipo x2 bx c es 2
b b x c 2 2
UNIDAD 3
ÁLGEBRA
UNIDAD 3: LGEBRA
132 PROGRAMA DE LA ASIGNATURA MTIN01 UNIDAD 3
ÁLGEBRA APRENDIZAJE ESPERADO ESPERADO
Desarrolla operatoria algebraica utilizando estrategias de valorización, reducción de términos semejantes, factorización y simplificación, explicando los pasos aplicados. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Valoriza expresiones algebraicas algebraicas mediante operatoria operatoria en los números números reales, en contextos contextos diversos. Despeja un término literal en función de otros términos presentes en una expresión algebraica. Reduce expresiones algebraicas mediante propiedades de términos semejantes y eliminación de paréntesis, explicando su estrategia. Reduce expresiones algebraicas fraccionarias explicando las estrategias de factorización y simplificación utilizadas.
APRENDIZAJE ESPERADO ESPERADO
Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Determina la solución de un problema propuesto que involucra una ecuación de primer grado, analizando la pertinencia de la solución y comunicando de acuerdo a la situación e interlocutores. Determina la solución de un problema propuesto que involucra ecuación de segundo grado, analizando la pertinencia de la solución y comunicando su respuesta de acuerdo a la situación e interlocutores. Resuelve problemas generales y relativos a la especialidad mediante sistemas de ecuaciones, analizando la pertinencia de las soluciones y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores.
APRENDIZAJE ESPERADO ESPERADO
Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones en forma algebraica y representando la resolución gráficamente, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Resuelve problemas mediante inecuaciones de primer grado, expresando la solución de manera gráfica, analítica y en lenguaje natural. Resuelve problemas mediante sistemas de inecuaciones de primer grado, expresando la solución de manera gráfica y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores.
UNIDAD 3: LGEBRA
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Introducción
LENGUAJE ALGEBRAICO
Muchas veces el álgebra elemental se visualiza como una materia abstracta, que involucra reglas para manipular expresiones en la que intervienen literales, sin que quede claro el sentido y utilidad que esto tiene. Esta interpretación está provocada por la forma en que se enseña, más que por la naturaleza de esta materia. El estudio del álgebra no puede restringirse al dominio de las reglas de manipulación algebraicas. De la misma forma en que el uso y sentido de las palabras precede al estudio sistemático de la sintaxis del lenguaje natural, el álgebra requiere la comprensión adecuada del lenguaje algebraico antes de adentrarse en las técnicas de manipulación algebraicas. El álgebra elemental estudia determinados objetos a través del lenguaje simbólico, las letras son símbolos que admiten distintos usos y significados. Para que el álgebra elemental sea una herramienta útil para describir y resolver problemas de todo tipo, es necesario seas capaz de expresar simbólicamente relaciones y procesos de carácter general. Es importante señalar que no se puede sostener el estudio de esta materia en abstracto, obviando o postergando la razón de ser del álgebra elemental. El álgebra elemental es una herramienta que permite modelar y resolver problemas de otras áreas de la matemática, o de otros ámbitos en general. Muchos de los problemas que se nos presentan no requieren, ni tampoco se justifica la utilización de álgebra en su solución. Sin embargo, en la medida en que se avanza en el estudio de las matemáticas y sus aplicaciones, los métodos aritméticos ya no son suficientes, la memoria ya no puede procesar toda la información, se requiere un medio para expresarla y trabajar con ella. Se hace necesaria una traducción al lenguaje algebraico, que generaliza, resume y simboliza toda la información y las relaciones contenidas en el problema. Veamos un ejemplo. Problema 1:
a) Un corredor se encuentra a 10 metros de la partida y avanza 3 metros por segundo. Un segundo corredor que está a 2 metros de la partida recorre 5 metros cada segundo, ¿cuánto tiempo pasa para que ambos corredores se encuentren?
UNIDAD 3: LGEBRA
134
b) Supongamos que en el problema anterior el primer corredor se encontraba a 93 metros de la partida y el segundo a 45 metros de la partida, ¿cuánto tiempo pasa para que se encuentren? LENGUAJE ALGEBRAICO
Solución: a) Se debe contar las veces que se suma reiteradamente para que las distancias recorridas sean iguales. La forma de registrar el proceso puede ser diverso: con palabras, una tabla de valores, un dibujo, un esquema, etc., y la precisión en el lenguaje puede no afectar en absoluto el resultado. Por ejemplo: Seg. 0 1 2 3 4
Distancia Corredor 1 10 13 16 19 22
Distancia Corredor 2 2 7 12 17 22
Los corredores se encuentran a los 4 segundos b) En el segundo caso la búsqueda por sumas reiteradas aparece como un método ineficiente, se amerita plantear la situación de forma algebraica. x tiempo trascurrido en segundos (incógnita). 93 3 x distancia recorrida por el primer corredor. 45 5 x distancia recorrida por el segundo corredor.
Considerar que ambas distancias son iguales equivale a plantear la ecuación 93 3 x 45 5x
Aplicando las técnicas para resolver este tipo de ecuaciones se tiene 93 3 x 45 5x 93 45 5 x 3 x 48 2 x
x 24
UNIDAD 3: LGEBRA
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Significados de las letras en álgebra
¿Qué significado puede tener la expresión 3m? LENGUAJE ALGEBRAICO
De forma natural, muchos estarán inclinados a pensar que podría representar 3 objetos que comienzan con la letra m, por ejemplo 3 metros, 3 manzanas, 3 minutos, etc. Es decir, la letra m es usada como una etiqueta de los objetos involucrados. Sin embargo, este no es el uso que se les quiere dar a las letras en álgebra. En álgebra, 3m representa 3 veces el número de objetos o 3 veces su medida, por ejemplo 3 veces la cantidad de metros, 3 veces el peso de las manzanas o 3 veces la cantidad de minutos. En este caso m actúa como una variable, la letra toma el lugar de los números no especificados.
3m 3 metros Etiqueta
3 veces la cantidad de metros Variable Significado asociado al álgebra
Traducción al lenguaje algebraico
La posibilidad de resolver algunos problemas matemáticos depende de la habilidad para traducir la situación planteada al lenguaje algebraico. Este proceso no es evidente y se cometen varios errores que podemos ir comentando. Consideremos la siguiente situación: En cierta colectividad indígena, donde no se utiliza dinero para comprar, se establecen las siguientes equivalencias de cambios: por 5 gallinas se obtienen 6 conejos. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?
El primer error sería usar letras como etiquetas para los objetos 5G significaría “5 gallinas” 6C significaría “5 conejos”
UNIDAD 3: LGEBRA
LENGUAJE ALGEBRAICO
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El siguiente error podría ser forzar una “traducción literal” del enunciado, esto es convertir cada una de las palabras claves del enunciado en un símbolo, conservando el orden en que aparecen. Por ejemplo traducir “por cinco gallinas se obtienen 6 conejos” en 5G 6C
Lo adecuado sería considerar las letras como variables, esto es G C
número de gallinas número de conejos
La expresión correcta surge al plantear la razón entre las variables. En efecto, el enunciado señala que la razón entre número de gallinas y número de conejos es de 5 es a 6, esto es G C
5 6
Si multiplicamos cruzado se obtiene la expresión algebraica, que es distinta a la que inicialmente se había propuesto. 6G 5C
Considera estas observaciones cuando tengas que escribir un enunciado en lenguaje algebraico.
UNIDAD 3: LGEBRA
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Tipos de variables
LENGUAJE ALGEBRAICO
Un paso fundamental en la comprensión del álgebra es dejar de considerar a las letras como etiquetas o iniciales de palabras, para interpretarlas como variables. Pero aquí se abre la problemática del abanico de significados que puede adoptar una variable. Problema 2: La siguiente figura muestra las dimensiones de una pieza metálica. 10
r
r 3
3 4
4
¿Qué representan las siguientes expresiones? ¿Qué función cumplen los literales en cada una de ellas? a) 24 2r b) 24 2r 40 c) 24 2r P Solución: Ya sabemos que un literal representa a un número, pero ¿a cualquier número?, ¿o solo a algunos números desconocidos? Depende de la situación y de la expresión en que está contenida. La expresión 24 2r representa el perímetro del contorno de la pieza. En este contexto el literal r simboliza la medida de uno de los lados, es un valor desconocido, que no interesa y ni se puede calcular. La variable r es un número generalizado que puede asumir, en este caso, cualquier valor positivo. Por otro lado 24 2r 40 es una ecuación, la letra r actúa ahora como incógnita, un valor desconocido que permite que el perímetro de la figura sea 40, podemos determinar el valor numérico de r resolviendo la ecuación. La expresión 24 2r P también representa el perímetro, pero ahora se utiliza una letra para expresarlo, P depende de r , las variables están el contexto de una relación funcional.
UNIDAD 3: LGEBRA
LENGUAJE ALGEBRAICO
138
Recuerda entonces que los literales tienen varios usos y aparecen en determinados contextos. Aunque la clasificación de variables no es única podemos describir los siguientes tipos: Incógnitas
Ecuación 5a 2 12
Literales
Número generalizado
Expresión algebraica 5a b 12
Variables
Función 5a 12 b
¿Cómo reconocer si un problema se traduce a una ecuación, una expresión o una función? Se requiere de la habilidad para reconocer la presencia de incógnitas, números generalizados y variables en el problema involucrado. La siguiente tabla muestra los aspectos más relevantes de este análisis: Uso de la letra Tipo de expresión Se identifica por
Condiciones
Ejemplos
Incógnita Ecuación La existencia de un valor desconocido que es posible determinar con los datos del problema. La relación de los datos con la incógnita debe permitir plantear una igualdad.
La relación de los datos con el número generalizado no permite plantear una igualdad.
Variables Función La existencia de dos o más cantidades indeterminadas que son dependientes entre sí. La relación de los datos con las variables permite plantear la igualdad de una variable en término de las otras.
2 x 5 8
2 x 5 8
2 x 5 y
a 2 5a 6 0 3 M 2 M 3
a 2 5a 6 3 M 2 M 3
b a 2 5a 6 3 M 2 M 3 F
4
:
Número generalizado Expresión algebraica La existencia de una cantidad indeterminada que no se puede, ni se quiere especificar.
4
4
UNIDAD 3: LGEBRA
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Problemas Resueltos
LENGUAJE ALGEBRAICO
Identificar en cada uno de los siguientes problemas el tipo de variable involucrada (incógnita, número generalizado o variable) y la expresión que las contiene (ecuación, expresión algebraica o relación funcional): 1) Inicialmente el ancho de un terreno rectangular era el doble de su largo, pero al ampliarse 1 metro el ancho y 2 metros el largo se necesitaron 48 metros de alambre para cercarlo. ¿Cuáles eran las medidas del terreno inicial? Solución: El ancho del terreno es una cantidad desconocida, cuyo valor se quiere y se puede determinar con los datos del problema, es por tanto una incógnita. x: ancho del terreno (incógnita)
Para determinar la ecuación es necesario relacionar los datos para formar expresiones y establecer algún tipo de equivalencia que permita plantear la igualdad de la ecuación. A través del dibujo podemos analizar la relación de los datos con la incógnita: 2 x
1
x x 2
2
2 x
1
El perímetro del rectángulo está dado por la expresión 2(2 x 1) 2( x 2)
La igualdad surge del hecho que este perímetro debe ser 48, se plantea entonces la ecuación 2(2 x 1) 2( x 2) 48
UNIDAD 3: LGEBRA
140
2) Inicialmente el ancho de un terreno rectangular era el doble de su largo, luego se amplió 1 metro el ancho y 2 metros el largo. ¿Cuántos metros de alambre se requieren para cercarlo? LENGUAJE ALGEBRAICO
Solución: En este caso el ancho del terreno es una cantidad que podría asumir cualquier valor positivo, cumple con la definición de número generalizado. generalizado. x: ancho del terreno (número general)
Dado que el ancho del rectángulo es variable, lo que realmente importa en la situación no es determinar un valor específico para la longitud del alambre, sino su expresión general en términos de x . 2 x
1
x x 2
2
1
2 x
El alambre cubre el perímetro del rectángulo, por tanto su longitud está dada por la expresión algebraica 2(2 x 1) 2( 2( x 2)
3) Una fábrica produce piezas metálicas rectangulares, cuyo contorno (perímetro) debe ser rodeado por un alambre de 200 mm de longitud. Encuentre la relación entre la altura y la base de las piezas que se pueden construir con esta condición. ¿Cuál es la altura de una pieza de base 64 mm?
h b
UNIDAD 3: LGEBRA
141
Solución:
LENGUAJE ALGEBRAICO
En el problema, los valores de la altura y la base pueden variar, pero ajustándose a una condición, que permite establecer una dependencia entre ellas. Se trata por tanto de variables de variables y de una relación funcional funcional.. Dado que se quiere determinar la altura dado un valor específico de la base, h es la variable dependiente y b la independiente. h: “medida de la altura” (variable dependiente) b: “medida de la base” (variable independiente)
La condición es que el alambre, que cubre el perímetro del rectángulo, mida 200 mm., lo que permite establecer una expresión 2h 2b “perímetro de la pieza rectangular”
Y la igualdad 2h 2b 200
La función involucrada requiere despejar h en términos de b 2h 2b 200 h b 100 h 100 b
Por tanto la función que relaciona estas variables es h 100 b
Se dice que h está en función de b. Para determinar la altura cuando la base vale 64 basta reemplazar b = 64 y calcular h.
UNIDAD 3: LGEBRA
142
Ejercicios y Problemas Propuestos
LENGUAJE ALGEBRAICO
1. Traducir las siguientes situaciones a lenguaje algebraico y señalar si se trata de ecuaciones, expresiones algebraicas o relaciones funcionales y cuál es el uso de los literales que está involucrado (incógnita, número generalizado o variables): a) Para evitar los choques se recomienda que la distancia entre dos vehículos sea 0,55 veces la velocidad que llevan. llevan. b) El precio de un repuesto es p , un segundo repuesto es $120 pesos más caro y el precio de un tercer repuesto es el doble del precio de los otros dos repuestos juntos, ¿cuál es el precio total de los tres repuestos? c) La velocidad promedio de un móvil es igual al cociente entre la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla. d) Un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se suministra desde un estanque que contiene 500 litros, si del estanque salen 0,32 litros de agua por minuto, ¿al cabo de cuántos minutos el estanque se reducirá a la mitad? 2. Dada la siguiente figura:
4cm
x cm
12 cm
Utiliza el lenguaje algebraico para representar las siguientes situaciones: a) ¿Cuánto vale la altura y la base? b) ¿Cuál es la expresión para el área? c) Si el área vale 120 cm 2, ¿cuánto vale x? d) Si la medida de x varía entre 0 cm y 10 cm, ¿cuánto varía el área de la figura? e) Si se desea que el área fluctúe entre 100 cm 2 y 150 cm2, ¿cuánto debe varía la medida de x?
UNIDAD 3: LGEBRA
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(Recuerda que el propósito del problema es escribir en lenguaje algebraico, no resolver) LENGUAJE ALGEBRAICO
3. Los siguientes son números consecutivos 7, 8 y 9. Dado un número su consecutivo se le suma 1: a) ¿Cómo se representaría de manera general la suma de tres números consecutivos? Intenta reducir la expresión. b) Si el primero es n, ¿cómo se representaría la suma de tres consecutivos? c) Si el segundo es m, ¿cómo se representaría la suma de tres consecutivos? 4. ¿Cuál es el área de un rectángulo de lados 4 y 5?, ¿5 y 6?, ¿10 y 11? Generaliza en una expresión para el área de este tipo de rectángulos. 5. Los siguientes dibujos representan los modelos de baldosas para habitaciones rectangulares, con baldosas negras y blancas colocadas siempre de la misma manera: Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
a) ¿Cuántas baldosas blancas tiene la Fig. 4, 5 y 6? ¿Cuántas tiene la figura ubicada en un lugar n? b) ¿Cuántas baldosas negras tiene la Fig. 4, 5 y 6? ¿Cuántas tiene la figura ubicada en un lugar n? c) Expresa algebraicamente la relación entre baldosas blancas y negras. d) ¿Cuántas baldosas negras tiene una figura con 110 baldosas blancas?
UNIDAD 3: LGEBRA
144
Valorizar expresiones algebraicas
VALORIZAR EXPRESIONES
En la sección anterior se señaló que el primer objetivo en el estudio del álgebra elemental es ser capaz de expresar simbólicamente las relaciones y procesos involucrados en una situación problema, teniendo en cuenta que los símbolos literales, con su diversidad de significados, representan números. Algunas veces el propósito que se persigue es solo representar la situación en lenguaje algebraico. Sin embargo, es común que a partir de esa generalización se quiera obtener valores específicos de la expresión, reemplazando las letras por números particulares. Problema 3: Determine una expresión algebraica para la longitud de la banda que une dos poleas de igual diámetro. Determine luego la longitud de la banda cuando las poleas están a 80 cm. de distancia y su diámetro es de 10 cm.
L
Solución: La banda cubre 2 veces la distancia L, es decir 2L, más las dos mitades de las poleas respectivas, lo que equivale al perímetro de una sola de ellas, esto es D . Por tanto la longitud de la banda que pasa por las poleas es 2 L D
Ya tenemos la expresión algebraica que representa a la longitud de la banda, ahora queremos determinar su valor específico cuando L 80 y D 10 . Reemplazando se tiene 2 80 10 191, 4 cm.
UNIDAD 3: LGEBRA
VALORIZAR EXPRESIONES
145
Otra razón para evaluar expresiones algebraicas es determinar la validez de ciertas proposiciones. A través del lenguaje algebraico intentamos abstraer y generalizar ciertas propiedades matemáticas. Por ejemplo, a partir de las siguientes igualdades 2 2 3 22 32 2 7 9 72 92
Es lógico inducir una propiedad, válida para cualquier par de números reales, que se puede expresar de forma general como 2 a b a2 b2
Para que esta igualdad constituya una identidad, debemos asegurarnos que es cierta para todo a, b , no solo para algunos valores. En efecto, para todo a, b se cumple que 2 a b a b a b a a b b a 2 b 2
La generalización es un proceso que se realiza constantemente en la práctica matemática, sin embargo, muchas veces se cometen errores al realizar algunas generalizaciones abusivas, que consiste en extender ciertas identidades válidas a otras que no lo son, por ejemplo: Como a b 2 a2 b2 se cree que a b 2 a2 b 2 Como a b a b se cree que a b a b Como 2 a b 2a 2b se cree que Como
ab c
a c
b
a
c
bc
se cree que
2a
b
a b
2 a 2b
a c
Evalúa esas igualdades y podrás comprobar que no son ciertas para todos los valores de sus variables. Podemos extender mucho más la lista de errores producidos por generalizaciones abusivas, pero estos ejemplos pueden bastar para mostrar el fenómeno. Ten cuidado, comprueba tus afirmaciones matemáticas.
UNIDAD 3: LGEBRA
VALORIZAR EXPRESIONES
146
Por ejemplo, a b 2 a2 b 2 no es una propiedad matemática, porque solo es cierta para algunos valores particulares, por ejemplo cuando a 0 y b 0 , pero es falsa en otros casos. Basta comprobar que la igualdad no se cumple para un caso, como cuando a 1 y b 1 , para descartarla como propiedad matemática, en efecto 2 1 1 22 4
12 12 1 1 2
Luego 1 12 12 12 Respecto del mismo ejemplo, la propiedad válida para todo a, b es 2 a b a2 2ab b2
Lo que puede cobrar sentido al considerar que el área de un cuadrado de lado a b es la suma de las áreas de las partes que las compone:
UNIDAD 3: LGEBRA
147
Problemas Resueltos
1. El rebaje del cabezal móvil para elaborar elab orar un perfil cónico es igual a la mitad de la diferencia entre el diámetro mayor y el diámetro menor.
VALORIZAR EXPRESIONES
D
d
a) Expresar la medida del rebaje de forma algebraica. b) determinar la medida del rebaje del cabezal si los diámetros son 12 cm. y 4,6 cm. Solución: a) Rebaje igual a la mitad de la diferencia entre los diámetros, esto es D d 2
b) Evaluando en D 12 y d 4,6 se tiene que la medida del rebaje es 12 4, 6 2
7, 4 2
3, 7
2. Mostrar que las siguientes igualdades no son propiedades matemáticas: a) a b c a b a c b)
a b c b
a c
Solución: a) En efecto, esta forma de operar es una extensión inadecuada de la propiedad distributiva, esto es Como a b c a b a c se asume que a b c a b a c
UNIDAD 3: LGEBRA
148
Basta evaluar en algunos valores, por ejemplo a 2 , b 3 y c 4 para verificar que la igualdad no no se cumple para todos los valores de a, b, c : VALORIZAR EXPRESIONES
a b c 2 3 4 2 12 24
a b a c 2 3 2 4 6 8 48 Se verifica que 2 3 4 2 3 2 4 , por tanto a b c a b a c no es una propiedad cierta. b) Este error se produce al extender la propiedad de simplificación de factores a la suma. Como
a b c b
a c
se piensa que también vale
a b c b
a c
Veamos que no es cierto para todo a, b, c evaluando en a 2 , b 4 y c 6 , en efecto ab cb
24
64
6 10
2 6
a c
Aunque la igualdad puede ser cierta para algunos valores, no lo es para todo a, b, c , por tanto no es una propiedad matemática válida. Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Construye las expresiones algebraicas que representan cada situación y evalúalas para encontrar el valor específico que se solicita: a) En una fábrica de automóviles se comprobó que el rendimiento de combustible de un automóvil (km/litro) depende de su velocidad (km/hr), siendo igual a 180 menos la velocidad por 0,002 veces la velocidad. ¿Cuál es el rendimiento de un automóvil que se desplaza a velocidad constante de 50 km/hr? b) La resistencia total de un circuito en paralelo es igual al cociente entre las resistencias parciales y su suma. ¿Cuál es la resistencia total de un circuito en paralelo con resistencias parciales = 4 ohm y = 6 ohm.
UNIDAD 3: LGEBRA
149
c) La deflexión de una viga está dada por la fórmula Y VALORIZAR EXPRESIONES
PL3 3 EI
, donde
: peso de la viga; : longitud de la viga ; : constante de la viga. ¿Cuál es la deflexión de una viga si el peso es de 2,5 kg., su longitud es de 1,20 metros y la constante E=0,5? 2. Determina cuales de las siguientes igualdades no son propiedades matemáticas válidas para todos los valores de sus variables: a) a2 b2 a b 2 2
3
c)
2
x y x y
b) a
3
b
a b
d) a b a b e) a n m an am 3. Encuentre una expresión para el número de líneas que se necesitan para formar la figura del lugar n. Use esta expresión para determinar el número de líneas de la figura del lugar 125.
4. Se construye una escalera apilando adoquines, como se muestra en la figura. Determina una expresión para el número de adoquines que se necesitan para formar una escalera con peldaños. peldaños. ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 25 peldaños? x
UNIDAD 3: LGEBRA
150
Manipulación algebraica
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
El estudio del álgebra elemental considera dos objetivos fundamentales:
1. Ser capaz de expresar a través de símbolos las relaciones y procesos involucrados en una situación. 2. Alcanzar una destreza que permita manipular las expresiones simbólicas, transformarlas en otras equivalentes, que resulten más útiles para resolver el problema planteado. El primer punto permite tener control sobre el significado de las expresiones algebraicas que construimos, sin embargo, si la habilidad para transformar correctamente estas expresiones no ha sido desarrollada, el trabajo algebraico resulta infructuoso. Veamos un ejemplo. Problema 4: Considera el siguiente juego de adivinar un número:
1. Piensa un número. 2. Súmale 8. 3. Multiplica el resultado por 4. 4. A eso réstale 6. 5. El resultado divídelo por 2. 6. A lo que quedó réstale el número que pensaste. 7. Dime el resultado y te diré que número pensaste. ¿Puedes adivinar el número que alguien más pensó? ¿Puedes explicar matemáticamente como es que se puede adivinar el número? Solución: Es posible que un primer intento consista en probar con algunos números en particular, desarrollando la expresión aritmética involucrada, por ejemplo: Si pienso en 3, el resultado será: 3 3 8 11 11 4 44 44 6 38 38: 2 19 19 3 16
Si pienso en 10, el resultado será 10 10 8 18 18 4 72 72 6 66 66 : 2 33 33 10 23
UNIDAD 3: LGEBRA
151
Proceso que se puede continuar intentando encontrar alguna regularidad. Sin embargo, este camino no parece el más auspicioso. MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
Dado que el número que se piensa es cualquiera, se puede considerar un número generalizado y el procedimiento se puede resumir en una expresión algebraica. En efecto, la traducción al lenguaje algebraico sería: 1. Piensa un número a 2. Súmale 8 a 8 3. Multiplica el resultado por 4 4 a 8 4. A eso réstale 6 4 a 8 6 5. El resultado divídelo por 2
4 a 8 6 2
6. A lo que quedó réstale el número que pensaste
El resultado es la expresión
4 a 8 6 2
4 a 8 6 2
a
a . Sin embargo, esta expresión,
por si misma, no responde la pregunta de por qué se puede adivinar el número pensado, es necesario reducirla. Mostraremos, aunque aún sin explicar del todo, el desarrollo algebraico que reduce la expresión: 4 a 8 6 2
a
4a 32 6
2 4a 26 2
a
a
2 2a 13 2
a
2a 13 a a 13
Finalmente el resultado es equivalente a a 13 , es decir al número pensado más 13. Por tanto, basta tomar el resultado y restarle 13 para adivinar el número.
UNIDAD 3: LGEBRA
152
Analicemos los procedimientos implicados en la manipulación de esta expresión, asignándole algunos nombres: MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
4 a 8 6 2
a
4a 32 6
2 4a 26 2
Producto
a
Factorización
a
2 2a 13 2
2a 13 a
Simplificación
a 13
Reducción de términos semejantes
Reducción de términos semejantes
Terminología
Los procedimientos algebraicos se fundamentan en las propiedades de los números reales. Conocer y comprender estas propiedades es fundamental para que la manipulación de expresiones algebraicas tenga sentido.
Expresión algebraica 3a2b 2ac 5b3 Términos 2
3a b ; 2ac ; 5b
3
La reducción de términos semejantes tiene que ver con la suma y resta de expresiones que tienen el mismo factor literal. Por ejemplo:
Factor literal
3b 5b
Factor numérico Las expresiones se clasifican según el número de términos
; 6 x2 y 4x 2 y ; 5a3c 7a3c a3c
En la suma o resta de términos semejantes se aplica la propiedad distributiva a b a c a b c
Monomio: Un término 4 xy
a
3
Binomio: Dos términos 3
n 2nm
Trinomio: Tres Términos 5az 2 bw 3c 4
Polinomio: Dos o más
Por ejemplo: 1. 3b 5b 3 5 b 8b 2. 6 x2 y 4 x 2 y 6 4 x 2 y 2 x 2 y
términos 3 p 2q 5r s
3. 5a3c 7a3c a3c 5 7 1 a 3c 1a 3c a 3c
UNIDAD 3: LGEBRA
153
Uso de paréntesis
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
Los procedimientos algebraicos se justifican a partir de las propiedades de los números reales, sin embargo, la forma de proceder en álgebra es muy distinta al de la aritmética. Lo que fue efectivo en este ámbito, ya no lo es en un marco de resolución algebraico, es muy importante reconocer sus diferencias. Uno de los aspectos críticos de este cambio es el uso del paréntesis. En aritmética, generalmente, los paréntesis no son necesarios para llegar a un resultado. Así se puede comprobar en el ejemplo de la adivinanza del número desconocido: Si pensamos en el número 3, entonces 1. Piensa un número. 2. Súmale 8. 3. Multiplica el resultado por 4. 4. A eso réstale 6. 5. El resultado divídelo por 2. 6. A lo que quedó réstale el número que pensaste.
3 11 44 38 19 16
En aritmética, el resultado se deduce de una secuencia ordenada de operaciones y de resultados parciales, los paréntesis aparecen como una convención matemática que no tiene mucho sentido en este contexto. Sin embargo, asumir que también se puede prescindir de los paréntesis en álgebra, es un error que obstaculiza severamente el trabajo algebraico. Sabemos que el resultado de este problema para un número cualquiera se expresaba por 4 a 8 6 2
a
Si se obviaran los paréntesis la expresión sería otra, lo que no permitiría resolver correctamente el problema. Por tanto, poner mucha atención en este punto: al expresar simbólicamente una situación, se deben poner los paréntesis que indiquen el orden de las operaciones involucradas.
UNIDAD 3: LGEBRA
154
Reducción de paréntesis
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
Al expresar simbólicamente es necesario escribir los paréntesis, pero al manipular la expresión, por ejemplo para reducir términos semejantes, se requiere eliminar los paréntesis. La justificación matemática al eliminar paréntesis vuelve a ser la propiedad distributiva, pero ahora en sentido opuesto esto es a b c a b a c
Por ejemplo, reduzcamos la expresión x 2 y 3x 2 y 5 4 y 2x 3
Si consideramos que delante de cada paréntesis se puede escribir un factor 1, se tiene x 2 y 3x 2 y 5 4 y 2 x 3
x 2 y 1 3x 2 y 5 1 4 y 2 x 3
Aplicando la propiedad distributiva ocurrirá que: a) Los términos del paréntesis precedido por + se multiplicarán por 1, por tanto no cambian de signo. b) Los términos del paréntesis precedido por – se multiplicarán por -1, por tanto cambian de signo. Esto es x 2 y 3 x 2 y 5 4 y 2 x 3
x 2 y 1 3x 2 y 5 1 4 y 2 x 3 x 2 y 3x 2 y 5 4 y 2 x 3 6 x 4 y 8
UNIDAD 3: LGEBRA
155
Producto de expresiones algebraicas
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
Problema 5: Se desea determinar una expresión para la superficie de la vereda que rodeará a un edificio en construcción. Se sabe que el largo de la base del edificio es el doble que su ancho y que la vereda debe tener 2 metros de ancho.
Solución: Supongamos que el ancho de la base del edificio sea w metros, el resto de las medidas se muestran en la siguiente figura: 2 2w
w + 4
w
2w + 4
Área del rectángulo mayor: 2w 4 w 4 Área del rectángulo menor: 2w w 2w2 El área de la vereda es igual a la diferencia entre las áreas de los dos rectángulos, esto es
2w 4 w 4 2w2 Ya está expresada algebraicamente el área de la superficie de la vereda, pero siempre que sea pertinente y posible hay que tratar de reducir la expresión. En este caso, realizar la multiplicación de las expresiones que están entre paréntesis permitiría luego reducir términos semejantes. Pero, ¿cómo multiplicar 2w 4 w 4 ?
UNIDAD 3: LGEBRA
156
Aplicando reiteradamente la propiedad distributiva, en efecto:
2w 4 w 4 2w 4 w 2w 4 4
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
2w w 4 w 2w 4 4 4 2w2 4w 8w 16 2w2 12w 16
Multiplicación de potencias:
Recordar
que
en
la
multiplicación de potencias de igual base “se conserva la base y
Como se observa en la segunda línea, la aplicación reiterada de la propiedad distributiva describe el producto de todos los términos del primer paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis, esto permite aplicar de forma reducida el siguiente procedimiento en el producto de expresiones algebraicas:
se suman los exponentes”
n
m
b b
bn m
Por ejemplo:
2
3
b b b b b b b
Como se observa en la segunda línea, la aplicación reiterada de la propiedad distributiva describe el producto de todos los términos del primer paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis, esto permite aplicar de forma reducida el siguiente procedimiento en el producto de expresiones algebraicas:
b5
2w 4 w 4 2w w 4 w 2w 4 4 4
El orden en que se efectúen los productos da igual, lo importante es multiplicar todos con todos. Ahora ya podemos terminar de responder al problema planteado. La superficie de la vereda tiene área igual a:
2w 4 w 4 2 w2 2w2 4w 8w 16 2 w2 12w 16
UNIDAD 3: LGEBRA
157
Problemas Resueltos
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
1. Reducir las siguientes expresiones:
a) 5a 2 a 1 (4a 6) b)
3 xy
2
2 x y3 4 x 2 5 y
Solución: a) 5a 2 a 1 (4a 6) 5a 2 a 1 4a 6 6a 1 4a 6 6a 1 4a 6 2a 7 2a 7
b)
3 xy
2
2 x y3 4 x2 5 y
3 xy2 4 x2 3xy2 5 y 2 x 4 x2 2 x 5 y y3 4 x2 y3 5 y 12 x3 y 2 15xy3 8 x3 10 xy 4 x2 y3 5 y4
2. La temperatura de una batería depende de la temperatura ambiente. Si en determinado momento la temperatura del ambiente es de T grados centígrados, la temperatura de la batería es 3T T 1 T 2 3T 4 . ¿La temperatura de la batería excederá a la temperatura ambiente en más de 10 Cº? Solución:
UNIDAD 3: LGEBRA
158
Al desarrollar la expresión se tiene 3T T 1 T 2 3T 4
3T 2 3T 3T 2 2T 8 3T 2 3T 3T 2 4T 6T 8
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
3T 2 3T 3T 2 2T 8 T 8
Como se ve, la temperatura de la batería excede a la temperatura ambiente solo en 8 Cº. Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Los siguientes esquemas muestran el orden en que se va operando con un número cualquiera n , determina la expresión que representa a cada uno: : Ejemplo: n 2 3 5 7 4
2n 3 7 5
4
4 2 n 3 : 5 7
ó
: a) n 5 2 6 4 1 : b) n 2 1 6 5 7 : c) n 2 n 2 4 2n 3 1
2. Dada las expresiones algebraicas completa los esquemas que determinan el orden en que se realizaron las operaciones: Ejemplo:
3 n 2 1 4
5
:
n 2 3 1 4 5
UNIDAD 3: LGEBRA
159
a) 3 2 4n 5 6 1 MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
n
n 1 4 1 2 b) 3
7
n
c) 3 2 5 1 7 4 n
n
4. Reduzca las siguientes expresiones: a) x2 yz 3xy2 z 2xy2 z 2x 2 yz b) 3a 2 a 4 c) 2 x y 5 z y 4x 3z d) 5a 2 a 1 (4a 6) e)
3 x 2 y 2 x 3x 2 y – 3x
2 x
f) a2 b2 ab 2a 2 b2 2ab ab
abc h) x 5 x x x 5 i) ab a a b ab ab a g)
2
3a b 2bc 2
2
3
2
2
2
2
j) t 5t 3 (4t 1)(4t 1)
k) 3 f 7 f 7 5 f f 1 l) nr 2s ns 2 2s 2s nr s r 2 s
UNIDAD 3: LGEBRA
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
160
5. Muestra que la suma de tres consecutivos es múltiplo de 3. Utiliza la expresión algebraica y redúcela. ¿La suma de 4 consecutivos es múltiplo de 4?, ¿y de cinco consecutivos es múltiplo de 5? Explica por qué si o no algebraicamente. 6. Explica el truco para adivinar el número pensado en los siguientes casos: a) Piensa un número Multiplícalo por siete Réstale el número que pensaste inicialmente Divide el resultado por seis Tu número es….
b) Piensa un número Súmale cinco Multiplica el resultado por dos Súmale el sucesor del número pensado Réstale dos Divide el resultado por 3 Tu número es…
7. Durante una prueba, la máquina A produce p latas, la máquina B produce el doble y la máquina C produce 6 latas más que B, ¿cuál es la producción total? 8. Se construye una canaleta de una pieza de aluminio, como se muestra en la siguiente figura. Si el precio de cada metro cuadrado de lámina de aluminio es $2500, determine una expresión para el costo de esta canaleta. 2x+10
UNIDAD 3: LGEBRA
161
Productos Notables
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
1. Cuadrado de binomio
Problema 6: Una fábrica dispone de un terreno cuadrado de a metros de lado para bodega. Si el terreno se agranda b metros hacia cada lado, ¿cuál es su área?
Solución: a+b
a b + a
b a
b
El área de este terreno está dado por el producto a b 2 . Este tipo de productos recibe el nombre de cuadrado de binomio y pertenece a los denominados productos notables. Por cierto que podemos desarrollar el producto término por término, pero resulta mucho más interesante y a la larga también más práctico buscar una fórmula general para todos los cuadrados de binomios. El área del terreno es igual a la suma de las áreas de las partes que la componen, esto es
=
a b
2
=
+
a
2
+
+ ab + ab + b2
2 a b a2 2ab b2
UNIDAD 3: LGEBRA
162
Por tanto el cuadrado de binomio de una suma es siempre es igual a la suma de tres términos: el cuadrado del primer término, más el doble del producto de ambos términos, más el cuadrado del segundo término. MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
2 a b a2 2ab b2
Por ejemplo, si el terreno tiene lado x + 5 metros su área será 2 x 5 x2 2 x5 52 x2 10 x 25
De manera similar, podemos suponer que al terreno de lado a se le quita b metros en cada lado, el área del terreno resultante será
Hay que tener en cuenta que al restar los dos rectángulos se está quitando a su vez dos veces el cuadrado más pequeño, para compensar se agrega un cuadrado más pequeño al final. También es un cuadrado de binomio, pero de una diferencia. Por tanto el cuadrado de binomio de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo. 2 a b a2 2ab b 2
Podemos comprobar ambas fórmulas haciendo el producto término a término. En efecto, 2 a b a b a b a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2 2 a b a b a b a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2
UNIDAD 3: LGEBRA
163
2. Suma por su diferencia
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
Supongamos que ahora el terreno cuadrado de lado a se transforma en un rectángulo, sumándole b metros a uno de los lados y restándole los mismo b metros al otro lado: a b
b
b
a – b
a+b
a
a b a b
=
2
a b
2
Al reordenar las partes del rectángulo se ve como su área es igual a la diferencia del área del cuadrado de lado a con el área del cuadrado de lado b. Este producto se denomina “producto de una suma por su diferencia” y es siempre igual a la diferencia entre cuadrado del primer término y el cuadrado del segundo término.
a b a b a 2 b2 Podemos comprobar esta fórmula algebraicamente, en efecto
a b a b a 2 ab ba b2 a2 b2 Un par de ejemplo de aplicación de la fórmula de suma por su diferencia: a) x 3 x 3 x 2 32 x 2 9 2
b) 2 N 5 2 N 5 2N 52 4 N 2 25
UNIDAD 3: LGEBRA
164
3. Producto de binomios don término común
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
Supongamos ahora que un terreno cuadrado de lado x se transforma en un rectángulo, sumándole a un lado a metros y al otro b metros. La descomposición del terreno y sus áreas será x
b
x
=
+
+
+
a
x a x b
Polinomio que solo contiene una variable x, de la forma: n
x
n
an
n 1
1
x
x
2
+ ax +
bx
a1x a0
Donde cada coeficiente ai con i 0,1, 2,..., n y an 0 .
Este producto notable se denomina producto de binomios con término común. En este caso el término común es x. El producto de binomios con término común es igual al cuadrado del término común, más la suma de los otros dos términos por el término común, más el producto de los otros dos términos.
Se dice que el grado del polinomio es n. Mientras que
x a x b x 2 a b x ab
a 0 se conoce como término
independiente de x.
5
2
4 x
2
3 x 2
Suma Producto Por ejemplo:
Por ejemplo:
x 3x x 1
+ ab
x a x b x 2 a b x ab
Polinomio en x
a
=
grado 5 grado 2
2 x 5
grado 1
4
grado 0
a) x 3 x 2 x 2 5 x 6 Suma Producto b) 3m 6 3m 2 3m2 4 3m 12 9m2 12m 12 Suma Producto
UNIDAD 3: LGEBRA
165
La siguiente tabla resume los productos notables vistos aquí y agrega otros más:
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
Nombre Expresión 2 Cuadrado de a b binomio de una suma 2 Cuadrado de a b binomio de una diferencia Suma por su a b a b diferencia Producto de x a x b binomios con término común 3 Cubo de binomio a b de una suma 3 Cubo de binomio a b de una resta
Fórmula 2 a b a2 2ab b2
2 a b a2 2ab b 2
a b a b a 2 b2 x a x b x 2 a b x ab 3 a b a3 3a 2b 3ab 2 b3 3 a b a3 3a 2b 3ab 2 b3
Problemas Resueltos
1. Desarrollar las siguientes expresiones usando fórmulas de productos notables: a) n 32 n 32 n 3 n 3 n 3 n 2
b) 3a2b 2ab2
2
c) x y 32 d) t 23 2t 23 Solución: a) n 32 n 32 n 3 n 3 n 3 n 2 Cuadradros de binomio
Suma por su diferencia
2 2 2 a b a2 2ab b2 a b a b a b 2 a b a 2 2ab b 2
Producto de binomios con término común x a x b x 2 a b x ab
UNIDAD 3: LGEBRA
166
2 2 n 3 n 3 n 3 n 3 n 3 n 2
2 2 2 2 2 2 2 n 2n3 3 n 2n3 3 n 3 n 5n 6
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
2 2 2 2 n 6n 9 n 6 n 9 n 9 n 5 n 6
7n 15
2
b) 3a2b 2ab2 Cuadrado de Binomio a b 2 a 2 2ab b 2
2
3a b 2ab
2
2
3a2b
2
2 3a 2b 2ab 2 2ab 2
2
9a 4b2 12a3b3 4a 2b 4
c) x y 32 Al colocar paréntesis se pueden agrupar los términos en binomios, luego se aplica las fórmulas de cuadrados de binomios de forma reiterada, esto es 2 x y 3 x y 3
2
2
x y 2 x y 3 32 x2 2xy y 2 6 x y 9 x2 2 xy y 2 6x 6 y 9 3 a b a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
d) t 23 2t 23 Cubos de binomio
3 a b a3 3a 2b 3ab 2 b 3
3 3 t 2 2t 2 3 2 t 3 3t 2 2 3t 22 23 2t 3 2t 2 3 2t 22 23
t 3 6t 2 12t 8 8t 3 6 4t 2 12 2t 8
t 3 6t 2 12t 8 8t 3 24t 2 24t 8 t 3 6t 2 12t 8 8t 3 24t 2 24t 8 7t 3 30t 2 12t 16
UNIDAD 3: LGEBRA
167
2. Los productos notables pueden ayudar a resolver rápidamente algunos cálculos numéricos. Úsalos para calcular: MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
a) 232
b)
99
2
c) 41 39
Solución: a) 232 20 32 202 2 20 3 32 400 120 9 529 2 a b a2 2ab b2
23 se escribe como suma y se aplica cuadrado de binomio b) 992 100 12 1002 2 100 1 12 10000 200 1 9801 2 a b a2 2ab b2
99 se escribe como resta y se aplica cuadrado de binomio c)
2
41 39 40 1 40 1 40 1
2
a b a b a 2 b 2
41 se escribe como suma y 39 como resta y se aplica suma por su diferencia
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. ¿Es lo mismo a b 2 que a 2 b2 ? Completa la siguiente tabla y responde. a
b
0 0 2 0 1 1 0 – 1
ab
a b
2
a
2
2
b
2
a b
2
UNIDAD 3: LGEBRA
168
2. Resuelve usando productos notables: MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
a) p q 2 b) 2m 3n 2
c) x2 y3
2
d) y 22
e) 5T 2TM 2
2
f) x y x y g) 2 p r 2 p r
a b a b i) 2 x y z 1 2 x y z 1 4
h)
3
4
2 3
3
2 3
j) x 6 x 2 k) m 3 m 5 l) a 9 a 8 m) 2b 3 2b 6 n) x 23 o) 2e 3 f 3 p) L 33
q) anb abm
3
3. Desarrolla las siguientes expresiones y reduce términos semejantes, cuando sea posible: a) b 42 b 2b 3 b) x 6 x 6 x 22 c) 2n 13 n 4 n 3 n n 22
UNIDAD 3: LGEBRA
169
4. Utiliza productos notables que se indica para calcular el valor de: a) 312 MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
b) 29 2 c) 31 29 d) 33 32 5. En las siguientes expresiones agrupa en binomios usando paréntesis y utiliza las fórmulas de cuadrados de binomio para desarrollar: a) a b 32 b) p q 22 c) f h 52 6. La base de un edificio es un cuadrado de x metros de lado, al construir se cometió un error de 0,5 metros hacia cada lado, ¿En cuántos metros cuadrados excede la base del edificio respecto de su medida inicial? 7. Representa las áreas de las partes achuradas algebraicamente y desarrolla usando productos notables:
UNIDAD 3: LGEBRA
170
Factorización
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
Problema 7: El piso de un galpón tiene 247 mt2, se sabe que el ancho y el largo son números enteros y que el ancho es mayor que 1 mt. ¿Cuáles son las medidas de los lados del galpón?
Solución: Estamos suponiendo que el piso del galpón es rectangular, por tanto su área es el producto de su largo y su ancho. Debemos buscar dos números enteros cuyo producto sea 247. En este esos números son números primos 247 19 13
Las dimensiones del galpón son 19 y 13 metros. Para resolver este problema se hizo la factorización del número 247, esto escribirlo como el producto de números primos (no tienen más divisores que el 1 y si mismo). Pero no solo se factorizan números, algunas expresiones algebraicas, para determinados propósitos, también requieren factorización. Por ejemplo, supongamos que en el problema anterior el piso del galpón era un cuadrado de x metros de lado. Si el galpón se amplía una cierta cantidad de metros en su largo y su ancho el piso tendrá un área de 2
x 11x 24
mt2, ¿En cuántos metros se alargó el largo y el ancho del
galpón? Para este tipo de expresión podemos usar el resultado del producto de binomios son término común 2 x a b x ab x a x b
Por tanto se debe buscar dos números cuya suma sea el valor que acompaña a x y su producto sea el término independiente de x esto es 2 x 11x 24 x a x b a b
ab
UNIDAD 3: LGEBRA
171
Es decir dos números a y b cuya suma sea 11 y cuyo producto sea 24. Los números son 8 y 3, por tanto MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
2 x 11x 24 x 8 x 3
Es decir, en el problema la solución es que el salón se amplía 8 metros de largo y 3 metros de ancho. Procedimiento:
1. Colocar los signos: x 2 5 x 6 x
x
En resumen, un trinomio del tipo x2 Cx D , con C y D en los reales, se factoriza de la forma
2 x Cx D x a x b
2. Buscar los números (en valor absoluto) para
Donde a b C y ab D
el producto: 2 x 5 x 6 x
x
3 2
3. Colocar el número (valor absoluto) mayor
Ejemplos:
a) x2 6 x 8 x 4 x 2
primero: 42
x 2 5 x 6 x 3 x 2
b) m2 3m 10 m 5 m 2
4. Verificar la suma de los
5 2
números: 2
x 5 x 6 x 3 x 2
3 2
42
c)
5 2
t 2 8t 12 t 6 t 2 6 2 6 2
d) x2 10 x 25 x 5 x 5 x 52 5 5
5 5
UNIDAD 3: LGEBRA
172
Factor común
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
Problema 9: En un proceso de embalaje se disponen de tres tipos de contenedores en los que se depositan las cajas con los productos fabricados. La cajas tienen 24, 36 y 60 cm. de ancho, ¿cuál debe ser el ancho máximo de las cajas para encajar de forma exacta en cualquiera de los contenedores?
24
36
60
Solución: Este es un problema de MCD, que puede ser resuelto factorizando cada uno de los números en sus factores primos. Buscaremos el mayor factor común entre estos números. 24 36 60 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 5
Los números en rojo son los factores primos en común, usando la propiedad distributiva este factor se puede escribir una sola vez, esto es: 24 36 60 2 2 3 2 3 5
12 2 3 5
Lo que hicimos fue sacar el factor común 12 de cada uno de los términos. Esto implica que las cajas deben tener un ancho de 12 cm. para entrar de forma exacta en cada uno de los contenedores. Algunas expresiones algebraicas también admiten una factorización en factor común de sus términos y el procedimiento es análogo, descomponer en factores y reconocer los factores comunes. Ejemplo: Factorizar 12a3b2 18a 2b3 6a 4bc 12a3b 2 18a 2b3 6 abc 2 2 3aaabb 2 3 3aabbb 2 3abc
2 3ab 2 a 2b 3ab2 c
6ab 2a 2b 3ab2 c
UNIDAD 3: LGEBRA
173
Factorización de algunos tipos de binomios
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
Recuerda:
Factorización de diferencias de cuadrados a b a b a b 2
2
Factorización de diferencia de cubos
Es muy habitual hacer
3 3 2 2 a b a b a ab b
generalizaciones abusivas para algunas expresiones algebraicas, como
Factorización de suma de cubos
suponer que a2 b 2 a b
2
a b a b a ab b 3
3
2
2
Basta comprobar que esta igualdad no se cumple para un par de valores de
Ejemplos:
a y b. De hecho la suma de cuadrados no se puede factorizar en
.
a) Diferencia de cuadrados a 2 b2 a b a b x
2
x
9
x 3 x 3
2
4a
2
3
2
25
2a 5 2a 5
2a
2
2
5
b) Diferencia de cubos a3 b3 a b a 2 ab b 2 x
3
x
8
3
3
2
x 2 x 2 x 2 2 2 x 2 x 2 2 x 4
UNIDAD 3: LGEBRA
174
8a
3
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
2a 1 2a 2a 1 12 2a 1 4a 2 2a 1 2
1
3
2a
3
1
c) Suma de cubos a3 b3 a b a 2 ab b 2 x
3
x
27
x 3 x 2 x 3 32 x 3 x 2 3x 9
3
27a
3
3 3
3a
8
3
3
2
2 3a 2 3a 3a 2 22 3a 2 9 a 2 6a 4
UNIDAD 3: LGEBRA
175
Aplicación de la factorización en la resolución de ecuaciones
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
Problema 8: En un terreno de 120 mt2 de superficie se construyó una casa de 8 por 10 mt. Se desea construir una vereda como se muestra en la figura, ¿cuál debe ser el ancho de la vereda para cubrir la superficie restante del terreno? 10
x
8
x
Solución: Área del terreno x 10 x 8 120 Desarrollando el producto notable se tiene la ecuación 2
x 18x 80 120
Por conveniencia dejaremos en la ecuación el lado derecho igual a 0 2
x 18x 40 0
Este tipo de ecuaciones se denominan ecuaciones cuadráticas y aunque, por el momento, no diremos mucho más sobre ellas, expondremos la utilidad de la factorización para resolverlas. En efecto factorizando se tiene
x 20 x 2 0 En todo producto igual a cero, al menos uno de sus factores debe ser igual a cero, utilizando esta propiedad podemos separar la ecuación en x 20 0
ó x 2 0
Lo que implica que x 20 o x 2 Como la primera solución no tiene sentido en el contexto del problema, la vereda deberá medir 2 mt. de ancho.
UNIDAD 3: LGEBRA
176
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Encuentra el factor común de las siguientes expresiones: MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
a) 6ax 5bx 8cx b) 3a 6a 2 9a3 c) 20 x3 y5 z 2 12x 2 y 4 z 16xy 3 4x 4 y 2 z 3 d)
15 3 4 27 4 3 9 2 3 21 3 2 x y x y x y x y 21 28 14 35
e)
1 2 3 2 3 4 5 0, 3 nm 1 n m n m 6 9
2. Factoriza las siguientes expresiones: a) x2 7 x 12 b) z 2 9z 18 c) b2 7b 60 d) n2 16n 36 e) r 2 6r 9 f) a 2 25 g) x 2 16 h) 4 x 2 16 i) 25n4 m2 p 6 j) a3 1 k) x3 64 l) 27 x9 8 y 6 m) x3 64 n) x6 y12 8x3 y 6 o) 125a3b3 8c 3 p) ax2 4a q) 12 x2 36 x 27 r) 500 x 3 20xy 2 s) 3a3b2 12a3bd 12a 3d 2
UNIDAD 3: LGEBRA
177
3. Usa la factorización que se desprende de la suma por su diferencia para calcular los siguientes valores a 2 b2 a b a b
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
a) 112 92 b) 20012 20002 c) 1, 012 12 4. Muestre que la diferencia entre el cuadrado del sucesor de un número y el cuadrado del número es siempre un número impar. 5. Explica por qué la expresión n2 6n 9 no puede ser nunca un número negativa. 6. El número de diagonales D que se pueden trazar en un polígono depende de su cantidad de vértices v, a través de la fórmula D
v v 3 2
¿Cuántos vértices tiene el polígono de 35 diagonales? 7. Una lámina metálica mide 10 pulgadas más de largo que de ancho. En cada esquina se recortan cuadrados de 1 pulgada de lado. Se levantan los lados de la lámina para formar una caja sin tapa de volumen 24 pulg 3. ¿Cuánto mide el largo y el ancho de la lámina metálica?
1
x 1
x + 10
UNIDAD 3: LGEBRA
178
Fracciones Algebraicas
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
Para mostrar como operar con fracciones algebraicas analizaremos la manera de proceder con fracciones de números. Simplificación
En números es habitual buscar un divisor común al numerador y denominador para simplificar un fracción, por ejemplo: 36
60 Restricciones en las fracciones algebraicas
36 : 12
60 : 12
3 5
Pero, ¿cuál es el divisor común del numerador y denominador de la siguiente fracción algebraica?
Una fracción algebraica está definida solo cuando
2
x 5x 6
su denominador es
2
x 4
distinto cero. Es necesario identificar sus restricciones para asegurar que no se está dividiendo por cero.
Ya no es tan fácil, necesitamos otro procedimiento. En el caso de la fracción de números, la descomposición en factores primos también permite simplificar
Por ejemplo:
36 x 1 con
x 2 t 2
t 9
60
x 2
con t 3, t 3
a 1 con a 0, a 1 a a 1
2 2 3 3 2 2 3 5
3 5
De la misma forma, la factorización de los polinomios de la fracción algebraica permite su simplificación, siempre que esta factorización sea posible 2
x 5x 6 x2 4
x 3 x 2 x 3 x 2 x 2 x 2
Asumimos que en esta fracción x 2 y x 2 .
UNIDAD 3: LGEBRA
179
Ejemplos: 12ab 6ab 2
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
a)
b)
c)
10a b 5a 2
2
2 p 2 p 1
p 7 p 6 2
3
6 a b 2b 1 5a
2
2b 1
6b 5a
con a 0 y b
1 2
p 1 p 1 p 1 con p 6 y p 1 p 6 p 6 p 1
4m m m
4 m 8m
m
4
m m 2 m2 2m 4
m m3 8 2
m m 2 m 2
2 m 2m 4
m2
con m 0 , m 2 y m 2 Adición y Sustracción de Fracciones Algebraicas
Resolver
x 2
x 2 x 1
2 2
x 1
Analizaremos la forma de sumar fracciones numéricas para establecer un procedimiento equivalente para fracciones algebraicas. Recordemos que para sumar fracciones de distinto denominador, las fracciones se amplifican para obtener fracciones equivalentes con denominador igual al MCM. 5 12
3
10
55
36
12 5 10 6
25
60
18 60
43 60
Donde MCM (12,10) 60 Para utilizar un procedimiento equivalente para fracciones algebraicas, observemos como se realiza lo anterior descomponiendo en factores primos 5 12
3 10
5 2
2 3
3 2 5
Donde MCM (12,10) 22 3 5 , esto es, el MCM es igual al producto de la mayor potencia de cada uno de los factores de los denominadores.
UNIDAD 3: LGEBRA
180
Luego hay que amplificar por los factores que faltan para completar el MCM en cada denominador. MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
5
12
3
10
5 2
2 3
3 2 5
5 5 2
2 35
3 2 3 2 5 2 3
25 60
18 60
43 60
Por tanto el procedimiento para la suma de fracciones algebraicas será: x 2 x 2 x 1
1. Factorizar los denominadores
2 2 x 1
x
x 1
2
2
x 1 x 1
2. Determinar el MCM: MCM= x 12 x 1 El producto de las mayores potencias de todos los factores 3. Amplificar: x x 1 2 x 1 Multiplicar por los factores 2 x 1 x 1 x 1 que faltan para completar el x 1 x 1 MCM en cada fracción 4. Sumar las fracciones x x 1 2 x 1 2
x 1 x 1 La fracción algebraica que se obtiene puede seguir desarrollándose, si así se requiere. Ejemplos:
1)
a a 1
4 a2
a a 2
4 a 1
a 1 a 2 a 2 a 1 a a 2 4 a 1 a 1 a 2 MCM= a 1 a 2
a 2 2 a 4a 1 a 2 3a 2
a 2 2a 1 a 2 3a 2
UNIDAD 3: LGEBRA
181
2) MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
x 2 x x 2 2
x 2
x 2 x 1
x 3 x 2
x 3 x2
5 x 1
5
MCM= x 2 x 1
x 1
5 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 1 5 x 2 x 2 x 1 x 2
2 x 2 x 2 x 3 5x 10
x x 2 2
x 2 x 11 2
2 x x 2
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas se puede realizar el siguiente procedimiento: 3a 3 a 4
a2
2
3
1. Factorizar numeradores y denominadores
3 a 1
2. Simplificar
3 a 1
a2
a2
3. Multiplicar
a 2 a 2 3
a 2 a 2 3
a 1 a 2
a 1 a 2 a 2 3a 2
Para la división de fracciones algebraicas, se ocupa la propiedad a c a d : b d b c
UNIDAD 3: LGEBRA
182
Ejemplo:
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
2 2 2 t 9 t 6t 9 t 9 t 3 : t 3 t 3 t 3 t 2 6t 9
t 3 t 3 t 3
t 3
t 3 t 3
1
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Simplifique las siguientes fracciones algebraicas: x 3x 2 2
a)
x 5x 6 2
y 7 y 12 2
b)
m 9m 18 2
d)
f)
2
2 m 6m 9
c)
e)
y 8 y 15
2 a 25 2 a 4a 45
8ab 2b
2
16 a b
2
2
m3 8 m2 a 27 3
g)
a 3 3
4
x 1 x 5 h) 3 2 x 5 x 1 x 2 2. Realiza las operaciones con fracciones algebraicas de las siguientes expresiones: a)
3 x x 1
x 1 x 1 2
UNIDAD 3: LGEBRA
183
b) MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
c) d) e) f)
1 m 1 4
x 1
2
m 3 5
2 a a 2
a 4
x 1 12a
h) i)
k)
x 1 2
2 x ( x 1)
2a 3
2
2
2
a 2 8a
a 2 2a
1 a 2
2x 2 ( x 1)
3
2
5
36
x 2 x 1 x 1 2
x 1
a 1 a 1 2
a a 1
2
3
2a
1
a
x 1
a 2
a a2 3a 4a 4 2
2a
:
a a a 1 2
7
a
2
j)
2
8 x 2
a
2
g)
m 2m 3
a a 2
2
4
x 1
3m
2
5a 6
2a a 3 6 a a 2 2
2
3a 3
2 2 x 9 x 14 x 9 x 14
x 49 2
x 49 2
2 a a 1 2
2 x 2
x 1
m 2 m 3 2m 2 1 2 l) : 2 m 2 m 7 m 9m 14 m 9m 14
3. Se tiene un envase de agua cilíndrico de radio r y altura h. Se tienen vasos con radio igual a la mitad del radio del envase y altura igual a un tercio de la altura del envase, ¿Cuántos vasos de agua se alcanzan a llenar con el envase?
UNIDAD 3: LGEBRA
184
4. Si dos resistencias R1 y R2 se conectan en paralelo, la resistencia total R del circuito está dada por 1
MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
R
1
R1
1 R2
Si una de las resistencia tiene 5 ohms menos que la otra, determine una expresión algebraica para la resistencia total R . 5. Dada la fracción algebraica a) ¿Para qué valores de n b) ¿Para qué valores de n c) ¿Para qué valores de n d) ¿Para qué valores de n
n3 n4
:
la fracción es positiva? la fracción es negativa? la fracción es cero? la fracción no está definida?
6. Verifica que las siguientes igualdades son correctas: 1
1
1
2
3
6
1
3 1
1
1
4 12
4
1 5
1 20
a) ¿Cómo se descompondría las fracciones
1 5
,
1
,
1
6 10
y
1
n
?
b) Demuestra algebraicamente la fórmula para descomponer la fracción 1
n
.
7. Demuestra que
a b 4
2
a b 4
2
ab
UNIDAD 3: LGEBRA
185
Ecuaciones
ECUACIONES
Entenderemos por ecuación algebraica a toda igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas presentes a cada lado de la igualdad reciben el nombre de miembros de la ecuación:
3 17
3 17 = 79
En este caso es el primer miembro de la ecuación y segundo miembro de la ecuación.
79
es el
Al reemplazar las variables en una ecuación por algún número real, puede resultar una igualdad verdadera o falsa.
=1 3∙117 = 79∙1 14 = 2 =2 3∙217 = 79∙2 11 = 11 =
En nuestra ecuación, si reemplazamos por
Es decir:
, lo cual es falso.
Por otra parte, si reemplazamos por
Es decir:
resulta:
resulta:
, lo cual es verdadero.
Este último caso es de especial interés, dado que la igualdad es verdadera para un determinado valor de . Cuando encontramos el o los valores numéricos de la variable que hacen verdadera una determinada ecuación, diremos que estamos resolviendo una ecuación. En este proceso dejamos sola la variable a un lado de la ecuación, lo cual recibe el nombre de despejar la variable. Toda ecuación de la forma , con y constantes y el nombre de ecuación lineal o ecuación de primer grado.
≠0
, recibe
Ejemplo: Pablo tiene un hermano que es 27 centímetros más alto que él, si el hermano de Pablo mide 1.55 metros. ¿Qué estatura tiene Pablo?
UNIDAD 3: LGEBRA
186
Solución: La letra P, representa la edad de Pablo. Entonces en virtud del enunciado: ECUACIONES
0.27 = 1.55 = 1.550.27 = 1.28 1.280.27 = 1.55
Restando a ambos lados 0.27:
Comprobación:
Propiedad de la Suma
Esta propiedad señala que al sumar o restar un número real a ambos lados de una ecuación, esta no se altera.
= = = =
Sean y dos números reales, y si se tiene que:
, entonces para todo número real
Sean y dos números reales, y si se tiene que:
, entonces para todo número real
Ejemplo:
2
Resolver la ecuación: w 3 5
Solución: Podemos aplicar la propiedad de la suma, sumamos a ambos lados el número 2 5
, resulta:
2
17
5
5
Como 3
, entonces:
25 25 = 3 25 = 157
UNIDAD 3: LGEBRA
187
En general, dada una igualdad
ECUACIONES
= = =
Si sumamos el opuesto de a ambos lados de la ecuación y simplificamos, despejaremos el término :
Este procedimiento se reconoce con frecuencia como “pasar restando”, pero
en realidad lo que ocurre es que se el término b se reduce a cero al juntarlos con su opuesto – b. En resumen:
= , = = – = =
Del mismo modo para
Se suma el opuesto de
a ambos lados de la ecuación y simplificamos:
El término – b no “pasó” sumando al otro, se redujo a cero al sumarle su opuesto b. Por tanto:
= , = 15 = 3 15 = 315 = 12 15 = 1215 = 3
Ejemplo: Resolver la ecuación: Solución:
Sumando el opuesto de
Comprobación:
y aplicando la propiedad anterior resulta:
UNIDAD 3: LGEBRA
188
Ejemplo: Un automóvil recorrió 80 km. a una velocidad de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo demoró en recorrer la distancia señalada?
ECUACIONES
Solución: Sabemos que la velocidad es la razón entre la distancia y el tiempo, situación que representamos a través de la siguiente fracción:
O bien:
= = ∙ 80 = 60∙
Sustituyendo los valores de la velocidad y el tiempo en esta ecuación, se tiene:
(60 1 )∙80 = (60 1 )∙ 6 0∙ 43 =
Para despejar la variable , multiplicamos por el inverso multiplicativo de 60 a ambos lados de la ecuación:
Simplificando obtenemos:
4
Lo que significa que el tiempo transcurrido es t (horas), equivalentemente 1 hora y 20 minutos. El ejemplo anterior motiva la siguiente propiedad: Propiedad de la Multiplicación
Si
,
= ∙ = ∙
y son números reales, y si
, entonces:
3
UNIDAD 3: LGEBRA
189
Notar que multiplicar o dividir por un número diferente de cero, es produce una propiedad equivalente, esto es: ECUACIONES
Si
,
∙ 1≠ =0 ∙ 1 = =
y son números reales con
O bien:
Ejemplo: Resolver la ecuación:
y si
, entonces:
Solución: Como podemos ver en la ecuación anterior, el coeficiente que acompaña la variable es y su recíproco o inverso multiplicativo es , luego
(43)∙(34 ) = (43)∙6 243 = 8 = = 8: 34 = 34 ∙8 = 3∙2 = 6 ∙ = ≠0 ∙ = ⟷ ∙( ∙ 1) = ∙ 1 ⟷ = ∙ = ≠ 0, =
multiplicamos ambos lados de la ecuación por :
Luego:
Comprobando con
En general si un término distinto de cero está multiplicando a un lado de una ecuación:
Luego, al multiplicar por el recíproco de , con ecuación y simplificando, resulta:
Por lo tanto:
a ambos lados de la
UNIDAD 3: LGEBRA
190
De la misma manera si un término diferente de cero está dividiendo a un lado de la ecuación:
ECUACIONES
= = ↔ ∙ = ∙ ↔ = ∙
Podemos multiplicar por el a ambos lados de la ecuación, obteniendo:
En consecuencia el término “pasa” al otro lado de la ecuación multiplicando. Por lo tanto:
Ejemplo:
= ≠ 0, = ∙ 5 =
Resolver la ecuación: Solución: Dada la ecuación:
5 = 103 = 3∙510 = 23
Procedemos utilizando la propiedad anterior, 5 “pasa” di vidiendo al lado
derecho de la ecuación:
UNIDAD 3: LGEBRA
191
Ecuaciones de una variable en ambos miembros de la igualdad
ECUACIONES
Es tipo de ecuaciones se basa en la igualdad de dos ecuaciones de primer grado, utilizando la propiedad de la suma podemos “dejar” a un lado de la
ecuación el término algebraico y al otro lado el término numérico. Problema 9: Un recipiente A contiene 550 litros de agua y se está llenando a razón de 45 litros de agua de otro recipiente B que contiene 1000 litros. ¿En cuánto tiempo tendrán la misma cantidad de agua ambos recipientes?
Solución:
En minutos, el recipiente A tendrá
55045
litros de agua.
1000 45 55045 = 1000 45 45 55045 45 = 1000 45 45 55090 = 1000 55055090 = 5501000 90 = 450 = 49050 = 495 = 5
En los mismos minutos, el recipiente B tendrá
litros de agua.
Ahora bien, tenemos que igualar ambas expresiones y encontrar el valor de que haga verdadera la ecuación, esto es:
Procederemos combinando las propiedades anteriores, con el objetivo de “despejar” la variable . Sumando a ambos lados de la igualdad:
Simplificando:
Ahora sumamos el inverso aditivo de 550 a ambos lados de la ecuación:
Simplificando:
Dividimos por 90:
UNIDAD 3: LGEBRA
192
= 5 550 45 = 55045∙5 = 775 1000 45 = 100045∙5 = 775 Comprobando con además
ECUACIONES
, se tiene
, y
, por tanto la igualdad es verdadera.
Problemas Resueltos
Un automóvil deja la ciudad A y va a la ciudad B a una rapidez constante de 95 km/h. Al mismo tiempo, otro automóvil deja la ciudad B rumbo a la ciudad A, a una rapidez constante 120 km/h. Si la distancia desde A hasta B es 614 km. ¿En cuánto tiempo se encuentran ambos automóviles? ¿Qué distancia recorre cada automóvil? Solución: Identificamos la información: -
La rapidez del automóvil que viaja de A hasta B es 95 km/h. La rapidez del automóvil que viaja de B hasta A es 120 km/h. La distancia entre las ciudades A y B es 614 km. 95 km/h
A
120 km/h Punto de
B
encuentro
614 km
Establecer una estrategia de resolución: Se define la incógnita distancia en km recorrida por uno de los vehículos. Luego, considerando la distancia entre las ciudades A y B, se escribe algebraicamente la distancia recorrida por el otro vehículo en términos de la incógnita distancia que se ha especificado. Además, se determina otra incógnita para el tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse. Luego, con los datos velocidad, tiempo y distancia correspondiente a cada vehículo se plantean dos ecuaciones según la fórmula Finalmente se resuelve el sistema de ecuaciones con alguno de los métodos estudiados para determinar el valor de cada incógnita.
∙ = .
UNIDAD 3: LGEBRA
193
Ahora resolvemos el problema: ECUACIONES
=
La rapidez de un automóvil se calcula con la siguiente fórmula: , donde es la distancia recorrida por el automóvil , el tiempo que tarda el automóvil en recorrer esa distancia y la velocidad del automóvil. Despejando la variable de la fórmula anterior se obtiene:
∙ = ∗
Sea la distancia en kilómetros que recorre el automóvil que viaja a 95 km/h hasta llegar al punto de encuentro. Si la distancia entre ambas ciudades es 614 km, el otro automóvil necesariamente recorre kilómetros hasta el punto de encuentro, como se ilustra a continuación.
614
95 km/h
120 km/h Punto de
A
encuentro
B
614
Respecto al tiempo, ambos vehículos salieron a la misma hora de cada ciudad y al encontrarse tambien coinciden en horario, por lo tanto, ambos han recorrido distintas distancias pero en el mismo intervalo de tiempo. Llamaremos al tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse.
Si reemplazamos los datos de cada automóvil en la fórmula las siguientes dos ecuaciones:
95120 == 614 1 2
∗
, obtenemos
Cuando aparecen dos ecuaciones a resolver simultáneamente, recibe el nombre de sistema de ecuaciones, para resolver este tipo de problemas existen varias técnicas, que más adelante estudiaremos con detalle. Si observamos la ecuación (1), se tiene que la variable reemplazarla en la ecuación (2), obtenemos la ecuación lineal: , la que pasamos a resolver:
120 = 614 95
= 95
, al
UNIDAD 3: LGEBRA
ECUACIONES
194
120 = 61495 120 95215 ==614614 /:215 ≈ 2,86∗ = 2,86 614271,7 = 342,3 =
*valor aproxiamdo a la centésima
271,7
Reemplazando el tiempo h en la ecuación (1), se tiene que km, por lo tanto, el otro vehículo recorre km.
Además podemos expresar el tiempo en horas y minutos como se muestra a continuación:
2,86 = 2 ℎ ,∙≈0,86ℎ 2,86 2 52
Por lo tanto, aproximadamente.
horas corresponde a
horas y
minutos
Finalmente, se concluye que los automóviles se encuentran en 2 horas y 52 minutos aproximadamente. El vehículo que viaja a 95 km/h recorre 271,7 km y el que viaja a 120 km/h recorre 342,3 km.
Ejercicios y Problemas Propuestos
a) Una molécula de azúcar, tiene el doble de átomos de hidrógeno que de oxígeno y un átomo más de carbón que de oxígeno. Si una molécula de azúcar tiene un total de 45 átomos ¿Cuántos son de oxígeno? ¿Cuántos son de hidrógeno? b) El tiempo de una ingeniera consultora se factura a $35.000 por hora y el de su asistente a $11.000 por hora. Un cliente recibe una cuenta de $773.000 por cierto trabajo. Si la asistente trabajó 5 horas menos que la ingeniera. ¿Cuánto tiempo facturó cada una en el trabajo? c) Los arqueólogos pueden determinar la estatura de un ser humano sin tener un esqueleto completo. Si un arqueólogo encuentra sólo un húmero, puede determinar la estatura del individuo usando una relación lineal simple. Para una mujer, si es la longitud del húmero (en cm), entonces su estatura (en cm) se puede encontrar con la fórmula ; para un hombre, debe usarse la fórmula
ℎ = 653, 1 4 ℎ = 73,6 3
ℎ
UNIDAD 3: LGEBRA
ECUACIONES
195
i. Se encuentra el esqueleto de una mujer que tiene un húmero de 30 cm, ¿Cuál es la estatura a su fallecimiento? ii. Si la estatura de un hombre al morir fue 1,81 m ¿Cuánto mide su húmero a su fallecimiento?
ℎ ℎ = 227
d) La altura (en pies) de la base de una nube se puede estimar usando la ecuación , donde es la temperatura del suelo y el punto de rocío. Calcula la temperatura del suelo si el punto de rocío es 65°F y la base de la nube está a 3500 pies. e) A las 10:00 am el jefe de Carlos le pide que quite las hierbas del jardín. Por experiencia, Carlos sabe que esto le tomará 3 horas y media trabajando sólo. Su compañero Gonzalo, cuando realiza el mismo trabajo tarda 6 horas. Como Gonzalo irá a jugar un partido de fútbol con Carlos a las 1:00 pm acepta ayudarle. Suponiendo que no hay ganancia ni pérdida en la eficiencia ¿A qué hora terminarán si trabajan juntos? ¿Lograrán llegar a la hora para jugar el partido de fútbol? f) Alejandra pinta sólo cuatro habitaciones en 10 horas. Si contrata a Martina, para ayudarle, pueden hacer el mismo trabajo en 6 horas. Si deja a Martina sola ¿Cuánto tardará ella en pintar las cuatro habitaciones? g) Un fabricante de té quiere vender una nueva mezcla. Para ello mezclará té negro con aroma a limón que se vende a $5.000 por kg con un poco de té negro con aroma a naranja que se vende a $3.000 por kg para obtener 50 kg de la nueva mezcla, cuyo precio será $4.500 por kg y no debe haber diferencia entre los ingresos por la venta separada o de la mezcla ¿Cuántos kg de cada té se requieren? h) Un hombre deja su hogar manejando a 64 km/h. cuando su automóvil se descompone camina por la misma ruta hacia su casa a 8 km/h. Si el recorrido completo, conducción y caminata, le tomó dos horas un cuarto ¿Cuántos kilómetros caminó hasta su casa? i) La altura sobre el suelo de un cohete de juguete, segundos después de que es lanzado, está dada por ¿Cuándo estará el cohete 180 pies sobre el suelo?
ℎ
ℎ = 16 120
UNIDAD 3: LGEBRA
ECUACIONES
196
ℎ 1000100 580 100
ℎ= = 100 –
j) La temperatura (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación (en metros sobre el nivel del mar) por la ecuación . La altura del Monte Everest es aproximadamente 8840 m. Estime la temperatura a la que el agua hierve en la cima de la montaña. (sugerencia: use la fórmula cuadrática con ) k) En un rectángulo un lado mide 43 cm más que el otro ¿Cuáles pueden ser las medidas de los lados del rectángulo si su área es 328 cm2?
l) Los cubos marcados con la misma letra tienen igual peso. Determina el peso de cada cubo. T C
R
E
R
R
S
L
L
C
E
UNIDAD 3: LGEBRA
197
Sistemas de ecuaciones
SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de ecuaciones, es en buenas cuentas, es un conjunto de ecuaciones con dos o más incógnitas, que forman un problema que consiste en encontrar los valores para las variables involucradas que satisfacen las ecuaciones simultáneamente. Introduciremos tres métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, a través de tres problemas ad-hoc. Problema 10: Pablo le dijo a su hermana Sandra: “Si le sumas 1 a mi edad, obtendrás un número igual que duplicar la edad de Eduardo, luego de disminuirla en 1. Si le restas 1 a mi edad, obtendrás un número igual a la edad de Eduardo aumentada en 1”
Solución: Llamemos entonces:
a la edad de Pablo y llamemos
1 = 2 1 1 = 1 2 = 2 = 2 = 22 = 2
a la edad de Eduardo,
Reescribiendo las ecuaciones anteriores, de modo tal que las variables aparezcan a la izquierda y los coeficientes numéricos a la derecha:
Procederemos a despejar una de las dos variables involucradas en cada ecuación, en nuestro caso elegimos la variable , por lo tanto:
UNIDAD 3: LGEBRA
198
Observemos que ambas ecuaciones representan a una misma variable a través de dos expresiones algebraicas diferentes, por tanto podemos igualar ambas ecuaciones:
22 = 2 =4 = 2 = 24 = 6
SISTEMAS DE ECUACIONES
Ahora, resolvemos para :
Luego, utilizamos cualquiera de las dos ecuaciones originales del sistema para hallar el valor de la variable , en efecto de la segunda ecuación:
Por lo tanto Pedro tiene 6 años y Eduardo 4 años.
Hemos resuelto el sistema a través del método de igualación, que a continuación detallamos:
Método de Igualación
Al momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando este método, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Despejamos una misma variable en ambas ecuaciones del sistema (cualquiera). 2. Igualamos las expresiones resultantes para las variables que se han despejado en el paso anterior. 3. Resolvemos la ecuación que resulta luego de igualar las expresiones algebraicas. 4. El valor obtenido de la ecuación anterior, es sustituido en cualquiera de las ecuaciones del primer paso, de este modo calculamos el valor de la otra variable. 5. Comprobamos, reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones originales.
UNIDAD 3: LGEBRA
199
Problema 11: Si a la fracción , le restamos 1 al numerador y sumamos 3 al
SISTEMAS DE ECUACIONES
denominador obtenemos . Por otra parte, si sumamos 2 al numerador y restamos 2 al denominador obtenemos . ¿Cuál es el valor de la fracción? Solución:
Del planteamiento anterior, podemos establecer el siguiente sistema de ecuaciones:
13 = 23 22 = 52
Observemos que el sistema anterior no se asemeja a un sistema compuesto por dos ecuaciones lineales o de primer grado, sin embargo, si asumimos que los denominadores del lado izquierdo son diferentes de cero o bien , entonces podemos multiplicar “cruzado”, así:
3, ≠ 2
3 1 = 2 3 2 2 = 5 2 3 2 = 9 2 5 = 14 6 4 = 18 6 15 = 42
≠
Multiplicando y simplificando el sistema anterior se puede reescribir como:
Luego, multiplicando por 2 la primera ecuación y por 3 la segunda ecuación, se obtiene:
UNIDAD 3: LGEBRA
SISTEMAS DE ECUACIONES
200
Observemos que en este sistema, en ambas ecuaciones los coeficientes de la variable son iguales, por tanto restando ambas ecuaciones se tiene (la segunda menos la primera):
6 15 6 4 = 4218 11 = 60 = 6110 3 2∙ 6011 = 9 1 120 1 99120 1 219 73 = 3 ∙ ( 9 11 ) = 3 ∙( 11 ) = 3 ∙( 11 ) = 11 = 731160 = 7603 11 13 = 711603 13 = 119362 = 6932 = 23 11 73 1195 22 = 1160 22 = 1138 = 9385 = 52 11 11
Simplificando:
Dividiendo por -11:
Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales:
Resolviendo para :
Luego, la fracción buscada es:
Comprobando:
UNIDAD 3: LGEBRA
201
Para resolver este tipo de problemas empleamos el método de reducción. SISTEMAS DE ECUACIONES
Método de Reducción
Al momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando este método, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Multiplicamos cada ecuación por aquellos coeficientes o números que nos permitan, en ambas ecuaciones, obtener coeficientes iguales de alguna de las variables involucradas. 2. Sumamos o restamos las ecuaciones para simplificar una variable, con esto logramos una ecuación en una variable. Arquimides, considerado uno
de los más grandes pensadores de la antigüedad. Se cuenta que el rey Herón sospechaba que un joyero
había
adulterado
la
corona de oro puro que le había encargado a fabricar, y le pidió a Arquímides que confirmara o desechara su teoría. Un día, mientras
tomaba
un
baño,
3. Resolvemos la ecuación que resulta luego de simplificar una variable. 4. El valor obtenido de la ecuación anterior, es sustituido en cualquiera de las ecuaciones del primer paso, de este modo calculamos el valor de la otra variable. 5. Comprobamos, reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones originales.
Arquímides pensó que el agua que se desbordaba en la tina, tenía que ser igual al volumen de
su
cuerpo
que
estaba
sumergido, y salió desnudo por las calles de Siracusa (Sicilia) gritando “¡Eureka, Eureka!” (¡Lo
encontré!). Basándose en esta idea
pudo
determinar
el
Problema 12: Dados dos materiales diferentes con iguales volúmenes, obtendremos en general pesos diferentes. El peso depende del material utilizado, en esto consiste el peso específico o densidad de un determinado material, se expresa en . Por ejemplo si un bloque de vidrio pesa 10 kilos, el mismo volumen de agua pesa 3 kilos, entonces la densidad del vidrio en relación al agua es de 10/3, aproximadamente 3,33.
/
volumen de la corona. De esta forma pudo comprobar que la corona tenía un volumen mayor que el de un objeto de oro del mismo peso, y por consiguiente la corona no era de oro puro
La suma de las densidades del acero y del oro es de 27,08. La densidad del oro es mayor que la del acero, pero si restamos 5,72 a la densidad del oro y le sumamos 5,72 a la del acero, obtenemos dos cantidades iguales. ¿Cuál es la densidad de cada material?
UNIDAD 3: LGEBRA
202
5,72==27,5,08 72 = 27,08 5,72 = 27,085,72 2 = 27,085,725,72 = 38,52 : 19,26 = 27,08 = 7,82 5,72==19,19,267, 8 2 = 27, 0 8 2 65, 7 2 = 13, 5 4 5,72 = 7,825,72 = 13,54
Solución: Llamemos a la densidad del oro y a la densidad del acero. Luego, planteamos el siguiente sistema de ecuaciones: SISTEMAS DE ECUACIONES
Despejando de la primera ecuación:
Sustituyendo en la segunda ecuación:
Resulta una ecuación en la variable , la cual procedemos a resolver:
Diviendo por 2 para despejar
=19,26
Ahora sustituyendo el valor de , en cualquiera de las dos ecuaciones originales, en nuestro caso la primera:
Se obtiene el valor de
.
Comprobando:
Por lo tanto se satisfacen ambas ecuaciones.
A continuación se detalla el procedimiento utilizado para resolver el sistema precedente.
UNIDAD 3: LGEBRA
203
Método de sustitución
SISTEMAS DE ECUACIONES
Al momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando este método, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Despejamos una variable en alguna de las ecuaciones del sistema (cualquiera). 2. Sustituimos la variable del punto anterior, en la otra ecuación del sistema. 3. Resolvemos la ecuación que resulta luego realizar la sustitución. 4. El valor obtenido de la ecuación anterior, es sustituido en cualquiera de las ecuaciones del primer paso, de este modo calculamos el valor de la otra variable. 5. Comprobamos, reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones originales.
Ejercicios y Problemas Propuestos
1.
Resuelva los siguientes sistemas de ecuación:
= 4 {24 = 42 {5=315=306 = 32 53 5 = 10
2 4 {812 34==7 21 1 ==21 8 4
2. En un monedero hay un total de $ 8.500 distribuidos en 33 monedas de dos tipos, unas de $ 100 Y el resto de $ 500. De acuerdo a estos datos Pilar y Mario escribieron dos sistemas de ecuaciones diferentes.
UNIDAD 3: LGEBRA
204
Según el contexto de la situación inicial ¿Qué representa e en cada caso? SISTEMAS DE ECUACIONES
Pilar:
Mario:
= 33 100 500 = 8.500 = 8500= 33
3. Plantea un sistema de ecuaciones y luego resuélvelo para dar respuesta a los siguientes problemas: i. Un atleta se entrena nadando en un río. Primero nada contra la corriente y demora 30 minutos en recorrer 2000 metros. Luego, nada a favor de la corriente y demora 15 minutos en recorrer la misma distancia. ¿Cuál es la velocidad del nadador respecto del río? ¿y la velocidad del río respecto de la orilla? ii. El gerente de Starbucks decide experimentar con una nueva mezcla de café. Mezclará algo de café colombiano grado B que se vende $ 475 el kg con algo de café de Arabia de grado A que se vende en $1200 el kg, para obtener 50 kg de la nueva mezcla. El precio de venta de la nueva mezcla debe ser $790 por kg y no debe haber diferencia en la ganancia por vender la nueva mezcla comparada con vender otros tipos. ¿Cuántas libras de café grado B colombiano y grado A de Arabia y se requiere? iii. Dos ciudades están conectadas por una carretera. Un auto sale de la ciudad B a las 1:00 pm y avanza a una rapidez constante de 40 mi/h hacia la ciudad C. treinta minutos después, otro auto sale de la ciudad B y avanza hacia C a una velocidad constante de 55 mi/h. Si no consideramos las longitudes de los autos ¿A qué hora el segundo auto alcanzará al primero? iv. Dos guardias de una empresa tienen radios de comunicación con un alcance máximo de 3 km. Uno de ellos sale de cierto punto a la 1:00 y camina al norte a razón de 6,4 km/h. El otro sale del mismo punto a las 1:15 y camina al sur a 9,6 km/h. ¿Desde qué hora no podrán comunicarse entre sí?
UNIDAD 3: LGEBRA
SISTEMAS DE ECUACIONES
205
v. Una compañía médica produce dos tipos de válvulas para el corazón; la estándar y la de lujo. Para hacer una válvula estándar son necesarios 5 minutos en el torno y 10 en la prensa taladradora, mientras que para la válvula de lujo son necesarios 9 minutos en el torno y 15 en la prensa. Cierto día el torno está disponible 4 horas y la prensa 7. Si utilizan las máquinas en forma continuada ¿Cuántas válvulas de cada tipo se fabrican? vi. Tres tubos de ensayo contienen diferentes niveles de líquido. Para que tuvieran el mismo nivel, se hicieron tres transferencias de líquidos, así, del primero se vació en el segundo, de lo que quedó en el
segundo se vació al tercero, y lo que quedó en el tercero se vació al primero. Después de lo anterior, cada tubo quedó con 9 ml ¿cuántos ml tenía cada tubo inicialmente?
UNIDAD 3: LGEBRA
206
Ecuación de Segundo Grado
ECUACIÓN DE La ecuación general de segundo grado tiene la forma: SEGUNDO GRADO
Con
,, ∈ ℝ ≠ 0 ,
.
= 0
Para resolverla realizaremos completación de cuadrados:
= 0 = = ≠ 0: = (2 ) = (2 ) ( 2) = (2) = 4 ( 2) = 4 4 4 √ 2 = ± 4 = ± 2 4
Dejando el coeficiente numérico al lado derecho de la igualdad:
Factorizando por al lado izquierdo:
Recordemos que:
( 2 ) = 2(2 ) (2 )
Dividiendo por
Sumando a ambos lados izquierda:
, para completar un cuadrado de binomio a la
Formando el cuadrado de binomio a la izquierda:
Sumando los términos numéricos a la derecha:
Aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad:
UNIDAD 3: LGEBRA
207
±−
El símbolo aparece debido a que el cuadrado de ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO resulta ser
, por lo tanto:
− − o de
,
= ± √ − √ 4 ±√ = 2 ± 2 = 2 4 = ±√2 4 ±
Dejando la variable a la izquierda, se obtiene:
Finalmente la solución general de la ecuación de segundo grado, puede escribirse como:
Observemos que el símbolo significa que en la fórmula anterior se puede realizar la suma como la diferencia, y por lo tanto habrá dos soluciones para la ecuación general, a saber:
√ 4 √ = 2 ; = 2 4 = 0 = 0 ∆4,
Cuando el coeficiente es cero, la ecuación cuadrática desaparece, y por tanto la aplicación de la fórmula anteriro no tiene sentido. Con , la ecuación resulta: , la cual es de primer grado y ya sabemos resolverla. Por otra parte la cantidad subradical recibe el nombre de discriminante y se representa por el símbolo . Dependiendo de los valores de y el discriminante puede ser negativo, en tal caso diremos que la ecuación no tiene solución real.
,
UNIDAD 3: LGEBRA
208
Ejemplo:
9 6 1 = 0 6 1 = 0 9 9 = 6 = 1
ECUACIÓN DE Resolver la ecuación: SEGUNDO GRADO
Solución:
=
De la ecuación , podemos distinguir los coeficientes: , , , así al reemplazar en la fórmula que resuelve la ecución general, obtenemos:
= ±√2 4 = 6± 2∙96 4∙9∙1 = 6 ±√ 183636 = 186 = 13 = 1 = 0 1 = 0 = 1 = 1 = 1 = ±√2 4 = 1± 2∙11 4∙1∙1 = 1 ±√ 21 4 = 1 ±√ 2 3 1 = 0 ∆= 3 < 0 Realizando los cálculos aritméticos:
De aquí que la única solución es el discriminante es cero.
. Observemos que esto ocurre cuando
Ejemplo:
Resolver la ecuación: Solución:
De la ecuación , podemos distinguir los coeficientes: , , , así al reemplazar en la fórmula que resuelve la ecución general, obtenemos:
Realizando los cálculos aritméticos:
De aquí deducimos que la ecuación puesto que .
, no tiene solución real,
UNIDAD 3: LGEBRA
209
Ejemplo:
3 2 = 0 3 2 = 0 = 1 = 3 = 2 = ±√2 4 = 3± 2∙13 4∙1∙2 = 9 ± √ 29 8 = 9 ±2√ 1 = 9 ±12 1 = 0 ∆= + 1 > 0 − = = = 5; = = = 4 = 5 = 4
ECUACIÓN DE Resolver la ecuación: SEGUNDO GRADO
Solución:
De la ecuación
, podemos distinguir los coeficientes:
, , , así al reemplazar en la fórmula que resuelve la ecución general, obtenemos:
Realizando los cálculos aritméticos:
De aquí deducimos que la ecuación , tiene dos soluciones reales, puesto que , a saber las soluciones son:
Finalmente, las soluciones son
y
.
Problemas Resueltos
1. Un obrero debe delimitar un terreno rectangular con 200 metros de cerca. Calcula las dimensiones del terreno, si su área debe ser de 2176 m 2 y hay que utilizar todos los metros de cerca disponibles. Solución: Identificamos la información: -
El terreno es rectangular. Se disponde de 200 metros para cercar terreno. El área del terreno debe ser 2176 m2.
Estableciendo una estrategia de resolución:
UNIDAD 3: LGEBRA
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
210
Se definen las incógnitas correspondientes a los lados del rectángulo. Luego, considerando el perímetro del rectángulo, se escribe algebraicamente un lado del rectángulo en términos del otro. Con ambos lados del rectángulo, se escribe la expresión algebraica correspondiente a su área y se iguala a 2176 m2, que es el área que exige el problema. Finalmente se resuelve la ecuación de segundo grado planteada. Resolviendo el problema:
Sea la medida en metros del ancho del rectángulo e la medida en metros del largo del rectángulo, como se muestra en la figura 1.
Se dispone de 200 metros para cercar el terreno, entonces 200 m es el perímetro del rectángulo. Luego, se escribe la ecuación correspondiente al perímetro y se despeja una de las dos incógnitas:
22 22 == 200200 /:2 ==100100 1 Con el resultado de la ecuación (1), se escribe el largo y ancho del rectángulo utilizando una sola variable, como se muestra en la figura 2.
UNIDAD 3: LGEBRA
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
211
Se sabe que el área del terreno rectangular debe ser 2176 m 2 y el área de un rectángulo se calcula multiplicando las medidas de su largo y ancho, entonces, la ecuación correspondentiente al área del rectángulo de la figura 2 es:
⏟ ∙ 1 00 = 2176 100 = 2176
Ahora debemos resolver la ecuación anterior
Al multiplicar las expresiones algebraicas obtenemos una incógnica al cuadrado, por lo tanto se trata de una ecuación de segundo grado. Para resolver esta ecuación, es necesario igualar a cero e identificar los parámetros y de una ecuación cuadrátrica, obteniendo:
,
En este caso
100 2176 = 0 = 1 = 100 == −±√ 2176− 100 100 4∙1∙2176 = 2∙1 8704 = 100 100√ 1296√ 100002 10036 = 2 = 2 = 68 100 100 4∙1∙2176 = 100 √ 100002∙1 8704 = 100 √ 1296 2 10036 = 2 = 2 = 32 ,
y
reemplazan en la fórmula cuadrática
. Luego, estos números se , de donde obtenemos:
UNIDAD 3: LGEBRA
x x
Finalmente se reemplaza y en la ecuación (1) para calcular, en cada caso, la medida del largo del rectángulo. Si el ancho mide 68 m, el largo será 32 m, mientras que si el ancho es 32 m, el largo será 68 m. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Luego, las medidas de los lados del terreno rectangular deben ser 68 y 32 metros.
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix.
94 118 1045==00 2812 57454018==00 25 3 +40 ==10 − − = ++ √ 2=4√ −+ 2 = 0
2. La suma de los cuadrados de dos números es igual a 157. El menor de ellos es igual a 6. ¿Cuál es el mayor? 3. Encuentra dos números cuya suma sea -2 y cuyo producto sea -48. 4. El papá de mi amigo vivió muchos años. Poco antes de morir, me dijo: “Soy un hombre afortunado pues he logrado conocer tantos nietos que el
número de ellos multiplicado por la cuarta parte del mismo número es igual a 256. Además, mi edad es ya el triple del número de nietos que tengo”.
¿Cuántos nietos y qué edad tenía en ese momento?
5. A la hora del almuerzo, un profesor repartió entre sus alumnos los fondos que había reunido durante el año, que ascendían a $200, asignando a cada uno cierta cantidad. Antes de terminar la repartición llegaron 5 alumnos más, por lo que repartió nuevamente, tocando a cada uno $2 menos que en la primera repartición. ¿Cuántos alumnos eran inicialmente?
212
UNIDAD 3: LGEBRA
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
213
6. Una panadería reparte 120 piezas de pan que sobraron el día anterior entre cierto número de personas, y a cada una le toca una cantidad igual. Al ver la reacción de las familias del poblado, el dueño decide repartir al día siguiente igual número de piezas de pan, sólo esta vez llegan 4 personas más y a todas las personas les tocan 5 piezas menos. ¿Cuántas personas llegaron cada día? 7. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal es 4 unidades mayor que cualquiera de los lados. 8. Un vendedor de frutas compró un cierto número de racimos de plátano por $400. Cinco racimos estaban muy maduros y no pudo venderlos, así que aumentó $10 al precio de cada uno de los racimos sobrantes, y al venderlas todas obtuvo una ganancia de $50. ¿Cuántos racimos compró inicialmente? 9. Los antiguos griegos consideraban que los rectángulos más bellos eran aquellos a los que si se les quita un cuadrado de lado igual a su lado menor, las razones de los lados originales y los nuevos lados son iguales, es decir, si uno de dichos rectángulos tiene lado largo a y lado corto b y se le quita un cuadrado de lado b, el rectángulo tiene un lado b y un lado a-b. En consecuencia, si , decimos que el rectángulo es un rectángulo de oro y la razón de sus lados se llama razón de oro. ¿Cuánto vale la razón de oro?
= − =
10. El área de un triángulo rectángulo mide 24 metros cuadrados, y la hipotenusa mide 10 metros. Calcula las longitudes de los catetos. 11. Los catetos de un triángulo miden x y 2x-10. La hipotenusa mide 2x-1. ¿Cuánto mide cada cateto y cuánto mide la hipotenusa del triángulo? 12. Un terreno de forma de triángulo rectángulo tiene las siguientes dimensiones: uno de los lados mide 144 metros y la hipotenusa es 9 metros más 8 veces el otro lado. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?, ¿Qué área tiene? 13. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 390 metros. La altura sobre la hipotenusa mide 60 metros. Calcula las longitudes de los lados del triángulo.
UNIDAD 3: LGEBRA
214
Intervalos
INTERVALOS
<≤ ∈ ℝ ∈ ℝ . < , = ∈ ℝ: < < }
Para definir un intervalo utilizaremos la notación de conjuntos y las relaciones de orden ó . Recordemos que un número será menor que un número real , cuando la diferencia , sea un número real positivo. Además diremos que es menor o igual a si y sólo si es menor a o bien es igual a i. Si
, definimos el conjunto:
Se llamará conjunto abierto y geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:
ii. Si
<
, y ambos son incluidos en el conjunto, definimos:
[, ] = ∈ ℝ: ≤ ≤ }
Se llamará conjunto cerrado y geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:
iii. Si
<
, y es incuido en el conjunto, definimos:
[, = ∈ ℝ: ≤ < }
Se llamará conjunto semi-abierto representaremos de la siguiente forma:
y
geométricamente
lo
UNIDAD 3: LGEBRA
215
iv. Si
INTERVALOS
<
, y es incluido en el conjunto, definimos:
, ] = ∈ ℝ: < ≤ }
También se llamará conjunto semi-abierto y geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:
v. Si
∈ℝ
, se define el conjunto:
∞, = ∈ ℝ: < }
,
Conjunto formado por todos los números reales menores que geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:
vi. Si se incluye en el conjunto, se define:
∞,] = ∈ ℝ: ≤ }
,
Conjunto formado por todos los números reales menores o iguales que geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:
vii. Si
∈ℝ
,
, se define el conjunto:
,∞ = ∈ ℝ: > }
Conjunto formado por todos los números reales mayores que geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:
UNIDAD 3: LGEBRA
216
viii. Si
∈ℝ
, se define el conjunto:
[,∞ = ∈ ℝ: ≥ }
DESIGUALDADES
,
Conjunto formado por todos los números reales mayores o iguales que geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:
Inecuaciones Lineales
<,>,≤,≥
Una expresión que contenga los símbolos se llama desigualdad. Una desigualdad expresa el orden relativo de dos expresiones matemáticas. Las expresiones pueden ser numéricas o algebraicas. Las siguientes son desigualdades:
13 16< 7≥ 9 2 < 52
Si tenemos una desigualdad, el conjunto solución de esta, es un conjunto de números, cada elemento de los cuales, cuando es reemplazado en cada aparición de la variable, resulta una desigualdad verdadera. La gráfica del conjunto solución de una desigualdad se ubica en la recta numérica.
>3
El conjunto solución de , es el conjunto de números reales que son mayores que 3, sin embargo, el 3 no está incluido en el conjunto solución, en la gráfica el círculo blanco simboliza esta situación.
<3
El conjunto solución de , es el conjunto de números reales que son menores que 3, sin embargo, el 3 no está incluido en el conjunto solución, en la gráfica el círculo blanco simboliza esta situación.
UNIDAD 3: LGEBRA
DESIGUALDADES
217
≤3
El conjunto solución de , es el conjunto de números reales que son menores o iguales que 3, en este caso el 3 si está incluido en el conjunto solución, en la gráfica el paréntesis cuadrado simboliza esta situación:
≥3
El conjunto solución de , es el conjunto de números reales que son mayores o iguales que 3, en este caso el 3 si está incluido en el conjunto solución, en la gráfica el círculo redondo simboliza esta situación.
3 > 7 = 5,9, 53 > 7 93 > 7 193 3 > 7 = 4, , 4 33 > 7 23 3 > 7 43 > 7 3 > 7
Consideremos la desigualdad: , luego podemos verificar que para los valores de , la desigualdad es verdadera:
Por otra parte, se verifica que para los valores de es falsa:
, la desigualdad
Para la desigualdad hay muchos valores para los cuales es verdadera, en efecto el conjunto solución que la hace verdadera es cualquier número mayor que 4.
UNIDAD 3: LGEBRA
218
Propiedad aditiva de las desigualdades
DESIGUALDADES
El mismo número se puede sumar a ambos lados de una desigualdad sin alterar el conjunto solución de esta:
<> ,, < > ≤≥ ≤≥ ,, ≤ ≥ 7>4 73 > 4310 > 7
Para el caso de los símbolos y , la propiedad es equivalente:
Ejemplo: Si comenzamos con una desigualdad verdadera , utilizando la propiedad aditiva de las desigualdades y sumando 3 a ambos lados, obtenemos: , simplificando ambas sumas, logramos una nueva desigualdad verdadera: . En el siguiente ejemplo, realizaremos el mismo análisis pero con números negativos.
9 < 1
Ejemplo: Comencemos con la desigualdad verdadera , utilizando nuevamente la propiedad aditiva de las desigualdades y sumando 2 a ambos lados, obtenemos: , simplificando ambas sumas, logramos una nueva desigualdad verdadera: -
92 < 127 < 1
Problemas Resueltos
1. Resuelve y grafica la desigualdad: Solucion:
5 6 ≤ 4 4
5 4 6 ≤ 4 4 4
Como podrás observar en la desigualdad anterior, en ambos lados de la desigualdad aparece la varialble , nuestro primer objetivo es dejar la aparición de la variable a la izquierda de la desigualdad, para esto sumamos a ambos lados:
4
UNIDAD 3: LGEBRA
219
Simplificando:
6 ≤ 4
DESIGUALDADES
Nuestro segundo objetivo será dejar la variable sola a la izquierda de la desigualdad, para esto sumamos 6 a ambos lados:
Simplificando se obtiene:
66 ≤ 46 ≤2 5 6 ≤ 4 4
Así el conjunto solución de la desigualdad números menores o iguales a 2, gráficamente:
, es el conjunto de
Propiedad multiplicativa de las desigualdades
El mismo número positivo se puede multiplicar a ambos lados de una desigualdad sin alterar el conjunto solución de esta:
Recuerda que si multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por un número positivo, la desigualdad no se altera.
En
multiplicas
cambio
si
o divides ambos
lados de una desigualdad por un
número
negativo,
desigualdad se invierte.
la
<> ,, ∙ < ∙ ∙ > ∙ ≤≥ ≤≥ ,, ∙ ≤ ∙ ∙ ≥ ∙
Para el caso de los símbolos y , la propiedad es equivalente:
Sin embargo, si una desigualdad es multiplicada a ambos lados por un mismo número negativo, se invierte el orden de esta, sin modificar el conjunto solución de esta:
<> ,, ∙ > ∙ ∙ > ∙
UNIDAD 3: LGEBRA
220
≤≥ ≤≥ ,, ∙ ≥ ∙ ∙ ≤ ∙ ≤ 6 32 ≤ 6 ↔ ( 23)∙ ( 32)∙ ≥ ( 23)∙6 ≥ 4
Para el caso de los símbolos y , la propiedad es equivalente:
DESIGUALDADES
Ejemplo: Resuelve la desigualdad:
Al considerar la desigualdad anterior, debemos multiplicar a ambos lados por el recírpoco de , que corresponde al número , luego: Recuerda: Al resolver una
desigualdad, debes operar de la misma forma que al resolver excepto multiplicas
una que o
ecuación, cuando divides
la
desigualdad por un número
Obsrevar que la desigualdad anterior se invierte ya que se ha multilicado por un número negativo, de aquí resulta:
negativo, debes invertir el
símbolo de la desigualdad.
El conjunto solución está formado por todos los números mayores o iguales a -4. La gráfica resulta ser:
Ejemplo: Resuelve la desigualdad:
≤
58 ≤ 125 ↔ ( 85)∙ ( 58)∙ ≥ ( 85)∙(12 5 )
Al considerar la desigualdad anterior debemos multiplicar a ambos lados por el recíproco de , que corresponde al número , luego:
UNIDAD 3: LGEBRA
DESIGUALDADES
221
Observar que la desigualdad anterior se invierte ya que se ha multiplicado por un número negativo, de aquí resulta:
≥ 23
El conjunto solución está formado por todos los números mayores o iguales a . Problemas Resueltos
1. Hace 10 años un hombre tenía 10 veces la edad de su hijo. Si actualmente la suma de la edad del padre más el doble de la del hijo es menor o igual que 60. ¿Qué edad puede alcanzar el padre? Solución:
10 10 = 10 2 2 ≤ 60
Sea la edad del hombre y sea la edad de su hijo en la actualidad. La edad del hombre hace 10 años corresponde a , además en ese momento el hombre tenía 10 veces la edad de su hijo, por lo tanto si la edad del hijo es amplificada por 10 se obtiene la edad del padre en ese momento, esto es:
Además, actualmente sumar la edad del padre más el doble de la edad de su hijo, se puede expresar como: , y para que esta sema sea menor o igual que 60, se plantea la desigualdad:
10
Para resolver esta desigualdad haremos uso de la primera ecuación , donde si se divide por 5 se obtiene la ecuación equivalente: entonces reemplazando en la desigualdad:
105 ≤ 60
102 == −
,
UNIDAD 3: LGEBRA
222
Luego:
DESIGUALDADES
Simplificando:
Sumando 2 a ambos lados:
5 105 ≤ 60 2 ≤ 60 5 22 ≤ 602 65 ≤ 62
Simplificando números y expresiones algebraicas:
Multiplicando por 5 y dividiendo por 6, ambos positivos, se obtiene:
Simplificando:
Finalmente
≤ ≈ 51,6̅
65 ∙ 56 ≤ 62∙ 56 ≤ 62∙ 56
, luego el padre puede tiene a lo más 51 años.
2. Paula tiene $150 más que María, y Juan tiene $100 más que el triple que lo que tiene María, si el dinero de Paula y María juntos no exceden lo que tiene Juan. ¿Cuánto puede tener María si se sabe que tiene menos de $80? Solución: Tenemos 3 personajes: Paula, María y Juan, que denotaremos con las letras P, M y J, entonces:
UNIDAD 3: LGEBRA
223
= 150 3 3 = 3 100
Paula tiene $150 más que maría, es decir a María le faltan $150 para igualar a Paula, en símbolos:
DESIGUALDADES
Juan tiene $100 más que el triple que lo que tiene María. Si el triple que lo que tiene María se simboliza por , entonces a le sumamos 100 para obtener , en símbolos:
< < 80 = 150 = 3 100 < 150 < 3 100 1502 < 3 100 150 1502 < 3 100 150 2 < 3 50 3 2 3 < 3 3 50 < 50 ∙1 > 50∙1 > 50 < 80 El dinero de Paula y María juntos no exceden lo que tiene Juan, en símbolos:
Se sabe que María tiene menos de $80, en símbolos:
Ahora procedemos a ordenar la información anterior reemplazando y en la desigualdad , entonces:
Simplificando, obtenemos:
Restando 150 a ambos lados:
Obtenemos:
Ahora restamos
a ambos lados:
Simplificando:
Multiplicando ambos lados de la desigualdad por -1, e invirtiendo la desigualdad:
Finalmente , pero sabemos por enunciado que María puede tener entre $50 y $80.
, entonces
UNIDAD 3: LGEBRA
DESIGUALDADES
224
3. Un servicio de lavado de automóviles ofrece lavado, aspirado y encerado a un valor de $ 7.000 por vehículo. Si en materia prima y mano de obra se gasta $2.500 por vehículo y además hay costos fijos mensuales de $100.000, ¿Cuál es la menor cantidad de automóviles que hay que lavar para obtener al menos $500.000 de ganancia mensual? Solución: Identificando la información: -
Lavado de un automóvil: $ 7.000 Costo por vehículo: $ 2.500 Costo fijo mensual: $ 100.000 Obtener al menos $ 500.000 de ganancia mensual
Establecemos una estrategia de resolución Se define la incógnita número de vehículos lavados mensualmente. Luego, se escribe algebraicamente el ingreso, el costo mensual y la ganancia en términos de la incógnita definida. Finalmente, considerando que la ganancia mensual debe ser al menos $500.000 se escribe la inecuación entre la ganancia mensual escrita algrebraicamente y el mínimo requerido. Resolviendo el problema:
Sea la cantidad de vehículos lavados mensualmente. La expresión algebraica correspondiente al ingreso mensual por los vehículos lavados es
7.000∙ 2.500∙x100.000 7.000∙ 2.500∙ 100.000 7.000∙ 2.500∙ 100.000 4.500∙ 100.000
Mientras que el costo mensual queda expresado como
Por lo tanto, la ganancia, que corresponde a la diferencia entre el ingreso y el costo, queda expresada de la siguiente manera
UNIDAD 3: LGEBRA
SISTEMAS DE INECUACIONES
225
Además se sabe que la ganancia mensual debe ser al menos $500.000, esto significa que debe ser mayor o igual a $500.000, luego la inecuación que representa esta situación es
4.500∙ 100.000 ≥ 500.000 4.500∙9∙100.200000 ≥≥ 500.1.000000 // ÷500 200 9∙ ≥≥ 1.133,200333…/ ÷9
Ahora debemos resolver la inecuación
Como corresponde a cantidad de vehículos, puede tomar solo valores enteros positivos y el cero, luego si la solución de la inecuación indica que debe ser mayor o igual a 133,33… el menor entero que cumple con tal
condición es 134.
Finalmente, para obtener una ganancia de al menos $500.000 se deben lavar por lo menos 134 vehículos al mes. Sistemas de Inecuaciones
Una aplicación interesante a la resolución de inecuaciones, es la resolución de sistemas de inecuaciones, para esto podemos resolver dos tipos de inecuaciones. El siguiente problema se resuelve planteando un sistema formado por una ecuación y una inecuación, en ejemplos precedentes se puede observar un planteamiento muy similar, sin embargo, la técnica de resolución del sistema no fue exhaustiva, más bien el problema se tradujo en resolver una inecuación, dado que este era el objetivo planteado. En el siguiente problema presentamos un desarrollo completo y exhaustivo.
UNIDAD 3: LGEBRA
226
Sistema formado por una ecuación y una desigualdad
SISTEMAS DE Las dimensiones de un rectángulo son números enteros. Los lados satisfacen INECUACIONES las siguientes condiciones: el triple del largo más el doble del ancho es mayor que 8 metros. El doble del largo más el triple del ancho es igual a 9 metros. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo?
Solución: Llamemos x el largo e y el ancho del rectángulo:
En lenguaje algebraico, el problema se traduce en resolver el siguiente sistema:
32 23 >= 89
Despejaremos ambas variables de la desigualdad.
Primero procederemos por sustitución en la variable , para esto multiplicamos por 3 la desigualdad, y por 2 la igualdad, el sistema queda de la siguiente forma:
94 66 >= 2418 6 6 = 184
Con esto los coeficientes de la variable coinciden en la desigualdad y en la ecuación, despejamos en la ecuación, donde obtenemos:
UNIDAD 3: LGEBRA
227
6 9 6 > 24 ↔ 9 184 > 24 9 4 > 2418 5 > 6 > 65
Luego procedemos a sustituir SISTEMAS DE INECUACIONES
Reordenando:
Por lo tanto:
Así:
en la desigualdad:
Ahora procederemos por sustitución en la variable , para esto multiplicaremos por 2 la desigualdad y por 3 la igualdad, el sistema queda de la siguiente forma:
66 49 >= 1627 6 6 = 279 6 6 4 > 16 ↔ 279 4 > 16 9 4 > 1627 5 > 11
Con esto los coeficientes de la variable coinciden en la desigualdad y en la ecuación, despejamos en la ecuación, donde obtenemos:
Luego, sustituimos
Reordenando:
Por lo tanto:
en la desigualdad original:
UNIDAD 3: LGEBRA
228
Multiplicando a ambos lados de la inecuación anterior por -1, e invirtiendo el orden de la desigualdad: SISTEMAS DE INECUACIONES Así:
5 < 11 < 151 = 1,2 = 2,2 = 1 ó = 2 =1 2 3∙1 = 9 = 9 32 = 62 = 3 = 3 =1 =2 2 3∙2 = 9 = 962 = 32 = 1,5
Con esto es un entero positivo mayor que
, es decir mayor o igual a
2, e es un entero positivo menor que Ahora si tomamos
, es decir
.
y lo sustituimos en la ecuación original, se obtiene:
De donde:
Por lo tanto e , es solución del sistema. Observemos que 3 es mayor que 1, por tanto el valor de satisface tanto la ecuación como la inecuación. Por otra parte, si tomamos obtiene:
y lo sustituimos en la ecuación original, se
De donde:
Sin embargo 1,5 no es un número entero, por tanto desechamos esta sol ución del sistema. Luego, la única posibilidad es:
=3 =1 e
.
UNIDAD 3: LGEBRA
229
Valorizamos el sistema para comprobar la correctitud de nuestra solución:
3223= 3∙= 2∙32∙ 1 = 11 > 8 33∙1 = 9
SISTEMAS DE INECUACIONES
Ejemplo: Resolver el sistema:
Solución:
5 26=>66
Multiplicamos la igualdad por 3, obteniendo:
53 66=>186
Observemos que en el sistema anterior una alternativa de solución es sumar a ambos lados de la desigualdad la igualdad obtenida, lo cual es equivalente a la resolución de un sistema por reducción, de esta forma, el sistema la desigualdad del sistema anterior es equivalente a:
De donde obtenemos:
Dividiendo por 3:
5 63 6 > 618 8 > 24 >3
Repitiendo el mismo procedimiento, multiplicamos la igualdad por -5, obteniendo:
5 6 > 6 5 10 = 30
UNIDAD 3: LGEBRA
230
Sumando a ambos lados de la desigualdad logramos:
16 > 24 > 1624 = 32 > 3 >
SISTEMAS DE INECUACIONES
Dividiendo por -16 e invirtiendo la desigualdad:
Por lo tanto, las soluciones del sistema son:
,
.
Sistema formado por dos desigualdades Método Gráfico de un sistema de dos desigualdades
Un fabricante de relojes tiene costos fijos de $140 diarios más $72 por concepto de mano de obra y materiales por cada reloj fabricado. Si cada reloj se vende en $107, ¿Cuántos relojes debe producir y vender diariamente para que no haya pérdida ni ganancias? Solución:
= 72 140 = ↔ 107 = 72 140 107 = 72 140 =4
El costo total (CT) de producción de relojes, está dado por la ecuación:
Adicionalmente, puesto que cada reloj se vende en $107, los ingresos (I) correspondientes son: =107x
Para garantizar que no haya pérdida ni ganancias, el costo total y los ingresos deben ser iguales, es decir:
Resolviendo la ecuación:
Se tiene que su solución es:
UNIDAD 3: LGEBRA
SISTEMAS DE INECUACIONES
231
Por lo tanto se deben producir y vender al menos 4 televisores, para no tener pérdidas. Al dibujar las rectas que representan los costos totales e ingresos, observamos que se intersectan cuando ,
=4
=>1074
De la figura anterior, se observa que si costos de producción, es decir la recta , y por lo tanto hay ganancias.
72 140
=
, los ingresos superan a los , está sobre la recta:
= 72< 4 140 = 107 5 = 0 2 3 3 =
Por otra parte si decir la recta hay pérdidas.
, los costos de producción están sobre los ingresos, es , está sobre la recta , y por lo tanto
Ejemplo: Dibujar la región comprendida por aquellos puntos que se encuentran arriba de la recta y debajo de la recta . Escribir las desigualdades correspondientes.
0
Solución: Primero escribiremos las ecuaciones de la forma usual:
= 5
UNIDAD 3: LGEBRA
SISTEMAS DE INECUACIONES
232
= 23 1 = 5 > 5 = 1 < 23 1
Luego, los puntos que están arriba de la recta que satisfacen la desigualdad:
Y los que están por debajo de la recta satisfacen la desigualdad:
, son aquellos puntos
, son aquellos que
Entonces, la siguiente gráfica representa la región solicitada:
Ejemplo:
1 ≥ 0
Dibujar la región determinada por las desigualdades: . Solución:
Primero dibujaremos las rectas:
= 2 3 = 6 1
< 2 3 6 y
UNIDAD 3: LGEBRA
233
En un mismo sistema de coordenadas resulta: SISTEMAS DE INECUACIONES
2 3 ≥ 6 1 < 2 3 = 2 3 = 2 3
= = 6 1
Luego, identificamos la región que se encuentra debajo de la recta , es decir , sobre y encima de la recta es decir .
,
Observar que la recta no está en la región, pero los puntos de la recta si están en la región.
UNIDAD 3: LGEBRA
234
Ejercicios y Problemas Propuestos:
INECUACIONES
T h 1000100 580 1 h00 95 ≤ T ≤ 100 265
ℎ=
a) La temperatura (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación (en metros sobre el nivel del mar) por la ecuación para . ¿Cuál es el intervalo para la elevación ? b) Supóngase que los consumidores adquieren unidades de un artículo a un precio de (en miles de pesos) por unidad ¿Cuántas unidades se deben vender para obtener ingresos mayores a un millón de pesos? c) Un almacén que confecciona ropa deportiva vende cierta cantidad de poleras a $18.500 cada una. Si los costos fijos de producirlas son $100.000 a la semana y la mano de obra y material es $12.000 por poleras ¿Cuántas poleras se deben confeccionar para tener utilidades cada semana? d) La compañía A arrienda automóviles por $ 17.500 el día más $ 30 el km. La compañía B cobra $ 15.000 diarios más $38 el km. Se necesita arrendar un auto por 5 días. ¿En qué rango de km hay que permanecer para tener ventaja económica al arrendar uno de la compañía B?
e) ¿Para qué valores de el perímetro del rectángulo A es superior al del rectángulo B?
UNIDAD 3: LGEBRA
INECUACIONES
235
f) Una industria que confecciona camisetas estampadas emplea un servicio externo de estampado a un costo de $1.965 por camiseta. El dueño de la industria calcula que si ellos hacen ese trabajo, los costos por camiseta se reducen a $ 470, más un costo fijo de operación de $108.000 a la semana. ¿Cuántos estampados debe realizar la industria semanalmente para justificar la inversión en un equipo de estampación? g) Un estudiante tiene que rendir tres pruebas parciales, las notas en dos ellas fueron 4,5 y 5,0 y en tareas tiene un promedio de 4,7. Si las tareas ponderan un 10% y el promedio de las notas parciales un 90% ¿Qué nota como mínimo debe obtener en la última prueba para eximirse? (un estudiante se exime si tiene al menos un 5,0 de promedio) h) El costo de publicar cada ejemplar de un periódico es de $ 400. Los ingresos por ventas son de $ 350 por unidad y los ingresos por concepto de publicidad son el 20% de los ingresos obtenidos por las ventas que sobrepasen los 10.000 ejemplares. ¿Cuántos periódicos se debe vender para obtener utilidades superiores a $ 5.000.000? i) La desigualdad triangular es un teorema de geometría que establece que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. Según lo anterior ¿Para qué valores de se cumple la desigualdad triangular la figura?
28
6 40
UNIDAD 3: LGEBRA
236
Ejercicios y Problemas Propuestos
PROBLEMAS ÁLGEBRA
1. Para evitar los choques por alcance en caminos que están siendo reparados, donde se utiliza una pista para ambos sentidos, se recomienda ocupar la siguiente fórmula:
= 0,55∙
donde representa la distancia (metros) mínima entre dos vehículos y la velocidad (Km/h) que llevan los móviles. Si dos vehículos están a una distancia de 17,6 m ¿Cuál es la velocidad que deben llevar los vehículos para evitar un choque por alcance? 2. Una de las fórmulas utilizadas en el trabajo con gases es
∙ = ∙ ∙
Donde p: presión (MPa) ; v: volumen (litros) ; n: mol (moles) ; r = 0,82 (constante) ; t: temperatura (Kelvin). El CO2 contenido en un recipiente ocupa un volumen de un litro, a una temperatura de 290,15°K y 1,12 MPa de presión. Determine la cantidad de moles presentes de CO2? 3. Rodrigo tarda 4 horas y media en instalar un cierre centralizado con alza vidrios a un vehículo, mientras que Sergio realiza el mismo trabajo en 6 horas. Si ambos mecánicos trabajarán juntos en efectuar la instalación ¿Cuánto tiempo tardarían? 4. En una fábrica de automóviles se comprobó que para velocidades mayores a 10 km/h y menores que 150 km/h el rendimiento de bencina (km/l) está relacionada con la velocidad (km/h) mediante la ecuación ¿A qué velocidad el rendimiento del automóvil será 16 km/l?
0,002180
.
=
5. Un bus sale de Santiago a 95 km/h. Una hora más tarde, un automóvil sale a 120 km/h del mismo punto y realizando el mismo recorrido que el bus para intentar alcanzarlo. Si ambos vehículos realizan el viaje a una rapidez constante ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al bus? ¿A cuántos kilómetros están de Santiago cuando ambos vehículos se encuentran?
UNIDAD 3: LGEBRA
PROBLEMAS ÁLGEBRA
237
6. El sueldo de un mecánico depende de una parte fija y otra variable. La parte fija es de $320.450 y la parte variable corresponde a las horas extras trabajadas mensualmente. ¿Cuántas horas extras aproximadas debe realizar en un mes para obtener un sueldo entre $650.000 y 800.000, si el valor de la hora extra es de $5.800? 7. Una de las ecuaciones que se utiliza para estimar el endurecimiento de un metal es:
σ
= √
Dónde: : Dureza mínima (MPa); : constante del material; : diámetro de la partícula. Si se aplica un tratamiento térmico a la plancha de latón que tiene una dureza mínima 200 MPa ( σ0 ) , en donde el diámetro es de 0,01 mm y su constante es de 6,8 ¿Cuál es el valor de la nueva dureza?
= 3
8. La deflexión de una viga viene dado por la siguiente fórmula:
Dónde: : peso de la viga; : longitud de la viga ; : constante de la viga ¿Cuál es la expresión al despejar ? 9. Para construir un muro Jaime tarda 5 días, mientras que Luis lo realiza en 3 días trabajando en idénticas condiciones. Si los dos albañiles trabajan juntos en hacer el muro ¿Cuánto tiempo tardan en construirlo? 10. En una obra de construcción se tiene 258 metros de cerca para encerrar un terreno rectangular de 8100 m 2. Además el terreno, en uno de sus lados, estará cubierto por una cadena de cerros ¿Cuáles podrían ser sus dimensiones si se debe utilizar todos los metros de cerca disponibles?
dd
11. Se quiere taladrar tres agujeros de igual diámetro sobre una placa rectangular, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el diámetro del agujero y la distancia que los separa?
l
UNIDAD 3: LGEBRA
238
PROBLEMAS ÁLGEBRA
12. Para calcular el porcentaje de pendiente de un techo de un modelo de casa, se utiliza la siguiente fórmula :
L
= 10 5
Donde corresponde al largo del techo en metros. ¿Cuánto debe ser el largo del techo para tener una pendiente desde 10% a 25%? 13. Para obtener la cotización total a pagar de una empresa, se utiliza la siguiente fórmula
donde:
= 0,95%%∙
: Cotización total a pagar; : Cotización adicional diferenciada; Total de remuneraciones imponibles.
:
Determine la cotización total a pagar de una empresa que ha sufrido un alza en su cotización adicional diferenciada, correspondiente a un 2,55%, a causa de la gran cantidad de accidentes que ha sufrido este último tiempo, si el total de remuneraciones imponibles es de $65.000.000 y la cotización básica es de 0,95%. (Valor fijo establecido por ley 16744 “Constante”). 14. Para obtener la frecuencia de accidentabilidad se utiliza la siguiente expresión:
% = ∙ 100
donde: : Frecuencia de accidentabilidad; Número de trabajadores.
: Número de accidentes;
:
