Índice Unidad I
Capítulo 1
Teoría de exponentes I
4
Capítulo 2
Teoría de exponentes II
7
Capítulo 3
Notación P(x)
10
Capítulo 4
Grados y polinomios especiales
13
Capítulo 5
Repaso I
17
Capítulo 6
Productos Notables
21
Capítulo 7
División algebraica
25
Capítulo 8
Factorización I
29
Capítulo 9
Factorización II
32
Unidad II
Capítulo 10
Fracciones Algebraicas
36
Capítulo 11
Cantidades Imaginarias I
40
Capítulo 12
Cantidades Imaginarias II
43
Capítulo 13
Cantidades imaginarias III
46
Capítulo 14
Teoría de ecuaciones
50
Capítulo 15
Repaso II: Productos Notables y Factorización
54
Capítulo 16
Ecuaciones de segundo grado I
58
Capítulo 17
Ecuaciones de segundo grado II
62
Índice Unidad I
Capítulo 1
Teoría de exponentes I
4
Capítulo 2
Teoría de exponentes II
7
Capítulo 3
Notación P(x)
10
Capítulo 4
Grados y polinomios especiales
13
Capítulo 5
Repaso I
17
Capítulo 6
Productos Notables
21
Capítulo 7
División algebraica
25
Capítulo 8
Factorización I
29
Capítulo 9
Factorización II
32
Unidad II
Capítulo 10
Fracciones Algebraicas
36
Capítulo 11
Cantidades Imaginarias I
40
Capítulo 12
Cantidades Imaginarias II
43
Capítulo 13
Cantidades imaginarias III
46
Capítulo 14
Teoría de ecuaciones
50
Capítulo 15
Repaso II: Productos Notables y Factorización
54
Capítulo 16
Ecuaciones de segundo grado I
58
Capítulo 17
Ecuaciones de segundo grado II
62
Unidad III
Capítulo 18
Ecuaciones de segundo grado III – Planteo
66
Capítulo 19
Sistema de ecuaciones I
69
Capítulo 20
Sistema de ecuaciones II
73
Capítulo 21
Repaso III: Ecuaciones y sistemas
77
Capítulo 22
Inecuaciones I
82
Capítulo 23
Inecuaciones II
86
Capítulo 24
Funciones I
90
Capítulo 25
Funciones II
95
Unidad IV
Capítulo 26
Funciones III
99
Capítulo 27
Función cuadrática
103
Capítulo 28
Repaso IV: Ecuaciones de segundo grado
108
Capítulo 29
Progresiones I
112
Capítulo 30
Progresiones II
116
Capítulo 31
Logarítmos I
120
Capítulo 32
Logarítmos II
123
Capítulo 33
Logarítmos III
127
1
Capítulo
TEORÍA DE EXPONENTES I Problemas para la clase
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) I.
7. Determinar el equivalente reducido de J:
x − 1 = 1 ; 6x ! R x
II. xo = 1; 25
III. (x ) = x
3
J
IV. x − 1 = − x ;
6x ! R
+
b) FFFV
d) VFVF
e) VFFF 3
5
c) FFFF
7
S = x .x .x ; x ! 0 2. Simplicar: x6 .x8
c)
a) 1
b) x
d) x2
e) x3
−1
` 31j
a) 10
+
32
64
a) 3
b) 4
d) 2
e) 1
E
6 *
=
10
3*
5
b) 2
d) 4
e) –2
x
9. Calcule el valor de E: =
2
x+5
+
2
2
x+3
x
a) 36
b) 39
d) 42
e) 48
c) 12 10. Reducir: N =
e) 14
3
x
c) x2
b) x
3
e) x
6
11. Determine el exponente nal de "x" en la
a) x
b) x
d) x
3
e) 1
5
=
1 ( ) 5
2
−
−
a) 1
b) 3
d) 5
e) 6
4
c) x
1 ( ) 4
6. Simplicar la expresión T: 2 2
7
x .
10 2
(x )
6
5. Calcular: M
d) x
3 4
(x ) . (x )
c) 40
5 6
4
a) 1 4. Reducir: T =
c) 3
1
^− 5h0 + 23
26
c) 7
a) 1
E
b) 11
d) 13
3
8. Si a*b=a2+b2, calcule el valor de E:
a) FFVF
3. Efectuar:
9
6x ! R 5 2
5
125 +
=
a) x y
b) 1
d) xy
a) x y
2
5
siguiente expresión:
3
x .
a) 3/2
b) 1/3
d) 1/4
e) 5/6
x.
3
x
4
c) 1/2
2
−
12. Calcule:
c) 4
T=
(x2 y3) 5 . (xy )3
E
=
c) xy
2
1
−
−
a) 2
b) 3
d) 6
e) 12
x11y16 2
1 ` 36 j
4
−
2
13. Simplicar:
c) 5
3
75 .6 .2 2
100 .27
a) 5
b) 9
d) 15
e) 6
c) 4
Colegios
TRILCE 4
Central: 6198-100
Álgebra 14. Halle el exponente nal de x, luego de reducir la expresión:
x
3
2
4
6
^−2h
.x
a) 37
.x
−2
.x
^−1h
3
b) 51
d) 61
c) 58
e) 81 2x
–x
15. Calcule el valor de: x –x ; si se sabe que x x=3
d)
7 3
b)
a) 1 26 3
c)
J
=
;`
j
` j
` j
a) 59
b) 13
d) 15
e) 11
17. Reducir:
N
=
2 2
x+1
2
+
2
x−3
a) 16
b) 8
d) 2
e) 1
E
3
d)
a4 +
2
+
2
x−2
x− 1
c) 4
e)
5
x 1 5
c)
5
4
2 7
x81 ; x x3
2
0
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
=
x
x+x
c) 3
x+1
a) 3
b) 81
d) 9
e) 27
25. Luego de reducir:
c) 4
2
−1 n
2
d) 2n–1
2
a6 +
1 3
c)
x. x. x... (n: radicales)
Determine el exponente nal de n
b) 2n a)
n
n 2
x
n
c) 2 +1
2
2
7
2
b) a
a 4
1 3
6
x+ 3
+
a8 ; a 19. Simplicar: 7 6 15 a + a2 + a3
a)
d)
a)
e) a
5
c) 12
b) a
4
x .
b) − 2
5
d) a
5
2 5
N
= aa
a) 5
4
x
a
M
x .
24. Si: x =3, determine el valor de N:
18. Indique cuál es el exponente de a en la siguiente expresión:
4
a)
"x":
1
x+2
+
3
6
16. Calcula la suma de cifras de la expresión J: −
x .
23. Luego de reducir, indicar el exponente nal de
23 3
e) 0
1 −4 + 1 −3 + 1 2 3 4
22. Determine el exponente nal de x en:
8
2
0
c) a
e) 1
a
20. Dadas las igualdades: halle n–m
n
a) 48
b) 27
d) 0
e) 11 2
2
n
=9
3
y
m
m
=4
2
c) 16
2
21. Si se sabe que: a +b = c , halle el equivalente de: a)
c
2
ab
a
b b
x .
x
b
d) x
www.trilce.edu.pe
x
a
b) x e) x
c) x
a
c
Tercer año de secundaria 5
1
Capítulo
Practica en casa -1
1. Reducir: A = ` 1 j
(2012 +
+
5
o
2. Calcular: B = 2 3
(3 5 )
+
0
2013 )
o
+
+
81
o
1 / 4
o
(− 5 ) + ( − 2 )
9
4
2
3
3
6
14 .15 .30
9. Simplicar:
80 .35 .21
5
10. Simplicar:
x+1
5
−
5
x
x
o
3. Reducir:
E
1 ` 25 j
−
=
2
−
5
e
4. Calcular: A = x5 . (x2) 3 . (x 4) 2 12. Calcular: 5. Efectuar: E
( 4)
=
−
3
−
( 7) −
2
−
( 5) −
x
x
=
4
^x
7. Simplicar:
( 2)
x .x
−
2
o
x+2
−
3
2
13. Si x =2 , calcular
o ( 4)
.x
x
6 6
; x^0
^x2h 4 .x2 2 5
E=x
x
x+
m
2
−2
+
5
+
5
2 −2
m
m
15. Si 5 =3 y 2 =7 ; calcular
4ho
^ h ^ h ^x 8. Simplicar: x 4 x 3 11
1
−
14. Calcular:
2h3 4
4 3
.x
x
x
x+1 x +3 +3 x x−1 x−2 3 +3 +3
3
A=
x
6. Reducir: A
o
15 7 9 3 11. Reducir: E = x13 + x5 + x7 + x .x− 2 ; x ! 0
; x^0
10 21
x .x .x
Tú puedes 2
1. Calcular el exponente nal de x ; luego de 6 − 2 ^ − 3h2 j x x x `x reducir : 2
x
2 .
a) 8 d) –2
3
2
.x
.x
− 10
b) 3 e) 1,0
c) 4
Si x
=
b) 2 e) 5
c) 3
xx − z
n
n
Calcular a) d)
11 2
3 11
E
=
n
+
n n
2n
+
5n
3
+
1/ n
3
n
b) 11 2 11
b)
3
c)
3
k 2
c)
11 3
2
+
c) 729
1
d) e)
3
3
2
`32k2
−1
2 k −1 2
−
1 +
j
1
`32k2 1j
27
n+3
e)
=11 , calcular el valor de
Si x = 3 donde “k” es un número entero no negativo, entonces el valor de x + 4 x es
=3 n n +n
x+y
b) 216 e) 343
k 2
a) 3. Si
2y
5. UNMSM 2010 – II
4 , x − z = 1 ; hallar el valor de x 2
a) 1 d) 4
2x
Si 3 +3 =27 ; 3 x y3 K= (3 +3 ) a) 512 d) 125
2. UNMSM 2008 – II xx
4. UNMSM 2003
k 2
k 2
k 2
2
2 k −2 2
+
3
+
`32k2
2
2
+
−
`32k2
−1
2 +
+
1 +
j
1
j
1
Colegios
TRILCE 6
Central: 6198-100
Capítulo
2
TEORÍA DE EXPONENTES II Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) x–1
I. 5 II. 7
=5
.
.
x=1
=1
7. Si
x=2
III. 7x–1=9x–1
x=1
IV. 62–x=42–x
x=2
a) VVVV
b) VVVF
d) VVFF
e) FVFV
= 5
d) 4
e) 5
c) VFVF
c) 3
e) 10
8. Sea x>2, 3
c) 5
4. Calcular el valor de "x" en:
−
2 =
x
3
−
2n
.
c)
b) 1
2 5
e)
2 3
3 2
x
−
1 =
3
9 5
a) 8
b) 4
d) 11
e) 12
3n–9
a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
c) 12
5. Hallar el valor de x+y; si se cumple: y
x =27 ; y =256 a) 5
b) 6
d) 9
e) 11
c) 10
10. Resolver:
x+3
c) 7
6. Hallar el valor de "x" en:
6
= 27
n–3
a) 3
b) –2
d) –3
e) 0
c) 2
11. Hallar "x" en ^x 2h(x −
−
2)
=
3
81
a) 29
b) 10
d) 12
e) 13
c) 11
12. Si x es la solución de la ecuación:
73x–12 = 63x–12 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
www.trilce.edu.pe
n
x .x
a) –1
5
e) 9
x
d) 8
3
d) 7
=4
c) 6
9. Resolver: b) 3
8
b) 4
d)
x+2
a) 1
x–2
=3
a) 2
tal que:
3. Resolver: = 4
= 5 y b
b b
Determine el valor de "n" b) 2
2
a
E=a5+b3
x+4
a) 1
3x+1
a
a
Calcular el valor de
2. Resolver: 5
.
5
0
x–2
2x–1
.
c) 3
x+1 x–12 =0, –125
25
entonces la suma de los dígitos de "x" es: a) 15
b) 13
d) 12
e) 11
c) 17
Tercer año de secundaria 7
2
Capítulo
20. Halle"x" en:
4
13. Si
2
x−4+1
.4
2
=
8
x–3
3
Halle el valor de "x" a) 5
b) 1
d) 2
e) 3
+3
x–2
+3
c) –1
b) 2 e) 0 15
21. Si:
14. Halle el valor de "x ,
a) 5
3
3 x
6
.
x
7
8
−
n
7
−
7
4 −
c) 3
n
7
3
=
7
Hallar la suma de cifras de "n".
= 2433
b) 225
d) 625
=39
a) 1 d) 4
6"
si se sabe que
x–1
c) 125
e) 325 3
a) 1
b) 2
d) 8
e) 9
22. Si
x
6 x
=
2
2
c) 3
;
.
..
15. Si
x
Determine "x
x
3
6
9
Calcule: x +x +x a) 9
b) 7
d) 39
e) 45 2 3
16. Si se sabe que:
x .
c) 27
3 4
4
x ...
n
x
n =
x
d) 11
e) 12
c) 10
17. Halle "n" en: 3
n+3 4
4
9
d)
e) 16
4
2
c) 2
23. Si xx = ` 1 j` 2 j y x ! 1 ;
3n
−
21
2
2
x
1 2
a) 2
b) 1/4
d) 1/8
e) 1/2
c) 4
24. El valor de "x" que satisface la ecuación exponencial es:
n−1 =
b) 8
Indique el valor de
Donde: x>0, calcule "n" b) 9
a) 2 2
1
x .
a) 8
12"
5
c) –19
125
a) 20
b) –20
d) 19
e) 10
a)
18. Halle el valor de "x" en:
d)
9
2x
−
3 =
5
3 27
3 2
−
2x
b)
5
2 3
c)
7 5
c)
4
e) 1
7
2x+3+2x+2+2x+1=56 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
x
19. Halle el mínimo valor de "n" en: n
5
2 −
9 =
7
9
−
n
2
a) –3
b) 3
d) 0
e) –1
25. Halle "x" de: =
2
a)
2
d)
2
+
(x −
2)
2
2
b) 2 2 2
e)
2
2
2−1
c) 1
Colegios
TRILCE 8
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 1. Hallar x: 5
x–3
=5
4
9. Luego de resolver:
2. Resolver 7x–2=49
3. Hallar x:
x
x
x
x–5
. . . x
=7
x
0, 2
=
1
1 3 5
` j
11. Resolver: 2n+3+2n+2+2n+1=56 =
7
12. Hallar x: 3
x
2
x
– 7.3 – 18=0
x
2
= 2; hallar
2x
13. Resolver: x =36 n2–4
=5
4–n2
14. Si 8. Si
n
10. Resolver:
x–5
7. Halle el mínimo valor de “n” en: 7 x
1–2x 1 ) 125
=3
6. Hallar x: 9 x–1=52x–2
x
=(
Indique el valor de 4x
3 x
4. Resolver: 11
5. Resolver:
x–1
25
+ xx
a
a
5 a
= 5
y
3
. . . b b
b
2,
=
5
calcular E=a +b
2
2
15. Resolver :
x
3 x
= 36
Tú puedes 1. UNMSM 2009 – I n+1
n+2
4. UNMSM 2008 – I n+3
n+4
Si: 5 +5 +5 +5 =780 y "n" en un número entero, entonces el valor de: 2(n+3) es. a) 4 d) 15
b) 10 e) 8
c) 6
3
54
a) 48 d) 44
= (3b) b , halle 3a+2b
b) 96 e) 66
c) 99
y
expresión a)
16 3
d)
11 4
www.trilce.edu.pe
y
^xx yh
+
^x2h−
c) |b|<|x|
5. UNMSM 2008 – II x
2
+2
x
2
−1
+2
x
2
−2
+2
b) 3
a) 1
b)
2
d) 2
e)
5
y
2x2y − 6x − y
e)
b) x+b=3 e) xb=2
2 x −3
+
2
2 x −4
= 62
donde x>0, hallar "x"
Si x =2 (donde x>0), halle el valor de la x− y
a) x – b=3 d) x
2
3. UNMSM 2010 – II ^ 4 x yh
+
Entonces se puede armar que:
2. UNMSM 210 – II Si: 264=aa y
Z r 10 r 2 ]bb = 9 + 2 − ^3 h 4 [ 4 ] x 2 x 1 = 0 \ 4 .2 − 2
c)
c)
5 2
16 5
13 4
Tercer año de secundaria 9
3
Capítulo
NOTACIÓN P(X) Problemas para la clase 1. Determine cuáles de las siguientes expresiones matemáticas son polinomios: 6
I. P(x)=2x –x
–6
3
2
II. Q(x)=2x –5x +3 III. S (x)
=
5
x
−
3x 3
IV. T (x) = 2 x
1 2
−
−
calcule: P(8)+P(2) a) 56
b) 49
d) 74
e) 81
c) 54
7. Si: P(x–1)=2x+1,
1
3x
6. Si P(x)=x2+x–2,
2
+
Calcular P(0)+P(1)
1 2
a) Sólo I
b) I, III, IV
d) II y IV
e) Ninguna
c) Sólo III
a) 6
b) 8
d) 12
e) 15
c) 10
2
8. Si: P(x)=x +2x+1 2
Q(x)=x –2x+1
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) Sea: P(x)=3x–1 I. P(0)=–1
Calcular: P(3)+Q(–3)
II. P(1)=5 III. P(–1)=–7
a) 32
b) 0
d) 64
e) 36
c) 16
9. Si P(x)=2x+3,
IV. P(2)=5 a) VVFF
b) VFVF
d) FFFF
e) VVVV
c) VFFV
3. Indicar verdadero (V) o falso (F)
Halle P(y+2) a) 2y+5
b) 2y+3
d) 2y–3
e) 2y–5
c) 2y+7
Sea P(x)=4x5–3x4+7x3+x–2 I. El grado del polinomio es 5 II. El coeciente principal es 4 III. El término independiente es –2 IV. La suma de coeciente es 7
10. Si P(x+1)=2x–3,
a) VVVV
b) VVVF
11. Calcular la suma de coecientes del polinomio
d) VFVF
e) FFVV
c) VVFF
b) –5
d) 6
e) 1
c) –6
d) 10
e) –9
d) 7x–2
e) 7
c) 7x+2
a) –32
b) –64
d) –16
e) 16
c) 32
12. Si: P(x)=(x–1)6+(x+2)4+3, Hallar la suma de coecientes de P (x) multiplicado por el término independiente.
5. Si P(x–2)=x –3x, halle "P(3)" b) 3
b) 2x+7
2
2
a) –3
a) 2x–7
P(x)=(x+3)(3x+1) (x–2)
4. Si P(x;y)=5x–y, hallar "P(–1;1)" a) 5
Halle P(x–1)
c) 9
a) 1850
b) 1520
d) 1560
e) 1280
c) 1680
Colegios
TRILCE 10
Central: 6198-100
Álgebra 21. Determine un polinomio lineal P(x)
2 13. Si: F (x) = x + 1; x # 1
)
x
+
1; x
2
Si: P(2)=4 y P ` 1 j =–1
1
3
Calcular: F(–3)+F(4) a) 15
b) 11
d) 13
e) 17
c) 9 2
b) 12
d) 14
e) 15 2
c) x–2
e) 3x+1
x P(x)
1 4
2 6
Calcular: P(0)+P(5)
Q(x)=3x–5 ; G(x)=x–4 Calcule: P(Q(G(6))) a) 0
b) 4
d) 7
e) 15
16. Si: P(x)= x Hallar P(2)
d) 3x–2
c) 13
15. Si: P(x)=x +2x+3
100
b) 3x
22. Dado el polinomio lineal P(x) que presenta resultados mostrados en el cuadrado:
14. Si: P(x)=2x+1 y Q (x)=x +5; Calcular: T=Q(p(1)) a) 11
a) 3x+2
c) 6
a) 14
b) 12
d) 2
e) 8
23. Dada la expresión
c
F x
97
–8x +2x–1 ;
c) 10
3
1
+
x
2
m
=
5
x
−
7x
2
+
5
Halle: F(7)
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
a) 4
b) 7
c) 0
d) 1
e) –3
n
17. Sea P(x)=(x+1) +(x–1)n+2, si la suma de coeciente más el término independiente suman 36. Halle "n". a) 1
b) 2
d) 5
e) 7
c) 3
a) 1
b) 2
d) 9
e) 12
c) 8
d) 11
e) 9
20. Si: F (x) = 1 + 1 + 1 2
6
12
+
=
)
2x + 1
;
x
f (f (x + 1)) ; x
>
10
#
10
b) 185
d) 190
e) 199
c) 196
25. Sean P(x) y Q(x) dos polinomios, además
P(x)–Q(x)=a+bx c) 12
... +
a) 191
P(x)+Q(x)=ax+b
19. Si: F(x+2)=x+F(x) ; F(3)=5 ; Halle F(1)+F(5) b) 6
f (x)
Halle f (8)
18. Si: P(x–1)=2P(x–2)–1; además P(–3)=2; Hallar P(0)
a) 10
24. Se dene en los enteros:
Donde: P(5)=4, calcular P(Q(1)) a) 4/3
b) 1/3
d) 5/3
e) –4/3
c) 2/3
1 x (x + 1)
Determine el valor de F (20) F (10)
a)
19 18
d) 1
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b)
22 21
c)
21 20
e) 2
Tercer año de secundaria 11
3
Capítulo
Practica en casa 2
1. Si P(x)=x +3x+1
8. Si P(x+1)= 3x–1
Calcular P(0)+P(1)+P(2)
Calcular P(0)+P(1)+P(2) 9. Si P(x)=x2, calcular P (x + 1)2+ P (x − 1)
2. Si P(x;y)=(x+1)8+(y–1)4+xy
x
Calcular P(–2;2)
+
1
2
2
10. Si P(x)=x+1; q(x)=x –1;
3
3. Si P(x) =(x–1) +x(x–7) +4
Halle P(q(0))
Halle el término independiente. 11
2
4. Si P(x)=(2x–1) +(5x–4) +(9x–10)
3
4
3
2
x+4;
hallar R(3)
11. Si P(x)=(a –26)x +2x –x+a –1 es un polinomio mónico, hallar el término independiente.
8
Halle la suma de coecientes 2
5. Si P(x)=x +1
12. P(2x–5)=
Halle P(x–1)
2x + 1 +
99
3
98
13. Si P(x)=x –3x +2x–1; hallar P (3)
6. Si P(x–4)=x2–2x Halle P(1)
*
x;
si x es par
14. Si P (x) = x + 1 ; hallar P(2)+P(5) ; si x es impar
7. Si P(x–1)=3x–1
2
2
15. Si P(x)=x –2x; calcular P (P (...P (2))...)
Halle P(x+1)
1 4 4 4244 4 3
100 veces
Tú puedes 1. UNMSM 2010 – II Sabiendo que f (x+6)=ax+b; f (2)=–14 y f (–3)=–29, halle el valor de 2a–b a) –6 d) 12
b) 10 e) 8
c) 4
2. UNMSM 2010 – I P(x)+Q(x)=ax+b, P(x)–Q(x)=a+bx y P(5)=4, calcule P(Q(1)) a)
4 3
b)
1 3
d)
5 3
e) − 4
c)
2 3
a) 13 d) 20
c) 16
Dado 3f (x)=x+4+ f (x) , calcular f (f(–4)) 2
3
b) –4 e) –2
b) 18 e) 12
5. UNMSM 2002 – I
a) –4
3. UNMSM 2004 – II 2 Si g(z+1)=g(z)+5z –3z+2 y g(0)=2, entonces g(1)+g(–1) es a) 4 d) 0
4. UNMSM 2004 – II El polinomio 2 n–3 n+1 2 3 7 n–17 P(x)=(7x –3) (2x–1) +(n x –9) (2x+3) 2n–17 +(5x–7n)(5x–1) Tiene como término independiente 112. Hallar "n"
d) 0
b)
c) 4
8 5
e) − 8 5
c) 2
Colegios
TRILCE 12
Central: 6198-100
Capítulo
4
GRADOS Y POLINOMIOS ESPECIALES Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda 4 2 6 I. En P(x;y)=2x y–5x y el grado relativo a "x" es 4 4 6 8 6 II. En R(x;y)=x y +2x y el grado absoluto es 24 2
3
III. En Q (x;y)=3xy–5x y+4x y el grado relativo a "y" es 1 a) VVV d) VFV
b) VVF e) FFF
c) FVV
Hallar el grado absoluto b) 23 e) 30
c) 20
b) 9 e) 12
c) 10
4. Hallar el grado del siguiente monomio N (x; y)
=−
b) 20 e) 16
c) 18
=
2 x3 y3z 4
a) 6 d) 12
−
3 (x 2y 4) 2 4x6 y 8z 4 −
b) 10 e) 15
c) 14
8. Si el polinomio: Q(x)=2x3+6xa+x+3; es completo y ordenado;
b) 3 e) 32
9. Halle el valor de "n" en el siguiente polinomio n =
2x
n − 13
+
−
15 − n
x
b) 7 e) 24
c) 14
F(x;y)=xm+8ym–4+xm+7ym+x2m+1y8 Tiene grado 27 b) 7 e) 12
c) 9
11. Si se cumple: Halle "a+b+c" a) 7 d) 13
b) 9 e) 15
c) 11
P(x;y)=xn–3y7+x8y8+xmy4 al homogéneo
Hallar el valor de "a+b"
a) 100 d) 140
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3x 2
10. Hallar el valor de "m", si el polinomio
P(x;y)=xay3–x4y6+x8yb
b) 7 e) 10
c) 4
12. Halle el valor de "mn", si el polinomio
6. Dado el polinomio homogéneo
a) 6 d) 9
c) 9
(2a–8)x3+(b–1)x2+(c3–8) ≡ 0
5. Calcular el grado absoluto del polinomio: P (x; y)
b) 8 e) 14
a) 6 d) 10
2 (xy2) 4 .z8 3
a) 22 d) 12
a) –16 d) 15
a) 9 d) n–13
8
P(x;y)=x y – x y +x y Hallar el grado absoluto a) 8 d) 11
Son idénticos, calcular el valor de "ab+c"
P (x)
3. Sea el polinomio: 7 3
2
Q(x)=5x +2x+(5–c)
a) 2 d) 16
8 12 2
M(x;y;z)=–3x y z ;
6 2
P(x)=ax2+(b–1)x+6
halle a2
2. Dado el monomio:
a) 22 d) 25
7. Si los polinomios:
c) 8
b) 124 e) 70
c) 144
Tercer año de secundaria 13
4
Capítulo
13. Dado el polinomio cuadrático y mónico P(x)=(2a–1)x3+3x2+bx2+1
hallar el grado de:
Calcule el valor de P (a+b) a)
11 4
b)
10 3
d)
11 3
e)
13 4
c)
12 7
a+7 a
2a+3
3a+7 5–a
–x
y
si se cumple
c) 98
15. Dado el polinomio
b) 15 e) 9
c) 17
b) 3 e) 9
2+ n
c) 5
17. Si el polinomio Q(x)=7xa–1+xb–3+xc–2+8 es completo y ordenado, hallar "a+b+c" c) 16
2"
18. Hallar "(a–b) , si G.A.(P)=24 y G.R. (x)=13; siendo:
+
2+ n n
3−1(a − b) xb
y
+
a) 12 d) 4
b) 6 e) 2
c) 3
24. Hallar el valor de "a–b+c–d", si el polinomio 3 2 3 2 Q(x)=3dx +18x –9x +9ax +2c–5bx+15x es idénticamente nulo. b) –6 e) –9
c) –7
25. Si el polinomio: Q (x; y; z) = nx(8n)
n
n+b
+
byn
+
nbzn
4n
es homogéneo. Calcule la suma de sus coecientes. a) 5 d) 20
b) 10 e) 25
c) 15
P(x;y)=3x2a+bya–5–x2a+b+1ya+6–4xa+by2a+4 a) 16 d) 1 19. Si Q
b) 25 e) 9
^ h = c 15ab x x; y
c) 49
2a 3b 4
y
m
Además G.R.(x)=40 y G.R.(y)=12; hallar el coeciente. a) 16 d) 1
b) 625 e) 256
c) 81
Colegios
TRILCE 14
2 + 12
12yb
Entonces el producto de sus coecientes es:
a) –5 d) –8
b) 14 e) 20
c) 7
22. Encontrar el grado del polinomio P (x) sabiendo que el grado de P 2(x)–Q3(x) es 21, además el grado de P4(x)–Q2(x) es 22
P (x; y) = 2 −1(a + b) xa
16. Halle el valor de "m+n"; si el grado absoluto del polinomio: P(x;y)=xm+nyn–1+xm+n+1yn–3 es 20 Además G.R.(y)=5
a) 12 d) 18
b) 9 e) 5
23. Si P es un polinomio homogéneo denido por: c) 13
b) 15 e) 8
a) 8 d) 6
a) 1 d) 7
A(x;y)=4xm+2yn–3+13xm+3yn–2 Si G.R.(x)–GR(y)=3 ∧ GA(A)=13; halle "2m+n"
a) 9 d) 14
c) 2a+3
Calcule el valor de "m+n+p"
b) 76 e) 8
a) 17 d) 11
b) a–5 e) 6a–10
mx5+nx4+px3+x2–8 ≡ (x2+x–2)q(x)
Calcular GR(x).GR(y) a) 95 d) 91
a) a+3 d) 3a+5
P3 (x) . Q4 (x) ; (a 2 3) P (x) − Q (x)
21. Dada la identidad
14. Sea el polinomio: N(x;y)=x y –3x que G.A.(N)=20;
20. Si el grado de P (x) es "a+1" y el grado de Q (x) es "a–3",
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Álgebra Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 4 2 4 7
A
P(x;y;z)=7 x y z
B
P(x;y)= n x y +
C
[P(x)]º=3 ∧ [Q(x)]º=7
G.R.(x)–G.R.(y)=–1
D
[P(x)]º=9 ∧ [Q(x)]º=12
[P (x)–Q(x)]º=15
3 5
2
[P(x)–Q(x)]º=12 3
n 3
4
x y
G.A.=13
5
2. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 3 4 5 6
I. El grado de P(x;y;z)=2 x y z es 18 7 6
9
(
(
)
(
)
IV. Si Q(x) es de grado 38, 619 Q (x) @ º = 2 (
)
3
3a − 5 b + 2 5
y
m,
coeciente.
5 5
III. Si P(x) es de grado 25, [P (x)]º=75
c 2ab x
además G.R.(x)=20 y G.R.(y)=40; hallar el
)
II. En P(x;y)=4x y –7xy – x y , GR(x) –GR(Y)=–2
5. Si M(x;y)=
6. Si la expresión:
3. Completar correctamente N (x)
a) Si a=8, b=5 y c=–3, el polinomio P(x)=8x3–5x2–ax3+bx2+3+c es:
.
=
>
hallar "a
(x
2a 3a
(x
2 2
+
1 a+7 3 5
+
a+5 2
)
)
H
es de tercer grado,
2"
b) El polinomio P(x;y)=3x2y11–x13z+x10y3 es . c) El polinomio P(x;y)=7x5–7xy+12x6y2–4y3 es . d) Para m=5 y n=3 los polinomios 3 3 P(x)=7x +3x y Q(x)=(6–n)x+(12–m)x son .
7. Sea el polinomio R(x;y)=x3a+7y9–a–5x2a–7xa+4y7+a si se cumple que G.A.(R)=34, hallar G.R.(x)–G.R.(y)
4. Calcular a.b2 si G.R.(y)=14 y G.A.(Q)=59 en Q(x;y)=3 x
5a+8b b+9
y
8. En el polinomio: P (x; y) = − 4x7m − 2 − 7 x6m y 4 − m + 8x7m + 6y7 − m 2
se tiene que G.R.(x)=20, calcular m +G.R.(y)
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Tercer año de secundaria 15
4
Capítulo
9. Hallar el valor de b–a sabiendo que el grado relativo a "x" es 6 y el grado relativo a "y" es 9: M(x;y)=–x
a–1 b+2
y
a b+1
+2x y
–3x
a+1 b
y
10. Si [P(x)]º=5 y [Q(x)]º=7, hallar el grado de: P7 (x) .Q (x)
6Q (x) − P (x)@2 11. Si el grado de M es 5 y el grado de N es 6, 2 3 calcular el grado de (M .N ) 12. Dado el polinomio homogéneo: n 3 n+1
n m
3 n+1 4
P(x;y;z)=x y z +xy z +x y z Calcular: G.R.(x)+G.R.(y)+G.R.(z)+1 13. El siguiente polinomio está completo y ordenado en forma descendente: P(x)=x2m–10+3xm+n–7–5x3n–2p
14. Giovana y Lucía son dos personas muy solidarias por ello cuando su vecino Jesús sufrió un accidente ambas salieron a pedir apoyo económico a sus vecinos. Al nal del día, el dinero recaudado por Giovana estaba denido por la expresión a(x–2)+b(x+1) y el dinero recaudado por Lucía estaba dado por la expresión: 5x–25. Hallar a/b si ambas recolectaron la misma cantidad (x: número de vecinos) 15. Las inversiones en Bolsa de "Don Gerónimo Grito de Las Casas" estaban representadas por la expresión: P(x;y)=(9–n)x2y+mxy2+3x2y–2xy2 (x: activos en moneda nacional; y activos en moneda extranjera). Un "Jueves negro" todos las Bolsas del mundo cayeron y las inversiones de Don Gerónimo se redujeron a nada. Hallar m n4
Calcular: E = mnp + 1
Tú puedes 1. Universidad agraria 2006 – I Hallar "m", si P(1)+P(0)=200; P(x–2)=(x+2)3+3(x–1)+mx+5 a) 8/3 d) –8/5
b) –2/3 e) 5/3
4. UNMSM 2009 – II
c) 2
Si el polinomio n+5 n+6 n+7 P(x)=nx +(n+1)x +(n+2)x + ... es ordenado y completo, calcular P (1)–P(–1) a) –15 d) 5
b) –12 e) 15
c) 12
2. Universidad agraria 2007 – II 2 Si f (x)=(x–1) +a, entonces f (x) − f ( x + 2) será:
x
a) 4 d) –4
b) 2 e) –2
c) 1
3. UNAC 2006 – I 3
Si F(a)=a–2 y F (a;b)=b +a, halle F (3, F(4)) a) 7 d) 8
b) 6 e) 11
5. Villarreal 2008 Si f (x+4)=x2+3x, halle f (a+1) 2 a) a +3a+4 2 b) a –6a+4 c) 3a–4 2 d) a –3a 2 e) a –3a+4
c) 29
Colegios
TRILCE 16
Central: 6198-100
Capítulo
5
REPASO I Problemas para la clase 1. Relacionar correctamente 4. Reducir: R
a) (–2)4–24
I. 2º
b) (–3)4+92
II. 448
c)
2 3
2
III. 0
+(–4)3 24
d) (5.125.625)÷(5 ) a
b
5. Reducir:
IV. 162
c
5 5
=
2
−1
2
3
=
( 3) .3 . ( 3)
e
5 . (− 5)
−
−
3
27. ( 3) .3 −
3
5
5 .5
−
1
2
G
6 2
o
−2
d 6. Efectuar: y3.y − 1.y3 .y − 1....y − 1 − y 20 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3
20 factores
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) –3
a) 2 =–8 3
4
2
b) (–2) (–2) (–2) =–2
9
c) 23+25+27=215 d) 2(− 5)
3
+
125
1
=
(
)
(
)
(
)
(
)
x
x 7. Si xx=2, hallar ^xx + 2h
x+8 x+7 x +5 +2 +2 8. Si: A= 2 ,hallar x
32.2
3. Completar correctamente
A+3
a) En 7x–8=49, el valor de "x" es: b) Para que se cumpla: 2 x+2+2x+1=48, "x"
5
9. Hallar "x" en (3x–2) =32
debe ser igual a: c) Si se verica que 9 a=7b–2; el valor de a+b es: y
10. En: 2x+4x=72, hallar x 3+1
2
d) En la siguiente igualdad y =27; y toma el valor de:
11. Relacionar correctamente 2
2
20
a) x3.x(− 3) .x 3.x(− 3) ...10 factores
I.
b) (xy)(xy)(xy)... 30 factores
II. x
c) x d)
50
.y
1 x
70
−1
:
.x
1 x
50
−2
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:
70
.y
1 x
−3
... 40 factores
... x
1 − 10
(xy) 60
a
b
c
d
2 2 15
III. (x y ) 11 5
IV. (x )
Tercer año de secundaria 17
5
Capítulo
12. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda
n+1
3
18. Simplicar:
0
a) x =1, se cumple para cualquier valor real de "x" ( ) b) x5 .x
2 3
−
−
d)
x
−
5) 4 625
c) (x4) ( 3 2
( 3)
.x −
a) 3
n−1
3
=
x
−
13
! R
1; 6x
=
−
"0,
(
)
(
)
(
)
2
= x12
3
n−2
4
e) 3
+
3
+
3
n+3 n−3
8
c) 3
5
3
b+1 b+2 b+3 b+4 Q = 2b 1 + 2b 2 + 2b 3 + 2b 4 19. Reducir: 2 − +2 − +2 − +2 −
a) 2
b) 16
d) 64
e) 32
20. Si:
x
+
n+2
b) 3
13. Completar 3
3
7
d) 3
2
+
M
=
16
4
−
2
c) 1
1
−
indicar M
–1
a) Si 52 = 58 el valor de "x" es b) Si 3.2x=2.3x; "x" toma el valor de
a) 1/2
b) 1/8
c) 1/4
d) 1/16
e) 1/32 2
9
21. Simplicar: Q =
3
c) Si (5x+7) =512; x es igual a 32
d) Si
2
.3
23
.2
32
.3
23
2
=
3x
.3
4y
; x+y es
14. Si: 1 4 44 2 4 44 3
9 veces
hallar
= 2 +2
+ 2 + ... + 2
b) yn
d) 1
e) yn
b) 300
d) 518
e) 360
22. Si x =2 calcular
128 veces
x+1 +
b) 1/2
d) 8
e) 1/8
c) 1
x
−x
−x +
1
1 −
1 2 2
` j
c) 1/4
"2a" veces "2a" veces
6 4 4 74 4 8 6 4 47 4 4 8
23. Efectuar:
(x. x. x. . .x) (y .y. y. . .y ) (x ( x... (x (x (xy) y) y) ...y )y) 1 4 4 4 4 4 4 24 4 4 4 4 4 3
"2a" paréntesis
15. Si P(x)=x –1, hallar P(x+1) 2
2
a) x –2x
2
b) x +x
2
c) x +2x
e) x +3x 2
30 # 8
b) 1/16
d) 1/2
e) 5
=
m+3
2
m−2
8
#4
24. Simplicar:
3
a) 1/4
c) 2
a) 16
b) 2
d) 4
e) 8
a) (m22)2 –22
d) m
n+2
c) xy
a
a a
e) x y
3 2
2 2 (− 2)
(− m ) (− m ) (m ) 3 −4
(m )
(− m
−4 3
)
b) (m11)3 e) m
c) m–44
–24
25. Resolver: 27 y − 3 # 9 y + 1 = 81 y + 9
m + 2n 3
# 16
a
b) 1
23
2
25 # 36 # 32 4
a) xy d) x y
2
d) x –x
17. Simplicar
2
a) 4
2
16. Simplicar
x
x
c) yn+1
1 4 4 44 2 4 4 44 3
P (P − R) R
a) 512
y2 .y 4 .y6 .y8 ... (n factores)
a) y
x
P = 2 # 2 # 2... # 2 / R
6 y.y2 .y3 ... (n factores)@
G
c) 6
a) 19
b) 18
d) 12
e) 43
c) 16
Colegios
TRILCE 18
Central: 6198-100
Álgebra `2
3
26. Resolver: x−4
x
−
6 7 3
j
=
512
27
, luego indicar
x+3
a) 5
b) 3
d) 8
e) 6
27. Hallar el ^x2h 13 / 60
valor
^x
2
de
b) 1/2
d) 3
e) 7
2
"m"
que
verica:
7x+13 3 3x+5 3
3º semana: 5 –(1+2)x4 ¿Cuántas plantas habrá la cuarta semana? a) 21 d) 26
a) 2
28. Resolver:
2º semana: 3 2–1x4
x1 / (m + 2)
=
1 / 30h8
c) 7
29. En un departamento selvático, una especie de planta se reproduce de forma rara, siguiendo la siguiente secuencia: 1º semana: 1
3
c) 4
x+9
b) 1/4
d) 1/3
e) 1/7
c) 25
30. Se estima que existen 10 billones de galaxias cada una con 10 billones de estrellas y cada una con 10 planetas girando a su alrededor. De acuerdo con estos datos, ¿Cuántos planetas aproximadamente existen en el universo?
= 2
a) 1/2
b) 23 e) 27
c) 1/5
a) 10
21
b) 10
22
d) 10
24
e) 10
25
c) 10
23
Practica en casa 1. Relacionar correctamente 2
a)
x
b)
x
−3
2
.x
1 /2 9
−3
.x
.x
1/ 2 9
−3
3. Completar correctamente
2
...(15 factores)
...(18 factores)
–1 2 –3 4
c) x .x .x .x ...(20 factores)
I. x10 II. x
–135
III. x
–63
d) x7 . x–14 . x7 . x–14 ...(18 factores) IV. x54 a
b
c
d
a) 23.24.25.(–2)6=2x;
b) Si x =2; 8xx x
c) Si 12
x
a–5
=13
+3
entonces
x
B es igual a
b–7
, b–a es
4. Reducir:
3 # 3 # 3... # 3 − 3 + 3 + 3 + ...
−
81
−
4
+3
1 4 4 44 2 4 4 44 3
1 4 44 2 4 44 3
19 3 sumandos
20 factores
3
es
d) Si 4x+4x+1+4x+2=21; x+9 es
2. Colocar verdadero (V) o falso (F) a)
x+1
1
−
3 =
(
3
) 10 veces
7 veces
6 4 4 44 7 4 4 44 8 6 4 4 44 7 4 4 44 8
b)
625
c) 2
−
3 2 −
16
−
2
1
−
=
5
−
1
6( 2) 4@2 0 −
www.trilce.edu.pe
=
(
(
)
)
# 15 # ... # 15) 5. Reducir: (5 # 5 # 5 # ... # 5)(15 2 15
81 # 5
6. Efectuar:
63 (3 3
a+4
+
3
a+4
a+2
)
−
3
a+3
Tercer año de secundaria 19
5
Capítulo
7. Reducir:
A
3
=
3
8. Calcular:
A
9. Si: 2x
2
+4
+
x+1 x−1
` 81 j
−
=
x+3
+
+
3
+
3
9
−
x+2 x−2
2
+
3
+
3
x+3 x−3
+
3
+
3
x+ 4
12. Si: R(2x–5)=
x
+2
1
−
+
5
13. Resolver:
2
x+1
x
+2
=
3
x+4,
hallar R(3)
x− 4
7
2
2x + 1 +
124 ,
hallar 3x
*
2x + 3
5
4x − 1 =
7
5
x + 70
x; si "x" es par
14. Si: P (x) = x + 1 ; si "x " es impar 10. Simplicar:
>
5
4n + 1
n 1 3 (n + 3) + n 3 125 .125
H
1 n
2
Hallar; P(2) + P(5)
15. Si P(x) = x2–2, calcular: P (P (P.....P (2 )...)) 11. Hallar "6x"en
2
x
−
6
.2
x
−
6
.2
x
−
6
... 2
x
−
1 4 4 4 42444 4 3
6
1 4 4 4 4 4 4244444 4 3
=
100 veces
1024
12 factores
Tú puedes 1. Universidad Agraria 2007–I Calcular: E
=
2 2
x+1 x−3
x+2
+
2
+
2
x−2
a) 12 d) 18
4. UNAC 2007 – II
x+3
Si los números enteros "x" e "y" satisfacen la
x−1
ecuación: 3x + 1 + 2 y = 2 y + 2 − 3 x . El valor de 3 x
+
2
+
2
b) 14 e) 22
c) 16
2. UNAC 2006 – I Si:
x
5 x
2
1
−
5;
=
determine ^x − 2h b) 1/25 e) 5
a) 5 d) 1/125
b
a
=
a) 2 d) 8
2
2
a) 3
b) 1/3
d) 1
e) 9
c) 1/9
5
c)
3
5. UNAC 2009 – II 5
x
Si x =2, entonces
3. UNAC 2007 – II Si "a" y "b" son números reales tales que: a .b
es:
a) 212 8
d) 2
F
=
x
1+x 1 + 2x x
b) 216 e) 2
es igual a: c) 224
18
2
, entonces el valor de (ab) es: b) 2
c) 4
e) 2 2
Colegios
TRILCE 20
Central: 6198-100
Capítulo
6
PRODUCTOS NOTABLES Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F)
8. Reduzca: (x+y)(x–y)(x2+y2)(x4+y4)+y8
I. (x+12)(x–10)=x2+2x+120 II. (x+3)(x+3)=x 2+9 III. (x+5)2–(x–5)2=20x IV. (x+4)(x2–4x+16)=x3+64 a) FFFV d) VVVF
b) FVFV e) VVVV
c) FFVV
2. Reducir T=(x+2)2–4x–x2 a) 1
b) 2x
d) 4
e) 6x
c) x2
3. Efectuar: M=(x+3)(x–3)+9 a) 1
b) x2
d) 6x
e) 3
c) 18
a) x2
b) x4
c) x8
d) y8
e) x8+y8
9. Reduzca: (x+1)(x2–x+1)+(x–1)(x2+x+1) a) 1
b) 2
c) x
d) x3
e) 2x3
10. Reduzca: P=(3x+2y)2+(2x–3y)2–13y2 a) x2
b) 2x2
d) 20x2
e) 11x2
11. Relacionar correctamente 2
a) (x+3)(x –3x+9)
4. Efectuar N=(x+3)(x–4)–x2+x a) 6x
b) 12
d) –12
e) 1
2
b) 2x2–34
d) 2x2–16
e) 6x
b) 32
d) 2
e) 8
c) 12
2
(x − 6) 2x −
2
2
d) (x+4) –(x–4)
IV. 2(x +16)
b
c
12. Indicar verdadero (V) o falso (F)
2
b) (x+3)(x+3)=x +9 2
2
c) (x+5) –(x–5) =20x c) 21
2
2
e) 14
(
)
(
)
(
)
(
)
13. Completar a) (x+1)(x–9)
=
b) (x+7)(x–7)
=
2
d) 13
2
d) (x+5) +(x–5) =2(x +25)
c) (x+4)(x –4x+16) b) 11
d
2
2
a) 10
www.trilce.edu.pe
3
III. x +27
a) (x+12)(x–10)=x +2x+120
7. Reduzca: (x + 6)
2
3
x –27
II. 16x
c) (x–3)(x +3x+9)
a
6. Si: a+b=6 y ab=2, determinar el valor de "a 2+b2" a) 16
2
2
5. Reducir: T=(5+x)(5–x)+(x+3)(x–3) a) 16
I.
b) (x+4) +(x–4)
c) 2x2
c) 13x2
c) 12
2
2
d) (x+2) +(x–2) 2
e) (x+2) –(x–2)
2
= = =
Tercer año de secundaria 21
6
Capítulo
14. Reducir :
21. Si x+y=13
A=(x+8)(x–3)+(x+7)(x–5)–2(x+4)(x+6) a) 13x+107
b) –13x+107
c) 13x–107
d) –13x–107
2
I. x +y
a) 149; ! 129 b) 149; 129
15. Calcular:
c) 149; − 129
M=(x+4)(x–4)+(x+5)(x–5)–2(x+3)(x–3) a) –12
b) –16
d) –14
e) –23
c) –20
d) 140; 10 e) 149; –129 22. Si se cumple: 3
16. Reducir
x = 8; x ≠ 2
(x+3)2–(x+4)2+(x–1)(x2+x+1)–(x+1)(x 2–x+1) a) –2x–7
b) –2x–5
d) –2x+7
e) –2x–9
c) –2x+5
17. Hallar E = 8 (x + y) (x − y) (x
2
+
a) x
b) xy
d) x2
e) 8x
2
y ) (x
4
+
4
8
y ) + y ^x 2 0h
c) yx
=
^a2 + b2h2 − ^a2 − b2h2 (2ab)
2
a) 1000
b) 10
d) 108
e) 42000
1000
c) 1
19. Si x=2012, hallar B 2
4
2
2
4
2
a) 2011
b) 2010
d) –1
e) 2013
20. Hallar N
=
c) 1
N , para x=2, y=3, si:
6^x + yh2 + ^x − yh2@ 2 4
a) 12
b) 16
d) 20
e) 4
−
^x2 − y2h 2 c) 8
2
2
Hallar el valor de: (x + 2x + 3)(2y – 2y +5) a) –3
b) 4
d) 7
e) –6
c) –5
2
23. Si (a+b+c+d) =4(a+b)(c+d), encontrar =
4 (c + d)
625
a+b
a) 4
b) 3
d) 25
e) 5
c)
5
24. Tano estaba reexionando y se dio cuenta de que si al cuadrado de los meses transcurridos del año se le suma uno y a este resultado lo dividimos con dicho número de meses se obtiene dos. ¿Cuántos meses han transcurrido?
G
B=(x +1)(x –x +1)(x –1)(x +x +1)–x
y3 = –1; y ≠ –1
T
18. Calcular: =
2
II. x–y
e) –13x+7
R
xy=10, calcular
a) 2
b) 3
d) 1
e) 7
c) 4
12
25. La suma de las edades de tres hermanos es 8, una vecina curiosa observa además que la suma de sus cuadrados es 26. ¿Qué resultado obtendremos si sumamos los cuadrados de la suma de estas edades tomadas de 2 en 2, sin repetición? a) 90
b) 80
d) 60
e) 50
c) 70
Colegios
TRILCE 22
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 1. Relacionar correctamente
6. Reducir 2 2 2 2 (x+5) –(x+8) +(x+2)(x –2x+4)–(x–2)(x +2x+4)
2
a) (x+3)(x–12)
I.
b) (x+8)2
II. x –9x–36
x +16x+64 2
2
2
2
c) (x+8) –(x–8)
III. 2(x +64)
2
d) (x+8) +(x–8) a
2
b
7. Hallar "K"
IV. 32x
c
K
2
2
)
3
(
)
+
2
b ) (a
4
+
4
b ) (a
8
+
8
16
b ) +b
(e
x
+
y 2
x
c) (x+9) –(x–9) =2(x +81)
(
)
d) (x+9)2–(x–9)2=36x
(
)
y 2
e ) − (e − e ) x
y
9. Si x=1000000, hallar M M
2
=
3
(x
+
6
1) (x
−
3
x
+
3
1) (x
−
6
1) (x
+
3
x
+
+
3)
18
1) − (x
+
1)
10. Hallar T,
3. Completar a) (x+11)(x–7)
=
b) (x+11)(x–11)
=
c) (x+12)2
=
d) (x+6) –(x–6)
2
2e .e
(
b) (x–5)(x +5x+25)=x +125
2
(a + b )(a − b )(a
8. Calcular: S =
3
a) (x+5)(x –5x+25)=x –125
2
16
d
2. Señalar verdadero (V) o falso (F)
2
=
2
e) (x+8)(x2–8x+64)
T=
11. Si = =
;
2
(x + y) − (x − y) 2
A+B
=
15 / AB
=
2 2
E − 4x (y
36 ,
2
2
calcular
I. A2+B2 II. A–B
4. Reducir: M=(x+9)(x–4)+(x+8)(x–5)–2(x+8)(x+7)
12. Si
x+
1 x
=
6,
hallar H
H= x–2+x–1+x+x2
5. Calcular: R=(x+7)(x–7)+(x+8)(x–8)–2(x+6)(x–6)
www.trilce.edu.pe
13. Si (m+n+p+q)2=4(m+q)(n+p), encontrar Q=
4 (m + q)
n+p
81
Tercer año de secundaria 23
6
Capítulo
14. Si elevamos al cuadrado la temperatura de una cuidad y le sumamos la inversa de dicho resultado, obtenemos dos. ¿Cuál es la temperatura de la ciudad?
15. Elisa divide los años que ha vivido entre los meses del año que ya han transcurrido y a este resultado le suma el inverso de dicha división, notando con sorpresa que obtiene dos. De lo anterior podemos armar que: a) años vividos =meses transcurridos b) años vividos >meses transcurridos c) ha vivido 13 años d) ha transcurrido 9 meses del año e) no podemos armar nada
Tú puedes 1. UNMSM 2005 – II
3. Universidad Agraria 2010 – I
Si se satisfacen:
Calcular E2
x+y= 5
E
=
5+
24
3
2
xy=2 Hallar:
y x
+
a) 2 d) 8
x y
a) 1/2 d) 3
b) 1 e) 2/3
c) 1/3
Simplique: M
=
(a + b)
2a
a) 6ab d) 4ab
2
− +
(a − b) 2b
5−
24
3
2
−
b) 4 e) 16
c) 6
4. Sean "a" y "b" números reales tales que a+b=5 3 3 y ab=1. Hallar a +b a) 120 d) 110
2. Villarreal 2009 4
+
+
b) 124 e) 125
c) 100
5. UNAC 2008 – I
4
Si: (x + 1)
2
(x − 1) (x + 1) (x − 1)
2
2
b) a +b e) 2
2
c) ab
x
4
+
1 x
4
a) 324 d) 320
−
2 =
1,
entonces el valor de
es b) 318 e) 322
c) 300
Colegios
TRILCE 24
Central: 6198-100
Capítulo
7
DIVISIÓN ALGEBRAICA Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F), al dividir: 4
3
x –2x
2
+ x + x–1
2
7. Hallar el término independiente del cociente, luego de efectuar la división: 15x
x –x + 1
5
−
14x
4
I. Se aplica la regla de Horner II. El grado del cociente es igual a 2 III. El dividendo es un polinomio de grado 4 a) VVV d) FVF
b) VFF e) FFF x
2. Dividir:
4
3
+ 4x + 6x x
2
2
–7x
c) VFV +2
Indicar el resto b) 11x+1 e) 5
c) –11x+1
3. Efectúe la siguiente división 5
10x
+
3x 3
2x
4
+
−
17x
3x
2
−
3
x
−
x
−
2
2
−
b) x2–15x+4 d) –x2–15x+4
4. Determine el residuo de la siguiente división x x
2
4
−
+
+
2
+
4x
3
b) x–1 e) 0
−
x
2
−
5x
a) 2 d) 3
+
90
+
7
c) 2
9. Hallar el resto x
30
+x
40
45
10
+x +x 5 x +1
+4
b) 4 e) 10
c) 6
10. Hallar "a", si el residuo es 9 en 3
x
+
2
x + 3x + a x−1
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
4x
2
− 11x 2x − 1
a) –2 d) –4
www.trilce.edu.pe
−
−x+5
2
3x + 2x + 1
2
hallar "m+n+p" c) 7
a) 2 d) –2
b) 3 e) 0
c) –3/2
c) 5
12. Hallar "ab", en la siguiente división exacta 3x
4
+
x
3
3x
6x − 6
b) –3 e) –5
3
mx +nx+p,
+4
b) –6 e) –2
3
2
Se obtiene un cociente igual a:
6. Señale la suma de coecientes del cociente, al dividir 4x
c) 3
b) –2 e) 5
c) 2x–1
x+2
4
(x − 3) (x + 7) x+6
4
5. Hallar el resto de la división 4
4x + 1
8. Hallar el resto en
6x + 2x + 11x
a) x+1 d) 2x+1
x
+
11. Después de dividir:
4
2x
2
b) 2 e) 5
a) 2 d) 8
5
y determine la suma del cociente con el residuo a) –x2–3x+4 c) –x2–15x–4 e) x2+6x–13
a) 1 d) 4
a) 7 d) 4
+ 2x + 1
a) –10x+1 d) 10x–2
3
9x − 5 x 3x − 1
+
a) 45 d) 56
−
2
2x
+
2
+
ax + b
4x + 5
b) 36 e) 63
c) 42
Tercer año de secundaria 25
7
Capítulo
13. Calcular "a–b", si la división 12x
4
−
12x 2x
3
2
+
−
13 x
2
+
20. Hallar "m/n", si la división
ax − b
mx
a) 33 d) 10
+
b) 16 e) 13
7x
3
c) 15
; calcular Q(1)
b) 7 e) 10
c) 8
a) 1762 d) 181
b) 176 e) 100
c) 17
16. Determine el valor de K para que el coeciente del término lineal del cociente sea igual a –21 en la división −
3
15x + Kx x−2
2
+
a) –12 d) –21
5
b) –15 e) –23
c) –18
+
+ 14x −
8
x−2
a) 1 d) 4
es exacta
b) 2 e) 5
c) 3
x
6
+
2x
5
−
2
3x
4
−
x−
a) 0 d) 4
2
3x
3
−
2x
2
+1
3
b) 1 e) 5
c) –3
80
15
(x − 3) + (x − 4) (x − 3) (x − 4)
a) 2x+1 d) 2x+3
+
6
b) 2x–1 e) 2x+6
c) 2x–3
23. Halle el resto de la siguiente división 10
3x
+
5x x
4
2
+ 6x −
3
+ 4x −
3
x+1
a) 4x+9 d) –4x–3
b) 4x–9 e) 5
c) –4x–9
4 3 2 24. Al dividir: 6x + ax + bx + cx + d se obtiene un
cociente cuyos coecientes son números enteros
11
consecutivos y un resto igual a 2x+7.
(2x − 3) (x + 3) (x − 3) (2x − 3) (x − 2)
Calcular: a–b+c–d
b) –5 e) 6
c) 10x+15
18. Calcule el residuo cuando se divide entre x+1 b) 6 e) 3
a) 23
b) 19
d) 6
e) 13
* 3 a
c) 5
*
19. Sea P (x)=x3+5 Si: R1(x) es el resto en P (x)
*
x−1
* *
* * *
*
*
* * * b
a
1
4 * 8
* 2
Calcule el mayor valor de a 2+b2
R2(x) es el resto en P (x)
x−2
R3(x) es el resto en
c) 12
25. Dado el esquema de Horner de una división algebraica
6x1000–17x562+12x+26 a) 7 d) 4
2
3x (x + 2) − 1
17. Halle el resto de:
a) –4 d) –10x+15
nx
22. Halle el resto de:
15. Calcular el valor numérico del polinomio P(x)=4x5–10x4+6x3+5x2–16x+13 para x=2
5
2
2
a) 6 d) 9
3x
−
21. Determine el residuo de la división
3x + 10x − 19 3x − 2
−
3
3x
14. Si Q(x) es el cociente obtenido al efectuar 4
8x
−
3x + 5
dejo residuo 4x+5
3x
4
P (x) x−3
Halle el valor de
a)
1 9
b)
27 9
d)
1 81
e) 2
c)
82 9
T=R1(x)+R2(x)+R3(x) a) 50 d) 51
b) 27 e) 55
c) 105
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TRILCE 26
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Álgebra Practica en casa 1. Relacionar las columnas correctamente: (x2–4)÷(x+2)
8. Después de dividir:
A q(x)=x2+2x+4
3
B R(x)=4
2
C q(x)=x–2
(x –8)÷(x–2) (x +2x–4)÷(x–2) 2
(x +4)÷(x–2)
16x
4
−
4x
2
−
2
+
4x
−
1
2x − 1
2
Se obtiene un cociente igual: ax +bx+c, hallar "a+b+c" 6x
9. Calcular el resto en:
3
+
D R(x)=8 10. Hallar el resto:
2. Complete correctamente
4x
x
25
−
2
5x − 5x + 9 3x + 1
3
5x + 2x x−1
3
−
3
2
a) Al dividir (x +3x+1)÷(x–1) el residuo
4
11. Si la división:
obtenido es 2
b) Al dividir (x –3x+2)÷(x–2) el cociente
2
2
x +x+1
Es exacta, hallar "a+b"
obtenido es
x
12. Hallar "R(x)" en:
2
3
x + 3x + 4x + ax + b
2011
−
c) Al dividir (2x +x–3)÷(x–2) el residuo
2010
6x + 2x − 9 x−6
obtenido es d) Al dividir (x 2+4x+3)÷(x+3) el cociente es
a) El cociente es igual a (x+2)
( )
b) El residuo es igual a "–3"
( )
c) Se emplea el método de Rufni
( )
d) El grado del cociente es igual a 2
( )
4. Hallar el cociente en la división 4
−
2x
3
x
2
2
+
x
−
x+1
+
3x
−
x
−
3x
9
+
x
5x
3
−
6
−
2x
3
+
4
2
Determinar el término independiente del cociente.
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) al dividir 2 (x +4x+1)÷(x+2)
x
12
13. En la división:
14. Una mamá decide repartir, en partes iguales, 6 2 (x –2x +5x+9) soles entre sus (x–1) pequeños hijos, al hacerlo, sobró cierta cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero quedó?
2
5. Hallar el residuo en la división 3
x
−
2
2x + 3x − 7 x−2
6. Hallar el cociente en la siguiente división 3
2
4x + 4x + 7x + 9 2
2x + x + 3
5
7. En la siguiente división:
2x + x x
4
3
+ −
3
3x
−
15. Por Navidad un supermercado reparte 6 4 P(x)=(x +2x +5x–b) panetones, en forma equitativa, entre las (x–2) madres que asistían a la celebración. Hallar el valor de "b" sabiendo que sobraron 70 panetones.
3x + 1
2x − 1
Indicar la suma de coecientes del cociente
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Tercer año de secundaria 27
7
Capítulo
Tú puedes 1. Si la siguiente división
mx
4
+
3
nx x
2
2
+
5x
+
x+2
+
4x
−
4
Es exacta; halle "m+n" a) 6
b) 7
d) –1
e) 3
4. Halle la suma de coecientes del resto al dividir 131
x
x
c) 8
2. Hallar el residuo en:
4x
−
2
−
x+1
b) 6
d) 4
e) 3
3x
8
−
28x x
d) 6x–7
e) 3x–7
1
c) 5
5. Calcule el resto en la división:
x (x + 1) (x + 2)
b) 6x+3
+
a) 7
3
a) 7x+6
4
c) 7x+3
2
4
−
+
5x
2
+
4
3
a) 4
b) 5
d) 8
e) 10
c) 6
3. Luego de dividir (x–6)5+(x–4)4–3x+7÷(x–4)(x–6) Se obtiene un resto igual a : –ax+b, hallar a−b
a) 7
b) 9
d) 8
e) 4
c) 10
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Capítulo
8
FACTORIZACIÓN I Problemas para la clase 1. Dado el polinomio factorizado:
6. Factorizar:
P(x)=6(x+1)3(2x–1)5(x2+1)8
P(x)=x4–81
responder verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
dar como respuesta el número de factores primos lineales.
I. Posee tres factores primos
a) 1
b) 2
II. Tiene dos factores primos cuadráticos y un lineal.
d) 4
e) 0
III. El factor primo que más se repite es x2+1 a) VFV
b) VVF
d) FFF
e) VVV
c) FVV
2. Factorizar: P(x;y;z)=xy+xz
b) x+z
d) y
e) y+z
c) z
M(x;y)=x3y2–x2y3 dar como respuesta el número de factores primos b) 2
d) 4
e) 5
Q(a;b;c)=(a+b)2–c2 dar como respuesta un factor primo. a) a+b
b) b–c
d) a–b+c
e) a
dar como respuesta la suma de sus factores primos. a) 2x–5
b) 2x+5
d) 2x–3
e) 2x+3
c) 2x+1
9. Factorizar: P(x)=x2–25
c) 3
Q(x)=x2–8x+15 Indique el factor común obtenido
4. Factorizar: ax+by+ay+bx
a) x+5
b) x–5
dar como respuesta un factor primo.
d) x–1
e) x–2
a) x+a
b) xy
d) ax–by
e) x–y
c) a+b
c) x–3
10. Después de factorizar: 2
2
m (n+p)+p (n+p)–n–p; indicar el factor trinomio
5. Factorizar: N(a;b)=a2+ab+bc+ac
2
a) m +p
dar como respuesta un factor. a) a–c
b) b2+a
d) a–b
e) b+c
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c) a+b+c
A(x)=x2–3x–4
3. Factorizar:
a) 1
7. Factorizar:
8. Factorizar:
un factor primo es: a) x2
c) 3
2
2
2
c) m –p +1 c) a+c
2
b) m+p d) n+p
2
e) m +p –1
Tercer año de secundaria 29
8
Capítulo
11. Factorizar: 3
19. Si el polinomio cuadrático:
2
2
3
f (y)=a –a y+ay –y ,
Q(x)=AX2+BX+A
indicar un factor primo
Se factoriza sobre Z en la forma
2
a) a
b) a +y
2
c) (a–y)
2
3
d) a+y
e) a +y
Calcule el valor de m+n
12. Indicar cuantos factores primos tiene: P(x)=x3+x2–x–1 a) 2
b) 3
d) 4
e) 5
c) 1
3
a) 1
b) 2
d) 4
e) –2
2
H(a)=6a –5a –6a
Indicar el número de factores de primer grado a) 2
b) 1
d) 4
e) 0
c) 3
20. Indique cuántos factores primos admite el siguiente polinomio
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
21. Luego de factorizar: Iguale a cero el factor y despeje x en cada caso. Halle el producto de los valores obtenidos de x
a) (4x+y)(4x–y)
b) (4x+y)(3x–y)
a) m2
b) abm
c) (3x–y)(5x+y)
d) (5x–y)(3x+y)
d) m3
e) am2
e) (3x–y)(6x+y) 8
15. Uno de los factores primos de: N (x)=x –1 2
a) x –1
b) x –1
d) x+1
e) Hay dos correctas
c) x–1
16. Factorizar: 2 2
c) 2
P(x)=ab(x2+m2)–mx(a2+b2); ab≠0
14. Factorizar: 16x 2–(y+x)2
4
c) 3
P(x;y)=(xy)2+1–x2–y2
13. Luego de factorizar: 4
Q(x)=(mx–2)(nx–1)
3 5
5 2
c) m
22. Determine el número de factores primos de la siguiente expresión: M(a;b;c)=(a2+b2–c2)2–(2ab)2 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
23. Determine el número de factores primos de:
T(a;b)=6a b +9a b +12a b , indicar el número de factores primos
P(x)=(x2+7x+5)2+3x2+21x+5
a) 1
b) 2
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
d) 4
e) 5
c) 3
17. Al factorizar: 2
2
2
x–y–x y+xy +x –2xy+y
24. Determine el número de factores primos lineales de la siguiente expresión polinomial
2
Indicar la suma de coecientes de uno de sus factores primos a) 3
b) 5
d) 4
e) 1
c) 0
f (a;b)=–4a2b2+(a–a2–b2)2 b) 0
d) 2
e) 5
F(m;n)=(m+n)4(m–n)–(m–n)4(m+n) a) 2
b) 3
d) 5
e) 1
c) 4
25. Dado el polinomio
18. Halle el número de factores primos del siguiente polinomio:
a) 4
c) 3
c) 6
F(x)=(x+1)(x–5)(x+3)(x–3)+35 Halle el término independiente de uno de sus factores primos a) 10
b) –2
d) 1
e) 5
c) –4
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Álgebra Practica en casa 1. Relaciona correctamente: 2
6. Después de factorizar 2 2 x (y+z)+z (y+z)–y–z, indicar el factor trinomio
2
A a(a–b)
a –8a+16
B (a+4)
a2–ab
C (a–b)(a+b)
a –b 2
2
a +8a+16
D (a–4)
2. Completar correctamente 2 a) Al factorizar (9y –4)
7. Indicar cuántos factores primos tiene Q(y)=y3+y2–4y–4
2
2
se
8. Después de factorizar: P(x)=y 4–24, indicar el factor primo cuadrático. obtiene
2
9. Factorizar: (a+b) 4–(a–b)4, luego indicar un factor primo cuadrático
b) Al factorizar (3x +19x+6) se obtiene c) Al d) Al
factorizar factorizar
2
(6a –12a) 2
2
(x –2xy+y )
se se
obtiene obtiene
11. Luego de factorizar: M(x)=12x 3–25x2+12x, indicar la suma de sus factores primos de primer grado
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), al factorizar 2 2 F(x)=(x –3x–10)(x +5x–14) a) El polinomio f (x) posee 4 factores primos
( )
b) Uno de sus factores primos es (x–7)
( )
c) La suma de sus factores de primer grado es 4x+2 ( ) d) Existe un factor primo de segundo grado
( )
4. Factorizar: 2 N(x)=(3x +2x)(x–5)+(5x+7)(x–5)–5x+25, indicar el número de factores primo 4
10. Al factorizar: P(a; b) = a–2b–2a 2b+4ab2+a2– 2 4ab+4b , indicar la mayor suma de coecientes en uno de sus factores primos.
2
5. Factorizar: 4a –101a +25, señalar e indicar la suma de sus factores primos.
12. Factorizar: x6–2x3+1, indicar la cantidad de factores primos obtenidos 13. Factorizar: y 2–4y+4–4x2, e indicar el número de factores primos obtenidos 14. La velocidad esta dada por la siguiente fórmula d=V×t, si un auto recorre (x 2+5x–14)m en (x–2)seg. Hallar la velocidad cuando x es 2. 15. El volumen de un depósito esta dada por 3 2 V(x)=x +4x –5x; si el área de la base es igual a x(x–1), hallar la altura cuando x=3
Tú puedes 1. Factorizar: x 8–5x4+4, indicar la suma de factores primos de primer grado a) 3x b) 2x c) 2x+2 d) x+2 e) 3x+1 2. Determinar el número de factores primos al factorizar P(a;b)=a 12–a8b4–a4b8+b12 a) 3 d) 7
b) 4 e) 8 3
c) 6 3
3. Al factorizar: (m+n) –(m–n) , se obtiene un 2 2 factor primo de la forma: am +bn , hallar "a+b" a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 7 www.trilce.edu.pe
4. Halle la suma de los factores primos de: 4 2 2 2 2 22 P(x)=x –2(a +b )x +(a –b ) a) x
b) 3x
d) 6x
e) 7x 8
6
c) 4x
2
5. Factorizar: x –x –x +1, indicar el número de factores primos a) 2
b) 4
d) 6
e) 8
c) 5
Tercer año de secundaria 31
9
Capítulo
FACTORIZACIÓN II Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) en:
6. Dado el polinomio:
I. El método del aspa doble especial se aplica para factorizar polinomios de cuarto grado
f (x)=2x3+kx2+px+6 Indique la alternativa que no es una PRR
II. Para factorizar polinomios de grado superior se utiliza el método de divisores binó micos
a) − 1
III. Al factorizar un polinomio por el método del aspa doble siempre se obtiene dos factores primos IV. Al factorizar un polinomio por el método de divisores binomicos se obtiene al menos un factor lineal a) VVF
b) VVV
d) VFF
e) FFF
c) VFV
2
P(x;y)=x –2xy+y –3x+3y+2, luego indicar un factor primo a) x+y–2
b) x–y+3
d) x–y+1
e) x–y
c) x–y–1
3. Luego de factorizar por el método del aspa doble se obtiene el siguiente esquema: 2
2
P(x)=6x +cxy+6y +ax+by+2 3x
2y
2
2x 3y Hallar "a+b+c"
1
a) 20
b) 21
d) 26
e) 28 4
3
c) 27
2
4. Factorizar: x +2x +6x +5x+6, hallar la suma de coecientes del factor primo con mayor término independiente a) 5
b) 7
d) 8
e) 2 4
3
c) 3
b) 1
d) 4
e) 3
3 2
e)
c) –6
1 4
7. Factorice el siguiente polinomio P(x)=x3–11x2+31x–21 a) P(x)=(x–1)(x–2)(x–3) b) P(x)=(x–1)(x–3)(x–7) c) P(x)=(x–2)(x–5)(x–6) d) P(x)=(x–3)(x–4)(x–11)
8. Halle la suma de los factores primos de: P(x)=x3–13x+12 a) 3x–12 d) 3x+8
c) 2
b) 3x e) 3x–2
c) 3x+12
9. Luego de factorizar el polinomio P(x)=x3–2x–1 se obtiene un factor primo cuadrático f (x). Determine el valor de f (3) a) 2
b) 3
d) 7
e) 5
c) 4
10. Al factorizar a4+2a2+9, indicar el número de factores primos de primer grado. a) 3
b) 4
d) 1
e) 2
c) 0
11. Al factorizar por el método del aspa doble el polinomio P(x); se tiene: P(x)=15a2+19ab+6b2+5a+4b–10 3a
2
5. Factorizar: x +x –7x –4x+6, e indicar el número de factores primos de primer grado. a) 0
d)
b) 3
e) P(x)=(x–5)(x–6)(x–12)
2. Factorizar: 2
2
nb
–2
ma 3b Hallar "m+n+p"
p
a) 10
b) 8
d) 12
e) 14
c) 15
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TRILCE 32
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Álgebra 12. Si(x+1) es un factor primo del polinomio: 3
2
P(x)=x +x +ax–4, hallar "a" a) 3
b) –2
d) –4
e) 5
c) 2
13. Si (x+2) es un factor del polinomio P(x)=x3–5x+a, entonces determine su factor primo de mayor término independiente. a) f (x)=x–2
b) f(x)=x–4
c) f (x)=x2–2
d) f(x)=x 2–2x–1
e) f (x)=x2+2x–1 14. Luego de factorizar la expresión x4+2x3–2x–1 Calcule la suma de sus factores primos a) 2
b) 2x
d) 2(x+1)
e) –2
c) –2x
15. Luego de factorizar el polinomio P(x;y)=6x4–7x3+2x2+13x2–8x+6 se obtiene como factores primos (ax 2–x+3) y (bx2+cx+d) Halle el valor de abcd a) –36
b) –30
d) –12
e) –25
c) –24
16. Luego de factorizar el polinomio f (x)=x4+x2+1 se obtiene M(x)=(ax2+bx+c);a≠0 como un factor primo. Determine el mayor valor de a+b+c a) 5
b) 4
d) 2
e) 1
c) 3
17. Del polinomio P (x)=x3+4x2+4x+3, se puede armar que: a) Tiene 3 factores primos b) Es primo c) La suma de coecientes de un factor primo es 5 d) Tiene un factor primo cuadrático e) x–3 es un factor primo
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18. Factorice los polinomios P(x)=x4+4 Q(x)= x4+x3–2x e indique la suma de los factores primos no comunes a) 2x2–x+3
b) x2+3x+2
c) x2+1
d) x2–3x–2
e) x2+3x–2 19. Si n representa la cantidad de PRR de P(x)=x8+5x2–8 y m representa la cantidad de PRR de Q(x)=7x3+2x2–x–7, calcule mn a) 10
b) 6
d) 80
e) 48
c) 60
20. Se sabe que –1 es una raíz de R(x)=9x5+27x4+15x+k calcule el valor numérico de R (k) a) 48
b) –48
d) –42
e) 0
c) 42
21. Indique el número de factores primos de P(x)=x5–5x4+10x3–10x2+5x–1 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
22. Sea G (x)=x5–5x4+10x3–10x2+5x–1 Indique el factor primo de menor grado a) x2–x+1
b) x2+x+1
d) x2–x–1
e) x2+x–1
c) x2+1
23. Halle la suma de factores primos del polinomio M(x)=(x–7)3–6(x–7)+11x–83 a) 3x–27
b) 3x–6
d) x2+x–4
e) 3x
c) x2+2x–6
24. Al factorizar sobre Z el polinomio R(x)=ax3+13x2+bx+c, se obtiene R(x)=(2x+c+3)(3x–1)(x+2). Determine el valor de (a–5)2+b2+(c+1)2 a) 14
b) 38
d) 1
e) 3
c) 13
25. ¿Cuántos factores primos tiene el polinomio f (x)=(x–1)5+x? a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Tercer año de secundaria 33
9
Capítulo
Practica en casa 1. Relaciona correctamente: Polinomio a factorizar
Método a emplear
x2–4
A
Aspa doble
x3–5x+4
B
Aspa doble especial
C
Diferencia de cuadrado
2
2
x +3xy+2y +5x+8y+6 4
3
2
x –3x –2x –3x+1
D Divisores binómicos
2. Completar correctamente, con respecto al método de divisores binómicos se tiene : a) El polinomio P(x)=x3–3x2+2x–4 tiene como posible ceros: .
6. Factorizar: x4+3x3+8x2+10x+8, hallar la suma de coecientes del factor primo con mayor término independiente.
3
b) El polinomio Q (x)=x –3x+6 tiene como posibles cero: . 3
c) El polinomio R(x)=x –2x+5 tiene como posibles ceros: .
4
3
2
7. Factorizar: x +5x +7x –x–2, indicar el número de factores primos de primer grado.
d) El posible N (x)=x3+4x–8 tiene como posibles ceros: . 8. Al factorizar: (x–3)(x+1)(x–4)(x+2)–14, indicar la mayor suma de coecientes de un factor primo
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) (x–4) es un factor del polinomio 3
2
P(x)=x –4x +3x–12
( )
b) (x+2) es un factor del polinomio Q(x)=x3+3x2+x–2
( )
9. Al factorizar: b4+4b2+16, indicar el número de factores primos de primer grado.
c) (x–1) es un factor del polinomio 3
2
M(x)=x +2x –2x–1
( )
d) (x+3) es un factor del polinomio 3
2
N(x)=x +3x –2x+6
( )
4. Factorizar: x2+2xy–3y2+3x+y+2, indicar la mayor suma de coecientes de uno de sus factores primos
10. Al factorizar por el método del aspa doble el polinomio Q(x; y); se tiene el siguiente esquema 2 2 10x +14xy+by +10y+16x+6 5x
cy
3
ax
2y
d
hallar "a+b+c+d" 3
3
5. Factorizar: x –13x+12, dar la suma de factores primos de primer grado
2
11. Al factorizar: x –6x +11x–6, indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos
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Álgebra 12. Si (x+2) es un factor primo del polinomio 3 2 Q(x)=x –2x +ax–6, hallar "a"
13. Indicar el factor primo cuadrático de menor suma de coecientes, al factorizar: N (x)=x4+x2+25
14. Al factorizar un polinomio por aspa doble se obtiene el siguiente esquema: 2 2 10x +32xy+24y +41x+54y+21 x
y
x
y
Si los coecientes que faltan colocar son números consecutivos del 2 al 7, indicar la suma de coecientes de uno de los factores primos
15. Un dentista descubre una fórmula que deduce la cantidad de caries que posee una persona a partir del número de veces que dejó de lavarse los dientes antes de dormir. La fórmula es: P(x)=x2+5ax (x: número de veces que no se lavó los dientes). Hallar "a" si María dejó de lavarse una vez y tiene 6 caries.
Tú puedes 1. Si P es un polinomio factorizable 4 3 2 P(x)=3x +7x +13x +2x+20, halle la suma de los factores primos 2
2
a) 4x +x+5
b) 4x +5x+3
c) 4x2+x+9
d) 4x+x+10
2
e) 4x +10x+5 2. Determinar un factor primo de P(x;y) 2
2
5
4. Factorizar x +x+1, e indicar el número de factores primos. a) 1
b) 3
d) 4
e) 5
c) 2
5. Si H es un polinomio factorizable denido por 2 2 H(x;y)=6x +15xy+9y +10x+12y+4, sume los factores primos y determine el coeciente de la variable "x".
P(x;y)=15x –2xy–y +47x+3y+28 a) 5x–y
b) 5x+y
d) 5x–y–4
e) 5x–y+4
c) 5x+y+4
a) 1
b) 8
d) 5
e) 6
c) 3
3. Determinar el valor de "a" para que: P(x)=x4+ax3+7x2+6x+9, tenga raíz cuadrada exacta. a) 1
b) 2
d) 4
e) 7
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c) 3
Tercer año de secundaria 35
10
Capítulo
FRACCIONES ALGEBRAICAS Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. II.
3 x−2
esta denida sólo si
x−2 no 5
x
2
7. Simplicar:
!2
es una fracción algebraica.
III. − 5 equivale a la fracción X−2
x + 7x + 10
5
a)
1 x+5
b) 0
d)
x+2 x+5
e)
2−x
8. Efectuar:
`1
−
x a+
j`1 x
d) VFV
e) VVV
a) 2
b) x
2
d) 1
e) 2
F
=
2
9. Reducir:
a) b
b) ab
d) a2
e) b2
3. Simplicar:
a) d)
x
x
2
−x −1
x
1
F
=
x+7 x+5
+
b) 2
d) –1
e) 3
b)
d) –1
e)
−
2x − 3 x+3
2 x+3
c) 3
x+1 x+3
b) –1 x
−
c) x
b−a b−a−c
c)
b) 0
a a−b+c
e)
2x x
2
2
+
+
x−3
+
x
3x − 4
e) 0
a)
x
2
x+1
x−5 x+1
e
x
2 2
+
5x
−
25
b) e)
oc .
+
2
10x + 9
+
5x + 4
c) 3
x
2
− 5x x+1
m
x x+1
c) 1
x+5 x+1
x (x + 5) + 6 (x + 4) x+3 ' x (x + 9 ) + 4 (x + 10) x + 5
a)
x+3 x+5
b) x
d)
x+3 x
e) 1
e) 2
2
x
d) 1 x
1 a−b+c
a−b a−b+c
b) –2
13. Dividir: c) 0
a−b a−b+c
a) –3
d)
(x + 1) (1 − x) (2 − x)
=
a) 1
12. Multiplicar:
6. Reducir: (x − 1) (x − 2) (x + 1)
x+1
e) 2
11. Efectuar: c) –2
4x + 11 x − 5 + x+3 x+3
a) x
d)
d) 1
d)
x+8 x+5
a) 1
a) 1
b) x–1
M
x+3 2−x
+
2
x+1
e) 1
x+1
5. Efectuar:
c)
x+1
x
x−1 2−x
+
j c) a
a) x+1
10. Reducir:
b)
x−1
4. Efectuar:
x
2
c) a
x +x x−2
x a
+
b) FFV
a + ab a+b
c) 1
x+2 x+3
a) FFF
2. Simplicar:
c) VFF
2
(x + 7x + 10) + (x + 5)
c)
x x
+5
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Álgebra 14. Simplicar:
x
2
x−2
.
x
a) x+2
b) x+3
d) 1
e) 2
15. Simplicar:
2
x−4 2 2 x − x − 12 x + 3x + 2 x − 2 −
c
mc
1− 1 x y
+
5x + 6
.
c) x–1
1+ 1 x y
mc
a) 1
b) –(xy)–1
d) (xy)–1
e) 0
x y
−
y x
m
−
21. Operar:
`x `x
c) xy
j`x j`x
1 x + 1 ; x ^ 0 / x ^ 1 / x ^− 1 1 x−1
j j
+
−
1
a)
1
1− 1 x 1 +1+ x −
x+1 x−1
d)
x
b)
x+1 x
e)
x+1
c)
x
−
2
x−1 x
1
+
1
22. Efectuar: 6
x+2−
2
x+3 6 x+6
16. Efectuar: x−1+
x
Indicar la diferencia de los elementos de la fracción resultante a) 3
b) –3
d) 2
e) 1
17. Calcular nm, si:
x−1 x
2
b) –9
d) 64
e) –1
7x + 26 x
2
+
7x + 10
Hallar
A
2
+B
=
A x+2
m x+2
+
a
2
− 2a
− 6a + 5
+
3
a)
a
3 a+5
+
B x+5
c)
3
2
e)
2 a
2
3a + 18a + 15 a
c)
+5
2
− 25 6
3−a
6 5−a
xy −1 + 1
+
x+y
−
yx−1 + 1
−
c x 1y m
c) 4x+2
2 3
1−
1 x
a)
4x − 1 3x − 1
b) 3x+1
d)
7x − 2 3x − 1
e)
c) 7x–2
−1 7x − 2 4x
24. Calcular el valor constante que toma la fracción independiente de "x". 2
2
(bc − a ) x + (ac − b ) (b + c) x + a + c
a) a–b–c
b) a+b+c
d) 1
e) –1
c) a+b+2c
25. Reducir: 2
2
2
a (b − c) + b (c − a ) + c (a − b) (a − b)
3
+
(b − c)
3
+
(c − a)
a) − 1
b)
1 3
d) 3
e) 1
3
c) –3
1
+
a) x
b) x–y
d) 1
e) 0
www.trilce.edu.pe
e) 2
3
20. Efectuar: x+y
+ 3x
d) 4
c) 81
− 5a + 6 − 2 a − 7a + 10
b)
a−5
d)
x
b) x+1
x+1
e) 1
2
2
+x
1 2
a) x+2
3−
b) 5
2a
+
Indicar el numerador nal
F(x)= x −
n
19. Efectuar S=
x
2
2
a) 1 d)
=
3x + 2
+
+ 4x + 3
1
+
23. Indicar el equivalente de:
a) –8
18. Si:
c) ±3
2
c) x+y
Tercer año de secundaria 37
10
Capítulo
Practica en casa 1. Relaciona correctamente: El denominador común de: 1 + 1 + 1 x
y
xy
xy + y queda x+1
Luego de simplicar x−y+z y−z−x
x−y
El equivalente de:
2
x −y
2
A
–1
B
y
C
xy
D
1 x+y
2. Indicar verdadero (V) o falso (F):
7. Operar: R =
x−2 está denida sólo si: x ! 2 / x ! 5 ( x−5
a)
3
b)
x+2 5x x+6
c)
(
)
es una fracción reductible.
(
)
es cero. (
)
3 x+2
3 −x − 2
con
x
2
−9
oe
x
2
− 8x + 15 2 x − 5x
o
)
es una fracción irreductible.
d) La suma de
e
2
x + 4x + 3
8. Dividir :
e
x x
2 2
+ +
3x + 2 6x + 5
oe
x
'
x
2
+
2
−
o
4
3x − 10
3. Completar correctamente: La suma algebraica de fracciones homogéneas origina igual en la fracción resultante. 10 − x (x + 3) − 15 − x (x + 8)
4. Simplicar:
9. Operar: H = Siendo:
`a `a
+
+
1 a
j `a ' 1 j `a a 1 +
1
+
−
−
1 a
j 1 j a 1 −
1
−
a ^ 1 / a ^− 1 / a ^ 0
5. Efectuar: R
=
x x−y+z
+
z x−y+z
+
y y−x−z
10. Efectuar: F
6. Efectuar:
4 x+3
−
2
=
m
2
−
m
2
m−2 −
4
+
m
2
m
−
2
2m − 3
−
m−6
−
m m
2
2
+
+
4m
6m + 8
x+1
Colegios
TRILCE 38
Central: 6198-100
Álgebra 11. Identique el numerador resultante: F
1 z+2
=
1 z−2
+
+
17 5
14. ¿Cuál es el equivalente de continua?
1 z−1
en fracción
15. Un procesador formado por dos núcleos variables tales que: El núcleo T–1000, realiza: Los primeros 4000 cálculos en 1/2 segundo los siguientes 4000 cálculos en 1/3 segundo, los siguientes 4000 cálculos en 1/4 segundo y así sucesivamente.
12. Calcular a+b si: a x
+
2
b
+
3x + 2
=
x −2
2
x −4
13. Hallar el equivalente de: E
=
1
1−
2
1+ 1+
1 n−1
El núcleo U–1000, realiza: Los primeros 4000 cálculos en 1/3 segundo los siguientes 4000 cálculos en 1/4 segundo, los siguientes 4000 cálculos en 1/4 segundo y así sucesivamente.
Para el mismo número de cálculos en cada uno, indique las diferencias de las "fracciones de segundo totales" empleadas por T–1000 y U–1000 respectivamente
Tú puedes 1. UNMSM 2011–I Disminuyendo una misma cantidad a los dos términos de la fracción propia a resulta la b fracción b . ¿Cuál es aquella cantidad? a
a) 2a+b d) a+2b
b) 3a+b e) b–a 3x
2. Simplicar:
3
2x
+
3
3x
+
2
5x
2
+
Calcular "M+N"
Si:
x−2
e
3 (x) =
Calcular:
x
1 1 1+ x
2
a) 3 –5 d) 32–23
1
. 1−
1 2+ x
2
2
e 2
−
−
x
y
4 (x)
=
e
x
e 2
+
−
x
1 + 4 (2x)
a) 1 + 3 (x) d)
1
b) 3 –1 e) x
3
c) 2 –1
3 (2x)
4 (x)
1
2
2
b) 3 –6 e) b
5. UNMSM 2006–II
3. Efectuar 1+
−
b 2a − b 2a 2a − b
2
Indicar como respuesta el numerador reducido valuado en dos. a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 6 R=
=
+
a) 2 +1 d) a
c) a+b
2x + 2
+
N
2a 2a + b b 2a + b
3 (x)
1 + 4 (x)
b) e)
3 (x)
1 + 3 (x)
c)
3 (x) 4 (x)
4 (x) 3 (x)
3
c) 5 –2
4. Si: M=
1 + 2a b . b 2 2a (2a − b) 1+ 8ab
www.trilce.edu.pe
c
+
m
1
Tercer año de secundaria 39
11
Capítulo
CANTIDADES IMAGINARIAS I Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) 3
4
5
9. Calcular: Im (i12 + i20 + i19)
6
I. Al efectuar i +i +i +i se obtiene cero II. 1+i presenta como parte imaginaria a "1" III. Si Z=–2+4i, su forma cartesiana es (–2; 4i) IV. Si W=3i+2, su forma cartesiana es (3;2) a) VVFF
b) VFVF
d) VVVV
e) FFFF
c) VFFV
2. A partir de: Z=–3+2i
b) –4
d) –6
e) 1
c) –5
3. Sea Z–3=2+5i Indique la parte real de Z disminuida en su parte imaginaria. a) 10
b) 2
d) 5
e) 0
c) 4
b) 0
d) 2
e) 3
c) 1
5. Calcular: 5m+2n, si el complejo m
d) –1
e) 0
10. Efectuar:
40
R e (i
55
+i
c) 1
70
+i
a) –2
b) 2
d) 0
e) –1 403
c) 1
216
+i
95
+i )
+i
a) 1
b) i
d) 0
e) –1
325
423
+i
+i
121
c) –i
12. Si al complejo (3;–2) le disminuimos 2 unidades en su parte real y le aumentamos 2 unidades en su parte imaginaria, resulta un: a) imaginario puro
b) complejo real
c) complejo nulo
d) la unidad imaginaria
e) hay 2 correctas
4. Calcular m+n, si el complejo W=(m+4)+(n–3)i es nulo a) –1
b) i
11. Calcular: M=i
Indique 2Re (Z) + Im (Z)) a) –3
a) –i
13. Si (m;n) es la unidad imaginaria en su forma cartesiana y (p;q) es la unidad real en su forma cartesiana. Calcular E=(m+1)
3
n+1
+(p+2)
q+2
Z=(m –27)+(n –125)i es nulo. a) 10
b) 25
d) 20
e) 30
c) 15
14. Reducir:
6. Reducir: S= i5+i9+i13+i17+i21 a) i
b) 1
d) –i
e) 5i
c) –1
7. Efectuar: M=i+i 2+i3+i4+....+i103 a) –i
b) –1
d) 1
e) i
8. Efectuar:
−3 .
− 12 +
a) –16i
b) 16i
d) 16
e) –4
c) 0
−5 .
a) 8 d) 12
− 20
c) –16
b) 9 e) 17 (6i
20
c) 10
34
+ i ) (3 + 2i) 16 13 3i + 2i
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
15. Sea Z=(a–3)+(2a–1)i. Si "Z" es real Calcular el valor de "a" a) 2 d)
1 3
b) 1
c)
1 2
e) 5
Colegios
TRILCE 40
Central: 6198-100
Álgebra −6
16. Efectuar:
.
3
−6 +
−8
a) 3 d) 12
− 1+
3
.
i i
46
+
+
i
54
i
− 64
a) i d) –1
c) 9
22. Calcular:
i
−
i
c) 1
W
b) 1 e) –2 5
10
c) –1
M
=
i
2
+
2
2 +
i
3 2
+
i
2
4 +
...
b) 0 e) 18
1 i
3
+
1 i
4
+
1
... +
i
+i
3
1,
+
i
20
c) 2
calcular
4
+ 2
843
... + i
−
3
i
b) 1
d) i
e) –i 26 25
24. Efectuar: i
+i
a) 0 d) 3i
b) i e) –i
1 2
c)
28 27
36 35 34 33
+i
c) 2i
25. Calcular la suma: G=i2+2i4+3i6+4i8+...+2ni4n a) n b) 2n c) –n d) 0 e) 4n
1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 3
20 tér min os
a) 20 d) –i
2
−
20 19 18 17
c) 2i
+
a) –1
18
i
=
2−i+i
17
b) i e) 3i
20. Calcule:
=
i+i
+i
a) 0 d) –i
1 1 + 2 i i
b) 3 e) 0
23. Siendo: i
18. Si: Z1=i9+i7+i3 y Z2=i8–i3 Calcular R e (Z1 + Z2)
19. Reducir: i5 + i9
=
a) 4 d) 1
673
b) –i e) 2i
a) 0 d) 2
E
65
+
520
21. Calcular: E=i12517+i5555+i22222+i–333+i8 a) –1 b) 1 c) i d) –i e) 0
− 16
b) 6 e) 4 32
17. Reducir:
3
−9
c) i
Practica en casa 1. Relaciona correctamente: 10
i +i
14
A
3. Completar correctamente En el complejo , tanto su parte real como su parte imaginaria son iguales a cero
–5
10
−5 −5
La parte real de: –5i+5 30
31
32
33
34
i +i +i +i +i
B
–1
C
–2
D
5
4. Si: W=–5+3i ¿Cuánto hay que sumarle para que se transforme en un complejo nulo? 5. Si Z=3+(p "p+1"
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
p+2
–16)i es un complejo real, indicar
I. Si(r–3)+8i es imaginario puro, en( tonces r=3
)
6. Calcular mn+nm sabiendo que : m n Z=(m –4)+8(n –27)i, es un complejo nulo
II. En Z=3i–4 su parte imaginaria es 3i
)
7. Efectuar:
5
(
N
6
III. Luego de efectuar i+i +i , su parte ( real es 1
)
IV. Al operar − 8 − 2 se obtiene un ( complejo real
)
=
− 10
114
8. Sumar: i
− 10 +
205
+i
−3
115
+i
−
206
+i
27
116
+i
207
+i
117
+i
208
+i
9. Calcular: 315 728 419 324 221 541 S=i +i +i +i +i +i
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Tercer año de secundaria 41
11
Capítulo
10. Operar: H
=
−
3
−
3
−
4
−
−
2
−
2
−
13. Indicar: Im (i10 + i12 + i18 + i 24)
25
11. ¿Cuánto hay que sumarle a 3–5i para que resulte un complejo real)?
12. Efectuar
5
15. Josena le dicta por teléfono a José "i 3+i8+i17" para que este, le otorgue la respuesta, pero José 3 8 17 en forma distraída transcribe "i .i .i ". ¿Cómo resultan los cálculos?
6
R e (3 + i
14. En la pantalla de su calculadora José observa un número complejo en su forma binómica 3–4i. Pero en su computadora el programa usado le permite ingresar el mismo número en su forma cartesiana. ¿Cuál es esta?
+i )
Tú puedes 1. Calcular: 50
F
=
i
20 50
70
12
+
i
+
i
20
i
30
10
+
i
+
i
12
70
4. En un número complejo sus partes suman dos. Si al triple de su parte real le sumamos el doble de su parte imaginaria obtenemos el complejo nulo. Calcular el opuesto de su parte real.
10
30
a) –i
b) i
c) 1
d) –1
e) 3
−1
2 j i, donde x ^ 1 / y ^ 2
−
b) –6
d) 2
e) 4
2
Z
=
J
^1 + 3ih + K
b) 3/4
d) 1/8
e) 8
3. Reducir: a)
3
12
d) 6 6
−
i
2
+
3
7
−
( 2 i)
2
2
b)
5
+
2
2
N
xiO
O O P
a) − 3
b)
1 3
d) − 3
e) − 2
c)
1
2
( 3 i)
18
+
sea imaginario puro.
c) 5/2
4
−
1
K1 + 3 K 1+ x L
Calcular 1 + y x a) 5/4
c) 6
5. Hallar x para que el complejo.
2. A partir del complejo nulo: ^xx − 2 − 1h + ` y y
a) –4
2
48
2
c)
12
3
54
e) hay 2 correctas
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Capítulo
12
CANTIDADES IMAGINARIAS II Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F):
10. A partir de la igualdad:
I. El opuesto de –3–4i, es 3–4i
mi+5(3+ni)=3(5+6i);
II. 5(3+5i)+(–25i) es un imaginario puro
Calcular:
III. El conjugado de Z= 2i+3 es Z=2i–3 a) FFF d) VFV
b) FVF e) VVV
c) FFV
b) 7 e) 10
c) 8
3. Sean los complejos: Z 1=5+3i y Z2=6–3i Calcular: P=Z1*+ Z2 a) 1 d) 3i
b) 2 e) –5i
c) 0
b) 1+3i e) 3–i
b) –7–19i e) 7
c) 2–3i
b) 4 e) 10
c) –7+19i
c) 6
7. Si: Z1=3+2i ; Z2=1+4i y Z 3=2+5i Calcular: –Z1+ Z2+ Z3 a) –6i d) –10i
b) –7i e) –11i
c) –9i
8. Calcular: Z=|–3+4i|+2–7i+R e(–5i+8) a) 13+7i d) 8+9i
b) 15–7i e) 10+12i
c) 15+7i
9. Si: W1=7+2i , W2=–7+3i , W3=–2–5i Calcular: W1+W2–W3 a) –2+5i d) 2+4i
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b) 1–4i e) 2–4i
18 − 4n m+n
b) 2 e) 0
c) 3
Z1=x2+16i ∧ Z2=25+y2i Si: Z1= Z2 , indique un valor que tome x+y a) 10 d) 5
b) –1 e) –5
c) 2
12. Sea: Z ∈ C , donde R e(Z)=R e(Z*)+8
y
a) 4+5i d) 5–4i
b) 5+4i e) –5+4i
c) 4–5i
13. Hallar ab , si + 5–4i+2| 3 +i|=a+(b+2)i
6. Si m+ni=5(3+2i)+1; i= − 1, calcular m–n a) 2 d) 8
1
Determinar el equivalente a Z
5. Operar: 2(–5+2i)+5(1–3i)+Im(5–2i) a) 7–19i d) 19i
−
Im(Z*)=3 Im(Z)–20
4. Efectuar: i(3+4i)+Re(3–2i) a) 2–i d) –1+3i
=
=
11. Sean los números complejos:
2. Hallar m+n, si se cumple: (2m–1)+7i=9+(3n–2) a) 6 d) 9
a) 1 d) –1
E
i
a) 4 d) 6
b) –4 e) 18
c) 10
14. Calcular Z2 , siendo Z=|–1+i|+ 2 i a) 4i d) 16i
b) 2i e) 0
c) 8i
15. Si: 3(m+i)+2(n+i)=2(m+n)+3+pi Calcular Z , siendo Z=m+pi a) 3+6i d) 2–5i
b) 3–5i e) 1+6i
c) 3+5i
16. Completar correctamente Si el conjugado de m+ni es –7+8i luego m+n es igual a . 17. Considerando Z1=8+6i ∧ Z2=–3–7i Calcular R e(Z1)+R e(Z2)
c) –2–4i
Tercer año de secundaria 43
12
Capítulo
18. Efectuar 40
41
42
43
44
45
22. Si: W1=7+2i , W2=–7+3i , W3=–2–5i Calcular: W1+W2–W3
46
H=i +i +i +i +i +i +i
19. Completar Conj Co njug ugad ado o
Opu Op ues estto
Módulo
23. Considerando: Z1=1+i , Z2=3i y Z3=4 Calcular: 3Z 3Z1+Z2–Z3
Z1=–2+4i Z2=3+4i Z3= −
3
24. Efectuar: E=i+i 2–i3+i4–i5+i6–i7+i8–i9
− 2i
20. Operar: 2(–5+2i)+5(1–3i)+Im(5–2i) 25. Si: m+ni=5(3+2i)+1;
i
=
−
1,
calcular m–n
21. Efectuar: i(3+4i)+Re(3–2i) i(3+4i)+Re( 3–2i)
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: El opuesto de –3+2i
A
–3+5i
El módulo de 1+3i
B
–3–2i
5i5+3i2
C
3–2i
Efectuar –2(1+i)–1
D
10
4. Si Z1=3+2i ∧ Z2=3+2i Calcular R e(Z e(Z1+5)+R e(Z e(Z2+3) 5. Del complejo: Z=10+3i, si a su conjugado le sumamos su opuesto se obtiene un: 6. Completar Conjugado
2. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. 3+2(i+5)–13 es un imaginario puro. II. 2(8+8i)–(16+16i) es el complejo nulo.
Opuesto
Z=3+8i (
)
Z2=2–i
(
)
Z3=5+
III. i16+4–2i20 es un complejo real
(
)
IV. El módulo de –5 es cinco
(
)
3. Completar correctamente Para obtener el conjugado de un número complejo basta cambiar de a la parte imaginaria.
2
Recordar, el opuesto de Z, se puede representar así: –Z 7. Efectuar: 3+2i+2(–3+4i)–Re(2+i) 8. Calcular: 7(2–5i)–Im(1+30i) 9. Si: Z1=3+2i; Z2=1+4i y Z 3=2+5i Calcular: Z1 + Z2 + Z3
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Álgebra 10. Si: Z1=3+2i ; Z2=1+4i y Z3=2+5i Calcular: − Z1 + Z2 + Z3
14. En el plano de Gauss: Z 1=(3;0), siendo el triángulo equilátero, Calcular m+n, si Z 2=(m;n) Im
4
8
12
16
11. Calcular: S=i +i +i +i +...+i
Z2
100
12. Si: 3(m+i)+2(n+i)=2(m+n)+3+pi, Calcular Z, siendo Z=m+pi
Z1
R e
15. Una señal periódica queda descrita según: 13. Sabiendo que: x+y=3 ∧ xy=1 2 2 calcular |Z–3i| , si Z=x+(3+y)i; i =–1
Z
=
x + yi =
*
x ! 63t; 3t + 1 x ! 63t + 1; 3t + 2 x ! 63t + 2; 3t + 3
/y = /y = /y =
1 2 3
Considerando "t" unidad por segundo. Indique su gráca en el plano de Gauss.
Tú puedes 4. Hallar los valores de "x" e "y" en la ecuación: 2x+10+5y+(7x+4y)i=19i
1. Si Z=|3–2i|+ 5 i, calcular |Z| a) d)
b) 2 2
3 3
2
e)
2
c) 3 3
3
2. Calcular "m+n" si: 3+2i–2–ni=m–|–3+4i| a) 6
b) 4
d) –4
e) 10
3. Calcular "ab" si: 5–4i+2| a) 10
b) 6
d) 2
e) 8
c) 8
3 +i|=a+(b+2)i
c) 18
a) 0;3
b) 4;–2
d) 5;–4
e) 1;–2
c) 4;–5
5. Universidad Agraria la Molina 2009–II a)
26 4
Z2=12+2i
b)
26 2
Z3=–5–i
c)
23 2
Si: Z1=1+2i
Z4=2–
i 2
d) 2 e) 5
Hallar,
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Z1 − Z3 Z2
+
Z4
Tercer año de secundaria 45
13
Capítulo
CANTIDADES IMAGINARIAS III Problemas para la clase
1. Operar: E =
(x + 3) (y − 2) xy + 3y − 2x − 6
−
6. Relaciona correctamente: (i 2=–1)
3 2
(2+i)(1–i)
A i
1+i 1−i
B 2i
(1+i) 2. Reducir:
S
=
3 x−1
+
x+1 x+1 + x−2 2−x
+
3
2
C 3–i
(2–i)2
D 3–4i
1−x
7. Indicar el valor de verdad de cada proposición 2 (i =–1) 2 2 a) (1+i) =–(1–i) ( ) 1
b)
1+i
+
1 1−i
( )
2
=
c) (1+i) =4
4
( )
d) (4+i)(4–i)=15
( )
3. Efectuar: A=(x+3)(y+2)–2x–xy
8. Completar en cada caso: a) (5+2i)(2–3i)= 1+i 1−i = + 1−i 1+i
b) 4. Reduce:
x
2
−
4xy + 4y
2
(x − 2y) (x + 2y)
+
2xy − x x
2
+
2
2xy
2
2
c) (1+i) +(1–i) = 2
d) (1+2i) –4i= 9. Si:
z
=
2 − 3i ; 1+i
indicar el equivalente de 2
"(z+3)(1+i)" (i =–1) 5. Simplicar: F=
` x +2 3 j` xx ++ 45 j` xx ++ 73 j` xx ++ 45 j` x +2 7 j 10. Simplicar: z
=
(1 + i) 2i
2 +
(1 − i) 2i
2
2
; i =–1
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Álgebra 2
11. Relacionar correctamente (i =–1) (5–i)(2+i) (1+i)
`1
1 + 3i 2
A
4
18. Si:
C –i
1 i
D –4
1 1 1 1 1+ 1+ ... 1 + i i+1 i+2 i + 99
j`
j`
j `
j
=
a + bi
2
Calcular: a–b; siendo i =–1
B 11+3i
2+i 1−i
+
a) 100 d) 109
b) 101 e) 103
c) 99
19. Si: z=(2+3i)(2–3i)(1+2i); indicar el valor de: Re (z) + Im (z) ;
12. Indicar el valor de verdad de cada proposición: (i2=–1) 2
a) (1+2i) =3–4i
( )
2
si i =–1
a) 13 d) 52
b) 26 e) 42
c) 39 4
b)
` 11 − ii jc 11 − ii m +
+
=
20. Si: z=(2+i); indicar el equivalente de: (z) − 1; 1−i i= –1
( )
2i
8
c) (1+i) =16
( )
d) (2+3i)(5–i)=13+13i
a)
( )
c)
13. Completar en cada caso
17i
2 30 + 17i 2
b)
31 − 17i 2
d)
30 − 17i 2
e) –16+8i
a) (8–i)(4–2i)= b)
− 31 +
3+i = 4 − 3i
21. Si: z=1+i y w=1–i, calcule: ^z − wh 2 + ` z j ; w i= –1 4
2
2
c) (3–i) +(2+i) = 3
a) 1 d) 3
2
d) (1+i) –(2i+1) = 14. Si: z1=5–2i; z2=3+i ; i= Determinar "z3"; si:
–1
z3 = 10
22. Efectuar:
8 zz B 1
2
13 i
a) 13–11i
b)
d) 11i
e) 13+11i
b) 4i e) 8+4i E
1
=
1−
a) –i d) –2i
+
i
1+i 1+i 1− 1−i
b) i 4 e) i
2
c) 6i ; i=
–1
c) 2i
17. Halle: x.y, sabiendo que se cumple: (x+4i)(7+yi)=23+43i ; i= –1 a) 2i d) 10
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b) 1–2i e) 14
1−i
2011 2011
+
1−i 1+i
c) –3 2011 219 2011
o
b) 5 e) 2
2
; i =–1 c) 3
23. El número complejo "Z 0" satisface la relación: 2
16. Simplicar:
e
1+i
a) 7 d) 0
c) 12i
15. Si: z=i–1 / w=3+i; reducir E=z +w ; i= a) 9i+9 d) 8–4i
b) –2 e) 4
–1
5 + 3i
−4 + i
=
2i z0
− 2i, determinar el valor de f (z0); 2
donde: f (x)=x –3x+3; i= a) 1+i d) 2i
b) 2–i e) i
–1
c) 2+i
24. Hallar un número complejo tal que si al dividirlo entre (4+5i) y al cociente sumarle 4; se obtenga (5+i). Dar como respuesta su parte imaginaria. a) 2 d) 9
b) –1 e) –9i
c) 4i
c) 15
Tercer año de secundaria 47
13
Capítulo
25. Los números complejos también se utilizan en el área de la electrónica. En el siguiente circuito eléctrico calcular la resistencia equivalente. Sabiendo que: R 1=4+3i; R2=2+i, además REQ = R1.R2 ; i= –1 R1 + R2
(Req= Resistencia equivalente) R1
a) 7+4i
R2
c)
4i + 7 12
e)
4i + 7 12
b)
7 + 4i 13
d)
35 + 20i 26
Practica en casa 2
1. Relacionar correctamente (i =–1)
7. Halle xy, sabiendo que se cumple: (x–3i)(6+yi)=20+40i
(5+i)(2–i)
A –4
(1–i)4
B
2+i 1−i
C 11–3i
1 2
+
3 i 2
8. Si:
`1
j`
j`
j `
j
=
a + bi
Calcular: ab; siendo i =–1
D i
2. Indicar el valor de verdad de cada proposición (i2=–1) a) (1–2i)2=–3–4i ( )
` 11 ii j` 11 ii j −
+
+
−
=
8
( )
d) (2–3i)(5+i)=8+12i
( )
2
1
=−
4
e
2
c) (3+i) +(2–i) = d) (1–i)3–(2i–1)2=
z −1 ; 1−i
Determinar "Z 3";si: /
=
w
=
Z
3 =
10
1+
1−i
3z 1−i
; E Z1 Z2
3 − i; reducir: z
i−
1+i
2015
2015
+
1−i
2015
1+i
2015
219
o
; i=
–1
13. Si z=a+bi, donde "a", "b" ! R ; hallar los valores de "a" y "b" que verican la igualdad:
4. Si: Z1=5+2i; Z2=3–i
Z
2
12. Efectuar
3−i = 4 + 3i
6. Simplicar
Re (z) + Im (z); si i
11. Si: z=1–i y w=1+i, calcular: (z − w) 2 + ` z j 4 ; w i= –1
3. Completar en cada caso: a) (8+i)(4+2i)=
5. Si: z = i + 1
9. Si: Z=(3–2i)(3+2i)(2+i); indicar el valor de:
10. Si: z=(1+i); indicar el equivalente de: 2 i = –1
( )
4i
c) (1–i) =16
b)
1 1 1 1 1− 1− ... 1 − i i−1 i−2 i − 99
2
−1 i
b)
−
1−i 1−i 1−i 1+ 1+i
2
2
+ w +z
+
3z i
=
, señalar: (a+b) 2
4 3−i
14. Si un número complejo de divide entre 5+i, y al cociente se le suma 2, se obtiene 3–i. Hallar la parte real del complejo original. 15. Reducir: H
=
8
1−i 1+i
−
1+i 1−i
8 11
B
−i +i
−
1+i 2 1−i
B
2
; i =–1
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Álgebra Tú puedes 1. Efectuar:
E
=
1− 1−
a) 1
b) i
d) –i
e) 1–i
d)
donde i = − 1, es igual a:
+
1+
i 3
b) –2
d) 2
e) –10
c) 10
5. Reducir:
b)
i 5
a) 1–3i
–1
(z + w) i w
Halle: 2 3
2
(1 + i) (1 + 3i) i−3
c) 1+i
2. Sean: z=3+2i y w=2+i ; i=
a)
4. La expresión
1+i 1+i 1+i 1+i 1− 1 i 1− + 1−i
e)
−
1 5
1 5
+
+
13 i 5
c)
2 5
M=
c
i=
–1
1+
3i
1−
3i
3
m c +
1+
3i
1−
3i
6
m;
+i
3i 5
a) 1
b) 2
d) 6
e) 8
c) 4
3. Universidad agraria la Molina 2009 – II Si: z1=1+2i
z2=12+2i
z3=–5–i
z4= 2 −
Hallar : a)
z1 − z3 z2
20 4
d) 2
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i 2
+ z4
b)
26 2
c)
23 2
e) 5
Tercer año de secundaria 49
14
Capítulo
TEORÍA DE ECUACIONES Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. En ax–12=0, si a=3, entonces "x" es cuatro.
9. Hallar m+n , si la ecuación en "x": (2n–6)x+(m3–8)=0 indeterminado
II. x+5=x+3 es una ecuación absurda.
a) 1
b) 3
III. Si 2(x–1)=5(x–1) entonces x=1
d) 7
e) 9
a) VVF
b) VFF
d) FVF
e) VVV
c) FVV
2. Resolver: 2(x–5)+3=9 a) 2
b) 4
d) 8
e) 10
c) 6
3. Resolver: 3(x–1)+2(x+2)=4(x+1) a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
4. Resolver:
x+3 5
=
2
a) 1
b) 3
d) 7
e) 9
5. Resolver:
x+1 2
+
c) 3
x+2 3
a) 1
b) –1
d) 2
e) 3
c) 5
=
2
II.
y+3
III.
=
10. Hallar el valor de "m" tal que la ecuación en "x" (m2–9)x+(m–3)=0 es incompatible a) 4
b) 3
c) 2
d) –3
e) –1
11. Resolver: 5x + 2 +
2017 x−3
=
4x + 5 +
a) 3
b) –3
d) { }
e)
2017 x−3
c) {0}
R
12. Resolver: 5(x–2)+3x=8x–10 Indicar posteriormente su conjunto solución. a) {3}
b) {2}
d) { }
e)
c) {0}
R
13. Resolver: c) 0
x x
6. Resolver por simple inspección: I. 3x–5=16 8
c) 5
2 2
+
7x + 10
+
9x + 20
=
3 2
Indique el recíproco de su solución
2
a) 8
b) 4
c) –1/4
d) –1/8
e) –4
z+1= 5
14. Resolver:
Indicar "x+y+z" a) 15
b) 26
d) 30
e) 32
c) 28
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
8. Resolver:
c) 3
(x+3) 2=(x+2)(x+1)+10
a) 1
b) 2
d) 3
e) 0
c) –1
13 +
a) 1
b) 4
d) 6
e) 8
15. Resolver:
7. Si 6 es solución de la ecuación: (8–n)(x–5)=4n–2, calcular "n"
5+
2
x−4
+
1
7
+
x
=
3
c) 5
=
a) 10
b) 4
d) 8
e) 10
5
c) 5
16. Si la ecuación: 3(nx–1)+m=x+2, presenta innitas soluciones, calcular 3n+m a) 4
b) 5
d) 3
e) 8
c) 6
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Álgebra 17. Indicar los valores de "n" tales que permitan a la ecuación: 4(nx+2)=8(x–1)+1, presentar solución única en "x". a) R –{2} d) {2;4}
b) R e) {2}
c)
R –{–4}
18. En la ecuación: x−m n
+
x−n m
b) m–n
d) m+2n
e) 2m–n
c) mn
5−x
5+x
−
5−x
=
10
a)
10 101
b)
100 101
d)
1 101
e)
2 103
c)
5 101
x−n n
m
=
2
n mn +
2
a) {m;n}
b) {m}
d) {m+n}
e) { }
2mx − 3 x−1
+
3mx − 2 x+1
=
2m + 3
Se reduce a una ecuación de primer grado en "x" ¿Qué valor asume el parámetro "m"?
19. Indicar el conjunto solución de:
c) {n}
a) –1
b) 1
d) –2
e) 3
c) 2
25. Si la ecuación de primer grado (x–a)(2x+1)+bx2+8x+5+a=0 no tiene solución real, hallar a+b
20. Resolver: x−m−n p
+
24. Si la ecuación:
a) m+n
+
5+x
2,
=
luego de resolverla, indique su solución
x−m m
23. Halle "1–x" en:
+
x−n−p m
+
x−m−p n
=
3
a) mnp
b) m+p+1
c) m+n+p
d) mn+np+mp
a) 5/2
b) 5
d) –5/2
e) 1/2
c) 5/4
e) 1 21. Resolver: 3x − 1 2
+
1
=
3x + 1 2
−
1
,
indique posteriormente el opuesto de su solución. a)
2
b) 2 2
d)
2 2
e) –
c) − 2
2 3
22. La solución de: ^x − es "
2
2 h + ^x − 2
2
2
− 1h
^ − 3h2 + n
= x
+ 3"
Halle el valor de "n". a) 9 d)
b) 11 8
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e)
c) 5
2
Tercer año de secundaria 51
14
Capítulo
Practica en casa 1. Relacionar:
8. Resolver: x
5(x–8)+2(8–x)=0 x+2 3 3
4
+
4
=
x=7
B
x=5
C
x=8
I. 2x+5=2x+5 es una ecuación compatible indeterminada. ... ( x+
1 x−5
... (
=
5+
)
1 x
−
5
2
+
2 (x + 1) x
2
+
3x + 2
=
1
9. Indicar el conjunto solución de: +
x+c b
=
2
;
b c
+
c b
+
E
1
10. Calcular "a" si la solución de: ^x − 5 h2 + ^x − 1 − 5 h2 = a − 2, es "
5
+ 1"
, se resuelve con x=5.
)
III. Si x=2 en ax+b=0, entonces 2a+b=0 ... (
4
(x + 2)
x+b c
2. Indicar verdadero (V) o falso (F):
II.
−
Indique su conjunto solución:
x−1 = 4 6
+
x+3
A
2
)
11. Calcular 4n–3m; si la ecuación en "x": (n+2)(x+3)=m(x+2) presenta innitas soluciones.
3. Completar: Si la ecuación presenta innitos valores para "x", entonces será llamada indeterminada.
12. Indique un valor que no admite "m" tal que la ecuación en "x": m(mx+1)=x+2, presenta solución única.
4. Resolver: 3x − 2 +
1
=
x−2
4x + 4 +
1 x−2
13. Si la ecuación 3(mx+n)+mx=4(2x+3) es absurda. Identique el valor que no debe admitir "n".
Indique el conjunto solución.
x + 12 4
5. Calcule "x" en:
+
x+8 12
=
5
14. Resolver : 4
7x − 2 x+1
−
1
=
1−4
x+1 7x − 2
, indique
el recíproco de su solución. 6. Al resolver: x−
2 3
+
x−
3 2
+
x−
3
−
2
=
2
Se obtiene:
7. Luego de resolver: 5x + 4 3
−
4
=
15. Manuel va de compras llevando cierta cantidad de dinero. ¿Cuál es esta cantidad si por cada 7 soles que gastó ahorró 5 soles y gastó 800 soles más de lo que ahorró?
5x − 4 3
+
4
Indique el opuesto de su solución.
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Álgebra Tú puedes 1. UNMSM 2010 – II
4. UNMSM 2011 – I
Al dividir 287 entre un número positivo "n" se obtiene como cociente (n–1) y de residuo (n–2). ¿Cuál es el valor de "n"? a) 15
b) 19
d) 17
e) 16
c) 18
2. Indique la solución de: x 6
+
x 12
+
x 7
a) 86 d) 80
+
5+
x 2
+
4
=
b) 82
e) 18
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c) 112 Kg.
d) 110 Kg.
2
2
5. Si np=m +p , resolver en "x" c) 88
Ana compró un bolsa de caramelos, consumió la cuarta parte y regaló 5; después Ana comió la mitad de los que tenía y obsequió los 5 que le quedaban. ¿Cuántos caramelos contenía la bolsa al inicio?
d) 22
b) 116 Kg.
x
3. UNMSM 2011 – I
b) 25
a) 106 Kg. e) 120 Kg.
e) 84
a) 20
Un frutero compra fresas pagando S/.7.00 por cada 3 Kg. de fresa. Si vendiera a S/.13.00 cada 4 Kg. y ha ganado el precio de costo de 44 Kg. de fresa. ¿Cuántos Kg. de fresa vendió?
m n x+ m m p
`
j
−
m
2
c x p 1m +
a) 5
b) 10
d) 7
e) 9
=
9p ; mp≠ 0
c) 8
c) 30
Tercer año de secundaria 53
15
Capítulo
REPASO II Problemas para la clase 1. Relacionar las columnas correctamente: 2
(x+3) (x–5)(x+5) (x–5)2 (x+3)(x+2)
A B C D
2
`x
+
1 x
2
j
=
64
2
x –10x+25 x2+6x+9 x2+5x+6 2 x –25
11. Relacionar las columnas correctamente:
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones 2
(
)
2
(
)
III. 3x –x=x(3x–1)
(
)
IV. (x+4)2–(x–4)2=16x
(
)
I. x –5x+4=(x–4)(x–1) II. x –7=(x– 7 )(x+ 7 ) 2
2
(x+5) =
2
A
(x–2)(x–1)
(x–6)(x+6)=
B
(x +4x–21)
(x+7)(x–3)=
C
x2–36
D
x +10x+25
2
x –3x+2=
2
2
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones 2
I. x +9x+20=(x+4)(x+5) 2
II. m +4m+3=(m+3)(m+1)
3. Desarrollar los siguientes ejercicios: 2
–2
10. Calcula: x +x , si
2
2
2
(
)
(
)
a) (x+1) –(x–1) =
.
III. (a–b) =a –2ab–b
(
)
b) (x–8)(x–2)=
.
IV. (x+5)(x–3)=x2+2x–15
(
)
2
2
c) ( +2) –( –2) =
.
d) 2x(x+3)+x–1=
.
4. Factorizar: P(x)=x 5+3x3+x2
13. Completar en cada caso: 2
a) Factorizar: x +2x–24 2
.
2
.
c) Factorizar: ab+ac+b +bc
2
.
d) Factorizar: n 4–4n2+4
.
b) Factorizar: 25a –36b 5. Factorizar: L(x;y)=xy+y+x+1
6. Factorizar: x4–3x2+x 14. Sabiendo que: 7. Factorizar: y2–my+ny–mn
J=(x+1)(x+4)
T=(x+6)(x–1)
Señale el valor de: J–T 2
8. Si: a+b=4 y ab=3, calcular: a +b
2
a) –10
b) 4
d) 10
e) 24
c) –6
9. Calcula ab; si a3+b3=10 y a+b=5
Colegios
TRILCE 54
Central: 6198-100
Álgebra 2
2
2
2
15. Efectúa: R=(a+b)(a –ab+b )–(a–b)(a +ab+b ) 3
a) 2
b) b
3
d) a
e) 2b
c) 2a
3
3
16. Si se cumple que: a 2+b2=3ab, reduce: E
=
(a + b) (a + b)
a) d)
2 2
−
(a − b)
+
(a − b)
1 3
d) x5+2
e) x5+3
A=
c)
4 3
4 x
2
x
−9
4
6
b) 3a x(1–3a )
2
4
2
d) 5a x(3+4a )
4
c) 3a x(2–3a )
2
2
4
e) 6a x 2
2
18. Factorizar: (x +y )–5y(x +y )
x
2
− 6x + 9 2 2x − 18
G=
2
x +9 2
G; x –3; 3 ≠
2
x +9
b)
2
(x + 3)
2
G=
(x + 3)
9
c)
4
a) 3a x(1–3a )
c) x–2
2
(x + 3)
17. Factorizar lo siguiente: 6a x–9a x
2
=
a)
e) 1
2
5
b) x +9
23. Reducir al efectuar lo siguiente
; ab≠ 0 2 2 3
5
a) x–9
2
b)
5 3
10
22. Factorizar: x –7x –18, e indicar uno de los factores primos.
2
d) 1
2
e) 0 24. Factorizar: P(x)=x3–6x2+11x–6 a) (x–1)(x–3)(x–2)
b) (x–1)(x+2)(x+3)
c) (x–2)x(x–4)
d) (x–1)(x+6)
3
2
2
a) x
b) 6y (1–5y)
c) (x2+y2)(1–5y)
d) (x2+y2)(5y)
2
19. Factorizar: F(x)=(x2+x+1)(x+2)–(x2+x+1)(3–x)
2
c) (x +x+2)(2x+4)
b) (x2+x+1)(2x–1) 2
d) (x –x+1)(2x–1)
c) (x–2)
2
e) (x–2)
3
b) (x+1)2(x–1) d) (x–1)
4
2
2
26. Factorizar: x –13x +36 a) (x2+4)(x+1) c) (x–3)(x+3)(x–4)(x+4)
20. Aplicar "aspa simple" para factorizar: 2 (x+1) +5(x+1)+6 a) (x+3)(x+2)
b) (x+4)(x+3)
c) (x+1)(x+6)
d) (x+2)(x+1)
e) (x+5)(x+1) 21. Factorizar el polinomio: 4y 2–22y+10 a) (4y–2)(y–5)
b) (2y+2)(2y+5)
c) (4y–5)(y–2)
d) (y+20)(y–2)
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2
b) (x–3)(x+3)(x+2)
e) (x2+x+1)(2x+1)
e) (4y+2)
3
25. Factorizar: M (x)=x –x –x+1 a) (x–1)2(x+1)
2
e) –4y(x +y )
a) (x+1)(x+2)
e) x –3
d) (x–3)(x+3)(x–2)(x+2) e) (x–5)2 4
2
27. Factorizar: Q(x)=4x –37x +9 indicar un factor primo a) x+2
b) x–2
d) x+4
e) x+6
c) x+3
28. Factorizar: a5+a–1, e indicar un factor primo a) (a2–a+1) 3
2
d) a –a
b) a2+a+1
c) a3+1
e) a(a–2)
Tercer año de secundaria 55
15
Capítulo
2
29. El polinomio x –12x+36, representa el área de un cuadrado ¿Qué expresión representa el lado
30. Pamela dibujó un polígono cuya área es igual a la suma de áreas de tres cuadrados diferentes. 1
del cuadrado?
1
a) (x–5)
b) x–2
d) x–6
e) x+6
c) x+1 x+1
x
x–1
¿Qué binomio representa el área del polígono? a) 4x2+1
b) 3x2+2
2
c) 5x2+1
2
d) 2x +3
e) x +1
Practica en casa 2
1. Relacionar las columnas: (x–7)2
A
x2(x–1)
2
B
(x–6)(x+6)
x –6x+5
C
x –14x+49
x2–36
D
(x–5)(x–1)
3
x –x 2
2
6. Reducir: (x+7) –(x–4) –22x
2
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes
7. Factorizar : P (x)=12x2+7x–12
8. Si la suma de los factores primos de: 2
proposiciones:
T(x)=12x –mx–15 es 7x–2, hallar "m"
a) x2+7x+6=(x+1)(x+6)
(
)
b) a –3a+2=(a–3)(a–2)
(
)
c) (a–b)2=a2+2ab+b2
(
)
(
)
2
2
d) (x+a)(x–b)=x +(a–b)x+ab
2
2
2
3. Completar en cada caso: 3
a) (a+b) = 10. Factorizar el siguiente polinomio 7 5 4x (a–b)–8x (b–a)
3
b) (a–b) = c) (a+b)2–(a–b)2= d) (a+b)2+(a–b)2=
11. Efectuar 4. Efectuar: 2
(x+4)(x–4)+(x+5)(x–5)–2(x –10)
c
a+5 4ab
me .
4
3
12a b 2
a −5
o
2
5. Si: a +3a=5 Calcular: Q=a(a+1)(a+2)(a+3)
Colegios
TRILCE 56
2
9. Factorizar: A(x)=(x +5) +13x(x +5)+42x , indicar la suma de coecientes de un factor primo.
Central: 6198-100
Álgebra 3
2
12. Factorizar: P(x)=x –5x –2x+24
15. Carlos dibujó un polígono cuya área es igual a la suma de área de tres cuadrados diferentes. ¿Qué trinomio representa el área del polígono?
13. Factorizar e indicar la suma de sus factores primos: p(x)=x4–5x2+4
1 1
x+2
14. El polinomio x2–14x+49, representa el área de un cuadrado. ¿Qué expresión representa el lado del cuadrado?
x+1
x
Tú puedes 1. UNMSM – 2011 II
4. UNI 2008 –I
Si: ab=3 y a 2+b2=19, calcule el valor de a 3+b3 a) 75
b) 60
d) 120
e) 90
Hallar el valor numérico de:
c) 80 a) –24
–1
Si: x–x =1, (x ! 0) , entonces los valores de x2+x–2 y x3–x–3 son:
c) −
a) 2 y 3
b) 2 y 1/2
e)
d) 3 y 4
e) 4 y 1/4
c) 3 y 1/3
xy = 2
www.trilce.edu.pe
b) 1 e)
m
−3 −1 m −3 .n
+ −3
o
b) –12
1
d)
24
1 24
1 12
6
Si se satisfacen: x + y = 5 , hallar
d) 3
−3
5. UNAC 2010 – II
3. UNMSM 2005 – II
1 2
e
n
si: m + n = 3 12 ; mn = 23 18
2. UNMSM – 2010 II
a)
P=
y x
c)
+
1 3
x y
3
5
Del polinomio P(x)=(x +x )+(x +x–1); calcular la suma de coecientes de sus factores primos. a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
2 3
Tercer año de secundaria 57
16
Capítulo
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO I Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F)
8. Resolver; e indicar los valores que toma "x":
2
I. Al resolver: x =16, la solución única es: x=4 2
`x
−
1 4
II. Dada la ecuación: x –3=0, la solución menor es : 3
a)
!
III. Al resolver: x2=2; una de sus soluciones es x= − 2
d)
!
a) VVF
b) VFV
d) FVF
e) FFF
2. Resolver: x2–5x+6=0 b) {–2;–3}
d) {2;–3}
e) {1;5}
c) {–2;3}
b) 2
d) –11
e) –4
c) 3
4. Resolver: (x+2)(x+3)=56 , dar como respuesta la menor raíz a) 6
b) 1
d) –10
e) 7
c) –5
2
5. Resolver: solución.
x –6x+3=0,
señalar
a) 3– 2
b) 3+ 2
d) 3+ 6
e) –3– 6
la
menor
c) 3– 6
6. Resolver: x2–3x–3=0 , señalar la mayor solución a) d)
3−
21 2
3+
21 2
b) e)
3+
23 2
c)
1+
23 3
21 2
7. Resolver la ecuación:
b) {1;2}
d) {2;3}
e) {0;3}
1 5
j
=
3 16
b)
!
e)
!
1
c)
2
!
1 3
1 6
a) –4
b) –6
d) 2
e) 1
c) –8
2
2
2
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
11. Resolver la ecuación cuadrática: 10x(x–1)=3(x+1) e indique la solución menor a) 3/10
b) –1/5
d) 3/2
e) –3/2
c) 1
12. Resolver la ecuación cuadrática: nx 2–5x+1=0 si se conoce que su discriminante es igual a 1 a) {2; 1 }
b) { 1 ; 1 }
d) {1;5}
e) {3; 1 }
3
2 3
c) {2;6}
2
13. Calcular el valor de "n" para que la ecuación x2–2nx+9=0 tenga solución única a) 2
b) 3
d) 1
e) b y c
c) –3
14. Calcular el valor de "n" para que la ecuación 6x2+(2n+3)x+n=0 , tenga raices iguales
2
(x–3) +x(x+2)=9 a) {0;1}
4
1 4
10. Resolver: (x+2) +(x+3) =(x+4) , señalar la mayor solución:
3. Resolver: x(x–7)=44 Dar como respuesta la menor raíz a) 1
1
+
9. En la ecuación x 2+6x–m=0 ; hallar "m" , si una raíz es –2
c) FFV
a) {2;3}
j`x
c) {0;2}
a) 3
b) 3/2
d) 5/2
e) 1/2
c) 1/3
Colegios
TRILCE 58
Central: 6198-100
Álgebra 15. Resolver (x–2) 2–4(x–2)+3=0 a) CS={3;5}
b) CS={–5;–3}
c) CS={1;3}
d) CS={–3;5}
e) {6;3}
a)
16. Resolver la ecuación; e indicar el valor de "x" 4
3
+
x
x
2
+
23. Resolver la ecuación: (x–1)(x+2)(x+3)(x–2)=–3 e indicar la mayor de sus raíces:
=
0
−1 +
21
2
d) − 1 −
b) − 1 −
21
−1 +
15
c)
2
13
2
e)
−1 +
13
2
2
x
a) –7/2
b) –7/3
d) –7/5
e) –7/6
c) –7/4
a) 1 d) 4
b) { 2 ;4}
2
c) { 2 ;–4}
3
d) { − 2 ;–4}
3
e) { 3 ;–4}
3
2
x+4 2
+
+
10
=
x
2
+
x
hallar la mayor solución.
17. Resuelva 3(x+1)(x–1)+7x=5–3x a) { 3 ;4}
x
24. Dada la ecuación:
b) 2 e) 5
c) 3
25. Determine la menor solución de la ecuación: 2x + 1 1 + x−3 2x − 1
=−
14 3
2
a) − 14 3
18. Si 2 es una raíz de la ecuación en x x2–(K–3)x–6=0 , calcular la otra raíz a) –1
b) –2
d) –4
e) –5
c) –3
d) −
5 14
b)
3 8
c) − 14 5
e) − 14 9
19. Calcular la mayor solución de la ecuación (m–2)x2–(2m–1)x+m–1=0 , si el discriminante es 25 b)
a) 3 d)
3 2
e)
1
c)
2
1 3
3
3
20. Resolver: (3 − x) 2 + (4 + x) 2 (3 − x)
5 2
+
(4 + x)
=
7
y dar como resultado la mayor solución a) 1
b) 2
d) –3
e) –4
c) 3
21. Resuelva: abx 2–(b–2a)x=2, a, b ^ 0 a)
$− a1, b1 .
b)
$− a1, − b1 .
d)
$ a1, − b2 .
e)
$ 2a , − b1 .
c)
$− 2a , − b2 .
22. Hallar las raíces enteras de la ecuación 2
2
2
(x –5x+6) –5(x –5x+6)+6=0 a) {1;2}
b) {1;3}
d) {2;4}
e) {1;4}
www.trilce.edu.pe
c) {2;3}
Tercer año de secundaria 59
16
Capítulo
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: La ecuación: x 2+4x=0 presenta como raíces a:
A
"2; 4,
La ecuación: x –6x+8=0 presenta como raíces a
B
"0; − 4,
La ecuación: x 2–64=0 presenta como raíces a:
C
'
2
2
La ecuación: x –3x–3=0 presenta como raíces a:
D
3!
1
" − 8; 8, 2
2. Completar correctamente:
21 2
2
6. Resolver: (x+4) +(x+5) =(x+6)
2
señalar la mayor solución
a) Si: x(3x–2)=0; entonces se cumple que : x= 0 x= b) Sea la ecuación: x 2–x–30=0; la mayor solución es: 2
c) Sea la ecuación: x –11=0; la menor solución es:
7. Resolver
`x
1 3
−
j`x
+
1 3
j
=
1 3
d) Si: x(x–5)=50; entonces se cumple que: x= 0 x= 3. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) Al resolver: x 2=100, la solución única es: x=10 ( ) b) Dada la ecuación: x 2–2=0, la solución menor es : 2 ( )
8. Resolver la ecuación 6
5
+
x
x
2
+
0
=
x
2
c) Al resolver: x =10; una de sus soluciones es x= − 10 ( ) 2
d) Dada la ecuación: x –x–7=0; su solución es:
1!
29
(
2
)
2
9. Resuelva: ax +(a+b)x+b=0,
a^0
2
4. Resolver la ecuación: (x–5) +x(x+3)=25
2
5. Resolver: x –10x+5=0 señalar la menor solución
10. Determine la mayor solución de la ecuación x
+
2
x
−
1
+
1 x
−
2
=
1 2
Colegios
TRILCE 60
Central: 6198-100
Álgebra 11. Hallar la mayor solución de la siguiente ecuación: x+2 3
2
2
2
x (4x+6) –6(4x +6x)+8=0
x
=
13. Indicar la mayor solución de la ecuación siguiente:
x−2
14. Un número entero no negativo elevado al cuadrado equivale al mismo número aumentado en 30. ¿Que número es?
12. Resolver la ecuación: ^x + 1h2 ^x − 1h2
=
2
+
1
2
−
1
15. Un obrero puede hacer una obra en un número de días y otro obrero puede hacer la misma obra en seis días más, si trabajando juntos los dos obreros, hacen la obra en cuatro días. ¿En cuántos días podrá hacer la obra el primer obrero?
Tú puedes 1. UNMSM 2004 – II
3. UNMSM 2005 – II
Dada la ecuación: –1 2
–2
Si:
–1
m x –m x=x–m ; m≠ 0
x 2
El cuadrado de la diferencia de sus raíces es: a) c) e)
1 m m
m
2
2
2
−m
−
2
b)
1 m
1
−
m
d)
2
2
+
m
m
2
2
1
+
m
2
1
+
m
2
+2
−
2
1
2. UNMSM 2004 – I Si: r y s son las raíces de la ecuación: ax2+bx+c=0, determinar "P". Para que r 2 y s2 2 sean las raíces de la ecuación x +Px+q=0 2
a)
b − 2ac a
2
b)
2ac − b a
2
2
c)
b − 4ac a
2
e) b2–2c
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d) 2c–b
2
"x"
2x
−
es
7x 8
+
un
432
número
=
0
entero
tal
que
, entonces el valor de
+ x + 20 es:
a) 402 d) 240
b) 564 e) 604
c) 320
4. Una ecuación cuadrática tiene como raíces a 3+ 4 y 3− 2. Halle la suma de las cifras del producto de estas raíces, siendo 3 el discriminante de la ecuación. a) 10 d) 13 5. Si: 2x
A 2
+
b) 11 e) 14 es
2x − 3
el x
2
c) 12
conjunto +
x+3
de la ecuación: = 3 entonces la suma de
los elementos de A es: 2
a) –3 d) 3
b) –1 e) 4
c) 1
Tercer año de secundaria 61
17
Capítulo
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. La ecuación x2+(b+3)x–5=0 tiene raíces simétricas si b=–3 2x2+9x+8=0,
II. La ecuación producto de raíces 4
tiene como
III. La ecuación x2–3x+1=0, tiene como suma de raíces –3 a) VVV
b) VVF
d) VFF
e) FFF
c) VFV
2. Hallar el valor de "m" en la ecuación en "x" 2 3x +mx–4=0; si sus raíces suman –2 a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
7. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: x1 = 2 − 3 , x2 = 2 + 3 2
2
a) x –4x+1=0
b) x +4x+1=0
c) x2–4x–1=0
d) x2+4x–1=0
e) x2+x–4=0 8. Si las ecuaciones cuadráticas: 8x2+(n+1)x+12=0 2x2+3x+(m–1)=0 son equivalentes, calcule el valor de n–m a) 1 d) 7
b) 3 e) 9
c) 5
9. Calcule el mayor valor de m+n si las ecuaciones 3. Hallar el valor de "n", en la ecuación en "x" 2x2+3x+(n+1)=0; si su productos de raíces es 3 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
x1 y x2 ; hallar: E= x 1+x2+ x1x2+1 b) 3
d) 7
e) 9
c) 5
si sus raíces es a y b; calcular
5
d)
2 5
b)
M
1
=
a+b ab
c)
7
5 2
e) − 2 7
6. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: x1=5 ∧ x2= –7 2
b) x –2x–35=0
2
d) x –x–6=0
a) x +2x+35=0 c) x +2x–35=0
2 2
b) 2 e) 8
c) 15/2
10. Sea la ecuación en "x" 7x 2+(2n–8)x+(2m–5)=0 de raíces recíprocas y simétricas. Halle el valor de m+n a) 6 d) 12
5. Si la ecuación: x 2–2(x+1)=–7,
a) − 2
son equivalentes a) 11/2 d) 7/2
4. Dada la ecuación: x 2–3x+1=0; si sus raíces es
a) 1
(m2+4)x2+2x+12=0 2x2+(n–5)x+3=0
b) 9 e) 14
c) 10
11. Hallar el valor de "k" en la ecuación en "x" 2
(k+1)x –(2k–1)x–4=0, si sus raíces suman 3 a) –1 d) –4
b) –2 e) –5
c) –3
12. Hallar el valor de "m" en la ecuación de "x" 2 (m–1)x +(m+3)x+5=0, si el producto de sus raíces es 10 a) d)
1 2 7 2
b)
3 2
e)
9 2
c)
5 2
2
e) x +2x–2=0
Colegios
TRILCE 62
Central: 6198-100
Álgebra 13. Calcular "k" en la ecuación 2x2–(k+8)x+(k+1)=0; para que la suma de raíces sea 9 2
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
14. Hallar "k" sabiendo que el producto de las raíces de la ecuación: 2x 2–(k+8)x+(k+1)=0; es 3 a) 10
b) 5
d) 8
e) 12
c) 4
15. Hallar "n", si se sabe que la diferencia de la ecuación x2–7x+n=0, se diferencia en 3 unidades a) 4
b) 6
d) 10
e) 12
c) 8
16. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática 3x2+(1–m)x+(m–2)=0, tal que 1 + 1 = 5 x1
b) 4/9
d) 9/4
e) –2
c) –3
17. Si y son las raíces de la ecuación 3x2–5x+6=0; halle el valor reducido de ( +2)( +2) a) 1
b) 28/3
d) 3/5
e) 7/3
2(x12+x22)+3 (x1+x2) a) 0
b) –1
d) 2
e) –2
c) 0
calcule el mayor valor de a 2+5 a) 15
b) 16
d) 21
e) 17
"s". Hallar
1
1
+
81 + 1r B 81 + 1s B
a)
13 11
b)
12 25
d)
25 13
e)
24 13
a) 2
b) 4
d) 8
e) 10
c)
11 13
24. Calcular la suma de raíces de la ecuación x2– x+ =0; >0 ( : discriminante) a) 3
b) 2
d) –2
e) 1
c) 5
25. Al resolver la ecuación: 2x 2+3x–7=0, se tiene
2
Tiene C.S={ , }, halle el valor de : + + .
c) 9
23. Dada la ecuación: x 2–13x–1=0, con raíces "r" y
su c.s= {a;b}, calcule:
18. Si la ecuación en "x": x –(m+4)x+6–m=0
c) 1
22. Si x1 ∧ x2 son raíces de la ecuación x 2–ax+3=0 y además, x 14+x24=7,
x2
halle el valor de "m" a) 2
21. Dada la ecuación 2x 2+3x+1=0, de raíces x1 y x2, calcule el valor de
a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
2 (a
3
+
3
b ) + 3 (a a+b
2
+
2
b )
c) 5
c) 6 a 2
b
19. Sea la ecuación en "x": a x +9(b –4)x+27=0, de raíces recíprocas y simétricas. Hallar "ab". a) 1
b) 2
d) 6
e) 8
c) 4
20. Calcular "a" de manera tal que las ecuaciones (5a–2)x2–(a–1)x+2=0 (2b+1)x2–5x+3=0 sean equivalentes a)
4 3
b)
1 3
d)
13 3
e)
11 3
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c)
7 3
Tercer año de secundaria 63
17
Capítulo
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 2
La ecuación: x –6x+1=0, tiene como suma de raíces
A
–6
B
6
2
C
7
2
D
–7
2
La ecuación: ax +2x–7=0, tiene raíces recíprocas, hallar "a" La ecuación: x +(b+6)x–4=0, tiene raíces simétricas, hallar "b" La ecuación: x –x+7=0, tiene como producto de raíces 2. Completar correctamente: a) Dada las raíces: {1;4} generar su ecuación: .
6. Hallar la ecuación de segundo grado cuya raíces son: x1 = 3 − 8 , x2 = 3 + 8
2
b) En la ecuación: Px +qx+r=0; tiene raíces simétricas si: . 2
c) En la ecuación: 4x –6=0; el producto de raíces es: . d) En la ecuación: ax 2+bx+c=0; tiene raíces recíprocas si: . 3. Indicar verdadero (V) o falso (F), dada la 2 ecuación: ax +bx+c=0 a) El producto de raíces es:
c b
a
2
8. Si la ecuación en "x": x –(k+2)x+5–m=0, tiene C.S.={a,b}, halle el valor de: a+b+a.b
( )
b) Si: b=0, entonces las raíces son recíprocas ( ) c) La suma de raíces es: − b
7. Si las ecuaciones cuadráticas: 2 2x –ax+1=0 2 3x +2x+b=0 son equivalentes, calcule "ab"
9. Si : {x 0} es el conjunto solución de: 2 x +(m+2)x+2m=0, halle el valor de m
( )
d) Si: b=0, entonces las raíces son simétricas ( ) 4. Hallar el valor de "k" en la ecuación en "x": 2
(k+3)x –(3k+4)x–5=0, si sus raíces suman 4
5. Hallar el valor de "m" en la ecuación en "x" (m–2)x2+(m+5)x+4=0, si el producto de sus raíces es 8
10. Si la ecuación cuadrática: 1024x2–(n3–8)x+nm=0, tiene raíces simétricas y recíprocas, hallar: n+m
11. Dada la ecuación: x2–ax+1=0, de raíces: x1=2k+1 y x2=2k–1, calcule el producto de "ak"
Colegios
TRILCE 64
Central: 6198-100
Álgebra 2
12. La ecuación: x –3x+1=0, posee como C.S. {a,b}, halle el valor de : a + b a−3
b−3
14. El precio de un artículo esta dado por: P=20–q; el costo de producir estos "q" artículos es: C=150–5q. Encontrar la suma de los valores de "q" que hacen que la utilidad sea cero.
15. Dos caños pueden llenar un tanque en dos días, si trabajase solo el primero se demoraría tres días más que si trabajase solo el segundo. ¿En cuántos días llenaría el primer caño todo el tanque.
13. Si: "a" y "b" son raíces de la ecuación: 2 x –3x+1=0, calcule el valor de : b a a b (a +b )(a +b )
Tú puedes 1. UNMSM 2009 – II Halle el valor de k, de modo que las raíces de la ecuación: (x+1)(x+2)–(k+2)(x+2)=0, sean iguales a) 2 d) –4
b) –3 e) 1
c) –1
2. UNMSM 2008 – I Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la 2 ecuación: (2k+2)x +(4–4k)x+(k–2)=0, donde una raíz es el inverso multiplicativo de la otra a)
80 9
b)
31 9
d)
82 9
e)
9 82
c)
61 9
4. UNMSM 2004 – II Si: a + b ^ 0 , ¿Qué valor deberá tener w en la 2 2 2 2 ecuación? (a+b) x +2(a –b )x+w=0, para que sus 2 raíces sean iguales a) (a–b) 2 d) –(a+b)
2
b) (a–b) 2 2 e) b –a
2
2
c) a –b 2
5. Si: r y s son las raíces distintas de: x –px+q=0, 2 2 entonces la ecuación cuyas raíces son r y s es: 2 2 2 a) x +(p –2q)x+q =0 b) x2–(2q–3p2)x+q=0 2 2 2 c) x +(2q–p )x+q =0 d) x2–(2p–3q2)x+p2=0 2 2 e) x –(2p–q )x+p=0
3. Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación: x2–2(m–1)x+3=0, la suma de los valores que puede tomar m; para que satisfaga la relación x1 x2
+
x2 x1
=
1
a) –12 d) 2 www.trilce.edu.pe
b) 1/2 e) 3/2
c) 5/2
Tercer año de secundaria 65
18
Capítulo
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO III – PLANTEO Problemas para la clase 1. Relacionar correctamente: El cuadrado de "x" es igual a 64
A
x= ! 2
El doble del cuadrado de "x" es igual a 8
B
x= ! 6
La diferencia entre el cuadrado de "x" y 3 es 6
C
x= ! 8
La suma de 5 con el cuadrado de "x" es 41
D
x= ! 3
2. Completar correctamente a) Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean 3 y 7: b) Si: x 2 =50, entonces se cumple que: x= 0 x = c) El producto de un número por su triple es 27, hallar el número: d) Si: x 2–81=0, entonces se cumple que: x= 0 x=
2
a) Si: x –6=0, entonces una solución es x= 6 ( ) b) Las raíces 1 y 4 generan esta ecuación: x2+5x+4=0 ( ) c) Las soluciones de la ecuación: (x–2)(x+6)= 0, son 2 y –6 ( ) d) La ecuación: x(x–3)=x 2+2, es una ecuación de segundo grado ( ) 4. La suma de un número positivo y su cuadrado es 42 ¿De que número se trata? b) 4 e) 10
c) 6
5. El producto de la edad de Jorge por la de su hermano 9 años menor es 112 ¿cuántos años tiene Jorge? a) 6 d) 28
b) 16 e) 34
7. Si a un número se le agrega su raíz cuadrada se obtiene 240 ¿cuál es el resultado de agregar –40 a dicho número? a) 185 d) 215
3. Indicar verdadero (V) o falso (F)
a) 2 d) 8
6. Para cercar un terreno rectangular de 1250 2 m se utilizan 150 m de cerco. Calcular las dimensiones del terreno. a) 30 y 45 b) 20 y 55 c) 10 y 65 d) 25 y 50 e) 15 y 60
c) 22
b) 195 e) 225
c) 205
8. Si se quita 4 al denominador de una fracción cuyo numerador es 3, la fracción aumenta en una unidad ¿cuál es la fracción? a)
1 6
b)
2 6
d)
4 6
e)
5 6
c)
3 6
9. La suma de los cuadrados de 3 números impares positivos y consecutivos excede a 170 al cuadrado del segundo de ellos. ¿Cuál es la suma de los dos menores? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 10. Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240Km. Si la velocidad hubiera sido 20 Km por hora más que la que llevaba, hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia ¿en que tiempo recorrió los 240 Km? a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
Colegios
TRILCE 66
Central: 6198-100
Álgebra 11. Un anciano deja una herencia en "2mn" soles a un cierto número de parientes. Sin embargo "m" de ellos renuncian a su parte y entonces, cada uno de los restantes se benecia en "n" soles más, ¿cuántos son los parientes? a) m d) 2n
b) 2m e) 3m
13. En un país, su unidad monetaria era el tótems, si se disponen de dos tipos de monedas, siendo el valor de una de ellas igual al cuadrado de la otra. Si se compra un objeto que cuesta 900 tótems y se han utilizado 5 monedas del menor valor y 2 del otro, ¿cuántos tótems equivale la moneda menor. b) 20 e) 50
x–2
c) n
12. Si una de las raíces de la ecuación: 2 m +12m–P=0, es igual a cinco, "P" debe ser: a) 55 b) 65 c) 75 d) 85 e) 95
a) 10 d) 40
2
14. El área del rectángulo es 32 cm . Calcula el perímetro del rectángulo. x+2
c) 30
a) 20 d) 23
b) 21 e) 24
c) 22
15. Se compró cierto número de manzanas por "m" soles. Al día siguiente le hubieran dado "n" manzanas mas por el mismo dinero con la cual el precio de una manzana hubiera sido 10 céntimos menos. Hallar la ecuación de segundo grado que permita hallar el número de manzanas que se compró. a) x2+mx = 0 b) x2 + nx – 10 mn = 0 2 c) x – mx = 0 2 d) x + mx + 10 mn = 0 2 e) x + 100 = 0
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: La diferencia entre el cuadrado de "x" y 10 es 15
A
x= ! 6
El cuadrado de "x" es igual a 49
B
x= ! 4
La suma de 2 con el cuadrado de "x" es igual a 18
C
x= ! 7
El doble del cuadrado de "x" es igual a 72
D
x= ! 5
2. Completar correctamente a) El producto de un número por su doble es 18, hallar el número 2
b) Si: x –144=0, entonces se cumple que: x= 0 x= c) Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean –4 y 6 2
d) Si: x =12, entonces se cumple que: x=
0 x=
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) Las raíces 4 y 5 generan esta ecuación: 2 x +9x+20=0 ( ) 2
b) La ecuación: (x+5)(x+2)=x +3, es una ecuación de segundo grado. ( ) 2
c) Si: x –16=0, entonces su solución es x=4 ( ) d) Las soluciones de la ecuación: (x–4) (x+8)=0, son 4 y –8 ( ) www.trilce.edu.pe
4. La suma de un número positivo y su cuadrado es 72 ¿de qué número se trata? 5. El producto de la edad de Carlos por la edad de su hermano 7 años menos es 120. ¿Cuántos años tiene Carlos? 2
6. Para cercar un terreno rectangular de 750 m se utilizan 110 m de cerco. Calcula las dimensiones del terreno. 7. Si a un número de le agrega su raíz cuadrada se obtiene 210. ¿Cuál es el resultado de agregar –86 a dicho número? 8. Si se quita 1 al denominador de una fracción, cuyo numerador es 12, la fracción aumenta en una unidad. ¿Cuál es la fracción? Tercer año de secundaria 67
18
Capítulo
9. El largo de un terreno rectangular excede al ancho en 4 m si ambas dimensiones aumentan en 4 m, el área se duplica. Determinada las dimensiones del terreno.
13. El producto de la edad de Javier por 7 es equivalente a 120 menos que el cuadrado de su edad ¿cuántos años tendrá Javier dentro de 10 años?
10. Se tiene 400 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niño. Si se retiran 4 niños los restantes reciben 5 caramelos más ¿Cuántos niños había inicialmente?
14. Se tiene la misma área ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
4 11. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/.1200. El dinero que paga cada persona excede 194 al número de personas, ¿cuántas personas participan en la compra? 12. Si los cuadrados de las 2 raíces reales de la 2 ecuación x +x+C=0, suma 9, entonces el valor de C es:
x x+8
x
15. Dos caños abiertos simultáneamente llenan una piscina en 1h 36min abiertos por separado, el primero la llena en 6 horas menos que el segundo. ¿Cuál es el tiempo que tarda cada uno de ellos en llenarla?
Tú puedes 1. Sean "A" la suma de las raíces de: ax2+bx+c=0 y "B" la suma de las raíces de: a(x+1)2+b(x+1)+c=0, entonces (B–A) es igual a: a) –2
b) –1
d) 1
e) 2
c) 0
2. En la ecuación de segundo grado (m–2)x2–2mx+2m–3=0 cuyo conjunto solución es ( ; ) y donde la suma de sus raíces es al producto de ellos como 10 es a 7. Hallar el valor absoluto del producto de sus raíces. a)
7 3
d)
4 7
b)
7 4
c)
3 7
e) 2
4. Al multiplicar dos números, uno de los cuales es mayor que el otro en 10 unidades, un alumno cometió un error disminuyendo en 4 a la cifra de las decenas del producto. Al dividir el producto obtenido por el menor de los factores obtuvo 39 de cociente y 22 de residuo. Hallar el mayor de los factores. a) 21
b) 31
d) 33
e) 46
c) 41
5. De un deposito de 100 litros de capacidad lleno de alcohol puro, se extrae una cierta cantidad de alcohol y se reemplaza por agua, se saca después la misma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando esta última mezcla con 49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha extraído. a) 50
b) 30
d) 49
e) 20
c) 100
3. Pagué 12 centavos por los huevos que compre al almacenero, explicó la cocinera, pero le hice darme dos huevos extra, porque eran muy pequeños, eso hizo que en total pagará un centavo menos por docena que el primer precio que me dio, ¿cuántos huevos llevó al nal la cocinera? a) 16
b) 15
d) 18
e) 20
c) 17
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Capítulo
19
SISTEMA DE ECUACIONES I Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F), dado el sistema
'axmx
5. Resolver:
'75xx
by = c.....( 1) + ny = p...(2)
+
− −
4y 3y
= =
12...(1) 6.....( 2)
I. Si el sistema es compatible determinado, entonces tiene innitas soluciones
determinar "y–x" a) 6
b) –6
II. Si el sistema es compatible indeterminado entonces tiene solución única
d) –12
e) 7
III. Si el sistema es incompatible, entonces no tiene solución a) VVV
b) VFF
d) FFF
e) FVF
c) 12
6. Si el sistema tiene por conjunto solución (2;3), calcular "a+b"
'axax
c) FFV
by = 9...(1) by = 3...(2)
+ −
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
2. Resolver el sistema:
'
7. Si:
2x + y = 4....(1) x − y = 5....... (2)
x (a 2) y 7 '18 9x (a 4) y 11 −
+
+
a) C.S = "(3; 2),
b) C.S = "(–2; 3),
c) C.S = "(1; 5),
d) C.S = "(3; –2),
8.
a) C.S "(3; 1),
b) C.S "(4; 1),
c) C.S "(1; 3),
d) C.S "(3; − 1),
a) 25
b) 26
d) 3
e) 2
(a ' Si: 2x
b) 32
d) 20
e) 33
'25(x(x 1)8) y y +
=
−
=
calcule "y"
4. Resolver: 6x − 5y = − 9...(1) 2x + 3y = 4......( 2)
b) − 5
4
e)
a) 45/7
b) –5
d) 3
e) 90/7
c) 7/45
10. Si (x;y) es la solución del sistema:
dar como respuesta "x–y"
www.trilce.edu.pe
c) 4
9. Del sistema adjunto
e) C.S "(2; 4),
7 4
c) 1
5) x + 3y = 9...(1) + (4 − b) y = 3...(2) ; es compatible
a) 40
−
d)
es incompatible
indeterminado, calcular "ab"
x + 3y = 6........( 1) 5x − 2y = 13...(2)
a) 1
...(1) ...(2) ;
−
3. Resolver el siguiente sistema:
'
=
Calcular "a"
e) C.S = "(3; 3),
'
=
−
5 4
c) − 7
4
*
x 2 x 2
− +
y 3 y 3
41 3 1 = 2 3 =
calcule "x" a) 3
b) 20/3
d) –3
e) –2
c) –20/3
Tercer año de secundaria 69
19
Capítulo
11. Si (m;m) es la solución del sistema
' 3x
17. Si el sistema en x e y 2x − (m − 4) y = 7
3x + y = t 6x − y = − 15
(m + 2) y = 1
es compatible determinado, calcula los valores que puede tomar "m"
calcule "mt" a) –36
b) –12
d) 36
e) –3
c) 18
a) 8/5
b)
R - "8 / 5,
d) 5/8
e)
R − "5 / 8,
12. Si: "(a; a + 1), es el conjunto solución de 2x + 5y = 19 x − y =− 1
calcule " a
+
18. Si el sistema en x e y
(I) (II)
b) a+1
d) 1
e) –2
'2(ax −− 5(b) x− 4)3yy +
R
= =
9 3
es compatible indeterminado, calcula ab
2a "
a) 2
c)
c) A∨B
13. Si: (3;5) es la solución del sistema de incógnitas xey (a + 1) x + (b − 1) y = 34 (a − 1) x − by = − 27
a) 40
b) 32
d) 33
e) 20
'9x
c) 21
19. Si el sistema en x e y 18x − (a + 2) y = 7 +
(a − 4) y
=
11
es incompatible, calcula "a" a) 25
b) 26
d) 3
e) 2
c) 1
Halle el valor de "axb" a) 8
b) 18
d) 12
e) 24
20. Calcular "a" para que el sistema de ecuaciones en x e y:
c) 3
Z(a + 1) x + 5y = 7 ] x+y= 5 [ ] 5x − 3y = 9 \
14. Halla el valor de "x" en:
*
x + 3 = 5........................ (1) y−2 3x − (y − 2) = x + 12...(2)
a) 3
b) 4
d) 7
e) 9
Tenga solución única c) 5
15. Resuelve el sistema usando el método de igualación y calcular x–y
'26xx
5y = − 9 + 3y = 4 −
a) C.S $`
1, − 2 3 3
j.; 1
4 2
4
b) C.S $`
− 1, 3 4 2
;− 7 4
j.
d) C.S $` 3 , 1 j.; 5 2 4
4
e) C.S $` − 1 , 3 j.; 7 4 2
4
16. Resolver el sistema usando el método de reducción y calcula x–y. 2x + 3y = 1 x + 6y = − 4
a) C.S
=
"(2; 1),; 1 −
c) C.S "( 2; − 1),; 1 e) C.S
=
b) –5
d) –2
e) 4
c) 4
21. Hallar "a.b" para que el sistema de ecuaciones
' (a
−
1) x + (b + 9) y = − 1 2ax − by = 62
admita como solución: x=5; y=9
c) C.S $` 1 , 3 j.; − 5
'
a) 6
b) C.S d) C.S
=
=
"(2; 1),; 3 −
a) 5
b) –8
d) 8
e) 9
c) –9
22. Resolver el sistema
*
2x − y − z = 2 − x + 2y − z = 4 − x + y + 2z = 6 ,
calcular el valor de "5z" a) 8
b) 16
d) 32
e)
c)
24 5
40 3
"(1; 2),; 3 −
"(2; 1),; 4 −
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Álgebra 23. Resolver
Z y ]x + y ]] x+ x+y [ x ]y + ]] y+ x x−y \
=
y
x+
x+ =
a) 7 d) 4
y+
25. Se desea obtener 80 kilogramos de azúcar "A" mezclando azúcar "B" de S/.18 el kilogramo y azúcar "C" de S/.10 el kilogramo. Si se quiere que el precio del kilogramo de mezcla sea S/.13. ¿Que cantidad de azúcar de S/.18 el kilogramo se debe mezclar?
y 2 , indique 2x–y
x y+ x 4
b) 5 e) 3
c) 6
a) 40 Kg
b) 30 Kg
d) 32 Kg
e) 45 Kg
c) 22 Kg
24. En una empresa se confeccionan "x" cantidad de polos e "y" cantidad de chompas en 10 minutos. Determinar la cantidad de prendas producidas en un día, sabiendo que la empresa nunca descansa y que "x" e "y" están relacionadas según el sistema: 1 1 + 3x − 2y + 1 x + 2y − 3
=
5 12
1 1 1 − = x + 2y − 3 3x − 2y + 1 12
a) 910 d) 720
b) 540 e) 840
c) 360
Practica en casa 1. Relacionar correctamente:
'53xx −44yy 142 ; tiene como C.S: 3x y 10 Dado el sistema ' 2x − y 5 ; tiene como C.S: 6x y 8 ' Dado el sistema x − y 6 ; tiene como C.S: − 2x 3y 4 Dado el sistema ' 2x 5y 12; tiene como C.S: Dado el sistema
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
+
=
2. Señalar verdadero (V) o falso (F), dado el sistema
'nxbx
+ +
a) Si
b= c = a, n p m
entonces
compatible indeterminado
el
sistema (
)
C.S "(1; 2),
B
C.S "(2; − 4),
C
C.S "(2; 1),
D
C.S "(3; 1),
3. Completar correctamente, dado el sistema
'(max− 5−)(xb
cy = a py = m
A
a) y = − 4c + 2 + (2 n + 1) y = − 2p +
a) Si el sistema es compatible determinado, se cumple:
b) Si b = c , entonces el sistema tiene solución n p única ( )
b) Si el sistema tiene innitas soluciones, se cumple:
c) Si b ! c , entonces el sistema es compatible n p determinado ( )
c) Si el sistema tiene solución única, se cumple:
d) Si
b ! c = a , entonces el sistema es n p m
inconsistente www.trilce.edu.pe
(
d) Si el sistema es incompatible, se cumple:
) Tercer año de secundaria 71
19
Capítulo
4. Resolver el sistema usando el método de
'
10. Si
x = 8 + 5y sustitución y calcule x–y − 7x + 8y = 25
el
'
5x + y = 9 x igualación y determinar y 4x = 7 − y
y
y
+
−
=
7x + 4y − 4z = 7 7x + 5y + 0z = 12 12. Calcular x+y+z del sistema 11x + 8z = 19
)
13. Determinar el valor de "xy" sabiendo que
y 2 5 3y =
−
'xy ((yx
7. Si el sistema de ecuaciones
'(2a (a b)1x) x (3a(a +
17y = 483
−
x
'23xx +
'47x
11. Resolver 29x + 93y = 277 indique x+y
6. Resolver utilizando el método de reducción y x
es
incompatible, entonces φ vale
5. Resolver el sistema usando el método de
calcule:
'(φ +(32φ) +x +1)(xφ ++ 33φ) yy == 64
sistema:
+
+
1) y = 8 − 2b) y = − 17 −
'
(w − 1) y + 2x = 1 8. Si 4x + (w + 1) y = 7 , es compatible determinado,
calcule el valor que no puede tomar "w"
' (a
+
−
2) − y (x − 3) = − 14 6) − x (y + 9) = 54
14. Resolver
Admite como solución: x=–2; y=5. Calcular a+b
9. Si el sistema:
−
b) x + (a − b) y = 6 5x + 2y = 3 presenta
10 3x + y + 5
+
8 = 3 2y − x + 1
20 3x + y + 5
−
8 = 0 ; calcular x+y 2y − x + 1
) 15. Resolver
x + y =− 2 y + z = 13 2 z + x = 21 e indicar x
innitas soluciones, determinar el valor de ab
Tú puedes 1. UNMSM 2004 – II
'5x
−
2y = m
Dado el sistema de ecuaciones x + 9y = m determina "m" de modo que "y" sea menor que "x" en 7 unidades. a) 47 d) 4
b) 37 e) 74
c) 11
4. UNMSM 2009 –I Si x e y son números reales negativos, halle los valores enteros de "a" para que el sistema de ecuaciones única.
'6(ax
(a + 3) y = − 2 4) x + ay = 3 tenga solución
+
+
a) "a ! Z / − 13 1 a 1 − 2,
2. UNMSM 2002 En el sistema de ecuaciones ax − by = 4 (a + b) x + (a − b) y = 11 calcula la suma de valores de "a" y "b", para que la solución sea x=3 e y=2 a) 10 b) –3 c) 3 d) 7 e) 5
'
3. UNMSM 2008 – I Determine la suma de todos los valores reales de
' 6x
−
ay
=
y
"a", de modo que el sistema 2x + 3y = ax tenga innitas soluciones a) 1 b) –1 c) 0 d) 2 e) –2
b) "a ! Z − 12 1 a # − 1, c) "a ! Z / − 12 1 a 1 0, d) "a ! Z / − 13 1 a # − 3, e) "a ! Z / − 13 1 a # − 2, 5. UNMSM 2010 – I Si m–4p=3n y a) 4 d) 2
a
=
m
−
p
n+p
b) 8 e) 32
, halle 2
a
c) 16
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Capítulo
20
SISTEMA DE ECUACIONES II Problemas para la clase 1. Señalar verdadero (V) o falso (F) I. El doble de un número se puede escribir como 2x. II. La suma de tres números enteros consecutivos se escribe como x+(x+1)+(x+2) donde X∈Z III. El doble de un número disminuido en el triple de otro se escribe como 2x–3y a) VFV d) VVV
b) FVV e) VFF
c) VVF
2. La suma de dos números es 60 y su diferencia es 8, halle el mayor de dichos números a) 31 d) 34
b) 32 e) 35
c) 33
3. El triple del exceso de un número sobre 5, se expresa como: a) 5–3x d) 3(x–1)
b) 3x–5 e) 3(x–2)
c) 3x–15
4. El cuádruple de un número disminuido en otro es 5, si éste último sumado con el triple del primero nos da como resultado 2. Halle el mayor número. a) 0 d) 2
b) –1 e) 3
c) 1
5. Si dos números suman 5, y el exceso del triple del mayor sobre el menor es 7. Halle el menor número. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
6. Ana compra una bolsa de caramelos, vende la cuarta parte y obsequia 5, luego consume la mitad y vende los 5 que le quedaban. Indica el número de caramelos que tenía al inicio. a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
c) 20
7. Sebastián cría conejos en la azotéa de su casa, percatándose que si coloca tres conejos en cada conejera sobra un conejo; pero si coloca cinco conejos sobrarían tres conejeras. ¿Cuántas conejeras tiene Sebastián? a) 7 d) 10
b) 8 e) 11
c) 9
8. La cuarta parte de la edad de Raúl aumentado en 9 es igual al quíntuple de dicha edad disminuido en 1 , ¿cuál es la edad de Raúl? 2
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
9. Si la suma de los ángulos internos de un triángulo rectángulo es 180. Además los ángulos agudos están en la relación de 5 a 1. Halle el mayor de dichos ángulos. a) 30° d) 65°
b) 45° e) 85°
c) 75°
10. La suma de tres números enteros consecutivos es 36. Halle el número intermedio. a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
11. Relacionar correctamente: La suma de los cuadrados de dos números
A
x–9
Un número disminuido en nueve
B
x–8=5
El exceso de un número sobre ocho es cinco
C
xy
El producto de dos números
D
x2+y2
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Tercer año de secundaria 73
20
Capítulo
12. Señalar verdadero (V) o falso (F) a) El exceso de un número sobre cuatro, se escribe como: "x–4" ( ) b) Un número disminuido en sus dos terceras partes, se escribe como: x − 2 x ( ) 3
c) La quinta parte de la diferencia de dos números, se escribe como: 1 (x − y) ( ) 5
d) La división o cociente entre dos números, se escribe como: x ( ) y
13. Completar correctamente a) El triple de un número aumentado en el cuádruple de otro número: b) El exceso de un número sobre tres es cinco: c) El triple de la suma de un número y once: d) Un número excede a cinco tanto como trece excede a dicho número: 14. Dividir el número 17 en dos partes, tal que el triple del mayor más doble del menor es 46, ¿cuál es el mayor? a) 9 d) 18
b) 12 e) 6
c) 14
15. La suma de dos números es 190 y la octava parte de su diferencia es 2. Halle el menor de los números. a) 103 y 87 d) 98 y 92
b) 100 y 90 e) N.A
c) 60 y 10
16. La diferencia entre dos números es 16, tres veces el mayor de ellos es nueve veces el mas pequeño, ¿cuáles son los números? a) 19 y 3 b) 24 y 8 c) 30 y 14 d) 17 y 1 e) 28 y 12 17. La soya contiene un 16% de proteínas y el maíz un 9% ¿cuántos kilogramos de cada uno de estos ingredientes se debería mezclar para obtener una mezcla de 350 kilogramos con un 12% de proteínas? a) 280 y 70 Kg. c) 250 y 100 Kg. e) 50 y 300 Kg.
b) 120 y 230 Kg. d) 150 y 200 Kg.
18. Un día un tienda vendió 30 camisetas. Las blancas costaban $9,95, y las amarillas $10,50. En total, se vendieron $310,60 en camisetas ¿cuántas camisetas se vendieron de cada color? a) 8 y 22 d) 20 y 10
b) 15 y 15 e) 18 y 12
c) 11 y 19
19. Iván y Carlos son profesores de matemáticas. En total llevan 46 años dando clases. Hace dos años, Iván llevaba 2,5 veces los años que tenía Carlos como profesor. ¿Cuántos años en la enseñanza cada uno de ellos? a) 30 y 16 años c) 32 y 14 años e) 15 y 31 años
b) 20 y 26 años d) 23 y 23 años
20. La suma de tres números en 105. El tercero es 11 menos que diez veces el segundo. Dos veces el primero es 7 más que tres veces el segundo, Calcula los números a) 17; 9; 79 b) 10; 16; 79 c) 37; 18; 50 d) 60; 40; 5 e) 27; 18; 60 21. El dígito de las decenas de un entero positivo de dos dígitos es 2 más que tres veces el dígito de las unidades. Si los dígitos se intercambian, el nuevo es 13 menos que la mitad del número dado. Averigua el entero dado. a) 48 d) 84
b) 34 e) 82
c) 28
22. Un tren sale de la estación unión hacia la estación central, a 216 Km. de distancia, a las 9:00 a.m. Una hora más tarde un tren sale de la estación central hacia la estación unión. Se encuentran al mediodía. Si el segundo tren hubiese partido a las 9:00 a.m, y el primero a las 10:30 a.m. También se habrían encontrado al mediodía. Averigua la velocidad de cada tren. a) 20 Km./h y 42 Km./h b) 36 Km./h y 54 Km./h c) 28 Km./h y 62 Km./h d) 10 Km./h y 18 Km./h e) 14 Km./h y 12 Km./h 23. La suma de tres números es 5. El primer número menos el segundo más el tercero es 1. El primero menos el tercero es 3 más el segundo. Calcula los números. a) 3; 2; 0 c) –2; 5; 0 e) 4; 2 ;–1
b) 3; 4; –2 d) 1; 4; 0
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Álgebra 24. Cristina obtuvo un total de 225 puntos en tres exámenes. La suma de las calicaciones del primero y el segundo de ellos excede en su tercera calicación en 61 puntos. Su primera calicación supera a las segunda en 6 puntos. Encuentra las tres calicaciones. a) 50; 75; 100
b) 18; 150; 67
c) 74,5; 68,5; 82
d) 13; 127; 85
25. En el triángulo ABC, la medida del ángulo "B" es el doble que la del ángulo "A". La medida del ángulo "C" es 80º mayor que la del ángulo "A". Calcula las medida de los ángulos. a) 25º; 50º; 105º
b) 75º; 35º; 70º
c) 30º; 120º; 30º
d) 40º; 80º; 60º
e) 70º; 60º; 50º
e) 100; 100; 25
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: +
3 x 5
La suma de los cubos de dos números
A
x
Un número aumentado en sus tres quintas partes
B
3 (x + 1) 5
El exceso de un número sobre tres es dos
C
x–3=2
Tres quintas partes de la suma de un número y uno
D
x +y
2. Señalar verdadero (V) o falso (F) a) Un número aumentado en su quinta parte, se escribe como: x + 1 ( ) 5
b) Un número aumentado en su quinta parte, se escribe como: x + 1 x ( ) 5
c) La mitad del exceso de un número sobre cuatro, se escribe como: 1 (x − 4) ( )
3
3
5. Al dividir el número 180 en dos partes, tales que dividiendo la primera por 25 es igual que al dividir la segunda por 20. Halle el valor de cada parte 6. La diferencia entre dos números es 11. El doble del más pequeño más tres veces el mayor es 123. ¿Cuáles son los números?
2
d) Un número excede a tres tanto como trece excede a dicho número, se escribe como: x–3=x–13 ( ) 3. Completar correctamente a) El doble de un número aumentado en el triple de dicho número: b) La mitad del exceso de un número sobre tres es cinco: c) El doble de un número es cuatro menos que otro número: d) Tres veces un número es cinco más que tres veces otro número: 4. Los
2 de 3
la suma de dos números es 74 y los
de su diferencia es 9. Halle el mayor.
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3 5
7. Un químico tiene una solución que contiene ácido al 25% y otra solución que contiene ácido al 50%. ¿Cuántos litros de cada una de ellas se debería mezclar para obtener 10 litros de una solución que contenga ácido al 40%? 8. Una semana un establecimiento vendió 40 manteles. Los blancos costaban $4,95, y los estampados $7,95. En total las ventas fueron de $282. ¿Cuántos manteles de cada tipo se vendieron? 9. Se vendieron 117 entradas para un concierto, cada adulto pagó $1,25, y cada niño $0,75. En total, se vendieron entrada por $129,75. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
Tercer año de secundaria 75
20
Capítulo
10. Dos aviones viajan aproximándose entre sí después de partir de ciudades que se encuentran a 780 kilómetros de distancia a velocidades de 190 y 200 Km./h. Si la salida fue a la misma hora, ¿en cuántas horas se encontrarán?
11. Jorge tiene un trabajo en el que le pagan S/.50 por cada día de trabajo y le descuentan S/.25 por cada día que no trabaja. Si después de 30 días recibió S/.1050, ¿cuántos días trabajó?
12. Dos muchachos están a 100 metros de distancia. Si corren en sentidos opuestos, uno hacia el otro, se encuentran en 10 segundos, pero si corren en el mismo sentido el más rápido alcanza al otro en 50 segundos. Halla la velocidad de cada uno. .
13. Gina vende revistas. El jueves, viernes y sábado vendió en total $66. El jueves vendió $3 más que el viernes. El sábado vendió $6 más que el jueves. ¿Cuánto vendió cada día?
14. La sierras de agua"A", "B" y "C" pueden producir 7400 metros cuadrados de tabla en un día. "A" y "B" juntas pueden producir 4700 metros cuadrados, mientras que "B" y "C" pueden producir 5200 metros cuadrados ¿cuántos metros cuadrados puede producir cada sierra por separado?
15. En el triángulo ABC, la medida del ángulo "B" es 2º más que tres veces la medida del ángulo "A". La medida del ángulo "C" es 8º más que la medida del ángulo "A". Calcula las medidas de los ángulos
Tú puedes 1. UNMSM 2006 – I Un comerciante cambia una arroba de camote por un costal de trigo y 2000 soles. Luego cambia otra arroba por un costal de papas y 3000 soles o un costal de trigo y un costal de papas. ¿Cuánto cuesta 2 arrobas de camote? a) 1000
b) 10 000
d) 2500
e) 5000
c) 15000
2. UNMSM 2007 – I Si por el precio de 3 libros y 4 lapiceros, compro 7 cuadernos; y por el precio de 9 cuadernos y 12 lapiceros, compro 6 libros. ¿Cuántos libros compraría por el precio de 16 cuadernos y 8 lapiceros? a) 4
b) 5
d) 9
e) 10
c) 6
3. UNMSM 2007 – I De cinco amigos se sabe que Mario tiene 2 años menos que Pedro, Luis tiene 1 año menos que José. Raúl tiene 2 años más que Luis y José tiene 3 años más que Mario. Si el menor de ellos tiene 14
años, hallar la suma de las edades de Pedro y Raúl. a) 32
b) 22
d) 21
e) 34
c) 20
4. UNMSM 2007 – I Una competencia se inició con una determinada cantidad de personas. Luego 8 mujeres salieron de la competencia, quedando 2 hombres por cada mujer, nalmente se retiraron 20 hombres y quedaron 3 mujeres por cada hombre.¿Con cuántas personas se inició la competencia? a) 50
b) 52
d) 40
e) 44
c) 48
5. UNMSM 2007 – II Si Luis vende todos sus helados a S/.1,50 cada uno, le faltaría S/.15 para comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/.2 cada uno, le sobrarían S/.30, ¿cuánto cuesta un par de zapatos? a) S/.100
b) S/.150
d) S/.125
e) S/.75
c) S/.140
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Capítulo
21
REPASO III Problemas para la clase 1. Relacionar correctamente: Al resolver :x 2+6x+8=0; su C.S. 2
Al resolver: x –9x+14=0; su C.S.
'x y 12 x 2y 9 ' Al resolver: 2x y 3 ; su C.S.
Al resolver: x − y = 10 ; su C.S. +
=
=
+
=
−
2. Señalar verdadero (V) o falso (F)
A
C.S.={2;7}
B
C.S.= {(3;3)}
C
C.S.={–4;–2}
D
C.S.={(11;1)}
5. Siendo "x1" y "x 2", raíces de la ecuación
2
a) En la ecuación x =3x, su C.S.={3}
( )
2
x –7x+12=0. Calcular (x 1+1)(x2+1)
2
b) En la ecuación x –9x+8=0, la suma de raíces es 9 c) Dado
( )
el
sistema
'xx
C.S.={(1;10)}
5y = 12 − 5y = 2 +
'5x
+
y=9
6. Luego de resolver 4x + y = 7 calcular x+y
su ( )
d) La ecuación ax2+bx+c=0; raíces simétricas si b=0
a ! 0 presenta
( )
7. Hallar "m" para que el sistema tenga innitas soluciones.
'mx3x
+ +
10y 5y
=
12
=6
3. Completar correctamente
'
ax + by = c a) Si el sistema mx + ny = p presenta innitas
soluciones, se cumple:
8. La suma de las edades de Luis y Arturo es 58 años y la diferencia entre dichas edades es 24. Halle la edad de Luis.
'
ax + by = c b) Si el sistema mx + ny = p es incompatible,
se cumple: 2
c) Si en la ecuación 3x +6x+n=0; el
9. La diferencia de 2 números es 14 y 1 de su suma 4 es 13. Determinar el mayor de los números.
producto de raíces es 2, el valor de "n" es:
d) En la ecuación x2= 4x, su C.S. es:
10. Si el numerador de una fracción se aumenta en 26, el valor de la fracción es 3, y si el denominador se disminuye en 4 el valor de la fracción es 1. Determina la fracción.
4. De la ecuación 2x 2+11x+5=0 determinar su C.S.
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Tercer año de secundaria 77
21
Capítulo
11. Relacionar correctamente: 2
Si 4x –3x+7=0; la suma de raíces es
A
3
Si 3x2+4x+4=0; el producto de raíces es
B
8
C
4/3
D
3/4
'3x y 10 4x + 12y 16 ' Si x 2y 6 ; el valor de "x+y" es Si 2x − y = 5 ; el valor de "x" es =
+
=
+
=
12. Señalar verdadero (V) o falso (F) 2 a) Dado ax +bx+c=0; a ! 0 , presenta raíces recíprocas si: a=c ( ) 2
4 5
b) Dado 5x +4x–6=0; la suma de raíces es y el producto de raíces es − 6 ( ) 5
'
ax + by = c mx + ny = p ; c) Dado es compatible determinado si se cumple: a ! b ( ) m
d) Dado solución
'
4x + 3y = 5 12x + 9y = 18 ;
n
no
presenta ( )
16. De la siguiente ecuación cuadrática de raíces 2 recíprocas (3m–2)x +5x+1=0, hallar " m " 2
a)
5 2
b) − 5
4
d) 1
1
c)
2
e) –1
17. Hallar "n", si la suma de raíces de la ecuación: 2 (n–1)x –3(n+5)x+10=0 es 12 a) 1 d) 4
b) 2 e) 10
c) 3 2
3
18. Calcular "m" si en la ecuación x –6mx+m =0 una de las raíces es el doble de la otra.
13. Completar correctamente 2
a) Si en: 3x –mx+5=0; la suma de raíces es 7, el valor de "m" es: 2
b) Si la ecuación 5x +6x–n=0 presenta raíces
'2xx
+ +
el valor de "a" es:
'((am 26)x) x (3(2b
d) Si
+
+
+
1) y = p − 3 − n) y = c − 5
es
14. Si x1 = 2 + 2 y x2 = 2 − 2 son raíces de una ecuación; determinar dicha ecuación de raíces x1 y x2 b) 2x2–5x+1=0 2 d) x –4x+2=0
15. De la siguiente ecuación cuadrática de raíces 2 simétricas: 4x +(n–6)x–36=0; hallar "2n" a) 12 d) 6
b) 5 e) 4
(1 2n) x ' 19. Hallar "n" si el sistema: (2 n) x +
a) 1 d) 8
b) 2 e) 9
' (x
−
incompatible, se cumple que:
a) x2+4x+4=0 2 c) x +4x–6=0 2 e) x +2x–4=0
c) 8 5y = 7 + 4y = 8 es
+
incompatible
ay = 12 3y = 6 presenta innitas soluciones,
−
b) 7 e) 10 +
recíprocas, "n" vale: c) Si
a) 6 d) 9
c) –6
+
c) 3
5) (y + 4) = xy + 61
20. Resolver: (x + 4) (y + 5) = xy + 60 calcular "xy" a) 6 d) 15
b) 8 e) 20
'27x
+
13y
=
c) 12
100
21. Resolver: 13x + 27y = 140 indique x+y a) –2 d) 6
b) 4 e) 10
'4(ax
3) x + 2 y = 6 − (b − 5) y = 3
c) 3
−
22. Si es indeterminado, calcula "ab" a) –20 d) 44
b) 40 e) 50
compatible c) 30
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Álgebra 23. El doble de la edad de Juan excede en 50 años a la edad de Bertha, y
1 4
de la edad de Bertha es
35 años menos que la edad de Juan, calcula la edad de Juan. a) 42
b) 45
d) 48
e) 54
c) 47
24. Tomás, David y Carla pueden soldar 37 metros lineales por hora cuando trabajan juntos. Tomas y David, juntos, pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras que Tomás y carla, juntos, pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuántos metros lineales por hora puede soldar cada uno de ellos por separado? a) 10; 14; 12
b) 8; 13; 16
c) 10; 12; 15
d) 20; 10; 7
e) 15; 8; 14 25. Un patio tiene forma rectangular, si tuviera 3 m 2 más de largo y 4 m más de ancho sería 192 m más grande; y si tuviera 4 m menos de largo y 3 m menos de ancho sería 158 m2 mas pequeño. Las dimensiones del patio son: a) 10m y 20m
b) 20m y 30m
c) 30m y 40m
d) 10m y 30m
2
27. En la ecuación x –ax+48=0 de raíces "x 1" y "x2" determinar "a", tal que 1 + 1 = 219 x1
a) 219 d) 2011
b) 438 e) 2010
24
c) 2
28. ¿Para qué valor de "a" el sistema
'2((11
− −
a) x + ( a + 3 ) y = 3 a + 1 a) x + (a + 6) y = a + 2 es indeterminado?
a) –7
b) –1
d) 1
e) 2
c) 0
29. Javier tiene el cuádruple de la edad que tenía Ricardo cuando él tenía la edad que Ricardo tiene; pero cuando Ricardo tenga la edad que Javier tiene, ambas edades sumarán 95 años. ¿Qué edad tiene Javier? a) 20
b) 25
d) 35
e) 40
c) 30
30. Un deportista apuesta a tirar al blanco con la condición de que; por cada tiro que acierte recibirá "a" soles y pagará "b" soles por cada uno que falle. Si después de "n" tiros, ha recibido "c" soles. ¿Cuánto tiros dio en el blanco? a)
a−b bn + c
e) 15m y 25m 26. Calcular (p+q), si las ecuaciones de segundo grado
x2
c) bn(a–b)
b)
nc a+b
d)
bn + c a+b
2
(p − 1) x + 2x + 1 = 0 2 (p − 1) x + (q + 1) x + 3 = 0 son equivalentes.
a) 5
b) 7
d) 11
e) 13
e)
cn + b a+b
c) 9
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 2
Si
5x
Si
4x
+
8x + 7
−
5x
2
'3y x Si ' x y x 3y
−
=
16
−
=−
−
=
0;
=
la suma de raíces es
0;
el producto de raíces es
8
Si 2y + x = 13 ; el valor de "y" es −
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2 ; el valor de x+y es 4
=−
A
1
B
–8/5
C
8
D
–4
Tercer año de secundaria 79
21
Capítulo
2
2. Señalar verdadero (V) o falso (F) a) Dado bx2+cx+a=0;
a ! 0,
recíprocas sí a=c
( )
7. En la ecuación (n+3)x –(n–5)x+n–4=0, el producto de raíces es 2. Halle "5n" presenta raíces
2
b) Dado –4x +8x+2=0; la suma de raíces es
8. ¿Cuál es el valor de "a" si una raíz es el triple de 2 la otra en la ecuación: x –12x+a=0?
2 y su producto es − 1 ( ) 2
'nxcx
c) Dado
+ +
by = a py = m;
determinado c ! b n p 3x y ' Dado 6x 2y −
d)
−
= =
es
compatible
( )
9 24 ; si tiene solución ( )
9. Proporcionar "x" del sistema
Z 2 5 ] + = 2 ] 3x − y y + 2x [ ]] 4 − 3 = 17 \ 3x − y y + 2x
3. Completar correctamente 2
a) Si en: 4x +ax–5=0; la suma de raíces es 8,
10. Si "a"
'123xx
− +
(a − 3) y = 9 (a + 2) y = 4 es incompatible, calcula
el valor de "a"es: 2
b) Si la ecuación 16x –2x–8b=0 presenta raíces recíprocas, "b" vale:
'3axx
c) Si
− +
2y y
=
10 5;
d)
(4 ' Si (m
el
113x 67y '79 x 101 y +
+
es
=−
indeterminado;
11. Calcula "x–y" en el siguiente sistema de ecuaciones:
valor
23 11
=− =
compatible de
"a"
es:
'
ax − y = 2 − a
12. Para qué valor de "a" el sistema 2x − (a + 1) y = 2 es compatible indeterminado
a) x + (b + 5) y = 3 + 3) x + (n + 4) y = 5 − p ; es compatible
−
determinado; se cumple: 4. Si x1 = 5 + 3 y x2 5 3 son raíces de una ecuación; determinar dicha ecuación de raíces x1 y x2 . =
−
2
a) 2x +6x+22=0
13. Un día una tienda vendió 45 plumas, las de un tipo a $8,50 y las de otro a $9,75. El total de ventas fue de $398,75. ¿Cuántas plumas de cada tipo se vendieron?
14. Si tengo el doble de la edad que tú tenías cuando
b) x2–6x+22=0
yo tenía la edad que tú tienes, ¿cuántos años
2
tengo si la suma de nuestras edades actuales es
2
42 años?
c) x –10x+22=0 d) x +22x–10=0 e) 5x2+10x–22=0 2
5. La ecuación: (2n–1)x –(3n–15)x+(4n+6)=0, tiene raíces simétricas. Calcular "n". 6. Hallar "k" si la suma de las raíces de (k–1)x2–6kx+3=0, es 7
15. Una joven debe lavar "n" docenas de camisas; recibirá "a" nuevos soles por cada camisa bien lavada y pagará "b" nuevos soles por cada camisa mal lavada. Si recibió "m" nuevos soles en total. ¿Cuántas camisas fueron mal lavadas?
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Álgebra Tú puedes 1. UNMSM 2007 – II Dada la ecuación con raíces complejas 2 3x +(m+2)x+m=–2. Halle el máximo valor entero que puede tomar m. a) 7
b) 8
d) 10
e) 6
c) 9
2. UNMSM 2008 – I Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación 2
(2k+2)x +(4–4k)x+(k–2)=0, donde una raíz es el inverso multiplicativo de la otra. a) 61/9
b) 9/82
d) 80/9
e) 82/9
c) 31/9
'
3x − y = k 5x + y = k − 2 halle el valor de "a"
b) 5
d) –5
e) –2
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x ' Dado el sistema x α
y =− 1 − α + αy = 1 + α , +
halle la suma de los valores de α para los cuales el sistema tenga más de una solución. a) –2
b) 0
d) 2
e) –1
c) 1
5. UNMSM 2011 – I Un reservorio de agua lleno hasta sus 3/4 partes pesa 3000 Kg, pero lleno hasta su quinta parte pesa 1900 Kg. ¿Cuál es el peso del recipiente
3. UNMSM 2011 – I Si el par (1;a) es solución del sistema
a) 2
4. UNMSM 2004 – II
lleno en toda su capacidad? a) 3400 Kg
b) 3600 Kg
c) 3300 Kg
d) 3500 Kg
e) 3200 Kg
c) 1
Tercer año de secundaria 81
22
Capítulo
INECUACIONES I Problemas para la clase 1. Completa
6. Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
a) 10 b)
2 5
c)
7
–10
2x + 1 3x − 4 1 8 3
3 7
a) < 2 ;+∞>
b) < 4 ;+∞>
Π
c) < 31 ;+∞>
d) < 35 ;+∞>
5
3
13
a) I>II
18
e) < 25 ;+∞> 18
b) I 7. Sean los intervalos:
c) I>II d) I
e) I>II
entonces A ∩ B es:
2. Si: x>3 y E=3x+2 ; entonces resulta que: a) E>11
b) E<15
d) E>15
e) E<15
c) E=11
a) M<5
b) M ≤ –3
d) M>–5
e) M ≥ –3
4. Si x>2 y
b) <4;10>
d) <2;8>
e) <3;7>
c) <2;10>
8. Sean los intervalos: P=<1;4] Q=[2;6>
entonces P ∩ Q es:
entonces resulta que:
P= 1 − 3x 5
a) <4;8>
3. Si x ≥ 4 y M=1–x ;
A=<2;8> B=<4;10>
c) M=–3
a) <2;4>
b) <2;6>
d) [4;6>
e) <3;6>
c) <2;4>
9. Resuelve: ;
7
entonces resulta que:
a) x∈[3;6>
b) x∈<7;9>
c) x∈<3;6]
d) x∈<2;8]
a) P>–1
b) P<–1
d) P<2
e) P>0
c) P=1
5. Resuelve la siguiente inecuación: –3x+1>7
e) x∈<1;9> 10. Resuelve:
$
4 − 4x # − 16 4 >−6
−x +
a) x∈<2;∞>
b) x∈<–2;∞>
a) [5;10>
b) [4;10>
c) x∈<3;∞>
d) x∈<–∞;–2>
d) [8;10>
e) [7;10>
c) [9;10>
e) x∈<–∞;2>
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Álgebra 11. Relacionar
–∞
–2
8
–∞
15
–∞
–7
–∞
A
+∞
B
+∞
4
+∞
5
1 3
+∞
12. Indicar verdadero (V) o falso (F):
13. Dados: =
6 5; 0@
J
−
=
6
−
3 ; 4@
Completar la intersección de I con J es el intervalo: 14. Si x∈[ 2;10]. ¿A que intervalo pertenece a) [–1;3]
b) [0;3]
d) [–1;4]
e) [0;6]
15. El
conjunto
2x − 1 1 5
solución x+3 es
x
−
2
+
4?
c) [–1;2]
de
la
inecuación
2
a) <–17; +∞>
b) <–4, +∞>
c) <–∞; –17>
d) <–∞; –4>
16. La representación gráca de la inecuación 3 − 2x 15 es: $ 10
a)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
b)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
c)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
d)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
e)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
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;
7 @ , 4; + 3
C
15; + 3
D
6 − 2; 8@
a)
; 8 10 3
d)
8 83 ;
b)
+3
3−x #
2x − 1 , 3
− 3; 10
B 3
su conjunto c)
− 3; 2@
e) 6 2; + 3
+3
18. Resolver: 2x + 7 < x + 8 ≤ 8 + 2x a) <0; 1]
b) [0; 1>
d) <–1; 0>
e) [–1; 1>
c) <–1; 0]
19. ¿Cuál(es) de las siguientes inecuaciones posee(n) como solución al intervalo <1;+ ∞>? I. x+2>3 II. 2(x–1)<3x–3 III.
−
x 2
+
11
1 2
a) solo I
b) solo I y II
c) solo I y III
d) solo II y III
e) Todas
e) <– ∞; +∞>
2
−3 −
17. En la inecuación solución es:
I. 5 ≤ 7 II. 3 ≤ 3 III. –3 ≤ 0
I
8 31, 5B
20. Si 5 veces un número se disminuye en 3 unidades resulta un número menor que 27, entonces el número debe ser menor que: a) 8
b) 6
d) 10
e) 30
c) 9
21. Si el cuádruple de un número NO es mayor que el triple del mismo número, más cuatro unidades, entonces. ¿Cuántos números enteros positivos existen, que cumplan dicha condición? a) 12
b) 5
c) 4
d) 3
e) innitos
Tercer año de secundaria 83
22
Capítulo
22. Resolver:
7 − 3x −5
24. La solución del siguiente sistema de inecuaciones es:
<1
a) <–∞; 20>
b) <–∞; 10>
c) <–∞; 4>
d) <3; + ∞>
*
4x + 2 2 1 6x # 2
3 (x + 1) 2 2 (x + 1)
a) − 1
1x#
1 3
b)
c) − 1 1 x #
1 4
d) − 1 1 x # − 1
4
e) <1; +∞ > 23. ¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones $
5x − 12 1 13 x + 12 $ 13 ?
3
e) − 1 4
a) @1, 5@
b) @− 3; 1@ , @5; + 36
c) @− 3, 16 , 65, + 36
d) 61; 56
e) @1, 56
1 1 1x# 4 3 3
4
1x
25. Si a
b) <1; a+b>
c)
d)
e) <–∞; a+b>
Practica en casa 1. El intervalo [–3;4[, se escribe en notación conjuntista como:
7. Resolver: 2x − 1 <3 −5
2. Indicar verdadero (V) o falso (F): 8. Resuelva la inecuación: x (x+4) > (x–3) 2
I. 5 ≥ 7 II. –3 ≤ –5 III. –2 ≤ –2
Indique uno de los valores que la verica:
3. Si P={x∈R /4>x∧–x≤2}, entonces ¿cuál (es) de los siguientes números pertenece(n) al conjunto P? I. 0
II. –2
$
(x + 1) .10 + x # 6 (2x + 1 ) 4 (x − 10) 1 − 6 (2 − x) − 6x
E indique la suma de valores enteros en su conjunto solución:
III. 4
4. Si x ! 63; 15@. ¿A que intervalo pertenece
9. Resuelve el sistema
−
x 3
+
4?
10. Calcule el mayor número entero cuyo triple, disminuido en 20 unidades es menor que su
5. ¿Cual de los siguientes valores satisfacen
doble, aumentado en 40.
simultáneamente las inecuaciones? I.
x−5 2
15 8
II.
2 − 3x 2
1 2
11. Indique qué alternativa presenta la solución de: 2
(x − 1) # x (x − 4) + 8
I. 6. El intervalo 〈– ∞; 15] es el C.S. de: I. 15 $ x II.
5x − 29 # 3 x − 14
+
x#
7 2
II.
B− 3, 72 B
III.
7 2
x
III. − 3x $ − 45 Colegios
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Álgebra 12. ¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones
$
2 (x − 2) 1 4 2 (x + 3) $ 6 ?
13. Resolver:
14. En la pizarra al resolver una inecuación un alumno obtiene el intervalo: [–2; 6>. Pablo arma: existen 8 valores en tu respuesta. Pedro arma: hay 3 enteros no positivos en tu respuesta. Tomas arma: hay 6 enteros no negativos en tu respuesta. ¿Cuál de ellos se equivocó?
x+1 x+2 x+3 # # 3 4 2
15. Si a < 0 < b; resolver la inecuación en "x": 2a (ax–b) + b 2 < abx
Tú puedes 1. Siendo a ∈ R + ∧ ab < 0 ∧ bc < 0; |c|<|b| Resolver: b (x–b) < –c (x+c) a) <–∞; b–c>
b) <–∞; c–b> d)
c) R e)
x=
y
a) x d) w
=
M
c) x+q≤a.p
=
"x ! R / x + 5 2 2x , y N
=
$x ! R / x 4 3 # x. −
Hallar M∩N
5 , m−1
z
=
5
, m+1
w=
a) 〈–1; 5〉
b) [–1; 5〉
d) 〈–∞; –1〉
e)
m+2
b) y c) z e) No es posible determinar
c) 〈–1;5]
R –〈–1;5〉
5
3. Una persona tiene $p y quiere comprar la mayor cantidad posible de ciertos artículos, los cuales tienen un valor de $a cada uno. Si del total del dinero que tiene, la persona gasta $q en locomoción. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el planteamiento correcto de la inecuación que permite conocer la cantidad x de artículos que puede comprar la persona?
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b) a.x≤p–q e) x≤a.(p–q)
4. Sean
2. Si "m" es un número natural mayor que 3, ¿Qué fracción podría adoptar el mayor valor con respecto a las otras tres? 5, m
a) x.p>a.q d) a.x>p–q
5. Si el inverso de (x–1) varía entre
3 y 7 . 4 5
¿Entre qué valores varía (x+1)? a) Entre
17 7
10 3
b) Entre
15 y 19 6 5
c) Entre
18 y 11 7 3
d) Entre
2 y 3 5 4
e) Entre
11 7
y
y
8 3
Tercer año de secundaria 85
23
Capítulo
INECUACIONES II Problemas para la clase 1. Resuelve: x2–4x<0
6. Resuelve: (x+3)(x–3)+9>0
a) x<4
b) x∈<0;4>
c) x∈<0;4>
d) x∈<4;+∞>
e) x∈<–∞;0>∪<4;+∞>
a) x∈<–3;–2> b) x∈<–∞;–3]∪[–2;+∞>
a) x∈{1}
b) x∈∅
c) x∈<1;3>
d) x∈R
e) x∈{
c) x∈<–∞;–3>∪<–2;+∞>
c) x∈{0}
5
+ 1 ;
11}
8. Resuelve:
d) x∈<–∞;2>∪<3;+∞>
`
e) x∈<–∞;2]∪[3;+∞>
3 x−
3. Resuelve: x2<36
4 3
j
>
x
2
a) x∈R c) x<4
a) x∈<6;+∞>
b) x∈<–6;6>
c) x∈<–∞;6>
d) x∈<6;9>
e) x∈<–∞;6>∪<6;+∞> 4. Resuelve: x2–8x+16>0 b) x∈∅
c) x∈R –{4}
e) x∈<0;4>
b) x∈∅
c) x∈R –{–5}
e) x∈<–5;5>
b) x∈∅ d) x∈<4;+∞>
e) x∈<3;+∞> 9. Resuelve: (4+x)(4–x)+9>0 a) x∈<0;–5>
b) x∈<–5;5>
c) x∈<0;5>
d) x∈R
e) x∈∅ 10. Resuelve: (x–3)2<–11–(3x+2016)2
5. Resuelve: x2+10x+25 ≤ 0 a) x∈R d) x∈{–5}
b) x∈R –{0} e) x∈{3}
7. Resuelve: x2+x+3<0
2. Resuelve: x2+5x+6 ≥ 0
a) x∈R d) x∈{4}
a) x∈R d) x∈∅
a) x∈<3;2016>
b) x∈<–4;7>
c) x∈<–3;4>
d) x∈∅
e) x∈R
11. Relacionar: 〈–5; 5〉
A
I. (x+6)(x+2) ≥ 0
]– ∞ ;+∞[
B
II. (x–5)(x+5)<0
[4;7]
C
III. x2 ≥ 0
〈– ∞ ; –6] ∪[–2; +∞〉
D
IV. (x–4)(x–7) ≤ 0
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Álgebra 2
12. Indicar verdadero(V) o falso(F) –∞
2
4
20. Resolver: x +10x+25<0
+∞
Representa a: (x–2)(x–4) ≤ 0
(
)
b) φ
a) R –{–5} d) {5}
c)
R
+
e)
R
2
21. Indicar el conjunto solución de: x +2x<1 –∞
–3
5
+∞
Representa a: (x+3)(x–5)>0
(
)
13. Respecto a la inecuación cuadrática x2–2x–15 ≤ 0 complete los enunciados respectivos ] Su conjunto solución es [ ;
Tiene
valores enteros positivos
Tiene
valores enteros negativos
El total de números enteros es
.
2
14. Resolver: x –8x<0 a) 〈–8; 8〉
b) 〈8; +∞〉
d) 〈8; +∞〉
e) 〈0; 8〉
c) 〈–∞; –8〉
a)
− 2;
b)
−
c)
1−
d)
− 2 − 1;
e)
−2 −
15. Indicar el intervalo solución de: x –x–20≥0
2 − 1; −
2+1
2; 1 +
2 2−1
2; 2 −
2
2
22. Resuelve: x –4x+1<0 a) 60; 2 + 3
b)
c) R e) φ
d) Hay dos respuestas
2−
3; 2 +
3
23. Sean los conjuntos: A
2
2
B
=
=
"x ! R / x2 "x ! R / x2
−
−
x
−
4x
2 $ 0,
−
5 # 0, determine
A ∩B
a) 〈–∞;–4] ∪ [5;+∞〉
b) 〈–∞; –4] ∪ 〈3;+∞〉
a) [2; 5] ∪ {–1}
b) [–1; 2] ∪ [5; +∞[
c) [–2; 3]
d) 〈3; +∞〉
c) [–∞; –1] ∪ [2; 5]
d) [2; 5]
e) 〈–∞; –2〉
e) [–1; +∞[ 2
16. Resolver: 2x –11x+12 ≤ 0 a) 6 4; + 3 d)
8 32 ; 4B
b)
8− 32 ; 4B
e)
4; + 3
c)
− 3; 2@
2
17. Indicar el intervalo solución de: 4x –64 ≥ 0 a) @− 4; 46
b) @− 3; − 4@ , 6 4; + 36
c) 6 − 4; 4@
d) @− 3; − 46 , 6 4; + 36
e) @− 8; 86
24. Al resolver el sistema: 2 2 x +x+1 ≤ x+50
b) 19
d) –28
e) 21
c) 0 2
25. Si el conjunto solución de: x –ax+b>0 es: 〈–∞; –1〉∪〈8; +∞〉, calcular ab a) –56
b) 56
d) –49
e) –42
c) 49
2
18. Resolver: 9x +12x+4 ≤ 0 a)
b) Ø
R
d) {–2/3}
c) R – {–2/3} e) [–3/4; 3/4] 2
19. Resolver: x +20x+100>0 a)
− 10; 10
b)
− 3; − 10
c)
− 3; − 10
d)
R − " − 10,
,
10; 3
e) φ
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Tercer año de secundaria 87
23
Capítulo
Practica en casa 1. Relacionar (x–9)(x–2)<0
A
I. [–8; –5]
(x–4)(x+7) ≥ 0
B
II. 〈–∞;–1〉∪〈6; +∞〉
(x+1)(x–6)>0
C
III. 〈2; 9〉
(x+5)(x+8) ≤ 0
D
IV. 〈–∞;–7]∪[4;+∞〉
2. Indicar verdadero (V) o falso (F):
9. Respecto a la inecuación cuadrática
a) (x–7)2 ≤ 0 → C.S={7}
(
)
x2–3x–28 ≤ 0 complete los enunciados respectivos
b) (x+8)2>0 → C.S=R –{–8}
(
)
Su conjunto solución es [
c) (x–3)2+1<0 → C.S= φ ={ }
(
)
d) 4x2+4x+1 ≥ 0 → C.S=〈–∞; +∞〉=R (
)
3. Completar
;
]
Tiene
valores enteros positivos
Tiene
valores enteros negativos
El total de números enteros es
.
a) La suma del máximo y mínimo valor de: 2
x ≤ 9 es
10. Indicar el conjunto solución de: 2
b) Cuantos valores enteros verican: x <4 c) Que valor entero verica la desigualdad: x2–2x+1 ≤ 0
(x+5)2 ≤ (x+4)2+(x–3)2
11. Resolver:
x
2
20 x + 5 1 0
−
4. Resolver: x2–5x<0 2
12. Resuelve: x –7<2x 2
5. Resolver: 2x +25 ≤ x(x+10) 13. Sea los conjuntos: 2 A "x ! R / x 4x 2 B "x ! R / x 13x
6. El conjunto solución de:
=
8x2+24x–32<0 es 〈a;b〉 indique (a+b)
=
−
−
−
45 $ 0 ,
−
30 # 0 ,
Determine la suma de valores enteros de A ∩ B
7. Indicar el intervalo solución de: x 2–x–42 ≥ 0 14. Al resolver la inecuación simultánea: x2+2x–28 ≥ x–8>x2+2x–50 8. Indicar verdadero o falso –∞
–4
8
Su solución es 〈c;d] ∪ [a;b〉. Indica M=bd–ac +∞
Representa a: (x+4)(x–8)>0
(
)
2
15. Si el conjunto solución de: x –ax+b<0 es: 〈–2; 5〉, calcular ab
–∞
–3
9
+∞
Representa a: (x+3)(x+9) ≤ 0
(
)
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Álgebra Tú puedes 1. Un número verica que el cuadrado del antecesor de su doble no supera a su cuadrado aumentado en 5. Determine cuántos números cumplen con dicha condición a) 0
b) 1
d) 3
e) mas de 3
2. Si x2+2kx+k– determine el pertenece k.
c) 2
3 >0 16
se cumple
conjunto
numérico
2
4. Dado el polinomio: P(x)=3x –5x+n, halle los valores de n para que las raíces sean positivas a) d)
6x ! R
al
que
25 80, 12 B
− 3; 25 12
b) e)
0; 25 12
B
c)
0; 25 12
26 ; + 3 8 12
5. Resuelve la inecuación en x 2 n(n–1)x +(2n–3)x–n(n+3)<0, considere 0
a)
0; 1 2
b)
1; 3 4 4
d)
8 41 ; 34 B
e)
0; 3 4
c)
1; 5 4 2
3. ¿En que intervalo debe variar k de modo que 2 una de las raíces de la ecuación x –4x–k=0 se encuentre en el intervalo 〈2; 6〉? a) 〈–4; 12〉
b) 〈–2; 1〉
d) 〈5;8〉
e) 〈–6; –2〉
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a)
− n − 3; n n n−1
b)
n ; −n − 3 n−1 n
c)
n ;n+3 n−1 n
d)
R −
8 − nn− 3 ; n n− 1B
e)
R −
8 n n− 1; − nn− 3 B
c) 〈–3; 3〉
Tercer año de secundaria 89
24
Capítulo
FUNCIONES I Problemas para la clase
1. Si:
II. G={(1;3), (2;4), (1;2)}
(2a+b ; b–1)=(13 ; 2)
III. H={(1;2), (7;4), (1;2)}
Halla el valor de "a+b"
a) F d) Sólo H
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
A={1; 3} ∧ B={0; 4}
a) 10 d) 24
Determine "AxB" {(1;0), (1;4), (3;0), (3;4)} {(1;0), (1;4), (0;3), (3;4)} {(1;0), (3;1), (0;4), (1;3)} {(1;0), (3;3), (4;1), (1;3)} {(1;4), (0;3), (4;4), (1;1)}
b) 14 e) 18
c) 16
8. Dada la función : F={(2;3), (3;4), (4;6), (6;1)} Calcula el valor de: F(F (2))+F(F(3))– F(6) a) 1 d) 9
3. Sean los conjuntos:
b) 2 e) 5
c) 3
9. Calcula el rango de la función: F(x)=x2+1 Si x∈{–2;–1;0;1;2}
A={1; 3; 5} y B={4; 5} Siendo: R={(x; y) ∈AxB/y>x}
a) {0;4} d) {1;4}
Determine "R" por extensión a) b) c) d) e)
c) G∧H
7. Si el siguiente conjunto: F={(2;b–1) (3;4) (2;6) (3;a+2) (5;6)} Representa una función. Halla el valor de axb
2. Sean los conjuntos:
a) b) c) d) e)
b) F∧G e) F, H
{(1;4), (1;5), (3;4), (3;5)} {(1;4), (1;5), (5;5), (3;4)} {(1;5), (3;4), (5;5), (3;4)} {(1;4), (1;5), (3;4)} {(1;4), (3;5), (3;5)}
b) {0;1;4} e) {4}
c) {1;2;5}
10. Indique la gráca que no representa una función y
y
4. Sea V={–1;0;1} y la relación denida por: R={(x; y)∈V2 /X2=Y2} Determina el dominio de "R" a) {–1; 0,1} d) {0; 2}
b) {0; 1} e) {1}
x
a)
y
y
c) {–1; 1}
5. Sea: A={1; 2; 3; 4} y la relación denida por: R={(x;
x
y)∈A2 /x+y≥4}
Determina el rango de "R" a) {1} c) {1; 2; 3} e) { }
c)
x
d) y
b) {1; 2} d) {1; 2; 3; 4}
6. Cual (es) de las siguientes relaciones es una función:
x
b)
x e)
I. F={(1;5), (1;6), (1;7)}
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Álgebra 11. ean: A={1;2;3;5} y B={2;4;8;9} y la relación 2 R={(a;b) ∈ A×B/ a =b}, relacionar {2;3} (2;4) {4;9} (5;2)
A B C D
A
• a • b • c
c) A
x
12. Sea: A={2 /x ∈z; 0 ≤x≤5} y 2 R={(a,b)∈A /a+b= impar}. Colocar (V) o (F) I. (1;16)∈R
• • • •
II. (4;1), (8;1), (8;2)∈R III. (32;1)∉R
M
a) VFFV d) VVVV
b) FFFF e) VVFF
c) FFVV
13. Sea la función f={(1;7), (3;4), (5;7), (3;3y–5), (1;2x+1)} hallar x+y a) 4 d) 9
b) 5 e) 6
c) 7
14. Dada la función 2 3 G={(3;7), (4;3), (4; x –x+1)}, hallar x –5 a) 3 d) 8
b) –6 e) 6
c) 3 y –6
15. Dada la función: f={(1;2), (2;3), (3;4)}, calcular f (3)+2f (1)+f(f (1)) a) 9 d) 8
b) 7 e) 11
c) 5
16. Cual (es) de los siguientes diagramas no representa una función. f A B • • • •
• 1 • 2 • 3
1 4 9 5
0 3 7 8
• a • b • c
17. De las siguientes relaciones, ¿cuáles no son funciones? I. F={(4;4), (5;5), (6;6)} II. G={(3;4), (4;4), (5;4), (6;4)} III. H={(5;2), (5;3), (5;6)} IV. I={(4;3), (3;4), (5;2) (2;5)} V. J={(3;6), (7;4), (3;8), (2;9)} a) H d) F y I
b) H y J e) F y G
b)
g
B • 1 • 3 • 5
a) 8 d) 1
b) 27 e) 16
19. Dada la función H A
c) 19
B
• x • y • z
• x • y • z
Hallar: H (x) + H (H (z)) y+z
a) 2 d) 1
b) 1/2 e) 0
c) x
R → R denida
por
3x − 1; si x 2 3 2 f (x) x − 2; si − 2 # x # 3 2x + 3; si x 1 − 2
*
Hallar f (–2)+f (7)+8f (1/2)+f (–4) a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
21. Sea f una función tal que: f (x)=4x–9; –2 ≤ x ≤ 3, el rango de f es: a) [–17;3] d) [4;15]
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c) J
18. Determine el valor de: a+b+f(2)+f(–1), si 2 f={(2;5), (–1;3), (2;2a–b), (–1;b–a), (a+b ;a)} es una función.
20. Sea la función f:
a)
• 2 • ≠ • e
B
d)
IV. n(R)= 10
A
B
• 5 • 7 • 9
∈R
Dom (R) ∉R Ran (R)
h
b) [–15;4] e) [3;17]
c) [–17;2]
Tercer año de secundaria 91
24
Capítulo
22. Sea G una función tal que: G(x)=(x+5)2–10; –1 ≤ x ≤ 2 El rango es: a) [6;30] d) [0;36]
b) [0;32] e) [0;49]
24. Dado la función: f (x)=mx+n+1, cuya gráca es: y f –1 2 x
c) [6;39]
–6
23. ¿Cuál de las siguientes grácas representa una función? y
a) 11 d) –10
y
x a)
x b)
y
Hallar mn b) –13 e) –8
c) –15
25. La gráca de la gura corresponde a la de la función f (x). Entonces f (–1)+f (1)+f (2)+f (3) es igual a: y 2
y
1 x
x –2
c)
d)
–1
1
2
3
x
–1 a) –1 d) 2
b) 0 e) 3
c) 1
Practica en casa 1. Si (2a+2; 14)=(10; b2–2) relacionar (b ∈R +) 2
a 3b a+b ab
A B C D
12 16 256 8
2. Sean los conjuntos A={1;3}
B={2;3;4}
Si R={(x;y) ∈A×B)/x+y=par}. Indicar (V) o (F) I. (1;2)∈R II. Dom R={1;3} III. Ran R={3}
4. Si A×B={(1;3), (1;7), (2;3), (2;7), (4;3), (4;7)} y B×C={(3;5), (3;4), (7;5), (7;4)} calcular (A ∪ B)–C
5. Cuál de las siguientes relaciones no es una función F={(2;4), (4;5), (5;6)} G={(1;9), (2;7), (1;9)} H={(1;7), (2;7), (3;7)} I={(2;3), (5;8), (8;5)} J={(4;3), (4;8), (2;10)}
3. Si: A={12;8;5} y B={2;3;4;5} si R={(a;b) ∈A×B/ A=Bc } a) Hallar R por extensión b) Hallar Dom (R) y Ran (R)
6. Si R={(x;y)∈N×N/x+y=6}, halle el número de elementos de la relación R
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Álgebra 7. Si: A={3;5;6} y B={3;4;5} además
10. Dada la función: A
R1={(x;y)∈A×B/x+y=9} R2={(x;y)∈A×B/y=4}
f
B
• 2 • 4 • 6
Calcular Dom R1 ∩ Dom R2
• 2 • 4 • 6
8. De la siguientes grácas, cuales no corresponden a una función? A
f
• a • b • c
A
h
• a • b • c
g
B
A
• x • y • z
• a • b
B
A
• x • y • z
• a • b • c
Calcular f (6) + f (f (2))
• x • y • z
i
f (4)
B
B • x • y • z
11. Sabiendo que: F={(1;2), (2;x), (3;x+y), (1;x+1), (3;–y)} es una función , calcular 5x+4y
12. Sea f una función denida en Q cuya regla de 2 correspondencia es: f(x)=x –1 Hallar f(a); si f(a–1)=f(a)
13. Se sabe que: A
j
B
f={(a;b), (3;c), (1;3); (2a;4)} y que f (x)=x–2a, entonces el producto de los elementos de: Dom (f)∩Ran (f), es:
• a • b • c
• x • y • z 14. Dada la función: f (x)= 7x − 3 ; 3 ≤ x ≤ 5. Calcular 2 su rango
9. Indicar cual (es) de las siguientes relaciones son funciones f={(–2;4), (2;4), (3;9), (4;16), (5;25)}
15. Sea la función G(x)=(x–3) 2–20 con 5≤x<8 su rango es:
g={(1;3), (2;6), (3;9), (4;12), (13;15)} h={(3;–3), (2;–3), (4;–3), (5;–3), (6;–3)} j={(1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5)}
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Tercer año de secundaria 93
24
Capítulo
Tú puedes 1. Universidad Agraria 2007–II
3. Universidad Agraria 2007–II
2
2
Si f(x)=(x–1) +a
Si f (x)=–x +ax+(a–3), además f (3)=8. Hallar "a"
Entonces: f (x) − f (x + 2) será: x
a) 4
b) 2
d) –4
e) –2
b) 5
d) 4
e) 3
c) 7
c) 1 4. UNAC 2007–I Si g(f(x))=x+2; halle g (27), siendo:
2. UNAC 2006–II f(x)=
a) 2
3
x–1; si x ≥ 10 f(f (x+2)); si x<10
Hallar: F(1) a) 8
b) 7
d) 9
e) 10
2
f (x)=x +6x +12x+8
c) 5
a) 0
b) 3
d) 8
e) –1
c) 2
5. Universidad Agraria 2009–I 2
Hallar el rango de: f (x)=3(x–1) –2, x∈〈–1;2] a) [–2;10〉
b) [1;10〉
d) 〈–2;1〉
e) [–2;1〉
c) [–2; 10]
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Capítulo
25
FUNCIONES II Problemas para la clase
1. El dominio de la función: F={(6;3), (4;3), (2;5), (5;5)} es:
6. El rango de la función: F (x)
x ∈ {4; 7; 12}
a) {3}
b) {2;4;5;6}
d) {6}
e) {6;5}
c) {5}
2. El rango de la función: G={(–1;0), (2;0), (3;0), (4;1), (0;0)} es: a) {0}
b) {1}
d) {3}
e) {2}
=
x x
− −
a) {1;3;6}
b) {1;2;3}
d) {2;3;4}
e) {2;6}
c) {2;4}
7. El rango de la función: G (x)
=
2+ 1 x
es:
c) {0;1}
a) R d) {2}
3. El dominio de la función real: F (x)
x − 3 + 1 ;
=
b) R –{0} e) {0}
c)
R –{2}
c)
R
c)
R
8. El rango de la función:
1 2
H (x)
es: a) R d) {1}
4. El dominio de la función real: G(x)=x3+x2–3 es: b) ∅
a) R d) {4}
x+3 x+1
es:
c) {2}
b) R –{2} e) {1;2}
=
a)
R –{1}
b)
R –{3}
d)
R –{–1}
e)
R –{2}
9. El dominio de la función: F(x)=(x–1)2+7 es:
c) {–3}
a) [1;+∞>
e) {1}
d) [1;7>
b) R –{7} e) [1;7]
5. El dominio de la función real: F (x)
=
x
−
10. El rango de la función: G(x)=(x–4)2+6 es:
4
es: a) {4}
b) [4;+∞>
d)
e)
R –{4}
c) <–∞;4]
R
a) {4}
b) [6;+∞>
d) [4;6>
e) {4;6}
c) [4;+∞>
11. Relacionar correctamente: f (x)=1+
x
−3
A
Dominio=R
g(x)=2+
3−x
B
Dominio=R–{3}
C
Dominio=[3; +∞〉
D
Dominio=〈–∞; 3]
h(x)=x–3 k(x)=
1 x−3
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Tercer año de secundaria 95
25
Capítulo
12. Indicar verdadero (V) o falso (F)
18. Hallar el dominio de la función:
a) F={(3;5), (3;5), (8;6), (7;3)} es una función. b) G={(–1;2), (–2;3), (–3;4), (–4;5)} es una función. c) H={(3;1), (4;1), (5;1), (6;1)} es una función. d) I={(7;2), (7;3), (7;4), (7;5)} es una función.
F (x)
( ) ( ) ( )
=
5 16 − x
2x x−2
y
( )
x − 2 es:
+
a) 〈–4;4〉 b) [–4;4]–{2} c) [–4;4] d) 〈–∞;–4∪[4;+∞〉 e) [0;4] 19. Calcular el dominio de la gráca f (x)
f (x)
2
–4
0
13. Completar correctamente: a) El dominio de la función: E (x)=x+
2
3 1
3
5
x
–3
b) El rango de la función: F (x)=5+ 6
x − 3 es:
2
c) El rango de la función: P (x)=7+(x+6) es: d) El rango de la función: Q (x)=3–(x+2)2 es: 14. Encontrar el valor de "m" de modo que la relación: R={(3;5m–1), (5;6), (3;4m+1), (6;3)} sea una función. a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 15. Calcular el mayor valor que puede asumir "a" si la relación: 2
2
E={(–3;5), (–2;3a –6a), (7;5), (–2;a +4a+28), (1;6)}
21. Calcular el rango de: Q (x) =
x
2
+
x + 1+ 2
c) [2;+∞〉 a) R b) R –{2} d) [0;+∞〉 e) 〈–∞; 2] 22. Si: x∈[3;6〉, calcular el rango de: H(x)= 3
10 3x − 10
a) 〈1;6] d) 〈3;5]
+
3
b) 〈3;10〉 e) 〈2;5]
c) [10/3;+∞〉
23. Calcular el dominio de:
es una función. a) 6 d) 9
a) 〈–4;5〉 b) 〈–4;0〉 ∪ 〈1;5〉 c) 〈–5;5〉 d) 〈–4;0〉 ∪ [1;5〉 e) [–3;3〉 20. Calcular el rango de la siguiente función 2 2 f (x)=4ax–2(2a –5)–x a) 〈–4;+∞〉 b) 〈–∞;10〉 c) 〈–∞;10] d) [10;+∞〉 e) 〈–∞;–10〉
b) 7 e) 10
c) 8
16. Si: F(x)=x+5 y además: F={(7;12), (a;15), (4;b), (–2;3)}, calcular "a+b" a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 17. Marca las grácas que representan una función:
F(x)= 20x2 +
x−2 x
2
−
+
10
−x
2
+
4x + 5
x−6
a) [–1;5]–{3} b) [–1;5]–{–2;3} c) 〈–1;5〉–{3} d) [–1;5〉 e) [–1;5]–{–2;2;3} 24. Con 200 metros de valla queremos cercar un recinto rectangular aprovechando una pared. 200 m x
I.
II.
III.
IV.
a) Llamar "x" a uno de los lados de la valla. ¿Cuanto valen los otros dos lados? b) Construir la función que nos da el área del recinto. 25. De un cuadrado de 10 cm de lado se recorta una tira de "x"cm en la base y otra de la misma longitud en la altura, obteniéndose un nuevo cuadrado. a) Hallar el área del cuadrado obtenido en función de "x" b) ¿Cuál es el dominio de esta función?
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Álgebra Practica en casa 1. Relacionar correctamente f (x)=5–x g(x)=3x+
5−x
h(x)=
x+5
k(x)=
x 5
+x
−x
A
Dominio= R –{5}
B
Dominio=〈–∞;5]
C
Dominio= R
D
Dominio=[–5;+∞〉
2. Indicar verdadero (V) o falso (F):
y
y
a) F={(1;3), (2;4), (5;6), (7;8)} es una ( ) función. b) G={(10;1), (10;2), (10;3), (10;4)} es ( ) una función.
x
x
III.
c) H={(3;10), (4;10), (5;10), (6;10)} es ( ) una función.
IV.
7. Calcular el rango según la siguiente gráca
d) I={(5;8), (–5;8), (3;8), (5;3)} es una ( ) función.
y
3. Completar correctamente
3 f (x)
a) La función F(x)=3x2+6 tiene por al conjunto 〈–∞;+∞〉
–2 –5
–2
b) La función H(x)= x tiene por al conjunto [0;+∞〉 2
c) El rango de la función R (x)=(x–1) +3 es: .
4
x
8. Calcular el rango de la siguiente función: 2
H(x)=3(4–3m )+x(6m–x)
d) El rango de la función M(x)=x 2–1 es: . 9. Indicar el dominio de la función: 4. Hallar el valor de "a" de modo que la relación: R={(7;a), (4;8), (5;7), (7;2a–1)} sea una función. 5. Encontrar el menor valor que puede asumir "m" si la relación: F={(2;5), (3;m2), (1;0), (3;m+6)} es una función. 6. Indicar la gráca que representa una función: y
L (x)
=
x+2 x−3
+
2011 25 − x
2
10. Si: E={(3;5), (4;m), (7;n+1), (–2;–5), (0;–1)} ∧ además: E(x)=2x–1 ; Calcular "m–n"
11. Calcular el dominio de: E (x)
y
=
4
−
x
2
+
9x − 14
+
6
−
x
2
+
6x − 5 + x
12. Si: x∈〈3;5], Hallar el rango de: F(x)= x I.
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x II.
3
5 2x − 5
13. Calcular el rango de: F (x) = 5 − x (x − 1) + 1
Tercer año de secundaria 97
25
Capítulo
14. Un tendero tiene 20 kg de manzanas que hoy venderá a 4 soles del Kg. cada día que pasa se estropeará 1 Kg. y el precio aumentará 1 sol el Kg. Escribe la ecuación que nos da la venta "y", en función de los "x" días que pasan hasta que se venden las manzanas.
15. De un cuadrado de 4cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden "x". a) Escribe el área del octógono que resulta en función de "x" b) ¿Cuál es el dominio de esa función?
Tú puedes 1. Hallar el rango de f (x)=
4
a) [1;3〉
b) 〈2;3]
d) [0;3]
e) 〈1;3〉
−
x
+
1
c) [1;3]
2. Dado A = "x ! Z / x # 4,, sean f y g funciones de A en R denidos por: 2
f (x)=x –3 y g(x)=
1−x +1
Hallar la intersección del rango de f con el dominio de g. a) {0;–2;3}
b) {–3;–2;–1}
c) {1;2;3}
d) {–3;–2;1}
e) {–1;0;1}
−
1, si x
H (x) =
$
10
f (x)= f (f (x + 2)); si x 1 10 , hallar f(1) a) 8
b) 7
d) 9
e) 10
c) 5
)
x2 + 4x + 13 ; x ! 6 –2; 2 x–3 ; x ! 63; 3
Indicar el rango de H a) [3; 5〉
b) [0;
3〉
c) [1; 2〉
d) [3;
3〉
e) 〈– 3 ; 1] 5. Dada la función: f (x)=–3+ x2 − 4x + 5, x ! 6− 2; 6@ Hallar: [0;
3. Si f es una función denida en el conjunto de todos los enteros por:
'x
4. Sea la función denida por:
17 +1]
∩ Ran f
a) 60; 17 − 2@
b) 6 − 2; 17 + 1@
c) 60; 17 + 1@
d) 6 − 1; 17 + 1@
e) 60; 17 − 3@
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Capítulo
26
FUNCIONES III Problemas para la clase 1. Hallar el valor de "a", de modo que la relación: R "(1; 2), (3; a 1), (2; 5), (3; 7 a), sea una función =
−
−
2. De la función: f "(2 ; 3), ), (5 ; 3), ), (7 ; 2), ), ( 3; 5) , , calcular la suma de elementos del dominio. =
−
4. Calcular el dominio de la siguiente función: f (x) (x)= x + x − 5
5. Calcular el dominio de la siguiente función: M (x)
=
3x + 2 +
1 x−4
3. De la función: H = "( 5 ; 3), ( 5 + 1; 4), (5; b + 7), (− 1; 3 − b), calcular la suma de elementos del rango.
6. Relacionar correctamente: Si f (x) (x)=5 entonces f (5) (5)+f (3) (3) es:
A
la pendiente es 11
Si H(x)=3x+2 entonces H (3) es:
B
la pendiente es 2
De la función lineal g (x)=2x+3
C
11
De la función lineal M (x)=11x+1
D
10 10
7. Indicar verdadero verdadero (V) o falso (F) (x)=x+2, es una recta oblicua a) La gráca de f (x) de pendiente 2. ( )
9. Hallar el valor de "a", si la gráca de f (x) (x)=3a–4, es: y
b) La gráca de g(x)=–4x+1; es una recta oblicua a la izquierda ( )
a x
c) La gráca de h (x)=+5, es una recta horizontal ( ) d) La gráca de k (x)=–3, es una recta vertical ( )
a) 1/3 d) 4
b) 1 e) 6
10. Hallar el valor de "a+b", si la gráca de g(x)=3x+6, es:
8. Completar correctamente a) F(x)=7 es una función
y
b) La pendiente de la función lineal Y=3x–1 es: c) "5" es el valor de la (x)=3+5x. f (x)
c) 2
a b
de
x
d) La gráca de H (x)=2011, es una recta a) 1 d) 4 www.trilce.edu.pe
b) 2 e) 5
c) 3
Tercer año de secundaria 99
26
Capítulo
11. Relacionar correctamente: P(x)=–5x+5
A
pendiente =–5
Q(x)=5x–5
B
rango={5}
R(x)=5
C
rango={–5}
S(x)=–5
D
pendiente=5
17. Indicar la función que dene la siguiente gráca es: y –2
3 5
3
x
–2
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) La gráca de y=5x–2, es una recta oblicua a la derecha ( ) b) La gráca de y=–3, es una recta horizontal ( ) c) La gráca de y=–2x–10, es una recta oblicua a la izquierda ( ) d) La gráca de y=x, tiene pendiente igual a 1 ( )
a) F(x)=
'− 23;; 3− 2 x x
b) F(x)=
'
d) F(x)=
'− 32;; 3− 2 x x 5 3
13. Completar correctamente a) La pendiente de la recta y=3x+5 es:
e) F(x)=
'− 23;;−3 2 x x 5 2
G
G
1 1 5
3
2; − 2 1 x 1 0 + 3; 0 G x 1 3
−
'
c) F(x)= − 2; − 1 1 x 1 2 3; 2 G x
1
1
1
G
1
1
G
5
1
1
18. Indicar la gráca de F (x)=2x–6 b) F(x)=–2011 es una función c) La función f (x) (x)=–2x+1, tiene pendiente negativa. d) La gráca de una función lineal es siempre una 14. Hallar el valor de "m", si la gráca de f (x) (x)=5m–2, es: y
3
c)
=
c) –3
1
b) 2 e) m+n
x
3
x
19. Hallar el área que encierran las grácas de f (x) (x)=3x–6, g(x)=–x+2 con el eje de las ordenadas a) 3µ2 b) 5 c) 4 d) 16 e) 8 20. Hallar el punto de intersección de las grácas de las funciones H(x)=3x–9 / G(x)=16–2x a) (–5;7) b) (4;8) c) (5;6) d) (6;5) e) (–4;–21) 21. Hallar la pendiente de la siguiente recta: g(x)=–2+ax si: g(3)=7
calcular E=F(2010)+F(2011) a) 4 d) n
d)
–6
c) 3
16. Si "m" / "n" son números reales negativos y F es una función constante que satisface: F (100) + F (600 − m) 2 + F (100 + n)
–3
y 6
15. Si F(x) es una función constante, y además se cumple que: F (–3)+F(–2)+F(–1)+F(0)=12, calcular: F(–4) b) 1 e) –2
y x
–3
x
b) –6
y 6
e)
a) –1 d) 3
x
a)
x
b) 2 e) 5
3 6
2m+7
a) 1 d) 4
y
y
c) m
a) +2 d) –2
b) –1 e) 3
c) 1
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Álgebra 22. ¿Cuál (es) de los siguientes puntos pertenecen a la función lineal, que contiene a los puntos (5;6) y (8;15)? I. (1;–6) III. (–2;–15) a) IIII y IV d) I y III
II. (2;–2) IV. (–3;–16) b) I y IV e) to todas
a) y=x+32 c) y=32x
c) II I I y III
5
y
*
b
−
a) 6 d) 7
x a
b) 5 e) 8
b) y=16x+12 d) y=9x+16
e) y= 9 x+32
23. Calcular "a+b+c", si la gráca de:
x; x G − 2 5; x ! − 2; 3 f(x)= − x + 8; x H 3
24. En algunos países se utiliza util iza un sistema de medición de la temperatura distintos a los grados centígrados que son los grados Farenheit. Sabiendo que 10ºC=50ºF y que 60ºC=140ºF, obtener la ecuación que nos permita traducir temperaturas de ºC a ºF.
c
25. El consumo de gasolina de cierto automóvil, por cada 100 Km, depende de la velocidad a la que va. A 60 Km/h consume 5,7 Lt y a 90 Km/h consume 7,2 Lt. Estima cuánto consumirá si recorre 100 Km a 70 Km/h. a) 4,6 lt d) 6 lt
c) 4
b) 9,8 lt e) 6,2 lt
c) 7 lt
Practica en casa 1. Relacionar correctamente:
7. Hallar el valor de "a", si la gráca grá ca de f(x)= 3a − 1, es 2
H(x)=9x+5 R(x)=5x+9 F(x)=x G(x)=1
A B C D
pendiente=5 función identidad pendiente=9 función constante
2. Indicar verdadero verdadero (V) o falso (F) a) La gráca de una función lineal es siempre una recta ( ) b) La gráca de f (x) (x)=3x+1, es una recta oblicua a la derecha ( ) c) La gráca de g (x)=–x+2, es una recta oblicua a la izquierda ( ) d) La gráca de h (x)=7, es una recta horizontal ( ) 3. Completar correctamente a) R(x)=1+3x es una función: . b) A(x)=–9 es una función: . 2 c) F(x)=(a–3)x +ax+1, es una función lineal si a= . d) Para que la función H(x)=5+ax sea lineal a ^ . 4. Si "H" es una función constante que satisface: 2H (5) + 2 + 3H (3) 2H (0) + 1
=
2, calcular el valor de H(–2011)
5. Indicar la gráca de: F(x)=
11 x 8. Si la pendiente de la recta H(x)=(a–5)x+(a+2) es "–2", calcular el valor de H(–2) 9. La gráca de la función lineal f(x)= dominio es <2;b> es:
'−43 ,,1− 5 x x 3 1 1
1
G
G
x 2
+ 1, cuyo
y 5 a 2
b
x
Calcular el valor de "a+b" 10. ¿Cuál (es) de los siguientes puntos pertenecen a la función lineal, que contiene a los puntos (–2;–14) y (5;0) I. (2;–6)
6. Indicar la gráca de y=–5x+10 www.trilce.edu.pe
y
II. (0;–8)
III. (–5;–20)
11. Si el punto de intersección de las grácas de las funciones: P(x)=5–x / Q(x)= x + 2 es (a;b), 2 calcular "a+b" Tercer año de secundaria 101
26
Capítulo
12. Hallar el área que encierran la gráca de: g(x)= 4 −
x 2
14. Un establecimiento en la ciudad cobra $20 por la primera hora y $10 por cada hora adicional. Expresar la cuota de establecimiento como una función del número de horas estacionadas.
y los ejes de coordenadas
13. Calcular "a+b+c", si la gráca de:
y
*
x + 3; x 1 − 5 c; x ! 6 − 5; 4 f(x)= x–2; x H 4
2 x a
15. Si f es una función lineal tal que: f (–2)= –6 y f (n+m)= f (n) + f (m) ∀n,m∈R Halle f (2)
b
Tú puedes 1. UNMSM 2011 – I La tabla adjunta muestra parte del dominio y rango de una función lineal f. x 2 5 f (x) 10 a La suma de a y b es: a) 25 d) 30
8 28
b) 40 e) 35
5. Esbozar la gráca de la función F, donde: F: R R / y = F (x) = x − 1 + x "
y
b 37
1 1
c) 45
a) y
2. UNMSM 2009 – I Hallar el área de la región limitada por las grácas de las funciones: f(x)=|2x| y g(x)= x + 5
1 1
2
a)
38 µ 3
2
2 d) 40 µ
3
b)
20 µ 3
2
c)
32 µ 3
2
x
b) y
2 e) 16 µ
3
1
3. UNAC 2005 – I Hallar el perímetro de la región determinada por las rectas x+y=2, x=1; y=5
1
x
c) y
b) 15 µ
a) 4^2 + 2 h µ c) 13 µ e) 12 µ
1
d) 3^2 + 2 h µ –1
4. UNAC 2004 – II Se llama punto jo de una función f, a un número x, tal que f(x)=x. Si el punto jo de la función f(x)=mx–8, es igual a 2, determinar el punto jo de la función g(x)=2x+m. a) 5 d) –5
x
b) 8 e) –2
c) –8
x
d) y
0
x
e)
Colegios
TRILCE 102
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Capítulo
27
FUNCIÓN CUADRÁTICA Problemas para la clase 1. Si: F(x)=5, calcular el valor de: F (0)+F(1)+F(–2)
7. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) Si (3;5) es un punto de paso de ( 2 f (x)=x –a, entonces a=4
2. Indicar la gráca de : y=x+1
)
2
b) La gráca de f(x)=x es una parábola ( abierta hacia abajo
3. Indicar la gráca de: y=7
2
c) El vértice de g (x)=x –1 es (0;–1) 4. Calcular la pendiente de la recta: 2y=3x–1
5. Si la gráca de "F" es:
2
d) El vértice de h (x)=3x es (0;2)
)
(
)
(
)
8. Completar correctamente:
y
2
a) La gráca de y=ax +bx+c, (a≠0) es siempre una
(0,1) F(x)
b) Si (h;k) es el vértice de y=x 2–2x+5 entonces h=
x
c) Si (h;k) es el vértice de y=–x 2+4x–1 entonces k=
Indicar: • F (2) • F (–1)
d) Si y=–x2+2x–7, entonces su gráca es una parábola abierta hacia . 9. Calcular la suma de coordenadas del vértice de 2 la gráca de la parábola y=x –2x+3
6. Relacionar correctamente
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
y
2
f (x)=x
A
x
10. Calcular "a+b", en el siguiente gráco: y
y
g(x)=–x
2
a
B
b
y
p(x)=x2–2x+m
C
–3
x
f (x)=x2 5
x
y
2
q(x)=–x –2x+n
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D
x
a) 33
b) 34
d) 36
e) 37
c) 35
Tercer año de secundaria 103
27
Capítulo
11. Relacionar correctamente
c)
El vértice de y=x 2+1
A
(0;3)
El vértice de y=–x 2+2
B
(0;4)
El vértice de y=3x +4
C
(0;1)
El vértice de y=–5x 2+3
D
(0;2)
2
d) y
y x
x
e) 12. Indicar verdadero (V) o falso (F)
y
a) La gráca de f(x)=–x 2+3, es una ( parábola abierta hacia abajo.
)
x
y
2
b) La gráca de g(x)=x –2 es –2
x
(
) 16. Calcular "a–b", dada la siguiente gráca:
2
c) La gráca de h(x)=x –2x, tiene ( como vértice a (1;–1)
)
d) (0;0) es el vértice de la gráca de 2 H(x)=–x
)
(
y
a) –1 b) 1
2
f (x)=5–x
a
c) 2
b
13. Completar correctamente
–1
2
d) 3
x
a) Si (3;b) es un punto de paso de
e) 4
f(x)=3x2–5x–10, entonces b=
17. UNMSM 2010 – I
2
b) Si (h;k) es el vértice de y=x –2x+7, entonces h= 2
2
Hallar el rango de la función: f(x)=–x +2x, sabiendo que su dominio es igual al conjunto de los números reales.
c) Si (h;k) es el vértice de y=x +6x–8, entonces h= 2
d) La gráca de la parábola g (x)=4x+1–x , es
a)
− 3; 0@
b)
− 3; 1
c)
− 3; 1@
d)
−3 +
;
3
e) 60; + 3
abierta hacia 14. Calcular la suma de coordenadas del vértice de
18. Hallar "a.b", si:
2
la gráca de la parábola y=–x –2x+4 a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
a) 13
y
c) 4
b) 15 2
y=x +ax+b
c) 18
15. Indicar la gráca de y=–2x 2+4x+1 a)
d) 11
–3
b) y
x
e) 21
y 2
19. Hallar el valor mínimo de f(x)=x –4x+3 x
x
a) –3
b) 2
d) –2
e) –1
c) 1
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Álgebra 2
20. Indicar la gráca de y=x –6x+7 a)
23. La resistencia de una cuerda que sostiene un peso "x" está dado por la función f(x)=x(12–2x). ¿Para qué peso la resistencia es máxima?
b) y
y
x
a) 3
b) 2
d) –2
e) –3
c) 0
x
c)
24. De un cuadrado de 4cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden "x".
d) y
y
I. Escriba el área del octógono que resulta en función de "x" x
x
II. ¿Cuál es el dominio de esa función? a) 16–2x2; x∈ <0; 2>
e)
2
b) 16–x ; x∈ <0; 7
y
c) 16–x2; x∈ <0; 1> 2
d) 8 – x ; x∈ <0; 1>
x
e) 32–x2; x∈ <1; 2> 21. Indicar la ecuación que describe la función representada en el siguiente gráco
25. Si f (x) es una función cuadrática con coeciente principal igual a uno y f (0)= 1; f(1)= 3. Halle f( 2x).
y
a) x2+x+1 2
b) x –2x–1 10
4
c) 4x2+2x–1 8
2
x
d) 4x +2x+1
–6
2
e) 4x –2x–1 2
2
a) y=x +8x+10
b) y=x –8x+10
2
2
c) y=–x +7x+10
d) y=–x –8x+10
2
e) y=x +10x+10 22. Según la gráca, calcular: "a+b" a) 8
y g(x)=2x+1 2
f (x)=x –6x+16
c) 12
a
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b) 10
b
x
d) 6 e) 11
Tercer año de secundaria 105
27
Capítulo
Practica en casa 1. Relacionar correctamente El vértice de y=–x 2+6 2
El vértice de y=–3x –2 2
El vértice de y=6x +1 2
El vértice de y=2x –3
7. Calcular "a.b", dada la gráca: A
(0;–2)
B
(0;1)
C
(0;–3)
D
y –5 f(x)=–x
(0;6)
2
2
a b 5
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) f (x)=5x2–2 es una parábola abierta ( hacia arriba. b) g(x)=5–x2 es una parábola abierta ( hacia arriba. c) (2;3) es un punto que pertenece a la ( 2 gráca de y=x +2 d) (5;2) es un punto que pertenece a la ( 2 gráca a y=3x –73
) )
2
8. Si f(x)=–x +8x–20. Hallar el valor máximo de f(x)
) )
3. Completar correctamente a) La gráca de la parábola f (x)=3x2–x+1 es abierta hacia
9. Indicar la gráca de y=2x 2–4x+5
10. Calcular el área de la región sombreada:
2
b) La gráca de la parábola g (x)=2x–3x –2 es abierta hacia
y
c) Si (1;3) es un punto de paso de f (x)=2x2– x+a entonces a=
2
F(x)=x –x–6
d) Si (2;b) es un punto de paso de
5
h(x)=x2–5x+6, entonces b= 4. Si el vértice de la gráca de y=–x 2+4x–2 es (a;b). Calcular el valor de "a b+ba".
x
11. Indicar la ecuación que describe la función, representada en el siguiente gráco. y
2
5. Si la gráca de f (x)=x –2x+b, es:
y
5
4
3
c a
6
x
–4
x
12. Hallar "n", si : f (x)=3x2 ∧ g(x)=nx–12
Calcular "a+b+c" 6. Del siguiente gráco, calcular "a+b"
y
a) 5
y 2
y=x +ax+b
x
f (x)
g(x)
b) 25 c) 10
5
x
d) 20
b a
x
e) 15 Colegios
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Álgebra 13. Según la gráca de las funciones f y g. Determinar el valor de 2a+2b. y
14. Encontrar los valores de "m" para que la función 2
y=–x +12x+m, tenga con el eje de abscisas: I. Dos puntos de corte.
(x)=x2–3x+3 f (x)
II. Un punto de corte. III. Ningún punto de corte.
a
15. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba
x
b
g(x)=–x+13
desde lo alto de un edicio. La altura que alcanza 2
viene dada por la fórmula h=80+64t–16 t (t en segundos y h en metros) I. Hallar la altura del edicio. II. ¿En que instante alcanza alcanza su máxima altura?
Tú puedes 1. UNAC 2005–II Una función cuadrática f (x) (x)=mx2+nx+p en el que (0;2) es un punto perteneciente a su gráco y que tiene un mínimo en el punto (–1;3). En estas condiciones el valor de la expresión m 2+n2+p2 es: a) 9 d) 2
b) 1 e) 4
4. Calcular el valor de "a+b", si la gráca de 2 f (x) (x)=x –7x+a es: a) –3
y
b) 4
(x) f (x)
c) 3
2. UNMSM 2011–II Si f: R →R es es una función cuadrática que satisface las condiciones f (1) (1)=2, f (–1) (–1)=–2 y f (2) (2)=–4. Hallar g(x)=f(x+1)+f(x–1) 2
c) 2 b
x
b+3
d) 6 e) 12
5. UNAC 2004–II Sean f y g funciones denidas en los números reales, que satisfacen las siguientes relaciones.
a) g(x)=–(16/3)x +4x+1 b) g(x)=–(16/3)x2+4x 2
2
c) g(x)=–(8/3)x +2x+8/3
(x)=–g(–x)+x –2 f (x)
2
d) g(x)=(8/3)x –4x
2
f (–x) (–x)=g(x)–x +4;∀x∈R
e) g(x)=–(16/3)x 2+4x–1 3. Según la gráca de la función: , señale el valor de "a+b" a) 4
y f (x)= (x)=x2–(a+2)x+a+5
b) 7
Calcular el valor de f(301)+g(4) a) 15
b) 14
c) 0
d) 900
e) 13
c) –5 b
x
d) –6 e) 3
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Tercer año de secundaria 107
28
Capítulo
REPASO IV Problemas para la clase 1. Hallar el conjunto solución de la siguiente 2 ecuación: 36x =5+8x
2
2. En la ecuación: 3x –18x+1=0, hallar la suma y el producto de raíces. 3. Resolver: (2x–3) 2+23=(x+5)2, mayor solución.
indique
6. Hallar "p" si la suma de raíces es 8. 2
2
2
(p–2)x –(p –4)x+p +p–1=0 7. Formar la ecuación de segundo grado con coecientes racionales sabiendo que una raíz es: 3 + 5
la
4. Hallar la diferencia de raíces en en la siguiente ecuación: x2+5x–6=0
8. Indicar el valor de "m" en la ecuación: 2 x +(2m+5)x+m=0, si una raíz excede a la otra en 3 unidades. 9. En la ecuación: 4x 2+5x+6=0 de raíces x 1 y x2, calcular: N = (1 − x1) (1 − x2)
5. Determinar "n", si la ecuación tiene raíces iguales. 2 x –10x+n–2=0
(1 + x1) (1 + x 2)
10. Halle las soluciones no nulas de la siguiente 2 ecuación: 20x + 3 x+ 3 =0, considere " 3 " el discriminante de la ecuación.
11. Relacionar correctamente según la teoría de las ecuación cuadráticas 2
A
complejos
La ecuación x –4x+3=0, tiene como suma de raíces:
2
B
{0; 4}
La ecuación x 2+x+1=0, tiene raíces:
C
4
D
−9!
La ecuación x +9x–1=0, presenta como raíces:
2
La ecuación x –4x=0, presenta como raíces a: 12. Completar correctamente: 2 Dada la ecuación: mx –nx+5=0
b) El producto de raíces es: c) La suma de raíces inversas es:
a) 2
d) El discriminante es:
d)
13. Indicar verdadero (V) o falso (F), con respecto a 2 la ecuación: bx +ax+c= ( )
b
b) El producto de raíces es:
c b
2
c) Si b=0, las raíces son simétricas ( ) d) Si b=c, las raíces son inversas multiplicativas ( ) 14. Resolver: x(x+3)=5x+3, señalar la mayor solución:
a) La suma de raíces es:
a) La suma de raíces es: − a
5
( )
b) 3
1+
e)
5
c) 4
1+ 6 2
2
15. Resolver: 2x –3=3x; indicar una de las raíces a) d)
−
2+2
7+
17 2
b) e)
2−
32 6
c)
33 + 3 4
32 + 1 2
Colegios
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Álgebra 16. Siendo y raíces de la ecuación: x2+10=3x, calcular: ( +2)( +2) a) 5 d) 20
b) 10 e) 30
c) 15 2
17. Las raíces de la ecuación: x –(2a–1)x=4a+2, se diferencian en 7 unidades. Determine el menor valor de "a". a) –5 d) –1
b) –3 e) –2
c) 1
18. Halle "k" para que la diferencia de raíces sea uno. 2x2–(k–1)x+(k+1)=0 a) –2 d) 1
b) –3 e) 2
c) 11
19. Calcul Calculee el valor valor de de " " si la ecuac ecuación ión de segun segundo do grado: 2 (4– )x +2( x+1)=0; tiene solución única. a) 2 d) 2 y 4
b) 4 y –2 e) 5
c) –4 y 2
2
20. Si el polinomio P (x)=3x –10x+m, tiene raíces reales y diferentes, entonces "m" varía en: a)
0; 1
b)
0; 25 3
d)
0; 1@
e)
− 1; 1
c)
0; 2
21. Hallar la ecuación de segundo grado, cuya raíces son: 3 y 5 a) x2–8x+4=0
24. Calcular " + ", si las ecuaciones de segundo grado: 2 ( –1)x +2x+1=0 9x2+( +1 +1)x )x+3 +3=0 =0 Son equivalentes. a) 5 d) 11
b) 7 e) 13
c) 9
25. Si las raíces de la ecuación: 2 3(m+3)x =(14m+3)x–(5m–1), son recíprocas, hallar "m" a) 3 d) 2
b) –2 e) 5
c) 4 2
26. Si la ecuación cuadrática: 2x –10x+4p+2=0 tiene raíces x1 = α + 3 / x2 = α − 3 , halle el 2 2 valor de "P" a)
7
d)
2 7
2
b)
3 2
e)
4 3
c)
2 3
27. Halle el valor de "m" en la ecuación: x2–mx+5=0, m<0; si sus soluciones a y b verican: a + b = 3 b a a) 5 b) –5 c) 2 d) –2 e) –3 2
28. Si las soluciones r y s de la ecuación x +3x+k=0, verica r2+s2=p, hallar una relación entre p y k. a) 2p–k=9
b) 2p+k=3
b) x –8x–15=0
c) p–2k=8
d) p+2k=9
c) x2–8x+15=0
e) p+8=2k
2
2
d) x +8x+15=0 e) x2–15x+8=0 22. Halle la ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean las inversas de los raíces de la ecuación: 2 x –2x+5=0 a) 3x2–5x–1=0
29. Al resolver un problema que se reduce a una ecuación cuadrática, un estudiante comete un error con el término constante de la ecuación y obtiene por raíces 8 y 2. Otro estudiante comete un error con el coeciente del término de primer grado y obtiene por raíces –9 y –1, indicar cual es la ecuación correcta. a) x2 – 10x + 9 = 0
b) x2–10x+16=0
b) x +5x+2=0
c) x2–8x+9=0
d) x2–9x+10=0
c) 2x2–5x–1=0
e) x –3
2
2
2
d) 5x –2x+1=0 e) 3x2–x+5=0 2
23. En la ecuación: 2x –4x+p=0, halle "p" si una raíz es: 1 − 2 a) 1 d) –1
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b) –2 e) 3
c) 2
30. Tanto el largo como el ancho de d e un paralelepípedo rectángulo, son el doble de su altura. Si cada una de las tres dimensiones aumentase en 1 unidad, el volumen aumentaría en 43 metros cúbicos. ¿Cuál es la altura del paralelepípedo? a) 3m d) 1m
b) 2m e) 6m
c) 4m
Tercer año de secundaria 109
28
Capítulo
Practica en casa 1. Relacionar correctamente según la teoría de las ecuaciones. 2
La ecuación x +7x–1=0, tiene como discriminante: 2
Al resolver x –9=0, se obtiene por conjunto solución a: 2
Si la ecuación ax +bx+c=0, tiene raíces recíprocas entonces: 2
En la ecuación 2x –5x+1=0, la suma de sus inversas está dado por:
2. Completar correctamente
A
a=c
B
37
C
"! 3,
D
5
8. Determinar el valor de "p" en la ecuación: 2 x –6x+4+p=0, si la diferencia de sus raíces es 2.
2
Dada la ecuación: bx +ax+c=0 a) Su discriminante es igual a: b) Si la ecuación posee raíces simétricas entonces:
9. Indicar el producto de los valores de "m" que 2 hacen que la ecuación: 2x –mx+m–2=0, tengan raíces iguales.
c) Si la ecuación posee raíces recíprocas entonces: d) La suma de sus raíces inversas está dado por:
10. Si "m" y "n" son las raíces de la ecuación: x2+2x–4=0, calcular el valor de N
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), con respecto a 2 la ecuación: x –3x–1=0 a) La suma de sus raíces es: –3
( )
b) El producto de raíces es: 1
( )
c) La suma de sus raíces inversas es: 1
( )
d) La diferencia de sus raíces es:
( )
13
4. Resolver 3(3x–2)=(4+x)(4–x); señalar la menor solución
5. Luego de resolver
x+3
+
6 x+3
=
5;
=
1 m+3
+
1 n+3
11. Hallar la ecuación de segundo grado, cuyas raíces son: − 4 y 3 5
7
2
12. Una raíz de la ecuación: 8x –2x+c=0, es 1 ¿cuál es la otra? x =−
2
13. Calcular (n–m) si las ecuaciones 2 (2m+1)x –(3m–1)x+2=0 (n+2)x2–(2n+1)x–1=0 son equivalentes
indicar
una solución del conjunto solución: 2
14. Si p y q son raíces de la ecuación: x –2bx+2c=0, entonces el valor de : 12 + 12 6. Sabiendo que "x 1" y "x2" son las raíces de la 2 ecuación: 2x –6x+1=0, hallar el valor de : (x1+1)(x2+1)
7. Hallar la diferencia de raíces de la ecuación: (2x–7)2+8=6(2x–7)
p
q
15. Si la ecuación: x 2+(n–2)x+n–5=0, tiene raíces opuestas, y la ecuación: (m+3)x2–3(m–1)x+6–m=0, tiene raíces recíprocas, calcular el valor de m.n
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Álgebra Tú puedes 1. CEPRE – UNFV
4. CEPRE – UNI
Para que valor de "m" las raíces de la ecuación 2
x + 3x m−1 = 5x + 12 m+1
serán iguales en magnitud,
b) 3
d) 5
e) 6
mayor, para los cuales las ecuaciones: 2
3
(m–2)x –(m+2)x–(n +6)=0
pero de signos contrarios a) 2
Calcular los valores de "m" proporcionar el
2
c) 4
2. CEPRE – UNAM Dada la ecuación de segundo grado: 2
4x –x+3=0, formar una nueva ecuación cuadrática cuyas raíces sean la suma y el producto de las inversas de las raíces de dicha
2
3
(m–1)x –(m +1)x–(4n –4)=0 tendrán las mismas soluciones; (n ∈Z) a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
5. La ecuación x2+4x+(m–1)=0, tiene raíces 2
reales, pero la ecuación x –2x+(m+1)=0 tiene raíces complejas. Hallar la suma de los valores enteros de "m".
ecuación. a) 9x2–15x+4=0
a) 10
b) 15
b) 10x2–15x–4=0
d) 13
e) 9
c) 14
c) 9x2–15x–4=0 d) x2–15x–2=0 e) 3x2–x+4=0 3. CEPRE – UNI Si: xn+2nx+2n=0, tiene dos raíces reales diferentes, entonces "n" es: a) 0 d) mayor que 2
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b) 1
c) 2 e) menor que 2
Tercer año de secundaria 111
29
Capítulo
PROGRESIONES I Problemas para la clase 1. Calcular "a" (3a–2)–(8a–4)=5(a–3)
6. En la siguiente P.A. ÷(x–7); 5; (x+3), ¿cuál es el valor de "x"? a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
c) 7
7. En la siguiente progresión aritmética, calcular el término de lugar 31.
2. Indicar an si: an+am=18
÷3; 6; 9; ...
an–am=12
a) 91
b) 92
d) 94
e) 95
c) 93
8. En la P.A. ÷4; x; 14; y; 24; ... .Hallar: 2y–x 3. Despejar "p" en: 5(x+3)=2(x+1)+3p
a) 29
b) 30
d) 32
e) 33
c) 31
9. Hallar la suma de los 20 primeros números impares 4. Si: S=400, calcule "n" en: S = n (n + 20) 2
a) 400
b) 404
d) 406
e) 376
c) 398
10. Luego de interpolar 3 medios aritméticos entre 6 y 30, se forma una progresión de 5 términos cuyo término central es: a) 12
b) 18
d) 24
e) 30
c) 16
5. Indique el equivalente numérico de "r" en: r
5x 2y siendo: 5x ^ 2y 4y 10x −
=
−
Colegios
TRILCE 112
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Álgebra 11. Relacionar correctamente según la teoría de progresión aritmética. En ÷3; 5; 7; 9 ..., su razón es:
A
3
Si ÷2; 4; 6; 8; ..., entonces t 10 es:
B
20
El valor de "n" en ÷n–2; 4; n+4 es:
C
195
Calcular: 3+5+7+...+27
D
2
12. Completar correctamente Dada la P.A. ÷7; 15; 23; ... a) La razón es: b) El término de lugar nueve es: c) El
término
n–ésimo
está
dado
por:
d) La suma de los 6 primeros términos es: 13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ÷5.5; 6.75; 8; ...; 18 a) El primer término es: 5.5 ( ) b) La razón es: 1.25
( )
c) El número de términos es 16
( )
19. La suma de los "n" términos de una P.A. es: 7n + 1 Sn = ` j .n, calcular el término que ocupa 2 el lugar 21. a) 122 b) 144 c) 169 d) 224 e) 100 20. En una P.A. el tercer término es igual a 4 veces el primero y el sexto término es igual a 17. Halle la suma de los 8 primeros términos. a) 50 b) 30 c) 80 d) 100 e) 20 21. Hallar la razón para interpolar 6 medios aritméticos entre 32 y 70. a)
5
d)
5
d) La suma de todos sus términos es 270 ( ) 14. Hallar el término que ocupa el lugar 15 de la siguiente P.A. ÷12; 8, 4; ... a) –12 b) 44 c) –44 d) –20 e) 21 15. En la P.A. ÷100; 96; 92; ..., calcule el término que ocupa el lugar 18 a) 28 d) 31
b) 29 e) 32
c) 30
16. Dadas las progresiones aritméticas: ÷x: 2y; (4x+1); ... ÷y; (x+y); (2y+2); ..., calcule el valor de (x+y) a) 7 b) 4 c) 3 d) 13 e) 9 17. En una P.A. los términos que ocupan los lugares 54 y 4 son –61 y 64; hallar el término que ocupa el lugar 23. a) 15 b) 15.5 c) 16 d) 16.5 e) 17 18. ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A. ÷13; 20; 27; ...; 391? a) 52 d) 55
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b) 53 e) 60
c) 54
3 7
b)
4
3 7
4
e)
2
7 8
7
c)
3
7 8
22. Hallar el menor de tres números que están en P.A. tales que al adicionales respectivamente 3; 10 y 2, las sumas obtenidas sean proporcionales a 2; 6 y 7. a) 10 d) 7
b) 13 e) 9 4
c) 8 2
23. Los números ÷144; x ; 2x formaron una P.A. entonces los valores reales de "x" son: b) ±3 e) ±2
a) ± 8 d) ±5
c) ±4
24. Calcular la suma de los "p" primeros términos de la P.A. cuyo término n–ésimo es: 3n–1 a)
p (3p − 1) 3
d) 3p+5 25. Sea
la
an =
b)
p (3p + 1) 2
e)
p (p − 1) 2
sucesión
2n + 1
−
2
n
2
c) 3p–2
"a , denida por: + n determine el valor de n
24
/ ak k=1
a) 16 d)
24
−1
b)
24
e)
25
c) 4
Tercer año de secundaria 113
29
Capítulo
Practica en casa 1. Relacionar correctamente según la teoría de progresión aritmética. En ÷1; 5; 9 ..., su razón es:
A
44
Si ÷3; 7; 11; ..., el término 11 es:
B
4
Calcular: s=1+3+5+7+...+(2n–1)
C
n
Hallar "x" en ÷4x–4; 5; 3x
D
2
2. Completar correctamente Dada la P.G. ÷ 5; 18; 11; .....
2
9. La suma de tres términos en progresión aritmética es 27 y la suma de los cuadrados es 293. Hallar
a) La razón es:
el mayor de los términos.
b) El término de lugar 4 es: c) El
término
n–ésimo
está
dado
por: 10. La suma del tercero y octavo término de una
d) La suma de los 5 primeros términos es:
P.A. es 41 y la relación del quinto al séptimo 19 . 25
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) con respecto a la P.A. ÷–5; –13; –21; ...; –85 a) El valor de la razón es; 8
( )
b) El primer término es: –5
( )
c) El número de términos es: 10
( )
d) La suma de sus términos es: –100050
( )
4. Hallar el término que ocupa el lugar 15 de la siguiente P.A. ÷12;8 ; 4; ...
¿El segundo términos es?
11. En una P.A. de 6 términos creciente, de términos positivos, el producto de los extremos es 154 y el producto de los términos centrales es 208. El último término es:
12. Calcular el valor de: K=1–2+3–4+...–2n
5. En una progresión aritmética el primer término es 3 y el último 33. Hallar el número de términos que tiene, si su suma es 162.
13. Determine el número de medios aritméticos que se pueden interpolar entre los números 1 3 .......... , 2 4
si la razón de interpolación es
1 64
6. La suma de 15 términos de P.A. es 600 y la razón es 5. Hallar el primer término. 14. Si la suma de "n" términos de una P.A. es 7. El primer término de una P.A. es 5, el último 45 y la suma 400. Hallar el número de términos y la razón.
2n2+5n, para todos los valores de "n". Hallar el
8. Cuántos términos debe tener una P.A. cuya razón es 2. Sabiendo que el noveno término es 21 y la suma de todos ellos es 437.
15. En una P.A. de 15 términos, la suma de los
término de lugar 10.
términos es 360, ¿cuál es el valor del término central?
Colegios
TRILCE 114
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Álgebra Tú puedes 1. CEPRE – UNI
4. CEPRE – UNI
Hallar la suma de las "n" primeros términos de la
La suma de los primeros "n" términos de la
sucesión. 1+11+111+1111+...
sucesión
a) 10n+4n–10 n
c)
10
e)
10
+
9n − 10 81
n+1
b)
10
d)
10
n
− 9n − 10 81
n+1
9n − 10 81
+
9n − 10 81
−
'
n
2
−
n
1, n, n
2
+
n
1, n
2
+
n
2 , ..., es :
a) n (n + 1)
b) (n − 1) (2n + 3)
c) (n − 1) (2n + 1)
d)
2
2
2
2n + 3 2
e) n (n − 1)
2. CEPRE – UNMSM
2
La suma de los tres primeros de una P.A. es 42, la suma de los 3 últimos es 312, y la suma de
5. CEPRE – UNAC
todos los términos es 1062 ¿cuántos términos
La suma de los "n" términos de una P.A.
tiene dicha P.A.?
es 2n +3n. Hallar el término 50 de dicha
2
a) 18
b) 10
d) 12
e) 6
c) 8
3. CEPRE – UNMSM
progresión. a) 196
b) 210
d) 201
e) 190
c) 192
Un coronel que tiene a su mando 3003 soldados los que quiere formar en triángulo de manera que la primera la tenga 1 soldado, la segunda 2, la tercera, y así sucesivamente. ¿Cuántas las habrá? a) 70
b) 71
d) 77
e) 74
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c) 72
Tercer año de secundaria 115
30
Capítulo
PROGRESIONES II Problemas para la clase 1. Hallar an en: an+ap=12 an–ap=10
6. Hallar el término que ocupa el lugar 7 de la siguiente P.G. .... 2; 8;32;...
=
b) 212
d) 214
e) 215
c) 213
7. Calcular el número de términos en la siguiente P.G. .... 4; 8;16; ...; 4096
2. Calcular "q" es: q+3 q−1
a) 211
q+5 q−3
a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
c) 12
8. En una P.G. el primer término es 7, el último término 448 y la suma 889. Hallar la razón.
3. Hallar "t o" en: 2 (to+5)(to+3)=(to+1)
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
9. Luego de interpolar 3 medias geométricas entre 5 y 3125 se obtiene un razón igual a: 4. Indique "n" en: (n − 2) (n + 7)
=
n+1
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
10. Calcular la suma 1 + 5. Despejar x en
8
=
8.2
c) 3
1 1 + 2 2
2
3
` j ` 21 j + ... +
x+1
a) 1
b) 2
d) 8
e) 16
c) 4
11. Relacionar correctamente según la teoría de progresión geométrica. En
.. ..
2: 4: 8: 16 :. .. , su razón es:
A
±3
Si .... 2:6:18:..., entonces t5 es: El valor de "y" en .... y+1:3y :9y–6 :..., es:
B
162
C
2
En una P.G. se conoce: S 4=10S2; hallar "q"
D
2
Colegios
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Central: 6198-100
Álgebra 12. Completar correctamente: Dada la P.G.
.. ..
19. La suma de los términos de una P.G. de razón 3 es 728 y el último término es 486. Hallar el primer término.
3:6:12: ...
a) La razón es: b) El término de lugar 7 es: c) El
término
n–ésimo
está
dado
por:
d) La suma de los cinco primeros términos es: 13. Indicar verdadero (V) o falso (F), con respecto a la P.G. .... 2:8: ...:8192 a) El primer término es: 2
( )
b) La razón es: 4
( )
c) El número de término es: 7
( )
d) El último términos es: 8162
( )
14. Hallar el término que ocupa el lugar 9 de la siguiente P.G. .... 1 : 1: 1: ... 4 2
a) 4
c) 32
a) 4
b) 5
d) 7
e) 8 .. ..
c) 6
2:x:18:y:z:..., hallar x+y+z
a) 111
b) 120
d) 222
e) 300
c) 166
e) 5
a) 3/2
b) 2
d) 5/3
e) 5
c) 4
18. En una P.G. t 8=8t5 y t5+t8=6, calcular t1 1 24
b) −
1 24
20. La suma de los términos que ocupan el lugar impar en una P.G. de 6 términos es 637 y la suma de los que ocupan el lugar par 1911. Hallar la razón a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
d)
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e)
1 44
c) 5
21. En una P.G. se conoce. S 6=28S3, hallar "q" a) 1 d) 7
b) 3 e) 9
c) 5
22. Interpolar 3 medios proporcionales entre : ab y
a , b
indicar el tercer término de la progresión
obtenida. b) ab2
d)
a
b
e)
a
c) a b
2
23. Señalar el valor de: K = 1 − 1 + 1 − 2
a) 0,2 d) 0,8
b) 0,4 e) 1,0
3
1 4
+
1 9
−
1 8
+
...
c) 0,5
24. Sea la sucesión {a n} cuyo término enésimo está dado por la fórmula de recurrencia. a1=2 y
c)
1 30
a) 4 d) 10
an
=
1 an–1; 2
indicar el valor de:
b) 5 e) 11
c) 6
25. En un cuadrado cuyo lado es "a" se unen los puntos medios de los cuatro lados y se forma otro cuadrado cuyos puntos medios se unen también para formar un nuevo cuadrado y así sucesivamente. Calcular el límite de la suma de las áreas de todos los cuadrados así formados. 2
− 1 30
c) 3
a1+a2+a3+a4+...
17. Dada una P.G. se cumple que t 5=2; t11=128; indicar el valor de la razón.
a)
d) 4
e) 128
15. Calcular el número de términos de la siguiente progresión: .... 2:6:...:1458
16. En la P.G.
b) 2
a) b
b) 16
d) 64
a) 1
a)
a 2
d) 6a2
b) a2
c)
3 2 a 2
e) 2a2
Tercer año de secundaria 117
30
Capítulo
Practica en casa 1. Relacionar correctamente según la teoría progresión geométrica: En ÷÷ 3 : 3 : 27: ....., su razón es:
A
Si: ÷÷ 5 : 25 : 125 : ... , entonces t 5 es:
B
3125
Si: ÷÷ a1 : a2 : a3 : .... an, su término central es:
C
3
2. Completar correctamente: Dada la P.G. ÷÷ 8 : 16 : 32 : ....
a1a 2
9. La suma de una P.G. de razón 3 es 728 y el último término es 486. Hallar el primer término.
a) La razón es: b) El término de lugar 8 es: c) El
término
n–ésimo
está
dado
por:
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), en: ÷÷5 : 10 : 20 : ....: 320 ... a) El primer término es: 5
(
)
b) La razón es: 3
(
)
c) El número de términos es: 7
(
)
4. Hallar el término que ocupa el lugar 7 de la siguiente P.G. ÷÷ 1 : 1 : .... 2
2
6. En la P.G: 9 : a : b :
t8
11. La diferencia del sexto término y el tercer término de una P.G. es 26 y el cociente es 27. Calcular el primer término.
12. Interpolar 4 medios geométricos entre 5 y 5,120; indicar la razón.
4
5. Calcular el número de términos de la siguiente progresión: ÷÷ 1 :
10. De la P.G. cuyos términos son t 1, t2, t3, ..., tn, t .t además: t1=16, determine el valor de 5 4
1 7
2 : 1: ... : 256 2
1 : 3
13. Hallar la suma de los innitos términos de:
2
+
2 7
2
+
1 3
7
+
2 7
4
+ ...
2
..., hallar a +b
7. En una P.G. se cumple que: t 5=32; t8=4, indicar el valor de la razón. 8. La suma de los seis primeros términos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres primeros. Hallar la razón.
14. Calcular la suma de la serie indenida: 3 4
+
7 16
+
15 64
+
31 256
+ ...
15. La suma de los términos que ocupan el lugar impar en una P.G. de 6 términos es 637, y la suma de los que ocupan el lugar par 1,911. Hallar el primer término.
Colegios
TRILCE 118
Central: 6198-100
Álgebra Tú puedes 1. CEPRE – UNAC
4. UNMSM 2010–II
Tres números enteros están en P.G. si al segundo
La suma de los "n" primeros términos de una
se le suma 2, se convierte en aritmética, si a
P.G. es 21– 3n
continuación se suma al tercero 9, vuelve a ser geométrica, hallar el mayor de los números. a) 25
b) 16
d) 5
e) 2
c) 30
K
=
−
+
3 5
2
−
−1
.
5
Halle 7 veces la cuarta parte de sexto término de esta progresión. a) 36
b) 35 5
c) 2(36) 6
e) 3(2 )
5. CEPRE – UNI
Determinar el valor de: 2 7
7
d) 2(3 )
2. CEPRE – UNAM 3 5
n+1
2 2
7
+
3 3
5
a) 1/2
b) 5/4
d) 13/12
e) 5/12
−
2 3
7
Si x<1; calcular el límite de la suma de la serie +
...
c) 1/4
3. CEPRE – UNMSM La suma de los términos que ocupan el lugar impar de una P.G. de 6 términos es 637, y la
2
3
4
indenida 1+3x+5x +7x +9x +... a) xn + 1
b)
c) 2x + 3
d)
e)
x
2
−
n+1
x
+3
x
1+x (1 − x)
2
1
(x + 1)
2
suma de los que ocupan el lugar par 1.911. Hallar el primer términos y la razón. a) t1 = 7; q=2 c) t1=3; q=7
b) t1=7; q=3 d) t1=4; q=3
e) t1=5; q=1
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Tercer año de secundaria 119
31
Capítulo
LOGARÍTMOS I Problemas para la clase 1. Calcular: 2
9
+
6. Calcular:
2 2
(3 )
( 2)
+ −
3
Log2 32 + Log327 + Log525
a) 6
b) 7
d) 9
e) 10
c) 8
7. Calcular:
2. La potencia de 2 a la 6 es:
Log6 1 + Log7 7 + Log381 Log2 64 + Log6 36 + Log7 49
a) 1
b) 1/2
d) 1/4
e) 5
c) 2/3
3. La raíz cúbica del opuesto de 8 es: 8. Calcular: Log 4 8 + Log9 27 + Log 25125
4. Hallar "x" en: 3x = 23 + 32 + 10
a) 3/2
b) 3
d) 5/2
e) 2
c) 9/2
9. Reducir: 1 log 2 + log 3 25 0,5 5 3
5. En la siguiente igualdad: logY X = Z
•
Si "a" vale 1 entonces "c" vale
•
El valor de a es
•
Si
•
Si a=b entonces "c" vale
m
b entonces
d) 2/3
e) 3
c) 1/3
log2 (r + 5) = log3 81
11. Relacionar correctamente considerando la igualdad:
m
b) 0
10. Indicar "r"
Indicar el logarítmo:
a=
a) –1/3
"c" vale
a) 10
b) 11
d) 13
e) 76
c) 12
log am = c b
c
A
b
B
m
C
cero
D
uno
Colegios
TRILCE 120
Central: 6198-100
Álgebra 12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. El logaritmo en base 9 de 3 es 2
(
)
II. El logaritmo de 2 en base 8 es 3
(
)
III. El logaritmo en base 5 de 25 es 2
(
)
IV. El logaritmo en base 8 de 4 no es entero ( V. El logaritmo en base 1 de 3 no está de( nido
)
logaritmo es –1 cuando la base es la del número
III. El logarítmo es cero cuando el número es . 14. Calcular: Log27 9 + Log8 16
b) 3/4
d) 6/5
e) 5/6
9 + Log3 5 7
2
3 49
213 49
b)
375 256
d)
13 59
e)
123 53
c)
124 135
Log 4 8 + Log 4 2 + Log354 − Log 32
a) 6 d) 7 21. Calcular:
b) 5 e) 8
c) 4
Log12 36 + Log124 Log6 108 + Log6 2
a) 2/3 d) 1
b) 3/2 e) 3
c) –1
2+Log 5 1 Log 4 2 +5 + 5
a) 30 d) 40
c) 3/2
b) 36 e) 26
c) 48
Log 125 Log 27 8 125 + 25
23. Calcular: 4
15. Calcular: Log0,2 5 + Log 0,52 + Log 0,254
a) –2/3
b) –3/2
d) –1
e) –3
a) 18 d) 32
c) 1
a) 3/5 d) –2/5
Log25 0, 2 + Log 4 0, 5 Log2 0, 25 + Log50, 04
a) 0,2
b) 0,5
d) 0,05
e) 0,25 3 9
c) 0,02
b) 9
d) 8
e) 10 3 2
2 + Log3
a)
103 5
b)
52 5
d)
133 60
e)
113 30
9 en 16
base
b) 2/5 e) 1/3
1024 243
c) 4/5
xo
81 + Log
a) 5
c) 40
25. La magnitud de un terremoto en la escala de Richter se calcula mediante la fórmula: M(x) = Log ` x j Donde: x = Lectura del sismógrafo –3 xo = 10 (Lectura referencial)
17. Calcular: 8 + Log 3
b) 34 e) 42
24. Calcular el logaritmo de
16. Calcular:
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2
a)
2
a) 9/8
18. Calcular: Log
4 + Log3
22. Calcular:
Log16 64 + Log8127
2
Log
3 2 3 8
20. Calcular:
I. La propiedad de la suma de dos logaritmos se aplica solo cuando tienen igual
Log
Log
)
13. Completar :
II. El
19. Calcular:
4 8
4
64
•
c) 7
4 9
9 + Log 4
c)
5 8
114 35
8
Si se registra una lectura de 10 2, indicar la magnitud del movimiento telúrico.
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 15
•
Si se produce un terremoto de grado 6 en escala de Richter, indicar la magnitud de la lectura del sismógrafo. a) 1/100 b) 100000 c) 10000 d) 1000 e) 100
Tercer año de secundaria 121
31
Capítulo
Practica en casa 1. Calcular: Log2 64 + Log39 + Log5625
9. Calcular: Log
Log5 1 + Log6 6 + Log 2128
2. Calcular:
Log
Log216 + Log 4 64 + Log 9 81
3 8 3 5
16 + Log3 25 + Log 4
4
8
4 5 27
9
10. Calcular:
3. Calcular: Log27 9 + Log8 32 + Log1255
Log12 8 + Log1218 + Log 6 72 − Log 6 2
Log8 4 + Log9 243
4. Calcular:
Log16 128 + Log82
11. Calcular:
Log12 36 − Log123
5. Calcular: Log0,5 8 + Log 0,252 + Log 0,2125
Log6 9 + Log6 4 1+Log 7 3
12. Calcular: 3
+2
3+Log 5 2
Log25 0, 04 + Log80, 25
6. Calcular:
Log 4 0, 5 + Log50, 2
Log 16 Log 125 9 + 16 8
13. Calcular: 27
7. Calcular: Log
343 + Log3
7
3
4
16 + Log 4
4
27
3
8. Calcular: 3
Log
5
5 + Log 4
27
27 + Log5
3 4
14. Calcular el logaritmo de
729 en 64
base
32 243
Log57 Log7 3 Log312 Log122 ) ) + (27
15. Calcular: (25
4
Tú puedes 1. Calcular el logaritmo de ^ ^ 2 − 1h . a) 3/2
b) 1/2
d) 1
e) –1
2 + 1h
en base
Log2 (Log 2 (Log 2 (Log 265536 )))
c) 1/4
2. Calcular:
101/2−Log(0,5
d) 1
e) –2
= 10
a) 5 d)
3.
c) 1/2
Calcular:
e) 1
c) 6
a) m m–n + 1 m+n
b) n e)
c) m–n
n–m + 1 m+n
x Log x Log2x 3 +4 6 ) +6
b) 25 5
d) 2
d)
Log
Logx (3
b) 4
Halle: Log615 b) 10
x
a) 8
5. Si log2= m y log3= n
10)
a) 2
3. Si
4. Calcular:
c)
2
e) 12
Colegios
TRILCE 122
Central: 6198-100
Capítulo
32
LOGARÍTMOS II Problemas para la clase 1. Resolver: x
6. Calcular:
2 = 16
x=
3y = 27
y=
z
z=
u
u=
4 =1 5 =5
3
x=
6
y=
4
z=
3
u=
2 =y 3 =z 5 =u
a) 1
b) 2
d) 4
e) 6
7. Calcular: Log3 5 . Log53
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
8. Calcular:
x2 = 49
x=
a) 1
b) 2
y3 = 64
y=
d) 4
e) 5
z4 = 16
z=
5
u=
4. Resolver: x/2
4
=8
x=
= 32
y=
27z/3 = 9
z=
16u/4 = 64
u=
y/3
8
5. Resolver: x
7 = 1/7
x=
2y = 1/4
y=
z
z=
u
u=
3 = 1/27 4 = 1/2
www.trilce.edu.pe
c) 3
Log3 8 . Log 75 . Log 27 . Log 53
3. Resolver:
u = 243
c) 3
Log6 4 . Log 26
2. Resolver: 6 =x
Log 100 + Ln e + Log 0,01 – Ln 1
c) 3
9. Reducir: 2 + log 45 5 log3 45
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
10. Calcular: log32 6 log16 6
a) 1/5
b) 2/5
d) 4/5
e) 1
c) 3/5
Tercer año de secundaria 123
32
Capítulo
11. Relacionar: •
La base del logaritmo natural es
A
cero
•
El logaritmo decimal de 10 vale
B
diez
•
El logaritmo decimal del logaritmo natural del número e vale
C
e
•
Al sumar logaritmos decimales se obtiene un logaritmo en base
D
uno
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en: Logb c
E=a
I. Si E=1 entonces a = 1 o c = 1 II. Si E =
c
entonces a = b
2
(
)
(
)
17. Calcular: ^1 + Log53h^1 + Log35h − Log53 − Log35 a) 3 d) 5
b) 2 e) 15
18. Calcular: Log35
(
)
Log3 10
(
)
V. Si "b" se intercambia de lugar con "c" no se altera el resultado (
a) 2 d) 3
)
III. Si E =
a
entonces c =
b
IV. Si "c" es igual a b 2 el resultado es a 2
I. En el producto de logaritmos se puede cancelar la
de un logaritmo con
el número de otro logaritmo. II. En el logaritmo natural y el logaritmo decimal no se coloca la III. Al dividir el logaritmo natural de ” a ” entre el logaritmo natural de 10 se obtiene el logaritmo
de “ a”.
Log7 10
+
Log5 10 Log5 10
b) 1 e) 1,5
c) 4
19. Si: x = Log25 , expresar el equivalente de
1
a)
b)
x−1
d)
x x−1
20. Calcular: ^Log25h
e)
5 +
a) 13 d) 5
1
c)
x
1 x+1
x+1 x
^Log1115h
15
b) 12 e) 10
c) 14
b) 3 e) –1
c) 2
Log 7 Log 2 3 −7 3
2
Log3 4 . Log8 9
Log 7 2
3
Log 4 125 . Log52
b) 3/2 e) 5/2
c) 3/4
2
Log 5 . Ln 100 . Log 25e
b) 2 e) 1
a) 0 d) 1 22. Calcular:
15. Calcular:
4+Log 4 3
c) 4
+4
2+Log 2 3
Log 16 3
6
16. Calcular:
8
a) 18 d) 15
b) 17 e) 32
c) 16
b) 10 e) 25
c) 14
23. Calcular: 2 Ln 5
1 + 1 Log 26 Log108 6
a) 6 d) 3
Log7 2
21. Calcular:
14. Calcular:
a) 10 d) 5
+
Log 2 en términos de "x".
13. Completar:
a) 1/4 d) 8/9
c) 6
b) 5 e) 12
(4e )
Ln 4
5
c) 2
a) 8 d) 9
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TRILCE 124
Central: 6198-100
Álgebra 24. Calcular: 1 1 1 + + 1 + Log x yz 1 + Log y xz 1 + Log z xy
a) 3 d) 10
b) 1/3 e) 0,1
c) 1
25. La demanda "D" de un producto se relaciona con su precio de venta "p" con frecuencia mediante la ecuación: LogaD = Logac – K Logap; donde "a" "c" y "K" son constantes positivas, entonces: • Despejar "D" en esta ecuación: K
K
a) D=c.p b) D=p.c –K c) D=c.p d) D = p.c–K –c e) D=K.p Para un precio de S/.10 con: c=1000; K=2, indicar el valor de la demanda:
•
a) 1/10 d) 100
b) 1 e) 1000
c) 10
Practica en casa 1. Calcular: Log 1000 + Ln
2. Calcular:
e + Log 0,1 – Ln e
2
Log7 16 . Log8 7 Log9 6 . Log6 27
9. Si x = Log53, expresar el equivalente de Log153 en términos de "x". 10. Calcular: ^Log37h
7 +
^Log6 5h
5
3. Calcular: Log8 6 . Log310 . Log6 4 . Log 3
4. Calcular:
Log8 9 . Log 27 4
12. Calcular: 3+Log 8
4
Log 27 6 . Ln81. Log36 e
2+Log 4
Log 4
Log 6
2 13. Calcular: 56Log 7 6 2
1 1 − Log50 5 Log 2 5
7. Calcular: ^2 + Log27h^2 + Log7 2h − Log 249 − Log7 4 8. Calcular: Log2 36
+8
8
6. Calcular:
+
1+Log 3 5
6
Log16 25 . Log12532
5. Calcular:
Log2 3
Log 3 Log 6 5 +3 5
11. Calcular: 6
Log5 2 Log5 36
www.trilce.edu.pe
+
Log9 6 Log9 36
14. Calcular: 1 1 1 + + 1 + Log 4 36 1 + Log 272 1 + Log18 8
15. Calcular: Log 3 Log 72 6 +3 6
2
Log 2 6
3
Tercer año de secundaria 125
32
Capítulo
Tú puedes 1. Si: xy . yx = (xy) 2 x ≠ y Reducir:
4. Calcular: Log
y x + Log y x + 1 Logx y + 1
a) 0,5
b) 1
d) 0
e) 0,25
(Log6 3)
c) 2
a)
b)
2 (1 − a) 2−a
d)
a−2 1−a
e)
2− a a
2
c)
a) –36
b) –1
d) 6
e) 9
c) 3
5. Si Logab a = 3. Calcular: Logab ^ a
2. Si Log14 28 = a . Calcular: Log 49 16 2 (a − 1) 2−a
(Log9 36)
1− a 2−a
a) 1/6
b) 2/5
d) 5/6
e) 1
3
bh
c) 2/3
2
3. Si: x + y = 1. Reducir: Log
` 1 −x y j Log
+ Log
c xx − yy +
+ +
c 11 − yy m 1 m 1 +
2
a) 2
b) 1
d) 0,25
e) 4
c) 0,5
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TRILCE 126
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Capítulo
33
LOGARÍTMOS III Problemas para la clase 1. Calcular: Log 28 + Log 4 16
=
Log9 1+ Log39
=
Log5 25 − Log 25 1
=
Log9 81 − Log33
=
1 Log381
=
1 Log 255
=
1 Log813
=
6. Calcular: x + y + z si 2. Calcular:
Log5x = 2; Log3y = 4; Log 2z = 3
Log2 16
=
Log2 4 Log39
Log39 . Log9 81
Log 3 6
Log 2
10
Ln 6
e
e) 115
Logx + Log3 = Log 90 – Log 2
=
3. Calcular:
36
d) 114
c) 113
7. Calcular "x", si
Log 24 . Log 4 16 =
Log 2 7
b) 112
=
Log3 81
7
a) 111
=
a) 13
b) 14
d) 16
e) 17
c) 15
8. Calcular "x" si Log 2
Ln x
=
10
=
a) 2009
b) 2010
d) 2012
e) 1
=
+
e
=
2012
c) 2011
9. Resolver:
4. Completar:
log (Antilog (x+3)) = Colog 0,1
Log32 + Log9 5 = Log 9 Log5 3 + Log1252 = Log125 Log 2x + Log 4 x + Log16x
= Log
a) 1
b) –1
d) –3
e) 0
c) –2
16
10. Calcular: Log7 6 − Log 49 2 = Log 49
5. Calcular: 1 Log24
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Co log2 8 + Anti log3 4 + log 100
a) 79
b) 80
d) 93
e) 101
c) 81
=
Tercer año de secundaria 127
33
Capítulo
11. Relacionar: b
•
Logb x = a
A
x=
•
Logx b = a
B
x=a
•
Loga x = b
C
x=
•
Logx a = b
D
x=b
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
a
b
a
b
a
19. Indicar el producto de las soluciones al resolver:
I. Colog 1000 = 3
(
)
Log23x = 4
II. Antilog 2 5 = 32
(
)
a) 3
III. Ln e8 = e8
(
)
IV. Log52 x = Log5 x2
(
)
13. Completar: I. En una igualdad de dos logaritmos se iguala los números siempre y cuando tengan la misma
del mismo número suman III. El antilogaritmo decimal del logaritmo decimal del número p es igual a a) 1 d) 5
Log3 (Log 2x) = 1
b) 3 e) 2
c) 4
2
15. Calcular: Log5(x +2) Log 2
Si: 3 a) 1 d) 4
3
+
Log x
4
2
=
b) 100
d) 0,1
e) 10
c) 3
Log336 + Colog3x = antilog 31 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17. Calcular: Log9 (0, 5 x) en Log3 6 = Log9 (2x)
b) e
d) e
2
22. Reducir: E = log0, 25 8anti log64 `co log8 ` 1 jjB 2 a) 1
b) –1
d) 1/4
e) –1/4
c) 1/2
23. Indicar la menor solución al resolver: 2
2
Log x–Logx =15 a) 0,1
b) 0,001
d) 100
e) 10
3
−
1)
=
c) 0,01
1
a) 11
b) 9
d) 7
e) 8
c) 10
25. La temperatura "T" en ºC de un objeto en el –2t momento "t" se expresa: T=75 e ; donde t: horas; T: temperatura en ºC; expresar "t" en función de "T" 75 T
a)
t
= Ln
c)
t
= Ln
` 75 j T
e)
t
=
Ln
c) –2
1 + Log5x2 = Log540 − Log52
b) –3 e) 1
c) e
e) 1
2
18. Indicar la menor solución obtenida al resolver: a) 3 d) –2
c) 20
21. Indicar el producto de las soluciones al resolver: (Ln x + 1) Ln x = 12
3
` j
b) –1 e) 1
a) 1
Log Log (x
16. Calcular Logx 16 si: 9
a) 2 d) –3
e) 1
24. Indicar la suma de las cifras de la solución de:
anti log5 2
b) 2 e) 5
d) 6
20. Indicar el producto de las soluciones de: 2 Log x + colog x = 6
3
II. El cologaritmo y el logaritmo en la misma base
x + 1 si:
c) 2
a) 1/e
.
14. Calcular
b) 4
b)
t
= Ln
T 75
d)
t
= Ln
T ` 75 j
2
` 75 j 7
c) 4
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