Act. 14 - Trabajo Colaborativo Unidad 2 - Algebra Lineal

TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales, rectas y planos en el espacio 1

TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2 (Sistemas de Ecuaciones Lineales, rectas y planos en el espacio)

JEANELLYS TORRES CASTRO - COD. 32851423 CLARA ESPERANZA JORDAN - COD. 35515484 GRUPO 208046-6

TUTORA: VIVIAN YANETH ALVAREZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA ALGEBRA LINEAL 2014


INTRODUCCION

Gracias a los innumerables aportes que el Algebra lineal como ciencia matemática realiza en el ámbito computacional, hoy día, son significativos e incontables sus aplicaciones en el campo de la tecnología; lo que hace necesario el estudio y comprensión de los Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas y planos en el espacio, que fundamentan la unidad dos de este curso, para potenciar el proceso de aprendizaje del estudiante en formación.

Para la resolución de los ejercicios propuestos se requiere de métodos como la eliminación de Gauss – Jordán, la inversa, la ecuación general del plano y los puntos de intersección de los planos, además de herramientas tan fundamentales para este proceso como el editor de ecuaciones Word.


Objetivos Objetivo General

Comprender los fundamentos teóricos de los sistemas lineales, rectas y planos en el espacio, a través de procesos de pensamiento que faciliten la aplicación adecuada del conocimiento en la solución de los ejercicios propuestos.

Objetivos Específicos



Lograr la transferencia de conocimientos y competencias relativas a los conceptos básicos teórico-prácticos de sistemas de ecuaciones lineales, las rectas en

y planos a través del

estudio, análisis y solución de problemas y ejercicios propuestos.



Interactuar con los integrantes del grupo colaborativo a fin de logar un verdadero trabajo en equipo y el desarrollo de la guía de actividades propuesta para el presente trabajo.



Reconocer la importancia del dominio básico del algebra lineal, como disciplina fundamental en el proceso del estudiante en formación en cualquier área científica.


Desarrollo de las Actividades Ejercicio 1.1. 1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones de los siguientes sistemas lineales: 1.1.

-2x - 4y –z = -5 3x + 2y -2z = 0 -5x –y + 5z = 4

Solución La matriz de coeficientes A de este sistema es: A=

Cuyo determinante es: -2 -4 -1 3 2 -2 Det A = -5 -1 5 -2 -4 -1 3 2 -2 = (-2) (2) (5) + (3) (-1) (-1) + (-5) (-4) (-2) -(-5) (2) (-1) - (-2) (-1) (-2) - (3) (- 4) (5) = -20 + 3 - 40 - 10 + 4 + 60 = -3


Como det A 0, el sistema tiene solución única; para hallar esta solución es necesario encontrar la inversa de A, es decir A-1 empleando de acuerdo al enunciado, el método de Gauss – Jordán, entonces: -

f1

F1-2f2 F3 -9f2

-1/4 f2

F1 + 5/4 f3 F2 -7/8f3

-8/3f3

A-1 =

De aquí que la solución del sistema es: X = A-1.b =

x1 = (-8/3) (-5) + (-7) (0) + (-10/3) (4) = 0 x2 = (5/3) (-5) + (5) (0) + (7/3) (4) = 1 x3 = (-7/3) (-5) + (-6) (0) + (-8/3) (4) = 1 Luego la solución del sistema dado es: X =

F2 - 3f1 F3 + 5f1

=


Prueba: Remplazando estos valores, digamos en la ecuación 3 dada en el enunciado, se tiene: -5 (0) -1 + 5(1) = 4 0

-1 + 5

= 4

4

= 4

Ejercicio 1.2 Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordan para encontrar todas las soluciones (si existen) del sistema lineal -5x + 2y -3z + 4w = - 2 x3 - 10y -z + w = - 8

En el ejercicio 1.1 se empleó para representar el sistema lineal la matriz de coeficientes y los vectores de incógnitas y de términos independientes, en esta ocasión se emplea la matriz aumentada sobre la cual se realizan las operaciones elementales de fila:

(-1/5) f1 f2 – 3f1

F1 + (2/5) f2

(-5/44) f2


Esta última matriz se encuentra en su forma escalonada reducida, y por tanto el proceso matricial se detiene. Ahora, de esta última matriz se obtiene el sistema resultante, esto es: X1 + (8/11) x3 - (21/22) x4 = 9/11 X2 + (7/22) x3 – (17/44)x4 = 23/22

Nota: A las variables x3 y x4, por estar en ambas ecuaciones, se les denomina variables libres. Despejando las variables x1 y x2 de las ecuaciones anteriores y asignando a x3 y x4 sus mismos valores respectivamente (por ser variables libres), se tiene: x1 = (9/11) – (8 / 11 ) x3 + (21/22)x4 x2 = (23/22) - (7/22) x3 + (17/44) x4 x3 = x3 x4 = x4

Que reemplazando en el vector fila buscado, que es de la forma [x1, x2, x3, x4], resulta: [(9/11) - (8/11)x3 + (21/22)x4, (23/22) - (7/22)x3 + (17/44) x4, x3, x4] Conclusión: Puesto que a las variables libres x3 y x4, se les puede asignar cualquier valor arbitrario, por tanto el sistema de ecuaciones dado tiene infinitas soluciones.


Ejercicio 2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para halla A-1). 3x + y - 7z = -3 2x - y - 3z = -2 -x + y - z = -1 Solución:

A=

X=

B=

A.X = B X = A-1 B, siendo A-1 = Matriz inversa de A = (1/det A) Adj A Hallar el determinante de A 3 2 -1 3 2

Det A =

1 -1 1 1 -1

-7 -3 -1 -7 -3

= 3 (-1) (-1) +2(1) (-7)+ (-1) (1) (-3) – (-1) (-1) (-7) -3 (1) (-3)-2(1) (-1) = 3 - 14 + 3 + 7 + 9 + 2 = 10

Ahora se halla la matriz C de cofactores de la matriz A: 1 C=

– (-3)

-[-1 – (-7)] -3 - 7

- [-2 -3] -3 -7 -[-9 –(-14)]

2 - 1 -[3 – (-1)] -3 -2


=

Ct =

4

5

1

-6

-10

-4

-10

-5

-5

4

-6

-10

5

-10 -5

1

-4

= adj A

-5

Ahora se halla la inversa de la matriz A:

A-1 = (1/det A) adj A

A-1 =

=

1/10

4

-6

-10

5

-10

-5

1

-4

-5

2/5

-3/5

-1

½

-1

-1/2

-2/5

-1/2

1/10


Ahora se despeja el vector de variables

X = A-1 . B

x y z

X=

X=

=

=

Es decir: x = 1; y = 1; z = 1 Comprobación: Remplazando estos valores en el sistema de ecuaciones dado se tiene: 3(1) + (1) - 7 (1) = -3 2(1) - (1) - 3(1)

= -2

-(1) + (1) - (1) = -1 Conclusión: Efectivamente cumple las ecuaciones dadas.


3. Encontrar las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta L que: 3.1 Contiene a los puntos: P = (x1, y1, z1) = (-1, -8, -6) y Q = (x2, y2, z2) = (-7, 5, -6)

Solución: Ya que el vector director v de L está dado por v = PQ, entonces: v

= PQ = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = (-7 – (-1)) i + (5 – (-8))j + ( -6 – (-6))k = -6i + 13j + 0k

Por tanto: a = -6; b = 13; c = 0 Es decir que el vector director es: v = (-6, 13, 0) Puesto que tercera componente es cero (0), esto indica que la recta L es paralela al plano xy. 3.1.a) Las ecuaciones simétrica de la recta L son de la forma: [(x – x1) / a] = [(y – y1) / b]; z = z1  por ser la recta L paralela al plano xy, entonces: [(x – (-1)) / -6 ] = [(y – (-8)) / 13]; z = -6 3.1.b. Las ecuaciones paramétricas de la recta L son de la forma:


x = x1 + ta y = y1 + tb

x = -1 -6t entonces

z = z1 + tc

y = -8 + 13t z = -6

3.2 Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta L que contiene a: P = (x0, y0, z0) = (3, 7, 3) y es paralela a la recta M: [(x+5) / -5] = [(y – 7) / -1] = [(7-8) / 8] Solución: Puesto que la ecuación de la recta M dada, está en forma simétrica, y ya que lo denominadores de dicha ecuación corresponden a los número directores que son los componentes de su vector director v, esto es: v = (-5, -1, 8), que a su vez es el vector director de la recta L por ser paralela a M, entonces se tiene que: P = (x0, y0, z0) = (3, 7, 3) v = (a, b, c) = (-5, -1, 8) Luego: Las ecuaciones simétricas de la recta L son: [(x -3) / -5] = ](y -7) / -1] = [(z -3) / 8] Ejercicio 4.1 Encuentre la ecuación general del plano π que contiene a los puntos P = (-1, -8, -6), Q = (10, 2, -9) y


R = (5, -8, -6) Ecuación vectorial:

DET =0

= (0+0 -36y -288) – (60z + 360) = -38y -288 +60z +360 = 0

Ecuación del plano π:

Prueba: Remplazando cualquiera de los puntos dados, digamos el punto P en la ecuación π, se tiene: 0 (-1) - 9 (-8) + 15 (-6) + 18 = 0 0

+ 72

-

90

+ 18 = 0 0 = 0

Ejercicio 4.2

TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales, rectas y planos en el espacio 14 Encuentre la ecuación general del plano π que contiene al punto P = (9, -1, -6) y tiene como vector normal

n = i – 2j – 7k

Solución: El punto P, el vector normal n y la ecuación del plano π, están dados por: P = (x0, y0, z0) = (9, -1, -6) *1 n = ai + bj + ck = 1i - 2j - 7k = (a, b, c) = (1, -2, -7) *2 π: a(x – x0) + b(y – y0) + c(z - z0) = 0

*3 (Ecuación general del plano)

Extrayendo la información numérica (datos), dados en *1 y *2 y remplazando en *3, se obtiene: 1 (x – 9) + (-2) [y-(-1)] + (-7) [z – (-6)] = 0 x – 9 -2y -2 -7z -42 = 0 x – 2y -7z -53 = 0

Ecuación general del plano π pedido.

Prueba: Remplazando el punto P dado en la ecuación hallada, se tiene: 9 - 2(-1) - 7(-6) - 53 = 0 9 + 2

+ 42 - 53 = 0 0 = 0


Ejercicio 5 Encuentre todos los puntos de intersección, es decir, la recta de intersección de los planos: π1 : -9x + 4y - 5z = 9

y π2: - 6x - y - 7z = -2

Solución: Ya que las dos ecuaciones de los planos forman un sistema de ecuaciones, se creará la matriz aumentada de la misma, y por medio de operaciones llevarlo a la forma escalonada reducida:

(-1/9) f1

F2 + 6f1

(-3/11) f2

F1 + (4/9) f2

Luego el sistema de ecuaciones resultante de esta última matriz es: x + z = -1/33 y + z = 24/11

Despejando x y y, se tiene: x = (-1/33) - z y = (24/11) - z z = z


Finalmente, para obtener las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos π1 y π2 dados, se hace z = t, quedando: x = (-1/33) - t y = (24/11) - t z = t Comprobación: Sea t = 0, entonces: x = (-1/33) - 0 = -1/33 y = (24/11) - 0 = 24/11 z = 0 Se obtiene el punto: (-1/33, 24/11, 0) ¿Este punto satisfará las ecuaciones de los planos π1 y π2? Esto se logra saber remplazando los componentes de este punto en las ecuaciones iniciales dadas, es decir: π1: -9 (-1/33) + 4(24/11) - 5(0) = 9 9 = 9


π2: -6 (-1/33) - (24/11) - 7(0)

= -2

-2 = -2 Conclusión: Las ecuaciones si son satisfechas por el punto hallado.


Conclusiones

Con la realización del presente trabajo, se pueden concluir los siguientes aspectos:

La solución de cada uno de los ejercicios planteados en la guía de actividades permitió el reconocimiento de las temáticas relacionadas con los sistemas de ecuaciones lineales rectas y planos en el espacio, y así dinamizar el aprendizaje a través de la interacción en el trabajo en equipo.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales, con la característica que en todas las ecuaciones están las mismas variables.

Es de vital importancia, el reconocimiento y adecuada aplicación de algunos métodos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales, tal es el caso del método por eliminación Gaussiana, el método de Gauss Jordan, empleando la matriz inversa entre otros, que aportan herramientas cognoscitivas significativas al proceso de formación profesional del estudiante de la Unad.


Referencias

Zúñiga G. Camilo Arturo, Rondón D. Jorge Eliecer (2010). Modulo curso Algebra Lineal. Bogotá D.C. Universidad Nacional Abierta y a Distancia Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología E Ingeniería [versión electrónica, PDF]

Guía de Trabajo Colaborativo 2. Algebra Lineal. Escuela de Ciencias Básicas e Ingeniería. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.

Act. 14 - Trabajo Colaborativo Unidad 2 - Algebra Lineal

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