CALCULO DIFERENCIAL
TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2 - ANÁLISIS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD
ELABORADO POR: ROSA ISELA ESCUDERO VERONA MONICA LILIANA FLOREZ ARANGO JOSE DE JESUS ARGUELLO POLO ALEX FABIAL BULA ROMERO OTTO FERNANDO ARELLANO
GRUPO: 100410_57
TUTOR: WILSON DE JESUS ARRUBL
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
INTRODUCCION Esto consiste básicamente en el estudio de los límites y análisis de una función continua o discontinua, el comportamiento de variables independientes en función de variables independientes, además de la solución de problemas que abarcan estos objetos de análisis. Especificando las temáticas a relacionar en el trabajo, se distinguen dos: límites y continuidad, el primero hace referencia al concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor, el segundo se presenta el caso de una función continua como aquella para la cual, en los puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función, si la función no es continua, se dice que es discontinua. En el siguiente trabajo se profundiza en los conceptos de Limites y funciones a trozos, identificando conceptos básicos, clases, diferencias entre estas y fórmulas para hallar términos generales, lo que permitirá obtener un aprendizaje significativo, que podrá establecer comparaciones con situaciones de la vida cotidiana, también se usa la aplicación GEOGEBRA para graficar una función a trozos.
OBJETIVO Elaborar los ejercicios del trabajo colaborativo 1 del curso calculo diferencial de manera grupal, realizando las observaciones respectivas de los aportes de compañeros y estar presto para las mejoras que se puedan hacer a cada uno delos aportes, para así consolidar un buen trabajo final.
Rosa Isela Escudero Verona 1 Ejercicio – Estudiante 1 - Fase 1
Rol del Estudiante
Ejercicio 1 Limites por Principio de Sustitución → →
Estudiante 1 Rosa Escudero
→
Ejercicio 2 Límites de Forma indeterminada →
√
Racionalizar el numerador √ : √ √
Multiplicar por la conjugada
√
√ √
√
√
√
√
√ √
Ejercicio 3 Límites al Infinito
Ejercicio 4 Límites de Funciones Trigonométricas →
→
Dividir entre denominador mayor potencia :
el Aplicar la regla de L´Hopital con ! ∗ →
!
Simplificar →
Sustituir la Variable
→
→ →
→
→
!
∗
Poner los paréntesis utilizando # $ # $ # $ # √ ,$ √
√
Simplificar √
√
→
: √
√# √
#
Aplicar las leyes de los exponentes #$ #$ √
∗
∗
∗
Multiplicar fracciones $ #∗$ #∗ ∗ Simplificar
→
Eliminar los términos comunes:2
Sumar/Restar lo siguiente: √ Eliminar los términos comunes √
√ Sustituir la variable →
√
Simplificar
→
√
4 Ejercicio – Estudiante 1 - Fase 2 '
(
#
El valor de a que la hace continua es -1
,
,
) *
+
Escrito Estudiante 1 - Fase 3 Los límites en la Ingeniería se emplean para determinar los problemas de altura, peso, ancho etc. En mi vida son bastante útiles ya que soy estudiante de Ingeniería de Alimentos, y lo empleo intentando predecir los eventos que pueden suceder, a su vez me ayudaran a adquirir cada vez más nuevos aprendizajes los cuales me serán de vital importancia para mi vida futura.
Alex Fabián Bula Romero 2 Ejercicio – Estudiante 2 – Fase 1 Ejercicio 1 Limites por Principio de Sustitución
Rol del Estudiante
→ ,/
./
01.
Ejercicio 2 Límites de Forma indeterminada 2→
Por sustitución de la variable =. /
,/
Simplificar =
Estudiante 2 Alex Bula romero
!
,/
2
2
2
→ 2
2 2
Factorizar 2 2 = 2 2
Factorizar t 2 2 2 2 Factorizar -3 2 =2 2
3
2
4
→
Aplicar regla para binomios al cuadrado 3
Ejercicio 3 Límites al Infinito
2
2 2
3
5
Dividir entre el denominador con mayor potencia 6 Simplificar:
Ejercicio 4 Límites de Funciones Trigonométricas
7
→ →
Aplicando regla de L´ hospital nos queda que →
Simplificar: →
2
! !
Sustituimos la variable: ) 2
2
→
→
Entonces: →
→
→
!
∗
Se factoriza común( t-2) 2
el
2
termino
∞
→
Entonces La expresión queda: → 2 2 Lo que resulta: 2 2 Se cancelan términos → semejantes 2 → 2 Entonces Entonces: 2→
Sustituimos: 2→
2 2
→
4
∞ 5
∞
Ejercicio 2 – Estudiante 2 – Fase 2 '
9
#
: ,
,
;) < ;)
GRAFICA DE LA FUNCIÓN A TROZOS
GRAFICA DE LA FUNCION A TROZOS YA CONTINUA
La grafica se hacer continua cuando a toma valor de 2.
Escrito Estudiante 2 - Fase 3 Aunque estos son usados para múltiples cálculos matemáticos, está presente es aspectos como la velocidad y su límite cuando conduzco, los niveles de gasolina en el auto. En mi ámbito laboral puedo contemplarlo cuando requiero establecer los niveles óptimos de producción o determinar los tiempos de operación requeridos en la planta de producción.
Mónica Liliana Flórez Arango 3 Ejercicio – Estudiante 3 - Fase 1 ESTUDIANTE
Mónica Liliana Flórez Arango, Estudiante 3.
Ejercicio 1 Limites por Principio de Sustitución →,
01.
= #$ >? , @ ° De este modo se procede a sustituir directamente en la ecuación. →,
01.
01. 01.
01. ,
@ ° °
Ejercicio 2 Límites de Forma indeterminada B→
√ B B
B
Inicialmente procedemos a sustituir directamente para saber si es indeterminado.
B √ B B→ B C2 3 3 3 3 3 √9 3 0 3 3 0 0 H I J #H! 0 Para resolver esta indeterminación como hay raíces procedemos a aplicar ña conjugada para eliminar y factorizar. Recordemos que la conjugada en si es: # $ # $ B→
√ B B
B
√2P 3 P √2P 3 P ∙ RSTUVWXTYS N→O P 3 √2P 3 P √2P 3 Z PZ lim [S\ Y]^_\_TR]X Y_ RVXY\XYS` N→O P 3 √2P 3 P lim
Recordemos que la diferencia de cuadrados es # $ # $ # $
a]b N→O
a]b N→O
P
P
P
PZ
lim
2P
3 √2P 3 P
3 √2P
P
N→O
3
3
3
1
P
2P
N→O
PZ
3 √2P
P
a]b
3
3
P
\__`R\]c]_TYS _a TVb_\XYS\
^XReS\]fXTYS ^S\bX
√2P
P
3
1
P
Ya eliminada la indeterminación (h-3) se procede a sustituir. a]b
N→O √2P
3
√9
1
3
P
3
1
4 6
P
2 3
$
Ejercicio 3 Límites al Infinito
→
→
Inicialmente procedemos a sustituir directamente para saber si es indeterminado. lim
i→
2j 3j
3 1
2 ∞ 3 ∞
3 1
∞ _`eS _` ]TY_e_\b]TXYS ∞
Procedemos a eliminar la indeterminación
2j a]b j i→ 3j j
a]b
i→
2j 3j
3 1
3 j Y]k]Y]_TYS [S\ aX kX\]Xca_ Y_ bXlS\ _j[ST_Te_ 1 j a]b
i→
Por teorema lim i→
Ejercicio 4 Límites de Funciones Trigonométricas 01.
m
in
2 3
3 j 1 j
0
0
0 ; p ∈ r ; T ∈ st
Aquí se procede a sustituir directamente y aplicar el cálculo de la función trigonométrica. →
!
6 cos 1
1
6 cos 0 `Xc_bS` xV_ cos 0 =6y1
6
1
lim
i→
2 3
0 0
2 3
3 Ejercicio – Estudiante 3 - Fase 2 '
z
#
, ,
) *
El valor que la hace continua es -1 por Geogebra
HACIENDO USO DE GEOGEBRA
FUNCION A TROZOS GRAFICADA
FUNCION A TROZOS YA CONTINUA
Escrito Estudiante 3 – Fase 3 APLICACIÓN DE LOS LÍMITES EN MI VIDA COTIDIANA Y PROFESIONAL Como ya se sabe un límite es un concepto que describe la tendencia de una función a medida que los parámetros se acercan a determinado valor. Primeramente para mi forma de pensar diariamente en la vida cotidiana aplicamos los límites implícitamente en todos nuestros pensamientos ya sea para aplicarlo en nuestras finanzas, hacer el mercado o la consecuencia de nuestros actos si determinado acto se acerca a una determinada instancia, desencadenado una serie de consecuencias y resultados. Por otra parte como administradora los limites tienen una importante aplicación en mi campo de acción, ya que me permiten saber el nivel de producción, con mínimos costos para generar mayores ganancias, pudiendo establecer rangos y tendencias de una variable con respecto a valores.
Otto Fernando Arellano 4 Ejercicio – Estudiante 4 – Fase 1 Ejercicio 1 Limites por Principio de Sustitución
Rol del Estudiante
→
√
:
Sustituir la variable √ ∗ :
=3
→
→
Estudiante 4
√
:
Ejercicio 2 Límites de Forma indeterminada @
→
SIMPLIFICAR
4 =
Factorizamos
Factorizamos
@
@
Eliminamos términos comunes:
Ejercicio 4 Límites de Funciones Trigonométricas
Ejercicio 3 Límites al Infinito {
→
{
→
Dividimos entre el denominador con mayor potencia
→
= →
Por regla L´hopital = derivamos →
→
Dividimos entre =
Simplificamos:
!
!
∗
Sustituir la variable ! →
∗
,
→
|
Sustituimos la variable
→
=| Simplificando =
→
@ @
)
→
→
Aplicando las propiedades para limites infinitos @
,
→
}
} ~
→
Entonces =√ →
~
{
Ejercicio 1 – Estudiante 4 – Fase 2
Grafica de la función a trozos
Grafica de la función ya continúa
La grafica se hace continua cuando se toma valor de 0,1
Escrito Estudiante 4 – Fase 3 Los límites están presentes no solo al momento de resolver funciones matemáticas sino también en ciertas circunstancias involucradas en nuestras labores un ejemplo claro es en el campo civil de la ingeniería, cuando se va a realizar una construcción donde se deben tener presentes los márgenes de error mínimos, o cuando se requiere calcular los niveles de seguridad de un elevador estos también están presentes.
José De Jesús Arguello 5 Ejercicio – Estudiante 5 – Fase 1
FASE 1
Ejercicio 1 Limites por Principio de Sustitución , →
./
#
Estudiante 5
./ ,
→
#
‚!
Ejercicio 4 Límites de Funciones Trigonométricas
Ejercicio 3 Límites al Infinito
→
Sustituir la variable: , . /• #€ •1. #
Ejercicio 2 Límites de Forma indeterminada
→
Simplificar
Aplicando ley L’Hopital
Sustituimos la variable
Factorizamos: #
→
=0 →
Aplicando ley L´hopital
Cancelar:
Simplificar
!
Simplificar
→
→
∗
→
Factorizar el termino común -1 ) Simplificar Factorizar
!
→
@
!
∗
→
Aplicando ley L´hopital
→
=
→
:
→
Sustituir variable: ,
→
Simplificar:
:
→
= dividimos todos los términos entre 3 →
= @
=
→
→
@
= ∗∞ @
@
∞
@
Ejercicio 5 – Estudiante 5 – Fase 2
FUNCION A TROZOS GRAFICADA
FUNCION A TROZOS CONTINUA
La función se hace continua cuando a es =-5
Escrito Estudiante 5 – Fase 3 Bien es sabido que los límites son herramientas que nos permiten desarrollar funciones matemáticas, ahora bien en nuestro diario vivir estos están presentes desde cuando cocinamos y dichos alimentos requieren de cierto grado de temperatura, cuando ponemos a calentar un horno o microondas. En mi caso laboral, estos están presentes al momento de calcular y graficar los niveles de producción óptimos y compararlos con los antecedentes lo que nos permite evaluarnos día a día.
CONCLUSIÓN En el desarrollo del anterior trabajo pudimos identificar los tipos de límites con respecto a una función. Como resultado de la evaluación de límites se procedió a través de métodos algebraicos para identificar la solución, cuando se presentaron indeterminaciones. Se relacionó funciones trigonometrías determinando identidades para la solución de límites. La aplicación de valores que determinen una función brindan puntos más acertados con relación a diversas variables
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Entorno del conocimiento Unidad 2, Análisis de límites y continuidad. Galván, D. y otros (2012), Cálculo diferencial Stewart, J. Redlin, L., Watson, S., (2007). Precálculo, matemática para el cálculo Rondón, J. E. (2011) Modulo 100410- Calculo Diferencial. Bogotá. Universidad Nacional Abierta y a Distancia.
