TRABAJO COLABORATIVO FASE 2
PRESENTADO POR: JHONATAN FLOREZ OBANDO RITA LUZMILDA POTOSI
PRESENTADO A : MIREYA GOMEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ALGEBRA LINEAL 2016
INTRODUCCIÓN La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología. Es por eso, que, dentro de los planes de estudio de las carreras de ingeniería de la UNAD, en la materia Algebra lineal, se incluya el tema solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss Jordán, por las ventajas que este ofrece. Recordemos que en las últimas décadas él. Algebra Lineal se ha convertido en una parte muy importante de las matemáticas, aportando significativamente al desarrollo con sus aportes a las ciencias informáticas, ya que todo gira actualmente en torno a los sistemas computacionales. Por otra parte, estas herramientas de aprendizaje se convierten en un referente muy valioso, que brindan un acompañamiento muy interesante en este tipo de educación autónomo. La presente actividad está relacionada con la realización de diferentes ejercicios presentados en el Algebra Lineal, tales como Sistemas de Ecuaciones Lineales, a través de la utilización de los diferentes métodos: de gauss, de eliminación gaussiana, regla de cramer, empleando la factorización y la matriz inversa.
OBJETIVOS Identificar conceptos de sistemas de ecuaciones lineales, eliminación gaussiana, factorización LU, la matriz inversa, rectas en R3, planos, espacios vectoriales, entre otros, ponerlos en práctica reconociendo su importancia y aplicabilidades. Entender claramente todas las operaciones que podemos poner en práctica y con las cuales realizaremos soluciones a problemas presentados, utilizando las herramientas apropiadas.
EJERCICIOS PROPUESTOS SEMANA 8 y 9 Solucione los siguientes problemas enunciando inicialmente el sistema de ecuaciones adecuado y empleando para su solución cualquiera de los métodos presentados en los vídeos (No repita ningún método). a. Un departamento de alimentación canina suministra tres tipos de alimento a una perrera municipal que mantiene tres razas para competición. Cada perro de la raza 1 consume por semana, un promedio de una unidad del alimento 1, una unidad del alimento 2 y seis unidades del alimento 3. Cada Perro de la Raza 2, consume cada semana un promedio de tres unidades del alimento 1, cuatro unidades del alimento 2 y una unidad del alimento 3. Para un Perro de la Raza 3, el consumo semanal promedio es dos unidades del alimento 1, una unidad del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan a la perrera 250 unidades del alimento 1, 200 unidades del alimento 2 y 550 unidades del alimento 3. Si se supone que todo el alimento es ingerido, ¿Cuántos perros de cada raza pueden coexistir en la perrera? Solución: (Por el Método de Sustitución)
Resolvemos el sistema de ecuaciones: 1x1 + 3x2 + 2x3 = 250 1x1 + 4x2 + 1x3 = 200 6x1 + 1x2 + 5x3 = 550 Definamos x1 por otras variables Definamos x1 por otras variables x1 = - 3x2 - 2x3 + 250 1x1 + 4x2 + 1x3 = 200 6x1 + 1x2 + 5x3 = 550 En 2, 3 ecuación pongamos x1 x1 = - 3x2 - 2x3 + 250 1( - 3x2 - 2x3 + 250) + 4x2 + 1x3 = 200 6( - 3x2 - 2x3 + 250) + 1x2 + 5x3 = 550 después de la simplificación sacamos: x1 = - 3x2 - 2x3 + 250 1x2 - 1x3 = -50 - 17x2 - 7x3 = -950 Definamos x2 por otras variables Definamos x2 por otras variables
x1 = - 3x2 - 2x3 + 250 x2 = x3 - 50 - 17x2 - 7x3 = -950 En 3 ecuación pongamos x2 x1 = - 3x2 - 2x3 + 250 x2 = x3 - 50 - 17( x3 - 50) - 7x3 = -950 después de la simplificación sacamos: x1 = - 3x2 - 2x3 + 250 x2 = x3 - 50 - 24x3 = -1800 Dividir 3-ésima ecuación por -24 y definamos x3 por otras variables x1 = - 3x2 - 2x3 + 250 x2 = x3 - 50 x3 = + 75 Ahora pasando desde la última ecuación a la primera se puede calcular el significado de otras variables. Resultado: x1 = 25 x2 = 25 x3 = 75
b. Un viajero recién regresado de Europa gastó en alojamiento, por día, $300 dólares en Inglaterra, $200 en Francia y $200 en España. En comidas, por día, gastó $200 en Inglaterra, $300 en Francia y $200 en España. Adicionalmente, utilizó $100 por día en cada país en gastos varios. El registro del viajero indica que gastó un total de $3400 en alojamiento, $3200 en alimentación y $1400 en gastos varios en su recorrido por estos tres países. Calcule el número de días que permaneció el viajero en cada país o muestre que el registro debe ser incorrecto, pues las cantidades gastadas son incompatibles entre sí.
Solución: 300x1 + 200x2 + 200x3 = 3400 200x1 + 300x2 + 200x3 = 3200 100x1 + 100x2 + 100x3 = 1400 Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan 300 200 200 3400 200 300 200 3200 100 100 100 1400
1 línea dividimos en 300 1 2/3 2/3 34/3 200 300 200 3200 100 100 100 1400 de 2 línea sustraemos 1 línea, multiplicamos por 200; de 3 línea sustraemos 1 línea, multiplicamos por 100. 2/3 34/3 1 2/3 0 500/3 200/3 2800/3 0 100/3 100/3 800/3
2 línea dividimos en 500/3 2/3 34/3 1 2/3 0 1 0.4 5.6 0 100/3 100/3 800/3
de 1 línea sustraemos 2 línea, multiplicamos por 2/3; de 3 línea sustraemos 2 línea, multiplicamos por 100/3 1 0 0.4 7.6 0 1 0.4 5.6 0 0 20 80 3 línea dividimos en 20 1 0 0.4 7.6 0 1 0.4 5.6 0 0 1 4 de 1 línea sustraemos 3 línea, multiplicamos por 0.4; de 2 línea sustraemos 3 línea, multiplicamos por 0.4
1 0 0 6 0 1 0 4 0 0 1 4
x1 = 6 x2 = 4 x3 = 4 Vamos a verificar. Pongamos la solución obtenida en la ecuación del sistema y realicemos el cálculo: 300·6 + 200·4 + 200·4 = 1800 + 800 + 800 = 3400 200·6 + 300·4 + 200·4 = 1200 + 1200 + 800 = 3200 100·6 + 100·4 + 100·4 = 600 + 400 + 400 = 1400
Considere el sistema 2𝑋1 − 3𝑋2 + 5𝑋3 = 0 −𝑋1 + 7𝑋2 − 𝑋3 = 0 4𝑋1 − 11𝑋2 + 𝑘𝑋3 = 0 ¿Para qué valor de k este sistema tiene soluciones no triviales? Solución trivial cuando el determinante matriz es diferente de cero Determinante
14𝑘 + 12 + 55 − 140 − 22 − 3𝑘 11𝑘 − 95 𝐷𝑒𝑡 = 11𝑘 − 95 11𝑘 − 95 ≠ 0 11𝑘 − 95 = 0 11𝑘 = 95 95 𝑘= 11 EJERCICIOS PROPUESTOS SEMANA 10 Y 11 1. Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que cumple con las condiciones dadas: a) Que contenga a los puntos (2,1,3) (1, 2 − 1) Q (2,1,3) P (1,2,-1) V=PQ= (𝑋2 − 𝑋1 )𝑖 + (𝑌2 − 𝑌1 )𝑗 + (𝑍2 − 𝑍1 )𝑘 V= (1 − 2)𝑖 + (2 − 1)𝑗 + (−1 − 3)𝑘 V= -𝑖 + 𝑗 − 4𝑘
OR=OQ + tv = OR = 2𝑖 + 𝑗 + 3𝑘 + 𝑡(−𝑖 + 𝑗 − 4𝑘) Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas son X= 2-t Y= 1+t Z= 3-4t a= -1; b= 1; c= -4 Por lo tanto, las ecuaciones simétricas son 𝑥−2 𝑦−1 𝑧−3 = = −1 1 −4 b) Que contenga al punto (3,1,-2) y es paralela a a= 3; b= 2; c= -4 V= -𝑖 − 3𝑗 + 2𝑘 X= 𝑥1 + 𝑡𝑎 → 3 + 3𝑡 Y= 𝑦1 + 𝑡𝑏 → 1 + 2𝑡 Z= 𝑧1 + 𝑡𝑐 → −2 − 4𝑡 Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas son X= 3+3t Y= 1+2t Z= -2-4t 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1 = = 𝑎 𝑏 𝑐 Por lo tanto, las ecuaciones simétricas son 𝑥−3 𝑦−1 𝑧+2 = = 3 2 −4 2. Encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos de intersección de los dos planos
Debemos encontrar la ecuación simétrica de la recta, recordemos que la ecuación simétrica de la recta es: 𝑥−𝑎 𝑦−𝑏 𝑧−𝑐 = = 𝑎1 𝑎2 𝑎3
Por el método de sustitución:
Ecuación 1 * -3 + Ecuación 2 * 1 −𝑥 + 𝑧 = 1
→
−𝑥 = 1 − 𝑧
𝑥=
1−𝑧 −1
𝑥=
1−𝑦 2
→
Ecuación 1 * 4 + Ecuación 2 * -1 2𝑥 + 𝑦 = 1
→
2𝑥 = 1 − 𝑦 𝑥=
→
1−𝑦 1−𝑧 = 2 −1
EJERCICIOS PROPUESTOS SEMANA 12 Estudie el concepto de espacio vectorial y analice los ejemplos dados en el vídeo sobre la temática, Luego construya un esquema (mapa mental, mapa conceptual, lluvia de ideas) que resuma sus conocimientos sobre lo que es un espacio vectorial y algún ejemplo. Si tiene dudas consulte a su tutor.
Espacios Vectoriales
Elemento s
Operaciones
Sub-espacios Vectoriales
Vectores
Generador Adición
Multiplicación por un escalar
Tipos
Combinació
Características
n Lineal
Equipolentes
Modulo
Dependenci
Axiomas
a Nulos
Dirección
Dirección
Sentido
Posición
Sentido
Lineal Independencia
Dependencia
Lineal
Lineal
Libres Ortogonales Paralelos
BASE
CONCLUSIONES
Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un espacio vectorial V sobre un campo k (pueden ser los números reales), es un conjunto de objetos que se pueden sumar y se pueden multiplicar por los elementos de k, de tal forma que la suma de dos elementos de V es, de nuevo un elemento de V, el producto de un elemento de V por un elemento de k es un elemento de V.
