ALGEBRA LINEAL Trabajo Colaborativo No. 1
Grupo: 100408_175
Presentado Por: MAURICIO PATIÑO CAMARGO 79914320 MAURICIO RAMIREZ PITA 79912529 JIMMY FERNEY CHAMBO CARO 79951320
TUTOR: IVAN FERNANDO FERNA NDO A MAYA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD ABRIL ABR IL DE 2012
INTRODUCCIÓN
Con este trabajo se pretende que el estudiante reconozca algunos aspectos que son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se presenta presenta a través trav és de ejercicios prácticos prácticos el afianzamiento de dichos conceptos. conceptos.
En la unidad 1 del programa de Algebra Lineal se abordan temas como vectores, matrices y determinantes, y se explica los métodos de solución para estos sistemas.
Las matrices constituyen un instrumento muy poderoso para tratar con los modelos lineales. En esta unidad se hace la introducción a la teoría general de matrices, además se definen los deteminantes estrechamente relacionados con ellas.
OBJETIVOS
- Af A fianzar ianzar mediante ejercicios prácticos prácticos los conocimientos adquiridos en la
unidad 1 del programa de Algebra Lineal. -
Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.
-
Realizar Realizar las l as operaciones operaciones algebraicas básicas con matrice m atricess y sus propiedades.
-
Comprender e identificar la aplicación de los diferentes métodos para la resolución de los l os problemas propuestos. propuestos.
DESARROLLO DE PROBLEM P ROBLEMAS AS Y EJERCICIOS
1. Dados los siguientes vectores vectores dados dados en forma for ma polar: pol ar: a. │u│= 2; θ = 315° b. │v│= 5; θ = 60° Realice Realice analíticament an alíticamente, e, las l as operaciones oper aciones siguientes: siguientes: 1.1 ū + ¯v
1.2 ¯v - ū 1.3 3¯v - 2ū
1.1 ū + ¯v Ū= (2 Cos 315°, 315°, 2 Sen 315°) 315°) = (1.414 (1.414 , -1.414)
¯v= (5 Cos 60° , 5 Sen 60°) = (2.5 , 4.33) -1.414 + 4.33) = (3.914 , 2.916) ū + ¯v= (1.414 + 2.5 , -1.414
1.2 ¯v - ū ¯v - ū= (2.5 (2.5 , 4.33) - (1.414 (1.414 , -1.414) -1.414) (2.5 , 4.33) + (- 1.414 , 1.414) ( 1.086 , 5.744) 1.3 3¯v - 2ū 3¯v - 2ū = 3(2.5 , 4.33) - 2 (1.414 (1.414 , -1.414) (7.5 , 12.99) + (-2.828 , 2.828) (4.672 , 15.818)
2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:
2.1.
ū= ȋ + 7ĵ
2.2. w= -2 ȋ - 3ĵ 2.1 ū= ȋ + 7ĵ
y
v¯= - ȋ ȋ - 4 ĵ
y
ū = 2ȋ − 5ĵr
v¯= - ȋ - 4 ĵ
y
ū = ȋ + 7ĵ = (1 , 7) ; v¯= - ȋ ȋ - 4 ĵ = (-1 , -4)
u.v = (1 , 7) * (-1 , -4) = -1 -28 = -29 |u|=
=
|v|=
=
Θ Cos -1 =
; Θ Cos -1 = Θ = 174.09°
2.2. w= -2 ȋ - 3ĵ y
ū = 2ȋ − 5ĵr
w= -2 ȋ - 3ĵ = (-2 , -3) ; ū = 2ȋ − 5ĵr = (2, -5) w.u= (-2, -3) * (2, -5) = -4 +15 = 11 |w| =
=
|u| =
=
Θ Cos -1 =
; Θ Cos -1 =
Θ = 55,49°
3. Dada la siguiente siguiente matriz, matriz, encuentre encuentre A −1 empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso).
(Si se presenta presenta el caso, trabaje trabaje únicamente únicamente con números de la forma sus representaciones representaciones decimales). A=
½ F1
-2/15 F2
F1- 1/2f2
F3- 2f2
y NO con con
-5/33 f3
F2- 9/5f3
F1- 8/5f3
A-1 =
4. Emplee una herramienta computacional adecuada adecuada (por ejemplo, MA MA PLE, o Cualquier software software libre) libr e) para verificar veri ficar el resultado resultado del numeral numeral anterior anterior.. Para esto, esto, anex anex e los pantallazos pantallazos necesarios que verifiquen veri fiquen el resulta r esultado. do. La herramienta utilizada fue Excel.
Los pasos son los lo s siguientes:
1. Escriba la matriz original
2. Nos paramos en en otra celda y colocamos colocamos la expresión expresión =MINVERSA(aquí seleccionamos el rango donde está nuestra matriz original, en este caso B2:D4).
3. Seleccionamos todo el rango donde vamos a introducir la matriz inversa, en este caso F2:H4, le damos f2
4. Teniendo el rango seleccionado, después de oprimir la tecla f2 oprimimos las teclas teclas Ctrl+Shiff+Enter C trl+Shiff+Enter y nos queda la matriz inversa
Los resultados en Excel salen en decimales. Pero al comprobar si la matriz hallada anteriorm anteriorment entee está bien, realizamos reali zamos las operaciones de los fraccionarios fra ccionarios para hallar sus decimales y nos damos cuenta que efectivamente el resultado de la matriz anterior anterior quedo bien calculado.
5. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).
DET B=
6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello Determinantes
det A
-5
2 1
0 -5
-0
1 -1 1 -5
= - 5. (- 10)+2. ( 2 )= 54
+
2
1 2
-1 0
Adj A
2 0 1 -5
- 0 0 2 -5
0 2 2 1
- 10 =
- 1 -1 1-5
- 5 -1 - - 5 1 2 -5 2 1
1 - 1 - - 5 -1 2 0 0 0
1 54
- 10 0 -4
2
27
0
7
4
27
7
2
0
- 7
-5 1 2 1
4
- 7
- 10/54 =
0 -4/54
4/54
2/54
27/54
0
7/54
0 -4
-7/54
CONCLUSIONES
Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y ejercicios de la Unidad 1, cuyo contenido puntual es la solución de matrices, vectores y determinantes. Esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver los diferentes enfoques empresariales en lo que respecta a su desarrollo financiero y que a través de matrices ma trices,, sistemas sist emas lineales podremos evidenciar su funcionamiento y así tomar de decisiones, respecto al rumbo que deberá tomar una compañía en determinadas determinadas situaciones.
BIBLIOGRAFIA
ZUÑIGA, CAMILO ALBERTO. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. MODULO ALGEBR AL GEBRA A LINEAL. LINEA L. Bogotá D.C. 2010 http://intranet.ies http://intranet.iesmediterraneo.es/filesintra mediterraneo.es/filesintranet net http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/ http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/matrices metodos/matrices/index.html /index.html http://html.r http://html.rincondelvago.com/mat incondelvago.com/matrices-y-determinante rices-y-determinantes.html s.html