Paso 4: Métodos para pa ra probar prob ar la la validez validez de argum argumentos entos
ESTUDIANTE: DIEGO JAKOV ORJUELA MOLANO COD: 1122129393
TUTORA: LILIANA GARCIA
UNIVERSIDAD NACION NAC IONAL AL ABIERTA ABIERTA Y A DISTANCIADISTANC IA-UNAD. UNAD. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA. PROGRAMA PRO GRAMA DE INGENIERÍA INGEN IERÍA DE SISTEMAS. SIS TEMAS. ACACIAS META 2018.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Comprender cuales son las leyes de inferencia
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Entender Entender que es y como se aplican aplican las leyes de inf inferen erencc ia
Com Co mprobar prob ar su resultado resultado con tablas de verdad
Com Co mprobar prob ar con simulador simulador TRUHT TRUHT
INTRODUCCION
El presente trabajo es realizado con el fin de adquirir las destrezas en el tema de uso de las leyes de la inferencia, un tema bastante importante en el área de la lógica, que nos servirá más adelante a lo largo de nuestra carrera y vidas para poder interpretar situaciones de la vida real y poder tomar las mejores decisiones a partir de nuestras interpretaciones, ya que la lógica es una parte de las matemáticas, y por ende de las ingenierías que tiene mucha aplicación, y es muy importante no solo entenderla sino desarrollar lo mejor posible estas habil habilid ades para poder ejercer sati satisfactor sfactoriamente iamente nu nuestras estras carreras
LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Y DEMOSTRACIONES MATEMATICAS LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Leyes de La Lógica: Una proposición lógica, compuesta por varias proposiciones representadas con letras y unidas entre sí con símbolos lógicos, que tenga la propiedad de que cuando se reemplazan las letras por proposiciones reales siempre resulta verdadera aunque algunas o todas esas proposici proposiciones ones sean fal falsas, sas, es lo lo que se l lam lamaa una una LEY LEY LÓGICA. LÓGICA. Son expresiones formales o fórmulas Proposicionales cuya función veritativa es una tautología que se utiliza utiliza para par a organizar un cálculo axiomático.
Principios Lógicos Básicos: En el cálculo de inferencia es necesario tener en cuenta los siguientes principios lógicos. 1- Identidad: esta ley permite hacer equivalencia entre dos proposiciones de un mismo argumento. 2- No contradicción: una proposición no puede ser simultáneamente verdadera y falsa: p Λ – p. 3- Tercer exclui excluido do:: una una proposici pro posición ón es verdadera verdader a o es falsa. falsa. p V – p. 4- Doble negación: una proposición afirmativa equivale a la misma proposición negada dos veces.
d e inferencia nferencia que corresponde corre spondenn a formas formas de LEYES DE INFERENCIA: Las leyes de razonamiento elementales cuya validez es fácil de demostrar.
1. MODUS PONENDO PONENS (MPP)
p → q, p ├ q El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla „ponendo ponens‟ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariame necesariame nte se afirm afirmaa el consecuente (segundo (segundo término, término, en este caso q).
ueve, entonces entonce s las calles calles se mojan” (premi (p remisa) sa) p enton entonces ces q “Si llueve, p “Ll “Llueve” ueve” (premi (premisa) q “Luego, las calles se mojan” (conclusión)
2. MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT)
p → q, ¬q ├ ¬p ¬p “Tollendo Tollens” significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condi c ondicion cionaa le s, a los que nos referíam referíamos os en primer primer lug ugar. ar.
p enton entonces ces q “Si llllueve, entonc entonces es las calles calles se mojan mojan”” ¬q “Las “Las call c alles es no se mojan” ¬p “Luego, “Luego, no llu llueve eve”” Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido podido darse. Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendo ponens sólo nos permi permite afi afirmar rmar si está afi afirmado rmado el anteceden antecedente te (el prim primer térmi término de la impli plicación cación), ), y la regla tollendo tollenssólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la
implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente.
3- DOBLE NEGACIÓN (DN)
¬p ↔ p ¬C↔T ¬T↔C p sí sólo sólo sí p
El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una una inf inferen erencc ia por pasos, paso s, la la representarí repre sentaríaa mos así:
¬¬ p “No ocurre que Ana no es una estudiante” p “An “Anaa es una una estudi estudian ante” te” La regla „doble negación‟, simplemente establece que si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado.
4.- CONJUNCIÓN
p, q ├ p Λ q Conju Co njunci nción ón (C): Si disponemos disponemos de dos enun enunciados ciados afirmados afirmados como dos premisas premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el
operador Λ (conjunción). p “Juan es cocinero”
q “Pedro es policía” p Λ q “Juan “Juan es cocin cocinero y Pedro es poli policía” cía”
5. - SIMPL SIM PLIFICA IFICACIÓN CIÓN (S): Obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirm afirmados ados por separado.
p Λ q “Teng “Tengoo una manz anzana ana y tengo tengo una una pera” p “Ten “Tengo go una una manz anzana” q “Tengo una pera”
6.- MODUS TOLLENDO PONENS (TP) La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden pueden ser falsos. falsos. A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominadatollendo ponens (negando afirmo): si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro
miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado.
p V q “He “He ido al cine cine o me me he ido de compras” compras” ¬q “No he ido de compras” p “Por “Por tanto, tanto, he ido ido al cine” cine”
7.- LEY DE LA ADICIÓN (LA) Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción) acompañado por cualqui cualquiee r otro enun enunciado. ciado.
p “He “He comprado comprado manza anzana nas” s” p V q “He “He comprado comprado manzan anzanas as o he comprado comprado peras”
8.- SILOGISMO SILOGISM O HIPOTÉTICO HIPOTÉTICO (SH) Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta úl última, tima, cuyo anteced antecedente ente era consecuenci consecuenc ia del primero. primero. Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda segunda consecuencia, expresado expresa do en forma forma de d e infere nferencia ncia lógica ógica::
p enton entonces ces q “Todos “Todos los gatos gatos son vert vertebrados” ebrados”.. q entonces r “Todos los vertebrados son animales”. p enton entonces ces r “todos “todos los gatos gatos son ani animales”. ales”.
9- SILOGISMO DISYUNTIVO (DS) Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premi premisa en forma orma de disy disyuunción, nción, cuy cuyos os miembros embros serían serían los consecu consecuen entes tes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plan plantear tear una elecci elección ón igualm ualmente ente entre entre sus sus dos posibl posibles es efectos, efectos, que que es el senti sentido do de esta regla.
p enton entonces ces q “Si llllueve, entonc entonces es las calles calles se mojan mojan”” r entonces entonce s s “Si la tierra tierra tiembla, los edifi edific ios se caen”
p V r “Ll “Lluev uevee o la la tierra tierra tiem tiembl bla” a” q V s “Las cal ca lles se mojan o los edif ed ifiicios cios se caen”
10.- SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD) Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos podemos conclui concluirr con el consecuen consecuente te de ambas ambas implicacio plicacione nes. s.
p V q “Hel “Helado ado de fresa fresa o hel helado de vai vainnilla” illa” p enton entonces ces r “Si “Si tomas tomas hel helado de fresa entonces repites” q entonces r “Si tomas helado helado de vvain ainilla illa entonces repites” r Luego, repites
11- LEY CONMUTATIVA Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una elección entre dos cosas, cosa s, sin sin importa importarr en qué orden se presente esta elección. elección. Así pues,
p Λ q sí y sólo sólo sí q Λ p “«p “«p y q» equiv equiva le a «q y p»” p V q sí y sólo sólo sí q V p “«p “«p ó q» equiva equivale le a «q «q ó p»
12- LEY LEYES ES DE MORGAN (DM) Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de
afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí:
p Λ q p V q ¬(¬p V ¬q) ¬(¬p Λ ¬q Aplicación Aplicación de leyes lógicas lógicas para demostrar y argumentar .
Cuando se tienen varias premisas -o proposiciones que se sabe son verdaderas- y se quiere sacar las conclusiones derivadas de ellas, se pueden aplicar una o varias leyes lógicas, en forma repetida si fuere necesario, para construir nuevas proposiciones simples o compuestas que sean verdaderas y que conduzcan a conclusiones útiles en forma totalmente lógica. Por ejemplo: Se sabe que las las sigu siguie ientes ntes proposici prop osiciones ones son verdaderas: verdadera s: (premisas) (premisas) 1. La La tarde del de l doming domingoo golpea golpearon ron a Juan 2. Si algui alguiee n estaba en B no no pudo ver la pelea 3. Juan Juan estuvo toda la tarde tarde del d el doming domingoo en A con Carlos C arlos y Pedro Ped ro 4. Ángel Ángel estuvo con Luís Luís en B toda tod a la la tarde del d el domingo domingo 5. María estuvo con Rosa en B todo el día. 6. Pedro dijo dijo que Ángel Ángel golpeó golpeó a Juan. 7. Rosa Rosa dijo que vio vio a Carl Ca rlos os golpea golpearr ese dom do ming ngoo a Juan en A. De ellas, aplicando leyes lógicas ya conocidas se pueden obtener como verdaderas: El domi domingo ngo de los los hechos: hec hos: De 3 salen tres proposiciones: Estuvo en A toda la tarde 8) Carlos estuvo en A toda la tarde (9)
Pedro estuvo en A toda la tarde (10) De 4 salen salen dos proposici prop osiciones ones:: Ángel Áng el estuvo en B toda la la tarde tar de (11) (1 1) Luís estuvo en B toda la tarde (12) De 5 salen dos proposiciones: Estuvo en B todo el día (13) Rosa estuvo en B todo el día (14) 1 y 8 llevan a: Juan fue fue golpeado golpea do en A (15) (15 ) 2 y 14 llllevan a: Rosa no pudo ver la la pelea (16) (1 6) 16 y 7 llevan a: Rosa miente miente (17) (17 ) 11 y 6 llllevan a: Pedro Pedr o miente (18) De esta forma podemos concluir que: Juan fue golpeado en A y que Rosa Rosa y Pedro mienten.
Pero no se puede conclui concluir nada acerca a cerca de quién quién golpeó golpeó a Juan.
DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA Son pasos sucesivos que permiten la coherencia de algún problema relacionado ha algo específico, se toma un conjunto de premisas como algo verdadero, de las mismas se obtienen una demostración que en sí, nos permiten fortalecer la tesis, x hipótesis o Conclusiones. Debemos acotar que para llegar a la conclusión se siguen una serie de reglas o pasos paso s con secuencia secuencia lógica. ógica.
Por otra parte tambi también én se puede deduci ded ucirr que;
Una demostración es sencillamente, comprobar que alguna afirmación es verdadera en todos los casos posibles que estipula, siguiendo pasos lógicos que llevan de la proposición p a la proposici proposición ón q. Para esto hay much uchas as formas ormas de hacerl hacerlo: o: demostraci demostración ón directa, directa, demostración por contradicción, demostración por definición, contraejemplo, enumeración (para casos enumerables), inducción matemática,... Cada método es un método lógico con nombre en latín, pero para nuestro interés bastará con esto.
A conti continuac nuación ión detall detallare aremos mos un ejemplo: Esto se puede comprobar con el teorema de Pitágoras, que recibe su nombre del matemático y filósofo griego del siglo v a.c. Pitágoras, y que establece que en un triángulo rectángulo rectángulo el cuadrado cuadrad o ddee la hipotenus hipotenusaa es igual gual a la suma de d e los cuadrados cuadrad os de d e los catetos. c atetos. A2+ B2 = C2
ELEMENTOS DE LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA
Basarse en conocimie conocimientos ntos previos.
Probar su verdad.
Empe Empezar zar desd desdee la hipótes hipótesis is y llegar llegar a la tesis.
Encadenar una una serie de razonamie razonamie ntos ded deducti uctivos. vos.
Aplicar Aplicar propi prop iedades, edad es, principios principios o leyes.
Es un razonamiento.
Se deb debee verifi verificar car que una una propo p roposici sición ón matemática es verdadera verdade ra o es falsa. falsa.
Es una cuestión lógica.
Es para que nos demos cuenta... que es algo que existe por lógica.
Es un procedimiento.
Es encontrar encontrar la vali valide dezz de un razonamiento razonamie nto lógico.
DEMOSTRACIÓN POR EL CONTRA-EJEMPLO Cuando hemos probado la validez de la implicación p= → q, frecuentemente se trata de investigar la validez de la reciproca q = → p. Empezamos analizando casos particulares que satisfagan la hipótesis q y confrontamos la validez o no de la conclusión p. Si damos un
ejemplo donde la conclusión resulta falsa, tenemos que q Λ ― p es verdadera. Puesto que ― (q = → p) ↔ q Λ ― p se sigue por las reglas de inferencia que ― (q = → p) es verdadera y por lo tanto q = → p es falsa. El determinar la falsedad de q = → p mediante un caso cas o particul p articular ar se s e denomi d enomina na un contraejemplo. Ejemplo. Si n es un entero primo entonces n es impar. Es una implicación falsa por que n = 2 es prim primo y sin sin embargo es par. p ar. En este caso, ca so, n = 2 es un contraejem co ntraejemplo. plo.
DEMOSTRACIÓN POR CONTRADICCIÓN: Este tipo tipo de demostrac demostraciión tiene tiene su s u sustentació sustentació n en las sigui siguiee ntes equival equivalee nci nc ias lógicas ógicas::
1. ― (H = → T) ↔ H Λ ― T R Λ ― R ↔ H → T 2. H Λ ― T = → R Λ El método consiste en suponer que el contenido del teorema es falso. Según 1, esto signi signifi fica ca que siendo s iendo la hipó hipótesis tesis H verdad verd adera era la conclusi c onclusión ón T puede pued e ser s er falsa. falsa. En todo
razonamiento las premisas se toman como verdaderas. Por eso se escribe el supuesto H Λ ― T.
Este supuesto tiene como consecuencia lógica la contradicción R Λ ― R y según 2 esto implicaría que H= → T es verdadera, verdad era, lo cual finaliza finaliza la demostración.
FUNCIONES DE LA DEMOSTRACION MATEMATICA verdadd ddee una una afirmación afirmación). ). Verificación (concerniente a la verda (profundizando en por qué es verdad). verdad). Explicación (profundizando (organizació n de resultados resultados dentro de un sistema sistema axiomático). axiomático). Sistematización (organizació
Descubrimiento (descubrimiento/invención de nuevos resultados). Comunicación (transmisión del conocimiento matemático).
2. primero que hay que hacer es traducir el problema a una forma de premisas lógicas que permita manipular fácilmente el problema. Gracias a la clasificación al Mundial por parte de la selección Colombia, muchos
colombianos se encuentran analizando un argumento como el siguiente: “Si el mundial es en Rusia, entonces (los partidos no se verán en la noche o Los partidos no se verán en la madrugada). El mundial es en Rusia o El mundial no es en Europa. Si el mundial no es en Europa, entonces los partidos se verán en la madrugada. Los partidos se verán en la noche y los partidos se s e verán en la madrugada. Por lo lo tanto, los partidos se verán en la madrugada”
Tenemos 4 constantes básicas:
1.- el mundial es en Rusia: denotemos esta premisa como P y su negación ¬P, el mundial no es en Rusia.
2.- los partidos se verán en la noche, la denotaremos por Q y su negación ¬Q los partidos no se verán en la noche.
3.- los partidos p artidos se verán en la madrugada madrugada,, la la llllamarem amaremos os R y su negación los partidos no se verán en la madrugada ¬R.
4. - El mun mundial dial es e Europa, Europa, la llamaremo llamaremoss S y su El El mundi mundiaa l no es en Europ Europaa ¬S.
, ( ) ( ) ( )( )-
premiisa lóg ógiica: 1ra 1ra prem ( )
“Si el mundial es en Rusia, entonces (los partidos no se verán en la noche o Los partidos parti dos no se verán verán en la madruga madrugada) da)
2da premisa lógica. ( )
El mu mundial ndial es en Rusi Rusiaa o El mundi mundiaa l no es en Europa Europa..
premiisa lóg ógiica: 3ra prem
( )
Si el mundial no es en Europa, entonces los partidos se verán en la madrugada Escribiendo el sistema lógico tenemos:
4th premisa lógica: ( )
Los partidos se verán verán en e n la la noche y los los partidos se verán verán en la la madrugada madrugada
5th premisa lógica ,( ( )) ( ) ( ) ( )-
Por lo tanto, los partidos se verán en la madrugada”.
La tabla es esta: P
Q
R
S
~P
~Q
~R
~S
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Es una tautologia
3. *, ( )- ( ) ( ) ( )+ P
Q
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(
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(
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Es una tautologia
4. Teniendo en cuenta la siguiente situación determine qué tipo de razonamiento se usó: Al siti sitioo de comi c omida dass rápidas ráp idas al que frec frecuentemente uentemente Carl Car los os,, nota que tod todos os los los viernes viernes tienen promoci prom ociones ones de 2 ham hambu burg rguuesas al preci precioo de 1, por lo que deci decide de que a parti partirr de la otra semana iría todos todo s los los viernes e invi invitaría taría a su novia novia Andre Andrea, a, así a sí se ahorraría ahorra ría una cantidad importa portante nte de din dinero ero De acuerdo a lo que comúnmente se acostumbra; el razonamiento deductivo se ha considerado que va de lo general a lo particular y el inductivo en sentido inverso, partiendo de esta definición podemos asumir que es un razonamiento deductivo, ya que empezamos de algo general, (Al sitio de comidas rápidas al que frecuentemente Carlos, nota que todos los viernes viernes titienen enen promociones de 2 ham hamburgu burguesas esas al precio de 1), 1 ), para a partir de ahí ahí llegar a un razonamiento especifico, en el cual (Al sitio de comidas rápidas al que frecuentem frecuen temente ente Carl Ca rlos, os, nota que todo todoss los los viernes viernes titienen enen promociones de 2 ham hamburgu burguesas esas al precio de 1), ya que a partir de ese segundo razonamiento, se influye algo más específico (así se ahorraría una cantidad importante de dinero), por esta razón se dice que es deductivo, de ductivo, ya que pa partim rtimos os de algo general par paraa llllegar egar a algo especifi esp ecifico co
CONCLUSIONES
Luego Luego de haber haber realizado realizado el presente trabajo tra bajo he podido concluir: concluir: Las reglas de inferencia son muy impoprtantres yb nos puede ahorrar mucho tiempo una una ve las las logramos logramos ender e interpretar las pri p rinci ncipa palles son 7 y estas son: Modus Mod us tollendo tollendo tollens tollens / ponens Modus ponendo ponens / tollens Introducción del bicondic bicondic io nal / eliminación Introducción de la conjunción conjunción / eliminació eliminaciónn Introducción de la disyun disyuncc ión ió n / eliminación Silogismo disyuntivo / hipotético Dilema constructivo / destructivo En lógica, una regla de inferencia, o regla de transformación es una forma lógica que consiste en una función que toma premisas, analiza su sintaxis, y devuelve una conclusión (o conclusiones). Por lo general, una regla de inferencia conserva la verdad, una propiedad semántica. En muchos valores lógicos, esta conserva una designación general. Pero la acción de la regla de inferencia es puramente sintáctica, y no es necesario preservar ninguna propiedad semántica: cualquier función de conjuntos de fórmulas para fórmulas cuenta como una regla de inferencia. Por lo general, solo son importantes las reglas que sean recursivas; es decir, reglas de modo que no haya un procedimiento efectivo para determinar si cualquier fórmula dada es la conclusión de un determinado conjunto de fórmulas fórmulas de acuerdo a la regla. regla.
BIBLIOGRAFIA Giraldo, J. ( 03,08,2016). Inferencia Lógica. [Archivo de video]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7964
