LOGICA MATEMATICA
Código 90004A_360
Paso 4: Métodos para probar la validez de argumentos
Presentado por:
Nicolas Enrrique Espinosa Enciso 1110558250 Juan Camilo Duran 1110573110
Docente: Juan Manuel Cortes.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – DISTANCIA – UNAD UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería.
IBAGUE - TOLIMA- COLOMBIA Mayo - 2017
Tarea 1: Aplicación de las reglas de inferencia.
Socializar en el Foro diseñado para el desarrollo de la actividad la conceptualización y dos ejemplos específicos (En caso de ser extraído por alguna fuente bibliográfica, se debe citar correctamente empleando normas APA) de un grupo de las Reglas de Inferencia Lógica. (solo selecciona un grupo de los 5 mostrados e informa en el foro cual escogió, para que no sea escogido por otro integrante), las cuales son A: modus ponendo ponens, modus tollendo tollens y silogismos hipotéticos.
Modus ponendo ponens.
En lógica proposicional, modus ponendo ponens en latín significa “la forma en que se afirma afirmando”, abreviado MP. Si bien el modus ponens es uno de los conceptos más utilizados en la lógica no debe confundirse con una ley lógica; más bien, es uno de los mecanismos aceptados para la construcción de pruebas deductivas que incluye la “regla de definición” y la “regla de sustitución”.7 Modus ponens permite eliminar una sentencia condicional de una prueba lógica o argumento (los antecedentes) y por lo tanto no llevan estos antecedentes adelante en una cadena alargada y constante de símbolos; por esta razón el modus ponens a veces se denomina la regla de la separación.8 Enderton, por ejemplo, observó que “el modus ponens puede producir fórmulas más cortas de las más largas”,9 y Russell señaló que “el proceso de la inferencia no puede reducirse a los símbolos. Una justificación para la “la confianza en la inferencia es la creencia de que si los dos ex afirmaciones [los antecedentes] no están en un error, la afirmación final de [el consecuente] no es un error”.11 En otras palabras: si un enunciado o proposición implica una segunda, y la primera afirmación o proposición es verdadera, entonces la segunda, también es verdadera. Si P implica Q y P es verdadera, entonces Q es verdadera.12 Un ejemplo es:
Si está lloviendo, te esperará en el teatro. Está lloviendo. Por lo tanto, voy a cumplir en el teatro. El modus ponens pueden establecerse formalmente como: donde la regla es que cada vez que una instancia de “P → Q” y “P” aparece por sí mismos en líneas de una prueba lógica, Q puede ser colocado válidamente en una línea posterior; además, la premisa de P y la implicación “disuelve”, su único rastro siendo el símbolo Q que se mantiene para su uso posterior, por ejemplo, en una deducción más compleja.
Está estrechamente relacionado con otra forma válida d e argumento, modus tollens. Ambas tienen apariencia similar pero tienen formas inválidas, como la afirmación del consecuente, negando el antecedente, y evidencia de ausencia.
Modus tollendo tollens.
En Lógica, El modus tollens tollendo en (latín, Modo Que negando Niega), También Llamado modus tollens y generalmente abreviado MTT o MT, Es Una Regla de inferencia Que TIENE LA Siguiente forma:
Por Ejemplo, el significado del RAZONAMIENTO Que Sigue la forma del modus tollens podría ser de la siguiente manera: Si A entonces B No B Por lo tanto, no A
Si soleado està '' entonces '' Es de Día. No es de "Día". Por Lo Tanto, no està soleado. Es importante evitar caer en el silogismo incorrecto. Si regiomontano de soja, soja mexicano '' entonces '' No regiomontano de soja. Por Lo Tanto, no soy mexicano. Es incorrecta Puesto Que podría Servicios hidrocálido mexicano y Seguir Siendo, de Ahí la Importancia de no confundir El condicional (si p ',' entonces '' q) con El bicondicional (p si y solo Si q). Otra Manera de presentar El modus tollens es: Un <------> B ¬A -------------¬B
Y aún Otra Manera es sin Través de la notación del Cálculo de secuentes:
(A, B <--->), ¬ ¬ l-B
En Lógica proposicional Su Representación seria l a Siguiente: [(P} q) & ¬ q] ¬ p}
Silogismos hipotéticos.
Los silogismos hipotéticos se compone de dos premisas condicionales. La primera es una condicional y la segunda tiene como antecedente al consecuente de la primera premisa y la conclusión se forma con el antecedente de la segunda premisa. 1ª premisa: P -----> Q 2ª premisa: Q ----> R Conclusión: P---> R. Claramente se percibe que la conclusión es una proposición condicional y que las dos premisas también son condicionales.
B: Modus Tolendo Ponens, Doble Negación y Adjunción El modus tollendo ponens
(latín: el modo que, al negar, afirma) o silogismo disyuntivo (también conocido como eliminación de la disyunción o eliminación del "o", abreviado ∨E), es, en lógica clásica, una forma de argumento válida que contiene una declaración disyuntiva en una de sus premisas, y en lógica proposicional, una regla de inferencia válida. El modus tollendo ponens o silogismo disyuntivo establece qu e, si se nos dice que al menos una de las dos proposiciones es verdadera; y también se nos dijo que no es la primera la que es verdadera; se puede inferir que debe ser la última la que es verdadera. Es decir, si P o Q es verdadero y P es falso, entonces Q es verdadero. El modus tollendo ponens puede escribirse formalmente como: Donde cada vez que aparezcan las instancias de " P V Q" y " ¬P " en las líneas de una demostración, se puede colocar "Q" en una línea posterior. Un ejemplo de modus tollendo ponens o silogismo disyuntivo es: O el incumplimiento es una violación de seguridad, o no está sujeto a multas. El incumplimiento no es una violación de seguridad.
Por lo tanto, no está sujeto a multas. La razón por la que esto le llama silogismo disyuntivo es que, primero, es un silogismo - un argumento en tres pasos -, y segundo, contiene una disyunción lógica, que es simplemente el "o" que conecta ambos términos. "P o Q" es precisamente una disyunción. Esta norma permite eliminar una disyunción - el "o" - de una demostración lógica. El silogismo disyuntivo está estrechamente relacionado al silogismo hipotético, que es también un tipo de silogismo y una regla de inferencia.
DOBLE NEGACION
En lógica proposicional, la doble negación es el teorema que afirma que "Si un enunciado es verdadero, entonces no es el caso de que la declaración no es cierta." Esto se expresa diciendo que una proposición A es lógicamente equivalente a no (no-A), o por la fórmula A≡~ (~A) donde el signo ≡ expresa equivalencia lógica y el signo ~ expresa negación. Al igual que la ley del tercero excluido, este principio es considerado como le y del pensamiento en la lógica clásica, pero la lógica intuicionista no lo permite. El principio fue declarado por Russell y Whitehead como teorema de la lógica proposicional en Principia Mathematica como:
"Este es el principio de la doble negación, es decir, una proposición es equivalente a la falsedad de su negación." El principium contradictiones de los lógicos modernos (especialmente Leibnitz y Kant) en la fórmula A es no no-A, difiere totalmente de significado y la aplicación desde la proposición aristotélica [es decir, la Ley de Contradicción: no (A y no-A), es decir ~(A y ~A), o no ((B es A) y (B es no-A))]. Esta última se refiere a la relación entre una afirmación y un juicio negativo. Según Aristóteles, una sentencia [B se juzga como un A] contradiciendo a la otra [B se juzga como un no-A]. La proposición posterior [A no es no-A] se refiere desde la relación entre el sujeto y el predicado en un solo juicio, el predicado contradice el tema. Aristóteles afirmaba que una sentencia es falsa cuando otra es verdadera, escritores posteriores [Leibniz y Kant] afirmaban que un juicio es en sí mismo y absolutamente falso, porque el predicado contradice al tema. Lo que los escritores posteriores desean es un principio desde el cual se puede saber si ciertas proposiciones son verdaderas en sí mismas. De la proposición aristotélica no es posible inferir inmediatamente la verdad o falsedad de una proposición particular, sino solamente la imposibilidad de creer tanto en la afirmación como en la negación, al mismo tiempo
ADJUNCION
En razonamiento formal, la Adjunción Lógica ( → ) entre dos proposiciones, a y b, es un conector lógico cuyo valor de la verdad resulta en verdadero sólo si la condición a es verdadero y la condición b es falsa, y es falso de cualquier otro caso. Existen diferentes contextos dónde se utiliza la implicación opuesta y puede expresarse:
E: Distributiva, Exportación, y Contraposición DISTRIBUTIVA.
la ley distributiva consiste en que si primero realizamos la operación de los paréntesis, y luego realizamos la operación con el número que esta por fuera, sería lo mismo que si tonáramos el número que esta por fuera y realizáramos la operación que esta por fuera y realizaríamos la operación con cada uno de los numero que está dentro del paréntesis su resultado va a ser el mismo En lógica proposicional tenemos que : P v (Q∧r) ↔ (pvq) ∧ (pvr) Separamos la disyunción con la primera proposición que en este caso sería p con q y luego p con r y luego lo conectamos con la conjunción EXPORTACION: es una regla de reemplazo válida de la lógica proposicional. La regla establece que se P implica Q entonces P implica P y Q La regla permite sentencias condicionales que tengan antecedentes conjuntivos que se sustituyen por declaraciones que tienen consecuentes condicionales y viceversa en pruebas lógicas. Es la regla de que: ((P∧Q) →R)↔(p→(Q→R)) CONTRAPOSICION: es una ley que dice que, para cada sentencia condicional, hay una equivalencia lógica entre la misma y su contraposición. En la contraposición de una sentencia, el antecedente y consecuente son invertidos y negados: por lo tanto, la contraposición de P →Q es, por lo tanto, ¬ Q→¬ P. Por ejemplo, la proposición "Todos los murciélagos son mamíferos" puede ser reescrita en su forma condicional "Si algo es murciélago, entonces es mamífero. Por último, la ley dice que la sentencia es idéntica a su contra positiva "Si algo no es mamífero, entonces no es murciélago.
Tarea 2: Problemas de aplicación I Solucionar los siguientes enunciados y demostrar la validez o no validez del argumento dado a través de:
Uso de las tablas de verdad. Uso de las reglas de inferencia.
Uso del simulador Truth Table.
A.
El programa Ser Pilo Paga está dirigido a los mejores bachilleres del país, con menores recursos económicos para que accedan a Instituciones de Educación Superior acreditadas en alta calidad. El secretario de educación en determinado municipio ha informado al alcalde como fue la premiación, de acuerdo a los resultados obtenidos en la prueba Saber 11, el primer lugar recibirá una beca completa 100% para ingresar en la universidad que desee, el segundo lugar recibirá una beca que cubre el 50% de los costos académicos en la universidad que desee y el tercer lugar recibirá un portátil última generación; para dicho fin el secretario hizo el siguiente razonamiento: “Si Gabriela ganó la beca del 100% entonces Juan recibió la beca del 50% o Daniela fue quien recibió la beca del 50%. Si Daniela fue quien recibió la beca del 50%, entonces Gabriela no obtuvo como premio la beca del 100%. Si Pedro fue quien ganó la beca del 50% entonces Daniela no fue quien recibió la beca del 50%. Gabriela se ganó la beca del 100%. Por lo tanto, Pedro no fue quien recibió la beca del 50% 1/ p→
(q ∨ r)
2/ r → ¬p
3/ s → ¬r 4/ p {[p→ (q ∨ r) ∧ (r → ¬p) ∧ (s → ¬r) →p]} →¬s
C.
El consejo directivo de una Universidad, preocup ado por el número de estudiantes sin matricular, realiza un análisis de este fenómeno y encu entra la siguiente situación. “Si se suben las matrículas, habrá retiros masivos. Si hay retiros masivos, entonces el rector debe replantear el aumento en las matrículas o la universidad se cerrará. Si la universidad se cierra, el rector será el responsable. El rector no replanteará el aumento en las matrículas y el rector no será despedido. En consecuencia, no subirán las matrículas.
Proposiciones.
P. suben las matriculas Q. habran retiros masivos R. el recor debe replantear el aumento en las matriculas S. la universidad se cerrara T. el rector será el responsable →
q)
Λ
(q
→
(r
V
s)
Λ
(s
→
t)
Λ
(¬r
Λ
¬s)]}
→
¬p
{[(p
{[(p
→
q)
Λ
(q
→ (r
V
s)
Λ
(s
→
t)
Λ (¬r
Λ ¬s)]}
→
¬p
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Uso de leyes de inferencia.
Hay contingencia, por lo tanto no se puede demostrar el argumento mediante reglas de inferencia.
Uso del simulador Truth Table
D.
La Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingenierías ECBTI de la UNAD realizó como evento disciplinar unas Olimpiadas Matemáticas Virtuales. El Líder Nacional de l a Escuela le ha informado al Decano Nacional de Escuela como fue la premiación, el primer lugar recibirá un computador portátil, el segundo lugar recibirá una Tablet y el tercer lugar recibirá una colección de libros de matemáticas Sc haun; para dicho fin el líder Nacional hizo el siguiente razonamiento: “Si Ximena se g anó el computador entonces Johan recibió la Tablet o Ricardo fue quien recibió la Tablet. Si Johan fue quien recibió la Tablet, entonces Ximena no obtuvo como premio el computador. Si Carlos fue quien recibió la Tablet
R/ 1p
→ (q ∨ r)
2 q → ¬p 3 s → ¬r
4p {[p
→ (q ∨ r)] ∧ (q → ¬p) ∧ (s → ¬r) ∧ p} → s
Tarea 3: Problemas de aplicación II
Expresar los siguientes enunciados en Lenguaje natural relacionada con la dinámica de la Universidad de su rol como estudiante y demostrar la validez del argumento dado a través de:
Uso de las tablas de verdad.
Uso de las reglas de inferencia.
Uso del simulador Truth Table.
(Solo selecciona uno de los 5 ejercicios e informa en el foro cual escogió, para que no sea escogido por otro integrante) B. {[ ⟶ ( ∨ )] ∧ ( ⟶ ~) ∧ ( ⟶ ~) ∧ } ⟶ ~s
Soy estudiante de agronomía, y veo distintas materias como : log matemática, biología, química orgánica, y catedra unadista, a diario le dé dedico más tiempo a unas que a otras y quise realizar un razonamiento sobre esto : si a lógica matemática le dedico 4 horas al dia entonces a biología le dedico dos horas o a química también le dedico dos horas. Si a biología le dedico dos horas entonces no le dedico 4 horas a lógica matemática, si a catedra le dedico 1 hora entonces a química no le dedico 2 horas, entonces a lógica le dedico 4 horas, por lo tanto no le dedico una hora a catedra 1 ⟶ ( ∨ ) 2 ( ⟶ ~) 3 ( ⟶ ~) 4p
D. {[ → ( ∨ )] ∧ ( →∼ ) ∧ ( →∼ ) ∧ ( ∧ )} →
En biología vimos la huella de carbono respecto a cuanto co2 producimos en nuestros trasportes diarios en los que mas uso a diario se en cuentran la bicicleta, la bicicleta eléctrica, a pie, en bus y en carro y para ver cual uso mas y que cantidad de co2 produsco con mi trasporte decidi realizar este razonamiento: si en bicicleta ando cinco veces al dia entonces en bicicleta eléctrica ando 4 veces o a pie también ando 4 veces al dia. Si en el carro me transporto dos veces al dia entonces no me transporto cuatro veces en bicicleta eléctrica, si en buseta me transporto 1 vez al dia entonces no ando 4 veces a pie, ando cinco veces en bicicleta si ando una una vez en buseta por lo tanto si ando 4 veces en bicicleta eléctrica 1. → ( ∨ )
2 ( →∼ ) 3 ( →∼ ) 4 ( ∧ )
p
q
r
s
t
{[ p → (q V r)] Λ (s → ¬q) Λ (t → ¬r) Λ (p Λ t)] → q
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expression is a tautology
C. La UNAD es una universidad abierta y a distancia cuyo objetivo es la autónoma y disciplina por parte de cada estudiante, la UN AD es una universidad que le permite a Luisa la opción de poder manejar su tiempo libre y lograr su objetivo de ser un profesional. “Martin es un estudiante de la UNAD entonces asiste a cada encuentro B-learnig y trabaja medio tiempo entonces no entrega sus trabajos oportunamente. Martin es un estudiante de la UNAD y entrega sus trabajos oportunamente. e ntonces entrega sus trabajos oportunamente y asiste a cada encuentro b-learning”. Proposiciones
p: Martin es un estudiante de la unad q: asiste a cada encuentro b- learning r: Trabaja medio tiempo s: Entrega sus trabajos oportunamente
c. [(
)
(
~ )
Uso de la truht table.
(
)]
(
)
Uso de leyes.
Este ejercicio no hay que aplicarle las leyes de inferencia. Tabla de verdad [(p
q)
˄
(r
¬s)
˄
(p
˄
s)]
(s
˄
q)
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Tarea 4:
Razonamiento Deductivo e Inductivo Identifique de los siguientes casos si el razonamiento es deductivo o inductivo, argumentado la respuesta con sus propias palabras . (Solo selecciona uno de los 5 casos e informa en el foro cual escogió, para que no sea escogido por otro integrante) A. Se me presenta la siguiente situación: “el restaurante al q ue siempre acudo, encuentro que uno y otro miércoles, aparentemente sin excepción el plato principal del almuerzo es arroz con pollo. Entonces decidí que no almorzaría ahí los miércoles, porque los miércoles sirven arroz con pollo y a mí no me gusta”. R/ es deductivo por que el al mirar dos o 3 dias seguidos que es la misma comida llega a la conclusión de que todos los miércoles sirven arroz con pollo
B. La fuerza de gravedad atrae a todos los objetos hacia el centro de la tierra con una fuerza y aceleración constantes. Al soltar un martillo de 5 kilogramos, desde una altura de 10 metros, tarda aproximadamente un segundo en llegar al suelo. Al soltar una pluma de 0,05 kilogramos desde una altura de 10 metros tarda aproximadamente un segundo en
llegar al suelo. Independientemente del peso, todos los objetos son atraídos con la misma fuerza y tardan el mismo tiempo en llegar al suelo. R/ inductivo por que ya lleva al cabo un estudio en el cual llega a la conclusión de que los dos caen al mismo tiempo desde la misma altura asi el estudio este mal
C.
Es inductivo por que mafalda ya tiene distintas ideas sobre el papel que cu mple una mujer y llega a esa conclusión
E. Se sabe que en Bogotá casi todos los fanáticos del fútbol, son h inchas de Millonarios, Santafé o Nacional, pero no todos. Cierto día me encuentro con una persona en Bogotá, amante del fútbol y prejuzgo, que probablemente, con base en los conocimientos anteriores, “esta persona es hincha de Nacional”.
El enunciado es inductivo por que en las premisas esta diciendo algo que al final esto podría resultar ser verdadero o falso.
Bibliografias.
http://www.elenciclopedista.com.ar/modus-ponendo-ponens/
http://andresbaravalle.blogspot.com.co/2010/06/modus-tollendo-tollens.html
https://es.scribd.com/doc/141996665/SILOGISMOS-HIPOTETICOS-Y-DISYUNTIVOSdocx
