9-FÍSICA 2DO (1 - 16)

CORPORACIÓN EDUCATIVA

School´s

l ar

Segundo Primero de Secundaria g

ni

et n ói c a c u d e a ci t n ét u a

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a u n o c , s er e dí d

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Física F

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n

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución solu ción de uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad.

En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institución Mentor School’s propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.

Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da también con el esfuerzo de los docentes a través de Guías Didácticas que permitirán un mejor nivel académico y lograr alcanzar la práctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

“Formar líderes con una auténtica educación integral”

Capítulo 1.

Dimensiones I ...................................................................

9

Capítulo 2.

Dimensiones II ..................................................................

15

Capítulo 3.

Vectores I ............................................................................

21

Capítulo 4.

Vectores II ..........................................................................

28

Capítulo 5.

Movimiento Mecánico ......................................................

35

Capítulo 6.

Movimiento Rectilíneo Uniforme I ................................

42

Capítulo 7.

Movimiento Rectilíneo Uniforme II ...............................

49

Capítulo 8.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado I ......

56

Capítulo 9.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado II .....

63

Capítulo 10.

Movimiento Vertical de Caída Libre ..............................

69

Capítulo 11.

Estática I .............................................................................

79

Capítulo 12.

Estática II ............................................................................

87

Capítulo 13.

Dinámica ............................................................................

95

Capítulo 14.

Trabajo Mecánico .............................................................. 103

Capítulo 15.

Energía ................................................................................

Capítulo 16.

Electrostática ..................................................................... 120

112

Física - 2do Sec.

Capítulo

1

Dimensiones I

OBJETIVOS: • Conocer la relación entre las magnitudes derivadas con las magnitudes fundamentales. • Conocer las fórmulas dimensionales de algunas magnitudes derivadas.

DEFINICIÓN:

MAGNITUDES FUNDAMENTALES MAGNITUD FUNDAMENTAL

El estudio de las distintas formas que adoptan las magnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un conjunto de leyes, reglas y propiedades en un campo propiamente matemático. Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos de lo que en adelante llamaremos dimensiones, los mismos que aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales. Por ser este texto de un nivel básico de Física, diremos como ejemplo que la dimensión del área es L2, aunque esto solo sea convencional, para minimizar la complejidad del análisis.

UNIDAD

Relacionar una magnitud fìsica con otras elegidas como fundamentales. 2do. Establecer el grado de verdad de una fórmula. 3ro. Elabo rar fórmul as empír icas para fenómenos de simple desarrollo.

SÍMBOLO

[ ] DIMENSIÓN

MASA

KILOGRAMO

Kg

M

LONGITUD

METRO

m

L

TIEMPO

SEGUNDO

s

T

TEMPERATURA TERMODINÁMICA

KELVIN

K

INTENSIDAD DE CORRIENTE

AMPERE

I

I

CANTIDAD DE SUSTANCIA

MOL

mol

N

INTENSIDAD LUMINOSA

CANDELA

Cd

J

IMPORTANTE:

Un análisis correcto de las unidades y/o dimensiones de las magnitudes físicas nos permitirá:

1ro.

[ a ] : Se lee dimensión de a

FORMULAS DIMENSIONALES Designamos con este nombre a aquellas relaciones de igualdad mediante las cuales una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales de un modo general. Así, si x es una magnitud derivada, se establece que es la fórmula dimensional de x, tal que: [ x ] = L Mb T c θd I e J f N g a

Formando líderes con una auténtica educación integral

9

Física - 2do Sec.

Resolviendo en clase 1)

Determine la dimensión de las siguientes magnitudes físicas derivadas: [velocidad] =

4)

distancia  tiempo 

Determine la dimensión de las siguientes magnitudes físicas derivadas: [área] = [base . altura] Rpta.: _______

Rpta.: _______ 2)

De las siguientes proposiciones, indicar verdadero (V) o falso (F): I. [Densidad] = ML-3 II. [Presión] = ML-1T-3 III. [Caudal] = L3 T-1

5)

Determine la dimensión de Q sabiendo que: Q = (Densida d) (Velocid ad)Sec60° Rpta.: _______

Rpta.: _______ 3)

Determine la dimensión de las siguientes magnitudes físicas derivadas: [fuerza] = [masa . aceleración] La unidad de fuerza es: 1newton=1 N=1kg.m2.s-2

6)

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K. 4m ⋅ v K =

Donde:

F⋅ t

m = masa ; F = Fuerza ;

Rpta.: _______

v : velocidad t : tiempo Rpta.: _______

Para Reforzar 1)

Determine la dimensión de las siguientes magnitudes físicas derivadas:

4)

 velocidad   tiempo 

Determine la dimensión de las siguientes magnitudes físicas derivadas: [volumen] = [base . altura . ancho]

[Aceleración] =  

Rpta.: _______

Rpta.: _______ 2)

5)

Indique la relación correcta: I. II. III. IV.

[Velocidad] [Densidad] [Aceleración] [Potencia]

K

a. ML b. LT-3 c. ML2T-3 d. LT-2 -3

Determine la dimensión de las siguientes magnitudes físicas derivadas:  masa   

[densidad] =  volumen  Rpta.: _______

10

=

(Fu erza) (Dista ncia)Sec60° Rpta.: _______

6) 3)

Determine la dimensión de K sabiendo que:

Determine la dimensión de B en la siguiente fórmula física: mv B F ⋅ A Donde: m = masa F = fuerza v = velocidad A = área =

Rpta.: _______


Física - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Determinar la dimensión de K, si: K =

a) LT–1 d) LT–4

1

2(aceleración) tiempo

b) LT–2

Determine la dimensión de S sabiendo que: S = (Potencial)(Aceleración) a) ML4T–3 d) ML4T–5

c) LT–3 e) LT–5

b) ML3T–3

c) ML2T–3 e) ML3T–5

Resolución: Resolución:

Clave: 2

Determine la dimensión de A en la siguiente fórmula física: F⋅ t A =

Donde: a) L–2 d) ML–2T

Clave: 2

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K.

m⋅v

F = fuerza t = tiempo b) T0

K =

m = masa V = velocidad c) T2 e) ML–2

Resolución:

Donde:

a) L2 d) ML–3

4m ⋅ v F⋅ t

m = masa ; v : velocidad F = Fuerza ; t : tiempo b) T3

c) LT–3 e) M0

Resolución:

Clave:


Clave: 11

Física - 2do Sec. 3

Determine la dimensión de C en la siguiente fórmula física: mv Sec60 C F⋅h Donde: m = masa F = fuerza v = velocidad h = altura

3

K

=

a) ML–2 d) ML–2T

b) T0

Determine la dimensión de K sabiendo que: =

(Fu erza) (Dista ncia)Sec60°

a) ML2T–2 d) ML–1 T–2

b) ML3T–2

c) ML T2 e) ML2T–1

c) LT2 e) MT2 Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Determine la dimensión de R sabiendo que: R =

a) M0 d) T

(Pote nc ia) (tie mpo) (pr e sión) (V olum e n)

b) M

c) L e) L2

Resolución:

4

Determine la dimensión de R sabiendo que: R = (Fuerza)(Densidad) a) M2L–1T–2 c) M2L T–2 d) ML–2T–3

b) M2L–2T–2 e) M2L–1T–3

Resolución:

Clave: 12

Clave:

Clave:



Determine la dimensión de A en la siguiente fórmula física: A =

Donde:

F⋅ t m⋅v

F = fuerza t = tiempo

a) L–2 d) ML–2 T

5

b) T0

Determine la dimensión de B en la siguiente fórmula física: mv B=

F ⋅ A

m = masa V = velocidad

Donde:

m = masa v = velocidad

c) T2 e) ML–2

a) TL–2 d) L2 T

b) T0

Resolución:

Halle la dimensión de "R": R =

a) MTL-1 d) MTL+2

c) T2 e) T

Resolución:

Clave:

6

F = fuerza A = área

Clave:

6

Hallar las dimensiones de "F":

Masa.Volumen Velocidad

b) MTL+3

F=

c) MT e) MTL-4

Resolución:

a) TL–2 d) L2 T

Velocidad Aceleración

b) T0

c) T2 e) T

Resolución:

Clave:


Clave: 13


Hallar "M": M = Trabajo x Velocidad a) ML3T3 d) ML2T-2

b) ML3T-3

7

c) MLT-1 e) MLT-2

Hallar "M":

a) TL–2 d) L2 T

 Velocidad  M=  Aceleración  b) T1

Sen30º

c) T–1/2 e) T


Clave: 8

Hallar "S":

8

E = (Masa) a) -1 d) 1

Clave:

b) -2

Hallar "x": (Volumen)x

S

c) x e) 0

Resolución:

a) 1x d) 1

b) x

c) 2x e) 2

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 14


Física - 2do Sec.

Capítulo

2

Dimensiones II

OBJETIVOS: • Conocer las reglas importantes de las ecuaciones dimensionales. • Aplicar el principio de homogeneidad para reconocer si una fórmula física es dimensionalmente homogénea.

ECUACIONES DIMENSIONALES Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes físicas son conocidas y otras, o no lo son, o tienen dimensiones desconocidas. Veamos los siguientes ejemplos: a) L3M[X] – L3[Y] = L3MT–1 Incógnitas: [X], [Y] (Magnitudes) b) MS . L3 . T-2 = M4 . Lr . T2r-u Incógnitas: r, s, u (Números) Reglas Importantes:

1º) L2 L2 +

+

L2 = L2

L T−2 − L T−2 = L T−2 Las magnitudes físicas así como sus unidades no cumplen con las leyes de adición o sustracción, pero sí con las demás operaciones aritméticas.

2º)  3  1 ; [ 2p rad ] = 1 ; =

[ S en 45°] = 1 ; [log 19 ] = 1 Todos los números en sus diferentes formas son cantidades adimensionales, y su fórmula dimensional es la unidad.

CANTIDAD ADIMENSIONAL: Es aquella que carece de dimensiones, es decir el exponente de las magnitudes fundamentales en la fórmula dimensional es cero (0). De este modo se tiene que la fórmula dimensional de una cantidad adimensional es:

Entre ellas tenemos: los números reales, los ángulos, las funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales,... etc.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (FOÜRIER) “Toda ecuación será dimensionalmente correcta si los términos que componen una adición o sustracción tienen las mismas dimensiones”. Dada la fórmula física: A+B=C–D Debe cumplirse que los términos de cada una de estas operaciones deben tener las mismas dimensiones, para que sea dimensionalmente homogénea. [A] + [B] = [C] – [D] [A] = [B] = [C] = [D] Cuando existan expresiones con magnitudes físicas en los exponentes, deberá procederse con sumo cuidado, recordando que el exponente es siempre un número, por consiguiente la expresión exponencial deberá ser adimensional en su totalidad. Ejemplo: Sea la siguiente una expresión dimensionalmente correcta: P=

x⋅y mv d z 2

x⋅y e s un exp on e nt e z

Por consiguiente un número ⇒  x ⋅ y  = 1  z 

[Cantidad adimensional] = 1


15

Física - 2do Sec.


En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de A . B

E

Donde:

=

Av

2

+

4)

En la siguiente fórmula, determinar la dimensión de K. 3 K =

BP

E = Energía ; v = Velocidad P = Presión

Donde:

x 2 (y − h) (y + 3x)

h = distancia Rpta.: ______

Rpta.: _______ 2)

¿Cuál debe ser la dimensión de A/B para que la expresión sea dimensionalmente homogénea? E=

Donde:

1 m A2 2

+

C

E = Energía ; m = masa g = aceleración

6)

3

=

B

n

+

5An

Rpta.: ______

Se tiene la siguiente fórmula dimensionalmente homogénea. V

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de A. K

Si la siguiente fórmula física, x = A + Bt + 0,5ct2 es dimensionalmente homogénea. Determinar la dimensión de A B , si x = distancia t = tiempo

mg B

Rpta.: _______ 3)

5)

=

h+A B

+

C 3 t

Donde:

V = volumen ; h = altura t = tiempo Determinar la dimensión de A .

2

Donde: K = longitud

B C Rpta.: ______

Rpta.: _______

Para Reforzar 1)

En la siguiente fórmula física determinar la dimensión de A . B P

Donde:

=

mA

+

4)

Determine las dimensiones de A.B en la fórmula dimensionalmente correcta. A =

vB

P = Potencia ; m = masa v = Velocidad

Donde:

F ⋅ d S e nθ m(B 2 + h 2)

F = Fuerza ; h = Altura d = distancia ; m = masa

Rpta.: _______ 2)

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de B .

Rpta.: ______ 5)

A

W = Ad 2

Donde:

+

Ba

W = trabajo ; d = distancia a = aceleración

Rpta.: ______

Rpta.: _______ 3)

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K. Donde:

K

=

nat

2

+

B

n

a = aceleración ; t = tiempo Rpta.: _______

16

En la siguiente fórmula física, determinar las dimensiones de A y B. 2 a = Av + Bt Donde: a = aceleración ; v = velocidad t = tiempo

6)

Sabiendo que la siguiente fórmula física es dimensionalmente correcta. A (B 2 − a e) Donde:

t

=

m

m = masa ; a = aceleración e = distancia ; t = tiempo Determinar los dimensiones de B . A

Rpta.: ______



Para el profesor: 1

Para el alumno:

Donde: A = distancia ; f = frecuencia

En la siguiente ecuación determinar la dimensión de K. 1 Cos(2p kt) = 2 Donde: t = tiempo

a) LT-1 d) LT

a) 0 d) T-1

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K.

1

K = A ω Cos(ω f + p)

b) LT-2

c) L e) T0

Resolución:

b) 1

c) T e) T-2

Resolución:

Clave: 2

En En la siguiente fórmula física determinar la dimensión de P. a P−Q =

H

+

Clave: 2

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K. v =

F

Donde: F = fuerza ; a = aceleración

Donde:

a) M d) M2

a) L2 d) L2T-2

b) M-1

c) M-2 e) M3

Resolución:

2 K − A

v = velocidad b) LT-2

c) L3T-2 e) LT-1

Resolución:

Clave:


Clave: 17


En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K . V 2 R

Donde: a) ML2T-1 d) ML-2T-1

adk

+

mR

=

m

3

R

3 3 A K = V ⋅ R − K m

a = aceleración ; m = masa d = distancia ; V = volumen b) ML-1T-2

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K . R Donde:

c) ML-2T2 e) ML2T-2

a) M-2L3 d) M-2L-1

Resolución:

A = Área ; m = masa v = volumen b) M-2L2

c) M-2L e) M2L-2

Resolución:

Clave:

4

En la siguiente fórmula física determinar la dimensión de K. 2 A Kt + 2 = Sen30° K R

Donde: a) T-2 d) L2

A = Área ; t = tiempo b) T2

c) L e) L-2

Clave:

4

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de AB. V= At

Donde: a) ML2T-1 d) MLT-1

+

d B

V = volumen ; d = densidad t = tiempo b) ML T-1 3

c) ML-3T-1 e) ML-2T-1


Clave: 18

Clave:



En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de A . B . C

5

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de x . y

y = A S e n(2p B t + C)

Donde: a) LT-1 d) T-1

y = distancia ; t = tiempo b) L-1T

Donde:

c) LT-2 e) L

a) MLT3 d) ML3T-2

Resolución:

E

=

Ax

+

B Se n(B y)

A = Fuerza ; E = Energía b) ML3T3

c) LT e) MLT-2

Resolución:

Clave:

6

En la siguiente ecuación, determinar la dimensión de A. 2  Sec60° 

Clave:

6

d K − mK  R =   B(F K 2 − A) 

Donde: a) LT d) L-2T

d = distancia ; F = fuerza m = masa b) L2T-2

c) LT-2 e) LT-1

Resolución:

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de KR. 2 K At m

Donde: a) MLT d) ML2T2

+

R

= Sec60°

m = masa ; t = tiempo A =Área b) MLT2

c) ML2 T-1 e) ML-1T

Resolución:

Clave:


Clave: 19


En la siguiente fórmula física determinar la dimensión de AB. v = A m + B a Donde: v = velocidad ; a = aceleración m = masa a) M-1L d) M-1L2

b) ML-1

7

En la siguiente fórmula física determinar la dimensión de N. N

Donde:

c) ML-2 e) ML

=

Wt m

2 +

6n 2

W = trabajo ; m = masa t = tiempo

a) L0 d) L2

b) L-1

c) L e) L-3


Clave: 8

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de xy. F = Ax Sen (yt + C) Donde: F = Fuerza t = tiempo A = Área a) ML-1T-3 d) MLT

b) MLT3

c) LT e) ML3T-2

Resolución:

Clave: 8

En la siguiente fórmula física, determine la dimensión de x x = mwAsen(wt)

Donde:

m = masa ; A =distancia t = tiempo

a) ML d) MT

b) MLT-1

c) MLT-2 e) MLT

Resolución:

Clave:

Clave:



Física - 2do Sec.

Capítulo

3

Vectores I

OBJETIVOS: • Conocer los elementos y la expresión matemática de un vector. • Aprender a gracar un vector y calcular su módulo.

¿QUÉ ES UN VECTOR? Es un elemento matemático que nos permite representar a un magnitud vectorial. Debemos recordar que una magnitud vectorial presenta: módulo y dirección. Los vectores se representan grácamente como un segmento de recta orientado (echa).

i t u d n g M a o l o d u ó M

Línea de Acción

A

IMPORTANTE:

A : Se lee Vector A

Recta de referencia

Dirección

IMPORTANTE Los vectores pueden ser desplazados conservando su módulo y su dirección; a lo largo de su línea de acción ó de una recta paralela a ella. Si a un vector lo colocamos en el plano cartesiano, se puede expresar en función de sus coordenadas.

Y

_

5µ A 37°

A

X

Hacemos coincidir el origen del vector con el origen de coordenadas.


21

Física - 2do Sec. Notamos que presenta una componente en el eje “x”, y también una componente en el eje «y»; lo cual puede ser expresado de la siguiente manera. 

A

=

Donde :

(A x , A y)

A x Ay



= =

Componente del vector A en el eje x  Componente del vector A en el eje y

Para el ejemplo dado será: A

=

(4 , 3)

Ax Ay

=

=

IMPORTANTE:

Para determinar El Módulo del vector A se procederá de la siguiente forma |A| = A 2x + A 2y |A| 25 = 5u

4u 3u

|A| : Se lee módulo o magnitud del vector A. |A| = A

VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS Son aquellos vectores cuyo módulo es la unidad de medida y se encuentran en los ejes coordenados cartesianos.

Y

Y

1

1

1

1

–i

X

i

: vector unitario en el eje x.  j : vector unitario en el eje y. i

j –j

∧

∧

⇒ | i |=| j |= 1

Ejemplo

Además:

X

= (+1, 0) ⇒ - i = (-1, 0) j = (0, +1) ⇒ - j = (0, -1) i



Exprese en función de los vectores unitarios i y j el vector A=( 4; 3 )

A = 4 i + 3 j componente en y componente en x

22


Física - 2do Sec.

Resolviendo en clase Indique las componentes de los vectores mostrados. 1u

1)

4)

Determine los componentes del vector mostrado.

1u

A

A

1µ

B

1µ

Los vectores A, B y C expresarlos en función de los vectores unitarios y î y ˆj .

2)

5)

Expresar en función de los vectores unitarios los siguientes vectores.

B

A

E F



C = ( 4; 2 )

1u 1u

3)

Los vectores mostrados expresarlo en función de vectores unitarios î y ˆj .

6)

Expresar en función de los vectores unitarios î y ˆj los siguientes vectores: 

C = ( 6; 8)

A



B

D = (7; − 2)

Para Reforzar 1)

Determine las componentes del vector mostrado.

4)

Determine las componentes del vector mostrado. Y 4

B

3 2

1u

1

1u

2)

0 1

 Graque el siguiente vector D=( −3;5 )

5)

2

3

X

Determine el vector mostrado en función de vectores unitarios î y ˆj

1u 1u

1u 1u

3)

Expresar los vectores en función de î y ˆj 

E = (1; 3 )

6)

→

Graque el vector C = 2iˆ − 10ˆj



C

F = ( −4; 5 )

D


23


Para el profesor: 1

Para el alumno:

Expresar los siguientes vectores en función de los vectores unitarios î y ˆj

1

Graque y determine el módulo de los vectores:



A=( 3; 4 )  B=( −5;12)



R=( −3;4 ) 

S=( 6;− 2 ) Resolución:

Resolución:

Clave: 2

Graque y determine el módulo de los vectores:  C = ( 6; − 8)  D = ( −4; 4 )

Resolución:

2

Graque y determine el módulo de los vectores:  R = −4î+3jˆ  S = +7iˆ − 24ˆj Resolución:

Clave: 24

Clave:

Clave:



Graque y determine el módulo de los vectores:  P = ( −1; 4 )  Q = 6iˆ − 6jˆ

3

 Graque el vector A = ( 6; − 8 ) y determine su

módulo. Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Graque y determinar el módulo del vector:  G = ( −2; 3 )

Clave:

4

Resolución:

Graque y determinar el módulo del vector:  F = ( −4; 6 ) Resolución:

Clave:


Clave: 25


Graque y determine el módulo del vector:  H = −5iˆ + 12jˆ

5

Resolución:

→

El vector s = ( 8; − 3 ) expresarlo en función de vectores î y ˆj

Resolución:

Clave:

6


Clave:

6

Determine los componentes del vector mostrado. Y

Y

8µ 45º

5µ 37º

X

X

Resolución:

Resolución:

Clave: 26

Clave:




7


Y

Y

25 µ 106º

X

X

323º

Resolución:

20 µ

Resolución:

Clave: 8

Exprese el vector mostrado en función de los vectores î y ˆj

Clave: 8

Determine los componentes rectangulares del vector mostrado. Y

Y 233º

X

X

344º 25 µ

40 µ Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor


27

Física - 2do Sec.

Capítulo

4

Vectores II

OBJETIVOS: • Conocer las operaciones que se pueden realizar con los vectores (adición, sustracción) • Determinar la resultante máxima y mínima de dos vectores.

OPERACIONES CON VECTORES ADICIÓN DE VECTORES Cuando dos o más vectores están representados mediante pares ordenados, para determinar el vector resultante se suman los componentes rectangulares en los ejes x e y en forma independiente.





Ejemplo:

Sabiendo que: A

Resolución:

Ordenando los vectores

=

(5 ; 6) y B = (4; 6) ;



hallar el módulo de: A



+

B



A = (5; 6)  + B = (4; 6)    A + B = (5 + 4; 6 + 6)  R = (9;12)

En módulo de la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: 

|R| = 9 2

+

(12)2

225

=



Luego: |R| 15 u =

SUSTRACCIÓN DE VECTORES Cuando dos vectores están representados mediante pares ordenados, para determinar el vector diferencia se restan las componentes rectangulares de los vectores minuendo y sustraendo. 







Ejemplo:

Sabiendo que A (13; 11) y B (7; 3); hallar el módulo de: A − B

Resolución:

Ordenando los vectores minuendo y sustraendo:

=

=



A = (13; 11)  − B = (7; 3)    A − B = (13 − 7; 11 − 3)  D = (6; 8)

El módulo del vector diferencia se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: 

|D| = 6 2 

+

82

=

100

Luego: |D| 10 u =

28


Física - 2do Sec.

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR    Sea A la cantidad y K la cantidad escalar, entonces K A es un vector paralelo al A , donde la dirección depende del signo de K. Debo advertir que K es un número real. 

2 A

- 2 A A



– Si, K es positivo, los vectores A y K A son paralelos de igual dirección.   – Si, K es negativo, los vectores A y K A son paralelos de dirección opuestos.

- A



El vector A también se puede expresar como un par ordenado  A = (x ; y)   Entonces: K A = K(x; y) ; K A = (Kx; Ky) De la última expresión podemos deducir que: si el vector se multiplica por un escalar; entonces sus coordenadas también se multiplican por esta cantidad escalar. Primer ejemplo:

  Si, A = (–6 ; 9). Hallar las coordenadas del vector: 2 A

Resolución:

Producto de un escalar por un vector:

3

2  2 2 2 A = (−6; 9) =  ( −6); (9) 3 3 3  3

 Luego: 2 A = (−4; 6) 3

Segundo Ejemplo:

   1 Si A (4; 6) y B (2; 1) . Hallar: A 3B

Resolución:

Producto de un escalar por un vector

=

=

2

1  1 A = (4; 6) = (2; 3) 2 2 

3B

=

3(2; 1) = (6; 3)

+

1 A 2 1 A 2



+

3B = (2 + 6; 3 + 3) 

+

3B

=

82

+

62

=

=

(8 ; 6)

10 u

CASOS PARTICULARES A. Resultante Máxima

La resultante de dos vectores es máxima, cuando forman entre sí un ángulo de cero grados. B

A

Rmax = A + B

B. Resultante mínima

La resultante de dos vectores es mínima, cuando forman entre sí un ángulo de 180º. B

A

Rmin = A – B

Ejemplo:

Si el módulo de la resultante máxima de dos vectores es 28 y la mínima es 4. Determine el módulo de ellos.

Resolución:

Sabemos que:

A + B = 28 A– B=4 Resolviendo las ecuaciones tenemos: A = 16 y B = 12


29

Física - 2do Sec.


 



Se tienen los vectores A, B y C A B

4)

A B

|A| = 4 |B| = 3

C

    Determine el módulo de: R 2 ( A B ) 3 ( C )

    =

+

=

+

Del conjunto de vectores A

5)

|B| = 4

C

|C| = 3



  Determine el módulo de R = 2A + 3B − C

3)



6)

|C| = 5







4

 





Determine el módulo de R = 2 A − 3 B − 2 C 3



A = 2iˆ − 6ˆj  B = 5iˆ − 15ˆj  C = 18iˆ − 3jˆ

|B| = 4 C



Dados los vectores

|A| = 6

B

5

Determine el vector M : M = 2A + 3B − C

Dados los vectores A

+



A = 3i+4j  = 2i − 6j B  C = 5i+2j 

+

3

Dados los vectores

|A| = 8

B



|A| = 30 |B| = 15 |C| = 50

C

|C| = 2

Determine el módulo de R A B C 2)

 

Se tienen los vectores A, B y C











Determine el vector N : N = A + 3 B − 2 C 2 5 3

5

Para Reforzar 1)

 



Se tienen los vectores A, B y C A

4)

A

|A| = 10

B

|C| = 12

 





  

C

5)

|A| = 4 |B| = 8 |C| = 2





 




C

5

Dados los vectores 













2

5

3 




A = 15iˆ − 30jˆ  B = 6iˆ + 12jˆ  C = 7iˆ − 21jˆ

|A| = 8 |B| = 10 |C| = 12



3

6)

Determine el módulo de R = 1  A − 1 B − 1 C 

30



2 Determine el vector R : R = 3A + 2B − C



Determine el módulo de R = 4A − 2B + 3C

A B



A = 3iˆ − 4ˆj  B = 9iˆ + 12jˆ C = 15iˆ + 36ˆj 

3)

 

3

Se tienen los vectores A, B, C B

|C| = 6

Determine el módulo de: R = 2 ( A + B ) − 4 (B + 2C )

Determine el módulo de R = A − B + 2C

A

|B| = 12

C





|A| = 15

B

|B| = 4 C

2)

 












Determine el vector P : P = 2A + 5B − C 15 6 7



Para el profesor: 1

Para el alumno:

Dados los vectores

1

 ˆ ˆ A = 3i+4j  B = −8î+10jˆ 

   

a) d)

5 î -14 ˆj 5 î +14 ˆj

b) 6 î -10 ˆj

+



A = 2iˆ − 5jˆ  ˆ ˆ B = − 3i+7j 

Determine el vector C para que R A B C sea cero. =

Dados los vectores    

Determine el vector C para que R A B C ˆ ˆ sea 4i+3j

+

=

c)5 î +10 ˆj e) 6 î + 4 ˆj

a) d)

Resolución:

5 î +2 ˆj 5 î + ˆj

b) 6 î +3 ˆj

Resolución:

 

A

Clave:



 


2

A

  Determine el módulo de: R = 2 ( A + B ) + 2 C 3 5

b) 2

c) 3 e) 5

Resolución:

|B| = x +3

C

|C| = 5



|A| = x +4

B

|B| = 3 C




|A| = 6

B

a) 1 d) 4

+

c) 6 î +2 ˆj e) 6 î + ˆj

Clave: 2

+

|C| = 6 – x

    A B C Determine el módulo de: R = − +

2

a) 1 d) 4

b) 2

3

6

c) 3 e) 5

Resolución:

Clave:


Clave: 31


Dado el conjunto de vectores A

3


A = î+3jˆ  B = − 27iˆ − 9jˆ  C = 10iˆ −35ˆj R

|A| = 2 x

B

|B| = 3 x – 1

C

|C| = 5 x – 3

Determine el vector

Determine el valor de x para que el módulo de  R sea 14.

  5 2 R = 4A − B − C 9 5

   

R = A + B+C

a) 15î 3ˆj d) 5iˆ − 3ˆj

b) 5iˆ 3ˆj

+

a) 1 d) 4

b) 2

c) 3 e) 5

+

c) 10î 5ˆj e) 15iˆ 10jˆ + +

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Dados los vectores

Clave:

4

 = 3iˆ − 4ˆj A  B = 9iˆ + 12jˆ 


= 3iˆ − 9ˆj A  B = 6iˆ − 12jˆ  C = 18î + 39jˆ

C = 15iˆ + 36ˆj 



Determine el vector R 

1   2     C − A ) + C − ( A − 2B )  3( 3 a) 26iˆ + 34jˆ b) 24iˆ + 56jˆ c) 24 ˆj ˆ ˆ d) 24i + 24j e) 36iˆ + 24jˆ R=

1    1    1    C − A + B) + ( A − B + C ) + (B − C + A ) 3( 3 3

a) 6î 9jˆ d) 12iˆ 9j +

+

b) 9iˆ 6ˆj +

c) 12iˆ e) 3iˆ 6 j +

Resolución:

Resolución:

Clave: 32

R=

Clave:




5

A = ( a + 3 ) î + i ( b − 2) ˆj  B = ( 5 − 2a )î + ( b + 7 ) ˆj  C = ( 2 + a ) î + ( 5 − 2b ) ˆj

A = ( 2 − a ) î+( a − 2 ) ˆj  B = ( 5 + a ) î + (7 − a ) ˆj 



  

Determine el vector C para R A B C que sea 12î 9ˆj

 Determine el vector R    

=

+

+

+

R = A + B+C

a) 10 − 10jˆ d) 5î 10ˆj


b) 10jˆ 5ˆj

a) d)

c) 5iˆ ˆj e) 10iˆ 10jˆ

+

+

+

5iˆ + 3jˆ 5iˆ + 4ˆj

b) 3iˆ 4ˆj

c) 3iˆ ˆj e) 12iˆ 9ˆj

+

+

+

+


Clave:

6

 



A, B y C Se tienen los vectores: 

A = ( 4 − 2a )î + ( 5 − a ) ˆj  B = ( a − 3 ) î + ( a − 2 ) ˆj  C = ( 3a − 2)î + ( 4a − 2 )ˆj    Determine el valor de a, para que R = A + B + C sea 7iˆ + 17jˆ

a) 2 d) 5

b) 3

Clave:

6

c) 4 e) 6


ˆ +5 ) ˆj A = 3 x + 2 ) i+ ( x  ( B = ( 7 x − 6 ) î+( 5 x − 3 ) ˆj



 





Determine R A B , si A B =

a) d)

8iˆ + 7ˆj 6iˆ − 3ˆj

+

=

b) 5iˆ 7ˆj +

c) 16iˆ 14jˆ e) 2iˆ 5ˆj +

+


Clave:


Clave: 33

Física - 2do Sec.   

7

Se tienen los vectores A, B y C A

7


A = 2iˆ − 3jˆ  = 4iˆ − 5jˆ B  C = 6iˆ − 7jˆ

|A| = 12

B

|B| = 4

C



|C| = 8







Determine el vector R



Determine el módulo de R = 2 A − 3 B − C 3 2 4 a) 6 d) 12

b) 8



R =

c) 10 e) 16

 

 

 

( A − B ) (B − C ) (C − A ) +

2

a) 5iˆ − 3jˆ d) 0

2

+

2

b) 3iˆ 2jˆ

c) 4iˆ − 3ˆj e) 6iˆ − 8ˆj

+

Resolución:

Resolución:

Clave: 8


8

A = ( 5 − a )î+(7 − b ) ˆj  B = ( 2a − 3 ) î+( 4 − b ) ˆj  C = ( 2a − a )î+( 2b − 2) ˆj 



+

+

b) 5iˆ 7ˆj +

+

   

Determine el vector C para que R A B C sea 10iˆ 5ˆj

    =


A = ( 5 − a )î+(7 + b ) ˆj  B = ( 3 + a ) î+( −3 − b ) ˆj

=

Determine el vector R R A B C a) 4iˆ 4jˆ d) 2iˆ 3ˆj

Clave:

+

+

+

+

c) 4iˆ 9ˆj e) 2iˆ − 11jˆ +

Resolución:

a) d)

2iˆ + ˆj 3iˆ + ˆj

b) 2iˆ 5ˆj +

c) 5iˆ 3ˆj e) 5î 10ˆj + +

Resolución:

Clave:

Clave:



Física - 2do Sec.

Capítulo

5

Movimiento Mecánico

OBJETIVOS: a

Describir geométricamente el Movimiento Mecánico.

a

Conocer los elementos del movimiento mecánico.

MOVIMIENTO MECÁNICO

Es el continuo cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto de un sistema de referencia en el tiempo. Veamos el movimiento del balón. Y (m)

A r A

rB

observador

El observador nota que el B balón cambia continuamente r A = vector posición A de posición. rB= vector posición B Entonces el balón X (m) experimenta "Movimiento Mecánico".

El movimiento mecánico es relativo.

SISTEMA DE REFERENCIA Para describir y analizar el movimiento mecánico, es necesario asociar al observador un sistema de coordenadas cartesianas y un reloj (tiempo). A este conjunto se le denomina sistema de referencia. Y (m)

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO: A. Móvil Es el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistema de referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, este está en reposo relativo. B. Trayectoria Es aquella línea continua que describe un móvil respecto de un sistema de referencia. Es decir, la trayectoria es relativa. Si la trayectoria es una línea curva, el movimiento se llama curvilíneo y si es una recta, rectilíneo. c. Recorrido(e) Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B). d. Desplazamiento (d ) →

Es aquella magnitud vectorial que se dene como el

cambio de posición que experimenta un cuerpo. Se consigue uniendo la posición inicial con la posición nal.

Es independiente de la trayectoria que sigue el móvil.

E. Distancia(d) Es aquella magnitud escalar que se dene como el

módulo del vector desplazamiento.

reloj

r = vector posición

observador

X (m)

Y (m)

e

r rido r e c

=

o

B

A Trayectoria

n to s p la za m i e

reloj

Para ubicar al cuerpo que estamos analizando trazamos desde el origen de coordenadas un vector, hasta la ubicación del cuerpo, a dicho vector se le denomina “vector posición”. Para una mejor descripción del movimiento mecánico se hace uso de ciertos elementos: Formando líderes con una auténtica educación integral

d = rB−r A d = d = distancia

d= d e

r A

observador

rB

Módulo del desplazamiento

X (m)

35

Física - 2do Sec.

Lectura ¡COGER CON LA MANO UNA BALA DISPARADA!

Durante la primera guerra mundial, según información de prensa, a un aviador francés le ocurrió un caso extraordinario. Cuando iba volando a dos kilómetros de altura, este aviador se dió cuenta de que junto a su cara se movía una cosa pequeña. Pensó que sería algún insecto, y, haciendo un ágil movimiento con la mano, lo cogió. Cual sería su sorpresa cuando comprendió, que lo que acababa de cazar era...... ¡una bala de fusil alemana!. ¿Verdad que esto recuerda los cuentos del legendario barón Münchhausen, que también aseguró haber cogido una bala de cañón con las manos?. No obstante, esta noticia sobre el piloto que cogió la bala, no tiene nada de imposible. Las balas no se mueven durante todo el tiempo con la velocidad inicial de 800-900m por segundo, sino que, debido a la resistencia del aire, van cada vez más despacio y al nal de su trayectoria, pero antes de empezar a caer,

recorren solamente 40m. por segundo. Esta era una velocidad factible para los aeroplanos de entonces. Por consiguiente, la bala y el aeroplano podían volar a una misma velocidad, en un momento dado, y, en estas condiciones, aquélla resultaría inmóvil o casi inmóvil con relación al piloto. Es decir, éste podría cogerla fácilmente con la mano, sobre todo con guante (porque las balas se calientan mucho al rozar con el aire). Si en condiciones determinadas una bala puede resultar inofensiva, también se da el caso contrario, es decir, el de un “cuerpo pacíco”, que lanzado a poca velocidad puede producir efectos destructores. Esto es lo que ocurrió cuando, durante la carrera automovilística Leningrado-Tiis (en el año 1924), los campesinos de los pueblos del

Cáucaso saludaban a los automovilistas, que junto a ellos pasaban a gran velocidad, arrojándoles sandías, melones y manzanas. El efecto que produjeron estos inesperados obsequios fue bastante desagradable. Las sandías y los melones abollaban, hundían y hasta rompían las carrocerías de los coches, mientras que las manzanas lesionaban seriamente a los pasajeros. La causa es comprensible. La velocidad que llevaban los automóviles se sumaba a la de las propias sandías o manzanas y convertía a éstas en peligrosos proyectiles destructores. No es difícil calcular, cómo una sandía de 4kg. lanzada al encuentro de un automóvil que marcha a 120km. por hora, desarrolla la misma energía que una bala de 10g. de peso.

fig. Las sandías lanzadas al encuentro de los veloces automóviles se convierten en “proyectiles”

Claro que, en estas condiciones, el efecto de penetración de la sandía no puede compararse con el de la bala, ya que la primera carece de la dureza de la segunda. Las grandes velocidades alcanzadas por la aviación a reacción han dado lugar a que, en algunos casos, los choques entre aviones y pájaros motiven averías e incluso catástrofes de aviación. Cabe preguntarse, ¿qué peligro puede representar un pajarillo para una aeronave capaz de transportar decenas de pasajeros? Sin embargo, cuando el avión desarrolla velocidades de 300-500 m/seg, el cuerpo del pájaro puede perforar la cubierta metálic a de aquél o los cristales de la cabina del piloto o, si acierta a entrar por la tobera del motor, inutilizarlo por completo. A causa de un choque de este tipo, en 1964 pereció el cosmonauta norteamericano Theodore Fryman, cuando realizaba un vuelo de entrenamiento en un avión a reacción. El peligro de estos encuentros se agrava por el hecho de que los pájaros no temen a los aviones y no se apartan de ellos.

36


Física - 2do Sec.

Resolviendo en clase 1) La gura muestra la trayectoria de una bala que pasa por

los puntos A, B, C, D y E. Respecto del sistema coordenado trace el vector posición para los puntos A; B; C; D y E. Y (m)

4) Una piedra fué lanzada como se muestra en la gura.

Trace el desplazamiento; cuando la piedra alcanza su máxima altura; y cuando logra el mayor alcance.

A (t=1s) B (t=2s)

reloj

Rpta: _____

C (t=3s) D (t=4s) E (t=5s)

O

Rpta: _____ 5) Si Marco que estaba en “A” para llegar al punto “C”

X (m)

2) La gura muestra la trayectoria de una partícula que pasa

tuvo que pasar por “B”. Determine el recorrido y la distancia. B

por los puntos A; B;C;D;E y F. Trace el desplazamiento entre los puntos:A y B; A y C; A y D; B y D; B y E. C

5m

Rpta: _____

12m

D

Rpta: _____ A

B

E

6) José sale del punto A,

F

A

3) Una esfera es soltada enel punto A de una supercie cilindrica

A

R

o R

tal que logra llegar al punto B. Trace el desplazamiento que la esfera realizó durante todo su movimiento.

B

Rpta: _____

C

A

17m

pasa por los puntos B y C hasta llega al punto D. Determine la distancia entre los puntos A y D. ¿Qué longitud recorre?

B 5m

D

5m

C

Rpta: _____

Para Reforzar 1) Miguel sale del punto

A, pasa por los puntos B y C hasta llegar al punto D. Determine la distancia entre los puntos inicial y final. ¿Qué longitud recorre?

15km

C

D

cuarta parte de una circunferencia de radio 2m. Determine el recorrido y la distancia.

6km B 7km

4) Una araña recorre la

A

B

O

A

Rpta: _____

Rpta: _____

2) María sale del punto A, pasa por los puntos B, C, D

5) Un hombre sale de su cabaña con dirección hacia el

y E hasta llegar al punto F. Determine el recorrido y la distancia. 18m

C

B

10m 6m

A

F

6m

Rpta: _____

Rpta: _____

E

6) Pedro sale de casa con dirección al Oeste caminando

3) Una hormiga recorre 3/4 de

una circunferencia de radio 8m. Determine el recorrido y la distancia.

hacia el Norte caminando 8km. más, nalmente

cambia su dirección hacia el Oeste caminando 20km. ¿A qué distancia de su cabaña se encuentra?.

D

10m

Este desplazándose 26km luego cambia su dirección

A

6 km y luego cambia de dirección hacia el Norte caminando 8km. más. Determine el recorrido y el módulo del desplazamiento.

Rpta: _____ Rpta: _____


37


Para el profesor: 1

Para el alumno:

Un explorador sale de su cabaña con dirección hacia el Este caminando 180 m en línea recta; luego

1

La gura muestra el recorrido de una liebre,

que sale desde A pasa por B y C hasta llegar al punto D. ¿Qué longitud recorre la liebre? ¿A qué distancia del punto de origen A, se encuentra ahora la liebre?

se dirige al Sur caminando 60 m; para nalmente

recorrer 100 m en dirección hacia el Oeste. Determine el recorrido y el módulo del desplazamiento.

a) b) c) d) e)

a) 340 - 100 m b) 150 - 50 m c) 380 - 90 m d) 1000 - 50 m e) 320 - 120 m

18m 15 m 13 m 12 m 10m

Resolución:

D 12m

C 18m 5m

A

B

Resolución:

Clave: 2

Clave:

Una esfera es dejada en libertad en el punto A de

2

una supercie cilindrica de radio R=2m.

Determinar el módulo del desplazamiento experi-

mentado hasta el instante que sale de la supercie. A

a) pm b) 2pm c) 2m d) 2 2m e) 2p m

R

O

Un insecto se traslada desde el punto A=(4;1) hasta el punto B=(7;5). Si la longitud se expresa en metros, determine el módulo del vector desplazamiento. a) 7m d) 3m

b) 5m

c) 4m e) 1m

R

Resolución: B

Resolución:

Clave: 38

Clave:



Una partícula parte del punto D(1;0) y se mueve hacia el punto 0(0; 0) siguiendo la trayectoria DBO. Determinar la longitud de su recorrido y el módulo de su desplazamiento. a)  p 1 m;1m 4 

3

Y

+

A B

4

a) 2p; 6m d) 2p+4; 8m

c) 2m; 2m d)  p 1 m; 2m 4  +

2 m

2m

b) 2m ; p m

B

O

2m

C

b) p+4; 8m

D

c) 2p; 8m e) 4p+2; 6m

X

A

O

Resolución:

e)  p + 1  m ; pm 8

Una hormiga recorre la trayectoria mostrada desde el punto A hasta el punto D. Determine el recorrido y el módulo del desplazamiento.



Resolución:

Clave:

4

Una paloma recorre la sexta parte de una circunferencia de radio 6m. Determine el recorrido y la distancia.

Clave:

4

B

a) b) c) d) e)

6m; 6m 2m; 6pm 6pm; 2pm 2pm; 6m 6m; 2pm

Una persona sobre un bote que reposa en un lago empieza a remar, dirigiéndose 6m. al Oese y de inmediato rema dirigiéndose 8m. al Norte. Determinar el recorrido y la distancia desplazada por el bote. a) 6m; 8m d) 8m; 10m

O

A

b) 10m; 15m

c) 10m;14m e) 14m;10m

Resolución:

Resolución:

Clave:


Clave: 39


Halla la carga nal que posee cada cuerpo después

5

de separarlos: a) b) c) d) e)

- 1 - 4 - 2 - 5

+ + + +

q = + 11C

3

-

-

-

-

Calcula la carga final que posee cada cuerpo después de separarlos. a) b) c) d) e)

q2 = - 17C

-

Resolución:

- 5

+5 - 4 +4 - 3

+ +

-

-

+ +

-

-

q1 = - 10C

Resolución:

Clave:

6

Del problema 5(profesor), ¿cuánto es la carga del sistema? a) + 6 d) - 3

q2 = + 20C

b) + 5

Clave:

6

c) - 6 e) - 5

Resolución:

Del problema 5(alumno), ¿cuánto es la carga del sistema? a) - 6 d) + 8

b) +10

c) - 5 e) - 10

Resolución:

Clave:


Clave: 129

9-FÍSICA 2DO (1 - 16)

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