6-ALGEBRA 2do (1 - 4)

CORPORACIÓN EDUCATIVA

School´s l ar

Primero de Secundaria Segundo

g et ni ói

n c a c u d e a ci t n ét u a a n u

c

o

n , s er

F

o

mr

a

n

d

o

l

dí

e

Álgebra

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución solu ción de uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad.

En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institución Mentor School’s propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.

Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da también con el esfuerzo de los docentes a través de Guías Didácticas que permitirán un mejor nivel académico y lograr alcanzar la práctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

“Formar líderes con una auténtica educación integral”

Capítulo 1.

Leyes de Exponentes I .....................................................

9

Capítulo 2.

Leyes de Exponentes II ...................................................

17

Capítulo 3.

Ecuaciones Exponenciales ...............................................

25

Capítulo 4.

Polinomios – Grados y Valor Numérico ........................

32

Capítulo 5.

Polinomios Especiales .......................................................

39

Capítulo 6.

Productos Notables I ........................................................

46

Capítulo 7.

Productos Notables II .......................................................

53

Capítulo 8.

División Algebraica I ........................................................

60

Capítulo 9.

División Algebraica II .......................................................

67

Capítulo 10.

División Algebraica III .....................................................

74

Capítulo 11.

Factorización en Z I .........................................................

81

Capítulo 12.

Factorización en Z II .......................................................

88

Capítulo 13.

Ecuaciones de Primer Grado ...........................................

95

Capítulo 14.

Ecuación Cuadrática .........................................................

102

Capítulo 15.

Sistema de Ecuaciones Lineales ...................................... 109

Capítulo 16.

Inecuaciones de Primer Grado ........................................

116

Á lgebra - 2do Sec.

Capítulo

Leyes de Exponentes I

1

LA LEYENDA DEL AJEDREZ Observa: los soldados que tienes vienen a ser los PEONES; la caballería de tus tropas está representada por estos dos CABALLOS; los elefantes son estas dos TORRES; los sablistas son estas dos piezas llamadas ALFILES; toditito el pueblo está simbolizado por esta pieza llamada REINA, y esta última pieza simboliza al REY, es decir, a ti. Practiquemos un rato y verás que con las estrategias que aprendas ganarás la guerra. Pasaron unas horas y DINUS aprendió muchas estrategias, las cuales aplicó al día siguiente en la batalla. ¡Y al nalizar el día!... ¿Qué creen que pasó

muchachos?... DINUS ganó la guerra. Hace tiempo, vivió un rey llamado DINUS, cuyo territorio estaba siendo invadido por las tropas de uno de sus vecinos (o sea otro rey) llamado MALIGNUS. DINUS estaba desesperado, pues casi todas sus tropas estaban siendo derrotadas; solamente le quedaba una gran tropa compuesta por soldados, caballería, elefantes montados, expertos sablistas y todo el pueblo guiado por la reina. Es aquí donde _____ llega al reino de DINUS y le dice: - ¡¡¡ Habla DINUS !!! ... ¿cómo has estado chocherita? - Un poco preocupado causita... estoy que pierdo una pequeña guerrita. - Entonces he llegado justo a tiempo DINUS, aquí te traigo un juego llamado AJEDREZ. Estoy seguro que si lo aprendes a jugar, solucionará tus problemas -dijo ________. - No seas palta causita... estoy en plena guerra y tú me traes un jueguito... ¡¡Luego dicen que yo soy el taradinus!!! - Es que no me entiendes -dijo -éste es un juego de estrategia.

A la semana siguiente fue llamado ____ a la presencia del rey, y este dijo: - Oye ______ ese jueguito que me trajiste está recontra chévere. ¡Imagínate que hasta me hizo ganar una guerra! ... ¿Cómo dijiste que se llama ... Monopolio, no es cierto? - ¡¡NOO!!... este juego se llama AJEDREZ!! ... ¡de veras que eres bien, pero bien TARADINUS! dijo ______ un tanto molesto. - Bueno, bueno, dejemos de lado el nombre, te llamé pues por tu ayuda brindada, voy a premiarte con cualquier cosa que me pidas. Pídeme lo que quieras y te lo daré... ¡ah! pero eso sí, nada que ver con mis guritas de los MEDABOTS... ¿Ok? -

Formando líderes con una auténtica educación integral

¡Ches!... y justo tienes la 5, la que me faltaba... pero bueno ni modo. Ya que insistes, voy a pedirte lo siguiente: Como habrás visto, el tablero de ajedrez tiene 64 casilleros. Quiero que me des 1 grano de arroz por

el primer casillero, 2 granos por el segundo, 4 granos por el tercero, 8 por el cuarto, 16 por quinto, y así

sucesivamente.

9

Á lgebra - 2do Sec. ¡Uy!... Qué fácil!!! -dijo DINUS-mañana mismo te

-

entrego esa recompensa.

Y el rey pensó que bastaba ir con S/. 10 a comprar

Potenciación 1. EXPONENTE NATURAL

en Metro, Santa Isabel o Plaza Vea, tres bolsitas de arroz COSTEÑO (¡buena con el cherry!) para cubrir la recompensa de ______, sin embargo uno de sus ministros dijo al rey que la cantidad total de granos sería inmensa, imposible de cumplir así toda la tierra estuviese cubierta por campos de cultivo. Así todos los mares se sequen y sean también campos de cultivo... esa cantidad es INMENSA!!!

Es un número natural que indica la cantidad de veces que ha sido multiplicado otro número llamado Base, obteniéndose la Potencia.

El rey avergonzado al no poder pagar la recompensa, le dio a _______ todo su reino. Y como diría alguien: ESO ES TO, ESO ES TO, ESO ES TODO AMIGOS!!

Ejemplo:

Si quieres saber cuántos granos de arroz hubiera sido la recompensa, realiza los siguientes cálculos: CASILLERO

1.º 2.º 3.º 4.º 5.º : 64.º

GRANOS DE ARROZ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 : 263 = ???

Suma los resultados y obtendrás la recompensa.

; n ∈ N

a x a x a x ... x a = an “n” veces

EXPONENTE

2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 5 = 32   5 veces BASE

POTENCIA

2. PRODUCTO DE BASES IGUALES Se suman los exponentes. ; m, n ∈ N

am x an = am+n Ejemplo:

23 x 22 = 23+2 = 25 = 32

Quizás estas operaciones te tomen un tiempo hacerlas

(2 ó 3 días) así que voy a darte una ayuda. El resultado nal es:

3. POTENCIA DE POTENCIA Se multiplican los exponentes.

DIECIOCHO TRILLONES, CUATROCIENTOS CUARENTA Y SEIS MIL SEISCIENTOS CUARENTA Y CUATRO BILLONES SETENTA Y TRES MIL

([am]n)p = am.n.p

SETECIENTOS NUEVE MILLONES, QUINIENTOS

CINCUENTA Y UN MIL SEISCIENTOS DIECISÉIS; o si lo preeres en números:

18 446 644 073 709 551 616 granos de arroz ¡¡INMENSO!!... no crees? ¡Ah! lo olvidaba, una vez conocido este número, el rey no tuvo más remedio que estudiar matemáticas, para poder ser tan hábil como _____, así que decidió estudiar en el mejor de los colegios: MENTOR

10

Ejemplo:

(22)3 = 22.3 = 26 = 64 4. EXPONENTE NEGATIVO 1 a-n = a-n

; a ≠ 0, n ∈ N

Esto nos indica que la base (diferente de cero, por cierto) se invierte. Formando líderes con una auténtica educación integral

Á lgebra - 2do Sec. 2. Calcula:

Ejemplos:

A=

1

a) 2-3 = 23 = 1

b) 7-2 = 72 =

1

8

Resolución:

316 . (34)2 316 . 38 A = (32)8 = 316

1

49

= 38

5. EXPONENTE NULO a0 = 1

316 . 812 98

; a ∈ R, a ≠ 0

Ejemplos:

a) (-17)0 = 1

3 3 3 3 3 3 3 E=2

OJO

Observa bien estos dos ejemplos, ¿cuál es la diferencia?

b) -170 = -1

3 3 3 = 2 3

am

F=

3n+4 + 3n+3 3n+3 - 3n+2

Resolución:

np

F=

En este tipo de ejercicios se efectúa la potencia empezando desde el exponente más alto.

=

3n (34 + 33) 81 + 27 = 27 - 9 3n (33 - 32) 108 18

=6

5. Calcula:

Ejemplo: 20

a) 3 = 3 = 3 3 70

31

10n+3 - 10n+2 10n+2

E=

1

3

= 22 = 2 2 = 28 = 256

Resolución:

F= =

1. Efectúa: E=

3 3

= 2 3 = 23 = 8

4. Efectúa:

6. EXPONENTES CONSECUTIVOS

b) 22

3

10n(103-102) = 10n . 102 900 =9=3 100

1000-100 100

(x2)4 . (x5)6 . x20 (x7)8

Resolución:

x8 . x30 . x20 x8+30+20 E= = x56 x56 x58 = 56 = x58-56 = x2 x Formando líderes con una auténtica educación integral

¿Por qué se dice elevar al cuadrado o al cubo? Estas expresiones son residuos de la época griega, en la cual los productos xx (x2) o xxx (x3) solo se entendían como áreas o volúmenes. Por eso nosotros, cuando calculamos el producto de un número x por sí mismo, decimos que estamos elevando x “al cuadrado”, aunque no pensemos, en absoluto, estar calculando el área de un cuadrado de lado x.

11


Resolviendo en clase 1) Simplica:

4) Reduzca:

[{23}4]5 (229)2

[(73)4]5 . [(74)5]6 (711)11 . {(74)7}2

Rpta: _______

Rpta: _______

5) Reduzca:

2) Calcula:

152 . 813

5

20 + 230 + 203 + 520

9 . 274

Rpta: _______

Rpta: _______

6) Reduzca:

3) Simplica: -80 +

2n+4 + 2n+3 2n+3 - 2n+2

1-60

[50 + 876]1-87 + (-8)0 Rpta: _______

Rpta: _______

Para Reforzar 1) Efectúa:

4) Simplica:

a .b .a .b .a .b 2

3

4

5

6

7

25 . 37 . 49 48 . 23 . 36

Rpta: _______

Rpta: _______ 5) Calcula:

2) Simplica:

316 . 812 98

({24}5)7 ({234}2)2

Rpta: _______

Rpta: _______

3) Efectúa:

6) Reduzca:

2 [(24)2]-3 . (22)(22)

Rpta: _______

3n+2 . 3n+1 3n+1 – 3n Rpta: _______

12


Á lgebra - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

Para el profesor:

Para el alumno:

1 Efectúa:

1 Efectúa: 2

(x ) . (x ) (x ) 3

7

6

a) -1 d) -2

3

15

(x2)4 . (x5)6 . x20 (x7)8

.x

7

b) 1

c) 2 e) -4

Resolución:

a) x d) x4

b) x2

Resolución:

Clave:

2 Efectúa:

Clave: 2

3519 . 4016 . 2713 (30)30 . (45)5 . 1418

a) 28 d) 3/5

c) x3 e) x5

b) 5/3

c) 3/28 e) 28/3

Calcula el valor de la expresión: 602 . 3754 . 158 304 . 1510 . 58 a) 1

d) 4

b) 2

c) 3

e) 5

Resolución:

Resolución:

Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 13

Á lgebra - 2do Sec. 3

Calcula:

3

3 {[(72)3]4}5 . 76

Reduce: {(73)4}5 {(74)5}6 (711)11 {(74)7}2

2

711 . (721)10 a) 7 d) 74

b) 72

a) 43 d) 73

c) 73 e) 75

Resolución:

b) 53

Resolución:

Clave: 4Calcula:

Clave: 4

Realiza: 2n+4 - 2n+3 2n+2 - 2n+1

10n+3 - 10n+2 10n+2 a) 0

d) 3

b) 1

c) 2

a) 0

e) 4

d) 3

Resolución:

b) 1

c) 2

e) 4

Resolución:

Clave: 14

c) 63 e) 83



Calcula:

5 E

a) 2 d) 5

=

0

3

+

0

2

3

+

5

0

3

+

Calcula: C=

0

1

2

b) 3

3

20 + 230 + 20 + 520

a) 1

c) 4 e) 6

b) 2

c) 3

d) 4

Resolución:

e) 5

Resolución:

Clave:

6

Clave:

Realiza:

6

-2 -2 1 1 + 6 10

-2

-2

2

Efectúa:

d) 8

b) 4

1

-

1

1

-

1

c) 6 e) 20

Resolución:

-2

-3

-1

( 2 ) (5 ) ( )

-2

1

( ) ( ) (13) (12)+ (5) (4) a) 2

5

a) 10 d) 13

+

1

b) 11

+

1 15

c) 12 e) 14

Resolución:


Clave: 15


Calcula:

7

Calcula:

4 . 4 . 4 ... 4 - 16 . 16 . 16 ... 16 20 factores

a) 0

3.3.3...3 − 9.9.9...9         4 0 f ac to re s

10 factores

c) 280

b)1

d) 2

a) 3 d) 2

e) 2

40

20

Resolución:

2 0 f ac to re s

b) 0

Resolución:

Clave:

8

Reduce:

6

9

Clave:

8

4

Reduce:

()()( )

D= 2 . 9 . 8 3 4 27 a) 1

R=

b) 2/3

d) 8/27 Resolución:

c) 9 e) 1

c) 3/2

a) 1

e) 9/4

d) 4

153 . 64 93 . 42 . 125 b) 2

c) 3

e) 5

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 16



Capítulo

Leyes de Exponentes II

RADICACIÓN Dentro de las matemáticas, existen lo que se denominan: PARADOJAS; que son resultados matemáticos absurdos, obtenidos a partir de situaciones verdaderas y lógicas.

6

Los Números Naturales. Fueron concebidos desde la época prehistórica siendo usados por los primitivos al calcular el número de animales cazados, los frutos recolectados, etc.

6

Los Números Enteros. Nacieron a partir de la concepción del número

A continuación voy a mencionarte una de ellas, sigue con cuidado cada paso del proceso:

“0”, debido a que por el desarrollo comercial, las

ganancias se representaban con cantidades positivas, las pérdidas por cantidades negativas, justamente el

* 0=0 

Igualdad de dos números

“0” fue ideado para marcar el límite entre positivos

y negativos (esto lo puedes ver claramente en la recta numérica).

* 4 - 4 = 2 - 2  Equivalencia de la igualdad anterior. 6

Los Números Racionales. Se crearon a raíz de problemas típicos como:”Dividir una manzana en tres partes iguales”, etc. Además se consideran las equivalencias entre fracciones y decimales.

6

Los Números Irracionales. Nacieron debido, estrictamente, a una exigencia en el avance matemático - cientíco.

6

Los Números Reales. Considerando a la reunión de todos los conjuntos anteriores.

* 4(1 - 1) = 2(1 - 1)  Factorizando

4 y 2 a izquierda y derecha, respectivamente.

2 (1 - 1) (1 - 1) Pasando a dividir (1 - 1) y luego simplicando

* 4= 

la fracción.

* 4 = 2  Sacando mitad. *

2 = 1  Resultado nal ...

TOTALMENTE ABSURDO !! ¿Dónde está el error?... Averígualo!!! En la naturaleza del hombre y en el origen de su razonamiento lógico, se fueron construyendo los diferentes conjuntos de números que ahora conocemos

2

Esta clasicación de los números, ha sido utilizada poco

a poco en la categoría de los exponentes, es decir: * 23 = 8  Observa el exponente: 3 ∈ N * 2-3 =

como: Naturales (N), Enteros (Z), Racionales (Q),

Irracionales (I) y Reales (R).


1

= 23

1

8

 Observa

el exponente: -3 ∈ Z

17

Á lgebra - 2do Sec. ¿Te diste cuenta?... hemos usado exponentes del tipo natural, del tipo entero... y ahora ¿qué falta? ¡Ajá! ¡acertaste! Ahora veremos exponentes del tipo racional. Así: 4

1/2



¿A qué será igual esto?

a) 21/3 = _________________ b) 32/5 = _________________ c) 41/2 = _________________

Radicación 1. EXPONENTE FRACCIONARIO am/n = n am

1. Indica el equivalente de:

d) 271/2 = _________________

; n ≠ 0, m, n ∈ Z e) 161/4 =

_________________

Ejemplo:

f) 321/5 = _________________

1

2

a) (5)

= 2 51 =

5

2. Reduce:

1

6

b) (8) = 6 81 =

2 6 231

= 2

OJO

a)

3 45

= ____________

32

= ____________

8

= ____________

Se pueden simplicar estos

números

b)

2. RAÍZ DE RAÍZ m n pa

c)

5

= m.n.p a m, n, p ∈ Z - {0}

d)

2 2

= ____________

e)

32 3 3 3 = ____________

f)

53 4 5 3 5 = ____________

Ejemplo:

a) b) c) d)

3 5 = 2.3

5 = 6 5 1

216 = 2.2.2 216 = 8 2162 = 22 = 4 3 64 = 6

64 = 2

3 4 5 3 = 60 3

1. Determina el valor de:

Ejemplo:

a) 4 3 36 5 530 = 4 . 6 36 . 30 530 = 2 . 3 . 5 = 30

x+ b) 3 3 4 3 5 = 8 317 = 317/8

x +x + c) 2 3 3 2 2 5 2 4 = 30 259 = 259/30 18

J=4

3

166 +

254

Resolución:

J = 24 (24)6 + 4 254 = 24 224 + 25 = 2 + 25 = 27 Formando líderes con una auténtica educación integral

Á lgebra - 2do Sec. 92-1 + 362-1 + 1253-1 42-1 Resolución:

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la

91/2 + 361/2 + 1251/3 41/2 9 + 36 + 3 125 4 3 + 6 + 5 14 2 2

5 x8

Resolución:

5

escrito por el matemático y lósofo francés René

Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la

5 x7 . 5 x3

5

Geometría (1637),

x7 . x3 x8

teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán

Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo.

x x8

10

LA IRRACIONALIDAD DE LA RAÍZ DE DOS 4 x8 3 x5 3 x3 4 x5

Resolución: 4(3) 8(3)+5 12 29 E = 3(4) x3(4)+5 = 12 x17 x x

= 12 x12 = x 5. Calcula el valor de: 1 -1/2 A = 254 +

Según E. T. Bell, la segunda gran contribución de Pitágoras (mejor habría que decir “de la escuela pitagórica”) a las matemáticas fue, aunque le humillase y entristeciese, el descubrimiento de los números irracionales. Lo que no está tan claro es en qué contexto se realizó tal descubrimiento: muchos opinan que fue al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo isósceles, mientras que otros creen que fue al estudiar las propiedades del pentágono estrellado, símbolo de los pitagóricos. Sea como fuere, ambos trabajos proporcionaron los primeros ejemplos de números irracionales, la raíz de dos el primero y la razón áurea el segundo.

-1/2

49

Observación

Resolución: 1/2

E = 25(1/4) + [49]1/2 = 25 1/4 + 49 = 251/2 + 7 =

25 + 7 = 5 + 7 = 12


(am+b)p+γ mnp

19


Resolviendo en clase 1) Calcula:

4) Efectúa: Rpta: _______

2) Reduce:

0 -2-6

1 -4 . 16

7 49 + 5 25 + 9

1 + 8

7

0 -3-10

Rpta: _______

5) Halla el valor de: 161/2 + 271/3 + 811/4

x . 3 x . 4 x 4 x . 3 x . x

Rpta: _______

Rpta: _______

3) Efectúa: 1 100

6) Calcula el valor de:

-2-1 -16-16

2 2 2 Rpta: _______ Rpta: _______

Para Reforzar 1) Reduce:

4) Calcula el valor de: A = 254-1/2 + 1 49

25 + 49 + 144 + 400

Rpta: _______

-1/2

Rpta: _______

5) Calcula el valor de:

2) Reduce:

256

32 + 42 + 122 + 52

Rpta: _______

Rpta: _______

6) Calcula:

3) Calcula el valor de: 1 64

x. x. y. y

-9-1/2

Rpta: _______ Rpta: _______

20



Para el profesor: 1

Para el alumno:

Reduce:

1

Simplica: 5

5 2 4

x . x G= ; x≠0 10 3 x

a) x1/10 d) x1/29

M=

c) x2 e) x7/20

b) x27/10

a)

3

x

d)

3

x

7

5

x . x 5

x

3

; x≠0

8

b)

3

x

4

8

c)

5

x

2

e)

3

x

2

Resolución: Resolución:

Clave: 2

Reduce:

2 2 3

7

2

4

17

7

a)

12

7

d)

4

7

17

5

Clave:

b)

7

Calcula el valor de: 2 3

5. 5 5

7

17

a)

12

5

5

d)

4

5

c)

3

7

e)

3

7

15

5

b)

5

4

5

c) e)

5

12

5 5



Clave: 21


Simplica:

3

Calcula el valor de:

-(1/3)-1

1  −   1   5  M=    4  

[1/3]

-1

[1/2]-(1/2) + (0,2)-1 a) 2 d) 1/3

b) 1

c) 3 e) 9

a) 8

−1

1/2

   

b) 16

c) 32

d) 64

e) 24


Clave: 4

Simplica:

Clave: 4

Calcule:

2n+4 - 2n+3

10 n 3 − 10 n +

2n+2 - 2n+1 a) 0

d) 3

b) 1

10 n

+2

c) 2

e) 4

Resolución:

a) 0

d) 3

b) 1

c) 2

e) 4

Resolución:

Clave: 22

+2



Reduce:

5

A= a) 5 d) 3

{ 27 1

-2/3

+

b) 8

1

Reduzca:

1/2

-4/5

1/2

 1 −1/2  1 −4/ 3  B =  + + 3  8    36  

}

32

c) 4 e) 9

a) 4 d) 7

Resolución:

b) 5

c) 6 e) 8

Resolución:

Clave: 6

Calcula:

Clave: 6

2-1

2-1

9 + 36 + 125 M= 42-1 a) 4 d) 9

b) 6

Reduce:

3-1 A

c) 7

a) 1/3 d) 3

=

9

27

−1 −4−2

b) 1/4

c) 2 e) 1/2

e) 10

Resolución:

Resolución:


Clave: 23


Indica el exponente nal de x, luego de reducir:

7

4 8 3 5 O = 3 x3 4 x5 x x

a) 1

Indica el exponente final de "x". Luego de reducir. 5

Q=

b) 0

c) 2

d) 4

e) 5

a) 27/20 d) 27/3

4

x

6

x

2 5

7

x

x

b) 1/20

c) 3/20 e) 1/3


Clave: 8

Simplica:

Clave: 8

Simplica:

48 radicales

T=

8 x 8 x 8 x ..... 8 x 10

x 3 x

x

3 x .....

x

U= 3 x

b) x2

5 x 5 x 5 x ..... 5 x 3 x 3 x 3 x ..... 3 x 30 factores

96 radicales

a) x d) x4

50 factores

c) x3 e) x5

Resolución:

a) 5 x d) 1

b) 3 x

c) x10 e) 15 x

Resolución:

Clave:

Clave:




Capítulo

Ecuaciones Exponenciales

LAS TORRES DE BRAHMA

3

Brahma les dijo: “El día que acaben vendrán conmigo al Nirvana Eterno donde cesarán el dolor y la intolerancia”. ¿Cuánto tiempo nos queda? Brahma habló hace 5 000

años. La leyenda fue creada por el matemático francés Edouard Lucas en 1883.

1. CONCEPTO

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita está como exponente o también como base y exponente a la vez. Ej.: Al terminar su obra Brahma (el creador), colocó tres clavos de plata alineados en el patio de un Monasterio de Bernares. En el clavo de la izquierda puso 64 discos de oro de distintos tamaños. El mayor el más bajo.

 

3x + 3x+1 + 3x+2 = 39 x-x = 4

2. PROPIEDADES 1. Si:

Reunió a los monjes y les dijo: “desde hoy empezarán y sin descansar, pasarán los 64 discos de la izquierda a la derecha. Pero siempre respetarán mis tres mandamientos”. Los tres Mandamientos de Brahma: 1. La unidad es la fuente. Por eso nunca moveréis más

de un disco en cada movimiento. 2. Ahorren energía. Habrán de hacerlo en el mínimo número de movimientos. 3. El poderoso no debe oprimir al débil. Jamás un disco mayor se situará sobre otro menor.


am = a n → m = n ;

∀ a ≠ 0, 1, -1

Ejemplo: Resuelve 25x-1 = 1252-x Después de expresar 25 y 125 como potencias de 5,

tenemos: (52)x-1 = (53)2-x Efectuando operaciones en los exponentes: 52x-2 = 56-3x Bases iguales, exponentes iguales: 2x - 2 = 6 - 3x Resolvemos y obtenemos que: x = 8/5 25

Á lgebra - 2do Sec. 2. Si: xx = aa → x = a Resolución:

Ejemplo: Resuelve x-x = 4

2x+1 . (22)x+2 = 23 2x+1 . 22x+4 = 23 23x+5 = 23 → 3x + 5 = 3 3x = 3 - 5 3x = -2 x = -2/3

Expresa el exponente negativo y el 4 como potencia de 2 en: 1

xx

= 22

1

22 1

(-2)2

Resolución: 8x

ax = bx ⇒ a = b

23 = 29 x → 38 = 9 x 38 = 32 → 8x = 2 x (23) = 2 23x = 21 → 3x = 1

⇔ a > 1 ∧ b > 0

x = 1/3

Resolución: 1

xx = 3 (2/3)2 xx = (2/3) 2/3 → x = 2/3

2

1. Halla “x” en:

125x-3 = 252x+1

Resolución: x3

(53) - = (52)2x+1 53x-9 = 54x+2 → 3x - 9 = 4x + 2 3x - 4x = 2 + 9 -x

→

26

= 11

x = -11

Resolución:

(4x)4x = 23(8) 8 (4x)4x = (23) (4x)4x = 88 → 4x = 8 x = 8/4 x=2



Resolviendo en clase 1) Calcula “x” en:

4) Resuelve:

54x+2 = 25

x-2

2 . 3 2

3-2x 5 x-1 . 2 = 1

Rpta: _______

Rpta: _______

5) Resuelve:

2) Halla “x” en: 2

x+3

34

. 23x-5 . 25x-9 = 25

x+1

2x-5

= 316

Rpta: _______

Rpta: _______

3) Halla “x” en:

6) Calcula “x” en:

125x-3 = 252x+1

Rpta: _______

(3 ( ( 1

-3

x

( (11 ( = 216

-2

+ 2 5

-1

+ 4

Rpta: _______

Para Reforzar 1) Calcula "x" en:

3

4) Halla “x” en:

2x+1

= 27

x+3

8

3x+1

= 4 32

Rpta: _______

2) Resuelve:

Rpta: _______

5) Resuelve: 5 25x-1 = 3 5x+2

2x+1 . 4x+2 = 8 Rpta: _______

3) Resuelve:

32x+1 . 3x+2 . 33x–7 = 9 Rpta: _______


Rpta: _______

6) Resuelve: 8x

23 = 512 Rpta: _______

27


Para el profesor: 1

Halla “x” en: a) 1

x-3

25 = 225

Para el alumno: 1

x

b) 3

d) 4

Halla “x” en: 6

3

c) -3 e) -1

a) 2 d) - 1

Resolución:

x−2

=

36

3

x

b) 4

c) 3 e) - 2

Resolución:

Clave: 2

Resuelve: a) 1

d) 5

2

814x-1 = 9x+5 b) 2

c) 4

e) 3

Resolución:

Halla “x” en: a) 2 d) 8

4

27x = 924 b) 4

c) 6 e) 10

Resolución:

Clave: 28

Clave:



Resuelve:

3

Resuelve:

8 . 8 . 8 ... 8 = 4 . 4 ... 4 n veces

a) 4 d) -8

b) 2

8 . 8 . 8 ... 8 = 16 . 16 . 16 ... 16 (x+3) veces

(n+2) veces

a) 4

c) 8 e) -2

b) 9

d) 2

Resolución:

“x” veces

c) 2/3 e) 1/8

Resolución:

Clave: 4

Resuelve:

Clave: 4

Resuelve: 27x-3 . 9x+1 = 81x+3

34-x . 96+x . 2710-x = 814+x a) 1

d) 3

b) 2

c) 19/9

e) 6

Resolución:

a) 12 d) 16

b) 18

c) 19 e) 20

Resolución:


Clave: 29


Resuelve:

5

Resuelve:

2x+5 + 2x+4 + 2x+3 = 28 a) -2 d) 2

b) -1

3x+4 + 3x+2 + 3x = 273

c) 1

a) 1

e) 3

d) 4

Resolución:

b) 2

c) 3

e) 5

Resolución:

Clave: 6

Resuelve:

Clave: 6

Resuelve:

62x-2 = 1 x-1

144 a) 1 d) 4

b) 2

53x −6 x −1

16

25

c) 3 e) 1/4

Resolución:

d) 4

b) 2

1 125

c) 3

e) 5

Resolución:

Clave: 30

a) 1

=



Resuelve:

7

(4x)4x = 224

a) 1 d) 4

Resuelve: (2x)x = 212

b) 2

c) 3 e) 1/4

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

Resolución:

Resolución:

Clave: 8

Halla “x” en:

Clave: 8

3

a) 1 d) 1/4

c) 3

b) 4

Resuelve:

27 - 2x = 2 2x - 2

3x-1 + 3x-2 = 108 c) 3 e) 1/2

Resolución:

a) 3 d) 7

b) 5

c) 9 e) 1/5

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral

31


Capítulo

Polinomios: Grados y Valor Numérico

... Y AQUÍ UN PROBLEMITA ... A un herrero le trajeron cinco cadenas de tres eslabones cada una, y le encargaron que las uniera formando una sola cadena. Antes de comenzar el trabajo, el herrero se dio a pensar cuántos eslabones tendría que abrir y volver a soldar. Llegó a la conclusión de que tendría que abrir y soldar cuatro eslabones. ¿No sería posible realizar este trabajo abriendo menos eslabones? Uno de los símbolos más conocidos en el mundo de las matemáticas es: > o < ; también ≥ o ≤

4

ejemplo, si tenemos los polinomios: P(x) = 5x2 - 3x + 7 Q(x) = 8x3 + 1 No se puede armar que: P(x) > Q(x) o Q(x) > P(x) Sin embargo, para salvar este problema se dene, en lo que a polinomios se reere, el grado absoluto (G.A.),

y entonces podríamos hablar de “cierta relación de orden”. Si tenemos el polinomio: P(x) = 5x2 - 3x + 7, tendremos que: G.A.(P(x)) = 2 (mayor exponente) Si tenemos el polinomio: Q(x) = 8x3 + 1, tendremos que: G.A.(Q(x)) = 3 (mayor exponente) Luego, podemos armar que: [G.A.(P(x))] < [G.A.(Q(x))]

Estos símbolos permiten determinar que una cantidad es mayor o menor que otra. Por ejemplo, tenemos: 5 > 3 ; 1/2 < 4 ; 2 > -1

Así, podemos hablar entonces de una RELACIÓN DE ORDEN. Se ha establecido que dicha relación de orden puede ser aplicada a todo par de números reales, y esto lo puedes comprobar si tomas dos números reales diferentes cualquiera. Siempre verás que uno es mayor que otro. Observa : 

Si tomamos 2 y 1/2, entonces: 2 > 1/2

 Si

tomamos -4 y -π, entonces: -4 < -π Lamentablemente las relaciones de orden no pueden ser aplicadas a toda entidad matemática. Así, por 32

Para elegir los materiales adecuados, en cuanto a calidad y cantidad, para construir un puente, los ingenieros analizan las variables que intervienen antes de llevar a la práctica su proyecto, como la geología del terreno, resistencia al viento, cambio de temperatura y uidez del tráco

automovilístico. Estas variables son expresadas matemáticamente mediante polinomios para así poder hacer los cálculos respectivos y no cometer errores imprevistos.


Á lgebra - 2do Sec. Polinomio Es la reunión de dos o más monomios mediante sumas y restas.

1. Halla el grado absoluto de: P(x, y) = 3x6 y2 + 2x5 y3 - 8x4 y2 + 9y9 - 7x2 y2

Ejemplo:

Resolución: Primero hallemos el grado absoluto de cada monomio: P(x, y) = 3x6 y2 + 2x5 y3 - 8x4 y2 + 9y9 - 7x2 y2

P(x, y) = 5x5 y4 - 9x2 y7 + 7x8z1/2

Grados

GA=8 GA=8 GA=6 GA=9 GA=4

Como se observa el mayor GA es 9. 1. GRADO ABSOLUTO (G.A)

Entonces: GA(P) = 9

Es el mayor de los G.A. de los monomios que conforman al polinomio.

2. En el polinomio: P(x, y) = 4xm y7 + 5x2 ym,

Ejemplo: Halla el G.A. del polinomio:

halla GA(P) si GR(x) = 10.

Resolución:

P(x, y) = 7x4 y3 - 1/2x2 y7 + 5 xy5 GA = 7

GA = 9

Como se observa, el mayor G.A. ⇒

Si GR(x) = 10, entonces m = 10. Luego:

GA = 6

P(x, y) = 4x10 y7 + 5x2 y10

es 9.

GA=17

por lo tanto:

G.A.(P(x)) = 9

GA(P) = 17

2. GRADO RELATIVO (G.R) Es el mayor de los G.R. de los monomios que conforman al polinomio.

3. Si el grado relativo de “x” es 9 en P(x, y) = 21x3 yn - 8(xy)3n - xn y5, halla el grado relativo de “y”. Resolución:

Ejemplo : Halla el G.R.(y) del polinomio:

Si GR(x) = 9, entonces 3n = 9 luego: n = 3 reemplazando en el polinomio: P(x, y) = 21x3 y3 - 8x9 y9 - x3 y5 observamos: GR(y) = 9

P(x, y) = 7x4 y3 - 1/2x2 y7 + 5 xy5 GRy = 3 GRy = 7 GRy = 5

El mayor de todos los G.R.(y) ⇒

GA=12

es 7.

Luego G.R.y(P(x, y)) = 7

4. Si P(x, y) = (2x + y)2 + (2x - y)2, calcula P(-1; -2) Resolución: Reemplazamos los valores numéricos para “x = -1” y “y = -2”. P(-1, -2) = (2(-1) + (-2)2) + (2(-1) - (-2)2) = (-2 - 2)2 + (-2 + 2)2 = (-4)2 + (0)2

Valor Numérico Se reemplaza las variables del polinomio, por números indicados. Ejemplo: Dado el polinomio:

= 16 + 0 = 16

P(x, y) = 7x 4 y3 - 1/2x2 y7 + 5xy5 Halla el V.N. si x = 0, y = 1.

Si reemplazamos tenemos: P(0, 1) = 7.04.13 - 1/2 . 02 . 17 + 5 . 0 . 15

5. Si W(x) = x + 2, halla W(W(3)) Resolución: Primero hallamos W(x) para “x = 3”. W(3) = (3) + 2 =5

P(0, 1) = 0 - 0 + 0 P(0, 1) = 0


luego:

W(W(3)) = (5) + 2 =7 33


Resolviendo en clase 1) Halla el G.A. en cada caso. A(x, y) = x7 + y9 B(x, y) = x3 y4 + x2 y6 C(x, y) = x4 y8 + x8 y5 D(x, y) = (x2 y3)4 + xy17

4) Calcula “a” si el siguiente polinomio es de cuarto grado: P(x) = 3 2 + 9x a-4 -1 xa-3 2 Rpta: _______ Rpta: _______

2) Halla el grado relativo (G.R.) en cada caso.

5) Halla la suma de coecientes de P(x) si este polinomio es de grado 7.

P(x, y) = x2 y3 + x4 y6 + y7 G.R.(x) = G.R.(y) =

P(x) = 3mxm - 1 xm+2 - xm+4 3 Rpta: _______

Q(x, y) = x4 y6 + xy6 + y8

G.R.(x) = G.R.(y) =

Rpta: _______ 6) Si w(x) = x + 2, halla w(w(3)).

3) Halla el G.A. de: E(x, y) = (x4)5 (y6)7

Rpta: _______

Rpta: _______

Para Reforzar 1) Calcula P(1; 2), sabiendo que: P(x, y) = x3 + y3 + 3xy(x + y) Rpta: _______

4) Halla el G.A en cada caso: A(x, y) = x7 + y9 B(x, y) = x3 y4 + x2 y6 C(x, y) = x7 y8 + x8 y5 D(x, y) = (x2 y3)4 + xy17 Rpta: _______

2) Si g(x) = 2x - 1, calcula g(g(3)). Rpta: _______

5) Halla el GR(x) y el GR(y) en cada caso: P(x, y) = x2 y3 + x4 y6 + y7 Q(x, y) = x4 y6 + xy6 + y8 S(x, y) = 2x3 + 5y9 T(x, y) = xy2 + xy6 + x5 y9 Rpta: _______ 6) Calcula "a" si el siguiente polinomio es de quinto grado.

3) Si f(x) = x2 + x + 1, halla f(3). Rpta: _______

1

P(x) = 2 3 + 7x a − 3 − x a −2 3

Rpta: _______

34



Para el profesor: 1

Para el alumno:

Halla "M" si el siguiente polinomio es de grado

1

absoluto igual a 12.

P(x) = 6 + xm - 3 a) 5 d) 7

Halla “m” si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 10.

P(x) = 7 + 5xm+6 - 3xm+7

2xm+7 + 1 xm+3

b) 6

5

a) 1

b) 5

d) 4

c) 10 e) 12

c) 3

e) 2


Clave: 2

Calcula F(-0, 2) si se sabe que:

Clave: 2

F(x) = 2 + 25(3x + 1)

a) -1 d) 5

b) 0

c) 12 e) 10

Resolución:

Halla P(1) + P(-1) si se sabe que: P(x) = 1 + x + 2x2 + 3x3

a) -1 d) 6

b) -2

c) 1/2

e) -1/2

Resolución:


Clave: 35


Si:

P(x) = 2x5 - 3x4 + 2x3 + 2x - 3

3

Si:

halla P(-1)

F(x) = 1 x2 + 1 x + 7 , 2 3 6

calcula F(1).

a) -15 d) -1

b) -10

c) -5 e) -12

a) 1

b) 5

d) 2

Resolución:

c) 4

e) 3

Resolución:

Clave: 4

Si: P(a) = 3a2 + a + 3, calcula:

4

d) 4

b) -1

Si H(x) = 5x2 - x + 2, halla: H(1) + H(2) + H(3)

E = P(0) + P(1) P(-1) a) -2

Clave:

a) 24 c) 2 e) 1/2

d) 48

b) 68

c) 82 e) 70


Clave: 36



Halla P(3) si se sabe que:

P(x) = 3(x+1)(x - 1) + (x+1)2

a) 24 d) 18

b) 16

5

Halla P(5) si se sabe que: P(x) = 2(x+1)(x - 4) + (x+3)2

c) 40 e) 42

a) 72 d) 75

Resolución:

b) 73

Resolución:

Clave: 6

En el polinomio: P(x, y) = 4xm y7 + 5x2 ym

Clave: 6

halla GA(P) si GR(x) = 10. a) 11

d) 5

c) 74 e) 76

b) 10

En el polinomio: P(x, y) = xm y5 + xm+2 y halla GR(x) si GA(P) = 12.

c) 12

a) 10

e) 7

d) 7

Resolución:

b) -9

c) 11

e) 9

Resolución:


Clave: 37


Si el grado relativo de “x” es 9 en: P(x, y) ≡ 21x3 yn - 8(xy)3n - xn y5 halla el grado relativo de “y”. a) 1 d) 9

b) 3

7

Dado el polinomio: P(x, y) ≡ 2xa+b y2 - 3xa+1 yb + 5xa yb-1 si su grado absoluto es 10 y su grado relativo a “y”

es 4, halla el grado relativo a “x”.

c) 6 e) 12

a) 3 d) 8

Resolución:

b) 5

c) 7 e) 9

Resolución:

Clave: 8

Clave:

Del siguiente polinomio se conocen los siguientes datos: G.R.(x) = 7; G.R.(y) = 8 P(x, y) = 2xm+1 - 3xm yn + 5yn+2 ¿cuál es el G.A. de P(x, y)? a) 12 d) 14

b) 10

c) 9 e) 11

8

Halla el grado absoluto de: P(x, y) = 3x6 y2 + 2x5 y3 - 8x4 y2 + 9y9 - 7x2 y2 a) 4 d) 8

b) 6

c) 7 e) 9

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:




Capítulo

Polinomios Especiales

5

1. POLINOMIO ORDENADO

Polinomio donde el G.R. de una variable, en cada monomio, crece o decrece. Ejemplo: x10 + 9x7 + 5x2

Polinomios y tecnología 1

+ x2

+ 3x4

+ 5x7 + 2x9 +

7x12 + 3x13 +

x17 + 4x20

Existen unas funciones, denominadas splines, que son utilizadas para aproximar curvas. En varios programas de computadoras se usan para construir gráficos en 2D (dos dimensiones), 3D (tres dimensiones),

2. POLINOMIO COMPLETO

Polinomio que presenta respecto a una variable, término independiente, término de grado 1, término de grado 2,

spline de grado 1 Yuxtaposición de segmentos. Polinomios de grado 1.

término de grado 3 y así sucesivamente. Ejemplo: 2x5 + 7x + 2x 2 + x3 + 2 + 5x4

animaciones, ondas de audio y otros. Estas funciones se construyen uniendo puntos, yuxtaponiendo trozos de polinomios que pasan por estos puntos. A los splines se les asigna un grado de acuerdo al grado de los polinomios que se utilizan.

3. POLINOMIO HOMOGÉNEO

Polinomio que tiene monomios de igual G.A. Ejemplos: 3x4 y3 + 7x2 y5 spline de grado 2 Yuxtaposición de trozos de polinomios de grado 2. Por cada tres puntos en cada uno de estos cuadros

4x5 y2 - 3x6 y 6x8 y3 + 3x4 y7 8+3

4+7

-

4x10 y

pasa la gráfca de un polinomio de grado 2.

10 + 1


39


Resuelve: 2 (x - 5)2 + 1 (x+4)(x - 6) ≥ 5 x2 3 6 6 a) 〈-∞;38/21〉 d) 〈-∞;1/7〉

b) [17/3;+∞〉

5

c) 〈-∞;38/21] e) [23/21;+∞〉

Halla el conjunto solución de: 2 (x - 5)2+ 1(x+4)(x - 6) ≥ 5 .x2 3 6 6 a) C.S. = 〈-∞; 20/3] b) C.S. = 〈-∞; 23] c) C.S. = 〈-∞; 28/21] d) C.S. = 〈-∞; 25/26] e) C.S. = 〈-∞; ∞]


Clave: 6

Resuelve:

Clave: 6

(x - 5)- 2 ≤ 1 - x ; 3 4 entonces el conjunto solución es: 1

a) 〈-∞; 8〉 d) 〈-∞; ∞〉 Resolución:

b) 〈-∞; 9〉

c) 〈-∞; 7〉 e) N. A.


Resuelve la inecuación: 2 (x + 1) < 5 a) C.S. = 〈-∞; 8〉 c) C.S. = 〈-∞; -5〉 d) C.S. = 〈-∞; 10〉

3 (x - 2)

10

b) C.S. = 〈-∞; -8〉 e) C.S. = 〈-∞; -10〉

Resolución:

Clave: 121

6-ALGEBRA 2do (1 - 4)

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