5-ARITMETICA 2do (1 - 16)

CORPORACIÓN EDUCATIVA

School´s

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Primero de Secundaria Segundo

ni n ói c a c u d e a ci t n ét u a a n u n o c , s er e dí l o d n F

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Aritmética

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución solu ción de uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad.

En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institución Mentor School’s propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.

Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da también con el esfuerzo de los docentes a través de Guías Didácticas que permitirán un mejor nivel académico y lograr alcanzar la práctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

“Formar líderes con una auténtica educación integral”

Capítulo 1.

Razones y Proporciones ....................................................

9

Capítulo 2.

Promedios ............................................................................

16

Capítulo 3.

Reparto Proporcional .........................................................

23

Capítulo 4.

Regla de Tres Simple .........................................................

30

Capítulo 5.

Regla del Tanto por Ciento ...............................................

37

Capítulo 6.

Regla de Mezcla ..................................................................

45

Capítulo 7.

Teoría de Conjuntos I ........................................................

52

Capítulo 8.

Teoría de Conjuntos II ......................................................

61

Capítulo 9.

Numeración .........................................................................

69

Capítulo 10.

Cuatro Operaciones I: Adición y Sustracción ................

77

Capítulo 11.

Cuatro Operaciones II: Multiplicación y División ........

86

Capítulo 12.

Divisibilidad: Principios y Criterios ................................

95

Capítulo 13.

Números Primos ................................................................ 105

Capítulo 14.

MCD y MCM .....................................................................

112

Capítulo 15.

Fracciones ...........................................................................

120

Capítulo 16.

Números Decimales ........................................................... 126

A ritmética - 2do Sec.

Capítulo

1

Razones y Proporciones

RAZÓN

2. Razón geométrica o relación:

Es la comparación de 2 cantidades mediante una operación aritmética (sustracción - división).

CLASES DE RAZONES

Es la comparación de dos cantidades mediante la división. Ejemplo:

1. Razón aritmética:

Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción.

En un grupo de personas existen 20 hombres y 10 mujeres. Calcula la razón geométrica entre hombres y mujeres.

antecedente

Ejemplo:

razón geométrica

20 = 2 2 = 10 1

Calcula la razón aritmética entre hombres y mujeres, si los hombres son 20 y las mujeres 15.

consecuente

Se dice: 20 - 15 = 5

razón aritmética consecuente antecedente

Es el doble o están en relación de 2 a 1.

Ejemplo:

En un estante de una tienda hay 12 libros y 10 platos. Establecer la relación de libros y platos existentes.

Ejemplo:

En una habitación existen 20 personas, además 12 vasos. Calcula la razón aritmética entre el número de personas y el número de vasos.

20 - 12 = 8

Formando líderes con una auténtica educación integral

12 10 Se dice:

=

6 5

6 o bien de 6 a 5 5

9


PROPORCIÓN

En general:

Es la igualdad de dos razones aritméticas o dos razones geométricas que tienen el mismo valor.

Donde:

A B

=

C D

"A" y "D" son los términos extremos. "B" y "C" son los términos medios. 

CLASES DE PROPORCIONES PROPORCIÓN ARITMÉTICA

CLASES DE PROPORCIÓNES GEOMÉTRICAS

Cuando se igualan dos razones aritméticas de igual valor.

Proporción geométrica discreta:

Es aquella en la cual los términos medios son diferentes. Ejemplo :

A B

35 - 6 } 35 - 6 = 79 - 50 79 - 50

=

C D

B ≠ C

Donde:

En general:



a - b = c - d

"D" es la cuarta proporcional de "A", "B" y "C".

Proporción geométrica continua:

Donde:

Es aquella en la cual los términos medios son iguales.

"a" y "d" son los términos extremos.  "b" y "c" son los términos medios.



A B

Clases de proporciones aritméticas

=

B C

Donde:

Proporción aritmética discreta.

Es aquella proporción aritmética en la cual los términos medios son diferentes.

 

"B" es la media proporcional de "A" y "C". "C" es la tercera proporcional de "A" y "B".

a b c d b ≠ c -

=

-

Números Amigos

Donde:  "d" es la cuarta diferencial de "a", "b" y "c".

Dos números son amigos cuando cada uno es igual a la suma de los divisores del otro.

Proporción aritmética continua

Es aquella proporción aritmética en la cual los términos medios son iguales. a - b = b - c

Se cumple: b =

a+c 2

Donde: "b" es la media diferencial de "a" y "c".  "c" es la tercera diferencial de "a" y "b".

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Cuando se igualan dos razones geométricas de igual valor.

3

4 20

10

=

=

1 5 1

Suma de los divisores de 220: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 44 + 55 + 110 = 284 Suma de los divisores de 284: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 Euler publicó en 1750 una lista de sesenta pares y curiosamente olvidó el segundo par en orden creciente: 1184 y 1210 que fue descubierto por Paganini en 1866 a los 16 años de edad. Otros números amigos son: (6 232 y 6 368), (2 620 y 2 924), (18 416 y 17 296), (943 7056 y 936 3284), etc.

Ejemplo : 15

El menor par de números amigos es el formado por el 220 y 284:

3 15

=

4 20

5



Resolviendo en clase 1) La razón aritmética de las cantidades de dinero que Jorge y Carmen tienen es S/.240. Si la razón geométrica es 8/13, ¿cuánto dinero tiene Carmen?

4) En una festa por cada 5 hombres hay 2 mujeres. Si en total asistieron 91 personas, ¿cuántos son hombres? Rpta: ________

Rpta: ________

2) Se sabe queA = 4 , B 7

5)

Además 2A + 5B = 258, halla A Rpta: ________

a b c d y 25 = 15 = 20 = 35 (a + b) (c + d) = 352, calcula a.b + c.d

La razón geométrica de 2 números es 9 a 13 y su razón aritmética es 20. Calcula la razón geométrica de ambos si el primero aumenta 15 y el segundo disminuye 5. Rpta: ________

6) A una festa asisten 320 personas entre hombres y

3) Si

mujeres. Siendo el número de hombres como 3 y el número de mujeres como 13. Calcula la relación de hombres y mujeres si se retiran 20 hombres y 60 mujeres. Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar 1) La razón aritmética de las edades de Tulio y Richard es 20 y su razón geométrica es 4/9. Halla la edad de Tulio.

4) En cierta reunión por cada 2 hombres hay 3 mujeres. Si en total son 60 personas, ¿cuántas son mu jeres? Rpta: ________

Rpta: ________

2) Si:

m 5 , donde 2m + 3n = 111, n=9

calcula m + n

5) Dos números son entre sí como 7 es a 4. Si su razón aritmética es 21, calcula su razón geométrica si el 1.° aumenta 1 y el 2.° disminuye 8.

Rpta: ________

3) Si:

Rpta: ________

6)

a = b = c = d y a . b + c . d = 192, 3 4 12 3 calcula a + b + c + d. Rpta: ________


En una reunión participan 84 personas entre hombres y mujeres. Si por cada 5 hombres hay 7 mujeres, calcula la nueva relación si se retiran 13 parejas. Rpta: ________

11


1

3 números están en la razón de los números 20; 30 y 60. Si suman 132, calcula el mayor. a) 24 d) 54

b) 36

1

c) 48 e) 72

3 números están en la razón de 12; 15 y 24. Si suman 85, calcula el intermedio. a) 20 d) 35

Resolución:

b) 25

c) 30 e) 40

Resolución:

Clave: 2

Si

a+b = 12 a-c 5

a) 5:7 d) 17:7

calcula

a c

b) 12:13

2

c) 7:13 e) 13:5

Resolución:

Si

x+y 7 x- y = 1

, calcula

y x

Para el profesor: a) 2:3 d) 4:3

b) 3:2

c) 3:4 e) 1:3

Resolución:

Clave: 12

Clave:

Clave:


A ritmética - 2do Sec. 3

En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la misma relación que 4 y 25, además su suma es 116. ¿Cuál es la media proporcional? a) 40 d) 80

b) 60

3

En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la relación de 4 a 9, siendo su suma 65. Halla la media proporcional. a) 30 d) 10

c) 45 e) 50

b) 60

c) 45 e) 50

Resolución: Resolución:

Clave:

4

En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Halla la media proporcional. a) 30 d) 38

b) 36

Clave:

4

c) 32 e) 34

Resolución:

En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 58 y la diferencia de ellos es 40. Halla la media proporcional. a) 20 d) 36

b) 27

c) 25 e) 21

Resolución:

Clave:


Clave: 13


Halla la cuarta proporcional de a2, a)

a b

b) b

2

d) a2b

a b

c)

y b2.

5

Halla la cuarta proporcional de: a, a.b y b. a) b d) a.b

b a

e) a2

b) a2

c) 2b e) b2

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

6

En una proporción geométrica, los extremos suman 75 y su diferencia es 15. Halla el producto de los medios.

a) 1300 d) 1500

b) 1420

c) 1200 e) 1350

Resolución:

En una proporción geométrica la suma de medios es 54 y su diferencia es 12. Calcula el producto de extremos. a) 693 d) 796

b) 720

c) 672 e) 684

Resolución:

Clave: 14

6

Clave:



En una proporción geométrica, continua cuya razón es 2/3, la media proporcional es 24. Calcula la suma de los consecuentes. a) 60 d) 80

b) 20

7

c) 65 e) 75

La media geométrica de dos números es 15. Si la proporción continua que se forma tiene por razón 3/5. La diferencia de sus extremos es: a) 13 d) 9

Resolución:

b) 25

Resolución:

Clave: 8

El producto de los cuatro términos de una proporción es 3600. Si el primero de éstos es 4, halla el cuarto término. a) 12 d) 16

c) 15 e) 16

b) 13

Clave: 8

c) 15 e) 20

Resolución:

El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 20736. Halla la media proporcional. a) 12 d) 8

b) 18

c) 16 e) 20

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor


15


Capítulo

2

Promedios

INTRODUCCIÓN

2. PROMEDIO GEOMÉTRICO

Juan, alumno de 2°. de secundaria, enseña su libreta del colegio a Pedro, ambos alumnos y amigos. Las notas fueron:

Aritmética Álgebra Geometría Física Raz. Matemático

Nota 18 10 08 13 16

Llamado también Media Geométrica (MG). Dados tres números: 12 ; 3/8 ; 6 MG =

3

3 12 x 3 x 6 = 27 = 3 8

Para : a1, a2, a3, ..., a n

Promedio : 13

MG =

En ese momento, llega el papá de Juan y le pregunta: «Bien, hijo... y? ¿Con cuánto «pasas» a 3°.?» y Juan responde: «Con 18 papi». Pedro le queda mirando y le dice: «Oye, no!, dile el promedio». «Ah... sí, lo olvidé. Con 13, papi».

n

a1. a2 . a3 . ... . a n

3. PROMEDIO ARMÓNICO Llamado también Media Armónica (MH). Dados cuatro números: 2 ; 5 ; 2/3 ; 1

Bien, así es, de un grupo de notas existe uno llamado «promedio» que les representa. Pero esta semana aprenderás que este promedio puede ser de 3 tipos: aritmético, geométrico y armónico. Lo obtenido en las notas es un promedio aritmético.

4

MH =

1 + 1 + 1 + 1 2 5 2 1 3 MH = 1,25

1. PROMEDIO ARITMÉTICO

Para : a1, a2, a3, ..., a n n 1 + 1 + 1 + 1 a1 a2 a3 an

LLamado también Media Aritmética (MA) o simplemente «promedio». Dados cuatro números: 4; 13; 12; 17, la media aritmética es: 4 + 13 + 12 + 17 MA = = 11,5 4 Para : a1, a2, a3, ..., an a + a2 + a3 + ... +a n MA = 1 n

16

PROPIEDADES  

Si todos los números son iguales, entonces: MA=MG=MH = mismo número. Si todos los números son distintos, entonces: a)Número


4. PROMEDIO DE GRUPOS Aula

Nota Promedio

N°. Alumnos

A

20

17

B

30

12

C

50

10

1. Halla la media geométrica de 8; 9 y 24. Resolución:

3

8.9.24

3

43. 33 12

El nota promedio de las tres aulas es: 17 + 12 + 10 3

No!

2. Halla la media aritmética de 5,10 y 15. Resolución:

Se calcula así: 20 x17+30x12+50x10 = 12 20 + 30 + 50 La temperatura media de una ciudad durante el mes de noviembre fue variable: Fecha

1 al 5 6 al 20 21 al 30

N°. de días

16°C 17°C 22°C

La temperatura media en todo el mes fue: 5x16+15x17+10x22 5 + 15 + 10

(a) MA=

a+b 2

Resolución:

a+b 21 2 =

MG = ab

30 3 = 10

a+b=42 a-b=14 2a=56 a=28 b=14 a = 28

4. El promedio de las edades de 5 personas es 48. Si ninguna de ellas es mayor de 50 años, ¿cual es la mínima edad de una de ellas? Resolución:

= 18,5°C

5. PARA DOS NÚMEROS a y b

=

3. La M.A. de 2 números es 21 y su razón aritmética es 14. Halla el número mayor.

Temperatura media

5 15 10

5+10+15 3

50+50+50+50+x = 48 5 x = 40

5. Calcula el promedio geométrico de 3 y 27. 2ab MH = a + b

(b) MG2 = MA . MH

Resolución:

MG=

3.27 = 81 = 9

MG = 9

¿Cómo se calcula el cuadrado de un número utilizando promedios? Se dice que los primeros en aplicar las potencias fueron los sacerdotes mesopotámicos. Así se ha deducido de unas tablillas encontradas en las orillas del río Éufrates. De acuerdo a lo estampado en ellas, los sacerdotes resolvían la multiplicación sin recurrir al ábaco, tan usado en esa época. Para solucionarl a empleaban la tabla de cuadrados y se basaban en el siguiente principio: "El producto de dos números es siempre igual al cuadrado de su promedio menos el cuadrado de la mitad de su diferencia". Vamos a comprobarlo con 5 y 3. El promedio de los dos es 4 y el cuadrado de 4 es 16. La diferencia entre 5 y 3 es 2, y su mitad corresponde a 1. Entonces: 5 x 3 = 16 - 1


17


Resolviendo en clase 1) Calcula

el promedio aritmético, geométrico y armónico de 12 y 3.

4)

El promedio aritmético de a; b y c es 29. Si b es el promedio aritmético de 12 y 20, halla (a+c). Rpta: ________

Rpta: ________

5) 2)

Calcula los 3 promedios de 1; 1/2; 1/3; 1/4; ...; 1/20 e indica el menor.

Juan Carlos ha obtenido en las cuatro primeras prácticas de aritmética: 11; 13; 10 y 12. ¿Cuál debe ser su nota en la quinta práctica, para que su promedio sea 13?

Rpta: ________

3)

El promedio de notas de 27 alumnos es 15. Si a todos los alumnos se les aumenta un punto en su examen, ¿cuál será el nuevo promedio?

Rpta: ________

6) Marco

calcula el promedio de sus 5 primeras prácticas y resulta 13. Si en las 2 siguientes prácticas obtuvo 14 y 16, ¿cuál es su promedio ahora?

Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar 1) Calcula

la media aritmética, geométrica y armónica de 20 y 5.

4)

Rpta: ________

Rpta: ________

2)

Calcula los 3 promedios de 1; 1/2; 1/3; 1/4; ..., 1/10 e indica el menor.

5)

Rpta: ________

3) El

promedio aritmético de 30 números es 14. Si a todos los números se les aumenta 2 unidades; ¿cuál será el nuevo promedio?

18

Las notas de cuatro prácticas de un mismo alumno son 12; 14; 16; 17 ¿cuál debe ser su nota en la quinta práctica para que su promedio sea 15? Rpta: ________

6)

Rpta: ________

El promedio aritmético de a; b y c es 15. Si "b" es el promedio de 18 y 16; hallar "a + c"

El promedio de las notas de un alumno en sus tres primeras prácticas es exactamente 12. Si en la cuarta práctica obtiene 08, ¿cuál será el nuevo promedio? Rpta: ________


A ritmética - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 2

1

El promedio de las edades de 6 personas es 26. Si se retiran 2 de ellas, el promedio de los que quedan es 23 años. ¿Cuál es la suma de las edades de las personas que se retiraron? a) 72 años d) 92 años

b) 84 años

1

El promedio de las edades de 5 personas es 11,4. Si una de ellas tiene 13 años, ¿cuál es el promedio de las restantes? a) 10 d) 13

c) 76 años e) 64 años

b) 11

c) 12 e) 19


Clave: 2

Si el promedio aritmético de 20 números es 11 y dos de ellos suman 40, ¿cuál es el promedio de los otros 18 números? a) 10 d) 13

b) 11

Clave: 2

c) 12 e) 9

Resolución:

El promedio aritmético de 13 números es 18. Si 3 de ellos suman 34, ¿cuál es el promedio de los demás? a) 16 d) 19

b) 17

c) 18 e) 20

Resolución:

Clave:


Clave: 19


En una clase de 40 alumnos, la estatura promedio de los hombres, que son 25, es 1,68 cm y el promedio de las mujeres es 1,62m. ¿Cuál es el promedio de la clase? a) 1,63m d) 1,67m

b) 1,66m

3

c) 1,64m e) 1,65m

El promedio de 30 alumnos de la clase «A» es 16; de la clase «B», que tiene 40 alumnos, es 14; y de la clase «C», que tiene 50 alumnos, es 12. Halla el promedio de las tres clases. a) 13,2 d) 14,2

Resolución:

b) 13,4

Resolución:

Clave:

4

b) 10

c) 8 e) 12

Resolución:

4

Halla «x» si el promedio geométrico de 2 x; 2 2x y 8x es 1024. a) 2 d) 5

b) 3

c) 4 e) 6

Resolución:

Clave: 20

Clave:

El promedio geométrico de 3; 9; 27; ... 3 n es 243. Halla «n». a) 9 d) 11

c) 13,6 e) 14,6

Clave:



El promedio de las notas de un grupo de 6 alumnos es 78. Si ninguno de ellos obtuvo menos de 74, ¿cuál es la máxima nota que pudo obtener uno de ellos? a) 90 d) 98

b) 92

5

c) 94 e) 88

En una partida de póker se encuentran 5 personas cuyo promedio de edades es 32 años. Si ninguno tiene menos de 24 años, ¿cuál es la máxima edad que puede tener uno de ellos? a) 38 años d) 66 años

Resolución:

b) 64 años

Resolución:

Clave:

6

En la última competencia de Caminos del Inca, la velocidad promedio de Lima a Cusco fue de 120 km/h y de Cusco a Lima de 130 km/h. ¿Cuál fue la velocidad promedio para todo el recorrido? a) 124,2 km/h d) 125 km/h

c) 48 años e) 56 años

b) 126 km/h

Clave:

6

c) 124,8 km/h e) N.A.

Un ciclista va de Lima a Chorrillos con una velocidad de 60 km/h y regresa a razón de 40 km/h. Halla la velocidad promedio del recorrido. a) 45 km/h d) 50 km/h

b) 52 km/h

c) 48 km/h e) N.A.


Clave:


Clave: 21


La media geométrica de 4 números diferentes es 3 3. Halla el promedio aritmético de los cuatro números. a) 11 d) 8

b) 12

7

La media geométrica de 3 números enteros positivos distintos es 7. Calcula su media aritmé tica. a) 13 d) 19

c)10 e) 14

Resolución:

b) 15

Resolución:

Clave: 8

Clave:

Si la media aritmética de 2 números es 10 y la media geométrica es 5, calcula su media armónica. a) 1 d) 1,5

c) 17 e) 21

b) 0,5

c) 2,5 e) 2

Resolución:

8

La media geométrica y la media armónica de 2 números son 2 y 4. Calcula su media aritmética. a) 1 d) 4

b) 4,5

c) 3,5 e) 8

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 22



Capítulo

3

Reparto Proporcional

Consiste en repartir una cantidad en varias partes que sean proporcionales a otros varios números dados (índices del reparto).

Ejemplo:

Clases de Reparto Proporcional

Resolución:



Reparte 260 en partes que sean I.P. a los números 2, 3 y 4.

Partes IP DP 1 .12 = 6 A 2 2

1. REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE DIRECTO Consiste en repartir un número en forma directamente proporcional (D.P.) a ciertos números.

260

B

C

Ejemplo : 

Reparte 750 en forma D.P. a los números 7, 5 y 3

3

1 .12 = 3 4 A = 6K B = 4K C = 3K 4

13K = 260 K = 260 13

Resolución: Partes DP 750

1 .12 = 4 3

A

7

A = 7K

B

5

B = 5K

C

3

C = 3K

K = 20

Luego las partes son:

15K = 750 K = 750

A = 6(20) = 120 B = 4(20) = 80 C = 3(20) = 60

15 K = 50

Luego las partes son: A = 7(50) = 350 B = 5(50) = 250 C = 3(50) = 150

2. REPARTO PROPORCIONAL INVERSO Consiste en repartir un número en forma inversamente proporcional (I.P.) a ciertos números. Este reparto I.P. es equivalente a realizarlo en forma D.P. pero a las inversas de los números dados.

Reparto Compuesto En este caso, se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera: 1. Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices). 2. Se multiplica los índices de las dos relaciones D.P. 3. Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices.


23

A ritmética - 2do Sec. Ejemplo 1:

Reparte 2225 en 3 partes que sean D.P. a los números 3, 5 y 8 e I.P. a los números 4, 6 y 9 Partes DP A 3 2225

IP 4

DP 1/4

B

5

6

1/6

C

8

9

1/9

Leonhard Euler

Resolución: DP

MCM (4-6-9) = 36

A:

3. 1 = 3 × 36 = 27K 4 4

B:

5. 1 = 5 × 36 = 30K 6 6 32K 8. 1 = 8 × 36 = 89K = 2225 9 9 2225 K = = 25 89

C:

+

Luego las partes son: A = 27(25) = 675 B = 30(25) = 750 C = 32(25) = 800 Ejemplo 2:

Reparte 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9. D.P. I.P. D.P.

D.P.

→

4 3 648

6 9

1 3

→

4 3

x 3 = 4→ 4 x 108 = 432

2 3

x 3 = 2→ 2 x 108 = 216

1 9

multiplicamos

24

k= 648 =108 6

Euler nació en Basilea, Suiza. Su padre, un pastor, quería que su hijo siguiera sus pasos y lo envió a la Universidad de Basilea para prepararle como ministro. Por intercesión de Bernoulli, Euler obtuvo el consentimiento de su padre en cambiarse de ministro a matemático. Después de fallar en obtener una posición en Física en Basel en 1726, se unió a la Academia de Ciencias de St. Petersburg en 1727. Cuando se detuvo sus fondos de la academia, sirvió como un lugarteniente médico en la armada rusa de 1727 a 1730. Su reputación creció después de la publicación de muchos artículos y su libro Mecánica (1736-1737). En 1766, Euler volvió a Rusia, en donde llegó a estar casi ciego después de una operación de cataratas, pero aún así pudo continuar con su investigación y escritura. Tenía una memoria prodigiosa y podía dictar tratados en óptica, álgebra y movimiento lunar. A su muerte en 1783, dejó trazados una vasta cantidad de artículos. La Academia de St. Petersburg continuó publicándolos por casi 50 años más.



Resolviendo en clase 1)

Reparte S/.1105 en forma D.P. a los números 7, 4 y 6. Indica la parte menor.

4)

Rpta: ________

Rpta: ________

2)

Divide 867 en partes I.P. a 3, 4 y 8. Indica la parte menor.

5)

Rpta: ________

3)

Al repartir una herencia entre cuatro hermanos, se hizo en forma proporcional a la edad que tenían, que son 12; 14; 18 y 24. Si el mayor recibió S/.2484, ¿cuánto recibió el menor?

Reparte S/.2400 I.P. a los números 1/5; 1/2 y 1. Da como respuesta la suma de cifras de la parte menor.

Reparte S/.630 D.P. a los números 2/3, 3/4 y 2/6 e indica la parte menor. Rpta: ________

6)

Rpta: ________

Al repartir un herencia en forma I.P. a las edades de 3 hermanos que son 4; 5 y 8 años, se observó que el mayor recibió S/.725. ¿Cuál fue la herencia repartida? Rpta: ________

Para Reforzar 1)

Reparte S/.240 en forma D.P. a los números 11, 3 y 10. Indica la suma de cifras de la parte menor.

4)

Rpta: ________

2)

Reparte 962 I.P. a 3, 5 y 12. Indica la suma de cifras de la parte menor.

Rpta: ________

5)

Rpta: ________

3)

Un padre y su hijo se reparten un premio de S/.770 en forma D.P. a sus edades que son 60 y 24 años. ¿Cuánto le corresponde al padre?

Reparte S/.390 en forma I.P. a los números 1/2, 1/4 y 2. Indica la menor parte.

Reparte S/.8200 D.P. a los números 6 , 1/2 y 1/3. Indica la mayor parte repartida. Rpta: ________

6)

Rpta: ________


Al repartir cierta cantida de dinero en forma D.P. a los números 6, 10 y 20, la parte menor resulta ser S/.270. ¿cuál fue la cantidad repartida? Rpta: ________

25


1

Reparte el número 560 D.P. a 2; 3 y 4 y simultáneamente a 5, 6 y 7. ¿Cuánto le corresponde a la parte menor? a) 100 d) 170

b) 180

1

Reparte 7000 D.P. a 12 y 24, y a la vez D.P. a 1/3 y 1/8. Indica la parte menor.

a) 4000 d) 8500

c) 280 e) 160

Resolución:

b) 3000

Resolución:

Clave: 2

b) 240

c) 360 e) 480

Resolución:

2

Divide 730 en 3 partes a, b y c, tal que a : b es como 5 : 4 y a : c es como 7 : 2. Calcular b.

Para el profesor: a) 350 d) 320

b) 280

c) 100 e) 140

Resolución:

Clave: 26

Clave:

Descompón 740 en 3 partes tal que los 2 primeros sean como 2 a 3 y los 2 últimos como 5 a 4. El mayor de las partes es: a) 300 d) 200

c) 7000 e) 6500

Clave:



Reparte el número 4320 en partes directamente proporcionales a 3 y 7 e inversamente proporcionales a 1/5 y 1/3. Indica la parte mayor. a) 2520 d) 2650

b) 1800

3

Reparte S/.390 en forma D.P. a 8 y 16, y a la vez I.P. a 2 y 1/3. Indica la parte mayor. a) 290 d) 130

c) 2420 e) 2320

Resolución:

b) 30

Resolución:

Clave:

4

Los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 3, 5 y 10. Determina la medida del ángulo menor. a) 20° d) 28°

c) 390 e) 360

b) 30°

Clave:

4

c) 40° e) 45°

Resolución:

Los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 2, 4 y 6. Determina la medida del ángulo mayor. a) 90° d) 80°

b) 70°

c) 120° e) 100°

Resolución:

Clave:


Clave: 27


El perímetro de un triángulo es igual a 72. Si los lados son D.P. a los números 4, 6 y 8, determina la suma de los lados mayores. a) 56 d) 66

b) 86

5

c) 36 e) 46

El perímetro de un triángulo es igual a 120. Si los lados son D.P. a los números 3, 4 y 5, determina la suma de los lados menores. a) 70 d) 120

Resolución:

b) 80

Resolución:

Clave:

6

Clave:

Se reparte cierta cantidad "M" en partes D.P. a 383; 572 y 762. Si al menor le ha tocado 729, hallar "M".

6

a) 14 336 d) 10327

b) 13477

c) 14337 e) 14037

Resolución:

Al repartir "N" en forma D.P. a 30, 2 y 7, se obtiene que la menor de las partes es 64. Halla "N". a) 1328 d) 1324

b) 1218

c) 1248 e) 1482

Resolución:

Clave: 28

c) 90 e) 130

Clave:



Reparte S/.78 entre Carlos, Mario y Timotea en partes inversamente proporcionales al número de vocales que hay en la escritura de sus nombres ¿Cuánto recibió Mario? a) 20 d) 36

b) 30

7

Se reparten 69 caramelos entre cuatro niños en partes inversamente proporcionales a sus edades que son 2, 4, 8 y 12 años. ¿Cuántos caramelos le corresponde al mayor de ellos? a) 6 d) 12

c) 24 e) 18

Resolución:

b) 8

Resolución:

Clave: 8

Reparte 5600 en forma D.P. a los números 448; 567 y 847. Indica la mayor parte. a) 2200 d) 1900

c) 10 e) 9

b) 2100

Clave: 8

c) 2300 e) 2400

Reparte 200 D.P. a 8 , 18 y 50. Hallar la mayor parte. a) 20 d) 40

b) 60

c) 100 e) 80


Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor


29


Capítulo

4

Regla de Tres Simple

REGLA DE TRES DIRECTA

MAGNITUDES DIRECTAS E INVERSAS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP) Dos magnitudes se dicen directas si una se multiplica por «k», entonces la otra también por «k» (k ∈ Q+).

Ejemplo :

Se sabe que 20 obreros abren una zanja de 108m 3. Si sólo se tienen 15 obreros, ¿cuántos m 3 de zanja abrirán en las mismas condiciones?

Ejemplo :

obreros - obras son DP pues, si los obreros se triplican (x3), entonces las obras deben triplicarse (x3), manteniéndose las mismas condiciones.

Observación (+) obreros hacen (+) obras.

Resolución:

(+) (+) obreros m3 20 108 15 x 15.108 Aspa: x= =81 20

∴

abrirán 81 m 3

REGLA DE TRES INVERSA Ejemplo :

INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP) Dos magnitudes se dicen inversas si una se multiplica por «k», entonces la otra se divide por «k» (k ∈ Q+). Ejemplo :

obreros - días son IP pues, si los obreros se multiplican por dos, entonces terminarán la obra en la mitad (÷2) de días. Según esto, existen ejercicios denominados de «Regla de Tres». Se comparan 2 magnitudes que pueden ser DP o IP, así tenemos «Regla de tres directa» o bien «Regla de tres inversa».

Observación (+) obreros demoran ( -) días.

30

Al hacer una obra, 15 obreros demoran 18 días. Si los obreros son 10, ¿cuántos días demorarán en efectuar la misma obra? Resolución:

(+) obreros 15 10

(-) días 18 x 15.18 Paralelo: x= =27 10

∴

demoran 27 días

Ejemplo 1 :

Un grupo de «n» obreros ejecutan 120 obras; mientras «n +5» obreros ejecutan 160 obras. Calcula «n». (+) obreros n n+5 n.160 n+5= 120

(+) obras 120 160 ⇒

n = 15


A ritmética - 2do Sec. Ejemplo 2:

Pintar un cuadrado cuesta S/.60. ¿Cuánto costará pintar otro cuadrado de lado doble? 1

(+) área 1x1

1 2

3) Una casa pertenece a dos hermanos, la parte del primero son los 5/13 de la casa y está valorizada en 1530000 soles. Halla el valor de la parte de otro hermano.

(+) 2x2x60 dinero (soles) x= 1x1 60

2x2

x=S/.240

x

5 13

S/.1530000

8 13

x

2

x=S/.244800

Ejemplo 3:

4) Si 10 metros de tela cuestan S/.150, ¿cuánto se pagará por 15 metros de la misma tela?

Un barco con 69 tripulantes tiene víveres para 22 días. Si el viaje se realiza con 33 tripulantes, ¿cuántos días más o menos durarán los víveres? (+) tripulantes 69 33

(- ) días 22 x

69.22 x= 33 = 46 días, no es la respuesta ∴

metros 10 15 +

soles 150 x +

x=S/.225 5) Si 250 quintales de remolacha producen cierta cantidad de azúcar y 300 quintales producen 4kg más de azúcar, ¿cuántos kilos de azucar producen los 250 quintales?

46 - 22 = 24 días más

quintales 250 300

kilos x x+4

x=20kg

1. Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra, ¿cuántos obreros se necesitan para hacer la misma obra en 15 días? obreros 21 x -

días 10 15 +

x = 14 2. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días, ¿cuántos obreros hay que añadir para que la obra se termine en 8 días? obreros días 20 14 (20+x) 8 + x = 15 Formando líderes con una auténtica educación integral

Nicolás Oresme en el De proportionibus proportionum que fue escrito hacia el 1360, generaliza la teoría de proporciones para incluir cualquier potencia racional y dar al mismo tiempo reglas para combinar proporciones, que vienen a ser equivalentes a nuestras leyes para operar con exponentes. Para cada una de las reglas se dan ejemplos concretos, y en la última parte de otra de sus obras, el Algorismus Proportionum, se aplican en dichas reglas a problemas geométricos y físicos. Oresme sugirió también el uso de un tipo de notación especial para las potencias de exponentes fraccionario, y así en el Algorismus proportionum aparecen expresiones como la siguiente. P

1

1

2

31


Resolviendo en clase 1)

Si 8 polos tienen un precio de 145 soles, ¿cuál será el precio en soles de 6 docenas de polos?

4)

Si 20 obreros construyen 28m de pared en cada día, ¿cuál será el avance diario si se retiran 5 obreros?

Rpta: ________

2)

Se sabe que 48 hombres podrían hacer una obra en 15 días. Si se quiere que se haga en 12 días, ¿cuántos hombres más se necesita?

Rpta: ________

5) Un

cubo de madera cuesta 12 soles. ¿Cuánto costará otro cubo de la misma madera pero de doble arista?

Rpta: ________

3)

Si 30 obreros construyen una casa en 28 días, ¿cuántos días antes hubieran terminado si hubieran sido 5 obreros más?

Rpta: ________

6) Si

para pintar 75m 2 de superfcie son necesarios 30 galones de pintura, ¿cuántos galones serán necesarios para pintar 15m 2?

Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar 1)

Si una persona compra 2 litros de pintura por S/.48, ¿cuánto pagará por 9 litros del mismo tipo de pintura?

4)

Rpta: ________

Rpta: ________

2)

5)

Se sabe que 800 obreros pueden realizar una obra en 420 días. Si se quiere que se termine en 300 días ¿cuántos obreros debe aumentarse? Rpta: ________

3)

Si 27 hombres terminan una obra en 16 días, ¿cuántos hombres menos necesitarán para terminar la obra en 24 días? Rpta: ________

32

Si un tornillo penetra 8mm en una madera cuando da 40 vueltas, ¿cuántas vueltas más debe dar para que penetre 50mm?

Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó S/.3 600, ¿cuánto se paga por un cubo de 15 cm de arista? Rpta: ________

6)

Patricia puede hornear 3 pasteles deliciosos en 15 minutos, en la nueva cocina que se compró. ¿Cuánto demorará en hornear 5 pasteles? Rpta: ________



1

Un buey atado a una cuerda de 2,5m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 3 días. ¿Cuántos días emplearía si la longitud de la cuerda fuera 5m? a) 6 d) 15

b) 12

1

c) 8 e) 10

En un corral que tiene forma de un cuadrado de 6m de lado, un caballo puede comer 80 kg de pasto, ¿Cuántos kilos de pasto comerá en un corral de la misma forma, pero de 3m de lado? a) 40 d) 10

Resolución:

b) 50

Resolución:

Clave: 2

Se sabe que 300 hombres tienen alimentos para 51 días. Si estos alimentos deben alcanzar para 153 días, ¿cuántos hombres deben disminuirse? a) 100 d) 180

c) 20 e) 30

b) 205

Clave: 2

c) 210 e) 200

Resolución:

Un barco tiene víveres para 72 tripulantes durante 33 días, pero sólo viajan 66 personas. ¿Qué tiempo durarán los víveres? a) 26 días d) 36 días

b) 18 días

c) 32 días e) 24 días

Resolución:

Clave:


Clave: 33


Un reloj da 8 campanadas en 16s. ¿Cuántas cam panadas dará en 80s? a) 36 d) 39

b) 37

3

c) 38 e) 40

Un reloj da 6 campanadas en 10s. ¿Cuántos segundos demora en dar 12 campanadas? a) 18s d) 21s

Resolución:

b) 19s

Resolución:

Clave:

4

b) 158

c) 126 e) 192

Resolución:

4

Por ocho días de trabajo, 12 obreros han cobrado S/.640. ¿Cuánto ganarán por 16 días, 15 obreros con los mismos jornales? a) S/.1 400 d) S/.1 200

b) S/.1 060

c) S/.1 600 e) S/.1 800

Resolución:

Clave: 34

Clave:

Si con 120kg de pasto se alimenta a 4 caballos durante 5 días, ¿cuántos kilos de pasto se necesitarán para alimentar a 9 caballos en 3 días? a) 174 d) 162

c) 20s e) 22s

Clave:



Una cuadrilla de 15 obreros trabajando 6 horas diarias terminarán una obra en 38 días. ¿Cuántos días tardarían para hacer la misma obra, 19 obreros trabajando 3 horas diarias más que los anteriores? a) 24 d) 22

b) 18

5

Si 40 obreros trabajando 10 horas diarias en 15 días construyeron 300m de obra, ¿cuántos obreros se necesitarán para continuar 180m de obra trabajando una hora diaria menos durante 20 días? a) 18 d) 20

c) 20 e) 28

b) 22

c) 24 e) 26


Clave:

6

Diez obreros pueden hacer una obra en ocho días. Si fueran 2 obreros menos, ¿en cuántos días podrían hacer una obra de doble dificultad que la primera? a) 10 d) 20

b) 12

Clave:

6

c) 16 e) 14

Resolución:

Un excursionista recorre en 7 días 140 km andando 7 horas diarias. ¿Qué distancia recorrerá en 21 días, a 3 horas diarias? a) 180 km d) 190 km

b) 170 km

c) 160 km e) 150 km

Resolución:

Clave:


Clave: 35


Dos bombas trabajando 5 horas diarias durante 4 días consiguen bajar el nivel del agua en 65 cm. ¿Qué tiempo invertirán 3 bombas análogas para bajar el nivel en 78 cm, funcionando 8 horas diarias? a) 3 días d) 5 días

b) 6 días

7

Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 días, ¿cuántos días tardarían 45 carpinteros para hacer 12 puertas iguales? a) 5 d) 8

b) 4

c) 6 e) 7

c) 2 días e) 4 días Resolución:

Resolución:

Clave: 8

Clave:

Si 36 obreros para pavimentar una pista de 400m de largo por 6m de ancho demoran 32 días, ¿cuántos días tardarían si se aumenta 12 obreros más para pavimentar otra pista de 300m de largo por 8m de ancho? a) 24 días d) 30 días

b) 29 días

c) 26 días e) 28 días

8

Se necesitan 12 tarros de pintura, para pintar una superficie de 160m 2. ¿Cuántos tarros se necesitan para pintar una superficie rectangular de 16m de ancho por 30m de largo? a) 18 d) 27

b) 21

c) 24 e) 36


Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 36



Capítulo

5

Regla del Tanto por Ciento

PORCENTAJE DE UN NÚMERO Es una o varias de las 100 partes iguales en que se ha dividido un número. 1 de 80 100

N = 80

Ejemplos:

Calcula: a. El 2 % de 600 3 b. El 10% de 5 c. d. e. f.

2 . 600 = 4 300 10 . 5 = 0,5 ⇒ 100 1 1 . 5000 = 10 El % de 5000 ⇒ 5 500 0,6 . 200 = 1,2 El 0,6% de 200 ⇒ 100 0,25 . 10 000 = 25 ⇒ El 0,25% de 10 000 100 Felipe debe 2 400 soles y paga el 30%. ¿Cuánto debe aún? ⇒

30 . 2400 = 720 soles 100 Falta: 2 400 – 720 = 1680 soles. Paga :

Una parte se escribe: 1 ó 1%, y se lee: 1 por ciento. 100 20 partes se escribe: 20 ó 20%, y se lee: 20 por ciento. 100 Es decir: 

El 20% de 50

⇒



El 10% de 60

⇒



El 25% de 4

⇒



El 100% de 25

⇒

20 . 50 = 10 100 10 . 60 = 6 100 25 . 4 = 1 100 100 . 25 = 25 100

PORCENTAJES SUCESIVOS DE UN NÚMERO 

Calcula el 20% del 3% de 20 000. 20 . 3 . 20 000 = 120 100 100



Calcula el 10% del 25% del 4% de un millón de soles. 10 . 25 . 4 .1000 000=1000 soles 100 100 100



Observación El 100% de N es N

Jaime tiene el 20% del 10% de 500 y Pedro tiene el 1/5% del 600% de 5000. ¿Quién tiene más? Jaime : 20 . 100 Pedro : 1 . 500 ∴


10 . 500 = 10 100 600 . 5000 = 60 100

Pedro tiene 60 – 10 = 50 más. 37


Calcula el 10% más del 20% más de 10 000.



110 . 120 . 10 000 = 13 200 100 100 EUCLIDES

Calcula el 20% menos del 10% menos del 25% más de un millón de soles.



80 . 90 . 125 .1000 000=900 000 100 100 100 soles

uclides de Alejandría es el matemático más prominente de la antigüedad, conocido más por su tratado en matemáticas titulado Elementos . La naturaleza duradera de esta obra debe hacer a Euclides el profesor principal de las matemáticas. Al menos poco se sabe de la vida de Euclides excepto que enseño en Alejandría, en Egipto.

E

Pero sin duda, su obra más importante (y tal vez de las matemáticas) fue Elementos. Se han hecho más de mil ediciones de este libro, y hasta hace poco, fue el libro de texto en Gran Bretaña. Destaca en este libro, la claridad con la que se plantean los problemas y el rigor con el que se resuelven.

Observación En este caso, las palabras de, del, de los, de la, etc., se sustituyen por el signo (.)

¿QUÉ TANTO POR CIENTO ES UN NÚMERO DE OTRO? Usaremos la regla de 3 simple: 

¿Qué tanto por ciento es 2 de 5? 5 2



es es

es es

100 % x

x=

2 . 100% = 400% 1 2

es es

108 % 100%

x=

32 400 . 100 = 30 000 108

x=

83 700 . 100 = 90 000 93

El 97% del agua está en los mares, el 3% es dulce. De ese 3% el 97% está en los polos congelada, el 2% está en corrientes subterráneas y el 1% es a la cual tenemos acceso. De ese 1%, el 57% está en lagos, el 38% pertenece a la humedad del medio, el 2,98% es vapor, el 1% está en organismos vivos y el 1% está en los ríos. Esto nos deja con un 0,02% de agua para toda la humanidad.

¿De qué número es 83 700 el 7% menos? 83 700 x



2 . 100% = 40% 5

¿De qué número es 32 400 el 8% más? 32 400 x



x=

¿Qué tanto por ciento de 1/2 es 2? 1/2 2



100 % x

es es

93 % 100%

¿Qué porcentaje es la mitad de 500 del 25% de 40? mitad de 500 : 1 . 500 = 250 2 25% de 40 : 25 . 40 = 10 100 La pregunta será: ¿Qué porcentaje es 250 de 10? 10 250

38

es es

100 % x

x=

Observación 250 . 100 = 2 500 % 10

En este caso el número precedido de la palabra «de» es el 100%.


A ritmética - 2do Sec. 

Si 2a = 3b, ¿qué porcentaje es (a) de (a+b)? ¿Qué porcentaje es (a+b) de (a–b)? a 3 = 2a = 3b ⇒ b 2 La primera pregunta será: ¿qué porcentaje es 3 de (3+2)? 5 3

es es

100 % x

El 20% de 100 soles es 20 soles. El 10% de 100 soles es 10 soles. El 5% de 100 personas es 5 personas. El 27% de 100 caramelos es 27 caramelos.

x = 3 .100% = 60 % 5

La segunda pregunta será: ¿qué porcentaje es (3+2) de (3–2)? 5 .100% 1 es 100 % x= = 500 % 1 5 es x

5. En un salón de clase el 40% son hombres y las mujeres son 21.¿Cuántos alumnos hay en el salon? 1. ¿Qué tanto por ciento es 5 de 2?

Resolución:

C: Clase

Resolución:

5 .100% = 250% 2

2. ¿Qué porcentaje de 2/3 es 1/6? Resolución:

1 6 x 100% = 3 x 100% = 25% 2 12 3

60% C = 21 60 . C = 21 100 C = 35 H = 40% C 40 H= .C 100 H=

40 .35 100

H = 14

H+M=C

3. ¿Que tanto por ciento de 60 es 12? Resolución:

12 x 100 = 20% 60

4. Halla el 20% del 25% del 49% del 15 por 60 de 24000. Resolución:

20 . 25 . 49 . 15 . 2400 100 100 100 60 =

147


39


De los números: * 0,256 * 0,256256... * 13,4 * 0,2525 ... * 1,24 * 10,43333... ¿cuántos son decimales exactos? a) 1 e) 5

d) 4

5

De los números: * 1,2 * 0,242424... * 6,666... * 0,220 * 6,2424... * 1,2333... ¿cuántos son decimales periódicos puros? a) 1 e) 5

b) 2 c) 3

Resolución:

d) 4 c) 3

Resolución:

Clave:

6

De los números: * 0,12222... * 0,45555... * 0,010101... * 0,2323... * 1,2 * 2,32 ¿cuántos son periódicos puros? a) 1 d) 5

b) 2

b) 4

Clave:

6

c) 2 e) 3

Resolución:

De los números: * 60,2 * 17,2222... * 1,33... * 0,2424... * 0,15222... * 0,7 ¿cuántos son periódicos puros? a) 1 d) 5

b) 4

c) 2 e) 3

Resolución:

Clave:


Clave: 131

5-ARITMETICA 2do (1 - 16)

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