08
MATEMATIKA
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SO AL
UJI
AN
NA
Set 8 LOGARITMA A. Review Singkat Materi a. alog b = c – ac = b syarat numerous a, b > 0, a ≠ 1 b. Sifat-sifat 1. alog xy = alog x + alog y
x a = log x – alog y y 3. alog xm = m alog x 2.
log
a
logb p logb 1 = p = b loga loga loga 5. an logb m = m a logb n 6. alog b . blog c = alog c 7. alog 1 = 0 8. a alog b = b c. Persamaan alog f(x) = alog g(x) f(x) = g(x), f(x), g(x) > 0
4. alog b =
1
SIO
NA
L(
UN
)
d.
Pertidaksamaan a log f(x) < alog g(x), f(x), g(x) > 0 1. f(x)< g(x) bila a > 1 2. f(x) > g(x) bila 0 < a < 1
Contoh Soal 1.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log (52x + 25) > x(1 – log 2) + log 2 + log 13 adalah . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2013) A. {x ∈ R | x < 0 atau x > 2} B. {x ∈ R | 0 < x < 2} C. {x ∈ R | x ≤ 0 atau x > 2} D. {x ∈R | 0 ≤ x < 2} E. {x ∈ R | x > 2} Pembahasan: log (52x + 25) > x(1 – log 2) + log 2 + log 13 log (52x + 25) > x – xlog 2 + log 26 log (52x + 25) > log 10x – log 2x + log 26 log (52x + 25) > log 5x . 26 maka 52x + 25 > 5x . 26 [5x]2 – 26 . 5x + 25 > 0 (5x – 25)(5x – 1) > 0 pembuat nol x = 2, x = 0 garis bilangan _
+ 0
+
x
2
Hp = {x | x < 0 atau x > 2, x ∈ R} Jawaban: A 2.
Nilai x dengan x > 4 yang memenuhi ( x − 4 ) x UI Tahun 2012) A. -1 < x < B. x > 4
2
3 2
2
−4
>
( x − 4 ) x −5
adalah . . . . (Soal SIMAK
C. x > 5 3 atau x < 1 2 3 E. x > atau x < -1 4 D. x >
Pembahasan: Karena x > 4 maka x – 4 > 0 sehingga
( x − 4 )x ⇒ ( x − 4)
2
−4
x2 − 4
>
( x − 4 ) x −5
> ( x − 4)
x −5 2
x −5 2 2 ⇒ 2x − 8 > x − 5 ⇒ x2 − 4 >
⇒ 2x2 − x − 3 > 0 ⇒ ( 2 x − 3 )( x +1) > 0
3 atau x = -1 2 garis bilangan _ + akar x =
-1 3 Hp = x | x < -1atau x > 2
+
x
3 2
Jawaban: D 3.
Batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2logx < SIMAK UI Tahun 2010)
1 ( 2 x -3)-1
log 10
adalah . . . . (Soal
3 17 − 4 4
A.
x>
B.
3 17 17 3 −
C.
3 17 3 ≤x< + 2 4 4
3
D.
3 17 3
E.
3 17 3 ≤x< + 2 4 4
Pembahasan: 2logx <
1 ( 2 x −3)-1
log 10
syarat: 1) x > 0 . . . Hp1 2) (2x – 3)-1 > 0 1 >0 2x − 3 3 akar x = 2 garis bilangan
_
+ 3 2
3 Hp2 = x | x > 2
3) (2x – 3)-1 ≠ 1 1 ≠1 2x − 3 2x – 3 ≠ 1 x ≠ 2 . . . Hp3
Penyelesaian pertidaksamaan 2logx < 2
logx <
1 ( 2 x −3)-1 10
log 10
log ( 2 x − 3 )
2logx < -2log ( 2 x − 3 ) logx < -log ( 2 x − 3 )
4
-1
x
logx < log (2 x − 3)
-1
1 2x − 3 1 x− <0 2x − 3 2x2 − 3x − 1 <0 2x − 3 x<
3– 9+8 4 3 – 17 = 4
x1,2 =
akar pembilang (Rumus ABC) x1 =
3 − 17 , 4
x2 =
akar penyebut x =
3 2
3 + 17 4
garis bilangan –
+ 3 − 17 4
Hp3 = x <
– 3 2
+
x
3+ 17 4
3 − 17 3 3 + 17 ∪
maka Hptotal Hptotal = Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3
3 17 − 4 4
0
3 17 3 + Hptotal = x | < x < 4 4 2 4.
3 2
3 17 + 4 4
2
Jawaban: D
Jika p dan memenuhi persamaan 3log (4(3x) – 7) = -1 + 3log (9x + 6), maka nilai p + q = . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2009) A. -6 B. -3 C. 3
5
D. 6 E. 12 Pembahasan: 3 log (4(3x) – 7) = -1 + 3log (9x + 6)
(( (( )) ))
(( ))
1 ⇒ 33 log 4 3 xx − 7 = 33 log 1 + 33 log 3 xx ⇒ log 4 3 − 7 = log 3 + log 3 3 2 x 2 3 + 6 x +6 ⇒ 33 log 4 3 xx − 7 = 33 log 3 ⇒ log 4 3 − 7 = log 3 3 2 x 2 3x + 6 +6 ⇒ 4 3 xx − 7 = 3 ⇒ 4 3 −7= 3 3 2 ⇒ 3 xx 2 − 12 3 xx + 27 = 0 ⇒ 3 − 12 3 + 27 = 0
(( (( )) ))
(( ))
2 2
+ 6 + 6
( ) (( )) ( ) (( )) (( )) ⇒ ( 3 − 9 )( 3 − 3 ) = 0 ⇒ ( 3 − 9 )( 3 − 3 ) = 0 x x
x x
⇒ 3 xx = 9 atau 3 xx = 3 ⇒ 3 = 9 atau 3 = 3 ⇒ x1 = 2 atau x2 = 1 ⇒ x1 = 2 atau x2 = 1 ⇒ p = 2 atau q = 1 ⇒ p = 2 atau q = 1 maka p + q = 3 maka p + q = 3 Jawaban: C 5.
Himpunan penyelesaian |log(x – 1)| < 1 adalah . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2009) A. {x | 11 < x < 110} B. {x | -11 < x < 110} C. {x | -9 < x < 110} 11 D. x | - < x < 11 10 11 E. x | < x < 11 10 Pembahasan: |log(x – 1)| < 1 • syarat x–1>0 x > 1 . . . Hp1 • |log(x – 1)| < 1 -1 < log(x – 1) < 1
6
log
1 < log ( x − 1) < log10 10
1 < x − 1< 10 10 11 < x < 11 ... Hp2 10 Hptotal = Hp1 ∩ Hp2
•
x 1
11
11 10
11 Hptotal = x | < x < 11, x ∈ R 10 6.
Nilai x yang memenuhi 9 A. -5 dan 3 B. 2 dan 3 C. 3 dan 5 D. 3 E. 5 Pembahasan: 32 3
3
3
log( 2 x +1)
log( 2x+1)
2
+ 22 +2
2
2
log( x +3 )
log( x +3 )
2
3
Jawaban: E
log( 2 x +1)
+4
2
log( x +3 )
= 85 adalah . . . .
= 85 = 85
( 2 x +1)2 + ( x + 3)2 = 85 4 x 2 + 4 x +1+ x 2 + 6 x + 9 = 85 5 x 2 +10 x − 75 = 0 x 2 + 2 x − 15 = 0
( x + 5)( x − 3) = 0 x1 = -5 atau x2 = 3 test
2x + 1
x+3
x1 = -5
-9 x
-2 x
bukan solusi
x2 = 3
7
6
solusi
solusinya x = 3 Jawaban: D
7
7.
log xy . ylog xy + xlog (x – y) . ylog (x – y) = 0 x > y > 0, x, y ≠ 1, nilai x + y adalah . . . . x
A. 3 + 2 B. 7 C.
5
D. 2 + 3 E. 1+ 5 Pembahasan: x log xy . ylog xy + xlog (x – y) . ylog (x – y) = 0 logxy logxy log ( x − y ) log ( x − y ) + =0 × × logx logy logx logy
[logxy ]2 + log ( x − y )
2
=0
log xy = 0 dan log (x – y) = 0 xy = 1 x – y = 1 . . . (2) 1 y = & (1) x (1) substitusi ke (2) 1 =1 x ⇒ x 2 + x − 1= 0 a = 1, b = 1, c = -1 x−
-b – b2 − 4 ac 2a -1– 5 = 2 -1+ 5 ⇒x= { x > 0} 2 ⇒ x1,2 =
8
y=
1 x 1
⇒y=
-1+ 5 2 2 5 +1 ⇒y= × 5 −1 5 +1 5 +1 2
=
5 −1 5 +1 + 2 2 x+y= 5
maka x + y =
Jawaban: C
8. Un menyatakan suku ke-n dari suatu barisan. Jika logUn = 5 + log15 − log25 n −1 + + log5n−1 , maka rumus Un adalah . . . . 5 2 log125 1+ log5 + log 5
log45 + log15 − log25 n −1 + + 5 log125 1+ log5 + log2 5
A. 0,3 × 10n B. 27 × 10n C. 10 × 3n 270 10n E. 9 × 10n Pembahasan: D.
logUn = =
log45 + log15 − log25 n −1 + + log5n-1 5 log125 1+ log5 + log2 5 log27 + 3
log10n-1 + log5n-1 log10 log10 − log5
1 = log27 + ( n − 1) log2 + ( n − 1) log5 3 = log3 + ( n − 1) log10 = log3 × 10n-1 → Un = 3 × 10n-1 = 0,3 × 10n Jawaban: A
9
9.
x x Harga x yang memenuhi persamaan 3 + 2 2 − 3 − 2 2 = 3 adalah . . . . 2 A. 3-2 2 log2
B.
3-2 2
log3
C.
1+ 2
D. E.
2
log 1+ 2
3
log2
log2
(
)
Pembahasan: x x 3 3 + 2 2 x − 3 − 2 2 x = 3 3+2 2 − 3−2 2 = 2 2 x x 3 2 +1 x − 2 − 1 x = 3 2 +1 − 2 − 1 = 2 23 x 1 = 2 +1 x − 1 x 3 2 +1 − 2 + 1 x = 2 2 + 1 2 x misal 2 +1 x = y misal 2 +1 = y 1 3 y− 1=3 y− y =2 y 2 2y2 − 2 = 3y 2y2 − 2 = 3y 2y2 − 3y − 2 = 0 2y2 − 3y − 2 = 0 ( 2 y +1) ( y − 2 ) = 0 ( 2 y +1 ) ( y − 2) = 0 1 atau y = 2 y=-1 y =-2 atau y = 2 2 x x 1 2 +1 x = - 1 2 +1 x = 2 2 +1 = - 2 2 +1 = 2 2
pilihan pertama tidak mungkin x
karena 2 +1 > 0 maka x
2 +1 = 2 x
log 2 +1 =
2 +1
x=
2 +1
log2
2 +1
log2 Jawaban: C
10
10. Bila log 2 = a, log 3 = b, dan 2x+1 = 32-3x, maka nilai x + 1 adalah . . . . 5a A. 3a + b B.
5a 3a − b
C.
5b a + 3b
D.
5b a − 3b
E.
3a + b 5a
Pembahasan: 2x+1 = 32-3x 2-3 x ⇒ log2 xx +1 +1 = log32-3 x ⇒ log2 = log3 ⇒ ( x +1) log2 = ( 2 − 3 x ) log3 ⇒ ( x +1) log2 = ( 2 − 3 x ) log3 ⇒ ( x +1) a = ( 2 − 3 x ) b ⇒ ( x +1) a = ( 2 − 3 x ) b ⇒ ax + 3bx = 2b − a ⇒ ax + 3bx = 2b − a ⇒ x ( a + 3b ) = 2b − a ⇒ x ( a + 3b ) = 2b − a 2b − a ⇒ x = 2b − a ⇒ x = a + 3b a + 3b 2b − a a + 3b ⇒ x +1= 2b − a + a + 3b ⇒ x +1= a + 3b + a + 3b a + 3b a + 3b 5b ⇒ x +1 = 5b ⇒ x +1 = a + 3b a + 3b Jawaban: C
Soal Latihan 1.
Diketahui 2log 2log 3log x = 2log 3log 2log y = 0, maka x + y adalah . . . . A. 8 B. 9 C. 16 D. 17 E. 18
11
2.
Bila x, log3, dan log4 adalah tiga sisi dari segitiga siku-siku, nilai x yang mungkin adalah . . . . A.
log4 dan
log12
B.
log
4 dan 3
log12
C.
log
4 saja 3
D.
log12 saja
E. tidak ada yang memenuhi 3.
Apabila x memenuhi A. B. C. D. E.
12
1 2 1 2 4 8
2
2
logx = 3 , maka nilai dari 1 + x + x2 + x3 + x4 + ... adalah . . . . log2 x − 8 log2
4.
Perhatikan xy = 10a, yz = 10b, xz = 10c. Nilai dari log x + log y + log z adalah . . . . A. abc abc B. 2 C. a + b + c D. 2a + 2b + 2c a+b+c E. 2
5.
Diketahui persamaan 2x – 3log y = 7 2y + 3log x = 9 maka nilai x + y adalah . . . . A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 8
