25. PERSAMAAN/PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA A. Persamaan Logaritma Untuk a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0, g(x) > 0 1. Jika alog f(x) = alog p, maka f(x) = p 2. Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x)
B. Pertidaksamaan Logaritma
Untuk a > 1 1. Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) > g(x) 2. Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) < g(x)
Tanda Pertidaksamaan tetap
Jika 0 < a < 1 1. Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) < g(x) 2. Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) > g(x)
Tanda Pertidaksamaan berubah
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com
1.
SOAL Untuk x yang memenuhi persamaan 2
PENYELESAIAN 2 x −1 2 log 16 4 = 8
2 x −1 log 16 4 = 8, maka 32 x = …
a. b. c. d. e.
2
⇔ log 2
19 32 52 144 208
2
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
4(
2 x −1 ) 4 = 2log 28
log 2 2 x −1 = 2log 28 2x – 1 = 8 {2x = 9}× 16 32x = 144 ……………………(d)
2. Akar-akar persamaan logaritma 3 log2x – 3 3log x + 2 = 3log 1 3 log2x – 3 3log x + 2 = 3log 1 adalah x1 dan x2. ⇔ (3log x)2 – 3 (3log x) + 2 = 0 nilai x1 + x2 = …. ⇔ (3log x – 1)(3log x – 2) = 0 a. 2 b. 3 (ii) 3log x – 2= 0 (i) 3log x – 1= 0 3 3 c. 6 log x = 1 log x = 2 1 d. 9 x=3 =3 x = 32 = 9 e. 12 Jadi x1 + x2 = 3 + 9 = 12 ………………………(e) 3. Penyelesaian persamaan 2 log(3x2 + 5x + 6) – 2log(3x + 1) = 2 2 log(3x2 + 5x + 6) – 2log(3x + 1) = 2 adalah α ⇔ 2log(3x2 + 5x + 6) – 2log(3x + 1) = 2log22 dan β. Untuk α > β, nilai α – β = … 3x 2 + 5x + 6 2 2 a. 13 = log 4 ⇔ log b.
1 2
⇔
c. 1 23 d. 2 e. 3
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
2 3x + 5x + 6 = 4 3x + 1 3x + 1
3x2 + 5x + 6 = 4(3x + 1) 3x2 + 5x + 6 = 12x + 4 2 3x + 5x – 12x + 6 – 4 = 0 3x2 – 7x + 2 = 0 (3x – 1)(x – 2) = 0
(i) 3x – 1= 0 x=
1 3
=β
(ii) x – 2 = 0 x=2=α
Jadi: α – β = 2 – 13 = 1 23 ……………………(c) 4. Persamaan 4log(2x2 – 4x + 16) = 2log(x + 2) mempunyai penyelesaian p dan q. untuk p > q, maka nilai p – q = … a. 4 b. 3 c. 2 d. –1 e. –4
4
log(2x2 – 4x + 16) = 2log(x + 2)
2 ⇔ 2 log(2 x 2 − 4 x + 16) = 2log(x + 2)
⇔ 12 2log(2x2 – 4x + 16) = 2log(x + 2) ⇔ 2log(2x2 – 4x + 16) = 2log(x + 2)2 ⇔ 2x2 – 4x + 16 = x2 + 4x + 4 ⇔ 2x2 – x2 – 4x – 4x + 16 – 4 = 0 ⇔ x2 – 8x + 12 = 0 ⇔ (x – 6)(x – 2)= 0 (i) x – 6 = 0 x=6=p
(ii) x – 2 = 0 x=2=q
Jadi: p – q = 6 – 2= 4 …………………………(a)
225 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL PENYELESAIAN 5. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 3 2 ( log x) – 3 3log x + 2 = 0 (3log x)2 – 3 3log x + 2 = 0, maka x1· x2 = … a. 2 ⇔ (3log x)2 – 3(3log x) + 2 = 0 ⇔ (3log x – 1)(3log x – 2) = 0 b. 3 (i) 3log x – 1= 0 3 log x = 1 x = 31 = 3
c. 8 d. 24 e. 27
(ii) 3log x – 2= 0 3 log x = 2 x = 32 = 9
Jadi x1 · x2 = 3 · 9 = 27 ….……………………(e)
6. Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma 2x – 5log(3x – 4) = 2x – 5log(x + 2) adalah … a. {2} b. {1} c. {0}
2x – 5
log(3x – 4) = 2x – 5log(x + 2) persamaan 3x – 4 = x + 2 3x – x = 2 + 4 2x = 6 x=3
periksa bilangan pokok h(x) = 2x – 5 h(3) = 2(3) – 5 = 1 ………tidak memenuhi, karena syarat h(x) tidak boleh sama dengan 1
d. {–1} e. { }
jadi: HP = {} ………………………………(e) 7. Akar-akar persamaan 4log(2x2 – 3x + 7) = 2 adalah x1 dan x2. Nilai 4x1· x2 = … a. –6
4
log(2x2 – 3x + 7) = 2
2 ⇔ 2 log(2 x 2 − 3 x + 7) = 2log 22
b. –18
⇔ 12 2 log(2 x 2 − 3 x + 7) = 2log 4
c. 10
⇔ 2 log(2 x 2 − 3 x + 7) = 2log 42 ⇔ 2x2 – 3x + 7 = 16 ⇔ 2x2 – 3x + 7 – 16 = 0 ⇔ 2x2 – 3x – 9 = 0
d. 18 e. 46
Bentuk akhir di atas adalah persamaan kuadrat, sehingga nilai 4x1· x2 dapat diketahui tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu.
c a
−9 2
4x1· x2 = 4 = 4
= 2(– 9) = –18 ………………(b)
226 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com
SOAL 8. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x log9 < xlog x2 adalah … a. {x | x ≥ 3} b. {x | 0 < x < 3}
PENYELESAIAN x
log9 < xlog x2
(i) syarat numerus x > 0, x ≠ 1 (ii) pertidaksamaan 9 < x2 ⇔ {9 – x2 < 0} × (–1) ⇔ x2 – 9 > 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) > 0
c. {x | 1 < x < 3} d. {x | x > 3} e. {x | 1 < x ≤ 3}
Pembentuk nol x = {–3, 3} berdasarkan persyaratan pada poin (i) maka HP = {x | x > 3} 9. Batas-batas nilai x yang memenuhi 3 log(x2 – 2x + 1) ≤ 2 adalah … a. –2 ≤ x ≤ 4, x ≠ 1 b. 1 ≤ x ≤ 4
c. 1 < x ≤ 4 d. –4 ≤ x ≤ 1
log(x2 – 2x + 1) ≤ 2 ⇔ log(x2 – 2x + 1) ≤ 3log 32 ⇔ 3log(x2 – 2x + 1) ≤ 3log 9 3 3
(i) pertidaksamaan x2 – 2x + 1 ≤ 9 x2 – 2x – 8 ≤ 0 (x + 2)(x – 4) ≤ 0
e. –4 < x < 4, x ≠ 1 •
pembentuk nol x+2=0 x = –2
•
x–4=0 x=4
x = {– 2, 4} (ii) numerus x2 – 2x + 1 > 0 ⇔ (x – 1)2 > 0 pembentuk nol x = {1} grafik himpunan penyelesaian
berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {–2 ≤ x ≤ 4, x ≠ 1} …………………..(a)
227 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 10. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9 log(x2 + 2x) < ½ adalah … a. –3 < x < 1 b. –2 < x < 0
PENYELESAIAN 9
log(x2 + 2x) < 1
2
2
⇔ 3 log( x 2 + 2 x) < 12
c. –3 < x < 0
⇔ { 1 3 log( x 2 + 2 x) < 1 }× 2
d. –3 ≤ x ≤ 1 atau 0 < x < 2
⇔ log( x + 2 x) < 1
2
e. –3 < x < –2 atau 0 < x <1
3
2
2
⇔ 3 log( x 2 + 2 x) < 3log 3 i) pertidaksamaan x2 + 2x < 3 x2 + 2x – 3 < 0 (x + 3)(x – 1) < 0 pembentuk nol • x+3=0 x = –3
•
x–1=0 x=1
x = {– 3, 1} (ii) numerus x2 + 2x > 0 ⇔ x(x + 2) > 0 pembentuk nol x = {0, – 2} Grafik himpunan penyelesaian
berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {–3 < x < –2 atau 0 < x <1} …………..(e)
228 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 11. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1 2
PENYELESAIAN 1 2
log( x − 8) > 0 adalah … 2
log( x 2 − 8) > 0 1 2
⇔
b. {x | – 2 2 < x < 2 2 } c. {x | x < –3 atau x < 3
(i) pertidaksamaan
d. {x | x < – 2 2 atau x < 2 2 } e. {x | –3 < x < – 2 2 atau 2 2 < x < 3}
1
log( x 2 − 8)> 2 log1
a. {x | –3 < x < 3
Karena bilangan pokok 1 < 1, maka tanda 2 pertidaksamaan berubah x2 – 8 < 1 ⇔ x2 – 9 < 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) < 0 pembentuk nol x = {– 3, 3} (ii) numerus x2 – 8 > 0 pembentuk nol x2 = 8 x= ± 8 x= ±2 2
berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {x | –3 < x < – 2 2 atau 2 2 < x < 3} ………………………………………..…..(e)
229 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 1 2
1 2
log( x − x )≥ log( x + 3) adalah … 2
a. {x | –1≤ x ≤ 3, x ∈R
b. {x | –1≤ x < 0 atau 1< x ≤ 3, x ∈R c. {x | x < 0 atau x > 1, x ∈R d. {x | –1≤ x < 0 atau x ≥ 3, x ∈R e. {x | x ≥ 0 atau –1 ≤ x ≤ 3, x ∈R
PENYELESAIAN 1 2
1
log( x 2 − x )≥ 2 log( x + 3)
(i) pertidaksamaan Karena bilangan pokok 1 < 1, maka tanda 2 pertidaksamaan berubah x2 – x ≤ x + 3 ⇔ x2 – x – x – 3 ≤ 0 ⇔ x2 – 2x – 3 ≤ 0 ⇔ (x + 1)(x – 3) ≤ 0 pembentuk nol x = {– 1, 3} (ii) numerus a) x2 – x > 0 x(x – 1)
b) x + 3 > 0 x > –3
pembentuk nol x = {0, 1}
berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {x | –1≤ x < 0 atau 1< x ≤ 3, x ∈R} ……………………………………………..(b)
230 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
