MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CINEMÁTICA
Mecánica del medio continuo CONTENIDO Introducción al curso 1. Preliminares de matemática matemática 2. Cinemática 3. El principio de los esfuerzos 4. Teoría lineal de la elásticidad 5. Teoría de la Plasticidad
2. Cinemática CONTENIDO 2.1 Descripción del movimiento de un continuo 2.2 El campo de desplazamientos desplazamientos 2.3 La derivada material 2.4 Gradiente de deformación, Tensor Tensor de deformación finita 2.5 Teoría de la deformación infinitesimal
2. Cinemática CONTENIDO Tensor de deformación, tensor de giro Gradiente de velocidad, tasa de deformación Derivada material de elementos lineales, elementos superficiales y elemento volumétricos Condiciones de compatibilidad de la teoría lineal
Descripción del movimiento de un continuo Mecánica del continuo continuo
A partir de experiencias a través de experimentos y de observaciones de comportamientos a nivel microscópico la Mecánica del Medio Continuo construye modelos matemáticos, que describen el comportamiento mecánico (o termodinámico) de cuerpos materiales (gases, fluidos y sólidos), sin considerar la estructura microscópica (atómica). Por está razón es una teoría fenomenológica.
Descripción del movimiento de un continuo Mecánica del continuo continuo
En la Mecánica del Medio Continuo Continuo primero se establecerán los principios que son aplicables a todos los medios (especialmente ( especialmente fluidos y sólidos) bajo todas las clases de condiciones de carga. Luego se estudian las ecuaciones constitutivas que definen los comportamientos de tipos de materiales idealizados. Finalmente se tratan problemas específicos y los resultados se comparan con observaciones experimentales.
Descripción del movimiento de un continuo Mecánica del continuo
El Continuo lo suponemos (lo pensamos) construido (conformado) con elementos volumétricos infinitesimales cargados de materia, llamados elementos materiales o puntos materiales. Se necesita que esos puntos puedan ser identificados (por ejemplo, suponiendo que cada elemento material está pintado de una manera característica).
Descripción del movimiento de un continuo Mecánica del continuo
De esta manera puede seguirse la trayectoria de cada elemento en el espacio cuando el cuerpo se deforma (mueve). Entendemos como un cuerpo material M (con una superficie M ) una cantidad de puntos materiales que interactúan mutuamente (compactos), los cuales cubren en cada instante una parte del espacio Euclídeo tridimensional.
Descripción del movimiento de un continuo Posición momentánea (t > 0) (Configuración momentánea)
Posición de referencia (t = 0) (Configuración de referencia; en general indeformable y libre de esfuerzos)
Desplazami ento
u , t
P
M
P
M
t=t 0
M
e3
x
ˆ
e2 ˆ
e1 ˆ
9
M
Descripción del movimiento de un continuo Notación:
: Cuerpo material (volumen) M : Superficie del cuerpo material u t : Campo vectorial de desplazamiento M
,
A cada punto material P (Elemento volumétrico material) de la posición de referencia, le es asignado un vector de po sición de acuerdo con un determinado sistema de coordenadas (p.e Cartesianas):
i i ei ˆ
Descripción del movimiento de un continuo La posición del mismo punto material en un tiempo posterior t > 0, en la posición momentánea, es descrita por un vector posición x:
x xi ei
Un elemento volumétrico material esta conformado siempre por los mismos átomos y moléculas. Ecuaciones cinemáticas de movimiento
Imagen: x ( )
:Función vectorial unívoca
Descripción del movimiento de un continuo Imagen invertida
1
x
-1 y
Deben ser suficientemente diferenciables (tantas veces como sea requerido; por lo general dos o tres veces)
Ejemplo:
Considere el movimiento: x1 1 0.2t 2
2 x3 3 x2
Descripción del movimiento de un continuo Esquematice la configuración en el tiempo t = 2 para un cuerpo que en t = 0 tiene la forma de un cubo con lados igual a la unidad y con una de sus esquinas en el origen. 2 , x2 C
Solución: Para una partícula que en el tiempo t = 0 esta-
B
ba en el origen, se cumple: 1, x1 O
3 , x3
A
xi
0 para todo t
Es decir esta partícula permanece en el origen todo el tiempo.
Descripción del movimiento de un continuo Similarmente, la partícula que en el tiempo t = 0 permanecía en la posición (1, 0, 0) se moverá a xi = 1d1i . Es decir, las partículas sobre la línea OA no se mueven. 2 , x2 C
B
Una partícula (1, 1, 0) sobre la línea CB ocupará en el tiempo t = 2 la posición: 1, x1 xi
O
3 , x3
A
1 0.2 2 1d 1i 1d 2i
Es decir, cada partícula de la línea CB se desplaza horizontalmente hacia la derecha una distancia igual a (0.2)(2) = 0.4
Descripción del movimiento de un continuo Una partícula (0, 2, 0) sobre la línea OC se moverá: xi
0 0.22 2 d 1i 2d 2i
2 , x2 C C ´
O
3 , x3
Es decir, cada partícula sobre la B línea OC se moverá horizontal B´ mente hacia la derecha una distancia linealmente proporcional 1, x1 a su altura, de tal manera que OC ´ permanezca como una líA nea recta. Una situación similar se presenta para la línea AB.
Descripción del movimiento de un continuo Descripciones referencial y espacial Cuando un continuo está en movimiento, cantidades como temperatura q y velocidad v, asociadas a partículas específicas, cambian con el tiempo. Existen dos maneras para describir esos cambios: 1. Siguiendo la partícula, es decir q y vi se expresan como una función de las coordenadas de las partículas en una configuración de referencia fija y un tiempo t . q q 1, 2 , 3 , t vi
vi 1, 2 , 3 , t
Descripción del movimiento de un continuo Esta descripción es conocida como Lagrangiana o referencial o descripción material i : Coordenadas materiales (coordenadas Lagrangianas) 2. Observando los cambios en posiciones fijas , es decir q y vi se expresan como una función de xi y de t .
q q x1, x2 , x3 , t vi
vi x1, x2 , x3 , t
Esta descripción es conocida como Espacial o Euleriana xi : Coordenadas espaciales (Coordenadas de Euler )
Descripción del movimiento de un continuo En la descripción Euleriana lo que es descrito o medido es el cambio de cantidades en un punto fijo en el espacio (no una partícula material específica) como una función del tiempo. La misma posición espacial es ocupada por diferentes partículas en tiempos diferentes. Por esta razón, la descripción espacial no provee información directa relacionada con el cambio en los valores de una cantidad asociada con una partícula material cuando esta se mueve a través del es pacio. Ambas descripciones están relacionadas entre sí por el movimiento: si éste es conocido una descripción puede ser obtenida a partir de la otra.
Descripción del movimiento de un continuo Ejemplo:
El movimiento de un cuerpo está dado por: xi
i 0.2t 2d 1i
(1)
El campo de temperatura está dado por: 2 q 2 x1 x2
(2)
a) Encuentre la descripción material de la temperatura b) Encuentre la tasa de cambio de la temperatura de una partícula que en el tiempo t = 0 se encontraba en (0, 1, 0)
Descripción del movimiento de un continuo Solución:
a) Sustituyendo (1) en (2) q 2 x1 x22 2 q 2 1 0.2t 2 2 q 2 1 2 0.4t 2
(3)
b) La temperatura de la partícula deseada en diferentes tiempos es dada por q 1 0.4t d q 0.4 dt
Descripción del movimiento de un continuo Note que aunque la temperatura es independiente del tiem po en la descripción espacial, una partícula experimenta un cambio de temperatura cuando esta se mueve de una posición a otra; ésto se ve claro en la ecuación (3). Mientras que la descripción espacial es comúnmente usada en mecánica de fluidos, la descripción referencial es usada en mecánica de sólidos y en la formulación de leyes de la mecánica.
Descripción del movimiento de un continuo Un cambio en la configuración es el resultado de un despla zamiento del cuerpo. Un desplazamiento de cuerpo rígido consiste de una translación y una rotación simultáneas. Esto produce una nueva configuración sin cambio en las dimensiones y en la forma del cuerpo. Con frecuencia un desplazamiento incluye desplazamiento de cuerpo rígido y deformación, la cual produce cambio en las dimensiones y/o en la forma.
Descripción del movimiento de un continuo Un movimiento de un cuerpo es un secuencia de desplazamientoscontinuos en el tiempo que lleva el conjunto de partículas a varias configuraciones dentro de un espacio. Def : Movimiento: Familia de posiciones de un parámetro
x , t ,
, t 0
Descripción del movimiento de un continuo Si se consideran las ecuaciones: 2
x1 1t x2 x3
2 2t 1
2 1t 2 2t 2 1
3t 3 2
en el tiempo t = 1 se obtendrá: x1 2 1 2 x2 x3
2 1 2 3
3 2
Descripción del movimiento de un continuo Puntos (a, -a, 0) en la configuración de referencia se moverán a una posición (0, 0, 0) en el tiempo t = 1. Ésto implica que diferentes partículas que ocupaban diferentes posiciones en la configuración de referencia, son desplazadas hacia el mismo sitio en la configuración momentánea (en el tiempo t = 1). Esto equivale a la colisión de varias partículas materiales. A pesar de que en la mecánica de partículas son permitidas las colisiones, en la mecánica del medio continuo se supone que esta posibilidad es excluida desde el comienzo. En la mecánica del medio continuo se supone que partículas materiales diferentes ocupan siempre lugares diferentes.
Descripción del movimiento de un continuo Esto es equivalente al requerimiento que:
x 1, 2 , 3 , t
sea una imagen uno a uno de las partículas de la configuración de referencia en la configuración momentánea. Debido a que en la mecánica del medio continuo se requiere diferenciar funciones con respecto a xi y a i de aquí en adelante se supondrá que la imagen x 1, 2 , 3 , t es continuamente diferenciable y tiene una inversa continua diferencia ble dada por:
1
x1, x2 , x3 , t
Descripción del movimiento de un continuo
Vector de desplazamiento u
El vector de desplazamiento u de una partícula es la diferencia entre sus vectores de posición en el tiempo t y en el tiempo t = t 0 (= 0):
u
x
En la descripción Lagrangiana el desplazamiento u es ex presado como una función de i y t .
Descripción del movimiento de un continuo Considere por ejemplo el movimiento: 2
x1 1t x2 x3
2 2t 1
2 1t 2 2t 2 1
3t 3 2
Las componentes de desplazamiento correspondientes están dadas por. u1 1t 2 2 2t u2 2 1t 2 2t u3
1
3t 2
Descripción del movimiento de un continuo
En la descripción Euleriana u se expresa como una función de xi y de t . Tomando la descripción Lagrangiana y resolviendo i en términos de xi y t , y sustituyendo esta en la ecuación de movimiento u x se obtiene: u1 x1 1 x1
x11 t 2 x2t
3t 3 t 2 t 1 2 2 x2 1 t 2 x1t u2 x2 2 x2 3t 3 t 2 t 1 2 x3 u3 x3 3 x3 t 2
Descripción del movimiento de un continuo Derivada Material La tasa de cambio con el tiempo de una cantidad tal como la temperatura o la velocidad de una partícula material es conocida como una derivada material . Cuando la descripción referencial o Lagrangiana de una cantidad es usada, como por ejemplo q q 1, 2, 3 , t , entonces q
q t cons
Descripción del movimiento de un continuo Cuando la descripción espacial o Euleriana de una cantidad es usada, como por ejemplo q q x1, x 2 , x3 , t , en donde x , t 1, 2 , 3 , t , entonces:
x q q q t x cons x j t cons
Descripción del movimiento de un continuo De acuerdo con ésto, la componente j de la velocidad de una partícula material esta dada por
x j v j t cons Llegando a:
q q q v t x cons x j cons
Descripción del movimiento de un continuo 2 Ejemplo: Dado q 2 x1
2 x2
donde x 1 t encuen-
tre en t = 1 la tasa de cambio de temperatura de la partícula material que en la posición de referencia se encontraba en la posición (1,1,1)
i
q 2 x12 x22
2 12 1 t 2 22 1 t 2 q 22 12 1 t 2 22 1 t q en t 1 para la partícula material (1,1,1) 16
Descripción del movimiento de un continuo
ii
q
q q x j t x j t
0 4 x11 4 x21 En t 1 para pa ra la partí pa rtícu cula la material (1,1,1) xi i (1 t )
q 0 4 1 (1 t ) 4 2 (1 t ) q 0 4 1 (1 1) 4 (1 1) q 16
Descripción del movimiento de un continuo Tarea: El movimiento de un medio continuo es definido por
las ecuaciones: x1 x2 x2
1
1
1 2 e 1 2 et t
2 1
2 t 1 t 1 2 e 1 2 e 2 2 3
a. Exprese Exprese las compon component entes es de de veloc velocida idadd en térmi términos nos de de las coordenadas materiales y tiempo b. Exprese las componentes componentes de velocidad en términos de coordenadas espaciales y tiempo.
Descripción del movimiento de un continuo Tarea: El movimiento de un cuerpo está dado por
xi
1 kt 2 d i1 2d i 2 3d i3
y el campo de temperatura está dado por : q x1 x2 Encuentre q para una partícula localizada en la posición (1,1,1) en la configuración momentánea
Descripción del movimiento de un continuo
Def : Vector aceleración a del punto material en el tiempo t , el cual se encontraba en la posición en el tiempo t = 0: 2 , t | const a x t 2
La aceleración de una partícula material es la tasa de cam bio de su velocidad. La componente i de la aceleración de una partícula material esta dada por
vi ai vi t cons
2.1 Descripción del movimiento de un continuo Si la descripción material de la velocidad es conocida como
v , t 1, 2 , 3 , t
Entonces la aceleración se calcula simplemente obteniendo la derivada parcial con respecto al tiempo de la función
1, 2 , 3 , t .
Por otro lado, si solamente es conocida la descripción espa cial de la velocidad, p.e. v x , t x1, x2 , x3 , t entonces la aceleración se determina como:
Descripción del movimiento de un continuo
v v v x a t cons t x cons xk t cons
v v v t x cons xk cons
v La parte de la aceleración dada por v es llamada acele xk ración convectiva.
Cuando el movimiento se presenta únicamente a lo largo del eje x1, es decir, v2 = v3 = 0 y v1 = v1( x1,t ), entonces:
Descripción del movimiento de un continuo
v1 v1 a1 v1 t x1
Descripción del movimiento de un continuo Movimiento General t 0
P
F
d
A
x A
A
t 0
A
e3
dx P
ˆ
e2
x
ˆ
e1 ˆ
A y P son puntos con una vecindad infinitesimal
d A
y
d x x x A
son los vectores de distancia en el tiempo
t 0
y t 0 .
Descripción del movimiento de un continuo
d x Fd
1 det F 0 existe F 1 d F d x
con d 0 se cumple Fd 0
Dos puntos materiales diferentes en la configuración de referencia son representados en dos puntos materiales diferentes en la configuración momentánea. Abreviación:
Descripción del movimiento de un continuo Por un lado:
d x dxi ei ˆ
Diferencial total xi d k ei xi ,k d k ei
k
ˆ
(1)
ˆ
Por otro lado:
d x Fd F ik ei ek d l el F ik d k ei (2) ˆ
ˆ
ˆ
haciendo (1) (2) se obtiene
xi F ik xi,k k
ˆ
Descripción del movimiento de un continuo Campo tensorial gradiente de deformación defor mación F F ik ei ˆ
ek xi,k ei ek ˆ
ˆ
ˆ
xi x ei ek :
k
ˆ
ˆ
En general F es dependiente de la posición y del tiempo: F F , t . Cuando F es independiente de la posición, es decir F Ft , el tensor se denomina homogéneo.
Descripción del movimiento de un continuo Caso especial :
Movimiento rígido (Isometría). Rotación de t 0
cuerpo rígido. t 0
A
c t
P
x A
A
A x x A
P
x
A
xt x A t Qt A
Tensor ortogonal, ortogonal, es decir, Qt Qt T 1 es satisfecho satisfecho para todo t, Qt 0 1 Qt :
Descripción del movimiento de un continuo Movimiento de cuerpo rígido general: t 0
A
P
x A
x
P
A
A
A x x A
c t
t 0
O
x t A c t Qt A
con c t 0 0 Qt 0 1
Descripción del movimiento de un continuo Transformación de un Elemento Volumétrico Material
d 3 dV 0
d 2
d 1
F
d 1 x
d 2 x
dV
d 3 x
d 1 , d 2 , d 3 , elementos lineales materiales, perpendicula-
res entre si en la configuración de referencia.
Descripción del movimiento de un continuo
Los elementos materiales d 1 x , d 2 x , d 3 x en la posición momentánea no son, por lo general, perpendiculares entre si. dV 0
d 1 d 2 d 3 e pqr d 1 p d 2 q d 3 r
d x Fd Fd l el xi,k ei ek d l el xi,k d k ei ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
dV d 1 x d 2 x d 3 x xi , p d 1 p ei x j ,q d 2 q e j xk ,r d 3 r ek ˆ
ˆ
eijk ei e j ek ˆ
ˆ
ˆ
dV eijk xi , p x j ,q xk ,r d 1 p d 2 q d 3 r
ˆ
Descripción del movimiento de un continuo Def :
Determinante funcional J (Determinante funcional Jacobiano): J : det F eijk xi ,1 x j , 2 xk ,3
Debido a: e pqr J e pqr det F eijk xi , p x j ,q xk ,r Se llega a: dV Je pqr d 1 p d 2 q d 3 r JdV 0 dV JdV 0
det F dV 0
dV J detF dV 0
debido a dm 0dV 0 dV ; : densidad.
0 0
Descripción del movimiento de un continuo Los enunciados anteriores son válidos si y solo si el Jacobiano J es diferente de cero para todos los puntos en la configuración de referencia y para cada valor de t J 1, 2 , 3 ,0 1 ; J es una función continua de t; J debe
ser positivo para cada t .
Conclusión: Una condición necesaria y suficiente para que una deformación continua sea físicamente admisible es que el Jacobiano J sea mayor de cero.
Un campo de desplazamiento satisface la condición J > 0, es decir es propio y admisible o simplemente admisible
Descripción del movimiento de un continuo Para una deformación admisible de un medio, las componentes de desplazamiento ( u1, u2, u3) deben satisfacer J > 0. Por ejemplo, un trozo de membrana no puede estar sometida a componentes de desplazamiento u1 = 2 1, u2 = 0, u3 = 0, porque entonces J = 1. Quiz : determine si las
siguiente componentes son posibles para el desplazamiento de un medio continuo cuando k es una constante
u1 k 2 1 , u2
k 1 2 , u3 k 3
Descripción del movimiento de un continuo Transformación de un Elemento Superficial Material Elemento superficial infinitesimal orientado dA0 en la posición de referencia.
Correspondiente en la posición momentánea
n0
F
d
n
d x
dA
dA0
d A
d A0
dA n 0
0
dAn
n0 , n : vectores unitarios normales
Descripción del movimiento de un continuo
Complementación del elemento superficial d A0 a un elemen to volumétrico mediante el vector infinitesimal d . dV 0
d A0 d
T
dV d A d x d A Fd d F d A JdV 0 T
F d A Jd A0
1 T 1 T T T 1 T L L L L LL
1 T 1 T Se llega a : L L
Jd A0 d
Debido a : 1
Descripción del movimiento de un continuo escalar 1 T Por esto se puede escribir: d A J F d A0 1 T Y con esto se obtiene: dAn J F dA n
0 0
1 T 1 T dA dAn dAn J dA0 F n0 F n0
2
2
2
2 1 1 T n0 J dA0 n0 F F 2
2 1 T 1 n0 J dA0 n0 F F 2 2 T 1 J dA0 n0 F F n 0 2
2 1 J dA0 n0 C n 0 2
Descripción del movimiento de un continuo 1 dA JdA0 n0 C n0
Def : En esta expresión se emplea el Tensor Derecho de Cauchy – Green: C : FT F T T
T
C : F F C
T
F F C C es simétrico
es un tensor definido positivo, es decir, se cumple:
0; u 0, u Demostración: u Cu u FT Fu Fu Fu 0 u Cu
Los valores propios de un tensor real definido positivo son siempre reales y positivos.
Descripción del movimiento de un continuo Transformación de un Elemento Lineal Material t 0
t 0
a
d x
F
d
ds d x
dS d
a :
d
dS
a 1
a : Vector unitario en la dirección del elemento material lineal
en la posición de referencia
Descripción del movimiento de un continuo
ds d x d x
Fd Fd
T
d F Fd
d Cd dS a Ca
Con esto resulta la elongación de un elemento lineal material ds dS , el cual apunta en la dirección del vector unitario .a en la posición de referencia. ds a Ca dS
Descripción del movimiento de un continuo Significado de las componentes individuales del tensor derecho de CAUCHY-GREEN ds e1 Ce1 C 11 dS 2 ds C 11 dS
Sea:
ˆ
ˆ
Las componentes C 11, C 22, C 33 del tensor derecho de CAUCHY-GREEN son por lo tanto cuadrados de la elongación de elementos lineales, los cuales son paralelos a los vectores base e1, e2 y e3 en la configuración de referencia. ˆ
ˆ
ˆ
Descripción del movimiento de un continuo A continuación consideraremos dos elementos lineales, per pendiculares entre si, y paralelos a la base vectorial e1 y e2 en la posición de referencia: d 1 dS 1e1, d 2 dS 2e2 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
En la posición momentánea se cumple:
ds1 d 1 x
C 11dS 1, ds2 d 2 x C 22 dS 2
T
d 1 x d 2 x Fd 1 Fd 2 d 2 F Fd 1 d 2 Cd 1 d 1 Cd 2 C es simétrico
dS 1dS 2e1 Ce2 dS 1dS 2C 12 ˆ
ˆ
Descripción del movimiento de un continuo Con
d 1 x d 2 x cos d 1 x d 2 x
dS 1dS 2C 12 C 11dS 1 C 22 dS 2
Se llega a cos 12
C 12 C 11C 22
Las componentes C ik del tensor derecho de CAUCHYGREEN para i k describen, en lo fundamental, cambios de ángulo de elementos lineales en el plano ei , ek , los cuales son ortogonales en la posición inicial. ˆ
ˆ
Descripción del movimiento de un continuo En una imagen rígida el tensor derecho de CAUCHY-GREEN se reduce al tensor unitario, debido a que con F = Q (Q ortogonal; es decir QT = Q1) : T
T
1
C F F Q Q Q Q 1
Tensor de Deformación de GREEN E 1 E : C 1 ET E 2
El tensor de deformación de GREEN es un tensor simétrico, el cual desaparece para una imagen rígida.
Descripción del movimiento de un continuo Transformación de C a ejes principales C C I a I a I C II a II a II C III a III a III ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Los valores propios (cuadrados de las elongaciones princi pales) son reales y positivos. (ak : direcciones principales de las elongaciones; k I , II , III ) ˆ
Tensor Derecho de Elongación (Tensor Elongación) U C UU;
U es positivo d efinido
U : C I a I a I C II a II a II C III a III a III ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
U es definido por C en el sistema de ejes principales de
Descripción del movimiento de un continuo Teorema de la Descomposición Polar Un desplazamiento descrito mediante F puede descomponerse localmente en una elongación U unida con un giro rígido R . F RU R : Tensor ortogonal de giro U: Tensor derecho de elongación; simétrico, definido positivo U
R
F RU
Descripción del movimiento de un continuo Demostración de la ortogonalidad de R R FU
1
;
T
R FU
1 T
1 T T 1 T F U F U
Con esto se obtiene: T
1 T
R R U F FU
1 U 1CU1 U 1UUU1 1
Tensor izquierdo CAUCHY-GREEN B T
B : FF
VV
V: Tensor izquierdo de elongación B y V son simétricos y definidos positivos
Descripción del movimiento de un continuo Análogamente se cumple: F VR R Es el mismo tensor de giro anterior V
R
F VR
Descripción del movimiento de un continuo Deformaciones Infinitesimales Def : Campo infinitesimal de
desplazamiento: u , t
Def : Gradiente de desplazamiento: Campo tensorial de
desplazamientos:
uk Grad u u ek ei i
ˆ
x u xi i ui xi i ui ui F ik d ik k k k k
ˆ
Descripción del movimiento de un continuo xi i ui ui F ik d ik k k k k T
F 1 Grad u
Suposición de la teoría lineal:
ui 1 k Esto significa que los cambios de desplazamiento (no los desplazamientos) son pequeños.
Descripción del movimiento de un continuo Ventajas de la teoría lineal :
Las condiciones de contorno pueden formularse aproximadamente en la configuración no deformada, es decir en la configuración de referencia, la cual difiere únicamente muy poco de la configuración momentánea.
ui ui xl ui ul d lk k xl k xl k Con
ul ui ui ui 1 d lk k k xl xk
Descripción del movimiento de un continuo En la linearización geométrica es permitido, de manera aproximada, intercambiar las derivadas con respecto a las coordenadas materiales k por las derivadas con respecto a las coordenadas espaciales xk . De acuerdo con esto obtenemos para el tensor de deformación de GREEN E :
1 1 T 1 T E C 1 F F 1 1 Grad u 1 Grad u 2 2 2 1 T 1 T E Grad u Grad u Grad u Grad u 2 2
Cantidad pequeña de segundo orden
1
Descripción del movimiento de un continuo Tensor infinitesimal de deformación
1 T ε : Grad u Grad u ; 2
T
En coordenadas cartesianas: 1 uk ui 1 uk ui ik 2 i k 2 xi xk 1 ij i uk k ui 2
Descripción del movimiento de un continuo Significado de las componentes individuales del tensor de deformación U C 1 2E 1 2 1
dS d ;
ds d x
Por ejemplo: para i k 1 1 11
ds1 C 11 dS 1
Descripción del movimiento de un continuo 11, 22 , 33describen las deformaciones unitarias , es decir,
los cambios relativos de longitud de tramos infinitesimales, los cuales son paralelas a e1, e2 y e3 en la configuración de referencia. ˆ
ˆ
ˆ
Para i =1, k =2 es válido en la teoría exacta: t 0 t 0 cos 12
d 2 x
d 2
d 1
12
d 1 x
C 12 C 11 C 22
12 Cambio del ángulo inicialmen te recto
Descripción del movimiento de un continuo 12 12 2 cos 12 cos 12 sin 12 12 , para 12 1 2
Con esto se llega a: cos 12
es decir
C 12 C 11 C 22
2 12 1 2 11 1 2 22
1
1 12 12 2
1
2 12 12
Descripción del movimiento de un continuo Los ik para i k describen la mitad del cambio del ángulo recto, el cual está formado por paralelas a los ejes ei y ek en la configuración de referencia. El tensor infinitesimal de deformación describe por lo tanto los cambios de longitud y de ángulo: ˆ
11 12 13 B 12 22 23 13 23 33
ˆ
Descripción del movimiento de un continuo En la teoría lineal se cumple: U 1
1 1 1
Debido a:
2
1 U1 1
Debido a F RU se obtiene el Tensor de Giro: R F U
1
1 T 1 Grad u 1 Grad u Grad u 2
T
1 1 T T R 1 Grad u Grad u Grad u 2 2 1 T R 1 Grad u Grad u 2
:
Descripción del movimiento de un continuo Tensor infinitesimal de giro
(en la teoría lineal)
1 T Grad u Grad u 2
En coordenadas cartesianas se cumple: 1 ik iuk k ui 2
Con esto se llega a: Grad u
Descripción del movimiento de un continuo Imagen matricial del tensor infinitesimal de Giro
12 31 0 B 12 0 23 Antisimétrico 0 31 23 En el caso t : el tensor de giro es homogéneo y describe un giro global de un cuerpo rígido del continuo.
El vector de giro , cuya dirección determina el eje alrededor del cual se produce el giro y cuya magnitud es el ángulo de giro, está dado por:
Descripción del movimiento de un continuo 23 B 31 12 A todo tensor antisimétrico A se le puede asignar un vector a de tal manera que se cumpla Au a u Entonces se cumple u u , es decir, la imagen con el tensor antisimétrico corresponde a la operación Se cumple: 1 rot u 2
Descripción del movimiento de un continuo Resumen Desplazamiento: diferencia entre los vectores de posición de
una partícula en las configuraciones actual y de referencia Deformación: movimiento relativo de las partículas con res-
pecto a una partícula determinada que se encuentra a una distancia diferencial de las primeras Deformación infinitesimal (pequeñas deformaciones): los
desplazamientos son muy pequeños con respecto a las dimensiones típicas del medio continuo
Descripción del movimiento de un continuo Los gradientes de desplazamiento son muy pequeños t=0
t>0
d x F d
a
P d x
u
d
P
uk Grad u ei ek i
ˆ
ˆ
uk Grad u ek ei i T
ˆ
ˆ
Descripción del movimiento de un continuo u1 u1 u1 1 x x2 x3 1 u2 u2 T u2 1 1 Grad u x1 x2 x3 u3 u3 u3 1 x2 x3 x1
T
1 Grad u
eijk M 1i M 2 j M 3k
Descripción del movimiento de un continuo Deformación Unitaria de un Elemento Lineal en el Punto P en Dirección del Vector Unitario
Vector unitario en la dirección de d : a
d d
Con esto se llega a:
2
T
T
T
d 2d [Grad u d ] [Grad u d Grad u d ]
Descripción del movimiento de un continuo
d x
2
2
T
d 2 d a Grad u d a
d x
T
d (1 2a Grad u a
d x T 1 2 a Grad u a d
T
T
a [Grad u a ] a [(
T
)a ] a a
Descripción del movimiento de un continuo
T
T
a [Grad u a ] a [(
T )a ] a a
debido a que:
T
T T
a a a a a a a a a 0 a a a Se obtiene: a a a a
a a a
Descripción del movimiento de un continuo Con esto se llega a:
a P
d x
d
d
a P a a
a P a P a
d x
d
1 1 a Grad u T a 1
Descripción del movimiento de un continuo Deformación Volumétrica (Dilatación) La elongación volumétrica en la teoría lineal puede escribirse: dV T J det F det 1 Grad u 1 div u
dV 0
tr Grad u div u Def :
La deformación volumétrica e (en la teoría lineal) es: dV dV 0 dV e : 1 div u tr dV 0
e0
dV 0
Movimiento isocórico. Volumen constante
Descripción del movimiento de un continuo Descomposición del tensor 1 1 e1 e1 D k 3 3 D :
1 D describe el cambio de e1 El desviador 3 forma puro sin cambio volumétrico ya
que: 1 1 D D tr tr e1 e e 3 0 3 3
k
1 k El tensor esférico describe el cambio : e1 3 de volumen puro sin cambio de forma
Descripción del movimiento de un continuo Transformación de ejes principales de
1 0 tres valores reales I , II , III y tres vectores propios det
a I , a II , a III
I a I a I II a II a II III a III a III
Valores propios (Deformaciones principales) I , II , III
Vectores propios (Dirección de las deformaciones principales)
a I , a II , a III
Descripción del movimiento de un continuo Invariantes: I 1 , I 2 , I 3
I 1 11 22 33 I II III div u e 2 2 2 I 2 11 22 22 33 33 11 12 23 31
I II II III III I I 3 det I II III
Descripción del movimiento de un continuo Ejemplo: Movimiento cortante
t : Función dada del tiempo
u
P
e2
12
e1
P
x2 2 x , t : x3 3 x t 1 1 2 1 x1 t x2 x , t : 2 x2 x 3 3
Descripción del movimiento de un continuo Campo vectorial de desplazamiento t 2 t x2 u , t B 0 0 0 0 Campo vectorial de velocidad Campo vectorial de aceleración
t 2 t x2 t 2 t x2 a , t B 0 0 v , t B 0 0 0 0 0 0
Descripción del movimiento de un continuo xi x ei ek : F F ik ei ek xi , k ei ek k ˆ
ˆ
ˆ
1 t 0 F B 0 1 0; 0 0 1
ˆ
ˆ
ˆ
1 0 0 T F B t 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 1 C B FT F 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
Descripción del movimiento de un continuo 2 0 0 1 E B C 1 2 1 2 2 0 2 0 0 0 De la transformación de ejes principales de C resulta U: los
valores propios de U se obtienen de la raíz cuadrada de los valores propios de C: U I k k 2 1 U II k k 2 1 U III 1
Descripción del movimiento de un continuo
Descripción del movimiento de un continuo 23 0 1 1 B 31 0 rot u 2 2 12
u1 u3 u2 1 u3 u 2 B e1 e2 2 x2 x3 x1 x3 x1
ˆ
1 B e3 2
ˆ
ˆ
u1 e3 x2 ˆ
Partículas, configuraciones, deformación y movimien.
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. e :
dV dV 0 dV 0
u1 u2 u3 1 div u tr 0 dV 0 x1 x2 x3 dV
1 1 D k e1 e1 3 3
0 D (t ) 0 1 k 1 0 0 3 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 (t ) 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 (t )
0
(t )
0
0
0
0
0
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Ejemplo: Torsión de un cilindro circular. En este
caso las caras planas permanecen planas Configuración de referencia P : ( R, , z )
R
d d R er Rd e d z e z
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Configuración momentánea P : ( r , , z )
P r , , z r r R , , z
d x dr er r d e d z e z
R , , z
z z R , , z
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. P : ( R , , z )
R
er
e
P
Configuración de referencia d d R er Rd e d z e z
P r , , z
r P
r r R , , z
R , , z
Configuración z z R , , z momentánea
d x dr er r d e d z e z
Partículas, configuraciones, deformación y movimien.
d dR er Rd e dz e z Debido a Fd dx, con d x dr e rd e dz e r z
xi d x dxi ei d k ei xi ,k d k ei k d x Fd F ik ei ek d l el F ik d k ei xi F ik xi,k k r 1 r r R R z xi r F ik ccil r F ik r k R R z z 1 z z R R z
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Caso especial: Radios se conservan: r = R El giro crece lineal con z: kz Longitud del cilindro permanece constante: l = const.
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. con k l : Angulo que forman las aristas entre la configuración momentánea y la de referencia. P : ( r , , z )
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Para movimiento k = k (t ) es dado r R xi F ik ccil r F ik k R z Radios se conservan: r = R R El giro crece lineal con z: kz Longitud del cilindro permanece constante: l = const.
1 r r R z r r R z 1 z z R z
Con esto 1 0 0 F ccil 0 1 k r 0 0 1
1 0 0 T F ccil 0 1 0 0 k r 1
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. 0 0 1 0 0 1 0 0 1 FFT 0 1 k r 0 1 0 0 1 k 2r 2 k r k r 1 0 0 1 0 k r 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 FT F 0 1 0 0 1 k r 0 1 k r 0 k r 1 0 0 1 0 k r 1 k 2r 2
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Tensor izquierdo de Cauchy Green 0 0 1 T 2 2 Bccil FF 0 1 k r k r k r 1 0
Tensor derecho de Cauchy Green 0 1 0 T Cccil F F 0 1 k r 2 2 0 k r 1 k r
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Tensor de deformación de Green 0 0 0 1 1 Eccil C 1 0 0 kr 2 2 1 1 2 2 0 2 kr 2 k r
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Tensor de deformación infinitesimal En caso que k<<<1 0 ccil 0 0
0 0
cil
1 2
kr
0 1 kr 2 0
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Teoría lineal : Construcción de un campo vectorial de
desplazamiento a partir de simplificaciones de la geometría. Suposiciones: 1) Sección transversal permanece plana 2) Secciones transversales se suponen como discos rígidos que UNICAMENTE giran unos con respecto a otros P : ( r , , z )
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Consecuencias para el campo de desplazamientos
1) Desplazamiento únicamente en la dirección e : u u r , , z e ˆ
2) El problema es simétrico en rotación: u u r , z 3) u r 4) u z Enunciado para el campo de desplazamientos:
u
k r z e
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Condiciones de Borde: 1) z 0 u r , z 0 0 satisfecho
u l rz e 2) z l u r , z l krl r k l
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. 0 0 kz 0 T Grad u c kz Grad u c kz 0 0 0 0 kr 0 Tensor de deformación infinitesimal 0 0 1 T 1 ccil Grad u Grad u 0 0 2 2 0 kr 1 r e e z ez e
2 l
ˆ
ˆ
ˆ
kz 0 0 kr 0 0 0
kr
0
ˆ
Deformación volumétrica e = 0 (deformación isocórica)
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Tensor infinitesimal de giro
Vector de giro
23 kr 1 1 B 31 0 rot u 2 2 12 2kz
Partículas, configuraciones, deformación y movimien.
u k r z e
kr 1 1 1 1 rot u kr er 2kz e z 0 rot u 2 2 2 2 2kz ˆ
ˆ
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. La TEP del tensor arroja como resultado: 1 1 I 0; II k r ; III k r 2 2 1 1 e e z ; a III e ez a I er ; a II 2 2
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Trayectorias de deformaciones principales Son definidas como aquellas curvas que en cada punto son tangentes a una dirección de deformación principal (para un tiempo determinado) .
Ejemplo: Estado de deformación plana, es decir, a III . está en todas partes perpendicular al plano del dibujo
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Condiciones de Compatibilidad en la Teoría Lineal Consideremos los siguientes planteamientos de problemas:
1) Las 3 componentes ui r de un campo de desplazamien tos u r son dadas. Se buscan las 6 componentes ij r del tensor simétrico de deformación r : Debido a que (p.e. coordenadas cartesianas) 1 ik iuk x1, x2 , x3 k ui x1, x2 , x3 2
es válido, el problema siempre tiene solución
Partículas, configuraciones, deformación y movimien.
2) Se dan las 6 componentes ij r de un tensor de simétrico de deformación r . Pregunta: ¿Existe en este caso un campo vectorial de desplazamiento u r con las 3 compo nentes ui r ?. Se buscan entonces las 3 soluciones ui r de las 6 ecuaciones diferenciales 1 iuk k ui ik x1, x2 , x3 2
En general este problema no se puede resolver de manera única, no ambigua, inequívoca.
Partículas, configuraciones, deformación y movimien. Para que la solución sea posible, deben existir, entre las 6 componentes del tensor simétrico, determinadas relaciones. Estas relaciones son dadas mediante las condiciones de compatibilidad: Inc : Rot Rot 0 Existe un u r único, no ambiguo, inequívoco. Inc Incompatib ilidad
En coordenadas cartesianas las 6 condiciones son dadas por: eijk elmn j m kn
0
