cinemática

05 CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL. ELEMENTOS Y MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO Estudiar el movimiento es importante: es el enómeno más corriente y ácil de observar en la Naturaleza. Todo el Universo está en constante movimiento: los astros que se desplazan por el cielo, un niño que juega, un pájaro que vuela, etc. Los conceptos de vida y movimiento van íntimamente unidos, hasta el punto que consideramos su capacidad para

moverse por sí mismos como una de las características más evidentes de los seres vivos. En esta Unidad estudiarás los elementos y las magnitudes que utiliza la Cinemática para determinar el movimiento de una partícula. Y los conocimientos adquiridos te permitirán analizar los movimientos más corrientes que tienen lugar en nuestro entorno.

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cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento

■

Pararepasar… Movimiento (4.°)

Movimiento es un cambio de posición respecto de un punto jo que se toma como reerencia.

Trayectoria Trayectoria (4.°) Recibe el nombre de trayectoria trayector ia el conjunto de las sucesivas posiciones que va tomando tomando el móvil. Dependiendo de la trayectoria, los movimientos pueden ser rectilíneos y curvilíneos. • Velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido por el móvil y el tiempo empleado en recorrerlo. • Velocidad instantánea es la velocidad que posee el móvil en un momento dado. La velocidad se mide en m/s (SI) y en km/h.

Aceleración (4.°) • Aceleración Acelerac ión media es el cociente entre la variac ión de la velocidad que ha experimenexper imenv – v tado un móvil y el intervalo de tiempo t iempo que ha empleado en dicha variación, a = t t 0 . t Se mide en m s –2. • Aceleración instantánea es la aceleración que tiene un móvil en un momento dado.

Movimiento rectilíneo y uniorme (4.°) Un móvil tiene movimiento rectilíneo y uniorme cuando se desplaza en línea recta con velocidad constante. El espacio recorrido se obtiene con la ecuación e = v t.

Movimiento rectilíneo uniormemente acelerado (4.°) Este movimiento tiene lugar cuando el móvil se desplaza en línea recta con aceleración constante. Sus ecuaciones son: • v t t = v 0 + a t, para hallar la velocidad en cualquier instante. • e = v 0 t + 1/2 a t 2, para hallar el espacio recorrido.

Caída libre de cuerpos Cuando un cuerpo se mueve bajo la acción de la gravedad se dice que tiene movimiento de caída libre. Es un caso particular part icular del movimiento rectilíneo y uniormemente acele-2 rado (a = g = –9,8 m s ).

Movimiento circular (4.°) Un móvil tiene movimiento circular cuando su trayectoria es una circunerencia. Si lo hace con velocidad constante, el movimiento recibe el nombre de circular uniorme. La velocidad veloc idad angular es el ángulo recorrido en la unidad de tiempo. Se mide en vueltas o revoluciones por minuto, (rpm) y en radianes por segundo. Radián es el ángulo en que el arco correspondiente tiene una longitud igual a la del radio con que se ha trazado dicho arco. Una circunerencia (360°) corresponde a 2 p radianes.

cinemática cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento

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Cuestionesbásicas 1> ¿En qué tipo de movimiento la velocidad media coincide con la velocidad instantánea?

Inténtalo Recuerda que si una magnitud es constante, tendrá siempre el mismo valor en cualquier momento.

2> Se dice que el guepardo es un animal capaz de llegar a correr a 30 m/s. Calcula su velocidad en km/h.

Inténtalo Para utilizar los actores de conversión, recuerda las equivalencias: equ ivalencias: 1 km = 1 000 m; 1 h = 3 600 s

3> ¿Cuánto tiempo tardará el guepardo en recorrer 1 km si mantiene mantie ne la velocidad veloc idad de 30 m/s? m/s?

7> Un ciclista inicia el movimiento por una calle con

aceleración constante hasta alcanzar una velocidad de 36 km/h en 10 s. ¿Cuánto vale la aceleración? ¿Qué distancia ha recorr ido en el tiempo indicado?

Inténtalo Observa que el ciclista parte del reposo; este hecho equivale a un dato numér ico. Suponemos que la calle es recta. Una vez identicado el movimiento del ciclista, utiliza las ecuaciones correspondientes.

8> Un avión que parte del reposo acelera uniorme-

mente hasta alcanzar una velocidad de despegue de 75 m/s en 10 s. ¿Con qué velocidad en km/h despega el avión? ¿Qué longitud de pista ha recorrido hasta despegar?

Ten en cuenta el tipo de movimiento con que se desplaza el guepardo y utiliza la ecuación correspondiente.

Inténtalo Se trata de un movimiento rectilíneo con aceleración constante. Utiliza los actores de conversión para el cambio de unidades.

4> Desde un puente dejas caer un objeto y observas

9> Un disco gira a 30 rpm. Calcula esta velocidad en

Inténtalo

que tarda 1,5 s en llegar al agua. ¿Cuál es la altura del puente?

radianes por segundo. Calcula la recuencia y el periodo de este movimiento.

Inténtalo

Inténtalo Recuerda cuántos radianes tiene una circunerencia. Período es e s el tiempo en segundos que tarda en dar una vuelta. El valor de la recuencia coincide con el inverso del período.

Se trata de una caída libre. En este caso toma el valor de la gravedad como positiva.

5> Un automóvil pasa de 90 km/h a 115 km/h en 8 s. ¿Qué aceleración tiene t iene el coche?

Inténtalo Te piden la aceleración media. Recuerda que se mide en m s–2.

6> Un coche parte del reposo con aceleración cons–2

tante de 1,8 m s . Después de 20 s de estar acelerando, ¿qué distancia habrá recorrido recorr ido el vehículo?

Inténtalo De acuerdo con el tipo de movimiento, utiliza la ecuaec uación correspondiente.

10> Un ciclista recorre la pista circular de 50 m de radio de un velódromo con velocidad constante de 36 km/h. ¿Qué longitud de pista recorre en un minuto? ¿Qué tiempo tarda en dar una vuelta a la pista? ¿Cuántas vuelt as da en 10 minutos?

Inténtalo Aunque el movimiento es circular, te piden el espacio recorrido con velocidad constante. Todas las preguntas las puedes calcular utilizando la ecuación del espacio en un movimiento uniorme. Recuerda el valor de la longitud de la circunerencia.

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■ La Cinemática estudia el movimiento sin tener en cuenta sus causas. La Dinámica estudia el movimiento y analiza sus causas.

Supongamos que en un momento dado un avión sobrevuela tu casa. Si tienes curiosidad por conocer mejor este enómeno, puedes plantearte una serie de preguntas sobre él, como ¿cuánto tiempo tardará el avión en desaparecer por el horizonte?, ¿qué distancia recorrerá en un minuto?, ¿lleva siempre la misma velocidad?, etcétera. Para contestar a estas preguntas no necesitas saber por qué se mueve el avión. En cambio, hay preguntas más complejas, como ¿qué uerza ejerce el motor?, ¿qué potencia desarrolla?, ¿qué energía consume?, etc., cuya respuesta requiere más inormación. Debes conocer, conocer, ante todo, las características de los motores, que son los causantes del movimiento del avión. Como ves, hay dos ormas de estudiar el movimiento: prescindiendo prescindiendo de las causas que lo originan, que es lo que hace la Cinemática, y teniendo en cuenta estas causas, como ocurre con la Dinámica. Dedicaremos una Unidad a cada una de estas dos ciencias del movimiento.

■

Fig. 5.1. Rotación y traslación. Cuando la polea se mueve no cambia de lugar. Pero sí lo hace el cubo cuando asciende.

P1 P2

5.1Doscienciasparaestudiar elmovimiento

5.2¿Quéeselmovimiento? ¿Quéeselmovimiento?

Desde muy pequeños tenemos un concepto intuitivo que nos permite armar si un cuerpo, en un momento dado, está en reposo o en movimiento. ¿Qué criterio empleamos para distinguirlo? Se suele decir que un cuerpo se mueve cuando cambia de lugar. Sin embargo, este criterio no es preciso, porque existen cuerpos que se mueven sin cambiar de lugar. Por ejemplo, la polea de la Figura 5.1, cuando gira alrededor de su eje, permanece siempre en el mismo sitio. Debemos distinguir, distinguir, pues, entre dos tipos dierentes de movimiento: el de traslación y el de rotación. Un cuerpo tiene movimiento de traslación cuando todo él, tomado en su conjunto como un solo punto, cambia de lugar o de posición.

Eje

Fig. 5.2. Rotación. En un movimiento de rotación, los puntos del sólido que gira cambian de lugar describiendo circunerencias.

A

Fig. 5.3. Traslación. El automóvil se mueve porque se aleja del semáoro.

En cambio, en el movimiento de rotación son los distintos puntos P 1, P 2... del cuerpo los que cambian de lugar (Fig. 5.2), pero no lo hace el cuerpo en su conjunto. Un punto solamente puede tener movimiento de traslación. En general, cuando un cuerpo gira en torno a un eje fjo se mueve, pero no se desplaza. Este movimiento recibe el nombre de movimiento de rotación.

Por tanto, si consideramos que el cuerpo que se mueve es un punto, el criterio que dimos anteriormente sería correcto. En este curso solamente trataremos del movimiento de traslación. Por eso estudiamos la Cinemática del punto material. Más adelante explicaremos qué se entiende por punto material. Si de un automóvil (Fig. 5.3) solamente tenemos en cuenta su movimiento de traslación, lo estamos considerando como un punto que cambia de posición respecto a, por ejemplo, un semáoro. Si esa posición no varía, diremos que está en reposo respecto al semáoro.


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No olvides que… • La localización de un punto en el espacio respecto de otro punto que tomamos como reerencia reerencia recibe el nombre de posición. • Movimiento de un punto es un cambio de posición respecto de otro punto que se toma como reerencia. reerencia. • Reposo y movimiento son dos términos relativos, puesto que dependen del objeto que se tome como c omo reerencia (una arola está en reposo respecto de la calle, pero está en movimiento si tomamos el Sol como reerencia). reerencia). • Movimiento absoluto es aquél en el que el punto de reerencia se supone jo respecto del punto que se mueve. • Movimiento relativo es aquél en el que el punto cambia de posición respecto de otro que también se mueve. ACTIVIDADES

1> Indica qué armaciones son correctas. El movi-

miento es: a) Un cambio de lugar. cuerp o que se mueve es b) Un cambio de lugar si el cuerpo un punto material. c) Un desplazamiento. d) Un cambio de posición. 2> Escribe tres t res ejemplos de movimientos absolutos y otros tantos de movimientos relativos.

■

3> Señala las armaciones correctas. El movimiento de un coche que se desplaza por una carretera es respecto de una gasolinera: a) Rotación c) Absoluto b) Traslación d) Relativo

4> Indica si el coche de la ac tividad anterior, respecrespecto de un camión al que pretende adelantar, tiene movimiento absoluto o relativo.

5.3Elementosundamentales Elementosundamentales delmovimiento

En todo movimiento hay que distinguir tres elementos básicos: el objeto que se mueve, el sistema de reerencia que se utiliza y la trayectoria seguida por el móvil.

Elobjetoquesemueve:unpuntomaterial Para conocer el movimiento que realmente tiene un cuerpo habría que conocer el de todos sus puntos. Cuando un automóvil se desplaza por una c arretera, además del movimiento de traslación que se observa, posee otros movimientos: movimientos: el de balanceo al tomar una curva, el de cabeceo en un cambio de rasante, rasante, etc., y el movimiento particular de los distintos componentes: c omponentes: volante, volante, ruedas, pistones, etcétera. No nos interesa tener en consideración estos movimientos, por lo que prescindiremos de todos los componentes del coche y sus dimensiones, y lo trataremos como si uese un punto material. Como en la Naturaleza no existe un móvil con masa y sin dimensiones, dimensiones, esto es, en realidad, una idealización o un modelo ideal de la existencia, los cientícos recurren con recuencia a modelos ísicos para simplicar el estudio e studio de la Naturaleza. Hay muchos objetos que en su movimiento movimiento se comportan como puntos materiales. Todo Todo depende del sistema de reerencia elegido. Por ejemplo, un automóvil no se comporta como un punto para el que lo conduce; sin embargo, sí lo hace con respecto al agente de tráco que sobrevuela la carretera en helicóptero.

Un modelo es una idealización mental o gráfica que permite simplificar el estudio de un fenómeno. Aunque es un producto de la imaginación, el modelo tiene una gran ventaja: es lo suficientemente sencillo como para analizar cómo afectan las leyes fundamentales de la Física a su comportamiento. Para que un modelo cumpla bien su misión es necesario que sea sencillo, esté de acuerdo con los hechos experimentales y sea extrapolable; es decir, que permita aplicar sus conclusiones a otros fenómenos hasta formular nuevas leyes.

Llamamos punto material a un cuerpo cuyas dimensiones no se tienen en cuenta.

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En resumen: • Partícula material o punto material es un término relativo que depende de las dimensiones que intervengan en cada problema concreto. • Un cuerpo, por grande que sea, se considera un punto si sus dimensiones son despreciables, comparadas bien con la distancia que hay desde él al punto de reerencia o bien con la trayectoria. Así, un barco se puede consid c onsiderar erar como un punto respecto a la costa. Un coche se puede considerar como un punto respecto a la longitud de la carretera. La Tierra en su movimiento movimiento de traslación se puede considerar como un punto.

Elsistemadereerencia

Fig. 5.4. Sistema cartesiano de reerencia. Este sistema está ormado por un punto del espacio y tres ejes cartesianos concurrentes en dicho punto.

Para determinar la posición de un punto en cualquier instante es necesario jar otro punto en el espacio como reerencia. El punto de reerencia elegido se toma como origen O de tres ejes cartesianos (Fig. 5.4), que constituyen un sistema de reerencia cartesiano. Así, la posición del punto P vendrá determinada por las coordenadas x , y y z de dicho punto. No olvides que: • El punto O de reerencia puede ser cualquier objeto, real o imaginario, que esté en reposo relativo respecto al punto P. • Un sistema de reerencia es inercial cuando el punto O está en reposo o se mueve con velocidad constante. • La Tierra se puede considerar como un sistema de reerencia inercial, aunque realmente no lo es, e s, ya que tiene movimiento de rotación sobre sí misma. Sin embargo, este movimiento movimiento nos pasa inadvertido.

ACTIVIDADES

5> Indica si es also o verdadero: Se puede estudiar el movimiento prescindiendo del sistema de reerencia. b) El movimiento es un cambio de lugar. l ugar. c) Un punto solamente puede tener movimiento de traslación. d) La Tierra se puede considerar un punto material cuando se mueve alrededor del Sol. 6> Observa la barca de la l a Figura 5.5 e indica indica cuál es la armación correcta: a)

Tiene movimiento relativo respecto respec to del agua y de la orilla. b) Tiene movimiento absoluto respecto de la orilla y relativo respecto del agua. c) La barca solamente tiene movimiento mov imiento absoluto. a)

7> Para determinar la posición de un punto sobre un plano, ¿cuántos ejes cartesianos necesitas?

8> Para determinar la posición de un barco en el océa-

no, ¿cuántas coordenadas necesitas? ¿Qué nombre reciben?

9> Un coche parte desde un semáoro y se mueve por

una calle recta. ¿Cuántas coordenadas necesitas para determinar la posición del automóvil respecto al semáoro?

Fig. 5.5. El movimiento relativo de la barca depende del punto de reerencia.

10> Además del punto material, ¿qué otros modelos utilizados por la Física o la Química conoces?


05

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Trayectoria x , y , z ) de la Fig. 5.6. Este punto estará en reposo respecto al punFíjate en el punto P ( x to O si sus coordenadas permanecen constantes constantes con el tiempo, y estará en movimiento cuando al menos una coordenada coordenada varíe con respecto a él. Cuando el punto P se mueve, sus coordenadas van tomando distintos valores. El c onjunto de puntos correspondientes a estos valores orman una línea que recibe el nombre de trayectoria.

Trayectoria es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va tomando un punto móvil en el espacio.

Fig. 5.6. Coordenadas de un punto en el espacio. Si ese punto se mueve, sus coordenadas varían, dando lugar a una línea llamada trayectoria.

EJEMPLO1

Un punto se mueve en el plano Oxy según las ecuaciones: x = t – 1; y = 2 t a) ¿Qué signicado tienen estas ecuaciones? b) Dibuja la trayectoria de ese punto.

Solución a) Al moverse el punto en un plano, su posición en todo momento viene determinada por dos coordenadas ( x , y ). ). Las ecuaciones ec uaciones dadas indican cómo varía esa posición con el tiempo. Por tanto, las distintas posiciones que va tomando el punto en el transcurso del tiempo se obtienen dando valores a t en dichas ecuaciones.

b)

t

0

1

2

3

x

–1

0

1

2

y

0

2

4

6

http://teleormacion.edu. aytolacoruna.es/FISICA/ document/applets/Hwang/ ntnujava/vector/vector_s.htm Se trata de una simulación applet para sumar vectores en dos y tres dimensiones.

Las posiciones (–1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6) son puntos de la línea que orma la trayectoria (Fig. 5.7). Se trata de una recta.

Fig. 5.7. Trayectoria rectilínea del punto descrito en el Ejemplo 1.

Las magnitudes son las variables que intervienen en un fenómeno o las características de un cuerpo que se pueden medir. Las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales.

194

05


■

5.4Magnitudesdelmovimiento

Ya sabes que existen ciertas características de los cuerpos y de los enómenos naturales, llamadas magnitudes, magnitudes, que se pueden medir o evaluar e valuar en todo momento. Para entender el movimiento es importante que conozcas las magnitudes que utiliza la Cinemática en su desarrollo. Además del tiempo, son las siguientes: posición, desplazamiento, espacio recorrido, velocidad y aceleración. El espacio recorrido es una magnitud escalar, mientras que las demás son magnitudes vectoriales. Fig. 5.8. Vector de posición. La posición de un punto P queda defnida por el vector que une el punto O con el punto P.

Posición Ya hemos dicho que la posición de un punto P es su localización en el espacio. Existen dos ormas de localizar un punto en el espacio: mediante tres coordenadas cartesianas P ( x x , y , z ) → → y mediante un vector r , o también OP , que une el origen del sistema de reerencia con el punto P y que recibe el nombre de vector de posición. El origen de este vector se halla siempre en el origen de coordenadas y su extremo coincide en cada instante con la posición del punto móvil (Fig. 5.8). Ambas ormas están relacionadas. PPara ara que comprendas la relación que existe entre las coordenadas x , y , z de un punto y su vector de posición, debes recordar algunas nociones de cálculo vectorial. ⎯

Fig. 5.9. Un vector se puede expresar como el producto de su módulo por un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido.

Fig. 5.10. Representación de los vectores unitarios según los ejes cartesianos.

Unas nociones de cálculo vectorial → → Un vector Suponga mos que el u se dice que es unitario cuando su módulo vale 1: | u | = 1. Supongamos → vector a de la Figura 5.9 tiene cinco unidades unidade s de longitud. Por tanto, su módulo es cinco → veces mayor→que el módulo del vector unitario u . De acuerdo con esto, se puede escribir: → |a | = 5 · | u | = 5. En general, un vector cualquiera cualquiera se puede expresar en unción→ de un → vector unitario que tenga su misma dirección y sentido mediante el producto v = | v | → → → → u , siendo | v | el módulo o longitud del vector v y u el vector unitario de igual dirección → y sentido que v . Si llamamos u→x, u→y y u→z a los vectores unitarios que tienen la misma dirección y sentido que los semiejes cartesianos (Fig. 5.10), podremos expresar el vector de posición de un punto en unción de dichos vectores. → → La suma de dos vectores v 1 y v 2 viene dada por la diagonal del paralelogramo construido sobre dichos vectores, tomándolos como lados que parten del mismo vértice (Fig. 5.11): → → → → s = v 1 + v 2. La posición del punto P ( x x , y ) de la Figura 5.12 viene determinada por el vector r .

v

Fig. 5.11. Suma de vectores. Se aplica la regla del paralelogramo. v

→

El vector r es la diagonal del paralelogramo OAPBO. Por tanto, se cumple que: → → → → → → → → → r = OA + OB = |OA | u x + |OB | u y = x u x + y u y → → ya que |OA | = x , |OB | = y . Aplicando el teorema de Pitágoras, podemos calcular el módulo de un vector si cono→ → cemos x e y , ya que | r |2 = x 2 + y 2 → |r |= Î x 2 + y 2. ⎯

⎯

→

Fig. 5.12. El vector r vector r en función de los → → → vectores OA , OB: r = OA + OB . ⎯⎯

⎯⎯

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯

05


→

→

→

195

→

En el espacio, el vector de posición del punto P (x, y, z) será r = x u x + y u y + z u z. Cuando el punto P se mueve, su vector de posición variará con el tiempo, lo que se puede expresar de la siguiente orma: → → → → r (t ) = x (t ) u x + y (t ) u y + z (t ) u z Esta expresión recibe el nombre de posición instantánea. Dando valores a t se obtienen las distintas posiciones de la partícula móvil durante un intervalo de tiempo.

El vector es un segmento que está orientado:

Tiene un punto de origen, O, y un extremo, P , que → determina el sentido del vector OP . La dirección de un vector viene determinada por la recta sobre la que se apoya.

EJEMPLO2

⎯

El movimiento de una partícula viene dado por las ecuaciones x = 4 t , y = 2 t – 2, en donde x e y se miden en metros y t, en segundos. Calcula: a) La posición de la partícula en cualquier instante. b) La posición en los instantes t = 0, t = 2. c) ¿Dónde se encuentra la partícula a los 5 segundos? d) ¿A qué distancia del origen del sistema de reerencia se encuentra la partícula en ese instante?

El módulo es un número real positivo que indica la longitud del vector y que determina el valor de la magnitud asociada. Una magnitud vectorial se representa algebraicamente con una flecha → sobre su valor, v , o bien escribiéndolo en negrita, v. En este libro hemos optado por la primera fórmula por considerarla más fácil de reconocer.

Solución a) La posición de la partícula en → cualquier→ instante viene determinada por el → → → vector de posición: r = x ux + y u y = 4 t u x + (2 t – 2) uy. b) En la expresión anterior sustituimos los valores del tiempo que nos i ndican: → → → → r 0 = (4 · 0) u x + (2 · 0 – 2) u y = –2 uy Para t = 0 → → → r 2 = 8 u x + 2 u y Para t = 2 En los instantes t = 0 y t = 2 s, la partícula se encuentra en los puntos P 0 (0, –2), P 2 (8, 2). → → → c) A los 5 s la partícula se encontrará encontrará en la posición r 5 = 20 ux + 8 uy, es decir, en el punto (20,8). → d) La distancia pedida viene dada por el módulo del vector r 5: → |r 5| = Î x 2 + y 2 = Î 20 202 + 82 = 21,5 m

ACTIVIDADES

11> Escribe los vec tores de posición correspondientes a los siguientes puntos respecto al origen: a) P 1 (2, –3, 5) b) P 2 (–1, 0, 6) c) P 3 (0, 0, –2). 12> Un punto móvil se desplaza en el espacio espac io de acuerdo con las siguientes ecuaciones expresadas en el SI: x = t + 2; y = 4 t – 2; z = t 2

a) Completa

t x y z

la siguiente tabla de valores: 0

1

2

3

4

b) Halla la posición del punto móvil para t = 15 s. correspondiente a esa posición. c) Escribe el vector correspondiente

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05


Desplazamiento x 0, y 0, z 0) y al cabo de Si en un instante dado un móvil se encuentra en la posición P 0 ( x un tiempo su posición es P 1 ( x x 1, y 1, z 1), diremos que el móvil se ha desplazado desde el punto P 0 al punto P 1→. Este desplazamiento viene denido por un vector, llamado vector desplazamiento, Dr , que tiene las siguientes características: Tiene su origen en el punto de partida o posición inicial y su extremo en el punto de ⎯ ⎯ → llegada o posición nal, P 0 P 1 (Fig. 5.13). El desplazamiento entre dos posiciones es siempre el mismo, cualquiera que sea la trayectoria que una dichas posiciones (Fig. 5.14).

Fig. 5.13. Vector desplazamiento. Une la posición inicial y fnal del móvil.

Fig. 5.15. Vector desplazamiento. Se obtiene restando los vectores de posición correspondientes al punto de llegada y al punto de partida.

Fig. 5.14. Dierentes trayectorias para un mismo desplazamiento.

El vector desplazamiento se obtiene restando del vector de posición nal el vector de posición inicial (Fig. 5.15): → → → Dr = r 1 – r 0 Por tanto, si → → → → → → → → r 1 = x 1 u x + y 1 u y + z 1 uz r 0 = x 0 u x + y 0 u y + z 0 uz el vector desplazamiento será: → → → → → → → x 1 – x 0) u x + ( y 1 – y 0) uy + ( z z 1 – z 0) u z = Dx u x + D y uy + D z u z Dr = ( x siendo D x = x 1 – x 0; D y = y 1 – y 0; D z = z 1 – z 0. Esto quiere decir que el desplazamiento total equivale a la suma de desplazamientos parciales a lo largo de los ejes cartesianos. EJEMPLO3

x

Fig. 5.16. Representación del movimiento del automóvil del Ejemplo 3.

Un automóvil se mueve en línea recta por una carretera. A las nueve de la mañana se encuentra en el punto kilométrico 40 y media hora más tarde se encuentra en el punto kilométrico 100. Calcula el desplazamiento que ha experimentado el coche en el tiempo indicado. Solución Si el coche se mueve en línea recta, podemos tomar como sistema de reerencia el punto kilométrico 0 y la dirección de la carretera como eje cartesiano Ox . Por → → tanto, el vector de posición en este caso será: r = x ux. El coche en media hora se ha desplazado desde el punto P 0 (40 km, 0) al punto P 1 (100 km, 0) (Fig. 5.16). Por tanto, el desplazamiento será: → → → → → x 1 – x 0) u x = 60 ux km Dr = r 1 – r 0 = ( x El coche se ha desplazado 60 km alejándose del origen.


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EJEMPLO4 →

→

Una partícula material se mueve en el espacio de para →los instantes dados toma los valores r 0 = –2 u y; → → → → orma que su posición en cualquier instante viene r 1 = u x – u y; r 2 = 4 u x. dada por las ecuaciones x = t 2; y = t – 2, expresadas Es decir, se encuentra en los puntos (0, –2), (1, –1) en el SI. Calcula: y (4, 0), respectivamente. a) Dónde se encuentra la partícula en los instantes t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s. Para→hallar el desplazamiento basta restar→los vectores b) → → → → → → → r 2 y r 0 : Dr = r 2 – r 0 = (4 – 0) u x + (0 – ( –2)) u y = 4 u x + 2 u y b) El desplazamiento en el intervalo de tiempo comprendido entre cero y dos segundos. Solución a) La posición de la partícula en cualquier instante → → → viene dada por el vector r = (t 2) u x + (t – 2) u y, que ACTIVIDADES

13> Carlos sale de su casa a comprar el periódico en una papelería situada a 120 m de la vivienda y luego regresa a su casa. ¿Qué armación es la correcta? desplaz ado 120 m. a) Carlos se ha desplazado b) Carlos se ha desplazado desplaz ado 240 m. c) Carlos no se ha desplazado. d) Carlos ha recorrido 240 m.

14> Un ciclista se desplaza en línea recta 750 m. Si

su posición nal está est á a 1 250 m del punto de reerencia, el ciclista inició su recorrido desde una posición situada a: a) 750 m del punto de reerencia. b) 1 250 m del d el punto de reerencia. c) 500 m del punto de reerencia. d) No se puede hallar la posición de partida. Elige la respuesta correcta.

Espaciorecorrido No debes conundir espacio recorrido con desplazamiento. desplazamiento. Espacio recorrido es la longitud de trayectoria que ha seguido el móvil. Es una magnitud escalar que coincide con el módulo del desplazamiento, solamente solamente en el caso de que el movimiento sea rectilíneo y que además no cambie de sentido. Si lanzas una pelota hacia arriba, el espacio recorrido coincide con el desplazamiento mientras la pelota está subiendo; pero cuando inicia el descenso, el desplazamiento disminuye, y cuando la pelota llega al punto de partida, el desplazamiento es nulo. En cambio, el espacio recorrido es igual al doble de la altura alcanzada. EJEMPLO5

Una persona sale de paseo. Recorre 2 km hacia el norte, después se dirige hacia el este y recorre 1 km, y por último, se dirige hacia el sur y recorre 4 km. Calcula: a) ¿Qué espacio ha recorrido? b) ¿Cuánto vale el desplazamiento? Solución a) En la Fig. 5.17 están representados los distintos desplazamientos. El espacio total recorrido es de 7 km. b) El desplazamiento es un vector con sentido sur-este, y vale: ⎯ ⎯ → → |P 0 P 1| = |Dr | = Î (4 (4 – 2)2 + 12 = Î 5 = 2,24 km

total. Fig. 5.17. Desplazamiento ⎯ ⎯ → Corresponde Corresponde al vector P 0 P 1.

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ACTIVIDADES

15> Una vez iniciado el movimiento, ¿el espacio recorrido puede ser cero? ¿Puede ser cero el desplazamiento? Cita un ejemplo en que el espacio recorrido y el desplazamiento desplaz amiento tengan el mismo valor.

16> Un ciclista recorre una pista circular de 20 m de ra-

b) Cuando se halla en el punto B. c) Cuando se encuentra en C . d) Cuando

ha dado una vuelta completa.

dio partiendo del punto O en el sentido que indica la fecha de la l a Fig. 5.18. Calcula el espacio recorrido y el desplazamiento: a) Cuando el ciclista está en el punto A.

Fig. 5.18

Velocidad http://newton.cnice.mec. es/4eso/trayectoria/trayec0.htm En esta página se recoge una explicación con simulaciones simulaciones interactivas de la diferencia entre desplazamiento y trayectoria (espacio recorrido).

Para determinar el movimiento de una partícula es necesario conocer cómo varía la posición de esa partícula en el transcurso del tiempo. A la variación de la posición la hemos llamado desplazamiento. Para relacionar el desplazamiento que ha experimentado un móvil con el tiempo transcurrido introducimos una magnitud muy importante en Cinemática: la velocidad. Podemos distinguir entre velocidad media y velocidad instantánea.

Velocidad media La velocidad media se defne como el desplazamiento que experimenta el punto móvil en la unidad de tiempo. Es un vector que resulta de dividir el desplazamiento producido entre el intervalo de t iempo empleado empleado y que tiene la mi sma dirección y sentido que el vector desplazamiento, ya que el tiempo es una magnitud escalar positiva. →

→ v = Dr

Dt

EJEMPLO6 →

Si r (t ) representa la posición del punto móvil en el instante t y r (t + Dt ) representa la posición al cabo de un intervalo de tiempo Dt , la velocidad media también se obtiene:

→

→

→

→

→ t t t v = Dr = r ( + D ) – r ( )

Dt

Dt

Una araña se mueve sobre el cristal de una ventana siguiendo una trayectoria x = t 2 e y = t + 2 en el SI. Calcula: denida por x a) El vector de posición de la araña en cualquier instante. b) El desplazamiento en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 s y t = 3 s. c) La velocidad media con que se ha desplazado la araña durante ese tiempo. Solución → → → → → a) El vector de posición viene dado por r = x ux + y uy = t 2 ux + (t + 2) uy b) Hallamos las posiciones correspondientes correspondientes a los instantes que se indican: → → → → → Para t = 1 s; Para t = 3 s; r 1 = ux + 3 uy r 3 = 9 ux + 5 uy → → → → → → → El desplazamiento será: Dr = r 3 – r 1 = (9 – 1) ux + (5 – 3) uy = 8 ux + 2 uy → → → 8 ux + 2 uy Dr → → → = = 4 ux + uy m/s c) La velocidad media vendrá dada por: v = 2 Dt


05

199

EJEMPLO7

Una partícula se mueve a lo largo del eje Ox según la ecuación x = t 2 + 2. Calcula su velocidad media. Solución → x , 0) y no se especica el intervalo de tiempo. Por ello hallaremos la velocidad En este caso, el vector de posición es r ( x media utilizando la expresión: → → → |Dr | |r (t + Dt ) – r (t )| )| [(t + Dt )2 + 2 – (t 2 + 2)] t 2 + 2 t Dt + (Dt )2 + 2 – t 2 – 2 → |v | = = = = = 2 t + Dt Dt

Dt

Dt

Dt

Observa cómo el resultado es indeterminado indeterminado porque depende de dos variables: el instante t y el intervalo de tiempo Dt . Si el intervalo→de tiempo se hace innitamente pequeño (Dt → 0), la velocidad media toma el valor | v | = 2 t y solamente depende del instante que se considere. Por ello recibe el nombre de velocidad instantánea. Y se suele denir como el valor que toma la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a → →

0: v i = lim

Dt →0

Dr

· Este límite se conoce en e n Matemáticas como la derivada del vector de

Dt

posición respecto al tiempo.

Velocidad instantánea En la resolución del ejemplo anterior se ha visto cómo la velocidad media, en general, general, es indeterminada. Además, nos da poca inormación del movimiento que tiene lugar. Solamente relaciona el desplazamiento total producido con el intervalo de tiempo empleado. No nos dice nada sobre la trayectoria que ha seguido la partícula, ni si ha llevado la misma velocidad durante todo el intervalo de tiempo. Por ejemplo, si un coche ha tardado 5 horas en desplazarse desde Madrid a Valencia, a 350 km de distancia, diremos que ha hecho el recorrido con una velocidad media de 70 km/h. Pero este dato no nos responde a preguntas como: ¿ha sido ésa la velocidad real del coche?, ¿ha hecho el recorrido manteniendo manteniendo siempre la misma velocidad?, ¿qué carretera ha seguido?, ¿qué velocidad tenía el coche cuando pasó por el punto kilométrico 100?, ¿y cuando altaban 20 minutos para llegar a Valencia? Valencia? La verdadera velocidad del coche es la que marca el e l velocímetro en el instante en que obserobse rvas dicho aparato (Fig. 5.19). El velocímetro mide el módulo de la velocidad instantánea. Velocidad instantánea es la que tiene una partícula en un instante determinado o en un punto determinado de la trayectoria.

En general, la velocidad media depende del instante inicial y del intervalo de tiempo considerados. Si estos valores están determinados, la velocidad media toma un valor concreto, como ha ocurrido en el Ejemplo 6. Pero si el instante inicial y el intervalo de tiempo no están definidos, la velocidad media es indeterminada, como sucede en el Ejemplo 7.

Fig. 5.19. Velocímetro. Instrumento que mide el módulo de la velocidad instantánea del vehículo.

La velocidad instantánea es un vector cuyo módulo recibe el nombre de rapidez y representa el espacio recorrido en la unidad de tiempo, cuya dirección es tangente a la trayectoria y cuyo sentido sentido coincide con el sentido del movimiento. ACTIVIDADES

17> La rapidez de un móv il se mide en m/s en el SI, y en la práctica, en km/h. Expresa en m/s la rapidez con la que se mueve un coche que va v a a 144 km/h.

18> Si la velocidad del de l sonido en el aire es de 340 m/s,

¿cuál será la velocidad de un av ión en km/h cuando rompe la barrera barre ra del sonido?

200

05


Aceleración

La velocidad es una magnitud vectorial. Por tanto, existirá aceleración siempre que la velocidad varíe en cualquiera de sus elementos: módulo, dirección o sentido.

Cuando un automóvil se desplaza no siempre lo hace con la misma velocidad. Cuando un coche, por ejemplo, aumenta de velocidad decimos que acelera. S i el aumento de velocidad se produce en menos tiempo, intuitivamente decimos que el coche tiene mayor aceleración. Por tanto, la aceleración relaciona la velocidad con el tiempo. Aceleración, en general, es la var iación de la velocidad con el tiempo.

Mediante algunos ejemplos, vamos a ver cuándo un movimiento tiene aceleración: 1. Se lanza una pelota a 10 m/s contra la pared de un rontón. La pelota rebota y sale a 10 m/s en la misma dirección. ¿La velocidad es la misma antes y después del rebote? No, la pelota se mueve con la misma rapidez antes y después del rebote, pero no con la misma velocidad. Existe aceleración porque la velocidad ha cambiado de sentido. 2. Un coche se mueve por una pista recta. En un momento dado su velocímetro marca 90 km/h y en un instante posterior 100 km/h. Existe aceleración porque ha cambiado el módulo de la velocidad. El coche no se mueve con la misma rapidez. 3. El coche anterior toma una curva con una rapidez constante de 45 km/h. Existe aceleración porque la dirección de la velocidad está cambiando c ambiando continuamente. ACTIVIDADES

19> Cita algún ejemplo en que la velocidad de un vehí-

20> En el movimiento de un péndulo, ¿qué elementos

culo cambia en módulo y dirección.

de la velocidad se modican?

Aceleración media y aceleración instantánea Para determinar el movimiento movimiento de una partícula no basta ba sta saber que la velocidad varía. Es necesario saber cómo se produce esta variación en el transcurso del tiempo. Por ello, se introducen los conceptos de aceleración media y aceleración ac eleración instantánea. instantánea. La aceleración media se defne como el vector que resulta de dividir la variación variac ión de la velocidad que se ha producido producido en un intervalo de tiempo entre el valor de dicho intervalo: →

a=

El módulo de la aceleración se mide en m/s2.

→

→

→

Dv v – v = 2 1 Dt Dt

Si la pelota del ejemplo citado anteriormente ha estado en contacto con el rontón durante una décima de segundo, ha experimentado experimentado una aceleración ac eleración media: →

v 1 = →

→

a=

→

→

+10 ux m/s →

v 2 – v 1 Dt

→

v 2 = –10 ux m/s

→

→

→ (–10 ux) – (10 ux) = = –200 ux m/s2 0,1 s


05

201

La aceleración instantánea es el valor límite que toma la aceleración media cuando el intervalo de tiempo es extremadamente pequeño. →

Dv a i = lim Dt →0 →

Dt

Este límite lí mite recibe el nombre de derivada del vector velocidad respecto al tiempo. Fig. 5.20. Dirección de la velocidad instantánea.

Componentes intrínsecas de la aceleración Sabemos que la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria (Fig. 5.20). Por tanto, en cada punto se conoce bien su dirección. Pero ¿cuál es la dirección de la aceleración instantánea? instantánea? ¿Es también tangente a la trayectoria? → En la Figura 5.21 se ha obtenido grácamente grácamente el vector Dv . Se observa cómo este vector no es tangente a la trayectoria. Su dirección es variable. Pero cualquiera que sea→esta dirección, siempre se→ puede descomponer en dos vectores: uno en la dirección de v 1 y otro perpendicular a v 1 (Fig. 5.22). Si elegimos el sistema de reerencia ormado por un punto de la→ trayectoria y dos vec→ tores unitarios, uno t con la dirección de la tangente y el otro n con la dirección de la normal (perpendicular) a la tangente tangente en dicho punto, hemos denido un sistema de reerencia ligado a la propia trayectoria y que recibe el nombre de sistema de reerencia intrínseco a la trayectoria (Fig. 5.23). → → → Utilizando este sistema de reerencia, podemos escribir: Dv = Dv t + Dv n. Por tanto, la aceleración será: → → → →

a=

Dv

Dt

=

Dv t

Dt

+

Dv n

Dt

→

→

→

→

Fig. 5.21. La variación de la velocidad se obtiene gráfcamente uniendo los → → extremos de las velocidades v 1 y v 2.

→ →

= at + an = |at| t + |an| n

La aceleración se puede descomponer en dos, una en la dirección de la tangente (aceleración tangencial) y otra en la dirección de la normal (aceleración normal) en cada punto de la trayectoria. Estas aceleraciones reciben el nombre de componentes intrínsecas de la aceleración.

Fig. 5.22. Descomposición de la variación de la velocidad.

La aceleración tangencial es debida a la variación de la rapidez o módulo de la velocidad. La aceleración normal es la que se debe al cambio de dirección de la velocidad y recibe el nombre de aceleración centrípeta. Su módulo vale v 2 , siendo v la rapidez y R el radio de la curva. R

Para restar dos vectores se traslada uno de ellos sobre su paralela de manera que coincidan los orígenes orígen es de ambos. El vector →dierencia es el que une el extremo del vector → sustraendo, v 1, con el vector minuendo, v 2.

13> El automóvil anterior toma una curva de orma que al principio de ella el velocímetro marca 90 km/h y al nal 30 km/h. acelerac ión tangencial el coche? ¿Por qué? a) ¿Tiene aceleración aceler ación normal? ¿Por qué? b) ¿Tiene aceleración

Fig. 5.23. Sistema de reerencia intrínseco a la trayectoria.

ACTIVIDADES

c) ¿Qué tipo de aceleración hubiera tenido el coche

si durante toda la curva se hubiera desplazado a 30 km/h? c) ¿Cuánto vale la aceleración media?

202

05


■

5.5Clasifcacióndelosmovimientos másrelevantes

Los movimientos que tienen lugar en nuestro entorno se pueden clasicar atendiendo a dos criterios principales: la trayectoria (Fig. 5.24) y la aceleración (Fig. 5.25). Según la trayectoria, los movimientos pueden ser rectilíneos y curvilíneos. Como ejemplo más sencillo de estos últimos está el movimiento circular. De acuerdo con la aceleración, los movimientos pueden ser uniormes y acelerados. De los últimos, los que más vamos a tener en cuenta en este primer curso de Bachillerato son los llamados uniormemente uniormemente acelerados.

SEGÚN LA TRAYECTORIA

Fig. 5.24. Clasifcación de los movimientos según su trayectoria.

■

Fig. 5.25. Clasifcación de los movimientos según su aceleración.

5.6Movimientosrectilíneos Los movimientos rectilíneos se caracterizan porque su trayectoria es una línea recta. Por tanto, la dirección de la velocidad se mantiene constante.

v

x

O

Fig. 5.26. Movimiento rectilíneo. En estos movimientos se puede tomar la trayectoria como eje de reerencia.

P (x, 0, 0) O

x

Fig. 5.27. Vector de posición de un punto P. P. Este vector tiene una sola componente.

La caída libre de un cuerpo, cue rpo, la propagación del sonido, el desplazamiento de un avión por una pista antes de despegar de un aeródromo, etc., son ejemplos de movimientos rectilíneos. El estudio de estos movimientos resulta sencillo si utilizamos un sistema de reerencia adecuado: situamos el origen O del sistema sobre la trayectoria y además hacemos que ésta coincida con uno de los ejes cartesianos (Fig. 5.26). Con este sistema de reerencia, todas las magnitudes del movimiento tienen la misma dirección del eje elegido y, por tanto, una sola componente: → → x , 0, 0) Vector de posición r ( x |r | = x → → Vector desplazamiento Dr (D x , 0, 0) |Dr | = D x → → Vector velocidad v (v x, 0, 0) |v | = v x = v → → Vector aceleración a (ax, 0, 0) |a | = ax = a De todo ello podemos sacar las siguientes conclusiones: El módulo de estos vectores coincide con el valor de su única componente. El sentido lo expresaremos mediante mediante un signo (+, –) según sea el sentido del movimiento. movimiento. → → Por ejemplo: en lugar de r emplearemos (+ x ) o (– x ), ), en lugar de v utilizaremos (+v ) o (–v ), ), etc., de acuerdo con el criterio de signos que te daremos. En la Fig. 5.27 se pone de maniesto la única componente que posee el vector de posición.


05

203

En general, en los movimientos rectilíneos, rectilíneos, el módulo del desplazamiento coincide con el espacio recorrido si no se invierte el sentido del movimiento (Fig. 5.29).

Criteriodesignosparalasecuaciones delmovimientorectilíneo Recuerda que la posición, la velocidad y la aceleración son magnitudes vectoriales cuya dirección coincide con la trayectoria y cuyo sentido viene determinado determinado por los signos + y –. Para averiguar qué signo tienen en cada problema concreto utilizaremos el siguiente criterio: – Para la posición. El signo de la posición coincide con el signo de los semiejes cartesianos, sianos, como se deduce de la Fig. 5.28. – Para la velocidad. La velocidad es positiva cuando el móvil se desplaza en el sentido del semieje Ox o del semieje Oy (hacia la derecha o hacia arriba), y es negativa si se desplaza en sentido contrario (hacia la izquierda o hacia abajo). – Para la aceleración. Una aceleración es positiva si su sentido coincide con el de la velocidad positiva y es negativa si su sentido es contrario a la misma. a)

b)

c)

Fig. 5.28. Criterio de signos: a) para la posición en movimiento movimiento horizontal; b) para la posición en movimiento movimiento vertical; c) para la velocidad.

ACTIVIDADES

22> Escribe Escr ibe el signo correspondiente a la posición y a la velocidad en los

siguientes casos: a) La partícula part ícula de la gura se encuentra en el punto P 1, a 20 m del punto O que se toma como reerencia. b) La partícula se halla en P 2, a 10 m del punto O. c) El coche de la Fig. 5.26 se aleja del punto O con una rapidez de 20 m/s. ret rocede a 2 m/s. d) Dicho coche retrocede

Fig. 5.29. Módulo del desplazamiento. En el movimiento rectilíneo, el módulo del desplazamiento casi siempre coincide con el espacio recorrido, x 1 – x 0 = s.

204

05


Cinemáticadelmovimientorectilíneo yuniorme(MRU) En el MRU, normalmente, el espacio recorrido coincide con el desplazamiento. Por tanto, la ecuación x t = x 0 + v t también se puede escribir: s = x t – x 0 = v t que recibe el nombre de ecuación horaria del movimiento rectilíneo y uniforme.

Fig. 5.30. Posición de partida o posición inicial. Es la distancia x 0 (para t = 0).

Un móvil posee MRU cuando se desplaza en l ínea recta y si n aceleración, es decir, manteniendo constante la velocidad. En este movimiento, la velocidad media coincide con la velocidad instantánea.

Ecuación del MRU Se trata de obtener una expresión matemática que permita hallar en cualquier instante la posición de un móvil si conocemos la posición inicial y la velocidad. Fíjate en el sistema de reerencia (Fig. 5.30): la posición del punto móvil P 1 , en cualquier instante, viene dada por la distancia x que hay entre él y el origen de coordenadas. Supongamos que inicialmente, cuando empezamos a cronometrar el intervalo de tiempo transcurrido, el móvil se encuentra en el punto P 0, cuya posición viene dada por x 0, posición inicial. Si este punto se desplaza a lo largo del eje Ox con una velocidad v , al cabo de un tiempo t la posición del móvil será x t. El desplazamiento habrá sido D x = x t – x 0. x – x De la denición de velocidad media, v = t 0 , se deduce: t

x t = x 0 + v t

que es la ecuación del MRU, donde: x t es la posición en cualquier c ualquier instante instante t; x 0 es la posición inicial, para t = 0; v es la velocidad constante del movimiento y t es el tiempo transcurrido. Diagramas del movimiento rectilíneo y uniforme

Fig. 5.31. Diagrama x-t del MRU.

Las grácas se usan para determinar la relación que existe entre dos magnitudes. Si hablamos de movimiento, los diagramas son representaciones grácas, en unción del tiempo, de las magnitudes posición, velocidad y aceleración. El MRU tiene dos diagramas, x-t y v-t, puesto que no tiene aceleración. grácame nte la ecuación del movimiento tomando la • Diagrama x-t. Se trata de representar grácamente posición instantánea como unción y el tiempo como variable independiente: x t = x 0 + vt . La línea obtenida es una recta cuya ordenada en el origen es la posición inicial y cuya pendiente pendiente es la velocidad (Fig. 5.31). ). Se trata de una recta • Diagrama v-t. Es la representación gráca de la unción v = f (t ). paralela al eje de los tiempos (Fig. 5.32). El área contenida debajo de la línea de la velocidad representa el desplazamiento: D x = base · altura = t v = v t. ACTIVIDADES

Fig. 5.32. Diagrama v-t del MRU. El área del recinto en color representa el desplazamiento.

23> Un coche pasa por un punto A situado a 20 km del punto de reerencia. ¿En qué punto se encontrará encontrará media hora más tarde si se desplaza con una velocidad media de 100 km/h?


05

EJEMPLO8

El movimiento de una partícula está descrito mediante el diagrama x-t de la Fig. 5.33. Calcula: a) La velocidad media durante los dos primeros segundos. b) La velocidad media en el intervalo de 0 a 5 s. c) El desplazamiento total que ha experimentado la partícula. d) Describe el movimiento de la partícula. Solución a) De acuerdo con la Fig. 5.33, para t 0 = 0, la partícula se encuentra en la posición x 0 = 2 m, y en el instante t 1 = 2 s se encuentra en la posición x 2 = 4 m. D x x 1 – x 0 4m–2m Luego, la velocidad media será: v = = = = 1 m/s Dt t 1 – t 0 2s b) En el instante t 5 = 5 s la partícula se halla en la posición x 5 = 0. Por tanto, durante el intervalo de tiempo t 5 – t 0 = 5 s la velocidad media ha sido: x 5 – x 0 0–2m v = = = –0,4 m/s t 5 – t 0 5s c) Recuerda que el desplazamiento viene dado por la dierencia entre las posiciones nal e inicial: x 5 – x 0 = 0 – 2 m = –2 m. d) Según la Fig. 5.33, la partícula inicia el movimiento desde un punto situado a 2 m del sistema de reerencia. Permanece Permanece en movimiento durante 1 s hasta llegar a un punto situado a 4 m del sistema de reerencia; en ese punto permanece parada durante 2 s más. Al cabo de ese tiempo, la partícula se mueve en sentido contrario dirigiéndose hacia el punto de reerencia, adonde llega en el instante t = 5 s.

Fig. 5.33. Movimiento de la partícula del Ejemplo 8.

ACTIVIDADES

24> Dado el diagrama de la Fig. 5.34, indica qué armaciones son alsas:

25> El movimiento rectilíneo de una partícula está descrito en el diagrama x-t de la Fig. F ig. 5.35. 5.35.

Fig. 5.34

Fig. 5.35

veloc idad ha sido 0,8 m/s. m/s. a) En el tramo OA la velocidad b) En el tramo AB la velocidad veloc idad es 4/5 m/s. m/s. c) En el tramo BC la velocidad veloc idad es –2 m/s. d) En el tramo AB el móvil está parado.

a) ¿Qué representa el valor x = 5 m? b) ¿Qué signica el tramo horizontal? c) ¿Qué velocidad tiene la partícula en los intervalos de t = 0 a t = 2 s y de t = 2 s a t = 4 s? d) ¿Qué distancia recorre la partícula en 4 s?

205

206

05


Movimientorectilíneouniormementeacelerado(MRUA) Es un movimiento rectilíneo que se realiza con aceleración constante. Por tanto, la aceleración media y la aceleración instantánea coinciden. y

Ecuaciones del MRUA

O

P0 ( x 0)

P1 ( x 1)

v 0

v t

Fig. 5.36. Aceleración media. Entre las posiciones P 0 y P 1 la aceleración es constante.

x

Supongamos que en la posición P 1 de la Fig. 5.36, una partícula tiene una velocidad instantánea v 0 y en otro punto P 1 de la trayectoria la velocidad es v t. Si ha empleado un tiempo t en desplazarse desde P 0 hasta P 1, la aceleración media de la partícula habrá sido: v t – v 0 m/s2 a= t

Ésta es la velocidad en cualquier instante, instante, conocida la aceleración: v t = v 0 + a t

(1) (1)

La velocidad media aritmética de la partícula entre las posiciones P 0 y P 1 viene dada por: v 0 + (v 0 + a t ) 1 – v 0 + v t = = v 0 + v = a t 2 2 2 Sin consideraciones vectoriales, y como la velocidad media es constante en el intervalo, podemos aplicar la ecuación del MRU para hallar la posición instantánea: 1 1 2 a t t → x (2) x t = x 0 + v 0 t + a t 2 2 En resumen, si conoces la aceleración constante con que se mueve una partícula, puedes averiguar la velocidad que posee en cualquier instante utilizando la ecuación (1). Además, mediante la ecuación (2) puedes hallar también la posición. Eliminando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores se obtiene una tercera ecuación muy útil que permite calcular la velocidad en cualquier posición, si no conoces el valor del tiempo: x t = x 0

(

+ v t = x 0 + v 0 + –

v t2 – v 02 =

)

2 a ( x x t – x 0)

EJEMPLO9

Un automóvil parte de una gasolinera donde estaba en situación de reposo. Después de recorrer 200 m alcanza una velocidad de 108 km/h. Calcula: a) El valor de la aceleración, que se supone constante. b) El tiempo que ha tardado en alcanzar la velocidad indicada. Solución Tomamos Tomamos la gasolinera como sistema de reerencia. Empezamos a contar el tiempo cuando el coche. x 0 = 0 x t = 200 m Posición inicial x Posición nal x Velocidad inicial v 0 = 0 Velocidad al nal de los 200 m, v t = 108 km/h = 30 m/s a) De acuerdo con estos datos, la aceleración se obtiene a partir de la ecuación: v 2t – v 02 = 2 a ( x x t – x 0). 2 2 2 (30 m/s) – 0 900 m /s v t2 – v 02 a= = = = 2,25 m/s 2 400 m x 1 – x 0) 2 (200 m – 0) 2 ( x v t – v 0 30 m/s – 0 = = 13,3 s b) El tiempo transcurrido lo despejamos en la ecuación: v t = v 0 + a t; t = 2,25 m/s2 a

(3)

05


207

EJEMPLO10

Un coche al pasar por un punto A de una carretera se desplaza a 120 1 20 km/h y al hacerlo por ot otro ro punto B de la misma carretera la velocidad es de 90 km/h. Si ha tardado 5 s en desplazarse desde A hasta B, calcula: a) El valor de la aceleración, que se supone constante. b) La distancia entre A y B. c) ¿A qué distancia de A se detendrá el automóvil? Solución Tomamos el punto A como sistema de reerencia. Empezamos a cronometrar cuando el coche pasa por dicho punto. De acuerdo con esto, conoces: x 0 = 0. – La posición inicial x – La velocidad inicial v 0 = 120 km/h = 33,3 m/s. – El tiempo transcurrido t = 5 s. – La velocidad en el punto B v t = 90 km/h = 25 m/s. a) La aceleración se obtiene a partir de la ecuación v t = v 0 + a t v t – v 0 25 m/s – 33,3 m/s a= = = –1,7 m/s 2 5s t b) La distancia entre A y B viene dada por la posición del coche al cabo de 5 s: 1 2 1 x t = x 0 + v 0 t + a t = 33,3 m/s · 5 s + · (–1,7 m/s 2) · (5 s) 2 = 145,3 m 2 2 c) El coche se detendrá detendrá cuando su velocidad sea cero, y eso ocurre en una posición x t que se obtiene despejando de x t – x 0) siendo v t = 0 v 2t – v 02 = 2 a ( x 2 2 2 – 0 – (33,3 m/s) v t v 0 = = 326 m; x = x 0 + 326 m = 0 + 326 m = 326 m x t – x 0 = 2a 2 (–1,7 m/s 2) Diagramas del MRUA

Diagrama a-t. Es la representación gráca de la unción a = f (t ). ). Al ser constante la aceleración, la gráca es una recta paralela al eje de los tiempos (Fig. 5.37). El área contenida debajo de la aceleración representa el incremento de la velocidad: Dv = base · altura = t a = a t. Diagrama v-t. Es la representación de la unción v = f (t ) = v 0 + a t . Es una recta cuya ordenada en el origen es la velocidad inicial y cuya pendiente representa la aceleración (Fig. 5.38). Aquí el área es el vector desplazamiento: 1 1 (v t – v 0) t = v 0 t + a t 2 D x = rectángulo + triángulo = v 0 t + 2 2 1 2 Diagrama x-t. Es la representación de la unción x t = x 0 + v 0 t + at . Se trata de una 2 parábola.

Fig. 5.37. Diagrama a-t del MRUA. El área de color representa el incremento incremento de v .

Fig. 5.38. Diagrama v-t del MRUA. El área en color representa el desplazamiento.

El diagrama x -t de un movimiento no representa la trayectoria, solamente indica cómo varía la posición del móvil con el tiempo. x (m)

O

t (s)

208

05


ACTIVIDADES

26> Un cuerpo que se mueve en línea recta pose e una

MRUA. a) Durante todo el recorr ido ha tenido un MRUA. 2 m/s . b) La acelerac ión media es 4 m/s veloc idad máxima es 72 km/h. c) La velocidad d) La distancia recorrida en los diez primeros se-

velocidad que varía var ía con el tiempo, según el diagrama de la Figura 5.39. Indica cuáles de las siguientes armaciones son correctas:

gundos es de 100 m. e) En el intervalo de 0 a 5 s el cuerpo está est á parado. c uerpo se mueve f) En el intervalo de 10 s a 15 s el cuerpo sin aceleración.

27> Un vehículo se mueve sobre una pista rec tilínea durante 5 s con acelerac ión constante. Sigue con velocidad constante durante 15 s y luego rena de manera constante hasta hast a parar, lo que consigue en 20 s. Dibuja los diagramas a-t y v-t de este movimiento. movimiento.

Fig. 5.39

■

Criterio de signos para la caída libre – La posición es positiva si el móvil está por encima del nivel Ox. – La velocidad es positiva si el cuerpo sube y es negativa si el cuerpo baja. – La aceleración de la gravedad es siempre negativa.

5.7Lacaídalibre:unmovimiento rectilíneouniormementeacelerado

El 2 de agosto de 1971, estando en la supercie de la Luna, el astronauta David Scott dejó caer simultáneamente un martillo de geólogo y una pluma de halcón y observó que ambos cuerpos tocaban simultáneamente la supercie lunar. Había comprobado en la Luna la hipótesis de Galileo: «En ausencia de la ricción con el aire, todos los cuerpos caen hacia la Tierra con la misma aceleración». El movimiento de un cuer po bajo la acción de la gravedad, despreciando la resistencia del a ire, recibe el nombre de caída libre.

En la caída libre no importa el movimiento inicial que tenga el cuerpo. Todos aquellos ob jetos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, y los que se dejan caer a partir del reposo, caen libremente. Una vez que se encuentran en caída libre, todos los cuerpos están sometidos a la aceleración de la gravedad. En las proximidades de la Tierra esta aceleración es prácticamente constante. La caída libre es un movimiento rectil íneo y uniormemente acelerado.

Si tomamos como punto de reerencia un punto O de la trayectoria vertical y como eje Oy dicha trayectoria (Fig. 5.40), las ecuaciones que denen este movimiento son:

Fig. 5.40. Sistema de reerencia para un movimiento en caída libre.

–

1 a t 2

Velocidad media

v = v 0 +

Velocidad instantánea

v t = v 0 + a t

Posición instantánea

y t = y 0 + v 0 t +

En donde a = g = –9,8 m/s2.

v 2t – v 20 = 2 a ( y t – y 0) 1 a t 2 2

y t = y 0 +

1 (v 0 + v t) t 2


05

EJEMPLO11

Desde la terraza de un edicio de 20 m de altura dejas caer una pelota. a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? b) ¿Con qué velocidad llega al suelo? Solución Tomamos un punto del suelo que esté en la vertical de caída de la pelota como sistema de reerencia. Por tanto, la posición inicial del cuerpo es 20 m. Si la pelota se suelta, quiere decir que inicia la caída partiendo del reposo ( v 0 = 0) y con aceleración constante. constante. a) La pelota llegará al suelo cuando la posición nal sea cero. Por consiguiente, el tiempo transcurrido se obtiene resolviendo resolviendo la ecuación: 1 1 0 = y 0 + v 0 t + a t 2 0 = 20 m + (–9,8 m/s2) t 2 2 2 20 m = 2 s. De donde se deduce que t =

Î 4,9 m/s

b)

2

La velocidad con que llega a la calle será: v t = v 0 + a t = 0 + (–9,8 m/s 2) · 2 s = –19,6 m/s El signo menos indica el sentido descendente.

EJEMPLO12

Desde una altura de 80 m se deja caer un objeto. Dos segundos más tarde se lanza otro desde el suelo hacia arriba en la misma vertical con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué altura se cruzan? Solución Tomamos el suelo como reerencia. Datos

Primer objeto

Segundo objeto

Posición inicial ( y y 0) Velocidad Velocidad inicial (v 0) Aceleración (a) Tiempo transcurrido ( t 0)

y 0 = 80 m v 0 = 0 m/s a = –9,8 m/s2 t 1 = t s

y 0 = 0 m v 0 = 20 m/s a = –9,8 m/s2 t 2 = (t – 2) s

Los dos objetos se cruzarán cuando estén a la misma altura. Es decir, en la misma posición: 1 y = y 0 + v 0 t + a t 2 2 Objeto 1: y = 80 m – 0,5 · 9,8 m/s 2 · t 2 Objeto 2: y = 20 m/s · ( t – 2 s) – 0,5 · 9,8 m/s 2 · (t – 2 s)2 Al ser común la posición de los dos objetos, la podemos eliminar igualando las dos ecuaciones: 80 m – 4,9 m/s 2 · t 2 = 20 m/s · ( t – 2 s) – 4,9 m/s 2 · (t – 2 s)2 De donde se obtiene que se cruzan al cabo de 3,5 s desde que salió el primero. Sustituimos este valor en la ecuación del primer objeto: y = 80 m – 4,9 m/s 2 · t 2 = 80 m – 4,9 m/s 2 · (3,5 s) 2 = 20 m Se cruzarán, pues, a 20 m del suelo.

209

210

05


ACTIVIDADES

28> En la Figura 5.41 está representado el diagrama v-t del movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo.

Fig. 5.41

■

Fig. 5.42. Movimiento circular. Este movimiento viene dado por un vector de posición giratorio. El ángulo w girado está relacionado con el espacio recorrido s.

Tomando Tomando para la gravedad el valor –10 m/s 2, indica qué armaciones son alsas: a) La aceleración cambia de sentido a los 2 s. b) La velocidad cambia de sentido a los 2 s. c) La altura máxima se alcanza a los 2 s. d) El objeto a los 3 s se encuentra a 10 m del suelo. e) La máxima altura alcanzada ue de 20 m. f) A los 4 s llega al suelo.

5.8Mov 5.8Movimi imient ento ocir circul cular ar. .Ma Magni gnitud tudes es  angulares

El movimiento circular se caracteriza porque su trayectoria es una circunerencia. Si tomamos el centro de la circunerencia circunerencia como punto de reerencia, reerencia, el vector vec tor de posición de la partícula gira cambiando cada instante de dirección (Fig. 5.42), aunque su módulo → permanece constante: | r | = R. Si la partícula inicia el movimiento desde un punto P 1 de la trayectoria y después de un tiempo t la partícula se encuentra encuentra en el punto P 2, al espacio s recorrido por la par→ → tícula le corresponde un ángulo w comprendido entre los vectores r 1 y r 2 (Fig. 5.42). Si la longitud del arco s es igual al radio de la circunerencia, entonces el ángulo subtendido w se dice que mide un radián (rad) (Fig. 5.43). 5.43). De acuerdo con esto, e sto, el valor de un ángulo en radianes se obtiene dividiendo su arco entre el radio de l a circunerencia circunerenc ia correspondiente: s → s = w R w (rad) = R

Se defne la velocidad angular v como el ángulo girado por el vector de posición en la unidad de t iempo: iempo: Fig. 5.43. Radián. Si s = R, el ángulo w mide un radián.

A una circunerencia completa (360°) le corresponde un ángulo de: 2 p R s = = 2 p radianes w= R R

v=

w t

Se mide en rad/s, aunque en la práctica también se utilizan las revoluciones por minuto (rpm). 1 rev 1 min 2 p rad p Entre ambas unidades existe la relación: 1 rpm = · · = rad/s 1 rev 30 min 60 s w s De las igualdades v = y v = y de s = w R se obtiene la importante relación: t

t

v = v R

En el movimiento circular se distinguen dos velocidades: la velocidad v, que recibe el nombre de velocidad lineal y es tangente a la trayector ia, y la velocidad angular v.


05

211

Movimientocircularuniorme Este movimiento se caracteriza porque la circunerencia se recorre siempre con la misma rapidez; es decir, el módulo de la velocidad lineal permanece constante, siendo en todo momento tangente a la trayectoria (Fig. 5.44). Si la partícula inicia el movimiento desde un punto A de la trayectoria (Fig. 5.45), el espacio recorrido al cabo de un tiempo t será: o bien s = v t w = v t si queremos hallar el ángulo descrito correspondiente correspondiente al espacio s. El módulo de la velocidad se obtiene de la expresión anterior: 2pR s = v = T

t

Fig. 5.44. Velocidad tangencial. V t t es tangente a la trayectoria en cualquier punto.

donde T representa el tiempo que se tarda en dar una vuelta y recibe el nombre de periodo. Se denomina recuencia,  , al número de vueltas dadas en un segundo.  = 1. El periodo y l a recuencia son inversos: T 

Recuerda, sin embargo, que este movimiento tiene aceleración normal o centrípeta, porque la velocidad varía cada instante, cambiando de dirección. La aceleración centrípeta viene dada por: an =

v 2 R

Fig. 5.45. En un movimiento circular la longitud s del arco descrito representa el espacio recorrido.

Si no existiera la aceleración centrípeta, una partícula no podría describir una trayectoria circular. circular. Si en un momento dado la aceleración centrípeta se redujera a cero, la partícula se movería en línea recta, siguiendo siguiendo la dirección de la tangente. EJEMPLO13

Calcula la velocidad con que se desplaza un automóvil sabiendo que sus ruedas tienen un diámetro de 80 cm y giran a 500 rpm. Solución En primer lugar expresamos la velocidad de las ruedas en rad/s: rev 1 min 2 p rad 500 rpm = 500 · · = 52,4 rad/s 1 rev min 60 s La rapidez de las ruedas coincide con la rapidez del coche: v = v R = 52,4 rad/s · 0,4 m/rad = 21 m/s = 76 km/h

El movimiento circular uniorme no tiene aceleración tangencial, pero sí aceleración normal.

ACTIVIDADES

29> Calcula la aceleración centrípeta de un objeto que se mueve sobre una circunerencia de 10 m de radio a 90 km/h. 30> Una piedra se ata a una cuer cuerda da de 1 m de longitud y se la hace girar describiendo circunerencias con una recuencia de cinco vueltas por segundo.

Calcula: a) La velocidad angular en rpm. b) La rapidez, en km/h, con que gira la piedra. c) La aceleración centrípeta a que está sometido el cuerpo.

212

05


Movimientocircularuniormementeacelerado Si la velocidad angular instantánea cambia desde un valor v0 hasta v en el intervalo de tiempo Dt , la partícula que describe la circunerencia posee aceleración angular. La aceleración angular media se defne como el cociente entre la variación de la velocidad angular y el tiempo transcurrido. Se mide en rad/s 2. a=

vt – v 0

t

De esta expresión se obtiene el valor de la velocidad angular para cualquier instante t: vt

El movimiento circular uniormemente acelerado tiene at = a R y an =

v 2 . R

La aceleración normal no es constante porque varía v sin variar R.

(1) (1)

= v0 + a t

La velocidad angular media entre dos instantes t 0 y t también se puede expresar como una media aritmética: v0 + vt v0 + (v0 + a t ) 1 – = = v0 + a t v= 2 2 2 Teniendo en cuenta que este valor medio es constante en el intervalo de tiempo indicado, podemos aplicar la ecuación del movimiento circular uniorme para hallar el desplazamiento angular: 1 – 1 w = v t = v0 + a t t → w = v0 t + (2) a t 2 2 2

(

)

• Si conoces la aceleración angular con que se mueve una una partícula, puedes averiguar la velocidad angular que posee en cualquier instante utilizando la ecuación (1). • Además, mediante mediante la ecuación (2) puedes hallar hallar también el ángulo girado. • Si eliminas el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores, obtienes una tercera ecuación que permite calcular la velocidad en unción del ángulo girado: v2t – v20

(3) (3)

= 2aw

• Si no conoces la aceleración, puedes puedes aplicar la siguiente siguiente ecuación, que se obtiene a partir de la velocidad media: (4) (4)

w = 1/2 (v0 + vt) t

Observa la semejanza que existe entre las ecuaciones del movimiento rectilíneo y del movimiento circular, circular, que se hace patente en la Tabla 5.1. Movimiento rectilíneo Debes poner como unidades del radio en las fórmulas m/rad, aunque el rad no tiene en sí sentido físico. Al fin y al cabo, el radio representa los metros que tiene un radián.

v = v 0 + a t 1 x = x 0 + v 0 t + a t 2 2 v 2 – v 20 = 2 a ( x x – x 0) 1 (v 0 + v t) t x = x 0 + 2 Tabla 5.1. Comparación entre movimiento rectilíneo y circular. circular.

Movimiento circular v = v0 w

= v0 t +

vt2 – v20

+ a t 1 a t 2 2

=2aw

1 w= (v0 + vt) t 2

05


EJEMPLO14

Una partícula describe una circunerencia de 5 m de radio con una velocidad constante de 2 m/s. En un instante dado rena con una aceleración constante de 0,5 m/s 2 hasta pararse. Calcula: a) La velocidad angular en rpm de la partícula antes de empezar a renar. b) La aceleración de la partícula antes de empezar a renar. renar. c) La aceleración 2 s después de empezar a renar. renar. d) La aceleración angular mientras rena. e) El tiempo que tarda en parar. f) El número de vueltas que da desde que empieza a renar hasta que se para. Solución a) La velocidad angular se obtiene de la relación v = v R. v 2 m/s 0,4 rad/s · 60 s/min = = 0,4 rad/s = = 4 rpm v= R 5 m/rad 2 p rad/rev b) Antes de empezar a renar, renar, el módulo de la velocidad es constante c onstante.. Por tanto, la única aceleración que tiene es la aceleración normal: 2 2 v 2 4 m /s an = = = 0,8 m/s 2 5 m/rad R c) En este instante también tiene aceleración tangencial at = –0,5 m/s2. v 2 R

(v 0 + a t )2 (2 m/s – 0,5 m/s 2 · 2 s)2 an = = = = 0,2 m/s 2 R 5 m/rad Por tanto, la aceleración de la partícula será: a

(–0,5 m/s2)2 + (0,2 m/s2)2 = 0,54 m/s2 = Î a2t + a2n = Î (–0,5

La aceleración angular se puede obtener de la relación: at –0,5 m/s2 = = –0,1 rad/s 2 at = a R → a = R 5 m/rad e) De la ecuación v = v 0 + a t despejamos el tiempo: 0 – 2 m/s v t – v 0 t = = =4s a –0,5 m/s2

d)

Comprueba que sale lo mismo utilizando t = f)

vt

– v0 a

Número de vueltas: n

=

s 2pR

=

v 0 t + 1/2 a t 2 2pR

=

2 m/s · 4 s – 1/2 · 0,5 m/s 2 · 16 s 2 = 0,13 vueltas 31,4 m/vuelta

O bien n

=

w

2p

=

1/2 a t 2 0,4 rad/s · 4 s – 1/2 · 0,1 rad/s 2 · 16 s 2 = = 2p 6,28 rad/vuelta

v0 t +

=

1,6 rad – 0,8 rad = 0,13 vueltas 6,28 rad/vuelta

213

214

05


■

Fig. 5.46. Superposición de movimientos. movimientos. La trayectoria parabólica de la pelota es el resultado de dos movimientos independientes: uno horizontal uniorme y otro vertical uniormemente acelerado.

Fig. 5.47. Exposición múltiple de dos pelotas de gol. Una cae li bremente partiendo del reposo y la otra h a sido lanzada horizontalmente. Las líneas horizontales están separadas 15 cm entre sí y los intervalos entre cada dos exposiciones son de 1/30 s.

5.9Composicióndemovimientos

Observa la Fig. 5.46; en ella se representa una pelota que se desliza por el tablero de una mesa. ¿Qué ocurre con el movimiento de esta pelota cuando alcanza el borde A de la mesa? ¿Por qué toma una trayectoria parabólica? A estas preguntas dio respuesta Galileo en 1633 con las siguientes palabras: «... entonentonces la partícula que se mueve, que imaginamos imaginamos pesada, al sobrepasar el borde del plano, además de su perpetuo movimiento uniorme previo, adquiere una propensión hacia abajo debido a su propio peso; de orma que el movimiento resultante, que llamaré proyección, está compuesto de uno que es uniorme y horizontal y otro que es vertical y acelerado a celerado naturalmente». De acuerdo con las ideas de Galileo, un movimiento parabólico parabólico es el resultado de componer dos movimientos rectilíneos perpendiculares entre sí: uno uniorme y otro uniormemente ormemente acelerado. Mientras la pelota está en contacto con la mesa solamente existe un movimiento, que es uniorme porque suponemos que no interviene interviene ningún tipo de rozamiento; pero cuando la pelota abandona la mesa empieza a actuar la gravedad originando un movimiento de caída libre. La uerza vertical de la gravedad no infuye en el movimiento horizontal; horizontal; de igual manera, la existencia del movimiento horizontal no cambia el eecto de la uerza gravitatoria sobre el movimiento vertical. En otras palabras, los movimientos horizontal y vertical son independientes. La independencia independencia de estos movimientos se pone de maniesto en la Fig. 5.47. En ella aparecen las distintas posiciones de dos pelotas de gol. La bola 1 se ha dejado caer libremente, libremente, sin ningún tipo de velocidad inicial. La bola 2 se ha lanzado horizontalmente horizontalmente en el mismo instante en que se deja caer la bola 1. Se observa cómo las dos caen con la misma aceleración, llegando llegando al suelo al mismo tiempo. La pelota 2 cae verticalmente con aceleración constante, aunque simultáneamente tenga otro movimiento horizontal. Por tanto, la uerza gravitatoria produce la misma aceleración vertical independientemente de que el cuerpo posea movimiento horizontal o no.

Principiodesuperposición Además del movimiento parabólico, existen otros ejemplos de composición de movimientos. Todos los casos se resuelven aplicando el siguiente método, que recibe el nombre de principio de superposición y que dice: Componer dos movimientos equivale a sumar sus magnitudes homólogas: →

→

→

→

→

→

r = r 1 + r 2

Si una partícula está sometida simultáneamente a varios movimientos elementales independientes, el movimiento resultante se obtiene sumando vectorialmente dichos movimientos parciales.

v = v 1 + v 2 →

→

→

a = a1 + a 2

¿Cómo se suman vectorialmente dos movimientos? Sencillamente, Sencillamente, sumando por separado las posiciones, los desplazamientos, las velocidades, etcétera.


05

215

EJEMPLO15

Un barquero quiere cruzar un río de 120 m de anchura; para ello va a remar perpendicularmente a la corriente. Si la velocidad que imprime a la barca es de 2 m/s respecto a la corriente y el agua del río desciende a 1 m/s, el barquero quiere saber: a) ¿Cuántos movimientos posee la barca? ¿Son o no independientes? b) ¿Con qué velocidad se mueve la barca respecto de la orilla del río? c) ¿Cuánto tiempo tardará en cruzar el río? ¿Necesitaría el mismo tiempo si el agua estuviera en reposo? d) ¿En qué punto de la orilla opuesta desembarcará? e) ¿Habrá recorrido 120 m cuando la barca haya cruzado el río? Solución Elegimos el sistema de reerencia reerencia en el punto O de salida de la barca, de orma que el eje Ox sea la dirección de la corriente y el eje Oy perpendicular a ésta (Fig. 5.48). movimiento a) La barca está sometida a dos→movimientos rectilíneos y uniormes:→el movimiento producido por los remos v 1 y el de arrastre debido al agua v 2 (Fig. 5.48). Ambos son perpendiculares entre sí e independientes: independientes: la barca sería arrastrada con la misma velocidad si el barquero dejase de remar y el barquero impulsaría la barca con la misma velocidad aunque no hubiera corriente. El movimiento global de la barca es la suma de dichos movimientos, cuyas ecuaciones son: Movimiento Movimiento según el eje Ox: x = v x t, siendo v x = 1 m/s. Movimiento Movimiento según el eje Oy: y = v y t, siendo v y = 2 m/s. b) La velocidad que realmente tiene la barca es la suma de la velocidad relativa respecto respec to del agua más la velocidad con que es arrastrada por la corriente (Fig. 5.48): → → → v = v 1 + v 2 → → De acuerdo con el sistema de reerencia elegido, se cumple que v 1 (0, v y) y v 2 → → → → → (v x, 0). Luego, la velocidad resultante será: v = |v x| u x + |v y| u y = u x + 2 u y m/s, cuyo módulo es: 2 2 = 2,24 m/s v = Î v v x2 + v y2 = Î 5 m /s Por tanto, la barca avanzará con una rapidez de 2,24 m/s. c) El tiempo que tarda en cruzar el río solamente depende de la anchura anchura de éste y de la velocidad v y. La barca llegará a la otra orilla cuando y = 120 m. y 120 m t = = = 60 s v y 2 m/s d) Mientras la barca está recorriendo los 120 m, es e s arrastrada por el agua con una u na velocidad v x = 1 m/s. Por tanto, la distancia que es arrastrada por la corriente será: x = v x t = 1 m/s · 60 s = 60 m El barquero desembarcará en un punto situado a 60 m aguas abajo del punto P de reerencia (Fig. 5.49). e) El desplazamient desp lazamientoo real de la barca es igual a la suma de los desplazamien desplazamientos tos según los ejes x e y, de acuerdo con el principio de superposición: → → → Dr = 60 u x + 120 uy m

Fig. 5.48. Figura correspondiente al Ejemplo 15.

→

El módulo del vector v se representa de dos maneras: →

|v | y v

→

cuyo módulo vale |Dr | = Î 60 602 + 1202 = 134,2 m, que es la distancia real recorrida por la barca hasta llegar a la orilla opuesta.

Fig. 5.49. Figura correspondiente al Ejemplo 15.

216

05


EJEMPLO16 Cuando lanzamos un objeto, la fuerza de lanzamiento se conserva o permanece en el proyectil, actuando continuamente.

Esto es also Porque la fuerza que ejerce la mano es una fuerza de contacto; por tanto, cesa en cuanto desaparece el contacto entre el proyectil y la mano.

Lo correcto sería… El tiempo que ha durado el contacto origina un impulso ( I = Ft ) que produce una cantidad de movimienv, que sí to o momento lineal p = m v, queda almacenada en el cuerpo, y que tiende a conservarse de forma que, si no existiera ningún tipo de obstáculo o rozamiento, la velocidad horizontal sería constante indefinidamente.

Una partícula está sometida a dos movimientos denidos por las siguientes ecuaciones expresadas en el SI: x = 4 t y = 2 t 2 – 1 a) Clasica los movimientos de la partícula. b) ¿Dónde se encuentra la partícula y qué velocidad tiene en el instante t = 2 s? c) Dibuja la trayectoria. Solución a) Se trata de dos movimientos independientes. La ecuación del primero es del tipo x = x 0 + v t . Se trata, pues, de un movimiento movimiento rectilíneo y uniorme cuya posición inicial es cero y la velocidad constante vale 4 m/s. La ecuación del segundo es del tipo y = y 0 + v 0 t + 1/2 a t 2. Se trata de un movimiento rectilíneo uniormemente acelerado, siendo y 0 = –1 m; v 0 = 0; a = 4 m/s2. b) De acuerdo con las ecuaciones dadas, la partícula tiene dos velocidades: v x = 4 m/s; v y = v 0 + a t = 4 t m/s.

El movimiento resultante se obtiene aplicando el principio de superposición. → → → → → Posición: r = x ux + y uy = (4 t ) ux + (2 t 2 – 1) uy m. Esta expresión te permite calcular la posición de la partícula en cualquier instante. Para t = 2 s la partícula se encuentra en el punto P 2 (8, 7). Velocidad Velocidad en cualquier instante: → → → → → v = v 1 + v 2 = 4 ux + (4 t ) uy m/s → → que para t = 2 s toma el valor v = 4 ux + 8 uy m/s. Su módulo vale v = 8,9 m/s. c) Para dibujar la trayectoria obtenemos las distintas posiciones que va tomando la partícula en el transcurso del tiempo: para t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s,

Fig. 5.50. Trayectoria del movimiento descrito en el Ejemplo 16.

etcétera. Las posiciones obtenidas son: P 0 (0, –1), P 1 (4, 1), P 2 (8, 7), P 3 (12, 17), etcétera. Si unes estos puntos obtenemos la trayectoria. Se trata de un movimiento parabólico (Fig. 5.50).

ACTIVIDADES

31> Calcula la velocidad veloc idad de la barca del Ejemplo 15 en el 32> Representa grácamente la trayectoria del movicaso de que el barquero: a) Reme a avor de la corriente. b) Reme contra la corriente. corriente.

miento denido por

x = 2 + t 2 y = –1 + 2 t

05


■

217

5.10 5.10 Movimiento Movimientodepro deproyectiles yectiles

El ser humano, desde siempre, ha lanzado objetos con el n de hacer blanco en algún punto determinado, sea por motivos bélicos, cinegéticos, deportivos, etcétera. Balística es la ciencia que estudi a el conjunto conjunto de técnicas y conocimientos teóricos encaminados a aumentar la precisión del tiro de un proyectil. Recibe el nombre de proyectil todo cuerpo que, una vez disparado (o proyectado, como decía Galileo), se mueve bajo la acción de la gravedad, en caída libre (Fig. 5.51).

Un proyectil se puede lanzar de tres ormas: – Verticalmente: es el caso de caída c aída libre que ya hemos visto. – Horizontalmente: tiro horizontal. – Formando un ángulo con el horizonte: tiro oblicuo.

Fig. 5.51. Flecha lanzada por un arquero. Se trata de un ejemplo de proyectil que se mueve por la acción de la gravedad.

Tirohorizontal Supongamos que se lanza horizontalmente un objeto desde el punto A con una velocidad v x. Si el rozamiento con el aire es despreciable, el objeto conservará esta misma velocidad mientras no colisione con otro objeto. Simultáneamente Si multáneamente,, su velocidad vertical descendente aumenta con el tiempo debido a la caída libre. De acuerdo con el sistema de reerencia indicado en la Fig. 5.52, las ecuaciones que denen estos movimientos son: • Movimiento horizontal uniorme: – Velocidad en cualquier instante: v x = v 0 – Posición en cualquier instante: x = v x t • Movimiento vertical de caída libre: – Velocidad en cualquier instante: v y = – g t 1 – Posición en cualquier instante y = y 0 – g t 2 2

0

Fig. 5.52. Tiro horizontal. Este tipo de lanzamiento presenta dos movimientos independientes y perpendiculares entre sí.

EJEMPLO17

Una uente tiene el caño a una distancia vertical del suelo de 70 cm. El chorro del agua da en el suelo a 1 m del pie de la vertical. ¿Con qué velocidad sale el líquido? (Fig. 5.53). Solución El agua, una vez que abandona el caño, describe una parábola. Esto quiere decir que el líquido tiene dos movimientos: 1) horizontal uniorme producido producido por la presión del agua, y 2) vertical de caída libre, cuyas ecuaciones son: x = v t siendo v la velocidad de salida 1 2 y = y 0 – g t siendo y 0 = 0,70 m 2 y Cuando el agua llega al suelo, y = 0, la posición x = 1 m ⎭ ⎬1 m = v t ⎫ 0 m = 0,70 m – 4,9 m/s 2 t 2 O x Este sistema de ecuaciones te permite calcular la velocidad v con que sale el agua y el tiempo que tarda en caer al suelo. De donde v = 2,65 m/s. Fig. 5.53.

218

05


Tirooblicuo

Fig. 5.54. Tiro oblicuo. Es el lanzamiento de un objeto cuya velocidad inicial orma un ángulo a con la horizontal.

El alcance máximo para una velocidad de lanzamiento determinada tiene lugar cuando el ángulo de elevación vale 45°. Además, salvo para 45°, es posible conseguir el mismo alcance para dos valores complementarios del ángulo de elevación, tales como 75° y 15° (Fig. 5.55). Para un mismo alcance, el ángulo mayor nos permite superar una altura mayor (si hubiera obstáculos intermedios), mientras que el menor nos permite alcanzar el objetivo en menos tiempo.

Fig. 5.55. Para ángulos de elevación complementarios el alcance es el mismo.

Si queremos que el proyectil alcance mayor distancia, lo lanzaremos un poco hacia arrib a. En eecto, si la velocidad tiene una componente inicial hacia arriba, tardará más tiempo en caer al suelo y, por tanto, tendrá más tiempo para desplazarse horizontalmente. El tiro oblicuo tiene lugar c uando la velocidad inicial de lanzamiento orma un ángulo a con el horizonte. Este ángulo recibe el nombre de ángulo de tiro o ángulo de elevación (Fig. 5.54). Para estudiar el movimiento parabólico que tiene lugar tomamos el punto de lanzamiento como origen de los ejes cartesianos: como eje Ox, la horizontal (el suelo); como eje Oy, la vertical (Fig. 5.54). Según este sistema de reerencia, la velocidad inicial tiene ahora dos componentes: v 0x v 0y 0x = v 0 cos a 0y = v 0 sen a y los dos movimientos independientes independientes están denidos por las ecuaciones: • Movimiento horizontal uniorme: – Velocidad: v x = v 0 cos a – Posición: x = (v 0 cos a) t • Movimiento vertical de caída libre: – Velocidad: v y = v 0 sen a – g t – Posición: y = y 0 + (v 0 sen a) t – 1/2 g t 2 Estas ecuaciones, entre otras cosas, te permiten calcular: 1. La altura máxima que alcanza el proyectil. El proyectil está en el punto más alto de su trayectoria cuando su velocidad vertical es cero. Para calcular la altura máxima despejas el tiempo en la ecuación: 0 = v 0 sen a – g t , y lo sustituyes en la ecuación e cuación de la posición vertical 2. Alcance máximo. Recibe el nombre de alcance máximo la distancia horizontal desde el punto de partida al punto en el cual el proyectil vuelve a alcanzar su altitud inicial. Es decir, cuando se cumple y = y 0. En la Fig. 5.54 el alcance máximo viene dado por D. Para hallar el alcance máximo despejas el tiempo en la ecuación 0 = ( v 0 sen a) t – 1/2 g t 2 y lo sustituyes en la ecuación de la posición horizontal. 3. Tiempo de vuelo. Es el tiempo durante el cual el proyectil está en el aire. Cuando éste toca el suelo se cumple y = 0 en la ecuación de la posición vertical. 4. Ecuación de la trayectoria. Se obtiene eliminando el tiempo t entre las ecuaciones que determinan las posiciones horizontal horizontal y vertical. 5. Ángulo que describe la trayectoria del proyectil en cualquier instante. El ángulo en que se encuentra el proyectil con respecto a la horizontal viene dado por: tg a =

v y v x

ACTIVIDADES

33> ¿Cuáles de los siguientes objetos tendrán una trayectoria parabólica aproximada?

a) Una pelota lanzada en una dirección arbitraria. b) Un avión a reacción.

av ión anterior. c) Un paquete que se suelta desde el avión d) Un cohete que sale de la plataorma de lanza-

miento. e) La lámpara que se desprende del techo de un vagón del AVE cuando éste se mueve a 200 km/h.

05


219

EJEMPLO18

Un jugador de gol lanza una pelota desde el suelo con un ángulo de 60° con respecto al horizonte y con una velocidad de 60,0 m/s. Calcula: a) La velocidad de la pelota en el punto más alto de la trayectoria. b) La altura máxima alcanzada.

Los vectores que deinen el movimiento parabólico de un proyectil tienen dos componentes: Aceleración: ax = 0, ay = – g Velocidad: v x = v 0 cos a,

c) El alcance máximo.

v y = v 0 sen a – g t

Posición: x = (v 0 cos a) t,

Solución

y = (v 0 sen a) t –

a) Se trata de un tiro oblicuo con un

ángulo de elevación de 60°. El movimiento parabólico de la pelota, en todo su recorrido, viene denido por las ecuaciones: – Movimiento horizontal: x = x 0 + (v 0 cos a) t

v x = v 0 cos a

1 2 g t v y = v 0 sen a + g t 2 Tomamos el punto de lanzamiento como origen del sistema cartesiano de reerencia. reerencia. En este caso, pues, se cumple que x 0 = 0, y 0 = 0 (Fig. (F ig. 5.56). Cuando la pelota se encuentra en el punto más alto, la velocidad v y = 0. En ese punto solamente posee velocidad horizontal, que es constante, constante, y vale:

– Movimiento vertical:

1 g t 2 2

y = y 0 + (v 0 sen a) t +

v x = v 0 cos a

y

= 60,0 m/s · cos 60° = 30,0 m/s

b) El tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto se obtiene de

0 v – v 0 sen a 0 – 60,0 m/s · sen 60° t = y = = 5,3 s g –9,8 m/s2 La altura máxima se obtiene sustituyendo el tiempo anterior en la ecuación que nos da la posición vertical en e n cualquier instante:

60°

v y = v 0 sen a + g t , cuando v y =

y = (v 0 sen a) t + 1/2 g t 2

=

= 60,0 m/s · sen 60° · 5,3 s – 1/2 · 9,8 m/s 2 · (5,3 s)2 = 138 m c) El

alcance máximo tiene lugar cuando la pelota vuelve al suelo. Es decir, cuando y = 0.

El tiempo que tarda en volver al suelo se obtiene de la ecuación 1 y = (v 0 sen a) t + g t 2, haciendo y = 0 2 –2 v 0 sen a –2 · 60,0 m/s · sen 60° t = = = 10,6 s g –9,8 m/s2 Observa cómo este tiempo es el doble del tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura máxima. La pelota tarda lo mismo en subir que en bajar. El alcance máximo se obtiene sustituyendo el tiempo hallado anteriormente en la ecuación del desplazamiento horizontal: x = (v 0 cos a) t = 60,0 m/s · cos 30° · 10,6 s = 318 m

x

Fig. 5.56. Figura correspondiente correspondiente al Ejemplo 18.

220

05


EJEMPLO19

Un bombero desea apagar el uego de una casa. Para El agua entrará por la ventana cuando x = 15 m, ello deberá introducir agua por una ventana situada y = 10 m. a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1 m del suelo apuntándola bajo un ángulo de 60° hacia la Sustituimos estos valores en las ecuaciones anteriores: achada, que dista 15 m, ¿con qué velocidad debe 15 m = ( v 0 · cos 60°) · t salir el agua? ¿Cuánto tiempo tarda el agua en llegar 10 m = 1 m + ( v 0 · sen 60°) · t – 4,9 m/s2 · t 2 a la ventana? Solución Tomamos O (Fig. 5.57) como punto de reerencia. Por tanto, x 0 = 0, y 0 = 1 m. Las ecuaciones que denen el movimiento parabólico del agua son: x = x 0 + (v 0 cos a) t 1 y = y 0 + (v 0 sen a) t + g t 2 2

Si despejas el tiempo en la primera: 15 m t = , v 0 · cos 60° y lo sustituyes en la segunda ecuación, obtendrás el valor de la velocidad v 0 = 16 m/s. El tiempo transcurrido será: 15 m 15 m t = = = 1,9 s v 0 · cos 60° 16 m/s · 0,5

y

v

O x Fig. 5.57.

ACTIVIDADES

34> Desde lo alto de una torre de 50 m se deja caer un objeto; objet o; en el mismo

instante se dispara contra él una bala a 200 m/s desde un punto del suelo situado a 100 m de la base de la tor re. ¿Hará ¿Hará blanco la bala? En caso armativo, armat ivo, ¿en qué punto? punto?


05

221

Ciencia,tecnologíaysociedad Velocidad y seguridad vial

la rueda en movimiento (zapatas-tambor, pastillas-disco). Los países desarrollados tienen en la carretera una de Esta uerza de rozamiento disminuye la velocidad. las principales causas de deunción. Esto es debido a las Factor ísico. Un actor undamental del renado es la altas velocidades que pueden alcanzar los vehículos mo- adherencia de las ruedas al pavimento. Si a la rueda se le bruscamente, bloca y se desplaza sin dernos. ¿Cómo tratan de resolver la Ciencia y la Tecnolo- aplica el renado muy bruscamente, girar. El vehículo continúa avanzando. Se dice entonces que gía este grave problema que aecta a nuestra sociedad? Entre otras cosas, mejorando constantemente el sistema la rueda no tiene adherencia o que el vehículo derrapa. de renado y utilizando el airbag . La adherencia del vehículo depende de su peso, de las características y estado de los neumáticos y de la naHistoria y ecacia del sistema de renos turaleza y estado de la carretera. Una buena adherencia La historia de los renos está íntimamente ligada a la permite transmitir una uerza mayor de la rueda a la calhistoria de la velocidad. En los vehículos de tracción ani- zada. Si la adherencia es grande, grande, tanto más corta será la mal el renado era muy simple: se aplicaba un patín de distancia de renado. Pero si la adherencia es pequeña, madera sobre la llanta metálica de una de las ruedas. Esto bien sea por la presencia de hielo o porque las ruedas se bastaba para detener un vehículo que no alcanzaba una bloquean, pueden surgir situaciones comprometidas: comprometidas: velocidad superior a 25 km/h. – Si eectuamos una renada brusca, el vehículo tiende a A nales del siglo xix, con la aparición de los neumáticos, cruzarse. Este enómeno se produce por la dierencia de los automóviles comenzaron a alcanzar velocidades más adherencia adherencia antes y después del bloqueo. altas; a partir de 1899 se ranqueaba ya la barrera de los – Con las ruedas bloqueadas, el vehículo continúa su tra100 km/h. Estos vehículos usaban renos de tambor que yectoria y gira sobre sí mismo. rozaban sobre las cadenas de transmisión. transmisión. Al desaparecer la transmisión por cadena, hacia 1907, las supercies de – Si se desbloquean las ruedas, el vehículo toma una trayectoria dierente a la primera. rozamiento pasarán a ser dos zapatas articuladas. En el año 1909 nace el erodo, una guarnición compuesta – Si las ruedas delanteras se bloquean, la dirección se vuelve inoperante. de una capa de amianto con hilo de latón entrecruzado e impregnado de resina. Se había descubierto el material Factor humano. Un actor undamental en la renada de un más adecuado para los renos, pero altaba un sistema de automóvil es el tiempo de refejo del conductor. Se llama así mando eciente. En 1922, M. Loughead utiliza por pri- al tiempo de reacción que transcurre entre el instante en que mera vez un mando hidráulico. hidráulico. Este sistema se extenderá extenderá la causa del renado aparece (percibir el obstáculo) y el inspoco a poco, hasta el punto de que en el año 1950 la casi tante en que el conductor interviene activamente (comienza el renado). Este tiempo, variable según los individuos individuos y totalidad de los vehículos lo tienen instalado. según su estado general, es por término medio de 0,75 s. Si Pero al ser las velocidades cada vez más altas, surge un la velocidad del vehículo es muy alta, éste puede recorrer nuevo problema: el aumento de la cantidad de calor a durante el tiempo de refejo una distancia no prevista por disipar en el renado. La solución a este problema la trajo el conductor, produciéndose así la colisión. un Jaguar equipado con renos de disco, ganador de las 24 horas de Le Mans de 1953. Actualmente, los abrican- En la tabla adjunta se muestra la distancia de parada en sobre tes de coches de alta cilindrada están muy sensibilizados unción de la velocidad durante el tiempo de refejo 2 un suelo seco y con una deceleración de 5 m/s . con la seguridad vial. Por ello, a los renos de disco se añaden sistemas basados en la electrónica que permiten Distancia recorrida en Distancia total evitar el blocaje de las ruedas: son los renos ABS. Velocidad el tiempo para que el vehículo (km/h) Un buen reno debe retener y parar un vehículo en un de refejo (m) se detenga (m) tiempo y sobre una distancia mínimos, conservando la 50 10,3 29,5 trayectoria del vehículo y con el menor esuerzo posible 70 14,6 52,4 por parte del conductor. Que esto se consiga o no depende 90 18,7 81,2 de tres actores: el automóvil, o actor mecánico, la ca110 23 116,3 rretera, o actor ísico y el conductor, o actor humano. 120 25 136 130 27,1 157,5 Factor mecánico. Se trata de crear una uerza que se 150 31,3 214 oponga al avance del vehículo. ¿Cómo? Utilizando el roza170 35,4 258,4 miento entre un elemento jo del chasis y un elemento de

222

05


Ciencia,tecnologíaysociedad Teorías sobre la caída libre de los cuerpos El estudio del comportamiento de los cuerpos en caída libre es un excelente ejemplo de la dierencia que existe entre un análisis cientíco riguroso y un tratamiento hecho sin tener en cuenta la realidad. realidad. Los lósoos antiguos, Platón y Aristóteles sobre todo, trataron el movimiento de los cuerpos como algo metaísico; así, para explicarlo se sirvieron de ideas tan vagas como acción, causa eciente, n y posición natural de Todo esto era completamente inútil para los cuerpos, etc. Todo Galileo, que no deseaba estudiar por qué ocurría el movimiento, sino cómo tenía lugar. Los conceptos de espacio y tiempo tenían una categoría muy secundaria en el pensamiento aristotélico, y solamente con Galileo toman el carácter c arácter undamental undamental que han conservado en la Ciencia ísica hasta nuestros días. Vamos a describir tres ormas de entender la caída de los cuerpos. • Platón La caída y elevación de los cuerpos era explicada por este lósoo suponiendo que los cuerpos de naturaleza seme jante tendían a estar juntos . Así, una parte de cualquier objeto tendía a reunirse con la masa principal: una piedra caía hacia la esera terrestre situada en el centro del Universo; el uego se elevaba para alcanzar la esera ígnea, en el límite más externo del Universo. • Aristóteles La explicación de Aristóteles es muy semejante a la teoría platónica. Supone que los cuerpos están ormados por cuatro elementos: tierra, aire, uego y agua. Los que están constituidos primordialmente por tierra y agua tratan de alcanzar su estado natural de reposo. Esto ocurre cuando están en contacto con la Tierra. Por eso caen. Los objetos que se componen de aire y uego tratan de subir a su estado natural de reposo: el cielo. Los cuerpos pesados caen más deprisa que los ligeros. • Galileo En 1250 comenzó a surgir la Ciencia tal como la conocemos hoy día. Roger Bacon (1214-1294) ue uno de los primeros en armar que la experiencia (o conocimiento experimental) experimental) es necesaria para la ormulación de teorías acerca del comportamiento de la Naturaleza. En 1605, Francis Bacon (1561-1626) insistió, en contra de las tendencias aristotélicas predominantes de su época, que las teorías debían undarse en hechos determinados mediante experimentos.

Fue Galileo (1564-1642) (1564-164 2) (Fig. 5.58) quien, nalmente, abrió el camino al desarrollo de la verdadera ciencia, realizando multitud de experimentos que conrmaban sus hipótesis. hipó tesis. Galileo centra su atención en el movimiento observado realmente en la Naturaleza. En su obra Dos ciencias nuevas escribe: «Porque cualquiera puede inventar un tipo de movimiento y estudiar sus propiedades... Pero hemos decidido considerar los enómenos de los cuerpos que caen con una aceleración, tal como ocurre realmente en la Naturaleza.» Y concluía armando que había tenido éxito al hacerlo así por el acuerdo exacto de su denición con los resultados de los experimentos de una bola que caía por un plano inclinado. Galileo deja, pues, toda consideración losóca y se centra en la descripción de lo que observa. Para éste, la caída de los cuerpos y el movimiento ascendente ascendente de los proyectiles lanzados hacia arriba deben expresarse según la misma ley. La oscilación de un péndulo, pé ndulo, sobre la cual meditó largamente, le mostró que el movimiento hacia arriba es una réplica invertida del movimiento hacia abajo. En 1604, en una carta a Paolo Sarpi, arma que la caída de los cuerpos está regida por la siguiente ley: Los espacios recorridos en tiempos iguales son como los números núm eros imab unitate. Años más tarde describe que la velocidad pares de caída crece con el tiempo, llegando a la conclusión de que todos los cuerpos caen libremente con movimiento uniormemente acelerado, y además, que el peso de los cuerpos no infuye en su aceleración a condición de que sean despreciables los eectos de la ricción del aire. Aunque los métodos de la ciencia se han renado con los años, el experimento sigue siendo parte esencial de dichos métodos. Recuerda que para que las teorías cientícas tengan valor deben basarse en hechos experimentales. experimentales.

Fig. 5.58. Galileo Galilei.

05

cinemática cinemátic a del punto material. elementos y magnitudes del movimiento

Experienciadelaboratorio Diferencia entre espacio recorrido y desplazamiento Objetivo Distinguir entre distancia recorrida y desplazamiento utilizando planos a escala para calcular distancias y suma de vectores para calcular el desplazamiento.

Material • Un lapicero bien aflado. • Un papel. • Una regla graduada.

Procedimiento En la Figura 5.59 se representa un plano parcial de la ciudad de Pamplona. Una persona se ha desplazado desde San Miguel hasta San Francisco Javier.

a) Ha seguido el siguiente itinerario: calle Francisco Bergamín, calle Francisco Gorriti y calle Olite. Dibuja este itinerario, y usando la escala que se indica en el mapa, calcula en metros la distancia recorrida.

c) Une, usando una regla, San Miguel con San Francisco Javier. Dibuja el vector desplazamiento y calcula su módulo usando la escala. d) Calcula el módulo de desplazamiento utilizando el teorema de Pitágoras. Pi tágoras.

Analiza y responde 1. ¿La distancia recorrida es la misma en los dos itinerarios? ¿Por qué? 2. ¿Qué representa en esta experiencia la distancia entre las dos iglesias? ¿Esta distancia depende del itinerario seguido? ¿Por qué? 3. ¿Cuántas distancias recorridas puede haber? ¿Cuántos desplazamientos? 4. Compara los valores del desplazamiento utilizando primero la escala y luego la suma de vectores. ⎯ ⎯ →

5. Observa la Fig. 5.60: ¿El desplazamiento P 1 P 2 coincide con la suma de las distancias a, b, c, d ? ¿Coincide con la suma de los vectores a , b , c , d ? →

b) Repite la experiencia, pero con el siguiente itinerario: calle Francisco Bergamín, calle Taalla. Calcula la distancia recorrida.

Fig. 5.60

Fig. 5.59

→

→

→

223

224

05


Experienciadelaboratorio Estudio del MRUA Objetivo

Montaje Coloca el carril como c omo indica la Figura 5.61 y señala en él posiciones de 50 en 50 cm.

Estudiar el movimiento uniormemente acelerado utilizando un plano inclinado.

Procedimiento a) Deja rodar una de las bolas por el carril y toma el tiempo cuando pase por la primera posición señalada de 50 cm. b) Mide el tiempo cuatro veces y calcula el tiempo medio. c) Repite la misma operación para las posiciones 100, 150... d) Completa la tabla siguiente:

Material • Un carril de aluminio de unos 3 m de longitud, aproximadamente. • Bolas de acero de dierente masa. • Un cronómetro. • Papel milimetrado. s

t1

t2

t3

t4

t21

t22

t23

t24

s/t21

s/t22

s/t23

s/t24

50 cm 100 cm 150 cm

0m

0,5 m

1m

1,5 m

2 m

2,5 m

3m

Fig. 5.61

Analiza y responde 1. Dibuja utilizando papel milimetrado el diagrama s-t . ¿Qué representa la pendiente de la curva obtenida? Calcula la velocidad en los puntos 50, 100 y 150 cm. 2. Dibuja el diagrama s-t 2. ¿Qué curva se obtiene? 3. Existe alguna relación entre la pendiente de la curva t2 que has obtenido en la tabla? anterior y los valores s / / t

4. Representa el diagrama v -t del movimiento. 5. ¿Cuánto vale la aceleración? 6. ¿Variarán los resultados si utilizas bolas de distinta masa?


05

Problemaspropuestos Para aanzar

1> Indica qué armaciones son verdaderas. La velocidad

2>

3>

4>

5>

media de una partícula en un intervalo de tiempo es: a) El cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo. b) El cociente entre el espacio recorrido y el intervalo de tiempo. c) Es igual cualquiera que sea la trayectoria. d) Depende de la trayectoria. Un automóvil toma una curva de 100 m de radio con una rapidez constante de 36 km/h. ¿Cuáles de las siguientes armaciones armaciones son correctas? a) El coche no tiene aceleración porque su velocidad es constante. b) El coche tiene aceleración tangencial. c) La aceleración del coche vale 1 m/s 2. En un campeonato de esquí alpino un esquiador realiza el descenso haciendo hac iendo muchas «eses», mientras que otro lo realiza en línea recta. Señala las armaciones alsas: a) Los dos han realizado el mismo desplazamiento. b) Los dos han recorrido la misma distancia. c) Los dos han seguido la misma trayectoria. d) Bajaron con la misma velocidad media si tardaron el mismo tiempo. Un automóvil toma una curva disminuyendo el módulo de su velocidad. Indica qué armaciones son verdaderas: a celeración tangencial. a) Solamente existe aceleración b) Solamente existe aceleración normal. c) Existen las dos aceleraciones anteriores. anteriores. d ) La aceleración normal es constante. Un compañero te dice: «Lanza una piedra verticalmente hacia arriba con todas tus uerzas y te diré la altura que has alcanzado utilizando un cronómetro». Lanzas la piedra y tu compañero observa que la piedra tarda 8 s en volver al suelo. a) ¿Con qué velocidad lanzaste la piedra? b) ¿Qué altura alcanzó ésta? S: v = 39 m/s; h = 78 m.

6> De las siguientes armaciones, indica cuáles son

alsas: a) Si la velocidad de un cuerpo es nula, la aceleraac eleración también lo es. b) Si la aceleración de un cuerpo es nula, la velocidad también lo es. c) La velocidad y la aceleración son vectores que tienen siempre la misma dirección, aunque su sentido puede ser dierente. dierente. 7> Un tren marcha a una cierta velocidad velo cidad y en un momento dado se desprende del techo de un vagón una lámpara. Di cómo observaría este enómeno: a) Un observador que va en el tren. b) Un observador que estuviera parado uera del tren. 8> En una de las Fig. 5.62 y 5.63 está representado el diagrama v-t del movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo.

Fig. 5.62

Fig. 5.63

Indica qué armaciones son alsas: a) El diagrama que representa dicho movimiento es B, no es A.

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226

05


Problemaspropuestos b) La aceleración cambia de sentido a los 2 s. c) La velocidad cambia de sentido a los 2 s. d) La altura máxima se alcanza a los 2 s. e) El móvil a los 3 s se encuentra a 10 m de altura. f) La altura máxima alcanzada ue de 20 m. g) A los 4 s llega al suelo. Datos: g Datos: g = 10 m s –2.

9> Un móvil describe una trayectoria circular de 1,0 m

de radio treinta veces por minuto. Calcula: a) El periodo. b) La recuencia. c) La velocidad angular. d) La velocidad tangencial y la aceleración centrípeta de este movimiento. movimiento. S: a) 2 s; b) 0,5 vueltas/s; c) 3,14 rad/s; d) 3,14 m/s, 9,9 m/s 2.

Para repasar

10 > Un avión se ha desplazado 600 km hacia el norte,

1 000 km hacia el sur y 500 km hacia el norte. a) ¿Cuál ha sido el desplazamiento total del avión? distancia ha recorrido? b) ¿Qué distancia c) ¿Cuál ha sido su velocidad media si ha empleado 5 h en el recorrido? S: a) 100 km hacia el norte; b) 2 100 100 km; c) 20 km/h. 11> Una persona está sentada en un banco del parque público. En un momento dado decide dar un pequeño paseo: recorre 100 m hacia el oeste, se para y luego recorre 60 m hacia el este. a) ¿Cuál es la posición nal de la persona respecto del banco? b) ¿Cuál es el desplazamiento? c) ¿Qué espacio ha recorrido? S: a) 40 m al oeste del punto de partida; b) 40 m hacia el oeste; c) 160 m. 12> Un ciclista acelera durante 10 s pasando de 5 m/s a 36 km/h. Calcula su aceleración media. S: 0,5 m/s2. 13> Una pelota de tenis llega a un jugador con una rapidez de 20 m/s. Este jugador golpea la pelota de manera que ésta sale en la misma dirección, pero en sentido contrario, a 35 m/s. Si la pelota ha estado esta do en contacto con la raqueta durante 0,2 s, calcula:

¿Cuánto ha variado la rapidez de la pelota? ¿Cuánto vale el módulo de la aceleración media? S: a) 15 m/s; b) 275 m/s2.

a) b)

14> Un automóvil que se mueve en línea recta acelera

en un momento dado a razón de 2 m/s 2. ¿Durante cuánto tiempo debe estar acelerando para que el velocímetro pase de 90 km/h a 120 km/h? S: 4,2 s.

15> Un automóvil, al pasar por un punto A, tiene una velocidad de 128 km/h, y cuando pasa por otro punto B, distante 120 m del anterior, la velocidad es de 35 km/h. Calcula: a) El valor de la aceleración. b) Cuánto tiempo tarda el auto en pasar de A hasta B. c) A qué distancia de A se detendrá el automóvil. S: a) –4,9 m/s2; b) 5,3 s; c) 129 m.

16> Un avión que parte del reposo acelera ac elera uniormemente hasta alcanzar una velocidad de despegue de 75 m/s en 5,0 s. a) ¿Con qué velocidad en km/h despega el avión? b) ¿Cuál es su aceleración? c) ¿Qué longitud de pista ha recorrido hasta despegar? d) ¿Qué distancia recorre en el último segundo? S: a) 270 km/h; b) 15 m/s2; c) 188 m; d) 68 m.

17> Un ventilador gira a 360 rpm. En un momento dado se desenchua de la corriente y tarda 35 s en pararse. a) ¿Qué aceleración angular tiene? b) ¿Con qué velocidad gira 15 s después de apagarlo? c) ¿Cuántas vueltas da hasta que se para?

S: a) –1,1 rad/s2; b) 22 rad/s; c) 105 vueltas.

18> Una uente tiene el caño a una distancia vertical del suelo 0,50 m. El chorro del líquido, que sale horizontalmente, horizontalmente, da en el suelo a 0,80 m del pie de la vertical. ¿Con qué velocidad sale el agua? S: 2,5 m/s.

19> Teniendo en cuenta el diagrama de la Fig. 5.64, indica qué armaciones son correctas:


05

Problemaspropuestos Para proundizar

24> Un vehículo viaja por una calle a 50 km/h. De repente A

B

C

Fig. 5.64

a) En el tramo AB el móvil está parado. b) En el tramo BC la aceleración es 1 m/s 2. c) La distancia recorrida en el tramo BC es de 50 m. d) En el tramo BC el movimiento es uniorme.

25>

20> Dado el diagrama de la Fig. 5.65, indica qué armaciones son alsas:

A

26>

B

C

Fig. 5.65

a) En el tramo OA la velocidad ha sido 0,8 m/s. b) En el tramo AB la velocidad es 0,8 m/s. c) En el tramo BC la velocidad es –2 m/s. d) En el tramo AB el móvil está parado.

21> Un avión vuela horizontalmente a 900 m del suelo

con una velocidad constante de 540 km/h. ¿A qué distancia de la vertical sobre un claro de la selva 27> debe lanzar una caja de ayuda humanitaria para que llegue a su destino? S: 2 040 m. 22> El récord mundial de salto de altura vertical está en 2,44 m. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima del saltador para sobrepasar dicha altura? S: 6,92 m/s. 23> El récord mundial de salto de longitud está en 8,95 m. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima de un 28> saltador, cuya trayectoria orma un ángulo de 45° respecto al suelo, para sobrepasar dicha distancia? S: 9,37 m/s.

un niño atraviesa corriendo la calzada. Si el conductor tarda 0,8 s en reaccionar y oprimir los renos: a) ¿Cuántos metros recorrerá antes de empezar a renar? b) Una vez que pisa los renos, ¿podrá parar en 0,5 m, supuesta una aceleración de renado de –20 m/s 2? S: a) 11 m; b) No. Un conductor que viaja de noche en un automóvil a 100 km/h, ve de repente las luces de señalización de una valla que se encuentra a 40 m en medio de la calzada. Si tarda 0,75 s en pisar el pedal de los renos y la deceleración máxima del automóvil es de 10 m/s 2: a) ¿Chocará con la valla? Si es así, ¿a qué velocidad? b) ¿Cuál será la velocidad máxima a la que puede viajar el automóvil sin que colisione con la valla? S: a) 70 km/h; b) 78 km/h. Un camión y un automóvil inician el movimiento en el mismo instante, en la misma dirección y sentido desde dos semáoros contiguos de la misma calle. c alle. El camión tiene una aceleración constante de 1,2 m/s 2, mientras que el automóvil acelera con 2,4 m/s 2. El automóvil alcanza al camión después de que éste ha recorrido 50 m. a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al camión? b) ¿Qué distancia separa los dos semáoros? semáoros? c) ¿Qué velocidad posee cada vehículo cuando están emparejados? S: a) 9,1 s; b) 50 m; c) 39 km/h, 79 km/h. Dos jóvenes se mueven en la misma dirección, dirigiéndose el uno al encuentro del otro. Inician el movimiento al mismo tiempo desde las porterías de un campo de útbol con velocidades medias respectivas: v 1 = 3,5 m/s y v 2 = 5,0 m/s. Sabiendo que el encuentro tiene lugar a 28 m de la posición de partida del primero, determina: a) El tiempo transcurrido hasta que se encuentran. b) La longitud del campo de útbol. S: a) 8 s; b) 68 m. Un tren del metro sale de una estación A; acelera a razón de 0,5 m/s 2 durante 10,0 s y luego con 2,0 m/s2 hasta alcanzar la velocidad de 54 km/h. El tren mantiene la misma velocidad hasta que se

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Problemaspropuestos

29>

30>

31>

32>

33>

34>

acerca a la estación B. En ese momento rena uniormemente ormemente hasta pararse en 10,0 s. El tiempo total desde A hasta B ha sido de 60,0 s. ¿Qué distancia hay entre las estaciones A y B? S: 675 m. Desde lo alto de una torre de altura h se deja caer un objeto. ¿A qué distancia del suelo tendrá una velocidad igual a la mitad de la que tiene cuando llega al suelo? S: 3/4 h. Lanzas un cuerpo verticalmente hacia arriba de orma que tiene una velocidad de 8,0 m/s cuando ha alcanzado la mitad de la altura máxima a la que puede subir: a) ¿Con qué velocidad se lanzó? b) ¿A qué altura sube? c) ¿Qué velocidad posee un segundo después de ser lanzado? S: a) 11,3 m/s; b) 6,5 m; c) 1,5 m/s. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un puente situado a 35 m del agua. Si la piedra golpea el agua 4 s después de soltarla, calcula: a) La velocidad con que se lanzó. b) La velocidad con que golpeó el agua. S: a) 11 m/s; b) –28 m/s. Se lanza desde el suelo hacia arriba un objeto al mismo tiempo que se deja caer otro desde una altura de 45 m. ¿Con qué velocidad se debe lanzar el primero para que los dos lleguen al suelo al mismo tiempo? S: 15 m/s. Se deja caer una piedra desde el brocal de un pozo y tarda 2,3 s en percibirse el sonido producido en el choque con el agua. Si la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s, ¿a qué proundidad está el agua? S: 24 m. Un ciclista parte del reposo en un velódromo circular de 50 m de radio, y va moviéndose con movimiento uniormemente acelerado hasta que, a los 50 s de iniini ciada la marcha, alcanza una velocidad de 36 km/h; desde este momento conserva su velocidad. Calcula: a) La aceleración tangencial y la aceleración angular en la primera etapa del movimiento. b) La aceleración normal en el momento de cumplirse los 50 s.

c) La longitud de pista recorrida en los 50 s. d) El tiempo que tarda en dar una vuelta a la

35>

36>

37>

38>

pista con velocidad constante. constante. e) El número de vueltas que da en 10 minutos contados desde que inició el movimiento. S: a) 0,2 m/s2, 4 · 10 –3 rad/s2; b) 2 m/s2; c) 250 m; d) 31 s; e) 18 vueltas. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 500 m/s batiendo un objetivo situado a 1 200 m en la misma horizontal del punto de lanzamiento. Calcula el ángulo de elevación. S: 1,34° (1° 20’) o 88,66° (88° 40’). Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30° con la horizontal y cae en la terraza de un edicio situado a 30 m de distancia. Si la terraza está a una altura de 10 m, calcula la velocidad con que se lanzó. S: 29 m/s. Un motorista asciende por una rampa de 20° y cuando está a 2 m sobre el nivel del suelo «vuela» a n de salvar un río de 10 m de ancho. ¿Con qué velocidad debe despegar si quiere alcanzar la orilla sin mojarse? S: 10 m/s. Desde la cima de un acantilado se lanza horizontalmente un proyectil y se observa que tarda 3 s en tocar el agua en un punto que dista 60 m de la base del acantilado. Calcula: a) La altura que tiene el acantilado. b) Con qué velocidad se lanzó el proyectil. c) Con qué velocidad llega al agua. S: a) 44 m; b) 20 m/s; c) |v | = 36 m/s. Una bola que rueda sobre una mesa horizontal de 0,90 m de altura cae al suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 1,5 m del borde de la mesa. ¿Qué velocidad tenía la bola en el momento de abandonar la mesa? S: 3,5 m/s. Un atleta quiere batir el récord del mundo de lanzamiento de peso, establecido en 23,0 m. Sabe que el alcance máximo se consigue con un ángulo de 45°. Si impulsa el peso desde una altura de 1,75 m, ¿con qué velocidad mínima debe lanzar? →

39>

40>

S: 14,5 m/s.


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ProblemasdePAUresueltos 1> Un terremoto produce ondas longitudinales y transversales. En la corteza terrest re, las primeras se propagan con una velocidad de 8,0 km/s, mientras que las segundas lo hacen a 5,0 km/s; si en un observatorio sísmico los dos tipos de ondas se reciben con 200 s de dierencia temporal, determina la distancia del observatorio al hipocentro del terremoto.

Solución Como ambos son movimientos rectilíneos uniormes, uniormes, se pueden describir con la órmula: x = x 0 + v t

Representando Representando el momento en que las dos ondas llegan al observatorio, y considerando considerando el hipocentro del terremoto como origen de coordenadas, coordenadas, que se encuentra a d km del hipocentro, tenemos: d (km)

=0+

d (km)

v 1 t (s)

=0+8

Sustituyendo d (km) = 0 + v 2 (t +

200 s)

d (km)

=0+5

km · t (s) s

km · (t + 200) s s

d (km)

d (km)

=5

=8

km · t (s) s

km · t (s) + 1 000 km s

Despejando t en la primera y sustituyendo en la segunda: t = d (km) = 5

d

8

s ⎯→

km d 5 d · s + 1 000 km ⇔ d – = 1 000 km ⇔ 3 d = 8 000 km ⇔ x = 2 670 km s 8 8

2> Una partícula de carga –7

q = 1,6·10–19 C se mueve describiendo una circunerencia con un

periodo de 3,2 · 10 s y una velocidad de 3,8 · 10 6 m s–1. Calcula el radio de la circunerencia descrita. Solución Como se mueve con un movimiento circular uniorme, uniorme, se cumple que: 2pR e , de donde despejamos R v = , tomando una vuelta completa v = T t m 3,8 · 106 — · 3,2 · 10 –7 s v T s = = 0,19 m R= 2p 2p

230

05


Conceptosbásicos Movimiento. Cambio de posición respecto de un punto de reerencia. Puede ser de rotación o traslación. Un punto sólo puede tener movimiento de traslación. Cinemática. Ciencia que estudia el movimiento prescindiendo de las causas que lo originan. Dinámica. Ciencia que estudia las causas del movimiento. Punto material. Cuerpo del que no se tiene en cuenta sus dimensiones, o éstas son despreciables comparadas con el sistema de reerencia. Sistema de reerencia. Un punto en el espacio y tres ejes cartesianos concurrentes en él. Sistema de reerencia inercial. Cuando está en reposo o se mueve con velocidad constante. Espacio recorrido. Longitud de la trayectoria que ha descrito el móvil. Es, como el tiempo, una magnitud escalar. Trayectoria. Lugar geométrico de las distintas posiciones que va tomando un punto móvil en el espacio. Vector de posición. Une el punto jo de reerencia con el punto que ocupa el móvil. Determina la posición del móvil en cualquier instante. Vector desplazamiento. Une dos puntos de la trayectoria: el punto de partida con el punto de llegada. Velocidad media. Se obtiene dividiendo el desplazamiento entre el intervalo de tiempo transcurrido. Velocidad instantánea. La que tiene un móvil en cualquier instante o en cualquier punto de la trayectoria. Aceleración media. La variación de la velocidad en la unidad de tiempo. Aceleración instantánea. Valor límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño. Componentes intrínsecos intríns ecos de la aceleración. Existen la aceleración tangencial, que ocasiona variaciones en la rapidez, y la aceleración normal o centrípeta, causante de los cambios de dirección del móvil. Movimiento rectilíneo uniorme (MRU). Es un movimiento movimiento sin aceleración. x = x 0 + v t ; v = cte; a = 0

Movimiento rectilíneo uniormemente acelerado (MRUA). Es un movimiento con at = cte y ac = 0. 1 x = x 0 + v 0 t + a t 2; v = v 0 + a t 2 1 v 2 – v 20 = 2 a ( x x – x 0); x = x 0 + (v + v 0) t 2 Caída libre. Es el movimiento de un cuerpo bajo la acción de la gravedad. Se trata de un movimiento vertical rectilíneo uniormemente acelerado. Sus ecuaciones son las mismas que las del MRUA, con una aceleración siempre negativa ( g g = –9,8 m/s2). Movimiento circular uniorme (MCU). Es un movimiento cuya at = 0, mientras que su ac = cte y vale v 2

= = v2 R R w = w0 + v t ; v = cte s = w R; v = v R Movimiento circular uniormemente acelerado (MCUA). Es un movimiento cuya at = cte y tiene una ac que es variable. 1 2 w = v0 t + a t ; v = v0 + a t 2 v2 – v20 = 2 a w 1 w= (v + v0) t ; at = a R 2 Principio de superposición. Una partícula se mueve con un movimiento que es la suma de todos los movimientos elementales independientes a los que está sometida tanto para el vector de posición como para la velocidad y la aceleración. Tiro horizontal. Es un caso particular del movimiento de un cuerpo dotado de una velocidad inicial horizontal y otro de caída libre. Eje Ox : x = v 0 t ; v x = v 0 1 Eje Oy : y = y 0 – g t 2; v y = – g t 2 Tiro oblicuo. Es un caso particular del movimiento de un cuerpo que posee una velocidad inicial que orma un ángulo respecto a la horizontal y un movimiento de caída libre. Eje Ox : v x = v 0 cos a x = (v 0 cos a) t Eje Oy : v y = v 0 sen a – g t 1 y = y 0 + (v 0 sen a) t – g t 2 2 ac

cinemática

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