CIN 1.-La velocidad de un punto móvil queda determinada por las ecuaciones ecuaciones paramétricas siguientes: vx=3 v!=3t" v#="$%t. &a'iendo que en t=( esta'a en el punto )*+,+(+ calculad su posición+ velocidad ! aceleración en t=1. Calculad las componentes tangencial ! normal de la aceleración en ese instante+ as como el radio de curvatura de la tra!ectoria en ese mismo instante. )Nov. %% /ur'ano+ I0+ I0+ *3+ &ol: )2+ + )3+ 3+ 1( )(+ + % .(" m4s" *.31 m4s" "2.3 m. CIN ".-La velocidad angular de una rueda disminu!e uni5ormemente desde (( 6asta %(( r.p.m. en , segundos. Calculad la aceleración angular+ el n7mero de revoluciones e5ectuadas por la rueda en ese tiempo+ ! determinad cuanto tiempo m8s 6ar8 5alta para que la rueda se detenga+ suponiendo que se mantiene constante la aceleración de 5renado. )Nov. %% /ur'ano+ I0+ 2(+ 3% &ol: ".( rad4s" 2(.%* vueltas *( s. CIN 3.-La aceleración de un movimiento queda determinada por la ecuación a = -1 " x+ medida en cm4s" ! siendo x la distancia al origen de coordenadas en cm. &a'iendo que el despla#amiento despla#amiento m8ximo es de * cm ! que se 6a empe#ado a contar el tiempo cuando esta'a lo m8s despla#ado posi'le 6acia la derec6a+ determinad la ecuación del despla#amiento x en 5unción del tiempo. Calculad los valores m8ximos de la velocidad ! la aceleración+ ! calculad éstas cuando el despla#amiento es la mitad del m8ximo. )Nov. )Nov. %% /ur'ano+ 9II+ ""(+ , &ol: *sen)* t- 4"; cm 1 cm4s * " cm4s" % 314" m4s -3" " cm4s" . CIN *.-La velocidad de una partcula que se mueve en lnea recta est8 dada en el &.I.+ por la ecuación v=24)1$t" . Calculad las expresiones del espacio ! la aceleración+ sa'iendo que el origen de tiempos ! espacios coinciden. Calculad la posición+ la velocidad ! la aceleración a los tres segundos de comen#ar el movimiento. )
o 1, mm desde su posición de equili'rio+ ! se suelta. ?espués de 3 s+ la masa vuelve a estar en la misma posición anterior. @allad los valores de las constantes A+ B ! / en la ecuación x=Asen)Bt$/ x=Asen)Bt$/ que descri'e el movimiento de la masa. )&et. % &el.+ ?ep. nsen!.+ >unio % &ol: (.(1, m " 43 rdn4s rdn4s 4" rdn. CIN .-Las ecuaciones paramétricas de un movimiento plano son las dadas por x="t+ !=3sent. ncontrar la ecuación de la tra!ectoria+ ! representarla gr8Dcamente gr8Dcamente entre los instante t=( ! t=" . Calculad+ en ese intervalo de tiempo+ los instantes en los que el cuerpo est8 parado. Edem. en los que tiene aceleración nula. )Nov. % &ol : 3sen )x4"; ninguno (+ + " s. CIN 2.-n punto material descri'e una circun5erencia de ", cm de radio+ aumentando su velocidad de una 5orma constante. n un momento dado+ su velocidad velocidad es de cm4s+ ! (.", seg. m8s tarde es
de 1( cm4s. Calculad el módulo+ dirección ! sentido de la aceleración en el primer instante. )Nov. % /ur'ano+ 0+ 2+ 31 &ol: ,.1, cm4s" 3F. CIN %.-l vector de posición de una partcula móvil es r= t3 i$"t>$G )en unidades del &.I.. Calculad: a La velocidad velocidad media en el intervalo " ! , s. ' La velocidad en cualquier cualquier instante. c La velocidad en t=(. d Las aceleraciones aceleraciones tangencial+ normal ! total en cualquier instante. e La velocidad ! las HJ/L m4s 3t" i$"> m4s "> m4s ti m4s" 1%t3 4)t* $*14" m4s" 1"t4)t* $*14" m4s" 1314" m4s i m4s" 1%41314" m4s" 1"41314" m4s" )13. 1314"41" m. CIN .-?ada la ecuación r=t3 i$t" >$)t-3G que descri'e la tra!ectoria tra!ectoria de un punto en movimiento+ determinad: a los vectores posición velocidad velocidad ! aceleración en t=( ! en t=1. ' La aceleración aceleración normal ! tangencial en t=1. c @allad un vector unitario tangente a la tra!ectoria tra!ectoria en t=1. )Nov. ( &ol: )(+ (+ -3+ )(+ (+ 1+ )(+ "+ ( )1+ 1+ -"+ )3+ "+ 1+ )+ "+ ( ,.%% ".33 )3+ "+ 141*14".
de 1( cm4s. Calculad el módulo+ dirección ! sentido de la aceleración en el primer instante. )Nov. % /ur'ano+ 0+ 2+ 31 &ol: ,.1, cm4s" 3F. CIN %.-l vector de posición de una partcula móvil es r= t3 i$"t>$G )en unidades del &.I.. Calculad: a La velocidad velocidad media en el intervalo " ! , s. ' La velocidad en cualquier cualquier instante. c La velocidad en t=(. d Las aceleraciones aceleraciones tangencial+ normal ! total en cualquier instante. e La velocidad ! las HJ/L m4s 3t" i$"> m4s "> m4s ti m4s" 1%t3 4)t* $*14" m4s" 1"t4)t* $*14" m4s" 1314" m4s i m4s" 1%41314" m4s" 1"41314" m4s" )13. 1314"41" m. CIN .-?ada la ecuación r=t3 i$t" >$)t-3G que descri'e la tra!ectoria tra!ectoria de un punto en movimiento+ determinad: a los vectores posición velocidad velocidad ! aceleración en t=( ! en t=1. ' La aceleración aceleración normal ! tangencial en t=1. c @allad un vector unitario tangente a la tra!ectoria tra!ectoria en t=1. )Nov. ( &ol: )(+ (+ -3+ )(+ (+ 1+ )(+ "+ ( )1+ 1+ -"+ )3+ "+ 1+ )+ "+ ( ,.%% ".33 )3+ "+ 141*14".
CIN 1(.-?esde una altura de %( m se de>a caer un cuerpo en el mismo instante en que se lan#a otro desde el suelo 6acia arri'a con una velocidad de ,( m4s. Calculad a l tiempo que tardan en cru#arse. ' A qué altura se cru#an. c &us velocidades en el momento de cru#arse. d ?ónde est8 el segundo cuando el primero llega al suelo. e Altura m8xima alcan#ada por el segundo. )Nov. (
CIN 11.-na partcula se mueve con un movimiento armónico simple con amplitud (.(, m ! perodo 1" s. Calculad su velocidad m8xima ! su aceleración m8xima. &i la ecuación de su movimiento se escri'e como x=HPsenPQt+ 6allad los valores de las constantes H ! Q. )Nov. ( &ol: (.(" m4s (.(132 m4s" (.(, m 4 rdn4s. CIN 1".-n tren arrancó a partir del punto de reposo ! se movió con aceleración constante. n un momento dado tena una velocidad de .1* m4s+ ! *%.% metros m8s le>os tena una velocidad de 1,." m4s. Calculad: a La aceleración. ' l tiempo empleado en recorrer los *%.% m. mencionados. c l tiempo necesario para alcan#ar la velocidad de .1* m. d La distancia recorrida desde que arrancó 6asta que alcan#ó la velocidad de .1* m4s. )&et. 1 esnicG+ III+ "+ 13 &ol: 1.," m4s" * s s "2."2 m a) 1 5, 2 ^ 29, 1 4^ 2=2* a* 48 , 8 a=1 , 5 1m^ 2 / s b) v f v o=a* t
15, 29, 14=1, 51* t t=4 , 0 1s c ) ComoV=a*t t=9 , 1 4/1 , 5 1=6, 0 53s eg un do sEnr ec o r r e r4 8, 8me t r o s d) L ad i s t an ci ar ec o r r i d ad es d eq uear r a nc óh as t aqu ea l c an zól av e l oc i d add e9 . 1 4m/ s . v f ^ 2 v o ^ 2=2 * a * d 9 , 1 4^ 2 -0^ 2=2* 1, 5 1* d d=2 7 , 6 6m
CIN 13.-na partcula se mueve con una aceleración dada por a="i-> m4s" . Hara t=( s la partcula se encuentra en el punto H()(+( con una velocidad v(=i$">. Calculad: a La velocidad de la partcula en el instante t=, s. ' La posición de la partcula en ese instante. c Con qué velocidad media se 6a despla#ado la partcula en el intervalo entre ( ! , s. )Nov. 1 &c6aum+ II+ "%+ 1" &ol: )11+ -3 m4s )3(+ -"., m )+ -(., m4s.
CIN 1*.-&e dispara un pro!ectil verticalmente 6acia arri'a con una velocidad de 1(( m4s. Cinco segundos m8s tarde se dispara otro pro!ectil en la misma vertical ! con la misma velocidad inicial. Calculad: a Cu8nto tiempo tarda el segundo pro!ectil en alcan#ar al primero. ' A qué altura lo alcan#a. c Qué velocidad tiene cada pro!ectil en el momento del encuentro. )Nov. 1 &c6aum+ II+ 3+ " &ol: 1".2 s *2.2 m -"*.* m4s+ $"*.* m4s.
CIN 1,.-n coc6e de polica detecta con el radar un coc6e que se mueve a ( Gm46 situado a 1(( m por delante del su!o. l coc6e de polica arranca en su persecución 1, s después de detectarlo+ ! acelera 6asta alcan#ar una velocidad de 1(% Gm46 en "( s+ la cual mantiene constante a partir de ese momento. Calculad: a iempo que tardar8 el coc6e de polica en alcan#ar al otro. ' A qué distancia del punto de salida lo alcan#ar8. )Nov. 1 &c6aum+ II+ 3+ 3" &ol: 12( s *3,( m.
CIN 1.-n un pro'lema de Msica se tienen dudas de cu8l -Ro cu8lesS- de las expresiones siguientes corresponde a una aceleración: Bv4r+ Bv+ ó v" B" 4r. TustiDcad+ ra#onadamente+ cómo podra salirse de dudas. )unio 1 CIN 12.-Hor un punto pasa un cuerpo con una velocidad constante de "( m4s. ?os segundos m8s tarde parte de ese punto otro cuerpo+ en la misma dirección ! sentido que el anterior+ con una aceleración
constante de " m4s" . Calculad: a iempo que tarda el "F cuerpo en alcan#ar al 1F. ' UA qué distancia lo alcan#aV c 0elocidad que tiene cada uno en el instante en que se alcan#an. )Nov. " a caer un paquete de lastre. Calculad el tiempo que tarda el paquete en llegar al suelo ! la velocidad con la que lo 6ace. )Nov. " esniG+ III+ *+ "% &ol: ,.*, s -*1.*1 m4s.
CIN 1.-na persona su'e por una escalera autom8tica+ que se encuentra parada+ en ( s. La escalera tarda en su'ir ( s. Calculad cu8nto tardara en su'ir la persona caminando con la escalera en marc6a. )Nov. " esnicG+ I0+ 1""+ 3" &ol: 3 s. CIN "(.-?esde una cierta altura 6 se lan#an verticalmente dos o'>etos idénticos con la misma velocidad+ uno 6acia arri'a ! otro 6acia a'a>o. ULlegan al suelo a la ve#V ULlegan al suelo con la misma velocidadV ULlegan al suelo con la misma energa cinéticaV )
aceleración. c Hara qué valor de t la aceleración resultante tiene la dirección de la tangente a la circun5erencia en ese instante+ ! el valor de esa aceleración. )Nov. 3 Crespo+ II+ 3,+ 13 &ol: 3t" -t-; rdn4s t-; rdn4s" 1 s+ "3.(* m4s" 3 s+ 1." m4s" . CIN "".-n punto se mueve siguiendo el sentido positivo del e>e de a'cisas+ de tal modo que su velocidad vara de acuerdo con la expresión v=*x14". &a'iendo que en el instante inicial se 6alla'a en el origen de coordenadas+ calculad: a La posición en 5unción del tiempo. ' La relación entre la velocidad ! el tiempo. c La relación entre la aceleración ! el tiempo. d la velocidad media cuando 6a!a recorrido 1 metros desde el origen. )Nov. 3 Ana!a+ II+ 3%+ 3* &ol: *t" m %t m4s % m4s" % m4s. CIN "3.-n ca#ador ! su perro emprenden el camino 6acia un re5ugio situado a Gm de distancia. l ca#ador camina a * Gm46 ! el perro a % Gm46. l perro+ que o'viamente llega antes al re5ugio+ da la vuelta ! regresa 6acia su amo. U?ónde se encuentran por primera ve#V. A continuación+ repite constantemente el via>e de ir al re5ugio ! volver a 'uscar al amo+ 6asta que por Dn llegan am'os deDnitivamente al Dnal del tra!ecto. Calculad la distancia total que el perro 6a recorrido. )&ept. * &electividad+ e'ar+ ".*+ "% &ol: 3 Gm 1% Gm.
CIN "*.-n punto se mueve so're una circun5erencia de acuerdo con la le! s=t3 $"t" + siendo s la longitud de arco recorrido ! t el tiempo. &i la aceleración total del punto al ca'o de " s es de 1"+ Ucu8l es el radio de la circun5erenciaV )Nov. * Crespo+ 31+ 2 &ol: ", m.
CIN ",.-n punto se despla#a so're una par8'ola de ecuación %!=x" de modo que cuando x=%+ la componente 6ori#ontal de la velocidad vale " m4s. Calculad en ese mismo instante la componente vertical de dic6a velocidad. )Nov. * Crespo+ 31+ %. &ol: * m4s CIN ".-&e de>a caer un cuerpo desde lo alto de una torre de altura @. ?educir a qué distancia del suelo su velocidad es la mitad de la que adquiere al llegar al suelo. )Nota: no pueden usarse consideraciones de tipo energético ) m4s. n t=1 s+ calculad el vector de posición+ el vector velocidad+ el vector aceleración+ la aceleración normal+ la aceleración tangencial ! el radio de curvatura de la tra!ectoria. ncontrad la ecuación de la tra!ectoria de la partcula+ ! explicad de qué tipo de movimiento se trata. )Nov. , ipler+ I+ 2*+ *, &ol: )3(+3, m )3(+3( m4s )(+-1( m4s" 2.(2 m4s" 2.(2 m4s" ",*. m !=*x43-x" 41%(. CIN ".-na persona que se encuentra a * m de la pared de un 5rontón tira contra ella una pelota que sale de su mano a " m de altura so're el suelo ! con una velocidad inicial de v(=1(i$1(> m4s. Cuando la pelota re'ota en la pared+ la componente 6ori#ontal de su velocidad en ese momento cam'ia de sentido+ ! la componente vertical permanece inalterada. ?eterminad a qué distancia de la pared tocar8 la pelota en el suelo. )Nov. , ipler+ I+ 2,+ " &ol: 1%." m. El problema se lo puede tratar independiente tanto en el eje “x” como en el eje “y”, el caso del rebote no hay pérdidas de velocidad, así que, como truco podemos calcular todo sin la pared y al fnal restar esos 4 m en el eje “x” nicio, a una altura de ! m "o#$%i&$%j m's Esto nos da separado el problema, en “y” hay una velocidad en contra de la (ravedad de $% m's en “x” hay una velocidad hacia la pared de $% m's En el eje “y”, podemos iniciar el calculo del tiempo en que ocurre la altura mxima, donde la velocidad fnal es % *a +ormula es a # -"+."o)'t, donde despejamos t t # -"+."o)'a t # -%.$%)'.$% # $ s El tiempo en que lle(a a la altura mxima es la mitad del recorrido hasta que lle(a a la altura inicial, /sea, ese tiempo es de ! s 0i no estuviese la altura inicial de ! m1 el problema ya estuviese resuelto, pero para esa altura debemos de calcular el tiempo1 2samos la +/rmula de la velocidad, sabiendo que la velocidad inicial y la altura van
en el mismo sentido1 "3 # "o3 & ! a cambio de altura 5empla6ando " # 5aí6 cuadrada -$%3 & ! $% m's7! !) # $$189 m's El tiempo de esa parte lo calculamos de la otra +/rmula t! # -"+."o)'a t! # -$$189 : $%) ' -$%) # %1$89 s El tiempo total es de ! s & %1$89 # !1$89 ;hora usamos los datos en el eje “x” v # e't e # v t # $% !1$89 # !$189 m ;hora restamos los 4 m iniciales de la pared Espacio que la pelota queda desde la pared $<189 m 0aludos
CIN 3(.-&e dispara un pro!ectil con una velocidad de 3(( m4s ! una inclinación de (X con respecto a la 6ori#ontal. a Cual es la velocidad del pro!ectil en el punto de la tra!ectoria correspondiente a la altura m8ximaV UCual es el 8ngulo entre la velocidad ! la aceleración total de la partcula segundos después del lan#amientoV ncuentra el módulo de la velocidad del pro!ectil cuando est8 a *(( m de altura. )Nov. &electivitat+ Catalun!a+ >un! 1 &ol: 1,( m4s 1*3F "%., m4s
CIN 31.-n tren de mercancas se mueve a una velocidad de 1( m4s. n 6om're situado en una plata5orma arrastrada por el tren lan#a una pelota al aire ! la coge cuando cae. especto a la plata5orma+ la velocidad inicial de la pelota es de 1, m4s 6acia arri'a. A UCu8l es el modulo ! la dirección del 6om're del andénV c UQué distancia 6ori#ontal ! vertical 6a recorrido la pelota+ seg7n el 6om're del trenV UY seg7n el 6om're del andénV d UCu8l es la velocidad mnima de la pelota seg7n el 6om're del trenV UY seg7n el 6om're del andenV e UCómo descri'e cada unos de los 6om'res la tra!ectoria de la pelotaV )Nov. ipler+ 3+ *% &ol: 1% m4s ,F 3 s 3 s "3 m "3 m ( m 3(. m ( m4s 1( m4s
CIN 3".-La ecuación de un movimiento vi'ratorio 6armónico dada+ en unidades &.I.+ es x=(.,sin)% t$4 43. UCu8nto valen la velocidad ! la aceleración m8ximasV )Nov. &electivitat+ Catalun!a+ >un! 1 &ol: * m4s 3" " m4s" CIN 33.-na partcula descri'e un movimiento 6armónico simple de 5recuencia 1(( @# ! amplitud 3 mm. Cuanto vale la velocidad en el centro ! en los extremos de la tra!ectoriaV ?emuéstralo. )Nov. 2 &electivitat+ Catalun!a+ 12 &ol: ( m4s (. m4s CIN 3*.-na rueda que gira a 3(( revoluciones por minuto comien#a a 5renar con una aceleración constante de " rdn4s" . UCuanto tiempo tardar8 en pararseV )Nov. 2 Jct. % &electivitat+ Catalun!a+ 12 &ol: , s CIN 3,.-n coc6e que esta recorriendo 1(( Gm 6a 6ec6o los primeros ,( Gm a una velocidad de *( Gm46. Qué velocidad 6a'r8 de tener en los ,( Gm siguientes para tener una velocidad media de ( Gm46 en todo el tra!ectoV )Nov. 2 ipler+ "+ *1+ 11 &ol: 1"( Gm46
CIN 3.-UHuede ser que en un cierto instante un móvil tenga velocidad nula pero aceleración di5erente de ceroV &i la respuesta es NJ+ ra#ónelo. &i la respuesta es &I+ ponga un e>emplo. )Jct. % Catalun!a+ &electivitat+ >un! 2 CIN 32.-n un movimiento 6armónico simple de amplitud A ! periodo + Ucu8nto vale la elongación Z9Z en el instante en que la velocidad vale la mitad de su valor m8ximoV xpresa el resultado en 5unción de la amplitud A. )Jct. % Catalun!a+ &electivitat+ >un! % &ol: A)314"4" CIN 3%.-n móvil se mueve so're el e>e J9 de tal manera que su posición va dada por x=a $ 't $ ct" donde a=".", m+ '=* m4s ! c= - 1 m4s" . Un qué instante est8 paradoV UCuando pasa por el origenV UCu8l es el ale>amiento m8ximo del origen en el sentido positivoV )o a arri'a con dos segundos de intervalo+ el primero con una velocidad inicial de ,( m4s ! el segundo con velocidad inicial de %( m4s. Calculad el tiempo transcurrido )contado desde que se lan#ó el primero 6asta que estén los dos a la misma altura. ?eterminad el valor de esta altura+ ! la velocidad de cada cuerpo en ese momento. )Nov. %% /ur'ano+ I0+ 3+ ", &ol: 3." s 11.2, m 1*.," m4s *.1" m4s.
CIN *(.-na pelota res'ala por un te>ado que 5orma 3(X con la 6ori#ontal ! al llegar a su extremo tiene una velocidad cu!o módulo vale 1( m4s. La altura del 'orde del te>ado respecto al suelo es de ( m+ ! la anc6ura de la calle es de 3( m. ULlegar8 directamente al suelo o re'otar8 primero en la pared del ediDcio de en5rente+ que es tan alto como el otroV n cualquier caso+ determinad el tiempo que tardar8 en llegar al suelo+ ! calculad con qué velocidad lo 6ace. )Nov. %% Jct. % /ur'ano+ I0+ %(+ ,3 &ol: al suelo 3 s 3,.*2 m4s 2F. CIN *1.-La ecuación de la tra!ectoria de un móvil es !=3x" $,+ siendo x una 5unción del tiempo de la 5orma x=t-,. Calculad las expresiones de los vectores de posición+ velocidad ! aceleración. Calculad las componentes tangencial ! normal de la aceleración ! el radio de la tra!ectoria en el instante t=" s. )A'ril % Nov. * /ur'ano+ I0+ *2+ 11+ Crespo "%+ " &ol: )t-,i$)1(%t" -1%(t$%(>; i$)"1t-1%(>; "1> "1,.* m4s" ,.1* m4s" 1"*%1 m. CIN *".-?ada la tra!ectoria e=1,t3 + Ues constante la aceleraciónV )&et. % &el.+ ?ep. nsen!.+ >unio % &ol: no. CIN *3.-l vector de posición de un móvil viene dado por la ecuación )en unidades del &.I. r="ti$)1- t" >$,G. Calculad el
despla#amiento e5ectuado entre los * ! s de comen#ado el movimiento+ el módulo de la velocidad ! aceleración a los , s ! los valores de las componentes de la aceleración en ese mismo instante. )Nov. % &ol: )*+ -"(+ ( 1(*14" m4s " m4s" 1. m4s" (.3 m4s" . CIN **.-La ca'ina de un ascensor tiene 3 m. de altura+ ! est8 ascendiendo con una aceleración de 1 m4s" . n un determinado momento+ se desprende la 'om'illa del tec6o. Calculad el tiempo que tardar8 en c6ocar con el suelo del ascensor. )Nov. % /ur'ano+ 0+ ,+ "% &ol : (.2*, s. CIN *,.-na piedra lan#ada 6ori#ontalmente desde lo alto de un acantilado a una velocidad de 1, m4s cae a la tierra a una distancia de *, m de la 'ase del acantilado. Calcule cual es la altura del acantilado. ncuentra el 8ngulo que la tra!ectoria de la piedra 6ace con la tierra en el momento del impacto. )un! % &ol : **.1 m 3F. CIN *.-na partcula se mueve a lo largo de una curva de 5orma que las componentes cartesianas de la velocidad son vx="t" + v!=t" -*t+ v#=3t-,+ siendo t el tiempo ! las unidades las del &.I. n el instante t=1 se encontra'a en el punto )(+1+". @allad las componentes cartesianas de la posición ! la aceleración en 5unción del tiempo. Calculad sus módulos en t=1. )Jct. ( &ol : )*t+ "t-*+ 3; m4s" ")t3 -143; m t3 43-"t" $%43; m 3t" 4"-,t$114"; m ,14" m "14" m4s" .
CIN *2.-na partcula que posee un movimiento rectilneo recorre un espacio de 2 m antes de empe#ar a contar el tiempo+ ! cuando t=" s posee una velocidad de * m4s. La ecuación de la aceleración est8 dada por a=3t" -1. Calculad: a cuaciones de la velocidad ! la posición. ' La velocidad media de la partcula entre los instantes t=" ! t=*. c ?istancia al origen de tiempos cuando t=2 s. d ?istancia al origen de espacios cuando t=2 s. )Nov. ( /ur'ano+ I0+ *1+ 3 &ol : t3 -t-"; m4s t* 4*-t" 4"-"t$2; m ", m4s ,1.2, m ,%.2, m.
CIN *%.-n móvil parte del reposo ! del origen+ ! recorre una tra!ectoria circular de "( cm de radio+ con una aceleración tangencial dada por a=(t cm4s" . ?eterminad el módulo+ la dirección ! el sentido de la aceleración total del móvil a los "43 de segundo de comen#ado el movimiento. )Nov. ( /ur'ano+ 0+ 2+ 3" &ol : *(.% cm4s" 2%F. CIN *.-n >ugador de 'éis'ol lan#a una pelota con una velocidad de ,( m4s ! un 8ngulo de elevación de 3(X. n ese mismo instante+ otro >ugador situado a 1,( m del primero en la misma dirección que lleva la pelota+ empie#a a correr con velocidad constante de 1( m4s para intentar cogerla cuando esté a una altura de 1 m so're el suelo. ULlegar8 a coger la pelotaV. )Nov. (
CIN ,(.-UQué es un sistema de re5erencia inercialV )&et. 1 &el.+ ?ep. nsen!.+ >un! 1 CIN ,1.-na partcula se mueve so're una tra!ectoria circular de radio , m+ de modo que la longitud recorrida so're la tra!ectoria es
s="$t" en metros. Calculad: a Las velocidades lineal ! angular instant8neas. ' Las aceleraciones lineal ! angular instant8neas. c La aceleración total de la partcula en t=" s. d Las componentes cartesianas del vector de posición+ de la velocidad lineal ! de la aceleración para t=" s. )Nov. 1 &c6aum+ II+ 3*+ "" &ol: "t m4s+ "t4, rdn4s " m4s" + "4, rdn4s" 3.22 m4s" )1+%1+ *. m+ )-3.2"+ 1.*, m4s+ )-3+ -"." m4s" . CIN ,1.-UQué gr8Dca de la Dgura representa 'ien la velocidad de una piedra que se lan#a verticalmente 6acia arri'a en el instante t=( i cae de nuevoV xplica porqué rec6a#as las otras dos. UQué valor 6a de tener la pendiente de la gr8Dca en cada tramoV )/ruWo+ ".*+ ,
CIN ,".-&e lan#a desde el suelo una pelota+ 5ormando un 8ngulo de 3(X con la 6ori#ontal+ ! cae >usto en el 'orde de una terra#a de un ediDcio situado a 3( m de distancia del punto de lan#amiento. La terra#a est8 a 1( m de altura. Calculad la velocidad inicial que se le dio a la pelota. )Nov. 1 &c6aum+ II+ 3%+ 3( &ol: "%.3* m4s. CIN ,3.-na persona via>a en un glo'o que se eleva a una velocidad constante de % m4s ! de>a caer una piedra cuando se encuentra a 1"(( m de altura. ?etermina: a La velocidad de la piedra al llegar al suelo ! el tiempo que 6a invertido en ello. ' La velocidad media de la piedra. )Nov. 1 eide Hr.+ II+ *+ * &ol: 1.* s -1,3.,2 m4s -2".22 m4s. CIN ,*.-n ciclista avan#a 6ori#ontalmente a ra#ón de 3 Gm46 en dirección a una torre que tiene 3(( m de altura. Calcula la velocidad con la que se aproxima a la cima de la torre cuando se encuentra a *(( m al pie de la misma. U&a'ras explicar si el ciclista lleva aceleración respecto a la cima de la torreV )&et. " Ana!a &el.+ Canta'ria+ >unio 1 &ol: % m4s a[\(. CIN ,,.-na partcula se mueve en el plano 9Y. Las ecuaciones del movimiento son x=*t" -1+ !=t" $3 )en el &.I.. Calculad: a l vector velocidad de la partcula. ' La v( de la partcula. c l vector aceleración. d l vector aceleración en t=1. e La ecuación de la tra!ectoria. 5 La distancia al origen+ desde donde salió+ cuando t=1( s. )Nov. " espejando t#x'vi =#$'!(-x'vi)! =#$'!?18-
1.52
2
x!)
=#!1$! x! @robando con cada escalon Aen que escalon chocaraB Cada escalon mide %1!% m $er escalon# y#%1!%#%1!% D#raí6 de -%1!%'%1$!)#%19$ %19$F%1!% ..
no pe(a
!doescalon y#%1!%&%1!%#%14% D# raí6 de -%14%'!1$!)#%149F%14%
no pe(a
9er escalon y#%1!%&%14%#%1G% D#raí6 de -%1G%'!1$!)#%1H9I%1G% .
pe(a
"elocidad v+!.vi!#!as "+! : -
2
1.5
)#!?18%1G%
"+#91<4 m's 5espuesta# pe(a en el tercer Escalon con una velocidad de 91<4 m's
CIN (.-n móvil puntual tiene+ en un cierto instante+ una aceleración perpendicular a la velocidad. UQué se puede decir so're el módulo ! la dirección de la velocidad cuando 6a pasado un tiempo mu! cortoV. )&ept. * CIN 1.-La aceleración de una partcula es directamente proporcional al tiempo. Hara t=(+ la velocidad de la partcula es v= m4s. &a'iendo que la velocidad ! la coordenada de posición son cero cuando t=3 s+ 6allad las ecuaciones a=a)t+ v=v)t ! s=s)t correspondientes a ese movimiento. )Nov. * Crespo+ 3(+ &ol : "t m4s" t" - m4s )t3 43-t$1% m. a#dv'dt#Jt >v#Jdt v.v%#$'!J-
2
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2
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3
)
CIN ".-&e dispara un pro!ectil de la 5orma indicada en la Dgura con velocidad inicial v( ! un 8ngulo de 32F con la 6ori#ontal. l disparo se 6ace desde un punto a 1" m del 'orde de un acantilado de 1( m. l pro!ectil pasa >usto por el 'orde del acantilado. Calcula: a La v(. ' ?istancia x ! la velocidad en el punto del impacto. c Altura m8xima alcan#ada desde el punto de lan#amiento. )Nov. * Crespo+ 3+ 12 &ol: **.", m4s 1"2., m 21.33 m4s 3.1% m.
CIN 3.-na persona su'e una cuesta con velocidad constante de * Gm46+ e inmediatamente la 'a>a a Gm46+ tam'ién de 5orma constante. Calculad la velocidad media de todo el tra!ecto. )Nov. * e'ar+ "2+ ".1 &ol: *.% Gm46. CIN *.-na partcula lleva una velocidad de m4s en un instante dado ! su aceleración es de %m4s" . &i am'os vectores 5orman un 8ngulo de (X entre s+ calculad las componentes tangencial ! normal de la aceleración+ as como el radio de curvatura. )
2
x#G%K cos x# an'a cosG% 8#an 4#an aceleracion normal
;t#
√ (a −a n )
;t#
√ (8 −4 )
2
2
2
2
;t# √ ( 64 −16 ) ;t# √ 48 4
√ 3 # 4
5#- vi
2
3
1 /2
aceleracion tan(encial
sen!G%)'8
5#-9G sen $!%)'8 5# -?
√ 3 )'4. 9
3
1 /2
. radio
CIN ,.-n la Dgura ad>unta est8 representada la gr8Dca x=x)t de un cierto movimiento unidimensional. epresentad+ de 5orma cualitativa+ las gr8Dcas v=v)t ! a=a)t de dic6o movimiento+ ra#onando el por qué de lo que se di'u>e. )Nov. , Aguilar+ 1,+ 3.3
CIN .-na pelota se de>a caer desde una altura de 3 m+ re'otando en el suelo ! su'iendo a continuación 6asta " m de altura. Calculad la velocidad de la pelota >usto antes de tocar en el suelo ! >usto después de separarse de él. &i el contacto con el suelo dura (.(" s+ calculad el módulo ! el sentido de la aceleración media en dic6o intervalo. )Nov. , ipler+ I+ *3+ 32 &ol: 2.* m4s ."2 m4s ,., m4s" . h#9m 5ebotando h#!m "elocidad t#rai6-!h'() L#raí6--!9)'?18) L#%1<8 "#%1<8?18# <1G4 m' s
2
"elocidad después de separarse de el L#raí6-!h'()# raí6--!!)'?18) L#%1G4 "!#%1G4?18# G1!< m' s
2
CIN 2.-na partcula se mueve en sentido 6orario en una circun5erencia de 1 m de radio cu!o centro est8 situado en el punto )1+( m. l movimiento comien#a con velocidad nula desde el origen de coordenadas. &e sa'e que el módulo de su velocidad crece con una aceleración de valor 4" m4s" . a Calculad el tiempo que tarda la partcula en recorrer media circun5erencia. ' Calculad el módulo de su velocidad en dic6o instante+ as como su dirección ! sentido. c
Calculad la aceleración radial+ tangencial ! total en ese momento. )Nov. , ipler+ I+ 2,+ 1 &ol: " s m4s " m4s" 4" m4s" 1( m4s" . CIN %.-l vector de posición de un móvil viene dado+ en 5unción del tiempo+ por la expresión vectorial r=)3t-i$)t" $"> )r en metros ! t en segundos. ?eterminad los vectores velocidad ! aceleración en t=3 s. ncontrad el 8ngulo que 5orma el vector velocidad con el e>e de a'cisas en ese momento. Calculad las componentes tangencial ! normal de la aceleración en ese momento. ncontrad la ecuación de la tra!ectoria+ ! representadla entre t=( ! t=3 s. ncontrad el radio de curvatura de la tra!ectoria en t=3 s. A la larga+ Uque tipo de movimiento tendr8 el móvil en cuestiónV )Nov. 3F /H &ol: )3+ m4s )(+" m4s" 3F 1+2 m4s" (.% m4s" ,(., m !=x" 4 $ *x43 $ CIN .-na partcula se mueve con una aceleración cu!a ecuación en 5unción del tiempo es de la 5orma a=t3 -t" $, en m4s" . Cuando t=1 s+ la velocidad es de , m4s ! se encuentra a 1, m del punto de re5erencia. Calculad la velocidad ! la posición en t=" s. )Nov. &c6aum+ "+ 33 &ol: 11.*" m4s "".%% m CIN 2(.-na partcula se mueve a lo largo de una circun5erencia de 3( m de radio seg7n la ecuación s=1(t3 $, )en unidades &.I. Calcule la aceleración centrpeta en t=" s. )Nov. &electivitat+ Catalun!a+ >un! 1 &ol: *%( m4s" CIN 21.-na avioneta vuela con una velocidad 6ori#ontal constante de 1%( Gm46 a una altura de *( m so're el mar. na lanc6a navega a 3 Gm46 constante en la misma dirección pero en sentido contrario. n un cierto instante la avioneta de>a caer un paquete con la intención de que caiga >usto en la lanc6a. Calcula: a La distancia 6ori#ontal necesaria entre la avioneta ! la lanc6a en el momento del lan#amiento .' l módulo de la velocidad+ la aceleración tangencial ! la aceleración normal del paquete en 5unción del tiempo. c l 8ngulo entre la velocidad de la lanc6a ! la velocidad del paquete en el momento del impacto. )Nov. 2 &electivitat+ Catalun!a+ 12 &ol: (( m )",(($t"14" t4 )",(($t"14" *(4)",(($t"14" 112F CIN 2".-La ecuación del movimiento de un punto es r = ,ti $ ,(t" > . U&e trata de un movimiento rectilneo uni5ormemente aceleradoV ?emuéstralo. )Nov. 2 &electivitat+ Catalun!a+ 12 &ol: No CIN 23.-na partcula se mueve en el plano 9Y con una aceleración constante a=*i $ 3>. n el instante inicial la partcula est8 en el punto )* + 3+ ! su velocidad es v( = "i - >. )odo en el &.I. de unidades. a ncontrar el vector velocidad en t=" s. ' ncontrar el vector de posición en t=" s. c epresenta la tra!ectoria entre t=( ! t=, ! comente 'revemente el resultado o'tenido. d U&e podra o'tener la ecuación de la tra!ectoriaV UHor quéV )Jct. % ipler+ I+ 23+ *" &ol: )1(+ -3 m4s )1+ - m
CIN 2*.-La ecuación del movimiento de un punto material viene dada por r = ,ti $ 1(t>. a#one si se trata de un movimiento uni5orme o uni5ormemente acelerado. Us un movimiento rectilneoV. U Hor qué V )Jct. % Catalun!a+ &electivitat+ >un! 2 CIN 2,.-na pelota de 'éis'ol se lan#a desde la tercera 'ase a la primera 'ase+ a una distancia de 3%.2 m ! se reci'e al ca'o de " s a la misma altura a la que 5ue lan#ada. UA qué velocidad ! con qué 8ngulo salió lan#ada la pelotaV U@asta que altura llegó en el punto m8s alto de su tra!ectoriaV )o un 8ngulo de (X por medio de un puente. Am'as carreteras est8n situadas en planos 6ori#ontales. La altura del puente )distancia vertical entre am'as carreteras es de 11 m. Hor la superior circula un ve6culo a la velocidad de * m4s ! por la in5erior otro a 3 m4s. Cuando el primer ve6culo se encuentra en el centro del puente el otro est8 situado >usto de'a>o de él. &e pide: a La distancia que los separa a los 1" seg de 6a'erse separado. ' La velocidad relativa con que se separan a los 1" seg de 6a'erse cru#ado. c 0alor de la aceleración relativa en ese instante. )gr ] &electividad Tunio 11 &ol: 1 m ^ ^ mPs r v i> _ = _ 1 * 3 O a=(. CIN 2%.- na 'olita unida por un 6ilo de (+, m de longitud a un punto D>o de una superDcie plana gira+ desli#8ndose sin ro#amiento+ so're dic6a superDcie+ con una velocidad angular de 1( vueltas por minuto. UCu8l ser8 la inclinación m8xima de la superDcie para que la 'ola contin7e descri'iendo circun5erenciasV. xpresar el resultado mediante una 5unción trigonométrica del 8ngulo de la superDcie con la 6ori#ontal. )gr ] &electividad Tunio 1" &ol: ` b = =X f " max P sin 1 *h2Z CIN 2.- n grave parte sin velocidad inicial del punto m8s alto de un plano inclinado de longitud 1 m+ que 5orma un 8ngulo de 3(X con la 6ori#ontal+ por el que desciende sin ro#amiento. Al a'andonar el plano inclinado sigue la cada li're de los graves. Calcular en qué instante su velocidad 5ormar8 un 8ngulo de (X con la 6ori#ontal+ contando los tiempos desde el instante de partida. )gr ] &ept 1". &ol: t=(+ seg CIN %(.- l 5amoso caWón Oran /erta+ utili#ado en la primera guerra mundial+ tena un alcance m8ximo de 1(( Gms. ?espreciando la resistencia del aire+ calc7lese: a La velocidad del pro!ectil al salir por la 'oca del caWón. / La altura m8xima del pro!ectil en tiro vertical. )gr ] &electividad Tunio 1%. &ol: 0o= 1((( mPs-1+ 6= ,( Gm CIN %1.- ?ividiendo por 3 el n7mero de segundos que median entre el rel8mpago ! el trueno se o'tiene la distancia de la tormenta en
Gilómetros. Un qué se 'asa esta reglaV. )ma ] &electividad Tunio 1" CIN %".- n coc6e su'e un puerto de & metros a la velocidad v ! lo 'a>a a la velocidad v . l mismo coc6e su'e ! 'a>a el puerto a velocidad constante e igual a la media artmetica ) 4" v v $ . Calcular el tiempo que tarda a6ora. UCu8nto de'e valer para que la duración de los dos via>es sea igualV. TustiDque que los via>es duran menos manteniendo la velocidad constante todo el tra!ecto. &=( Gm. 0= ( Gm46. )ca ] &electividad Tunio 1, &ol: = 1 CIN %3.- &a'iendo que el radio terrestre es de 3%( Gm+ calcular la velocidad a la cual se est8 moviendo una persona parada en el ecuador respecto de un o'servador u'icado en el espacio ) sin tomar en cuenta la traslación. UCu8l es la velocidad angular ! la aceleración centrpetaV. &ol: v = 12( Gm46 ` = .* x 1(-* rpm a = (.(3* m4s"
,. UHuede una particular tener una velocidad 6acia el norte ! una aceleracion 6acia el surV 0i es totalmente posible esta situaci/n en +orma ms (eneral est comprendida en las situaciones en donde la aceleraci/n tiene sentido contrario a la velocidad y por ende al despla6amiento1 @or ejemplo cuando uno cae en el aire y abre un paracaídas1 El paracaídas ejerce +uerta hacia arriba y sin embar(o el paracaidista se si(ue despla6ando hacia abajo1 Lambién se puede ver exactamente en la +renada de un vehículo cuando va hacia el norte,el ro6amiento hace +uer6a en sentido contrario -al sur) pero el auto se si(ue despla6ando hacia el norte1
. Un que punto de su tra!ectoria un pro!ectil tiene una rapide# minimaV El punt odel at r a y ec t or i aenel ques eal c anz al ar api dezmi ni maesel punt odel a t r ay ec t or i aenel queel pr o yec t i l s eenc uent r aens upunt omasal t o;enel ej e“ Y”l a v e l o ci da de ne semo men t oes0yene l“ X”e sc on s t a nt e.s i s eha cel as umav ec t o r i a l d ea mb asr a pi d ec e s ,n osdal av e l o c i d add el e j e“ X”yesel u ni c omo me nt oe ne lq ue sedaest ef enómeno.
3 .¿Unpr oy e ct i ls edi s pa r adet a lma ne r aquesua l c anc ehor i z ont a le si gua la3 vecessual t ur amáxi ma?¿Cualeselángul odedi spar o? El alcance hori6ontal est dado por1
