cinematica-ejercicios

Ejercicios de Física

Cinemática Juan C. Moreno-Marín, Antonio Hernandez

D.F.I.S.T.S.. D.F.I.S.T.S

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento rectilíneo

1. Un ciclista marcha por una región donde hay muchas subidas y bajadas. En las cuestas arriba lleva una velocidad constante de 5 km/h y en las cuestas debajo de 20 km/h. Calcular: a) ¿Cuál es su velocidad media si las subidas y bajadas tienen la misma longitud? b) ¿Cuál es su velocidad media si emplea el mismo tiempo en las subidas que en las bajadas? c) ¿Cuál es su velocidad media si emplea doble tiempo en las subidas que en las bajadas? Juan C. Moreno-Marín



a)

Como es

v

=

stotal ttotal

=

s subidas + sbajadas ttotal

=

2 s

s v1

b)

c)

En este caso es v

Y ahora es

v

=

Juan C. Moreno-Marín

=

stotal ttotal

stotal ttotal

=

=

v1t + v2t 2t

v1 2t

+

3t

v2t

=

=

+

s

= 12.5km

2

+v

2

3

v1 + v2

=

8km / h

v2

v1 + v2

2v1

=

2v1v2

= 10km /

/h

h



2.

Desde el balcón situado a 14.1m sobre el suelo de

una calle, lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con con una velocidad de 10 m/s. Calcular Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo.




2.

Desde el balcón situado a 14.1m sobre el suelo de

una calle, lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad

de 10 m/s. Calcular el tiempo que

tarda en llegar al suelo. Tomamos como origen el punto de lanzamiento y sentido positivo hacia arriba: 1 2 ec gral: h = v0t + gt 2

!14.1 Solución:

t

t

=

2

=

10t ! 9.81t

!0.96s

=

3s



Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA

3. Se lanza un cuerpo hacia arriba verticalmente con una velocidad de 98 m/s, desde el tejado de un edificio de 100 m de altura. Determinar: (a) La altura máxima que alcanza desde el suelo. (b)El (b) El tiempo cuando pasa por el lugar de lanzamiento. (c) La velocidad al llegar al suelo. (d)El (d) El tiempo total transcurrido hasta llegar al suelo.




(a) v = v0

+

at

0

1

e = e0

+

v0t +

v = 98 ! 9.8t " # t = 0 $ % & y = 100 ' ( ( ) 1 & ' y = 100 + 98t ! 9.8t % & v = 98 ' * + 2 ,

2

at

0

2

2

0

" % ) % ,

B

Y

En la altura máxima el cuerpo se para, v = 0

A

0 = 98 ! 9.8t

t

"

100 m

C

O

y = 100 + 98


#

10 !

1 2

98 =

9.8

9.8 #10

= 10

2

=

s

590 m

"

h = 590 m



(b)

En el movimiento de caída las ecuaciones son: 1 e = e0 + v0 t +

#

t

at

2

2

(98 $ 4.9t )

!e #% 'v

0

0

=

0

" 1 1 0 0 1 0 0 9 8 9.8t t # $ = 10 + 98 & = 98 2 (

= 100

2

#

)* t = 0 # + *, t = 20s

B

Y A

100 m

C

O




(c)

Al llegar al suelo es: 1

e = e0 + v0 t +

#

98 ±

at

2

2

!e #% 'v

0

98

2

+

t =

" 1 1 00 + 98 98t $ 9.8t & # $100 = 10 = 98 2 (

= 100

0

4 ) 4.9 )

( $100 )

9.8

=

2

#

*+ t = $0.97 s # , +- t = 20.97 s

B

Y

v = v0 + at

v = 98

!

"

9.8 # 20.97

=

"

107.5m / s

A

( hacia abajo ) 100 m

C

v=

107.53 m

"

s

O




(d) El tiempo total es: ttotal

=

20.97 s

B

Y A

100 m

C

O




4. Desde lo alto de una torre se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 15 m/s. La piedra llega a una determinada altura y comienza a caer por la parte exterior de la torre. Tomando como origen de coordenadas el punto de lanzamiento, calcular (a) la posición y velocidad de la piedra al cabo de 1s y de 4s después de su salida. (b) la velocidad cuando se encuentra a 8m por encima del punto de partida. (c) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que se lanzó hasta que vuelve a pasar por dicho punto? Considérese g = 10 m/s2




(a)

posición: Y

h

y

=

y

=

v0t !

v0t !

1 2 1 2

2

gt ;

2

gt ;

(t (t

=

=

1s )

"

4s )

"

y1

=

y2

v0t1 !

=

v0t2

1 2

!

2

gt1

1 2

gt2

=

2

15 1

=

#

!

15 4 #

1 2

2

10 1

!

#

1 2

=

10 4 #

2

10 m

=

20 m

!

(el signo – indica que la piedra está por debajo del origen) O

velocidad: v

=

v0

!

gt ;

(t

v

=

v0

!

gt ;

(t

=

=

1s )

"

4s )

"

v1 v2

=

v0

=

!

v0

gt1

!

=

gt 2

15 10 1

=

!

#

=

15 10 4 !

#

5m s =

!

25 m s

(el signo – indica que la piedra está cayendo)




(b) la velocidad cuando se encuentra a 8m por encima del punto de partida. Y

eliminando t :

h

v = v0

! gt

" ## v !v = & & t ' g # ,# 0

y

=

v0t !

1 2

2

gt

y

=

v0

$ v !v% 1 $ v !v% ( g ) ! g ( g ) * + 2 * + 0

0

O

gy

&


=

v0

2

2

v

=

!

v

2

2

15

2

&

v

=

! 2 -10 - 8 =

v0

2

! 2 gy & ( y = 8 ) &

±8.06

m s


2


(c) Cuánto tiempo transcurre desde que se lanzó hasta que vuelve a pasar por dicho dicho punto? Y h

y

=

v0t #

1 2

gt

2

$ (y

=

0

) $ 15t #

1 2

10 % t

2 =

0

$

t

=

!" 0 s & '" 3 s

O




5.

Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de

acuerdo con la ley: Si

x

=

4m

v=t

3

+

2

4t

+

2.

cuando t =2s, encontrar el valor de x

cuando t =3s. Encontrar también su aceleración.




5.

Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de

acuerdo con la ley: Si

x

+

2

4t

+

2.

cuando t =2s, encontrar el valor de x

4m

=

3

v=t

cuando t =3s. Encontrar también su aceleración. Siendo

dx

v

=

dt

t

$ (t

=

x

t 0

=

!

x0

3

+

t +

4t

dx

2

4

4


+

2

=

v " dt

t

) " dt

=

3

4t +

3

+

!

2t

#

4

4

t0

+

#

3 4t 0 3

+

2t

$ dx $

=

3

4t

4

4

x # x0

#

=

t0

4

4

#

4t 0 3

x

x0

t

dx =

$ v " dt t 0

=

3

# 2t0

3

# 2t 0



t x = x0 +

Como es

t0

=

2s

x ( t ) =

Por lo tanto es

y

t

4

4

(

x0

4

3

4t +

=

4m

+

2t "

)

=

3

+

4t 3

x t = 3s


4

3

2t !

4

4

x (t ) = 4

!

4t 0

!

+

3

! 2t 0

3

t

4

4

3

+

4t 3

+

2t "

2

4

4

3

42 "

3

"

2#2

44 3

81 4

+

t0

4 27 !

+

3

+

2 3 !

44 "

3

=

47.6m



t x = x0 +

4

4

3

4t +

3

+

2t !

t0

4

4

4t 0

!

3

! 2t 0

3

La aceleración del cuerpo es

a

=

dt

(

d t

dv =

3

+


2

4t

dt

+

2

)

=

3t

2

+ 8t

!

(

a t

=

3s

)

=

27 27 + 24

=

51 m s

2


Cinemática – Composición de movimientos

6. Un punto se mueve en el plano XY de tal manera que es v x

=

4t

3

+

4t ,

vy

=

4t.

Si la posición es (1, 2) cuando es t =0, =0, encontrar la ecuación cartesiana de la trayectoria.




6. Un punto se mueve en el plano XY de tal manera que es v x

=

4t

3

+

4t ,

vy

4t.

=

Si la posición es (1, 2) cuando es t =0, =0, encontrar la ecuación cartesiana de la trayectoria. Posición: componente x

Siendo v x

dx =

! Sustituyendo !

dt x

=

=

x0

4t

x0

=

+

+t

1

x = 1 + t


3

4

+

2t

2

cuando 4

+

2t

#

!

4t

2

=

x

t

dx

x0

=

# ( 4t t 0

3

+

)

4t dt

" t 04 " 2t 02 t

(

=

2

0s 2

)

t + 1


Cinemática – Composición de movimientos Posición: componente y

Siendo

v y

=

dy dt

=

4t

#

!

y

y0

t

dy = # 4t dt t 0

! y = y0 + 2t 2 " 2t 0 2 Sustituyendo y0 !


=

2

cuando

y = 2 + 2t

2

t

=

=

0s

(

2

2 t

)

+1



Eliminando el tiempo se obtiene la ecuación de la trayectoria: x

y

=

=

(

2

t

(

2

2 t

2

! " & % " + 1) +

)

+1


# y $ x = ' ( )2*

2

=

y

2

4

%

y

2

=

4x

ec. de la trayectoria



7. Un móvil describe una trayectoria dada por las ecuaciones

x

=

pt

e

y

1

=

2

2 pt . Determinar:

(a) Velocidad y aceleración del móvil. (b)Componentes (b) Componentes tangencial y normal de la aceleración. (c) Radio de curvatura.




7. Un móvil describe una trayectoria dada por las ecuaciones

x

=

pt

e

y

1

=

2

2 pt . Determinar:

(a) Velocidad y aceleración del móvil. (b)Componentes (b) Componentes tangencial y normal de la aceleración. (c) Radio de curvatura. (a)

Luego

dx

v x

=

v y

=

!


dt dy dt !

v

=

=

p; pt ;

!

=

pi

ax

ay !

+

=

pt j

!

dv x

=

dt dv y

=

!

a

dt

0;

=

p;

!

=

pj



(b) !

aT

d v =

dt

!

dv

dt

a = a x2 + a y2 a = a N2

+

(

=

=

aT2


v = vx2 + v y2

0+ p

"

2

aN

=

=

=

)

p 1+ t 2

pt

=

2

;

1 + t

p; a 2 # aT 2

=

p2 #

p 2t 2 2

1 + t

=

p 2

;

1 + t



(c)

a N

=

v

2

!

=

2

p 2

1 + t

;

(

2

p 1 + t "

! =

p

)

1+ t

2

=

(

p 1+ t

2

)

3 2

;

El radio de curvatura ! depende del tiempo.



Cinemática – Movimiento circular

8.

Encontrar la velocidad angular de la Tierra con respecto a su eje diametral.

SOL

#

!

d ! =

uniforme ' #

dt

! P’

'

P’’

#

2" =

86400

=

% '( t *t

7.27 ,10

$5

=

2"

rad

& )' 1 dia 86400 s + !

! =

=

=

rad / s

E’ TIERRA

P

pero este resultado no es completamente completamente correcto. E



Cinemática – Movimiento circular Pero este resultado no es completamente correcto. Cuando la Tierra da una vuelta completa sobre su eje, está en P’ y para completar un dia hay que girar de P’ a P’’, falta todavía un ángulo " . En un dia recorrerá un ángulo 2$ +" = 2$ + (2$ /365), SOL

# = !

2!

+ "

86400

2! + =

2! 365

86400

=

! P’ P’’

=

7.292 10 %

5

$

rad / s

E’ TIERRA

P

E




9.

Un volante gira en torno a su eje a razón de 3000 r.p.m. Un freno lo para en 20s.

(a)

Calcular la aceleración angular, supuesta constante, y el número de vueltas hasta que el volante se detiene.

(b)

Supuesto que el volante tiene 20 cm de diámetro, calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante en tal punto.




(a) Calcular la aceleración angular, supuesta constante, y el número de vueltas hasta que el volante se detiene. La velocidad angular es:

"

=

3000 #

2! rad =

60 s

100! rad s

Y la aceleración es: ! !

f

=

!

0

$#

0

t

%

#

=

100" $ 0

$ !

f =

t

20 s

=

5"

rad s 2

El desplazamiento angular resulta: !

n

=

=

!0

! 2$

t 0

+"

=

1 %

2

#t

1000$ 2$


=

2

= 100$

&

20

1 %

5$ 20 &

2

2

= 1000$

rad

500 vueltas



(b) calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante en tal punto. El desplazamiento angular es:

!

=

n # 2"

=

100 # 2"

=

200" rad

Calculamos el tiempo transcurrido: !

=

)

!0

t 0

+"

2.5t

2

%

1 2

#t

2

= 100$

% 100t + 200 = 0


&t %

1 2

5$ & t

2

=

200$ ra d

'(37.86 s ) t = * (+ 2.14 s



(b) calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante en tal punto. aT

La aceleración tangencial es:

=

!

#R

=

5" # 0.1

=

0.5" m s

2

2

2

La aceleración normal es: a N

v

2

=

=

!

2 #

100

R

R

=

(

100"

$

5" 2.14 #

2

)

#

0.1

=

797.5" m s

Y la aceleración resultante: a

=

aT

2

+

aN

2


=

0.25!

2

+

2

797.5

!

4

=

2505.4! m s

2



10.

Un punto material describe uniformemente una trayectoria circular de 1m de radio, dando 30 vueltas cada minuto. Calcular el periodo, la frecuencia, la velocidad angular, la velocidad tangencial, y la aceleración centrípeta.




11.

Un vehículo parte del reposo en una via circular de 400m de radio y se mueve con movimiento uniformemente acelerado, hasta que a los 50s. de iniciar su marcha alcanza la velocidad de 72km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Hallar:

a)

Aceleración tangencial en la primera etapa.

b)

Aceleración normal, aceleración total y longitud recorrida en ese tiempo (50s.)

c)

Velocidad angular media y velocidad angular a los 50s.

d)

Tiempo que tardará en dar 100 vueltas al circuito.




12. Se quiere cruzar un río de 26 m de ancho con una barca para llegar a la orilla opuesta en un punto situado a 60 m aguas abajo en 15 s. Calcular la dirección y la velocidad de la barca si la velocidad del agua del río es de 3 m/s. La barca tiene que dirigirse a un punto A para que al ser arrastada por el agua llegue al punto B (a 60 m). O

C !

d

e2 A

e1 B




12. Se quiere cruzar un río de 26 m de ancho con una barca para llegar a la orilla opuesta en un punto situado a 60 m aguas abajo en 15 s. Calcular la dirección y la velocidad de la barca si la velocidad del agua del río es de 3 m/s. La distancia A-B es:

e1

=

v t

!

=

La distancia complementaria es:

Y el ángulo con la horizontal:


3 m s !15s

e

2

!

=

45m

60m ! 45m

=

15m

# e $ " # 15 $ t g % & & ' OC ( ' 26 (

tg " % 1

=

=

1

2

=

=

30º



La distancia OA será: d

O

e2 =

sen!

C 30º

15

=

15 =

sen30º

=

30m

1 2

v0

A v

60m

vT

B


Y por lo tanto la velocidad de la barca:

v

d =

t

30m =

15s

=

2m s



De otra forma: v0

=

+

v0 sen! j " #

=

!! "

!! "

$ vT = v #%

"

"

v

v0 cos ! i

0

vj

" +

"

v = v0 cos ! i #$ % $ &

v0 cos ! $ t

%& ) y = ( v0 sen! + v ) $ t & * v0

=

=

x

cos ! $ t

0

! +

v) j

$ &

vy

=

( 0, 0) :

v = 3m s " # ' x = 26m, y = 60m ( ' ( ' ( t = 15s + ,

" x # sen! + v ( $ t - y =' + cos ! $ t ,


(#v $se%n

v x

Integrando, y teniendo en cuenta que ( x0 , y0 ) x

+

"



v0

y

=

=

$

x

$

cos ! % t x % tg!

! =

+

vt

30º ;


y

$ v0

=

=

" x # s e n ! + v % t & ' t ! % c o s ( )

tg !

=

y * vt

x

cos30 s3 0º %t

=

60 * 3 % 15

x =

26

26 cos30 s3 0º %15

=

=

15 26

2m s



13. Un cañón dispara una bala con una velocidad de 200 m/s formando un ángulo de 40º con la horizontal. a)

Encontrar la velocidad y la posición de la bala

después de 20s. b) Encontrar también el alcance y el tiempo necesario para que la bala retorne a tierra. tierra. Y

v0

!

O


X



13. Un cañón dispara una bala con una velocidad de 200 m/s formando un ángulo de 40º con la horizontal. a) Encontrar la velocidad y la posición de la bala después de 20s. b) Encontrar también el alcance y el tiempo necesario para que la bala retorne a tierra. tierra. a)

v0

Y

v0

!

O


X

=

"#v0 $ #%v0

X

Y

20 0 m =

=

s;

!

=

40 º ;

200 co cos 40º 15 153.2 m =

200 sin 40º 128.6 m =

s; s



!#v X % #'vY

=

=

v0 X

=

200 co cos 40º 15 153.2 m s ;

v0Y & gt

x

=

=

128 128.6 & 9.81 " t

$

y

=

=

153.2 " t 2

128.6 " t & 4.9 " t

Después de t = 20s, la velocidad y la posición posición de la bala son:

!v X (t 20) 153.2 m s ; " # "vY (t 20) 128.6 $ 9. 9.81 % 20 & =

=

=

=

=

x(t

=

y(t

20)

=

20 )

=

=

153.2 % 20

=

3064 m ;

128.6 % 20 $ 4.9 % 20


$67.4 m s ;

2

=

612 m ;



! v

=

(153.2, !67.4)

m s

! r

=

( 3064, 612 )

m

b) Cuando la bala vuelve a tierra, es y=0:

Tiempo de vuelo : y Alcance : x

=

=

0

=

128.6 ! t " 4.9 ! t

153.2 ! 26.24


=

4020

2

#

t

128.6 =

=

26.24

4.9

m


s


14. Un muchacho de 1.5m de altura y que está parado a 15m de distancia de un muro de 5m de altura, lanza una piedra bajo un ángulo de 45º con respecto a la horizontal ¿Con qué velocidad mínima debe lanzar la piedra para que ésta pase por encima del muro?




14. Un muchacho de 1.5m de altura y que está parado a 15m de distancia de un muro de 5m de altura, lanza una piedra bajo un ángulo de 45º con respecto a la horizontal ¿Con qué velocidad mínima debe lanzar la piedra para que ésta pase por encima del muro? Y

P(15,3.5)

v0

O

!

3,5 m

=45º

1,5 m

5m

X

15 m




1 1 " % y v Y # t $ 2 g # t v sen! # t $ 2 g # t & % x v # t v cos ! # t X ' 2

=

0

=

2

=

=

0

0

0

La piedra tiene que pasar por el punto P(15,3.5)

1 ! 3.5 v Y " t # g " t v sen45º "t # 4.9 " t $ 2 % $15 v " t v cos 45º "t X & 2

=

=

0

2

=

0

=


0

0



15

=

3.5

"

45º !t v0 cos 45

=

"

t

! # 4. 4 .9 ! t

v0 sen 45º t

v0

15

2205

2 =

11.5


"

=

cos 45º 45º v0 cos

2

!

v0 sen sen 45º 15 =

cos 45º 45º v0 cos

v0

=

$ # 4.9 ! & (v

0

% 15 ' cos cos 45º 45º )

2

"

13.8 m s



15. Dos aviones están situados sobre la misma vertical, siendo la altura de uno de ellos sobre el suelo cuatro veces la del otro. Ambos pretenden bombardear el mismo objetivo, siendo la velocidad del mas alto v ¿qué velocidad debería llevar el mas bajo?




15. Dos aviones están situados sobre la misma vertical, siendo la altura de uno de ellos sobre el suelo cuatro veces la del otro. Ambos pretenden bombardear el mismo objetivo, siendo la velocidad del mas alto v ¿qué velocidad debería llevar el mas bajo?

v10

X =v

v10

4y v20

y Y




Ecuaciones del avión 1: v1 x v1 y

=

=

v10 g "t

! !

x

=

4y

v10 " t 1 =

2

=

v " t #

g "t

2

$ % ! $ &

4 y

1 =

2

g "

x v

2 2

Ecuaciones del avión 2: v2 x v2 y

=

=

v20

"

g # t! "

x

=

y

v20 # t !

$ % & " 1 g # t ! % 2 ' 2

=

1

y

=

2

g #

x

2

v20

2

v10

X =v

v10

4y

v20

y


Y Escuela Politécnica - Universidad de Alicante


1 4 y

2 =

y

v

1 2

"

g !

v20

x

g !

x

2 2 2

v20

2 =

4v

"

4

v20 =

v

2

2

"

2

2

"

v20

=

2v

v10

X =v

v10

4y

v20

y


Y Escuela Politécnica - Universidad de Alicante


16. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 720 km/h y km/h y su altura sobre el suelo es de 7840 m. Desde el avión se suelta una bomba que hace explosión al llegar al suelo. Calcular: a) Velocidad de la bomba al llegar al suelo. b) Distancia horizontal recorrida por la bomba. c) Tiempo transcurrido desde que se lanza la bomba hasta que se percibe, en el avión, la explosión.




16. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 720 km/h y km/h y su altura sobre el suelo es de 7840 m. Desde el avión se suelta una bomba que hace explosión al llegar al suelo. Calcular: a) Velocidad de la bomba al llegar al suelo. b) Distancia horizontal recorrida por la bomba. c) Tiempo transcurrido desde que se lanza la bomba hasta que se percibe, en el avión, la explosión. Y O

v0

A

A1

X

h


Escuela Politécnica - Universidad de Alicante B


a) La velocidad de la bomba al llegar al suelo es: v = v x2 + v y2

720000 ! " = = 200 v x # $ %v = 3600 # $ v y = 2 gh #' $(

200

2

+

2gh gh

=

200

2

+

2 & 9.8 & 7840

=

440 m

Y O

v0

A

A1

X

h

B



s


b) Las ecuaciones del movimiento son: x

=

200 ! t

" # % $ 1 9.8 ! t # & 2 2

y

=

x

=

200 ! t

=


200 ! 40

t

=

2 ! 7840

2 y =

=

9.8

=

9.8

40 s

8000 m



c) En el momento de la explosión el avión se encuentra en el punto A, A, pero cuando reciba el sonido de la explosión se encontrará en A1: BA1

Y O

v0

A

A1

X

(v

2 !

sonido

"

h

t

AA1 =


T

=

AB

340 m s 2

340 t

2

!

2

) 2

2

200 t

7840 =

340 B

2

=

2

!

200

40 s + 28.5 s

2

=

=

=

7840

28.5 s

68.5 s


2


17. La cabina de un ascensor de 3m de altura asciende con una aceleración de 1m/s 2. Cuando el ascensor se encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la lámpara en chocar con el suelo del ascensor.

v0

a

Y

O


X



17. La cabina de un ascensor de 3m de altura asciende con una aceleración de 1m/s 2. Cuando el ascensor se encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la lámpara en chocar con el suelo del ascensor.

La posición del suelo del ascensor es: y

La posición de la lámpara es:


y!

=

v0t "

1 =

1 2

v0t +

2

2

at

2

gt



Choca con el suelo cuando el suelo recorre 3 m más que la lámpara: 1

v0t +

$

t

2

2

at

=

2

=

"

v0t !

1 2

2

gt

# & $ ' a + g (

+3

3

2%

v0

6

t

=

10.8

=

0.745 s

a

Y

O


X



18. Desde un plano inclinado con un ángulo % se lanza una piedra con velocidad inicial v0 perpendicularmente al plano. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cae la piedra?

v0

! Juan C. Moreno-Marín



18. Desde un plano inclinado son un ángulo % se lanza una piedra con velocidad inicial v0 perpendicularmente al plano. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cae la piedra? sen ! g sen ! cos ! g cos !

Y g

! v0

(0,0)

Sobre la piedra actúa la aceleración de la gravedad g gravedad g

R X




( ejeX )

v X

( ejeY )

vY

g sen ! " t

1

g sen ! " t 2

#$ 2 &% 1 v ' g cos ! " t $ y v t " ' g cos ! " t (

=

=

x

=

2

0

=

0

2

La piedra vuelve al plano inclinado cuando es y = 0

0

=

$

v0 " t #

1 2

g cos ! " t

=

$

% 2v & g sen ! " ' ( 2 ) g cos ! *

1

x

2


t

=

2

2v0 g cos ! 2

2v0 sen !

0

=

2

g cos !

$ Distancia del punto de lanzamiento



19.

La velocidad de rotación de un faro luminoso es constante e

igual a & . El faro está situado a una distancia d de una playa completamente recta. Calcular la velocidad y aceleración con que se desplaza el punto luminoso sobre la playa cuando el ángulo que forman d y y el rayo luminoso es " .




19.

La velocidad de rotación de un faro luminoso es constante e

igual a & . El faro está situado a una distancia d de una playa completamente recta. Calcular la velocidad y aceleración con que se desplaza el punto luminoso sobre la playa cuando el ángulo que forman la normal d y y el rayo luminoso es " . B x !

F

"

A

FARO

d


Playa



Cuando el faro ha girado un ángulo " , el punto luminoso ha recorrido sobre la playa la distancia x :

tg!

x =

"

d

x

=

d tg!

La velocidad del punto será:

v

d ( d # tg! )

dx =

dt

=

dt

=

d#

d ( tg! ) =

dt

d#

d ( tg! ) d! d!

=

dt

d#

1 2

cos !

"

=

" # d 2

cos !

La aceleración será: a

dv =

dt

$ "#d % & ' dt ( cos ! )

=


2

(

2

d 1 cos !

d

=

"#d #

dt

) =

" # d #

(

2

)

d 1 cos ! d! d!

dt

" =

2

# d # 2sen! 3

cos !



20.

Determinar la función horaria de un móvil que recorre una

trayectoria circular con velocidad y aceleración tangencial iguales en todo instante, sabiendo que la aceleración es unitaria en el instante inicial.




20.

Determinar la función horaria de un móvil que recorre una

trayectoria circular con velocidad y aceleración tangencial iguales en todo instante, sabiendo que la aceleración es unitaria en el instante inicial. Velocidad y aceleración iguales: aT

=

dv ds ds dt

=

v

!

1 !

= s +

k

dv dt dv

!


=

v

=

ds

ds dt

!

ds s+k

dv ds

"

=

dt

v

=

=

v

s + k,

!

t

dv

! k

$ s

=

+

=

v

ct cte

ds

=

v

ds

k

=

ln ( s + k ) # ln ( c ) ,

c

=

cte



( )

t + ln c

=

(

ln s + k

)

!

(

t

ln c " e

Siendo s Siendo s = 0 cuando t = 0, resulta: Y como es v = s + k

!

v

=

)

=

(

ln s + k

c

!

k "e

=

)

k

t

c"e

!

s

!

=

=

(

t

k e

s+k

"

)

1

t

La aceleración unitaria permite obtener el valor de la cte k : 2

a

2

=

1= k

aT

2

2

+

k +

aN

4

R

2

2 ! " d v v ! " 2 = $ % +$ % & dt ' & R '

2

# en t = 0 #

(R # ec bicuadr # k = + +- 2


2

v

=

dv

k;

! ") 4 $$ 1 + 2 * 1%% , R & ' ,.

dt 1

=

k;

2



La función horaria s horaria s((t ) obtenida es:

s

=

()

s t

=

(

k e


t

% 1) =

! R & &, 2

2

# (( *

1+

4

R

2

$" % 1)) ' + '-

1

2

(e

t

% 1)


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