Pontifica Universidad Católica de Chile Facultad de Física FIS1510 Física I EJERCICIOS CINEMÁTICA Vectores
⃗ ⃗
1.- Dos vectores, y , se hallan en el plano XY. Sus magnitudes son 4 y 7 unidades, respectivamente, mientras que sus direcciones son 320° y 85° medidas en sentido anti horario desde el eje x eje x positivo. positivo. ¿Cuáles son los valores de (a) y (b) ?
85
320
⃗ ∙⃗
⃗×⃗
⃗ ∙⃗=cos ⃗ ∙⃗ =4∗7∗cos 4085 4085 =16.06 125
=∗cos320=4∗cos320=3.06 =∗cos320=4∗sin320=2.57 =∗cos85=7∗cos85=0.61 =∗sin85=7∗sin85=6.97
̂ ̂ ⃗×⃗= 30..0661 62.9.577 00 = = 2.57∗00∗6.97 2.57∗00∗6.97̂ 3.06∗00∗0.61 3.06∗00∗0.61 ̂ 3.06∗6.972.57∗0.611 =22.9 Tres cuerdas horizontales tiran de una piedra grande enterrada en el suelo, produciendo los vectores de fuerza y que se muestran en la figura. Obtenga la magnitud y la dirección de una cuarta fuerza aplicada a la piedra, que haga que la suma vectorial de las cuatro fuerzas sea cero
=∗cos30=100∗cos30=86.60 =∗sin30=100∗sin30=50.00 =∗sin30=80∗sin30=40 =∗cos30=80∗cos30=69.28 =∗cos53=40∗cos53=24.07 =∗sin53=40∗sin53=31.95
∑ =0 ∑ =0 ∑ = =0 ⇒ = 22.58 ∑ =50.00 =0 ⇒ = 87.33 ∴ =22.58̂87.33̂ = 22.58 87.33 ⇒ =90. 20 3 3 α=tan− 87. 22.58 ⇒ =75.5 La fuerza total sobre la piedra debe ser cero, es decir:
y
86.60 - 40.00 – 24.07 +
+ 69.28 – 31.95 +
Un vector A tiene una magnitud de 6 unidades y apunta hacia el este. Un vector B apunta hacia el norte. (a) Calcule la magnitud de B, si el vector A+B a 60º al norte del este. (b) Calcule la magnitud de A+B N
60 O
E
(⃗ ) =⃗ =6 (⃗ ) = tan∝= ⃗ =tan60°= 6 ⇒ =6∗tan60°=10.39
= = 6 10.39 ⇒=12
Movimiento rectilíneo Dos autos se mueven en línea recta, sus posiciones están dadas por las ecuaciones (itinerarios) siguientes (las unidades son m, s).
=2 1548 =5 124 a) ¿Qué auto parte más adelante? b) ¿Qué auto parte con velocidad (módulo) mayor? c) ¿Cuál tiene un módulo de aceleración mayor y cuánto es? d) ¿Cuándo son ambas aceleraciones iguales? e) ¿Cuándo sobrepasa el auto de atrás al de adelante? f) ¿Durante cuánto tiempo el auto 1 se está adelantando al auto 2? La ecuación itinerario de un movimiento con aceleración constante tiene la forma general:
= =48 =15/ > =12/
Por similitud se observa que la posición inicial del auto 1 es mayor La rapidez inicial del auto 1 es mayor que la del auto 2,
=10 > =4
, por lo que el auto 2 lleva más aceleración
Nunca son iguales, ya que los carros llevan aceleración constante. El auto de atrás sobrepasa al de adelante en el instante, en que las posiciones de ambos son iguales, es decir: x1f = x2f
2 1548=5 124 ⇒ 0=3 344 Resolviendo la ec. de segundo grado se obtiene el tiempo en que las posiciones se hicieron iguales: t = 4.3[s] El tiempo encontrado es igual al tiempo que el auto 1 está adelantado al auto 2
El conductor de un auto aplica el freno súbitamente al ver que un tronco bloquea el camino. El auto reduce su velocidad uniformemente a razón de 5.6 m/s, en cada segundo, viaja en estas condiciones durante 4.2 s, dejando atrás marcas rectas de patinaje de 62.4 m de largo que terminan en el árbol. ¿Con qué rapidez golpea entonces el auto al árbol?
62.4[m]
xi = 0 xf = 62.4[m] vi = ? vf = ? a = -5.6[m/s] t = 4.2[s]
= ⇒ 62.4 =0 ∗4.2 ∗5.6∗4.2 ⇒ = 26.62/ = ⇒ =26. 625. 6∗4.2 ⇒ =3.1/ Considere un eje vertical de largo L, en cuyos extremos hay dos discos sólidos provistos de ranuras. Las ranuras están desplazadas en cierto ángulo entre sí. El sistema gira con una velocidad angular constante. Calcule la altura H por sobre el disco superior, desde la cual se debe soltar una bolita para que ésta, en caída libre, pase por ambas ranuras. La bolita en t=0 debe estar en la posición H sobre el disco superior
H
En el tiempo t1 la bolita ha caído la altura H, y está atravesando la ranura del disco superior La bolita demora un tiempo t2 desde el disco superior al disco inferior y es el mismo tiempo que la ranura del disco inferior barre el ángulo entre las ranuras
L Se considerara que todos los vectores están medidos desde el punto donde se deja caer la bolita y serán considerados de sentido positivo
= Tramo 1
=
=
= ⇒ =
= ⇒ = 2
Tramo 2
2
0=
Giro
= ⇒ =
1 = 2 2 ⇒ 2 = 2 2= 2 ⇒ 2 =[ 2] ⇒ 2 = 12 [2 ] 1 1 2= 4 [2 ] ⇒ = 8 [2 ]
Desde el suelo se lanza un cuerpo con velocidad inicial 35m/s verticalmente hacia arriba. a) ¿Durante cuánto tiempo sube? b) ¿Hasta qué distancia del suelo llega? c) ¿Cuánto tiempo está en el aire? d) ¿En qué instantes el cuerpo tiene rapidez 10m/s? e) ¿A qué distancia del piso ocurre eso? f) ¿Cuál es el desplazamiento del cuerpo entre esos dos instantes? g) ¿Qué distancia recorre el cuerpo entre esos dos instantes?
61.25
56.25
V1=+10
V2=-10
=10/ =35/ = Para la subida en la altura máxima:
= =0
0=3510 ⇒ =3.5 =35∗3.5 12 10∗3.5 ⇒ =61.25 =7. 0 10=3510 ⇒ =2.5 10=3510 ⇒ =4.5 El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada:
=35∗2.5 12 10∗2.5 ⇒ =56.25 Ya que para la posición para 2.5[s] y para 4.5[s], son iguales, entonces
∆=261.2556.25 ⇒ ∆=10
∆⃗=0
Dos trenes parten en sentido contrario desde dos ciudades A y B. distantes entre sí 600 km, con velocidad de 80 km/h y 100 km/h respectivamente, pero el de A sale dos horas antes. a) ¿Qué tiempo después de haber salido B y a que distancia se encontrarán? h) Responda la pregunta anterior con la ayuda de gráfico x-t del gráfico v-t. Posición del tren A Posición del tren B Tiempo de encuentro Lugar de encuentro:
=802 =600100 802=600100 ⇒ =4.2 2ℎ =80∗2.22 ⇒ =178
Un estudiante conduce una motoneta a lo largo dc un camino en línea recta, tal como describe el gráfico de velocidad versus tiempo de la figura. a) Justo sobre el gráfico, haz un esquema del gráfico posición versus tiempo, de tal forma que las coordenadas de tiempo de ambos gráficos coincidan. b) Justo abajo del gráfico, esquematiza un gráfico de aceleración versus tiempo. En cada gráfico muestra los valores numéricos de x y de ax para todos los puntos de inflexión. c) ¿Cuál es la aceleración a los t=6s? d) Encuentre la posición (relativa al punto de partida) a los t=6s e) ¿Cuál es la posición de la motoneta a los t=9s
Una estudiante corre 5m/s para alcanzar el autobús el cual está detenido en la parada. Cuando aún le quedan 40m por recorrer, el autobús se pone en marcha con una aceleración constante de 0,170 m/s2. a) ¿Cuánto tiempo y distancia le toman a la estudiante alcanzar el autobús? b) Cuando el autobús y la estudiante se encuentran. ¿Qué rapidez tiene el autobús? c) ¿Cuál es la rapidez mínima que requiere la estudiante para alcanzar el autobús? ¿Cuánto tiempo y distancia le toma alcanzarlo?
Una partícula que parte del reposo desde el origen, se mueve en línea recta con la aceleración mostrada en el gráfico a-t de la figura a) Represente en un gráfico v-t, la información dada en el gráfico b) Determine la posición y velocidad, 12 segundos después de iniciado el movimiento
Un cohete se dispara verticalmente y sube con aceleración a durante un tiempo t1. En ese instante se le acaba el combustible y por lo tanto sigue moviéndose pero libremente como una partícula en un lanzamiento vertical hacia arriba. ¿Cuál será la altura máxima que alcanzará el cohete antes de comenzar a caer?
Movimiento parabólico Un pájaro vuela con velocidad horizontal V y a una altura constante h. En el instante en que sobrevuela a un niño armado con una piedra, éste se la lanza con su máxima velocidad posible U. a) ¿Cuál es el valor mínimo de la velocidad U, para que el proyectil pueda alcanzar al pájaro? b) ¿Cuál es el ángulo, con respecto a la normal, con la que se debe disparar la piedra? c) ¿Qué distancia recorre el pájaro antes de ser malherido?
Desde una roca de 8m de altura se dispara una piedra con una velocidad de 25m/s formando un ángulo de 60° con la horizontal. Parte I.a) Construya una tabla de t, vx, vy, x, y, a intervalos de 1s (por unos 7s) b) Con los datos obtenidos, construya a escala la trayectoria. c) Para un par de posiciones calcule y dibuje las componentes de la velocidad y la aceleración t
vx
vx
vy
x
y
0
12,5
21,65
0,0
8,00
1
12,5
11,65
12,5
24,65
2
12,5
1,65
25,0
31,30
3
12,5
-8,35
37,5
27,95
4
12,5
-18,35
50,0
14,60
5
12,5
-28,35
62,5
-8,75
6
12,5
-38,35
75,0
-42,10
7
12,5
-48,35
87,5
-85,45
vx en función de t 20
vy 30
18
20
16
10
14
vy en función de t
0 -10 0
12 10
1
2
3
4
5
6
7
6
7
t
8
-20
8
-30
6 4
-40
2
-50
-60
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
t
x
y
x en función de t
y en función de t
100,0
40,00
90,0 80,0
20,00
70,0
0,00
60,0
-20,00
50,0 40,0
-40,00
30,0 20,0
-60,00
10,0
-80,00
0,0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
t
-100,00
0
1
2
3
4
5
8
t
Parte II.Determine algebraicamente para cuando el proyectil alcanza su mayor altura: a) EI instante b) las componentes de la posición c) las componentes de la velocidad. d) Lo mismo cuando el proyectil está cayendo y está a 8m de altura. e) Lo mismo para cuando el proyectil toca el suelo. El proyectil alcanza la altura máxima cuando la velocidad vertical es cero:
=21.6510=0 ⇒ =2.165 =12. 5 ⇒ =27. 1 =821.655 ⇒ =31. 4 =12. 5 / =21.6510∗ ⇒ =0/ =12. 5 ⇒ =54. 1 =821.655 ⇒ =8 =12. 5 / =21.6510∗ ⇒ =21.65/
Movimiento circunferencial y
Una partícula viaja a lo largo de la curva de la figura desde A a B en un segundo. Si se demora tres segundos para ir de A a C, determine a) La velocidad media cuando va de B a C. b) ¿Cuál es la rapidez media para ir de B a C? c) Rapidez y Velocidad media para ir de A a C
B 1s
2s 2m
C A
̂ ̂ ⃗ =1 á ó =2 2 =3 á ó ⃗ =4̂ ⃗ = ∆∆⃗ ⇒ ̂−− ̂+ ̂ =̂ ̂ / 24 ∆ = ∆ ⇒ = 31 =1.6/ 22 ∆ = ∆ ⇒ = 30 =2.1/ 0̂0̂ =1.3̂/ ⃗ = ∆∆⃗ ⇒ 4̂30 El joven David quien mató a Goliat, experimentó con hondas antes de derribar al gigante. Encontró que podía hacer girar una honda de 0.600m de longitud con una relación de 8.00rev/s. Si aumentaba la longitud a 0.900m, podía girar la honda sólo 6.00 veces por segundo a) ¿Qué relación de rotación da la mayor rapidez a la piedra en el extremo de la honda? b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la piedra a 8.00rev/s? c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta a 6.00rev/s?
=0.6, =0.9, = ⇒ = ⇒
=8.0/ ⇒ =6.0/ ⇒ =0.6∗8.0 ⇒ =0.9∗6.0 ⇒
= ∗ ⇒ =4.8/ = ∗ ⇒ =5.4/ =38.4/ =32.4/
Un tren frena mientras entra a una curva horizontal cerrada, y frena de 90.0km/h a 50.0km/h en los 15.0s que tarda en cubrir la curva. EI radio de la curva es de 150m. Calcule la aceleración en el momento en que la rapidez del tren alcanza 50.0 km/h. Suponga que continúa frenando a este tiempo con la misma relación.
x
= .. =25/ = 50.3.60 =14/ ⃗= ̂ 14 = = ⇒ = 15 ⇒ =1.30/ = = ⇒ = 1425 ⇒ =0. 7 3/ 15 ⃗=(1.30⃗0.73 )/ = ⇒ = 1.30 0.73 ⇒ =1.4 9/ tan= ⇒ =tan− 0.1.7330 =29.31° La figura representa la aceleración total de una partícula que se mueve en el sentido de las manecillas del reloj en un círculo de 2,50 m de radio en cierto instante de tiempo. En ese instante, encuentre a) La aceleración radial. b) La rapidez de la partícula c) Su aceleración tangencial.
=cos ⇒ =15cos30 ⇒ =13/ = ⇒ = ⇒ = √ 2 .5∗13 ⇒ =5.7/ =sin ⇒ =15sin30 ⇒ =7.5/ Un camarógrafo de TV filma desde el punto A el auto de carrera B que se desplaza en un tramo con una rapidez constante de 20m/s. Determine, para la posición indicada en la figura, la velocidad angular del camarógrafo de modo que en la filmación el auto aparezca en el centro de la pantalla.
La posición de una partícula medida a lo largo de una trayectoria circular de radio 1 m está dada por la expresión S=0.2t3 con s en metros y t en segundos. En t=0 la partícula está en la parte superior de la circunferencia (origen para las distancias) a) Determine las unidades de =0,2 b) Determine la rapidez en t=2s c) Determine la velocidad en t=3 s (ojo determine donde está la partícula en ese instante) d) Determine la aceleración en t=3s (ojo debe determinar velocidades un ratio antes y un ratito después y las posiciones respectivas.
En un parque de diversiones, un niño está sentado en un ganso que está en un carrusel a cuatro metros del centro. Comienza a acelerar desde el reposo y su rapidez aumenta uniformemente alcanzando el valor de 6 m/s al completar la tercera vuelta. Luego sigue girando con velocidad angular constante por 10 vueltas más. Posteriormente, comienza a frenar y se detiene en cuatro vueltas. a) ¿En qué situaciones era movimiento circular uniforme y en cuáles no? b) Determine la aceleración centrípeta o normal en cada una de las tres etapas en que se pude descomponer el movimiento. c) Determine la aceleración tangencial en cada una de las tres etapas en que se puede descomponer el movimiento. d) Determine la aceleración angular en cada una de las tres etapas e) ¿Cuánto tiempo estuvo girando el niño? f) Determine la posición angular en la mitad temporal de cada una de las tres etapas que se describieron en ese movimiento.
Un disco tiene una mancha a 10 cm del centro. Este disco comienza a girar aumentando regularmente su rapidez de forma que a los 8s la mancha tiene una rapidez de 12 cm/s. A partir de ese instante el disco se mantiene girando a un ritmo constante por 12s. Posteriormente comienza a disminuir su rapidez uniformemente hasta detenerse en 10s. a) Describa los tipos de movimiento de la mancha y los intervalos de tiempo en que ocurren. b) ¿Qué información numérica pude obtener o escribir a partir del enunciado? c) Determine las componentes normales y tangenciales de la aceleración, en la mitad (del tiempo) de cada una de las etapas de ese movimiento. d) Determine la aceleración de la mancha en la mitad (del tiempo) de cada una de las etapas de ese movimiento e) Ilustre en figuras las respuestas c y d
Una partícula describe una circunferencia de radio R. Calcular las componentes normales y tangenciales de la aceleración en función del tiempo y describa verbalmente que tipos de movimiento es, para cada una de las situaciones propuestas a continuación. a) El arco que recorre está dado por s(t)=R(1+t) en que es constante b) El arco que recorre está dado por s(t)=R(1+t2) en que es constante
Una masa m cuelga de un punto fijo por medio de una cuerda de largo l, la masa gira alrededor de la vertical con un ángulo con velocidad angular constante y un período T. Ver figura. Calcule la aceleración centrípeta de la masa.
En medio de un caluroso día, un carro de bomberos circula con rapidez V en una rotonda de radio R. A los bomberos se les ocurre lanzar un chorro de agua de tal forma que puedan recibirlo en el lado diametralmente opuesto de donde lo lanzaron (para ello lo lanzan perpendicular a la trayectoria). Determine la velocidad v con que los bomberos deban lanzar el agua desde el carro.
l
