LISTA DE MATEMÁTICA – 2008 – NÚMEROS COMPLEXOS 01. O valor da expressão E = x – 1 + x 2, para x = 1 – i , é: (01) – 3i (02) 1 – i (03) 5
5 i 2
+ 2
(04) 5
−
3 i 2
− 2
3 i 2
2
(05) 1
z =
05. 05. Send Sendo o
z
=
342 2 ⋅ i 342
(1 − i ) 2
.
2 − i 35 3+i
,
faça
a
i
a unid unidad adee imag imagin inár ária ia e
4 n +2
1 + i = 1 − i
(3) (4) (5)
i
(2)
,n
∈
N, o valor de M é:
x
+
2i
1+i
2 2
(02) 2 (03) 2 2 (04) 4
08. (UEFS) Simplificando-se a Expressão 7 5 3 4 2 E = i + i + (i + 2i ) , obtém-se: (1) (1) –1 + 2i (2) 1 + 2i 2i (3) (3) 1 – 2i (4) (4) 3 – 4i (5) 3 + 4i 4i 09. (UEFS) Sendo z um número complexo, o valor de z, dado por z= [(5 + 5i) : (3 – i)} – 2i é: 1+i 1–i 0 1 2 10. (UFBA) Existe um número real x tal que o quoci quocient entee
x −i
1−3i
é um imagin imaginári ário o
puro. Determine o simétrico de x. (01) 1 (02) 2 (03) 3 (04) 5 (05) 6
2
é nula e
x ∈ R ,
módulo do número complexo é igual a: (01)
, então:
(01) x = ± 2
–i 2i
=
17
)(1 −2 xi xi ) 11. 11. (UNE (UNEBB-02 02)) Se x e ( x +i )( são números reais, então:
06. (UEFS-97.2) (UEFS-97.2) Sabendo-se que a parte imaginária do número complexo z 1
i
(05) z 1 + z 2 = 2
representa representação ção gráfica no plano de Argand – Gauss.
1 –1
3+i
(04) | z 1 | = | z 2 |
A imagem de z no plano complexo é um ponto do plano que pertence ao: Eixo imaginário (1) Eixo real (2) 2º quadrante (3) 3º quadrante (4) 4º quadrante (5) 04. Determine o quadrante em que fica o ponto correspondente ao número
(1)
=
(03) z 1 = z 2
03. Seja o número complexo
M
z 2
02) 02) z 1 = − z 2
obtém-se: (01) 1 (02) 2 + i (03) 2 – i (04) 5 (05) – 5
complexo
07. 07. (UEF (UEFS) S) Se z1= ( 2 – i ) ( 1 + i ) e
(01) z 1 = z 2
( 2 + i ) 101 ( 2 − i ) 50 02. Simplificando , ( − 2 − i ) 100 ( i − 2 ) 49
(1) (2) (3) (4) (5)
(05) 5
z 2
então o
= x + xi
(02) x = (03) (04) (05)
x
±
1 2
= ±2
2
x = ±1
x
=±
2
12. Seja z = 1+ i , onde i é a unidade imagin imaginári ária. a. Podemo Podemoss afirma afirmarr que z 8 é igual a: (01) –16 (02) 16 (03) 0 (04) 32i (05) 32+16i
13. (UEFS 2004.1) O número complexo z tem módulo 1 e argumento principal 3π
. Sendo assim, pode-se afirmar::(1)
rad
4
A) Im(z2) =0 B) Re(z2) =0 C) Re(z2) = Im(z2) D) Re(z2)
π
)
(
π
)
(
π
)
(
2π
(
5π
π i sen + 6 6
π + i sen 4 4
8 cos
14. Na figura a seguir, o ponto P é uma(4) imagem do número complexo z, no plano de Argand-Gauss. Então, z é igual a: (5) (01) 1 + 3i
8 cos
(03)
2 2
+
(04)
3 2
+
1 i 2
3 i 2
(1) (2) (3) (4) (5)
16. Sendo i 2 = – 1, quantos números reais a existem para os quais (a + i)4 é um número real? 1 (1) 2 (2) 3 4 infinitos.
z 2
=
(02)
w
2 2
e
(03) w =
( c o s4 5º + i s e n4 5º )
2 (cos 45 º +isen 45 º )
=
2 2
3
6
+ i s e n2π 3
)
+ i s e n56π
)
3 +i ;
módulo
17. No plano complexo, P é o afixo de um complexo w . Determine a forma trigonométrica de w .
(01) w =
8 cos
π i sen + 3 3
19. Na figura, o ponto P é o afixo do número complexo z. A forma trigonométrica de z 3 é: 8(cos 135o + isen 135o ) 8(cos 45o + isen 45o ) 2(cos 225o + isen 225o ) 2(cos 135o + isen 135o ) 8(cos 225o + isen 225o )
2 i 2
(5)
(4)
(
8 cos
(3)
15. Dados z 1 = 3 + 3i e z 1 ⋅ z 2 tem argumento respectivamente, iguais a: 30o e 2 3 30o e 3 2 60o e 4 3 60o e 3 2 30o e 4 3
(3)
+
8 cos
(05) 12 +
(2)
=
(2)
(02) 3 + i
(1)
(04) w = 2( cos 45 º +isen 45 º ) (05) nda 18. A forma trigonométrica do número y 4 3 4i é dada por:
( c o s1 3 5º+ i s e n1 3º )
20. Estudamos que para acharmos as raízes de um número complexo, utilizamos a 2a fórmula de Moivre, pois bem, a partir do que foi estudado, podemos dizer que o conjunto de todas as raízes complexas de z3 = – 1 é: { –1 } { 1, –1 } {–1, 1 + 3 i } 2
{–1,
3 2
2
+ 2i ,
− 3 2
+
2
3 2
i, 2
1
−
3 2
{− 1, 12 +
i
}
i}
21. Determine as raízes da equação 2 z 3 –16 i = 0. (01) {2i, 3 - i, 3 + i} (02) {2i, - 3 - i, 3 + i} (03) {− 2i ,− 3 + i, 3 + i} (04) {2i, 3 - i, 3 − i} (05) {2i, - 3 - i, 3 − i}
22. O valor do determinante da matriz A
(1) (2) (3) (4) (5)
z = 2 z
, onde z z
é: –1 –1 + i
3π
z = c o s
4
+ i s e n34π
(5)
2
(03)
3
(05) 3
i
1 – i –1 – i 23. (UEFS-98.1) Simplifique a expressão 2i
(4)
(02) (04) 2
(1 + i )(1 −i ) (1) (2) (3)
(01) 1
28. (UEFS) A representação trigonométrica do resultado da expressão
1998
–i 1 –1
E = i −
( ) ()
25. (UEFS-00.2) Sabendo-se que os números complexos z 1 e z 2 satisfazem +
2 1+ i
que o módulo de A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 3
5
z 2
= z 1 + z 2 , conclui-se
é igual a:
26. (UEFS-02.1) Considere o número complexo O menor z = 2 + 2i . número natural não nulo, n, tal que z n tem parte imaginária nula é igual a A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 27. (UEFS 2003.1) Se o número complexo z = a + bi , em que a e b pertencem a ∗ R , é tal que z +i = z +1 =1 , então é igual a: z
i
4
4
é:
(02) 2 -1 ( co s76π + i s e n76π )
24. (UEFS-00.1) Uma forma trigonométrica do número complexo z = 5 3 − 5i é: A) 10[cos(60º) + i sen(60º)] B) 10[cos(120º) + i sen(120º)] C) 10[cos(300º) + i sen(300º)] D) 10[cos(315º) + i sen(315º)] E) 10[cos(330º) + i sen(330º)]
à relação
− 4
(01) 2 -1 ( co s1 61π + i s e n1 61π )
1997 −1 2 1 1997 2
z 1
3
i
(03) 2 -1 ( co s56π + i s e n56π ) (04) 2 -1 ( co sπ 3 + i s e nπ 3 ) (05)2 -1 ( co s53π + i s e n53π ) 29. (UEFS 2005.1) Considerando-se o número complexo z =
1 2
+
3 2
i , pode-se
afirmar que z 7 é igual a: 3
(01) z =
1
(02) z =
− 12 +
(03) z =
+ 2
3 2
2
3 2
+
1
3
+
(04) z =
−
(05) z =
− 12 −
2
i
2
i
i 1 2 3 2
i i
30. O ponto P representado na figura é a imagem do número complexo z, no plano de Argand-Gauss. Nestas condições, o complexo 1 é igual a: z
( 5 − i) 2 é
(A) − 1 −
3 i 2
34. (UFBA) O número complexo
(B) − 1 +
3 i 2
(C) − 1 −
3 i 4
(D) − 1 +
3 i 4
da forma a + bi. Calcule o valor absoluto de b. (01) – 17 (02) 71 (03) 17 (04) – 71 (05) nda
2
2
4
4
3 (E) 1 − 4
4
1+ i
35. Dados os números complexos z = 8( cos 75 º +i sen 75 º ) e w = 2( cos 15 º +i sen 15 º ) , pode se dizer que: (01) zw = −16
i
Im(z) P 120º
(02) Re(z)
2
(03)
z w z w
= 2 + 2 3i
=
(
4 s e n6 0º + i c o s6 0º
)
(04) zw = −16 i (05) nenhuma das respostas acima
31. (UEFS) Considerando-se o número
(
π
z = 2 c o s
complexo,
6
π
+ i s e n6
),
o
1
conjugado de z2 é:
1 +i cot gx
(01)
3
−i
A)
(02)
3
+i
B) 1+ s e n x 2 C) cos 2 x D) cos sec E) senx
(03) 2 (04)
3 3
−2i
+2i
(05) 2 −2
3i
32.
(5)
(UEFS 2006.2) Considerado –se z = 1 + i , pode-se afirmar que a seqüência de números complexos z 2 , z 4 , ..., z 2n ,... com n inteiro positivo. É um P.A. de razão i . É um P.A. de razão 2i . É um P.G. de razão i . É um P.G. de razão 2i . Não é P.A. nem P.G.
(1) (2) (3) (4) (5)
33. (UEFS 20003.2) O valor da expressão ( − 2i ) 6 + ( 2 + i )( 2 − i ) + i 13 é igual a: 69 + i 65i + 3 i + 60 i – 60 i – 59
(1) (2) (3) (4)
36 (ITA 2007) Assinale a opção que indica o módulo do número complexo
co s
, x ≠ kt , k ∈ Z
x
x
37. (UFBA-02.1ªet) Considerando-se os números complexos e z = 3 +i w = 1 + i , é correto afirmar: (01) z ⋅w =3 2 (02) w 2 − 2 z é um número real. (04) z 2 =4( cos 60 º +isen 60 º ) (08)
z w
=
(16) Se
2a+4b=9.
1 +i 2 v= a+bi
e
v.w= 3i ,
então
38. A seqüência de números complexos ( 2 −i; 3 +i; ) formam nesta ordem uma progressão aritmética. Nessas condições, o argumento principal do quarto termo dessa seqüência, em radianos, é:
(01) 0 π
(02)
4
2 (03) π 3
(04)
π
(05) 5π 4 39. (UESB 05) Os pontos P e Q, na figura, são afixos dos números complexos z 1 e z 2. sabendo-se que OP = 2uc e que O Q 4uc , pode-se afirmar que o argumento e o módulo de
z 2
+ 4
2 cos
03)
2 cos
04)
2 cos
05)
2 cos
[
5π 4
3π
[
4
7π 4
π
isen
4 5π
+
isen
+
isen
4
]
3π 4
− i s e n74π
]
42. (UEFS 2008.1) Seja z = −1 + i um número complexo e z , o seu conjugado. Sabe-se que os afixos dos complexos z, 2 z , z ⋅ z e z − z são vértices de um quadrilátero convexo cuja área mede, em u.a., A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 D) 8
são,
z 1
π
02)
respectivamente.
43. (UEFS 2009.1) Os afixos dos números complexos
() () v = c o (s ) + i s e (n ) w = c o ( s ) + i s e(n )
u = c o s4 + i s e n4 π
A) 120º e 3 B) 90º e 2 C) 45º e 4 D) 30º e 2 E) 0º e 3 40. (UEFS 2007.1) Um hexágono regular, inscrito numa circunferência de centro na origem, tem como um de seus vértices o afixo de z = 2i . Com base nessa informação, pode-se concluir que os números complexos representados pelos outros cinco vértice do hexágono pertencentem ao conjunto. 3 +i − 3 +i − 3 −i 3 +i A) 2 ; 2 ; 2 ; 2 ;−2i B)
{1
C) D)
{
+
{ 3
3i;
3
1
− +
+i; −
+i; −
3
3
3i;
1
− −
+i; −
+i; −
3
3
3
3
−i;
2i
3
+2i; −
3
+2i; −
3
−i; −2i
[
π
π − isen 4 4
2 cos
]
3π
4
4
3π
3π
2
2
centro na origem e raio
e são, no plano
2.
44. (UESC 2007) Na forma trigonométrica,
−2i;
3
2 ( 1 + i) o número complexo z = é
1+ i
}
−2i;
2i
41. (UESC 2007.1) Na forma trigonométrica, o número complexo ( 1− i ) 2 é representado por: z = 1+ i 01)
3π
Argand Gauss, A) pontos colineares. B) vértices de um triângulo equilátero. C) vértices de um triângulo retângulo. D) pontos de uma circunferência com centro na origem e raio 1. E) pontos de uma circunferência com
}
E)
{
,
3i; 1 − 3i;− 2i
−i;
−i;
π
representado por
}
(
)
(
)
01)
π π 2 c o s4 − i s e n4
02)
2 c o sπ 4 + i s e nπ 4
03)
2 c o s54π + i s e n54π
(
)
(
04)
2 c o s34π + i s e n34π
05)
2 c o s74π
(
+
i s e n74π
) )
45. (UEFS 2009.1) A sequência (zn) é uma progressão geométrica cujo primeiro termo e razão são, respectivamente, iguais a z1 = 1 – i e q = i. Nessas condições, pode-se concluir que
z 3 z 5
é igual a:
A) – 1 B) – i C) 1 D) i E) 1 + i
COLÉGIO GÊNESIS GABARITO DA LISTA DE NÚMEROS COMPLEXOS
Nº Resp Nº Resp Nº Resp Nº Resp Nº 01 05 11 01 21 03 31 05 41 02 05 12 02 22 03 32 04 42 03 01 13 B 23 03 33 05 43 04 1ºq 14 02 24 E 34 03 44 05 02 15 03 25 D 35 02 45
Resp 03 D D C
06 07
03 04
16 17
03 01
26 27
C 02
36 37
08 09 10
04 04 03
18 19 20
01 01 05
28 29 30
05 01 C
38 39 40
E 2-416 02 B D
46 47 48 49 50
