Nu meros aleatorios Nu Generación de números números aleatorios (pseudoaleatorios) uniformes u (0;1) Una de las características más importantes de la Simulación es la capacidad de imitar el comportamiento aleatorio que existe en los sistemas estocásticos. Para simular este comportamiento aleatorio se requiere de un método que provea la generación den estos números aleatorios, así como de rutinas para generar variaciones aleatorias, basadas en distribuciones de probabilidad. Un generador de números aleatorios es un algoritmo determinístico, usado para crear valores reales distribuidos entre 0 y 1, tal que
0 r 1 Se debe considerar lo siguiente: o
La ocurrencia de cualquier valor es equiprobable o uniforme
o
El valor de la muestra previa no afecta la probabilidad del valor de la próxima muestra(independencia)
Estos números pueden ser transformados en valores que se ajustan a una determinada distribución de probabilidad. Métodos para generar números aleatorios Existen varios métodos que son utilizados para generar números aleatorios, los más populares son los métodos congruenciales lineales que pueden ser: 1.
Método congruencial lineal aditivo
2.
Método congruencial lineal multiplicativo
Métodos congruenciales lineales Hacia 1949, Lehmer introduce un método de generación de números aleatorios mediante el cual un término de la serie se obtiene como función del término inmediatamente anterior
xn
f ( xn1 )
En el generador distinguimos cuatro elementos:
x0 : es el valor inicial o semilla 0 x0
m 1
a : Multiplicador, siendo 0 a m , a
c : Incremento, siendo 0 c m m : Modulo (resto de la división entera)
Lic. Araujo Cajamarca, Cajamarca, Raul
Se llama periodo a la subcadena, dentro de la serie generada, en la que no hay repeticiones de números y longitud de periodo al número de elementos de dicha subcadena. La repetición de números en la serie puede ser aleatoria, pero dado el método utilizado para la generación de las mismas, en el momento en el que se repite un valor ya empieza a repetirse todo el periodo, por lo que interesan métodos que garanticen longitudes de periodos grandes. Tipos de generadores congruenciales lineales Podemos distinguir dos tipos de estos generadores que se diferencian en el valor del incremento. a) Generadores congruenciales multiplicativos: En ellos el incremento c 0 este tipo de generadores fueron los introduci dos por LEHMER, aunque menciono como posibilidad la idea de tomar c 0
x
n 1
ax m n mod
b) Generadores congruenciales Mixtos (aditivos): Fueron introducidos por THOMSON hacia 1958, en ellos el incremento es distinto de cero, osea c 0 .
xn1
(
axn c) mod m
A los números obtenidos mediante dichos métodos se les conoce como números pseudoaleatorios, dado que, como se ha mencionado, los números obtenidos están uniformemente distribuidos pero no son independientes. Un término de la serie se obtiene como función del término inmediatamente anterior. No obstante ellos se adecuan en forma aproximada a la aleatoriedad del mundo real, para propósito de Simulación. Ejemplo 1 De acuerdo con la información siguiente, determinar la secuencia completa de números aleatorios; es decir, hasta que se alcance el periodo correspondiente:
x0
6
a6 c6 m 10
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
k
axn c
xn1 kmod m
r
xn
n
xn
0
6
42
2
0.20
1
2
18
8
0.80
2
8
54
4
0.40
3
4
30
0
0.00
4
0
6
6
0.60
5
6
42
2
0.20
6
2
18
8
0.80
m
Interpretación: 1.
La secuencia de números aleatorios será: 6; 2; 8; 4 y 0, luego se repite la misma secuencia.
2.
Todos los números aleatorios generados tienen un periodo; es decir, después de una cierta cantidad de números aleatorios la serie vuelve a repetirse. Para nuestro ejemplo, el periodo es de 5. (Longitud de periodo).
La repetición de números en la serie puede ser aleatoria, pero dado el método utilizado para la generación de las mismas, en el momento en el que se repite un valor ya empieza a repetirse todo el periodo, por lo que interesan métodos que garanticen longitudes de periodos grandes. 3.
Como el modulo es 10, los números generados no excederán a 10.
4.
Para obtener valores aleatorios entre 0 y 1, se deben realizar algunas de las operaciones con los números aleatorios generados.
r n =valores aleatorios u (0;1) r n
5.
xn m
r n
(
xn 1
2
r n
m)
xn m 1
Los valores generados son pseudoaleatorios por que le siguiente número se genera a partir del anterior, además después del periodo se repite la misma secuencia.
6.
En Arena, el periodo contiene por lo menos dos billones de números, luego el ciclo se repite a través de la misma secuencia.
7.
Un número es completamente aleatorio si al repetir el experimento el orden es diferente. Por ejemplo al lanzar sucesivamente un dado, una moneda, etc.
¿Cómo calcular 5mod10 ?
5mod10 5 10
5 10
,
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Máximo entero
5mod10 5 10 0.50 5mod10 5 10(0)
5mod10 5 0 5mod10 5
¿Cómo se calcula 42mod10 ?
42mod10 42 10
42 10
42mod10 42 10 4.2 42mod10 42 10(4) 42mod10 42 40 2
¿Cómo se calcula 18mod10 ?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Aplicación (expresiones de probabilidad) Se desea evaluar la decisión, si la entidad que ingresa al modelo de decisión aprueba o desaprueba la inspección, véase el siguiente esquema del modelo.
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
INTERVALO INICIAL FINAL 0.00 0.85 0.85 1.00
r n
SUCESO
0.57 0.96
ALMACEN DESECHO
Número aleatorio estandarizado, valores aleatorios
Para determinar el próximo resultado del evento aleatorio es necesario que se genere un valor aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1. Este valor es comparado con el valor de la probabilidad, definida en el modelo (0.85). Si el valor generado está entre 0 y 0.85, entonces la entidad aprueba la inspección; de lo contrario, la entidad no pasa la inspección y se desecha. Observación:
Para la elección del módulo, nuestro objetivo es generar series con el mayor número posible de elementos, es decir series con máxima longitud de periodo. Para ello el modulo que se elija para el generador ha de ser grande dado que x elemento de la serie se cumple que
0 x m , es decir, longitud de
periodo va a ser m como máximo. Ejemplo 2 Genere una secuencia de 6 números aleatorios entre 0 y 9 usando el método congruencial mixto con: x0 5 , c 5 , a 5 . Sol. Falta calcular m , como entre 0 y 9 hay 10 números m 10
n xn k
axn c
xn1 kmod m
r n
0
5
30
0
0.00
1
0
5
5
0.50
2
5
30
0
0.00
3
0
5
5
0.50
4
5
30
0
0.00
5
0
5
5
0.50
6
5
30
0
0.00
Vemos que esta secuencia es de periodo muy corto. Para obtener un periodo grande debe escoger m grande.
Método de cuadrados medios
El procedimiento de obtención de números con este tipo de generadores es el siguiente: o
Generar una semilla x0 de m dígitos, n 0
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
o
Elevar al cuadrado xn y adicionar ceros a la izquierda para obtener 2m dígitos
o
Tomar de la parte central un conjunto de m dígitos que formarán el número aleatorio xn 1
o
Los m dígitos pasarán a ser la nueva semilla con el fin de repetir el proceso n ocasiones.
Ejemplo 1 Generar una secuencia de 4 N.A. de 4 cifras a partir de un generador de cuadrados medios, utilizando como semilla 1254. Solución
x0 =1254 m =4
n
xn
xn 2
xn 1
r n
0 1254 01572516 5725 0.5725 1 5725 32775625 7756 0.7756 2 7756 60155536 1555 0.1555 3 1555 02418025 4180 0.4180 4 4180 17472400 4724 0.4724
Características estadísticas de los números aleatorios
Existen un gran número de métodos para generar los números aleatorios entre 0 y 1, el método a utilizar, en sí mismo, no tiene importancia; la importancia radica en los números que genera, ya que estos números deben cumplir ciertas características para que sean válidos, dichas características son: a) Aleatoriedad
Uniformemente distribuidos
Estadísticamente independientes
b) Su media debe ser estadísticamente igual a 1 2 c)
Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1 12
d) Su periodo o ciclo de vida debe ser largo Una vez que se ha generado o se puede usar un generador es importante verificar si los números poseen las características mencionadas. La comprobación de tales características se realiza mediante ciertas pruebas estadísticas que son las siguientes: 1.
Prueba de aleatoriedad Se trata de probar si la secuencia se comporta de forma aleatoria, para lo cual se debe probar su independencia y uniformidad.
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
1.1. Prueba de uniformidad La prueba básica a la que se debería someter cualquier nuevo generador de números aleatorios o una secuencia de números aleatorios es a la de uniformidad. Existen dos métodos para realizar esta prueba: 1.1.1.
Prueba de Chi-Cuadrado
Esta prueba se empleará en el caso específico de los números aleatorios uniformes entre 0 y 1, para probar que un conjunto de datos siga esta distribución. De esta manera la hipótesis propuesta se resume como sigue:
H 0 : rn
U (0;1) Hipótesis nula
H 1 : rn
U (0;1) Hipótesis alterna
H 0 : Es la hipótesis que se somete a prueba: la diferencia que existe entre la distribución de la muestra y la distribución uniforme no es significativa
H 1
: De negarse la hipótesis nula, seria esta la que se acepta, lo cual nos indica que: la
diferencia que existe entre la distribución de la muestra y la distribución uniforme es significativa. Requiere de la siguiente información: o
Frecuencia observada ( FOi ): Número de observaciones reales en la clase i .
o
Frecuencia Esperada ( FE i ): número de observaciones en la clase i , para la distribución uniforme.
FEi
N n
N * p , donde
p
1
n
, N : Total observaciones (Datos), n : Total
clases (Intervalos).
o
Grados de libertad ( n 1 ): Número de grados de libertad, en este caso se toma intervalos de clase de igual longitud.
o
Nivel de Significación ( ): generalmente se utiliza
: Probabilidad del error
1 : Nivel de confianza o
2
Tabla de valores críticos x , según G.L. y a un
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
0.01
0.05
o
2
Si el valor de x es tal que la probabilidad asociada con su ocurrencia, conforme a la hipótesis nula H 0 para ( n 1 ) G.L. es:
p
Se rechaza H 0
p
Se acepta H 0 2
La distribución de x , es Ji-Cuadrada con ( n 1 ) G.L. Ejemplo 1 Fueron generados 100 N.A. que luego se agruparon en 9 intervalos de amplitud 8, como se muestra en la tabla siguiente: Prueba Ji-Cuadrada INTERVALOS
i
INICIAL FINAL
FOi
FE i
N n
FEi
FOi
( FEi
FOi )
2
1
0.00
8.00
12
11.10
0.90
0.0730
2
8.00
16.00
10
11.10
-1.10
0.1090
3
16.00
24.00
14
11.10
2.90
0.7580
4
24.00
32.00
11
11.10
-0.10
0.0010
5
32.00
40.00
10
11.10
-1.10
0.1090
6
40.00
48.00
15
11.10
3.90
1.3700
7
48.00
56.00
10
11.10
-1.10
0.1090
8
56.00
64.00
8
11.10
-3.10
0.8660
9
64.00
72.00
10
11.10
-1.10
0.1090
N=
100
/ FEi
3.5040
n9 2
Observamos que la tabla de valores críticos de x para G.L.= n 1 =8 y x
2 (1 ;n1)
x2(0.99;8)
=0.01
20.10 2
También observamos el estadístico de prueba x 3.5040 , al comparar con el valor 2
crítico, x x
2 (0.99;8)
podemos concluir que se acepta
H 0 , es decir los datos
maestrales no reflejan una diferencia significativa con respecto a la distribución uniforme. OBSERVACIONES:
Numero de intervalos (Clases): Se calcula con la fórmula de STURGES n 1 3.32(log(N )) Aproximado
N : Número de datos
Amplitud de clase o intervalo (C):
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Se calcula previamente,
Ls : Límite superior o mayor valor Li : Límite inferior o menor valor
R : Rango o recorrido: R Ls Li C
R n
Ejemplo 2 Realice la prueba de uniformidad utilizando el método Chi-Cuadrado a los siguientes 30 números (valores) con nivel de confianza del 95%. Solución.
H 0 : Los datos o números corresponden a una distribución uniforme H 1 : Los datos o números no corresponden a una distribución uniforme
0.05
Prueba Ji-Cuadrada INTERVALOS i
INICIAL FINAL
FOi
FE i
N n
FEi
( FEi FOi )2 / FEi
FOi
1
0.00
0.10
3
3.00
0.00
0.0000
2
0.10
0.20
4
3.00
1.00
0.3330
3
0.20
0.30
3
3.00
0.00
0.0000
4
0.30
0.40
4
3.00
1.00
0.3330
5
0.40
0.50
1
3.00
-2.00
1.3330
6
0.50
0.60
2
3.00
-1.00
0.3330
7
0.60
0.70
2
3.00
-1.00
0.3330
8
0.70
0.80
3
3.00
0.00
0.0000
9
0.80
0.90
3
3.00
0.00
0.0000
10
0.90
1.00
5
3.00
2.00
1.3330
N=
30
3.9980
2
Tenemos el estadístico de prueba que hemos calculado en la tabla, x 3.9980 Buscamos en tabla Chi-Cuadrada el valor crítico, x
2 (1 ; n 1)
x2(0.95;9)
16.90 y la
comparación indica:
x2
x2(1
;n 1)
Aceptamos
H 0 , es decir los números generados siguen una distribución uniforme
entre 0 y 1.
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
1.1.2.
Prueba de Kolmogorov-Smirnov
La forma de obtenerlo es de la siguiente manera: o
Se ordenan los datos de menor a mayor, r1 r2 ,..., r i
o
Se calcula
o
i N
Se calcula Di r i
i N
o
Se busca el Dmax Max( Di )
o
Se compara con el valor de la tabla para un
dado y N , numero de datos.
Ejemplo 1 Sean 5 números 0.44; 0.81; 0.14; 0.05; 0.93 generados por algún método. Realice la prueba de uniformidad utilizando el método de Kolmogorov-Smirnov con un nivel de confianza del 95%. Solución
H 0 : Los números provienen de una población uniforme entre (0 y 1) H 1 : Los números no provienen de una población uniforme
0.05 Pues,
1 0.95 también, N 5 datos
Prueba K-Smirnov i
r i
i
Di
N
r i
r i N
1
0.050 0.20
0.1500
2
0.140 0.40
0.2600
3
0.440 0.60
0.1600
4
0.810 0.80
0.0100
5
0.930 1.00
0.0700 0.2600
Una vez calculado el estadístico de prueba, Dmax 0.2600 necesitamos determinar el valor critico en la tabla K-S, siendo: D(
, N )
D(0.05,5)
0.56328 , ahora hagamos las
comparaciones: Como Dmax D( 0.05;5) concluimos que no se puede rechazar la hipótesis nula, es decir que los números provienen de una población uniformemente distribuida.
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
1.2. Prueba de independencia Las pruebas de independencia consisten en demostrar que los números generados son estadísticamente independientes entre sí, esto es, que no depende uno de otro. Para esto se propone la siguiente hipótesis:
H 0 : r i son independientes H 1 : r i son dependientes Para realizar esta prueba de hipótesis existen varios métodos, puede seleccionarse cualquiera de la siguiente lista:
Prueba de Póker
Prueba de corridas arriba y debajo de la media
Prueba de la longitud de las corridas
Prueba de distancias
Prueba de series
Prueba de huecos 1.2.1.
Prueba de corridas para la independencia
Pasos: Paso 1: H 0 : r i son independientes
H 1 : r i son dependientes Paso 2: clasificar cada número aleatorio con respecto al anterior, de acuerdo con: Si ri r r 1 entonces r i =+ Si ri r r 1 entonces r i =Paso 3: calcular el número de corridas observadas h , una corrida se forma por un conjunto de números aleatorios consecutivos del mismo signo. Paso 4: Calcular: Esperanza, E (h)
Varianza, V (h)
2n 1 3
16n 29 90
Donde n es el número de datos generados
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Paso 5: Calcular el estadístico de prueba z
Paso 6: buscar el valor crítico z
(1
2
h E (h) V ( h)
en tabla estadística )
Paso 7: si el estadístico de prueba es menor que el valor crítico, entonces se acepta la hipótesis de independencia.
z
h E (h)
z
V ( h)
(1
2
z
)
(
2
)
Ejemplo 01 Determine si la siguiente secuencia de 20 números puede ser aceptada como independiente con un nivel de confianza del 95%, usando la prueba de corridas. Solución
H 0 : r i son independientes H 1 : r i son dependientes
0.43
-
+
0.28
+ 0.31
+
-
0.32 +
0.99
0.16
0.12 0.45
0.55
+
0.74
+
0.01
0.79 -
0.27
+
+
0.98 +
-
0.42
+
0.33
0.67
-
+
0.20
0.12
0.58
n 20 La secuencia de corridas es: -
+
1
2
-
-
+
3
+ 4
5
Número de corridas observadas es:
h 14 Entonces calculamos:
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
+
+ 6
+
-
+
-
7
8
9
+
+ 10
-
+
-
+
11 12 13 14
E (h)
V (h)
2(20) 1 3
13
16(20) 29 90
3.23
El estadístico de prueba:
z
14 13 3.23
0.5564
Buscamos en la tabla normal el valor crítico:
z0.05 (
2
z ) (1
0.05 2
)
z(0.975) 1.96
Comparamos: Como z z (1
2
)
z (
2
)
Entonces podemos concluir que la independencia de estos números no puede ser rechazada. Trabajo domiciliario: Traer para la próxima clase, las otras pruebas de independencia, teoría y ejemplos
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
