FAT – Faculdade de Tecnologia de Resende Departamento de Energia e Mecânica Eletricidade Teórica e Experimental Prática 6 Título: FIGURAS DE LISSAJOUS E MEDIDAS DE DEFASAGEM
1. Obje bjetivos: -
Observ Observar, ar, experim experiment entalm alment ente, e, as figur figuras as de de Lissa Lissajou jous. s. Medir Medir a defas defasage agem m entre entre dois dois sinais sinais,, utiliz utilizando ando o osci oscilos loscópi cópio. o.
2. Intr Introd oduç ução ão Teór Teóric ica: a: A composição gráfica de dois movimentos ondulatórios, um na horizontal e outro na vertic vertical, al, result resultaa na chamad chamadaa Figura Figura de Lissaj Lissajous. ous. Para exemplifica exemplificar, r, considerem consideremos os a figura 1, 1, onde temos composição de um sinal na vertical de determinada freqüência, e um outro na horizontal com o dobro de freqüência.
Figura 1: Figura de Lissajous, resultante da composição de 2 sinais Da figura de Lissajous obtida, podemos estabelecer uma relação entre as freqüências dos dois sinais, conforme o número de vezes que a figura toca na linha de tangência horizontal e na vertical. Para o exemplo, temos que, a figura tangência na horizontal uma vez e na vertical duas vezes, portanto a relação entre as freqüências será: FH = 2 FV
FV / FH = 1 / 2
Para um caso genérico, podemos escrever a relação: onde: FV = freqüência do sinal vertical FH = freqüência do sinal horizontal NH = no de tangências na horizontal NV = no de tangências na vertical
FV / FH = NH / NV
Podemos utilizar as figuras de Lissajous para medidas de freqüência e de defasagem com o osciloscópio. Para medirmos freqüências, basta aplicar o sinal a ser medido em uma das entradas do osciloscópio, e um outro com freqüência conhecida na outra entrada. Da Lissajous obtida na tela, determina-se NV, NH e aplicando-se a relação, calcula-se a freqüência desconhecida. A figura 2, mostra o esquema de ligação para se determinar a freqüência de um sinal desconhecido.
Figura 2: Ligações do osciloscópio para a medida de freqüência, utilizando Lissajous Na entrada vertical, o gerador foi ajustado para a freqüência de 300 Hz e aplicandose o sinal de freqüência desconhecida na entrada horizontal, obteve-se na tela, uma figura de Lissajous com 3 pontos de tangência na horizontal e 1 na vertical. Aplicando-se a relação, obteremos: 3 FH = 1 FV
FH = FV / 3 = 300 / 3 = 100 Hz
Quando aplicamos às duas entradas do osciloscópio, sinais de uma mesma freqüência, teremos na tela, uma figura de Lissajous onde é possível determinar-se o valor da defasagem entre eles. Chamamos de defasagem, a diferença de fase entre dois sinais de mesma freqüência. Para exemplificar, temos na figura 3 o sinal v1(t) e o sinal v2(t), plotados nos mesmos eixos:
Figura 3: Sinais v1(t) e v2(t)
onde: v1(t) = v1máx sen ( ωt + 0o) v2(t) = v2máx sen ( ωt + π / 2) A defasagem entre v1(t) e v2(t) é Δθ = π / 2 rad ou 90 o. Para 2 sinais quaisquer de mesma freqüência e defasados, teremos na tela do osciloscópio uma elipse como figura de Lissajous. Na figura 4, temos a composição de 2 sinais defasados e a elipse resultante.
Figura 4: Elipse resultante da composição de 2 sinais defasados O sinal VV obedece à função: VV(t) = VVmáx sen ( ωt + Δθ) onde: VVmáx = b e VV(t) = a, para t = 0 substituindo, temos que: a = b sen (ω0 + Δθ) a = b sen Δθ sen Δθ = a / b Δθ = arc sen (a / b) Para determinarmos a defasagem através da elipse obtida, basta obtermos os valores de a e b, onde a representa a distância entre o centro da elipse e o ponto onde esta corta o eixo y e b representa a distância entre o centro da elipse e o ponto máximo da figura. Para facilitar a leitura, podemos determinar os valores de 2a, 2b e calcular a defasagem, utilizando a relação: Δθ = arc sen (2a / 2b) Como exemplo, vamos determinar a defasagem entre dois sinais aplicados às entradas do osciloscópio, cuja figura de Lissajous é mostrada na figura 5.
Temos que: Figura 5: Elipse
2a = 3 e 2b = 6 Δθ = arc sen (3 / 6) Δθ = π / 6 rad ou 30o
3. Material Experimental: -
Osciloscópio Gerador de sinais Transformador: 110 V / 12 V ou 220 V / 12 V(conforme a rede) Capacitor: 0,1 μF Resistores: 4,7 KΩ, 47 KΩ, 150 KΩ, 470 KΩ e 1 MΩ
4. Simbologia:
5. Prática: 1 – Ligue à entrada vertical do osciloscópio, o gerador de sinais ajustado para onda senoidal a amplitude máxima, e à entrada horizontal o transformador, conforme a figura 6.
Figura 6 2 – Varie a freqüência do gerador de sinais, conforme o quadro 1. Anote a figura de Lissajous e determine a relação de freqüências. FH (Hz)
60
FV (Hz) 15 20 24 30 40 60 90 120 150 180 240
Figura
Quadro 1
NH
NV
NH / NV
3 – Monte o circuito da figura 7 com o gerador ajustado em 60 Hz, amplitude máxima e onda senoidal.
Figura 7 4 – Meça e anote os valores de 2a e 2b de acordo com o capacitor e resistores, indicados no quadro 2. C (μF)
0,1
R 4,7 KΩ 47 KΩ 150 KΩ 470 KΩ 1 MΩ
2a
2b
2a / 2b
Δθ
Quadro 2 6. Questões: 1 – Comprove a relação FV / FH = NH / NV com os valores dados no quadro 1. 2 – Calcule a defasagem, utilizando os valores obtidos no quadro 2, para cada valor de resistor. Anote os resultados no próprio quadro. 3 – Calcule o valor da freqüência desconhecida através das Lissajous, vistas na tela do osciloscópio, conforme mostra a figura 8.
Figura 8 4 – Calcule a defasagem através das Lissajous, vistas na tela do osciloscópio, conforme a figura 9.
Figura 9
