FIGURAS DE LISSAJOUS 1.- OBJETIVOS 1.1.- OBJETIVO GENERAL - Utiliza el formato XY del osciloscopio. osciloscopio. Medir el modulo del ángulo de fase y veri veric car ar la frec frecue uenc ncia ia de una una seña señall por por el méto método do de las las gur guras as de Lissaous. 1.2.- OBJETIVOS ESPECIFICOS - Usar el formato XY del osciloscopio. - Medir el ángulo de fase. - !"tener en el osciloscopio guras de Lissaous.
2.- JUSTIFICACION #rosiguiendo a las formas de representar las guras de las diferencias de la frecuencia de dos fuentes$ las guras de Lissaous son importantes para descri"ir el comportamiento de las ondas el cual se representara en el osciloscopio. %n una manera más general realizamos este la"oratorio para poder aprender las distintas guras de Lissaous$ ya &ue tiene varias aplicaciones. %sta práctica de la"oratorios importante por&ue familiariza ' instrumentos de electricidad "ásica disponi"les en la"oratorio$ además de ello se pretende proporcionar capacidad para interpretar diagramas eléctricos y as( más adelante tener aptitudes para inducir$ deducir y so"retodo integrar teor(a con práctica.
3.- HIPOTESIS )e de"en validar e*presiones para ver el comportamiento de las ondas emitidas por el generador de funciones el cual se muestra en el osciloscopio. +am"ién se va a verificar el modulo del ángulo , llada por la ecuacin /012 y el ángulo , por Y/t2.
0
4.- VARIABLES 3uestras varia"les son4 +a"la 0
35
67897:L%)
)9;39<9=7>!
?
:
diviciones
@
+
#eriodo /tiempo2
?
f
@
At
la diferencia
5.- LIMITES Y ALCANCES =omo el presente la"oratorio es trata acerca de la representacin de las guras en el osciloscopio los l(mites se encuentran entre el incremento de la frecuencia y la contemplacin de su inBuencia en el osciloscopio. #ara cada frecuencia se podrá tener una imagen diferente$ por teor(a se dice &ue este es el comportamiento de los electrones los cuales forman diferentes guras. 6.- MARCO TEORICO Una gura de Lissaous es la representacin graca en el plano *y de ecuaciones para métricas de forma4 x = X m∗sen ( ω x t ) ( 1 )
y =Y m∗sen ( ω y t −φ ) ( 2)
'
Las guras de Lissaous pueden o"tenerse en un osciloscopio tra"aando en el formato *y e introduciéndole señales &ue tengan la forma de las ecuaciones /02 y /'2$ es decir4 v x =V xm∗sen ( ω x t ) ( 3) v y =V ym∗sen ( ω y t −φ ) ( 4 )
6* se introduce al canal 0 y se traza en el ee orizontal de la pantalla y 6 y se introduce al canal ' y se traza en el ee verticalC entonces am"os ees representan voltaes y la com"inacin de los trazos da una representacin de la gura de Lissaous correspondiente. )i en /12 y /?2
ω x =ω y =ω y φ =0
se tiene4
v x =V xm∗sen ( ω t ) ( 5 ) v y =V ym∗sen ( ωt ) ( 6 )
=om"inando estas ecuaciones se o"tiene4 v y =
V ym V xm
∗v x (7 )
Luego$ la gura de Lissaous es una recta &ue pasa por el origen y tiene pendiente V ym V xm
)i en /12 y /?2
V xm =V ym =V m ; ω x =ω y =ω y φ =
−π 2
se tiene4
v x =V m∗sen ( ωt ) ( 8 )
(
v y =V m∗sen ω t +
)=
π 2
V m∗cos ( ω t )( 9 )
%levando las ecuaciones al cuadrado y sumándolas se o"tiene
1
2
2
2
V x + V y = V m ( 10 )
Luego la gura de Lissaous es un c(rculo de radio 6 m. >e manera mas general si en /12 y /?2 solo ocurre &ue D * E Dy E D se tiene. v x =V xm∗sen ( ωt ) ( 11) v y =V ym∗sen ( ωt − φ ) (12 )
Y la gura de Lissaous es una elipse como la representada en la gura 0 %l modulo del ángulo , &ue es el ángulo de fase con &ue la señal v y esta retrazada con respecto a la señal v *F puede o"tenerse mediante4
|φ|= sen−
1
( )
B ( 13) A
)iendo 7 y : las dimensiones mostradas en la gura 0.
lugar geométrico$ si
ω x es un numero
racional. La forma de las guras depende de ese nGmero y de ,. %n la figura ' se representan guras de Lissaous para dos casos particulares. >e la forma de las guras de Lissaous puede determinarse la relacin entre las frecuencias de v y y v* &ue esta dada por4 ω y =
m ω ( 14 ) n x
! tam"ién4 f y =
m f ( 14 ) n x
?
>onde m es el nGmero de "ucles verticales y n es los nGmeros de "ucles orizontales de la gura de Lissaous como se aprecia en la gura '. 7.- MARCO CONCEPTUAL %n matemáticas$ la curva de Lissaous$ tam"ién conocida como gura de Lissaous o curva de :oHditc$ es la gráca del sistema de ecuaciones paramétricas correspondiente a la superposicin de dos movimientos armnicos simples en direcciones perpendiculares4
%sta familia de curvas fue investigada por 3ataniel :oHditc en 0I0@ y después$ con mayores detalles$ por Jules 7ntoineLissaous. %n mecánica clásica$ la trayectoria de un movimiento armnico compleo "idimensional es una curva de Lissaous. PROPIEDADES La apariencia de la gura es muy sensi"le a la relacin $ esto es$ la relacin entre las frecuencias de los movimientos en * e y. #ara un valor de 0$ la gura es una elipse$ con los casos especiales del c(rculo /7 E :$ A E K' radianes2 y de las rectas /A E 2 incluidos. !tra de las figuras simples de Lissaous es la pará"ola /a" E '$ A E K'2. !tros valores de esta relacin producen curvas más complicadas$ las cuales slo son cerradas si es un nGmero racional$ esto es$ si y son conmensura"les. %n el caso de &ue el cociente de frecuencia no sea un racional la curva además de no ser cerrada es un conunto denso so"re un rectángulo$ lo cual signica &ue la curva pasa ar"itrariamente cerca de cual&uier punto de dico rectángulo. %n el caso de &ue el cociente s( sea un nGmero racional$ entonces e*istirán dos nGmeros naturales$ n* y ny$ tales &ue
y$ o"viamente$ el periodo del movimiento resultante es el valor de +
o"tenido utilizando los valores más pe&ueños &ue satisfagan la relacin /fraccin irreduci"le2.
@
La apariencia de estas curvas a menudo sugiere un nudo de tres dimensiones u otros tipos de nudos$ incluyendo los conocidos como nudos de Lissaous$ proyeccin en el plano de las guras de Lissaous. .- PROCEDIMIENTO E!PERIMENTAL A"#$%& '( )*+(.Montamos el circuito de la gura 1. %l voltae so"re la cone*in 8L= v de"e ser senoidal con 6pp E N6$ nivel >= nulo y una frecuencia apro*imada de ? OPz.
Llenar la ta"la 0 para las frecuencias apro*imadas indicadas /fo es la frecuencia de resonancia de la cone*in 8L= &ue de"e ser encontrada e*perimentalmente2. Las magnitudes de f0$ + y At se de"en medir con el osciloscopio. #ara austar 7 y medir : presionar #73+7LL7 y con 96 de am"os canales$ pero para poder acer un auste no$ previamente se de"e presionar =P0 M%3U y con ;737=97 67897:L% seleccionar <937 y acer lo mismo para el canal '. La posicin de la elipse puede austarse con los controles de posicin de am"os canales. La dimensin de : de"e medirse centrando la elipse orizontalmente en la pantalla. F,($("*.Montar el circuito de la gura ? con el osciloscopio en el formato Y/t2 y reponiendo la ganancia gruesa en am"os canales. >el generador 0 o"tener una N
señal sinodal con f E 1/Pz2 6pp E N6 y nivel >= nulo. >el generador ' o"tener una señal sinodal con f E 0/Pz2 6pp E N6 y nivel >= nulo
.
#asar al formato XY para o"servar la gura de Lissaous correspondiente$ de"ido a &ue se usan dos generadores independientes es un tanto dif(cil o"tener una gura esta"le$ por ello de"erá austarse con muco cuidado la frecuencia de la señal del generador ' de manera de o"tener una gura lo mas esta"le posi"le con los "ucles a"iertos y simétricos. >i"uar la gura o"tenida$ esto puede facilitarse fotograando la gura cuando esta tenga los "ucles a"iertos y simétricos. >e manera similar$ o"tener y di"uar las guras de Lissaous para las frecuencias de la señal del generador ' fy indicadas en la oa de datos. /.- ANALISIS Y TRATAMIENTO DE DATOS ANGULO DE FASE.1.- %n la "ase a la ta"la 0 de la oa de datos$ ela"orar una ta"la comparativa , XY Q , Y/t2 siendo ,XYel valor calculado con la ecuacin y , Y/t2 el modulo del ángulo de fase determinado con el modo y/t2. 9ncluir en la ta"la las diferencias porcentuales de ,XYrespecto a , Y/t2. PARA EL TEORICO SE USA
R
|φ|= sen−
1
( )
B ( teorico ) A
=alculando 0(& N 1
2
3
4
)H 4
6
18
0(&
|φ|= sen−
( )=
|φ|= sen−
( )=
11.537 °
|φ|= sen−
( )=
32.231 °
|φ|= sen−
( )=
1
1
1
1
4.8 6
1.2 6
3.2 6
4 6
53.130 °
41.810 °
PARA EL E!PERIMENTAL SE USA
|φ|= ∆ t ∗360=( experimental ) T
calculando 0(9: N
)H
1
4
0(9:
|φ|= 37.6 ∗360 =54.187 ° 248
2
6
|φ|=
I
7 ∗360 =12.108° 166
3
|φ|= 8.8 ∗360 =35.304 ° 124
4
18
|φ|= 13.2 ∗360= 42.52 ° 100
=alculando el errror4 PARA PORSENTAJE SE USA
|φteo− φexp|
ε=
φ teo
∗100
N 1
2
3
4
)H 4
6
18
;<
|53.130−54.187| ∗100 =1.989
ε=
53.130
|11.537−12.108| ∗100 =4.949
ε=
11.537
|32.231−35.304| ∗100 = 9.534
ε=
32.231
|41.810− 42.52| ∗100 =1.657
ε=
41.810
FRECUENCIA.2.- >i"uar las guras de Lissaous o"tenidas para diferentes frecuencias f y y vericar cada caso con la ecuacin4 P*,*
f x =300 ( H ) y f y =100 ( H )
S
P*,*
f x =300 ( H ) y f y =150 ( H )
P*,*
f x =300 ( H ) y f y =200 ( H )
0
P*,*
f x =300 ( H ) y f y =300 ( H )
P*,*
f x =300 ( H ) y f y = 400 ( H )
00
P*,*
f x =300 ( H ) y f y = 450 ( H )
P*,*
H f x = 300 ( H ) y f y = 600 ¿
P*,*
f x =300 ( H ) y f y = 900 ( H )
0'
Las cuales fueron las guras o"tenida por inBuencia de los generadores en el osciloscopio 18.- CONCLUSIONES
•
Los errores presentados en los cálculos se manifestaron de diferente manera$ para cada proceso ocurri un suceso diferente el cual izo variar
•
los e*perimentos4 =omo se pudo contemplar los errores var(an desde un valor cercano al terico asta otro donde el valor se alea"a signicativamente en el caso del ángulo de fase pero el proceso no tuvo o"strucciones durante su desarrollo por lo &ue se pueden indicar &ue los errores mostrados son de tipo sistemático y tam"ién de"ido a la variacin del voltae y la frecuencia emitida por el osciloscopio. )e pudieron medir las divisiones usando el
•
formato XY del osciloscopio cumpliendo asi un o"etivo planteado. 7demás &ue se contemplaron estas guras cuando se instalaron am"os osciloscopios a distintas frecuencias$ las guras varia"an segGn la frecuencia entregada por el segundo osciloscopio$ estas se pueden
•
contemplar en los grácos &ue se introdueron en el presente informe. #ara poder realizar este la"oratorio solo se necesit un "uen maneo del osciloscopio lo cual es fundamental para este tipo de e*perimentos.
11.- BIBLIOGRAFIA
<9)9=7 %X#%89M%3+7L.
Manuel 8 )oria N edicion 01
8esnicT$ Polliday$ Orane=apacitancia <9)9=7 +omo ' ;U97 %X#%89M%3+7L <9)9=7 99 6>W. Microsoft =orporation$ 'I.
13.-CUESTIONARIO 1 D(=&+,*,
*"*%>*=("(
V xm =V ym =V m ; ω x =ω y =2 ω y φ =
?$(
+
("
%*+
($*&"(+
π 2
%* @#$,* '( L++*&$+ (+ $"* :*,&%*
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)i$ 2 D$*, %* @#$,* '( L++*&$+ :*,* @?D* E Dy
φ =0
. 3 P&,?$( %* @#$,* '( L++*&$+ ("(+ =+ $%(+ (,*%(+ ?$( &,&",*%(+ S D*Dy #or la diferencia de frecuencias a la cual se encuentra sometida 4 D$*, %* @#$,* :*,* K'D* E Dy
0?
. 5 E" ?$( '+:&+& =(*"& +( '(+,( $"* @#$,* '( L++*&$+ %l espirografo$ %s "astante parecido en aspecto a las curvas de Lissaous$ pero con pe&ueñas diferencias en cuanto a las Matemáticas su"yacentes.
0@
