Universidad Nacional de Colombia ´ Mediciones Electromagneticas
´ Practica 11: Circuito RC - Lissajous Carlos Garavito1 *, Gustavo Cruz2 , Pablo Achalacama3 , Nataly Neira4 Resumen ´ Este trabajo presenta el desarrollo de la practica experimental que tiene como objetivo determinar el desfase de onda que existe entre la corriente y el voltaje en un circuito RC alimentado con corriente alterna mediante el uso del osciloscopio y el concepto de las figuras de Lissajous. Se muestra que en un circuito RC conectado en serie, existe una dependencia de la corriente y el voltaje en el condensador con respecto a la frecuencia. Se da cuenta que el desfase entre la corriente y el voltaje es proporcional a la frecuencia. Palabras Clave Circuito RC – Ley de Kirchoff – Figuras de Lissajous 1 Codigo: ´
´ ´ ´ 133609,2 Codigo: 133824,3 Codigo: 1088648921,4 Codigo: 01134039
*Corresponding author:
[email protected] Abstract This paper presents the development of the experimental practice that aims to determine the wave missmatch between current and voltage in an RC circuit supplied with alternating current by using the oscilloscope and the concept of Lissajous figures. Shown that in a series connected RC circuit, there is a dependence of the current and the voltage across the capacitor with respect to frequency. This argument is shown from the Theoretical and experimental point of view.
´ Introduccion Sea el circuito RC de la figura 1
IR +
Q = V0 cos(ωt) C
(1)
Si se dice que I=
dQ = −ωQ0 sin(ωt + φ ) dt
(2)
Entonces, aplicando relaciones trigonom´etricas correspondientes a la suma de a´ ngulos y reemplazando la ecuaci´on 2 en 1, se tiene Figura 1. Circuito RC serie Por inspecci´on se tiene que la ecuaci´on del circuito es
1 sin(φ ))Q0 sin(ωt) + ... C 1 ... + (−ωR sin(φ ) − cos(φ ))Q0 cos(ωt) = V0 cos(ωt) C (3) (−ωR cos(φ ) −
´ Practica 11: Circuito RC - Lissajous — 2/4
La ecuaci´on 3 satisface para todo t, se puede evaluar por sustituci´on directa para valores particulares de ωt. Si ωt = 0,
(−ωR sin(φ ) +
1 cos(φ ))Q0 = V0 C
(4) Figura 3. Montaje Experimental
o bien, ωt = π/2 se tiene: 1 (−ωR sin(φ ) + cos(φ ))Q0 = 0 C
(5)
Lo cual se puede reescribir como tan(φ ) = −ωRC
(6)
Por tanto la ecuaci´on 6 es una expresi´on que da cuenta del desfase de onda en el circuito. Tambi´en se puede obtener una expresi´on para la carga del condensador, sustituyendo la ecuaci´on 6 en 5, donde se obtiene Q0 = CV0 cos φ
ya que por ley de Ohm, el voltaje en la resistencia ser´a proporcional a la corriente. Para lograr ver las figuras de Lissajous es necesario que el osciloscopio se encuentre configurado en la opci´on X-Y. De esta manera, existe una onda senoidal que es aplicada en el eje horizontal y otra onda tambi´en senoidal es aplicada en el eje vertical. Cuando estas ondas se encuentran a la misma frecuencia pero con un posible desfase, lo que aparecer´a en el osciloscopio ser´a una elipse. De tal manera que cuando dos ondas se encuentran desfasadas 90◦ en el monitor aparecer´a una circunferencia. En resumidas cuentas, las figuras de Lissajous grafican una funci´on param´entrica de la forma
(7)
Detalles experimentales Para ver el desfase de onda mediante la utilizaci´on del osciloscopio y las figuras de Lissajous, se realiza el montaje de la figura 2.
x = A sin(ωt) y = B sin(ωt + φ ) de donde se espera una figura como la mostrada en la gr´afica 4.
Figura 2. Montaje experimental Para ello, se puede hacer uso de resistencias variables y condensadores variables, para poder variar el τ del circuito. El montaje experimental se muestra en la figura 3.
Figura 4. Figura de Lissajous para dos ondas de igual frecuencia con un desfase φ
Como el osciloscopio es uun dispositivo de medici´on de voltajes, para estimar la corriente que circula por el circuito, se mide el voltaje en la resistencia,
De la g´rafica se puede apreciar que si x = 0 entonces y = B sin φ = y0 . Luego, la diferencia de fase se puede escribir por la expresi´on
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sin φ =
y0 y0 7−→ φ = sin−1 ym ym
(8)
Resultados Se hace el montaje mostrado en la figura 2, con los valores de resistencia y capacitancia constantes, y adem´as, se hace uso de un generador de frecuencia para trabajar una onda senoidal de frecuencia regulable. Se hicieron medidas del comportamiento de la corriente y el voltaje a diferentes frecuencias. Los resultados m´as relevantes se muestran a continuaci´on. Frecuencia 100Hz A frecuencias bajas el desfase entre la corriente y el voltaje es tan peque˜no que si se mira con respecto al tiempo, ambas gr´aficas ser´an pr´acticamente la misma, mientras que si se mira la gr´afica de Lissajous se notar´a una l´ınea recta.
Frecuencia 80KHz A una frecuencia de 80KHz la impedancia del capacitor es muy peque˜na entonces el voltaje que existe en el condensador tambi´en disminuye. Por ello, en la gr´afica de Lissajous vemos que el aporte del voltaje es m´ınimo resultando casi una l´ınea recta en el eje horizontal.
Figura 7. Forma de onda en el tiempo para el voltaje y la corriente a 80KHz y figura de Lissajous.
´ Analisis de los resultados En la figura 8 se muestran los resultados de las mediciones para el a´ ngulo de desfase seg´un la ecuaci´on 8 y el coseno de dicho a´ ngulo para la ecuaci´on 7 y en la figura 9 se muestran los respectivos gr´aficos.
Figura 5. Forma de onda en el tiempo para el voltaje y la corriente a 100Hz y figura de Lissajous.
Frecuencia 10KHz A una frecuencia de 10KHz es m´as notorio el desfase. Se nota en ambas gr´aficas, tanto en el dominio del tiempo, como en la de Lissajous.
Figura 8. Tabla 1
Figura 6. Forma de onda en el tiempo para el voltaje y la corriente a 10KHz y figura de Lissajous.
En la figura 9 mostramos la dependencia de la frecuencia en relaci´on a la amplitud de la carga Q0 y el a´ ngulo de desfase φ . Es de notar que cuando la cantidad ωRC es igual a uno, es porque el capacitor ha llegado a su tiempo de descarga media
´ Practica 11: Circuito RC - Lissajous — 4/4
A frecuencias muy altas es extremadamente dif´ıcil medir el desfase entre las dos ondas debido a que en la pantalla no se pod´ıan distinguir los cambios de y0 .
Referencias
Figura 9. a) φ vs ωRC y b) cos φ = VQ0C0 vs ωRC τ = RC = 10−5 s y es por eso que la amplitud de la carga empieza a decaer de forma m´as notable. Observe que para frecuencias bajas, en tiempos mucho m´as peque˜nos que τ, el a´ ngulo de desfase es pr´acticamente cero, como se hab´ıa predicho anteriormente.
Conclusiones Para frecuencias bajas la carga en el condensador est´a en fase con el voltaje de entrada. A frecuencias altas el desfase crece desde tiempos mayores a τ tendiendo a 90◦ . El desfase entre corriente y voltaje es dependiente de la frecuencia. La amplitud de la carga decae notablemente a partir de que el tiempo de descarga sea mayor a τ. Las figuras de Lissajous permiten ver de forma gr´afica el desfase que existe entre dos movimientos ondulatorios, necesariamente de forma senoidal, de lo contrario si las ondas no son de forma senoidal no se generar´a una elipse y el razonamiento matem´atico debe ser distinto.
[1]
˜ Carga y MARCO MAZO. DIANA CASTANO. descarga de un capacitor, 2009.
[2]
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL. Informe: circuitos rc, 2009.
[3]
Wikipedia. Circuitos rc, 2014.
