Trigonometría Ángulos en posición normal
Regular 3
ITMPI2T3
sigue: Desarrollo del Tema
I.
y P(x;y)
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
θ
Un ángulo trigonométrico está en Posición Normal si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X. Si el lado fnal está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina Angulo del Segundo Cuadrante y análogamente para lo otros cuadrantes. Si el lado fnal coincide con un eje se dice que el ángulo no pertenece a ningún cuadrante.
Ejemplos: a.
O
r = x2 + y2 , r ≥ 0
x = Abscisa y =Ordenada
y
β O
α β θ
x
α
Nota: El radio vector siempre es positivo
x
θ
∈ ∈ ∈
Senθ =
y = ORDENADA r RADIO VECTOR
ABSCISA Cosθ = X = r RADIO VECTOR
IC IIC IIIC
Tgθ =
y ORDENADA = x ABSCISA
y b. C tg θ =
x = ABSCISA y ORDENADA
Secθ =
r = RADIO VECTOR x ABSCISA
Cscθ =
r = RADIO VECTOR y ORDENADA
90° O
x
θ
90º ∉ a ningún cuadrante θ no está en posición normal
III. SIGNOS DE LA R.T R.T.. EN CADA CUADRANTE
II. RAZONES RA ZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Si θ es un ángulo cualquiera en posición normal,
Para hallar los signos en cada cuadrante existe una regla muy práctica.
sus razones trigonométricas se defnen como
Trigonometría / REGULAR 3
1
Integral Turno Mañana 2016 - I
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Regla Práctica y
Son Positivos:
(x; 12) 90° F
Sen Csc
90°
Todas 0°
180°
O
Tg Ctg
x
0
Cos Sec
Del gráfco observamos que x=0 ∧ r=y, por tanto:
270°
y (0; y)
IV. ÁNGULO CUADRANTAL Un ángulo en posición normal se llamará Cuadrantal cuando su lado fnal coincide con un eje. En conse-cuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 180º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfca” se escribirán en los extremos de los ejes.
y 90°
Sen 90° =
y r
=
y =1 r
Cos 90° =
x r
=
0 =0 y
90° IC
II C
0°
180° III C
O
Tg 90° =
y x
=
y = No defnido = ND 0
Ctg90° =
x y
=
0 = 0 y
Sec90° =
r x
=
y = No defnido =ND 0
Csc90° =
r y
= y =1
IV C
270°
Propiedades Si θ es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple: (0º < θ < 360º)
Si Si Si Si
θ θ θ θ
x
0
∈ IC ∈ IIC ∈ IIIIC ∈ VIC
R.T. de Ángulos Cuadrantales Como ejemplo modelo vamos a calcular las R.T. de 90º, análogamente se van a calcular las otras R.T. de 0º, 180º, 270º y 360º.
Trigonometría / REGULAR
3
0°
90°
180°
Sen
0
1
0
–1
0
Cos
1
0
–1
0
1
R.T
→ 0º < θ < 90º → 90º < θ < 180º → 180º < θ < 270º → 270º < θ < 360º
270°
360°
Tg
0
ND
0
ND
0
Ctg
ND
0
ND
0
ND
Sec
1
ND
– 1
ND
1
ND
1
ND
–1
Csc
2
y
ND
Integral Turno Mañana 2016 - I
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Problemas Resueltos
Problema 2
Problema 1 1. Si:
Problema 3 Si:
Halle "n" del gráfco, si:
1 θ∈ Cos θ = , IV C 16 2
2Ctg θ− 2 = 2
Ctgθ = 0,333...
Halle: G = 17 Sen θ – Cos θ
Calcule: M= 15 4
A)
Sec θ – Csc θ 1 – Ctg θ
B)
D) – 1 4
1 4
y
A) 2 D) 5
C) – 15 4
O
E) 4
2
A) 1 D) 1/2
15
θ 1
+
M=
C) – 2
–
4 1 + 1 5 1 1 + 5
θ ∈ IIIC
17
Ctgθ = 0, 333...
↓
(–4;–1)
x = 0, 3 y
4+ 4 1 15 M= 1 1+ 15
1 Ctg θ = 22
θ
–4
–
Ctg θ− 2
Ctg θ = 4
Piden; n = ? Dato:
Sec θ – Csc θ Sec θ + Csc θ ⇒M= 1 – Ctgθ 1 + ctg θ
M=
B) 2 E) – 1/2
Resolución:
1 Cos θ = θ ∈ IVC 4
C) 4
Ctg θ – 2 = 1 Ctg θ 2
P(n-1;4n-1)
4
B) 3 E) 6
Resolución:
x
Resolución:
Ctg θ
–1
n – 1 = 3 4n – 1 9
E = 17 Sen θ – Cos θ
3(n – 1) = 4 – 1
⇒ M= 4
E = 17 –1 – −4 → E = 3 17 17
3n = 3 = 4 – 1 n = – 2 Respuesta: C
Respuesta: E
Respuesta: B
Problemas de Clase
2.
NIVEL I
1.
(Sec60°)Ctg θ –2 = (Csc45°)Ctg θ y θ pertenece al IIIC, calcular el valor de la expresión: Cos θ (0,5 Senθ + 2Cosθ) A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2
A qué cuadrante pertenece el ángulo θ, si se cumple que: Sen θ> Sen2π y Ctgθ
Trigonometría / REGULAR
3
Si:
3
Integral Turno Mañana 2016 - I
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL 3.
Si se tiene que: (Tg40°)1+Secα = (Ctg50°)2Secα+3 donde α ∈ IIIC, calcular 4Senα + 2Tgα A) – 3 B) – 2 C) – 1 D) 0 E) 1
8.
Sen1. Cos5 Ctg2. Sec6 y Tg3 Csc4 A) (+); (+) D) (–); (–)
NIVEL II
4.
Siendo a y b ángulos en posición normal del segundo y tercer cuadrante respectivamente y
9.
Tga= – 0,5 3 y Ctgb = 7 Sena Calcular el valor de: 3 Secb – 7 Seca A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 3/2 E) 2 5.
Si Senθ = 0,75 y Ctg θ < Ctg de:
7 (Secθ – Tgθ)
A) – 1
E)
B) (+); (–) E) N.A
C) 1/7
11. Señale el signo de: E = Sen200° + Tg100° Cos300° A) + B) – D) + y – E) N.A
7
De la fgura, calcular el valor de: Ctg α – Cscα y
α
12. Señale el signo de: E = Cos120°Tg210° + Sec250° A) + B) – D) + y – E) N.A
x
1 – 2a
C) (–); (+)
A qué cuadrante pertenece α, si se cumple: Cos αTg180° A) IC B) IIIC C) I y IIIC D) II y IIIC E) IIC
10. En qué cuadrante se halla α si: SenαCos α<0; Secα<0 A) IC B) IIC D) IVC E) N.A
3π . Calcular el valor 2
B) – 1/7
D) 1 6.
Determinar los signos de las siguientes expresiones; respectivamente:
C) IIIC
C) + ó –
C) + ó –
13. Si: α ∈ IIC y β ∈ IIIC , señale el signo de: E = Senα Cosβ A) + B) – C) + ó – D) + y – E) N.A
(2a; 1 + a)
NIVEL III
A) 2 D) 5 7.
B) 3 E) 6
C) 4 14. Si α ∈ IIC y θ ∈ IVC. Hallar los signos de las siguientes expresiones respectivamente Sen θTgα y Cosα – Sec θ A) (+); (+) B) (+); (–) C) (–); (+) D) (–); (–) E) N.A
De la fgura, calcular Ctg θ (2, 4)
y
θ
15. Dada la siguiente ecuación: xSec0 + (x – 1) Tgπ – (x + 1)Sen(3π /2)=x2 Cosπ+Cscπ /2 el valor negativo de "x" es: A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5
x 6
A) 1/3 D) 3
B) 1/2 E) 4
Trigonometría / REGULAR
C) 2
3
4
Integral Turno Mañana 2016 - I
