INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTLA GUTIÉRREZ
Ingeniería Eléctrica
Métodos Numéricos MC. Mario Alberto de la Cruz Padilla
MÉTODO DE LA FALSA POSICION CON MATLAB Manual del usuario Por: Beltrán Gutiérrez Julio Sinuhé Jiménez Morales Rodolfo Lara Jiménez José David Robles González Antonio de Jesús Sánchez Alegría Avisaí.
Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; a 04 de Marzo de 2011.
CÁLCULO DE LA RAÍZ DE UNA ECUACIÓN POR EL MÉTODO DE LA FALSA POSICION USANDO MATLAB. Se realizó un programa en MATLAB que nos permitirá conocer la raíz de una ecuación no lineal empleando el método de la falsa posición. Al iniciar, el programa nos pedirá introducir una ecuación no lineal en función de la variable x . Escribimos la ecuación y presionamos ENTER.
Después de esto se mostrara en pantalla la gráfica de dicha función. Será necesario detectar un punto de corte de la gráfica en el eje “x” (visualizar una posible raíz).
En seguida, se solicitará un valor al lado izquierdo del punto de corte.
Posteriormente le solicitara un valor a la derecha del punto de corte. La grafica es necesaria para así tener la certeza de que entre medio de los puntos dados, efectivamente haya una raíz.
En seguida se mostrara un menú con dos opciones, esto para detener el proceso de cálculo de la raíz, ya sea al alcanzar un porcentaje de error o por el número de iteraciones que el usuario desee.
Deberá elegir una de estas dos opciones: Al teclear 1 la raíz se aproximará por cierto porcentaje de error, y tecleando 2 se calculará por cierto número de iteraciones.
Si se elige la opción 1 el programa le pedirá introducir un porcentaje de error deseado. Al llegar a este porcentaje el programa detendrá las operaciones y mostrara en pantalla una tabla de los cálculos realizados por este método y debajo de ésta una aproximación de la raíz.
Si se elige la opción 2 el programa solicitara el número de iteraciones que desea realizar para obtener la raíz. Usted ingresa el numero deseado le da ENTER y el programa lleva a cabo el proceso, para después despliega una tabla y muestra una aproximación.
Al final del proceso, el programa solicitará que se elija una opción: si desea calcular la raíz de otra ecuación debe elegir la opción 1, de lo contrario elegir 2 para salir y regresar a la pantalla de comandos.
COMANDOS UTILIZADOS EN LA PROGRAMACION •
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disp(‘Hola mundo’): Permite al usuario visualizar el texto o datos de un programa que se escriben entre los apóstrofes. fprintf(‘Hola mundo’): Es parecido al comando disp, la diferencia está en que este comando tiene mas posibilidades de visualización gráfica. input(´Dame un valor’): Este comando se utiliza para pedir al usuario un dato de entrada, además permite visualizar el texto que se escribe dentro de los apóstrofes. syms x,y,z,etc: Sirve para que Matlab reconozca a las letras como variables(símbolos). ezplot(f): Grafica la función(simbólica) que se escribe dentro de los paréntesis. eval(f): Evalúa la función que se escribe dentro de los paréntesis. swith: Instrucción de programación, sirve para hacer una estructura selectiva múltiple, su sintaxis es la siguiente, switch ( variable ) case constante1 : // Bloque de instrucciones 1 break; case constante2 : // Bloque de instrucciones 2 break; . . . case constanteN : //Bloque de instrucciones N break; otherwise: // Opcional // Bloque de instrucciones N+1
end •
if-else: Instrucción de programación, evalúa una condición (expresión condicional, lógica o aritmética) y ejecuta instrucción(es) si la condición se cumple o no. Su estructura de programación es la siguiente, if expresión condicional Acciones si la expresión resulta ser verdadera; else Acciones si la expresión resulta ser falsa; end
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for : instrucción de programación, es utilizada para ejecutar un bloque de sentencias un número fijo de veces, que es igual a valor final menos el valor inicial dividido (ambos) entre el incremento. La sintaxis de su construcción es la siguiente, for declaración o iniciación de la(s) variable(s) : condición(es): incremento(s) // Proceso(s); end
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while: Instrucción de programación, evalúa una condición (expresión), si esta es verdadera (diferente de cero), entonces ejecuta el o los procesos nuevamente (y así sucesivamente mientras que sea verdadera), en caso contrario, se da por terminado el proceso iterativo. Se estructura es la siguiente, while condición // Proceso(s); end
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clc: Limpia la pantalla de comandos de matlab.}
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clear all: Borra la memoria de matlab.
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close all: Cierra todas las ventanas secundarias que se abren durante un proceso tales como la de traficación.
LÓGICA UTILIZADA EN LA PROGRAMACIÓN Utilizamos el comando de programación switch para hacer un menú de opciones en el cual nos dé la opción de detener el proceso ya sea por un porcentaje de error deseado o por un determinado número de iteraciones, porque este método (falsa posición) permite hacerlo de esa manera, es decir el usuario elige que tan cerca o lejos quiere llegar al resultado. Para el primer caso (porcentaje de error deseado), xa es el punto de corte hacia la izquierda y xb el de la derecha después hacemos un proceso en el xa se igual a x y le pedimos a matlab que evalué la función respecto a ese valor, lo mismo sucede con xb. Después asignamos un valor de uno a fm igual a cero para que en el primer cálculo del error sea 100%. Seguimos con la condición while et>e, donde al principio de esta ciclo et tiene un valor de 100, esto es porque el máximo porcentaje de error entrada e permitido es de 100 y principalmente para que el proceso continúe o no. Esta es la parte fundamental del programa. Dentro de esta condición, calculamos xr (x falsa), después igualamos a x para poder evaluarla, a esa evaluación la llamamos fr , después calculamos un nuevo error, es decir et deja de ser 100. Ahora para nuevos valores de xa y xb en la siguiente iteración utilizamos una condición if , porque sabemos que si el producto de f(xb)*f(xr)<0 la raíz se encuentra en [ xr ,xb], ó si el producto de f(xb)*f(xr)>0 la raíz se encuentra en el intervalo [ xa, xr ], si se encuentra en la primera condición hacemos un proceso para que la nueva xa valga xr , y lógicamente un proceso donde la nueva fa sea igual a fr ; hasta aquí fb y xb sigue siendo las mismas, , esto es suficiente para calcular la nueva xr y completar esta iteración. Si no se encuentra en esta condición entonces hacemos un proceso para que la nueva xb tenga el valor de xr ; lo mismo sucede con la condición anterior, lógicamente no es necesario calcular la nueva fb porque si xb tomará el valor xr la evaluación de fb será la misma fxr , y así completamos la primera iteración, lo mismo sucede con la siguiente iteración si se cumple la condición hasta que et (error de iteración) se mayor que la proporcionada por el usuario e.
El segundo caso (por numero de iteraciones), en lugar de un ciclo while utilizamos una condición for para para que realice el proceso desde ni (numero de iteraciones)=0 hasta n(numero de iteraciones proporcionada por el usuario), y lo que sigue, los cálculos de xr se hacen como en el caso anterior. Como en el proceso didáctico de la utilización de este método se forma una tabla, utilizamos los comandos fprintf y disp para mostrar una tabla en pantalla los valores de xa, xr(x falsa),xb, f(xa), f(xr), f(xb) y et(error). También para comodidad del usuario, en elegir los puntos xa y xb, graficamos la función con el comando ezplot.
CÓDIGO DE PROGRAMACIÓN EN MATLAB: fprintf('\nCÁLCULO DE LA RAÍZ DE UNA ECUACIÓN NO LINEAL POR EL MÉTODO DE LA FALSA POSICION\n\n'); syms x; f=input('Escriba la Función f(x)= ' ,'s'); ezplot(f); grid on; fprintf('\nSe generó la gráfica de la función, revísela\n' ); fprintf('\n::: Visualice un punto de corte de la gráfica de la función con el eje x :::\n\n'); xa=input('Deme un valor a la izquierda del punto de corte: ' ); xb=input('\nDeme un valor a la derecha del punto de corte: ' ); fprintf('\n\nDesea detener el proceso... ' ); fprintf('\n\n 1 Al alcanzar cierto porcentaje de error' ); fprintf('\n 2 Por el número de iteraciones' ); opcion=input('\n\nIntroduzca 1 ó 2: ' ); x=xa; fa=eval(f); x=xb; fb=eval(f); et=100; fm=0; switch opcion; case 1 e=input('\nPorcentaje de error deseado: ' ); ni=0; fprintf('\n ::::::::::::::: TABLA ::::::::::::::: \n' ); fprintf('\n Iteración xa xr xb f(xa) f(xr) f(xb) Error \n\n' ); while et>e; xr=xb-fb*(xb-xa)/(fb-fa); x=xr; fr=eval(f); et=abs((fr-fm)/fr)*100; disp([ni,xa,xr,xb,fa,fr,fb,et]) if fb*fr<0 xa=xr; fa=fr; else xb=xr;
fb=fr; end if et>> La raíz aproximada es: \n' ); fprintf(' x= %d\n\n',xr) end ni=ni+1; fm=fr; end m=input('Desea calcular la raiz de otra ecuación, si(1) no(2):' ); if(m==1); clc; clear all; close all; FALSAPOSICION; else clc; clear all close all; break end case 2 n=input('\nNumero de iteraciones a realizar: ' ) fprintf('\n ::::::::::::::: TABLA ::::::::::::::: \n' ); fprintf('\n Iteración xa xr xb f(xa) f(xr) f(xb) Error \n\n' ); for ni=0:n xr=xb-fb*(xb-xa)/(fb-fa); x=xr; fr=eval(f); et=abs((fr-fm)/fr)*100; disp([ni,xa,xr,xb,fa,fr,fb,et]) if fb*fr<0 xa=xr; fa=fr; else xb=xr; fb=fr; end fm=fr; if ni==n fprintf('\n>>> La raíz aproximada es: \n' ); fprintf(' x= %d\n\n',xr) break end end m=input('Desea calcular la raiz de otra ecuación, si(1) no(2):' ); if(m==1); clc; clear all; close all; FALSAPOSICION else clc; clear all close all; break end otherwise fprintf ('\n\nOpción no válida, VUELVA A CORRER EL PROGRAMA!!!\n\n' ); end
