Operaciones Proposicionales y Lenguaje Formal Pensamient Pensamiento o Matemático Matemático Activid Actividad ad 3 - Solución Solución
Agosto/2016
1. Simboliza las siguientes proposiciones en lenguaje formal y determina, por medio
de una tabla de verdad, sí se trata de una contradicción, una tautología o una contingencia. (a) Claudia Claudia le dice a Victor: si nos casamos y no terminamos terminamos,, entonces entonces nos casamos o no hay fiesta. Sol.
Tomamos como proposiciones simples los siguientes enunciados: Q: Nos casamos , P: Terminamos y R: Hay fiesta . Ahora traduciendo la proposición anterior tenemos lo siguiente: "Si Q y no Pentonces Q o no R". Lo cual una vez traducido por completo al lenguaje formal nos queda como sigue: (Q ∧ ¬P) −→ (Q ∨ ¬R).
Q
P
R
¬P
¬R
Q ∧ ¬P
Q ∨ ¬R
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
F F V V F F V V
F V F V F V F V
F F V V F F F F
V V V V F V F V
(Q ∧ ¬P) −→ (Q ∨ ¬R) V V V V V V V V
Por lo tanto tenemos que es una TAUTOLOGÍA. (b) Mariana Mariana le dice a Juan que si se casa con ella, entonces entonces se pondrá feliz y Mariana se pone feliz, entonces Juan se casará con ella. Proposiciones simples:
Q: Juan se casa con ella , P: Mariana se podrá feliz . Traduciendo: "(Si Q entonces P) y (P entonces Q)". Nos queda: (Q −→ P) ∧ (P −→ Q).
Q
P
V V F F
V F V F
Q
−→
V F V V
P
P −→ Q
V V F V
(Q −→ P) ∧ (P −→ Q) V F F V
Por lo cual vemos que es una CONTINGENCIA.
Pensamiento Matemático
Actividad 3
(c) Luis le dice a su hijo que lo llevará al parque y a comer una hamburguesa, pero que no lo llevará al parque o a comer una hamburguesa. Proposiciones simples: Q: Luis llevará a su hijo al parque Y P: Luis lleva a su hijo a comer una hamburguesa. Traduciendo directamente al lenguaje formal: (Q ∧ P) ∧ ¬(Q ∨ P).
Q
P
V V F F
V F V F
Q
¬
Q∧P
F F V V
¬(Q ∨
V F F F
F F F v
P)
(Q ∧ P) ∧ ¬(Q ∨ P) F F F F
Por lo cual vemos que es una CONTRADICCIÓN.
2. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones por medio de una tabla
de verdad. (a) P −→ (Q −→ (R −→ S)) ⇒ R −→ (P −→ (Q −→ S)) Sol.
R −→ S Q −→ (R −→ S) P −→ (Q −→ (R −→ S)) Q −→ S P −→ (Q −→ S) R −→ (P −→ (Q −→ S)) P −→ (Q −→ (R −→ S)) ⇒ R −→ (P −→ (Q −→ S))
P
Q
R
S
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
Page 2
Pensamiento Matemático
Actividad 3
(b) P −→ Q ↔ ¬P ∨ Q Sol.
P
Q
V V F F
V F V F
P
P
¬
−→
F F V V
Q
¬P ∨
V F V V
Q
P
−→
V F V V
Q
↔ ¬P ∨
Q
V V V V
(c) P ∨ Q ↔ ¬P −→ Q Sol.
P
Q
V V F F
V F V F
P
P∨Q
¬
F F V V
¬P −→
V V V F
(d) (P −→ Q) −→ R
,
Q
P∨Q
V V V F
¬(P −→
↔ ¬P −→
Q
V V V V
Q) ∨ ¬R
⇒ ¬P ∧ ¬Q
Sol. P Q R ¬P ¬Q ¬R P −→ Q ¬(P −→ Q) ¬(P −→ Q) ∨ ¬R R ∧ (¬(P −→ Q) ∨ ¬R) (P −→ Q) −→ (R ∧ ¬(P −→ Q) ∨ ¬R) ¬P ∧ ¬Q (P −→ Q) −→ R ∧ ¬(P −→ Q) ∨ ¬R ⇒ ¬P ∧ ¬Q V V V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V V F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V F V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V F F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F V V V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
F V F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F F V V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F F F
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
(e) P ∧ Q
,
¬P ⇒
R
Sol.
P
Q
R
¬P
P∧Q
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
F F F F V V V V
V V F F F F F F
P∧Q
,
¬P
P ∧ Q ∧ ¬P ⇒ R
F F F F F F F F
V V V V V V V V
Page 3
Pensamiento Matemático
Actividad 3
(f) P −→ Q P −→ ¬Q ⇒ ¬P ,
Sol.
P Q ¬P ¬Q P −→ Q P −→ ¬Q (P −→ Q) ∧ (P −→ ¬Q) P −→ Q P −→ ¬Q ⇒ ¬P ,
