Por medio del método de la falsa posición aproxima una raíz de la ecuación.
() Teniendo en cuenta los siguientes parametros: a).- Verifica que la raíz está en el intervalo [1,2]. b).- Calcula hasta la quinta iteración. c).- Con la cuarta y quinta iteración calcula el error relativo de la aproximación para la última iteración, indicando la cantidad de cifras significativas correctas según el error relativo.
Análisis y solución del problema 1. Antes de resolver el problema verificamos que entre 1 y 2 existe una raíz; para esto evaluamos la función
() En los extremos del intervalo obteniendo:
() Y () Como Podemos observar hay un cambio de signo en los resultados obtenidos obtenidos al poner los valores de 1 y2 en la función por lo que se observa que hay un cambio de un lado negativo a uno positivo por lo que en algún punto entre este intervalo hay un punto de corte con en el eje X 2. Para aproximar la raíz según el método de la falsa posición, calculamos la primera iteración con la fórmula:
. Para la segunda iteración elegimos los extremos del intervalo en el que se encuentra la raíz. De esta forma, como y , esto implica que la raíz está entre 1.603799 y 2 (aquí 2 será un punto fijo). Continuando estas iteraciones obtendremos:
() ()
Intervalo de la raíz
Valores de la función
Iteración
Extremo izquierdo,a
1
1.000000
1.603799 2.000000
4.778112
2
1.603799
1.721776 2.000000
4.778112
3
1.721776
1.741652 2.000000
4.778112
4
1.741652
1.744898 2.000000
4.778112
5
1.744898
1.745426 2.000000
4.778112
Extremo derecho,b
La quinta iteración da como aproximación 1.745426
3. Calculamos un error relativo dado a que esta forma para hallar raíces tiene un margen de error y para ello utilizamos la fórmula:
| | | | | | Con esto podemos ver que el erro que se está cometiendo en la exactitud para este método es pequeño
Grafica de la función Grafica No 1
Grafica No 2
Teniendo la gráfica de la función podemos observar que si hay efectivamente una raíz en la función y está en el intervalo dado al principio del ejercicio
Conclusiones 1. El método de falsa posición sirve para hallar raíces aplicando conceptos básicos de trigonometría mas no es un método exacto 2. Cuando aplicamos este método a cualquier función lo recomendable seria que se hiciera primero un bosquejo de la gráfica y se definiera los intervalos entre los cuales este método se va a utilizar 3. Sin hacer una gráfica resulta bastante difícil definir bien cuál de los dos valores se va a reemplazar. 4. Para este caso no tuvimos problema alguno puesto que haciendo un análisis de cuál de los dos intervalos al calcular la función era mayor o menor a 0 podíamos determinar qué valor debería correrse. Pero en el caso de tener funciones como parábolas donde ambos valores pueden ser positivos o negativos sería mejor hacer el grafico 5. Este método no ofrece un cálculo exacto de la raíz sino uno muy aproximado
TRABAJO No 2 DE METODOS NUMERICOS
TRABAJO DE FALSA POSICION
JUAN MANUEL IBARRA CASTRO
CÓD. 2011198414
TRABAJO PRESENTADO EN LA ASIGNATURA METODOS NUMERICOS PROFESOR: YAMIL ARMANDO CERQUERA ROJAS
UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA, PETRÓLEOS NEIVA, septiembre 11 2013
