Grupo 5 - Probabilidades

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR Integrantes Grupo N 5: Edison Jimenez, Danilo Collaguazo, Henry Vivanco, Beto Roca o

PROBABILIDADES

ii

Grupo N µz 5.

Contents 0.1

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I CAPITULO 1 0.2 INTRODUCCIÓN . . 0.3 Reseña Histórica . . . 0.3.1 Variaciones . . 0.3.2 Permutaciones 0.3.3 Combinaciones

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. v ii . v ii . viii . ix . ix

II CAPITULO 2

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0.4 0.4 El conce oncept ptoo de Prob Probaabil bilidad dad . . 0.5 Algebra de Eventos . . . . . . . 0.6 Sucesos . . . . . . . . . . . . . 0.6.1 Suceso elemental: . . . . 0.6.2 Suceso seguro: . . . . . 0.6.3 Suceso impos posible: . . . . 0.6.4 Suceso compuesto: . . . 0.6.5 Suceso compatible: . . . 0.6. 0.6.66 Suce Suceso so inco ncompat patibl ible: . . 0.7 0.7 De…ni e…nici ción ón de Pro Probabi babillidad idad . .

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III ANEXOS

xiii xiii xiii xiv xiv xiv xiv xiv xiv xiv xiv xiv xiv

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0.8 CONSULTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix 0.8. 0.8.11 EL CONC CONCEP EPTO TO DE PROB PROBAB ABIL ILID IDAD AD . . . . . . . . . . xix xix 0.8. 0.8.22 DEFI DEFINI NICI CIÓN ÓN DE PROB PROBAB ABIL ILID IDAD AD . . . . . . . . . . . . xix xix 0.8.3 El álgebra boo booleana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix 0.8. 0.8.44 0.8. 0.8.55 0.8. 0.8.66 0.8.7

Diagr agramas amas de Venn enn . . . . . . . . Oper Operac acio ione ness entr entree conj conjun unto toss . . . Teore eorema ma de la prob probab abil ilid idad ad tota totall Teorema de Bayes . . . . . . . . iii

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xxi xxii xxii xxiiii xxv xxv xxvi

 

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CONTENTS 

0.8.8 Distribucion De Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii 0.8.9 Teorema de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxix 0.8.10 La paradoja de Braess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxx 0.8.11 Teorema de limite de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiii 0.8.12 Teorema de Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiv 0.8.13 Error 6 Sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxv 0.8.14 Variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxv 0.8.15 Alfabeto Griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxviii 0.9 Ejercicios 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxviii 0.9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lv 0.10 Ejercicios 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lv 0.10.1 Ejercisio de Probabilidades de geometria: . . . . . . . . . lxii

IV Vocabulario: 0.11 Probabilidad: . . . . . 0.12 Experimentos:  . . . . . . 0.13 Aleatorios: lxix 0.14 Combinatorio: . . . . . . 0.15 Interpretacion: . . . . . 0.16 Varianza: . . . . . . . . 0.17 Esperanza: . . . . . . . 0.18 Variables Cualitativas :   . 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24

0.1

lxvii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxix . . . . .

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Variables cuantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxii Variables independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxii Variables dependientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxii Concepto de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxii Regla de la adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxiii Regla de la multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxiii

Part I

CAPITULO 1

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0.2. INTRODUCCIÓN 

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0.2 INTRODUCCIÓN La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. ¿Qué es probabilidad? Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurrirá un evento en la que sus valores se asignan en una escala de 0 a 1. En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz.. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre. En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre. La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar con situaciones de este tipo; Por otra parte, cuando aplicamos las técnicas estadísticas a la recogida, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la …abilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al importante papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística, es necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el objetivo del presente tema.

0.3

Reseña Histórica

No es claro el momento donde puede situarse el origen de la teoría de las probabilidades. El primer tratado que se conoce sobre el tema son los escritos del matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576) sobre los juegos de azar, que fueron publicados después de su muerte bajo el título Liber de Ludo Aleae (Libro sobre los juegos del azar). Sin embargo, los primeros intentos de cuanti…cación de las posibilidades de ocurrencia de sucesos, en forma cientí…ca, datan de mediados del siglo XVII. En 1654, los matemáticos franceses Blas Pascal y Pierre Fermat discutieron epistolarmente la idea de evaluar las posibilidades a favor y en contra de algunos  juegos de azar. Así aparece la primera de…nición de probabilidad: si un evento puede suceder de p maneras dentro de un conjunto de s formas igualmente probables, entonces la probabilidad del evento es p/s. En la actualidad es fácil ver que esta de…nición presenta algunas di…cultades, una de ellas es que el concepto de "formas igualmente probables" no puede de…nirse sin utilizar la noción de probabilidad misma, y de esa manera se realiza una de…nición circular.

viii Peor que esa, es el hecho de que muchas veces las formas posibles, s, aparecen como in…nitas en número, por lo que no es posible evaluar el cociente Posteriormente, en 1658, Christiaan Huyghens, un joven holandés que tuvo acceso a las cartas que intercambiaron Pascal y Fermat, profundizó las ideas de ambos sobre la incertidumbre y el azar en una pequeña monografía llamada De Ratiociniis in ludo aleae. (El razonamiento en los juegos del azar). Este segundo libro sobre la teoría de las probabilidades marcó el camino sobre el que se desarrollaría esta ciencia. Algunos años después el suizo Jaques Bernouilli (1655-1705) publicó su libro Ars Conjectandi (El Arte de las Conjeturas) donde aparecen, por primera vez, las fórmulas y leyes básicas de la teoría de las probabilidades. En la obra de Bernouilli se presenta por primera vez el inconveniente de que no siempre puede calcularse la probabilidad de un evento contando casos favorables y desfavorables. Muchas veces uno cuenta con la información de lo que ocurrió y deben deducirse las probabilidades correspondientes. Esto cambia la de…nición misma de probabilidad: ahora pasará a representar la frecuencia esperable con que ocurra un determinado suceso. J. Bernouilli enuncia la ley de los grandes números que señala que la frecuencia con que ocurra un evento tiende a la probabilidad cuando el número de casos contados tiende a in…nito. De esta manera muchas probabilidades pueden determinarse a posteriori, es decir deducirlas a partir de la observación de un gran número de casos. El desarrollo posterior de la teoría de las probabilidades está asociado con el nombre del matemático francés Marqués Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), que en 1975 publica su Essai philosophique sur les probabilités (Ensayo Filosó…co sobre las Probabilidades). En él comenta que el origen del azar en un sistema físico proviene de la ignorancia que tenemos de todos los factores que in‡uyen en un fenómeno dado: Todos los acontecimientos, incluso aquellos que por su insigni…cancia parecen no atenerse a las grandes leyes de la naturaleza, no son sino una secuencia tan necesaria como las revoluciones del sol. Al ignorar los lazos que los unen al sistema total del universo, se los ha hecho depender de causas …nales o del azar, según que ocurrieran o que sucedieran con regularidad o sin orden aparente, pero estas causas imaginarias han ido siendo descartadas a medida que se han ido ampliando las fronteras de nuestro conocimiento, y desaparecen por completo ante la sana …losofía que no ve en ellas más que la expresión de nuestra ignorancia de las verdaderas

0.3.1 Variaciones Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m los distintos grupos formados por n elementos de forma que: * No entran todos los elementos. * Sí importa el orden.

n) a

0.3. RESEÑA HISTÓRICA

ix

* No se repiten los elementos. V nk = m(m

 1)(m  2)(m  3):::(m  n + 1)

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales: V nk =

n! (n

 k)!

0.3.2 Permutaciones * Sí entran todos los elementos. * Sí importa el orden. * No se repiten los elementos. P n  =  n!

0.3.3 Combinaciones Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: * No entran todos los elementos. * No importa el orden. * No se repiten los elementos. C nk  =

V nk P n

* También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales: C nk  =

n! k!(n k)!



x

Part II

CAPITULO 2

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0.4. EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD

 

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0.4 El concepto de Probabilidad Las preguntas más importantes de la vida son, para la Mayor parte, realmente solo problemas de probabilidad Pierre Simón Laplace En la naturaleza y en la vida cotidiana se presentan fenómenos cuyo resultado se determina anticipadamente mediante la aplicación de ciertas leyes o fórmulas; por ejemplo, los resultados de mediciones geométricas, los cálculos …nancieros o ciertos procesos físicos. También existen fenómenos cuyo resultado no puede ser anticipado con certeza, sino que existe una probabilidad de que un cierto resultado se dé. Examinemos algunos ejemplos: el número de dardos que lanzara un jugador antes de dar en el blanco, los años que sobrevivirá un conyugue a la muerte de su pareja o el número de autos que pasan por una esquina durante una hora determinada. Es evidente que nadie puede dar un resultado certero con anticipación q que los tres eventos considerados se sucedan, entonces si se da una respuesta existe una incertidumbre en el resultado. Para dar una explicación matemática a aquellos resultados que aparecen en experiencias de este tipo de desarrollo la teoría de probabilidades.

0.5

Algebra de Eventos

Examinemos un ejemplo: “el lanzamiento de un dado una sola vez”. Como resultado de la prueba pueden producirse diferentes sucesos. “Sale dos”, “sale cinco”, “el número que aparece es par”, etc. Esto nos conduce a de…nir los eventos. De…nición 2.1 (de evento) Se llaman eventos a todos los resultados posibles de un experimento u otra situación que involucre incertidumbre. Los eventos se clasi…can en: elementales, aquellos que constan de un solo resultado; y compuestos, que consisten de más de un resultado. Por ejemplo, “sale dos” es un evento elemental; mientras que “el número que aparece es par” es un elemento elemental; mientras que “el número que aparece es par” es un evento compuesto, porque está conformado de los eventos elementales “sale dos”, “sale cuatro” y “sale seis”. Observemos que todo evento relacionado son una prueba puede ser descrito en base a eventos elementales. A los eventos elementales se los notará como  $ . De…nición 2.2 (de espacio muestral) la colección de todos los eventos elementales, notado por   , se denomina espacio muestral. = $ $  es evento elemental

xiv

0.6 Sucesos 0.6.1 Suceso elemental: Es cada uno de los elementos que forman parte del universo

0.6.2 Suceso seguro: Está formado por todo lo posibles sucesos es decir es   = 1

0.6.3 Suceso imposible: Es aquel que no tiene ninguún elemento es decir es igual al vacío = 0;

0.6.4 Suceso compuesto: Es cualquier subconjunto del espacio muestral

0.6.5 Suceso compatible: Dos sucesos A y B son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

0.6.6 Suceso incompatible: Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no tienen ningún suceso elemental común.

0.7

De…nición de Probabilidad

Cuadro 2.1: Equivalencias entre proposiciones de la teoría de probabilidades y de los conjuntos. Entonces un evento no es más que un subconjunto del espacio muestral . Señalemos que el conjunto de espacio muestral fue introducido por Galileo para resolver el problema de por qué en el lanzamiento de tres dados “10” y “11” aparecen más frecuentemente que “9” y “12”. Para resolverlo enlisto todos los casos posibles. Volviendo a nuestro ejemplo, si representamos por un número el que sale en la prueba de arrojar un dado, tenemos: Espacio muestral: = 1; 2; 3; 4; 5; 6 A= el número que sale es  par  = 2; 4; 6 Como los eventos se han asociado a conjuntos, es natural pensar que sus operaciones tienen algún signi…cado como eventos.

0.7. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

xv

Sean A y B dos eventos de y x el resultado de un experimento, en el Cuadro 2.1 se presenta una a…rmación relativa a los eventos A y B y su equivalencia en la teoría de conjuntos. Es claro que estos conceptos se extienden a cualquier sucesión de eventos. 2.3 De…nición de Probabilidad Una probabilidad provee una descripción cuantitativa de la posibilidad de ocurrencia de un evento particular y se puede pensar que su frecuencia relativa, en una serie larga de repeticiones de una prueba, en la que uno de los resultados es el evento de interés. Formalmente, la probabilidad de un evento A se de…ne como una función que cumple:

xvi

Part III

ANEXOS

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0.8. CONSULTAS 

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0.8 CONSULTAS 0.8.1 EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD Interpretación de los conjuntos como eventos: a) Ocurre el evento A. b) Ocurre A  u ocurre  B (A B = 0)  .f) No ocurre A (ocurre  Ac ) A1. Para todo eventoA : 0 < P r(A) < 1: A2.P r( ) = 1: A3. Si A y B son incompatibles: P r(AuB) =  P r(A) + P r(B): De aquí no es difícil demostrar que en general P r(AuB) =  P r(A) + P r(B)

 P r(AnB)

Conocida como fórmula de la probabilidad para la unión. Ejemplos. 1. Dados los eventos A, B y C del espacio muestral S, expresar mediante las operaciones entre conjuntos los eventos: a) Tan solo ocurre A. b) Si ocurre A, no ocurre B. c) Por lo menos uno de los dos eventos ocurren. Solución: a) puede ocurrir A, y simultáneamente no ocurre B y no ocurre C; es decir que el evento es b) si no ocurre B entonces ocurre Bc; es decir que “si ocurre A, también ocurre BC” , el evento es

0.8.2 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD a)

P r(AC ) = 1

 P r(A):

b) Si A B entoncesP r(A) < P r(B): Solución: a) =   AUAc   (con A y Ac disjuntos), entonces por A3. P r( ) = P r(A) + P r(Ac)yporA2:P r( ) = 1;  con lo que se obtiene: 1 =  P r(A) + P r(Ac) y el resultado es inmediato. b) Si A C B entoncesB =  AU (AcnB) siendo A y  (AcnB) incompatibles; por lo tanto por A3

0.8.3 El álgebra booleana El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " o " de…nido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.

xx Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un oper-

ador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo. Se dice que un operador binario "o " es conmutativo si  Ao B =  B o A  para todos los posibles valores de  AyB: Asociativo. Se dice que un operador binario  "o " es asociativo si  (Ao B)o C  = o o A (B C )  para todos los valores booleanos  A;B; yC: Distributivo. Dos operadores binarios  "o "y"%" son distributivos si Ao (B%C ) =  (Ao B)%(Ao C )  para todos los valores booleanos  A;B; yC: Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario  " o "  si  A o I  =  A: Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un o operador booleano  " "si  A o I  =  B , y  B  es diferente de  A , es decir,  B  es el valor opuesto de  A: Leyes fundamentales El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones de…nidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único. 1. Ley de idempotencia: a:a = a a + a = a

2. Ley de involución: a = a

3. Ley conmutativa: a:b = b:a a + b = b + a

4. Ley asociativa: a: (b:c) = (a:b) :c a + (b + c) = (a + b) + c

5. Ley distributiva: a: (b + c) = (a:b) + (a:c) (a + b) :c = (a:c) + (b:c) a + (b:c) = (a + b) : (a + c) (a:b) + c = (a + c) : (b + c) a + a:b = a + b

6. Ley de cancelación: (a:b) + a = a (a + b) :a = a

7. Leyes de De Morgan: (a + b) =  a:b (a:b) =  a + b

0.8. CONSULTAS 

xxi

OPERACIONES Operación suma a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

a+b 0 1 1 1

La operación suma  (+)  asigna a cada par de valores  a; b  de  A  un valor  c  de A: a + b = c

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo. (colocar el gra…co 01) Si uno de los valores de  a  o b  es  1 , el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean  0 , para que el resultado sea  0: (colocar el gra…co 02) Operación producto a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

a:b 0 0 0 1

La operación producto  (:)  asigna a cada par de valores  a; b  de  A  un valor  c de  A : a:b = c

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores (colocar el gra…co 03) solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0. (colocar el gra…co 04) Operación negación a 0 1

a 1 0

La operación negación presenta el opuesto del valor de a: a = b

Un interruptor inverso equivale a esta operación: (colocar el gra…co 05 y 06) Operaciones combinadas a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

a+b 1 1 0 1

xxii Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo: a + b = c

Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso. (colocar el gra…co 07) La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad. (colocar el gra…co 08) Principio de dualidad El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0. ADICION PRODUCTO 1 a + a = 1 a:a = 0 2 a + 0 =  a a:1 =  a 3 a+1=1 a:0 = 0 a + a = a a:a = a 4 a + b = b + a a:b = b:a 5 a:(b:c) = (a:b):c 6 a + (b + c) = (a + b) + c 7 a + (b:c) = (a + b):(a + c) a:(b + c) = (a:b) + (a:c) 8 a + (a:b) =  a a:(a + b) =  a

0.8.4 Diagramas de Venn Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien de…nidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A. Ejemplos de conjuntos: Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos. N: el conjunto de los números naturales. Z: el conjunto de los números enteros. Q : el conjunto de los números racionales. R: el conjunto de los números reales. C: el conjunto de los números complejos. Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: 1) Por extensióno enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves. 2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo j  que signi…ca “tal que". En forma simbólica es: que signi…ca que el conjunto

0.8. CONSULTAS 

 

xxiii

A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como 3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos 4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.

0.8.5 Operaciones entre conjuntos Las operaciones entre conjuntos son las disposiciones especí…cas de combinar conjuntos para formar otros, de semejante estructura. Dichas operaciones son la unión, la intersección, la diferencia, la complementación, el conjunto Producto o conjunto cartesiano, y la diferencia simétrica. 1. UNIÓN O REUNIÓN

Unión o reunión de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos "x" que pertenecen a "A", a "B" o a ambos, se simboliza por: A(B; y se lee: "A unión B" Por comprensión: Grá…camente, la unión de conjuntos se representa, en un diagrama de VennEuler, achurando la zona donde se encuentran los diversos elementos que pertenecen a los conjuntos que van a formar la unión o reunión. 2. INTERSECCIÓN

Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos "x" que pertenecen a "A" y a "B". Está formado por elementos comunes a los conjuntos que forman la intersección. Se simboliza por A(B y se lee: A intersección B Grá…camente, la respuesta es la zona sombreada que contiene a los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. 3. DIFERENCIA

Diferencia entre los conjuntos "A" y "B", es el conjunto de elementos "x" que pertenecen a "A" pero no a "B", se simboliza por "A( B"

xxiv

0.8. CONSULTAS 

xxv

Por comprensión: A

 B =  fx=x 2 Ay;x 2=  B g Es decir: x 2 fA  B g ()  x 2 \x 2=  B g 4. COMPLEMENTACIÓN

Complemento de un subconjunto cualquiera "B" respecto a "U" (conjunto universal), es el conjunto de elementos de "U" que no pertenecen a "B". Se llama también complemento de "B" en "U", o simplemente conjunto diferencia de "U( B". Se lo reconoce por: Ejemplo : Si el conjunto universal está formado por los habitantes de nuestro país, y si "A" es el conjunto de habitantes de nuestra ciudad, entonces "A" representa a los habitantes de nuestro país que no son de nuestra ciudad.

0.8.6 Teorema de la probabilidad total El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas: Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos

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permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo. La fórmula para calcular esta probabilidad es: Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito: Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilida posibilidades des (la suma de sus probabilidad probabilidades es debe ser el 100%). 100%). Ejercicio: En un saquito hay papeletas pap eletas de tres colores, con las siguientes probabilidades probabilidades de ser elegidas: a) Amarilla: probabilidad del 50%. b) Verde: probabilidad del 30% c) Roja: probabilidad del 20%. Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es: a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%. b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60% c) Roja: participas participas en un tercer tercer sorteo con una probabilida probabilidadd de ganar del 80%. Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?: 1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: completo: sus probabilidades suman 100% 2.- Aplicamos P la fórmula: P ( P (B ) =

(Ai) Ai) P ( P (B=Ai) B=Ai)



Luego, P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54 Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.

0.8.7 0.8.7 Teorem eorema a de de Bay Bayes es El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información. información. Desarrollado por el reverendo Thomas

0.8. CONSULT CONSULTAS 

 

xxvii

Bayes en el siglo XVII, el teorema de Bayes es una extensión de lo que ha aprendido hasta ahora acerca de la probabilidad condicional. Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, cial, probabili probabilidad dad a priori. priori. Cuando Cuando se tiene alguna alguna información información adicional adicional se procede procede a calcular las probabilida probabilidades des revisadas revisadas o a poster p osteriori iori.. El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriori y es:

0.8.8 0.8.8 Distri Distribu bucio cion n De De Pois Poisson son Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. discreta. Sus principales principales aplicacione aplicacioness hacen referencia referencia a la modelización modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas ciertas circunstanci circunstancias as restrictiv restrictivas. as. Otro de sus usos frecuente frecuentess es la considconsideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña . Proceso experimental del que se puede hacer derivar Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental de observación en el que tengamos las siguientes características

xxviii

 Se observa la realización de hechos de cierto tipo durante un cierto periodo

de tiempo o a lo largo de un espacio de observación  Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria ; pueden producirse o no de una manera no determinística.  La probabilidad de que se produzcan un número x de éxitos en un intervalo de amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, sí de su amplitud)   La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo in…nitésimo es prácticamente proporcional a la amplitud del intervalo.   La probabilidad de que se produzcan 2 o más hechos en un intervalo in…nitésimo es un in…nitésimo de orden superior a dos. En consecuencia, en un intervalo in…nitésimo podrán producirse O ó 1 hecho pero nunca más de uno  Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria X signi…que o designe el "número de hechos que se producen en un intervalo de tiempo o de espacio", la variable X se distribuye con una distribución de parámetro   . Así : x  =) P (  P (A) El parámetro de la distribución es, en principio, el factor de proporcionalidad para la probabilidad de un hecho en un intervalo in…nitésimo. Se le suele designar como parámetro de intensidad , aunque más tarde veremos que se corresponde con el número medio de hechos que cabe esperar que se produzcan en un intervalo unitario (media de la distribución); y que también coincide con la varianza de la distribución. Por otro lado es evidente que se trata de un modelo discreto y que el campo de variación de la variable será el conjunto de los número naturales, incluido el cero: x 2 f0; 1; 2; 3;:::g La función de masa de la distribución de Poisson es donde k  es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces). es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante durante un interva intervalo lo dado. Por ejemplo, ejemplo, si el suceso suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k  veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con = 10  4 = 40. e  es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

0.8. CONSULTAS 

 

xxix

0.8.9 Teorema de Chebyshev Proporciona la estimación de la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de k desviaciones estándar de su media para cualquier valor k. La probabilidad de qe una variable aleatoria que cuyo valor se distribuye normalmente, asuma un valor dentro de k desviaciones estándar de la media es al menos de: Esto es: Para cualquier variable aleatoria X con media    y desviación estándar ó, la probabilidad de que X tome un valor contenido en k desviaciones estándar de la media, siendo k una constante positiva cualquiera, es cuando menos 1  p(



1

k2

 k < X <  + k)  1 

1 k2

Simbólicamente, el teorema se expresa de cualquiera de las siguientes maneras: La desigualdad de Chébyshev es muy importante, ya que permite determinar los límites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especi…car sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que la probabilidad de que una variable aleatoria se aleje de la media no más de k desviaciones estándar, es menor o igual a 1/k2 para algún valor de k >1. Aunque la garantía no siempre es muy precisa, la ventaja sobre este teorema es su gran generalidad por cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribución de probabilidad, ya sea discreta o continua. Para un conjunto cualquiera de observaciones (muestra o población), la proporción mínima de los valores que se encuentran dentro de k desviaciones estándares desde la media es al menos 1 - 1/k2, donde k es una constante mayor que 1. o Regla empírica: Para una distribución de frecuencias simétrica de campana, aproximadamente 68% de las observaciones estará a más y menos una desviación estándar desde la media, aproximadamente 95% de tales observaciones se encontrará a más y menos dos desviaciones estándares de la misma; y prácticamente todas las observaciones (99,7%)se hallarán a más y menos tres desviaciones con respecto a la media. Curva simétrica de campana que muestra las relaciones entre la desviación estándar y la media -3s -2s -1s X 1s 2s 3s 70 80 90 100 110 120 130 68% 95% 99,7%

xxx

Si una distribución es simétrica con forma de campana, prácticamente todas las observaciones se encuentran entre la media más o menos tres desviaciones estándares.

0.8.10 La paradoja de Braess La paradoja de Braess dicta que al agregar mayor capacidad a una red, cuando las entidades por ella escogen la ruta de forma egoísta, puede en algunos casos reducir el desempeño de toda la red. La paradoja fue presentada en 1968 por el matemático alemán Dietrich Braess. El trabajo original de Braess mostraba una situación paradójica, en la que la construcción de una vía adicional (inversión de capital), llevaba a que, con la misma demanda de trá…co, los tiempos de viaje para todos los usuarios de la red aumentaran. Braess demostró con un ejemplo simple, cómo al agregar más vías en una red de trá…co, se puede llegar a empeorar el desempeño de todos los usuarios. La red clasica para mostrar esta paradoja se presenta en la …gura 1. Los árcos rojos representan autopistas de gran capacidad, mientras que los arcos amarillos representan vías de baja capacidad. Al añadir una vía entre los puntos X y Y, los tiempos de todos los usuarios empeoran sustancialmente (…gura 2). Esto constituye una paradoja en la medida en que se espera que al realizar una inversión en vías, los tiempos de los usuarios disminuyan, no que aumenten. Aunque este es un caso teórico, se han podido encontrar algunos ejemplos de la vida real, no solo en redes de transporte, sino también en otro tiempo de redes. Ejemplo: Supongamos que entre Pelotillehue y Buenas Peras un conductor puede elegir entre dos rutas. La primera consta de dos tramos: uno largo pero expedito entre Pelotillehue y la localidad de Cumpeo, que el conductor toma invariablemente unos 60 minutos en

0.8. CONSULTAS 

 

xxxi

recorrer, y otro corto pero congestionado entre Cumpeo y Buenas Peras, donde el tiempo de traslado es directamente proporcional al número de automóviles que utilizan la vía; así, si hay 100 coches circulando, el viaje tarda 10 minutos, pero si la cantidad de coches aumenta a 300, el tiempo de traslado sube a media hora. La segunda opción parte con un tramo corto pero congestionado entre Pelotillehue y Peor es Nada, donde al igual que en el caso anterior el tiempo de viaje depende directamente del número de vehículos en la ruta. Una vez llegado a Peor es Nada, el conductor puede tomar un camino largo pero sin atascos donde el tiempo de viaje es igual a 60 minutos. Como ambas rutas ofrecen condiciones más o menos similares, la mitad de los conductores tiende naturalmente a preferir una, y la otra mitad la otra. Así, si tenemos a 400 conductores, 200 seguirán el camino Pelotillehue – Cumpeo – Buenas Peras, el cual les tomará 80 minutos de viaje (60 + 20 minutos), mientras los otros 200 optarán por la ruta Pelotillehue – Peor es Nada – Buenas Peras, que les signi…cará los mismos 80 minutos de viaje aunque distribuidos de manera opuesta, tal como lo indica el grá…co que intenta explicar esta situación al lector. Ahora supongamos que las autoridades encargadas del transporte en Pelotillehue y Buenas Peras quieren disminuir el tiempo de traslado entre ambos puntos, y que para ello se hacen asesorar por la solícita gente de la Secretaría de Transporte del Distrito Federal, expertos en eso de acortar los tiempos de traslado al interior de la ciudad. Ellos, en un ataque de ingenio y perspicacia, ven una solución que a

xxxii primera vista tiene una lógica impecable: la construcción (sin licitación previa, por supuesto) de una súper carretera urbana de alta velocidad con muchas pistas por lado y harto hormigón armado que conecte los puntos intermedios de Cumpeo y Peor es Nada en tan sólo 10 minutos, tal como lo indica el grá…co 2. La propuesta se ve tremendamente atractiva para los automovilistas, que vislumbran que su aburrido viaje de 80 minutos ahora se verá reducido a sólo 50, un ahorro de media hora que ante sus ojos bien vale la construcción de una mole de concreto en medio de la ciudad. Sin embargo, la historia dice que las cosas resultaron completamente distintas a como estaba plani…cado, y que poco después de inaugurada la nueva supervía los conductores se dieron cuenta que los tiempos de viaje no sólo no disminuyeron, sino que muy por el contrario aumentaron, algo que los ideólogos de la iniciativa jamás pensaron que pudiera ocurrir. ¿Cómo se explica esto? La respuesta es más sencilla de lo que uno supondría, y está relacionada con el carácter esencialmente individualista de las decisiones que generalmente toma un conductor cuando se encuentra detrás del volante. ¿Cómo es esto? Recapitulemos: con la construcción de la nueva autopista el conductor se encontró con dos opciones para ir de Pelotillehue a Cumpeo. La primera, la vía ya existente, signi…caba un tiempo …jo de traslado de 60 minutos, mientras que la segunda, en el peor escenario posible, es decir, con la totalidad de los 400 automóviles circulando allí, tomaba 50 minutos (40 minutos entre Pelotillehue y Peor es Nada más 10 minutos en la Supervía). Ni tontos, los automovilistas escogieron esta segunda opción, sin precaver que el tramo Peor es Nada – Buenas Peras también experimentaría una recarga de trabajo, traducida en 40 minutos de traslado en lugar de los anteriores 20. En suma, la llegada de la nueva autopista de conexión signi…có que el tiempo de traslado aumentara de 80 a 90 minutos. Mejor no les fue a los que se mantuvieron leales al viejo recorrido, pues si bien es cierto mantuvieron los 60 minutos que toma el transitar entre Pelotillehue y Cumpeo, vieron incrementar en casi 20 minutos su tiempo de desplazamiento entre Cumpeo y Buenas Peras dada la mayor congestión en este tramo (en el entendido que 399 automóviles eligen la nueva ruta vía autopista y un solo conductor solitario se mantiene en la ruta antigua). Este fenómeno, conocido como la paradoja de Braess, debe su nombre al matemático alemán Dietrich Braess, quien lo enunció por primera vez en 1968. La paradoja señala que el incremento de la capacidad de una red vial puede en algunos casos reducir la e…ciencia del sistema, puesto que induce elecciones de conductores cuyas decisiones son tomadas teniendo en cuenta exclusivamente el bene…cio individual

0.8. CONSULTAS 

 

xxxiii

y no el colectivo. En otras palabras, la suma de estrategias óptimas individuales no mejora en absoluto el comportamiento del total del sistema (sí, nos estamos metiendo en los interesantes terrenos del equilibrio del Nash que no es basquetbolista, y en el cual no pretendo introducirme, que ese pedregoso camino pre…ero dejárselo a matemáticos y economistas). Para optimizar los tiempos de traslado de todos los vehículos sería necesario que los conductores actuaran de manera cooperativa, lo que signi…caría que en la práctica todos debieran sacri…car algo, como tomar rutas que a primera vista se ven más lentas, para que el sistema funcionara más e…cientemente. ¿Suena esto a pura teoría de escritorio y pizarrón? Pues no lo es tanto, que ejemplos sobran para demostrar la validez de los enunciados de Braess. Uno de los mejores se encuentra en Seúl, donde la fórmula de menos vías igual a trá…co más expedito demostró ser plenamente válida.

0.8.11 Teorema de limite de Laplace La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están de…nidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coe…cientes

xxxiv

variables, en general se aplica a problemas con coe…cientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada. De…nición de la Transformada Sea f una función de…nida para , t   0 , la transformada de Laplace de f (t) se de…ne como cuando tal integral converge Notas 1.La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante 2.La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s 3.Condiciones para la existencia de la transformada de una función: 1.De orden exponencial 2.Continua a trozos

0.8.12 Teorema de Moivre-Laplace En probabilidad el teorema de Moivre-Laplace es una aproximación normal a la distribución binomial. Se trata de un caso particular del Teorema central del límite. Establece que la distribución binomial del número de éxitos en n pruebas independientes de Bernoulli con probabilidad de éxito p en cada intento es, aproximadamente, una distribución normal de media np y desviación típica , (cabe aclarar que q = 1-p), si n es su…cientemente grande y se satisfacen determinadas condiciones. El teorema apareció por primera vez en la segunda edición de The Do ctrine of  Chances, de Abraham de Moivre, publicado en 1738. Los "ensayos de Bernoulli" no se llamaron así en ese libro, pero De Moivre escribió lo su…ciente sobre la distribución de probabilidad de el número de veces que aparecía "cara" cuando se lanzaba una moneda 1800 veces.[cita requerida] El teorema Si   n  ! 1, entonces para k en el entorno n k

 pk q nk

 p npq -de np, se puede aproximar

0.8. CONSULTAS 

 

xxxv

0.8.13 Error 6 Sigma SIX SIGMA es una metodología de mejora de procesos, centrada en la reducción de la variabilidad de los mismos, consiguiendo reducir o eliminar los defectos o fallas en la entrega de un producto o servicio al cliente. La meta de 6 Sigma es llegar a un máximo de 3,4 defectos por millón de eventos u oportunidades (DPMO), entendiéndose como defecto cualquier evento en que un producto o servicio no logra cumplir los requisitos del cliente.1 Seis sigma utiliza herramientas estadísticas para la caracterización y el estudio de los procesos, de ahí el nombre de la herramienta, ya que sigma es la desviación típica que da una idea de la variabilidad en un proceso y el objetivo de la metodología seis sigma es reducir ésta de modo que el proceso se encuentre siempre dentro de los límites establecidos por los requisitos del cliente. Obtener 3,4 defectos en un millón de oportunidades es una meta bastante ambiciosa pero lograble. Se puede clasi…car la e…ciencia de un proceso con base en su nivel de sigma:   1 sigma= 690.000 DPMO = 31% de e…ciencia   2 sigma= 308.538 DPMO = 69% de e…ciencia   3 sigma= 66.807 DPMO = 93,3% de e…ciencia   4 sigma= 6.210 DPMO = 99,38% de e…ciencia   5 sigma= 233 DPMO = 99,977% de e…ciencia   6 sigma= 3,4 DPMO = 99,99966% de e…ciencia Porcentajes obtenidos asumiendo una desviación del valor nominal de 1,5 sigma. Por ejemplo, si tengo un proceso para fabricar ejes que deben tener un diámetro de 15 +/-1 mm para que sean buenos para mi cliente, si mi proceso tiene una e…ciencia de 3 sigma, de cada millón de ejes que fabrique, 66.800 tendrán un diámetro inferior a 14 o superior a 16mm, mientras que si mi proceso tiene una e…ciencia de 6 sigma, por cada millón de ejes que fabrique, tan solo 3,4 tendrán un diámetro inferior a 14 o superior a 16mm. Dentro de los bene…cios que se obtienen del Seis Sigma están: mejora de la rentabilidad y la productividad. Una diferencia importante con relación a otras metodologías es la orientación al cliente

0.8.14 Variable aleatoria En probabilidad y estadística, una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma).

xxxvi

Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es …jo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores. Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones... El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo). De…nición formal Una variable aleatoria (v.a.) X es una función real de…nida en el espacio muestral, , asociado a un experimento aleatorio. X  : 

 ! R

La de…nición formal anterior involucra conceptos matemáticos so…sticados procedentes de la teoría de la medida, concretamente la noción de espacio de probabilidad. P Dado un espacio de probabilidad  (;A;P ) y un espacio medible  (S; ) una P aplicación X  :  ! S   es una variable aleatoria si es una aplicación A; -medible. En la mayoría de los casos se toma como espacio medible de llegada el formado por los números reales junto con la -álgebra de Borel (el generado por la topología usual de R), quedando pues la de…nición de esta manera: Dado un espacio de probabilidad (; A ; P  ) una variable aleatoria real es cualquier función  A=B (R)  medible donde  B (R) es la álgebra boreliana Rango de una variable aleatoria Se llama rango de una variable aleatoria X y lo denotaremos  RX , a la imagen o rango de la función  X  es decir, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda de…nida: Ejemplo: Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es

0.8. CONSULTAS 

 

xxxvii

 = CC;CS;SC;SS 

 f

g

donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz"). Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se de…niría la variable aleatoria X como la función X  : 

 ! R

dada por CC 

 ! 2 CS;SC  ! 1 SS  ! 0 El recorrido o rango de esta función,  R X , es el conjunto

RX = 0; 1; 2

 f

g

0.8.15 Alfabeto Griego

xxxviii

0.9

Ejercicios 2.5

1: Sea   un espacion muestral y A; B y C   eventos cualesquiera, exprese las siguientes a…rmaciones como uniones e intersecciones de A; B y C   y de sus

complementos. a)  Ninguno de los eventos  A; B ,  C  ocurre.

0.9. EJERCICIOS 2.5  x  A C 

 

C 

xxxix

C 

 2 \ B \ C  b)  Por lo menos uno de los eventos  A; B ,  C  ocurre x 2 A [ B [ C  c)  No ocurre más que un evento. x 2 (A \ B \ C ) d)  Ocurre exactamente dos eventos. x 2 (A \ B \ C  ) [ (A \ B \ C ) [ (A \ C  \ B e)  Ocurren no más de dos eventos. x 2 (A \ B \ C  ) C 

C 

C 

C 

)

C 

2:  Con el empleo de la de…nición de probabilidad, demuestre: a)Pr() = 0

Se sabe que: Pr() = 1;  y que  Pr (A [ B) = Pr (A) + Pr (B) ;  entonces: Pr() = Pr( ) Pr() = Pr () + Pr() 1 = Pr () + 1 Pr () = 1 1 Pr () = 0

[



b) P r (A

[ B) = Pr (A) + Pr (B)  Pr (A \ B)

sea: A = (A B) (A B) Pr(A) = Pr (A B) + Pr (A

 [ \ 

\ B) despejando: Pr (A  B) = Pr(A)  Pr (A \ B) () entonces, A [ B = (A  B) [ B Pr(A [ B) = Pr (A  B) + Pr(B) reemplazamos ( ) Pr (A [ B) = Pr (A) + Pr (B)  Pr (A \ B) 3: Se arrojan dos dados, sean  A el evento "la suma de las caras es impar", y  B el evento "sale por lo menos un tres". Describa los eventos  A B; A B; A B C :

\

[

\

Encuentre sus probabilidades si se supone que los 36 eventos elemntales tienen igual probabilidad. Solución:  = (i; j) =i;j = 1; 2; ::::; 6 ;

 f

Para el evento  A :

g

Card() = 36

xl A1  = (i; j) =i = 2; 4; 6 ; j = 1; 3; 5

 f

A2  = (i; j) =i = 1; 3; 5 ; j = 2; 4; 6

g

 f

g

A = A 1  + A2 Card(A) =  Card(A1 ) + Card(A2 ) Card(A) = 9 + 9 Card(A) = 18

donde: Pr(A) =

  Card(A) 18 1 = = Card() 36 2

Para el evento  B  : B1  = (i; j) =i = 3 ; j = 1; :::; 6

 f

g

B2  = (i; j) =i = 1; :::; 6 ; j = 3

 f

g

B = B 1 + B2 Card(B) =  Card(B1 ) + Card(B2 ) Card(B) = 6 + 6 Card(B) = 12

donde: Pr(B) =

 Card(B) 12 1 = = Card() 36 3

Entonces, A A

\ B : \ B =  f(i; j) =i1; i2  = 3 6 1 Pr (A \ B) = = 36 6

; j1 ; j2  = 2; 4; 6g

A B : Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) 1  1  1 Pr(A B) =  + 2 3 6 2 Pr(A B) = 3

[

[ [ [

 

A B C  : Pr A B C  B

 Pr(A \ B)

\ \  ! probabilidad de que ocurra el evento  A  y no ocurra el evento A \ B = f(i; j) =i1  = 2; 4; 6 ; j1  = 1; 5 ; i2  = 1; 5 ; j2  = 2; 4; 6g Card A \ B  = 12 12 1 Pr(A \ B ) = = 36 3 C 

C 

C 

0.9. EJERCICIOS 2.5 

xli

4:  Un gerente de compras desea hacer pedidos a proveedores diferentes, a los que nombra como A; B y C:  Todos los porveedores son iguales en loq eu

respecta a la calidad por lo que escribe cada letra en un papel, mezcla los papeles y selecciona a ciegas a uno de ellos. Se hará el pedido al vendendo que salga seleccionado. Calcule las probabilidades de los eventos: a) Se seleccionó al proveedor  B : Pr(B) =

1 = 0:333 3

b) Se selecciona al proveedor  A  o  C: Pr(A

[ C ) = 0:33 + 0:33 = 0:66

c) El proveedor  A  no se selecciona. Pr(b

[ C ) = 0:33 + 0:33 = 0:66

5: Entre los voluntarios que acuden al banco de sangre a realizar donaciones e observa que uno de cada tres tiene sangre O+, uno de cada quince tiene O-, uno de cada tres tiene A+, y uno de cada dieciséis tiene A-. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona que llegue un día done sangre: a) tiop O+, b) tipo O, c) tipo A. d) ya sea O- o A-

a)  P r(A) = 0:33 1 b)  P r(A [ B) = 0:33 + = 0:39667 15 1 c)  P r(C  D) = 0:33 + = 0:3925 16 1 1 31 b)  P r(B D) =  + = 15 16 240

 [  [

6:  Una empresa tiene dos tiendas distribuidoras, una en el norte y otra en el sur de la cuidad. De los potenciales clientes, se sabe que el  30%  solo compra en la tienda norte, el 50%  solo compra en la tienda del sur, el 10%  compra indistintamente en las dos y el  10% de los consumidores no compra en ninguna de las dos. Sean los eventos  A  : "el cliente compra en la tienda norte" y  B :  "el cliente compra en la tienda sur". Calcule las probabilidades (e interpételas):

a)  Pr(A) La probabilidad de que pase el evento A, es decir que los clientes compren en en la tienda Norte es: Pr(A) = 0:3 + 0:10 Pr(A) = 0:40

b)  Pr(A [ B)

xlii

La probabilidad de que pase el evento  A [ B;  es decir que los clientes compren en cualquiera de las dos tiendas es: Pr(A Pr(A Pr(A

[ B) = Pr(A) + Pr(B)  Pr(A \ B) [ B) = 0:40 + 0:60  0:10 [ B) = 0:90

c)  Pr(B C ) La probabilidad de que pase el evento B C ; es decir que ningún cliente compre en la tienda Sur es: Pr(B C ) = 0:30 + 0:10 Pr(B C ) = 0:40

d)  Pr(A \ B) La probabilidad de que pase el evento  A \ B;  es decir que los clientes compren en las dos tiendas: Pr(A

\ B) = 0:10

f)  Pr(AC  \ B C ) La probabilidad de que pase el evento  A C  \ B C  , es decir que los clientes no compren en ninguna tienda es: Pr(AC  Pr(AC 

\B \B

C 

) = Pr(A C  ) = 0:10

[ B)

C 

e)  Pr (A r B) La probabilidad de que pase el evento A r B , es decir que los clientes sólo compren en la tienda Norte es: Pr (A r B) = Pr(A) Pr(A Pr (A r B) = 0:40 0:10 Pr (A r B) = 0:30



h

i

g)  Pr (A \ B)C 



\ B)

0.9. EJERCICIOS 2.5 

 

xliii

La probabilidad de que pase el evento (A \ B)C  ;  es decir que los clientes compren solamente en una de las tiendas ya sea Norte o Sur, como pueden no comprar h en ingunai tienda. Pr (A

h \ B) Pr (A \ B) h Pr (A \ B) h Pr (A \ B) h Pr (A \ B)

C 

C 

C 

C 

C 

C 

C 

C 

C 

i = Pr(A [ B ) i = Pr(A ) + Pr(B )  Pr(A \ B i = Pr(A ) + Pr(B )  Pr(A [ B) i = 0:60 + 0:40  0:10 C 

C 

)

C 

C 

C 

 = 0:90

7:  Se envían 3 o…cios a 3 personas diferentes. Sin embargo una secretaria distraída revuelve los o…cios y se puede considerar que los mandó al azar. Si una coincidencia es el hecho de que una persona reciba el o…cio correcto, calcule la probabilidad de que haya: 8:  Calcule los siguientes coe…cientes binomiales C K  :ç N 

Si CK  = N 

n! k!(n k)!

a) C24  =

4! 4! = =6 2!(4 2)! 2! 2!

b) C03  =

3! 3! = =1 0!(3 0)! 0! 3!

c) C13  =

3! 3! = =3 1!(3 1)! 1! 2!

d) C23  =

3! 3! = =3 2!(3 2)! 2! 1!



















e) Ci5 ; i = 1; :::::; 5 i = 1; C15  = i = 2; C25  = i = 3; C35  = i = 4; C45  = i = 5; C55  =

5! 1!(5 5! 2!(5 5! 3!(5 5! 4!(5 5! 5!(5

=

5!

 1)! 1!  4! = 5 5! =  2)! 2!  3! = 10 5! =  3)! 3!  2! = 10 5! =  4)! 4!  2! = 5 5! =  5)! 5!  0! = 1

xliv Ci5  = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31 9:  Calcule  A K   en los siguientes casos: N  n!

Si AK  = N  a) A24  = b)  A 03  = c)  A 23  = d)  A 26  =

(n

 k)! ;

4! (4

 0)! 3!

(3

 2)! 6!

(6

4! = 12 2!

=

3! =1 3!

=

3! =6 1!

=

6! = 30 4!

 2)! 3!

(3

=

 2)!

e)  A i5 ; i = 1; :::::; 5 5! =5 (5 1)! 4! 5! 5! A25  = = = 20 (5 2)! 3! 5! 5! A35  = = = 60 (5 3)! 2! 5! 5! A45  = =  = 120 (5 4)! 1! 5! 5! A55  = =  = 120 (5 5)! 0!

i = 1; A15  = i = 2; i = 3; i = 4; i = 5;

5!

    

=

10:  Determine el numero de permutaciones en un conjunto de n  elemntos

para: a) n = 3 3! = 3 2 1 = 6

 

b) n = 4 4! = 4 3 2 1 = 24

  

c) n = 5 5! = 5 4 3 2 1 = 120

   

d) n  = 6 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720

    

0.9. EJERCICIOS 2.5 

xlv

11:  Determine el número de parejas formadas por los elementos de los con juntos A  y  B  si: a) Card(A) = 4; Card(B) = 3 Parejas =  4 3 = 12



b) Card(A) = 5; Card(B) = 4 Parejas =  5 4 = 20



c) Card(A) = 8; Card(B) = 5 Parejas =  8 5 = 40



d) Card(A) = 13; Card(B) = 5 Parejas =  13 5 = 65



12:  Cuántos arreglos se pueden formar con los elemnetos de los conjuntos

cuya cardinalidad se indica: a) Card(A) = 4; Card(B) = 2; C ard(C ) = 5 Arreglo =  4 2 5 = 40

 

b) Card(A) = 5; Card(B) = 7; C ard(C ) = 4; C ard(D) = 5 Arreglo =  5 7 4 5 = 700

  

13:  Cúantas parejas se con reposición pueden formarse con conjuntos cuya

cardinalidad es: P nk = n k

a)  n  = 3 32 = 9

b)  n  = 5 52 = 25

c)  n  = 7 72 = 49 14:  Forme todas las combinaciones y variaciones que se pueden obtener a

partir de los conjuntos: a)  A  = fa;e;i;o;ug  en grupos de tres elemntos Combinaciones C nk  =

n! k!(n k)!



Variaciones Akn  =

n! (n

 k)!

xlvi C35  = 60

5! 5! = = 10 3!(5 3)! 3!(2)!



A35  =

5! (5

=

 3)!

5! = 2!

b)  A =  f1; 2; 3; 4; 5; 6g  en grupos de tres elemntos Combinaciones n! k!(n k)! 6! 6! C36  = = = 20 3!(6 3)! 3!(3)! 120 C nk  =

 

Variaciones Akn  =

n!

(n k)! 6! 6! A36  = = = (6 3)! 3!





15:  Para los conjuntos indicados fomre todas las parejas sin reposición y con

reposición: a)  A =  fa;e;i;o;ug Con reposición P nk = n k

Sin reposición n! k!(n k)! 5! C25  = = 3!(5 2)! C nk  =

P 52 = 5 2 = 25





5! = 10 2!(3)!

b)  A =  f1; 2; 3; 4; 5; 6g  en grupos de tres elemntos Con reposición P nk = n k

Sin reposición n! k!(n k)! 6! C26  = = 2!(6 2)! C nk  =

P 62 = 6 2 = 36 6! = 15 2!(4)!





16:  Al almacenar un número telefónico una persona olvidó las tres últimas

cifras, recordando que éstas son diferentes, las marcó al azar. Halle la probabilidad de que se haya marcado las crifras correctas 10! 10! =  = 120 3!(10 3)! 3!(7)! Card() = 10 3 = 1000 3 C 10  =



0.9. EJERCICIOS 2.5  P r(A) =

 

xlvii

120 3 = 1000 25

17:   Un comité de dirección de una empresa que consta de 6 gerentes y 4

subgerentes debe elegir un presidente y un vicepresidetne. ¿De cúantas maneras se pueden elegir este par de funcionarios si el presidente debe ser un gerente 18:  A un automovilista le levantaron doce infracciones por estacionarse ile-

galmente. Observa que las infracciones fueron hechas en lunes o jueves. a) Encontrar la probabilidad de este evento: Pr(L

[ J ) = Pr(A) + Pr(J )  Pr(L \ J ) 1 1  1 1 Pr(L [ J ) =  +   (   ) 12 12 12 12 1 1 23 Pr(L [ J ) =   = 6 144 144 b) De las 12 infracciones ninguna se le impuso en domingo, ¿es por ésto evidente que la policía no levanta infracciones en domingo? No, debido a que el automovilista pudo no circular ese dia. 19:  Un dispositivo consta de 3 elementos  A;B;  y  C . La probabilidad de que A  falle es el dolbe de la de  B , y la probabilidad de que  C  esté funcionando es el doble que la de  A:  Determinar la probabilidad de que cada uno de los elementos

esté funcionando. 20:  De entre 9 empleados se deben seleccionar a 3 para viajar a 3 plantas A;B; y C  fuera de la cuidad. Cada empleado irá a una planta. ¿De cuántos

modos diferentes se puede hacer la selección de los empleados que viajarán?. n! k!(n k)! 9! 9! C39  = = = 84 3!(9 3)! 3!(6)!

C 93 =

 

20.- De entre 9 empleados se debe seleccionar a 3 para viajar a 3 plantas A, B y C fuera de la ciudad. Cada empleado ira a una planta. ¿De cuantos modos se puede hacer la seleccion de los empleados que viajarán? Solución: Akn  =

n! (nk)!

= A 39  =

9! 6!  =

504

21.- En el ejercicio anterior considerese que los 3 empleados van a ir a la misma planta. ¿De cuantas maneras se puede hacer la seleccion?

xlviii Solución: C nk  =

n! k !(nk )!

= C 93 =

9! 3!6!

= 84

22.- Si en el ejercicio anterior, de los 9 empleados, 7 son hombres. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar exactamente una mujer entre los tres escogidos? Solución:    Se ha visto que  93  = 84  maneras de seleccionar a 3 empleados de los 9. hay 21  modos de seleccionar 1 mujer entre las 2 que se tiene, y 7  =Igualmente 21  maneras de seleccionar 2 hombres de entre los 7 que hay. 2 Si se hacen al azar las selecciones(es decir, se pueden seleccionar con igual probabilidad todos los subconjuntos de los 3 empleados), entonces la probabilidad de seleccionar exactamente 1 mujer es: ( )( )   2(21) = 84 = () 2

P (seleccionar exactamente 1  mujer) =

7

1

2

9 3

42 84

= 0:5

23.- La fabrica ensambladora ha determinado que la demanda del auto Suzuki Forza es igual para cada uno de los colores azul, blanco, verde y rojo. Se hacen tres pedidos sucesivos de autos de ese modelo. Determine la probabilidad de que: Solución: Card() = 4 P (A) = P (B) =  P (C ) =  P (V ) = 1=4

a) Se pidan uno azul, uno blanco y uno rojo P  = 3!(P (A):P (B):P (R)) P  = 6( 14 )3 P  =

3 32

a) Se pidan dos azules P  = ( 14 )( 34 )( 34 ) 9 P  = 64

24.- Luego de las pruebas para ocupar un puesto a los 6 aspirantes se les clasi…ca de acuerdo al puntaje obtenido. Los resultados no llegan al empleador por lo que él contrata a dos aspirantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya contratado a los dos aspirantes mejor cali…cados? Solución: P (A P (A

\ B) = P (A)  P (B) 1 1 \ B) = ( 6 )( 3 )

0.9. EJERCICIOS 2.5  P (A

 

xlix

\ B) = 181

25. ¿Siete personas han solicitado empleo para llenar dos vacantes. ¿de cuántos modos se puede llenar las vacantes si: Solución: a) la primera persona seleccionada recibe mayor salario que la segunda? N () = 7 N (A) = 2

Importa el orden de selección para la vacante. 7! V 72 = ( (72)! ) 2 V 7 = 42

b) No hay diferencia entre las vacantes? No importa el orden No entra todos los elementos No se repite los elementos C 72 =

n! k!(nk )!

=

7! 2!(5)!

= 21

26.- Un paquete de 6 focos tiene 2 piezas defectuosas. Si se escogen 3 focos para su uso, calcule la probabilidad de que ninguno tenga defectos. Solución: P (defectuoso) = 31 P (escoger:foco) = 21 P (A P (A P (A

\ B) =  P (A)  P (B) 1 1 \ B) = (13 )( 2 ) \ B) = 6

27.- En un restaurante de comida rápida se indica al cliente que su hamburguesa, a más del pan y la carne, puede ir con todo lo siguiente o sin ello: salsa de tomate, mostaza, mayonesa lechuga, cebolla, tomate o queso. ¿Cuántos tipos de hamburguesas son posibles? Solución: 2n = 2 7 = 128   hamburguesas

28.- La producción de una máquina consta de 4 fases. Hay 6 líneas de montaje para la primera fase, 3 para la segunda, 5 para la tercera, y 5 para la última. Determine de cuántas formas distintas se puede montar la máquina en este proceso de producción. Solución:

l Se trata de un Arreglo múltiple que consiste en realizar la primera fase, seguido de la segunda fase, tercera y cuarta fase con sus respectivas líneas de montaje formas de montar la máquina = 6  3  5  5 = 450 f ormas diferentes 29. En un plano hay 15 puntos de los cuales no hay tres que sean colineales. ¿Cuántas rectas determinan?. Solución: Como cada par de ellos determinan una recta, el número de ellas que pueden determinarse por estos 15 puntos es una combinación donde : n = 15 y  k  = 2: C nk  =

n! k !(nk )!

2 = C 15  =

15! 2!13!  =

105 rectas

30.- ¿Cuántos triángulos determinan los vértices de un polígono regular de 9 lados?. Solución: Se trata de una combinación entre el número de diagonales que se puede trazar desde un vértice (k)  y el número de lados del polígono (n), entonces número de diagonales desde un vertice es igual a  (n  3)  donde  n  es el número de ladosde l polígono, por lo tanto son 6 diagonales de cada vértices. 9! La combinación es  C nk  = k!(nn! k)! = C 96 = 6!3! = 84  tri angulos 31.- Una heladería tiene 16 sabores disponibles. ¿De cuántas formas se pueden pedir 6 helados si: Solución: a) no se elige el mismo sabor más de una vez? Se trata de una combinación donde  n  = 16 y k = 6 C nk  =

n! k !(nk )!

6 = C 16  =

16! 6!10!  =

8008 formas

b) se puede pedir un mismo sabor hasta 6 veces? Se trata de una permutación donde  n = 16 y k = 6 P nk = n k = 16 16 formas

c) un sabor no se puede pedir más de 5 veces?

0.9. EJERCICIOS 2.5  n = 16 y k = 5

(n

li k

 1)n

= 15 166 ; se puede pedir  15



 166

formas

d) la mitad debe ser de fresa? Se trata de una permutación donde  n  = 15 y k = 6=2 P nk = n k = 15 3 = 3375 formas

32.- Un entrenador de fútbol debe seleccionar a 11 jugadores de entre los que había convocado anteriormente para la concentración. si puede hacer una selección de 12 376 maneras . ¿cuántos jugadores estuvieron presentes en la concentración? ( Se supone que ningún jugador tiene un puesto …jo de juego.) Solución:

n! k !(nk)! n! 11!(n11)!

C n11 =

 = 12376

 = 12376

n = 17

33.- En un lenguaje de computacion Pascal, un identi…cador consta de una letra, o de una letra seguida de hasta siete simbolos, que pueden ser letras o dígitos. (En este lenguaje son indistinguibles las letras mayusculas y minusculas, hay 26 letras y 10 dígitos). ¿Cuántos identi…cadores diferentes se pueden utilizar en un lenguaje de computación? Solución: 26 letras + 10 d{gitos = 36 26(360 +36 1 +36 2 +36 3 +36 4 +36 5 +36 6 +36 7 ) = 26

P

7  36i i=0

= 2; 096 1012



34.- En cualquier set de un partido de tenis, el oponente X puede vencer al oponente Y de siete maneras. (Con el marcador 6-6, se juega un desempate: tie breaker). El primer tenista que gane tres sets obtiene la victoria. ¿De cuántas maneras se pueden registrar los resultados si: Solución: a) X gana en cinco sets?; 7 posibilidades de ganar, si X gana en 5 sets

4

 75 = 67228

b) para ganar el partido se necesita jugar como minimo tres sets? 73 + 3

 74 + 4  75 = 74774

lii 35.- Entre 100 artículos de un lote hay 5 defectuosos. Halle la probabilidad de que entre 10 articulos escogidos al zar, no se tenga más de un artículo defectuoso. Solución: P (x =< 1) = P (x = 0) + P (x = 1) C  C  C  C  = C  + C  0 10

10 90

1 10

10 100

0

10

 + = C  = 0; 73847 C 10

C 90

1

9 90 10 100 9 C 90

C 10 

10 100

36.- Un distribuidor de electrodomésticos recibe un envió de 20 planchas, de las cuales hay 3 defectuosas. Para conocer si el lote esta bueno prueba 6 aparatos. El distribuidor aceptará el lote si encuentra a lo mas un aparato defectuoso entre los probados. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el envió? Solución: P ("rechaza el envio") = 1 P ("apruebe el pedido") = 1  P (x =< 1) = 1 (P (x = 0) + P (x = 1)) C  C  C  C  =1 + C  C  = 1 [0; 31929 + 0; 47897] = 1 0; 79826 = 0; 20174

  h   

0 3

6 17

1 3

6 20

5 17

6 20

i

37.- Tres boletos ganadores son extraidos de una ánfora que contiene 100 boletos. ¿Cuál es la probabilidad de que gane una persona que compró? Solución: 100 boletos

3 boletos ganadores

a) 4 boletos?; P (" por 1 boleto"o " por 2  boleto"o " por 3 boleto") = P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) C  C  C  C  C  C  = + C  + C  C  = 0; 11280 + 0; 00356 + 0; 000023 = 0:11656 1 4

2 96 3 100

2 4

1 96 3 100

P ("gane") = 1  P ("no gane") = 1  P ("x = 0") C  C  =1 C  = 1 0; 88361 = 0:11639

   

0 4

3 96 3 100

3 4

0 96 3 100

0.9. EJERCICIOS 2.5 

 

liii

b) solo un boleto?; 1

2

C 1 C 99

P (x = 2) = C  = 0:03 P ("x gane") = 1  P ("no gane") = 1  P (x = 0) 3 100

 

0

=1



3

C 1 C 99 3 C 100

= 0:03

38.- Entre las 80 bombas de gasolina que hay en una ciudad, 10 entregan una cantidad de menor que la que el cliente compra. Un inspector de la dirección de Hidrocarburos visita aleatoriamente cinco de ellas para veri…car si la cantidad vendida es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que descubra al menos una fraudulenta?. Solución: 80 servicio 10 entregan una cantidad menor que la que el cliente compra 5 son visitadas ¿Cual es la probabilidad P de que encuentre al menos una de ellos? P ( probabilidad de al menos uno de ellos") = 1 P (x < 1) = 1 P (x = 0)





0

=

5

C 10 C 70 5 C 80

= 0:50345

39.- En el juego del "Cuarenta" se reparten 5 cartas, al azar, a cada jugador, a partir de un mazo de 40 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador tenga:? Solución: 5 # =  C 40  = 658008

a) un as, un dos, un tres, un uatro y un cinco, del mismo palo? 4 P (A) = # 4 P (A) = 658008 P (A) = 6:078

 106

b) a cartas del mismo palo? 4 30C 10

P (B) = # 6300 P (B) =  658008 P (B) = 9:5743

 103

c) una "ronda" es decir, 3 cartas de la misma denominacion (as,dos,etc)?

liv 2 40C 36

P (C ) = # 25200 P (C ) =  658008 P (C ) = 0:03829

40) En un closet hay 6 pares de zapatos. Se escogen 4 zapatos al azar. Encuentre la probabilidad de que haya por lo menos un par de zapatos entre los 4 zapatos escogidos. 6 Pares de zapatos

+

12 zapatos =)   escogo 4 zapatos C 63 Los pares totales que se pueden formar C 43 Los pares que se puedeb}n formar apartir del total 3

P ( p) =

C 6

P ( p) =

4 20

P ( p) =

1 5

3 C 4

41) En los paise europeos existe una forma muy popular de lotería, llamada Lorro, que consiste en seleccionar 6 números de una cartilla que contiene 44 números. (del 1 al 44) El dia del sorteo se seleccionan 6 bolas al azar y sin reposición. Una persona gana el premio principal si los 6 números sorteados coinciden con los seleccionados; tambien se puede ganar premios si 4 o 5 números sorteados coinciden. Determine la probabilidad de: a) ganar el premio principal. b) ganar al menos un premio Bolas (1-44) 6 Bolas Ganadoras P(A)= "Ganar el primer premio" P(B)="Ganar el segundo premio" 6

P  =

0

C 6 C 38 6 C 44

11

=

6 C 44

=

1 7059052

b) Pr(C)="Ganar al menos uno de los dos premios" P (C ) =  P (A) + P (B) C  C  +C  C  +C  P (C ) = C  6 6

P (C ) = P (C ) =

0 38

5 6

1 38 6 44

15703+638+11 6 C 44

  10545+228+1 6 C 44

  10774 7059052

P (C ) = P (C ) = 0:001526

4 6

2 C 38

0.10. EJERCICIOS 2.8 

lv

42) El ensamblaje de una tarjeta eléctronica consta de 4 pasos que pueden realizarse en cualquier orden. El fabricante desea comparar de forma experimental los tiempos de ensamblaje para cada combinación posible de los pasos. ¿Cuántos ensayos deberá realizar en el experimento?. 4 Pasos 4! = 24

Tendria que realizar 24 ensayos 43) En la calidad …nal de un cake se identi…can 3 factores de incidencia: la cantidad de harina, que tiene dos niveles 150g. y 170g., la cantidad de levadura, que tiene dos niveles 10g. y 15g. y la temperatura de horneado, que tiene tres niveles: 170o C, 200o C y 220o C. ¿Cuántos cakes se deberan hornear para cubrir todas las variaciones posibles de los factores de los factores que inciden en la calidad del cake?. Tenemos 3 factores a= harina  =)   2 niveles b= harina  =)   2 niveles c= harina  =)   3 niveles a b c = 2 2 3

 

 

Se deberian hornear 12 cakes

0.9.1

0.10 Ejercicios 2.8 1. Sean  A  y  B  dos eventos con  Pr(A) 6 = 0  y  Pr(B) 6 = 0 . Demuestre que Pr(A B) = Pr(B) Pr(A B) = Pr(A) Pr(B A)

 \

Pr(A B) = Pr(B)

 \

Pr(A B) = Pr(A

 \

j

Pr(A \B ) Pr(B )

j

= Pr(A)

Pr(B \A) Pr(A)

\ B) = Pr(A \ B)

2:  Demuestre que si  A  y  B  son eventos independientes y si  A o  Pr(B) = 1  o  Pr(A) = 0

  B  entonces,

lvi Si  A  y  B  son independientes entonces quiere decir que: Hipótesis: Pr(A B) = Pr(A) Pr(B) y  A

\ Pr(A \ B) Pr(A [ B



C 

  B

= 1 Pr(A B) ) = 1 Pr(A B) C  Pr(A ) + Pr(B C ) Pr(AC  B C ) = 1 Pr(A Pr(AC )+Pr(B C ) = 1 Pr(A B) A  B; Pr(AC  B C ) = 0) 1 Pr(A)+1 Pr(B) = 1 Pr(A) Pr(B) C 

 

  

C 

\ \



\ 



\ \



  Pr(A)  Pr(B)  Pr(A)  Pr(B) + 1 = 0 Pr(A)  Pr(B) [1  Pr(B)]  Pr(B) + 1 = 0 2  2Pr(B) = 0 2[1  Pr(B)] = 0 1  Pr(B) = 0

\ B)

(Debido a que

 

(Reemplazo

de la Hipótesis)

Pr(B) = 1

3. En un círculo de 20cm de radio se encuentra un círculo menor de radio 10cm. Halle la probabilidad de que un punto marcado al azar en el círculo mayor caiga también en el círculo menor. 2

Pr =

 (10)

2

 (20) 314:16 1256 :64

Pr = Pr = 0:25

4. Sea  = f(x; y) =0  x  1; 0  y  1g   el espacio muestral de un fenómeno aleatorio. Calcule la probabilidad de los eventos . a)  A =  f(x; y) =0  x   1; 0  y   1=2g b)  B  =  el triángulo limitado por las rectas  x  = 0; y  = 0; y  = 1  x c) ¿Son independientes los eventos  A  y  B ? Veri…camos si son independientes Pr(A B) = Pr(A ) Pr(B) 1 1 1 2 = 2 2 1 1 2 = 4

 \

 6

 

No son independientes Pr(A ) =

Pr(B) =

a  rea de A a  rea de  

a  rea de B a  rea de  

=

=

(

( )(1) 1 2

(1)(1)

11 2

)

(1)(1)

=

= 1 2

1

1 2

1

=

=

1 2

1 2

5. Supóngase que un punto es elegido aleatoriamente en el cuadrado unitario. Si se conoce que el punto está en el rectángulo limitado por  y  = 0; y = 1; x = 0;

0.10. EJERCICIOS 2.8 

 

lvii

y  x = 21 . ¿Cuál es la probabilidad de que el punto esté en el triángulo limitado por  y  = 21 ; x = 21 y  y + x = 21 ?

a  rea de   a  rea de 

Pr(A ) = Pr(A ) = Pr(A ) =



1 1  2 2 2



1 2

 1 1 4 2 1 2

Pr(A ) =

1 8 1 2

Pr(A ) =

1 4

6:En el cuadrado unidad se consideran los siguientes evento:

A :  El triángulo limitado por  x  = 0; y = 1; y = x +

y

 1 3

2

1

A -2

-1

1

-1

-2

B :  El triángulo limitado por  x  = 0; y = 0; y = 1

x

2

x

lviii

y

2

1

-2

-1

1

-1

-2

a) Halle  Pr(B n A); Pr(B j A)  y  Pr(A [ B C )

2

x

0.10. EJERCICIOS 2.8 

lix

(0:66) (0:3) = 0:099 2 (1) (1) = 0:5 Área de  B  = 2



Área de  A  =



Entonces, Pr(B A) = (0:5 (0:5 0:099)) 0:099 = 0:3515 Pr(B A) Pr(B  A) = Pr(A) 0:5 0:099 Pr(B  A) = = 0:5 0:099 Pr(A B C ) = 0:099 + (0:099 (0:099 0:5)) = 0:1485

 n  j  j [

   \ 







b) Pruebe si A y B son independientes: Si lo son ya que si pasa el evento A, pasa el tambien pasa el evento B 7. Se tiene un grá…co que representa la función trigonométrica seno, limitada por lar rectas  x =  =2; x = =2; y =  1; y = 1. Sobre el grá…co cae una gota de tinta. ¿Cuál es la probabilidad de que la gota de agua de tinta haya caído dentro del área comprendida entre el eje  x  y la curva  y  = sen x  ?. (Observación: Suponga que el área de la mancha de tinta es despreciable.) B = 1 C  =  B

 senx

lx P (A) = (4B 2B) + (2B P (A) = 4B senx

  senx)

   

8. Se lanzan dos dados ¿cúal es la probabilidad de que en los dos dados salga el 3, si se sabe que la suma es 6?. Pr  ("primer dado salga 3" y "segundo dado salga 3"  j  "la suma es 6")  = (1; 5)(5; 1)(2; 4)(4; 2)(3; 3) 1 B A = 3; 3 36 B \A) Pr(B A) = Pr( Pr(A)

 \

 f j

g

 f g

= =

1 36 5 36

1 5

9. Para cierta localidad el promedio de dias nublados en el mes de julio es de seis. Halle la probabilidad de que el primero y el dos de julio haga buen tiempo. P=("Dias"Nublados)

DiasdeJuilio=31

 = 1; 2; 3;:::; 31

 f

g

6 P(A) = Dias buen tiempo 36 P(B) =  1  y  2  sea buen tiempo

P (B  A) =

 j

= =

P (B \A) P (A) 1 930 6 31

2 31

10:  En una biblioteca hay 8 libros de literatura de ciencia …cción, 3 de los

cuales son de Julio Verne. La biblioteca toma al azar dos libros. Determine la probabilidad de que ambos resulten ser de Julio Verne 8 Libros  =)3 de Julio Verne Pr(A

\ B) = 38   14 = 323

11) Supongase que el 5% de todos los hombres y el 0.25% de todas las mujeres sufren daltonismo. Una persona escogida al azar resulta ser dáltonica .¿Cuál es la probabilidad de que esta persona se un hombre?.(Se considera que la cantidad de hombres y mujere es igual? Hombres =)50% =)0,5 P(B1) = "Sea hombre" Mujeres =)50% =)0,5 P(B2) = "Sea mu jer"

0.10. EJERCICIOS 2.8 

lxi

A= "La persona escogida es daltonica" Debemos encontrar aplicando el teorme da Bayes P (B  A) P (B  A) =

 j  j

P (B 1)P (AjB 1) P (B 1)P (AjB 1)+P (B 2)P (AjB 2) :5):(0:5) = (0:5):(0(0:5)+(0 :5):(0:25) 0:025 = 0:025+0 :00125 = 0:95

12) Un inspector debe seleccionar a un trabajador de entre 4 aspirantes numerados del 1 al 4. La seleccion la lleva a cabo mezclando los números y tomando uno al azar. Sean A  el evento "se selecciona al trabajador 1 o al 2"; B , el evento "se selecciona al trabajador 1 o al 3"; y C , el evento "se selecciona el trabajador 1". ¿ Son independientes: a)A  y  B ? b)  A  y  C ? P (A) = 21 P(A) = "Seleccionar al trabajador 1 o 2" P(B) = "Seleccionar al trabajador 1 o 3" P (A) = 21 P (A) = 41 P(C) = "Seleccionar al trabajador 1" Calcularemos si son independientes: P (B A) =  P (A)P (B) 1 1 1 4 = 2 2 1 1 4 = 4

\

 

Se cumpple la condicion entonces entonces A y B son independientes independientes

P (B A) =  P (A)P (B) 1 1 1 4 = 2 4 1 1 4 = 8

\

 

Se cumpple la condicion

A y B no son

13)La empresa de correos ha determinado que el 10% de los paquetes enviados al exterior no llegan a su destino. Dos libros pueden enviarse separadamente o en un solo paquete. Para cada una de las dos formas de envio postal, encuentre: a) la probabilidad de que ambos libros lleguen a su destino b) la probabilidad de que al menos un libro llegue a su destino. 14: En una exhibición de arte hay 12 pinturas de las cuales 10 son originales. Un visitante selecciona una pintura al azar y decide comprala después de escuchar la opinión del experto sobre la autenticidad de la pintura. El experto está en lo correcto 9 de cada 10 casos, en promedio. a) Dado que el experto decide que la pintura es auténtica, ¿Cúal es la probabilidad de que él no se equivoque? P r(A

9 3 \ B) = 10   = = 0:75 12 10 4

lxii

b) Si el experto decide que la pitura es una copia, entoces el visitante la devuelve y escoge otra, ¿Cúal es la probabilidad de que la segunda pintura escogida sea la original? Pr(B  A) =

 j

Pr(B A) Pr(A)

 \

15) Una prueba para detectar el virus del SIDA en la sangre da el diagnostico correcto con una probabilidad del 95%. Según datos estadisticos, uno de cada 2000 ecuatorianos en promedio, es portador del virus. Dado que la prueba fue positiva para una persona, ¿Cuál es la probabilidad de que ella realmente tenga la enfermedad? B1="Lapersona tiene sida" B1="Lapersona tiene sida"

 

1 2000 1999 2000

A= "Prueba positiva" Debo Hallar  P (B j A) P (B  A) =

 j

P (B 1)P (AjB 1) P (B 1)P (AjB 1)+P (B 2)P (AjB 2)

= =

1 2000

( 19 2018

1 ( 2000 ):(0:95) ):(0:95)+( 1999 ):(0:05) 2000

0.10.1 Ejercisio de Probabilidades de geometria: Interpretación Geométrica de la Probabilidad 1) Un cable de 50 cm de longitud tiene desgatado un segmento de 15 cm. Halle la probabilidad de que el cable se rompa en un punto ubicado en el segmento desgastado La probabilidad de que el cable se rompa en el segmento desgastado es de 3 10

0.10. EJERCICIOS 2.8 

 

lxiii

5) Dentro de un semicirculo de radio igual a 17cm, se encuentra un paralelogramo de base 16 cm y altura 9 cm. Si marca un punto, al azar, dentro del semicirculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el pùnto no se encuentre dentro del paralelogramo? La probabilidad de que el pùnto no se encuentre dentro del paralelogramo 288 es 289  9) Encuentre la probabilidad de que un putno marcado en el interior del cuadrado, tambien se hallle en el área sombreada. (Figura 5.1) La Probabilidad de que un punto marcado este dentro del área sombreada es

3 8

13) En el cuadrado unidad se unieron os puntos (0,0), (1/2,1) y (1,0) mediante tres rectas, de manera que se formó un triangulo. Se marcó aleatoriamente un punto dentro del cuadrado, ¿Cual es la probabilidad de que se encuentre dentro del cuadrado limitado por las rectas  x  = 21 ; X  = 1; y = 0; Y  = 21  , si se conoce que se encuntra en el interior del tirngulo formado anteriormente? La probabilidad de que el punto se encuentre dentro del cuadrado es

3 4

lxiv

0.10. EJERCICIOS 2.8 

lxv

17) Dentro del cuadrado unidad se de…nen los eventos: * A: el paralelogramo limitado por las rectas  x  = 0; y = 0; X  = 1; 2x 

4y + 1 = 0

* B: el triángulo limitado por las rectas  y  = 0; x = 1; 3x  2y = 1 * C: el rectangulo cutos vértices son los puntos  (0; 0); (0; 1=2); (1; 1=2); (1; 0) Halle: a) Pr(A \ B);Pr(B j C ), Pr(B n C ) b)¿Son independientes, dos a dos, los eventos A,B y C? a) La Pr(A \ B) =

11 48

 , la Pr(B j C ) = 43 ,

laPr(B n C ) =

29 48

b) Pr(A \ B \ C ) 6 =Pr(A)  Pr  (B)  Pr  (C ) Los eventos A, B y C no son independientes 21) Dentro de un cuadrado se trazan los arcos como se muestra en la Figura 5.5. Se marca un punto al azar dentro del cuadrado y se de…ne los eventos *S. el punto se encuentra en el triángulo curvilineo ABD

lxvi

*T: el punto se encuentra en el triángulo ractangulo ADC Hale a) Pr(S )  y Pr  (T ) b)Pr(S  j T )  , Pr  (T  j  S )  ,y Pr  (S  n T ) c)¿Son independiente S y T? a) La probabilidad de Pr(S ) = 8 y la probabilidad Pr  (T ) = 21 b) La probabilidad de Pr(S  j T ) = 8 + 14 ,la probabilidad Pr  (T  j  S ) = 21 + 1  , y la probabilidad Pr  (T  n S ) = 16   81

Part IV

Vocabulario:

lxvii

0.11. PROBABILIDAD:

 

lxix

0.11 Probabilidad: La probabilidad es un método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones su…cientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la …losofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos.

0.12 Experimentos

:

Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar (con…rmar o veri…car) una o varias hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno, mediante la manipulación y el estudio de las correlaciones de la(s) variables que presumiblemente son su causa. La experimentación constituye uno de los elementos claves de la investigación cientí…ca y es fundamental para ofrecer explicaciones causales. En un experimento se consideran todas las variables relevantes que intervienen en el fenómeno, mediante la manipulación de las que presumiblemente son su causa, el control de las variables extrañas y la aleatorización de las restantes. Estos procedimientos pueden variar mucho según las disciplinas (no es igual en física que en psicología, por ejemplo), pero persiguen el mismo objetivo: excluir explicaciones alternativas (diferentes a la variable manipulada) en la explicación de los resultados. Este aspecto se conoce como validez interna del experimento, la cual aumenta cuando el experimento es replicado por otros investigadores y se obtienen los mismos resultados. Cada repetición del experimento se llama prueba o ensayo.

0.13 Aleatorios: La aleatoriedad se asocia a todo proceso cuyo resultado no es previsible más que en razón de la intervención del azar. El resultado de todo suceso aleatorio no puede determinarse en ningún caso antes de que este se produzca. El estudio de los fenómenos aleatorios queda dentro del ámbito de la teoría de la probabilidad y, en un marco más amplio, en el de la estadística. La palabra aleatorio se usa para expresar una aparente carencia de propósito, causa, u orden. El término aleatoriedad se usa a menudo como sinónimo con

lxx un número de propiedades estadísticas medibles, tales como la carencia de tendencias o correlación. La aleatoriedad ocupa un lugar importante en la ciencia y la …losofía.

0.14

Combinatorio

:

La combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de con…guraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas.

0.15

Interpretacion

:

La interpretación es el hecho de que un contenido material, ya dado e independiente del intérprete, sea “comprendido” o “traducido” a una nueva forma de expresión. Dicho concepto está muy relacionado con la hermenéutica. La condición básica de una interpretación es «ser …el de alguna manera especi…cada al contenido original del objeto interpretado».1 Para Gadamer el lenguaje2 es el medio universal en el que se realiza la comprensión misma. La forma de realización de la comprensión es la interpretación.3 La relación intérprete-interpretación se considera compleja y cada caso responde a muy variadas …nalidades, condiciones y situaciones, lo que plantea multitud de cuestiones y problemas. Los problemas de interpretación se entienden mejor si se especi…ca el contexto o marco en el que se hace dicha interpretación. Por ejemplo no existen los mismos problemas en la interpretación de unas observaciones cientí…cas, que en la interpretación de algunos aspectos culturales. Dada la variedad de campos en los que aparece la necesidad de interpretación, parece necesario hacer una clasi…cación de ámbitos fundamentales de interpretación. En artículos independientes se tratan diversos contenidos especí…cos de interpretación, como se señala en Interpretación (desambiguación).

0.16 Varianza

:

En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como nsigma^2) de una variable aleatoria es una medida de dispersión de…nida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar, es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.

0.17. ESPERANZA:

 

lxxi

Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy in‡uida por los valores atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas. El término varianza fue acuñado por Ronald Fisher en un artículo de 1918 titulado The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.

0.17 Esperanza: En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X , es el número noperatorname{E}(X) que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio. Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible. Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.

0.18 Variables Cualitativas

:

Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasi…cación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir: Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa: La variable puede tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, fuerte.

lxxii Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden como por ejemplo los colores.

0.19 Variables cuantitativas Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables cuantitativas además pueden ser: Variable discreta : Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores especí…cos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5). Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especi…cado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), o el salario. Solamente se está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que exista un valor entre dos variables.

0.20 Variables independientes Son las que el investigador escoge para establecer agrupaciones en el estudio, clasi…cando intrínsecamente a los casos del mismo. Un tipo especial son las variables de control, que modi…can al resto de las variables independientes y que de no tenerse en cuenta adecuadamente pueden alterar los resultados por medio de un sesgo. Es aquella característica o propiedad que se supone ser la causa del fenómeno estudiado. En investigación experimental se llama así a la variable que el investigador manipula.

0.21 Variables dependientes Son las variables de respuesta que se observan en el estudio y que podrían estar in‡uidas por los valores de las variables independientes. Hayman (1974 : 69) la de…ne como propiedad o característica que se trata de cambiar mediante la manipulación de la variable independiente. La variable dependiente es el factor que es observado y medido para determinar el efecto de la variable independiente.

0.22

Concepto de Probabilidades

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por