Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 1 Quinto Católica
TRIÁNGULOS NOTABLES - SEGMENTOS - ÁNGULOS Segmento
a A
B
Ángulo
Segmento AB = a m AB = a d (A;B) = a
P
Operaciones con segmentos: •
O
Adición
a
R
b C
B
A
Q
x Elementos:
AB + BC = AC a+b=x •
O
Vértice del ángulo POQ
OP, OQ
Lados del ángulo POQ
Sustracción
x A
b C
B a
Medida del ángulo POQ
OR
Bisectriz del ángulo POQ
Notación:
m
POQ =
Se lee: "La medida del ángulo POQ es º."
AC - BC = AB a-b=x
Clasificación de los ángulos
Punto medio de un segmento: a a B M A
Según su medida:
"M" es punto medio del segmento AB
* Ángulos Convexos 0º < < 180º
Distancia de un punto a un segmento:
P
P
d A
A B
"d" es la distancia del punto "P" hacia el segmento AB TRILCE Católica
Ángulo Agudo: 0º < < 90º
B
d
Ángulo Recto: = 90º
5
Ciclo
Católica Ángulo Obtuso: 90º < < 180º
Ángulos Consecutivos:
*
. ..
* Ángulo no Convexo: 180º < < 360º
.
*
Ángulos Adyacentes:
* Ángulo Llano: = 180º
PROPIEDADES DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS (L 1 // L2) * Ángulos alternos internos:
•
Según su suma:
* Ángulos Complementarios:
L1
=
L2
+ = 90°
* Ángulos correspondientes:
Nota: El Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para ser 90º.
C 90º
+=
180º
* Propiedades adicionales (L 1 // L 2) a)
L1
x = +
x
Nota: El Suplemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para ser 180º.
=
L2
* Ángulos suplementarios
L1
S 180 º
L2
Según la posición de sus lados:
*
b)
Ángulos opuestos por el vértice:
w
L1 + w = 180º
6
=
L2
TRILCE Católica
G EOMETRÍA
c)
L1
aº
25
24
41
40
21
29
bº
9
7
cº
20
L2
+ + = aº + bº + cº
37
35
10
8
20
25
d) L1
w
12
6
Triángulos rectángulos notables
15
L2
1.
De 30° y 60°
+ + + w = 180º
30° Triángulos rectángulos notables
A
C
BC = a
Hipotenusa:
c
b
*
AC = b
Catetos:
B
a
2a
a 3
2.
De 45º
AB = c *
+ = 90°
45°
Teorema de Pitágoras: 2
60°
a
2
a +b =c
2
a 2
a
Algunos triángulos rectángulos cuyos lados son valores enteros:
a
45°
* 45°
5
4
13
12
15
17
2a
a 2
45° 3
TRILCE Católica
5
8
a 2
7
Ciclo
Católica 3.
De 37° y 53°
4.
Si: L1 // L2 , calcular “x” L1
4a
3a
L2
120°
53°
37° 5a
x
Del triángulo rectángulo notable anterior se puede deducir:
A. 10° C. 30°
* a 5
a
5.
B. 20° D. 25°
Calcular "AB + CD", si: AM = MD = 12
C
53°/2
2a *
B
a 10
a
53°
3a
Solo para triángulo rectángulo de 75° y 15°. 6.
B
B. 28 D. 35
En la figura mostrada, calcular “x”.
15°
H
10
C
37°
Problemas para la clase x 1.
Se tienen los puntos colineales “A”, “B”, “C” y “D” de tal manera que: AB = 3BC y AD + 3CD = 12, hallar “BD”. A. 1,5 C. 4
2.
B. 3 D. 6
Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” de tal manera que: AC + 2DC + BD = 40 y AB = DC, calcular “AD”. A. 10 C. 18
3.
7.
B. 8
C. 4 2
D. 3 2
En la figura se presenta el triángulo equilátero ABC. Si: PB = 4 m y AC = 16 m ; calcular:
PQ PR
B
B. 15 D. 20
Q P
A
130°
A.
8
45°
A. 4
Calcular: " - "
A. 100° C. 110°
D
h = AC 4
h A
M
A. 24 C. 30
* Propiedad:
75°
53°
A
37°/2
B. 90° D. 80°
C.
1 3 1 4
C
R
B.
D.
3 2 1 5
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 8.
En la figura, calcular AB, si: PC = 16 m
13. Calcular “x”, si: L1 // L2 y L3 // L4 y =
B 7º
37º
30º
A
C
P
9.
2
4
L1
x
L3
L4
A. 12 m C. 8
B. 18 D. 6
L2
En la figura: AP = 4 2 m ; PC = 6 m , calcular "BP" A. 45° C. 67,5°
A 135º
B. 60° D. 80°
14. En la figura, AC=2(BC); calcular: m GDH .
P
A 180º- 30º
B
C
G
E
D A. 5 m C. 7
B. 6 D. 9
H
10. La figura muestra tres cuadrados consecutivos; calcular la medida del ángulo "x".
Q
B
R
C
x A
11.
S
P
A. 100º C. 135º
D
A. 20º C. 35
12
B
C
3 0 °
B. 5 D. 15
12. Calcular “x”, si: a + b = 50° y L1 // L2
L1
B. 30º D. 45º
15. En la figura, calcular la distancia desde “D” hasta BP .
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S”, tal que: QR = RS y (PS)2 - (PQ)2 = 20(QS), calcular “PR”.
120°
C
B
B. 120º D. 145º
A. 4 C. 10
F
10
A
D
P
A. 6 3
B. 6 3 - 5
C. 6 2 - 4
D. 4 3
16. En el gráfico: L1 // L2 y AB//CD , calcular “x”.
x 80°
x
b C
L2 A. 40° C. 70°
a
D
L1
154° B. 50° D. 60°
B 148° A
TRILCE Católica
L2
9
Ciclo
Católica A. 120° C. 124°
B. 122° D. 125°
3.
17. Si: BP = 10 m , calcular "QH" .
A. 8 cm C. 18
B 30º 30º
4.
P H
45º
A
Q
A. 4 m C. 6
Los puntos consecutivos "A", "M", "B" y "C" pertenecen a la misma recta. "M" es el punto medio de AC . Hallar MB, si: AB - BC = 32 cm.
C
B. 5 D. 7
B. 32 D. 16
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D" y "E", siendo "C" punto medio de AE ; además, AB = CD. Calcular la longitud de BD , si : AE = 18 m. A. 6 m C. 8
5.
B. 7 D. 9
En la figura, L1 // L2 . Calcular "x" .
18. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, luego se trazan las bisectrices OM , ON y OZ de los ángulos AOB, COD y MON respectivamente. Si: mMOC+ mMOD - 4mBOZ = 80°, calcular: mAOB. A. 20° C. 40°
50º x
B. 30° D. 60°
L2
A. 100º C. 110º
19. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “C” tal que: AB > BC , luego los puntos medios “M”, “N” y “P” de AB , BC y MN respectivamente. Si: BP = K, calcular: AB - BC. A. 2K C. 4K 20.
L1
30º
6.
B. 105º D. 115º
En la figura L1 // L2 , calcular : L1
B. 3K D. 5K
Hallar "AP"; si MN = 5 m y QC = 2 m
L2
A
P
A. 340º C. 360º
M N
B A. 3 m C. 5
7. Q
Calcular:
C
B. 320º D. 350º AB BC B
B. 4 D. 6
2 C
Tarea domiciliaria
1.
"P", "Q" y "R" son tres puntos consecutivos de una recta, PQ = 2(QR) + 1 y PR = 31 m. Hallar "QR" . A. 9 m C. 11
2.
B. 10 D. 12
A
D
A. 3 C. 5 8.
B. 2 D. 4
En la figura, calcular "x" .
Sobre una recta se tiene los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D" tal que: AD = 24 m, AC = 16 m y Hallar "BC ". A. 3 m C. 6
10
AB AD . BC CD
x
5 60º
B. 4 D. 3,6
4 5
TRILCE Católica
G EOMETRÍA A. 21º C. 23º
13. Hallar el perímetro de la figura ABCDE .
B. 22º D. 7º
B
9.
Calcular "BH", si: AH = 20 cm. A
a
C
C a
H
a E
23º 37º B
A
A. 16 cm C. 18
B. 12 D. 24
a
D
A. 4 3 a
B. 4a
C. 6a
D. 6 2 a
14. Hallar el perímetro del cuadrilátero ABCD.
10. Calcular "x", si: AM = MC
D
B A 105º n 45º 45º A
A. 30º C. 53º 11.
x
37º/2 M
B
B. 37º D. 45º
A. 4 n
B. (4+ 2 )n
C. (4+ 2 + 3 )n
D. (2+2 2 + 6 )n
En una recta se tienen los puntos consecutivos "A", 5 AB "B" y "C", siendo: AC AB (BC) . Hallar . 3 BC
A. 3
C. 2 12.
C
C
B.
D.
1 6 1 3
En una recta se tiene los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", cumpliendo la relación: 4(AB) - (BD) - 2(CD) = 4 m ; hallar "AD", si: AB = 3 m y AC = 5 m A. 5 m C. 8
TRILCE Católica
AB AE
15. De la figura, calcular:
2 A. 3
B
C
2 B. 3 4 C.
2 4
D.
4 2 3
D 45º A
30º 30º
E
B. 6 D. 7
11
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 2 Quinto Católica
TRIÁNGULOS I - PROPIEDADES FUNDAMENTALES II. Según sus lados B
1. Triángulo Escaleno
a
c
b
A
b
a
C
abc
c
Elementos: 2. Triángulo Isósceles
A, B, C ................. Vértices AB, BC, AC ......... Lados , , .................. Ángulos Internos , , .................. Ángulos Externos a + b + c = 2p ..... Perímetro
Clasificación de los Triángulos I.
Base
Según sus ángulos
Base
3. Triángulo Equilátero
1. Triángulos Oblicuángulos a) Triángulo Acutángulo
60°
60°
60°
0º < , , < 90°
Propiedades Fundamentales
1.
b) Triángulo Obtusángulo
90° < < 180°
+ + = 180°
2.
2. Triángulo Rectángulo
y
+=
90°
x + y + z = 360°
x z
TRILCE Católica
13
Ciclo
Católica 3.
A. 90º C. 110º
2.
B. 120º D. 130º
Hallar “x” en la figura.
x= + x
4.
B
Existencia del triángulo o desigualdad triangular
x
2
A
a
b
A. 75° C. 90°
b-c
3.
B. 80° D. 85°
Hallar “x - y”
a-b
c
x
Propiedades Auxiliares
y
1. A. 10° C. 20°
x=++
4.
160° B. 15° D. 30°
Hallar “x”, si: a + b = 220° y CN = MN x
x
C
B N
b
2.
M
C
A. 110° C. 135°
5.
a A
B. 120° D. 150°
Calcular “m BDC”
C
D
A. 35° C. 50°
Problemas para la clase 1.
80° B
+ + + + = 180°
En la figura; AB=AC y CE=CF. Calcular m APF.. A
6.
A
B. 40° D. 80°
En la figura, hallar “x”
D B 35°
P A B
E
2
x
C
C A. 30° C. 40°
40º
B. 35° D. 45°
F
14
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 7.
Si el triángulo PQR es equilátero, calcular “x”.
13. Calcular “x” :
R
80°
P
Q
x
x
A. 30° C. 45° 8.
B. 60° D. 25°
En un triángulo acutángulo dos de sus lados suman 30 m. Calcular el mayor valor entero que puede tomar la altura relativa al tercer lado. A. 11 m C. 13
9.
14. Hallar “”, si: AB = BC = BD C
En un triángulo rectángulo ABC se traza la altura BH y luego la bisectriz BQ del ángulo HBC. Si: AB = 8 m y QC = 5 m, calcular “AC”.
A
B. 10 D. 13
x
A. 20º C. 40º
16.
11.
B. 45° D. 72°
15. En un triángulo isósceles ABC, el ángulo "B" mide 100º. Se traza la altura desde "A" y la bisectriz del ángulo "B", cuyas prolongaciones se cortan en el punto "P", hallar m BPA .
A. 10° C. 20°
B. 30º D. 60º
En la figura: AB=BC=AD, calcular "x".
B. 18° D. 25°
B xº
Si ABC es un triángulo equilátero, calcular “x”.
B. 80º D. 90º
Del gráfico: a+b=200º; calcular "x".
B. 25° D. 35°
3 3
12. En la figura: 70º y AP=AM; HC=MC. Calcular "x". xº
70º
D
A. 75º C. 85º
C 17.
A. 20° C. 40°
60º
A
x 80°
C
xº
B
A
D
B
A. 30° C. 60°
Hallar “x”, si: + + = 130°
2x
B. 120° D. 125°
B. 12 D. 14
A. 9 m C. 12 10.
A. 110° C. 140°
xº
b
H
a
P A A. 120º C. 116º
TRILCE Católica
C
M
A. 130º C. 140º
B. 135º D. 120º
B. 125º D. 150º
15
Ciclo
Católica 18. En la la figur figura, a, calcula calcularr “x”. “x”.
4.
Cal Calcular cular el valor alor de "x" "x" en en::
B
130°
80°
x
A
A. 40° C. 60°
C
B. 50° D. 70°
2 3
19. En un triá triángul ngulo o escale escaleno no ABC, “ I" es punto de intersección ción de las las bise bisectr ctric ices es inte interi riore ores. s. Si: Si: A I=2u; CI = 9u , calcula calcularr “AC”, si es enter entero. o. A. 8 u C. 1 0 20.
B. 9 D. 11
x
A. 100° C. 130° 5.
Según el el gráfico, gráfico, calcul calcular ar el val valor or de “x” .
2 3
B. 120° D. 140°
De la figura ED = DC ; mBED = mBDE . Si: Si: AE = 7 ; calcul calcular ar "BD" "BD"
x 40° A. 20° C. 10°
B. 40° D. 30° A. 3,5 C. 6
Tarea domiciliaria 1.
B. 1 4 D. 7
Calc Calcul ular ar el valor alor de "x" "x" : 6.
Del Del gráfi gráfico, co, calcu calcula lar: r:
3xº - º
2xº+º
2
40°
A. 14° C. 20° 2.
B. 26° D. 28°
De la figur figura, a, calc calcul ular ar "x" "x" :
B 2xº+20º
A. 3
A A. 15º C. 30º 3.
xº+30º
xº-10º
C.
C
17 3
B.
14 3
D.
16 3
B. 20º D. 35º
En la figur figura: a: AB = BC , cal calcular cular "x" "x" .
7.
En la figur figura: a: AC = BC BC = BD = DE DE , calcul calcular ar::
B
E B
40º F
100º E
A
C
D
x A
A. 60º C. 40º
16
D
C
B. 50º D. 70º
A. 1 C. 2
B. 1,5 D. 4
TRILCE Ca Católica
EOMETRÍA G EOMETRÍA
8.
De la figu figura ra,, calc calcul ular ar:: "m + n"
13. Calc Calcul ular ar "x" "x" , si: si: AB = BC y TC = TD
n
m
A. 240º C. 220º 9.
140º
B. 230º D. 210º
En un triángul triángulo o ABC, ABC, se traza traza la altura altura BH ("H" ("H" en en AC ). Si: AB + BC = 8, calcular el máximo valor entero de BH. A. 3 C. 4
A. 60º C. 20º
B. 50º D. 40º
14. Calc Calcul ular ar "x" "x" , si: si: - = 18º
B. 5 D. 6
2º
10. De la la figur figura, a, calc calcul ular ar .
60º
A. 1 C. 3 11.
B. 2 D. 5
A. 18º C. 15º
º
B. 20º D. 17º
15. Del Del gráfi gráfico, co, calcul calcular ar "x" "x" , si: si: AB = BC y m ABC = 40º
Del gráfi gráfico co adjunto, determina determinarr la relación relación correcta correcta (PQ (PQ = PR). PR).
º
º
A. 150º C. 170º
A. 3x=2 3x=2 C. 7x= 3
B. 160º D. 140º
B. 5x= 5x= 2 D. 7x= 7x= 2
12. Si: 110º , calcul calcular ar " " .
A. 30º C. 40º
TRILCE Ca Católica
B. 50º D. 70º
17
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 3 Quinto Católica
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y SUS APLICACIONES Triángulos congruentes
Aplicaciones de la congruencia de triángulos 1. Propiedad de la Bisectriz a)
B
N
a
c
A
a
c
C
b
M
R
b
Q
O
P
PR = PQ OR = OQ Q
ABC = MNQ
Casos de congruencia de triángulos
b)
Caso I: (ALA)
O
N
M
QN = QM ON = OM
Q
a
a
2. Propiedad de la Mediatriz a) Caso II: (LAL) L
L : Mediatriz de AB
O
b
OA = OB
b
a
B
A
a b)
Caso III: (LLL)
Q
m : Mediatriz de PQ RP = RQ
c
b
c
b
P R
a TRILCE Católica
a
m
19
Ciclo
Católica Observación:
4.
Propiedad de la Mediana Relativa a la hipotenusa
B
Propiedad en un Triángulo Isósceles B
A
M
C
Si: BM es mediana A
BM = AC 2
C
H
Si: AB = BC Altura Mediana Bisectriz Mediatriz
BH
3.
BMC; AMB: ’s isósceles
Problemas para la clase 1.
Si: BC = CE ; AB = 7 y ED = 9 , calcular “AD”. E B
Teorema de los puntos medios B
A
2.
C
A. 16 C. 18
L1
N
M
D
B. 15 D. 14
Hallar “x”, si: BF = BC y AF = EC.
A
A
C
x 50° F
BN = NC
Si: AM = BM
MN =
L1 // AC
B
AC 2
E 130° C
También: A. 60° C. 50°
B 3.
M
B. 80° D. 75°
Si ABCD es un cuadrado, calcular "HD", además: AP = 7 m y CQ = 12 m.
C
B
N
Q A
A
C
Si: AM = BM BN = CN
20
D
P
MN // AC MN =
H
AC 2
A. 5 m C. 6 m
B. 4 m D. 3,5 m
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 4.
Calcular “EF”, si: AC = AE ; BF = 7 m y FC = 5 m.
9.
Del gráfico; calcular " ". B
B F
E
A
C 7
A
a
3a
A. 10º C. 18º
E A. 12 m C. 17 m 5.
C
M
B. 15 m D. 19 m
B. 15º D. 20º
10. En la figura: MN // AD , calcular "MN", si AD=6m. B
En la figura, calcular “AB”, si: ED = 12 m y BC = CD. B
N M
37°
A
D
E
C
A
A. 16 m C. 24 m 6.
A. 2 m C. 4 m
D
B. 15m D. 20 m
C
11.
B. 3 m D. 5 m
Si: AB=8m; BC=14m y AC=10m. Calcular "MN". B
Del gráfico, calcular “AD”, siendo: CM = MD y BC = 5 u C
53°
B
M
M
A. 4 u C. 8 u 7.
A
D
30°
A
N
A. 8 m C. 4 m
B. 6 u D. 10 u
12.
Si: AC = 32 m , calcular “BE”.
C B. 6 m D. 5 m
En la figura: AB=2m; BC=6m y AR=RC. Calcular "RL". L B
B
18° 36°
A
E
A. 16 m C. 12 m 8.
A
C
A. 4 m C. 8 m
B. 18 m D. 15 m
C
R B. 6 m D. 9 m
13. Calcular "BC"; si; BH=8cm; AH=3cm; AO=OM y BM=MC.
Calcular “x”, si: PC = 2AB y AP = PB.
B
B
M O
x A
C
P
A. 15° C. 18°
TRILCE Católica
B. 20° D. 14°
A
A. 5 cm C. 8 cm
C
H
B. 6 cm D. 10 cm
21
Ciclo
Católica 14.
En un triángulo isósceles ABC; AB=BC se traza la
20.
bisectriz interior AP ; en la prolongación del lado AC se ubica el punto "E", de tal manera que: m APE=90º y AE=12m. Calcular "PC". A. 5 m C. 7 m
Del gráfico, el triángulo ADC es equilátero y su lado mide 10cm; si "Q" es punto medio de AD . Calcular "BQ". B
B. 6 m D. 8m
15º
A
15. Del gráfico: AH=HQ; L1 y L2 son mediatrices de BD y
Q
QC respectivamente; si m ABC=100º. Calcular "x". B L1 M
C
D B. 5 3 m
A. 5m
L2
C. 5 2 m
D. 10 2 m
D xº
A
H
A. 10º C. 20
Q
N
C
Tarea domiciliaria 1.
En la figura, PQ = AC. Calcular "BP".
B. 12º D. 18º
Q
16. En un triángulo rectángulo ABC recto en “C”, en AB se ubica el punto "L" y luego se traza las mediatrices
B
de AL y LB que intersectan a AC y BC en "M" y "N" respectivamente. Calcular “MN”, si: AM = 9 m y NB = 12 m
P
6
A. 12 m C. 20 m 17.
A
B. 15 m D. 18 m
A. 90 º
mº 2
B. 180 º
C. 90 º
3 mº 2
D. 90 º
C
A. 3 C. 5
En un triángulo rectángulo ABC recto en "B"; se toma un punto "Q" en AC y un punto "P" en BC tal que: AQ=QC=BP. Calcular m PQC. Si: m BCA=mº
18.
10
2.
B. 4 D. 6
Si los triángulos ABC y TKC son equiláteros, calcular "x".
5 mº 2
B x
3 mº 2
T 100°
En un triángulo ABC se toma un punto "P" en su interior, tal que m APB=90º y m BAP=m PAC, siendo "M"
A
punto medio de BC . Calcular "PM"; si AC=a y AB=b; (a>b) A. a - b
B. 2a - b
a b C. 2
a b D. 3
K
C
A. 80° C. 40° 3.
B. 50° D. 20°
En la figura, ABCD es un cuadrado. Si AM = 8 y CN = 6, hallar "MN". B
19. En un triángulo acutángulo ABC; la m ABC=60º y la altura BH=6cm, por "H" se trazan HE y HF perpendiculares a las bisectrices de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcular "EF".
A C 8
A. 1 cm C. 2 cm
6
B. 4 cm D. 3 cm
M
A. 10 C. 14
22
D
N
B. 12 D. 16
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 4.
En la figura, ABCD es un cuadrado. Hallar "EB", si DE=17 y CF = 12. E
B
8.
es igual a 40°, las mediatrices de AB y AC se cortan en "P". Calcular el ángulo CBP.
F
A. 80° C. 50°
A
9.
C
B. 40° D. 60°
En un triángulo ABC se traza la mediana BM y del vértice A se traza una recta que corta a la mediana BM en
D
"P" y al lado BC en "N". Hallar "PN" , si AN mide 12 cm
A. 5 C. 17 5.
Se tiene un triangulo ABC donde el ángulo exterior de A
B. 6 D. 7
y "P" es punto medio de BM .
En la siguiente figura, hallar la medida de PN si AC=15m.
A. 1 cm C. 3 10.
B. 2 D. 4
En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se traza la altura BH y la bisectriz interior AE que se cortan en P
B
(E en BC ), hallar PH, si BH=7 y BE=4. P
A. 3 C. 5
N
11. 15
A. 6 C. 5,5 6.
En un triángulo ABC, por el vértice "B" se traza una paralela a AC , las medianas AN y CM prolongadas cortan respectivamente en "E" y "F" a la paralela respectivamente. Hallar "AC", si: FE=16.
A
B. 4 D. 6
C
B. 5 D. 7,5
A. 16 C. 4
Según el gráfico L es mediatriz de AC y AB=2cm. Calcular "TB".
12.
B. 8 D. 2
Hallar "MN", si AB=6m, BC=8m y AC=7m B
B
N
M
<
L T
3
A
7.
A
C
A. 9 m C. 12
C
A. 1 cm C. 1,5
B. 2 D. 2,5
B. 10,5 D. 13,5
13. Halla r " ", si: AB = 2(QF). B
Calcular "x", si: AM = 2(BC) B
Q x
A
3x A
A. 10° C. 9°
TRILCE Católica
M
B. 30° D. 15°
C
A. 10° C. 45°
3 F
C
B. 20° D. 50°
23
Ciclo
Católica 14. En la figura, AB = 18, BC = 16 y AC = 20. Hallar "FG".
15. Si AB = BC y BH = 10, hallar "AD". B
B
C
F G
C
A
45° A
A. 7 C. 9
24
B. 8 D. 11
A. 18 C. 15
H
D
B. 25 D. 20
TRILCE Católica
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 4 Quinto Católica
POLÍGONOS C
b
B
c
a
A
d
Hexágono Equiángulo
D
d
e
4.
E
Polígono Equilátero
Elementos: Vértices: Lados: Ángulos Internos: Ángulos Externos: Perímetro: Diagonal:
A, B, C, ... AB, BC, CD, ... , , , ... , , ... a + b + c + d + e = 2p AD, BE, ...
Nota:
Heptágono Equilátero
5.
Polígono Regular
Nº Lados = Nº Vértices = Nº de ngulos
Clasificación de los Polígonos 1.
PolígonoConvexo
2.
Polígono no Convexo(Concavo)
Octógono Regular
Propiedades de los Polígonos Para Polígonos de “n” lados:
180º < , < 360º 3.
Heptágono no Convexo 1.
Nº Total de Diagonales = n(n - 3) 2
2.
de Ángulos Internos = 180º (n - 2)
3.
de Ángulos Externos = 360º ,
Polígono Equiángulo
para un polígono Convexo
TRILCE Católica
25
Ciclo
Católica 4.
Ángulo Interior = 180º (n - 2) n
4.
, para un polí-
A. 2 C. 9
gono Regular y Equiángulo 5.
Ángulo Exterior = 360º n
5.
Calcular el número de diagonales del polígono en el cual al duplicar el número de lados, la suma de sus ángulos internos se triplica. B. 5 D. 14
En la figura; calcular "x".
, para un polígono
x x
x
Regular y Equiángulo x
Ángulo Central = 360º n
6.
Regular 7.
x
Para un polígono
A. 108º C. 135º 6.
B. 120º D. 144º
El gráfico muestra al polígono regular, calcular el número de diagonales, si L1 y L2 son mediatrices de BC y CD respectivamente.
Nº de diagonales desde un vértice = n - 3
L1
Nombres de Polígonos Nº de lados 3 ...................... 4 ...................... 5 ...................... 6 ...................... 7 ...................... 8 ...................... 9 ...................... 10 ...................... 11 ...................... 12 ...................... 15 ...................... 20 ......................
B Nombre
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono u Octágono Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono
A
D E .. ..
A. 3 C. 5 7.
B. 4 D. 2
En la figura, L1 y L 2 son mediatrices de AB y DE . Calcular el número de lados del polígono equiángulo ABCDE.
L1 A
B C D E
B. 5 D. 7
Como se llama el polígono regular; si la suma de sus ángulos internos es el triple de la suma de las medidas de sus ángulos externos? A. Hexágono C. Cu adr ilátero
3.
72º
En un polígono regular, la relación entre la medida de un ángulo interior y exterior es como 3 es a 2. Calcular el número de lados del polígono. A. 4 C. 6
2.
L2
. . . .
Problemas para la clase 1.
C
A. 9 C. 12 8.
B. Octágono D. Pentágono
9.
gaciones de AB y ED . A. 50° C. 80°
26
B. 60° D. 120°
B. 10 D. 15
Calcular el número de lados de un polígono convexo, si desde cuatro vértices consecutivos se pueden trazar 45 diagonales. A. 18 C. 14
Se tiene un nonágono equiángulo ABCDEFGHI, calcular el menor ángulo que forman las prolon-
L2
B. 17 D. 15
En un polígono convexo, el número de triángulos obtenidos al unir un punto de uno de sus lados con los vértices es 6. Hallar el número de diagonales de dicho polígono.
TRILCE Católica
G EOMETRÍA A. 9 C. 14
B. 20 D. 35
10. En la figura se muestra en polígono equiángulo
16. En un nuevo sistema de cálculo la suma de ángulos internos de un triángulo es "10S" grados en dicho sistema. Se pide calcular la suma de ángulo internos con el nuevo sistema en dicha figura.
ABCDEFGH. Si: AB 5 2 u y BC = 7u. Calcular AC.
C
C
D
D E
B
E
A
F
B F A G
H A. 12 u C. 14 11.
G
A. 30 S C. 70 S
B. 13 D. 15
En un polígono equiángulo ABCDEF ... las bisectrices de los ángulos ABC y DEF son perpendiculares. Calcular el número de diagonales de dicho polígono. A. 50 C. 52
17. En un octógono equiángulo ABCDEFGH las prolongaciones AB y CD forman el ángulo " "; CD y FE el ángulo " ", EF y HG el ángulo " " y GH y BA el ángulo " ". Calcular: " ".
B. 51 D. 54
12. Calcular el número de lados de aquel polígono en el cual al disminuir dos lados, su número de diagonales disminuye en 19. A. 6 C. 10
B. 8 D. 12
13. Se tiene un hexágono equiángulo ABCDEF de tal manera que AB = 2m ; BC = 6m ; EF = 1m y AF = 9m. Calcular las longitudes de CD y DE. A. 4m y 6m C. 3m y 7m
B. 4m y 7m D. 3m y 4m
B. 50 S D. 35 S
A. 90º C. 180º 18.
B. 120º D. 360º
Quince veces el ángulo interior de un polígono regular equivale al cuadrado de su ángulo exterior. ¿Cuántos vértices tiene dicho polígono? A. 6 C. 10
B. 8 D. 12
19. Sean " 1 " y " 2 " los ángulos centrales de dos polígonos regulares; " 1 " y " 2 " sus ángulos interiores. Si: 1 2 mº , calcular: 2 1
14. En un octógono equiángulo ABCDEFGH ; AB 3 2 m y BC = 1m . Calcular la medida del ángulo BAC . A. 7º30' C. 11º15' 15.
B. 22º30' D. 8º
En la figura, calcular "x".
B. m+1 D. 2 m
20. Si a la medida de cada ángulo interior de un polígono de "n" lados, se disminuye en 5º, su número de diagonales disminuye en (5n - 3). Calcular "n". A. 32 C. 24
A. m-1 C. m
B. 30 D. 18
100º xº A. 120º C. 144º
TRILCE Católica
100º
B. 100º D. 150º
27
Ciclo
Católica Tarea domiciliaria 1.
¿Cuál es el polígono en el cual desde un solo vértice se pueden trazar siete diagonales? A. Cu adr ilátero C. Decágono
10. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cuál al disminuir dos lados, su número de diagonales disminuye en 23? A. 14 C. 20
B. P entágono D. Dodecágono 11.
2.
3.
¿Cuántos lados tienen el polígono en el cual el número total de diagonales es el doble del número de lados?
¿Cuántos lados tiene el polígono donde la suma de los ángulos internos es igual seis veces la suma de los ángulos externos?
A. 7 C. 5
A. 12 C. 14
B. Triángulo D. Octógono
B. 12º D. 30º
13. Calcular la suma de ángulos internos de aquel polígono convexo cuyo número de diagonales excede en 25 al número de sus ángulos internos. A. 1 800º C. 1 440º
B. 1 620º D. 1 260º
14. En la figura, calcula " " .
2 2
B. 800° D. 360°
B. 4 D. 6
Hallar la suma de ángulos internos de un polígono convexo si el número de diagonales es igual al número de lados. A. 180° C. 540°
9.
A. 10º C. 13º
2
Si la suma de ángulos interiores de un polígono es 540° , ¿cuál es su número de diagonales? A. 3 C. 5
8.
12. Calcular la medida del ángulo exterior de un polígono regular, si desde un vértice se pueden trazar 27 diagonales.
Calcular la suma de ángulos interiores de un polígono en el cual el número de diagonales es el doble del número de lados. A. 900° C. 540°
7.
B. 4 D. 6
B. 13 D. 15
¿Cuál es el polígono que no tiene diagonales? A. Pentágono C. Exágono
6.
B. Pentágono D. Octógono
¿Cuántos lados tiene el polígono regular en el cual su ángulo exterior es igual a su ángulo interior? A. 3 C. 5
5.
B. 6 D. 4
¿Cuál es el polígono en el cual la suma de ángulos interiores más la suma de ángulos exteriores es igual a 900°? A. Triángulo C. Exágono
4.
B. 10 D. 12
B. 260° D. 720°
A. 10º C. 30º
B. 20º D. 40º
15. En un octógono convexo, tres ángulos consecutivos son iguales a 90º. Calcular la medida de cada uno de los restantes sabiendo que son iguales entre sí. A. 135º C. 162º
B. 154º D. 120º
Calcular el número de lados de aquel polígono en el cual al aumentar un lado su número de diagonales aumenta en siete. A. 5 C. 9
28
B. 8 D. 12
TRILCE Católica
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 5 Quinto Católica
CUADRILÁTEROS * Convexo
* No convexo
360
x
x
Clasificación a) Trapezoide
*
Clases de trapecios
b) Trapecios
Base menor
B
Trapezoide simétrico o bisosceles
Trapecio Escaleno
C h
A
w
Trapecio Isósceles
D
Base mayor
BC // AD ; "h" : Altura * + = 180º
Trapecio Rectángulo
* + w = 180º
Clases de paralelogramos
c) Paralelogramos B
C
A
Romboide
D
Rectángulo
AB // CD y BC // AD * + = 180º
Rombo
Cuadrado
TRILCE Católica
29
Ciclo
Católica Propiedades: I. En el trapezoide: A.
B.
a
b
a
x
x
a b 2
x
b
x
a b 2
II. En el trapecio (BC // AD) A. Mediana (MN)
B. Segmento que une los puntos medios de las diagonales (PQ)
B
b
M
x
A
a
B
C
P
N D
C Q
y a
A
MN // BC // AD x
b
D
PQ // AD // BC
a b 2
y
a b 2
Problemas para la clase 1.
3.
En la figura; calcular "x".
En la figura; calcular "x".
100º xº
xº
A. 25º C. 50º
80º
50º
A. 10º C. 30º
B. 90º D. 60º 4.
2.
B. 20º D. 40º
En la figura; calcular "m PDA", si: BP=PC.
En un trapezoide mostrado; calcular "x".
C P
B
80º
a+4
a-4
xº
80º
D
A 2a
A. 60º C. 70º
30
B. 65º D. 80º
A. 53º C. 37º
B. 45º D. 60º
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 5.
En el trapecio ABCD de la figura; BC=1 m; AD=9 m y CD=6 m y BM=MA. Calcular "MC". B
C
A
D
A. 1m C. 3
B. 2 D. 4
En un trapecio la mediana mide 10 cm y la base menor 4 cm. Calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de dicho trapecio. A. 16 cm C. 6
7.
Si ABCD es un rombo y 2(AH)=3(HD), calcular "x". B
C
B. 2 D. 4
14.
C.
A
C
E
D
A. 14 m C. 18
h2 M2
D.
10. E n u n tr ap ec io e sc al en o A BC D, BC // AD , m ABC=2(m ADC). Si: AB=10 cm, calcular la distancia entre los puntos medios de AC y BD . A. 6 m C. 5
En la figura, ABCD es un romboide. Calcular su perímetro, si: AB=2 m.
M2 h2
B.
2
B. 123º D. 127º
B
En un trapecio isósceles la mediana mide "M" y la altura del trapecio es "h". Calcular la medida de una de las diagonales.
M2 h2
D
H
A. 120º C. 125º
B. 5 3 D. 10 3
h2 M2
xº
A
En un trapecio rectangular ABCD, recto en "A" y "B",la base menor BC mide 10 m. Si BC = CD y m C = 120º, calcular la longitud de la diagonal mayor del trapecio.
A.
11.
13.
B. 50 D. 75
La base mayor de un trapecio mide 8 m. Si sus diagonales son perpendiculares y miden 6 m y 8 m, hallar la longitud de la base menor.
A. 5 m C. 15 9.
A. 45 cm C. 60
B. 12 D. 8
A. 1m C. 3 8.
B. 2 D. 1,5
12. En al figura se muestran cinco placas cuadradas que, juntas, forman un rectángulo de 110 cm de perímetro. Hallar el perímetro de la placa sombreda.
M
6.
A. 3 m C. 1
B. 16 D. 12
15. En la figura ABCD es un cuadrado de perímetro 8 m y FE=8 m. Calcular DE.
A
B
D
C
B. 8 D. 4
En el siguiente trapecio:
B
10 m
C
F A. 6 m C. 10
17 m
15 m
16.
A
D 18 m
Las bisectrices del ángulo "A" y el ángulo "B" se cortan en "P", las bisectrices del ángulo "C" y el ángulo "D" en "Q". Calcular " PQ ".
TRILCE Católica
E B. 8 D. 12
En un rectángulo ABCD por un punto "P" de la diagonal BD se prolonga CP hasta un punto "M" de modo que: PM=PC. Además: BD=20 m y BP=6 m. Calcular "AM". A. 6 m C. 9
B. 8 D. 10
31
Ciclo
Católica 17.
En un paralelogramo ABCD en el cual la bisectriz inte-
Tarea domiciliaria
rior del ángulo "B" corta en "F" a AD . Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de CF y
1.
Si ABCD es un romboide; calcular "x".
B
BD , si: CD=10 m. A. 5 m C. 8 18.
5
B. 6 D. 9
C 3
x 6
En la figura; ABCD es un rectángulo. Si: AC=2(ED), calcular "m ADE". B
A
D
A. 2 C. 4
C
2.
B. 3 D. 5
En la figura: AB+BC=CD. Calcular "x".
F A
D
C
B
2
E
A. 10º C. 30º
B. 20º D. 45º
A 19.
D
Si ABCD es un trapezoide bisósceles siendo AB y BC sus lados menores, calcular " ", además: BM=MD.
A. 35º C. 55º
C M
3.
B
4.
15
B. 45º D. 60º
Los ángulos internos de un cuadrilátero están en la relación de 4; 5; 1 y 2. ¿Cuánto mide el mayor ángulo? A. 30º C. 150º
D
3
xº
B. 120º D. 60º
En la figura, calcule " "
A A. 8º C. 10º 20.
B. 9º D. 11º x
Se muestra un rectángulo ABCD; CD=6 u y GF=FE=4 u. Calcular "BG". B
G
A. 3 u C. 6
C A. 180º + 2x C. 360º - x
F
5.
A
E
D
B. 360º + x D. 180º + x
En un paralelogramo ABCD:AB=5 m,AD=8 m y labisectriz del ángulo "A" interseca a BC en "E". Calcular "EC". A. 1 m C. 3
B. 2 D. 7 6.
B. 2 D. 4
Exteriormente al lado CD de un cuadrado ABCD se ubica el punto "P" de modo que PCD es equilátero. Calcular la medida del ángulo formado por AP y CD . A. 60º C. 75º
32
B. 45º D. 80º
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 7.
En la figura, calcule " ".
12.
2
A. 50º C. 125º
A. 60º C. 67,5º 8.
9.
S e t ie ne u n t r ap ez oi de A BC D, m CDA=90º y m BCD=60º. Si: BC = CD = AD, calcular: m BAC.
A. 30º C. 50º 14.
B. 40º D. 25º
Si ABCD es un romboide y DBCE es un rombo, calcular "x".
B. 20º D. 30º
B
x
B. 80 D. 25
A
10. En un paralelogramo ABCD, m A = 45º , AB = 5 m y AD=4 2 m, se traza la altura BH a CD ("H" en CD ). Calcular "HD". A. 0,5 m C. 1,5
C
50º
Si las diagonales de un rombo miden 14 m y 48 m, calcular su perímetro. A. 60 m C. 100
11.
B. 65º D. 115º
13. Se tiene el cuadrilátero ABCD, de modo que m A BD =8 0º , m C BD =5 0º , m B DC =8 0º y m BAD=80º. Calcular: m ACD.
B. 53º D. 58,5º
A. 15º C. 25º
Se tiene un paralelogramo ABCD ( AD > AB ), en AD seubica el punto "E" de modo que:AE=CD.Si: m B = 130º, calcular la medida del ángulo BED.
B. 1 D. 2
D
A. 50º C. 60º 15.
E
B. 80º D. 40º
Se muestra el rectángulo ABCD y el romboide BEFC. Si: AC=40 cm y CF=9 cm. Calcular "ED". E
F 90-
En el romboide ABCD, si: CF = 5 m y FD = 3 m, calcular "ED". B
C
B
C
F 120º A
E
A. 4 m C. 6
TRILCE Católica
D
B. 5 D. 7
A A. 31 cm C. 41
D B. 36 D. 48
33
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 6 Quinto Católica
CIRCUNFERENCIA - PROPIEDADES FUNDAMENTALES TEOREMAS DE PONCELET Y PITOT 2.
Circunferencia
A º
N
C
D
M
A
O
R
B
C
D
R R
B
Si: AB // CD
L1
T
L2
mAC = mBD
3.
L1
Elementos: "O" ....................... CD ....................... "R" ....................... AB = 2R ............... L1 .......................
Centro Cuerda Radio Diámetro Recta secante
R O
L2 ....................... Recta tangente
O R
"T" ....................... Punto de Tangencia mAC = º ............. Arco MN ....................... Flecha o Sagita
Recta tangente
centro radio
R
L1
4.
Propiedades fundamentales 1.
A
O
B
O centro "A" y "B" son puntos de tangencia
A D
B
P
C Si:AB = CD
TRILCE Católica
PA = PB
mAB = mCD
35
Ciclo
Católica Teorema de Pitot (Solo cuadriláteros circunscritos)
5.
P
B
M
A
O
Si: O P
D
A
AM = MB
AB
C
B
PM Flecha
AB + CD = BC + AD
6.
Problemas para la clase C
A
D
O
1.
B
Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes que miden 12 m. Si forman un ángulo de 60°, calcular el radio de la circunferencia. A 4 C. 6
2.
E
B. 8 D. 4 3
En la figura, calcular “AB”, si: r = 3 m y “B” es punto de tangencia. A
Si: AB Diámetro
C = D = E = 90º O
B
37°
r
Teorema de Poncelet (Solo
A. 4 m C. 6
rectángulo) 3.
B. 5 D. 7
Hallar: mPAC, si “O” es centro y 8(OC) = 3(AC)
B
P
AB + BC = AC + 2r A
r A
r inradio
B
A. 30° C. 32°
C 4.
C
O
B. 37° D. 45°
Hallar “”, si: OC = AP Q P A
A. 2 C. 3
36
B
O
C
B. 6 D. 7
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 5.
Calcular la mediana del trapecio mostrado.
C
B
10. Si ABCD es un cuadrado donde r = 6 m, calcular el perímetro del triángulo TBC. B
C
10m 53º
A
D
A. 5 m C. 7 6.
B. 6 D. 9
T
r
A
O
A. 24 m C. 30
En la figura: "P", "Q" y "R" son puntos de tangencia y el perímetro del triángulo ABC mide 50 cm. Si: AB = 10 cm, el valor de "QC" es:
11.
B. 42 D. 48
En la figura, determina el radio de la circunferencia inscrita.
B
4
3
R
Q
A
A. 2 C. 1,5
C
P
A. 10 cm C. 15 7.
D
12.
B. 12 D. 18
En el gráfico "A", "B", "C" y "D" son puntos de tangencia. Calcular m APD. P
B. 1 D. 1,75
En un triángulo rectángulo ABC, el semiperímetro es igual a 16 m y su inradio mide 4 m. Hallar la longitud de la hipotenusa. A. 10 C. 16
B. 12 D. 13
13. Halla r “R”, si: AB = 12 m y BC = 5 m C
B
C
R
70º A
D
A. 50º C. 45º 8.
A
B. 40º D. 55º
B
A. 2 m C. 4
Calcular “x” en la figura.
B. 3 D. 5
14. Calcular la altura BH de un triángulo rectángulo ABC, recto en "B"; sabiendo que la suma de los radios inscritos en los triángulos ABC, ABH y HBC es 8m.
B 40°
A. 2 m C. 6 x
A A. 10° C. 30° 9.
C B. 20° D. 36°
15. ¿En qué relación deben estar los radios de 2 circunferencias tangentes exteriores para que el ángulo formado por las dos tangentes comunes exteriores mida 60º? A. 1 : 2 C. 2 : 3
En la figura; AB es diámetro, AE=6m; BM=10m y la recta L es tangente a la circunferencia. Calcular "AB". M
B. 8 D. 16
16.
B. 1 : 3 D. 2 : 5
Si ABCD es un cuadrado, "O" es centro y OA=OD, calcular "x". ("T" es punto de tangencia). B
T
C
E L A A. 8 m C. 14
TRILCE Católica
O B. 12 D. 16
xº
B
M
A. 56º30' C. 75º
A
O
D
N
B. 60º D. 53º
37
Ciclo
Católica 17.
En la figura, calcular "AB", si: OP=5m y "O" es centro.
2.
En la figura: AO = 2BQ. Hallar " ". B
B
Q 37º
O
P 37º
A
A. 8 m C. 16 18.
O
C
C
A
B. 12 D. 9
Calcular el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo ABC, si: BP - QN = 30 m.
A. 15° C. 25° 3.
B. 20° D. 30°
En la figura BT es tangente a la circunferencia. Hallar "x".
B
A
T 51°
P
x O
Q
A
19. El punto de tangencia de la circunferencia inscrita en un trapecio rectángulo divide al mayor de los lados no paralelos en segmentos que miden 1 y 9 m. Calcular la mediana del trapecio. A. 6 m C. 10 20.
A. 44° C. 42° 4.
B. 46° D. 54°
En la figura los puntos "A", "B" y "T" son puntos de tangencia. Hallar la medida del ángulo ATB.
B. 8 D. 12
T
En la figura "A", "B", "C", "D" y "E" son puntos de tangencia "O" y "Q" son centros de las circunferencias "r" y "R" son radios. Si R=4r, calcular m APC.
A
R
r O
E
5.
A Q
P
B. 45° D. 90°
En un triángulo PQR, PQ = 8u; QR = 9u y PR = 11u. La circunferencia inscrita determina sobre PR el punto de tangencia "L". Hallar "RL". A. 6u C. 4
C D
A. 106º C. 74º
B
A. 60° C. 75°
B
6. B. 120º D. 60º
B. 5 D. 3
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y el inradio suman 17. Hallar el perímetro del triángulo rectángulo. A. 17 C. 24
Tarea domiciliaria 1.
B
C
N B. 20 D. 40
A. 10 m C. 30
32°
7.
En la figura; AB + CD = AD, hallar "R + r", si: BC=6 m.
B. 34 D. 26
Dado un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia. Si un lado no paralelo mide 8, hallar la medida de la mediana del trapecio. A. 12 C. 16
B
8.
R A r
C
B. 8 D. 32
En la fig ura, hallar " ".
C
B
2
D
A. 2 m C. 3
38
B. 6 D. 1,5
O A
T
TRILCE Católica
G EOMETRÍA A. 15° C. 36° 9.
B. 18° D. 54°
12.
En la figura, MN = 12. Hallar: R+r. M
En la figura, "O" es centro de la circunferencia OQ=QP y "T" es punto de tangencia. Hallar la m ROS.
R
T
r
O
P
A. 10 C. 12
40° Q S
13. En la figura, ABCD es un cuadrado, "T" es punto de tangencia, EF = 17 y BF = 15. Hallar "FT". B F C
R A. 10° C. 20°
N B. 11 D. 13
B. 15° D. 25°
T E
10. En la figura, calcular" ".
A
O A. 4 C. 6
11.
B. 25° D. 60°
A. 2 m C. 3
En la figura, hallar el inradio del triángulo ABC, si: BF=ED yBG=12. B
15.
F
B. 5 D. 3
14. Se tiene dos circunferencias tangentes interiores cuyos radios miden 3m y 8m. Desde el centro de la circunferencia mayor se traza una tangente a la circunferencia menor, luego la longitud de dicha tangente es:
T A. 15° C. 35°
D
B. 2,5 D. 4
En la figura hallar "x", si m ALQ = 80°; además "A", "B", "F" y "Q" son puntos de tangencia.
G
F A
A A. 3 C. 5
E
D
B
C L
B. 6 D. 2 A. 40° C. 80°
TRILCE Católica
Q x B. 50° D. 20°
39
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 7 Quinto Quinto Católic Católica a
ÁNGULOS ÁNGULOS ASOCIADOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA Ángulos Ángulos en la Circunfere Circunferencia ncia 1.
5.
Ángul Ángulo Exte Exteri rior or a)
Ángul Ángulo o Cent Centra rall
b)
O x
x =
x 2.
x
Ángul Ángulo o In Insc scri rito to
x
2
c)
x
x
3.
x + = 18 1800°
2
x
Ángul Ángulo o Semi Semins nscri crito to
x Cuadriláteros Cuadriláteros Inscritos Inscritos
a)
x
b)
2
4.
Ángul Ángulo o Int nter erio ior r
+ = 18 0 º
=
c)
x
x
TRILCE Ca Católica
2
=
41
Ciclo
Católica 6.
Problemas para la clase 1.
Si: + = 200º ; calcular "xº"
Si ABC es un trián triángul gulo o equ equililát áter ero, o, calcular cular “ ”.
B
80°
A
A. 80º C . 10 0 º
C
7. A. 45 ° C. 40° 2.
B. 60º D. 90º
Calcula Calcularr "x" "x" en la figura, figura, siendo siendo "A", "A", "B", "C" "C" y "D" puntos puntos de tangencia.
B. 20° D. 30°
A
En la la figur figura, a, calcul calcular ar "x", "x", si m AOB = 100º y "O" es centro.
B
70º
60º
xº
A
D 100º
x
8.
A. 100º C. 50º
C
A. 55º C . 75 º
B
O
3.
xº
B. 65º D. 70º
En la figur figura, a, calcul calcular ar m ABC. ("A", "B" y "C"; son puntos de tangencia)
B. 25º D. 40º
B
A
Si "O" y "O1" son centros, mBN = 84°, calcular “ mQM”. C
Además, “Q” es punto de tangencia. N O1 A
Q
B
O
A. 13 0° C. 142° 4.
A. 75º C. 72,30º
M
9.
En la figura g ura::
B. 136° D. 132°
A
C y
Si ABCD es es un romboi romboide, de, hall hallar ar “x”; “x”; ademá ademáss “B” y “D” son puntos de tangencia. B
B. 52,30º D. 67,30º
Si: x + y = 90º, calcular AB A. 75º C . 90 º
A
A. 10 ° C. 50° 5.
x
15°
D
P
D
B
C
x
10.
B. 45º D. 180º
Calcula Calcularr "x", "x", ("P" y "T" son puntos puntos de tangenci tangencia) a)
B. 20° D. 40°
T
P
20º
xº
Por un punto "P", exter exterior ior a una circunfer circunferenci encia, a, se se traz trazan an las tangentes PQ y PT , que forman un ángulo de 72º. Determina la medida del ángulo formado por QT y el diámetro que pasa por "Q". A. 36º C. 24º
42
B. 18º D. 40º
A. 20º C . 15 º
B. 25º D. 35º
TRILCE Ca Católica
EOMETRÍA G EOMETRÍA
11.
Según Según el grá gráfifico, co, calc calcul ular ar " ".
15. En la la fig figura ura,, AC = BC, BC, mACB = 60°, calcula calcularr “ ”. M
N
B
A
5
A. 180º C. 270º
C A. 10° C. 20°
B. 210º D. 360º
12. Calc Calcula ularr "x": "x": si: si: 80 º , ademá ademáss "A", "B" y "C" son puntos de tangencia.
16.
B. 15° D. 25°
Halla Hallarr “x”, si “O” es centr centro, o, “P”, “Q” “Q” y “T” son puntos puntos de tangencia. B 80°
A
B xº
P
x
A
C A. 30º C. 50º
B. 40º D. 60º
13. Del Del gráfi gráfico: co: m AB =
Q
O
A. 100° C. 11 0°
m CD calcular: m EF . = K , calcular: 4
C
T
B. 160° D. 115°
17. Hall Hallar ar:: . ("P" y "Q"; son puntos de tangencia)
B C
B
50°
E A
A D
A. K C. 3 K 14.
C
F
B. 2 K D. 4 K
En la figura figura "A" y "C" son puntos puntos de tangenci tangencia; a; calcula calcular r 1 m CPA. Si: m ACB (m APC ) . 2
A. 200° C. 310°
B. 250° D. 205°
18. Halla Hallarr “x”, en la figura figura mostra mostrada, da, (“A”, “B”, “B”, “C”, “D” y “E” son puntos de tangencia). E A
C P
x C
B D A
B 58º
A. ° C.
A. 32º C. 34º
TRILCE Ca Católica
2
B. 2° D. 90° - °
B. 35º D. 37º
43
Ciclo
Católica 19. Cal Calcular cular “ mCR”, si: si: PM = MO. ("O" ("O" es centr centro o de la semicircunferencia)
4.
En la figu figura ra,, si L //// AC y AC y "O" es centro, calcular "x". L
P
x
A
C M
C
32°
R
O
A
B
O
A. 15 ° C. 23°
B
B. 18° D. 18° 30'
A. 32° C. 70°
20. Hall Hallar ar la medi medida da del ángul ángulo o que forman forman MS y NT al intersectarse, si “S”, “P” y “T” son puntos de tangencia.
5.
N S
6.
T
A. 60 ° C. 80°
Las bas bases es de de un trapeci trapecioo inscri inscrito to en en una circunfer circunferenci enciaa determinan sobre esta dos arcos cuya diferencia es 200°. Hallar el mayor ángulo del trapecio. A. 140° C. 120°
P
M
B. 64° D. 6 1 °
B. 130° D. 1 6 0 °
Si: BC = 150º y AD = 25º, calcular "x" B
B. 70° D. 90°
A x
Tarea domiciliaria
D 1.
C
Hallar m x, si: AB = 124º y "B" es punto de tangencia. A. 72,5º C. 60º
A 7.
x B A. 118º C. 128º 2.
B. 62,5º D. 65º
Un cuad cuadril riláte átero ro inscri inscrito to en uuna na circunfe circunferenci renciaa tiene tiene ttres res lados iguales, cada uno de los cuales subtiende un arco de 80º. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos internos del cuadrilátero? A. 80º C. 100º
B. 132º D. 138º
Hall Hallar a r "x", "x", si m si m APB=110º y "A" es un punto de tangencia.
8.
B. 150º D. 120º
En la la figura figura most mostrada rada,, halla hallarr el valor valor del ángul ángulo o " " , si PQR=2 y además, "R" y "P" son puntos de tangencia. P
A
P 2 Q
C
40°
x
A. 15 ° C. 36° 3.
R
M
O
A. 30° C. 55° 9.
Hallar " " , si RS // MN . ("O" es centro) centro)
44
B. 40° D. 6 0 °
En la figur figura a mos mostra trada, da, halla hallarr "x", "x", si PA = AO, AB = 112º y "O" "O" es cent centro ro de la semi semici circu rcunf nfer eren enci cia. a.
S
B x
A
N C
A. 80 ° C. 90°
S
R
B
B. 50° D. 68°
B. 60° D. 100°
A. 17° C. 39°
H
O
D
P
B. 34° D. 5 1 °
TRILCE Ca Católica
EOMETRÍA G EOMETRÍA
10. 10.
En la la fig figura ura,, AB es diám diámet etro ro y MBN = 40º . Hallar la medida del ángulo NAB NAB.. (O y O' son centros)
13. En la figura figura mostrada, mostrada, halla hallarr el ángulo ángulo "x", "x", si: si: BC + FE = 130º . C
N
M xº
A
O
A. 15° C. 10° 11.
O'
B
B
P
A
x F
B. 5 ° D. 20°
D
Q E
En la figur figura, a, AB = CD. Hall Hallar ar "x" "x" , si: si: AD = . ("O" es centro) D
A
A. 25° C. 50° 14.
B. 20° D. 3 0 °
Si "O" "O" es es centro, centro, halla hallarr "x". "x".
C
C
O
xº
E
D
x
B
25°
A. 90°C. 90°-
A
B. 45° 45°+ +
A. 70° C. 60°
D. 180°- 2
2
12. En lafigu lafigura, ra, AB es ta tange ngente nte a la circun circunfe fere renci ncia a y AB=BC. AB=BC. Si: m DC = 30º , calcular la medida del A .
O
15.
B
B. 80° D. 5 0 °
De la figur figura, a, calcul calcular ar "x" "x" si "O" es centro. centro. (T: punto de tangencia). T
A
x
D
O
C
2x
B
A. 16° C. 15° A. 45° C. 60°
TRILCE Ca Católica
B. 18° D. 2 0 °
B. 55° D. 65°
45
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 8 Quinto Católica
PROPORCIONALIDAD TEOREMADETHALES Tres o más rectas paralelas, determinansobre dos o más rectas secantes, segmentos cuyas longitudes sonproporcionales. Observación: B A
P
B
L1
C
Q
P
Q
L2 R
L3
A
C
Si: PQ // AC
Si: L 1 // L2 // L3
BP = BQ PA QC
AB = PQ BC QR TEOREMADELABISECTRIZ •
Bisectriz Interior
•
a
a = m b n
a = m b n
b
m
Bisectriz Exterior
a
b
n
n m
Problemas para la clase 1. En el gráfico, si: L 1 // L 2 // L 3 , calcule “x”..
2. En la figura: AB // CD , determinar "x".
L1 x-1
2
TRILCE Católica
x -
L2
x+1
A . 1 u C. 3
A
4
B. 2 D. 4
A . 4 C. 3
C
2
x + 1
L3
4
- x
B
7 - x
D
B. 1 D. 8
47
Ciclo
Católica 3. En el gráfico, BC - AB = 16u. Calcule: AB.
AB 2 ; si: DE = 3, calcular: "2EF", si: BC 5
8. En la figura:
B
L 1 // L 2 // L 3 .
M 7 A
N 9
A . 56 u C. 62
C
4
E
L2
F
L3
B. 8 D. 12
B
L2
m
L3 L4
A . 6 u C. 24
B
9. Calcular "AR", si: AB = 10, BC = 14 y AC = 12.
L1
x
5
L1
A . 7,5 C. 15
4. L1 // L2 // L 3 // L 4 , calcule “x”, si: m - n = 9u.
n
D
C
B. 63 D. 49
2
A
A
B. 12 D. 19
C
R
A . 10 C. 5
5. Hallar "CR - AR", si: AB = 5, BC = 7 y AC = 6.
B. 6, 5 D. 3
10. Hallar "CP", si: AC = 12 y AB = 3BC.
B
B
A
R
A . 4 C. 3
C
A
C A . 3 C. 6
B. 2 D. 1
P
B. 4 D. 12
11. En la figura: m ABE=mEBD=mDBC = 45°, AD = 5 y EC = 12, calcular "AC".
6. Calcule: xº
B
45º
xº 4 A . 37º C. 30º
3
A
B. 53º D. 45º
7. En el gráfico, AB = 8u, BC = 6u y AC = 7u. Calcule:
AM 4
A . 10 C. 8
C
D
E B. 12 D. 15
12. Calcular "QC", si: AP = 5 y PQ = 3.
B
B
A A . 1 u C. 4
48
M B. 2 D. 5
C
A A . 4, 5 C. 8
P
Q
C
B. 6 D. 7
TRILCE Católica
G EOMETRÍA
13. Si: AB = 4, BC = 3, CD // EH . Hallar "CH" si: HF = 4,5 y
L1 // L2 // L3
A
C
A . 6 C. 7
B
D
B
L1 D
E
L2
F
H
A . 12 C. 7,5
B. 10 D. 8
18. En un triángulo ABC la ceviana AP biseca a la bisectriz interior BQ . Calcule “AB”, si: BP = 3u y PC = 5u.
6 y AC = 14. Calcular "MN".
A . 8 u C. 12
B. 7 D. 6
19. En la figura: PQ // MN, 5(AP) = 3(PB), MC = 4(BM), AQ = 6 y NC = 12. Calcular "QN".
N
B
A
C
L
L3
B M
G
A
B. 7,5 D. 5
14. En la figura, N // AC; AB
17. En la figura BC = 15. Hallar "DC", si "G" es baricentro del triángulo ABC y "L" es paralela a "AB".
A . 4 C. 5
M
C B. 4,2 D. 5,4
P
15. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF, luego por "F" se traza FQ // AB ("Q" en BC), la bisectriz del ángulo FQC intersecta a AC e n " R" . S i : FR = a y RC = b, calcular "AF". a (a b) b b C. (a b) a
A .
A A . 10 C. 18
B.
ab ab D. (a b)
N
Q
20. Calcular:
C
B. 13 D. 12 PE
PE
EG
, si: "G" es baricentro del PQR.
P
16. Si: BP // RQ y AB // PR , calcular "x".
E
B
A . 2
x A . 5 C.
10 3
TRILCE Católica
2 B.
C
Q
P
R
Q
R A
G
3
C. 1
4 3 3 D. 2 B.
5 3
D. 4
49
Ciclo
Católica 5.
Tarea domiciliaria 1.
En la figura se cumple que L 1 // L2 // L3 y
AB 2
En la figura mostrada, L1 // L 2 // L 3 // L 4 , calcular: (y - x).
OA 3
O
x+ y
3 cm
7,5 cm L3 2(x + y) L4
y
A. 1,0 cm C. 1,5 2.
B. 3,0 D. 5,0
Q
B
L2
L2
P
A
L1
L1 x+ 1
BC 4 .Si: PR = 48 m , calcular "OP".
C
L3
R
A. 8 m C. 16 6.
B. 24 D. 232
En la figura; calcular "x", si: L 1 // L2 // L 3 .
Si: L1 // L 2 // L 3 , calcular: (a + b + c).
L1 10
L1 9
b
L2
6
6
xº
L2 c
a 8 2 4
A. 12 C. 16 3.
A. 30º C. 45º
L3 7.
B. 24 D. 19
B. 37º D. 60º
En la figura; si: AM=2(MC); calcular "xº". B
En la figura: AB // CD , calcular "x". (En centímetros)
45º
C
A
8-x
6-x
B
A. 1 cm C. 3
x+1
D
8.
53º 2 D. 60º B.
En la figura, calcular "x", si:QD = 2m
B
B. 2 D. 4
calcular B'C'.
3m
P A
L1
A
A
O B
L2
C E
x
50
4m
1 1 Si: L1// L2 // L3,OA= OB = BCy ademásA'C' = 72 cm, 3 2
L3
C
M
A.
6+x
A. 24 cm C. 8
xº
37º 2 C. 30º
A
4.
L3
Q
B
C
D C
B. 36 D. 16
A.
5 3 m
B.
8 3
C.
7 3
D.
4 3
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 9.
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior AM . Luego se traza el segmento MN paralelo a AB ("M" en BC y "N" en AC ) . Si MN = 3 m, MB = 2 m y MC = 4 m, hallar "AC". A. 12 m C. 9
13. En la figura:
L 1 // L 2 // L 3 // L 4 . Si: BC.CD = 225 y
B. 15 D. 14
B
M
A
11.
E
F
A.
4 3
B.
3 7
C.
2 7
D.
4 7
C
A.
16 15
B.
15 16
C.
15 8
D.
8 15
1 L1 m L2
A x- 2
1 cm
M
N
3x - 2
x
4
n
L3 p
x- 2 C
B B. 3 D. 6
A. 2,2 u C. 3
B. 2,0 D. 3,5
15. Del gráfico "T" punto de tangencia, calcular "x".
T
12. En la figura, AB // CD . Halla "x".
5 2
D x +1
x
B 6-x
8 -x C A. 4 C. 2
TRILCE Católica
L1 , L2 y L3 son paralelas. Cal-
14. En el gráfico las rectas cule “x”.
Halla "x" , si: MN//BC
A. 1 cm C. 4
M N R S
A B C D
10. Calcular "MN"; si: AB=4; BC=8; AE=3; EF=1; FC=6.
N
AB MN
NR.RS = 256, hallar:
A. 7 C.
B. 10
10
D.
7
A B. 3 D. 1,5
51
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 9 Quinto Católica
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 1er. Caso: Si tienen 2 ángulos de igual medida.
2do. Caso: Si tiene 2 lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre dichos lados de igual medida. a.k a
b
b.k
3er. Caso: Si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
a
c
a.k
c.k
b
b.k
SEMEJANZADETRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos congruentes y las longitudes de sus lados homólogos respectivamente proporcionales. Lados Homólogos: Se denominan así a los lados que se oponena ángulos congruentes, en triángulos semejantes. T C n
b
A
a
H
c
M
m
h
t
N
B
ABC MNT
a = b = c = H =K K m n t h TRILCE Católica
Razón de semejanza 53
Ciclo
Católica 6. Dado un trapecio de bases: BC = 2 y AD = 17. Se traza MN pa ra le lo a l as ba se s ( "M " y " N" e n AB y CD respectivamente). Calcular "MN", si: 3MB = 2MA.
Problemas para la clase 1. Hallar "PQ", si: PQ // AC .
A . 15 C. 11
B 2 6
7. En la figura "O" es centro de la semicircunferencia. CP = 8; DP = 2; AB = 8, calcular "PB".
Q
P
A
P B. 6 D. 8
A
2a
B. 2 D. 5
8. Hallar el lado del cuadrado mostrado en la figura en función de la base "b" del triángulo sobre el cual descansa y de la altura "h" relativa a dicha base.
x
8
C
O
A . 1 C. 4
2. Del gráfico, calcular "x".
B
D
C
12
A . 4 C. 3
B. 13 D. 8
a
h A . 10 C. 12
B. 15 C. 18
b
3. En el triángulo ABC mostrado, hallar "x".
A
A .
2bh b 2h
B.
2bh 2b h
C.
bh bh
D.
b h bh
x 4 B
C
10
2
A . 6 C. 5
A . 16 u C. 15
B. 1 D. 2
4. Un triángulo tiene por lados 20, 26 y 30cm, ¿cuáles son los lados de otro triángulo semejante de 114 cm de perímetro? A . 30, 49 y 35 cm C. 15, 35 y 64
9. Los lados de un triángulo miden 18, 24 y 36 unidades. Hallar el menor lado de un triángulo semejante cuyo perímetro es 65 unidades.
B. 30, 39 y 45 D. 40, 34 y 30
10.En un triángulo ABC se traza la ceviana AP de modo que: m BAP = m BCA, BP = 5 y PC = 7, calcular "AB".
16
B. 2 15
C. 4 5
D. 8 3
A .
11.En la figura mostrada, hallar "AM".
5. Calcular "x".
Q
R
4
x A
P 9
54
C
B
B
A . 4 C. 6
B. 10 D. 20
x B. 5 D. 7
S
A
C 4
A . 1 C. 1,5
M
D 8 B. 2 D. 2,5
TRILCE Católica
G EOMETRÍA
12. Dibuje el triángulo rectángulo ABC recto en "B". Sobre BC se toma el punto "P" y se traza PH perpendicular a AC . Si: AB = 5; AC = 15; PH = 3, calcular "PC". A . 8 C. 10
A . 18 C. 24
B. 9 D. 12
13. Dado u n paralelogramo ABCD tal que: 5AB = 4BC. En AC se ubica el punto "P", calcular la distancia de "P" a AB, si la distancia a AD es 2. A . 1 C. 2
17. En un trapecio ABCD (BC // AD), "M" es el punto medio de CD. Si: m BAM = m CDA y BC = 7, AD = 25. Calcular "AM".
18. Calcular
B. 20 D. 21 AB , si: BE = 3 y BD = 2. BC
B
B. 1,5 D. 2,5
C
14. Calcular "x" si los triángulos ABC, CDE, ERK son equiláteros.
B
A
A
D
C 9
x
E
D
R E
A .
3 8
B.
27 8
C.
23 18
D.
8 27
K 4
A . 6
B. 6 2
C. 3 2
D. 12
19. Según el gráfico: BC // OD y OD = 2AB, calcular "BC", si: AD = 4 u.
15. Calcular "x" si la figura sombreada es un cuadrado y ab = 12.
D A C
a
x
A . 4
B. 3 2
C. 2 3
D. 3
16. En un triángulo ABC se traza la ceviana AP de modo que: m BAP = m BCA, BP = 2 y PC = 6. Calcular "AB". A . 3 2 C.
15
TRILCE Católica
B. 2 3 D. 4
B
O
b A . 2 2 u C. 2
B. 3 D. 1
20. En un triángulo ABC la distancia de "B" a MN // AC es 5/7 de la altura BH. Si los lados del triángulo son: AB = 7, AC = 5 y BC = 9, hallar el perímetro del triángulo MBN. 147 A . 21 B. 5 C. 15
D.
14 5
55
Ciclo
Católica A. 96 cm C. 100
Tarea domiciliaria 1.
En la figura mostrada, calcular “AB”, si: BC.AD=144 m 2; además: AM = BM. D
6.
B. 104 D. 102
Si ABCD es un paralelogramo; calcular "QD". Si: BQ = 8 m; BF = 12 m y FC = 6 cm
A
F
B
M
A. 9 m C. 18 2.
Q
B
C
D
A
B. 12 D. 24
A. 10 m C. 16
En la figura; AB // CD , BE=12 cm, EC=4 cm y CD=3 cm, calcular "AB".
7.
B
B. 12 D. 18
Hallar “R” en la figura mostrada, si AB y CD son diámetros perpendiculares. (EM = 2 m y MC = 4 m).
A
E E
C
D
M O
D
A
C
R C A. 6 cm C. 8
3.
B
B. 12 D. 9
En la figura, BC //AD,AB //DC . Halla "RP" , si: RP //BC .
B 1 cm Q R
2 cm
8.
C
A. 2 m
B.
C.
D. 2 3
3
Calcular “PQ”, si “H” es ortocentro. Además: BQ = 2 m; PB = 4 m; AP = 8 m y AC = 18 m. B
P Q
P H
D
A A. 0,50 cm C. 0,25 4.
A
B. 0,75 D. 0,60
B
A. 3 m C.
3 4
9.
En la figura mostrada, calcula la longitud del segmento
B
C
T
B. 5 D. 3 2
Los lados de un triángulo ABC miden AB = 30 cm, BC = 50 cm y AC = 40 cm. Por un punto "M" ubicado en AB y distante 12 cm del vértice "B" se traza MN // AC . Calcular el perímetro del cuadrilátero MNCA.
56
4
E
D A
5.
B. 3 D. 5
CE , sabiendo que CD es bisectriz y DE//AC .
M
Q
C
A. 2 m C. 4
Hallar “MQ”, si: BC = 25 m, TC = 4AT, “M” y “T“ son puntos de tangencia.
A
2
A. 6 u C. 3,2
C 6 B. 2,4 D. 3,5
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 10.
Dado un cuadrado y un triángulo equilátero con el mismo perímetro " l ", calcular "x", si: PM = MS.
13.
y CD son diámetros perpendiculares. (EM=2 y MC=4).
B x
Q
En la figura, calcular el radio de la circunferencia, si AB
C
R
A
M
B O R
P
A
A.
D
3 1 l B. 4 3
l
25
3 1 l - C. 4 6
11.
E
C
S
M
D. l 2 5 14.
A. 2
B.
3
C. 2 3
D.
2
Dado un paralelogramo ABCD, se traza una recta
AP ("P" en CD ) que corte a BD en "Q". Calcular "PD", si: CD = 24 y BQ = 3(QD).
En la figura hallar "x" D
A. 10 C. 8
15 cm
9 cm
15. Si: OB = 4OC, AB // CD y OD = 5 m, hallar "OA".
E A
B. 12 D. 18
x
12 cm
B
A
B 5 cm
C A. 8 cm C.
B.
23 3
O
25 3
C
D. 6
12. Hallar: AQ, si : BH=
A. 16 m C. 20
D B. 12 D. 25
3 , BC = 3 yAC = 2. 2 B
Q
A
A. 2,5 C.
3 3
TRILCE Católica
H
C
B. 3 D.
2 3 3
57
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 10 Quinto Católica
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Proyección ortogonal La proyección ortogonal de un punto sobre una recta; es el pie de la perpendicular trazada por dicho punto a la recta. Esta perpendicular se denomina proyectante y la recta eje de proyección.
A Proyectante L Eje de Proyección
A'
" A' " es la proyección de "A" sobre L
En el triángulo . .
AH es la proyección de "c" sobre "b" HC es la proyección de "a" sobre "b" B N c
A
. .
H
a
b
C
NC es la proyección de "b" sobre "a" BN es la proyección de "c" sobre "a"
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo B c A
a
h n
TRILCE Católica
H
m b
a y c : Catetos b : Hipotenusa h : Altura relativa a la hipotenusa n : Proyección del cateto "c" sobre la hipotenusa "b" C m : Proyección del cateto "a" sobre la hipotenusa "b"
59
Ciclo
Católica * Teorema 1: En todo triángulo rectángulo, un cateto es la media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. a2 = b.m
c2 = b.n
Demostración: ABH ~
ABC B
B
c=n b c
c
c
2
A BHC ~
n
H
c = b.n
A
C
b
ABC B
B
a=m b a
a
a
m
H
A
C
a2 = b.m C
b
* Teorema 2: En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. h2 = m.n Demostración: ABH ~
BHC B
B
h A
n
h=n m h
H
h H
2
h = m.n m
C
* Teorema 3: En todo triángulo rectángulo el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura relativa a la hipotenusa. a.c = b.h
60
TRILCE Católica
G EOMETRÍA
Demostración: ABH ~
ABC
B
B
c=h b a
c A
a
h
A
H
a.c = b.h
C
b
* Teorema 4: (Teorema de Pitágoras) La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. a2 + c2 = b2 Demostración: Sumando las dos expresiones del teorema 1, es decir: a2 = b.m + 2 c = b.n a2 + c2 = b.m + b.n a2 + c2 = b(m + n) a2 + c 2 = b2 b * Teorema 5: En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. 1 1 1 h2 c2 a2 Demostración: Del teorema 3: a.c = b.h; elevando al cuadrado: a2.c2 = b2.h2 1 h2
b2 a2 .c 2
1 h2
a2 c 2 a2 .c 2
1 h2
1 c2
1 a2
Propiedad: P R 0
TRILCE Católica
Q T
01 r
Si: "P", "Q" y "T" son puntos de tangencia, entonces: PQ = 2 R.r
61
Ciclo
Católica Demostración: Trazando: L // PQ d
P r
Q
R-r 0 R
r r 0 1 R-r
d
L Pitágoras: (R + r)2 = (R - r)2 + d2
R+r
d = 2 R.r
PQ = 2 R.r
Problemas para la clase 1. La hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo miden 29 y 21 cm. Calcular la longitud del otro cateto. A . 18 cm C. 20
B. 16 D. 22
A . 3,6 cm C. 4,8
2. Hallar la longitud del mayor cateto de un triángulo rectángulo, cuyos lados están en progresión aritmética de razón 3. A . 9 C. 15
6. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa, si los catetos del triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm. B. 4,2 D. 5,2
7. La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es 200 cm2. Calcular la longitud de la hipotenusa. A . 15 cm C. 20
B. 12 D. 18
3. Hallar "AC", si: AH = 9 y HB = 16
B. 18 D. 10
8. Si: 2AB = 3BC, calcular "
C A A A . 25 C. 10
B
H 0
A . 3 cm
B. 2 3
C. 3 2
D. 4
5. Calcular la altura relativa a la hipotenusa, si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 12 y 27 cm.
62
C
B r
R
B. 15 D. 45
4. Calcular la longitud del menor cateto de un triángulo rectángulo, si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 2 y 6 cm.
A . 18cm C. 16
r ". R
A .
2 3
B.
1 3
C.
4 9
D.
2 9
9. Los lados de un triángulo miden 8, 15 y 16 cm, ¿cuánto se debe quitar a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo? A . 1 cm C. 3
B. 2 D. 4
B. 20 D. 15
TRILCE Católica
G EOMETRÍA
10. Si: AN = 8 cm y MN = 12 cm, hallar "NB". M
16. Se tiene un trapecio de diagonales perpendiculares las cuales miden 12 y 9. Calcular la mediana de dicho trapecio. A . 15 C. 7,5
A
N
O
A . 16 cm C. 20
B
B. 12 D. 10
17. "P" y "T" son puntos de tangencia: r = 5 u y AT = 9 u. Hallar "x"
B. 18 D. 21
x r
11. Hallar "AN"
M
A .
ab
C.
2
b
a
D.
2
a
P
a2 b 2
6u
C. 2 2
B. 5,6 D. 6,8
18. En el gráfico: AB = 6 cm y BC = 8 cm. Hallar la distancia de "O" a AC . A
ab ab
B
12. En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en "B", por el punto medio "M" de AC se traza MP perpendicular a BC . Hallar "MP", si: AB = 6 u; BP = 3 u y PC = 7 u A .
T
A . 4,9 u C. 6,4
H
b
B.
B.
7
D.
5
O
A .
B. 4 3 D. 2 5
C. 3 23
19. Hallar "PD", si: BQ = 4,5 cm y QC = 8 cm.
C
D
A . 6 cm
E B. 6 2
C. 4 6
D. 9
C
33
Q
B
13. Hallar "BD", si: AD = 8 cm y DC = 10 cm. B
A
P
A
N
A
A
D
A . 12 cm C. 10
B. 16 D. 9
20. En el gráfico ABCD es un rectángulo, tal que: AB = 36.cm y BC = 50 cm. Calcular "R". B
C
A . 32 C. 57
TRILCE Católica
O1 R
B. 1 D. 3
15. Calcular la suma de los catetos de un triángulo rectángulo con la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa miden 9 y 16.
C
P
14. Los lados de un triángulo miden 9, 16 y 18. ¿Qué longitud "x" se debe restar a cada lado para que el triángulo resultante sea triángulo rectángulo? A . 2 C. 4
B
R
O A
A . 15 cm C. 16
D
B. 13 D. 14
B. 48 D. 47
63
Ciclo
Católica A. 72cm C. 56
Tarea domiciliaria 1.
Si ABCD es un cuadrado, calcular su perímetro, si se sabe que: AF = 4m y BP = 3m. B C
6.
B. 64 D. 68
x Si: AB = 2BC , calcular “ y ” .
y
x
P
A
F
D
A
A. 3 m C. 9 2.
B. 16 D. 36
Calcular el radio de la semicircunferencia.
7.
B
A.
1 2
B.
1 3
C.
1 4
D.
2 3
En la figura, ABCD es un cuadrado, “O” es centro, calcular mOAD.
D
B
5
C
C 2
A
O
B
A. 10 C. 4 3.
A. 37° C. 53°
En la figura, calcular "R", si: CD = 4m y BC = 6m.
C
8.
R
B
B. 4,1 D. 5
M A
Hallar el producto de AD por DF si se tiene un cuadrado inscrito en una semicircunferencia de radio 2 5 m.
D 9.
A A. 6 5
m2
B
E
F
C. 2 3
D. 2
Si ABCD es un cuadrado de lado "a", calcular "R" ("P" y "Q" son puntos de tangencia)
P
64
Q
D
R
En la figura, calcular el perímetro del rectángulo ABCD, sabiendo que los radios de las circunferencias mayor y menor, miden 8cm y 2cm respectivamente.
A
B C A
C
C B. 2 13
D. 3 5
B
N
A. 3 m
B. 15 5
C. 16 5 5.
En la figura BN=5m; CM 40 ("M" y "N" son puntos
D
C
B. 30° D. 45°
medios de AB y BC respectivamente). Calcular "BC".
A A. 4,2 m C. 2,25
D
A
B. 3,5 D. 4,5
B
4.
C
R
A.
a 3
B.
5a 3
C.
5a 2
D.
7a 2
D
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 10.
ABCD es un cuadrado, hallar "x". B
13. En la figura, ABCD es un cuadrado. Hallar
C
r . R
1 2
x
B
C r
2
3
A
A.
D
B. 13
11
C. 14 11.
R A
D. 17
Si AOB es un cuadrante, hallar "x". A 4
D
A.
1 2
B.
C.
1 4
D.
1 3 1 5
x 14. Hallar "x"
1 O
3
2
A. 5
B. 6
C. 7
D. 3 2
10
B
x
12. Hallar: x
A. 6 C. 8 20 15 x
A. 2 C. 5
TRILCE Católica
15
B. 14 D. 12
15. La suma de los cuadrados de las medianas relativas a los catetos de un triángulo rectángulo es 45 cm 2. Hallar la longitud de la hipotenusa. A. 6 cm C. 9
24
17
B. 7 D. 10
B. 8 D. 7
65
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 11 Quinto Católica
POLÍGONOS REGULARES Definición Son aquellos polígonos equiángulos y equiláteros a la vez; cuyo centro es el centro de la circunferencia inscrita o circunscrita al polígono.
* Apotema (ap) : Es la distancia del centro del polígono regular a cada uno de los lados. B l 5
A l 5
l 5
l 5
C
O ap5
A
D
l 5
C
r O ap5
H
R E
B
l 5
E
R Circunradio
r
D
Inradio
* Triángulo Equilátero * Hexágono Regular
B 120° A
l 3
R O ap3 H
120°
l 3
C
l 3 = R
3
60° ap3 = r =
60°
C R 2
120°
B
l 6 l 6
60° A
* Cuadrado
O ap6
R H
D l 6
60° E
l 6
F
90° l 4
B 90°
l 4
A
O ap4
C l 4 = R
R
H 90°
TRILCE Católica
l 4
D
2
l 6 = R
90° R 2 ap4 = r = 2
ap6 = r =
R 3 2
67
Ciclo
Católica Cuadro resumen Polígono regular
Ángulo central o Arco que subtiende
Lado del polígono regular (ln)
Triángulo
120º
l 3 = R 3
Cuadrado
90º
l 4 = R 2
Pentágono
72º
l 5 = 2 10 2 5
Hexágono
60º
l 6 = R
Octógono
45º
l 8 = R 2 2
Decágono
36º
l 10 = R 2
Dodecágono
30º
l 12 = R 2 3
Apotema del polígono regular (apn) ap3 =
ap4 =
R
ap5 =
5 1
R 2 2
R 5 1 4
ap6 =
ap8 =
R 2
R 3 2
R 2 2 2 R 10 2 5 2
ap10 =
ap12 =
R 2 3 2
Propiedades de Ángulos en la Circunferencia 1.
Ángulo Inscrito
2. Ángulo Interior
3. Ángulo Exterior x b
A
x
P
a
x
mAB=2x
b
x
a b
a
2
x
=
a- b 2
B
Problemas para la clase 1.
En la figura: L 5 y L 3 representan lados de polígonos regulares. Calcular " "
2.
En la figura; calcular "x". L4
L3
L
Lx
L12
5
O
A. 82º C. 86º
68
B. 84º D. 88º
A. 2 C. 6
B. 4 D. 8
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 3.
A. 80º C. 60º
En el gráfico PQ es el lado de un cuadrado y RT es el lado de un triángulo equilátero; calcular "xº". P
8.
L4
Q
B. 90º D. 75º
Si ABCDEF es un hexágono regular y DPQRE es un pentágono regular, calcular " " .
xº L3
R
P T C
A. 75º C. 105º
D
Q L
B. 100º D. 120º B
4.
En el gráfico; calcular "xº" si: AB R 3 y CD R 2 ("O" es el centro de la circunferencia). B
E
R
A
F
C A
O
xº
A. 20º C. 24º
R A. 60º C. 70º 5.
Si: AB
9.
D B. 65º D. 75º
R 2 y B
D
Entonces CD es equivalente al lado de un:
11.
A. Triángulo equilátero B. Cuadrado C. Octógono regular D. Hexágono regular 6.
D
12.
B
7.
F
E
A. 5m
B. 10
5 C. 2
D. 8
Si: ABCDEF es un hexágono regular, calcular " " . C
A. 4 3 m
B. 4 2
C. 6 2
D. 2 6
Hallar el perímetro del cuadrado circunscrito a una circunferencia que a la vez está circunscrita a un triángulo
A. 24 3 m
B. 24
C. 48
D. 48 2
El perímetro de un hexágono regular es 24 3 m. Calcular el perímetro del nuevo hexágono que se forma al unir los puntos medios de los lados del hexágono original. A. 24 m
B. 36
C. 8 3
D. 12 3
13. Se tiene un triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia que a su vez circunscribe a otro triángulo equilátero. Calcular la relación entre los perímetros de dichos triángulos. A. 2
B
D. 4 3
equilátero de lado igual a 6 3 m
En la figura; ABCDE es un polígono regular; si: AD = 5 m calcula: "DF" C
A
B. 2 3
10. Si el perímetro de un hexágono circunscrito a una circunferencia es 48 cm, hallar la longitud del apotema del cuadrado inscrito en la misma circunferencia.
A
3m
C. 3 3 C
R
Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 4 m. Calcular el lado de dicho triángulo. A.
15 º
B. 22º D. 26º
E
C.
1 3
B. 3 D.
1 4
A
TRILCE Católica
F
69
Ciclo
Católica 14. En la figura se muestra una circunferencia de centro "O" cuyo radio mide 2 m. Si el triángulo ABC es equilátero
19. Si: mAP=mPQ= mQB y OA 2 3 cm , calcular "PR".
y PQ // BC ; el perímetro del triángulo sombreado es:
A
P Q
A R Q
P
O
O B
C
A. 1 cm C.
15.
A. 2 3
B. 4 3
C. 8 3
D. 6 3
20.
D.
A. x C. x
En la figura; calcular MN si ABC es un triángulo
B R
A
D. 2 13
C.
L 2 L 2
L 3 2 L 3 3
B. x D. x
(1 2 )
B.
(2 2 )
D.
L 2 L 4
C
M
B. 5 3
C. 5 6
D. 5 11
Tarea domiciliaria
L 2
L 3
1.
Calcular "x".
6
( 2
1)
( 2
1)
L3
A. Lado del triángulo equilátero inscrito en la circunferencia. B. Lado del cuadrado inscrito en la circunferencia. C. Lado del pentágono regular inscrito en la circunferencia. D. Lado del hexágono regular inscrito en la circunferencia.
L5
A. 24° C. 36° 2.
x
B. 30° D. 37°
Calcula r "x".
Sea ABC un triángulo obtusángulo y sea "R" el radio de la circunferencia circunscrita a él, los ángulos agudos suman 45º, entonces el lado mayor es igual al:
70
N
A. 5 7 cm
Dado un cuadrado de lado "L" a partir de cada vértice y sobre cada lado se toma un segmento que mide "x", de tal manera que al retirarlos y unir los extremos libres se forma un octógono regular. Calcular "x" en términos de "L". A.
6
equilátero y R=10 cm; además: AM = MC y BN=NC.
16. Se tiene un triángulo equilátero de lado "L" y exteriormente de altura "x", sobre cada lado del triángulo. Luego al unir los vértices libres se forma un hexágono regular, entonces:
18.
3
B. 13
13
C. 26
17.
B. 2
En un hexágono regular ABCDEF de lado igual a 13 , las prolongaciones de la diagonal CA y el lado EF cortan en "P"; calcular "PD" A.
B
R 3 x R 2
R
A. 60° C. 70°
B. 65° D. 75°
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 3.
Un hexágono ABCDEF se encuentra inscrito en una cir-
9.
una circunferencia de radio
cunferencia de radio 2 m. Se prolonga BC y ED cortándose en "P". Calcular el perímetro del triángulo BPE. A. 6 m C. 12 4.
C. 5.
2 m
2 2
B.
2
D.
1 2
2 m 2
A. C. 1 10.
11.
2
2
Determina el polígono regular cuyo lado mide 27 m, sabiendo que la longitud de su perímetro medido en metros, es equivalente a los 8/5 de su ángulo interior.
6.
B. Octógono D. Dodecágono
Si el perímertro del triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia es 18 3 m, hallar el perímetro del triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia .
7.
A. 18 3 m
B. 9 3
C. 6 3
D. 3 3
El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es 2 m. Calcular el lado del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia. 2
m
C. 3 2 8.
6
Si un cuadrado y un hexágono se inscriben en una misma circunferencia, el cociente de sus apotemas es:
A. C.
6 4 3
TRILCE Católica
B.
6 3
D.
3 2
y
DE .
2 2 3
A. 12 3 m
B. 16 3
C. 18 3
D.
3
La diagonal de un cuadrado mide 6 2 m. Hallar el cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita al cuadrado.
A. 18 m2 C. 15
B. 16 D. 12
12. Se tiene un triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia que a su vez circunscribe a otro triángulo equilátero. Calcular la relación entre los perímetros de dichos triángulos.
C.
B. 3
4 3
D.
2 3
13. En el pentágono regular ABCDE, hallar el ángulo que forman las bisectrices interiores de los ángulos "A" y "C". A. 120° C. 144°
B. 108° D. 136°
14. ¿En qué relación están los perímetros de un triángulo equilátero y un cuadrado inscritos en una misma circunferencia? 4 6
B. 2 2 D.
B.
EF
El diámetro de una circunferencia mide 12 m. Hallar el perímetro del triángulo equilátero inscrito en dicha circunferencia.
A. A.
Hallar la longitud del
D. 0,5
A. 2 A. Hexágono C. Decágono
2 m.
segmento que une los puntos medios de
B. 9 D. 15
En la figura, el lado del cuadrado mide 2 2 m. Hallar el diámetro de la circunferencia menor.
A.
Se tiene un octógono regular ABCDEFGH inscrito en
C.
3 6 4
B. D.
3 6 8 3 6 4
15. Desde un punto de una circunferencia se trazan dos cuerdas que miden 4 m y 5 m y que además forman un ángulo de 60°. Calcular el radio de la circunferencia. A. 1 m
B. 2
C. 3
D.
7
71
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 12 Quinto Católica
ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES y CUADRANGULARES I. Áreas de regiones triangulares
4.
Fórmula de Herón
1. Para todo triángulo
C b
a A
h A
B
b
p
h
A
A
a b c 2
(Semiperímetro)
A p(p a)(p b)(p c)
b .h 2
b
A
c
5. En función del inradio
B
h
A
r = inradio p = semiperímetro ABC
b
A = p . r
A
2. Fórmula trigonométrica
A
b A
a .b sen 2
r
A
C
6. En función del circunradio
a b R
3. Triángulo equilátero
a A
A
TRILCE Católica
A
2 3
c
A
a .b . c 4R
c
4
73
Ciclo
Católica 7. En función del exradio
4. Área del rectángulo
B
A
r c c c
A=b.h
a
A
A
h
b
c
b
5. Paralelogramo
p = semiperímetro ABC A = rc (p - c)
A
A = ra (p - a)
h
A = rb (p - b)
b
II . Área de regiones cuadrangulares
A=b.h
1. Cualquier cuadrilátero
6. Rombo
B C A
A
d
A
D
D
A AC . BD . sen 2
D : Diagonal mayor d : Diagonal menor
A
d. D 2
2. Trapecio
a
a b A h 2
m
M
N
h
A
A=m×h
Problemas para la clase 1.
En el gráfico, calcular el área del triángulo sombreado. Si: PQ = 16 m y QR = 2 m .
m = mediana del trapecio
b
P O
3. Área del cuadrado Q R
a 2
a
A= a
d
a A
A
d2 2
A. 20 m2 C. 60
B. 40 D. 50
a 74
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 2.
En la figura: AM = MB = R. Calcular el área de la región cuadrangular AMBO.
5.
M
En la figura, ABC es un triángulo equilátero y CPQR es un cuadrado. Calcular el área del triángulo BCP, si: PQ = 2m . B
B
A
P
O
A.
R2 3 3
B.
R2 3 2
A. 3 m2
C.
R2 3 4
D.
R2 3 8
C.
¿Cuánto debe medir "x" para que el área del trapecio BCDE sea el doble de la del triángulo ABE? x
A
B
6.
3
B.
3 2
D. 1
Los catetos de un triángulo rectángulo ABC miden 5 m y 12 m (m
C
2 cm 7.
D
4 cm
R
C
A. 36 m2 C. 28
E
Q
R A
3.
30º
B. 25 D. 30
En la figura; DE // AB , AC = 5 m ; AB = 4 m ; CG = 4 m y GF = 2 m. Calcular el área del triángulo CDE. C
A.
5 cm 2
B. 2
4 C. 3
8 D. 3
G
D
E
A 4.
Calcular el área del rectángulo MNPQ, si el área del triángulo ABC es "k". Además: BP = PC .
B
A.
16 2 3 m
B.
35 6
C.
40 9
D.
39 8
P
N
8.
A
B
F
Q
M
A.
k 2
B.
k 3
C.
k 4
D.
2k 3
En la fig ura: r / / s ; AB = 4 m ; BC = 3 m ; CD = 2 m y CF = 5 m . Calcular el área de CDEF .
C
A D B
r
C
F A. 8 m2 C. 12
TRILCE Católica
E
s
B. 10 D. 14
75
Ciclo
Católica 9.
En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado, calcular el área de la región triangular HAC, si: BH = 12 m y DE = 6 m . C
14.
Según el gráfico, "O" es el centro del rectángulo ABCD, si: mOD=2(mDN) y MN = 2 m . Calcular el área de la región rectangular ABCD, si: AD // MN . B
B
C
O
D D
A
H
A
A. 48 m2 C. 64
B. 54 D. 45
2 A. 2 3 m
10. Se tiene un trapecio de bases: AB = 28 cm y DC = 64 cm. Se toman "M" y "P" puntos en AB y CD respectivamente. Si el segmento PM divide al trapecio en dos cuadriláteros equivalentes y PD = 24 cm, calcular MB . A. 8 cm C. 6 11.
C.
3 3 2
16.
B. 48 D. Hay dos respuestas
Si ABCD es un cuadrado de área 64 m 2 , calcular el área de la región triangular PBC, siendo "T" punto de tangencia y "O" es centro.
B. 90 D. 60
B
12. La figura muestra un cuadrado ABCD de lado 2 m. Si: "P" y "Q" son puntos medios y "T" punto de tangencia. Calcular el área de la región triangular ABT.
A
P A
D
O
A. 18 m2 C. 30
Q
B. 20 D. 24
17. En el rectángulo ABCD , calcular el área del triángulo PQR, si: MN = 6 m y BC = 11 m.
D
P
C
T
C
T
3
D. 3 3
A. 24 C. 72
La base de un triángulo isósceles ABC mide 15 m y una de las alturas iguales mide 12 m. Calcular el área de dicho triángulo.
B
B.
15. En un romboide de lados 8 y 4 m, una altura mide 6 m. Calcular el área del romboide.
B. 12 D. 9
A. 75 m2 C. 85
N
M
E
B A. 1 m2
3 B. 2
C. 2
D.
7 4
r A
C
D
A. 80 m2 C. 48
76
B. 60 D. 62
M
A. 10 m2 C. 14 18.
A
R
P
13. En el resctángulo mostrado: AC = 10 m y AB = 6 m. Calcular el área del rectángulo ABCD. B
C r Q
N
r D
B. 12 D. 16
La figura representa un rectángulo subdividido en otros cuatro rectángulos con sus respectivas áreas. El valor de "a" será: a
8
9
2a
TRILCE Católica
G EOMETRÍA A. 4 C. 8
B. 6 D. 10
4.
19. En la figura, calcular el área de la región sombreada: "A" y "C", centros).
A. 5 5 u C. 6
B 5.
A
Los catetos de un triángulo rectángulo están en la relación de 1 a 2, calcular la longitud del cateto mayor si el área del triángulo es 16 u 2. B. 4 5 D. 8
Según la figura, AC = 12 m ; BH = 9 m, además: BE = 2(EH). Calcular el área de la región ABCE. B
C 20m 15m
A. 60 m2 C. 100
E
B. 80 D. 50
A
20. Calcular el área de la región triangular que se forma al unir los centros "O" ; "O 1" y "O 2", si: a = 9m ; b = 16m y c = 4 m . ("M", "N", "P" son puntos de tangencia).
C
H
A. 18 m2 C. 36 6.
B. 20 D. 35
Calcular "a" si el área del triángulo PQR es 24 u 2. Q
b a a
O1 M
c P
N
A. 75 m2 C. 150
O2 R 3a
B. 100 D. 200
A. 1 u C. 3 7.
Tarea domiciliaria 1.
P
L
Calcular el área de la región triangular ABC.
B. 2 D. 4
En la figura, ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero de lado 4 m. Calcular el área de la región triangular AED. B
B
C
4u
E
60° A
A. 6 3
u2
C. 12 3 2.
C
A
A. 8 m2 C. 4
B. 8 3 D. 14
8.
B. 96 D. 118
El perímetro de un triángulo equilátero es 36 u. Calcular el área de su región. A. 18 3 u 2 C. 9 3
TRILCE Católica
B. 15 3 D. 36 3
D
B. 1 D. 6
En un cuadrado ABCD, hallar el área si se sabe que
BD mide 2 2 cm.
En un triángulo acutángulo ABC, la altura BH mide 12 m y m < ACB = 45°. Si: AB = 13 m, calcular el área de la región triangular ABC. A. 90 m2 C. 102
3.
6u
9.
A. 5 cm2
B. 4 2
C. 2 3
D. 4
Si se sabe que el lado del cuadrado ABCD es 2 cm, hallar el área de la región cuadrada que se forma al unir los puntos medios de los lados de dicho cuadrado. A. 1 cm2
B.
C. 2
D. 2 - 2
2
77
Ciclo
Católica 10. El diámetro de una circunferencia mide 4 cm. Hallar el área del cuadrado inscrito en dicha circunferencia.
11.
A. 2 2 cm2
B.
C. 4 2
D. 8
2 2
Si el área de un hexágono regular es 96 3 m2, hallar el área del triángulo que se forma al unir los puntos medios de tres lados no consecutivos de dicho hexágono. A. 18 3 m 2
B. 36
C. 36 3
D. 81
A. 6 13 cm 2 C. 78
14. Se tiene un romboide en el cual el lado mayor mide 8 cm y se sabe que el área mide 32 cm 2, hallar la distancia entre los lados mayores. A. 16 cm C. 8
B. 81
C. 27 2
D. 108
13. Si la diagonal de un rectángulo mide 4 13 cm, y sus lados están en relación de 2 a 3, hallar el área del rectángulo.
78
B. 4 D. 5
15. En la figura, se tiene un hexágono regular, si "P" es punto medio de DE y BP mide 2 13 , calcular el área de dicho hexágono. B
12. Si se sabe que los lados de un rectángulo están en la relación de 2 a 1 y que su perímetro vale 27 cm. Hallar el área de dicho rectángulo.
A. 40,5 cm2
B. 96 D. 108
C
A
D P F
E
A. 24 m2
B. 16
C. 12 3
D. 24 3
TRILCE Católica
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 13 Quinto Católica
RELACIÓN ENTRE ÁREAS - ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES I.
RELACIONES DEÁREASEN REGIONES TRIANGULARES 2
1
a
A
b
S1 S2
S S G S S S S
S
S
S2
S1
3
B
C
M
a b
BM : Mediana
G: Baricentro
B
4
S
M
N 3S
A
C
MN : Base Media II. 1.
RELACIONES DEÁREASEN REGIONESCUADRANGULARES En trapezoides convexos:
2.
En trapecios AD // BC B
C
A
A
En paralelogramos
C S
S
B
3.
*
B
D A
D
A.B = C.D
S2
También: B
C
A
A.B
B
P
D
MNPQ: Paralelogramo
S ABCD 2
TRILCE Católica
P
B
A
A
SMNPQ
S
C
D
P
D
Q
S
* C
S
S
*
También:
N
M
S
S
SABP
S ABCD 2
P: Punto cualquiera SAPD
S ABCD 2
79
Ciclo
Católica III.
PARADOSTRIÁNGULOS SEMEJANTES
B Q
~
a
c
d
r
p h
A
P
q
C
b
R
SABC a2 b2 c2 d2 = 2 = 2 = 2 = 2 = ... SPQR p q r h
IV.
1
ÁREAS DEREGIONESCIRCULARES
Círculo y Circunferencia
2.
Sector circular
3.
Corona circular B
Circunferncia R
Círculo
O
A
R
R
Área de un círculo
A
A R2
R2.
360º
R
A (R2 r 2 ) A
Longitu de una Circunferencia
4.
r
O
( AB)2
4
Segmento circular
L = 2 R
B R
A
R
O
= Sector AOB - AOB
Recordar
A=B
A B
80
TRILCE Católica
G EOMETRÍA
Problemas para la clase 1.
El área de la región cuadrangula r ABCD es de 48 m 2. Calcular el área de la región sombreada.
En la figura calcular "S" .
D
A A. 12 m2 C. 16
5
2
A. 80 m2 C. 60
C
B
S
40m2
2.
5.
B. 40 D. 100
6.
B. 14 D. 24
Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide, AM = MD, área del ABM es 12 m 2.
Calcula el área total ABC, si el área de la región som-
B
breada es de 2m2 .
C
B A
2b a 3a
A. 4 m2 C. 20
b
A
C n
2n A. 36 m C. 24 3.
7.
En la figura, ABCD es un paralelogramo. Calcular "Sx" .
B. 20 D. 18
S1
A. b
3a
A. 12 m2 C. 24
c
A
8.
B. 16 D. 18
En la figura el área de ABC es de 24 cm 2 ; calcular el área de la región sombreada. B
b 9.
3b A
2a
a
D
S1 + S 2 2
B.
C. S2 - S1
b c
Sx
A
Si el área de la región triangular ABC es 48 m 2, calcular el área de la región sombreada. a
C S2
C
4.
B. 8 D. 24
B
2
B
D
M
S1 - S 2 2
D. 2(S2 - S1)
En un triángulo ABC se traza la ceviana BP y sobre ella se determina el punto “D” de tal manera que: 2BD = 3DP y PC = 3AP. Calcular la relación entre las áreas de los triángulos ADP y ABC. A.
2 15
B.
1 20
C.
1 10
D.
3 16
Calcular "x + y" , siendo "x" e "y" el área de las regiones mostradas. B
C
x u2
A. 12 cm2 C. 13
B. 15 D. 16
y u2 15 u 2
C
A A. 9 u2 C. 14
TRILCE Católica
B. 12 D. 15
81
Ciclo
Católica S1 ; si: MC = 3(AM) S2
10. En la figura mostrada, calcular:
R B
y BN = 3(NC)
B
P
S1
11.
C
M B. 0,8 D. 1
Calcula el área del círculo, si el radio del sector AOB es de 9 cm.
-2 2 A. m 2
-2 2 B. m 4
-2 2 C. m 8
-2 2 D. 16 m
15. Si ABCD es un cuadrado de 144 m 2 de área, calcular el área del medio círculo sombreado.
A O
B
A
B. 9 D. 12
A. 3 m 2 C. 9
12. En la figura mostrada, AO = OB = BC = 2 m. Calcular el área de la región sombreada. T A
13.
A. 3 3 m2 2
B.
3
C. 2 3 3
D.
3
16. La figura muestra tres círculos congruentes de centros
"O1" ; "O2 " ; "O3" . El área de la parte sombreada es igual:
a
O1
O2 O3
2
3
Hallar el área de la región sombreada, si se sabe que: a = 3 m; b = 4 m; c = 5 m
b
D B. 4 D. 4,5
C
B
O
C
B
60º
A. 5 cm 2 C. 16
D S
S2
A. 0,5 C. 0,6
Q A
N A
C
c
A. Al área de uno de los círculos. B. A la mitad del área de un círculo. C. A
del área de un círculo. 2
D. A
3 del área de un círculo. 2
17. Calcular el área de la región sombreada. Si: AP = PO y OB = OA = 12 m.
A A. 27 m 2 C. 30
B. 28 D. 32
P
Q
14. En la figura, calcular el área de la región sombreada; si: ABCD es un cuadrado de 2 m de lado. PQ y RS son diámetros.
82
O
B
TRILCE Católica
G EOMETRÍA A. 24 ( - 3 )m2
B. 8 (3 - 9 3 )
C. 6 (4 - 3 3 )
D. 6 (3 - 4 3 )
Tarea domiciliaria 1.
Calcular el área sombreada si el área del triángulo ABC es 66 m 2 y AM y BD son medianas.
18. Si ABCD es un cuadrado, BD = DE = n 2 , calcular el área de la región sombreada.
B M
B
A
A
C
D
2.
n2 B. 5
A. n2 C.
A. 11m2 C. 13
E
n2 3
D.
19. Hallar la diferencia de las áreas de las regiones sombreadas, si al lado del cuadrado ABCD mide 4 cm.
3.
4.
D
A. (3 - 8) cm2 C. 6 - 8
En un triángulo ABC, "M" y "N" son los puntos medios
A. 10 cm2 C. 5
C
A
B. 12 D. 14
de AB y BC respectivamente. Sobre AC se toma un punto "P" y se traza el triángulo MNP. Si el área de ABC es 20 cm 2, calcular el área del triángulo MNP.
n2 2
B
C
D
B. 2(3 - 8) D. 6 + 8
B. 12 D. 25
En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior CF. Hallar la relación entre las áreas de los triángulos ACF y CFB, si: AC = 5 y BC = 7. A.
5 12
B.
5 7
C.
7 5
D.
7 12
En la figura, ABCD es un cuadrilátero cuya área es 120 cm 2. El triángulo ABD tiene un área de 25 cm 2 , ¿cuál es el área del triángulo BMD, sabiendo que "M" es punto medio de la diagonal AC?
20. Si el área del DABC es “S”, calcular el área de la región sombreada.
B
C M
B A
D
C
A A.
S 20
B.
3S 20
C.
S 10
D.
7S 20
A. 35 cm2 C. 70 5.
El lado de un triángulo equilátero mide 6 6 m . El triángulo es cortado por dos paralelas a uno de los lados, tales que, dividen el triángulo en tres figuras de áreas iguales. Calcular la longitud de la paralela más próxima al lado. A. 8 m B. 10
6.
C. 12 D. 2 6
Por el baricentro de un triángulo ABC, se traza una paralela AC que corta en "P" y "Q" a los lados AB y BC respectivamente. Si el área del triangulo PBQ es 8 m2 , hallar el área del triángulo ABC. A. 3 m2 C. 12
TRILCE Católica
B. 15 D. 12
B. 6 D. 18
83
Ciclo
Católica 7.
En un triángulo ABC, el lado AC = 2. ¿Cuánto mide la paralela a dicho lado, tal que determina dos regiones equivalentes? A. 1 C.
8.
12.
¿Cuánto mide el área sombreada si la diagonal del cuadrado mide 4?
B. 2
3
2
D.
Si el paralelogramo ABCD tiene por área 120 m2 , calcular el área sombreada, si "M", "N", "P" y "Q" son puntos medios.
B
N
C
M
A. -2 C. 2( -2)
B. 3( -2) D. 2
13. En la figura, si: BN = 1 y QD = 3, hallar la razón del área del trapecio isósceles ABCD al área del círculo. B
P
N
C
M
A. 15m C. 45 9.
D
Q
A
A
B. 30 D. 60
2
En la figura, hallar el área sombreada: 5
5
5
B. 4 - D. 25(4 - )
D
Q
A.
2 3
B.
C.
2 3
D.
5
A. 5( - 2) C. 25
P
3
2 8 3 (3 )
14. Calcular el perímetro de un rectángulo inscrito en una circunferencia de diámetro 10 cm, sabiendo que el área del rectángulo es 48 cm. A. 13 cm C. 24
B. 14 D. 28
10. Hallar el área sombreada.
2a
15. La suma de las longitudes de las circunferencias de dos círculos tangentes interiores es 20 m y la distancia entre sus centros es 4 m. Calcular la diferencia de sus áreas. A. 30 m2 C. 60
B. 40 D. 80
2a
11.
A. a2 ( - 2)
B. a2 ( - 4)
C. 2a 2( - 2)
D. a2 (4 - )
Si ABCD es un cuadrado y "M", "N", "P" y "Q" puntos medios, hallar el área sombreada. A
M
N
D
A. a2 C. a2
84
B
Q 2a
P
C
B. 2 a 2 D. 2a2
TRILCE Católica
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 14 Quinto Católica
REPASO DE ÁREAS Problemas para la clase 1.
Si AB = 6m ; BC = 8m y HC = 7 m, hallar el área del triángulo AHD.
B
C 5.
H
38 2 A. m 5
26 B. 5
20 C. 3
36 D. 5
B.
3 3 4
C.
2 3 3
D.
3 3
En la figura, ABCD es un romboide, ED = 2AE : x = 2 m2 ; y = 10 m2, calcular el área de la región ABCD. B
C
x
A
En la figura, la diferencia entre las áreas de los cuadrados ABCD y EFGC es 56 m 2 . Si BE=4m, el área del triángulo CDE es:
A
y
D
E
A. 12 m2 C. 22 6.
B. 16 D. 24
Hallar “M - N”, si: AB = 6 m y BC = 8 m.
B
B
E
N
F
M
A
D
C
A. 22,5 m2 C. 20,5 3.
4 3 2 m 3
D
A
2.
A.
G A. 1 m2 C. 3
B. 18,5 D. 24,5
Calcular el área de la región triangular CPD, si: CP = 6 m y AD = 11 m .
C
B
C
7.
B. 2 D. 1,5
En la figura, ABC es un triángulo isósceles (AB = BC) de área igual a 72 cm 2 . Si: CN =
AC , calcular el área 3
del triángulo ANC.
2 B
P
A
D
A. 30 m2 C. 33 4.
B. 32 D. 28
En la figura, una circunferencia de centro "O" tiene 2 m de radio y el triángulo ABC es equilátero. Si: PQ // BC , el área sombreada es:
N
A
C
A
P B
TRILCE Católica
A. 24 cm2 C. 12
Q
B. 18 D. 8
O C
85
Ciclo
Católica 8.
Calcular el área de un círculo, si dos cuerdas paralelas AB y CD miden 6 y 10 m respectivamente y la distancia entre dichas cuerdas es 8 m. A. 23 m2 C. 28
9.
B. 34 D. 37
En la figura, ABCD es un romboide. Calcular su área sabiendo que: AM = MN = ND ; x = 4 cm 2 ; y = 13 cm 2 y z = 3 cm 2
B
A. 5u 2 C. 15
B. 10 D. 18
14. Según la figura S1 + S2 = 16 cm2 , calcular "r" . K
C
x
A
13. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD y, en el triángulo DBC, la ceviana BM tal que: m CBM = m BAC . Si el área de la región triangular MBC es 5u2 y AC=2(BC), calcular el área de la región BMA .
y
M
A. 30 cm2 C. 34
S
D
N
S2
S1
z
10. En la figura, ABCD es un cuadrado y un arco AP tiene centro en "D". Si el área sombreada mide
15.
L
C
A. 4 cm C. 8
B. 32 D. 36
r
B. 6 D. 10
En la figura, calcular el área sombreada, si: CM = MB = 2 m ; PB = 1 m y AP = 7 m
4- , 8
C
el perímetro del cuadrado es igual a: B
A
M
P
A
D
C
C. 4 11.
A.
3 2 m 2
B. 2
C.
4 3
D. 1
B. 4 2
A. 2
2
D.
Calcular el área de la corona circular sombreada, si “T” es punto de tangencia, AB = 12 m.
16. En la figura, calcular la relación entre las áreas del rectángulo PQRS y del trapecio ABCD, si: AQ = 2QB y AD = 4BC B
B A A. 36 C. 16
Q
B. 25 D. 144
12. Calcular el área de la región sombreada, si: AB , BC y AC son diámetros.
2
A. 24 C. 18
86
4
R
B
s2
B. 32 D. 26
P
D
S
A.
8 12
B.
8 15
C.
7 16
D.
2 3
17. Según la figura, el área de la región cuadrada ABCD es 16 cm 2; calcular el área de la región cuadrangular ABLD . (L: es punto de tangencia)
sx
A
C
T A
m2
B
P
C
B
A
C L
D
TRILCE Católica
G EOMETRÍA A. 11 cm2 C. 11,4 18.
B. 11,2 D. 11,6
2.
En la figura, calcular el área del triángulo rectángulo.
Calcular el área de la región sombreada, si: AO = OB = a. OM=BM. B
8 3 30º
M
A
O
a2 ( 3 3 3) u 2 A. 24 C.
a2 ( 3 1) B. 12
a2 ( 3 3) 12
3.
a2 ( 3 3 3) 24
D.
19. Calcular el área del medio círculo sombreado, si: AB = 13 m ; BC = 15 m y AC = 14 m. (“O” es centro, “P” y “Q” son puntos de tangencia) B
A
4.
A. 9 m2 C. 16
5.
B. 18 D. 25
20. " S" 1 ; "S" 2 y "S" 3 son las áreas de las regiones sombreadas; si S 1 = 9 ; S2 = 4 ; NP // CD y ABCD es un paralelogramo, calcular "S 3".
B M
A A. 6 C. 7
6.
S3
D B 6,5 D. 7,5 7.
Tarea domiciliaria 1.
En un rectángulo ABCD: AB = 90 m y BC = 60 m . La bisectriz interior de "A", corta a la diagonal BD en "F" y al lado CD en "E" , calcular el área del triángulo DEF. B. 740 D. 720
El área de un triángulo ABC mide 216 m 2. Si "G" es baricentro del triángulo, hallar el área del triángulo AGC. B. 36 D. 144
En un paralelogramo ABCD, las bisectrices interiores de los ángulos "A" y "D" se cortan en "O". Si la distancia de "O" a BC es 3 m, el área del triángulo AOD mide 25 m 2 y BC = 10 m, hallar el área del paralelogramo. B. 80 D. 120
Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de diámetro AC = 4 3 m . Si: AB = 6 m, hallar el área del triángulo.
S2 P
D. 64
A. 60 m2 C. 160
C N
S1
C. 32 3
A. 72 m2 C. 108
C
O
B. 54 3
A. 640 m2 C. 840
Q
P
A. 64 3 u2
En la figura, ABC es un triángulo equilátero. Si: MN // AC ; NP // AB ; A1 = 9 3 cm2 y A2 = 3 cm2, hallar el área de un triángulo ABC.
B
A. 6 2 m2
B. 4 3
C. 6 3
D. 2 3
Hallar el área de un sector circular de radio 5 y ángulo 120º.
25 3 D. 10 3
A. 30
B.
C. 15 8.
Si ABCD es un cuadrado de lado 9 m y "M" es punto medio de CD , calcular el área sombreada.
A1
B
M
N M
A2
A A. 18 3 c m 2 C. 20 3
TRILCE Católica
C
P B. 12 3 D. 16 3
C A
A. 54 m2 C. 36
D
B. 18 D. 27
87
Ciclo
Católica 9.
Las bases de un trapecio ABCD miden AD = 7 cm y BC = 3 cm, y su altura 4 cm. Si "M" y "N" son los puntos medios de las diagonales de ABCD, hallar el área del cuadrilátero AMND. A. 12 cm2 C. 24
B. 16 D. 9
A. 64 m2
B. 78
C. 80
D. 45 3
En un cuadrilátero ABCD, siendo "O" la intersección de sus diagonales, si: OA = K ; OB = 2K ; OC = 8K ; OD = 5K y el área del triángulo BOC es 48 cm 2 . Hallar el área del cuadrilátero. A. 179 cm2 C. 199
10. Se tiene un trapecio rectángulo cuya base menor mide 4 m, y cuyo lado no paralelo mayor mide 13 m. Si su diagonal más grande tiene una longitud de 15 m, hallar el área del trapecio.
11.
13.
En la figura, "M" es punto medio de BC y el área de la región triangular ABC es 60 cm 2 . Hallar el área de la región sombreada.
B. 189 D. 120
14. Dado un paralelogramo ABCD, se traza la diagonal
AC . Desde "B" se traza una perpendicular a BC que corta a la diagonal en "P" . Si: AP/PC = 2/5 y el área del triángulo ABP es 6 m 2 , calcular el área del paralelogramo. A. 28 m2 C. 42 15.
B. 35 D. 49
En la figura, "O" es el centro, hallar el área de la región sombreada si el radio mide 20 m y AB = 24 m.
A N
O A
B
M
A. 30 cm2 C. 50
C
B. 40 D. 20
B A. 50 m2 C. 45
B. 40 D. 52
12. En la figura, el área de la región triangular DBC es 12 cm 2 , hallar el área de la región triangular DBM, donde "M" es punto medio de AC . B D
A A. 6 cm2 C. 10
88
M
C
B. 8 D. 12
TRILCE Católica
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 15 Quinto Católica
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO Y POLIEDROS REGULARES Definición de plano
2. Planos paralelos
Es una superficie ilimitada de puntos donde, toda recta que pase pordosde sus puntosestá íntegramente contenida en el plano. B L
A Plano P // Plano Q "A" y "B" pertenecen al plano P L está contenida en el plano P
* Posiciones de una recta y un plano en el espacio 1. Recta y plano secantes
Observación:
Q no es un plano, Q es una superficie curva
Postulado para la determinación de un plano
2. Recta y plano paralelos L
Un plano queda determinado por: 1. 2. 3. 4.
Tres puntos no colineales. Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas secantes. Dos rectas paralelas.
L // Plano P
* Posiciones de dos planos en el espacio * Posiciones de dos rectas en el espacio
1. Planos secantes
1. Rectas secantes Recta común (Arista)
a
b
a y b son secantes y pertenecen al plano P
TRILCE Católica
89
Ciclo
Católica
Teorema de las tres perpendiculares
2. Rectas paralelas
a m
F
n m y n son paralelas y pertenecen al plano "P"
H b
3. Rectas cruzadas o alabeadas a d
º
a
P
b
Q
E
Si: * a plano Q * b está contenida en el plano Q * HE b * “F” un punto cualquiera de a
b
Se cumple: EF b
Teorema de Thales en el espacio A
“d”: distancia entre a y b º : Ángulo entre a y b
D
B
E
Recta perpendicular a un plano Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rectas secantes contenidas en dicho plano. a
L1
L1 y L 2
F
Si:
L2
Si: a
C
a
P //
Q //
R
AB DE = BC EF
al plano P
Observación: Si una recta es perpendicular a un plano, entonces será perpendicular a todas las rectas contenidasen dicho plano.
90
TRILCE Católica
G EOMETRÍA Un poliedro es regular si es convexo y los polígonos de todas sus caras son polígonos regulares congruentes. Solo existen cinco poliedros regulares que son: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
POLIEDRO REGULAR FORMA DE LAS CARAS
A
Triángulos equiláteros
4
4
6
Octaedro
Triángulos equiláteros
8
6
12
Hexaedro
Cuadrados
6
8
12
Dodecaedro
Pentágonos
12
20
30
Icosaedro
Triángulos equiláteros
20
12
30
Problemas para la clase h=
a h
V
Tetraedro
Tetraedro regular
a
C
a
1.
a 6 3
Dos cuadrados forman un ángulo diedro de 90° como muestra la figura, calcular la distancia entre los centros de dichos cuadrados, si: BC = 8 m.
2 A= a 3
D a
a3 2 V = 12
a
A C
Hexaedro regular (cubo)
d
B
E
F
diagonal del sólido d= a 3 2.
A = 6a2
A. 4 m
B. 2 2
C. 3 2
D. 4 2
Calcular la medida del ángulo diedro formado por los planos ABCD y ABEG, si la distancia de “P” a dichos planos miden 5 m y 6 m y desde “P” a la arista AB mide 10 m. C
3
V= a
P
D
B E
Octaedro regular
A
d
diagonal del sólido
A. 60° C. 75°
G B. 53° D. 67°
d= a 2 3.
d
A = 2a2 3 3
Dos triángulos equiláteros ABC y ABD forman un diedro de 53°. Hallar “CD”, si: AB = 10 3 m. A. 6 m
B. 12
C. 6 5
D. 15
a 2 V= 3 TRILCE Católica
91
Ciclo
Católica 4.
Hallar el área del triángulo APM, si: AM = MD, ABCD es un cuadrado de lado 4 m y PC es perpendicular al plano de dicho cuadrado y mide 3 m.
10. En la figura ABCD-EFGH es un hexaedro regular de arista 4u; "O" es centro de la cara ABCD; M y N son puntos medios. Calcular el área del triángulo MON.
P
B O
B
A
C
M A A. 5 m2 D. 10 5.
D
M B. 4 E. 9
En la figura el triángulo AQB es perpendicular al plano "P" en donde se encuentra un círculo de diámetro AB=9m. Si: AQ=17m y QB=10m. Calcular la distancia de Q al plano "P". Q
A
B
11.
6.
B. 8 D. 9
Hallar el volumen de un hexaedro regular de diagonal 3 3 m. A. 27 m3 C. 9 3
7.
C. 4 2
D. 5 2
Con centro en los vértices de un cubo de lado de lado "a" se trazan esferas de radio a/2. Si la esfera de radio "R" contiene a estas 8 esferas y es tangente a cada una de ellas; entonces el valor de: a/R es:
A.
3 2
B.
3 1
C.
2 3
D.
1 2
G E
A D
9.
12. En el tetraedro regular de arista “a”, calcular la distancia del centro de una cara hacia una arista lateral. V
H
B. 160° D. 75°
Calcular el volumen de un cubo donde la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta mide 3 m. B. 6 D. 3 6
Calcular el volumen de un cubo donde la distancia del centro de una cara a la diagonal de dicho cubo es igual a 6 m. A. 8 m3 C. 27
92
B
A C
F C
A. 6 6 m 3 C. 6 3
H
B. 27 3 D. 12 3
B
8.
G
B. 3 2
En el hexaedro regular mostrado, calcular el menor ángulo que forman las diagonales AF y BD.
A. 45° C. 90°
F
A. 2 2 u 2
P A. 6 m C. 10
D N
E
C. 8
C
A.
a 2
B.
a 3
C.
2a 2 3
D.
a 2 3
13. Calcular la distancia entre los centros de dos caras de un tetraedro regular cuya arista mide “x”. x x A. B. 2 6 C.
2x 3
D.
x 3
14. El volumen de un cubo es 36 m 3. Calcular el volumen del tetraedro regular inscrito en dicho cubo. A. 12 m3 C. 24
B. 18 D. 15
B. 6 D. 64
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 15. El tetraedro regular mostrado tiene un volumen de 18 2 m 3 . Calcular el área de la proyección lateral sobre la base.
Tarea domiciliaria 1.
Calcular PQ si: OP
H y OP = 18 y OQ = 24.
V P
C
A B A. 6 3 m 2
B. 9 3
C. 3 3
D. 9
O H
A. 15 C. 36
16. Hallar el volumen de un tetraedro regular donde su arista es igual a la diagonal del cubo del problema anterior. A. 16 m
B. 16 6
C. 8 3
D. 8 2
Q
2.
B. 20 D. 30
Calcular: PA, si: AB = 6, QB = 8 y PQ = 5. P
B Q
17. La figura muestra un octaedro regular, calcular m AVC. H
V D A
A. 90° C. 120° 18.
19.
B
V1 B. 100° D. 60°
A. 15 m C. 30 m
TRILCE Católica
5.
B. 45° D. 60°
B. 6 m D. 12 m
Las distancias de 2 puntos "A" y "B" a un plano "P" son de 6 m y 2 m, estando "A" y "B" a uno y otro semi espacio del plano "P". La proyección de AB sobre el plano "P" es 15 m. Hallar la distancia entre "A" y "B". A. 17 m C. 12 m
6.
B. 17 m D. 25 m
Sea el plano "P" y un segmento exterior AB que mide 10 m, la distancia de "A" al plano es de 16 m y de "B" al plano es de 8 m. Hallar la longitud de la proyección de AB sobre el plano "Q". A. 4 m C. 8 m
B. 2 D. 2,5
20. Se tiene un triángulo rectángulo ABC donde los catetos AB y BC miden 15 m y 20 m respectivamente. Si por el vértice “B” se levanta la perpendicular BP = 12 m al plano del triángulo ABC, calcular la medida del ángulo diedro que forman los planos ABC y APC. A. 30° C. 37°
4.
B. 6 D. 8
En un tetraedro regular de volumen 54 6 m3. Calcular la distancia del centro de una cara hacia la altura de dicho tetraedro. A. 1 m C. 3
3.
B. 10 5 D. 5 5
"P" y "Q" son dos planos paralelos que distan 20 m siendo A y B puntos situados en los planos "P" y "Q" respectivamente y AB = 25 m. Calcular la proyección de AB sobre el plano "Q".
Se tiene un triángulo ABC donde AB = 13 m; BC = 15 m y AC = 14 m. Por el incentro de dicho triángulo se levanta la perpendicular IP al plano del ABC. Calcular la medida de IP para que el diedro formado por los triángulos ABC y APC sea de 53°. A. 3 m C. 4
A. 10 C. 5
C
A
B. 15 m D. 8 m
Un plano "P" tiene una inclinación de 75° sobre el plano "Q". Se toma un punto "A" del plano "P" y se traza la perpendicular AB al plano "Q", si la distancia de "A" a la intersección de los planos mide 20 m, hallar la distancia de "B" al plano "P". A. 1 m C. 3 m
B. 2 m D. 5 m
93
Ciclo
Católica 7.
En la figura, los planos "P", "Q" y "R" son paralelos. Si: MB=12 m y ND = 9 m, hallar AB sabiendo que excede a CD en 7 m.
11.
su área total es 16 3 u2.
P
A
M
N
B
D
12.
B. 12 D. 28
Los triángulos equiláteros ABC y ABD de lado «L» se encuentran en planos perpendiculares. Hallar CD. 13.
9.
A. 2 L/2
B.
3 L/2
C. L
D.
6 L/2
Se tiene 3 planos horizontales. La distancia del primer plano al 2do plano es el doble que la distancia del 2do al 3er plano. Se traza una recta secante que corta a los 3 planos y forma un ángulo de 60° con la vertical y cuyo segmento comprendido entre el primer y tercer plano mide 27. Hallar la distancia entre el primer plano y el segundo plano. A. 6 C. 8
B.
8 2 2 u 3
15 2 2 u 2
D.
16 2 2 u 3
C.
R
8.
A. 8 2 u2
C Q
A. 16 m C. 21
Hallar el volumen de un tetraedro regular sabiendo que
14.
La proyección de la cara de un tetraedro regular sobre otra mide 3 3 m 2 . Hallar el área lateral de dicho tetraedro. A. 6 3 m 2
B. 12 3
C. 18 3
D. 27 3
En un tetraedro regular el área total es numéricamente igual a su volumen. Hallar la altura del tetraedro. A. 4 3
B. 8 3
C. 12
D. 9 6
En un tetraedro regular de arista "a", calcular la distancia del baricentro de una cara lateral a la base del tetraedro. A.
a 6 6
B.
a 6 4
C.
a 6 2
D.
a 6 9
B. 7 D. 9
10. Calcular el área de la región sombreada si el cubo tiene volumen 64 m 3 . 15.
Uniendo "P" con los vértices del lado opuesto, se forma un triángulo como el de la figura. Hallar su área, si el lado del cubo es "a". P
A. 4 3 m 2
B. 6 3 m 2
C. 8 3 m 2
D. 12 3 m 2
94
A. a2 3 /2
B. a2 3 /4
C. a2 2 /2
D. a2 2
TRILCE Católica
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 16 Quinto Católica
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS I : PARALELEPÍPEDO - PRISMA - CILINDRO I.
Prisma recto Prisma cuadrangular regular
Prisma triangular regular
Prisma hexagonal regular
Donde:
h
h
h
•
h: altura S: área de la base
Desarrollo de un prisma recto:
Se cumple: 1 AL =
Perímetro de la base
.h
h 2 AT = S Base + AL Perímetro de la base AL: área lateral II.
3
V = S Base . h
AT: área total
V: volumen
Paralelepípedo rectangular, rectoedro u ortoedro
Se cumple: 1 A = 2(ab + ac + bc) d
c
2
d = a2 + b 2+ c 2
3
V = abc
b a Donde: III.
A: área total
d: diagonal
V: volumen
Cilindro recto de revolución
h: altura del cilindro g: generatriz o generador del cilindro R: radio de la base
h= g R •
Desarrollo del cilindro recto:
AL = 2 Rg
h= g
Donde: AL: área lateral
AT = 2 R(g + R)
V = R2h
AT: área total
V: volumen
2 R
TRILCE Católica
95
Ciclo
Católica 7.
Problemas para la clase 1.
Calcular el volumen de un prisma cuadrangular regular cuya arista básica mide 6 m y su altura mide 3 m. m3
A. 72 C. 108 2.
En la figura, calcular el volumen del prisma recto cuadrangular regular mostrado si el área de la región "PQRS" es de 3 m 2 y la altura del prisma es 2 m .
Q
R
B. 54 D. 120
La figura muestra un paralelepípedo rectangular cuyas aristas están en proporción de 3 ; 4 y 12, si su diagonal mide 6,5 m , calcular el área total del paralelepípedo.
P A. 24 m2 C. 60 3.
B. 48 D. 72
La altura y el diámetro de la base de un cilindro de revolución tienen igual longitud y su área total es 24 m2. Calcular el volumen de dicho cilindro. A. 32 m 3 C. 20
4.
8.
B. 16 D. 24
A. 1 m3
B. 2
C.
D.
C. 9.
2
D3
B.
8 2
5.
Calcular el área total del rectoedro mostrado, si: BD =10 m y DC = 3CG .
B
C 53º
D3
D.
4 2
11.
2 2
B. 22 D. 26
H B. 122 D. 132
B. 84 D. 88
Calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular; sabiendo que las diagonales de las caras miden: 34 ; 58 y 74 m. A. 100 m3 C. 110
G
E
6.
D3
La diagonal de un paralelepípedo rectángulo mide 10 m y su área total es 384 m 2. Calcular la suma de sus longitudes de todas las aristas.
A. 80 m3 C. 82
D
F
A. 112 m2 C. 152
2
10. En una habitación en forma de un rectoedro las caras tienen áreas iguales a 14m 2 ; 21m 2 y 24m 2 . Calcular el volumen de dicha habitación.
B. 1 D. 8
A
2D3
A. 20 m C. 24 A. 6 m3 C. 4
3
El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto de revolución es un cuadrado de diagonal "D". Calcular el volumen de dicho cilindro. A.
Se muestra un prisma triangular regular donde la diagonal de una cara mide 4 m y forma 60º con la base. Calcular el volumen del prisma.
S
12.
B. 105 D. 115
Si: "O" es centro de la base, OA = 16 m y m
A
Calcula el volumen de un cilindro de revolución de altura igual a 8 m; si el desarrollo de su superficie lateral tiene una diagonal igual a 10 m. 72 3 m A.
36 3 m B.
18 3 m C.
9 3 m D.
96
F
O
A. 64 m 2 C. 72
B. 128 D. 96
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 13. El largo de un paralelepípedo rectangular es el triple de la altura y el ancho es el doble de la altura. Si la
18.
diagonal mide 2 14 m , calcular el volumen del paralelepípedo. A. 24 m3 C. 36
B. 48 D. 64
14. Se tiene un prisma triangular cuyas aristas básicas miden 5 ; 6 y 7 m. Si la arista lateral mide 10 m, calcular el volumen y el área lateral del sólido.
15.
A. 60 3 m3 y 180 m 2
B. 60 6 m3 y 180 m 2
C. 30 6 m3 y 180 m 2
D. 20 6 m3 y 180 m 2
Calcular la relación entre "h" y "x" de tal manera que al encajar las dos piezas mostradas se obtenga un sólido cuyo volumen sea el doble del volumen en "I".
1 h
h
h 2
B.
h 4
C.
h 6
D.
h 16
19. Si se hace girar un rectángulo de lados "a" y "b" alrededor del lado "b" se genera un cilindro, si se hace girar alrededor del lado "a" se genera otro cilindro. Calcular la relación de los volúmenes de los dos cilindros. A. 1 C.
b2 a
B.
a b
D.
a2 b
20. En la figura se muestra un paralelepípedo cuya base es un cuadrado de lado "a". Si "A" y "B" son los volúmenes de los sólidos parciales, calcula la rela3 ción que existe entre "a" y "b". Si: B = A 8 b a
A.
7 6
B.
9 7
C.
6 5
D.
10 7
"3r" y "r 3 " y su área lateral es de 24 2
A. 3a+11b = 0 C. 2a-7b = 0
B. 24 2
C. 12 2
D. 18 2
B. 4a-11b = 0 D. 3a-11b = 0
Tarea domiciliaria
2 u .
1. A. 32 2 u
B
A
16. Calcular el volumen de un cilindro de revolución de radio "r", si la distancia de un punto situado en su superficie lateral a los centros de las bases miden
17.
A.
x
3
3
Un vaso cilíndrico de diámetro "d" y altura "h" está lleno de agua, si se vierte esta agua en otro vaso de diámetro "2d". ¿Hasta qué altura "H" subirá el agua?
La figura muestra un prisma hexagonal regular de circunradio de la base 4 m. Calcular la menor distancia que se debe recorrer desde "A" hasta "B" sobre la superficie del prisma de altura 7 m.
El desarrollo de la superficie lateral de un prisma triangular regular es un cuadrado de lado 12 cm. Calcule su volumen. A. 36 cm3 C. 34
2.
B. 48 3 cm3 D. 48
La figura muestra dos sólidos equivalentes, rectos y regulares. Calcule "
a ". b b
a
A b
a
B
TRILCE Católica
A. 1
B.
3 /2
C. 2 3 /3
D.
3 /4
97
Ciclo
Católica 3.
¿Cuál es la longitud del recorrido que hace una hormiga ubicada en el punto "H" para llegar a la gota de miel en el punto "M"?
9.
A. 16 cm 3 C. 12
H Recorrido
10.
5cm
M
A. 25 cm C. 17
4.
5.
B. 18 D. 13
L(P-2L) P(L-P)
B. L(P-L) D. P(L-2P)
Halla el área lateral del cilindro mostrado, si el área del triángulo sombreado es 6 .
B. 18 D. 10
En un cilindro de revolución, el desarrollo de la superficie lateral es un cuadrado de diagonal 2 cm. Calcular el volumen del cilindro.
6cm
Se tiene un rectángulo de perímetro "P" que rota por su lado "L". Calcular el área lateral del sólido que se genera. A. C.
El área lateral de un cilindro es 12 cm 2 y su área total es 20 cm 2. Calcular el volumen.
A.
1 cm3 4
B. 2
C.
D.
2
11.
Halla el área total del paralelepípedo rectangular cuya base tiene una diagonal que mide 3 10 y los lados son uno el triple del otro. La altura del paralelepípedo mide 9. A. 135 C. 210
B. 18 D. 270
12. Si el área de base de un cilindro circular recto es 64 y su altura 5 , calcula el área total. A. 80 C. 160
A. 6 C. 8 6.
Calcula el volumen de un prisma recto cuya base es un cuadrado de lado igual a 2 u y su diagonal forma con la base un ángulo de 45º. A. 16 u3 C. 4
7.
B. 8 D. 18
En un prisma cuadrangular regular el desarrollo de su superficie lateral es un cuadrado de área 36 u 2 . Calcule su volumen un u 3 . A. 9,45 C. 13,5
8.
B. 24 D. 12
B. 12,8 D. 11
Un prisma triangular regular tiene inscrita en su base una circunferencia de 3 de radio. Al ser desarrollada su área lateral, tiene la forma de un rectángulo cuya diagonal mide 30, halle el área lateral del prisma. A. 281 C. 328
98
B. 100 D. 208
13. Las caras de una caja de zapatos en forma de paralelepípedo rectangular tienen 1 ; 2 y 3 cm 2 de área, respectivamente. Calcule el volumen de dicha caja. A. 12,5 cm3 C.
6
B. 8,4 D.
3
14. Si el volumen de una esfera inscrita en un cilindro es 36 , calcula el área total del cilindro. A. 48 C. 36
B. 54 D. 52
15. En un cilindro circular recto, de 6 u de radio, que contiene suficiente agua, se introduce una esfera de plomo de 3 u de radio. ¿En cuánto sube el nivel del agua en el cilindro? A. 2 u C. 1,5
B. 1 D. 0,5
B. 432 D. 446
TRILCE Católica
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 17 Quinto Católica
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS II: PIRÁMIDE - CONO - ESFERA I.
Pirámide Regular Pirámide triangular regular
h
Pirámide cuadrangular regular
Pirámide hexagonal regular
h
Ap
* Fórmulas a usar en toda pirámide regular 1 AL =
Semiperímetro de la base
2 AT = AL + SBase
.Ap
Donde: AL: área lateral AT: área total V: volumen de la pirámide
II.
3
V = 1 SBase.h 3
h: altura de la pirámide Ap: apotema de la pirámide S: área de la base
Cono recto de revolución L
L Donde: g
h r
h: altura del cono g: generatriz del cono r: radio de la base del cono
g
h r
* Desarrollo del cono recto g
g
g
Área lateral 2 r
* Fórmulas a usar en el cono recto 2 AT = r(g + r)
1 Donde:
3
2 V = r h 3
4
º = gr × 360º
AL = área lateral ; AT = área total ; V = volumen del cono; º = ángulo de desarrollo
TRILCE Católica
99
Ciclo
Católica
Esfera L
L Donde: S = 4 R 2
V = 4 R 3 3
S: área de la superficie esférica V: volumen de la esfera
Problemas para la clase 1.
4.
Calcular el volumen de la pirámide cuadrangular regular cuya altura es la mitad de la arista básica la cual mide 6m.
A. 600 cm 3 C. 900 cm 3 5.
6m 6.
2.
B. 800 cm 3 D. 500 cm 3
El área lateral de un cono recto de revolución es el doble del área de su base; calcular la medida del ángulo que forma la generatriz con el plano de la base. A. 30º C. 60º
6m A. 24 m3 C. 36 m 3
Calcula el volumen de un cono circular recto si las medidas del radio de su base y la altura; están en una relación de 5 a 12 respectivamente y el área lateral de dicho cono es 260 cm 2 .
B. 32 m 3 D. 40 m 3
B. 45º D. 75º
El volumen del cono superior es 48m 3. Calcular el volumen del cono total, si el plano "P" es paralelo a la base. 2h
Calcular el volumen de la pirámide cuadrangular regular mostrada, si las caras laterales son triángulos
P
equiláteros de lado 6 2 m.
h
6 2 A. 96 m3 C. 162 m 3 7. A. 128 m3 C. 160 m 3 3.
B. 144 m3 D. 132 m 3
La altura de una pirámide es de 2m. ¿A qué distancia del vértice de la pirámide debe trazarse un plano paralelo a la base para que la pirámide quede dividida en dos partes de volumenes equivalentes. A. 3 6 m
B. 3 4 m
C. 3 9 m
D. 3 7 m
100
Se tiene un cilindro de radio "R" y altura "H" y una esfera de radio "R". Para que el volumen del cilindro sea el doble del volumen de la esfera; calcular el valor de la H razón . R A. 3/4 C. 5/7
8.
B. 184 m3 D. 192 m 3
B. 8/3 D. 1/2
Calcular la longitud del radio de una esfera, en metros, sabiendo que el área de su superficie es numéricamente igual a su volumen. A. 1 m C. 3 m
B. 2 m D. 4 m
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 9.
El centro de una esfera de 18cm de diámetro está a 6 cm de uno de los círculos menores de dicha esfera; calcular el área del círculo menor. A. 36 cm 2 C. 45 cm 2
16. Según el gráfico, calcule la razón de volúmenes de los conos.
B. 54 cm 2 D. 18 cm 2
10. Se tiene una pirámide de vértice "O" y su base es un rectángulo ABCD; si: OB=8m; OC=7m y OD=6m. Cal cular: "OA". A. C. 11.
37 m 51 m
B.
41 m D. 7m A. 25/64 C. 64/125
Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular donde todas las aristas son de longitud "a". 17. A. C.
2 a3 6 3 a3 3
B. D.
3 a3 6
7 3 m 27 7 C. m3 3 A.
13.
14 3 m 3 8 D. m3 3 B.
B
A A. 150 u 3 C. 156 u 3
B. 1/3 D. 1/5
La esfera está inscrita en el cono recto cuya generatriz mide 4 3 m. Calcular el volumen de la esfera.
C
H
3 u
B. 152 D. 154 u 3
18. Calcular el volumen del sólido que se genera al girar la figura sombreada alrededor del eje L ; si: AB=3m.
A
B. 90º D. 45º
El desarrollo de la superficie lateral de un cono circular recto es un sector de 120º. Calcular en qué relación está el radio de la base con la generatriz. A. 1/2 C. 1/4
15.
AC .
En un cono de revolución, la generatriz mide igual que el diámetro de la base y el desarrollo de la superficie lateral es un sector circular de ángulo central " ". El valor de " " es: A. 60º C. 180º
14.
Si: AH=4u y HC=9u; calcular el volumen del sólido generado al girar la región ABC cuando gira alrededor de
2 a3 4
12. El volumen de una pirámide de altura "h" es 18m 3. Se trazan dos planos paralelos a la base a una distancia h 2h de y de dicha base. Calcular el volumen del 3 3 sólido que se encuentra entre los planos paralelos.
B. 16/25 D. 8/25
B
53º
C
L A. 12 m 3 C. 18 m 3
B. 24 m 3 D. 25 m 3
19. La figura mostrada representa una gota metálica que separada en dos sólidos; resulta en un cono recto y en una semi-esfera. Si: r=50cm y el precio de m 2 de superficie metálica es S/.1200. Tomando =3; el costo de superficie de la gota metálica es:
60º
3r
3r r
36 3 m A. 5 C. 15 m 3
TRILCE Católica
32 3 m B. 3 D. 12 m 3
A. S/. 5700 C. S/. 4500
B. S/.4200 D. S/. 3800
101
Ciclo
Católica 20.
En un cesto se han colocado dos pelotas de igual radio 32 3 m . Calcular el y el volumen de una de ellas es 3 volumen del cesto.
6.
Halla el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 25 cm 2 de área, si la altura de la 5 3 pirámide mide cm. 2 A. 125 cm 2 C. 150 cm 2
7.
En una pirámide regular cuadrangular, su apotema mide 1,3 m y la apotema de la base mide 0,5 m. Halla su volumen en m 3 . A. 0,8 C. 1,2
A. 22 m 3 C. 42 m 3
8.
B. 32 m 3 D. 16 m 3
1.
Si los sólidos son equivalentes, calcule "
R
R ". H
9.
H
2.
Se tiene una pirámide cuadrangular regular cuya apotema mide 12 m y cuya altura mide 6 2 m. Calcule el volumen de dicha pirámide. A. 576 2 m 3 C. 288 m 3
3.
4.
5.
B. 1/2 D. 1/4
A.
200 2 cm 3 3
B.
250 2 cm 3 3
C.
500 2 cm 3 3
D.
750 2 cm 3 3
A. 9 cm3
B. 9 3 cm3
C. 9 2 cm3
D. 18 cm 3
Calcular el volumen de una pirámide regular triangular, en la cual cada arista lateral mide 15 cm y forma un ángulo de 37º con el plano de la base. A. 270 3 cm3
B. 300 3 cm3
C. 324cm 3
D. 324 3 cm3
Hallar el volumen de un cono inscrito en un cubo de 2 m de arista.
2 3 8 C. 3
102
4 3 1 D. 3 B.
Calcule el volumen de una pirámide hexagonal regular, si las aristas laterales miden el doble de las aristas básicas, las cuales miden "a".
A.
B. 288 2 m 3 D. 576 m 3
Calcular el volumen de una pirámide cuya base es un cuadrado de lado 3 cm y altura con longitud igual que la diagonal de dicha base.
A.
10.
C. 11.
B. 2:3 D. 3:4
Halla el volumen de una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm de lado, si sus caras laterales son triángulos equiláteros.
R
A. 1 C. 1/3
B. 0,4 D. 1
Si un cono está inscrito en una semiesfera. Calcule la relación de volúmenes entre dichos sólidos. A. 1:2 C. 1:3
Tarea domiciliaria
B. 100 cm 2 D. 75 cm2
3a 3 2 a3
5a3 B. 2 a3 D. 2
En una pirámide regular cuadrangular, las caras laterales forman diedros de 45º con la base. Si el lado de la base mide 6cm, calcular el volumen del sólido. A. 144 cm3 C. 264 cm 3
B. 36 cm3 D. 272 cm 3
12. Sabiendo que en una pirámide regular cuadrangular, las caras laterales forman diedros de 53º con la base, calcular el volumen si el área lateral es 60cm 2 . A. 48 cm2 C. 60 cm 2
B. 72 cm2 D. 81 cm2
13. Calcular el volumen de una pirámide regular de base cuadrangular, cuyas aristas laterales forman ángulos de 30º con el plano de la base. Se sabe que la altura del sólido mide 12 cm.
A. 3456 cm3 C. 5643 cm 3
B. 4356 cm3 D. 5346 cm 3
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 14. La base de una pirámide regular es un hexágono de área 6 3 cm 2 . Las aristas laterales forman ángulos de 45º con la base. Calcular el volumen del sólido. A. 2 3 cm 3
B. 4 3 cm 3
C. 3 3 cm 3
D. 6 3 cm 3
TRILCE Católica
15. Al trazar un plano paralelo a la base de una pirámide, se obtiene otra cuya área lateral es los 4/9 del área lateral de la original. La relación de volúmenes de estos sólidos es: A. 2/3 C. 16/27
B. 8/9 D. 8/27
103
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 18 Quinto Católica
REPASO GENERAL 1.
6.
Si: L 1// L 2 , calcular " ".
del arco DEF.
L1
20°
Se tiene un hexágono regular ABCDEF inscrito en una circunferencia de 18 cm de radio. Halla la longitud
A. 24 cm C. 18 cm
40°
L2
7.
B. 36 cm D. 12 cm
Desde un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan la tangente PA y la secante PBC . Si:
A. 60° C. 40° 2.
B. 30° D. 50°
de BC . A. 103º C. 97º
En un triángulo ABC, la mediatriz del lado AC determina en los lados BC y AC los puntos M y N, respectivamente. Si:
8.
determinado por AM y la altura BH ? A. 58º C. 29º 3.
4.
3,7 1,7 4,7 2,7
La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es igual a 4 veces la suma de sus ángulos exteriores. ¿De qué polígono se trata? A. Hexágono C. Decágono
B. 34º D. 32º
Los lados de un triángulo rectángulo miden 5, 12 y 13. Hallar la longitud de la mediatriz de la hipotenusa, comprendida dentro del triángulo. A. B. C. D.
B. 117º D. 104º
9.
B. Dodecágono D. Cuadrado
En la figura, "A", "B" y "C" son cuadrados. Hallar:
y
aproximadamente aproximadamente aproximadamente aproximadamente
(perímetro A perímetro B) perímetro C
A B
Hallar la suma de los valores de "x" para los cuales
C
MN // AC B x-3
M
A. 1/5 C. 1/3
4
N x-4
3x-19
C
A
A. 13 y 6 C. 6 5.
B. 2 D. 1
10. En la figura, DEFB es un rombo, AB = 3 y BC = 4. Hallar el lado del rombo. B
B. 13 D. 19
F
En un rombo ABCD de lado igual a 21 cm, se une el
D
punto medio de BC con los vértices A y D. Si estos segmentos cortan a las diagonales BD y AC en "M" y "N", respectivamente, halla "MN". A. 10,5 cm C. 15 cm
TRILCE Católica
B. 8 cm D. 7 cm
A
A. 5/2 C. 2
E
C
B. 12/7 D. 5/7
105
Ciclo
Católica 11.
En la figura, calcular la altura BH del triángulo isósceles ABC (AB = BC), si los radios de las circunferencias son R y r.
16.
En el cuadrado ABCD mostrado, halla el perímetro del rectángulo PQRS, sabiendo que el lado del cuadrado mide 8 2 cm.
B
B Q
C
P r R R
A
A H
C
A.
2R 2 R r
B.
R2 R r
C.
2R 2 R r
D.
2r 2 R r
17.
18.
D
A. 16 cm
B. 32 cm
C. 16 2 cm
D. 32 2 cm
Halla el área de la corona circular, sabiendo que la tangente trazada desde un punto de la circunferencia mayor a la menor mide 4 cm. A. 16 cm 2 C. 32 cm 2
12. Se tienen 3 circunferencias tangentes exteriores 2 a 2 cuyos radios miden 3u, 2u y 1u. Hallar la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo que se forma al unir los centros de las 3 circunferencias. A. 2 m C. 1 m
S
B. 8 cm 2 D. 24 cm 2
En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 5 m y AE=AF=1m. Halla el área del triángulo CEF. B
B. 0,5m D. 1,5m
C
E
BM 3 AN 3 13. En la figura, , y el área del triángulo MC 2 NC 5 ABC es 60 m 2. Halla el área sombreada.
A
F
D
A. 3,5 m 2 C. 2,5 m 2
B
B. 3,0 m 2 D. 4,5 m 2
M
19. A
N
En la figura, halla el área del círculo.
C a
A. 27 m 2 C. 30 m 2
B. 10 m 2 D. 9 m2
14. De la figura, halla "
a
r ". R
R r
A. 1/2 C. 1/4
120º
B. 1/3 D. 2/3
20.
A. 3 a2
B.
a2 (2 – 2 )
C. a2 (4 – 2 )
D.
a2 (3 – 2 2 )
En la figura, el triángulo equilátero ABE se encuentra al interior del cuadrado ABCD. El segmento DF pasa por el vértice E del triángulo equilátero ABE. Hallar FC. A
15. Se tiene un triángulo rectángulo de área "s", cuyos catetos están en la relación de 3 a 1. Calcular el área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa.
10s A. 3 C.
106
20s 3
22s B. 3 D.
25s 3
B
a
F E
D
A. a(2 -
3)
C. a( 3 - 1)
a
C
B. 2a(2 -
3)
D. 2a( 3 - 1)
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 21. En un triángulo rectángulo la hipotenusa y un cateto miden "a" y "b" respectivamente. Si a y b son números enteros consecutivos. Calcular el área del triángulo. A.
b ab 2
B.
ba b 2
C.
a ab 2
D.
b ab 2
3.
A. 30° C. 60° 4.
22. Se tiene dos circunferencias tangentes interiores. Si el centro de la circunferencia mayor pertenece a la circunferencia menor, entonces la relación entre el área del círculo menor y el área del círculo mayor es: A. 1 : 2 C. 1 : 4 23.
En un trapecio ABCD las bases BC y AD miden 4 cm y 14 cm; AB = 6 cm, CD = 8cm. Hallar la medida del ángulo D.
B. 4 : 1 D. 2 : 1
B. 53° D. 37°
En un trapecio ABCD, BC // AD , A = 82°, BC = 4, CD=14 y D = 16°. Hallar la longitud de la mediana. A. 14 C. 13
5.
B. 10 D. 11
Hallar la mediana del trapecio isósceles ABCD, si BD=10.
B
Si la figura muestra un cubo de arista 2, calcula MN, si M y N son puntos medios de las aristas.
M
C
30°
A
D
N
A. 2 3
B. 6
C. 2 6
D.
6 /2
24. Hallar el volumen de un paralelepípedo cuya diagonal de la base mide 2 3 y uno de los lados es el triple del otro. Además el paralelepípedo tiene altura igual a 10. A. 18 C. 12
6.
A. 5 3
B. 5 2
C. 4 3
D. 4 2
Calcular x, si ABCD es un trapecio. B
2m A
B. 85 D.75
A. 0,5 C. 1,0
Tarea domiciliaria 1.
7.
En la figura mostrada L 1// L 2 , NB = BM; AN = AQ. Hallar "x". B
M
8.
N x 2
A. 30° C. 90° 2.
TRILCE Católica
10
D
B. 2,0 D. 2,5
B. Nonágono D. Pentágono
Calcular la diferencia entre las medidas del ángulo interno mayor y menor del triángulo, si se muestra un hexágono regular y un cuadrado.
L2
Q
B. 60° D. 100°
En un triángulo ABC, por el incentro "I" se traza la perpendicular al segmento AI , que corta a la bisectriz exterior del ángulo C, en el punto P. Hallar la medida del ángulo IPC, si se sabe que el ángulo B = 68° A. 34° C. 28°
2n
Si se quintuplica el número de lados de un polígono, la suma de sus ángulos internos se sextuplica. ¿Cuál es el polígono? A. Octógono C. Decágono
L1
2
A
n 4
25. En un paralelepípedo rectangular las diagonales de las caras miden 34 m, 58 m y 74 m. Calcular el volumen del paralelepípedo.
C
m
B. 36 D. 10
A. 105 C. 90
x
B. 36° D. 56°
A. 115º C. 105º
B. 125º D. 135º
107
Ciclo
Católica 9.
Si ABCDEF y DGHIE son polígonos regulares. Calcular "x". C
12. Las bases de un trapecio miden 4 y 12, y los lados no paralelos 4 y 5. Hallar el perímetro del triángulo menor que se forma al prolongar los lados no paralelos.
G
A. 6 C. 8,5
D
B
x
A
H
E
I
F A. 33º C. 55º
13. En un triángulo ABC, AB =13m, BC = 14m y AC = 15m. La prolongación de la mediana AM intercepta a la bisectriz exterior del ángulo B en E. Calcular el área de la región BME. A. 48 m2 C. 51 m 2
B. 44º D. 66º
10. En la figura, ABCD es un cuadrado, T es punto de tangencia, EF = 17 y BF = 15. Hallar FT.
B
F
C A.
455 13
B.
502 17
C.
544 13
D.
406 12
T
A. 4 C. 6 11.
D B. 5 D. 3
Si el lado del hexágono regular mide 4u. Hallar el área de la región sombreada.
A. 12 3 u 2
B. 16 3 u 2
C. 6 3 u 2
D. 8 3 u 2
108
B. 49 m2 D. 52 m 2
14. Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 12 cm. Hallar el valor de su inradio.
E
A
B. 7 D. 4,5
15.
Se tiene un rectángulo ABCD (AB = 6 yAD = 3). Se ubica "M" sobre DC , de tal manera que DM = 4. Calcular la distancia del vértice "B" al segmento AM . A. 3,0 C. 2,4
B. 3,6 D. 5,0
TRILCE Católica
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 19 Quinto Católica
REPASO I: TRIÁNGULOS I 5.
Problemas para la clase
Hallar "x", si: a + b + q = 130º. a
1.
b
Hallar "x", si: a + b = 220º y CN = MN
x
2x
x
q
B
b
A. 10º C. 20º
N
aa C
M
A. 110º C. 135º 2.
a A
B. 120º D. 150º
Si ABC es un triángulo equilátero, calcular "x".
B. 18º D. 25º
6.
"I" es un punto de intersección de las bisectrices interiores. Si: AI = 2u; CI = 9u, calcular " AC", si es entero.
A. 8 u C. 10
7.
Si: m ∠ BAC - m ∠ BCA = 40º, calcular: m ∠ ACP.
B. 9 D. 11
B
B
a a
a x
A
a A
3.
C
80º
A. 20º C. 40º
C P
A. 10º C. 18º
B. 25º D. 35º
Calcular "x", en la fgura mostrada, si: AC = BC.
8.
B
B. 15º D. 20º
Los catetos de un triángulo rectángulo ABC miden AB=8m; BC=15m. Se traza la altura BH y las bisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcular "PQ". A. 2 m C. 6 m
a
x a
Según el gráfco, calcular el valor de "x".
100º C
A A. 30º C. 50º 4.
9.
B. 3 m D. 5 m
q q
B. 40º D. 60º
Calcular "x". 80º
x
a
a
40º a
a
A. 110º C. 140º
TRILCE Católica
x
q
q
A. 20º C. 10º
B. 40º D. 30º
B. 120º D. 125º
109
Ciclo
10.
Católica En la gura AB=3cm y BC=4cm Calcular "AP".
15.
Calcular "xº", si: PC=2AB y AP=PB. B
B α
2α
A
xº
C
A
P
A. 4 C. 3 11.
A. 15º C. 18º
B. 2,5 D. 2
16.
Hallar "xº", si: BF = BC y AF = EC. A x 50º
B. 20º D. 14º
En un triángulo ABC: AB=14 m y BC=8 m. Luego se traza la bisectriz exterior del ángulo "B" y la perpendicular CH a dicha bisectriz. Si "M" es punto medio de AC, calcular "MH". A. 10 m C. 11 m
F
B
17.
C
P
B. 12 m D. 9 m
Si: AB=20 m; AM=MC y BN=NE, calcular "EC".
E 130º
B N
C A. 60º C. 50º
12.
B. 80º D. 75º
60º M
A
Calcular el lado del cuadrado ABCD, si: CP=8m y AH=4m. C B
E
A. 5 m C. 12 m 18.
C
B. 10 m D. 14 m
Del gráfico, calcular "a". B
P A
D H
A. 10 m C. 16
E
B. 12 D. 4 5 A
13.
Calcular "EF", si: AC = AE; BF = 7m y FC = 5m.
C
M a
B
3a
A. 10º C. 18º
F C
A
7a
aº
19.
B. 15º D. 20º
En un triángulo isósceles ABC; AB=BC se traza la bisectriz interior AP ; en la prolongación del lado AC se ubica el punto "E", de tal manera que: m ∠ APE=90º y AE=12m. Calcular "PC". A. 5 m C. 7 m
E
A. 12 m C. 17 m
20. B. 15 m D. 19 m
B. 6 m D. 8 m
En la figura, calcular "PQ"; si en el triángulo ABC,BQ es mediana del triángulo ABC y AB+BC=m. P B
14.
En un triángulo rectángulo ABC se traza la ceviana BP de tal manera que: AB=PC, las mediatrices de BC y AP se intersectan en "Q". Hallar "m ∠ ABQ", sabiendo que: m ∠ BCA=20". A. 35º C. 40º
110
B. 20º D. 24º
q
A
q
Q
C Academia
TRILCE
G EOMETRÍA A.
m
B.
4
C. m
D.
m
A. 3,5 C. 6
6 m 6.
2
B. 14 D. 7
Del gráfco, calcular:
b a
+
q b
.
Tarea domiciliaria
1.
2a
b
Calcular el valor de "x".
a
3x-a
q
a 40º
2x+a
A. 14º C. 20º 2.
A. 3
B. 26º D. 28º
C.
B.
17
D.
3
14 3 16 3
De la fgura, calcular "x". 7.
B
2xº+20º xº-10º
A
xº+30º
A. 15º C. 30º
En la fgura: AC=BC=BD=DE. q Calcular: a
C
E
B
B. 20º D. 35º A
3.
a
q
a C
En la fgura, AB=BC, calcular "x".
D
A. 1 C. 2
B 40º
8.
B. 1,5 D. 4
De la fgura, calcule "m + n".
100º F E x
A A. 60º C. 40º 4.
B. 50º D. 70º
A. 100º C. 130º 5.
140º
A. 240º C. 220º
80º
x
a
a
Calcular el valor de "x", en:
2a 3a
n
m
C
D
9.
B. 230º D. 210º
En un triángulo ABC, se traza la altura BH (H en AC). Si AB + BC = 8, calcule el máximo valor entero de BH. A. 3 C. 4
2q 3q
B. 120º D. 140º
10.
B. 5 D. 6
De la fgura, calcular
b a
.
De la fgura: ED=DC; m∠BED=m∠BDE. Si: AE=7; calcular "BD".
b b 60º
B
D
A Academia
60º
TRILCE
A. 1 C. 3 40º
E
a a B. 2 D. 5
C
111
Ciclo
11.
Católica En la figura, PQ=AC. Calcular "BP".
15. Q
B
a
6
P
q
P
a
10
C
A. 3 C. 5
B. 4 D. 6
a
A
Si los triángulos ABC y TKC son equiláteros, calcular "xº". B xº
K
A. 6 C. 5,5 16.
B. 5 D. 7,5
Según el gráfico L es mediatriz de AC y AB = 2cm. Calcular "TB". B
100º
L
A
T
C
A. 80º C. 40º
B. 50º D. 20º
3q
17.
D
A. 10 C. 14
B
N xº
B. 12 D. 16
A
En la figura, ABCD es un cuadrado. Hallar "EB", si DE=17 y CF=12. E
B
A. 10º C. 9º
18.
C
M
C
B. 30º D. 15º
B. 6 D. 7
Se tiene un triángulo ABC donde el ángulo exterior de "A" es igual a 40º, las mediatrices de AB y AC se cortan en "P". Calcular el ángulo "CBP". A. 80º C. 50º
D
19.
20.
B. 40º D. 60º
En un triángulo ABC se traza la mediana BM, y del vértice "A" se traza una recta que corta a la mediana BM en "P" y al lado BC en "N". Hallar "PN" si AN mide 12 cm y "P" es punto medio de BM. A. 1 cm C. 3 cm
B. 2 cm D. 4 cm
En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se traza la altura BH y la bisectriz interior AE que se cortan en "P" ("E" en BC ), hallar "PH", si BH=7 y BE=4. A. 3 C. 5
112
3xº
F
A
A. 5 C. 17
B. 2 cm D. 2,5 cm
Calcular "xº"; si: AM=2(BC)
C 6
8
14.
C
A. 1 cm C. 1,5 cm
B A
q
A
En la figura, ABCD es un cuadrado. Si AM=8 y CN=6, hallar "MN".
M
C
15
T
13.
N
a
q
A
12.
En la siguiente figura, hallar la medida de "PN" si AC=15m. B
B. 8 D. 6
Academia
TRILCE
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 20 Quinto Católica
REPASO II: POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS A. 18º C. 45º
Problemas para la clase 1.
Calcular el número de diagonales del polígono en el cual al duplicar el número de lados, la suma de sus ángulos internos se triplica. A. 2 C. 9
2.
6.
B. 5 D. 14 7.
x
8. x x
En un polígono equiángulo ABCDEF ... las bisectrices de los ángulos ABC y DEF son perpendiculares. Calcular el número de diagonales de dicho polígono. B. 51 D. 54
En un polígono regular, la diferencia de un ángulo interno y un ángulo externo está comprendido entre 30º y 40º. Calcular el número de lados de dicho polígono. A. 5 C. 7
B. 120º D. 144º 9.
3.
B. 17 D. 15
A. 0 C. 52
x
A. 108º C. 135º
Calcular el número de lados de un polígono convexo, si desde cuatro vértices consecutivos se pueden trazar 45 diagonales. A. 18 C. 14
En la gura; calcular "x".
x
B. 36º D. 60º
El gráfico muestra al polígono regular, calcular el número de diagonales, si L1 y L2 son mediatrices de BC y CD respectivamente. L1
B. 6 D. 8
En un polígono convexo, el número de triángulos obtenidos al unir un punto de uno de sus lados con los vértices es 6. Hallar el número de diagonales de dicho polígono. A. 9
B. 20
C. 14
D. 35
B C
L2
72º
A
10.
En la figura se muestra un polígono equiángulo ABCDEFGH. Si: AB=5 2u y BC=7u. Calcular "AC". C
D E A. 3 C. 5 4.
B. 4 D. 2
A. 3 C. 5 5.
B. 4 D. 6
A. 12 u C. 14 u 11.
A
F G B. 13 u D. 15 u
C
q
A. 90º C. 180º
D B
TRILCE Católica
E
En un octógono equiángulo ABCDEFGH las prolongaciones AB y CD forman el ángulo " a"; CD y FE el ángulo "b", EF y HG el ángulo "q" y GH y BA el ángulo " f". Calcular: "a + b + q + f".
Si el pentágono ABCDE es regular. Calcular "q"
12.
A
B
H
En un polígono si el número de lados aumenta en uno el número de diagonales aumenta en dos. Calcular el número de lados del polígono inicial.
D
E
B. 120º D. 360º
En un nuevo sistema de cálculo la suma de ángulos internos de un triángulo es "10S" grados en dic ho sistema. Se pide calcular la suma de ángulos inter nos con el nuevo sistema en dicha figura.
113
Ciclo
Católica ∠ ABC.
D
C
A. 5 cm C. 4,5
E
B
19. F
A
13.
20.
B. 50S D. 35 S
En la figura; ABCD es un rectángulo, si AF=1m y EC=2m. Calcular: m∠ECB
21.
C
B F
B.
C. 45º
D.
53º 2
C.
45º
1
1
B.
4 2
3 5
D.
3
2
2
22. En un rectángulo ABCD por un punto "P" de la diagonal BD se prolonga CP hasta un punto "M" de modo que: PM=PC. Además: BD = 20m y BP = 6m. Calcular "AM". A. 6 m C. 9 m
B. 18º D. 40º
En un trapecio la relación entre el segmento que une los puntos medios de las diagonales y la mediana es 3/5. Calcular la relación que existe entre las bases del trapecio (base menor / base mayor) A.
A. 60º
15.
En un paralelogramo ABCD, se ubica el punto medio “M” de CD. Luego la perpendicular a AD trazada por “D” que intercepta a BM en “L”. Calcular m∠CBM, si: m∠ ALD = 2m ∠ ALB.
D
A
B. 2a D. 2a - 90º
A. 20º C. 36º
E
14.
Sea ABCD un romboide y sea “M” un punto de CD tal que el ∠ AMD mida “2a”. La mediatriz de BM corta a AM en “Q” y a AD en “F”. Si: QM=CD, calcular la m∠ AQF. A. a C. 90º - a
G A. 30 S C. 70 S
B. 4 D. 6
En un romboide ABCD (BC > AB) se traza la bisectriz "BF" del ángulo ABC ("F" en AD), en BF se ubica un p unto "E" de modo que: EF = 3(BE), luego se traza: EP // BC ("P" en AC). Calcular "EP", si: 3(BC) - CD = 12cm A. 1cm C. 3
B. 8 m D. 10 m
En un trapecio isósceles la mediana mide "M" y la altura del trapecio es "h". Calcular la medida de una de las diagonales.
23.
B. 2 D. 4
Según el gráfico, ABCD es un rombo. Calcular "CH", si: NL + ND = 10cm. B θº
h2 - M2
A.
M2 + h2
C.
16.
2
B.
M2 - h2
D.
h2 + M2
N
M
aº
B
D
3aº 15aº
A.
8º
B.
9º
C.
10º
D.
24.
B. 20 D. 15
B
18.
114
C
θº
αº θº
αº
Sea ABC un triángulo cuyo ángulo ABC mida 74° y los lados que la forman midan 5 cm y 10 cm. Calcular la distancia del punto medio del lado AC a la bisectriz del
AH = 12cm,
E
11º
B. 15 D. 30
H
D
En la figura, ABCD es un paralelogramo. Si hallar "EF".
A
En un trapecio escaleno ABCD las bases se diferencian en 40cm. Además: m∠BAD + m∠CDA = 90º; “M” y “N” son puntos medios de las bases, hallar “MN”. A. 10 cm C. 20
L
A. 10cm C. 30
A
17.
2θº
A
Si ABCD es un trapezoide bisósceles siendo "AB" y "BC" sus lados menores. Calcular "a". Si: BM=MD. C
C
F
D
H
A. 10cm C. 6
B. 8 D. 12
Academia
TRILCE
G EOMETRÍA 25.
Siendo ABCD un cuadrado; BF = 7u, FA = 3u. Hallar “EH”.
9.
E
C
En la parte exterior de un cuadrado ABCD se construye un triángulo equilátero CFD. Calcular la medida del ángulo FAC. A. 15º C. 45º
53º
B. 30º D. 60º
B
10. D
F
A
A. 10cm C. 7,5
H
L
∧
En un paralel ogramo ABCD, m A = 45º, AB = 5m y AD = 4 2 m, se traza la altura "BH" a CD ("H" en CD). Calcular "HD". A. 0,5 m C. 1,5 m
B. 9,5 D. 8 11.
Tarea domiciliaria
B. 1 m D. 2 m
En el romboide ABCD, si CF = 5 m y FD = 3 m, calcular "ED". B
1.
¿Cuál es el polígono en el cual desde un solo vértice se pueden trazar 7 diagonales? A. Cuadrilátero C. Decágono
2.
¿Cuál es el polígono en el cual la suma de ángulos interiores más la suma de ángulos exteriores es igual a 900º?
6.
E
50º
Si la suma de ángulos interiores de un polígono es 540º. ¿Cuál es el número de diagonales?
6m
D.
7m
Si ABCD es un romboide y DBCE es un rombo, Calcular "xº".
B. Triángulo D. Octógono
C
xº A
15.
C.
B. 40º D. 25º
A. Pentágono C. Hexágono
B. 800º D. 360º
5m
Se tiene el cuadrilátero ABCD, de modo que m∠ ABD=80º, m∠CBD=50º, m∠BDC=80º y m∠BAD=80º. Calcular m∠ ACD.
B
Calcular la suma de ángulos interiores de un polígono en el cual el número de diagonales es el doble del número de lados.
B.
B. 65º D. 115º
A. 30º C. 50º
14.
4m
D
A. 50º C. 125º
13.
F
A.
Se tiene un paralelogramo ABCD (AD > AB). En AD se ubica el punto "E" de modo que AE = CD. Si m∠B=130º, calcular la medida del ángulo BED.
¿Cuál es el polígono que no tiene diagonales?
A. 3 C. 5
8.
12.
B. Pentágono D. Octógono
B. 4 D. 6
A. 900º C. 540º
7.
A
¿Cuántos lados tiene el polígono regular en el cual su ángulo exterior es igual a su ángulo interior? A. 3 C. 5
5.
120º
B. 6 D. 4
A. Triángulo C. Exágono
4.
B. Pentágono D. Dodecágono
¿Cuántos lados tienen el polígono en el cual el número total de diagonales es el doble del número de lados? A. 7 C. 5
3.
C
D
A.
50º
B.
80º
C.
60º
D.
40º
E
Las diagonales de un rombo son proporcionales a 3 y 4, si el perímetro del rombo es 60. Calcular la diagonal menor. A. 24 C. 26
B. 18 D. 16
B. 4 D. 6
Hallar la suma de ángulos internos de un polígono convexo. Si el número de diagonales es igual al número de lados. A. 180º C. 540º
Academia
TRILCE
B. 260º D. 720º
115
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 21 Quinto Católica REPASO III 5.
Problemas para la clase
En la figura, calcule "BH", si: AC = 14. B
1.
En el gráfico: m∠ ABC=m∠FBE=90º; m∠C=m∠E=45º. Calcular el ángulo que forman "AF" y "CE". C
A
37°
F
A. 6 C. 5 A
2.
6.
B. 75º D. 85º
7.
x°
A
E
80°
20°
¿En qué polígono el número de diagonales es igual a seis veces el número de lados? A. Icoságono
B. Hexágono
C. Decágono
D. Pentadecágono
x°
C
8.
B. 45° D. 40° 9. C q°
A
q°
B. 2 m D. 1,5 m
¿En qué polígono regular la relación entre un ángulo interior y un ángulo exterior es como 5 a 1? A. Decágono C. Octógono
Calcular "AC", si: CE = 2u.
B
En un hexágono equiángulo ABCDEF se sabe que AB = 2cm, BC = 6cm, CD = 4cm y AF = 9cm. Calcular "EF". A. 1 m C. 3 m
D
A. 60° C. 20°
B. Hexágono D. Dodecágono
En un octógono equiángulo ABCDEFGH: AB = 6cm, BC = 2 2 cm y CD = 4 cm. Calcular "AD". A. 10 cm C. 10 2 cm
B. 8 cm D. 6 2 cm
2q° E
10.
2 q
°
D A. 6 C. 5
Calcular la suma de ángulos internos de aquel polígono convexo cuyo número total de diagonales excede en 25 al número de sus ángulos internos. A. 1800º C. 1440º
B. 4 D. 8
11. 4.
B. 4 D. 8
De la figura AB=DC, calcular "xº". B
3.
C
E
B
A. 60º C. 90º
45° H
En la figura, calcule "x°".
B. 1620º D. 1260º
Si se aumenta en cinco el número de lados de un polígono su número de diagonales aumenta en 45. Calcular la suma de los ángulos internos del polígono inicial.
B A. 900º C. 1260º 5
8 12.
A
x°
A. 60° C. 53°
TRILCE Católica
B. 1080º D. 1140º
30°
B. 45° D. 37°
C
En un trapecio ABCD, BC// AD, BC < AD; m∠C=2m∠ A. Hallar la longitud de la mediana del trapecio si: BC = 12cm y CD = 18cm.
A. 21 cm C. 15 cm
B. 18 cm D. 24 cm
117
Ciclo
13.
Católica En la figura, ABCD es un paralelogramo. Si: AH = 12cm, hallar "EF". B
20.
En la figura PC = 2(PD), BC = 10 m y AD = 13 m. Calcula "PQ".
C
B
E θ°
α° θ°
α°
A
F
D
A.
6
B.
4
C. 3
C
Q
P
D. 8 A
H
14.
D
A. 9 m C. 10 m
En un romboide ABCD la diagonal BD se prolonga hasta un punto "E", luego se prolonga CE hasta el punto "F", tal que AF // BD . Calcular "AF" si DE = 4cm y BD = 6cm.
B. 9,5 m D. 12 m
Tarea domiciliaria
A. 12 cm C. 13 cm 15.
B. 14 cm D. 10 cm
1.
En el gráfico, L1//L2 y L3//L4. Calcular "xº".
Un rectángulo ABCD tiene por lados AB = 24cm y AD = 14 cm. Trazamos la bisectriz AE, con "E" sobre DC, y una paralela a AB que pasa por el punto "I" de intersección de las diagonales y corta a AE en "M". Determinar "MI". A. 8 C. 5
L1 L2 50º θº
θº
L3
B. 4 D. 6 xº
16.
Las bases BC y AD de un trapecio ABCD miden 2m y 6 m, respectivamente. Por el punto de intersección de las diagonales se traza un segmento MN paralelo a las bases ("M" sobre AB y "N" sobre CD). Calcular "MN".
A. 4 m C. 2 m 17.
αº αº
L4
B. 6 m D. 3 m
A. 12º C. 25º
B. 50º D. 37º
Calcular "aº", si ABCD es un trapecio isósceles. 2.
P B
2αº
C 5αº
A.
5º
B.
6º
En la figura siguiente, L1//BC//L2 y AB // CD. Calcular "x + y". A
L1 xº+10º
C. 8º D. 10º
A
18.
D
B yº-10º
Se tiene un paralelogramo ABCD donde AB = 4m y BC = 3(AB). Se trazan las bisectrices interiores de los ángulos "B" y "C" que se cortan en "P". Calcular la distancia de "P" al punto medio de BC . A. 4 m C. 12 m
19.
C
Q
B. 3 m D. 6 m
D
A. 120º C. 160º 3.
B. 150º D. 180º
En la figura, calcule "xº", si: AB=BC=AD. B
En la figura ADEF es un paralelogramo, FB = BC = CD, AE = 30 m, AF = 20 m y AD = 24 m. Calcular la suma de las longitudes de las tres medianas del triángulo ABC. F
100º C
E
A C
4. A. 30 m C. 34 m
118
D
B. 37 m D. 20 m
A.
72º
B.
50º
C. 80º
B
A
L2
60º
D. 60º
xº D
En un triángulo ABC, AB=2 y BC=5. Si la longitud de "AC" es el doble de uno de los otros lados; calcule su perímetro. A. 11 C. 10
B. 12 D. 14
Academia
TRILCE
G EOMETRÍA 5.
En la figura, calcule (x+y+z).
10.
xº
En un paralelogramo ABCD: AB = 5m, AD = 8m y la bisectriz del ángulo "A" interseca a BC en "E". Calcular "EC". A. 1 m C. 3 m
11. yº
αºαº αº
zº β βº º β
A. 180º C. 240º 6.
En la figura, el triángulo ABC es equilátero y el triángulo DBE rectángulo en "B", la medida de "xº" es igual a:
12.
C
B
A.
55º
B.
85º
C.
90º
D.
125º
13.
14.
D ¿Cuántos lados tiene el polígono donde la suma de los ángulos internos es igual seis veces la suma de los ángulos externos? A. 12 C. 14 8.
Las medidas de dos ángulos consecutivos de un romboide son 3x + 30º y 2x. Calcular la diferencia entre las medidas de dichos ángulos.
B. 13 D. 15
En el lado "AC" de un triángulo ABC se ubica el punto "D" de modo que BC = DC. Además el ángulo "A" mide 20º y el ángulo ABD mide 30º, calcular el ángulo "BCD". B. 60º D. 75º
Las distancias de los vértices "A", "B" y "D" de un paralelogramo ABCD a una recta exterior miden 15 m, 12 m y 13 m respectivamente. Calcular la distancia del vértice "C" a la recta. A. 15 m C. 14 m
15.
B. 10 m D. 11 m
Calcular "xº".
Calcular la medida del ángulo exterior de un polígono regular, si desde un vértice se pueden trazar 27 diagonales. A. 10º C. 13º
B. 40º D. 60º
A. 50º C. 80º
º 2 5
7.
B. 45º D. 80º
A. 30º C. 50º E
xº
Exteriormente al lado "CD" de un cuadrado ABCD se ubica el punto "P" de modo que PCD es equilátero. Calcular la medida del ángulo formado por AP y CD . A. 60º C. 75º
B. 360º D. 270º
A
B. 2 m D. 4 m
B
C 20º
B. 12º D. 30º xº
9.
Calcular la suma de ángulos internos de aquel polígono convexo cuyo número de diagonales excede en 25 al número de sus ángulos internos. A. 1800º C. 1440º
Academia
TRILCE
A
A. 5º C. 15º
D
B. 10º D. 20º
B. 1620º D. 1260º
119
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 22 Quinto Católica
REPASO IV: CIRCUNFERENCIA I 6.
Problemas para la clase 1.
T
En el triángulo, AB = 8; BC = 7 y AC = 6. Hallar "AM". A
A Q
7. C
4x
x
B
O
A. 18° C. 10°
M
C
B. 15° D. 9°
Hallar "x", si "T" es punto de tangencia, AO=OB=BP=1
B
P
T
A. 2,5 C. 4 2.
Hallar "x", si "O" es centro.
B. 3,5 D. 1,5
x A
Calcular la echa de la cuerda AB, si: AB = 8 cm y r = 5 cm.
A. 60° C. 30°
B A
8.
P
B
O
B. 53° D. 37°
Calcular: x + y + z, si el perímetro del D ABC es 126. B
r
A. 1 cm C. 3 3.
y
B. 2 D. 4 A
En un triángulo rectángulo de catetos: AB = 12 y BC = 16, hallar el inradio del triángulo. A. 5 C. 2
4.
z
A. 63 C. 40
B. 4 D. 1
En un triángulo ABC se sabe que: AB = 8, BC = 10 y AC = 12, la circunferencia inscrita determina sobre AC el punto "M", calcular "AM". A. 6 C. 3
C x
9.
B. 32 D. 56
Hallar "x", si "O" es centro.
B. 7 D. 5 2x
5.
En el trapecio isósceles: AD = BC = 8cm. Calcular la mediana del trapecio. A
A. 15º C. 10º
B 10.
D A. 8 C. 12
TRILCE Católica
C
x O B. 18º D. 20º
Se tiene un triángulo rectángulo de semiperímetro 16 cm y de inradio 4 cm. Calcular la longitud de su hipotenusa. A. 20 cm C. 10
B. 12 D. 8
B. 10 D. 14
121
Ciclo
11.
Católica Hallar "PC", si: AB = 9, BC = 15 y AC = 18.
16.
Siendo: “O” el centro y CH = 4m. Calcular “CD”. C
P
D B
H
R A T
C
A
A. 33 C. 42 12.
B. 24 D. 21
A. 8m C. 4 2 17.
B
O B. 4 D. 3 2
Si: TM = OM, hallar: m ∠ MBA, "O" es centro y "M" punto de tangencia. M
En la gura, hallar "R + r", si: AB = 15 y BC = 8. B T
r C
B
A
O
A
O R
A. 67º30' C. 45º A. 23 C. 13,5 13.
B. 11,5 D. 14
18.
B. 25º D. 53º
En el gráco: m ∠ DFE = 100° y m ∠ ACD = 30°. Hallar: m ∠ ABD.
Hallar "R", si: AB = 9 y BC = 12.
C
B
A F
E
O
P
R
A
D
B
C
A. 130º C. 20º
T
A. 15 C. 18 14.
B. 16 D. 20
19.
Calcular "aº" , si “O” es centro.
B. 35º D. 55º
Desde un punto "P" exterior a una circunferencia se trazan las tangentes PA y PB, luego se ubica el punto "C" en el arco mayor AB . Hallar la: m ∠ HBC, si: BH ⊥ AC y m ∠ APB = 70°.
B A. 35º C. 60º 50º
A
25º
O
C
20.
B. 45º D. 80º
En una circunferencia de centro "O" se inscribe el cuadrilátero ABCD, tal que AB es diámetro y m ∠ BCD = 125°. Hallar: m ∠ ADB + m ∠ DAB.
aº
A. 135º C. 143º A. 70º C. 85º 15.
B. 75º D. 80º
21.
Del gráco, calcular “xº”.
B. 120º D. 145º
En la gura, hallar "x", si L1 y L2 son tangentes a la circunferencia. L1
M N
A A. 30º C. 20º
122
3xº L2
R
2xº
x B
O B. 27º D. 37º
q
q
A. 30º C. 60º
B. 15º D. 40º Academia
E. 45º
TRILCE
G EOMETRÍA 22.
"D", "E" y "F" son puntos de tangencia, "M" y "N" son puntos medios de DF y EF respectivamente y m ∠ B = 80°, hallar "m ∠ MPN".
2.
Calcular el perímetro del triángulo ABC.
10
B
B P
A
D
M
A
C
1
N
A. 10 C. 20
C
F
A. 58° C. 65° 23.
4
E
3. B. 70° D. 60°
En el siguiente gráco: m ∠ EAD = 45°, m y m ∠ DCB = 140°, hallar "m AE ".
∠ ADB
= 80°
Se tienen dos circunferencias de manera que la distancia entre sus centros y los radios de cada una de las circunferencias están en la relación de 3, 4 y 5 respectivamente, ¿por lo tanto las circunferencias serían? A. B. C. D.
D
B. 15 D. 25
tangentes exteriores secantes tangentes interiores ortogonales
C 4. E
A
24.
B. 20° D. 45°
5.
B. 2 D. 5
Calcular "x", si las circunferencias son ortogonales.
En una circunfere ncia de centro "O", se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C". Si: m AB = 120° y m ∠ OBC = 45°, hallar: m ∠ OAC. A. 30° C. 75°
25.
A. 1 C. 4
B
A. 30° C. 40°
La circunferencia ex-inscrita relativa a la hipotenusa en un triángulo rectángulo tiene un radio de 9 cm. Calcular la cantidad de valores enteros que puede tomar la hipotenusa.
x
B. 15° D. 5° A. 30º C. 45º
Si: m ∠ LAM = 90°, hallar: m ∠ KQN, siendo "K", "L", "M" y "N" puntos de tangencia. 6.
K
A
B. 60º D. 20º
En la gura, hallar "AB", si: CD = 6 cm.
N
L
E
M
D
Q
C B
A. 50° C. 30°
B. 60° D. 45°
A
E. 40° A. 6 cm C. 12
Tarea domiciliaria
7. 1.
Calcular "x", si "O" es centro.
B. 8 D. 9
En la figura: CD = AB + BC. Si: AD = 18, calcular "r 1 + r 2". C
T
A
25º O
A. 100° C. 130°
Academia
B
x
TRILCE
B B. 110° D. 140°
r 1
r 2
C
D
A A. 6 C. 9
B. 8 D. 10
123
Ciclo
8.
Católica 12.
Calcular "x", si m: ∠ ABC = 60°.
Calcule: xº. 60º
B x
xº
C 20º
A. 20° C. 40° 9.
O
D
A
A. 20º C. 30º
B. 30° D. 50°
3q + a Si "B" es punto de tangencia, hallar: 2a - q
13.
B. 10º D. 40º
Calcule: xº. 100º
A x
B
120º
q a
A. 2 C. 4 10.
C B. 3 D. 1
A. 20º C. 40º 14.
Del gráfco, calcular "a + b", si los polígonos sombreados son regulares.
B. 30º D. 50º
En el gráfco: L // AB y "T" es punto de tangencia. Calcule: xº.
T
L
xº a A
B
b
A. 45° C. 90°
11.
B. 60° D. 22°30'
A. 15º C. 45º
B. 30º D. 53º
Calcule: xº.
50º aº
A. 40º C. 45º
124
xº aº B. 20º D. 50º
Academia
TRILCE
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 23 Quinto Católica
REPASO V: CIRCUNFERENCIA II 6.
Problemas para la clase
Del gráfico: R = 3 m; r = 1 m; calcular "BE". E
B
C
A. 3 m B. 4 m
r
1. De la figura, calcular "R".
C. 5 m
R
D. 6 m
6 R
A.
3
B.
4
A
C. 5
5
7.
Calcular la altura "BH" de un triángulo rectángulo ABC, recto en "B"; sabiendo que la suma de los radios inscritos en los triángulos ABC, ABH y HBC es 8m.
D. 6
37° 15
2.
El punto de tangencia de la circunferencia inscrita en un trapecio rectángulo divide al mayor de los lados no paralelos en segmentos que miden 1 y 9 m. Calcular la mediana del trapecio. A. 6 m C. 10
D
A. 2 m C. 6 m 8.
B. 8 m D. 16 m
En el gráfico "A", "B", "C" y "D" son puntos de tangencia. Calcular "m ∠ APD". P
A.
B. 8 D. 12
B. 40º
C
B
50º
C. 45º
3.
¿En qué relación deben estar los radios de 2 circunferencias tangentes exteriores para que el ángulo formado por las dos tangentes comunes exteriores mida 60º? A. 1 : 2 C. 2 : 3
70º A
9.
B. 1 : 3 D. 2 : 5
D. 55º D
Calcular "xº" en el gráfico ("A" y "B" son puntos de tangencia) B
4.
R
En la figura "A", "B", "C", "D" y "E" son puntos de tangencia, "O" y "Q" son centros de las circunferencias, "r" y "R" son radios, si R=4r. Calcular "m ∠ APC".
45º
A.
xº
75º
B. 55º C. 65º 50º
D. 60º
B A
A.
A
R r O
E
106º
B. 120º Q
P
10.
En la figura, calcular "AB", si: OP = 5 m y "O" es centro. B
C. 74º
A.
D. 60º
C
37º
O
D
B. 12 m
P
C. 16 m D. 9 m
37º
5.
Si ABCD es un cuadrado, "O" es centro y OA=OD. Calcular "xº". (T es punto de tangencia). B
T
A
O
C
En la figura, calcular "x" si "P", "Q" y "R" son puntos de tangencia.
C
A.
56º30'
B.
60º
C. 75º
xº M
A
11.
8 m
D
N
6
α
A.
1
B.
2
C. 3
D. 53º
D. 4 α x
TRILCE Católica
125
Ciclo Católica
Ciclo
Católica
12.
En la figura, calcule "xº" si "O" es centro y "C" es punto de tangencia.
18.
En la figura; "O" es centro; "A" es punto de tangencia; CD= 6 y OC = 5. Calcule "AB".
B
A. 1
A. 25º
C
C. 3
C. 40º
º 3 5
º
E
O
D. 4
D. 20º
x
A
13.
B. 2
O
A
B. 35º
B
D
D
En la figura, calcular "xº" si "P", "Q" y "R" son puntos de tangencia.
19.
En la figura, calcule el perímetro del trapecio ABCD. B
C
A. 12
B
B. 24
4
R
P
60º
C
C. 15
A. 25º xº
30º
B. 35º
A
C. 40º
D. 20
D
D. 20º A 14.
Q
20.
C
En la figura "A", "B", "C" y "D" son puntos de tangencia. Calcule "xº". B
C
70º
80º
xº
A. 25º E
B. 50º C. 40º
o
50
A. 60º
D. 75º
x º
A
B. 80º C. 50º D. 90º
A 15.
Calcular “xº”, si "A" y "E" son puntos de tangencia.
D
En la figura, calcule "xº" si "O" es centro; AO = 5 y OC = 3.
Tarea domiciliaria
1.
En la figura, AB + CD = AD, hallar "(R + r)", si BC=6 m. B
A. 60º O
B. 45º
C
B.
A C
C. 53º
16.
6m
C. 3 m
r
D. 1,5 m
D. 37º
º
x
A
A. 2 m
R
B
D
En la figura: AB = 8; AD = 7 y CD = 3; calcular "BC".
2.
En la figura: AO = 2BQ. Hallar "qº". B
A. 1 B. 2
B
B. 20º
C. 3
C
C. 25º
O
D. 4
A
D. 30º
D
θº
A
17.
A. 15º
Q
En la figura, calcule "xº". Si "A", "B", y "C" son puntos de tangencia. D A
º
A. 160º
x
º
x
B
B. 120º C
C. 150º D. 130º
3.
C
En la figura, BT es tangente a la circunferencia. Hallar "xº". A
T 51°
xº
A. 44º B. 46º
32° O
B
C. 42º D. 54º
126
Academia
TRILCE
G EOMETRÍA 4.
En la figura los puntos "A", "B" y "T" son puntos de tangencia. Hallar la medida del ángulo "ATB".
11.
En la figura, AB = CD. Hallar "x ", si AD = αº. ("O" es centro)
A. 60º T
C. 75º
D
A
B. 45º
A. 90º - aº
C E
B. 40º + aº αº C. 90º -
O
xº
D. 90º A
2
B
D. 180º - 2aº
B
5.
En un triángulo PQR, PQ = 8u; QR = 9u y PR = 11u. La circunferencia inscrita determina sobre PR el punto de tangencia "L". Hallar "RL".
12.
En la figura, AB es tangente a la circunferencia y AB=BC. Si m DC = 30º . Calcular la medida del " A ".
A. 6u C. 4u 6.
B. 5u D. 3u
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y el inradio suman 17. Hallar el perímetro del triángulo rectángulo. A. 17 C. 24
7.
A. 45º
D
B. 55º
C
C. 60º
B. 34 D. 26
B
Dado un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia. Si un lado no paralelo mide 8. Hallar la medida de la mediana del trapecio. A. 12 C. 16
8.
A
13.
D. 65º
En la figura mostrada, hallar el ángulo "x ", si: BC+FE = 130º .
B. 8 D. 32
C
B
En la figura, hallar "qº".
P
A. 25º
A
C
x
B. 20º
D
C. 50º B
θº
F
A. 15º
O 2θº
A
B. 18º
E
C. 36º D. 54º
T
D. 30º
Q
14.
Si "O" es centro, hallar "xº". C D
9.
En la figura mostrada, hallar "x ", si: PA = AO, AB = 112º y ("O" es centro de la semicircunferencia).
B. 80º C. 60º 25°
B
A. 17º xº
H
O
A
O
D. 50º B
B. 34º
A
C. 39º C
A. 70º
xº
D
P
D. 51º
15.
De la figura, calcular "xº" si "O" es centro. (T: punto de tangencia). T
10.
A. 16º
En la figura, AB es diámetro y MBN = 40º . Hallar la medida del ángulo NAB . ("O" y " O' " son centros)
xº
C. 15º
O
A. 15º N
M
A
Academia
TRILCE
2xº
D. 20º
B. 5º C. 10º
xº O
B. 18º
O'
B
D. 20º
127
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 24 Quinto Católica
REPASO VI: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA - RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 7.
Problemas para la clase 1.
Si "ABCD" es un paralelogramo, calcular "FG". G
A. 5 C. 8
A. 13 m F
B
B.
C
15
8.
C. 16
1m
Se tiene un trapecio rectángulo "ABCF" en tal manera que la base BC = 1 y la base AF = 4 sobre la altura "AB" se toma el punto medio “R” tal que m∠CRF = 90º. Hallar "CF". B. 6 D. 9
Del gráco, se cumple que 8PB = 7AQ y CR = 4. Calcular "RD".
D. 17
4m A
A
D
P C
2.
Si "ABCD" es un rombo de perímetro 48 m, calcular "PQ". (AM = BM)
D
B M A
A. 3 m
Q
B.
C
P
4
C. 6
A. 2,5 C. 4
D
9. En un trapecio "ABCD" sobre "AB" y "CD" se ubican los puntos "P" y "Q", respectivamente, tal que PQ // BC // AD y 3QD = 5CQ. Hallar "PQ", si además: BC = 2, AD = 10. A. 5 C. 6
4.
En un triángulo ABC, la mediatriz de "AC" corta a "BC" en "P" y a la prolongación de "AB" en "Q". Si 2AB = 3BQ y BP = 3. Calcular "PC".
10.
B. 7,5 D. 10
En un triángulo "ABC" se trazan las bisectrices "AE" y "CD" quienes se cortan en "P", si: AD = 1, BD = 2, BE = 3. Calcular: "EC". B. 4 D. 6
AB = 7, BC = 9 son los lados de un triángulo "ABC", si la bisectriz interior de "B" determina sobre "AC" dos segmentos cuya diferencia de longitudes es 1. Hallar "AC". A. 4 C. 8
Hallar el lado del cuadrado MBNP si AB = 6 y BC = 10. B
A.
11.
B. 7,5 D. 10
En la gura, AM = 4; NC = 8, PC = 10. Calcular "AP", si: AD//EC.
2,5
B
B. 6
N
M
A
C. 4
M
D. 3,75
6.
P
N
E
C
P
A
B. 3,5 D. 3,75
A. 3 C. 5
B. 4 D. 8
A. 4 C. 8
5.
Q
B
D. 2,5
3.
R
En la gura, BD = 4, DP = 2. Hallar "PC".
D
C
B
D
A.
7
B.
6
A. 5 C. 8
B. 6 D. 9
C. 8
P
D. 9 C
TRILCE Católica
129
Ciclo
12.
Católica En la fgura calcular "BC, si: IC = 6 y CD = 2, donde "I" es incentro. Además m∠ AID = 90º.
18.
Calcule "PD", si: BQ = 4,5 cm y QC = 8 cm. Q
B
B
C
A. 5 B. 6
P
C. 8
A. 15 B. 12 I
C. 18 D. 9 D
A
A
19.
D. 10
D
"P" y "T" son puntos de tangencia. r = 5 u y AT = 9 u. Calcule "x".
C
x
A. 4,8
B
13.
B. 5,2
En la fgura, AB = 2, BP = 6. Hallar "BC".
r
P
C. 5,6
A
B
B. 12
A
C. 18
20.
D. 9 C
P
14.
D. 4
T
A. 15
A. 1,8 C. 1,6
En la fgura se muestra al triángulo "ABC" en el cual: B
En un triángulo obtusángulo, ABC obtuso en "B", por el punto medio "M" de "AC" se traza "MP" perpendicular a "BC". Calcule "MP", si: AB = 5 u; BP = 3 u y PC = 7 u.
21.
B. 1,2 D. 1,5
Si en el gráfco: AB = 6 cm y DC = 8 cm. Calcule la distancia de "O" a "AC". D B
A
E
Si: AE = 3, EC = 2, hallar "CF". A. 10 C. 14 15.
22.
En el rectángulo "ABCD", AH = 8; HP = 2; BH = 4; BC = 2.AB. Hallar “HQ”. P
C
H
A. 10 B. 12
Q
23.
C. 14
16.
La altura de un triángulo rectángulo determina, en la hipotenusa, segmentos de 18u y 32u. Calcule dicha altura.
Los lados de un triángulo miden 8, 15 y 16 cm. ¿Cuánto se debe quitar a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo? B. 2 D. 4
La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es 200 . Calcule la longitud de la hipotenusa. A. 12 C. 8
D
24.
D. 24/7
C
A. 3 C. 1
D. 16 A
C. 16/7
A
B. 12 D. 8
B
B. 4
O
F
C
A. 3
B. 10 D. 5
Hallar "R". Si: EB = 8 u y BF = 12 u. B
A. 20 C. 18 17.
A. 15 u
B. 24 D. 15
E
Calcule "r", si: MT = 9 cm; TN = 4 cm. m
A. 3 O
B. 6 C. 8
A M
r
B T
N
F
B. 13 C. 16
R
D. 18 A
25.
O
C
En el rectángulo ABCD: AB = 11u; BQ = 2u y QC = 18u. Hallar "PQ". B
Q
C
A. 5
D. 13
P
B. 7 C. 6 D. 8
A
130
O
D
Academia
TRILCE
G EOMETRÍA 6.
Tarea domiciliaria
En la fgura, AB // CD . Si AB = 5, hallar "CD".
1.
En la fgura, BM es mediana, QM = 4 m, PQ = 2 m y 4 AB + BC = (AC). Hallar "BP". 3 B
A. 5,5 m C
A.
8-x
B. 12
A 6+x
2.
x+y
Hallar:
y
B
D. 35/4
x+1
B. 3,6 m
Q
C. 4,8 m
β β
C. 12,5
D 6-x
P
10,5
A
7.
D. 5,2 m
α α M
C
Calcular "AB". Si: BF = 4u y FC = 5u. B
.
A. 4,5 m
F
β 1
C. 3
2
D. 3/4
y
α
D. 7
α
B. 4/3 β
A
8.
5,5
C. 6
α
A. 1/3
x
B.
C
De la figura, calcular "MH". Si: BH.AC = 84u 2 y AB = 12 u.
α B
3.
En la gráfca, 4(AC) = 3(PR).
Calcular:
AB
PQ
+
BC
QR
M
H
.
A.
9u
B.
8
C. 7 D. 10
A
P
L1
A
A. 2/3 B
Q
B. 3/2
L2
C. 8/3 C
4.
R
C
9.
D. 3/4
L3
En la fgura, ABCD es un cuadrado de lado 8. Hallar "x". B
C
En la fgura, AB = 4m y AC = 6m. Hallar "AE".
B.
D
α
C. 2,6
A
10.
3
D
En la fgura, hallar "R", si: AB = 3 y BC = 1.
D. 2,2
α A
5.
3,2
B.
D. 3,5
B
E
2
C. 4
x
A. 2,4 m
A.
R
C
En el triángulo mostrado, determinar el valor de "x".
O
A.
2
B.
3
C. 5 C
a a
A. 8
4
B. 4 C. 5 D. 3
x 9
A
11.
TRILCE
B
Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos y la altura relativa a la hipotenusa mide 42 m. Calcular la hipotenusa. A. 12 cm C. 16
Academia
D. 4
1
B. 13 D. 18
131
Ciclo
12.
13.
14.
Católica La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 3 34 cm y los catetos están en relación de 3 a 5. Hallar el cateto mayor. A. 32 cm
B. 34
C. 26
D. 38
15.
HM
En la fgura, calcular "
B
Q
La base mayor de un trapecio mide 8 u. Si sus diagonales son ortogonales y miden 6 u y 8 u, hallar la base menor. A. 2 u
B. 3
C. 4
D. 5
A
En la fgura, AB = 1 cm y DB = 2 cm. Hallar "FC". D
F
A
B
", si: BQ = QH.
MC
H
M
C
A. 1:4
B. 2:9
C. 1:8
D. 2:5
C
E
A. 12 cm
B. 18
C. 16
D. 20
132
Academia
TRILCE
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 25 Quinto Católica REPASO VII
Problemas para la clase 1.
B
En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", la mediatriz relativa a la hipotenusa corta al cateto BC en el punto "F". Determinar la longitud de la hipotenusa, si: AC/BC=4/3 y FC = 6 cm. A. 9 cm C. 18
B. 8 D. 6 A
7.
B
A. 3,5 D
C. 35/11 D. 42/11 A
3.
C. H
8.
C
R + r 2R2
N
R
9.
A. 2 5
C. 2 2
Calcule "R". Si: AM = 3 y AB = 9.
A. 2 B. 3
M
C. 7
Una persona de 1,80 m de estatura está parada a una cierta distancia de un poste de alumbrado y la sombra que produce en el piso tiene una longitud de 3 m. Si la persona se acerca 3 m al poste, la sombra se reduce a 2,25 m. ¿Cuál es la altura del poste?
C. 5 A
10.
B
D. 4
En la gura, "ABCD" es un cuadrado de lado 16 m; "M" es punto medio de "AD". Calcular el radio de la circunferencia. C
B
A. 10 m B. 12
B. 9 m D. 15 m
En la gura, calcular la altura BH del triángulo isósceles "ABC"(AB = BC), si los radios de las circunferencias son "R" y "r".
TRILCE Católica
D. 4 5
R
D. 6
6.
M
A. 9 cm
C
A. 6 m C. 12 m
R - r
B r
B. 8
5.
2r 2
B. 3 3
B
A
R + r
Calcule la medida de la tangente común "MN". Si: R=3; r = 1 y AB = 6.
En el triángulo ABC, AN es bisectriz, BM = 2 cm, CN = 6 cm y MN = 4 cm. Calcular "AN".
M
R2
B. 45 D. 30
B. 3,5 D. 4
N
D.
R - r
A
4.
B.
Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, si se sabe que la altura relativa a la hipotenusa mide 12 cm y determina en ella segmentos que son entre sí como 9 es a 16.
En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas AM y CN. Calcular "BM", si: AB = 5, NB = 3 y BC = 6. A. 3 C. 2,5
2R2
C
A. 40 cm C. 60
B. 3
E
A.
R
En la gura, AB = 5, BC = 6 y AC = 7. Si: DE // AC y BD=EC, calcular "DE".
2.
r
C. 14 A
M
D
D. 8
133
Ciclo
11.
Católica En el gráco, "ABCD" es un cuadrado. Calcule el radio de la circunferencia, si: AP = 4; PB = 6. C
B
R
P D
A
12.
A.
31
B.
34
C.
21
D.
22
18.
A. 20 C. 18
19.
En el gráco, calcule "AD", si: 3(CD)=2(BC) y R = 6. B
B. R
B. 16 D. 24
En una circunferencia de radio 10m se inscribe un triángulo equilátero. Calcular el radio de la circunferencia inscrita en dicho triángulo. A. 10 m C. 7,5
A. 2 3 D
En un polígono regular al disminuir en 10° cada ángulo interior, resulta otro polígono regular cuyo número de lados es las 2/3 partes del número de lados del polígono original. Calcular el número de lados del polígono original.
3 3
20.
B. 5 D. 4
C. 2 2
Se tiene el cuadrado "ABCD" y el triángulo equilátero "ECF" inscritos en una circunferencia. Hallar el valor del
D. 4 3
ángulo " A E F".
∧
A
13.
O
2
C
A. 15° C. 45°
2
Si: AB + FG = 8, calcule "BF". (Las dos guras son cuadrados). B
Tarea domiciliaria
C
A. 6 F
E
B.
12
1.
C. 4 D
A
B. 30° D. 60°
G
D. 8
En el cuadrado "ABCD" mostrado, halla el perímetro del rectángulo "PQRS", sabiendo que el lado del cuadrado mide 8 2 cm. B
Q
C
A. 16 cm
P
14.
B.
En la siguiente gura, halle "DH". Si: AD = 3 y el diámetro "DC" mide 4.
C. 16 2
R
A. 1,6 B
B.
A
S
32
D. 32 2
D
1,2
C. 2,4
2.
En la figura, "ABCD" es un trapecio rectangul ar, BC = 4 cm y AD = 25 cm. Halla "AB", si: QB = QA.
D. 1,8 B
15.
16.
En un triángulo rectángulo los catetos están en la relación de 2/3, ¿en qué relación estarán las proyecciones de dichos catetos sobre la hipotenusa?
Q
A. 5 : 6 C. 4 : 9
A
A N
B
A. 20 cm B.
10
C. 18
B. 2 : 3 D. 4 : 3
Según la gura, "ABCDEF" y "NBKLS" son polígonos equiángulos y BC = BK. Calcular el valor de "xº".
C
D
D. 25
3.
En un triángulo acutágulo "ABC", se trazan las alturas BF y AD . Si: BC = 6 cm; AC = 3 m y FC = 2 m, calcula "CD".
A. 1 m C. 2
4.
Se tienen dos circunferencias tangentes interiormente. Si la distancia entre los centros mide 29 cm y la tangente trazada desde el centro de la circunferencia mayor a la menor mide 21 cm, halla el radio de la circunferencia mayor.
B. 1,5 D. 2,5
A. 84º F
x xº C K
S
17.
86º
C. 74º
L E
B.
D. 76º
D
Se tiene dos polígonos regulares cuyos números de diagonales se diferencian en 27, y cuyos ángulos centrales están en la relación de 3/4. Calcular la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales. A. 20° C. 24°
134
B. 15° D. 10°
A. 30 cm C. 49 5.
B. 20 D. 59
En un triángulo "ABC", se construyen exteriormente los triángulos equiláteros "BCE" y "ACF". Si: BF = 12 m, halla "AE". A. 6 m C. 13
B. 8 D. 12 Academia
TRILCE
G EOMETRÍA 6.
En un triángulo rectángulo de perímetro 40 cm y de inradio 7 cm. Hallar la hipotenusa. A. 25 cm C. 15
7.
8.
9.
10.
B
B. 117º D. 104º
B. 36 D. 12
Una persona está en la azotea de un edicio de 110 m de altura y observa en la calle, con un ángulo de depresión de 30º, en la calle, a otra persona, ¿Qué distancia hay del pie del edicio hasta la persona observada? A. 110 m
B. 220
C. 110 3
D. 55
Un barco está a 800 m de un submarino y observa a este con un ángulo de depresión de 45º. ¿A qué profundidad se encuentra el submarino? A. 400 m
B. 800
C. 800 2
D. 400 2
Academia
TRILCE
C
Q
A.
8 cm
B.
10 cm
C.
12 cm
D.
16 cm
P A
12.
Se tiene un hexágono regular "ABCDEF" inscrito en una circunferencia de 18 m de radio. Halla la longitud del arco "DEF". A. 24 pcm C. 18
Hallar "PC", si: PQ = 4 cm y AD = 25 cm.
B. 12 D. 13
Desde un punto "P", exterior a una circunferencia, se trazan la tangente PA y la secante PBC. Si: ∠ APC = 26º, hallar ∠ ABM, siendo "M" punto medio de "BC". A. 103º C. 97º
11.
D
Una torre de 15m de altura proyecta una sombra de 60m de longitud. ¿Cuál es la estatura de un niño que a la misma hora proyecta una sombra de 4m de l ongitud? A. 1m C. 1,4
13.
En un triángulo rectángulo el cateto menor mide 20 cm y el cateto mayor 8 cm menos que la hipotenusa. ¿Cuánto mide el cateto mayor? A. 18 cm C. 19
14.
B. 17 D. 21
En un triángulo rectángulo de perímetro 40 cm, la diferencia de las longitudes de los catetos es 7cm. Hallar el área del triángulo. A. 30 cm2 C. 50
15.
B. 1,2 D. 1,6
B. 40 D. 60
Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados forman una progresión aritmética de razón 6 cm. A. 6 cm C. 18
B. 12 D. 30
135
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 26 Quinto Católica
REPASO VIII: ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES Y CUADRANGULARES A. 2 m2 C. 1
Problemas para la clase 1.
Calcular el área de la región sombreada. Si "BC=CD".
7.
D B
A
C
4m
A.
4 m2
B.
8
C.
16
D.
20
B. 1,8 D. 3,2
En la gura, calcular el área de la región sombreada: ("A" y "C", centros). B
A
2.
B
F
A
E
6
D
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
"ABC" es un triángulo equilátero. Si: FC = EB + 1 cm; AC = 5(EB) = 10m, calcular el área del triángulo sombreado "EBF".
A. 60 m2 C. 100 8.
A. E F
A
5.
2
A. 3 m C. 9
Las diagonales de un rombo son proporcionales a 2 y 3 respectivamente. Calcular la diagonal menor, si el área del rombo es 48 m2.
9.
B.
2 3
C.
3 2
D.
2 6
D
C
B
A
L
K
10.
B. 4 D. 9
E
F
A.
300 m2
B.
150
C.
225
D.
180
G
I
H
J
En el gráco, calcule el área de la región cuadrada "ABLN", si: PB = 2 3.
B. 6 D. 2
En un cuadrante "AOB" (AO=OB=5m) sobre el arco "AB" se ubica el punto “P” y desde dicho punto se traza "PQ" perpendicular a "AO", tal que: PQ = 3m. Calcular el área de la región triangular "QPB".
B. 8 m D. 24
La gura muestra una placa metálica formada por cinco cuadros. Si " AF " mide 15 m, determinar el área de la placa.
3 m2
En un triángulo isósceles los ángulos congruentes miden 15° y el área de su región es de 9m2. Calcular la longitud de una de las alturas congruentes.
A. 2 m2 C. 6 6.
C
7
B. 80 D. 50
A. 4 m C. 12
B
4.
15m
20m
C
9
3.
C
Calcular el área de la región sombreada, si "ABCD" es un cuadrado.
P
A
C
B o
37 N
A.
25 m2
B.
16
C.
9
D.
81
L
En un cuadrado "ABCD" de lado igual a 3 m se traza una circunferencia interior tangente "BA" y "AD" cuyo radio mide 1 m. Desde el vértice “B” se traza la tangente "BT". Calcular el área de la región triangular "BCT".
TRILCE Católica
137
Ciclo
11.
Católica "ABCD" es un cuadrado de lado 5 y "AEB" es un triángulo rectángulo en "E" de catetos 3 y 4, la altura del triángulo correspondiente al vértice "E" divide el cuadrado en dos rectángulos de áreas "S" y "T". ¿Cuál es la relación "S/T"?
18.
E 4
3 A
B
S
5
T
A.
3/4
B.
4/25
C.
9/16
19.
D. 7/25 D
12.
C
Se tiene un cuadrado "ABCD", en "BC" se toma el punto “P”, también se toma el punto “G” baricentro del triángulo "APD" y se traza "GH" perpendicular a "AB". Si: AH=3m, hallar el área de la región de dicho cuadrado. A. 81 m2 C. 49
13.
14.
8m
A.
6m
B.
8
21.
22.
C.
10
23.
C
16
Calcular el área de la región sombreada ("M", "N" y "P" son puntos de tangencia). B N
M
A.
1
B.
4
C.
3
3 2 P
C
D. 2
En un cuadrante "AOB" (AO = OB = 5m) sobre "AO" se ubica el punto “T”, tal que: AT = 3m. Con centro en “A” y radio "AT" se traza un arco que intercepta al arco "AB" en “S”. Si desde “O” se traza la tangente "OP" hacia dicho arco y en el interior del cuadrante, calcular el área de la región triangular "OPB".
138
A.
20 m2
B.
40
C.
10
O
O1
D. 30 Q
B. 49 D. 56
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide “b” y el inradio mide “r”. Si: br+r 2=12m2, calcular el área de dicho triángulo rectángulo. B. 8 D. 24
Calcular el área del rectángulo "ABCD", en el cual la distancia de “D” a la diagonal "AC" es 4 m y la distancia de “B” a la prolongación de la perpendi cular trazada desde “D” a "AC" es de 6 m. A. 48 m2 C. 24
24.
P
En el triángulo "ABC": AB = 13m; AC = 14m; BC = 15m; la prolongación de la mediana "BM", corta a la bisectriz exterior del ángulo “A”, en el punto “N”, calcular el área de la región "AMN".
A. 4 m2 C. 12
D. 12 A
B. 168 D. 124
Si el área de la región triangular "ABC" es 20m2, calcular el área de la región triangular "AOQ".
A. 28 m2 C. 42
En la gura, hallar el menor valor de “K” para que el área del rectángulo sombreado sea 30 m2.
A. 10 m2 C. 12
En un triángulo rectángulo "BAC" recto en "A", se construye un cuadrado exterior "BCDE". Luego se trazan "DM" y "EF" perpendiculares a la prolongación de "AB". Calcular el área de la región triangular "ADF", si: BM=2m, FM = AB=8m.
A
B. 39 D. 20
K
17.
D. 30
C
Calcular el área de una región trapecial inscrita en una circunferencia de radio 5 cm, sabiendo que las bases del trapecio miden 6 cm y 8 cm, además el centro de la circunferencia es interior al trapecio:
A
C. 27
B
B
16.
B. 27 3
B. 240 D. 160
A. 36 cm2 C. 49 15.
20.
Dos lados consecutivos de un romboide se diferencian en 8 m; el perímetro es de 64 m. y la altura correspondiente al lado mayor mide 10 m. Calcular el área del romboide. A. 100 m C. 200
A. 20 3 m2
A. 144 m2 C. 162
B. 36 D. 64
2
En un triángulo rectángulo "ABC" (m∠B=90º): AB=BC; se inscribe un triángulo equilátero "PBQ" (PQ sobre AC ). Luego se traza la altura "BH" sobre la cual se toma el punto "O" donde m∠POQ=90º. Si el área del triángulo "ABC" es 81m2. Calcule el área del triángulo "POQ".
B. 36 D. 40
En una semicircunferencia de diámetro "AB" igual a 2 5 cm se toma una cuerda "MN" paralela a "AB"; luego se traza "MP" y "NQ" perpendiculares a "AB". Hallar el área de la región "PMNQ", sabiendo que es un cuadrado. A. 8 m2 C. 4
B. 6 D. 12
B. 8 D. 14 Academia
TRILCE
G EOMETRÍA 25.
Del gráco mostrado, se tiene que: 4(CD)=7(PT), BT=8cm. Calcular el área de la región rectangular "ABCD" ("T" es punto de tangencia). B
7.
A. 98 C. 148
C
P
T
A.
136 cm2
B.
129
C.
112
D.
125
Se tiene el triángulo "ABC" donde AB = BC =25 y AC = 14. Hallar el área del triángulo.
8.
B. 120 D. 168
En la gura, AB = BC = 13, la base "AC = 10". Hallar el área del triángulo "ABH". B
D
A
Tarea domiciliaria A
1.
En un triángulo acutángulo "ABC", la altura mide 12 m y m∠ ACB = 45°. Si: AB = 13 m, calcular el área de la región triangular "ABC". A. 90 m2 C. 102
2.
3.
El perímetro de un triángulo equilátero es 36m. Calcular el área de su región. A. 18 3 m2
B. 9 3
C. 15 3
D. 36 3
10.
11.
B. 4 5 D. 8
12.
A
5.
H
60
Se tiene un rectángulo de lado 4 y 5 cm hallar el área del polígono que se forma al unir los puntos medios de los lados del rectángulo. B. 16 D. 10
Se tiene un trapecio rectángulo "ABCD" ( AB // DC), si: AD = 16 cm, AB = 2 cm y BC = 20 cm. Calcular el área de dicho trapecio. B. 256 D. 128
B.
20
A. 8 u2
B. 4 3
C.
36
C. 4
D. 2 3
D.
35
13.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
m
Sea "ABCD" un trapecio rectángulo ( AB // CD ), BC=20cm y BC D= 37°. Hallar el área del trapecio (AB = 9 cm).
A. 102 cm2 C. 408
Q
R
D.
18 m2
Calcular “a” si el área del triángulo PQR es 24m2.
P
40
A.
C
a
C.
Sea un triángulo equilátero de lado 4u y un rectángulo cuyas áreas son iguales. Hallar el área que resulta al unir los puntos medios de los lados del rectángulo.
B
E E
30
B. 10 D. 8
A. 320 cm2 C. 200
Según la gura, AC = 12m, BH = 9m, además: BE = 2(EH). Calcular el área de la región "ABCE".
B.
Si el área de un rombo es 24 cm2 y las diagonales están en relación de 3 a 4. Hallar el lado del rombo.
A. 25 cm2 C. 20
Los catetos de un triángulo rectángulo están en la relación de 1 a 2, calcular la longitud del cateto mayor si el área del triángulo es 16 m2.
20
C
A. 6 cm C. 5
B. 96 D. 118
A. 5 5 m C. 6
4.
9.
H
A.
14.
B. 204 D. 100
Calcular el perímetro de un rectángulo inscrito en una circunferencia de diámetro 10, sabiendo que el área del rectángulo es 48. A. 13 C. 24
B. 14 D. 28
3a
15. 6.
En la gura, "ABCD" es un cuadrado y "CDE" es un triángulo equilátero de lado 4 m. Calcular el área de la región triangular "AED".
Hallar la relación entre las áreas de los cuadrados "ABCD" y "PQRS". B
C
Q B
E
A
Academia
R
C
A.
8 m2
B.
16
C.
4
D.
6
A
P
O
D
S
A.
2:7
B.
2:5
C.
3:4
D.
2:3
D
TRILCE
139
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 27 Quinto Católica
REPASO IX: RELACIÓN ENTRE ÁREAS - ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES 5. El área del romboide "ABCD" es 24m2, hallar el área de Problemas para la clase la región sombreada, si “M” es punto medio de "AD". 1.
B
Si "ABCD" es un cuadrado de 6 u de lado, calcular el área de la región sombreada. B
C
A. 1 m2 B.
C
2
C. 2,5 A
6. A
A. C.
2.
72 - 13p 2
D
u2
B.
48 - 7p
D.
2
En un triángulo "ABC" las medianas AN y BM se intersecan en “P”. Si: S(ABC)=120. Calcular "S(MPN)". A. 5 C. 15
56 - 14p 2
7.
52 - 13p
B. 10 D. 20
Calcular el área de la región sombreada, si: AO = OB = 2m y "a = 45º".
2
En el paralelogramo "ABCD", ¿cuál es la relación correcta entre “X”, “Y” y “Z”? B
α
A
C
B. X
Z=X=Y
8.
p
- 2
B.
2p - 1
D. 2p + 2 s
Del gráfco S(ABC) = 120m2, calcular S(MNG) “G” baricentro del triángulo "MBN".
C. Y = X = Y
A
O
A.
C. 4p - 3
B
A. Y = X + Z
Z Y
D. 4
D
M
B
D. X = 2Z - Y
D
A. 12 m2 3.
G
En el trapecio ABCD: BC//AD y AE = ED, el área del triángulo "BFC" es 4m2 ,y la del triángulo "AFE" es 9 m2, hallar el área de la región sombreada.
M
B.
N
14
C. 15 D. 10
B
C
A. 21 m2 B.
F A
D
E
20
C
A
C. 25
En el gráfco, S1 - S2 = 12 m2. Hallar el área del semicírculo menor.
D. 24
B
9.
C S2
4.
Calcular el área de la región sombreada. Si: AP = PO y OB = OA = 12 m.
P
O
10.
D
D. 12
Si "ABCD" es un romboide, CM = MD y el área de la región triangular "MOD" es 14 u2. Hallar el área del romboide. B
B
C
A. 156 u2 B.
A. 24(p -
2
3) m
C. 6(4p - 3 3)
TRILCE Católica
D. 6(3p - 4 3)
M
O
B. 8(3p - 9 3) A
4
C. 8
A
Q
B.
S1
A
A. 2 m2
D
168
C. 128 D. 136 141
Ciclo
Católica
11.
En un triángulo rectángulo "ABC" recto en "B" se traza la ceviana "BP", de modo que: AP = 2 u y PC = 8 u; AB = BP. Calcular el área del triángulo "ABC". A. 16 u2 C. 14
12.
B. 15 D. 13
18.
A. (35p - 9 3) m2
B. (30p + 9 3)
C. (35p + 9 3 )
D. (30p - 9 3)
S1 En la gura mostrada, calcular " "; si: MC = 3(AM) y S2 BN = 3(NC). B
Si "ABCD" es un cuadrado, BD = DE = n 2, calcular el área de la región sombreada.
A. 0,5
B
A
S 1 A D
A. n2
C
B.
2
C.
13.
n
D.
3
19.
n2 5 n2
C
O
Dado un triángulo de área igual a 120 cm2. Se unen los pies de las alturas y los puntos medios de las distancias del ortocentro a los vértices, determinándose un hexágono cuya área es:
20.
B a
A. 42 u2
A. 5 m C. 7
15.
En el gráco, si: EC = 2EB; AF = 2FC, hallar: S1/S2.
3c
1.
α
2.
B. 1/2
B. 6 D. 14
Un jardín de 12 m de diámetro está sembrado de pasto, pero es atravesado por un camino pavimentado recto de 3m de ancho, de modo que uno de sus bordes pasa por el centro. Por lo tanto, el área sembrada es:
142
C. 12 C
D. 8
Calcular el área sombreada si el área del triángulo "ABC" es 66 m2 y AM y BD son medianas. B
A. 11 m2
D. 3
Se tiene un triángulo escaleno cuya área de su región triangular es igual a 84. Calcular el área de la región determinada al unir los puntos medios de dos lados y el baricentro del triángulo original.
B. 18
N
C. 1
17.
A. 24 cm2
A
C
D. 9
C
B
A. 2
F
c
En la gura, "ABC" es un triángulo isósceles (AB=BC) de área igual a 72cm2. Si CN=AC/3, hallar el área el triángul o "ANC".
α
O
A. 9 C. 7
R
C. 8
Tarea domiciliaria
B. 6 D. 8
E
16.
B. 7 2b
A
B
A
Q
a
D. 62
Un jardinero quiere transformar un jardín que tiene forma circular de radio 2 m, en forma de sector circular con ángulo central 40° y de tal manera que el área de las regiones respectivas permanezcan constantes. El radio de este último debe medir:
A. 6 cm2
b
P
B. 52 D
B. 50 D. 120
En la gura el área "ABC" es 24 cm2; calcular el área de la región triangular "PQR".
C. 56
14.
D. 1
C
M
A. 60 cm2 C. 40
2
E
A
C. 0,6
S 2
E
En el paralelogramo "ABCD" las áreas de las regiones triangulares "AOD" y "BOE" son 18 y 8 u2. Hallar el área de la región palalelográmica "ABCD". B
B. 0,8
N
B. 12
M
A
3.
D
C. 13
C
D. 14
En un triángulo "ABC", "M" y "N" son los puntos medios de AB y BC respectivamente. Sobre AC se toma un punto "P" y se traza el triángulo "MNP". Si el área de "ABC" es 20 cm2, calcular el área del triángulo "MNP". A. 10 cm2 C. 5
B. 12 D. 25
Academia
TRILCE
G EOMETRÍA 4.
En un triángulo "ABC" se traza la bisectriz interior CF . Hallar la relación entre las áreas de los triángulos "ACF" y "CFB", si: AC = 5 y BC = 7. A. 5/12 C. 7/5
5.
9.
B. 5/7 D. 7/12
En la gura, "ABCD" es un cuadrilátero cuya área es 120 cm2. El triángulo "ABD" tiene un área de 25 cm2. ¿Cuál es el área del triángulo "BMD", sabiendo que "M" es punto medio de la diagonal AC ? B
10.
A
D
A.
35 cm2
B.
15
C.
70
D.
12
11.
El lado de un triángulo equilátero mide 6 6 m . El triángulo es cortado por dos paralelas a uno de los lados, tales que, dividen el triángulo en tres guras de áreas iguales. Calcular la longitud de la paralela más próxima la lado. A. 8 m B. 10
C. 2
D. 2 -
2 2
El diámetro de una circunferencia mide 4 cm. Hallar el área del cuadrado inscrito en dicha circunferencia. A. 2 2 cm2
B.
C. 4 2
D. 8
2 /2
C. 12 D. 2 6
13.
B. 135 D. 81
Si se sabe que los lados de un rectángulo están en la relación de 2 a 1 y que su perímetro vale 27 cm. Hallar el área de dicho rectángulo. B. 81 D. 108
Si la diagonal de un rectángulo mide 4 3 cm, y sus lados están en relación de 2 a 3, hallar el área del rectángulo. A. 6 13 cm2 C. 78
14. B. 48 D. 52
Por el baricentro de un triángulo "ABC", se traza una paralela AC que corta en "P" y "Q" a los lados AB y BC respectivamente. Si el área del triángulo "PBQ" es 8. Hallar el área del triángulo "ABC".
Se tiene el rectángul o "ABCD". Si: AC = 15 cm y BC = 9 cm, se pide hallar el área del rectángulo.
A. 40,5 cm2 C. 27 2
Las medianas relativas a dos lados de un triángulo miden 9 cm y 12 cm, cortándose perpendicularmente. Hallar el área del triángulo. A. 72 cm2 C. 36
8.
B.
A. 144 cm2 C. 108 12.
7.
A. 1 cm2
C M
6.
Si se sabe que el lado del cuadrado "ABCD" es 2 cm, hallar el área que se forma al unir los puntos medios de los lados de dicho cuadrado.
B. 96 D. 108
Se tiene un romboide en el cual el lado mayor mide 8 cm y se sabe que el área mide 32 cm2, hallar la distancia entre los lados mayores. A. 16 cm C. 8
15.
B. 4 D. 5
Se tiene el paralelogramo "ABCD" en el cual AB = DC = 8 y ∧
A. 3 m2 C. 12
B. 6 D. 18
AD = BC = 6. Si: DCB= 120°, hallar el área del parale-
logramo. A. 48 cm2 C. 27
Academia
TRILCE
B. 36 D. 24 3
143
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 28 Quinto Católica
REPASO X: ÁREAS III Problemas para la clase 1.
6.
B
Calcular el área de un triángulo formado por la diagonal y la altura de un trapecio isósceles cuya área es 64 m2. A. 32 m2 C. 48
A. 1 m2 B. 2
M
N
C. 3 A
B. 36 D. 56 7.
2.
Hallar "M - N", si: AB = 6 m y BC = 8 m.
Calcular el área de un triángulo rectángulo, si la longitud del cateto menor tiene 23 m menos que la longitud del otro cateto y éste 2 m menos que la longitud de la hipotenusa.
C
En el rectángulo ABCD de área 40 m2 y NC = 3AN, calcular el área de la región cuadrangular BNDM. D
B. 200 D. 50
En la gura, la diferencia entre las áreas de los cuadrados "ABCD" y "EFGC" es 56 m 2. Si BE = 4m, el área del triángulo "CDE" es: A
8.
B
A. 22,5 m2 E
C. 25
B. 18,5
F
C
D
En la gura, una circunferencia de centro "O" tiene radio 2m y el triángulo "ABC" es equilátero. Si: PQ// BC , el área sombreada es:
B.
5 C.
9.
A
Q
P
1
A. 1 m2
D. 24,5
G
D. 30
B
En un triángulo rectángulo ABC, m∠B = 90°, por un punto de AC se levanta una perpendicular a AC que corta a BC en “Q”, determinándose dos regiones equivalentes. Calcular “QC”, si: AC = 2 m.
C. 20,5
4.
B. 20
N A
3.
A. 15 m2
C M
A. 10 m2 C. 210
D. 1,5
D.
4
2 2 2
La base de un triángulo mide 15 m. Se trazan dos rectas paralelas a la base dividiendo al triángulo en tres regiones equivalentes. Calcular la longitud del segmento más cercano a la base. A. 5 6 m
B. 10
C. 10 2
D. 8 3
O B
A. C.
5.
4 3 3
m2
2 3 3
C
B. D.
Calcular el área del medio círculo sombreado , si: AB = 13 m; BC = 15 m y AC = 14 m. (“O” es centro, “P” y “Q” son puntos de tangencia).
3 3
A. 9p m2
B
4
B. 18p
3
A. 5 u2
B. 10
C. 15
D. 18
Q
P
3
En un triángulo "ABC"; se traza la bisectriz interior CD y, en el triángulo "DBC", la ceviana BM tal que: m CBM = m BAC. Si el área de la región triangular, " MBC" es 5u2 y AC = 2(BC), calcule el área de l a región "BMA".
TRILCE Católica
10.
A
11.
O
C. 16p C
D. 25p
El área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es 540 m2. Calcular el área del hexágono regular circunscrito a la misma circunferencia. A. 600 m2 C. 650
B. 720 D. 840
145
Ciclo
12.
Católica Calcular el área de una región triangular "ABC", si las medianas "BM" y "CN" se intersectan en “G”, m∠BGC = 150°; BM = 18 cm y CN = 15 cm. A. 180 cm2 D. 135
13.
A.
36p m
B.
25p
L
E
F
M
B. 34p D. 37p
C.
8
D.
10
p
2
u2
B.
4p
C.
3p
D.
2p
Tarea domiciliaria
1.
En una circunferencia de radio 2 3 m; la recta tangente a la curva que pasa por el punto "A" dene con los ejes un triángulo de área: y
6
C
144p
Calcular el área de un círculo si dos cuerdas paralelas "AB" y "CD" miden 6 m y 10 m respectivamente y la distancia entre dichas cuerdas es 8 m.
B.
A.
16p
D.
4 cm
B
2
C.
A.
En la gura, el área del círculo circunscrito al triángulo equilátero "ABC" es 16p u2. Calcular el área de la región sombreada. Si "B" es centro del arco "EMF" y "M" es punto de tangencia.
A
A. 23p m2 C. 28p
16.
20.
r C
S
Calcular el área de la corona circular sombreada, si "T" es punto de tangencia, AB = 12 m.
T
S2
S1
B 15 D. 20
B
15.
K
En un cuadrado "ABCD" se traza la diagonal "AC" sobre la cual se toma un punto “Q” de tal manera que el área del triángulo "BQC" es la sexta parte del área del cuadrado. Calcular “AQ”, si el perímetro del cuadrado es 60 2 m.
A
Según la gura: S1 + S2 = 16pcm2. Calcular "r".
B. 120 C. 90
A. 10 m C. 18 14.
19.
2.
Si el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo equilátero mide 2 cm, calcula su área. A. 4 3 cm2
B. 2 3
C. 8 3
D. 6 3
En la gura, calcula el área del triángulo rectángulo.
A 60º x
A.
16 3 m2
B.
8 3
C.
8
D.
17.
C
x A
18.
y E
D
A.
12 m2
B.
16
C.
22
D.
24
En la gura "ABCD" es un cuadrado y un arco "AP" 4-p , el tiene centro en "D" si el área sombreada mide 8 perímetro del cuadrado es igual a: B
A P
A.
2
B.
4 2
C.
4
D.
D
146
3 30º
24 3
En la gura ABCD es un romboide, ED = 2AE, x = 2 m2 , y = 10 m2, calcula el área de la región ABCD. B
8
3.
B.
54 3
C.
32 3
D.
64
B. 740 D. 720
El área de un triángulo "ABC" mide 216 m2. Si "G" es baricentro del triángulo, halla el área del triángulo "AGC". A. 72 m2 C. 108
5.
64 3 u2
En un rectángulo "ABCD", AB = 90 m y BC = 60 m. La bisectriz interior de "A" corta la diagonal BD en "F" y al lado CD en "E". Calcula el área del triángulo "DEF". A. 640 m2 C. 840
4.
A.
B. 36 D. 144
En un paralelogramo "ABCD", las bisectrices interiores de los ángulos "A" y "D" se cortan en "O". Si la distancia de "O" a BC es 3 m, el área del triángulo "AOD" mide 25 m2 y BC = 10 m, halla el área del paralelogramo. A. 60 m2 C. 160
B. 80 D. 120
2
C Academia
TRILCE
G EOMETRÍA 6.
Se tiene un triángulo "ABC" inscrito en una circunferencia de diámetro AC = 4 3 m. Si: AB = 6m, hallar el área del triángulo. A. 6 2 m2
B. 4 3
C. 6 3
D. 2 3
12.
En la fgura, el área de la región triangular "DBC" es 12 cm2, hallar el área de la región tri angular "DBM", donde "M" es punto medio de AC . B
D
7.
Halla el área de un sector circular de radio 5 y ángulo 120º. B. 25p / 3 D. 10p / 3
A. 30p C. 15p
8.
A
Si "ABCD" es un cuadrado de lado 9 m y "M" es punto medio de CD , calcula el área sombreada. B
C
M
A
9.
13.
D
A.
54 m2
B.
18
C.
36
D.
27
14.
10.
B. 16 D. 9
B.
8
C.
10
D.
12
En un cuadrilátero "ABCD", siendo "O" la intersección de sus diagonales, si: OA = K, OB = 2K, OC = 8K, OD = 5K y el área del triángulo "BOC" es 48 cm2. Hallar el área del cuadrilátero. B. 189 D. 120
Dado un paralelogramo "ABCD", se traza la diagonal AC . Desde "B" se traza una perpendicular a BC que corta a la diagonal en "P". Si: AP/PC = 2/5 y el área del triángulo "ABP" es 6 m2, calcular el área del paralelogramo. A. 28 m2 C. 42
15.
6 cm2
C
A. 179 cm2 C. 199
Las bases de un trapecio "ABCD" miden AD = 7 cm y BC = 3 cm, y su altura 4 cm. Si "M" y "N" son los puntos medios de las diagonales de "ABCD", hallar el área del cuadrilátero "AMND". A. 12 cm2 C. 24
M
A.
B. 35 D. 49
En la fgura, "O" es el centro, hallar el área de la región sombreada si el radio mide 20 m y AB = 24 m.
Se tiene un trapecio rectángulo cuya base menor mide 4 m, y cuyo lado no paralelo mayor mide 13 m. Si su diagonal más grande tiene una longitud de 15 m, hallar el área del trapecio.
A.
50 m2
B.
40
C.
45
D.
52
O
A. 64 m2
B. 78
C. 80
D. 45 3
A
B
11.
En la fgura, "M" punto medio y el área de la región triangular "ABC" es 60 cm2. Hallar el área de la región sombreada.
A
N
B
Academia
M
TRILCE
C
A.
30 cm2
B.
40
C.
50
D.
20
147
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 29 Quinto Católica
GEOMETRÍA DEL ESPACIO - POLIEDROS REGULARES Problemas para la clase 1.
Se tiene un cuadrado ABCD de lado 10. Se dobla a lo largo de MN ("M" y "N" puntos medios de AB y CD respectivamente) formando un ángulo diedro de 37°. Hallar la distancia del vértice "A" al plano MNCB. A. 4 C. 2
2.
3
B. 9 D. 10
12.
B. 4 m D. 3 m
Un triángulo equilátero ABC, está en un plano perpendicular a un cuadrado ABDE. El segmento de recta que une el punto medio de AC con el punto medio de AD mide 1 cm. Hallar el área del cuadrado. A. 1 cm2 C. 3 cm2
TRILCE Católica
B. 2 cm2 D. 4 cm2
B. 4 3 m2 D. 4 2 m2
Los catetos AB y BC de un triángulo rectángulo ABC miden 15 m y 20 m, respectivamente. Por B se levanta la perpendicular BP = 12 3 m, al plano del triángulo. Luego, se une P con A y con C. Hallar la medida del diedro AC.
A. 60° C. 45° 14.
B. 2 6 cm2 D. 2,5 6 cm2
En un tetraedro regular el segmento que une los puntos medios de dos aristas opuestas mide 2 m. Hallar el área total del tetraedro. A. 2 3 m2 C. 6 3 m2
13.
B. 17 2 D. 20
En un triángulo los catetos AB y BC miden 1 y 2 cm. Por el vértice B del ángulo recto se traza una perpendicular BF = 10 cm, al plano del triángulo. Calcular el área del triángulo AFC. 6 cm2 A. C. 1,5 6 cm2
Se tiene un segmento de recta AB de 8 m situado en un plano p y un punto "P" que dista 12 m de dicho plano. Hallar la distancia de AB a la proyección del punto "P" sobre el plano p si: AP = BP = 13 m. A. 5 m C. 4,5 m
7.
11.
B. 5 2 D. 5 5
Sea A y B dos puntos situados por encima de un plano. Las perpendiculares bajadas desde A y B al plano miden BP = 7 y AQ = 13. Calcular l a distancia de "M" al mismo plano, siendo "M" punto medio del segmento AB. A. 11 C. 8
6.
B. 16 m3 D. 36 m3
B. 59 cm D. 7 cm
Se tiene un cono circular recto de vértice A, cuya altura mide 8 cm y el radio de la base 9 cm. En el plano de la base del cono se traza el segmento BC, tangente en B a la circunferencia tal que BC mide 12 cm. Calcular la distancia de A a C en centímetros. A. 8 5 C. 17
En una circunferencia de centro O, se inscribe un triángulo ABC recto en B. Se levanta BF perpendicular al triángulo tal que BF = AC. Si AB = 6 y BC = 8, hallar OF. A. 5 C. 5
5.
10.
B. 3D2 D. D2
A una distancia de 3 cm del centro de una cara de un cubo de arista 4 cm se ubica el punto exterior P. Calcular la distancia de dicho punto a uno de los vértices de la cara opuesta. A. 57 cm C. 8 cm
Halla el volumen de un cubo, sabiendo que la suma de las distancias de un punto interior a sus seis caras es 12 m. A. 64 m3 C. 48 m3
4.
9.
Calcula el volumen de un cubo, sabiendo que el segmento que une un vértice del cubo con el centro de la cara opuesta mide 3 m. B. 8 2 m3 D. 6 6 m3
Hallar el área total de un octaedro regular sabiendo que la longitud del segmento que une dos vértices opuestos es igual a D. A. 2D2 3D2 C.
B. 3 D. 6
A. 6 3 m3 C. 2 3 m3
3.
8.
B. 30° D. 15°
En una circunferencia de 5 m de radio se traza un diámetro AB y una cuerda AC de 8 m de longitud. Por el punto B se levanta BF = 6 m, perpendicular al plano de la circunferencia. Hallar el área del triángulo FCA. A. 24 2 m2 C. 36 m2
B. 24 m2 D. 48 m2
149
Ciclo
15.
16.
Católica Los triángulos equiláteros ABD y ABC de lado “a” se sitúan en dos planos perpendiculares. Hallar la distancia del baricentro del triángulo ABD al punto medio de AC. A.
a 2 3
B.
a 3 3
C.
a 3 2
D.
a 2 4
19.
21.
A.
a 2
B.
C.
a 4
D.
a 2 2
A. 3
6
B.
3 6 2
C. 3
3
D.
3 3 2
¿Qué relación existe entre las áreas totales de dos cubos, si sabemos que la arista de uno de ellos es igual a la diagonal de una cara del otro?
C.
4 3
1.
3 4
2.
3.
B. 1 000 m D. 1 000 km
B. 8 cm D. 6 m
Hallar el área lateral de un cubo de arista 2 6 . A. 48 C. 96
150
B. 4 2 cm D. 2 2 cm
La distancia EA del punto "E" del espacio a una recta contenida en un plano es 17 cm y la distancia del mismo punto E al plano es de 15 cm. Hallar la proyección de EA sobre el plano. A. 10 cm C. 12 cm
6.
B. 32 m D. 25 m
ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. Se eleva AF, perpendicular al plano ABCD, tal que AF = 4 cm. Hallar FC. A. 2 3 cm C. 4 3 cm
5.
B. 30° D. 90°
ABC es un triángulo recto en B contenido en el plano "H". Por B se eleva BJ perpendicular a "H". Si: AC = 14 m y BJ = 24 m, hallar JM donde M es punto medio de AC. A. 35 m C. 37 m
4.
B. 8 cm D. 24 cm
ABC es un triángulo equilátero. Por "B" se eleva BF perpendicular al plano ABC. Si "M" es punto medio de AC, ¿cuánto mide el ángulo que forman AC y FM? A. 15° C. 45°
Si un cubo sólido de 1 metro de arista, se divide en cubitos de 1 cm de arista. ¿Qué altura alcanzará una columna formada por todos esos cubitos colocados uno encima de otro? A. 10 000 cm C. 10 km
2 5
La distancia de un punto "E" a un plano "H" es EF = 8 cm. La distancia de "E" a una recta m, contenida en "H", es EM = 17 cm. Hallar FM. A. 4 cm C. 15 cm
1 B. 2 D.
B. D.
Tarea domiciliaria
B. 4 3 m D. 12 m
La suma de las aristas de un cubo es 36. Calcular la distancia del centro de una de las caras a uno de los vértices de la cara opuesta.
B. 36 2 m2 D. 60 m2
Se tiene un cuadrado ABCD, del cual se levantan cuatro perpendiculares AA', BB', CC', DD', calcular la distancia entre A'C' y B'D', si: AA'= 4, BB'= 2+ 3 , CC' = 8, DD'= 10 - 3 . A. 0 C. 3
a 2 3
Calcula la longitud que debe tener la diagonal de un cubo para que su volumen sea ocho veces el de otro de arista igual a 3 m.
1 A. 3
22.
25.
B. 32 m2 D. 16 m2
Calcular el área total de un octaedro regular cuya diagonal mide 6 m. A. 36 3 m2 C. 40 3 m2
3 cm 6 cm
B. D.
Hallar la distancia entre los baricentros de dos caras adyacentes en un octaedro regular de arista “a”.
A. 2 3 m C. 6 m
20.
24.
La altura de un tetraedro regular mide 2 cm. Hallar la medida de la arista. 2 cm A. C. 2 cm
18.
B. 31,5 cm D. 21 3 cm
En un tetraedro regular ABCD se toman M, N,O y P puntos medios de las aristas AB , AC , DC y DB respectivamente. Si la arista del tetraedro mide 8 m, hallar el área del polígono MNOP. A. 64 m2 C. 8 m2
Un plano P tiene una inclinación de 60° sobre el plano Q. ¿A qué distancia del plano Q se debe trazar otro plano paralelo que corte a P, tal que sus intersecciones disten 42 cm? A. 21 cm C. 24 cm
17.
23.
B. 72 D. 120
Academia
TRILCE
G EOMETRÍA 7.
El área de una cara de un cubo es 12, calcular la longitud de la diagonal del cubo. A. 3 C. 6
8.
9.
El volumen de un cubo es 8 cm3, hallar el volumen del tetraedro regular que tiene igual arista. A. 6 2 cm3
B.
C. 9 2 cm3
D.
11.
13.
3 3 cm3 2 2 2 cm3 3
14.
B. 6 6 m3 D. 12 m3
La distancia de un vértice de un cubo al centro de una cara opuesta es 2 6 m. Calcular el volumen de dicho cubo. B. 27 m3 D. 64 m3
La suma de las aristas de un tetraedro regular es 18, calcular la longitud de su altura. 6 A. C. 2 3
Academia
TRILCE
B. 3 D. 2
3
B. 6 D. 12
Se da una recta contenida en un plano D. La distancia a la recta de un punto A, exterior al plano es AC = 25 m y la proyección de AC sobre el plano es CB = 15 m. Hallar la distancia de B a AC, siendo AB la distancia de A al plano. A. 9 m C. 15 m
15.
B. 12 D. 4 3
El área lateral de un tetraedro regular es 12 3. Calcular la suma de aristas de la base. A. 4 C. 4
El área lateral de un cubo es 24 m 2, calcular su volumen.
A. 8 m3 C. 32 m3
La diagonal de un cubo mide 3, calcular la suma de aristas laterales de dicho cubo. A. 12 3 C. 6 3
B. 4 D. 8
A. 3 2 m3 C. 4 6 m3 10.
12.
B. 12 m D. 18 m
Tres planos paralelos determinan sobre una recta secante L1, los segmentos AE y EB y sobre otra L2, secante, los segmentos CF y FD . Si AB = 8 m, CD = 12 m y FD – EB = 1 m. Hallar el valor de CF. A. 4 m C. 5 m
B. 7 m D. 9m
2 6
151
Ciclo
Católica A. 4 cm C.
16.
1 cm 4
C. 16 3
a 2 a a C. 2a ; ; 4 2
A. 2a ; a ;
154
B.
345p 2
500p 3
D.
872p 3
1.
a 4 a a D. 2a ; ; 3 2
X'
2.
Se tiene una esfera de radio "R" y un cilindro de radio "R" y altura H. Para que el volumen de la esfera sea el doble del volumen del cilindro, hallar el valor de la razón: R/H. A.
2 3
B.
3 2
C.
3 7
D.
4 3
Para que el volumen de un cilindro de radio "R" y altura "H" sea el triple del volumen de una esfera de radio "R", la altura del cilindro deberá ser: A.
R 3
B. 2R
C. 3R 3.
4.
D. 4R
Se tiene un tubo de longitud "I" y diámetro "d". Si se triplica "d" y "I", hallar la relación entre el área lateral del primer y segundo tubo respectivamente. A.
1 3
B.
1 6
C.
1 9
D.
2 9
Si las guras son una semiesfera y un cono recto. Hallar la relación de sus volúmenes.
R
B. 460 D. 590
B. 3a ; a ;
B
D
Tarea domiciliaria
B. 10 D. 40
Un paralelepípedo rectangular tiene por dimensiones 4m, 8 m y 16 m. Calcular las dimensiones, en metros, de un paralelepípedo semejante, cuyo volumen es a 3.
7
C
A. 115p C.
B. 400p m2 D. 900p m2
Un cuarto de forma rectangular, sin puertas ni ventanas, tiene por dimensiones 10, 13 y 5 metros de ancho, largo y alto. Se van a pintar las paredes por sus dos caras y el techo. El número total de metros cuadrados que se debe pintar es: A. 360 C. 490
23.
B. 100p m2 D. 240p m2
Una pieza de metal que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular pesa 5 kg. ¿Cuál será el peso de otra pieza similar del mismo metal y que tenga el doble de las dimensiones de la primera? A. 5 kg C. 20
22.
En la figura mostrada, halla el volumen del sólido que se genera al girar el área sombreada alrededor del eje XX', sabiendo que AB y CD son diámetros.
X A
B. 30° D. 45°
B. 10 3 14 D. 3
B. 400 m3 D. 600 m3
5
Hallar el área de una esfera circunscrita a un cilindro circular de 24 cm de altura y 9 cm de radio de la base. A. 600p m2 C. 800p m2
21.
25.
Las bases de un trapecio rectangular miden 12 m y 6 m y su altura 8 m. Hallar el área total del sólido que se genera cuando el trapecio gira 360° alrededor de su base mayor. A. 48p m2 C. 144p m2
20.
A. 350 m3 C. 450 m3
B. 8p m3 D. 16p m3
En un cono circular recto el diámetro de la base mide 24 m y la generatriz 18 m. U n punto "P" situado sobre la superficie está a 5 m del vértice. Hallar la distancia de "P" al eje del cono. A. 6
19.
En un prisma recto de base cuadrada y altura 10 m, la distancia de un vértice al punto medio de la cara opuesta mide 10 m. Determinar el volumen del prisma.
Un disco de 64 cm2 de área se corta por un diámetro en dos partes iguales y con una mitad se forma un cono circular recto uniendo los radios extremos. El ángulo que forman las generatrices del cono con la base es: A. 15° C. 60°
18.
24.
D. 1 cm
Un cilindro recto está en el interior de un cuarto con su base apoyada en el piso. Si sus proyecciones sobre el techo y una pared tienen superficies de 4 p m2 y 16p m2, respectivamente, calcular el volumen del cilindro. A. 4p m3 C. 12p m3
17.
B. 2 cm
A. 2 : 1 C. p : 2
R
B. 3 : 2 D. 4 : 3
Academia
TRILCE
G EOMETRÍA 5.
Calcular el volumen del sólido generado al girar un cuadrado de perímetro “P” sobre uno de sus lados. A. pP2 / 4 C. (pP/4)3
6.
9.
12.
13.
B. 4p R3/3 D. 5p R3/8
15. A. 3 3 / p C. 2 / 3 p 10.
B. 3 /p D. 3 3 / 2p
Se tiene un prisma recto de base cuadrada de lado “L” y altura “H”, con el que se quiere construir un cilindro de volumen máximo. Hallar el volumen desperdiciado. A. HL2 (1– p) C. HL2 (p / 4–1 )
Academia
TRILCE
B. 20 D. 24
Se tiene un cilindro cuyo radio de la base es 40 y la altura es 30. Se traza un plano paralelo al eje del cilindro a una distancia de 24 del eje. Halla el área de la sección que se obtiene con el plano. A. 640 C. 1 280
Un prisma hexagonal regular está inscrito en un cilindro. Hallar la relación entre sus volúmenes.
B. 50 m2 D. 65 m2
Las diagonales de las caras de un paralelepípedo rectangular miden 5 7 ; 5 13 y 10 3 . Halla la diagonal del sólido. A. 18 C. 22
14.
B. 3 m D. 6 2 m
Si el área lateral de un prisma cuadrangular regular es 40 m2 y la medida de la altura es 5 m, entonces su área total es: A. 48 m2 C. 60 m2
B. 338p D. 854p
Hallar el volumen de un cono equilátero inscrito en una esfera de radio R. A. 3p R3/8 C. 2p R3/3
A. 9 m C. 6 m
B. 18p D. 36p
Si la sección formada al intersecar un plano con una esfera tiene un área de 25 p y si el plano dista 12 del centro de la esfera, calcular el área total de la esfera. A. 169p C. 676p
8.
(P/4)2 3 p(P/4)
La base de un prisma recto de 6 m de altura es un rectángulo en donde uno de sus lados es el doble del otro. Si su área total es 144 m 2, halla la diagonal del sólido.
p
Si el volumen de una esfera es igual al doble de su supercie, calcular el área que se genera al intersecar la esfera con un plano distante 3 cm con el centro de la esfera. A. 9p C. 27p
7.
B. D.
11.
B. 960 D. 1 920
La altura de un cilindro recto mide 6 m y el área lateral es 36p m2. Halla su volumen. A. 54 m3 C. 36 m3
B. 54p m3 D. 36p m3
B. HL2 (p –1/4) D. HL2 (1– p/4)
155
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 31 Quinto Católica REPASO GENERAL 1 A. 55° C. 25°
Problemas para la clase 1.
Si el punto O es el punto medio de AB y el punto N ∈ OB. Calcular :
2.
3.
6.
AN - NB ON
A. 2
B.
1 2
C. 1
D.
3 2
A.
2-b B. 4
C.
a - 2b 4
D. b
En la figura mostrada L1 // L2. Hallar “x” sabiendo que: b = a + 20° m = a + 40° n = a + 60° a
m n
A. 20° C. 60°
B. 40° D. 80°
Hallar "x" de la figura sabiendo que: m ∠ BPS = 100° y BM = MA.
Se trazan los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tales que AOD es llano. Luego, se trazan las bisectrices OP y OQ de los ángulos AOB y COD. Si: m ∠ POQ = 100°, hallar la m ∠ BOC.
x 100 S
P
B. 30° D. 20°
A
En la figura AB es paralela a CD . Se cumple: A
R
B
M
4.
L2
x
7.
A. 25° C. 15°
L1 b
Se trazan los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Si: m ∠ AOB = m ∠ COD = b y m ∠ AOD = a; calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOD. a-b 2
B. 35° D. 45°
A. 80° C. 30°
B
a
8.
B. 60° D. 90°
Hallar PQ si: PQ // AC .
b
B
2 P
d
6
D
C
Q
A
I. b + d – a = 180° II. b + d + a = 180° III. b = d – a
12
A. 1 C. 3
A. Solo I C. Solo III
B. Solo II D. I y II
9.
B. 2 D. 4
En la figura mostrada, hallar "AM". B
5.
C
C
Si: m//n y además p//q, hallar el ángulo "x".
m
110º
p
4
q A
x n
TRILCE Católica
115º
A. 1,0 C. 1,5
M
D 8 B. 2,0 D. 2,5
157
Ciclo
10.
Católica ABCD es un trapecio trapecio isósceles cuyas bases tienen longitudes "a" y "b" respectivamente. Hallar EF.
B
a
11. 11.
A. 12p C. 25p
F 19. D
b
A.
2ab b-a
B.
C.
2ab a+2b
D.
2ab 2a+b 2ab a+b
20.
B. 24 D. 24 3
B. 20p D. 50p
Hallar el volumen de un prisma recto cuyas bases son trapecios isósceles de altura 9 m y diagonal 15 m, sabiendo que la altura del prisma mide 10 m. A. 1200 m3 C. 1024 m3
En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de diámetro AC = 8 3 . Si: AB = 12, hallar el área del triángulo. A. 16 C. 18
Un cono circular recto y un cilindro tienen los diámetros de sus bases y sus alturas iguales al diámetro de una esfera. Si la suma de los tres volúmenes es 100 p , hallar el volumen del cilindro.
C
E
A
18.
B. 1136 m3 D. 1080 m3
Se tiene un cilindro recto y una pirámide regular siendo las áreas de sus bases iguales. Si ambos sólidos tienen igual volumen y sus alturas son H y h respectivamente, hallar h H. A. 3
B. 1
C.
D. 3
p
12.
En un triángulo isósceles la distancia del baricentro a un extremo de la base es 5 m y la base mide 8 m. Hallar el área del triángulo. A. 18 C. 72
13.
B. 36 D. 48
El área de un triángulo ABC es 72 cm2, por su baricentro “G” se trazan paralelas a AB y BC, las cuales cuales intersecan intersecan a AC en AC en "E" y "F". Hallar el área del triángulo EGC. A. 4 cm2 C. 9 cm2
21.
Calcular el área total de un hexaedro regular inscrito en una esfera de 3 m de radio. A. 16 m2 C. 8 m2
22.
B. 8 cm2 D. 18 cm2
Dado un paralelogramo ABCD, sobre BC se BC se considera un punto “H”, tal que DH interseca a AC en “E”. Si las áreas de las regiones triangulares HEC y AED son 4 y 9. Calcular el área del paralelogramo. A. 27 C. 26
15.
A. 8p2 cm3 C. 16p2 cm3 16.
24.
B. 12p2 cm3 D. 24p2 cm3
B. 20p cm3 D. 30p cm3
El desarrollo de la superficie lateral de un prisma triangular regular es un cuadrado de área "A". Hallar el volumen del prisma. A.
A3/2 3 12
B.
C.
A3/2 3 9
D.
158
A3/2 3 18 A3/2 3 36
B. H 3
p
H 2
B. 3600p m3 D. 2700p m3
¿Cuál es el volumen de una esfera cuya superficie es igual al doble del área total de un cono circular recto de radio 8 y altura 15? A. 5324p 3 C. 1372p 3
25.
D.
H 4
p
Calcular el volumen de un cono recto de 36 m de altura, sabiendo que un punto de su generatriz dista del vértice y de la altura 13 m y 5 m respectivamente. A. 2500p m3 C. 2400p m3
Halla el volumen de la esfera inscrita en un cono de 6 cm de radio y 10 cm de generatriz. A. 18p cm3 C. 24p cm3
17.
B. 30 D. 36
El desarrollo del área lateral de un cilindro recto es un cuadrado de 16 p2 cm 2 de área. Halla el volumen del cilindro.
H 4
C. 23.
B. 18 3 m2 D. 24 m2
Se tiene tiene un cilindro recto lleno de agua agua inscrito inscrito en un prisma prisma de base cuadrada de altura “H”. Si se retira el cilindro y todo su contenido se vierte dentro del prisma, ¿hasta qué altura sube el agua? A.
14.
p
B. 972 p D. 4000p 3
En uno de los platillos de una balanza está colocada una esfera sólida de 20 cm de diámetro, hecha de un material que pesa "P" kg por cm 3. En el otro platillo hay un cilindro recto sólido, cuya base tiene un radio de 10 cm, hecho de un material que pesa "5p" por cm 3. Si la balanza está equilibrada, ¿cuál es la altura del cilindro? 1 A. 5 3 cm C. 2
2 cm 3
B. 2 cm D.
4 cm 3
Academia
TRILCE
EOMETRÍA G EOMETRÍA
A. 18° C. 24°
Tarea domiciliaria
1.
En la siguiente gura, calcular el valor de "x":
8.
2 cm x
B. 36° D. 48°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se traza las tangentes PT y PQ y en el arco arco menor TQ se ubica el punto "A" tal que m ∠ TAQ = 3m ∠ P. Hallar la m ∠ TPQ. A. 20º C. 36º
9.
B. 30º D. 45º
Hallar el área del triángulo BDC mostrado.
4,5 cm A. 5 cm C. 3 cm
B
B. 10 cm D. 6 cm
15º 10
2.
En el trapecio ABCD, “O” es centro de la circunferencia inscrita. Hallar "MN" si: AB = 8. B
M
135º A
C
A. 20 (1 + 2 ) C. 10 ( 3 – 2 )
O N
10. D
A A. 3 C. 5 3.
B. 4 D. 4
Los lados de un triángulo miden 10, 6 y 8. Calcular el área de la región triangular formada al unir el ortocentro, incentro y circuncentro de dicho triángulo. A. 1 C. 13
4.
En un triángulo ABC, se traza la altura BH tal que: m ∠ ABH = 2m ∠ HBC. Calcular el área del triángulo BHC, si: AH = 8 y HC = 3.
12.
B. 5 D. 9
En la gura, hallar "x", si: L1 // L2 . x 2a+10º
3 3
13. L1
B. 27 D. 54
3 3
Calcular el área de de un trapecio cuyas diagonales miden 13 y 15, siendo las medidas de sus bases 4 y 10. A. 84 C. 21
B. 1,5 D. 15
A. 4,5 C. 6 5.
11. 11.
B. 50 ( 3 – 2 ) D. 50 ( 3 – 1)
Calcular el área área de un hexágono hexágono regular cuyo cuyo lado mide mide tantos centímetros como lados tiene dicho polígono. A. 36 C. 39
2
C
D
B. 42 D. 63
El volumen volumen de una pirámide de base triangular es “V” y la altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcular el volumen de la porción central. A.
V 3
B.
10V 27
C.
7V 27
D.
V 2
Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular, en el cual el desarrollo de su supercie lateral es un cuadrado cuyo perímetro mide 48.
3a+20º A. 64 C. 72
L2
4a+20º
14. A. 30° C. 50° 6.
B. 40° D. 60°
15.
7.
B. 6 D. 2
En un triángulo ABC, obtuso en "A", cuyo ángulo interior "C" mide 36°, se trazan la bisectriz BD y la mediatriz de la bisectriz BD, BD, la cual corta a la prolongación de CA en "E". Halla la m ∠ EBA.
Academia
TRILCE
B. 36 D. 48
3 3
Calcular el área total de una pirámide cuadrangular regular, si su altura mide 3 y el área de la cara lateral es igual al de la base. A. 8 C. 9
Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos "M", "O", "A" y "B", dispuestos de manera que OA = 3, OB = 5. Hallar MO, sabiendo que: MA + 4OA – 2MB = 3. A. 3 C. 4
3 3
B. 6 D. 4
Calcular el volumen volumen de una pirámide pirámide regular, regular, si si el apotema mide 15 m y la base es un triángulo equilátero cuyo lado mide 18 3 m. A. 720 3 m3 C. 715 m3
B. 972 3 m3 D. 614 m3
159
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 32 Quinto Católica REPASO GENERAL 2 6.
Problemas para la clase 1.
En el trapecio isósceles ABCD, hallar el área del triángulo CEF, si: CE = 1 + 3 , AD = BC y DC = CE.
¿Cuántas veces es más grande el área de la gura de la derecha que el de la izquierda?
x+8
E A 105º
x + 4 2 D
12x+24 2x+4 A. B. C. D. E. 2.
3.
7.
Se tiene un tetraedro regular. Hallar su área total, si la altura de una de sus caras mide 3 3 . B. 12 3 D. 6 3
30º
C
E. 48
B. 1 + D.
B. 20 2 D. 40 3
E. 50
3
E. 2 +
3 2
3 O1
2
A. al área de uno de los círculos. B. a menos de la mitad del área de un círculo. p
C. a 2 del área de un círculo. D. a la mitad del área de un círculo. 8.
E
O2 O3
En la siguiente gura, halla el área de la región sombreada, si: RS = ST = TU = 3 , siendo "O" el centro de la semicircunferencia. A
3
En la gura, se muestran tres círculos gracados por un curioso profesor de Aritmética, al observar este gráco el profesor de Geometría desea saber que porcentaje de área sombreada está gracada con respecto a uno de los círculos, si ellos son congruentes de centros O1, O 2 y O3. (Asuma que el profesor de Aritmética graca casi perfecto como el profesor de Geometría)
Halla el área de un trapecio rectangular cuyas bases miden 8 y 12, sabiendo que el segmento que une los puntos medios de las bases mide 6. A. 10 2 C. 30 3
4.
F
A. 2 + 3 1 C. (1 + 3 ) 2
Son iguales Es 1 vez más grande Es 2 veces más grande Es 3 veces más grande Es 4 veces más grande
A. 36 3 C. 24 3
B
Un cuadrado y un rectángulo tienen igual perímetro. Si el área del cuadrado es igual a 16 cm2, entonces el área del rectángulo, cuyos lados están en la razón 1 : 3 será:
B
R
S
O
T
A. 12 cm2 C. 16 cm2
U 9.
5.
A.
2
B. 3 2 / 4
C.
2 /2
D. 9 2 / 4 E. N.A.
Se tiene dos circunferencias tangentes interiores. Si el centro de la circunferencia mayor pertenece a la circunferencia menor, entonces la relación entre el área del círculo menor y el área del círculo mayor es: A. 1 : 2 C. 1 : 4
TRILCE Católica
B. 14 cm2 D. 25 cm2
E. 26 cm2
En la gura, las 4 circunferencias son congruentes y tangentes entre sí y el perímetro e la gura sombreada es igual a 2p , entonces ¿qué fracción es el perímetro del cuadrado OPQR del perímetro de la gura formada por los 4 círculos, si p = 3?
R
Q
O
P
B. 4 : 1 D. 1 : 3
161
Ciclo
10.
Católica A.
1 2
B.
1 4
C.
4 9
D.
2 9
15.
En el triángulo equilátero mostrado, hallar el área sombreada, si "T" es punto de tangencia.
A. 1,8 m C. 1,6 m 16.
R
T
6
11.
9 ( 2
C.
9 p ( 3 - ) 2 4
3 -
p
2
)
B. 9 ( 3 D.
9 ( p 2
B. 1,7 m D. 1,5 m
Calcular la altura de un trapecio si la distancia entre los puntos medios de sus diagonales es de 6 cm y 2 de sus ángulos consecutivos miden 75° y 30°. A. 4 cm C. 6 cm
17.
A.
Dos postes miden 2 m y 8 m de altura; están separados 10 m. La longitud de la altura del punto de intersección de las rectas que unen el extremo de cada poste con la base del poste opuesto es de:
p
2
)
En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz interior del ángulo A y la bisectriz exterior del ángulo C, formando al cortarse un ángulo igual a 20°. Hallar el ángulo AIC siendo I el incentro del triángulo ABC. A. 115° C. 100°
3)
En la circunferencia se inscribe un rectángulo cuyo largo es el doble del ancho y el área es 32. Calcular la longitud de la circunferencia.
B. 5 cm D. 7 cm
18.
B. 125° D. 110°
En un paralelogramo ABCD se traza la bisectriz del ángulo “C” que corta a AD en "E" y a la prolongación de BA en "F". Si: ED = 6 y BF=10. Hallar el perímetro de dicho paralelogramo. A. 40 C. 30
19.
A. 2p 5 C. 4p 5 12.
B. 3p 5 D. 4p 3
En la gura se muestra una escuadra con medidas de fábrica , si Eduardo es un Niño muy curioso y desea calcular algunas medidas cuanto será “ x + y”?.
6
x
1,5
20.
B. 36 D. 20
En un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 13 m, la bisectriz del ángulo agudo mayor divide al cateto opuesto en dos segmentos cuya suma de longitudes es 12 m. ¿En cuánto dieren las longitudes de estos segmentos? A. 1 m
B. 5 m
C. 1,5 m
D.
16 3
En la gura, las áreas de las regiones triangulares DBE y FEC son 32m 2 y 18m2 respectivamente. Hallar el área del romboide ADEF.
8
B
y 10 A. 5 C. 4
B. 4,5 D. 3,5 A
13.
En un hexágono equiángulo ABCDEF se cumple que AB=6, BC=8, CD=4 y DE=10. Calcular la longitud de CF. A. 10 C. 13
14.
B. 12 D. 14
El número de diagonales de un polígono regular es cinco veces su semiperímetro, si la longitud del lado de dicho polígono es 3 m, entonces el ángulo interior del polígono es: A. 20° C. 120°
162
E
D
A. 48 m2 C. 40 m2 21.
C
F B. 50 m2 D. 52 m2
Dado un paralelogramo ABCD, se traza AE ("E" en CD), BE y AC se interceptan en "F". Hallar el área de la región triangular ABF, si las áreas de los triángulos FCE y ADE son 3m2 y 4m2. A. 7 m2 C. 12 m2
B. 9 m2 D. 1 m2
B. 60° D. 160°
Academia
TRILCE
G EOMETRÍA 22.
En la gura PC = 2(PD), BC = 10 m y AD = 13 m. Calcula PQ. B
3.
En un cilindro circular recto de 6 cm de radio, que contiene agua, se introduce una esfera de plomo de 3 cm de radio. ¿En cuánto sube el nivel del agua en el cilindro?
C
A. 0,5 cm C. 1 cm P
Q
D
A
A. 9 m C. 12 m 23.
En el trapecio ABCD (AD es base mayor), si "O" es punto de intersección de las diagonales, las bases están en la relación de 3 a 1 y la diferencia de las áreas de las regiones triangulares AOD y BOC es 26cm2, hallar el área que encierra el trapecio. B. 48 cm2 D. 52 cm2
25.
5.
6.
B. 288p m3 D. 360p m3
E. 388p m3
En la figura, ABCD es un rectángulo, AB = 12cm, BC = 18 cm, "M" es punto medio de BC y "N" es punto medio de CD. Calcular el área de la región sombreada. B
M
C
N
C. 2
2
A. 27 m C. 30 m2
B. 20 m D. 25 m2
9.
Tarea domiciliaria
1.
A. 4 m C. 2,25 m 2.
B. 6 m D. 1,5 m
En una esfera se inscribe un cilindro recto. Si el radio de su base mide 7 y su área lateral es 672 p, calcula el área de la esfera. A. 2 500 p C. 2 000 2
Academia
p
TRILCE
25 3 m 3 20 3 m 3
B. 2 000 D. 2 500
3 3
10.
B. 9 m D. 12 m
El área de un cierto polígono regular de lado 1 m es S. Calcula el área de otro polígono regular del mismo número de lados, si la longitud de su lado es 3 m. A. 9 S C. 12 S
La supercie total de un cono es 6 p m2 y su altura mide 2 m. Calcula el radio de la base.
B. 2 2 m2 2 / 2 m2 D.
En un cuadrado ABCD, se toma "E" en AD y "F" en la prolongación de DC. Si EB es perpendicular a FB, el área del cuadrado es 256 m2 y el área EFB es 200 m2. Calcula CF, si: BE = BF. A.
D
A
B. 288 p m3 D. 360 p m3
Calcula el área del cuadrado inscrito en un círculo, que a su vez se halla inscrito en un segundo cuadrado de 4 m2 de área. 2 m2 A. C. 2 m2
8.
B. 6 p m3 D. 36 p m3
Un barquillo tiene la forma de un cono de 12 cm de altura y 6 cm de radio. Se llena el barquillo de helado de modo que la porción de helado exterior al barquillo sea una semiesfera. Halla el volumen del helado. A. 144 p m3 C. 180 p m3
7.
B. 192 p D. 84 p
Un cilindro circular recto se encuentra parado sobre su base en el interior de un cuarto. Si su proyección sobre el techo tiene un área de 4 p m2 y sobre una de las paredes laterales, 36 m2, ¿cuál es su volumen? A. 18 p m3 C. 9 p m3
Un barquillo tiene la forma de un cono de 12 cm de altura y 6 cm de radio. Se llena el barquillo de helado de modo que la porción de helado exterior al barquillo sea una semiesfera. Halla el volumen del helado. A. 144p m3 C. 180p m3
Determina el área total de un cilindro circunscrito a un prisma hexagonal regular donde el lado de la base mide 6 y la altura mide 8. A. 96 p C. 168 p
B. 10 m D. 10,5 m
A. 36 cm2 C. 50 cm2 24.
4.
B. 2 cm D. 3 cm
B. 3 S D. 6 S
Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad de su altura. Se suelta un pedazo metálico y el nivel de agua sube 3,5 m. Calcula el volumen del pedazo, si el diámetro del cilindro es 8 m. A. 56 p m3 C. 28 p m3
B. 54 p m3 D. 84 p m3
p p
163
Ciclo
11.
Católica Se tiene un triángulo equilátero de lado “L”. Determina el volumen del sólido generado al girar dicho triángulo alrededor de uno de sus lados.
A. C.
12.
L3 2
p
L3 3 4
p
B. D.
2pL3 3
B. 180 cm2 D. 99 cm2
Determina el área del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia circunscrita a un hexágono regular de lado igual a 6 3 . A. 162 3 C. 81 3
L3 4
p
En un trapecio isósceles ABCD ( AD es la base mayor y AB = CD), las diagonales son perpendiculares a los lados no paralelos. Halla el área del trapecio, si: AB = 15 cm y AD = 25 cm. A. 132 cm2 C. 192 cm2
13.
14.
Hallar el área lateral de un cono equilátero si el área de la base es p. A. p C. 3 p
15.
B. 2 p D. p 3 / 3
El volumen de un cilindro de revolución es "V". Calcular el volumen de otro cilindro de radio el doble que el del anterior y la altura la mitad que la de aquél. A) V
B) 2V
V 2
D) 4V
C)
164
B. 181 3 D. 27 3
Academia
TRILCE
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 33 Quinto Católica
GEOMETRÍA ANALÍTICA 2 Problemas para la clase
10.
1.
La recta L : 3nx + 5y + n = 2 pasa por el punto (-1;4). Calcule "n".
2.
En el plano cartesiano se tiene una recta de ecuación: L: 4x+3y+c=0. Calcule la ecuación de la recta perpendicular a L y que pasa por el origen de coordenadas.
3.
Calcule la distancia del punto P(-2; -3) a la recta: L : 4x - 3y + 4 = 0
4.
Calcule la pendiente de la recta mediatriz del segmento AB. Si: A(2;3) y B(4;11).
5.
Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(2;3) y su pendiente vale 5.
6.
Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2;3) y R(5;9).
7.
Calcule la pendiente de la recta que pasa por "T" y "B". Si: OB=15u y BC=20 u. ("T" es punto de tangencia).
En el gráco, determine la ecuación de L .
y
L
2 x
11.
Según el gráco "M" y" "N son puntos medios del cuadrante y la semicircunferencia respectivamente; calcule la pendiente de MN .
y M
y
N
2
2
B
O
O
x
C
T
12.
x
Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente en - 4 y pasa por la intersección de las rectas: L1: 2x + y + 8 = 0 L2: 3x - 2y + 9 = 0
8.
Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2;3) y forma con la recta L:2x+y-1=0 un ángulo que mide 45º.
9.
En el gráco, el área de la región sombreada es 4u2. Determine la ecuación de L .
y L
13.
Calcule la ecuación de una recta L que pasa por el punto R(4;-3) y es paralela a una recta L 1: y = 3x+5.
14.
Calcule "k", de modo que la recta: L:12kx-9y+129=0 intersecta al segmento de extremos A(2;3) y B(11;6) en la razón 2 es a 7.
15.
Determinar la ecuación de la recta que contiene al baricentro de una región triangular de vértices (6;0), (a;b), (-a;6-b) y además al punto (0;0).
16.
Los vértices de un paralelogramo ABCD son: A(-1;4), B(1;-1) y C(6;1). Si la ordenada del vértice D es 6. ¿Cuál es la abscisa?
17.
Calcule la distancia de punto A(-4;3) a la recta L:y=2x+5.
(8;2) O
TRILCE Católica
x
165
Ciclo
Católica
18.
Calcule el área de la región del triángulo ABC. A(3;4), B(9;2), C(-3;-3)
19.
Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos. A(4;2) y B(-5;7).
20.
Calcule el área de la región del triángulo rectángulo limitado por los ejes coordenados y la recta de la ecuación: L:3x+2y-12=0
8.
A. 4x - 6y - 7 = 0 C. 3x - 6y - 9 = 0
9.
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2 (1;2) y tiene pendiente - . 3 A. 2x + 3y - 8 = 0 C. 3x + 2y - 8 = 0
2.
3.
Señale la ecuación de la recta que pase por los puntos P(1;5) y Q(-3;2). A. 3x - 2y + 7 = 0 C. 2x - 3y + 13 = 0
4.
A. - 3 C. 3
12.
Los vértices de un triángulo son los puntos A(-7;-2), B(1;4) y C(5;-1). Hallar la ecuación de la recta que contiene a la mediana relativa al lado AB. A. 4y + 5x - 2 = 0 C. 4x + y - 1 = 0
13.
B. 3 y 5 D. 4 y 7
B. 2y + x - 17 = 0 D. 2y - x - 17 = 0
B. 4y - 3x + 1 = 0 D. 4y + x - 1 = 0
B. 2y + 6x - 9 = 0 D. 6y + 9x - 2 = 0
Determina r cuál de los puntos M1(2 ; 1), M 2(2 ; 3), M3(8 ; 3), M 4(-3 ; -3), M 5(3 ; -1) están situados en la recta: 2x - 3y - 3 = 0. A. M1 C. M2
15.
B. 1 D. - 1
Calcular la ecuación de la recta perpendicular al segmento AB, que divide a dicho segmento en la relación de 1:3 siendo A=(-2;3), B(7;6). A. 6y + 2x - 9 = 0 C. 6y + 3x - 2 = 0
14.
La ecuación de la recta "L" es x+2y+3=0 y las coordenadas de un punto "P" es (5;6). Hallar la ecuación de la recta que pasa por "P" y es paralela a "L". A. 2y - x + 17 = 0 C. 2y + x + 17 = 0
7.
Calcular "a" y "b" si las rectas L1 y L2 pasan por el punto (2;-3):
A. 7 y 2 C. 5 y 4
6.
Una recta tiene un ángulo de inclinación de 135º y pasa por el punto (1;1), si el punto B(3;k) pertenece a dicha recta, el valor de k es:
B. 28u2 D. 31u2
L1: ax + (2 - b)y - 23 = 0 L2: (a - 1)x + by + 15 = 0
B. 18u2 D. 24u2
11.
B. 2x + 3y - 17 = 0 D. 3x - 4y + 17 = 0
El área de la región triangular determinada por la recta L : y-2x+10=0 y los ejes coordenados es: A. 25u2 C. 30u2
5.
B. 3x + 4y - 17 = 0 D. 4x + 3y - 18 = 0
B. 3x - 2y - 4 = 0 D. 2x - 3y + 6 = 0
Calcular el área del triángulo que se determina con los ejes cartesianos y la recta L:3x-y+6=0. A. 12u2 C. 6u2
B. x + 2y + 18 = 0 D. 2x + y - 9 = 0
Señale la ecuación de la recta que pasa por P(3;2) y cuyo ángulo de inclinación sea 37º. A. 3x - 4y - 1 = 0 C. 4x - 3y - 6 = 0
10.
B. 5x - 8y - 15 = 0 D. 5x + 2y - 20 = 0
Se da la recta: 2x + 3y + 4 = 0. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(2;1) y es perpendicular a la recta dada. A. 4x + y - 9 = 0 C. 3x - 2y + 5 = 0
Tarea domiciliaria
1.
Calcular la ecuación de la recta que pasa por (2;5) y es perpendicular a la recta 2x - 5y + 1 = 0
B. M4 D. M5
Hallar la ecuación de la recta "L" que pasa por el punto (4;-3) y es paralela a una recta cuya ecuación es: y=3x+5 A. y = 3x+5 C. y = 3x-15
B. y = 2x+34 D. y = 2x+4
Dada la recta L:x+2y-6=0, ¿cuál es la longitud del segmento que determina dicha recta entre los ejes cartesianos? A. 6 C. 8
166
B. 3 5 D. 10
Academia
TRILCE
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 34 Quinto Católica
PLANO CARTESIANO Y LÍNEA RECTA Problemas para la clase 1.
Hallar la pendiente de una recta: L1 , si L1 // L2 y la 3 pendiente de L1 es 2
2.
Hallar la pendiente de AB, si AB es perpendicular a CD 3 y la pendiente de CD vale – . 4
3.
Hallar el valor del ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (6; – 4) y (0; 4).
4.
Gracar las rectas: L1: 2x+y – 8=0 L2: x – 2y+1=0 Indicar el punto de intersección.
5.
Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(4; –3) y B(–1; 9). Graque correctamente.
6.
Hallar la ecuación de la recta mediatriz del segmento AB; siendo: A(5; –3) y B(2; 6).
7.
Gracar las rectas: L1: x – y +4=0 L2: 2x – 3y – 17=0 L3: 4x+y – 4=0 Indicar las coordenadas de los puntos de intersección entre ellas.
8.
Las siguientes rectas son perpendiculares entre sí: L1: 3x+2y – 6=0 L2: 2x – by – 8=0 Hallar el valor de "b".
9.
Ubicar los puntos A(4; –3); B(7; 4) y C(1; 8) en el plano cartesiano y encontrar la ecuación de la recta que con tiene a la mediana BM del triángulo ABC.
10.
Ubicar los puntos A(3; 2); B(–4; 2); C(–2; –3) y D(0; –2) en el plano cartesiano y luego encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas que contienen a AC y a BD.
11.
Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –2 y pasa por la intersección de las rectas: L1: 3x – 2y – 9=0 L2: 2x+y+8=0
12.
Calcular el valor del área de la región triangular formada x y por los ejes coordenados y la recta: + =1. 5 3
13.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(4; 3) y es paralela al segmento BC, siendo B(–2; –1) y C(2; –3).
TRILCE Católica
14.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a la recta: L: 4x – 3y+6=0
15.
Durante el verano, un grupo de estudiantes construye kayaks en un garaje adaptado. El costo del alquiler del garaje es de 600 dólares por el verano. El material necesario para construir un kayak vale 25 dólares. Expresar el costo total del grupo en función del número de kayaks construidos y realizar el gráco.
16.
Un fabricante puede vender un cierto producto por S/. 110 la unidad. El costo total está conformado por unos gastos generales de S/. 7 500 más los costos de producción de S/. 60 por unidad. ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para llegar al punto de benecio nulo?
17.
Hallar el valor del área de la región triangular cuyos vér tices son los puntos de intersección de las siguientes rectas: L1: 4x – y – 4=0 L2: x – y+4=0 L3: 2x – 3y – 17=0
18.
Hallar el área de la región triangular que determinan, con el eje "x", las rectas: L1: x – y+8=0 L2: x+y – 12=0 Gracar correctamente.
19.
Gracar en el plano cartesiano la recta: L1: 4x – y – 16=0 Encontrar la ecuación de una recta L2 que intersecta perpendicularmente a L1 en un punto del eje "x".
20.
Gracar en el plano cartesiano una recta L que intersecte a los ejes positivos "x" e "y". Si L pasa por el punto (8; –6) y el área de la región triangular que forma L con los ejes es de 12 u2, hallar la ecuación de la recta L .
21.
Gracar en el plano cartesiano las rectas perpendiculares L1 y L2 que se intersectan en el punto E(4; 5) y que formen con el eje "y" una región triangular de 16 u 2 de área. Hallar "m1 – m2", siendo "m1" y "m2" las pendientes de L1 y L2 , respectivamente. (m 1 > 0).
Tarea domiciliaria 1.
Si la pendiente de una recta que pasa por los puntos 5 A(0; 5) y B(b; 0) es , hallar el valor de "b". 4
2.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–3; 2) y B(2; 4).
167
Ciclo
Católica
3.
Encontrar la ecuación de la recta mediatriz del segmento AB, sabiendo que: A(4; 6) y B (– 2; – 4).
9.
Gracar las rectas: L1: 4x – 3y – 6=0 sss L2: x+y – 5=0 Indicar el punto de intersección entre ellas.
4.
Si los puntos A(1; 4), B(4; 2), C(–2; –4) y D(2; b) son los vértices de un trapecio cuyas bases son AB y CD, hallar el valor de "b".
10.
Una recta intersecta al eje de abscisas en el punto (–5; 0) y al eje de ordenadas, en el punto (0; 7). Hallar la pendiente de la recta.
5.
Si los puntos A(1; 1), B(3; 6) y C(6; b) son los vértices de un triángulo rectángulo cuyo vértice "B" es recto, hallar el valor de "b".
11.
La recta L1 pasa por (2; 3) y (5; 8) y la recta L2 pasa por los puntos (1; –1) y (a; 6). Hallar el valor de "a", si: L1 // L2 .
6.
Dada la recta L: 3x – 4y+10=0; hallar la ecuación de la recta perpendicular a L que pase por el punto A(0; 1).
12.
Sean P(2; 5), Q (8; –1) y R(–2; 1) los vértices de un triángulo. Hallar el área de dicha región triangular.
7.
Sea la recta L :
x y – =1. Encontrar el área de la región 4 3 triangular que forma la recta L con los ejes "x" e "y".
13.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (–3; –4) y tiene un ángulo de inclinación que mide 60º.
14.
Hallar la distancia del punto P(–5; –7) a la recta cuya pendiente es 4 e intersecta al eje "y" en (0; –3).
15.
Hallar el área de la región triangular que forma la recta L: 5x – 12y+20=0 con los ejes coordenados.
8.
En el plano cartesiano, gracar las rectas: x=3 e y=– 2. Hallar el área de la región rectangular que forman las rectas con los ejes cartesianos.
168
Academia
TRILCE
CLAVES Tarea Nº 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D D C C D D D D
11 12 13 14 15
D D C D D
Tarea Nº 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C B C C C D C B
11 12 13 14 15
C D B B C
Tarea Nº 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D B B A B D B B C
11 12 13 14 15
B C C C C
Tarea Nº 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C B A C D D B D D
11 12 13 14 15
D C D D B
Tarea Nº 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D A B D B D C A D
11 12 13 14 15
D A C A A
Tarea Nº 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D A D A B B B C D
11 12 13 14 15
B C B D A
Tarea Nº 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A C C D C C B B D
11 12 13 14 15
D D C A A
Tarea Nº 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C D A B C B D D B
11 12 13 14 15
A A B C A
DE
GEOMETRÍA Tarea Nº 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C C D D B C C C A
11 12 13 14 15
B B C D D
Tarea Nº 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A C D A B C D C C
11 12 13 14 15
A B C A B
Tarea Nº 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D C A B B B B C C
11 12 13 14 15
A A C B D
Tarea Nº 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D A B A D D D D C
11 12 13 14 15
D D C D C
Tarea Nº 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A B B B A C C B A
11 12 13 14 15
C B C C C
Tarea Nº 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D B A B B B B C D
11 12 13 14 15
D C B B D
Tarea Nº 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C D D C D C D C D
11 12 13 14 15
C B B B D
Tarea Nº 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D D A D C C B C A
11 12 13 14 15
A D C B B
