"d" es la distancia del punto "P" hacia el segmento AB TRILCE Católica
Ángulo Agudo: 0º < < 90º
B
d
Ángulo Recto: = 90º
5
Ciclo
Católica Ángulo Obtuso: 90º < < 180º
Ángulos Consecutivos:
*
. ..
* Ángulo no Convexo: 180º < < 360º
.
*
Ángulos Adyacentes:
* Ángulo Llano: = 180º
PROPIEDADES DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS (L 1 // L2) * Ángulos alternos internos:
•
Según su suma:
* Ángulos Complementarios:
L1
=
L2
+ = 90°
* Ángulos correspondientes:
Nota: El Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para ser 90º.
C 90º
+=
180º
* Propiedades adicionales (L 1 // L 2) a)
L1
x = +
x
Nota: El Suplemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para ser 180º.
=
L2
* Ángulos suplementarios
L1
S 180 º
L2
Según la posición de sus lados:
*
b)
Ángulos opuestos por el vértice:
w
L1 + w = 180º
6
=
L2
TRILCE Católica
G EOMETRÍA
c)
L1
aº
25
24
41
40
21
29
bº
9
7
cº
20
L2
+ + = aº + bº + cº
37
35
10
8
20
25
d) L1
w
12
6
Triángulos rectángulos notables
15
L2
1.
De 30° y 60°
+ + + w = 180º
30° Triángulos rectángulos notables
A
C
BC = a
Hipotenusa:
c
b
*
AC = b
Catetos:
B
a
2a
a 3
2.
De 45º
AB = c *
+ = 90°
45°
Teorema de Pitágoras: 2
60°
a
2
a +b =c
2
a 2
a
Algunos triángulos rectángulos cuyos lados son valores enteros:
a
45°
* 45°
5
4
13
12
15
17
2a
a 2
45° 3
TRILCE Católica
5
8
a 2
7
Ciclo
Católica 3.
De 37° y 53°
4.
Si: L1 // L2 , calcular “x” L1
4a
3a
L2
120°
53°
37° 5a
x
Del triángulo rectángulo notable anterior se puede deducir:
A. 10° C. 30°
* a 5
a
5.
B. 20° D. 25°
Calcular "AB + CD", si: AM = MD = 12
C
53°/2
2a *
B
a 10
a
53°
3a
Solo para triángulo rectángulo de 75° y 15°. 6.
B
B. 28 D. 35
En la figura mostrada, calcular “x”.
15°
H
10
C
37°
Problemas para la clase x 1.
Se tienen los puntos colineales “A”, “B”, “C” y “D” de tal manera que: AB = 3BC y AD + 3CD = 12, hallar “BD”. A. 1,5 C. 4
2.
B. 3 D. 6
Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” de tal manera que: AC + 2DC + BD = 40 y AB = DC, calcular “AD”. A. 10 C. 18
3.
7.
B. 8
C. 4 2
D. 3 2
En la figura se presenta el triángulo equilátero ABC. Si: PB = 4 m y AC = 16 m ; calcular:
PQ PR
B
B. 15 D. 20
Q P
A
130°
A.
8
45°
A. 4
Calcular: " - "
A. 100° C. 110°
D
h = AC 4
h A
M
A. 24 C. 30
* Propiedad:
75°
53°
A
37°/2
B. 90° D. 80°
C.
1 3 1 4
C
R
B.
D.
3 2 1 5
TRILCE Católica
G EOMETRÍA 8.
En la figura, calcular AB, si: PC = 16 m
13. Calcular “x”, si: L1 // L2 y L3 // L4 y =
B 7º
37º
30º
A
C
P
9.
2
4
L1
x
L3
L4
A. 12 m C. 8
B. 18 D. 6
L2
En la figura: AP = 4 2 m ; PC = 6 m , calcular "BP" A. 45° C. 67,5°
A 135º
B. 60° D. 80°
14. En la figura, AC=2(BC); calcular: m GDH .
P
A 180º- 30º
B
C
G
E
D A. 5 m C. 7
B. 6 D. 9
H
10. La figura muestra tres cuadrados consecutivos; calcular la medida del ángulo "x".
Q
B
R
C
x A
11.
S
P
A. 100º C. 135º
D
A. 20º C. 35
12
B
C
3 0 °
B. 5 D. 15
12. Calcular “x”, si: a + b = 50° y L1 // L2
L1
B. 30º D. 45º
15. En la figura, calcular la distancia desde “D” hasta BP .
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S”, tal que: QR = RS y (PS)2 - (PQ)2 = 20(QS), calcular “PR”.
120°
C
B
B. 120º D. 145º
A. 4 C. 10
F
10
A
D
P
A. 6 3
B. 6 3 - 5
C. 6 2 - 4
D. 4 3
16. En el gráfico: L1 // L2 y AB//CD , calcular “x”.
x 80°
x
b C
L2 A. 40° C. 70°
a
D
L1
154° B. 50° D. 60°
B 148° A
TRILCE Católica
L2
9
Ciclo
Católica A. 120° C. 124°
B. 122° D. 125°
3.
17. Si: BP = 10 m , calcular "QH" .
A. 8 cm C. 18
B 30º 30º
4.
P H
45º
A
Q
A. 4 m C. 6
Los puntos consecutivos "A", "M", "B" y "C" pertenecen a la misma recta. "M" es el punto medio de AC . Hallar MB, si: AB - BC = 32 cm.
C
B. 5 D. 7
B. 32 D. 16
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D" y "E", siendo "C" punto medio de AE ; además, AB = CD. Calcular la longitud de BD , si : AE = 18 m. A. 6 m C. 8
5.
B. 7 D. 9
En la figura, L1 // L2 . Calcular "x" .
18. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, luego se trazan las bisectrices OM , ON y OZ de los ángulos AOB, COD y MON respectivamente. Si: mMOC+ mMOD - 4mBOZ = 80°, calcular: mAOB. A. 20° C. 40°
50º x
B. 30° D. 60°
L2
A. 100º C. 110º
19. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “C” tal que: AB > BC , luego los puntos medios “M”, “N” y “P” de AB , BC y MN respectivamente. Si: BP = K, calcular: AB - BC. A. 2K C. 4K 20.
L1
30º
6.
B. 105º D. 115º
En la figura L1 // L2 , calcular : L1
B. 3K D. 5K
Hallar "AP"; si MN = 5 m y QC = 2 m
L2
A
P
A. 340º C. 360º
M N
B A. 3 m C. 5
7. Q
Calcular:
C
B. 320º D. 350º AB BC B
B. 4 D. 6
2 C
Tarea domiciliaria
1.
"P", "Q" y "R" son tres puntos consecutivos de una recta, PQ = 2(QR) + 1 y PR = 31 m. Hallar "QR" . A. 9 m C. 11
2.
B. 10 D. 12
A
D
A. 3 C. 5 8.
B. 2 D. 4
En la figura, calcular "x" .
Sobre una recta se tiene los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D" tal que: AD = 24 m, AC = 16 m y Hallar "BC ". A. 3 m C. 6
10
AB AD . BC CD
x
5 60º
B. 4 D. 3,6
4 5
TRILCE Católica
G EOMETRÍA A. 21º C. 23º
13. Hallar el perímetro de la figura ABCDE .
B. 22º D. 7º
B
9.
Calcular "BH", si: AH = 20 cm. A
a
C
C a
H
a E
23º 37º B
A
A. 16 cm C. 18
B. 12 D. 24
a
D
A. 4 3 a
B. 4a
C. 6a
D. 6 2 a
14. Hallar el perímetro del cuadrilátero ABCD.
10. Calcular "x", si: AM = MC
D
B A 105º n 45º 45º A
A. 30º C. 53º 11.
x
37º/2 M
B
B. 37º D. 45º
A. 4 n
B. (4+ 2 )n
C. (4+ 2 + 3 )n
D. (2+2 2 + 6 )n
En una recta se tienen los puntos consecutivos "A", 5 AB "B" y "C", siendo: AC AB (BC) . Hallar . 3 BC
A. 3
C. 2 12.
C
C
B.
D.
1 6 1 3
En una recta se tiene los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", cumpliendo la relación: 4(AB) - (BD) - 2(CD) = 4 m ; hallar "AD", si: AB = 3 m y AC = 5 m A. 5 m C. 8
TRILCE Católica
AB AE
15. De la figura, calcular:
2 A. 3
B
C
2 B. 3 4 C.
2 4
D.
4 2 3
D 45º A
30º 30º
E
B. 6 D. 7
11
Colegios
GEOMETRÍA
TRILCE
Semana 2 Quinto Católica
TRIÁNGULOS I - PROPIEDADES FUNDAMENTALES II. Según sus lados B
1. Triángulo Escaleno
a
c
b
A
b
a
C
abc
c
Elementos: 2. Triángulo Isósceles
A, B, C ................. Vértices AB, BC, AC ......... Lados , , .................. Ángulos Internos , , .................. Ángulos Externos a + b + c = 2p ..... Perímetro
Clasificación de los Triángulos I.
Base
Según sus ángulos
Base
3. Triángulo Equilátero
1. Triángulos Oblicuángulos a) Triángulo Acutángulo