Índice Semana 1 Leyes de exponentes.............................................................................................. 5 Semana 2 Operaciones con polinomios................................................................................. 9 Semana 3 Multiplicación de polinomios................................................................................. 15 Semana 4 Operaciones con polinomios – división de polinomios.......................................... 19 Semana 5 Factorización de polinomios.................................................................................. 25 Semana 6 Expresiones algebraicas racionales......................................................................... 31 Semana 7 Radicación............................................................................................................. 35 Semana 8 Teoría de ecuaciones: ecuaciones de primer grado................................................ 41 Semana 9 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita................................................... 45 Semana 10 Sistema de ecuaciones........................................................................................... 51 Semana 11 Planteamiento de ecuaciones I............................................................................... 59 Semana 12 Planteamiento de ecuaciones II............................................................................. 65 Semana 13 Teoría de ecuaciones: planteamiento de ecuaciones III......................................... 69 Semana 14 Desigualdades e inecuaciones................................................................................ 75 Semana 15 Inecuaciones de segundo grado............................................................................. 81 Semana 16 Funciones I............................................................................................................. 87 Semana 17 Funciones II........................................................................................................... 93
ÁLGEBRA Semana 18 Funciones III.......................................................................................................... 103 Semana 19 Leyes de exponentes – polinomios – grados – polinomios especiales.................... 109 Semana 20 Operaciones con polinomios II.............................................................................. 113 Semana 21 Factorización – expresiones algebraicas racionales............................................... 117 Semana 22 Repaso de ecuaciones de segundo grado............................................................... 121 Semana 23 Planteo de ecuaciones I......................................................................................... 123 Semana 24 Sistema de ecuaciones lineales y no lineales y planteamiento de ecuaciones II..... 127 Semana 25 Desigualdad e inecuaciones................................................................................... 131 Semana 26 Funciones I: notación funcional............................................................................. 137 Semana 27 Funciones II: dominio y rango de una función....................................................... 143 Semana 29 Funciones III: función lineal y cuadrática.............................................................. 149 Semana 29 Funciones IV: biyectiva.......................................................................................... 155 Semana 30 Repaso I................................................................................................................. 159 Semana 31 Repaso II................................................................................................................ 163 Semana 32 Repaso III............................................................................................................... 169 Semana 33 Repaso IV............................................................................................................... 175 Semana 34 Repaso general....................................................................................................... 181
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 1
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
LEYES DE EXPONENTES Leyes de exponentes Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación.
4.
Potencia de una multiplicación. (ab)n = anbn
5.
Potencia de una división.
Potenciación
a n an = n ;b≠0 b b
Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otras expresiones llamadas base y exponente.
Nota: * Si "b" es un número real y "m", "n", "p" son enteros, entonces:
Notación:
bm
a: Base n: Exponente P: Potencia
an = P
a ; Si: n = 1 a . a ... . a ; Si: n ≥ 2
n
b = r ⇔ rn = b
n : Índice (n ≥ 2 ; n ∈ IN) b : Radicando r : Raíz n–ésima principal de "b"
Exponente cero Si: a ≠ 0, se define:
a0 = 1
Teoremas
Nota: 00 no está definido
Si:
Exponente negativo Si: a ≠ 0 ∧ n ∈ lN se define:
1.
n
ay
n
b existen, entonces se cumple:
Raíz de una multiplicación.
1 1n a–n = n = a a
n
2.
Nota: 0–n no existe
n
Sean "a" y "b" números reales y "m" y "n" números enteros positivos, entonces se cumple: Multiplicación de bases iguales.
n
3.
bm bn 3.
= bm – n
Potencia de potencia. (bm)n = bm . n = (bn)m Nota: b
nm
≠
n
b=
n
ab
a b
=n
a ; si: b ≠ 0 b
Raíz de una radicación. m n
am . an = am + n División de bases iguales.
a.
Raíz de una división.
Teoremas:
2.
= by = z
Es una operación matemática que consiste en hacer corresponder dos números llamados índice y radicando con un tercer número llamado raíz, el cual es único, según:
"n" veces
1.
mx
Radicación en IR:
Exponente natural
=
=b
Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo.
Definiciones:
an
np
b=
m.n
b
Nota: m
aa bb
n
m
aa ab =
n
p
a
b
q
cq = am × bmn × cmnp m.n
aan + b
Exponente fraccionario m
m
Si: a n , existe en lR se define: a n =
n
am
bn.m
Trilce Católica
5
Ciclo
Católica
Problemas para la clase Nivel I 1.
Efectuar: 5 . 5 . 5 . … . 5 – 56 factores
(–5)54
A. 556 B. 0 2.
Efectuar: 7 . 7 . 7 . … . 7 – 50 veces
.
43
A. 4 B. 5 0
4
A. – 2 B. 1 5.
10
+ 21
Efectuar: P = 4–1 + 5 +
8.
A.
1 3
B.
A. B.
6
B.
25
D. 5 135 7–13
B. 1
D. 9
4
2–1
5
D. 9
2
x–3
2
–x(–3)
2m + 1 . 4m + 2n 8m – 1 . 16n + 1 C. 2 D. 3
A.
2
C. 1
B.
4
D.
1 4
25x + y . 5x – 14 1 8 – 2y 125x – 2 . 5 1 5
A.
1
C.
B.
5
D. 25
17. Hallar: T =
(7)(14)2(15)2 (352)(12)
A. 7 B. 14 18. Reducir: E =
C. 1
2
2
C. x–9 D. – x9
16. Simplificar: N =
1
1 3
2x + 2 . 4x + 2a 15. Simplificar: P = x – 2 8 . 16a + 2
C. D. 25
D.
5
C.
A. 0 B. 1
24
7 – 2(–60) 4
625
A. 3
C. 3 5
1 9 1 3
C.
14. Simplificar: E =
C. – 3 D. 2
14 12 6+ 2– 2 6 Reducir: 14 12 2+ 6– 6 2
9.
1 25
A. x9 B. – x6
0 1 –2 1 –2 1 –4 – + – 3 2 16
A. 0 B. 20
1 4
A.
3
1 + 2 + 3(2–1) – 3(–5)0 Efectuar: Q = 2
7.
D.
13. Efectuar: M = (–x2) (–x–3) x3
C. – 50 D. 50
A. 1 B. – 4
1
12. Reducir: M = 37
1 –3 1 –2 + – + (–3)2 2 7
A. – 48 B. – 66 Efectuar: K =
05
B.
56
C. 0 D. 2
Efectuar: M = –
6.
3
C. 4
–2–1
C. 6 D. 7
Reducir: (–2)10 + 50 –
4.
+2
1 2
–9–4 1 –27 11. Reducir: M = 125
(–7)24
21
Reducir: E = (– 3)0 – 50 + 20
A.
Nivel II
C. 2 . 750 D. 750
A. 1 B. 0 3.
. 25
C. 1056 D. 512 726
–1
–4–2
10. Reducir: P = 64–9
A.
1 3
B.
6
C. 15 D. 21 3a + 5 – 3(3a + 2) 3 . 3a + 4 8 9 4 D. 3 C.
Trilce Católica
Álgebra 19. Calcular: M = A. B.
3x + 4
– 3(3x) 78(3x + 3)
1 3 1 27
–1 . am . b–n ; a ≠ 0 ; b ≠ 0 28. Reducir: M = a m+n b a–n . bm
C. 1
A.
1
C. ab
1 8
B.
a b
D. a
D. –1
1 1–2 20. Calcular: M = 4
1 1–3 – 4
A. 5 B. 6
–1
1 –3 20 40 + – – 2 5
5
29. Efectuar:
C. 7 D. 9
21. Reducir:
3
4
2. 2.
4 5
32 16
A. 0 B. 1
Nivel III
C. 2 D. 3
30. Hallar el exponente de “x” luego de efectuar: 4.
3
4 .….
3
3
5
4 + (–22)
15 factores
A. 0 B. 1
A. C. 16 D. 64
22. Calcular: K =
2
2
. 2. 2
A. 16 B. 8 23. Reducir: T =
2
. 2. 2
C. 2 D. 32 2y
y 2
B.
y2
D. 2y 13x + 2x 13–x + 2–x
A. 26x B. 13
1.
x4 + y4 ;x>0;y>0 + y –4
x –4
4
4.
xy
C. 2 D. 4
B. 2 2 x
x
92 + 138 27. Simplificar: A = x x x 69 + 46 A. 1 B. 2
Trilce Católica
5 4 3 D. 4
C. 3 D. 4
C. 1 D. 650 0
0 50 1 – 40 Reducir: (–15) 3 + 23 – 41 + 20100
Reducir: P =
C. –2 D. 2 1 1 –2 1 – 4 + 4 3
6.
–2–7
–9–4
1 2 1 8
Reducir: M = A. 54 B. 45
–
2
8
0
C.
1 4
D. 4
Reducir: N = –81 A. – 3 B. – 1
–1
C. 1 D. 8
Reducir: M = 64–27
B. 5.
2
x
Efectuar: 6 . 6 . 6 . … . 6 – 3625 . (–6)50 100 veces
A.
2 2 2 8
x
C.
A. 9 B. 10
C. xy
8
1 2 3 2
A. 1 B. 3
3.
D.
x .
Tarea domiciliaria
C. 2 D. 26
A. x + y B. 1
26. Efectuar: A =
. 2
2.
C.
25. Reducir: T = 4
2
x
A. 0 B. 2 . 650
y
24. Reducir: K = x
B.
x–2. 2 y–x (y ) (2y) –x (2–y . y2)
A.
A.
0,5
1 – –8 3
–16
C. 3 D. – 3–1 3x – 1 – 3x + 3x + 1 3x – 3 C. 63 D. 1
7
Ciclo
Católica
7.
10
Reducir: K =
n+3
10
– 10
–2–1
n + 2 (52 – 32)
n+2
C. 3 D. 9
Simplificar: T =
–2–1
16–4
–2–1
2 6 49 9 8 4 . . 7 4 343
A. 1,31 B. 1,32 15. Efectuar: P =
C. 1,35 D. 1,34 7 –1 a + b 7a . 3–b 3 7–b . 3a .
A.
2
C. 1
A. 7
C. 3
B.
7
D.
1 7
B. 1
D.
4
9.
a
363 . (2163)–x
Reducir: E =
36 . (36–1)x
16. Simplificar: S =
2
A. 1 B. 36
C. 216 D. 6
10. Reducir: N =
x
a–x + b–x ;a;b≠0 ax + bx
A.
1
B.
a
A. ab
C. 1
B. x ab
D.
11. Reducir: P = x
1 + 2x 1 + 3y +y –x 1+2 1 + 3–y
A. 5 B. 2
C. 3 D. 6
12. Reducir: M = n
64n + 162n 8n + 32n
A. 8 B. 2 –9–4
b
–0,5
a
b
a
D. a 80n + 16n 20n + 4n
A. 1 B. 2 18. Simplificar: P =
C. 3 D. 4 a
b
b
a
x + x ; para: a + b = ab xa + xb
A. x–1 B. x
C. 1 D. xa 72a + 1 . 5a . 7ab – 1 352b . 7a . 7ab + 1
A. 1 B. 5
A. 6 B. 7
7 3
; ab ≠ 0
b
20. Si: xy–1 = 8; calcular: C. 0,75 D. 0,25
aa
a bb
19. Simplificar: R = a – 2b C. 4 D. 16
13. Reducir: 8–27 A. 0,5 B. 2,0
1 ab
b
b
C.
17. Simplificar: 2n
8
–2–1
+ 25–4
9–4
A. 1 B. 3 8.
14. Calcular:
C. 7 D. 35 2x y
+
x 2y
C. 2 D. 1
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 2
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Operaciones con polinomios En Matemática, generalmente usamos símbolos para representar elementos arbitrarios de un conjunto. Por tanto la notación “x ∈ lR”, significa que “x” es un número real, aunque no especifique un número real en particular. Un símbolo literal que se usa para representar cualquier elemento de un conjunto dado, se llama variable. Las últimas letras del alfabeto tales como: “x”, “y”, “z”, “w”, ..., se emplean a menudo como variables. En cambio, el numeral que se utiliza para indicar un elemento fijo de un conjunto numérico se llama constante. En una expresión matemática, las variables y constantes se diferencian al usar la notación matemática, lo cual consiste en indicar los símbolos que representan a las variables dentro de un paréntesis. Ejemplo: E (x; y; z) = 5x + 3ay2 + 2bz3 OO OO
Es un conjunto de letras y números donde las variables están relacionadas con cualquiera de las seis operaciones n aritméticas (+; –; ÷; x; ( )n; ); en un número limitado de veces. E(x) = x3 – 2x +
R(x;z) = 2x2z + 5z5
→ (binomio)
3x2 → (trinomio)
F(x) = 3 – 5x + GRADO DE UN MONOMIO
A. Grado Relativo (G.R.) Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable. 5 x5y3z
GR(x) = GR(y) = GR(z) =
B. Grado Absoluto (G.A.) Es la suma de los grados relativos.
GA =
GRADO DE UN POLINOMIO A. Grado Relativo Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada término.
TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión algebraica donde no están presente las operaciones de adición y sustracción. Ejemplo:
Ejemplo: Sea: P(x;y) = 3x3y5 – 7x2y9 + 5x7
GR(x) = GR(y) =
B. Grado Absoluto (Grado del polinomio) Es el mayor de los grados absolutos de cada término.
Exponentes M(x; y) = – 4x5y3 Coeficiente Variables TÉRMINOS SEMEJANTES Dos o más términos serán semejantes si los exponentes de las respectivas variables son iguales. Ejemplos: P(x;y) = 4x2y7 y Q(x;y) = –2x2y7 → P(x;y) = 5x2y3 y S(x;y) = 2xy7 → 4x3 2x3 y N(x) = 2 2 y y
→ (monomio)
Ejemplo: Sea: R(x;y;z) = 2x4y5z3
3
x 2xy + 3x E(x;y) = y–1 Q(x) = x4 – sen y P(x) = x2 + x2 + sen x R(x) = 1 + x + x2 + x3 + ... G(x) = x2 + 2x
Trilce Católica
Ejemplos: P(x;y) = 5x3y7
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
M(x;y) = –
Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables están afectadas solo de exponentes enteros positivos.
Ejemplo: Sea: P(x;y;z) =
Las variables son: Las constantes son:
Ejemplos:
POLINOMIO
→
Ejemplo: Si: F(x;y) = 2x2y3 – 7x6y + 4x4y4 POLINOMIO EN UNA VARIABLE Un polinomio en una sola variable tiene la siguiente forma general: P(x) = b0xn + b1xn – 1 + … + bn – 1x +bn x : Variable de “P” b0, b1; ...; bn: Coeficientes b0: Coeficiente principal (C.P.) bn: Término independiente (T.I.)
9
Ciclo
Católica Ejemplo: P(x; y) = 3x3y12 + 23x8y7 – 15x15 – 13y15
Nota: OO
Término independiente: (T. I.)
T.I.(P) = bn = P(0) OO
VALOR NUMÉRICO (V. N.)
15
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros. nulo:
Ejemplo: P(x) = (n – m)x2 + (p – q) x, si es idénticamente
POLINOMIOS IDÉNTICOS:
Ejemplo: p(x) = ax2 + bx + c q(x) = dx2 + ex + f p(x) = q(x); si se cumple: a = d ; b = e ; c = f
Problemas para la clase Nivel I
Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente.
1.
Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a “x”. P(x;y;z) =
–
+
A. 22 B. 26 2.
41x7y4
Nota:
3.
Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.
10
C. 26 D. 25
El polinomio: P(x) = axa + 2 + 3axa + 4 – 4xa; es de grado 8. Calcular la suma de sus coeficientes. A. 16 B. 12
4.
C. 14 D. 18
Hallar el grado del siguiente polinomio: n
P(x) = 2x n – 13 + 3x 2 – x15 – n
Si un polinomio tiene una sola variable y además es completo, entonces el número de términos será igual a su grado aumentado en una unidad. POLINOMIO HOMOGÉNEO:
Sea el polinomio:
A. 28 B. 30
POLINOMIO COMPLETO:
Ejemplos: A(x) = 4x3 + 12x – 7x2 + 16 B(x;y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
C. 20 D. 25
F(x; y) = xm + 8.ym – 4 + xm + 7.ym + x2m + 1.y8 ; cuyo grado es 27. Calcular: G.R.(x) + G.R.(y)
Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a “x” e “y”, además es ordenado descendentemente respecto a “z”.
Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el de grado cero.
Hallar el grado del siguiente monomio: M(x; y; z) = – 3 5(x2y3)4 . z2
Ejemplos: P(x) = 4x4 + 12x2 – 3x + 7
34x5y2z
n–m=0⇒m=n p–q=0⇒p=q
Dos polinomios son idénticos si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales.
POLINOMIO ORDENADO:
21xz4
15
Un polinomio en dos variables, si está ordenado decrecientemente respecto a una de ellas y si es homogéneo estará ordenado crecientemente respecto a la otra variable.
POLINOMIOS ESPECIALES
Ejemplos: A(x) = 1 + x2 + 3x B(x) = 7 – 2x2 + x3 C(x) = x
Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal uno se le denomina mónico.
15
4 4
Hallar el V. N.: de: P(2) → P(2) =
POLINOMIO MÓNICO:
Nota:
Es el valor que se obtiene de una expresión al realizar las operaciones que en ella se indica, luego de haber asignado a sus variables, valores determinados. 2x2 + 2 Ejemplo: Sea: P(x) = x+1
R(x) = 7xy3 + 8x2y2
Suma de coeficientes (∑coef.) Scoef.(P) = b0 + b1 + … + bn = P(1)
15
A. 9 B. 7 5.
C. 14 D. n – 13
Si: P(x) = x2 + x – 2; calcular: P(8) + P(2) A. 56 B. 49
C. 54 D. 74
Trilce Católica
Álgebra 6.
Calcular la suma de los coeficientes del polinomio:
P(x – 3) = x20 – (3x + 4)10 + x3 + 2x2 – 43
1 P(x) = (2x + 6)(1 + 3x)2(x – 2) 4 A.
3 4
B. –32 7.
8.
C. 12
C. 4 D. 0
C. (x2 + 30x + 6) D. (17x2 + 30x + 6) 3
C. 49 D. 25
Nivel II 11. Sea el polinomio: P(x; y) = (3mnx2y2m)n; donde: G.R.(x) = 4 ∧ G.R.(y) = 8. Calcular el coeficiente. A. 144 B. 324
C. 256 D. 400
12. En el monomio: M (x; y) = 2a bx 3a + b . y a–b, donde: G.R.(x) = 14 ∧ G.R.(y) = 2 , calcular el coeficiente. A. 64 B. 32
C. 50 D. 18
13. Si: F(x + 2) = x + F(x); F(3) = 5; hallar: F(1) + F(5) A. 10 B. 6
C. 12 D. 11
14. Si: P( x + 1) = (x + 1)(x2 + 1) – 2; calcular: P(1) + P(3) A. 80 B. 81
C. 84 D. 82
15. ¿Qué valor de “p” hace que el término independiente de: 5x – 2 (x – p)3, sea: – 400? (x + 3)(x – 5)2 3 A. 1 B. – 2
Trilce Católica
C. 2 D. 3
C. x2 – x + 1 D. x2 – 2x
A. 4x2 + 20x + 6 B. 2x2 + 10x + 3
C. 4x2 – x D. 4x2 + 10x + 6
19. Si: P(3x – 2) = 6x – 5 ; hallar: P(x + 2) A. 2x B. 2x – 3
10. Dado el polinomio: P(x) = (2n – 1)2 . xn + 1 , calcular su coeficiente, si dicho polinomio es de segundo grado. A. 9 B. 81
A. x2 + x + 1 B. x2 – x
18. Si: F(x + 1) = x2 + 5x + 6 ; hallar: F(2x + 1)
C. 3 D. 5
Juanito tiene (7x2 + 6x + 3) soles, recibe de propina (8x2 + 6x + 4) nuevos soles de su padre y (5x – 2) nuevos soles de cada uno de sus tres tíos. Si gasta (8x2 – 3x – 5) nuevos soles, ¿cuánto le queda? A. S/. (x2 + 24x – 4) B. (x2 + 24x + 6)
C. 16 D. 60
17. Si: F(x + 2) = x2 + 7x + 12 ; hallar: F(x – 2)
D. –16
Si: F(2x – 1) = x2 – 3x – 4 ; calcular: F(3) – F(1) A. – 12 B. – 6
9.
A. 32 B. 64
Sea: P(x) = (x + 1)n + (x – 1)n + 2 , si la suma de coeficientes más el término independiente suman 36, halle “n”. A. 1 B. 2
16. Hallar la suma de coeficientes del polinomio:
C. 2x + 3 D. 2x + 6
20. Si el polinomio: P(x) = 4 calcular “n”. A. 17 B. 12
x5n – 3 ; es de primer grado, (xn + 1)2 C. 35 D. 15
Nivel III Preguntas Nº 21 y 22 Cuando se venden “x” unidades de un producto, la utilidad está dada por: U(x) = 60x + b. Si se venden 30 artículos, la utilidad es S/. 2800, entonces: 21. Hallar “b”: A. 800 B. 1800
C. 2600 D. 1000
22. Si se espera obtener una utilidad de S/. 3700, ¿cuántos artículos deben venderse? A. 45 B. 60 23. Si: P(x2 + x ) = 3(x2 + A. 9 B. 4
C. 35 D. 40 x)2 + 5(x2 +
3
x + 1); hallar: P(2)
C. 3 3 D. 5
24. Sean los polinomios idénticos: P(x) = ax3 + (b – 2)x2 + cx + d; Q(x) = (x + 2)3 Calcular: a + b + c + d A. 30 B. 29
C. 26 D. 28
25. Si el polinomio: P(x) = (a – 2)x2 + (a + b – 5)x + (a + b + c – 8) es idénticamente nulo, calcular: a × b × c A. 15 B. 21
C. 18 D. 24
11
Ciclo
Católica Preguntas Nº 26 y 27
3.
Si: A(x; y) = nxm – 1y4
En un cultivo, el número de bacterias presentes se puede calcular por la expresión: 2x + 3 + 904, donde “x” es el número de días que han transcurrido desde el inicio del cultivo.
B(x; y) = (7 – m) x5 yn+2
26. Si se da la alarma de peligro cuando hay 5000 bacterias, ¿a los cuántos días de iniciado el cultivo debe darse la alarma de peligro?
A.
1 16
C. 32
B.
1
D. 64
A. 9 B. 12
C. 10 D. 13
son términos semejantes, hallar: E = nm – 1
4.
27. ¿Cuántas bacterias estarán presentes a los cinco días de iniciado el cultivo? A. 1160 B. 2320
A. 2 B. 3 5.
C. 1060 D. 1032
“x” es la densidad de larvas de polillas.¿Cuántas larvas de polillas en un periodo dado consumirá el escarabajo si existe una densidad de larvas de polillas de 20?
6.
7.
B. –
a4 + a3 a–1
2.
12
Dado el polinomio: P(x) = (3n – 5)2 . A. 625 B. 361
9.
4
xn + 2 , calcular su
C. 961 D. 169
Dado el polinomio: M(x; y) =
xa – 2 .
4
yb + 3
donde: G.A.(M) = 13 ∧ G.R.(y) = 5, hallar “a + b”.
1 3
D. –
x
8(x – 30)x–6 ,
A. 30 B. 31
C. 35 D. 33
10. Calcular el grado absoluto del polinomio: 2 3
Tengo 32 cartas: retiro (x + 3) cartas; luego, retiro el doble de la cantidad que retiré inicialmente, aumentado en cuatro cartas. ¿Cuántas cartas me queda? A. 3(x + 3) + 4 B. 6
C. 5 D. 6
coeficiente, si dicho polinomio es de tercer grado.
C. 0 D. 1
C. 1 3
El siguiente monomio es de grado 66. Calcular “a”.
A. 4 B. 10 8.
Dada la expresión algebraica: E(x) = hallar: E(3) 2 3
C. 18 D. 12
P(x; y) = – 7(x3a – 1 . ya + 3)3
Tarea domiciliaria
A.
Hallar el grado del siguiente monomio:
A. 22 B. 20
C. 5 D. 15
P(2x + 3) = 4x2 + 2x – 1; ∀x ∈ IR,
1.
C. 3 D. 2
2 N(x; y; z) = – (xy2)4 . z8 3
30. Si P(x) es un polinomio que cumple:
A. – 2 B. – 1
Calcular “a + b”, si los siguientes términos son semejantes:
A. 5 B. 4
29. En cierta área, el número de larvas de polillas consumidas por un solo escarabajo depredador en un periodo 1,4x determinado, está dado por: P(x) = , en donde 1 + 0,09x
si: P(a + 3) = 0, calcular:
C. 4 D. 5
t2 (x; y) = xby2b
C. 10 D. 16
A. 20 B. 10
n
7x 2 .
t1 (x; y) = nxa + 1yb + 3
28. Hallar el valor de “m.n” en el siguiente polinomio homon m m –n géneo: P(x; y; z) = 2xm + myn – 3zm A. 6 B. 8
5x4 – n + 6xn – 3 +
Dado el polinomio: P(x) = Hallar “n”.
C. 19 – 3x D. 45 – 3x
H(x; y) = A. 6 B. 10
2x3y3z4 – 3(x2y4)2 – 4x6y8z4 C. 14 D. 12
11. Sea el polinomio: P(x,y) = xa + 2ya + 3 – xa + 1ya – 1 + x2a + 1y4 de grado 15. Hallar: GR(x) + GR(y) A. 19 B. 17
C. 16 D. 15
Trilce Católica
Álgebra 12. Hallar la suma de coeficientes en: P(x, y) = (4a – b)xa+3y3b – (5a – 2b)xa+by2b + (a – 3b)xay5b+3 Si: GR(x) = 7 ∧ GA(P) = 12 A. –2 B. 2
C. 4 D. –4
13. Hallar el grado del siguiente polinomio: n
P(x) =
2 2xn – 17 – x 3 – x19 – n 3
A. 6 B. n – 17
C. 19 – n D. 2
14. Si: P(x) = x4 – 13x2 + 36 ; calcular: P(–2) + P(2) + P(–3) + P(3) A. 10 B. 0
C. 8 D. – 10
15. Si: P(x) = x2 + 2x + 1 Q(x) = x2 – 2x + 1
Trilce Católica
+ 3x – 10; hallar: P(x + 3)
A. x2 + 10x + 8 B. x2 + 9x + 8 17. Si: P(x3 –
3 x ) = 5(x –
C. x2 + 9x D. x2 + 8 x)2 + 2(x3 –
x + 1) – 2
hallar: P(–2) + P(0) A. 14 B. 16
C. 12 D. 18
18. Si: F(x + 3) = x2 + 2x – 15; hallar: F(x + 5) A. x2 + 6x – 7 B. x2 + 6x 19. Si: F(x) =
C. x2 – 7 D. x2 + 5x + 7
x2 + 1; x ≤ 1 x + 1; x > 1
calcular: F(–3) + F(4) A. 15 B. 9
C. 11 D. 13
F – F(x + 2) ;x≠0 20. Si: F(x) = (x – 1)2 + a; hallar: (x) x
calcular: P(3) + Q(–3) A. 32 B. 0
16. Si: P(x) =
x2
C. 16 D. 64
A. 4 B. –4
C. 2 D. –2
13
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 3
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Desarrollo de un trinomio al cubo:
Para multiplicar polinomios utilizaremos la propiedad distributiva.
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc
Ejemplo:
Identidad trinómica (Argand):
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
(x2
PRODUCTOS NOTABLES Son aquellas multiplicaciones cuyos productos se obtienen de forma directa sin necesidad de realizar operación alguna. OO
IGUALDADES CONDICIONALES: Si: a + b + c = 0 , se cumple:
BINOMIO AL CUADRADO:
I. a3 + b3 + c3 = 3abc II. a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc) III. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 OO
Nota: Sean: a; b; c ∈ lR y m; n ∈ lN
IDENTIDADES DE LEGENDRE:
a2n + b2m = 0 ⇒ a = b = 0
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab Recuerda: (a – b)2 = (b – a)2 OO
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac ⇒ a = b = c 1.
BINOMIO AL CUBO:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
Si: x +
2.
Si: x –
3. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab OO
Suma de cubos
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
Diferencia de cubos
PRINCIPALES IDENTIDADES:
x+
12 12 – x– =4 x x
Problemas para la clase Nivel I
MULTIPLICACIÓN DE UN BINOMIO POR UN TRINOMIO: (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
1.
Simplificar: (x + 1)2 – (x + 2)2 – (x + 3)2 + (x + 4)2 A. 1 B. 2
2.
Simplificar:
Desarrollo de un trinomio al cuadrado: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
Trilce Católica
1 = m ; entonces: x
1 x2 + 2 = m2 + 2 x 1 x3 – 3 = m3 + 3m x
SUMA POR DIFERENCIA DE BINOMIOS: (Diferencia de cuadrados) (a + b)(a – b) = a2 – b2
OO
1 = n ; entonces: x
1 x2 + 2 = n2 – 2 x 1 x3 + 3 = n3 – 3n x
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
OO
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4 (x + y)2 – (x – y)2 xy C. 3 D. 4
15
Ciclo
Católica
3.
4.
5.
Efectuar: (4x + 3)(2x + 1) – 8(x + 1)2 + 6(x + 2) A. 3 B. 5
C. 7 D. 9
Efectuar: (x + 1)(x + 2) – (x +
3) 2
A. – 14 B. – 16
C. – 18 D. – 20
6.
11. Efectuar:
+ (x –
3) 2 – (x – 4)(x – 5)
x+
x2 – y10 .
A. – y2 B. y2
hallar:
C. x + 2 D. x – 1
¿Cuánto le falta a “Q” para que sumado con “R” se obtenga como resultado “P” ?
x2 – y10
x–
C. xy D. x + y
a2 b2 + b a
A. 20 B. 54
C. 30 D. 45
13. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d); calcular: A. 1 B. 2
C. –14x2 + 9x – 4 D. – 8x2 + 5x + 1
Hallar el área de la siguiente figura:
2(a + b)
4c + d
C. 3 D. 4
14. Si: a =
A. – 6x2 + 4x – 5 B. 5x2 + 3x – 2
5
a2 + b2 = 30
P = (2x + 3)(x – 2) Q = (3x – 2)(x + 1) R = (5x – 1)(x – 1)
7.
5
12. Si: a + b = 6
Efectuar: (x + 4)3 – (x + 3)(x + 4)(x + 5) A. x + 4 B. x + 3
Nivel II
2 +1
b=
2 –1
calcular el valor de: a2 + b2 + 3ab A. 3 B. 5
C. 7 D. 9
15. Hallar el área de la siguiente figura: 5x + 3
x–1
x 3
x
3x + 5 A. 10x2 + 30x + 45 B. 10x2 + 34x + 15 8.
Efectuar: (x + y + 1)3 – (x + y)3 – 3(x + y)(x + y + 1) A. – 2 B. – 1
9.
C. 0 D. 1
Reducir: (x2 + 8x + 11)2 – (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) A. 2 B. 4
16
6x2 + 6x – 7 2 2x2 + 6x – 2 B. 2
2x2 + 3x – 2 2 6x2 + 3x – 7 2 D.
A.
C.
16. Hallar el área sombreada:
x+2
x
x+8
1 x+2
x+1 A. 2x2 + 17x + 20 B. 2x2 + 4x + 12
x+2 1
A. 2x2 + 3x – 1 B. 3x2 + 8x + 4
3x + 4
x+1
10. Hallar el área sombreada:
x+3
3–x
1
C. 8 D. 16
x
2x + 7
C. 15x2 + 34x + 45 D. 15x2 + 30x + 15
C. 3x2 + 2x + 6 D. 2x2 + 8x + 5
C. 2x2 + 19x + 12 D. 2x2 + 16x – 1
17. Reducir: (x + y + 5z)2 + (x + y + 4z)2 – 2(x + y + z)(x + y + 8z) A. z2 B. 4z2
C. 9z2 D. 25z2
Trilce Católica
Álgebra 18. Siendo: x ; y ∈ IR, que verifica: calcular: x + y + 1 A. 1 B. 2
x2
+
y2
+ 5 = 2(x + 2y),
27. Hallar el área de la siguiente figura: 4
C. 3 D. 4
2x2 + 32
19. Si: a + b + c = 0 ; reducir: (2a + b + c)3 + (a + 2b + c)3 + (a + b + 2c)3 A. – 3 B. 3abc
C. – 3abc D. 3
x A.
20. Si: x + y + z = 0 , calcular: R=
B.
(x + y – 2z)3 + (y + z – 2x)3 + (z + x – 2y)3 xyz
x2 + 8x + 16 2 x2 + 6x + 10 2
x2 + 8x + 10 2 x2 – 6x + 16 D. 2
C.
28. Hallar el área total del paralelepípedo.
siendo: xyz ≠ 0 A. 27 B. – 27
C. 81 D. – 81
Nivel III
x–1 x+1
21. Si: x – y = 8 ; evaluar la siguiente expresión: (x – 3y)2 – 4y(2y – x) + 8 C. 72 D. 64
A. 32 B. 40 22. Si:
x+3
1 1 4 + = ; x y x+y
A. 1 B. 2013
p(p – c) ac p(p – a) B. 2bc A.
C. 2 D. 2007
(a3 + b3 – c3)2 3a2b2
A. 2900 B. 2600
A. (S + p)2 – (S – p)2 B. 0,25S4 – pS2 + p2 C. S4 + 2pS2 – 3p2S + p4 3 D. S4 – pS(1 – S) + p2 2
1 x3 + x–3 + 32 = 3; calcular: 2 x x + x–2 + 2
25. Si: x = 2 – y=2+
C. 7 D. 9 3+
5
3–
5
A. 23 B. 25 26. Simplificar:
Tarea domiciliaria 1.
2.
C. 34 D. 36 10
(x + 1)3(x – 1)3(x2 – 1)5(x2 + 1)8(x4 – 1)2
A. x4 + 1 B. x4 – 1
Trilce Católica
Reducir: (x + 5)(5 – x) + (x + 3)(x – 3) A. 16 B. 12
evaluar: N = (x + 1)2 + (y + 1)2 + 2xy – 1
C. x2 – 1 D. (x – 1)4
p(p – b) p–c p(p – a) D. bc C.
30. Si se tiene la suma “S” y el producto “p” de dos cantidades x2 + y2 2 es igual a: “x” e “y ”; entonces 2
C. 2700 D. 2500
A. 3 B. 5
b2 + c2 – a2 ; calcular el valor de “M”, sa2bc biendo que: a + b + c = 2p
x2013 + y2013 ? x2000y13
23. Si: a = 13; b = 17 y c = 30; hallar el valor de:
24. Si: x +
C. 4x2 + 10x – 3 D. 7x2 + 10x – 2
29. Si: 2M = 1 +
¿cuál es el valor de la expresión:
K=
A. 8x2 + 5x – 2 B. 6x2 + 12x – 2
Reducir: (x + 5)2 + (x – 5)2 – 2(x2 + 12) A. 1 B. 26
3.
C. 2x2 – 34 D. 2x2 – 16
C. x2 + 25 D. 25
Efectuar: (x + 1)(x + 2) – (x + 3) 2 + (x – 3) 2 – (x – 4)(x – 5) A. – 14 B. – 16
C. – 18 D. – 20
17
Ciclo
Católica
4.
Efectuar: (4x + 3)(2x + 1) – 8(x + 1)2 + 6(x + 2) A. 3 B. 5
5.
C. 7 D. 9
Calcular: K = A.
6+
2
5+
3
2 2
–
6–
2
+
5–
3
C.
3
6.
Si: m + n =
Simplificar:
3 2
(x + y)2 – (x – y)2 xy C. 3 D. 4
Reducir: (x + 1)3 + (x – 1)3 – 2x3 C. 0 D. 1
Si: H =
(x – 5)(x + 6)(x – 1)(x + 2) + 196;
hallar:
H + 16,25
B.
x+1 2
C.
x +2
D.
2x + 1 2
1 1 4 (a + b)6 – a6 – b6 10. Si se cumple: + = ; hallar: N = a b a+b a 3b 3 A. 31 B. 32 11. Sea:
C. 64 D. 62 x= y=
hallar el valor de:
2+1+ 2+1– x2
–
y2
14. Reducir: E =
3
5 5
(a + b)4 – (a – b)4 4ab(a2 + b2)
A. 2 B. 1
C. 4 D. 8
15. Efectuar:
3
x–
x2 + y9 .
3
x+
x2 + y9
C. 3 x4 D. – y3
A. y3 B. 0
(m + n + p)(m + n – p) + (p – n + m)(p + n – m) – 4mn A. mn B. 1 17. Si: x =
3
C. 0 D. 8 mn 2+
3 +
3
2–
3 ; hallar:
A. 1 B. 2
hallar: K = A. 2n2 B. 2m2 19. Siendo: A. 1 B. 3 a
3
x3 – 3x + 23
C. 4 D. 3
m2 + n2 +
A. 3 B. –9
22
A. – 4 B. – 2
C. D.
m2 – n2 = n2
m2 + n2 –
m2 – n2 C. n2 D. 2
x3 y3 x y + = a; hallar: M = 3 3 + 3 + 3a y x y x C. a3 D. a
20. Si: R = 3 4 + 3 2 ; calcular: K = R(R +
2–1 2–1 –
125(c + d)
A. 25 B. 5
18. Si:
A. 2x + 1
3(a + b)
16. Simplificar:
A. 6x B. 6x2 9.
2
C. 5 D. 5 5
A. 1 B. 2 8.
2
5 ∧ mn = 1 ; calcular: (m2 – n2)2
A. 25 B. 5 7.
K=
D. 3
B. 1
13. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d), hallar:
6 )(R –
6)
C. –6 D. 6
C. 0 D. 2
12. Si el volumen del paralelepípedo mostrado es: (64x3 – 64) m3, hallar su altura “h”.
h
x–1 x2 + x + 1 A. 64 m B. 2
18
C. 4 D. 8
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 4
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
OPERACIONES CON POLINOMIOS – DIVISIÓN DE POLINOMIOS Ejemplo:
Operación definida para polinomios de una sola variable y ordenados en forma descendente. Dado dos polinomios no nulos llamado dividendo y divisor hallar otros dos polinomios llamado cociente y residuo. Forma aritmética
Forma algebraica
D d
D(x) d(x) r(x) q(x)
r
q
4 8 –2 –9 7 1 –1 → –2 4 2 2 1 –2 1 –2 2 –1 –1 6 –1
D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
D = dq + r
1.
2° grado
Si la división algebraica es exacta: r(x) = 0
Luego: Q(x) = 2x2 – x – 1
Propiedades de la División
R(x) = 6x – 1
Para el grado del cociente:
x18 – x12 + 4x5 – x – 1 x7 – x + 1
Solo para divisores de la forma: ax + b
[q0] = 18 – 7 = 11
1
Para el grado del resto: 2
[R]0 < [d]0 x12 – x + 1 x3 + x + 1 Siendo el divisor de 3º grado el resto podría ser: De 2º grado: R(x) =
ax2
1° grado
B. Método de Paolo Ruffini:
[q0] = [D]0 – [d]0
2.
8x4 – 2x3 – 9x2 + 7x + 1 4x2 + x – 2
Dividir:
+ bx + c
De 1º grado: R(x) = ax + b
3
4
1 Se colocan los coeficientes del dividendo. 2 Se coloca el valor despejado de la variable luego de haber igualado el divisor a cero. 3 Se colocan los coeficientes del cociente obtenidos luego de sumar 4 Se coloca el valor del resto
C. Teorema del residuo o resto Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma ax + b y en algunos casos especiales.
División exacta: R(x) = 0
Regla: Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto.
División entre Polinomios
Ejemplo: Calcular el resto:
De grado cero: R(x) = a ; donde: a ≠ 0
A. Método de Guillermo Horner: 1 2
1
3
2
3
4
Trilce Católica
4
Se colocan los coeficientes del dividendo con su signo. Se colocan los coeficientes del divisor todos cambiados de signo menos el primero que lo conserva. Se colocan los coeficientes del cociente. Se calcula c/u dividiendo la suma de la columna respectiva entre el primer coeficiente del divisor. Se colocan los coeficientes del resto. El número de columnas estará dado por el grado del divisor.
x5 + 3x – 5 x–2
Resolución: T. Resto: x – 2 = 0 → x = 2 ⇒ R = 25 + 3(5) – 5 → R = 42
COCIENTES NOTABLES DEFINICIÓN: Es el cociente que se obtiene de divisiones exactas entre binomios de la forma: xn ± an x±a CONDICIONES: OO OO
Resto = 0 n → entero y positivo
19
Ciclo
Católica Regla para el signo:
CASOS DE COCIENTES NOTABLES 1er. caso:
OO
xn – an ; donde “n” es par o impar x–a xn – an = xn – 1 + xn – 2a + xn – 3a2 + ... + xan – 2 + an – 1 x–a 2do. caso:
OO
Problemas para la clase 1.
xn + an ; donde “n” es impar x+a xn + an = xn – 1 – xn – 2a + xn – 3a2 – ... – xan – 2 + an – 1 x+a
2.
3.
4.
4to. caso:
5.
PROPIEDADES xm ± an xp ± aq
C. 4 D. 36
2x4 + 5x3 + mx + m , se obtiene como resto x2 – x + 1 un valor constante. Indique su valor. En la división:
C. 2 D. – 3
3x4 – x3 + 2x2 + ax + a , el residuo x2 + x – 1 no es de primer grado. Indique su valor. En la siguiente división:
A. 10 B. 14
Origina un cociente notable entonces se cumple:
6.
m n = = Número de términos p q Fórmula del término general: Esta fórmula nos permite calcular un término cualquiera del cociente en función al lugar que ocupa. Se representa por: tk que leeremos como término de lugar “k”.
Al dividir:
C. 18 D. 22 6x4 + 13x3 + 6x2 + Ax + B , señale su cociente. 2x2 + 3x + 2
A. 3x2 – 2x + 3 B. 3x2 + 2x – 3 7.
En la siguiente división exacta:
A. 1 B. 2
xn – an , tendremos: tk = xn – k . ak – 1 x–a Para el caso:
C. 3x2 – 2x – 3 D. 2x2 + 3x – 2 6x4 + 11x3 + Ax2 – 7x – 3A 3x2 + 4x + 5
Determine el valor de “A”.
Para el caso: 8.
C. 3 D. 5
En la siguiente división exacta:
x4 – 5x3 + 15x2 – Ax + B x2 – 3x + 5
Entonces “A” y “B” son: xn + an xn – an ó x+a x+a
tendremos: tk = (–1)ak – 1xn – k
20
Calcular “ab” si el polinomio: 20x4 + 3x3 + ax2 + b, es divisible por (4x2 + 3x + 2).
A. – 1 B. 8
“n” es par o impar No es cociente notable
x4 + 2x3 – 7x2 + ax + b x2 – 3x + 5
C. 5 D. 2
A. 9 B. 18
xn – an n – 1 =x – xn – 2a + xn – 3a2 – ... + xan – 2 – an – 1 x+a Los signos se intercalan (+, –)
C. – 11x + 1 D. 10x – 2
Calcular “a – b” en la división:
A. 1 B. – 3
xn – an ; donde “n” es par x+a
Si:
x4 + 4x3 + 6x2 – 7x + 2 indicando el resto. x2 + 2x + 1
exacta.
3er. caso:
OO
Dividir:
A. – 10x + 1 B. 11x + 1
Los signos se intercalan (+, –)
xn + an ; x–a
Cuando el divisor es de la forma (x – a) el signo de cualquier término es positivo. Cuando el divisor es de la forma (x + a) el signo de los términos que ocupan un lugar par son negativos y los que ocupan un lugar impar son positivos.
A. B. C. D.
Primos entre sí Pares Impares consecutivos Consecutivos
Trilce Católica
Álgebra 9.
Señale el cociente, al dividir: ax4 – (a + b)x3 + (2a + b)x2 – bx – a ax2 – bx + a A. x2 + x + 1 B. x2 – x + 1
C. x2 + x – 1 D. x2 – x – 1
10. Hallar “ab” si la división: deja residuo.
ax4 + bx3 + 52x2 + 59x + 56 no 3x2 + 5x + 8
A. 114 B. 56
C. 132 D. 84
7 )x2 + (2 7 – 15)x + 15 7 + m se x– 7 obtuvo como resto: 3m – 8, determinar “m”.
11. Al dividir:
x3 + (–2 –
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
12. Determinar el valor de “k” para que el coeficiente del término lineal del cociente entero sea igual a – 21 en la división: 3x5 – 15x3 + kx2 + 5 x–2 A. – 12 B. – 15
C. – 18 D. – 21
13. Señale la suma de coeficientes del cociente, al dividir: 4x4 + 4x3 – 11x2 – 6x – 6 2x – 1 C. –
B. –3
14. Proporcione el resto, al dividir: x3
–
2x2
m2
+ (2 – – 2m)x – 2m – 2 x–m–2
A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
15. Hallar el valor positivo de “n” si en la división: nx4 + (n2 – 1)x3 – n2x2 – x + n nx – 1 la suma de los coeficientes del cociente es igual al resto. A. 1 B. 3
C. 5 D. 2
16. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir: 6x4 – 13x3 – x2 – 2x – 17 2x – 5 A. 10 B. 12
Trilce Católica
C. 2 D. 9
18. Calcular “a” en la división:
x3 – a(x + 1)2 – a2 + a , si su x–a–3
residuo es: 7a + 2 A. – 3 B. – 4
C. – 5 D. – 6
18x4 – 5x3 + 6x2 + 2ax + 14 ; 2x – 1 sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es 31, determinar el resto.
19. En la siguiente división:
A. 27 B. 28
C. 29 D. 30
20. Calcular el residuo en la siguiente división: 2x4 + 17x3 – 68x2 – 32 1 x– 2 A. 63,75 B. 32
C. – 63,75 D. – 32
21. Hallar “a” si el resto es 9 en:
x3 + x2 + 3x + a x–1 C. 4 D. 5
6x3 – 5x2 + mx – 1 , sabiendo 2x + 1 que su cociente toma el valor numérico 2, para: x = 1.
22. Determine el residuo en:
A. 4 B. 2
C. 1 D. – 3
23. Si el resto en la siguiente división es 3, hallar “A”: 3 x4 – (1 –
3 )x3 – 2 3 x2 – 2x + A – 2 3 x– 3 +1
A. 3 B. 6
C. 9 D. 12
24. ¿Qué relación deben guardar los coeficientes del polinomio: ax4 + bx3 + cx + d, para que sea divisible entre: (x2 – 2x + 1)? A. d = 2a + b B. d = 2a + 3b 25. Halle el resto de:
C. 13 D. 20
x5 + (3 2 – 2)x3 + 2 2 + 6 x– 2 +1
A. 1 B. 6
A. 2 B. 3 3 2 D. –4
A. – 2
17. Halle el resto en la división:
A. – 4 B. – 5
C. d = 3a + 2b D. d = a + 2b (2x – 3)11(x + 3)(x – 3) (2x – 3)(2x – 4) C. 10x + 15 D. – 10x + 15
21
Ciclo
Católica (x – 1)9 + (x – 2)5 – 3 (x – 1)(x – 2)
26. Halle el resto de la división: A. x + 3 B. 2x – 6
C. x + 6 D. 2x – 3 n+1
(x + 1)2 +3 , n ∈ ZZ+ 27. Halle el residuo en: x2 + 2x + 2 A. 2 B. 4 28. Hallar el resto en:
x20 + x10 + x4 + 5x + 2 x4 + 1 C. D.
29. Halle el residuo al dividir:
x2 x2
– 5x – 6x
6)2008
(x – + x + 19 (x – 5)(x – 7)
A. x + 14 B. x + 16
C. x + 18 D. x + 20
30. Halle la suma de los coeficientes del cociente al dividir: 8x3 + 4bx2 + 6bx + 13 ; si el residuo de la división es – 8. 2x + 1 A. 38 B. 43
C. 39 D. 53
31. Si el siguiente cociente: calcular el valor de “n”.
x6n + 3 + a6n – 22 n–6
n – 8 , es notable,
x 2 +a 2
A. 24 B. 12
C. 16 D. 18
32. Determinar el número de términos del siguiente C.N. xn – 1 – yn + 4 xn – 5 – yn – 4 A. 8 B. 5
C. 4 D. 6
33. Hallar “m + n” si el “t25” del desarrollo del siguiente C.N.: x129m – a86n ; es x270 a288 . x3m – a2n A. 11 B. 13
C. 8 D. 7
34. Encuentra el término de lugar quince del cociente notable. x72 – y54 x4 – y3 A. – x42y12 B. x12y42
C. x42y12 D. x38y12 x3n + 9
y3n
+ , calcula el valor nux3 + y2 mérico del término central para: x = 1; y = 2.
35. En el cociente notable:
A. 6 B. 32
22
A. 42 B. 38
C. 40 D. 60
x3n – yn , el término de x3 – y lugar 8 contando a partir del extremo final tiene por grado absoluto 38, el número de términos del desarrollo es:
37. Si el desarrollo del siguiente C.N.
C. 6 D. 8
A. 5x B. x2 + 5x
x155 + y93 existe un x5 + y3 término cuyo grado absoluto es 122. La diferencia de los exponentes de “x” e “y” en ese término es:
36. En el desarrollo del siguiente C.N.
C. 64 D. 256
A. 24 B. 23
C. 22 D. 25
38. Calcular “a + b” si el término de lugar 10 contando a partir x60 – yn del extremo final del C.N. que origina: 2 ; es xayb. x –y A. 18 B. 48
C. 38 D. 20
39. Calcula el grado relativo a “x” del término 22 del desarrollo del cociente notable. x155 + a93 x5 + a3 A. 9 B. 22
C. 31 D. 45
40. Dado el siguiente cociente notable:
x3n + 2 – y5n – 1 x2 – yn – 5
entonces el grado absoluto del término 11 en el cociente notable es: A. 25 B. 32
C. 28 D. 34
EJERCICIOS ADICIONALES 41. Si al dividir un polinomio “P(x)” de 3er grado separadamente entre (x – 3) y (x – 2) se obtiene el mismo resto 4. El término independiente y la suma de coeficientes son respectivamente 10 y 8. Halle P(4). A. 8 B. 30
C. 32 D. 14
42. Calcule el resto de dividir “P(x)” entre (x – 6) sabiendo que el término independiente del cociente es 5 y el término independiente del polinomio P(x) es 10. A. 30 B. – 30
C. 40 D. – 40
43. Un polinomio “P(x)” de tercer grado es divisible entre (x + 3) y (x – 2). Si la suma de sus coeficientes es – 20 y su término independiente es – 12, calcular el residuo de dividir P(x) entre (– 4x + 12). A. 64 B. 66
C. 1 D. 0
Trilce Católica
Álgebra 44. Un polinomio “P(x)” al dividirse entre (x – 3) se obtiene como resto 22 y al dividirse entre (x – 4) su resto es 29. Halle el resto de dividir “P(x)” entre el producto (x – 3)(x – 4) A. 3x + 4 B. 7x + 1
3.
C. 4x – 3 D. x + 7
45. Halle el resto de la división: A. 1 B. x + 1
x2n + 2 – x2n (x + 1)2(x –1)
A. 13 B. 11
4.
5.
C. 17 D. 181
6.
C. 3 D. 4
7.
2.
C. 8 D. 9
C. 4 D. 36
12x4 – 12x3 + 13x2 + ax – b Calcular “a – b” si la división: 2x2 – 3x + 5 deja como resto: 4x + 5
Trilce Católica
6x4 – 13x2 + ax – b es exacta. 2x2 – 4x + 5 C. 28 D. 18
Hallar la suma de coeficientes del cociente:
C. – 1 D. 3
9.
El residuo al dividir:
8x5 + 4x3 + ax2 + bx + c 2x3 + x2 + 3
es: 5x2 + 11x + 7; hallar: E =
abc
A. 20 B. 30
C. 40 D. 50
Hallar “m ÷ n” si la división:
mx4 – 8x3 – nx2 + 14x – 8 3x2 + x – 2
es exacta. A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
10. Si la siguiente división no tiene residuo, hallar “m – n”.
Calcular “ab” si el polinomio: 20x4 + 3x3 + ax2 + b, es divisible por: 4x2 + 3x + 2
A. 33 B. 16
8.
2x5 + 3x4 + bx3 + 6bx2 + x + a x2 – x + b
Tarea domiciliaria
A. 9 B. 18
Hallar “a + b” si la división:
x5 + (a + 1)x4 + (a + b)x3 + (b + 1)x2 + ax + b x2 + ax + b
C. 25 D. 24
Se sabe que el resto es (2x + 3); además la suma de coeficientes del cociente es mayor que 15. Calcular “ab”.
1.
C. 2x + 8 D. 2x – 8
A. 1 B. 0
es (bx + c), hallar el mínimo valor de: E = 9a + 3b + c
A. 4 B. 7
¿Cuánto se le debe restar al dividendo de manera, que la siguiente división sea exacta?
A. 38 B. 48
2x4 + 3x2 – ax + b 2x2 + 2x + 3
x4 – 3x3 + ax2 + bx + c + 2 (x – 1)3
50. En la siguiente división:
C. 10 D. 12
A. x + 4 B. x – 4
49. Si el residuo que resulta de dividir:
A. 30 B. 26
4x4 + 23x3 + 24x2 + Ax + B x2 + 5x + 2
x4 + x3 – 5x2 + 15x + 2 x2 – 2x + 3
P(x) = 4x5 – 10x4 + 6x3 + 5x2 – 16x + 13 para: x = 2
A. 1 B. 2
En la siguiente división:
A. 2 B. 6
47. Calcular el valor numérico del polinomio:
48. Calcular “ab” si la división es exacta:
C. 10 D. 12
Determine el valor de “A – B”, si tiene como residuo 3x + 10.
C. 9 D. 7
A. 1762 B. 176
8x2
+ + Ax + B , se obtiene como 3x2 + 3x + 1 residuo (x + 2). Determine “A + B” Al dividir:
–
5x3
A. 6 B. 8
C. x – 1 D. x2 – 1
46. Al dividir “P(x)” separadamente entre (x + 2) y (x – 3) se obtiene el mismo resto 7. Si el término principal del polinomio es (3x3) y su término independiente es 25, entonces el resto de dividir “P(x)” entre (x – 1) es:
6x4
C. 15 D. 10
3x4 – 13x3 – 5x2 + mx + n 3x2 + 4x + 5 A. 7 B. 9
C. 11 D. 13
11. Hallar “ab” en la siguiente división exacta: 3x4 + x3 – 2x2 + ax + b 3x2 + 4x + 5 A. 45 B. 36
C. 42 D. 56
23
Ciclo
Católica
12. Determine el residuo de la división:
17. Si “Q(x)” es el cociente obtenido al efectuar:
x6 + 2x5 – 2 3 x4 – 2 3 x3 – 2x2 + 1 x– 3
3x4 + 7x3 – 3x2 + 10x – 19 3x – 2
A. 0 B. 1
Calcular: Q(1)
C. – 3 D. 4
x6 + 6x5 + 8x4 + 17x3 + 10x2 – 2x + 3 13. Dividir: x+5 Indicar el coeficiente del término cuadrático del cociente. A. 1 B. 2 14. Hallar el resto:
C. 3 D. 4 x60 + x80 + x90 + x20 + 4 x10 + 1
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
15. Hallar “a” si el resto de la división es 7. 4x20 + 2x + a x+1 A. 3 B. 4 16. Hallar el resto en: A. 7 B. – 2
24
A. 6 B. 7
18. Halle la suma de coeficientes del cociente, luego de efectuar la división: 15x5 – 14x4 + 9x3 – 5x2 + 4x + 1 3x – 1 A. 4 B. 6
(x – 3)(x + 7)90 + 7 x+6
C. 12 D. – 4
19. Halle el resto de la división: x5 + (3 2 – 2)x3 + 2 2 + 7 x– 2 +1 A. 5 B. 7
C. 5 D. 7
C. 8 D. 9
20. Hallar el resto en: A. 2x + 1 B. 2x – 1
C. 2 D. 10 (x – 3)80 + (x – 4)15 + 6 (x – 3)(x – 4) C. 2x – 3 D. 2x + 3
C. 2 D. 4
Trilce Católica
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ÁLGEBRA Semana 5
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Quinto Católica
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS factor algebraico
c)
Es aquel polinomio de grado no nulo que divide o se encuentra contenido en forma exacta en otro polinomio. Ejemplos: OO
P(x) = (x + 2)(x + 1) Son factores algebraicos de "P(x)"
Aplicaciones:
(x + 2)
II.
OO
(x + 1)
OO
(x + 2)(x + 1)
FACTOR PRIMO
a)
Es aquel polinomio de grado no nulo que tiene como único divisor a sí mismo.
P(x) = (x + 2)3(x + 1)2(x + 5)6
(x + 2)
OO
(x + 1)
OO
(x + 5) b)
P(x) = (x)(x + 3)6(x – 1)2 Son factores primos de "P(x)" OO
(x)
OO
(x + 3)
OO
P(x; y) = (x + y)2 + (x + y) factor común
Es el proceso inverso a la multiplicación algebraica, consiste descomponer el polinomio en la multiplicación indicada de sus factores primos. Multiplicación P(x) = x2 + 3x + 2 ≡ (x + 1)(x + 2) Factorización
agrupación P(x, y) = x2 + x + 2xy + y + y2 (5 términos) agrupación P(x; y) = (x2 + 2xy + y2) + (x + y)
(x – 1)
FACTORIZACIÓN
I.
(4 términos)
P(x;y) = (x + y)(a + b)
Son factores primos de "P(x)": OO
agrupación P(x, y) = ax + ay + bx + by agrupación P(x;y) = a(x + y) + b(x + y) ↓ ↓ Factor común (x + y)
Ejemplos:
OO
Factor común de menor exponente (x2)
Agrupación Consiste en agrupar términos convenientemente tratando que aparezca algún factor común.
OO
OO
P(x, y) = ax2 + bx3 – cx5 ⇒ P(x, y) = x2(a + bx – cx3) ↓ ↓ ↓
P(x; y) = (x + y)(x + y+ 1) III. Identidades Consiste en identificar algunos productos notables en la formación del polinomio a factorizar tratando que aparezca un factor común. A continuación tenemos los productos notables más utilizados: Polinomio factorizado
CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS
Producto notable
Factor Común Consiste en buscar factores (monomios o polinomios) comunes a todos los términos de un polinomio para luego extraerlos con su menor exponente.
Diferencia de cuadrados a2 – b2
→
(a – b)(a + b)
Trinomio cuadrado perfecto a2 ± 2ab + b2
→
(a ± b)2
Suma y diferencia de cubos a3 ± b3
→
Aplicaciones: a)
b)
P(x, y) = ax + bx + xy ⇒ P(x; y) = (x)(a + b + y) ↓ ↓ ↓
Ilustraciones:
Factor común monomio (x)
a)
P(x, y) = (x – 1)m + (x – 1)n ⇒ P(x, y) = (x – 1)(m + n) ↓ ↓ Factor común polinomio (x – 1)
Trilce Católica
(a ± b)(a2
ab + b2)
P(x; y) = 25x2 – 4y2
(Buscando la forma)
P(x; y) = (5x)2 – (2y)2
(Diferencia de cuadrados)
P(x; y) = (5x – 2y)(5x + 2y)
25
Ciclo
Católica b)
P(x; y) = 9x2 + 12xy + 4y2
Factorizar: x3 + 4x2 + x – 6
(Buscando la forma)
P(x; y) = (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2 (T.C.P.) P(x; y) = (3x+2y)2 c)
P(x; y) = 64x3 – 125y3
(Buscando la forma)
P(x; y) = (4x)3 – (5y)3
(Diferencia de cubos)
Factorizar: x3 + 5x2 – 2x – 24
P(x; y) = (4x – 5y)(16x2 + 20xy + 25y2) IV. Aspa simple Forma general del polinomio a factorizar: P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m
m, n ∈ lN
VI. Método del quita y pon 1.
Ilustraciones: a)
x4 + x2 + 1 ↓ ↓
Factorizar:
2 ( ( ) )
Factorizar: P(x;y) = x2 + 5xy + 6y2
= 2x2
⇒ x4 + x2 + 1 =
Descomponemos los extremos. P(x; y) = x2 + 5xy + 6y2 x 2y → 2xy + Verificamos el x 3y → 3xy término central 5xy
2.
Los factores se eligen en forma horizontal. P(x; y) = (x + 2y)(x + 3y) Expresión factorizada. b)
1.
)
(
)(
)
= 4n2
Factorizar: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 Agrupando convenientemente, tenemos: (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) + 1
P = m2 + 3my – 4y2 m 4y → 4my + Verificamos el m –y → –my término central 3my
Efectuando por parejas de factores: (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) + 1
Los factores se eligen en forma horizontal:
Hacemos cambio de variable: x2 + 5x = m
P = (m + 4y)(m – y)
Así tenemos:
P(x; y) = (x + 3 + 4y)(x + 3 – y) Expresión factorizada
(m + 4)(m + 6) + 1 = (m2 + 10m + 24) + 1 = m2 + 10m + 25 ↓ ↓ m 5 m 5
Teorema Sean "A(x)" y "B(x)" polinomios primos y primos entre sí, m
a factores, tenemos: (m + 5)2
n
tal que: P(x) = A(x) . B(x) Números de factores primos = 2 Números de factores algebraicos = (m + 1)(n + 1) – 1
V. Método de los divisores binomios Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado que aceptan factores de primer grado.
26
VII. Cambio de variable
P = m2 + 3my – 4y2 (Se reconoce un aspa simple)
a) b)
2 ( )2 – (
⇒ 1 + 4n4 =
Factorizar: P(x; y) = (x + 3)2 + 3(x + 3)y – 4y2 Hacemos un cambio de variable: Sea: x + 3 = m (Para reconocer que método utilizar) así tenemos que reemplazarlo en el polinomio, se tiene:
Factorizar: 1 + 4n4 ↓ ↓ 1 2n2
reemplazando por su equivalencia: (x2 + 5x + 5)2 OO
Factorizar e indicar el número de factores primos.
1.
x(x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1
2.
(x – 1) (x2 – 4) (x + 3) + 3
Trilce Católica
Álgebra c)
Ejemplos de la clase 1.
= ___________________
M(x) = x2a + x2b – x2c
d)
M(x) = _____________ b)
d)
= ___________________ e)
M(a) = 10a9 – 5a10
= ___________________
A(x; y) = 5 (x – y) – m (y – x)
= ___________________ 4.
Aspa simple a)
R(x; y; z) = (x + y + 2)z + (x + 2 + y) x
Agrupación:
____ ____
a)
T(m) = _______________
P = xy – zy + xa – za = ___________________
b)
b)
c)
____ ____
Q = a2b + a2c + d2b + d2c
____ ____
= ___________________
S(b) = _______________ c)
_____ _____
= ___________________
_____ _____
S = a5 + a3 – 2a2 – 2
M(a, b, c) = _______________ 5.
= ___________________
T = a2 – 3 + a2b – 3b = ___________________ = ___________________
Nivel I
A = m4 – 1
1.
= ___________________ b)
B=
–
q8
= ___________________ = ___________________
Trilce Católica
Factorizar: x5 – ax4 + bx4 – abx3 A. x(x + a + b + 1) B. x(x + a3)(x – b3)
= ___________________
p6
F(x;y) = 4x2 + 4xy – 3y2 – 6x – y + 2 P(x;y) = x2 + 3xy – 5x – 21y – 14 P(y) = y4 + 13y3 + 45y2 + 20y + 2 M(x) = x4 + 2x3 + 6x2 + 5x + 6 Q(x) = 2x4 + 7x3 + 9x2 + 5x + 1
Problemas para la clase
Identidades: a)
Factorizar: a) b) c) d) e)
= ___________________ e)
M(a, b, c) = 3a2b4 – 8ab2c + 5c2
R = x5 + x3 + x2 + 1
= ___________________ d)
S(b) = 3b4 + 7b2 + 4
= ___________________
= ___________________
3.
T(m) = 6m2 – 7m + 2 ____ ____
R(x; y; z) = ___________________ 2.
E = x2 + 10x + 25
M(a) = ______________
A(x; y) = ______________ e)
D = p36q12 – 27 = ___________________
T(x) = x3 – xy – 5x T(x) = ______________
c)
–1
= ___________________
Factor común: a)
C=
a3b3
2.
C. x3(x – a)(x + b) D. x3(x – a)(x – b)
Factorizar: (x + 1)7 (x2 + 1)10 – (x + 1)5 (x2 + 1)11 Indicar como respuesta uno de los factores. A. x + 2 B. x – 1
C. x D. x2 + 2
27
Ciclo
Católica
3.
Factorizar: R(x) = xn + 2 + xn + x3 – x2 + x – 1 A. (x2n + 1)(x2 – n – 1) B. (x + 1)(x2n – x + 1)
4.
C. (x + 1)(x2n + x + 1) D. (x2 + 1)(xn + x – 1)
Factorizar: am + n + bm + n + (a . b)m + (b . a)n Indicar un factor primo. A. an – bn B. an + bm
5.
C. am + an D. bm + bn
Indicar la suma de factores primos de: (2x2 + 7x)(x + 5) + (6x + 15)(x + 5) A. 4x + 13 B. 3x + 8
6.
C. 4x + 8 D. 3x + 13
Uno de los factores luego de factorizar es: E = b2 + c2 – a2 – d2 + 2ad + 2bc A. b + c + a – d B. b – c + a – d
7.
Factorizar: P(x) = x2(x + 7) + 6x(x + 7) + 9x + 63 A. (x + 7)(x – 9)2 B. (x + 7)(x + 9)2
8.
C. (x + 7)(x – 3)2 D. (x + 7)(x + 3)2
Factorizar: R(x) = x3(x + m) + 2x2(x + m) A. x(x + m)(x + 2) B. x2(x + m)(x + 2)
9.
C. b – c + a + d D. b + c – a – d
C. x2(x + 2m)(x + 2) D. x2(x – m)(x – 2)
Señalar uno de los factores del polinomio: x(y2 + z2) + y(z2 + x2) A. x – y B. x + 2y
C. x + y D. y + 1
10. Factorizar: x(x + 4) – yx – 4y + 7x + 28 A. (x + 4)(x + y – 7) B. (x + 4)(x – y + 7)
C. (x – 4)(x – y + 7) D. (x + 4)(x + y)
Nivel II 11. Factorizar: a6 – 64b6 A. B. C. D.
(a + 2b)(a – 2b)(a2 – 2ab + 4b2)(a2 + 2ab + 4b2) (a + b)(a – b)(a2 – ab + b2)(a2 + ab + b2) (a + 2b)(a – 2b)(a2 – ab + 2b2) (a + b)(a – b)(a2 – ab – b2)(a2 + ab + b2)
12. Uno de los factores del polinomio: F(x) = x2 – 4x – 25y2 + 4 es: A. x – 5y B. x – y + 2
C. x + 5y D. x – 5y – 2
13. Factorizar: P(x) = x14 – x2 – 6x – 9 A. (x7 – x – 3)2 B. (x7 + x + 3)(x7 – x – 3)
28
C. (x7 + x + 3)(x7 – x + 3) D. (x14 + x + 3)(x14 – x – 3)
14. Factorizar: P(x) = abx2 + (2a + 3b)x + 6 , indicar un factor primo. A. ax + 3 B. bx2 + 24
C. ax – 3 D. bx – 2
15. Factorizar: 25x4 – 109x2y2 + 36y4 A. B. C. D.
(5x + 3y)(5x – 3y)(x + 2y)(x – 2y) (25x + 9y)(25x – 9y)(x + 4y)(x – 4y) (5x + 2y)(5x – 2y)(x + 3y)(x – 3y) (5x + y)(5x – y)(x + y)(x – y)
16. Indica cuál de los siguientes no es un factor de: 18x4y2 + 51x3y3 – 42x2y4 A. 3x – 2y B. x
C. y D. 2x – 7y
17. Descomponer: 9x4 – 61x2y2 + 100y4; en el máximo número de factores y dar como respuesta la suma de sus factores. A. 8x B. 8x + 14y
C. 10x2 – 29y D. 10x2 – 21y
18. Factoriza: 25a2 – 4b2 + 20a + 4; uno de sus factores primos es: A. 5a – 2b – 2 B. 5a + 2b + 2
C. 5a + 2b D. 5a – 2b
19. Uno de los factores de: E = 8x6 + 7x3 – 1, es: A. x2 + x + 1 B. 4x2 + 2x + 1
C. x – 1 D. 4x2 – 2x + 1
20. Factorizar: x2 + (2a + 7)x + a2 + 7a + 10, señalar un factor primo. A. x + a + 5 B. x – a – 5
C. x + a – 2 D. x + a + 7
Nivel III 21. Factorizar: x3 – 8x2 + 13x – 6; indicando el factor primo que más se repite. A. x – 6 B. x – 1
C. x + 2 D. x – 3
22. Factorizar: x3 – 11x2 + 31x – 21, indicando la suma de sus factores primos. A. 3x + 11 B. 2x + 10
C. 2x – 11 D. 3x – 11
23. Factorizar: 6x3 + 11x2 + 6x + 1, indicando un factor primo. A. 3x – 1 B. 4x + 1
C. x – 1 D. 2x + 1
24. Factorizar: P(x) = x3 – x2 – 2x – 12 A. (x – 3)(x + 2)(x + 3) B. (x + 3)(x + 2)2
C. (x – 3)(x + 2)2 D. (x – 3)(x2 + 2x + 4)
Trilce Católica
Álgebra 25. Luego de factorizar, indicar la suma de sus factores primos: f(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8 A. 3x – 2 B. 3x + 5
C. 3x + 2 D. 3x + 4
26. Factorizar: x3 + x2y – x – y3 – xy2 + y; e indica la suma de sus factores. A. 3x + 2y B. 3x + y
5.
6.
7.
C. x2 + x + 1 D. x + 1
8.
28. Factorizar: a2 + b2x2 – (c2y2 – 2abx)
A. ac + bxy B. a + bx – cy
C. a – bx + cy D. a – bx – cy
E = ax2 – bx2 – axz + bxz + axy – bxy – ayz + byz , es: C. x – y D. y + z
30. Si al factorizar: x3 + 8x2 – x – 8; se obtiene: (x + a)(x + b)(x + c), donde: ab > 0; hallar: (a + b)c A. – 8 B. – 9
C. 9 D. 8
1.
Factorizar: y2 + xy + xz + yz, indicando un factor primo. A. y + z B. x + z
2.
Factorizar: x2(x + 5) + 6x(x + 5) + 9x + 45, indicando el factor primo que más se repite. A. x + 2 B. x + 5
3.
C. x + 3 D. x + 4
Factorizar: x6(x + a) – 9x4(x + a), indicando un factor primo. A. x + 6 B. x – a
4.
C. 2x + y D. x + 2z
C. x D. 2x – 6
Factorizar: (x – 3)(x – 2) – (x – 2)(1 – x) + 2 – x, indicando un factor primo. A. x + 2 B. x – 1
Trilce Católica
C. 2x + 5 D. 2x – 5
C. 4x + 12y D. x + y
10. Calcular uno de los factores primos de: ac(a + c) + ab(a – b) – bc(b + c) A. a – c B. a + b
C. a – b D. a + b + c
11. Factorizar: x3 – x2 – 2x – 12, indicando la suma de los términos independientes de sus factores primos. A. 2 B. 3
Tarea domiciliaria
C. ax + 3 D. bx + 3
Al factorizar: 4(x + 3y)2 – 9(2x – y)2, indicar la suma de sus factores primos. A. 8x + 3y B. 9y – 4x
29. Uno de los factores de:
A. a + b B. x + y
9.
C. 4 D. 5
Factorizar: abx2 + (2a + 3b)x + 6; indicando un factor primo. A. x + a B. x + b
Uno de los factores primos es:
C. 5 D. 4
Factorizar: xa + 6 + xa + x8 – x6 + x2 – 1, indicando el número de sus factores primos. A. 3 B. 2
Uno de los factores primos es:
C. 0 D. 3
Factorizar: (25x2 – 16y2)(x2 – 4y2)(x4 – y4); indicando el número de factores primos. A. 7 B. 6
P(x) = (x4 – 1) (x4 – x2 + 1) + 2x3(x2 – 1)
A. x2 + x – 1 B. x2 + 1
res primos cuadráticos tiene. A. 2 B. 1
C. 6x + y D. x + 6y
27. Al factorizar el polinomio:
Factorizar: x6 – x4y2 – x2y4 + y6; indicando cuántos facto–
C. –2 D. 1
12. Factorizar: B(x) = (2x2 – 3x)2 – 14(2x2 – 3x) + 45, e indicar un factor primo. A. 2x – 1 B. 2x – 3
C. 2x + 3 D. 2x + 1
13. Factorizar: P(x) = x3 + 3x2 – 10x – 24 A. (x + 2)(x – 3)(x + 4) B. (x + 2)(x – 3)(x – 4)
C. (x – 2)(x – 3)(x – 4) D. (x – 2)(x + 3)(x + 4)
14. Factorizar: P(x) = 8x2 – 2x – 3 , e indicar un factor primo. A. x + 1 B. 2x – 3
C. 2x + 1 D. 2x + 3
15. Factorizar: (x + 1)7(x2 + 1)10 – (x + 1)5(x2 + 1)11 Dar como respuesta el factor que más se repite. A. x + 1 B. x
C. x2 + 1 D. x2 + 2
29
Ciclo
Católica
16. Factorizar: P(x; y) = [(x + z) (x – z) + 1]2 – 4x2 e indicar el número de factores primos. A. 2 B. 4
C. 5 D. 3
17. Factorizar: x3 + 2 + x(2x + 1) y dar como respuesta la suma de sus factores. A. x2 + x + 3 B. x2 + 1
C. x + 2 D. x2 + 3
19. Al factorizar: 6x2n + 1 + 5xn + 1 – 6x; indicar un factor primo. A. 3xn – 2 B. xn + 3
C. xn – 2 D. 4xn – 1
20. Factorizar: P(x) = (x2 – 8x)2 – 13(x2 – 8x) + 36 e indicar un factor primo. A. x2 – 8x + 9 B. x2 – 8x + 4
C. x2 – 8x – 4 D. x + 9
18. Uno de los factores de: E = (5a + 3)3 – 8a3 , es: A. 3a – 1 B. 19a2 + 8a + 1
30
C. 39a2 + 12a + 1 D. 13a2 + 12a + 3
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 6
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES A. FRACCIÓN ALGEBRAICA
2.
Una fracción algebraica se define como la relación que existe entre dos polinomios, en la cual el denominador es un polinomio de grado no nulo y diferente de cero. Denotado:
P(x)
Q(x)
B. 3.
Para simplificar fracciones algebraicas se realiza el siguiente procedimiento:
b) c)
Se factoriza el numerador "P(x)" y el denominador "Q(x)" Se eliminan los factores iguales del numerador con los del denominador. El resultado es una fracción irreductible.
Para determinar el “mcm” se factorizan las expresiones y se toman los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. D. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
1 3 2 3
Reducir: A.
C.
4.
(x – 1)(x – 2)(1 + x) (x + 1)(1 – x)(2 – x)
1
C. 0 D.
P = x3 + x2 y Q = x2 – y2 R = x2 – 2xy + y2 A. 2 B. 3 5.
C. 4 D. 5
Hallar el MCD de: P = 5x3 – 5x2 + 2x – 2 Q = 2x3 + 2x2 –2x – 2 R = x4 + x3 – x2 – x
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
A. x2 – 1 B. x – 2 6.
P R PS ± QR ± = Q S QS
P Q P R PS ÷ = R = Q S QR S
A.
8.
B. –1
Trilce Católica
a b
9.
Simplificar:
Reducir:
x a+x
1+
x a C. a D. 1
a–1 a a B. a–1
C. 0 D.
Efectuar: 1 –
A.
3a – b b – 3a
1
1 18 2 D. 9
C.
A. 2 B. x
Problemas para la clase Reducir:
La suma de dos números es 15 y su producto 54. Calcular la suma de sus recíprocas. 1 10 5 B. 18
7.
DIVISIÓN:
C. x – 3 D. x – 1
A.
MULTIPLICACIÓN: P R PR × = Q S QS
x x+1
Hallar el número de factores primos del MCM de:
Para determinar el “MCD” se factorizan las expresiones y se toman los factores comunes con su menor exponente.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN:
1 4
D. 1
B. –1
C. MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (M.C.M.)
1.
a 2 a+1 = ; ¿cuánto valdría: ? b 3 2b + 3
A.
; Q(x) ≠ 0
B. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
a)
Si:
1 – a– 1 –1 – (1 – a–1)–1 a C. a D.
a a +1
x2 + x x–1 x+3 – + x – 2 –2 + x 2–x
A. x + 1 B. x – 1
C. x D. 1
31
Ciclo
Católica
10. Efectuar:
x + z y – 3z z + y z + y + + – x–y y–z y–x z–y
A. 1 B. –1 11. Reducir:
C. 2 D. 3 (x + y)xy + x2(x + y) (x2 – y2)x + y(x2 – y2)
C. 2x – y D. x + 2y
12. Determinar el equivalente de la fracción: x3 – x2y + x2 – xy x4 – x2y2 + x3 – xy2 1 A. x 1 B. x+1
x C. x+y 1 D. x+y
1 A B 13. Si: 2 = + , hallar "A ÷ B" n –1 n+1 n–1 A. –1 B.
C. 0
1 2
D. 1
2x2 + x – 3 x2 + 10x + 9 14. Efectuar: 2 + 2 x + 3x – 4 x + 5x + 4 A. – 3 B. – 2 15. Efectuar:
C. 3 D. 1 (x2 – 3x)2 – (x + 1)2 (x2 – 4x)2 – (2x + 1)2
Señalar la diferencia de los elementos de la fracción resultante. A. 2x B. ± 2x 16. Efectuar:
C. – 2x D. ± x a3 – a2b a3 + b3 – 2 (a – b)2 a – b2
A. – a B. – b
a2 b2 a b + 2 – – 17. Efectuar: 2 b + ab a + ab b a a b b B. a 18. Efectuar:
C. 1 D. –1 a2 a3 b2 b3 – – + b ab + b2 a ab + a2
A. a – b B. a + b
32
C. 1 D. 2
a b b B. a
C.
A.
1 ab
D. –1
21. Descomponiendo en fracciones parciales, hallar "M . N" 6x – N M N = + x2 – 4 x–2 x+2 A. – 4 B. – 2
C. 0 D. 4
1 1 – x – 1 x + 1 22. Efectuar: x 1 – x–1 x+1 A. B.
1 x2 + 1 2 x2 + 1
23. Efectuar:
C. D.
3 x2 + 1 x–1 x2 + 1
x + 1 2y + 1 xy + 1 + – 2 2x2 4xy x y
Indicar el numerador de la fracción resultante. A. 3y + 4 B. 3x + 4 24. Efectuar:
C. x + 2y + 4 D. x + 2y – 4
4x2 + 8x – 5 x2 – x – 20 + 2 2 2x + 5x – 3 x – 2x – 15
1 3 1 B. 2
A.
C. 1 D. 3
6 x + 3 25. Efectuar: 6 x–1+ x+6 x+2–
C. a D. b
A.
A. a – b B. a + b
b2 – a2 a2 – ab a–b a2 – 1 + + 2 – 20. Efectuar: 2 2 2 2 a –b ab – b ab – a b ab
Indique la suma del numerador y el denominador de la fracción resultante. A. 2x + 2y B. 2x
a2 – b2 b2 a2 + 3b2 a2 + + + 19. Efectuar: 2 a + b2 a2 – b2 a2 + b2 b2 – a2
C. ab + 1 D. ab – 1
Indicar la diferencia de los elementos de la fracción resultante. A. 3 B. – 3
C. ±3 D. 2
2 1 1 + + 2 26. Efectuar: 2 x + 4x + 3 x2 + x x + 3x Indicar el numerador final. A. x + 2 B. x + 1
C. 4x + 2 D. 4
Trilce Católica
Álgebra 1
x+
1 1 x (a + b + x) + – 36. Simplificar: a b ab 1 1 2 x2 + 2+ – 2 2 2 a b ab a b
1 x– x 27. Reducir: 1 x–1+ x+1 A. B.
x x–1 1 x2 – x
C. D. 3
28. Efectuar: 1+
1
1 1+ x
1
+ –1 +
37. Calcular el valor constante que toma la fracción independiente de “x”:
3
(bc – a2)x + (ac – b)2 (b + c)x + (a + c)
1 1– x
A. x B. 2x + 1
A. a – b – c B. a + b + c
C. 2 D. 4x + 1
38. Reducir:
1 –1– x – 1 , se obtiene: 29. Al efectuar: 1 –x+1 x2 – 1 x2
A. x + 1 B.
x2 + 1 x2 – 1
x+1 x–1 – + 2x – 2 2x + 2
30. Efectuar:
C.
x–1 x+1
31. Simplificar:
A. B. –
4x x2 – 1
x+1 x+2
x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 x4 + x2 + 1
B. a +
Además: a ≠ b ≠ c ≠ 0 SK =
A. x + 2 B. x – 1 34. Efectuar:
x2
C. x + 3 D. 1 3x2 + 11 + 6 3 – x–1 x–2 – x+2 x+1
A. x + 3 B. x + 2 35. Reducir:
C. x – 2 D. – x – 3
(a + b)3 – (a – b)3 – 2b3 (a + b)3 + (a – b)3 – 2a3
A. 1 B. – 1
Trilce Católica
b a a D. b C.
ak bk ck + + (a – b)(a – c) (b – c)(b – a) (c – a)(c – b)
S + S3 Determine el equivalente de: 0 S1 + S2 A. 1 B. a
D. a – b
x2 – x – 2 x2 + 5x + 6 x – 4 33. Simplificar: 2 . . x – x – 12 x2 + 3x + 2 x – 2
1 3 D. 3
C.
40. Siendo “k” un entero no negativo:
C. (a + b)2
b2 a
a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
1 3 B. – 3
C. x + 3 D. x – 1
a+b
6x + 2 6x – 1 3x – 2 D. 3x – 1
C.
A. –
a5 – a4c – ab4 + b4c 32. Simplificar: 4 a – a3c – a2b2 + ab2c A.
3x3 – 2x2 – (a + 2)x – 6 3x3 – 5x2 – (a – 1)x + 6
3x + 1 3x – 2 2x + 3 2x – 1
39. Reducir:
D. 0
A. x + 1 B. x + 2
C. a + b + 2c D. 1
Si admite como divisor común a: x2 + mx – 6
C. x + 1 1 D. x+1
A. –x – 1 –1 B. x+1
C. (ab)–1 D. ab
A. x B. 1
x x+1 1 x2 + x
C. a + b + c D. c
Tarea domiciliaria 1.
Reducir:
4x – 1 x + 6 2x + 14 – – x–3 3–x –3 + x
A. 2 B. 1 2.
C. 3 D. 0
Hallar el mcm de: P = x2 – 4x + 3 Q = x2 + 4x + 3 R = x4 – 10x2 + 9 S = x3 – 9x + x2 – 9 y dar como respuesta la suma de sus factores primos A. 2x B. 3x
C. 4x
D. 5x
33
Ciclo
Católica
3.
Hallar el MCD de los polinomios:
12. Efectuar:
P = x3 – 5x2 – x + 5 Q = x4 + 4x3 – 4x – 1
4.
Efectuar:
a + c b – 3c c + b c + b + + – a–b b–c b–a c–b
A. 1 B. –1 5.
C. 2 D. 3
Hallar el valor de:
6.
C. xy D. 12
Reducir: R =
7.
A. x + 1 B. 2x + 3
C. 2x + 5 D. 2x – 3
Simplificar: B =
3 1 4 – – 2a + 2 4a – 4 8 – 8a2
4 A. 7(a + 1) 5 B. 4(a + 1) 9.
4a + 1 C. 2(a – 1) 3a D. a+1
7x + 26 A B Si: 2 = + x + 7x + 10 x + 2 x + 5 hallar:
A2
+
10. Efectuar:
B.
C. D.
11. Reducir:
3 2
3x + 7 x+2 x+3 x+3– x+4 C. D.
x+4 x+2 x–2 x+1
1 – xy2 + x – y2 (1 + xy)2 – (x + y)2
a(a + c) + b(c – b) c(a + c) + b(a – b)
a–b b+c b–c a–b
16. Simplificar:
C. D.
2a3
a+c a+b a+b c+b
a3 – 25a – 8a2 – 10a
a–5 2(a + 1) a+5 B. 2(a – 1)
a+5 a+1 a+5 D. 2(a + 1)
A.
C.
17. Descomponiendo en fracciones parciales, hallar: M – N 6x – N M N = + x2 – 4 x – 2 x + 2 A. – 4 B. – 2
C. 0 D. 4 a–2 – b–2 a–1 + b–1
a–1 – b–1 –1 a–2 . b–2 C. (ab)–1 D. (ab)–2
A. ab B. (ab)2
A. 135 B. – 36 20. Simplificar: A.
C. x – 1
1 B. 1 – x
1 1–x
34
C. xy D. (xy)–1
a(x – y) + 12xy + b(x + y) 3x + 4xy + 5y
es independiente de “x” e “y”.
1–x
A.
1 1 1 1 x y – + – x y x y y x
19. Calcular “ab” si la fracción:
x+1–
x+1 x+2 x+2 x+1
C. 0 D. 2
18. Reducir: Q =
B2
A. 1 B. 5
A.
A.
x2
Señalar el numerador de la fracción resultante.
8.
14. Simplifica:
B.
x2 – 1 x2 + 5x + 4 + + x – 2 x2 + 3x + 2
Reducir:
x2 + x – 2 x2 + 7x + 12 13. Reducir: 2 + 2 x + 2x – 3 x + 7x + 9
15. Simplificar:
C. x2 D. x + 1
a b
D. 1
A. 1 B. – (xy)–1
x2 2x3 x2 – 2 + x+1 x –1 x–1
A. 0 B. x
C.
A. – 2 B. – 1
(3x + 2y)2 – (3x – 2y)2 (2x + 3y)2 – (2x – 3y)2
A. 1 B. 24
a b b B. – a A. –
C. x2 – 1 D. x2 + 1
A. x – 1 B. x + 1
ab + b2 ab – b2 + ab ab – a2
D.
B.
1 a–b 1 a+b
C. 48 D. – 48 –a + –a + –b
–b –a – –b C. D.
a–b a+b a+b a–b
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 7
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
RADICACIÓN Se llama radicación a la operación matemática a través de la cual, dada una variable real “x” y un número natural “n”, existe un tercer número “r” llamado raíz, siempre que: r n = x. Es decir:
Ejemplo:
OO
Si:
n
x = r → x = rn
OO
3
27 = 3 → 27 = 33 5 –32 = –2 → –32 = (–2)5 1 1 1 1 4 = → = ( )4 81 3 81 3 10 1024 = 2 → 1024 = 210
OO
3
5
a10b15c2 =
2.33.5 = 5
3
a10 .
3
3
2. 5
33 .
b15 .
5
5 =2.3.
5=
3
2 .3.
3
5 =6 5 3
5 = 3 10
5
c2 = a2b3 c2
Ejemplo:
Ejemplos:
OO
270 =
32 .
Para introducir un factor en un radical de índice ‘‘n’’, se elevará el factor a la potencia n–ésima y se multiplicará por el radicando.
n: Índice (n ∈ IN; n ≥ 2) x: Radicando o cantidad subradical. r: Raíz n–ésima de “x”.
OO
3
22 .
Introducir un factor en un radical
Donde:
OO
22 . 32 . 5 =
180 =
OO
2
OO
2 5 = (2)2 × 5 =
OO
6 2=
OO
x2. y =
3
3
5
(6)3 × 2 = 5
(x2)5y =
20 3
432
5
x10y
Clasificación de los Radicales n =
n Se omite el índice
Radicales Heterogéneos
Recuerda
Son aquellos radicales tales que sus índices son diferentes.
Ley de signos
Ejemplo:
2n
# Positivo = +
2n
# Negativo = ∃ en IR; número imaginario
2n + 1
# Positivo = +
2n + 1
# Negativo = –
OO
OO
5
xy ;
7
a
3x ;
3
2y
43
Radicales Homogéneos Son aquellos radicales que tienen igual índice.
+
Siendo {a; b} ⊂ R0; n ∈ lN ≠ {1} entonces: I.
Raíz de un producto
II.
Raíz de un cociente
n
ab =
n
a.
n
b
a =
mn
2;
OO
n
a a n = b n b m n
Ejemplo:
(b ≠ 0) OO
Extraer un factor de un radical Para extraer un factor del radical, se descompone el radicando en la multiplicación de otras cantidades, uno de los cuales tiene por exponente el mayor múltiplo del índice y se divide este exponente entre el índice de dicha raíz.
3
3;
5
x;
xy → Son homogéneos
Índice 2 3
3
3
→ Son homogéneos
5
→ Son homogéneos
3 ; 2 x; 5x y; 7x x2
a OO
Trilce Católica
2;
OO
Teoremas:
III. Raíz de una raíz
3
Índice 3 5
5
7 ; 3 2; x x2 ; xy xy Índice 5
Radicales Semejantes Son aquellos radicales que además de tener el mismo índice, poseen la misma cantidad subradical.
35
Ciclo
Católica Multiplicación y división
Ejemplo: a ; b a ; m a ; 3 a → Son semejantes
OO
Índice: 2
Ejemplo:
Cantidad subradical: a OO
5
5
5
Para multiplicar dos radicales primero se reducen al mismo índice, en caso de que sea necesario.
5
2 xy; 3 xy; y xy; mn xy → Son semejantes
Multiplicar
2 por
3
Resolución:
Índice: 5
El M.C.M. de los índices 3 y 2 es 6; por tanto, convertiremos cada radical al índice 6. Así resulta:
Cantidad subradical: xy Escribe tres radicales semejantes a cada uno de los siguientes radicales:
3
3
A = x x2y ; _______________________________ Homogenización de radicales Para dos o más radicales heterogéneos que quisiéramos expresarlos con un índice común, bastará con que encuentres el m.c.m de los índices que será el nuevo índice.
1
2
6
4
6
27
2 = 23 = 26 = 1
5
M = 2 a ; _______________________________
3
3 = 32 = 36 = De donde: 3
2
3=
6
4
6
27 →
3
2
3=
6
108
La multiplicación de expresiones de dos o más términos, ya sea que algunos o todos contengan radicales, se efectúa al igual que con expresiones algebraicas ordinarias. Ejemplo:
Ejemplo: OO
3
El M.C.M de (3; 2; 6) = 6
Multiplicar: 3 x + 2 y por 2 x – 3 y
Luego:
3×2
22 ;
Resolución:
6
6
3
2;
5;
6
3
4;
3×2
125 ;
6
53 ;
6
3
Se ordenan las expresiones y se procede como en la multiplicación ordinaria, la operación se dispone como sigue:
3
Operaciones con radicales
3 x + 2 y
Adición y Sustracción
2 x – 3 y
La suma o sustracción algebraica de radicales semejantes se efectúa como la de términos semejantes, es decir, se multiplica la suma de sus coeficientes por el radical común.
6x + 4 xy – 9 xy – 6y 6x – 5 xy – 6y
Ejemplo:
Para dividir un radical entre otro, estos deben tener el mismo índice.
Calcular la suma indicada: M = 4 2 – 2 18 + 3 32 –
50
Ejemplo: Efectuar las divisiones indicadas:
Resolución: Primero simplificaremos los términos, en caso de que sea posible. Así tenemos: M = 4 2 – 2 18 + 3 32 –
M = 4 2 – 2 9 × 2 + 3 16 × 2 –
M = (4 – 6 + 12 – 5) 2 M=5 2
36
5
6
3 5
25 × 2
M=4 2 –2×3 2 +3×4 2 –5 2 M = 4 2 – 6 2 + 12 2 – 5 2
a)
b)
50
10 = 2
10 = 2
c)
7
3 27 6 = 6 = 3 3 9 35
x14 35 9 x2 = 35 5 = x x x
Radicales Dobles Son aquellos radicales que se caracterizan porque dentro de un radical, se encuentran contenidos uno o más radicales con otras expresiones a través de operaciones de adición y sustracción.
Trilce Católica
Álgebra Ejemplo:
Ejemplo:
OO
A±
B
OO
A+
B+
A±
B
OO
3
C+
D
1 caso. Radicales de la forma: OO
A±
x±
B=
A±
B
5+
24 =
3+2+2 3×2 =
3+
2
OO
7–
40 =
5+2–2 5×2 =
5–
2
OO
28 + 5 12 =
y ; (x > 0 ∧ y > 0, x > y)
FACTOR RACIONALIZANTE (F.R.)
De donde: x+y=A 4xy = B
á
x2 – Ax +
Se llama factor racionalizante a aquella expresión algebraica irracional que multiplicada por el numerador y denominador de una fracción permite que uno de estos se transforme en una expresión algebraica racional.
B =0 4
A2 – B 2
A±
Luego:
A±
A+
B=
A2 – B ± 2
A–
A2 – B 2
Casos que presentan: A± A2
Donde: C =
B=
A+C ± 2
CASO I
A–C 2
n
–B
N am
; n > m; m, n ∈ IN; a ∈ R+ n
Además: A2 – B es cuadrado perfecto
El factor racionalizante es:
Ejemplo:
n n–m n N a N × an – m ∴ n am × n n – m = a a
Transformar a radicales simples: ⇒ Se tiene: 11 + 8 × 32 112 – 8 × 32 = 7 11 + 7 11 – 7 + =3+ 2 11 + 3 8 = 2 2
11 + 3 8 ⇒C= ∴
7–
b) ∴
⇒ C = 72 – 40 = 3 7+3 7–3 – = 5– 40 = 2 2
OO
7–
∴
3+
5
32 – 5 = 2 ⇒C= 3+2 3–2 5 + + = = 2 2 2
2
1 2
a + b ± 2 ab = a>b
Trilce Católica
3
3 22 5 4 ×3 2 = 2 2 2
5
Ejemplo: 7 3
9 2
( a±
3
7 32
.
6
2
×
3 3
3. 3.
6 6
25 = 73 3 . 6 32 = 73 3 . 6 32 3×2 6 25
∴ El denominador es 6.
b)2 = a + b ± 2 ab
CASO II
Lo aplicaremos de la siguiente manera: B=
2
Resolución:
También se puede transformar A ± B a radicales simples formando un trinomio cuadrado perfecto para lo cual debemos recordar lo siguiente:
A±
5
Indicar el denominador, luego de racionalizar:
Regla práctica
( a±
Ejemplo: Racionalizar el denominador de: 3
3
OO
5
an – m
Resolución:
40
3+
c)
OO
M F.R. M × F.R. × = I F.R. Racional ↓ Expresión irracional
Por lo tanto:
a)
3
Por lo general, se emplea para eliminar la irracionalidad de los denominadores.
B = x + y ± 2 xy
∴x =
25 + 3 + 2 25 × 3 = 5 +
Es el procedimiento por el cual se transforma uno de los componentes de una fracción (numerador o denominador) que se encuentra en forma irracional en otra equivalente racional.
Elevando al cuadrado: A±
OO
b)2 =
a±
b
N ; f(x), g(x) ∈ IR+ f(x) ± g(x)
37
Ciclo
Católica Factor racionalizante
Expresión
OO
Problemas para la clase
Producto
f(x) + g(x)
f(x) – g(x)
f(x) – g(x)
f(x) – g(x)
f(x) + g(x)
f(x) – g(x)
Ejemplo: Racionalizar el denominador de:
7 5+
Nivel I 1.
7 5+
OO
2. 2
×
5– 5–
2
2 7( 5 – = 3 2
2) 3.
2
Ejemplo: Indicar el denominador racionalizado de:
5 5–1
Resolución:
5 + 1 5( 5 + 1) = 4 5+1
2
2
5 –1
Ejemplo: Racionalizar el denominador de:
C. 2 D. – 2
Efectuar: 6 4 – 2 3 . 3 3 3
Reducir:
5.
219 +1 +x
x2
Reducir:
7 + 2 10 +
2
2
x2 + 1 – x
7.
∴ El denominador es 1.
12 + 6 3 +
Racionaliza las siguientes expresiones: 5
a)
2.
b)
3
c)
4
d)
5
3 2 2 3 3 2 2
= = = =
Racionalizar: a) b) c) d)
8.
28 – 6 3 +
Simplificar:
1 = 3 + 2 ________________________________ 2 = 7 – 5 ________________________________ 1 = 2 + 1 __________________________________ 2 = 11 – 3 ________________________________
7–4 3 C. 0 D. 3
Indicar la suma de las cuartas potencias de los radicales simples que se obtienen al descomponer:
Reducir:
9.
Efectuar:
C. 15 D. 12 1 5+2 6
2
+
3 7 + 2 10
C. 2 D. – 1 1 8+
6
+
1 1 1 + – 6–2 2+ 2 2 C. 2 D. – 2
10. Al reducir: 4 A. 1 B. 3
–
8 + 2 15
A. 1 B. 0 9 3
resulta:
4
3a + 2 . Hallar: “a” C. 2 D. 5
Nivel II 11. Reducir: A. 1 B. 0
38
12 – 6 3
13 – 4 3 +
A. 1 B. 0
____________________________________
____________________________________
48
C. 5 D. 10
A. 8 B. 20
____________________________________
____________________________________
7–
3 3+2 6
Ejercicios básicos 1.
8 + 2 15
C. 0 D. 2
A. 1 B. 2
x2 + 1 – x = 219( x2 + 1 – x) x2 + 1 – x
4
5–2 6 –
A. 1 B. 3 6.
3
C. 1 D. 2
2 4
Resolución: 219 × 2 x +1 +x
3+1
A. 1 B. 3
∴ El denominador es 4. OO
Efectuar: ( 5 + 2)( 5 + 3) – ( 5 + 7)( 5 – 2) – 6 9
A. B. 4.
5 × 5–1
C. 2 D. 1
A. 1 B. 0
2
5 –
13 2 + 32 – 50 2 8 + 5 3 – 75
A. – 2 B. 3
2
Resolución:
Simplificar:
6+4 7+2 6 –
7–2 6
C. – 1 D. 3
Trilce Católica
Álgebra 50 +
12. Reducir:
10 +
5+1
A. 2 B. 4
10 –
5+1
2
3+ 3+
2 + 3
2
3
9–
A. 1 B. 2
3–
2
3
3
6+
5+
23 .
11 –
A. 1 B. 2
4
A. 5 2 B. 3 3
23
16 2 – 3 5 6 2–7 5
3 3+
17. Efectuar:
2+
3 5+
3 +
2–
3
A. 1 B. 0
2 2
3
–
4
4
81
6
A. 1 B. 0 3+
7
13 –
2
A. 1 B. 2
5–
7
A.
C. 4 D. 3
x–y (x + y) + 2 xy
1 x+2 x–1
B.
2 x+2 2 2–x
2
resulta:
a–
3
+
1 5+
1 20 +
+…+
resulta: 19
2+
A. 1 B. 8
Trilce Católica
3
–
2 2–
3
+
C. 2 D. 4
b+
3
c
(x + y) – 2 xy x+ x–
y y
1
+
x–2 x–1
D.
a+
A. 10 B. 15
C. 18 D. 4 2
3
;
3 2+
3
+
6
3 2–
b–
x+1 x–2
2 2+ 3+
1+
c–
2
6
d
Si: a; b; c; d ∈ Q; hallar: a + b + c + d
b. Hallar: a – b
A. 2 B. 20 22. Reducir:
4
a+
C. 1
21. Al reducir: 1 4+
3
x–y
+
C. D.
29. Luego de racionalizar:
+
se reduce a:
donde: 1 < x < 2
Nivel III
1 3+
3
C. 2 D. – 1
28. Simplificar:
7–
3
A. 2 y B. 2 x
C. 2 D. 3
20. Efectuar:
8 5+
A. 0 B. 1
m+2 m+1
1 3+
cx – a
siendo: a < b < c; hallar: a + c – b
27. Simplificar:
49 – 20 6 –
ax + b +
C. 15 D. 12
26. Si la expresión: 3
2m – 1 + 2 m2 – m – 6
19. Reducir:
5+ 2 5–2 2
C. 6 D. 8
A. 8 B. 20
8
C. D.
19
3 3 +2 6
C. 3 D. 2
2m m+3
C. D.
1 20 +
+…+
4
25. Indicar la suma de las cuartas potencias de los radicales simples que se obtienen al descomponer:
18. Luego de transformar, indicar un radical simple en:
A. B.
1 5+
+
Calcular: a + b + c
C. 4 2 – 7 5 D. 12 2 + 3 5 2
3
A. 4 B. 5
C. 3+ D. 3 6
60 + 16. Reducir: M = 5 2–2 5
1 4+
+
5x – 2 + 2 6x2 – 7x – 3 =
23 –
1 1 + + 2 3
2
24. Si se cumple:
C. 3 D. – 2
15. Reducir: E = 6 +
1 3+
A. 5– 2 B. 2 5 – 2
2
C. 3 D. 4
14. Efectuar:
23. Reduce: E=
C. 6 D. 5
13. Simplificar: 3
A. B.
50 –
C. 12 D. 17 4
30. Simplificar:
3 A. 6 B. 8
7 113 + 72 2 –4 2 2 2–1 C. 9 D. 0
39
Ciclo
Católica
Tarea domiciliaria 1.
Reducir: ( 15 + 1)2 – ( 5 + A. 4 B. 7
2.
C. – 4 D. 0 3
3
3
Reducir: ( 2 + 1)( 2 – 1)( 4 +
Efectuar:
9 – 80 –
4 – 12 – C. D.
Efectuar:
12 + 2 35 – 8+2 7–
A. 1 B. 2 6.
7 – 40 + 1 2– 3–
6 + 40 7 – 2 10
Reducir:
7+
Reducir:
x–3 –
A. 1 B. 3
2 5+
1 3+
14. Reducir:
17. Reducir: x+2
5
2 3+
–
1 7+
+
7
C. D. 26 8–2 3 .
5+2 3
5
7 5
– 27
C. 2 D. – 1
1–
–1
3 1
3–
4
3+
7
7
6 5+
3+
7 –
7
8
e indicar el denominador.
C. 5 D. 3
19. Si la expresión: 3
A. 18 B. 12
5–
1 3
13 –
A. 15 B. 2
se reduce a:
10 + 2 21
1 3–1
C. 4 D. 1
18. Racionalizar:
9 – 2 20 + …
+
C. – 1 D. 0
A. 2 4 B. 2
3
3
18 +
m–
3
3
4 12 +
3
8
n ; hallar: mn C. 20 D. 24
20. Hallar el denominador racionalizado en: A. 3 B. 2
40
8 + 2 12
C. 3 4 D. 3
3 A. B. 1
7 – 2 12 +
C. 0 D. –
2+
A. 2 B. 1
3–
3
C. – 1 D. 0 21 –
5–3 6–
7 + 40 4+2 5
sabiendo que la expresión tiene 36 términos. A. 37 – 1 B. 1
2+
13. Efectuar:
2 3
Efectuar:
10. Reducir:
C. 4 D. 6
16. Efectuar:
C. x–1 D. 1
5–2 6+
6 5
b ; a > b > 0; hallar: a – b 2
A. 0 B. – 2
2x – 1 + 2 x2 – x – 6 +
A. 0 B. x
a + 2
5=
A. 2 B. 3
15. Reducir:
C. 1 D. 2
3–2 2+
3+
7+2 6
C. D.
3
A. 3 B. 0
3 2
11 + 2 30
61 + 4 15 –
2–
C. D.
5–2 6
5 A. B. 0
9.
2 + 1)
Transformar a un solo radical doble:
A. B.
8.
3
C. 0 D. –1
8 + 2 15 –
7.
3
2 + 1)( 4 –
C. 1 D. 2
A. 0 B. 1 5.
3
3+
3 2
12. Siendo:
Reducir: ( 7 + 3)( 7 – 2) + ( 7 + 4)( 7 – 4) – 4 49
A. 4 B. 3 4.
A. B.
3)2
C. 8 D. 0
A. – 1 B. – 8 3.
2+
11. Reducir:
2 2+
2–
4
2
C. 6 D. 9
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 8
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
TEORÍA DE ECUACIONES: ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIÓN
Problemas para la clase
Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos una variable y que se verifica para un determinado conjunto de valores asignados a sus variables.
1.
A. –2 B. –1
Ejemplo: OO
2x – 6 = 10
OO
x2 – x – 6 = 0
2.
Ecuación Lineal (Ecuación de primer grado)
3.
3x + 9 = 0 ⇒ ____
OO
4.
Ejemplo: x3 = x ⇒ C.S. = {
}
Resuelve:
5.
A. 15
Según sus soluciones
B. 7 6.
Resolver:
Ecuación Compatible Es aquella que tiene un elemento en su conjunto solución
II.
2x + 8 = x – 7 ⇒ x = –15
OO
x2 – 1 = 0 ⇒ x = ___; x = ___
Indeterminada: Tiene un número infinito de soluciones. (a = 0 y b = 0) OO
A. B. C. D. 7.
B.
Ecuación Incompatibles:
�
�
x x 5x + = +1 2 3 6 1 =0 x+2
Trilce Católica
11 4 4 D. 25 C.
1 1+
1
1 x+ 2
=
1 1+
1
1+
1 3
8.
Es un número comprendido entre 0 y 1 Es un número mayor que 1 Es un número entero Es un número comprendido entre –1 y 0
Hallar el valor de “a” en: 2ax + 5 – a = – 8x + 3a A.
5x – 4 = 2x – 1 + 3x – 3
Son aquellas que no tienen solución. (a = 0 y b ≠ 0)
C. {3} D. φ
¿Qué se puede afirmar de la inversa de la solución?
Determinada: Tiene un número finito de soluciones. (a ≠ 0 y b ≠ 0) OO
x – 3 7x – 1 3 8 x – + = – 5 10 4 3 2
x 3x + 5 11 2 =3 – Hallar “x”: 10 – 6 12 4
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus características, siendo las principales:
C. 3 D. Infinitas soluciones
A. {–1} B. {1}
Es la reunión de todas las soluciones particulares que presenta la ecuación.
I.
C. 30 D. 24
Resolver: 5x – 2 = x – 1 + 7x – 1 3 2 6
7x – 5 = 0 ⇒ ____
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN (C.S.)
OO
1 1 1 1 x–1 –1 –1 –1=0 2 2 2 2
A. 1 B. 2
Ejemplos: OO
Resolver:
C. –3 D. 2
A. 34 B. 32
Es aquella ecuación polinomial de la forma: ax + b = 0 ; a ≠ 0
Hallar “x” en: 3x – 4 (x + 3) = 8x + 6
8x – 5 2(2 – x) 4–x 8x – 3
En: F = G A. B.
8x + 5 2(2 – x) 8 – 5x D. 2x C.
M – N , despejar “N”. 2
MG + 2F 2G MG – 2F G
C. D.
MG – 2F 2G 2M – FG 2
41
Ciclo
Católica
9.
Hallar el conjunto solución de: 8 7 8 – = x – 4 x – 3 x2 – 7x + 12 A. {4} B. {3}
7x – 1 5 – 2x 4x – 3 4x2 + 1 – = + 10. Resolver: 3 2x 4 3x C. Indeterminado D. Absurdo
11. Resolver:
3 6x – 5 5 – = 2 x – 2 4 – 2x
A. 5 B. 3
C. –9 D. –17 2x 4 2x2 – 3x – 18 – = 2 x+3 x–1 x + 2x – 3
A. 1 B. 2
C. Incompatible D. Indeterminado
14. Hallar “x”: A.
1 2
B. –
x+6 x+1 x–5 x – = – x+2 x–3 x–1 x+4 C.
1 2
1 3
D. –
1 3
16. El área lateral del cilindro es: AL = 2πR(R + g); hallar “g”. AL –R 2p AL B. –R 2pR
AL –R 2pR AL D. R + 2pR
C.
17. Resolver: 2 x – 4 + 1 = 5 A. 10 B. 4
C. 5 D. 8
18. Resolver: x + A. 6 B. 4 19. Resolver: A. 3 B. 4
42
21. Resolver: 1 +
x–4 =
x+1
A. 6 B. 13
C. 8 D. 4
22. Hallar “1 – x” en:
5+x + 5+x –
5 101 1 D. 101 x+5 +
23. Resolver:
C. 9 D. 1 x–a x–b + =2 b a
A. a B. b 25. Resolver:
C. a – b D. a + b x+1 a+b+1 = x–1 a+b–1
A. a B. b
C. a + b D. a – b
A. a B. b
C. a – b D. a + b
C. Incompatible D. Indeterminado
C. 5 D. 6
2mx – 3 3mx – 2 + = 2m + 3 x–1 x+1
se reduce a una ecuación de primer grado en “x”, ¿qué valor asume el parámetro “m”? A. –1 B. 2
C. 1 D. –2
28. Con respecto al problema anterior, ¿cuál es la solución de la ecuación? 3 2 2 B. 3
5 2 2 D. 5
C.
A.
29. Resolver: a 1 – a + b 1 – b = 1 b x a x A. a B. b
x2 – 32 = 8
x2 – 6x + 9 + x = 3
x–2 =7
A. 11 B. 7 24. Resolver:
5–x = 10 5–x C.
27. Si la ecuación:
C. 1 D. 2
A.
D. 2
26. Resolver: a(x – b) – b(x – a) = a2 – b2; a ≠ b
zb b za a 15. Hallar “z”: + = + a a b b A. – 1 B. – 2
C. 5
10 101 100 B. 101
3 5 3 x = – + 12. Resolver: x + 2 x2 – 4 x – 2 x2 – 4
13. Resolver:
1 2 1 B. 4
A.
C. 1 D. 4
A. –1 B. –5
x=1
A.
C. φ D. lR
A. 1 B. 2
x+2 –
20. Resolver:
30. Resolver:
C. a + b D. a – b 2x + a x – b 3ax + (a – b)2 – = b a ab
indicar: 1 + A. b B. 2a
b x a C. 2b D. b
Trilce Católica
Álgebra x–a x–b x–c + + = 3 , siendo “a”, “b” y b+c a+c a+b + “c” ∈ lR . Luego indicar el equivalente de:
31. Resolver:
E=
37. Si la ecuación de primer grado: (x – a)(2x + 1) + bx2 + 8x + 5 + a = 0 no tiene solución real, hallar: a + b.
(a + b – x)2 c
A. a B. b
C. c D. 4abc 1
32. Resolver en “a”:
A.
B. 5
A. B. C. D.
33. En: 2h = L 3 – L 3 , despejar “h”. 2 6 L 3 2 L 3 B. 6
L 2 3 L 6 D. 3 C.
34. La ecuación de la parábola con vértice V = (h, k) y eje paralelo al eje “x” es: (y – k)2 = 4p(x – h). Hallar el valor de “h”. A. B.
35. Un cuerpo de masa “m” cayó a uno de los platillos de una balanza de resorte desde una altura “H”. El cuerpo se adhiere al platillo y comienza a oscilar armónicamente en dirección vertical. La amplitud de dichas oscilaciones mg 2Hk 1+ está dado por la siguiente fórmula: A = k mg
se obtiene para “x” el valor: A. 1 B. 2
x m – m + 1 = 4m 1 1 1–m (m – 1) 1+ m x x–
A. m + 1 B. m – 1
1.
H
Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:
OO
2. despejar “H”. 2mgk A2k2 – m2g2
C.
B.
A2k2 – m2g2 2mgk
Ak – mg D. 2mgk
B.
P1y1 – (P2 – P1)yc P2 P2y1 – (P2 – P1)yc P1
Trilce Católica
C. D.
(P1 – P2)yc – P2y1 P1 P2y1 – (P1 – P2)yc P2
30 – 22x + 16 – 12x = 24 – 20x + 38 2x + 5 x = +1 3 2 x + 5 2x + 3 1 – 5x – = 6 8 12 (x – 3)(x – 2) – (2x + 1)(x – 2) = –x(x + 3) + 5
Resolver para “x”: x(a + b) – 3 – a(a – 2) = 2(x – 1) – x(a – b) Siendo “a” y “b” números impares positivos; ¿qué podemos afirmar siempre de la solución?
2mgk Ak – mg
36. Un cuerpo homogéneo y compacto colocado en un líquido con peso específico “y1” pesa “P1”; y colocado en un líquido con peso específico “y2” pesa “P2”. El peso específico “yc” del cuerpo está dado por la siguiente fórmula: P y – P1y2 yc = 2 1 ; hallar: y2 P2 – P1
C. – (m + 1) D. 1 – m
Tarea domiciliaria
�
A.
C. a D. 2a
40. Calcular el valor de “x” para que se cumpla:
�
A.
x + 1 x + 5 2x2 – x – 11 + = x – 3 x – 2 x2 – 5x + 6
39. Resolviendo: (a + 1)(x – a[(1 – a)x + a] – 1) = (a2 – 1) (a – 1)
OO
m
5 2
Admite como solución: x = 3 Admite como solución: x = 1 Admite como solución: x = 2 No admite solución
(y – k)2 C. x – 4p (y – k)2 D. +x 4p
y–k +x 4p x – (y – k)2 4p
5 4
D. –
38. La ecuación:
C. 4x D. 3x
A.
C.
1
2a + x = x2 + x2
A. x B. 2x
5 2
A. B. C. D. 3.
Es un número impar Es un número par Es un cuadrado perfecto Es un número positivo
Resolver: A. 1 B. –2
4.
Resolver: A. 23 B. 24
x+3 x–1 x+6 – = 2 4 3 C. 2 D. –3 x–2 1 + 3x – 5 = 3(x + 1) – , señale “2x”. 4 2 C. 25 D. 26
43
Ciclo
Católica
5.
Resolver:
2x + 7 2x – 1 = 5x + 2 5x – 4
14. Resolver en “x”:
13 14 14 B. 13 6.
7.
Resolver:
2x + 1 6x + 1 + =0 4 – 3x 9x – 3 1 24
A.
B. 24
D. – 24
B.
B.
3 5
x + 1 2x + 3 5 + = 2x + 1 x + 1 2
Resolver:
5+
13 +
7+
9.
5 3
A.
A.
Resolver: x2 – 6x + 9 + x = 3
10. Resolver:
B.
C. 5 D. 6 4x – 3 +
11. Hallar “x” en:
C. 7 D. 8 3
x+1+
3
3
A.
x – 1 = 2( x + 1 –
13 14 13 B. – 14 12. Hallar “a” en función de “x”:
3
x – 1)
14 13 14 D. – 13
A.
3x 40 3x B. – 40 A.
OO OO OO
44
x+p x–q –1= +1 q p x – m x – n m2 + n2 – = n m mn m(x – m) n(x – n) =x– n m x x–m x–n + + =3 m+n n m
B.
A. 6x =4 6x
35x 3 3x D. 4 C.
13. Resolver las siguientes ecuaciones literales de primer grado: OO
a+b a a+b 2a
a+b a+1 a–b D. a+1 C.
2(S + an) n–1 2(S + an) n(n – 1)
19. En: q =
C.
5x + a + 5x + a –
a +1 a+1 a+1 a+1 = + x x+ (a + b)2 (a – b)2 a2 – b2 (a – b)2
n 18. En: S = [2a + (n – 1)r] , despejar “r” 2
x + 2 = 9x + 1
A. 5 B. 6
a–1 10a a–1 D. x = 20
C. x =
a+1 a
17. Resolver en “x”:
C. 25 D. 4
A. 3 B. 4
(5 + a)x 1 2 1 (5 – a)x + = – + 5–a 5 + a a2 – 25 a – 5 5+a
x=a
B. x =
x=3
A. 1 B. 36
a+b a–b a–b D. 2 C.
Se obtiene:
C. – 1 D.
a+1 a–b b+1 – = x+b a–x x+b
a–b a+b a+b 2
16. Al resolver:
3 5
C.
15. Resolver en “x”:
C. –
Resolver:
b2 a–b 2b2 D. b–a
A.
C. –
A. – 1
A. –
8.
b2 b–a b2 B. a+b
13 14 14 D. – 13
A.
x – b x – a a2 + b2 – = ab a b
B.
C. D.
2(S – an) n(n – 1) S – an 2(n – 1)
n2 + pn , despejar “p” p–n
n2 + qn q+n qn + n2 q–n
C. D.
n2 – nq q–n n2 + nq n+q
20. Se tiene un cajón cuya fuerza de gravedad “W” reposa sobre un plano horizontal. Si la fuerza mínima (F) que se necesita para moverlo con un ángulo de inclinación Wm , despejar “µ” constante: “θ” es: F = m2 + 1 F m
A. B.
F W2 – F2 F F2 – W2
q
C. D.
F W–F F F–W
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 9
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Sea la ecuación cuadrática: P(x) = ax2 + bx + c = 0; con a ≠ 0. Si el polinomio “P(x)” no es factorizable por los métodos usados anteriormente, entonces podemos usar la siguiente fórmula: x1; 2 =
–b±
b2 – 4ac 2a
Ejemplo OO
(k + 1)x2 – (k + 8)x + 10 = 0,
(1)
para que la suma de las raíces sea 9/2. Resolución:
donde: b2 – 4ac = ∆: discriminante de la ecuación cuadrática.
Identificando: a = k + 1; b = – (k + 8); c = 10
Entonces: C.S. =
b 9 k+8 De la propiedad: x1 + x2 = – ; entonces: = ; de a 2 k+1 aquí: k = 1
–b+ D –b– D ; 2a 2a
Observaciones:
Ejemplo OO
Sea: P(x) = ax2 + bx + c = 0, cuyo C.S. = {x1; x2}
Resolver: 2x2 + 3x – 4 = 0
1.
Resolución: Identificando coeficientes:
(x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1x2
∆ = b2 – 4ac = (3)2 – 4(2)(–4) = 41
Raíces simétricas: Llamamos así a las raíces cuya suma es cero.
Reemplazando en (1) obtenemos:
Si “x1” y “x2” son simétricas (opuestas) entonces:
C.S. =
2.
– 3 + 41 – 3 – 41 ; 4 4
x1 + x2 = 0 ⇒ b = 0 3.
Análisis de las raíces
Si: D > 0; entonces las raíces son reales y diferentes. Si: D = 0; entonces las raíces son reales e iguales (solución única). Si: D < 0; entonces las raíces son no reales (imaginarias conjugadas).
En la ecuación: P(x) = ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0, de raíces: “x1” y “x2” se cumple: 1.
Suma de raíces:
x1 + x2 = –
x1 . x2 = 1 ⇒ a = c 4.
La ecuación: ax2 + a = 0; tiene raíces simétricas y recíprocas a la vez.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Propiedades de las raíces
Raíces recíprocas: Llamamos así a las raíces cuyo producto es la unidad. Si “x1” y “x2” son recíprocas (inversas) entonces:
El tipo de raíces de la ecuación: P(x) = ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0, se puede determinar calculando el valor del discriminante.
3.
Para hallar la diferencia de raíces también podemos utilizar la identidad de Legendre:
a = 2; b = 3; c = – 4
Calculando el discriminante:
1. 2.
Calcular el valor de “k” en la ecuación:
Resolver: 2x2 – x – 2 = 0 Resolución: Identificamos: a = 2; b = – 1; c = – 2 Reemplazamos en la fórmula:
b a
x= 2.
Producto de raíces:
3.
Diferencia de raíces:
Trilce Católica
x1 . x2 =
c a
x1 – x2 =
x= D a
x1 > x2
–b±
b2 – 4ac – (–1) ± = 2a
1±
1 + 16 1 ± 17 = 4 4
Entonces: C.S. =
1+
4
17 1 – ;
(–1)2 – 4(2)(– 2) 2(2)
4
17
45
Ciclo
Católica
2.
Calcular el discriminante de: x2 + 5x – 1 = 0
2.
Resolución: El valor del discriminante está dado por: ∆ = b2 – 4ac Luego: ∆ =
(5)2
– 4(1)(– 1) = 25 + 4
A. C.S. = {3; 5} B. C.S. = {– 5; – 3} 3.
Entonces: ∆ = 29 3.
4.
Como el valor del discriminante es negativo, las raíces serán complejas y conjugadas. 4.
5.
6.
Aplicamos las fórmulas para la suma y producto de raíces: b c Suma = – ; Producto: a a
7.
5.
7 3
8.
Operamos lo pedido: G =
1 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1x2
b c Pero: x1 + x2 = – ; x1x2 = a a
Dada la ecuación:
1 1 1 + = 10x 102x – 1 5
C. 5 D. 1
Dada la ecuación: x2 – 13x – 1 = 0, con raíces “r” y “s”. 1
1 1+ r
13 11 12 B. 25 9.
+
1 1+
1 s 11 13 25 D. 13 C.
¿Para qué valores de “k”, la ecuación: (2k + 1)x2 + 3(k – 1)x – k + 1 = 0, tiene raíces iguales?
–b a
A.
–b Luego: = c c a
B. – (–5) =5 1
Problemas para la clase Nivel I Resolver: x(4x – 3) = 3x(x – 2) + 4 Dar como respuesta la suma de las raíces.
46
C. 36 D. 4
A.
Resolución:
A. 3 B. – 3
C. 20 D. 16
Calcular “x” en: 72(7 x – 342) = 7 x – 1
Hallar:
1 1 + Calcule: G = x1 x2
1.
Resolver: (x – 5)4 + 36 = 13(x – 5)2 y dar como respuesta la suma de las soluciones.
A. – 5 B. – 10
Si: 2x2 – 5x + 1 = 0; tiene C.S. = {x1; x2}.
Reemplazando: G =
C. 4 D. 5
Hallar la suma de los valores de “x”.
(–1) 1 = 3 3
Producto de raíces =
5 2
x2 + x + 1 = 0? ¿Cuántas soluciones reales existen en: 2 x + 6x – 5
A. 1 B. 9
Reemplazando: Suma de raíces = –
C. – 2 + D. – 1 +
A. 18 B. 12
Calcular la suma y el producto de raíces de: 3x2 – x + 7 = 0 Resolución:
5 2
A. 2 B. 0
Calculemos el discriminante: ∆ = b2 – 4ac = (–1)2 – 4(1)(6) = 1 – 24 ⇒ ∆ = – 23
C. C.S. = {1; 3} D. C.S. = {– 3; 5}
Resolver: (x + 1)2 = 2(1 – x) y dar como respuesta la mayor de sus raíces. A. 2 + B. 1 +
¿Qué tipo de raíces tiene la ecuación: x2 – x + 6 = 0? Resolución:
Resolver: (x – 2)2 – 4(x – 2) + 3 = 0
C. 4 D. 1
5 17 5 ;1 17
C. D.
17 5 5 –1; 17 1;
Nivel II 10. Si una de las raíces de la ecuación: x2 + (a – b)x + c = 0 es el inverso aditivo de la otra, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. a = c B. b = 0
C. a = b D. b = c
11. Si las raíces de la ecuación: x2 – Bx + C = 0, son iguales a 3, calcula las raíces de: x2 – Bx + C = 25. A. – 8; – 2 B. – 2; 8
C. – 8; 2 D. 2; 8
Trilce Católica
Álgebra 12. Hallar la suma de raíces de la siguiente ecuación de variable “x”: (2k + 2)x2 + (4 – 2k)x + (k – 2) = 0, sabiendo que el producto de sus raíces es 1. A. – 2 B. – 1
C. 1 D. 2
Se obtiene que una raíz es el doble de la otra. Indicar la mayor raíz de la ecuación. 4 3 2 B. 3
3 2 6 D. 5
C.
x1 = m +
–1
x2 = m –
m2
–1
A. B. 15.
2x2 2x2
– mx + 2 = 0 – 4mx + 2 = 0
C. D.
2x2 2x2
– 2mx + 1 = 0 – 2mx + 2 = 0
entonces “B – A”, es:
C. 0 D. 1
16. Si “x1” y “x2” son raíces de: x2 – 3x + 1 = 0; calcular: x x x x (x1 2 + x2 1)(x1 1 + x2 2)
A. 12 B. 18
–α–β
A. 2 B. – 2
C. – 3 D. 1
21. Sea la ecuación cuadrática: x2 – mx + m – 1 = 0; (m > 1). Indique la diferencia entre el mayor y menor valor de “x”, si el discriminante es igual a la suma de raíces. C. 1 D. 0
22. Calcular la suma de raíces de la ecuación: x2 – ∆x + ∆ = 0; ∆ > 0 (∆ → discriminante)
Sea “A” la suma de las raíces de: ax2 + bx + c = 0 y “B” la suma de las raíces de: a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = 0, A. – 2 B. – 1
a mb
A. 2 B. 3
14. Forma la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: m2
20. Sea la ecuación cuadrática: (mm + 2 – 1)x2 + 30x + 15 = 0, de raíces recíprocas “α” y “β”. Calcular: E =
2kx + 2 x + 1 13. Si al resolver: = x x–1
A.
Nivel III
C. 20 D. 21
A. 3 B. 2
C. 5 D. – 2
23. Si (a; b) son las raíces de la ecuación: 4x2 – 2mx + n = 0, entonces el valor de: (a – a3)(b – b3) , será: (1 – ab)2 – (a – b)2 A.
m 2
B.
– 2m
n 4 2m D. n
C.
24. Si la ecuación: abx2 + bax + ab . ba = 0; tiene raíces iguaa2b les, calcular: E = a b
17. Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: a ; a +1 A. B. C. D.
a a –1
(a + 1)x2 – 2ax + a = 0 (a – 1)x2 + 2ax – a = 0 (a – 1)x2 – 2ax + a = 0 ax2 – 2ax + a = 0
25. Determinar el conjunto solución al cual pertenece “k”, si la ecuación cuadrática: x2 + (1 – k)x + 2(k – 3) = 0 tiene dos raíces reales diferentes.
19. Sean “a”, “b” y “c” números reales tales que las raíces de la ecuación: x2 + ax + b = 0; son “r1” y “r2” y las raíces de r r a2 la ecuación: x2 + 3x + 3c = 0; son: 1 y 2 . Calcular: r2 r1 bc
Trilce Católica
A. ]5; + ∞[ B. ]– ∞; – 5[ ∪ ]5; + ∞[
C. [5; + ∞[ D. lR – {5}
26. Hallar la suma de los valores de “k” de modo que las raíces de la ecuación: 4x 2 – 16x + k 2 = 0, sean iguales.
Reales iguales Racionales e iguales Racionales y desiguales Irracionales y desiguales
1 A. – 3 B. – 3
C.
B. 2
18. Si el discriminante de una ecuación cuadrática de coeficientes enteros es un cuadrado perfecto, podemos afirmar que las raíces son: A. B. C. D.
1 2 1 D. 4
A. 4
1 C. 3 D. 1
A. – 3 B. – 2
C. – 4 D. 0
27. Formar la ecuación de segundo grado con raíces: x1 = 6 –
13; x2 = 6 +
A. x2 – 12x + 23 = 0 B. x2 + 12x – 23 = 0
13 C. x2 – 23x + 12 = 0 D. x2 + 23x – 12 = 0
47
Ciclo
Católica
28. De: 2x2 + mx + 30 = 0; hallar “m” (m < 0), si se cumple:
7.
x1 3 = ; donde “x1” y “x2” son raíces de la ecuación. x2 5 A. – 9 B. – 16
A. b2 = 3ac B. 2b2 = 9ac
C. – 25 D. – 4
1 1 9 + (2x + 3a + 4b) = 29. Resolver: x + 3a x + 4b 2
8.
C. 2a – 3b D. 3a2 – 3b2 9.
Tarea domiciliaria En la ecuación: x2 + 6x – m = 0; hallar “m”, si una raíz es – 2. A. – 4 B. – 6 2.
C. – 8 D. 2
Sea la ecuación: 2x2 – mx + (m + 1) = 0; la suma de raíces es 4. Indicar el producto de dichas raíces multiplicado por cuatro. A. 12 B. 14
3.
C. 15 D. 18
Si “x1“ y “x2“ son las raíces de la siguiente ecuación: x2 – (m – 1)x + m + 1 = 0, calcular el valor de:
3
m + 3 ; si se verifica:
1 1 2 + = x1 x2 3 A. 1 B. 2 4.
C. 3 3 D. 7
Formar la ecuación de segundo grado, sabiendo que sus raíces son: x1 = 5 +
11; x2 = 5 –
A. x2 – 5x = 0 B. x2 – 10x + 11 = 0 5.
11 C. x2 – 2x + 7 = 0 D. x2 – 10x + 14 = 0
Hallar “a”, si la ecuación tiene raíces iguales:
6.
B. –
48
C. 34 10 5
A. 82 B. 40
C. 41 D. 6
10. Hallar el valor de “m” en la ecuación: x2 + (2m + 5)x + m = 0, si una raíz excede a la otra en tres unidades. A. 1 B. – 1
C. D.
–2 –3
11. Dado el conjunto: A = {x ∈ IR / x2 – 2(1 + 3m)x + 7(3 + 2m) = 0} Hallar los valores de “m” para que “A” sea un conjunto unitario. (m ∈ IR) 10 9 2 B. 3 y – 9
10 9 10 D. 1 y – 9
A. 3 y
C. 2 y –
12. Siendo “x1” y “x2” raíces de: mx2 – (m + 1)x + m + 2 = 0, hallar “m” si se cumple: (x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 8 A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
13. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación:
D. –
C. 3 D. 2 –1
–1
14. Hallar: x2 + x1 ; si “x1” y “x2” son las raíces de: x2 – 2x + 3 = 0
(2n – 3)x2 – (15n + 10)x + n – 2 = 0 3 2
(2n – 7)x2 – (2n + 1)x + 10n + 40 = 0
A. 6 B. 4
C. 8 D. 9
Hallar “n” para que la siguiente ecuación de segundo grado tenga como suma de raíces 8:
A.
Hallar “n” para que el producto de raíces sea 6 en la ecuación:
x2 – (m + 7)x + 25 = 0; son iguales. (m > 0)
x2 – 2x + (a – 7) = 0 A. 1 B. 2
5 6 5 D. 7
C.
A.
A. 4b – 6a B. 6a – 4b
C. b2 = 9ac D. 2b2 = 3ac
La suma de las raíces de: mx2 – (2m – 3)x + m + 3 = 0, es 9/5. Hallar el producto de raíces. 7 5 6 B. 5
Indicar una solución.
1.
¿Qué relación debe haber entre los coeficientes de la ecuación: ax2 + bx + c = 0; para que una raíz sea el doble de la otra?
1 3
A.
2 3
B. –
C. 2 3
3 2
D. –
3 2
Trilce Católica
Álgebra 15. Dada la ecuación: (n – afirmar que:
2)x2
+ (n + 1)x + 4 = 0; podemos
I. Si: n = 0; la suma de raíces es 1/2. II. Las raíces son recíprocas si: n = 6 III. Tiene solución única solo para: n = 3 ó n = 11 A. V V V B. V V F
C. V F F D. F F V
16. Si “a” y “b” son raíces de la ecuación: x2 – 2013x – 2011 = 0, calcular: K = a2 + b2 + a2b2 + 2ab(a + b + 1) A. 1 B. 4000
C. 400 000 D. 4
17. Dada la ecuación: 2x2 + mx + 30 = 0; para qué valor de “m” (m < 0) la relación de las raíces es: x1 3 = x2 5 A. B.
–9 – 25
Trilce Católica
18. Calcular los valores de “p” e indicar su suma en la ecuación: 2px2 + 3x + p = 0, si una raíz es el doble de la otra. A. 4 B. 8
19. Sabiendo que “x1” y “x2” son raíces de: 2x2 – 2x + 1 = 0, hallar: x
–4 – 16
x
2 1 x x M = 1 x1 – 2 x2 x2 x1
A. – 1
C. 0
B. – 2
D.
1 2
20. Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: x1 =
C. D.
C. 10 D. 0
3 3 ;x = 3+ 3–m 2
A. mx2 – x – 13 = 0 B. mx2 – 18x + 27 = 0
3 3 3– 3–m C. mx2 – 9x + 27 = 0 D. mx2 – 9x + 3 = 0
49
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 10
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
SISTEMA DE ECUACIONES Sistema de ecuaciones. Es el conjunto de ecuaciones que verifican simultáneamente para los mismos valores de sus incógnitas.
La forma en que se lleva a cabo dicha eliminación genera cuatro procedimientos: A. Sustitución B. Igualación
Solución de un sistema. Conjunto de valores de todas sus incógnitas que al ser sustituido en las ecuaciones las convierte en identidades.
Sistema de primer grado con dos incógnitas
Sistemas equivalentes. Son aquellos que a pesar de tener ecuaciones diferentes aceptan las mismas soluciones.
Forma normal:
Clasificación de los sistemas I.
Atendiendo sus soluciones
1.
Sistema compatible: Cuando existe solución. Ejemplo: El sistema:
es compatible, su solución es: x = 4; y = 2 2.
a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 donde: “a1”, “a2”, “b1”, “b2”, “c1” y “c2”; son números reales. I.
x + y = 6 x – y = 2
Método de sustitución Se resume en los siguientes pasos: a) b)
Sistema incompatible: Cuando no existe solución. c)
Ejemplo: El sistema:
x + 3y = 10 x + 3y = 10
es incompatible, por que no hay ningún par de valores de “x” e “y” que verifique ambas.
d) e)
Reducir el sistema a su forma normal. En una ecuación, suponiendo conocida una incógnita, hallar el valor de la otra (esta operación se llama despejar una incógnita). Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Resolver la ecuación obtenida. Sustituir la solución obtenida en la expresión de la otra incógnita.
Ejemplo
II.
Atendiendo al número de ecuaciones con el número de incógnitas
Resolver:
1.
Sistema determinado. Cuando el número de ecuaciones independientes es igual al número de incógnitas.
Resolución
2.
Sistema indeterminado. Cuando el número de ecuaciones independientes es menor que el número de incógnitas, estos sistemas se caracterizan por tener infinidad de soluciones.
3.
Sistema incompatible, imposible, absurdo o inconsistente. Cuando el número de ecuaciones independientes es mayor que el número de incógnitas. Observación: Se denomina ecuaciones independientes, si los coeficientes de una misma incógnita no son proporcionales. Resolución de sistemas de primer grado
El método que mayormente se utiliza es el denominado método algebraico que consiste en realizar transformaciones lineales con las ecuaciones del sistema para eliminar progresivamente las incógnitas.
C. Reducción D. Gráfico
5x – 2y = 4............. (I) 3x + y = 9............. (II)
Si en la segunda ecuación suponemos conocida la incógnita “x”, obtenemos: y = 9 – 3x; y la solución general de esta ecuación está dada por el par: {x; 9 – 3x}. Si esta fuera también solución del sistema, sustituida en la primera ecuación tendrá que verificarse la igualdad: 5x – 2(9 – 3x) = 4 Obtenemos así una ecuación de primer grado con una incógnita, que podemos resolver fácilmente:
5x – 18 + 6x = 4 11x = 22 x=2
Si ahora sustituimos el valor de “x” en [II], podemos hallar el correspondiente valor de “y”. y = 9 – 3 [2] = 9 – 6 = 3 La solución del sistema vendrá dada por el par (2; 3).
Trilce Católica
51
Ciclo
Católica III. Método de reducción
Método de igualdad Podríamos resumir este método de igualación con los siguientes pasos:
Este método llamado también de eliminación, se resume en los siguientes pasos:
a) b) c) d) e)
a) b)
Reducir el sistema a su forma normal. Despejar en las ecuaciones la misma variable. Igualar las dos expresiones de la variable despejada. Resolver la ecuación obtenida. Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las expresiones de la otra incógnita.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema:
x + 3y = 10............ (1) 5 2x + y = 1.............. (2) 4
c) d) e)
Reducir el sistema a su forma normal. Multiplicar los dos miembros de las dos ecuaciones por ciertos números, de tal forma que los coeficientes de una incógnita sean opuestos. Sumar las dos ecuaciones miembro a miembro. Resolver la ecuación obtenida. Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales y hallar la otra incógnita.
Ejemplo: 2x – 3y = 5 3x + 4y = 7
Resolución:
Resolver:
Al aplicar este método también conviene observar cuál es la incógnita que más fácilmente se despeja en las dos ecuaciones, en este caso es “x”. Se tiene así:
Resolución:
De (1):
x = 10 – 3y................... (3)
5 De (2): 2x = 1 – y ⇒ x = 4
5 1– y 4 .................... (4) 2
Para eliminar “y”, basta multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y sumar ordenadamente: 4 . (2x – 3y = 5) 3 . (3x + 4y = 7)
8x – 12y = 20 9x + 12y = 21 17x = 41
á
Igualamos los segundos miembros de (3) y (4); es decir:
5 1– y 4 10 – 3y = 2
Se resuelve la ecuación en “y”, que hemos obtenido quitando el denominador 2, se tiene:
5 (10 – 3y)2 = 1 – y 4
x=
–3 . (2x – 3y = 5) 2 . (3x + 4y = 7)
–6x + 9y = –15 6x + 8y = 14 1 17y = –1 ⇒ y = – 17
á
efectuando la operación indicada en el 1er. término:
O sea: de donde: Luego:
5 – 6y + y = 1 – 20 4 19 – y = – 19 4 –y=
(–19)4 19
–y=–4 y=4
Sustituimos “y” por su valor 4, en la expresión (3) o en la (4). En nuestro caso es más cómodo en la (3). Así resulta: Es decir:
x = 10 – 3(4)
O sea:
x = 10 – 12
x=–2
Luego la solución es: (– 2; 4)
52
41 1 ;– 17 17
IV. Método gráfico Consiste en trazar, en un sistema de coordenadas dado, las dos rectas que representan las ecuaciones. La solución del sistema viene dada por las coordenadas (x, y) del punto de intersección de ambas. De la Fig. (a) se deduce que la solución del sistema formado por (1) 2x – y = 4 ∧ (2) x + 2y = – 3 es: x = 1, y = – 2, ó bien (1; – 2). y
=4
Es decir:
Entonces la solución es:
–y
5 20 – 6y = 1 – y 4
41 17
Para eliminar “x”, podemos multiplicar la primera ecuación por – 3 y la segunda por 2, y como tiene igual signo, cambiamos de signo a todos los términos de la primera:
2x
II.
x+
x
2y
(1; –2)
=–
3 Figura (a)
Si las rectas son paralelas, el sistema de ecuaciones es incompatible, es decir, no tiene solución. Por ejemplo, el sistema formado por (3) x + y = 2 ∧ (4) x + y = 4 es incompatible, como indica la Fig.(b). Obsérvese que si se
Trilce Católica
Álgebra multiplica la ecuación (3) por 2 se obtiene: 2x + 2y = 4 que evidentemente, es incompatible con (4).
Resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: –9(a) ⇒ 171y + 99z = 117 19(b) ⇒ – 171y – 133z = 19 – 34z = 136 z=–4
y 2x + 2y = 8
x+y=2
x
Figura (b)
Sustituimos los valores de “y” ∧ de “z” en la expresión de “x”.
Las ecuaciones dependientes están representadas por una misma recta. Por consiguiente, todos los puntos de la recta constituyen una solución y, en definitiva, el sistema tendrá infinitas soluciones. Por ejemplo, (5) x + y = 1 ∧ (6) 4x + 4y = 4 son ecuaciones dependientes; obsérvese que si se multiplica por 4 la ecuación (5) se obtiene la ecuación (6). y
–7(a) ⇒ 133y + 77z = 91 11(b) ⇒ – 99y – 77z = 11 34y = 102 y=3
x = 5 – 5(3) – 3( – 4) = 2
La solución del sistema será: {x, y, z} = {2; 3; – 4} PROBLEMAS RESUELTOS 1.
x +
Hallar “x + y + z”, si “x”, “y”, “z” son las soluciones positivas del sistema:
y =
x + y = 12..................... (1) y + z = 8....................... (2) xz = 21..................... (3)
1 4x
x
+ 4y = 4
Ecuaciones dependientes (5) x + y = 1 Figura (c)
Resolución Multiplicamos (1) por “z”:
Sistema de primer grado con tres o más incógnitas
(por (3)) ⇒ xz + yz = 12z 21 + yz = 12z ⇒ yz = 12z – 21.............. (a)
Un sistema de primer grado de tres ecuaciones con tres incógnitas se presenta bajo su forma normal:
Multiplicamos (2) por “z”:
a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3
(ver (a)) ⇒ yz + z2 = 8z 6 4 4 4478 12z – 21 + z2 = 8z
En una de las tres ecuaciones podremos despejar una incógnita y sustituirla en las otras dos: se obtiene de esta forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que podemos resolver. Las soluciones obtenidas se sustituyen en la expresión de la primera incógnita despejada, hallando así su valor.
Así obtenemos una ecuación de segundo grado:
Ejemplo:
Luego:
Resolver el sistema:
z2 + 4z – 21 = 0 ↑ ↓ “Aplicando: ↓ aspa simple” z +7 z –3
3x – 4y – 2z = 2............ (1) x + 5y + 3z = 5............ (2) 2x + y – z = 11.......... (3)
; z2 = 3 z1 = –7 14 243 Esta solución es descartada, pues las soluciones son positivas.
Resolución:
En (α) reemplazamos: z2 = 3: 3y = 36 – 21 ⇒ y = 5
En la segunda ecuación, despejamos “x”: x = 5 – 5y – 3z
Reemplazando en (1):
Sustituimos el valor de esta incógnita en las otras dos ecuaciones: 3(5 – 5y – 3z) – 4y – 2z = 2 – 19y – 11z = – 13
(a)
2(5 – 5y – 3z) + y – z = 11 – 9y – 7z = 1
(b)
Trilce Católica
Luego: x + y + z = 15 2.
x + 5 = 12 ⇒ x = 7
Resolver el sistema: x y z 2 = = ; x + y2 + z2 = 1 2 3 6
53
Ciclo
Católica Resolución
OO
Por dato tenemos:
OO
x y z = = 2 3 6
x y = 2 3
Luego:
así tenemos
2y 3
⇒ x=
5.
y z = 3 6
6y = z ⇒ z = 2y 3
+ ↓ 2y 2 + 3
y 2
+ ↓
z 2
y2
4y2
+
↓
Resolviendo el sistema:
Se concluye sobre sus raíces que: Resolución
= 1
De (2) tenemos: x = 2(y – 1) Reemplazamos en (1):
4y2 + y2 + (2y)2 = 1 9 49y2 = 9 9 3 y2 = ⇒ y = ± 49 7
[2(y – 1)]2 + y2 – 6[2(y – 1)] + 4y + 5 = 0 ⇒ 4y2 – 8y + 4 + y2 – 12y + 12 + 4y + 5 = 0
⇒
Esta ecuación podríamos intentar resolverla por aspa simple, sin embargo, veamos que ocurre con su discriminante:
2 3 6 Luego la respuesta es: x = ± ; y = ± z = ± 7 7; 7
∆ = [– 16]2 – 4(5)(21) = – 164 < 0
En el siguiente sistema de ecuaciones:
¡¡ajá!!! el discriminante es negativo. Luego se concluye que las raíces de ese sistema son complejas.
xy(x + y) = 420........ (1) x3 + y3 = 468........ (2)
Problemas para la clase
Hallar “2x + 2y”. Resolución
Nivel I
Multiplicamos (1) por (3): 3xy(x + y) = 1260
1.
Resolver:
Ahora sumamos con (2): x3 + y3 = 468 –––––––––––––––– –––– x3 + y3 + 3xy(x + y) = 1728 (x + y)3 = (12)3 ⇒ x + y = 12
A. 3 B. 4 2.
Resolver:
Luego la respuesta es: 2(x + y) = 2(12) = 24 Si:
x–
Entonces:
5x – 7y = 49 2x + 3y = 8
A. 7 B. – 14
x es … y 3.
Se tiene del dato: ( x – y)2 = (2)2 x – 2 xy + y = 4 ⇒20 – 2 xy = 4
54
C. 5 D. 8
Hallar “xy”
y = 2; x + y = 20; x > 10
Resolución
x + 2y = 13 x – 2y = –7 .
Señalar “x + y”.
3xy(x + y) = 1260 +
4.
5y2 – 16y + 21 = 0
⇒
2 6 Así tenemos: x = ± ; z = ± 7 7
3.
x 16 = =4 y 4
x2 + y2 – 6x + 4y + 5 = 0.............. (1) x – 2y + 2 = 0.............. (2)
Estos resultados los aplicamos en el otro dato: x2
64 = 4; descartado pues: x > 10 16 64 Si: y = 4 ⇒ x = = 16 4 Si: y = 16 ⇒ x =
⇒
xy = 8 ⇒ xy = 64 ⇒ x =
Resolver:
C. – 7 D. 14 7x – 4y = 12 5x – 3y = 6
Determinar “y – x” 64 y
A. 6 B. – 6
C. 12 D. – 12
Trilce Católica
Álgebra 4.
37x + 13y = 137 13x + 37y = 113
Resolver:
13. Halla el valor de “x” en:
Determinar “x + y” A. 5 B. 50 5.
Resolver:
C. 250 D. 10 2x + 7y + 1 + 2x + 7y + 1 –
2x – 7y + 16 = 9 2x – 7y + 16 = 3
Señale “x + y” A. 7 B. 3 6.
C. 10 D. 4
A. 2 + B. 1 + 7.
(x + 2)(y + 2) = 6 + 2 2 (x – 2)(y – 2) = 2 + 6 2
Calcular “xy” en el sistema: 2 2
C. 4 2 D. 8 2
2x + y = 5 x + 2y = 8
Si:
C. 11 D. 13
Hallar “x + y”, si:
3 x + 2 y = 26 5 x – 3 y = 18
A. 52 B. 61 9.
C. 41 D. 45
Hallar “xy”, si:
3 x – 2 y = 5 9x – 4y = 65
A. 9 B. 4 10. Hallar “a + b”, si el sistema:
A. 5 B. 7
ax – by = –4 (2 – a)x + (3 – b)y = 5 A. 5 B. 3 15. Si:
C. 1 D. – 1
m + n = 5 n + p = 9 m + p = 11
Hallar “m + n + p”
36 C. 7 48 D. 7
6 B. 7
17. Sean:
1 1 1 = 2; = 3; =6 a+1 b+2 c+3 1 a+b+c
1 10 1 B. – 5
C.
2 5
D. –
13 6
18. Resuelve, en el conjunto de los números reales, el siguiente sistema: x(y + z) = 35 y(x + z) = 27 z(x + y) = 32 Da como respuesta “x + y + z” A. 6 B. 9
C. 12 D. 15
x3 + x2 33 + 32 = x+1 3+1
y dar como respuesta “y – x”
Trilce Católica
C. 3 D. 4
19. Hallar la suma de todos los valores reales que puede tomar “x” en la siguiente ecuación:
7x – 5y = 42 4x + 9y = 107
A. 4 B. – 4
y2 + 2 + (x – y) x+1
A. 1 B. 2
A.
x x y – = 1; 4y – = 3, hallar “x + y”. 2 3 2
A. 6
Calcular el valor de:
ax + 3y = 22,5 5x + by = 53
C. 4 D. 6
25 2 27 D. 2 C.
16. Sean “x” e “y” números reales tales que: x2 = y + 2; y2 = x3 – 1
Hallar:
Nivel II
12. Resuelve:
14. Si el sistema tiene por conjunto solución (2; 3), calcular “a + b”
C. 64 D. 36
tiene como solución a: x = 7 e y = 4
11. Si:
C. 5 D. 7
B. 27
A. 7 B. 9 8.
A. 3 B. 4
A. 25
Hallar: 3x + 3y
x+3 =5 y–2 3x – (y – 2) = x + 12
C. 5 D. 6
A. 1 B. 3
C. 0 D. – 1
55
Ciclo
Católica
20. Si:
27. Si el siguiente sistema admite como solución: x = 2; y = 3.
x y z = = 3 4 6 x + y + z = 39
mx – y = 1 mx – y = 4
Hallar: (x + y)z
Calcular “m + n”
A. 42 B. 270
C. 324 D. 378
A. 3 B. – 2
Nivel III 21. Dado el sistema:
28. Resolver:
(k + 1)x + y = 3 2x + (k – 1)y = 1
2 3
22. Al resolver el sistema:
C. – D. –
A. 3 B. 4
3 2
5x – 4y = –14 2x + 3y = k
29. Resolver:
se halla que “y” es el triple de “x” entonces “k” es: A. 15 B. 2
A.
23. Cómo debe ser la dependencia entre “a” y “b” para que el sistema:
C. b = 2a D. a = 2b
a(x + y – b(x – y) = 2a a(x – y) – b(x + y) = 2b
A.
a+b a–b
C. a – b D.
a–b a+b
A. –
C.
7 5
B.
D. 1
B. a + b
Tarea domiciliaria
tenga infinitas soluciones.
1. C. 8 D. 6
(2k – 1)x + y = k x + ky = 2k – 1 tiene infinitas soluciones? A. – 5
C. –
B. 0
D. 1
1 2
2.
x + 3y = 5 2 – x + y = 3
4 5 11 5
Resolver:
x + 5y = 7 3 2x – y = – 4
e indicar “x” A. – 1 B. 2
26. Dar el valor o valores de “m” que hacen que el sistema: 3x + (m – 1)y = 12 (m + 6)x + 6y = 2m
Resolver:
y señalar: x + y
25. ¿Para qué valor del parámetro “k”, el sistema:
3.
Resolver:
C. – 2 D. 6 8x – 5 = 7y – 9 6x + 2 = 3y + 8
e indicar “x + y”
sea inconsistente.
56
74b 33 6b D. 7
C.
Señalar el valor de “y”
(a – 1)x + 4y = 10 2x + (p + 1)y = 5
A. 1; 3 B. 2; 6
74b 33
30. Resolver:
24. Determine “a + p” de modo que el sistema:
A. 5 B. 7
x y 1 – = 4a 4b 6 x y 14 + = 6a 5b 15
B. 3b
tenga solución única. A. 3a = 5b B. a = b
C. 8 D. 6
Hallar “y”
C. 22 D. 18
x+y=3 ax + by = 5b 5x – 3y = 7
x + y + 2z = 21 x + 2y + z = 26 2x + y + z = 21
Hallar “y – 1”.
Hallar “k” para que sea incompatible; siendo: k > 0 A. B.
C. 5 D. 7
C. 3 D. 3; – 8
A. 3 B. 4
C. 7 D. 6
Trilce Católica
Álgebra 4.
Resolver:
x–y+3 3 = 2x + y – 3 2 12. Resolver: 3x – 2y + 4 5 = 2x – 2y + 3 2
11x – 5y = 2 12x + 15y = 129
hallar “x – y”
5.
16 5
A. 5
C. –
B. 1
D. 16
Resolver:
x–2 x+1 = y y + 2 x – 3y = –2
4 3 9 B. 16
6.
16 9 16 D. – 9 C.
Resolver el sistema:
6(x + y) = 13 – x 5(x – y) = 1 – y
luego hallar “n” en: (n – 1)(x + y) + (n + 1) ( x – y) = 12 A. 3 B. 4 7.
C. 7 D. 6
Hallar el producto de soluciones del sistema: 1 1 + =a x y x+y=b a b b D. a
A. a
C.
B. b 8.
Resolver el sistema:
5x + 3 2 – y = 17 y + (5 – x)3 = 2
Dar “x” A. 1 B. 2 9.
A. 2
C. 8
B. 4
D. 16
13. Calcular el valor de “p” si al resolver el sistema:
indicar “x2” . A. –
indicar “y2”
C. 3 D. 4
4x + 5y = p – x + 2y = p resulta que “y” excede en 8 unidades al valor de “x”. A. 12
C. 15
B. 13
D. 18
14. Dado el sistema: 3x + 2y = a + 2 3x – 3y = 2a – 1 calcular “a”, si “x” es el doble de “y”. A.
14 13
C.
13 5
B.
11 12
D.
22 13
15. Hallar el valor de “x” (no nulo) al resolver el sistema: 8(x + y) = 5xy.................. (1) 3(x + z) = 2xz.................. (2) 24(y + z) = 7yz.................. (3) A. 1
C. 4
B. 2
D. 6
16. Resolver:
ax + (a – 1)y = 2a – 1......... (1) (b + 1)x + (b + 1)y = 2b+ 2.......... (2)
Del sistema anterior, dar el valor de “x – y”. A. – 3 B. 2
10. Resolver:
C. 9 D. 4 4(2x + y) + 5(2x – y) = 17 3(2x + y) – (2x – y) = 8
C. 0 D. 3
2x – 2y + 5 =3 11. Resolver: x – y + 4 x + 2y = 2
Trilce Católica
C. 0
B. 2
D. a + b x – y si: 5 x – 3 – xy = 9 3 x – 3 + 5 xy = 39
A. 1
C. 3
B. 2
D. 4
18. Hallar “xy”
e indicar “xy” A. – 12 B. – 11
A. 1
17. Calcular
e indicar el valor de: x2 – y2 A. 2 B. 1
hallar “x + y”
C. – 10 D. – 9
bx – ay = b2................... (1) x – y = a..................... (2)
A. ab + b2
C. a2 + b2
B. a2 + ab
D. a2 – b2
57
Ciclo
Católica
19. ¿Qué valor debe tener “a” para que “x” sea igual a “y” en el siguiente sistema? x + 4y = 119 a 5x – ay = 34 A. 1
C. 3
B. 2
D. 4
58
20. Calcular “xy” del sistema:
(x + 2)(y + 2) = 6 + 2 2 (x – 2)(y – 2) = 2 + 6 2
A. 2 +
2
C. 4 2
B. 1 +
2
D. 8 2
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 11
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Planteamiento de ecuaciones I Forma verbal
Traducción
¿Qué es una ecuación? Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una incógnita. Esta igualdad puede verificarse o no, en el primer caso si al menos hay una solución y en el segundo caso si no presenta solución. ¿Cómo plantear una ecuación? Para plantear una ecuación es recomendable los siguientes pasos:
1.
OO
5. 6.
Forma simbólica
Leer el problema dos veces OO
2. 3. 4.
Quinto Católica
la primera para saber de que se trata la segunda de manera más lenta para poder analizar profundamente.
Identifique qué representa la incógnita y separe los datos. Relacionar los datos con la incógnita. Buscar dos expresiones con la participación de la incógnita, en uno de ellos o en los dos, que presenten lo mismo e igualar (ecuación formada). Resolver la ecuación. Comprobar los resultados.
Para un mejor trabajo nos ejercitaremos en la parte de traducción de expresiones verbales a lenguaje simbólico. N°
ENUNCIADO
VARIABLE
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
1
El doble de un número
El número: x
2x
2
La mitad del triple de mi dinero
Mi dinero: x
(3x) 2
Mi peso: x
2x + 3x
3
El doble más el triple de mi peso
4
La mitad de mi dinero más el triple de mi dinero
Mi dinero: x
5
La mitad de mi dinero más el triple de mi dinero
Mi dinero: 2x
6
Una cantidad es aumentada en 40 nuevos soles
Cantidad:
7
El doble de la suma de un número y 60
Número:
8
La mitad de un número sumado con la tercera parte del mismo
Número:
9
El exceso de un número sobre 60
Número:
10 El exceso de 40 sobre un número
Número:
11 Un número excede en 30 a la mitad del mismo número
Número:
Juan tiene 20 nuevos soles más que Sandra y la suma de lo que 12 tienen ambos es 140 nuevos soles
Sandra tiene: x Juan tiene:
Pedro tiene el triple de lo que tiene Amelia y juntos tienen 400 nuevos soles
Amelia tiene: x Pedro tiene:
13
14 Matilde tiene 60 nuevos soles más que la tercera parte de su dinero
Matilde tiene: 3x
Dinero que gano el primer día: x Cada día gano 12 nuevos soles más que el día anterior y en cuatro Segundo día: 15 días he ganado 152 nuevos soles Tercer día: Cuarto día: 16
Mi mamá pesa 40 kg más que mi hermana y mi hermana, 30 kg más que yo.
Mi peso: x Peso de mi hermana: Peso de mi mamá:
17 El doble de mi peso excede a la tercera parte de mi peso en 50 kg
Mi peso: x
18 Mi edad hace 8 años y mi edad dentro de 4 años suman 76 años
Mi edad hace 8 años: Mi edad dentro de 4 años:
19 Dos números son proporcionales a 3 y 7; además, suman 350.
Uno de los números es: El otro número es:
20
Una canasta con manzanas pesa 50 kg y el peso de la canasta El peso de la canasta es: x + 10 excede al peso de las frutas en 10 kg. El peso de las frutas es: x
Trilce Católica
59
Ciclo
Católica 4.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
El triple de un número es aumentado en 6, lo cual es igual al cuádruplo de su diferencia con 8. Hallar la mitad del número, aumentado en 10. Resolución:
Resolución:
Sea “x” el número
Primera compra: “x” metros; queda: (40 – x)m 2 Segunda compra: (40 – x) m 3 2 Por condición: x = (40 – x) ⇒ 5x = 80 3 x = 16
Del enunciado tenemos: 3x + 6 = 4(x – 8) 3x + 6 = 4x – 32 38 = x → el número es 38 Nos piden: 2.
38 + 10 = 29 2
La primera vez se compró 16 m.
En una granja hay 20 pollos más que patos. Si se vendiesen 25 pollos y se compraran 20 patos, resultaría que el número de patos sería el doble del número de pollos. ¿Cuántos pollos hay en la granja?
5.
Resolución:
Número de hombres = x + 5 Número de mujeres = x
Luego:
Si llegan (x + 5) personas y al final hay 50 hombres y todos están en pareja, quiere decir que al final hay 100 personas.
El número de patos = 2(número de pollos) 144424443 144424443 x + 20 = 2(x – 5) x = 30
Total de personas = x + 5 + x + x + 5 = 100 x = 30
En la granja hay: 30 + 20 = 50 pollos El largo de un rectángulo es el triple del ancho. Si el largo disminuiría 12 m y el ancho se duplicara, su área seguiría siendo la misma. ¿Cuál es el perímetro de dicho rectángulo?
Número de hombres al inicio: 35
Problemas para la clase Nivel I
Resolución: 1.
Graficando ambos casos: Real
Supuesto
3x
3x – 12 Área = (3x – 12)(2x)
Área = 3x2
2.
Por condición:(áreas iguales)
3.
3x
24 ⇒
8
3x
60
8 24
∴ 2p = 64 m
4.
C. 17 D. 19
Gasté los 2/3 de lo que no gasté y aún me queda $20 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía? A. $100 B. 120
El perímetro de dicho rectángulo es:
C. 3 D. 5
Si las edades de mis cuatro hijos son números impares consecutivos y los tres menores suman 45 años, ¿cuántos años tiene el mayor de mis hijos? A. 13 B. 15
3x2 = 2x(3x – 12) 3x = 2(3x – 12) 3x = 6x – 24 x=8
x
Un número aumentado en siete, excede en ocho al producto de tres con la mitad del número original. Hallar el número. A. – 3 B. – 2
2x
x
x
En una reunión hay cinco hombres más que mujeres, luego, llegaron un grupo de personas cuyo número era igual al de los hombres inicialmente presentes, de modo que en la reunión todos están en pareja y hay 50 hombres en total. Hallar el número de hombres inicialmente presentes. Resolución:
Pollos = x + 20; Patos = x Si se vendiese 25 pollos, quedarían: (x – 5) pollos Si se compraron 20 patos, quedarían: (x + 20) patos
3.
Una pieza de tela tiene 40 metros de longitud. En una 2 segunda compra que se hizo, se adquirió los del resto 3 que había quedado después de la primera compra. Sabiendo que en las dos compras se adquirió la misma longitud, ¿cuántos metros se compraron la primera vez?
C. 80 D. 90
Compré un auto en $3600. Si al venderlo, gané los 2/5 del precio de venta más $300, ¿cuánto gané? A. $1500 B. 1800
C. 2200 D. 2900
Trilce Católica
Álgebra 5.
Una máquina fotocopiadora cuesta $350. Si cada copia cuesta S/. 0,1 y el papel S/. 3 el ciento, ¿cuántas copias debe sacarse para recuperar la inversión? ($1 = S/. 3,4) A. 15 000 B. 17 000
6.
Se compra manzanas a S/. 2 el kilo. ¿Cuál debe ser el precio de venta de cada kilo, si luego de la rebaja de este, en su sexta parte, debe quedar una ganancia igual a la cuarta parte del costo? A. S/. 2,4 B. 2,8
7.
C. 360 D. 440
Las edades de dos primas, Alejandra y Rosa Herminia suman 80 años. Si Alejandra tuviera cinco años menos y Rosa Herminia, 15 años más, ambas tendrían la misma edad, ¿qué edad tiene Rosa Herminia? A. 30 años B. 60
9.
C. 3,0 D. 3,2
A una hoja de papel de 20 cm por 32 cm se le recorta un pedazo en forma de triángulo rectángulo isósceles, cuyo cateto es igual al lado menor de la hoja. ¿Cuál es el área de la figura resultante? A. 540 cm2 B. 500
8.
C. 16 000 D. 18 000
C. 75 D. 50
Trescientos empleados deben cobrar S/. 25 200, pero como algunos de ellos se retiran, el resto tiene que cobrar S/. 140 cada uno. ¿Cuántos se retiraron? A. 90 B. 100
C. 110 D. 120
10. Se compra “A” kilos de pollo a S/. 7 el kilo. Si se vende la cuarta parte del peso total a S/. 8 el kilo, ¿a cómo debe venderse cada kilo de lo que queda para ganar en total S/. 450 ? A. S/. B.
20A + 600A 3
20 + 600A 3A
C. D.
20 + 600A 3 20 600 + 3 A
Nivel II 11. Una mujer compró cierto número de paltas por S/. 18. Al día siguiente, le hubieran dado seis paltas más por el mismo dinero, con lo cual cada una hubiera resultado 10 céntimos más barata. ¿Cuántas paltas compró? A. 24 B. 30
C. 32 D. 36
12. Mi enamorada es 22 años menor que yo, dice cierto hombre solterón, y el producto de nuestras edades excede en 662 a la suma de las edades. ¿Qué edad tiene mi enamorada? A. 18 años B. 19
C. 20 D. 15
13. Gasto S/. 56 en comprar helados de coco y vainilla y compró 100 helados en total. Sabiendo que el precio
Trilce Católica
del helado de coco es de 60 céntimos y el de vainilla, 50 céntimos, hallar el número de helados de coco. A. 30 B. 40
C. 50 D. 60
14. La suma de las edades actuales de dos personas es 40 años. Si dentro de cuatro años, el cuadrado de la edad del menor será igual a la edad que tendrá el mayor dentro de 12 años, hallar la diferencia de las edades actuales de ambas personas. A. 15 años B. 19
C. 34 D. 41
15. Mario tiene el cuádruplo de la edad que tenía César cuando él tenía la edad que César tiene; pero, cuando César tenga la edad que Mario tiene, ambas edades sumarán 95 años. ¿Qué edad tiene Mario? A. 25 años B. 30
C. 40 D. 45
16. Jorge toma un trabajo en el que le pagan S/. 50 por cada día trabajado, y cada día que no trabaja, le descuentan S/. 25. Si al cabo de 30 días recibe S/. 1 050, ¿cuántos días trabajó? A. 24 B. 14
C. 7 D. 8
17. Un padre reparte su fortuna entre sus hijos, dándoles S/. 480 a cada uno. Debido a que dos de ellos renunciaron a su parte, a cada uno de los restantes le tocó S/. 720, ¿cuántos hijos tiene el padre? A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
18. Dos personas tienen $164 000 y $248 000, respecti – vamente. Cada una de ellas, compra un terreno, luego de lo cual, les queda la misma cantidad de dinero. Los terrenos tienen un costo de $400 por m2, hallar el área de uno de los terrenos, sabiendo que el área de uno es el doble del otro. A. 100 m2 B. 105
C. 210 D. 125
19. Una padre de familia plantea a su hijo el siguiente problema: “En mi bolsillo derecho, tengo 48 soles más que en el izquierdo. Si a la sexta parte de lo que tengo en el derecho, le aumento ocho soles, obtengo una suma que es igual a la cuarta parte de lo que tengo en el izquierdo, disminuida en S/. 34, ¿cuánto tengo en el bolsillo izquierdo?”. A. S/. 800 B. 500
C. 600 D. 700
20. Un comerciante compra tantos polos como soles le costó cada uno. Si se le perdió la cuarta parte y vendió cada uno de los restantes a dos nuevos soles menos que el doble de lo que le costó cada uno, obteniendo una ganancia de S/. 104, ¿cuántos polos perdió? A. 8 B. 4
C. 3 D. 2
61
Ciclo
Católica Nivel III
21. Tres socios forman un negocio en el que se requiere una inversión de $23 000. Si el tercero aportó $1000 más que el segundo y este los 4/3 del primero, ¿cuánto aportó el que aportó más? A. $6000 B. 7000
C. 8000 D. 9000
22. En una familia con tres hijos: “A”, “B” y “C”, se sabe que “A” es 8 cm más alto que “B” y “C” es 2 cm más bajo que “B”. Si las estaturas de los tres hermanos suman 4,86 m, ¿cuál es la estatura de “B” ? A. 1,50 m B. 1,60
C. 30 y 40 D. 20 y 30
24. Una carpintería tiene un pedido de marcos de ventana: El marco debe ser rectangular y de igual ancho en todos sus lados. Los lados del rectángulo interior medirán 6 cm y 9 cm y el área de la superficie del rectángulo interior al marco es la mitad que la del rectángulo exterior. Hallar el ancho del marco. A. 2 cm B. 3
C. 2,5 D. 1,5
25. El costo total de producción de “x” pantalones es S/. (2x2 – 6x). Si todos los “x” pantalones que se producen se venden a un precio unitario de S/. (x – 2), ¿cuántos pantalones se deben producir y vender para no perder ni ganar? A. 2 B. 3
A.
B. a
12a + 5b C. 2 5b – 12 a D. 2
27. Un comerciante llevaba camisas para vender y decía para sí: “Si vendo cada una a S/. “K”, podré comprar un televisor y me quedarían S/. “P”, pero si vendo cada camisa a S/. “Q”, al comprar el televisor me quedaría solo S/. “R”. ¿Cuántas camisas tenía? A. B.
62
P+R K+Q P–R K–Q
OO
C. D.
P–R K+Q P+R K–Q
C. 5 D. 6
Una empresa vende computadoras tipo “A”, “B” y “C”. Se sabe que cada computadora tipo “A” siempre cuesta 1,5 veces lo que cuesta la de tipo “B”. Un comerciante compra 20; 30 y 40 computadoras de cada tipo, respectivamente, pagando un total de S/. 92 000. Al siguiente mes, las computadoras tipo “B” suben en 20% y el comerciante compra 30; 40 y 50 computadoras, respectivamente, pagando S/. 133 000.
29. Determinar el costo de cada computadora tipo “C”. A. S/. 1000 B. 800
C. 1500 D. 2000
30. Determinar el costo de cada computadora tipo “B” en el segundo mes. A. S/. 1000 B. 1400
C. 1500 D. 1200
Tarea domiciliaria 1.
Si Juan recibe S/. 5 tendría el doble que si hubiera gastado S/. 5, ¿cuánto tiene Juan? A. S/. 18 B. 15
2.
C. 4 D. 5
26. Una señora va al mercado a comprar tomates; para comprar cinco kilos le falta S/. “a”, pero si hubiera llevado S/. “b” más habría comprado dos kilos más y aún le hubiera sobrado S/. “a”. ¿Cuánto dinero llevó al mercado dicha señora? a+b 2
A. $7 B. 8
C. 1,62 D. 1,64
23. Dos obreros trabajando juntos pueden cumplir una tarea dada en 12 horas. El primer obrero por separado puede realizar el mismo trabajo, 10 horas más rápido que el segundo, ¿en cuántas horas cada obrero por separado puede realizar la tarea? A. 28 y 38 B. 25 y 35
28. Cada consultorio de la clínica Mi Salud Sac, atiende 100 clientes a la semana y les cobra $3 por consulta. Estudios de mercado han determinado que por cada incremento de $0,5 en el costo de la consulta, cada consultorio perdería 10 clientes a la semana, ¿qué precio como máximo deberá fijar la clínica, de modo que los ingresos semanales por consultorio sean iguales a $300 ?
Rafael tiene el doble de la edad de Bertha. Dentro de cuatro años, Rafael tendrá el triple de la edad que tenía Bertha hace dos años. ¿Cuál es la edad de Bertha? A. 8 años B. 10
3.
C. 9 D. 2
Dos personas tienen 200 y 250 dólares. Si hacen un gasto igual, la relación de los saldos es de 5 a 3; indicar cuánto tienen de saldo entre los dos. A. $ 300 B. 200
5.
C. 12 D. 9
Siete veces la novena parte de la edad de José, excede en tres al doble de la tercera parte de dicha edad. ¿Dentro de cuántos años tendrá 32 años? A. 5 B. 6
4.
C. 9 D. 10
C. 180 D. 210
Las edades de dos esposos se diferencian en tres (esposo mayor que esposa). Cuando la esposa tenía 20 años nació su único hijo, hoy el hijo tiene 13 años. ¿Cuál será la edad del padre? A. 30 años B. 33
C. 36 D. 34
Trilce Católica
Álgebra 6.
Tengo S/. 120 y gasto los 2/3 de lo que no gasto. Si hubiese gastado 5/7 de lo que no gastaría, ¿cuánto más hubiese gastado? A. 6 B. 3
7.
Descomponer el número 15 en dos partes de manera que la suma de sus valores inversos sea igual a 5/12. Dar la diferencia de dichos números. A. 9 B. 10
8.
C. 11 D. 12
Una vendedora lleva al mercado una cesta de huevos, si cuando vende los 2/9 menos cinco huevos, añadiese 37 huevos a los que le quedan entonces el número de huevos que llevó al mercado quedaría aumentado en 1/6. ¿Cuántos huevos llevaba en la cesta? A. 66 B. 136
9.
C. 2 D. 9
C. 96 D. 108
“A”, “B” y “C” tienen en total 126 limones; si “C” le diera la cuarta parte a “A” tendrían la misma cantidad, pero, si “A” le diera la mitad a “B”, entonces “B” tendría la misma cantidad que “C”. ¿Cuántos limones tiene “B”? A. 28 B. 56
C. 42 D. 48
10. En un rebaño el número de ovejas más bueyes es 30; el de bueyes más vacas es 50; el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40. ¿Cuánto suman el número de los bueyes y cabras?
14. El denominador de una fracción es cuatro unidades mayor que el numerador. Si se aumenta el numerador en uno, el valor de la fracción es 2/3, halla la fracción. 7 11 9 B. 13 A.
15. Un hombre gasta 3/8 de su sueldo en alimentos y 2/5 en otros gastos. Si ahorra S/. 450 cada mes; ¿a cuánto asciende su sueldo? A. S/. 1600 B. 2400
C. 70 D. 50
11. En un corral el número de gallos es el cuádruple del número de gallinas. Si se venden cuatro gallos y cuatro gallinas, entonces el número de gallos es seis veces el número de gallinas, ¿cuántas aves habían inicialmente? A. 33 B. 63
C. 40 D. 50
12. Dos ejércitos tienen el mismo número de efectivos. Si en la batalla mueren 200 hombres de un ejército y 50 hombres del otro, entonces el número de sobrevivientes del segundo es el doble del primero. ¿Cuántos soldados tenía cada ejército inicialmente? A. 450 B. 600
C. 350 D. 750
13. El dinero que tiene Lourdes excede en S/. 5 a la mitad del dinero de Maruja. Si entre ambas tienen S/. 65, ¿cuánto tiene Maruja? A. S/. 40 B. 28
Trilce Católica
C. 25 D. 50
C. 1800 D. 2000
16. Tres hermanos tienen una hacienda. El primero tiene 1/3 de ella más 80 hectáreas; el segundo 1/4 de la hacienda y el tercero 20 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas tiene la hacienda? A. 280 B. 250
C. 240 D. 300
17. El jardinero “A” planta rosas más rápidamente que el jardinero “B” en la proporción de 4 a 3. Cuando “B” planta “x” rosas en una hora, “A” planta “x + 2” rosas. ¿Cuántas rosas planta “B” en 4 horas? A. 20 B. 16
C. 24 D. 28
18. Tres terrenos cuadrados son tales que: OO OO
A. 60 B. 40
5 9 3 D. 7
C.
OO
El lado del mayor es el doble del lado del menor. El lado del mediano es cinco metros más que el lado del menor. 36 veces la suma de las áreas de los menores es igual a 25 veces el área del mayor.
Calcular el lado del terreno mediano. A. 30 m B. 15
C. 20 D. 60
19. Tres niños se han repartido una bolsa de caramelos, tomando el primero la mitad de los caramelos y uno más; el segundo, la tercera parte de lo que quedó y el tercero el resto. ¿Cuántos caramelos hubieron en la bolsa? A. B. C. D.
26 32 No puede ser determinado 14
20. Se compra cajones de naranjas a S/. 100 cada uno y cada cajón contiene 20 kg. Primero se vende la mitad a S/. 20 el kg; después la cuarta parte a S/.15 el kg; y por último, el resto se remata a S/.10 el kg, ganando 11 250 en total. ¿Cuántos cajones de naranjas habían comprado? A. 65 B. 70
C. 55 D. 50
63
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 12
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES II En esta semana repasaremos planteamiento de ecuaciones, teniendo en cuenta principalmente el uso de sistemas de ecuaciones. Recuerda las recomendaciones para plantear un problema: OO Leer y comprender el enunciado. OO Seleccionar los datos. OO Establecer la ecuación o ecuaciones para luego resolver el sistema de ecuaciones o la ecuación descrita por el enunciado.
7.
Problemas para la clase Nivel I 1.
La diferencia de dos números es 14 y 1/4 de su suma es 13. Hallar el mayor de los números. A. 30 B. 19
2.
Por siete camisas y ocho pantalones pagué S/. 514. Para comprar diez camisas y siete pantalones tendría que agregar S/. 21 al monto anterior. ¿Cuánto cuestan dos camisas y un pantalón? A. S/. 67 B. 82
3.
C. 24 D. 21
Una madre de familia plantea a su hija el siguiente problema: En mi bolsillo derecho tengo S/. 48 más que en el izquierdo. Si a la sexta parte de lo que tengo en el derecho le aumento S/. 8 obtengo una suma que es igual a la cuarta parte de lo que tengo en el izquierdo, disminuido en S/. 34. ¿Cuánto tengo en el bolsillo derecho? A. S/. 800 B. 648
6.
C. 2 D. 1,5
Un granjero tiene un total de 56 aves entre pollos, patos y pavos. Si tuviera tres pollos más, siete patos menos y cinco pavos más; tendría la misma cantidad de cada tipo de aves. Hallar el número de patos. A. 19 B. 26
5.
C. 89 D. 90
Si compro dos revistas gastaría S/. 2 más que si comprara tres periódicos. Pero si comprara cinco periódicos gastaría S/. 2 más que si comprara dos revistas. ¿Cuánto cuesta cada periódico? A. S/. 4 B. 3
4.
C. 33 D. 29
C. 600 D. 700
Una canasta llena de huevos pesa 100 kg, cuando la canasta lleva 1/5 de su capacidad, el peso es 60 kg. Averiguar el peso de la canasta. A. 55 kg B. 57
Trilce Católica
C. 50 D. 60
Un volquete lleno de piedras pesa 27 toneladas. Cuando están llenos los 3/5 de su capacidad, el peso equivale a los 7/4 de cuando está vacío. ¿Cuántas toneladas de piedra es la carga del volquete? A. 15 B. 12
8.
C. 27 D. 36
En un campeonato de tiro, un aspirante gana dos puntos por cada disparo acertado y pierde medio punto por cada desacierto. Si al hacer 120 disparos obtuvo 130 puntos, el número de disparos acertados fue: A. 76 B. 77
9.
Quinto Católica
C. 78 D. 79
En una granja hay 92 patas y 31 cabezas. Si solo hay patos y conejos ¿cuál es la diferencia entre el número de estos animales? A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
10. En un salón de clases existe cierta cantidad de carpetas bipersonales, cuando se sienta un alumno por carpeta, faltan cuatro carpetas, pero cuando se sientan dos por cada carpeta, sobra una de ellas, ¿cuántos alumnos tiene dicho salón? A. 5 B. 6
C. 10 D. 12
Nivel II 11. Carla vendió 12 relojes de plata y siete de oro por $ 5000. ¿Cuánto vale cada reloj de oro si el precio de uno de oro es cuatro veces el precio de uno de plata? A. $ 100 B. 125
C. 400 D. 500
12. Si compro 18 libros, me sobra S/. 40 y si compro 21 libros, me falta S/. 20. ¿Cuánto tengo? A. S/. 400 B. 300
C. 360 D. 480
13. Hallar un número entero de dos cifras sabiendo que estas suman 12, que si al número le suman 10 unidades, resulta menor que el doble de dicho número invertido y que la raíz cuadrada del número es mayor que 9. A. 57 B. 39
C. 93 D. 84
14. En un colegio los alumnos del turno mañana pagan S/.80 mensuales y los de la tarde S/. 65 mensuales. Si el director ha recibido en total de la pensión del
65
Ciclo
Católica segundo mes de clases S/. 4080 y los alumnos de la tarde son siete más que los del turno mañana, halle el total de alumnos. A. 25 B. 32
C. 57 D. 56
15. Un comerciante compró café por S/. 1600 y té por S/. 1800, obteniendo 40 kg más de café que de té. ¿Cuánto pagó por el kg de café, si un kg de té costó 50 soles más que un kg de café? A. S/. 21 B. 22
C. 25 D. 24
16. Se envasan botellas de dos litros y tres litros. Si la cantidad de botellas de tres litros es el doble que las otras y se ha empleado en total 136 litros, ¿cuántas botellas de dos litros se envasarán? A. 15 B. 21
C. 34 D. 17
17. En un salón de la academia TRILCE, el día de hoy faltaron cinco alumnos por problema de salud. Si los asistentes se sientan cuatro alumnos en cada carpeta, faltarían tres alumnos para que todas las carpetas estén llenas. Pero si se sientan tres alumnos por carpeta se quedarían nueve alumnos de pie. Hallar el número total de alumnos del salón. A. 12 B. 50
C. 45 D. 40
18. Una señora quiso comprar cierto número de limones con cierta suma de dinero, pero al ver que el precio de cada limón había bajado en S/. 2, compró cuatro limones más por la misma suma. Si el número de soles que pagó por cada limón y el número de limones que compró suman 16, ¿cuánto gastó en la compra de limones? A. S/. 10 B. 60
C. 64 D. 48
19. Un genio está indeciso entre comprar con todo su capital 72 borradores o por el mismo precio nueve libros y 9 lapiceros. Decide comprar con dicho capital el mismo número de útiles de cada clase. ¿Cuántos útiles compra en total? A. 18 B. 20
C. 22 D. 24
20. Carla vendió doce relojes de plata y siete de oro por $5000. ¿Cuánto vale cada reloj de oro si el precio de uno de oro es cuatro veces el precio de uno de plata? A. 100 B. 125
C. 400 D. 500
Nivel III 21. Averiguar para qué número de tres cifras se verifica que la cifra de las centenas, sumada con la de las unidades, es igual a 9; que la diferencia de estas cifras da las cifras de las unidades y que la diferencia entre las cifras de las centenas y decenas es el doble de esta última. A. 263 B. 623
66
C. 362 D. 632
22. Un poste de “a” metros de longitud está pintado de rojo y blanco. Si se pinta “b” metros más de blanco, la mitad del poste estaría pintado de rojo. ¿Cuántos metros de poste están pintados de blanco? A. B.
a – 2b 2 a–b 2
2a – b 2 a D. 2–b C.
23. Un grupo de personas desea comprar bolsas de leche. Si cada persona compra una bolsa, sobrarían “n” bolsas. Si cada persona quisiera comprar “n” bolsas, entonces faltaría para “n” personas. ¿Cuántas personas conforman el grupo? A. B.
n(n – 1) n+1 n(n – 2) n–1
C. D.
2n n–1 n(n + 1) n–1
24. Se compran dos piezas de tela: una a “x” nuevos soles el metro y otra que tiene “x” metros más a “y” nuevos soles el metro. Si por cada pieza se paga lo mismo, ¿cuántos metros se compraron en total? A. B.
2x(x + y) x–y x+y x–y
C. D.
x(x + y) x–y x–y x+y
25. En una reunión el número de caballeros es dos veces más que el número de damas, después que se retiran ocho parejas, el número de caballeros que ahora queda es cuatro veces más el número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente? A. 16 B. 32
C. 48 D. 72
26. Óscar le da a José tantas veces cinco céntimos como nuevos soles tiene en su bolsillo, sabiendo que aún le quedan S/. 76. ¿Cuánto tenía Óscar inicialmente? A. S/. 95 B. 80
C. 75 D. 70
27. En una conferencia el número de varones es al de damas como 7 es a 5; si el exceso del número de varones respecto al de damas es un número de dos cifras consecutivas, hallar el máximo número de damas que pudieron asistir a la conferencia. A. 85 B. 140
C. 170 D. 245
28. Con billetes de S/. 100 y de S/. 50 se pagó una deuda de S/. 2800. El número de billetes de S/. 50 excede en 8 al número de billetes de S/. 100. Si los billetes que tenemos de S/. 100, los contaremos como billetes de S/. 50 y viceversa, ¿qué cantidad de dinero tendríamos? A. S/. 4500 B. 2900
C. 3200 D. 3800
29. Un obrero trabajó durante dos meses con su hijo en una misma obra. El primer mes, por 14 días del padre y 24 del hijo recibieron S/. 118; el segundo mes por 21 días
Trilce Católica
Álgebra del padre y 19 del hijo recibieron S/. 143. ¿Cuál es la diferencia de jornales diarios del padre y del hijo? A. 3 B. 1
C. 4 D. 5
30. Un patio tiene forma rectangular, si tuviera tres metros más de largo y cuatro metros más de ancho, sería 192 m2 más grande. Si tuviera cuatro metros menos de largo y tres metros menos de ancho, sería 158 m2 más pequeño. Hallar las dimensiones del patio, A. 15 y 45 B. 10 y 40
C. 30 y 20 D. 20 y 50
37. Un deportista apuesta a tirar al blanco con la condición de que por cada tiro que acierta recibirá “a” nuevos soles y pagará “b” por cada uno de los que falle. Si después de “n” tiros ha recibido “c” nuevos soles, ¿cuántos tiros dio en el blanco? A. B.
A. 4 B. 6
A. S/. 30 B. 32
C. 25 D. 28
33. Se lanza tres dados simultáneamente. El triple del resultado del primer dado, más el doble del resultado del segundo dado, más el resultado del tercer dado suman diez. ¿Cuántos posibles resultados pudieron darse? A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
34. Dos señoras llevan al mercado 100 manzanas. Una de ellas tenía mayor número de manzanas que la otra; no obstante, ambas obtuvieron iguales sumas de dinero. Una de ellas le dice a la otra: “Si yo hubiese tenido la cantidad de manzanas que tú tuviste y tú la cantidad que yo tuve, hubiésemos recibido respectivamente 15 y 20/3 nuevos soles”. ¿Cuántas manzanas tenía cada una? A. 30 y 70 B. 45 y 55
A. 30 h B. 15
Trilce Católica
A. 2,5 cm B. 12
C. 60 D. 10
C. 1,5 D. 3
40. Tres amigos acuerdan encontrarse a las seis de la tarde en la PUCP, pero por diferentes causas ninguno llegó a la hora indicada. El primero llegó tres minutos antes que el segundo y el tercero seis minutos después que el segundo, pero si al promedio de los tres tiempos empleados por cada uno se le resta ocho minutos, el resultado será igual a la hora indicada para encontrarse. ¿A qué hora llegó el tercero? A. 6:07 p.m. B. 6:04 p.m.
C. 6:13 p.m. D. 6:11 p.m.
Tarea domiciliaria 1.
Si tú me dieras dos de tus canicas, tendríamos la misma cantidad; en cambio, si yo te diera tres de las mías, tú tendrías el doble de los que a mí me quedaría. ¿Cuántas canicas tenemos entre los dos? A. 40 B. 30
2.
3.
C. 32 D. 7
Enrique cancela una deuda con 28 billetes de S/. 10 y S/. 5. ¿Cuánto dinero pagó con billetes de S/. 10, si el monto de la deuda fue de S/. 200? A. S/. 75 B. 80
4.
C. 35 D. 60
Seis kg de café y 5 kg de azúcar costaron $ 2,27 y, 5 kg de café y 4 kg de azúcar a los mismos precios costaron $ 1,88. Halla el precio del kg de café. A. $ 0,32 B. 0,07
C. 1 D. 2
36. Una cierta tarea puede ser hecha por Aldo y Paúl en 12 horas; por Aldo y Ernesto en 20 horas y por Paúl y Ernesto en 15 horas. Encontrar el tiempo que tardaría en hacer la tarea trabajando los tres juntos.
C. 243 D. 253
39. A una hoja de papel de 30 cm × 18 cm se le recortan cuadrados iguales en cada esquina, de modo que el área del papel recortado medida en cm2 excede a su perímetro medido en centímetros en 408. Halla el lado del cuadrado.
C. 20 y 80 D. 40 y 60
35. El perímetro de un rectángulo es 90 m y su área es superior a 504 m2. Si sus lados son números enteros, ¿en cuánto excede el largo al ancho? A. 3 m B. 4
A. 223 B. 233
C. 8 D. 9
32. Un comerciante compró 2500 botellas a S/. 20 el ciento. En el camino se le rompieron 190 botellas y luego regala cinco botellas por cada 100 que vendía. ¿En cuánto vendió el ciento si en total ganó S/. 116?
bn + c a+b an + c D. a+b C.
38. Se quiere colocar cierto número de fichas de modo que formen un cuadrado completo. En la primera disposición sobran ocho fichas; formando el cuadrado con una ficha más por lado faltan 23. ¿Cuántas son las fichas?
Ejercicios adicionales 31. Se tienen cajas que contienen lapiceros. Si la cantidad de cajas se duplica, se tendrían 72 lapiceros más. Si la cantidad de cajas se aumenta en 2 y la cantidad de lapiceros por caja disminuye en 3, se obtendrían 90 lapiceros. ¿Cuántas cajas había originalmente?
an + c a–b bn + c a–c
C. 100 D. 120
Con 12 monedas en total, unas de 50 céntimos y otras de 20 céntimos, se quiere pagar una deuda de S/. 3,60. ¿Cuántas monedas de cada clase se utilizarán? A. 3 y 9 B. 4 y 8
C. 5 y 7 D. 10 y 2
67
Ciclo
Católica
5.
Una tela tiene un largo igual al doble del ancho. Al lavarse por primera vez su ancho se reduce en la décima parte y su largo en la novena parte. ¿Cuál es el perímetro original de la tela, si su área final es de 12 960 cm2? A. 500 cm B. 540
6.
Una motosierra consume nueve litros de gasolina combinada con dos litros de aceite para trabajar durante tres horas. ¿Cuántas horas habrá trabajado cuando ha consumido 35 litros de gasolina más que aceite? A. 2 h B. 5
7.
C. 2,5 D. 4
Si al colocar 24 libros de Aritmética uno a continuación del otro y 16 libros de Álgebra de igual manera que los anteriores el espacio que ocupan todos ellos es de 2,8 m; hallar el espacio que ocupan 10 libros de Álgebra sabiendo que cada uno de estos ocupan 5 cm más que uno de Aritmética. A. 1 m B. 1,2
9.
C. 3 D. 4
El tiempo que estudio diariamente es la mitad del tiempo que duermo. El tiempo que veo televisión es la mitad del tiempo que estudio o duermo. Si el resto del día es 10,5 horas, ¿qué tiempo estudio? A. 3 h B. 3,5
8.
C. 482 D. 520
C. 1,1 D. 0,9
La cabeza de un pescado mide 20 cm, la cola mide tanto como la cabeza más medio cuerpo y el cuerpo tanto como la cabeza y la cola juntos. ¿Cuál es la longitud del pescado en centímetros? A. 200 B. 20
C. 140 D. 160
10. A un empleado le prometen por un año de trabajo 8000 dólares, un televisor y un equipo de sonido; pero por ocioso lo despiden a los diez meses recibiendo 6000 dólares más los dos artefactos. Si se le hubiera despedido a los ocho meses habría recibido 5800 dólares y el equipo de sonido. ¿Cuál es el precio del televisor? A. $ 1500 B. 350
C. 1800 D. 1250
11. Cuatro hermanos tienen 450 dólares. Si el dinero del primero se aumenta en 20 dólares, el del segundo se reduce en 20 dólares, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrían la misma cantidad de dinero. Indicar la suma de las cifras del dinero que tiene el segundo hermano. A. 3 B. 8
C. 2 D. 5
12. Un litro de leche pura pesa 1030 gramos. Si se compran nueve litros de leche adulterada que pesa 9210 gramos, ¿cuántos litros de agua contiene? (1 L de agua pesa 1000 gramos). A. 1 B. 3
68
C. 5 D. 7
13. Ricardo tiene “a” animalitos entre loritos y perritos. Si entre los animalitos que tiene puede contar “p” patas, ¿cuántos perritos tiene? A. B.
a+p 2 p – 2a 2
C.
a–p 2
D. a – p
14. Un matrimonio que tiene dos hijos acordó pesarse y lo hicieron del modo siguiente: se pesaron los padres y resultó 126 kg después el papá con el hijo mayor y resultó 106 kg y por último la mamá con el hijo menor y resultó 83 kg. Se sabe que el hijo mayor pesa 9 kg más que el menor. Determine cuánto pesa el hijo mayor. A. 35 kg B. 38
C. 36 D. 30
15. Ernesto decide entrar al mundo de los negocios y compra un lote de camisas a $ 7,5 c/u, regalándole cuatro por cada 19 que compre y recibiendo en total 391 camisas. Él, a su vez, decide venderlas a $ 10 c/u, ofreciendo regalar tres por cada 14 camisas que le compren. Si al final no le quedó ninguna camisa, ¿cuál fue su ganancia en esta, su primera experiencia como negociante? A. $ 977,5 B. 797,5
C. 799,5 D. 77,5
16. La suma de tres números es 160. Un cuarto de la suma del mayor y el mediano equivale al menor disminuido en 20, y si la mitad de la diferencia entre el mayor y el menor se le suma el número medio el resultado es 57. Halla la diferencia entre el mayor y el menor. A. 15 B. 12
C. 13 D. 14
17. Un almacenista compró a un fabricante cierto número de lapiceros a razón de 8,40 dólares la docena y los vendió después a un comerciante a razón de 9 dólares la decena. Luego el comerciante vendió dichos lapiceros al público a 2,8 dólares el par, ganando 720 dólares más que lo que ganó el almacenista. ¿Cuánto cobró el fabricante por todos los lapiceros? A. $ 20 160 B. 21 600
C. 2 160 D. 1 680
18. A un alambre de 122 cm de longitud se le ha hecho dos cortes. La longitud de cada trozo es igual a la del inmediato anterior más 1/4 de esta longitud ¿Cuál es la longitud del trozo más grande? A. 50 cm B. 60
C. 62 D. 54
19. Se compraron dos piezas de alambre que juntas miden 120 m. Cada metro de cada pieza de alambre costó tantos soles como metros tiene la pieza. Una de ellas costó S/. 240 más que la otra. ¿Cuál es la longitud de la pieza más grande? A. 58 m B. 60
C. 61 D. 62
20. Un grupo de niños está formado de modo que hay tantos niños por columnas como filas. Para formar con un niño más por columna y un niño más por fila, harían falta 13 niños ¿Cuántos son los niños? A. 9 B. 16
C. 25 D. 36
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 13
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
TEORÍA DE ECUACIONES: PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES III EDADES
MÓVILES
Según el número de sujetos cuyas edades intervienen, los problemas de edades se pueden tipificar en dos: TIPO I (Cuando interviene un solo sujeto):
v
– y +x E – y E E+x _____________ _____________ _____________ Hace “y” años Edad Actual Dentro de “x” años
e = Espacio total recorrido v = Velocidad (rapidez) t = tiempo
e
I.
t
TIEMPO DE ENCUENTRO vA
vB A
Ejemplo:
TIPO II (Cuando intervienen dos o más sujetos): En este caso es recomendable usar el siguiente cuadro:
Persona 2
Pasado (tuve)
Presente (tengo)
Futuro (tendré)
A1
A2
A3
B1
B2
te = II.
TIEMPO DE ALCANCE
OO
A
OO OO
Si: va > vb
A las 9:00 parten de un mismo punto y en la misma dirección dos autos con velocidades constantes de 75 y 52 km/h. ¿Después de cuánto tiempo la distancia que hay entre ellos es de 46 km?
Tengo el doble de la edad que tuviste, cuando tuve la tercera parte de tu edad actual y cuando tengas el doble de mi edad actual nuestras edades sumarán 155 años. ¿Cuál es tu edad actual? Presente (tengo)
ta = Ejemplo:
Ejemplo:
Pasado (tuve)
Problemas para la clase 1.
Futuro (tendré) 2.
Tú OTRO TIPO DE PROBLEMAS
2 3 1 B. 2
Año de nacimiento + Edad = Año de la edad
En 1980, una persona observó que su edad era igual a las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿En qué año nació la persona?
3.
C. 50 D. 55
La edad de Eduardo es a la de Carlos como 1 a 5. Si hace 5 años era de 1 a 7, ¿cómo será dentro de cinco años? A.
Hay que tener presente:
Ejemplo:
Dentro de 30 años tendré el triple de la edad que tuve hace 20 años. ¿Cuántos años tengo? A. 40 B. 45
Yo
Trilce Católica
B e
B3
Conclusiones A2 – A1 = B2 – B1 → A2 + B1 = A1 + B2 A3 – A1 = B3 – B1 → A3 + B1 = A1 + B3 A3 – A2 = B3 – B2 → A3 + B2 = A2 + B3
vB
vA
Relaciones que puedes utilizar para plantear ecuaciones en el cuadro:
B e
Dentro de 20 años, José tendrá el doble de la edad que tuvo hace 10 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?
Persona 1
e=v×t
1 4 3 D. 4
C.
La edad de un hijo es los 2/5 de la de su padre, y hace ocho años la edad del hijo era los 2/7 de la edad del padre. Hallar las edades actuales. A. 30 y 75 B. 18 y 45
C. 28 y 70 D. 20 y 50
69
Ciclo
Católica
4.
5.
La edad de "A" es el triple de la de "B" y hace 4 años la suma de ambas edades era igual a la que tendrá "B" dentro de 16 años. Hallar la edad de "A".
Rocío se resta el cuadrado de la edad de Robinson, la diferencia es cuatro años menos que los 17/5 de la edad de Andrés, hallar la edad de Rocío.
A. 21 años B. 33
A. 4 B. 7
Él tiene la edad que ella tenía, cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más de lo que él tiene, ¿cuántos años tiene ella? A. 32 B. 48
6.
C. 50 D. 60
¿Dentro de cuántos años tendrás la edad que yo tendré cuando tú tengas 20 años, si ahora tengo 20 años y tú 15 años? A. 5 años B. 10
9.
C. 56 D. 64
María le dice a Estrella: "Yo tengo el cuádruplo de la edad que tú tenías, cuando yo tenía 17 años." Si Estrella tiene hoy 33 años, ¿qué edad tiene María? A. 30 años B. 40
8.
C. 54 D. 35
Tengo 23 años menos que mi padre pero 22 años más que mi hijo. Si las tres edades suman 100 años, ¿qué edad tiene mi padre? A. 45 años B. 54
7.
C. 24 D. 8
C. 15 D. 3
Rosa tiene 60 años. Su edad es el triple de la edad que tenía Elena cuando Rosa tenía la cuarta parte de la edad que tiene Elena. ¿Cuál es la edad actual de Elena? A. 64 años B. 32
C. 16 D. 8
10. La edad de Pedro es los 3/5 de la edad de Juan. Si hace 10 años era solo la mitad, ¿cuál será la suma de las edades de Juan y Pedro dentro de cinco años? A. 60 B. 70
C. 80 D. 90
11. Hace siete años mi edad era el doble de la que tú tenías, pero dentro de 13 años la relación será de 5 a 3. ¿Qué edad tuve yo cuando tu naciste? A. 20 años B. 40
C. 35 D. 45
12. Dos personas tienen actualmente 28 y 21 años por lo tanto sus edades están en la relación de 4/3. El número de años que deben transcurrir para que la relación de sus edades sea 9/8 es: A. 35 B. 37
C. 40 D. 41
13. Andrés tiene un año menos que Robinson y Robinson un año menos que Rocío. Si del cuadrado de la edad de
70
C. 9 D. 13
14. Si a la edad de Carlos se le duplica resulta menor que 84. Si a la mitad de dicha edad se le resta 7 resulta mayor que 12. Hallar la suma de las cifras de la edad de Carlos, si dicha suma es mayor que 5. A. 6 B. 12
C. 39 D. 42
15. La razón entre las edades de Luis y Diego es de "m" a 1 (m > 1). Si "E" es la menor edad, ¿dentro de cuántos años la relación será de "n" a 1? A. B.
E(n + m) m+1 E(n + m) m–1
E(n – m) 1–n E–m D. n–1
C.
16. La edad de un padre es tres veces la edad de su hijo, hace seis años la edad del padre fue cinco veces la edad del hijo. ¿Qué tiempo tiene que transcurrir para que la edad del padre sea dos veces la edad del hijo? A. 6 años B. 8
C. 10 D. 12
17. La edad que tendrá Sonia dentro de un cierto número de años y la edad que tenía Sonia hace ese mismo número de años suman 34. ¿Dentro de cuántos años tendrá el doble de la edad que tenía hace dos años? A. 10 B. 6
C. 7 D. 13
18. En cierto año, Rosa se preguntaba y meditaba sobre su edad: “Si el año en que cumplí los 16 años le suman el año en que cumplí los 20 años y si a este resultado le restan la suma del año en que nací con el año actual obtendría 10 años”. Hallar la edad que en aquel momento tenía Rosa. A. 16 años B. 21
C. 26 D. 29
19. La edad de un hombre es “m” veces la edad “b” de su hijo. ¿Hace cuántos años la edad del padre fue “3m” veces la de su hijo? A. B.
mb 3m – 1 2mb 3m – 1
mb 3m + 1 3mb D. m+1
C.
20. Mario le dice a José yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 126 años. ¿Cuál es la edad de Mario? A. 63 B. 28
C. 70 D. 42
Trilce Católica
Álgebra 21. Faltan para las 3 p.m. la mitad del tiempo transcurrido. ¿Qué hora es? A. 9 a.m. B. 10 a.m.
C. 8 a.m. D. 10 p.m.
22. El tiempo que estudio diariamente es la mitad del tiempo que duermo. El tiempo que veo televisión es la mitad del tiempo que estudio o duermo. Si el resto del día es 10,5 horas, ¿qué tiempo estudio? A. 3 h B. 3,5
C. 2,5 D. 4
23. Si la tercera parte del tiempo que ha pasado desde las 10 a.m. es la mitad del tiempo que falta para las 7 p.m. del mismo día, ¿qué hora es? A. (1 h 24 min) p.m. B. (2 h 24 min) p.m.
C. (3 h 24 min) p.m. D. (5 h 24 min) p.m.
24. Si no se trata de un año bisiesto, ¿qué día del año el número de días transcurridos excede en dos a los 3/8 del número de días que faltan para terminar el año? A. 10 de abril B. 11 de abril
C. 12 de abril D. 13 de abril
25. El producto de las horas transcurridas y las que faltan por transcurrir en el día es 140. Si se sabe que ya es más del mediodía, ¿cuánto falta para las 11 p.m.? A. 7 horas B. 8
C. 9 D. 12
26. Preguntándole a Scarlet por la fecha, esta respondió: el mes es octubre y quedan del mes 215 horas menos que las transcurridas, ¿a qué hora se le hizo la pregunta? A. 10:00 p.m. B. Imposible
C. 11:00 p.m. D. 11:30 p.m.
27. Newton nació en el siglo XVII y murió en el XVIII. Se pregunta el año de su nacimiento y el de su muerte, sabiendo que el número formado por las dos últimas cifras de la época de su nacimiento, aumentado en 12, es el doble del número formado por las dos últimas cifras de la época de su muerte, y este último número de dos cifras, aumentado en una unidad, es los 2/3 del primero. A. 1638; 1725 B. 1647; 1734
C. 1628; 1715 D. 1642; 1727
28. En un día faltan tantas horas como minutos han transcurrido de la hora en que estamos, además el número de minutos que faltan para la hora siguiente son el cuádruple del número de horas que faltan. ¿Qué hora es? A. 10:12 B. 10:15
C. 11:10 D. 11:12
29. ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas exceda en ocho a los 4/47 del número de hojas que quedan? A. 5 de febrero B. 6 de febrero
Trilce Católica
C. 7 de febrero D. 4 de febrero
30. En el mes de noviembre, cumplió años Cecilia; si el triple del día en que nació ella es menor que el día en que nació Alfredo, y además el día en que nació Cecilia supera al mes en que nació Alfredo. Si Alfredo nació después del mes de mayo y un día que tiene la particularidad de tener sus cifras iguales, ¿en qué fechas cumplieron años Cecilia y Alfredo? A. B. C. D.
7 de noviembre 7 de noviembre 6 de junio 6 de noviembre
– 11 de junio – 22 de junio – 11 de noviembre – 22 de junio
31. Un hombre demora ocho horas en recorrer los 2/3 de su recorrido a 30 km/h. Halla cuánto demora en recorrer 3/5 de su recorrido a 12 km/h. A. 16 h B. 15
C. 18 D. 20
32. Dos depósitos contienen 2587 y 1850 litros de agua y con una bomba se traslada del primero al segundo cuatro litros por segundo. ¿Después de cuánto tiempo uno contendrá el doble de litros que el otro? A. 4 min 37 s B. 3 min 21 s
C. 4 min 38 s D. 5 min 24 s
33. Dos móviles parten simultáneamente de un mismo punto con velocidades de 30 y 50 km/h, uno llega a las 9:40 a.m. y el otro llega 9:20 a.m. Hallar la hora de partida. A. 8:05 a.m. B. 8:15 a.m.
C. 8:50 a.m. D. 8:35 a.m.
34. La distancia del Sol a la Tierra es aproximadamente 150 millones de kilómetros. ¿qué tiempo tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra, si la rapidez de la luz es de 300 000 km por segundo? A. 6'20" B. 7'20"
C. 8'20" D. 9'20"
35. La velocidad de un auto es 10 km/h mayor que la de una moto. ¿Cuál es la velocidad de la moto, si en igual tiempo el auto recorre 200 000 metros y la moto 160 000 metros? A. 4 km/h B. 40
C. 30 D. 180
36. José y Manuel se proponen viajar a una ciudad que se encuentra a 126 km de Lima. José viaja 14 km cada día y Manuel el primer día 2 km, el segundo día el doble del día anterior y así sucesivamente. ¿Quién llegará primero y en cuántos días? A. José, en 6 días B. Manuel, en 9 días
C. José, en 9 días D. Manuel, en 6 días
37. Un remero navega hacia un lugar que dista 48 km del punto de partida y regresa en 14 horas. Él observa que puede remar 4 km, siguiendo la corriente en el mismo tiempo que 3 km en contra de la corriente. Hallar la velocidad del remero. A. 1 B. 3,5
C. 4 D. 7
71
Ciclo
Católica
38. Un camino se puede recorrer en cinco horas con cierta velocidad en kilómetros por hora. El mismo camino se puede hacer en una hora menos, aumentando en un kilómetro por hora la velocidad. Determinar la distancia del camino. A. 16 km B. 18
C. 20 D. 25
39. Dos corredores Pedro y Juan parten simultáneamente en viaje de una ciudad a otra distantes de 60 km. La velocidad de Pedro es 4 km/h menor que la de Juan; después de llegar Juan a la segunda ciudad emprende inmediatamente el viaje de regreso y se encuentra con Pedro después de recorrer 12 km. ¿Cuál es la velocidad de Pedro? A. 6 km/h B. 8
C. 100 D. 120
Tarea domiciliaria 1.
¿Dentro de cuántos años tendrás la edad que yo tendré cuando tú tengas 20 años, si ahora tengo 20 años y tú 15 años? A. 4 B. 5
2.
María tiene 24 años, su edad es el doble de lo que tenía Flor cuando María tenía la edad que ahora tiene Flor. ¿Qué edad tiene Flor? A. 15 años B. 16
3.
C. 15 D. 18
Juana tuvo su primer hijo a los 20 años y ocho años después tuvo a su segundo hijo. Si en 1992, las edades de los tres suman 42 años, ¿en qué año nació Ana? A. 1980 B. 1969
5.
C. 17 D. 18
La señora Viviana tuvo a los 17 años dos hijos mellizos. Hoy las edades de los tres suman 53 años. ¿Qué edad tendrán los mellizos dentro de cinco años? A. 12 B. 17
4.
C. 8 D. 10
C. 1968 D. 1962
La suma de las edades de un hijo con la de su padre es 50 años, dentro de cinco años sus edades estarán en la relación de 1 a 2. ¿En qué relación están actualmente? A. 1 a 2 B. 5 a 3
72
C. 3 a 7 D. 2 a 5
El cuadrado de la edad de Juan menos tres es mayor que 165. En cambio el doble de su edad más tres da un número menor que 30. ¿Cuántos años tiene Juan? A. 11 B. 12
7.
8.
C. 9 D. 24
La edad en años de una tortuga es mayor en 20 que el cuadrado de un número "N"; y menor en cinco que el cuadrado del número siguiente a "N". ¿Cuántos años tiene la tortuga? A. 276 B. 245
9.
C. 13 D. 14
Dentro de ocho años, la edad de Pedro será la que Juan tiene. Dentro de 15 años Pedro tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. ¿Cuál era la suma de las edades de Pedro y Juan, cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro? A. 17 B. 25
C. 10 D. 12
40. Un excursionista parte en su auto a las 8 a.m. hacia un lugar distante 504 km. Tres horas después hace una parada en la cual se percata que la fracción transcurrida del día, es idéntica a la fracción de camino que aún le falta recorrer. ¿Qué velocidad tiene? A. 67 B. 91
6.
C. 120 D. 164
La edad de María es el triple de la de Rosa más 15 años y ambos suman 59 años. Dar como respuesta la suma de las cifras de la edad de Rosa. A. 1 B. 2
C. 12 D. 15
10. Luis nació 14 años antes que Rosa. Hace “4m” años sus edades estaban en la relación de 10 a 3 y hace “4n” años estaban en la relación de 12 a 5; dentro de “6m” años sus edades serán como 20 es a 13 y dentro de “10n” años serán como 19 es a 12. ¿Cuánto suman sus edades actualmente? A. 42 años B. 32
C. 36 D. 38
11. Dos ciclistas salen simultáneamente de un cierto punto hacia un lugar distante 90 km. El primero recorre 1 km más que el segundo por hora, llega una hora antes. ¿Qué velocidad lleva al segundo? A. 7 km/h B. 8
C. 9 D. 10
12. Si a la mitad de los días transcurridos del año se le agrega la tercera parte de los que faltan para acabar el año se obtiene el número de días transcurridos. ¿Qué fecha es si no se trata de un año bisiesto? A. 26 de mayo B. 27 de mayo
C. 26 de junio D. 27 de junio
13. Dos ciclistas salen de una ciudad al mismo tiempo, en la misma dirección y sentido. El primero con una velocidad de 27 km/h y el segundo con 18 km/h. Después de 5 horas de recorrido el primero se pone a descansar y se queda dormido durante cinco horas. Al despertar reinicia su carrera con la misma velocidad y alcanza al segundo a una distancia del punto de partida igual a: A. 250 km B. 225
C. 360 D. 270
Trilce Católica
Álgebra 14. Un móvil cubre una distancia de “x” km en “t” horas, llegando retrasado en dos horas ¿Cuál sería la velocidad (en km/h) que permitiría el móvil llegar a su hora? A. B.
x t
x t–2
C. D.
x t+2 xt t+2
15. Si al año que cumplí los 12 años le sumas el año cuando cumplí los 20 años y a dicha suma le restas la suma del año en que nací y el año actual obtendremos seis. ¿Qué edad tengo? A. 15 B. 12
C. 20 D. 26
16. Jaimito ha recorrido los 3/5 del camino que une a "A" con "B". Si aún le falta recorrer “n” km y lleva caminando siete horas, ¿cuál es la velocidad de Jaimito en km/h? 6n 7 3n B. 7 A.
2n 7 3n D. 14
C.
18. Una liebre que va a una rapidez de 5 m/s persigue a un ciclista cuya rapidez es de 3 m/s y lo alcanza después que el ciclista. Ha recorrido un tramo que excede en 10 metros a la distancia que los separaba inicialmente. ¿Qué distancia recorrió la liebre? A. 30 m B. 50
C. 20 D. 40
19. Las edades actuales de "A"; "B" y "C" son entre sí como a los números 6; 8 y 11, respectivamente. Si hace seis años la edad de "A" era la mitad de la edad que tendrá "B" dentro de cuatro años, entonces "C" es mayor que "B" en: A. 16 años B. 5
C. 12 D. 10
20. Se ha recorrido una distancia de 400 km en auto y a caballo; primero en auto a razón de 45 km/h; luego a caballo a razón de 8 km/h habiendo empleado en total 13 horas. ¿Qué distancia se recorrió en auto y qué distancia a caballo? A. 320; 80 km B. 280; 120
C. 340; 60 D. 360; 40
17. A un matemático le preguntan la hora y este contesta: “Los 2/3 de lo que falta para terminar el día, es igual al tiempo transcurrido de esta”. ¿Qué hora es? A. 9 h 36 min B. 8 h 18 min
Trilce Católica
C. 8 h 36 min D. 7 h 42 min
73
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 14
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD
x –∞
Es la comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de desigualdad: >: “mayor que” <: “menor que”
Operaciones con intervalos Sean “A” y “B” intervalos, se definen y se denotan:
Es un conjunto de infinitos elementos que representa a todos los números reales comprendido entre dos extremos.
A ∪ B = {x ∈ lR / x ∈ A ∨ x ∈ B} A ∩ B = {x ∈ lR / x ∈ A ∧ x ∈ B} A – B = {x ∈ lR / x ∈ A ∧ x ∉ B} CA = AC = A´ = {x ∈ lR / x ∉ A} A' = Complemento de “A” respecto a lR A' = lR – A
Clases de Intervalos INTERVALO ACOTADO: Si los extremos son números reales (finitos) que a su vez serán: A. Intervalo Abierto. Es un intervalo en el cual no se considera a sus extremos. Ejemplo: x –3
7
+∞
Luego: x ∈ 〈– 3; 7〉 ó – 3 < x < 7 B. Intervalo Cerrado. Es un intervalo acotado en el cual se consideran a los extremos. Ejemplo:
Teoremas de las desigualdades Sean “a”, “b”, “c”, “d” números reales, luego: 1.
a
2.
∀ c ∈ lR: a < b ⇔ a + c < b + c
3.
∀ c > 0: a < b ⇔ ac < bc
4.
∀ c < 0: a < b ⇔ ac > bc
5.
a
–b
6.
∀ a ∈ lR: a2 ≥ 0
7.
Suma:
x –∞
– 10
3
+∞
Luego: x ∈ [ – 10; 3] ó – 10 ≤ x ≤ 3 C. Intervalo Semiabierto o Semicerrado. Teniendo a uno de los extremos abiertos y al otro cerrado.
8.
x 2
7
+∞
Luego: x ∈ 〈2; 7] ó 2 < x ≤ 7 INTERVALO NO ACOTADO
Si se cumple que: 0 < a < b ∧ 0 < c < d, no siempre es a b cierto que: 0 < < . Es decir, no se puede dividir miembro a c d miembro cuando se tienen desigualdades del mismo sentido. Por ejemplo: 4 < 8 ∧ 1 < 2 ⇒ 9.
–3 Luego: x ∈ [– 3; + ∞〉 ó x ≥ – 3
Trilce Católica
4 8 < 1 2
ab > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)
10. ab < 0 ⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)
x –∞
Producto:
Nota:
Llamándose así cuando por lo menos uno de los extremos son el + ∞ ó – ∞. Ejemplo:
a < b (+) c
0 ≤ a < b (x) 0 ≤ c < d 0 ≤ ac < bd
Ejemplo:
–∞
+∞
Luego: x ∈ 〈– ∞; 10〉 ó x < 10
≥: “mayor o igual que” ≤: “menor o igual que”
INTERVALO
–∞
10
+∞
11. a > 0 ⇔
1 >0 a
75
Ciclo
Católica
12. b < 0 ⇔
Son verdaderas:
1 <0 b
A. Solo I B. Solo II
13. Si “a” y “b” tienen el mismo signo, entonces: 1 1 > , es decir: a b 1 1 0 >0 a b 1 1 a > a b a
6.
Si: – 10 < a < – 5; – 2 < b < – 1; 2 < c < 5, entonces “
a
< máx
A. – 10 y – 1 B. 2 y 30
(a2,
b2)
7.
0 ≤ x2 < máx {(– 3)2; 42} ⇒ 0 ≤ x2 < 16
Problemas para la clase Si:
Resolver:
8.
C. x ≤ 1 D. x ≥ 1
Hallar el menor valor entero de “y” si: x = 4y + 2x x–3
A. 1 B. 2
hallar: (A ∪ B)’ – C
2.
3(x + 4) + x > 2 (x + 1) 4
A = ]– ∞; 1[ B = ]– 4; 8] C = ]5; 16]
A. ]16; + ∞[ B. [16; + ∞[
C. – 10 y 1 D. 1 y 10
A. x < 1 B. x > 1
Por ejemplo, si: – 3 < x < 4, entonces:
1.
C. ]– ∞; 5] D. ]– ∞; 5[
Resolver: A = [5; 8] B: 2x + 3 < x + 10
9.
C. 3 D. 4
Resolver:
4x 3x –1≤ +2 3 5
A.
45 11
– ∞;
B. φ
A. [5; 7[ B. ]5; 7[
C. [5; 7] D. ]5; 7]
– ∞;
D.
45 ;+∞ 11
10. Hallar el mayor valor entero que satisface: x–1 x–2 x–3 x–4 + ≤ + 2 3 4 5
En los números reales:
11. ¿Cuál es el menor número par que verifica?
Son verdaderas: A. Solo I B. Solo II 4.
C. Solo III D. Todas
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1 1 > x y 2 II. Si: x < 0 ⇒ x > x3 III. Si: x ∈ lR– ⇒ x > x – 1 I.
5.
Para los números reales: I. II.
Si: x < y ⇒ x + z < y + z Si: x < 0 ⇒ – x > 0 x+y <0 III. x > 0 ∧ y > 0 ⇒ x
76
12x – 8 2x – 3 6x – 8 8x – 4 + > + 3 4 3 6 A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
12. Resolver: 2x + 4 ≤ 3x + 6 ≤ 5x – 10
Si: x < y ⇒
A. V V V B. F V V
C. 0 D. – 1
A. 2 B. 1
I. Si: a < b ⇒ a + c < b + c II. Si: a < 0 ⇒ – a > 0 III. (a + b)2 ≥ 2ab
45 11
C.
hallar: B ∩ A
3.
ab ” c
está comprendido entre:
14. Sean: a < 0 ∧ b > 0, luego: x2
C. I y II D. Todas
A. [– 2; ∞[ B. [– 8; ∞[ C. V F V D. V F F
C. [8; ∞[ D. φ
13. Resolver: 3x + 4 ≤ 2x + 8 ≤ 2x + 6 A. lR B. ]– ∞; 4[
C. ]4; ∞[ D. φ
14. Resolver: 2 ≤ 5 – 3x < 11 A. ]– ∞; 2[ B. ]– 2; + ∞[
C. ]– 2; 1] D. [– 2; 1]
Trilce Católica
Álgebra 15. La suma de todos los enteros “x” que satisfacen el sistema: 4x – 5 < x + 3................... (I) 7 3x + 8 > 2x – 5.................. (II) 4
A. 145 B. 157
es: A. – 21 B. – 36
C. – 18 D. – 30
16. Dados los conjuntos: 1 1 ≥ – 3x + } 4 3 x 1 N = {x ∈ lR / + 2x ≤ x – } 3 2 Hallar: M – N C.
B. lR
D.
3 4 – ; 8 27 1 ;+∞ 24
17. Hallar un número de dos cifras, si se sabe que la suma de ellas es mayor que 9 y que la diferencia entre la cifra de las decenas y el duplo de la que ocupa el lugar de las unidades es mayor que 6. A. 19 B. 91
C. 81 D. 41
18. Un comerciante vendió en un año la tercera parte del total de artículos que tenía; al año siguiente vendió la quinta parte de los que inicialmente tenía y cinco más, y al año siguiente, vendió la cuarta parte de los que tenía inicialmente y tres más. En el primer año vendió menos artículos que en el segundo año y más que el tercero. ¿Cuántos artículos tenía? A. 51 B. 37
C. 29 D. 33
19. El perímetro de un rectángulo es 90 m y su área es superior a 504 m2. Si sus lados son números enteros, ¿en cuánto excede el largo al ancho? A. 3 m B. 4
C. 1 D. 2
20. Tres individuos cuentan el número de piezas que por minuto fabrica una máquina. El primero contó la mitad menos tres, el segundo contó la sexta parte y 12 piezas y el tercero contó la cuarta parte y 10 piezas. Si el primero contó más piezas que el segundo pero menos que el tercero, ¿qué número de ellos arroja la máquina? A. 46 B. 48
C. 50 D. 52
21. Se tiene cierta cantidad de vasos cuyo costo total fue de 9200. Si se vendiera cada uno a 400, se produciría cierta pérdida, pero si se vendiera a 420 cada uno, se produciría cierta ganancia. ¿Cuánto se ganaría, si se vendiera a 500 cada uno? A. 1000 B. 800
Trilce Católica
C. 147 D. 141
23. Si al doble de la edad de cierta persona se resta 17 años resulta menor que 35; pero si a la mitad de la edad se suma 3 el resultado es mayor que 15. ¿Cuál es dicha edad? A. 12 B. 24
M = {x ∈ lR / – x +
A. φ
22. Un carpintero hizo un cierto número de mesas. Vende 70 y le quedan por vender más de la mitad. Hace después 6 mesas y vende 36, quedándose menos de 42 mesas por vender. ¿Cuántas mesas hizo?
C. 1800 D. 1200
C. 25 D. 26
24. Se desea saber el menor número de postulantes que rinden un examen conociendo que su doble disminuido en 23 no llega a 95 y que al retirarse 13 quedaron más de las tres cuartas partes del número inicial, siendo estos últimos los que ingresaron. Indicar la suma de cifras del número. A. 7 B. 11 25. Si: x ∈ ]2; 8[ ∧
C. 10 D. 8 7 ∈ ]m; n[, hallar “m.n” x–1
A. 1 B. 2
C. 7 D. 14
26. Dada la expresión: K = a2 + 5 ¿Entre qué valores varía “K” si: a ∈ 〈 – 3; 8]? A. [0; 64] B. [0; 69]
C. [5; 69] D. [0; 64[
27. Si: (x + 1) ∈ [5; 9 〉, hallar el intervalo para: N = 2 A. [ ; 16〉 3 2 B. 〈 ; 16] 3
8 x–2
5 C. 〈 ; 16] 3 4 D. 〈 ; 16] 3
28. Hallar la suma de los enteros que adopta: N=
3x – 5 ; si: x ∈ 〈 – 2; 1] x–2
A. 4 B. 2
C. 0 D. 1
29. Si: (2x – 1) ∈ [ – 5; 7〉, entonces, ¿a qué intervalo pertenece “x”? A. x ∈ [– 2; 4] B. x ∈ 〈– 2; 4]
C. x ∈ [– 2; 4〉 D. x ∈ [– 4; 2〉
30. Si: x ∈ ]2; 4[, ¿a qué intervalo pertenece: A. B.
1 1 ; 11 7 1 1 ; 5 3
C. D.
1 ? 2x + 3
1 1 – ; 2 6 1 3 ; 12 4
77
Ciclo
Católica
31. Si:
1 1 1 entonces: x ∈ [m; n]; halle: mn ∈ ; 2x + 8 12 6
A. – 8 B. – 2
2.
C. – 15 D. – 6
32. La tercera parte de cierto número entero disminuido en 3 es mayor que 25; pero la cuarta parte del mismo número disminuida en 2 es menor que 24. Dar como respuesta el producto de cifras del número si este número es múltiplo de 12. A. 8 B. 40
A. B. 3.
C. 5250 D. 5260
35. Un padre dispone de S/. 320 para ir a un evento deportivo con sus hijos. Si toma entradas de S/. 50 le falta dinero y si las toma de S/. 40 le sobra dinero. ¿Cuántos hijos tiene el padre? A. 5 B. 7
A. 69 B. 70
C. 71 D. 72
37. Los lados de un rectángulo se diferencian en tres unidades, indicar el intervalo de valores para el menor de los lados de modo que el área sea numéricamente menor que el perímetro. A. 〈– 2; 3〉 B. 〈– 1; 3〉
C. 〈0; 3〉 D. 〈0; 2〉
Tarea domiciliaria 1.
Si: x ∈
78
4.
C. 2 D. 3
Si: – 3 < x < 2; entonces: a ≤ x2 – 2x – 4 < b hallar la ecuación de segundo grado que tenga raíces “a” y “b”. A. x2 – 6x = 55 B. x2 + 6x = 55
5.
Si se cumple: – 3 ≤ a < 6; hallar el máximo valor entero de: – 4a + 8 A. 20 B. 16
6.
–5
C.
–7
1 4
D.
–4
B. –
Si: – 1 < x ≤ 4; hallar el mínimo valor de: x2 – 4x + 2 A. 2 B. – 2
8.
C. 3 D. – 3
Si: – 3 ≤ x < 5; determinar el mayor valor de: x2 – 4x + 7 A. 26 B. 12
9.
C. – 16 D. – 20
Si se sabe: – 2 < a ≤ 1; indicar el valor que no puede 2a + 4 tomar: 2a – 3 A.
7.
C. x2 – 6x = – 55 D. x2 + 6x = – 55
C. 28 D. 36
Si: 0 < x < 5; ¿qué valor no puede adoptar: (x – 5)(x – 1) + 2? A. 6 B. 3
C. – 2 D. – 3
10. Si: 2 ≤ a ≤ 10 ∧ – 1 ≤ b ≤ 3; hallar el mínimo valor de:
1 1 3 ; , ¿a qué intervalo pertenece: ? 8 5 1 – 2x
A. [5; 8] B. [1; 3]
Si: a ∈ IR+ y – b ∈ IR+ entonces:
A. Ninguna B. 1
C. 6 D. 4
36. A un estudiante le dieron a vender una cierta cantidad de pollitos de los que vendió 35 y le quedaron más de la mitad, luego le devuelven 3 y vende después 18 con lo que le restan menos de 22 politos. ¿Cuántos pollitos le dieron?
D.
¿cuántas se cumplen?
C. 3 D. 4
A. 5280 B. 5300
1 1 ; 5 2 1 1 ; 5 3
C.
1 1 < b a II. b(b – a) > 0 b3 – b2 < 0 III. a IV. a2 < b2
33. Si a un número de dos cifras se le resta el que resulta de invertir sus cifras se obtiene otro mayor que 71. Si la suma de cifras es mayor que 9, ¿cuántos divisores positivos admite dicho número?
34. Una persona dispone de cierta cantidad para premiar a sus sobrinos. Pensó darles 500 pesos a cada uno, pero le faltaban más de 200 pesos. Después pensó darles 450 pesos a cada uno y le sobraban más de 300 pesos. Por último decide darles 400 pesos a cada uno y le sobraban menos de 875 pesos. Hallar el número de pesos que tenía sabiendo que es múltiplo de 20.
1 1 ; 6 5 1 1 ; 7 5
I.
C. 54 D. 45
A. 1 B. 2
Sabiendo que: x ∈ [2; 5], determinar el intervalo en que x–1 se encuentra: y = x+3
C. [1; 5] D. [4; 5]
A. B.
1 11 2 11
a+b a–b
1 13 2 D. 13
C.
Trilce Católica
Álgebra 11. Resolver:
3x – 4 5x – 6 7x – 8 + ≥ 2 4 –2
indicando un valor que la verifica. A. – 1 B. 2
C. – 3 D. 0
12. Resolver: 2(x – 3) + 3(x – 2) > 4(x – 1) Indicando el menor valor entero de “x” A. 1 B. 8 13. Resolver: (x + 2)(x + 4) + A. x ∈ IR B. x ∈ IR+
C. 7 D. 9 2 2 ≤ (x + 3)2 + x x C. x ∈ φ D. x ∈ IR – {0}
3x + 4 x 2x + 1 – ≥8+ 14. Si al resolver: 2 5 3 se obtiene: [n + 1; + ∞[; calcular: n2 A. 81 B. 100
C. 64 D. 121
15. ¿Cuántos números enteros permiten que en la fracción 4x + 6 ), el numerador sea menor que el denominador, ( 6x + 4 si además: x ∈ [1; 9[? A. 7 B. 1
Trilce Católica
C. 3 D. 4
16. Si: a > 0 ∧ b > 0 ∧ a > b resolver: A. x ≤ 1 B. x ≥ 0
a b b a x+ ≥ x+ b a a b
C. x ≥ 1 D. x ≤ – 1
17. El número de discos contenidos en una caja es tal, que su duplo disminuido en 86, es mayor que 200. De la caja se sacan 17 discos y quedan menos que la diferencia entre 200 y la mitad de los discos que había inicialmente, ¿cuántos discos eran? A. 121 B. 131
C. 144 D. 172
18. Hallar un número entero positivo que sumando con 11, resulte mayor que el triple de él, disminuido en siete, y que sumado con cinco, resulte menor que el doble de él, disminuido en dos. A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
19. Resolver el sistema: x + 2 ≤ 3(x – 6)................ (1) 3x – 2 < 2(1 – x) + 66..... (2) A. x ∈ [10; 14[ B. x ∈ [– 10; 14[
C. x ∈ ]– 14; 10] 5 D. x ∈ – ; 1 8
20. Resolver: 2x + 1 ≤ 3x + 2 ≤ – 5x – 3 A. x ∈ [ – 1; 0]
C. x ∈ [ – 1; 1]
5 B. x ∈ –1; – ; 8
5 D. x ∈ – ; 1 8
79
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 15
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Presenta la siguiente forma general:
B. Ubicándolos en la recta numérica: Zonas
P(x) = ax2 + bx + c 0 x → incógnita a; b; c → coeficientes Resolución: 1.
Se verificará que “a” sea mayor que cero. Si: a < 0 entonces se cambia el signo a todos los términos de la desigualdad, multiplicando por “– 1” a ambos miembros, Ejemplo:
+ –∞
x2 ≥ 0; ∀ x ∈ IR Ejemplo:
Caso I: ∆ > 0
Resolver: x2 – 6x + 9 > 0
En este caso el trinomio siempre será factorizable en los reales, para su resolución se empleará el método de los puntos críticos.
Resolución: A. Factorizando: (x – 3)2 > 0
Procedimiento:
Punto crítico: x – 3 = 0 → x = 3
A. Se descompone el trinomio en dos factores lineales, al igualar cada factor a cero se hallan los puntos críticos, si el trinomio no fuera factorizable en los racionales los puntos críticos se hallarán mediante la fórmula general de la ecuación de segundo grado. Se ubican los puntos críticos en la recta numérica dividiéndola en tres intervalos los cuales tendrán signos alternados a partir de la derecha empezando por (+).
C. Luego se considera cualquiera de los casos mostrados: OO OO
P(x) > 0; ó P(x) ≥ 0, el conjunto solución serán las zonas positivas. P(x) < 0; ó P(x) ≤ 0, el conjunto solución será la zona negativa.
B. En la recta numérica:
–∞
+
OO
+∞
Caso III: ∆ < 0 En este caso el trinomio no es factorizable en los reales pues posee raíces imaginarias, este trinomio sería siempre positivo y su solución puede ser IR o φ según sea la forma de la inecuación:
Resolver: x2 – 2x – 15 ≥ 0 1442443 P(x)
Resolver: 9x2 + 6x + 2 ≥ 0 Resolución: ∆ = 62 – 4(9)(2) = – 36 < 0
A. Factorizando: (x – 5)(x + 3) ≥ 0
Trilce Católica
3
x ∈ 〈– ∞; + ∞〉 – {3} (Observar que: x = 3 no verifica)
Ejemplo:
Resolución:
+
C. Luego, como: P(x) > 0, la solución será:
Ejemplo:
Puntos críticos:
+∞
Caso II: ∆ = 0
(– 1) . (– 2x2 + 7x – 3) < 0 ⇒ 2x2 – 7x + 3 < 0
B.
5
–3
En este caso el trinomio es un cuadrado perfecto y tiene una raíz doble (un solo punto crítico). Dicho trinomio será siempre mayor o igual que cero, recordar que:
Multiplicando por – 1:
OO
+
∴ x ∈ 〈–∞; –3] ∪ [5; + ∞〉 OO
Se calcula el discriminante para ver el tipo de raíces, se pueden presentar los siguientes casos:
–
C. Luego como P(x) ≥ 0, el conjunto solución serán las zonas positivas
Resolver: – 2x2 + 7x – 3 > 0
2.
Quinto Católica
OO OO
x–5=0→x=5 x + 3 = 0 → x = –3
Entonces el trinomio será siempre (+) ∴ Conjunto solución: x ∈ IR ≡ 〈– ∞; + ∞〉
81
Ciclo
Católica TEOREMA DEL TRINOMIO POSITIVO
x=
El trinomio: ax2 + bx + c será (+) para todo “x” ∈ IR siempre que: a > 0 ∧ D < 0
x=
–b±
b2 – 4ac – (–1) ± = 2a
(–1)2 – 4(1)(–1) 2(1)
1± 5 ; puntos críticos 2
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
+
Resolver: (x – 5)(2x – 3) < 0 Resolución: Igualando a cero cada factor:
x – 5 = 0
x = 5
+
C.S = ∧
2x – 3 = 0
∧
3 x= 2
– 3 2
(x + 4)2 < 0
De aquí:
C.S = φ
Nivel I
x2
1. – 16 ≥ 0
Resolver: x2 – 8x + 15 > 0 A. ]– ∞; 5[ B. ]5; + ∞[
2.
x2 – 16 > 0
+
3.
– –4
4 4.
C.S. = ]– ∞; – 4] ∪ [4; + ∞[
Resolución: Factorizando por diferencia de cuadrados:
(x + 5 + 3)(x + 5 – 3) ≤ 0
(x + 8)(x + 2) ≤ 0 6.
– –8
x ∈ ]– 2 ; 2 [ x ∈ ]– 1 – 2 ; 1 – 2 [ x ∈ ]– 1 – 2 ; 1 + 2 [ x ∈ ]– 1 – 2 ; –1 + 2 [
Resolver: x2 + 4x + 4 ≥ 0 A. [2; + ∞[ B. ]– ∞; 2]
Puntos críticos: x = – 8; x = – 2 +
5.
7.
∴ C.S = [– 8; – 2]
Resolución: Utilizamos la fórmula general para hallar las raíces de: x2 – x – 1
8.
C. IR D. IR – {3}
Resolver: (5 – x) (x + 2) > 6. Indicar la suma de enteros que verifica. A. 2 B. 4
Resolver: x2 – x – 1 ≤ 0
C. [0; + ∞[ D. IR
Resolver: x2 – 6x + 9 > 0 A. [3; + ∞[ B. ]– ∞; 3]
+ –2
C. [– 2; 4] D. [3; 5]
Resolver: x2 + 2x – 1 < 0 A. B. C. D.
Resolver: (x + 5)2 – 32 ≤ 0
C. ]– 2; 4[ D. ]– 4; – 2[
Resolver: (x – 1)(x – 2) ≤ 12 A. [– 2; 5] B. [1; 5]
+
C. ]3; 5[ D. ]– ∞; 3[ ∪ ]5; + ∞[
Resolver: x2 – 2x – 8 < 0 A. ]– 4; 2[ B. ]2; 4[
(x + 4)(x – 4) > 0
puntos críticos: x = – 4; x = 4
82
Resolver: x2 + 8x + 16 < 0
Problemas para la clase
Factorizando:
4.
1– 5 1+ 5 ; 2 2
Factorizando tenemos:
Resolución:
3.
+ 1+ 5 2
Resolución:
5
3 ∴ C.S. ] ; 5[ 2 Resolver:
5.
+
Luego:
2.
– 1– 5 2
C. 6 D. 10
Resolver: x(x – 12) ≤ – 36 A. x ∈ [6; + ∞[ B. x ∈ ]– ∞; 6[
C. x ∈ IR D. x ∈ {6}
Trilce Católica
Álgebra 9.
x2
≤ 9. Indicar el intervalo solución.
A. [0; 3] B. [– ∞; 3]
C. [– 3; + ∞[ D. [– 3; 3]
Resolver:
A. x ∈ ]0; 1[ B. x ∈ ]– ∞; 1]
C. x ∈ [– 1; 0] D. x ∈ [– 1; + ∞[
Nivel III
A. ]– ∞; – 1] B. [– 1; 1]
11. Resolver: x2 + 10x + 27 ≥ 0 A. ]– ∞; +∞[ B. ]0; + ∞[
C. IR – {5} D. φ
A. ]– ∞; + ∞[ B. ]0; + ∞[
C. {4} D. φ
13. Hallar el menor número entero “n” tal que ∀ x ∈IR se cumpla que: x2 + 2x + n > 0 A. 1 B. – 1
C. – 4 D. 3
– 8x + 1 ≥ 2m; ∀ x ∈ IR
15. Resolver: x(x + 4)(x + 6) + 16 ≤ (x + 1)(x + 2)(x + 6)
16. Resolver: x(x – 5) +
C. x ∈ {2} D. x ∈ {– 2}
C. x ∈ ]2; 4[ – {3} D. x ∈ IR – {3}
17. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son falsos? 4x2 – 4x + 1 > 0 (7x – 1) ≤ 0 2x2 ≥ x (x – 1)2 ≥ 0 x2 – 2x + 1 < 0
→ x ∈ IR – {2–1} → x ∈ φ → x ∈ IR → x ∈ IR → x ∈ φ
A. 1 B. 2
+
2
Trilce Católica
1;
1 2
C.
B.
– 1; 1
D.
3 2 3 – ;–1 2
1;
A. 1 B. 2
C. 3 D. – 3
26. ¿Cuál es el valor apropiado para “a” de tal manera que el siguiente sistema:
A. – 0,3 B. 0,2
C. 1,2 D. 0
A = {x / x ∈ IR ∧ x2 + 2x – 15 ≤ 0} B = {x / x ∈ IR ∧ x2 + 4x – 32 ≤ 0}
x<1
Luego se puede afirmar:
Se obtiene: ]a, b[. Indicar “ab”. A. 1 B. – 1
A.
27. Dados los conjuntos:
C. – 2 D. 8 3 5 +
24. Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:
admita solución única en ZZ + ?
18. Si: [α; β], es el conjunto solución de: x2 + 4x + 1 ≤ 0. Hallar: P = (α + 1) (β + 1)
x2
C. ]1; 7[ D. [1; 7[
2x2 + 3x – 9 < 0 2x2 – 3x – 5 ≤ 0 x>a
C. 3 D. 4
A. 2 B. – 4
23. Resolver: 5 < x2 – 8x + 25 < 18
25. Hallar todos los valores de “a” para que la inecuación x2 + (x + a)2 + 2x ≤ 1; tenga solución única. Indicar el producto de valores.
700 700
A. x ∈ ]2; 4[ B. x ∈ IR
C. ]0; 4[ D. ]– 1; 3[
4x2 – 1 > 0 – 2x2 + 5x > 3
C. 3 D. – 4
A. x ∈ f B. x ∈ 〈– ∞; + ∞〉
A. ]– 2; 3[ B. ]0; 3[
A. ]– 7; – 1[ B. [– 7; 1]
14. El mayor número entero “m” que satisface la desigualdad:
A. – 1 B. 1
C. ]– ∞; –1] ∪ [1; + ∞[ D. ]– ∞; 1]
22. En un rectángulo el largo excede al ancho en tres unidades. Indicar a qué intervalo pertenece el menor de los lados, si el área de dicho rectángulo es numéricamente menor que su perímetro.
12. Resolver: x2 – 8x + 19 < 0
19. Resolver:
C. 68 D. 60
21. Resolver: (ax – b)2 ≥ (bx – a)2. Siendo: 0 < a < b
Nivel II
I. II. III. IV. V.
+ ax + b > 0; {a; b} ⊂ ZZ, 20. La inecuación cuadrática: tiene como conjunto solución: IR – [1 – 5 ; 1 + 5 ]. 2 3 Hallar: a – b A. 4 B. 64
10. Resolver: x3 – 1 < (x – 1)3
2x2
x2
C. 2 5 + D.
2
A. A ∧ B = φ B. B ⊂ A
C. A ⊂ B D. A – B = [ – 8; 4]
83
Ciclo
Católica
28. Determinar el conjunto de todos los valores de “K” para los cuales las raíces de la ecuación:
8.
A. x ∈ IR B. x ∈ φ
x2 – K(x – 1) – 1 = 0 son reales y distintas. A. [ – 2; 2] B. {2}
C. ]– ∞; 2[ ∪ ]2; + ∞[ D. {– 2}
29. El beneficio anual de una empresa es: M = – x2 + 10x – 9 donde “x” es el precio por unidad de producto. ¿Para qué valores de “x” el beneficio es superior a 12 unidades monetarias? A. 7 < x < 11 B. 1 < x < 6
C. 3 < x < 7 D. 2 < x < 5
30. Halle los valores de “r”, donde r ∈ IR; para los cuales el siguiente polinomio: P(x) = (r – 1) . (rx + x + 2); ∀ x ∈ IR, además (x + 1) es positivo. A. r ∈ [2; + ∞[ B. r ∈ [1; + ∞[
C. r ∈ ] –1; + ∞[ D. r ∈ ]1; + ∞[
Tarea domiciliaria 1.
2.
3.
C. x ∈ 〈– 6; 0〉 D. x ∈ 〈– 6; 8〉
Al resolver: x2 ≤ 16 Se obtiene de solución: [2a; b + 2]. Calcular: a + b
5.
C. 0 D. 6
Luego de resolver: (x – 2)2 > 25 Se obtuvo el C.S.: ]− ∞; m[ ∪ ]n; + ∞[. Hallar: m . n A. 21 B. – 21
6.
7.
C. 28 D. – 28
Si: x2 + ax + b < 0; presenta como solución: x ∈ 〈– 4; 2〉, hallar: a + b A. – 2 B. 3
Resolver: x2 – 14x + 49 < 0 A. x ∈ IR B. x ∈ IR – {7}
10. Indique cuántos valores enteros no verifican la inecuación: x2 + 25 >x 10 A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
11. Resolver: x2 – 5 ≤ 3x + 5 < x2 + 5 A. x ∈ [ – 2; 0[ ∪ ]3; 5] B. x ∈ [ – 2; 5]
C. x ∈ [0; 2[ ∪ [3; 5[ D. x ∈ IR
x 2 – 3x > x – 3........... (1) x(x + 1) < 5x + 5........ (2)
Se obtiene como C.S.: ]a; b[ ∪ ]c; d[. Hallar: a + b + c + d
C. – 6 D. – 5
A. ]1; 4[ B. ]2; 5[
C. 8 D. – 7
A. 5 B. 7
C. 19 D. 18
15. Hallar el menor número entero “M”, tal que para todo x ∈ IR se cumpla: – x2 + 4x – 10 < M A. – 6 B. – 3
C. – 1 D. 1
16. De los siguientes enunciados, cuántos son verdaderos: I. II.
(x – 3)2 < – 3 → x ∈ φ (x + 4)2 > – 4 → x ∈ IR
III. (2x – 2)2 > 0 → x ∈ IR – IV. (x + 3)2 < 0 → x ∈ φ V. x2 – x + 5 > 0 → x ∈ IR
A. 2 B. 3
A. 1 B. 2
C. 7 D. 6
C. ]1; 6[ D. ]4; 7[
14. Si: x2 – αx + β ≤ 0; presenta como conjunto solución: x ∈ [3; 4 ]; hallar “α + β”
Resolver: (x – 3)2 ≤ x – 3, indicar como respuesta la suma de los valores enteros de su conjunto solución.
84
C. x ∈ φ D. x = 7
13. Los lados de un rectángulo se diferencian en tres unidades. Hallar el intervalo de valores del mayor de estos lados de manera que el número de unidades cuadradas del área, sea menor que el número de unidades del perímetro del mismo.
Resolver: x2 – 2x – 48 < 0
A. 2 B. 4
C. x ∈ IR – {5} D. x = 5
A. 9 B. 7
x ∈ [– 7; – 4] x ∈ ]– ∞; – 7] ∪ [ – 4; +∞[ x ∈ [4; 7] x ∈ ]−∞; 4] ∪ [7; + ∞[
A. x ∈ IR B. x ∈ 〈0; 8〉 4.
C. x ∈ ]– 4; – 2[ D. x ∈ ]– 8; – 4[
Resolver: x2 + 11x + 28 ≥ 0 A. B. C. D.
9.
12. Al resolver:
Resolver: x2 – 12x + 32 < 0 A. x ∈ ]4; 8[ B. x ∈ ]4; 10[
Resolver: (x – 5)2 ≥ 0
1 2
C. 3 D. 4
Trilce Católica
Álgebra 17. Dados los conjuntos:
19. Resolver la inecuación: 10 +
A = {x ∈ IR / x2 – 8x + 12 > 0} B = {x ∈ IR / x2 + 2x – 35 < 0} hallar “A ∩ B” e indicar el número de elementos enteros que verifica. A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
18. Al resolver: (x – 6)(x + 3)(x + 5) > (x + 3)(x + 4)(x – 6) el conjunto no solución obtenido es: A. IR – [– 3; 6] B. ]3; 6[
Trilce Católica
C. ]– 3; 6[ D. ]– 3; + ∞[
2 4x – 3 x – < x–7 x–7 x–7
y dar como respuesta la suma de los valores enteros que la verifican. A. 38 B. 50
C. 57 D. 70
20. Determinar el menor número “M” tal que se verifique: – 13 – 4x – x2 ≤ M; ∀ x ∈ IR A. – 7 B. – 8
C. – 9 D. – 10
85
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 16
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
FUNCIONES I Ejemplo:
Dados dos conjuntos “A” y “B” no vacíos; se define FUNCIÓN DE “A” EN “B”:
De la función: F = {(4; 1), (6; 2), (3; 7)}
F: A → B
(4; 1) ∈ F → F(4) = 1 (6; 2) ∈ F → F(6) = 2 (3; 7) ∈ F → F(3) = 7
A la relación de “A” en “B” que cumple: A un elemento del conjunto “A” le corresponde un único elemento del conjunto “B”.
2.
(a; b) ∈ F y (a; c) ∈ F → b = c Ejemplo:
F A
B
x
Si: F = {(2; a), (3; b + 1), (2; 5), (3; 6), (7; 2a – 1)} es función, calcular “a + b” . Resolución:
y
OO
Conjunto de partida
OO
Conjunto de llegada F
A
B
(2; a) ∈ F ∧ (2; 5) ∈ F → a = 5 (3; b + 1) ∈ F ∧ (3; 6) ∈ F → b + 1 = 6 ⇒ b = 5 ∴ a + b = 10
3.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN: Conjunto de pre-imágenes
1
4
RANGO DE UNA FUNCIÓN: Conjunto de imágenes
2
3
Ejemplo:
4
0
De la función: F = {(4; 1), (6; 2), (3; 7)} OO
F = {(1; 4), (2; 3), (4; 0)}
OO
Sí es función (cumple definición)
4.
G A
B
Ejemplo: Si: F(x) = 2x + 1; con: Dom(F) = {4; 6; 0}
3
2
5
4
OO
6
1
OO
Ejemplos: G = {(3; 2), (3; 4), (6; 1)} No es función (No cumple la definición) pues al elemento 3 de “A” le corresponde dos elementos de “B”. Observaciones: (x; y) ∈ F → y = F(x), donde: x: pre-imagen de “y” y: imagen de “x” mediante F.
Trilce Católica
Dominio de F = Dom(F) = {4; 6; 3} Rango de F = Ran(F) = {1; 2; 7}
y = F(x): Se le llama Regla de correspondencia de “F”.
OO
1.
Quinto Católica
x = 4 → F(4) = 2(4) + 1 = 9 x = 6 → F(6) = 2(6) + 1 = 13 x = 0 → F(0) = 2(0) + 1 = 1
Luego: F = {(4; 9), (6; 13), (0; 1)} GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Sea “F” una función real (F: lR → lR) La gráfica de “F” es el conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano obtenido mediante: G = {(x; y) ∈ lR x lR / x ∈ Dom (F) ∧ y = F(x)} “Una relación F ⊂ lR × lR es una función real, si y solamente si, las rectas paralelas al eje “y”, que cortan a la gráfica de “F”, lo hacen a lo más, en un punto”.
87
Ciclo
Católica y
F 1 punto
2.
Hallar el rango de la función: F(x) =
3x2 + 4 x2 – 4
Resolución: x
Sea: y = F(x) → y = OO
OO
“F” es función, pues la recta paralela al eje “y” trazada, corta a su gráfica como máximo en un solo punto. y
3x2 + 4 x2 – 4
Despejando “x”: y(x2 – 4) = 3x2 + 4 yx2 – 4y = 3x2 + 4 yx2 – 3x2 = 4y + 4
G
x2(y – 3) = 4(y + 1) 2 puntos
x2 =
x
OO
“G” no es función, pues la recta paralela al eje “y” trazada, corta a su gráfica en más de un punto.
OO
1.
1.
Si la relación:
Por ser el conjunto una función, entonces: (2; a2 – 3a) ∈ F ∧ (2; 2a – 6) ∈ F →
x+1 – 4–x 2x – 6
a2 – 3a = 2a – 6
→ a2 – 5a + 6 = 0
Resolviendo: a = 2; a = 3
También: (4; a) ∈ F ∧ (4; b – 1) ∈ F → a = b – 1
x + 1 ∈ IR → x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 1.............. (α) OO
OO
4 – x ∈ IR → 4 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4................. (β)
OO
2x – 6 ≠ 0 (denominador ≠ 0) ⇒ x ≠ 3........... (γ)
Luego, de (α), (β) y (γ): x≥–1∧x≤4∧x≠3 –1≤x≤4∧x≠3 DOM (G) = [– 1; 4] – {3}
Si: a = 2 → b = 3; reemplazando en “F”: F = {(2; 5), (2; – 2), (4; 2), (2; – 2), (4; 2)} → F = {(2; 5), (2; – 2), (4; 2)} No es función
Los cuales deben cumplirse simultáneamente.
88
+∞
Resolución:
El dominio de “G(x)” se obtendrá: 4
3
Es una función, entonces el valor de: F(b) + F[F(a) – 3] será:
Resolución:
OO
–1
+
F = {(a; 5), (2; a2 – 3a), (4; a), (2; 2a – 6), (4; b – 1)}
OO
Proporcionar el dominio de: G(x) =
–
Problemas resueltos
A ∈ IR → A ≥ 0
4
y+1 ≥0 y–3
RAN(F) = 〈– ∞; – 1] ∪ 〈3; + ∞〉
Las condiciones que deben cumplir las variables analizadas (condiciones de existencia) de manera que sean reales, son:
Ejemplos:
Luego, si: x ∈ IR →
–∞
A. Dominio, se despeja “y” en función de “x”, analizando los valores que pueden tomar “x” de forma que “y” exista.
Par
y+1 y–3
+
Dada una función real “F” con regla de correspondencia y = F(x), para obtener el:
A ∈ IR → B ≠ 0 B
Entonces: x = ± 2
Resolviendo: Puntos críticos: – 1; 3
Criterios para calcular el Dominio y el Rango
B. Rango, se despeja “x” en función de “y” analizando los valores que puede tomar “y” de forma que “x” exista.
4(y + 1) y–3
OO
Si: a = 3 → b = 4; reemplazando en “F”: F = {(3; 5), (2; 0), (4; 3), (2; 0), (4; 3)} → F = {(3; 5), (2; 0), (4; 3)} Sí es función Luego, piden: F(4) + F[F(3) – 3] = F(4) + F(2) = 3
Trilce Católica
Álgebra 2.
La tabla muestra los valores hallados para la función: F(x) = ax2 + b x
1
0
F(x)
8
5
Problemas para la clase Nivel I 1.
I. II. III. IV.
Luego, el producto “a . b” es: Resolución: De la tabla: OO
(1)
2.
Si: x = 0 → F(0) = 5
3.
Reemplazando: (2) en (1) → a = 3 ∴ a . b = 15
4
4.
De acuerdo a las condiciones de existencia:
5.
Multiplicando por (– 1): x2 – 16 ≤ 0 (x + 4)(x – 4) ≤ 0
Puntos críticos:
x=–4∧x=4
–
–∞
–4
+ 4
6. +∞
Dada la función: F(x) = x2 – 1; con dominio en el intervalo [– 4; – 2] ∪ [– 1; 1]. Hallar el rango.
En este caso, vamos a obtener el rango a partir del dominio.
7.
F(3) + F(4) F(1)
8.
4 ≤ x2 ≤ 16 v 0 ≤ x2 ≤ 1 Restando 1 a cada miembro: 3 ≤ x2 – 1 ≤ 15 v – 1 ≤ x2 – 1 ≤ 0
C. 9 D. 4
C. D.
3
f(2)
f(3) + f(4)
7 5
Si: f(x) = mx + b; f(0) = 7; f(1) = 11; hallar “m – b” C. – 2 D. 3
Sea: f: lR → lR una función definida por la relación f(x) = mx + 5; hallar “m”, si: f(– 3) = – 4 A. – 2 B. – 1
–4≤x≤–2v–1≤x≤1 Elevando al cuadrado las inecuaciones:
F(5)
Dada la función: f = {(2; 3), (3; 6), (4; 2)}; hallar:
A. – 3 B. 0
Del dato, podemos afirmar que:
Trilce Católica
Sea la función: F = {(1; 2), (3; 6), (4; 8), (5; 7)}.
A. 2 B. 3
Resolución:
Luego: RAN(F) = [– 1; 0] ∪ [3; 15]
C. 4 D. – 4
A. 8 B. 6
∴ DOM (F) = [– 4; 4] 4.
C. 5 D. 7
Hallar “a” si el conjunto de pares ordenados representa una función: F = {(3; a2), (a; 5), (3; 16), (4; 10)}
Calcular: M =
Graficando: +
Hallar la suma de elementos del dominio de la siguiente función:
A. – 6 B. 8
16 – x2 ∈ IR → 16 – x2 ≥ 0
Factorizando:
C. 3 D. 4
A. 4 B. 6
16 – x2
Resolución:
4
Hallar “a + b” si el siguiente conjunto representa una función: A = {(2; 5), (– 1; – 3), (2; 2a – b), (0; 9), (– 1; b – a)}
F = {(2; 5), (– 1; – 3), (2; 2a – b), (– 1; b – a), (a + b2; a)}
Hallar el dominio de la función “F” definida por:
F(x) =
C. II y III D. I y III
A. 1 B. 2
Luego: F(0) = a(0)2 + b → b = 5......................... (2)
3.
F = {(2; 3), (3; 3), (4; 1), (5; 6)} G = {(1; 2), (7; 3), (4; 3), (1; 5)} H = {(2; 2), (3; 3), (4; 4)} J = {(0; 1), (2; 5), (0; 3), (5; 2)}
A. Solo I B. Solo III
Si: x = 1 → F(1) = 8 Luego: F(1) = a(1)2 + b → a + b = 8..................
OO
Indique cuál(es) representa(n) una función:
9.
C. 0
D. 5
Dada la función: f(x) = mx + b; si: f(2) = 2f(4) + 2; f(5) = 3f(–1) + 5; hallar: f(8) A. 3 B. – 1
C. 5 D. – 4
89
Ciclo
Católica Nivel II
17. Dadas las funciones:
10. Sea la función: F(x) = ax + b; si: F(1) = – 15 ∧ F(5) = – 3, hallar: F(6) A. 6 B. – 4
C. 4 D. 0
11. Si: “F(x)” es una función cuya regla de correspondencia es: 3x2 + 1; si: x < 3 F(x) = 2x – 5; si: x ≥ 3
A. – 9 B. – 7
C. 17 D. 16
12. Dado el conjunto: A= {1; 2; 3; 4} y dadas las funciones “f” y “g” definidas de “A” en IR por: f(x) = mx – b g = {(1; a), (1; 7), (2; 5), (m; 6), (4; b), (4; 8)}
3
F
3
2
a
1 1
2b
a 2
A
4
C
A. 1 B. 2
C. 6 D. 4
18. Se definen las funciones “f” y “g”, tales que: f(x) =
x + 3; x ≥ 2 1 – x; x < 2
g(x) =
x2; x ≥ 3 1 + x; x < 3
1 5 Hallar: g(f(g(– ))) + f( ) + g(3) 2 2
Hallar: f(2) + a A. 7 B. 5
C. 3 D. 1
13. Sea “f” una función definida por: f(x) = 2x – 1; hallar: f(x + h) – f(x – h)
A. 8 B. 12
C. 14 D. 16
19. Dadas las funciones: f(x) = 3x – 2; x ∈ [0; 2] g(x) = 1 – x; x ∈ ]2; 5]
f[f(1)]
A. 1 B. h
C. 4 D. 4h
14. Sea “f” una función definida por: f(x) = 5x + n; hallar: f(x + h) – f(x)
Hallar: Ran (f) ∩ Ran (g) A. ]–1; 4[ B. [–4; 4]
C. [–2; 1[ D. [1; 4]
Nivel III
h
A. 1 B. h
C. 4 D. 5
15. Sea “f” una función definida por: f(x + 1) = 3x + 9; hallar:
2x + 1 20. Si: f(x) = , hallar: f[f(x)] x–2 A. x + 1 B.
f(x + h) – f(x – h) f(f(2))
h A. 3 h B. 6
h C. 7 D. h
16. Dada la función “f” tal que: f(x) = ax + b; hallar “a – b” conociendo la siguiente tabla de valores definida para dicha función:
90
4
G: C → D
D
Calcular: G(F(1)) + F(G(2))
Hallar: F(5) + F(2) – F(3)
A. – 3 B. – 2
F: A → B
B
x
3
5
y
2
1 C. – 4 D. – 1
x–1
C.
x+1 x–1
D. x
21. Señale la suma de los elementos del rango de la función: F(x) = x2 + 4; siendo: x ∈ {– 5; – 4; – 2; 4} A. 77 B. 47
C. 57 D. 67
22. Hallar el dominio de: x+1 x – 3 ___________________________________ 2x + 3 : G(x) = 2 x – 16 __________________________________ x+3 : H(x) = 3 x – x __________________________________ x+1 : I(x) = 2 x – x – 12 _______________________________ F(x) =
Trilce Católica
Álgebra 23. Hallar el rango de la función: G = {(x; y) ∈ IR2 / y = A. y ∈ IR – {– 5} B. y ∈ IR – {– 6}
5x + 3 } x+6
3 C. 7 10 D. 7
Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente función: F = {(11; 2a), (2; 7), (5; 1), (11; 3a – 5), (7; 9)}
C. y ∈ IR – {5} D. y ∈ IR
x+8 , si: x ∈ [2; 6[ 24. Hallar el mayor valor del rango en: f(x) = x+5 14 A. 11 7 B. 11
3.
A. 15 B. 22 4.
C. 10 D. 27
Dada la función: F: A → B, calcular la suma de los elementos del rango.
4
x – 6 + 1: _______________________________
26. Hallar el dominio de:
A. 2 B. 4 5.
G(x) = H(x) =
C. ]0; 6[ D. [–0; 6]
IR – {2} IR – [–2 ; 2]
A. 1 B. 2 7.
6 3
C. [– 2; 2] D. ]– ∞; – 2] ∪ [2; + ∞[
–1 A. – 5 B. 4
R1 = {(3; 2), (4; 6), (5; – 1)} R2 = {(1; 2), (1; 3), (1; – 2)} R3 = {(1; 4), (3; 4), (7; 3)} R4 = {(3; 6), (3; 7), (4; 7)}
A. I B. I; II ∧ III 2.
A = {(2; 5), (1; 3), (b – 2a; 3), (1; a2 – b2); (2; 2a + b)}
Trilce Católica
8.
C. 2 D. 3
y = F(x)
1
4
x
C. 6 D. 7
Identificar qué gráfica corresponde a una función. y I.
y x
C. III D. I ∧ III
Hallar “a + b” para que el conjunto “A” sea una función:
A. 0 B. 1
Del gráfico, calcular: F(– 1) + F(4) – F(1)
4 – x2
Indicar qué conjunto de pares ordenados son funciones: I. II. III. IV.
C. 3 D. 4
y
Tarea domiciliaria 1.
2 – x; si: x ≥ 0 ; hallar: F[F(3)] + F[F(–2)] x + 3; si: x < 0
C. IR– ]–2; 2[ D. IR
29. Hallar el dominio de la función: g(x) = A. [2; + ∞[ B. ]– ∞; 2]
C. 6 D. 7
Si: “F(x)” es una función cuya regla de correspondencia es: F(x) =
x; hallar D(f).
x2 + 5 , Hallar el dominio. 28. Si “f” se define por: f(x) = x2 – 4 A. B.
6.
x– + 12 : x–4 ______________________________
A. ]2; 6] B. [–2; 6]
Dada la siguiente función:
A. 4 B. 5
x2
27. Si “f” se define por: f(x) = x – 2 + 6 – x +
C. 6 D. 8
f = {(2; 6), (1; a – b), (1; 4), (2; a + b), (3; 4)}; hallar “ab”
F(x) = x + 3 + 3 – x : ____________________________ x+4 + 4–x : x2 – 4 _________________________
a–2 4 6–a
a
x – 5 : __________________________________
G(x) = – 3 x – 1 + 2: _____________________________ H(x) =
B
5
25. Hallar el dominio de: F(x) =
F
A
y II. A. Solo I B. Solo II
x
III. y
x
IV.
x
C. II y III D. Solo IV
91
Ciclo
Católica
9.
De la gráfica:
14. Hallar el dominio de la función: F(x) = y 6
A. ]– ∞; 1] ∪ [3; + ∞[ B. ]– ∞; 2] ∪ [3; + ∞[
F(x)
3
15. Si: f(x) = 5x – 2; hallar:
1
calcular: M = A.
F(5) + F(1)
B. 1 10. Indicar el dominio en: F(x) = A. [0; 5] B. [1; 5[
x–1 +
x+
5–x
C. [0; 5[ D. [1; 5] x–1
C. IR+ D. [– 1; + ∞[
C. 8 D. 9
13. Obtener el número de elementos enteros del dominio de x+5 + 5–x la función: F(x) = x2 – 4
92
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
17. Sea f: lR → lR una función definida por: f(x) = mx + b, hallar “m”, si: f(1) = – 1 ∧ f(– 1) = 5 A. – 3 B. – 1
C. 0 D. 1
18. Sean “f” y “g” funciones definidas en “Q” mediante:
calcular: F(1) + F[F(1)] + F[F[F(1)]]
A. 5 B. 6
C. 3 D. 2
halla “x” tal que: f(x) + f(x + 1) = 7
2x – 3; x ≥ 0 12. Si: F(x) = 3 – x; x < 0
A. 10 B. 7
h
x; si “x” es par f(x) = x + 3 ; si “x” es impar 2
9 4 5 D. 3 C.
11. Hallar el dominio de: F(x) = 3 – A. [0; + ∞[ B. [1; + ∞[
f(x + h) – f(x)
16. Si “x” es un número natural; además:
F(2) + F(3)
4 9
C. ]– ∞; 3] D. ]– ∞; 1]
A. 5 B. 4
5 x
1 2 3
x2 – 4x + 3
C. 7 D. 9
f(x + 1) = ax + 3 g(x – 1) = 2x + b Si: f(6) = 8 ∧ g(3) = 4; hallar “a + b” A. 1 B. – 3
C. – 4 D. 5
19. Si: f(n x ) = x; hallar “n” para que: f(2) + f(3) = 13 A. 1 B. 3
C. 2 D. 4
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 17
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
FUNCIONES II 3.
Introducción:
Función continua y discontinua y
Dentro del análisis matemático, el concepto de función está asociado al de dependencia, y esto ha llevado a desarrollar todo un marco teórico impresionante del cual debemos recordar: 1.
y f(x) f(x)
Gráfica de una función:
x
x
x0
Dada la función: y = f(x) x: Variable independiente (dominio) 4.
y: Variable dependiente (rango)
Dada la función: y = f(x) donde: “x” y “– x” ∈ dominio (f)
y
f(x ) 2
I. II.
y = f(x)
f(x ) 1 x1 2.
Función par e impar
Si: f(– x) = f(x) → “f” es par Si: f(– x) = – f(x) → “f” es impar y
y
x
x
x2
x
Función creciente y decreciente y
Simétrica respecto al eje (x)
y y = f(x)
f(x ) 2
FUNCIONES ESPECIALES
f(x ) 1
Función lineal:
y = f(x) f(x ) 1
x1
x2
x
Simétrica respecto al origen
f(x ) 2 x1
f(x)= ax + b, a ∈ IR; (a ≠ 0) x2
x P
Es una función “f” real de variable real, donde “a” y “b” son constantes reales y cuya gráfica es una línea recta.
En resumen: FUNCIÓN
CARACTERÍSTICAS
GRÁFICA y
LINEAL o de primer grado
a: Pendiente
F(x) = ax + b
b: Intersecto con “y”
(a ≠ 0)
DOM(F) = lR
a = tan α
RAN(F) = lR
b
b a
a –
x
b a
–
x
b a
Trilce Católica
y
a > 0
a<0
93
Ciclo
Católica De donde:
FUNCIÓN CUADRÁTICA F(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0
x1 =
Es una función real de variable real, donde “a”, “b”, “c” son constantes reales y cuya gráfica es una parábola. Sus puntos de intersección con el eje “x” (raíces), se obtienen cuando: F(x) = 0; luego:
x1 =
–b +
b2 – 4ac 2a
–b –
b2 – 4ac 2a
En el radicando se encuentra: b2 – 4ac = D (Discriminante)
Sus raíces son:
Nos da información sobre la naturaleza de las raíces: x=
–b ±
1. 2. 3.
b2 – 4ac 2a
Si: ∆ > 0; las raíces son reales diferentes. Si: ∆ = 0; las raíces son reales iguales. Si: ∆ < 0; las raíces son complejas conjugadas.
En resumen: FUNCIÓN
CARACTERÍSTICAS
CUADRÁTICA
V: Vértice de la parábola (h; k)
F(x)= ax2 + bx + c
h=–
b 2a
k=–
D b ók=f – 4a 2a
(a ≠ 0) Donde: ∆ = b2 – 4ac
GRÁFICA x1 ∧ x2 son raíces de: F(x) = 0 y k x1
DOM(F) = lR
V(h; k)
h
a<0 x2
RAN(F) = 〈– ∞; k] x k: Máximo valor de la función
RAN(F) = De acuerdo a la gráfica
y a>0
h
x1
RAN(F) = [k; + ∞〉 k: Mínimo valor de la función
Casos de la función cuadrática
II.
x
V(h; k)
Si: D = 0 ∧ a > 0 y
Sea: D = b2 – 4ac I.
k
x2
Si: D > 0 ∧ a > 0 y x2
x1 Raíz
x1
x
x2
Raíz
Raíz
x
Solución única: x1 = x2 Si: D = 0 ∧ a < 0 Si: D > 0 ∧ a < 0
y Raíz
y
x1
x
x2 Raíz
Raíz x1
x2
x
Las raíces son reales y diferentes. (Dos puntos de corte en el eje ‘‘x’’)
94
Las raíces son reales e iguales (un punto de corte en el eje ‘‘x’’)
Trilce Católica
Álgebra III. Si: ∆ < 0 ∧ a > 0
Ejemplo: y
F(x) = x – 3 ∧ G(x) = 7 – x ⇒ para la intersección: F(x) = G(x)
x
x–3=7–x
2x = 10
x = 5
(abscisa de la intersección)
⇒ en: F(x) = x – 3 ⇒ F(5) = 5 – 3
Si: D < 0 ∧ a < 0 y
F(5) = 2 (ordenada de la intersección)
x
El punto de intersección de “F(x)” y “G(x)” es: (5; 2) PROBLEMAS RESUELTOS 1. Las raíces son complejas conjugadas (ningún punto de corte en el eje ‘‘x’’) Intersección de la gráfica de una función con los ejes de coordenadas De: y = f(x)
Resolución OO
OO
y = f(x) = x2 – 25 Con el eje x: 2.
⇒ x = – 5 ∨ x = 5 (abscisas de los puntos de intersección)
b = – 4a.............. (β)
Reemplazando (β) en (α): a + (– 4a) = 3
– 3a = 3
∴a=–1
Encontrar el área de la región encerrada por los ejes de 10 – 2x coordenadas y F(x) = 5 Resolución
∴Los puntos de intersección con el eje “x” son: (– 5; 0), (5; 0) OO
2 Damos forma a: F(x) = – x + 2 5
Con el eje y:
Graficamos:
x = 0 → y = 02 – 25
y 2
⇒ y = – 25 (ordenada del punto de intersección) ∴ El punto de intersección con el eje “y” es: (0; – 25)
y
F(x) P
Luego el área: A=
A
Intersección de gráficas de funciones:
G(x)
a(2) + b = 2 [a(3) + b]
OO
y = 0 → 0 = x2 – 25 → 25 = x2
Datos:
F(2) = 2F(3) →
Con el eje y: Se hace x = 0; para obtener la ordenada del punto de intersección.
OO
Si “F” es función lineal, entonces: F(x) = ax + b (donde: “a” es la pendiente)
F(1) = 3 → a(1) + b = 3 → a + b = 3 .................. (α)
Con el eje x: Se hace y = 0; para obtener las abscisas de los puntos de intersección.
Ejemplo:
Obtener la pendiente de una función lineal “F”, sabiendo que: F(1) = 3 ∧ F(2) = 2F(3)
0 3.
5
b.h (5)(2) ⇒A= 2 2
x
A = 5 u2
En el gráfico: y
P(x , y ) 0 0
F(x) = –2x2 + 7x – b
x 0 Si: P ∈ F(x) ∧ P ∈ G(x) ⇒ F(x) = G(x) en P(x0; y0)
Trilce Católica
(a; 0)
(3; 0)
x
Hallar “a . b”
95
Ciclo
Católica Resolución
5.
Como (a; 0) ∈ F(x) → 0 = – 2a2 + 7a – b.................... (α) Como (3; 0) ∈ F(x) → 0 = – 2(3)2 + 7(3) – b............... (β) Luego de (β), se tiene: b = 3 → a =
Cuando nació Ricardito, (mi robusto hijo), pesó 5 kg. Si en los 12 primeros meses su peso aumentó linealmente, ¿cuánto pesó al cumplir un año de edad, si en el cuarto mes pesó 13 kg? Resolución
1 3 ∨a= 2 2
5
Se conoce como modelación al proceso de relacionar mediante una fórmula las variables independiente y dependiente a partir de una colección de datos. A continuación describiremos el proceso de modelación a partir de la obtención de la forma de la función lineal y cuadrática.
OO
OO
OO
4.
Pero: m = tana
a
0
m= 4
meses
En las preguntas del 1 al 9 utiliza la gráfica de la función “f”, dada en la figura: y
Introduce una notación: Asigna una variable a la cantidad buscada.
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x –2 –3 –4 –5
Ejecuta el plan: Resuelve el modelo matemático obtenido y analiza si la solución es real. Verifica: Sustituye la solución obtenida, con los datos del problema. Se va a cercar un terreno rectangular con un alambre de longitud 8 m, sabiendo que uno de sus lados quedará limitado por un muro. ¿Cuál será la longitud del alambrado paralelo al muro, si se desea tener la mayor área posible?
1.
2.
8–x 2
3.
alambre
II.
muro
f(6) + f(0) < 0
f( – 4) – f( – 3) = 0
III. f(8) = f( – 8)
8–x 2
A. V V V B. V V F
1 Ordenando: A = – (x2 – 8x) 2 Completando cuadrados: A = –
C. 2 D. 1
Indica cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s). I.
8–x 2
C. 10 D. – 2
¿Cuántas intersecciones tiene la gráfica de “f” con los ejes coordenados? A. 4 B. 3
Longitud del alambre: 8 m
4.
La longitud del alambrado (x) para tener la mayor área: longitud máxima de “x” es 4 m.
5.
C. V F F D. F V F
Determinar el dominio de “f”. A. [– 8; 5] B. [– 6; 4]
1 (x – 4)2 + 8 2
Luego: Amáx = 8 m2
96
Determina: f(– 2) + f(– 8). A. 4 B. – 6
Resolución
x: Longitud del alambrado paralelo al muro.
4 f
Relaciona datos: Emplea la información proporcionada para obtener ecuaciones que las relacionen, se sugiere realizar un esquema, dibujo o diagrama que te permita visualizar la información de la situación propuesta.
Área = A = x
∴ P(x) = 2x + 5
Analizando una gráfica
Identifica las variables: Lee y analiza la situación propuesta para identificar a la variable dependiente, a la independiente y a las cantidades constantes.
x
13 – 5 ⇒ m=2 4
Si: x = 12 meses (1 año) → P(12) = 29 kg
Para ello sigue el siguiente proceso:
OO
P(x) = mx + 5
13
MODELACIÓN
OO
En la recta:
peso (kg)
3 9 ∴ a . b = ∨ ab = 2 2
C. [– 8; + ∞[ D. [– 6; 4[
Determinar el rango de “f”. A. [– 6; 4] B. [– 8; + ∞[
C. [– 6; 4[ D. [– 6; + ∞[
Trilce Católica
Álgebra 6.
A. [3; + ∞[ B. ]3; + ∞[ 7.
C. x
C. ]– 8; – 6[ ∪ ]– 1; 3[ D. [– 8; – 6[ ∪ ]– 1; 3[ B.
D. x
¿Cuál es la suma de las abscisas de los puntos de intersección de la gráfica de “f” con el eje “x”?
5.
C. 5 D. – 4
Graficar: F(x) = 3x2 – 6x + 1
A.
C.
y
x y
x
D.
y C.
y
x
7.
x
x
C.
y B.
Trilce Católica
D.
8.
C. 8 D. – 8
¿Cuál es la función lineal “F(x)” que cumpla: F(1) = 6 ∧ F(2) = 2F(0)?
x
A. x + 4 B. x – 4 9.
x
x
halla “ab” A. 2 B. 4
y x
C. I y II D. I y III
1
y
x
2
Hallar la gráfica de: F(x) = x – 3, si: x ∈ [4; 6] y
x
f(x)
x
D.
y
Si: f(x) = ax2 + bx:
y x
III.
y
A. Solo I B. Solo II y
x
II.
y
x
Graficar la función: F(x) = 2 – x
A.
x
Indica cuáles de las siguientes pueden ser la gráfica de la función: f(x) = – 3x2 + 4x – 2. I.
B.
D.
x
y x
A.
x y
Grafique: f(x) = 3x – 2
B.
C.
x y
6.
3.
y
B.
A.
x
y
Nivel I
2.
y
C. {– 5; – 2} D. {– 6; 1; 3}
y
x
y
Problemas para la clase
1.
y
A.
¿Para qué números “x” se cumple que “f(x)” es constante?
A. 3 B. 11
+ 4x + 6
y
¿Para qué números “x” se cumple que: f(x) <0?
A. {– 5; 2} B. {– 2; – 3; – 4; – 5} 9.
Graficar: F(x) =
C. ]– 6; – 1[ ∪ ]3; + ∞[ D. [– 6; – 1] ∪ [3; + ∞[
A. [– 8; 0[ B. [– 8; – 6] ∪ [– 1; 3] 8.
4.
¿Para qué números “x” se cumple que: f(x) > 0?
x2
C. 3x + 3 D. 2x + 4
Si los pares ordenados: (1; – 1) ∧ (4; 5), pertenecen a la función: F(x) = ax + b; hallar “a . b” A. – 6 B. – 12
C. 6 D. 12
97
Ciclo
Católica
10. Sea la función lineal “F”, donde se cumple: F(1) = – 15, F(5) = – 3 . Hallar la pendiente de la función. A. 6 B. – 4
C. 4 D. 3
F(x) = x ∧ G(x) = 6 – x A. 10 u2 B. 9
Nivel II
C. 12 D. 8
20. Hallar el área de la región sombreada.
11. Hallar el rango de: F(x) = x2 + 14x + 40 A. [7; + ∞[ B. [9; + ∞[
19. Hallar el área encerrada por el eje “x” y las funciones:
y
C. [– 7; + ∞[ D. [– 9; + ∞[
F(x) = – x2 + 9
12. Hallar el rango de “f”, si: f(x) = 4x2 – 16x + 17 A. ]– 1; 1[ B. [1; + ∞[
C. ]– 1; + ∞[ D. [ 2; + ∞[
13. ¿Por qué cuadrante no pasa la gráfica de la función: f(x) = (x – 5)2 + 4? A. I B. II
C. III y IV D. I y IV
14. Si el rango de la función: G(x) = 2x + 3 es [ 5; 7 ], ¿cuál es el rango de: F(x) = 3x – 1 si las funciones tienen el mismo dominio? A. [1; 5] B. [2; 3]
C. [2; 4] D. [2; 5]
15. Sea “F” una función cuya regla de correspondencia es: F(x) = x2 – 8x + 13; cuyo dominio es: x ∈ ]– 1; 6[, hallar el rango de dicha función. A. ]– ∞; 22] B. [– 3; 22[
C. ]– 3; 22[ D. ]– 3; 3[
16. Calcular el área de la región sombreada: y 5 F(x) = – x + 10 2
0 A.
x
40 u2
x A. 27 u2 B. 36 Nivel III 21. Hallar el máximo valor de la función: F(x) = – x2 + 2x + 4 A. 4 B. 6
A. 6 B. 8
1 A. F(x) = x a – x 2 1 B. F(x) = x a(a – x) 2
24. La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación que representa el costo diario de procesar café para la empresa CAFEMAS cuyas instalaciones se encuentran en La Merced, Junín.
–a A. 3 B. 5
98
a
x C. 4 5 D. 2
0
200
x (kg)
Hallar la ecuación que representa el costo diario, en dólares, de procesar café.
18. El área de la figura sombreada es “a” u2. Calcular “a”. F(x) = 5 –
1 C. F(x) = x a2 – x2 4 a–x D. F(x) = 4
y($) 400 300
C. 12 D. 32
y
C. 10 D. – 2
23. Encontrar una función “F(x)” que exprese el área de un triángulo isósceles en términos del lado desigual “x” sabiendo que la longitud del perímetro es “2a”.
17. Hallar el área de la región encerrada por: F(x)=4 – x y los ejes coordenados. A. 16 u2 B. 8
C. 3 D. 5
22. Hallar el mínimo valor de la función: F(x) = x2 + 4x + 10
C. 30 1 D. 3
B. 20
C. 18 D. 54
x2 2
A. y = – 0,5x + 300, x ≥ 0 B. y = 0,5x + 300, x ≥ 0
C. y = 2x + 400, x ≥ 0 D. y = – 2x + 400, x ≥ 0
25. Una compañía ha encontrado que su utilidad está dada por: U(x) = 240x – x2, en miles de dólares, en donde “x” representa el número de unidades vendidas. Halla la máxima utilidad. A. B. C. D.
16 400 miles de dólares 15 400 14 400 13 200
Trilce Católica
Álgebra 26. Un fabricante de relojes puede producir un cierto reloj con un costo de S/. 15 por unidad. Se estima que si el precio de venta del reloj es de S/. “x”, entonces el número de relojes semanales vendidos es (135 – x). ¿Cuál debe ser el precio de venta para que el fabricante tenga una ganancia semanal máxima? A. S/. 50 B. 60
2.
En la gráfica siguiente indica en qué intervalo sucede que: f(x) > 0 y
C. 70 D. 80
f
27. En un triángulo de diez unidades de base y altura seis unidades, está inscrito un rectángulo (ver figura) expresar la superficie “S” de dicho rectángulo en términos de su base.
3
A. [3; 6] B. ]– ∞; 3[ ∪ ]6; + ∞[ 6
3.
S 10 A. 0,4x(10 – x) B. 0,5x(10 – x)
y C. 0,2x(10 – x) D. 0,6x(10 – x)
10 x + 45 13 13 B. C(x) = x + 90 10 A. C(x) =
4
C. C(x) = 2x + 75 D. C(x) = 13x + 85
2
A. $ 71,4 B. 83,2
C. 60,5 D. 73,5
4.
2
Trilce Católica
3
4
6
C. [2; 3[ ∪ ]4; 6[ D. [2; 3[ ∪ [4; 6]
2
3
y
–5
4
7
10
7.
8.
C. y = 3x + 1 D. y = x + 7
Calcular la pendiente de la gráfica de la función lineal, dos de cuyos puntos tienen por coordenadas (2; 6) y (4; – 1) C.
5 2
D. –
5 2
Si los pares ordenados: (2; – 1); (3; 2) pertenecen a una función lineal, hallar dicha función. C. F(x) = 3x D. F(x) = – x + 7
Hallar el área encerrada por las gráficas de las siguientes funciones: F(x) = x; G(x) = – x; H(x) = 4; T(x) = – 4 A. 16 u2 B. 64
x
1
A. F(x) = 2x – 1 B. F(x) = 3x – 7
f
1
–2
7 2 1 B. – 2
Tarea domiciliaria
y 3
x
A. –
6.
En la gráfica siguiente, indica el dominio de “f”.
C. ]– ∞; 5] – {2; 4} D. ]– ∞; 5[– {2; 4}
Dado el siguiente diagrama, tabular:
A. y = 4x – 1 B. y = x + 3 5.
C. 15 D. 20
x
la regla de correspondencia de la función lineal es:
30. De un cartón de forma rectangular de dimensiones: 30 × 50 cm2; se deben cortar cuadrados de manera que doblando la hoja a lo largo de las líneas punteadas, se obtenga una caja de superficie lateral máxima. Hallar el lado de los cuadrados cortados. A. 5 B. 10
5
A. ]– ∞; 5] – {2} B. ]– ∞; 5] – {4}
29. Una compañía de teléfonos calcula los cargos por instalación de teléfono con la ecuación: C(x) = 15 + 0,7x, donde “C” es el cargo por instalación en dólares y “x” es el tiempo gastado en minutos al realizar la instalación. ¿Cuál es el cargo de instalación si el tiempo empleado fue de 65 minutos?
A. [2; 3] ∪ [4; 6] B. [2; 6]
C. ]– ∞; 3] ∪ [6; + ∞[ D. ]– ∞; + ∞[
Indica el dominio para la siguiente gráfica:
x
28. El gerente de una fábrica de muebles establece que cuesta $ 220 fabricar 100 sillas por día y $ 480 fabricar 300 sillas también por día. Asumiendo que la relación entre el costo (C) y el número de sillas (x) es lineal. Halle una función que relacione el costo de producción y el número de sillas fabricadas.
1.
x
6
C. 32 D. 8
Hallar el vértice de la gráfica correspondiente a la función cuadrática: y = – x2 + 4x + 1 A. V(1; 2) B. V(2; 5)
C. V(– 1; 2) D. V(1; – 2)
99
Ciclo
Católica
9.
Grafique: f(x) = – 2x2 + 4x – 4 y
13. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar la siguiente función?
y
f(x) = – x2 + 10x – 21; x ∈ lR
x A.
C.
1
–4
4
x
1 –2
A. 36 m2 B. 12
x
–2 –4
D.
10. Del gráfico:
A. 4(x + 1) B. 4(x + 3)
F(x) = – 2x2 + 7x – b (3; 0)
(a; 0)
1 2
3 2 3 D. – 2
C.
B. 3
A.
y
–4
4
x
C.
x2 x– C. 2 D. x2
x 2 B. x2 + 2x
A. x2 +
11. ¿Cuál es la gráfica correspondiente a la función cuadrática: f(x) = 2x2 – 32? y
C. 4(x + 4) D. 3x + 12
16. La empresa FOSFORERA PERUANA INTI sabe por experiencia que si se fija el precio de la docena de cajas de fósforos en: P(x) = (2 – x) nuevos soles, 0 ≤ x ≤ 2, se venderán “x” millones de docenas de cajas de fósforos por semana. Además, el costo total de producir “x” millones de docenas de cajas de fósforo por semana es C(x) = (1 – 0,5x) nuevos soles. Hallar el ingreso semanal total en millones de nuevos soles.
x
hallar “ab”. A.
C. 18 D. 24
15. Si “h” es una función lineal de pendiente 3 e intersecto con el eje “y” 5, hallar la regla de correspondencia de la función ”g”(x), si: g(x) – x = h(1) + h(x + 1)
y
C. – 4 D. – 5
14. Hallar el área limitada por el eje de las ordenadas y las funciones: f(x) = x y g(x) = – 6
1
A. – 21 B. 4
–2 y
y
B.
x
–4
y
4
– 16
– 32
y
y
17. Si el área del triángulo, cuya región sombreada es 60 µ2, indicar el valor de “k”; k > 0.
y = –2x + k
x
x
y = –5x + k B.
– 16
16 x
D.
32
–32
x
f(x) = 2x + 3
f(x) = 2mx2 + (n – 1)x – 2m, es:
g(x) = 3x + 2
y
Afirmamos:
Q(–1; 5)
x
hallar “n”
100
C. 20 D. 25
18. Se definen las funciones “f” y “g” en lR, tal que:
12. La gráfica de la función cuadrática:
A. 4 B. 6
A. 10 B. 15
I. II. III. IV.
f(1) + g(1) = 5 f(0) – g(0) = 0 x ∈ lR, f(x) < g(x) x ∈ lR, f(g(x)) < g(f(x))
¿Cuáles son verdaderas? C. – 4 D. 12
A. III y IV B. I y IV
C. I y III D. IV
Trilce Católica
Álgebra 19. En la gráfica de: y = f(x), hallar: f(3) + f(4) + f(5)
20. En la gráfica de: y = f(x), hallar: f(1) + f(2) + f(3)
y 5
y
4
4
3
3
2
2
1
1 1
A. 9 B. 10
Trilce Católica
2
3
4
5 C. 11 D. 12
6
7
x
1 A. 6 B. 8
2
3
x
C. 7 D. 9
101
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 18
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
FUNCIONES III Definición
Función Suryectiva, Sobreyectiva o Epiyectiva
Una función “F” se llama inyectiva, univalente o uno a uno; cuando cada elemento del rango es imagen de un solo elemento del dominio.
Dada la función “f”, donde: F = A → B, A ⊂ lR ∧ B ⊂ lR, se dice que “F” es suryectiva si el rango o imagen de “F” coincide con el conjunto de llegada, es decir:
Por ejemplo:
“F” es suryectiva ↔ RF = B
F1 = {(1; 2), (3; 5), (7; – 1), (5; 2)} → No es inyectiva
Función Biyectiva
F2 = {(3; 5), (4; 7), (5; 6), (9; – 1)} → Sí es inyectiva F3 = {(1; 4), (5; 6), (6; 3), (9; 6)}
Dada la función “f”, donde: F = A → B, A ⊂ lR ∧ B ⊂ lR, se dice que “F” es biyectiva si y solo si “F” es inyectiva y suryectiva a la vez.
→ No es inyectiva
Ahora bien, para que una función “f” tenga inversa, esta debe ser previamente una función inyectiva. Gráficamente, una función es inyectiva cuando toda recta horizontal (paralela al eje “x”) corta a la curva que representa a la función en un solo punto. Por ejemplo: y
EJERCICIOS RESUELTOS 1.
Hallar el valor de “m + n”, sabiendo que la función es inyectiva. f = {(5; – 1), (– 3; 2), (2m – n; – 1), (n – m; 2)} A. 1 B. 5
y
C. 2 D. – 1
Resolución: Como es inyectiva se cumple: f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 x
x
y = f(x)
Luego: OO
y = f(x)
Sí es inyectiva
OO
No es inyectiva
(5; – 1) = (2m – n; – 1) ⇒ 2m – n = 5 ... (α) (– 3; 2) = (n – m; 2) ⇒ n – m = – 3 ... (β)
Resolviendo el sistema:
y
∴ m + n = 2 + ( – 1) = 1 x
y = f(x)
2.
m=2 n=–1 Clave A
Si tenemos la función: f: ]– 3; – 1[ → ]0; 8[ / f(x) = x2 – 1 podemos afirmar: I. Es sobreyectiva II. Es biyectiva III. Es univalente
No es inyectiva Algunas funciones no son inyectivas en todo su dominio, pero sí lo son en algún tramo de ella; por ejemplo: y
A. V F F B. V V V
C. F V V D. V F V
Resolución y = x2 x
I.
Probemos si es sobreyectiva:
OO
En el dominio:
–3
1 < x2 < 9 0 < x2 – 1 < 8 0 < f(x) < 8
En 〈– ∞; 0]: es inyectiva
En [0; + ∞〉: es inyectiva
∴ El rango es: ]0; 8[
En 〈– ∞; + ∞〉: no es inyectiva
Luego es sobreyectiva: (V)
Trilce Católica
103
Ciclo
Católica II.
OO
Como es sobreyectiva, habrá que probar que es inyectiva solamente para que sea biyectiva.
Problemas para la clase Nivel I
Graficamos: f(x) = x2 – 1 1.
y –1
1
x
y
–1
OO
¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función inyectiva? y
C.
A. x
Luego, restringimos para el dominio y realizamos la prueba de la línea horizontal. y 2
x
y
y
B.
x
D.
x
2.
0
–3 –1
x
¿Cuál de los siguientes diagramas de flecha representa una función suryectiva?
A.
–1
Como corta en un solo punto, es inyectiva.
Dada la función suryectiva: F: [– 1; 2] → B / F(x) = x2 + 2. Hallar “a + b”, si: B = [a; b] A. 4 B. 9
OO
En el dominio:
3.
–1≤x≤2
2 ≤ x2 + 2 ≤ 6
5.
⇒ a = 2 ∧ b = 6, luego: a + b = 8 ... Clave C
A. 8 B. 6
C. 7 D. 5
OO OO
∴ a + b = 7
104
Clave: C
•1 •5 •9
C. p(x) = 3x + 2 D. h(x) = 3
6.
7.
C. F F V D. F V F
Sea la función f: [1; 4] → [a;b] tal que: f(x) = x2 – 2x + 3. Si “f” es suryectiva, calcular: a . b C. 22 D. 24
Sea la función: g: [– 3; 4[ → [m; n] tal que: g(x) = x2 – 4x – 6. Si “f” es suryectiva, calcular: m + n. A. 10 B. 5
3a – 1 = 8 → a = 3 3b – 1 = 11 → b = 4
2• 4•
Al graficar: f(x) = x2 – 4x + 5, indicar el valor de verdad de las proposiciones:
A. 20 B. 18
Resolución Como “f(x)” es biyectiva, se cumple:
D.
•6 •7 •8
¿Cuál de las siguientes funciones es biyectiva?
A. V F V B. F V V
2 ≤ F(x) ≤ 6
Calcular “a + b” para que: f: [a; b] → [8; 11], sea biyectiva siendo: f(x) = 3x – 1
•5 •6 •8
2• 3• 5•
I. “f” es inyectiva II. “f” es biyectiva III. “f” es inyectiva, si: x ∈ [0; 2]
0 ≤ x2 ≤ 4
4.
C.
A. f(x) = x2 – 2x + 1 B. g(x) = x2 + 1 4.
∴ El rango es: [2; 6] = B
•6 •8 •9 •7
C. 8 D. 10
Resolución
1• 2• 3•
B.
∴ Es biyectiva: (V) 3.
3• 5•
C. – 15 D. – 5
3 x–2 . Si Sea la función h: [a; b] → [– 4; ] tal que: h(x) = 8 x+3 “h” es suryectiva, calcular: b – a. A. 3 B. 1
C. 7 D. 5
Trilce Católica
Álgebra 8.
6 Sea la función f: [3; 4] → [c; d] tal que: f(x) = 2 . x – 2x – 2 Indica el valor de: c.d; si “f” es suryectiva. A. 6 B. 7
9.
C. 5 D. 8
Sea g:[m; n] → [3;5] una función tal que: g(x) = Si “g” es suryectiva, calcula: n – m . A. 2 B. 3
x – 2.
C. 4 D. 5
10. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
1 es x
C. V V F D. V V V
12. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? f: lR → [1; + ∞[; tal que: f(x) = x2 + 1 es suryectiva g: lR + → [1; + ∞[; tal que: g(x) = x + 1 es inyectiva 4 x+1 es biyectiva III. h: ]3; 7[ → ] ; 2[; tal que: h(x) = 3 x–1 I. II.
A. I B. II
C. I y II D. Todas
13. Indicar el valor de “ab”; para que la función f: [a; 2]→ [2; b] tal que: f(x) = (x – 1)2 + 2; sea biyectiva. A. 4 B. 1
C. 2 D. 3
14. Sea la función f: [1; 3]→ [–13; 3], tal que: f(x) = ax2 + b. Calcular “a + b”; si “f” es biyectiva. A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
4x . Determina “B”, de 15. Sea f: lR → B tal que: f(x) = 2 x +4 manera que “f” sea suryectiva. A. [– 1; 1] B. [– 1; 3]
C. [1; 2] D. [1; 4]
16. Sea la función g: [a; 2]→ [b; 46] tal que: g(x) = x2 – 4x + 1. Calcular el valor de “a + b”; si “g” es biyectiva. A. – 10 B. – 9
Trilce Católica
C. – 8 D. – 5
18. Hallar el valor de: x2 + y2; si la siguiente función es inyectiva:
A. 5 B. 8
C. 9 D. 10
C. 6 D. 8
Nivel III
11. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
A. F V F B. F V V
C. – 1 D. 2
A. 4 B. 5
C. F V V D. V V V
Si: x ∈ ]0; + ∞[, entonces la función f(x) = inyectiva x–3 ; es inyectiva II. g(x) = x+1 III. f(x) = – x + 2; es inyectiva
A. 0 B. 1
19. Dada la función suryectiva: f: [–1; 2] → B; tal que f(x) = x2 + 1. Calcular: a + b; si: B = [a; b]
I. f(x) = – – x – 1 ; es inyectiva II. g(x) = (x – 3)2 + 2; es inyectiva III. h(x) = x3; es inyectiva
I.
Indica “b – a”; si “f” es suryectiva.
f = {(5; – 1), (– 3; 2), (2x – y; – 1), (y – x; 2)}
Nivel II
A. V F V B. V V F
x 17. Sea f: lR → [a; b]` tal que: f(x) = 2 x +1
20. Dada la función biyectiva f: ]–1; 2[ → ]m; m + n[ tal que: f(x) = – x2 + 4x – 9. Hallar: n – m A. 17 B. 20
C. 23 D. 25
21. Sea f: [8; a] → [b; 60]; tal que: f(x) = x2 – 12x + 32. Hallar “a + b” para que “f” sea biyectiva. A. 14 B. 13
C. 15 D. 18
22. Si la función f: [– 2; 3[ → [m; n[, definida por: f(x) = 2x2 – 4 es suryectiva, calcular: m + n A. 9 B. 10
C. 12 D. 13
23. Calcular “a + b” para que g: [a; b] → [–1, 5] sea biyectiva 3 si: g(x) = x – 1 A. 100 B. 105
C. 126 D. 135
24. Si la función f:[–3; 6] → [3a; b + 3] tal que “f” es sobreyectiva. f(x) =
–x2; –3 ≤ x < 2 2x – 4; 2 ≤ x ≤ 6
Calcular: ab A. 10 B. – 10
C. – 5 D. – 15
25. Si la función f: [a; b[ → ]m; n] es biyectiva tal que: f(x) =
(x – 2)2; –5 ≤ x < 2 – x–2;2≤x≤6
Calcular: m + n + a + b A. 38 B. 40
C. 47 D. 50
105
Ciclo
Católica g
26. Sea la función f: ]–2; +∞[ → B, tal que:
f(x) =
8
6x 7 – ;–23 x–3
–
5
A. [– 5; 1[ ∪ ]1; + ∞[ B. [1; + ∞[
h
A. V F V B. V V F
3.
21 11 16 – 3x ; ] → [m; n[ tal que: g(x) = 4 2 x–5 . Indicar “m – n”; si “g” es suryectiva.
I. II.
C. – 1 D. – 2
4.
5.
Tarea domiciliaria 6.
f(x) = x3
Para: x ≥ 0; ¿qué podemos afirmar como cierto?
C. Solo I D. Todas
Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F): Si: x ∈ [– 2; 0] entonces la función: f(x) = |x|, es inyectiva. II. Si: x ∈ [– 3; 6];entonces la función: g(x) = 8, es suryectiva. III. Si: x ∈ [0; 4]; entonces la función: h(x) = x2, es inyectiva.
0 III.
1 x f(x) = 3 f(x) =
f(x) = x2 0
II.
C. [0; 5] D. [0; 9]
I.
0
Si: f(x) = x2 + 5, es suryectiva para un dominio: [– 2; 1[. Hallar el rango de: f(x).
A. I y III B. II y III
Indicar cuál de las siguientes son inyectivas.
C. F V D. F F
I. f(x) = x2 + 2; es inyectiva II. f(x) = – x; es univalente III. Si: f(x) ≥ 2 ⇒ es biyectiva
C. 4 D. 5
I.
Una función sobreyectiva es siempre biyectiva. ( ) La función constante es univalente. ( )
A. [6; 9] B. [5; 9]
29. Sabiendo que la función: f: [5; b] → [a; 72] tal que: f(x) = x2 – 8x + 7 es biyectiva. Calcula el valor de: a + b
C. III D. I y III
Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
A. V V B. V F
28. Sea la función g: ]
A. 2 B. 3
10
A. I B. II
C. F V V D. V V V
A. 0 B. 1
2
III.
3
Si: f: [a; b] → [–1; 3] tal que: f(x) = x – 1 es biyectiva entonces: a + b = 28 II. Si: f(x)=3x2 – 12x + 13 tal que: x ∈ [3; 5] entonces “f” es inyectiva. III. Si: g = {(– 3;2), (– 1;4), (0;3),(2; – 3), (4; – 1)} entonces “g” es biyectiva.
4
3
27. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.
1
6
C. ]– 5; – 1[ ∪ [1; + ∞[ D. [5; + ∞[
6
1
II.
Determina “B” para que “f” sea suryectiva.
1.
4
IV.
0
A. V F F B. V V F 7.
C. V F V D. V V V
Indicar qué gráfica representa una función inyectiva.
A. I y IV B. III 2.
C. II y IV D. I y III
A.
C.
B.
D.
¿Cuál de los siguientes diagramas representan una función biyectiva? f 2
6 3
I.
106
4 5
1
8
Trilce Católica
Álgebra 8.
x2
Sea la función f: [1; 4] → [a; b] tal que: f(x) = – 2x + 3, demostrar que “f” es inyectiva y hallar los valores de “a” y “b” para que “f” sea biyectiva. A. 3 y 10 B. 5 y 8
9.
C. 2 y 11 D. 1 y 8
Sea f: [a; b] → [– 1; 3] tal que: f(x) = suryectiva; calcular: a + b A. 25 B. 26
3
11. La función f:[1; a] → [b; suryectiva, calcule: 2ab A. 20 B. 18
x – 1 . Si “f” es
C. 29 D. 28
C. 9 D. 10 17 x2 + 1 ] definida por: f(x) = ; es 4 x
sea suryectiva. A. [0; + ∞ [ B. [– 1; + ∞ [
1 x–1
C. ]– ∞; 1] D. [1; + ∞[
13. Sean: A = {3; 4; 5} y B = {6; 7; 8} se define la función biyectiva: f = {(a – b; 6),(5; a + b), (3; 7)} de “A” en “B”. Calcular: T = a . b A. 10 B. 12
C. 14 D. 16
14. Sea la función: f: [2; 5] → [a; b], f(x) “a.b”, si “f” es biyectiva. A. 88 B. 89
Trilce Católica
= x2 – x + 2. Determine
C. 90 D. 91
– x2; si: –2 ≤ x < 0 x; si: 0 ≤ x ≤ 3 C. – 6 D. 0
16. Si f: ]–1; 2] → ]m; m + n] está definida por: f(x) = – x2 + 4x – 9 ∧ “f” es suryectiva, halle: n – m A. 7 B. 8
C. 16 D. 23
17. Si f: [–1; 2] → B, f(x) = x2 + 1; “f” es suryectiva, determine B = [a; b], dar como respuesta: a + b A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
18. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: f(x) = x3; es inyectiva 1 II. f(x) = ; es inyectiva x x+2 ; no es inyectiva III. f(x) = x–1 I.
C. 16 D. 12
12. Halle “B”, para que la función “f”, f: 〈1; 2] → B; f(x) =
f(x) =
A. – 8 B. – 7
10. Sea F: [1; a[ → [b; 28[ definida por: f(x) = x2 + 3. Si “f” es suryectiva, calcular: a + b A. 6 B. 8
15. Si “f” es biyectiva, determine “a.b”; donde: f: [a; 3] → [–4; b]
A. V F F B. V V F
( ) ( ) ( )
C. F V V D. V V V
19. De la función f: [– 1; 1[ → B, está definida por: f(x) =
x+1 x–1
Halle “B” para que “f” sea suryectiva. A. [0; + ∞[ B. ]– ∞; 0]
C. lR D. [1; + ∞[
20. Hallar el mayor valor de: f(x) = x + A. 3 B. 0
3
x2 + 7 si: x ∈ [– 3; 3]
C. 9 D. 1
107
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 19
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Leyes de exponentes – Polinomios – Grados – Polinomios especiales Operaciones con Polinomios Problemas para la clase
8.
1 4 1 2 2– 2 . 6 Reducir: 1 4 1 2 2+ 6– 6 . 2 A. B.
2.
Reducir: P = 64–9
–4–2
5.
6.
D.
9
4
B. 1
D.
1 4
2m + 1
4m + 2n
. Simplificar: E = m – 1 8 . 16n + 1 C. 2 D. 3
Simplificar: P =
2x + 2
4x + 2a
.
8x – 2
. 16a + 2
A.
2
C.
1
B.
4
D.
1 4
Simplificar: N =
1 5
C.
B. 5
D. 25 3a + 5 – 3(3a + 2) 3 . 3a + 4
1 3
C.
B. 6
D.
Calcular: M =
8 9 4 3
1 – 1 –1 1 – 1 –1 1 –3 + 20 40 0,5 – – – 2 2 3 4 4 5
A. 5 B. 6
Trilce Católica
Reducir: T = 4
x4 + y4 ; x > 0; y > 0 x–4 + y–4
A. x + y B. 1
C. xy D. 4 xy 92x + 138x 69x + 46x
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
11. ¿Cuántas veces hay que restarle “ – x + 2y” al polinomio “8x + 5y – 4” para que sea “12x – 3y – 4”? A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
12. Al multiplicar “3x” aumentado en 2 por “4x – 3” y quitarle el producto “2x + 1” por, “6x” disminuido en 6, se obtiene: A. 24x2 – 7x – 12 B. 5x
C. – 7x D. 5x – 12
13. Si sumamos el triple de “A” con la mitad de “B” y el resultado lo multiplicamos por el doble de “C”, y A = x2 – 2x – 6 B = – 6x2 + 8x – 14 C = x2 + 2x + 2
25x + y . 5x – 14 1 8 – 2y 125x – 2 . 5
A. 1
Reducir: E =
y 2 D. 2y
10. Simplificar: A = x C.
A.
7.
1
–1
A. 0 B. 1 4.
C.
9.
y–x
C.
B. y2
1 2
A.
3.
1 9 1 3
x–2
. (y2) (2y) –x –y (2 . y2)
2y
A. y
6+
1.
Reducir: T =
C. 7 D. 9
Entonces queda: A. B. C. D.
4x3 + 58x2 + 108x + 100 – 4x3 – 58x2 – 108x + 100 4x3 – 58x2 – 108x – 100 – 4x3 – 58x2 – 108x – 100
14. En el polinomio: P(x) = 2xa – 2 + 4xa – 4 + 6xa – 6. Calcular a “ ”, si: GA(P) = 12 2 A. 3 B. 9
C. 6 D. 7
15. En el polinomio: P(x; y) = axa – 4 + 3xay3 + 2ya. Calcular la suma de sus coeficientes, si: GA(P) = 12 A. 10 B. 12
C. 14 D. 15
109
Ciclo
Católica
16. En el monomio: M(x;y) = (a2 + b3)x3a + by2a + 5b Calcular el coeficiente si: GR(x) = 10; GR(y) = 11 A. 10 B. 8
C. 6 D. 4
17. Determine la suma de coeficientes en el siguiente polinomio sabiendo que todos sus términos tienen el mismo GA. P(x) = 2ax7ya + 3 + 3x8y12 – 5aya + 10 A. 27 B. 13
C. – 27 D. 10
18. Calcular el grado absoluto del polinomio: P(x; y) = xn – 2y –
3 4xnyn
+ y5 – n
A. 4 B. 8
C. 9 D. 10
19. Si los términos del siguiente polinomio tienen el mismo GA, determine su G.A. sabiendo que: GR(y) – GR(x) = 2 P(x; y) = 7xm + nyn + 2xm + 6yn + 4 A. 21 B. 22
xa + 2y3 – b 20. En el monomio: M(x;y) = b – 3 – a – 6 x y El grado relativo a “x” es “a” y el grado relativo a “y” es “b”. Determine el G.A. del monomio. C. 10 D. 12
21. Calcular el valor de “n” en el siguiente polinomio: n
n
P(x;y) = 6x2y3 + 2x2y3 + 1, siendo: n < 8 A. 6 B. 8
C. 4 D. 5
22. Determine el mayor grado relativo de una de sus variables: P(x;y) = x3m – 1ym + 1 + x2m + 3y2m + 5 + xm + 2y3m – 4. Sabiendo que: GA(P) =16 A. 3 B. 5
C. 12 D. 9
23. En el polinomio: P(x;y) = 4xm – 2yn – 1(x7 + 2y2n – 3). Todos sus términos tienen como grado absoluto 16. Calcular “m – n”. A. 6 B. 4
C. 3 D. 2
a
+1
a
+ xa – 9y4
+3
+ xa + 1ya – 9
Sabiendo que “9 < GR(x) < 14” A. 9 B. 13
110
C. 25 D. 26
26. Se tiene el monomio: M(x; y) = xp – 3yp + 2; si: GR(x) = 2. ¿Qué afirmación es correcta? A. GR(x) + 3 = GA(M) B. GA(M) – 3 > GR(y)
C. GA(M) – 2 < GR(y) D. GR(y) + 3 > GA(M)
27. Si los términos: M(x;y) = (a + 1)xb + 2y4 N(x;y) = (b – a)x4ya son semejantes, su suma es: A. 8x4y4 B. 3x2y2
A. 2x – 1 B. 4x + 2
C. 3x4y4 D. – 3x4y4
C. 16 D. 49
C. 4x D. 2x
29. Si: P(x) = 5(x7 + x6) – 2(x3 + x + 1); calcular “P(– 1)”. A. 1 B. – 1
C. 2 D. – 2
30. Si: P(x) = x + 2, indicar “P(P(x)) + P(x – 1)” A. x + 5 B. x – 5
C. 2x + 5 D. x
31. Si: P(x – 2) = 4x + 5, resolver: P(x) + P(x + 2) = 58 A. 1 B. 3
C. 2 D. 5
32. Si: P(x – 2) = x + 5 P(Q(x)) = 3x + 11 Indicar “Q(x)”. A. x + 2 B. 3x + 4
C. 4x + 5 D. 2x + 1
33. Si: P(3x – 1) = x, efectuar: 3P(x) – P(3x) A. 1 B.
24. Determinar el GA del polinomio: P(x; y) = xa – 10y2
A. 23 B. 24
28. Si: P(x – 1) = 2x – 3, indicar: P(x) + P(x + 1)
C. 23 D. 24
A. 6 B. 3
–c
1 za + c es y 18, determinar su coeficiente, sabiendo que los grados relativos respecto a “x”; “y”; “z” son consecutivos en ese orden.
25. Si el GA del monomio M(x;y;z) = abcxa(xy)b
1 3
C.
2 3
D. – 1
34. Dado el polinomio: P(x) = 7xm – 1 + 9xn – 3 – 5xp + 1 + 12xq – 2; es completo y ordenado descendentemente, hallar el valor de: “m + n + p + q”. A. 10 B. 11
C. 14 D. 15
Trilce Católica
Álgebra 35. ¿Cuál es la suma de coeficientes del polinomio: P(x; y) = axa + 4 + 3xayb + bxb + 5; si “P(x; y)” es homogéneo? A. 12 B. 9
44. Determinar la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo y ordenado ascendentemente. P(x) = axa – 4 + bxa + b – 5 + cxc – b + 3
C. 8 D. 11
36. Si los polinomios:
A. 7 B. 4
45. Calcular “b” en el siguiente polinomio completo y ordenado en forma ascendente:
P(x) = ax2 + (b – 1)x + c + 1 Q(x) = 3x2 + 6x + 12
P(x) = 3axa – 50 + 6xa – c + 42 + 9xb – c + 32
son idénticos, hallar “c – a – b” A. – 1 B. 1
C. 4 D. – 4
37. Calcular “a + b + c” en la identidad:
A. 58 B. 61
P(x) = 4x2 + 3x + 2 Q(x) = (a + b – 1)x2 + (b – c + 2)x + c – a + 4
A. 0 B. 1
A. 4 B. 5
C. 2 D. 1
3 38. Si el polinomio: P(x;y) = xm – 2yn – 1(x7 + y2n – 3) es ho7 mogéneo de grado 16; hallar “m – n”.
P(x) = a(x + 1)2 + b(x – 2) + 2 Q(x) = (x – 2)(x + 1) + (x + 3)(x + 2) Calcular “ab”. A. 0 B. 1
39. Si el siguiente polinomio:
A. 10 B. – 10
P(x; y) = (a – 1)(x2 + 5) + (b – 3)(3x2 + 6), es idénticamente nulo, hallar el grado de: Q(x) = xa + b – 1 + xa + 1 A. 1 B. 3
40. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:
A. 35 B. 37
P(x; y) = axa + 3 – abxa – 1yb + 2 + 2byb + 8, determina la suma de coeficientes.
C. 36 D. 39
C. – 6 D. 6
A. – 3 B. – 2
C. 32 D. 92
43. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo y ordenado: P(x) = axa + (a + 2)x2 – (a – 1)x + (a + 3)xa – 3 A. 12 B. 11
Trilce Católica
C. 8 D. 10
C. – 1 D. 2
50. Calcular “a + b + c” si el polinomio: P(x; y) = xa + 3y2 + 5xb – 5y + 6x8yc + 4 + x10y9; es homogéneo
42. Si el polinomio: P(x) = 18xa – 18 + 32xa – b + 15 + 18xc – b + 16; es completo y ordenado en forma ascendente, calcular “a + b + c”. A. 64 B. 68
C. 4 D. 5
49. En el polinomio homogéneo:
41. Si: P(x) = xa + b + 2xb + c + 3xc + d + 4xd + 4; es completo y ordenado ascendentemente, calcular: abcd. A. – 12 B. 12
C. 2 D. – 2
48. Si el siguiente polinomio:
C. 5 D. – 5
P(x; y) = a2xa + 7 – bxayb + abyb + 4; sabiendo que es homogéneo.
C. 7 D. 6
47. Si los polinomios: P(x) y Q(x) son idénticos.
C. 2 D. 4
P(x) = (2a – b + 18)x2 + (3b + c – 2)x + c – 6, es idénticamente nulo, calcular “a + b + c”.
C. 59 D. 54
46. Calcular “a + b + c”, si “P(x) = Q(x)”, siendo:
a(x – 2)(x – 3) + b(x – 1)(x – 3) + c(x – 1)(x – 2) = x2 – 10x + 13 A. 10 B. 11
C. 1 D. 5
A. 44 B. 40
C. 43 D. 45
Tarea domiciliaria 1.
Restar de “A”, lo que queda de quitarle “C” a “B”, si: A = 2x2 + 3x + 6 B = – 5x2 – 6x + 8 C = – 2x2 + 5x – 3 A. – 5x2 + 2x + 11 B. 9x2 + 4x + 1
C. – 9x2 – 4x – 1 D. 5x2 + 14x – 5
111
Ciclo
Católica
2.
Dado el polinomio: P(x) = 7xm – 1 + 9xn – 3 – 5xp + 1 + 12xq – 2; es completo y ordenado descendentemente, hallar el valor de “ m + n + p + q”. A. 10 B. 11
3.
C. 14 D. 15
P(x) = ax2 + (b – 1)x + c + 1 Q(x) = 3x2 + 6x + 12 son idénticos, hallar “c – a – b”.
4.
C. 4 D. – 4
Si el siguiente polinomio: P(x) = (2a – b + 18)x2 + (3b + c – 2)x + c – 6; es idénticamente nulo, calcular “a + b + c”. A. 10 B. – 10
5.
6.
C. 2 D. 5
13. Si: P(x – 2) = x + 5 P(Q(x)) = 3x + 11 Indicar: Q(x) A. x + 2 B. 3x + 4
C. 4x + 5 D. 2x + 1
14. Si: P(3x – 1) = x; efectuar: 3P(x) – P(3x) A. 1 B. 1/3
C. 2/3 D. – 1
15. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:
A. 1 + cb B. b + bc
A. 35 B. 37
C. b – bc D. b
C. 36 D. 39
16. En el polinomio homogéneo:
Si los términos: M(x;y) = (a + 1)xb + 2y4 N(x;y) = (b – a)x4ya
P(x;y) = axa – 3 – abxa – 1yb + 2 + 2byb + 8, determinar la suma de coeficientes.
son semejantes, su suma es:
A. – 31 B. – 24
C. 3x4y4 D. – 3x4y4
Si: P(x – 1) = 2x – 3; indicar: P(x) + P(x + 1) C. 4x D. 2x
Dado el siguiente polinomio: P(x;y) = x3m – 1ym – 2x2m – 3 y2m + xm – 3y3m de donde: GA(P)=19. Determine que relación es correcta: A. GR(y) – GR(x) = 2 B. GR(x) < GR(y)
9.
12. Si: P(x – 2) = 4x + 5; resolver: P(x) + P(x + 2) = 58
P(x;y) = a2xa + 7 – bxayb + abyb + 4; sabiendo que es homogéneo.
A. 2x – 1 B. 4x + 2 8.
C. 5 D. – 5
C. 2x + 5 D. x
Multiplicar (ax3 + bx2 + cx + d)(bx + 1 – c) y dar como respuesta el coeficiente del término de segundo grado.
A. 8x4y4 B. 3x2y2 7.
A. x + 5 B. x – 5
A. 1 B. 3
Si los polinomios:
A. – 1 B. 1
11. Si: P(x) = x + 2, indicar: P(P(x)) + P(x – 1)
C. GR(x) = GR(y) D. GR(x) > GR(y)
¿Cuál es la suma de coeficientes del polinomio: P(x;y) = axa + 4 + 3xayb + bxb + 5; si P(x;y) es homogéneo? A. 12 B. 9
C. 8 D. 11
17. Si el polinomio: P(x) = 18xa – 18 + 32xa – b + 15 + 18xc – b + 16 es completo y ordenado en forma ascendente, calcular “a + b + c”. A. 64 B. 68
P(x) = a(x + 1)2 + b(x – 2) + 2 Q(x) = (x – 2)(x + 1) + (x + 3)(x + 2) Calcular: “ab” A. 0 B. 1
P(x;y) = (a – 1)(x2 + 5) + (b – 3)(3x2 + 6), es idénticamente nulo, hallar el grado de:
a(x – 2)(x – 3) + b(x – 1)(x – 3) + c(x – 1)(x – 2) ≡ x2 – 10x + 13
A. 1 B. 3
112
C. 4 D. – 2
19. Si el siguiente polinomio:
Q(x) = xa + b – 1 + xa + 1
C. 2 D. 1
C. 32 D. 92
18. Si los polinomios: P(x) y Q(x) son idénticos.
10. Calcula “a + b + c” en la identidad:
A. 10 B. 11
C. – 16 D. 27
C. 4 D. 5
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 20
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
OPERACIONES CON POLINOMIOS II PRODUCTOS NOTABLES – DIVISIÓN ALGEBRAICA Problemas para la clase 1.
Simplificar: K =
[(a + b)2 – 4ab – (a – b)2]4 (a + b)2
A. 4ab B. a + b 2.
x3 – 27 x2 – 16 – equivale a: La expresión: x–3 x+4 A. (x + 1)2 + 4 B. (x + 1)2 + 12
3.
El doble del menor. El cuadrado del mayor. El cuadrado del menor. El cuádruple del menor.
7.
¿A qué es igual: (x – y)2 + 4xy ?
A. B. 8.
– 4v + 2v
x+y x–y
C. D.
C. D.
u2 u2
– 2v –v
Si: a + b = 4 a–b=4
9.
C. 3 D. 0
Efectuar: (a1/2 – b)(a1/2 + b)(a + b2) A. a – b2 B. a2 – b2
C. a2 + b4 D. a2 – b4
10. Si el producto de dos números consecutivos se le suma el mayor de estos números, se obtiene como resultado:
Trilce Católica
12. Efectuar:
1 3 , hallar: x3 + 3 x C. 3 D. 0
16
3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 1
A. 2 B. 4
C. 3 D. 8
13. Si: a + b = 12 ab = 5 Hallar: E =
a2 + b2 – 34
A. a B. 5
C. 10 D. 15
A. a B. b
4
[(a2 + b2)2 – (a2 – b2)2]2 C. ab D. 2ab
15. Reducir: E = (x + 2)(x – 2)(x2 + 4)(x4 + 16) C. x8 – 256 D. x6 + 16
a b a 2k b 2k + = 2; determinar: + b a b a
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
17. Evaluar la expresión: para: a = b= A. 2 B. 2 2
hallar: (2a + 2b)(4b)(2a – 2b) A. 5 B. 4
1 = x
A. 1 B. 2
16. Si:
Si: m + n = u ∧ m . n = v, hallar: (m – n)2 u2 u2
11. Si: x +
A. x4 + 256 B. x6 – 1
C. 9 D. 4
A. x + y B. x – y
El doble del menor. El doble del mayor. El cuadrado del menor. El cuadrado del mayor.
14. Si: a; b > 0; simplificar:
Efectuar: (2x + 3y – z)2 y dar como respuesta la suma de coeficientes de la expresión obtenida. A. 25 B. 16
6.
C. – 28/11 D. – 2
Si al producto de dos números consecutivos se le resta el menor de estos, se obtiene como resultado: A. B. C. D.
5.
C. (x + 1)2 + 10 D. (x + 1)2 – 10
(x + 8)(x – 6) – (x – 2)(x + 4) Reducir: (x – 3)(x – 5) – (x – 7)(x – 1) A. – 5 B. 5
4.
C. 0 D. 4a2b2
A. B. C. D.
8
2(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) + b8
2 +1 2 –1 2 +1 C. D. 3 + 2 2
18. Si: x = 3 5 + 17 + 3 5 – 17 ; calcular: x3 – 6x + 5 A. 5 B. 10 19. Si:
C. 15 D. 20
(a + b)2 = ab; calcular: S = 3 4
A. 1 B. 3 2
3
a+3 b 6 ab
C. 3 4 D. 3 9
113
Ciclo
Católica
20. Si: A = (p + q)(p – q)(p2 + pq + q2) B = (p2 – pq + q2)(p6 + q6)(p12 + q12)
deja residuo.
entonces “A.B” es equivalente a: A. p12 + q12 B. p24 – q24
C. p12 – q12 D. p24 + q24
30. Al dividir:
C. 105 D. 17,5
22. Hallar el valor numérico de:
C. 8 D. 16
23. Si: x + y + z = 0; hallar el valor numérico de: xy + xz + yz
E= 2 x + y2 + z2
24. Si:
25. Si:
4(a8 + b8) a2 b2 + = – 3(a + b), hallar: K = (a2b2)2 b a C. 1 D. 0
C. 4 D. 2
26. Al dividir: A. B.
3x2 3x2
C. D.
3x2 2x2
– 2x – 3 + 3x – 2
27. En la siguiente división exacta: x4 – 5x3 + 15x2 – Ax + B x2 – 3x + 5
x3 – 2x2 + (2 – m2 – 2m)x – 2m – 2 x–m–2 A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
32. Hallar el valor positivo de “n” si en:
La suma de los coeficientes del cociente es igual al resto. A. 1 B. 3
C. 5 D. 2
A. 1 B. 2
Primos entre sí. Pares. Impares consecutivos. Consecutivos.
x–
2 +1
18x4 – 5x3 + 6x2 + 2ax + 14 2x – 1 sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es 31. Determinar el resto. A. 27 B. 28
C. 29 D. 30
35. ¿Cuál es el residuo de la división: (2x4 + 17x3 – 68x – 32) ? 1 x– 2 C. – 63,75 D. – 32
Teorema del Residuo 36. Si el resto de la división: 3 x4 – (1 –
28. Señale el cociente, al dividir:
3 )x3 – 2 3 x2 – 2x + A – 2 3 x– 3 +1
ax4 – (a + b)x3 + (2a + b)x2 – bx – a ax2 – bx + a
es 3, ¿cuánto vale “A”?
A. x2 + x + 1 B. x2 – x + 1
A. 3 B. 6
114
x5 + (3 2 – 2)x3 + 2 2 + 6
C. 6 D. 9
A. 63,75 B. 32
Entonces “A” y “B” son: A. B. C. D.
C. 3 D. 4
34. En la siguiente división:
6x4 + 13x3 + 6x2 + Ax + B señale su cociente. 2x2 + 3x + 2
– 2x + 3 + 2x – 3
A. 1 B. 2
33. Halle el resto en la división:
4(a4 + b4) a2 b2 + = – 3(a + b), hallar: K = a2b 2 b a
A. 8 B. 6
x3 + (– 2 –
nx4 + (n2 – 1)x3 – n2x2 – x + n2 nx – 1 C. 2 D. – 1/2
A. 4 B. 6
C. 132 D. 84
31. Proporcione el resto, al dividir:
(n – 1)3(n + 1)3(n2 + 1)3(n4 + 1)3, para: n = 8 3
A. 1/2 B. – 2
A. 114 B. 56
7 )x2 + (2 7 – 15)x + 15 7 + m x– 7 se obtuvo como resto: 3m – 8, determinar “m”.
(a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2 R= 10
A. 64 B. 27
ax4 + bx3 + 52x2 + 59x + 56 no 3x2 + 5x + 8
Método de Ruffini
21. Si: a – b = b – c = 5; hallar el valor de:
A. 5 B. 10,5
29. Hallar “ab” si la división:
C. x2 + x – 1 D. x2 – x – 1
C. 9 D. 12
Trilce Católica
Álgebra 37. ¿Qué relación deben guardar los coeficientes del polinomio: (ax4 + bx3 + cx + d) para que sea divisible entre: (x2 – 2x – 1)? A. d = 2a + b + c B. d = 7a + 3b + c
Si: R(k) = 0;∀ k ∈ lR.
C. d = 3a + 2b – c D. d = a + 2b – c
38. Halle el resto de la división:
(x – 1)9 + (x – 2)5 – 3 (x – 1)(x – 2)
A. x + 3 B. 2x – 6
A. 3; – 4 B. 3; 4
x2
A. 5x B. x2 + 5x
C. – 5x D. x2 – 6x
“n6”.
C. x + 18 D. x + 20
C. 43 D. 47
A. x B. – x
P(x) = 4x5 – 10x4 + 6x3 + 5x2 – 16x + 13 para: x = 2. A. 1 762 B. 176
43. Calcular (ab) si la división: A. 1 B. 2
x5 + 3x4 + x3 + ax2 + bx + c (x + 1)2 – 2
50. Al dividir la división exacta:
2.
C. 3 D. 4
2x5 + 3x4 + bx3 + 6bx2 + x + a se x2 – x + b sabe que el resto es (2x + 3); además la suma de coeficientes del coeficiente es mayor que 15. Calcular “ab”. C. 8 D. 9
3ax4 – 4dx3 – 2cx2 + 2x + 2 se 3x2 + 2x – a obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 30 y un resto idéntico a (5ax + a + 2), (a ≠ 0). Calcule: a , donde “q(x)” es cociente. q(1) – a
1 4 B. 4
Trilce Católica
1 C. – 4 D. – 4
Si: a– 1 + b– 1 = 4(a + b)– 1; a,b ≠ 0, halle: E =
3.
Reducir: (x2 – 4x – 1)2 – (x2 – 4x – 2)2 –
La expresión:
x3 – 27 x2 – 16 – equivale a: x–3 x+4 C. (x + 1)2 – 10 D. (x + 1)2 + 10
¿A qué es igual: (x – y)2 + 4xy ? A. x + y B. x – y
5.
2(x3 – 8)2 + 2x + 4)2
(x2
C. – 11 D. 0
A. (x + 1)2 + 4 B. (x + 1)2 + 12 4.
2a2 + b2 ab
C. 3 D. 8
A. – 9 B. – 3
45. Al efectuar la división:
A.
C. 1/3 D. 2/3
A. 1 B. 2
C. 1 D. 2 2x4 + 3x2 – ax + b es exacta. 2x2 + 2x + 3
2x4 – 7x3 + ax + 1 . Hallar “a”. x–3
Tarea domiciliaria 1.
44. En la siguiente división:
A. 4 B. 7
C. 17 D. 181
A. 3/26 B. 26/3
Calcular “b + c – a”. A. – 1 B. – 2
C. x + 1 D. – x – 1
49. Calcular el valor numérico del polinomio:
Ejercicios adicionales
42. En la siguiente división exacta:
C. 35 D. 64
x3 + Ax + B , siendo: A; B ≠ 0 48. Hallar el cociente exacto de: 2 x – Ax + B
41. Halle la suma de los coeficientes del cociente de dividir: 8x3 + 4bx2 + 6bx + 13 ; si el residuo de la división es – 8. 2x + 1 A. 38 B. 37
6x3 + nx + 1 es (– 4x + 1), calcular x2 + 1
A. 8 B. 32
(x – 6)2008 + x + 19 (x – 5)(x – 7)
A. x + 14 B. x + 16
C. 2; – 4 D. 2; 4
47. Si el resto de dividir:
C. x + 6 D. 2x – 3
x20 + x10 + x4 + 5x + 2 39. Hallar el resto en: x4 + 1
40. Halle el residuo de dividir:
46. Determine “A” y “B” tal que P(x) P(x) – R(x) = (x – 1)2 . q(x).
= Ax4 + Bx3 + 1; verifique:
C. D.
x+y x–y
Siendo: (a + b + c)2 + (a + b – c)2 = 4c(a + b), hallar el a+b c–b valor de: + c a A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
115
Ciclo
Católica
6.
¿Cuál es el valor de: r2 – 2r – 2; si: r = A. – 1 B. – 2
7.
C. 0 D. 1
(x2 – 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Si: x = 101; hallar: E = (x2 – 2x + 1)(x6 – 1) A. 10– 4 B. 102
8.
Efectuar:
16
C. 103 D. 10– 3 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 1
A. 2 B. 4 9.
2 + 1?
C. 3 D. 8
Si: a + b = 12
a2 + b2 – 34
A. a B. 5
C. 10 D. 15
10. Si se cumple que: (a + b + 2c)2 + (a + b – 2c)2 = 8c(a + b) a+b 3 a–c 5 c–a 4 hallar: E = + + 2c c–b c–b A. 3 B. 1
C. – 1 D. 0
11. ¿Cuánto se le debe restar al dividendo de manera que la división sea exacta: x4 + x3 – 5x2 + 15x + 2 ? x2 – 2x + 3
A. 1 B. 2
C. 2x + 8 D. 2x – 8 8x5
+
4x3
ax2
+ + bx + c 2x3 + x2 + 3
es: 5x2 + 11x + 7. Hallar: E =
abc
A. 20 B. 30
C. 40 D. 50
3x4 + x3 – 2x2 + ax + b 3x2 + 4x + 5 A. 45 B. 36
C. 42 D. 56
15. Determine el residuo de la división:
A. 0 B. 1
C. – 3 D. 4
6 5 4 3 2 16. Dividir: x + 6x + 8x + 17x + 10x – 2x + 3 x+5
Indicar el coeficiente del término cuadrático del cociente. A. 1 B. 2 17. Hallar el resto de: A. 2 B. 4
A. 7 B. – 2
C. 3 D. 4 x60 + x80 + x90 + x20 + 4 x10 + 1 C. 6 D. 8 (x – 3)(x + 7)90 + 7 x+6 C. 2 D. 4
19. Halle la suma de coeficientes del cociente, luego de efectuar la división: 15x5 – 14x4 + 9x3 – 5x2 + 4x + 1 3x – 1 A. 4 B. 6 20. Hallar el resto en: A. 2x + 1 B. 2x – 1
116
C. 3 D. 4
14. Hallar “ab” en la siguiente división exacta:
18. Hallar el resto en:
A. x + 4 B. x – 4 12. El residuo de dividir:
exacta.
mx4 – 8x3 – nx2 + 14x – 8 es 3x2 + x – 2
x6 + 2x5 – 2 3 x4 – 2 3 x3 – 2x2 + 1 x– 3
ab = 5
Hallar: E =
13. Hallar “m/n” si la división:
C. 12 D. – 4 (x – 3)80 + (x – 4)15 + 6 (x – 3)(x – 4) C. 2x – 3 D. 2x + 3
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 21
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Operaciones con polinomios III
FACTORIZACIÓN – EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 10. Factorizar: 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Problemas para la clase 1.
Factorizar: 4x2 – (x + y)2; e indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes: A. 3x – y B. 3x + y
2.
3.
Factorizar: 8x6 + 343 e indicar la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos. C. 39 D. 45
5)(9x4
5.
6.
7.
Factorizar:
4m2
A. (3m – B. (3m +
n)2 n)2
(4x2 (4x2
15)(4x2 + 7) 15)(x2 – 7)
– +
m)2
C. (2m + D. (2m –
n)2 n)2
C. 3 D. 4
Factorizar: x2m + n – 9xm + n + 14xn; indicar el factor de mayor suma de coeficientes. C. xm – 7 D. xm + 2
Indicar el número de factores trinomios luego de factorizar: (x + 2)2(x + 1)(x + 3) – 5x(x + 4) – 27 A. 0 B. 1
Trilce Católica
C. m – n D. m – 2n
C. (xy + yx)(x – y) D. (x + yx)(xy + y)
15. Al factorizar: x5 – x4 – 2x3 + 2x2 + x – 1 se obtuvo una expresión de la forma: (x – 1)a . (x + 1)b. Hallar “a + b”
Al factorizar: x4n – 2x2n – 24; indicar el número de factores primos.
A. xn B. xm – 2 9.
C. D.
– 4m(n – m) + (n –
A. 1 B. 2 8.
A. (x + y)(xy + yx) B. xy + 1 + yx + 1
Factorizar: (4x2)2 – 8(4x2) – 105 A. B.
C. xp(xq + 2)(xp + 5) D. (xq + 2)(xq + 5)
14. Factorizar: xyyx + xy + xy + 1 + yx + 1
(x + z + y + w)(x + y – z – w) (x – z – y – w)(x + y + z + w) (x + z + y – w)(x + z – y + w) (x + y)(y + w)
(4x2 + 15)(4x2 – 7) (x2 – 15)(x2 + 7)
12. Factorizar: xp + 2q + 7xp + q + 10xp
A. m + n B. 2m + n
Factorizar: (x + z)2 – (y – w)2 A. B. C. D.
C. (x2a – 8)(x2a – 7) D. (x2a + 5)(x2a + 3)
13. Indicar un factor de: m2 – n3 + m3 – n2
15x2
A. + + + 25) B. (3x2 – 5)(9x2 + 15x2 + 25) C. (3x2 – 5)(9x4 – 15x2 + 25) D. (3x2 – 5)(9x4 + 15x2 + 25) 4.
A. (x2a + 9)(x2a + 6) B. (x2a – 5)(x2a – 3)
A. xp(xp + 2)(xq + 5) B. xp(xq + 2)(xq + 5)
Factorizar: 27x6 – 125 (3x2
C. (x2 + 3x – 1)2 D. (x2 + 3x – 1)2
11. Factorizar: x4a + 8x2a + 15
C. 4x – y D. 5x + y
A. 5 B. 12
A. (x2 – 3x + 1)2 B. (x2 + 3x + 1)2
C. 2 D. 3
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
16. Indicar uno de los factores de: x(x + 2)(x + 3)(x + 5) + 5 A. x2 + 5x + 1 B. x2 + 5x – 1
C. x2 + 5x – 5 D. x2 – 5x + 5
17. Señalar uno de los factores de: x2 + y2 – z2 – 2xy + 18z – 81 A. x + y + z – 9 B. x + y + z + 9
C. x – y – z – 9 D. x – y + z – 9
18. Factorizar: 32m + 3 – 11 . 3m + 1 – 20 A. (3m + 2 – 4)(3m + 1 – 5) B. (3m + 1 + 2)(3m – 1 – 2)
C. (3m + 2 + 4)(3m + 1 – 5) D. (3m + 1 – 4)(3m + 2 – 5)
19. Factorizar: x3 + 6x2 + 15x + 14 A. (x + 1)(x + 2)(x + 3) B. (x + 2)(x + 3)(x + 4)
C. (x – 2)(x2 – 4x + 7) D. (x + 2)(x2 + 4x + 7)
20. Factorizar: x3 + 6x2 + 3x – 10 A. (x + 10)(x + 1)(x – 2) B. (x – 1)(x + 2)(x + 5)
C. (x – 1)(x – 2)(x + 5) D. (x + 1)(x + 5)(x + 10)
117
Ciclo
Católica
21. Factorizar e indicar el número de factores primos cuadráticos: x4 + 10x2 + 49 A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
22. Factorizar e indicar el término independiente de uno de los factores primos: x4 + x2 + 25 A. – 2 B. – 1
C. 5 D. 2
23. Indicar uno de los factores: 1 + 2xy – x4 – y4 – x2y2 A. xy + 1 + x2 + y2 B. xy – 1 + x2 + y2
C. xy – 1 – x2 + y2 D. xy + 1 + x2 – y2
24. Indicar un factor primo: abcx2 – (a2b2 + c2)x + abc A. cx – ab B. bx – ab
C. cx + ab D. ax – bc
25. Factorizar: (x + y)4 – x4 – y4 – 2xy3; e indicar el número de factores primos de primer grado. A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
26. Factorizar: x(x2 + xy – 1) – y(y2 + xy – 1) e indicar el V.N. de uno de los factores para: x = 3 e y = – 2 A. 3 B. 4
C. 5 D. 6 8x3
32x2
+ – 216x – 720; al ser fac27. El polinomio: P(x) = torizado se transforma en: a(x – b)(x – c)(x – d); siendo: b > c > d. Calcular: a + d – (c + d) A. 4 B. 2
C. 0 D. 8
28. Al factorizar: 12x5 – 8x4 – 13x3 + 9x2 + x – 1; se obtiene (ax + b)(bx + 1)(x – b)(cx – b)2. Calcular: ab + bc + a. A. – 11 B. 11 29. Efectuar:
C. 8 D. – 6 (x2 – 3x)2 – (x + 1)2 (x2 – 4x)2 – (2x + 1)2
Señalar la diferencia de los elementos de la fracción resultante. A. ± 2x B. 2x
C. – 2x D. ± x
a3 – a2b a3 + b3 – 2 30. Efectuar: (a – b)2 a – b2 A. – a B. – b 31. Efectuar: A. B.
118
a b b a
A. a – b B. a + b
C. 1 D. 2
2 2 2 2 33. Efectuar: b – a + a – ab + a – b – a – 1 ab a2 – b2 ab – b2 ab2 – a2b a 1 C. A. b ab b B. D. – 1 a
34. Descomponiendo en fracciones parciales, hallar “M – N”. 6x – N M N + = x2 – 4 x–2 x+2 A. – 4 B. – 2
C. 0 D. 4
1 1 – x – 1 x + 1 35. Efectuar: x 1 – x–1 x+1 A. B.
1 x2 + 1 2 x2 + 1
36. Efectuar:
a2 + b2 –a–b 2 + ab a + ab b a
C. D.
3 x2 + 1 x–1 x2 + 1
x + 1 2y + 1 xy + 1 – 2 + 2x2 4xy x y
Indicar el numerador de la fracción resultante. A. 3y + 4 B. 3x + 4 37. Efectuar: A. B.
C. x + 2y + 4 D. x + 2y – 4
4x2 + 8x – 5 x2 – x – 20 + 2x2 + 5x – 3 x2 – 2x – 15
1 3 1 2
C. 1 D. 3
2 1 1 + + 38. Efectuar: 2 x + 4x + 3 x2 + x x2 + 3x Indicar el numerador final. A. x + 2 B. x + 1
C. 4x + 2 D. 4 x+
C. a D. b b2
a2 a2 – b2 b2 a2 + 3b2 + + + 32. Efectuar: 2 a + b2 a2 – b2 a2 + b2 b2 – a2
1
1 x 39. Reducir: 1 x–1+ x+1 x–
C. 1
A.
D. – 1
B.
x x–1 1 x2 – x
x x+1 1 D. 2 x +x
C.
Trilce Católica
Álgebra x2 – 1 –
40. Al efectuar:
x2
1 x–1
1 –x+1 –1
, se obtiene:
A. – x – 1 –1 B. x+1
Si admite como divisor común a: x2 + mx – 6 C. x + 1 1 D. x+1
x+1 x–1 x2 + 1 4x – + 2 – 2 41. Efectuar: 2x – 2 2x + 2 x – 1 x – 1 x+1 x+2
A.
x+1
C.
B.
x–1 x+1
D. 0
42. Simplificar:
x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 x4 + x2 + 1
A. x + 1 B. x + 2
C. x + 3 D. x – 1 a5
a4c
ab4
A. a + b b2 B. a + a
C. (a + b)2
46. Reducir:
B. – 1
1 3 B. – 3
1.
2.
Al factorizar: 3m3 – 20 + 12m2 – 5m; señalar uno de sus factores primos. A. m + 3 B. m + 2
3.
C. (a3 + b2)(d2 + c) D. (a2 + c)(d3 + b)
C. m + 4 D. m + 5
Hallar el número de factores primos lineales del polinomio: P(x, y) = 5x4y2 + 10x3y3 + 5x2y4 A. 0 B. 2
C. 3 D. 4
Señalar un factor primo al factorizar: x(z + y)2 + y(x + z)2 – 4yxz A. x – y B. x + y
C. x – 2 D. – x – 3
a b b D. a
5.
6.
C. (ab)–1 D. ab
C. b – c D. c – b
Indicar el factor primo relativo repetido al factorizar: A(x) = (x – 3)(x – 2)(x – 1) + (x – 2)(x – 1) – (x – 1) A. (x + 3) B. (x – 3)
7.
C. (x – 1) D. (x – 2)
Indicar la suma de los factores de primer grado que se obtienen al factorizar: 8x6 + 7x3 – 1 A. 3x – 1 B. 3x
8. C. a + b + 2c D. 1
C. x + y + z D. x + 2y
Señalar uno de los factores primos obtenidos al factorizar: ac(a + c) + ab(a – b) – bc(b + c) A. b2 + c B. b + c
C.
(bc – a2)x + (ac – b2) (b + c)x + (a + c)
Trilce Católica
Factorizar: a2b + a2c + d3b + d3c A. (a2 + b)(d3 + c) B. (b + c)(a2 + d3)
48. Calcular el valor constante que toma la fracción independiente de “x”.
A. a – b – c B. a + b + c
1 3 D. 3 C.
Tarea domiciliaria
1 1 x + – (a + b + x) a b ab 47. Simplificar: x2 1 1 2 – + + a2 b2 ab a2b2 A. x B. 1
6x + 2 6x – 1 3x – 2 D. 3x – 1 C.
a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
A. –
4.
(a + b)3 – (a – b)3 – 2b3 (a + b)3 + (a – b)3 – 2a3
A. 1
3x + 1 3x – 2 2x + 3 2x – 1
50. Reducir:
C. x + 3 D. 1
3x2 + 11x + 6 3 x2 – x – 1 x – 2 – x+2 x+1
A. x + 3 B. x + 2
B.
D. a – b
x2 – x – 2 x2 + 5x + 6 x – 4 . . 44. Simplificar: 2 x – x – 12 x2 + 3x + 2 x – 2 A. x + 2 B. x – 1
A.
b4c
– – + 43. Simplificar: 4 a – a3c – a2b2 + ab2c
45. Efectuar:
3x3 – 2x2 – (a + 2)x – 6 49. Reducir: 3x3 – 5x2 – (a – 1)x + 6
C. 2x – 3 D. 4x – 1
Calcular la suma de los factores primos obtenidos al factorizar: R = a3 + b3 – a(b2 + c2) – b(a2 + c2) A. a + b B. 3a – b
C. 2a + b D. 2a – b
119
Ciclo
Católica
9.
Factorizar: f(x) = (x2 – 7)2 – 10x(x2 – 7) + 21x2. La suma de los términos lineales de los factores primos obtenidos es: A. – 10x B. 10x
C. 7x D. – 7x
A. 1 B. 5
C. D.
3 2
3x + 7 x+1+ x+2 12. Efectuar: x+3 x+3– x+4 x+1 x+2 x+2 B. x+1
x+4 x+2 x–2 D. x+1
a A. – b b B. – a
120
A2 + B2
D.
2a3
a C. b D. 1 x2 + x – 2 x2 + 2x – 3
a+c a+b a+b c+b
a3 – 25a – 8a2 – 10a
a–5 2(a + 1) a+5 B. 2(a – 1)
a+5 a+1 a+5 D. 2(a + 1) C.
A.
17. Descomponiendo en fracciones parciales, hallar “M – N”
A. – 4 B. – 2
C.
ab + b2 ab – b2 + . 13. Efectuar: ab ab – a2
A. – 2 B. – 1
C.
6x – N M N + = 2 x –4 x–2 x+2
A.
14. Reducir:
a–b b+c b–c B. a–b 16. Simplificar:
C. 3 D. 4
7x + 26 A B + . Hallar: = 11. Si: 2 x + 7x + 10 x + 2 x + 5
a(a + c) + b(c – b) c(a + c) + b(a – b)
A.
10. Factorizar: 9(x + 5)2 – 25(y + 3)2. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo. A. – 2 B. 2
15. Simplificar:
x2 + 7x + 12 + 2 . x + 6x + 9
18. Reducir: Q =
C. 0 D. 4 a– 2 – b– 2 –1 a– 1 – b– 1 . –2 –2 a– 1 + b– 1 a .b C. (ab)– 1 D. (ab)– 2
A. ab B. (ab)2 19. Calcular “ab” si la fracción:
a(x – y) + 12xy + b(x + y) 3x + 4xy + 5y
es independiente de “x” e “y”. A. 135 B. – 36
C. 48 D. – 48
C. 0 D. 2
Trilce Católica
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Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
REPASO DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1.
Si: px2 – 2x + 3px – 4p + 8 = 0; p > 0; es una ecuación cuadrática y sus raíces son “x1” y “x2” tales que: x1 + x2 = 3/2(x1 x2), entonces el valor de la suma de sus raíces es: A. 2 B. 1
2.
C. – 1 D. – 2,4
Dada la ecuación: (k + 1)x2 + (5k – 3)x + 2k + 3 = 0. Halle el mínimo valor de “k” para que sus raíces sean iguales. A. – 3 B. –
3.
Si “p” y “q” son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0 1 1 el valor de: 2 + 2, es: q p A. B.
4.
7 15
b2 – ac a b2 – 2ac c2
C. 2b + c D. b2 – 2c
C. 5x2 + 7x + 3 = 0 D. 5x2 – 7x + 3 = 0
C. – 2 D. – 1/2
Si: r1 y r2 son las raíces de: x2 + Mx + 32 = 0; además: “s1” y “s2” son las raíces de x2 + Nx + 2 = 0, hallar: “M – N”, tal que: r1 > r2 > s1 > s2 > 0; r1 / r2 = s1 / s2 = 2 A. 9 B. 12
8.
D. c2(b2 – 2ac)
Dada la ecuación cuadrática: x2 + px + q = 0, ¿qué valores deben tomar “p” y “q” para que las raíces sean precisamente “p” y “q”? Dé como respuesta: p/q. A. 1/2 B. 2
7.
b2 – 4ac 2ac
Formar una ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean las inversas de las raíces de la ecuación: 3x2 + 7x + 5 = 0. A. x2 + 7x + 3 = 0 B. 5x2 – 7x – 3 = 0
6.
C.
Si: “r” y “s” son las raíces de la ecuación: x2 + bx + c = 0, el valor de: r2 + s2 ; es: A. b2 – 4c B. b – 4c2
5.
1 17 2 D. – 5
C. –
C. – 9 D. – 12
Determinar el valor de “m”, de tal manera que la ecuación de segundo grado: x2 – 2(m2 – 4m)x + m4 = 0 tenga sus dos raíces con un mismo valor diferente de cero. A. m = 1 B. m = 4
Trilce Católica
C. m = 2 D. m = – 4
9.
Si “a” y “b” son las raíces de: x2 – px + q = 0; hallar el valor de: a2 + 2ab + b2 y a3 + b3 A. p2 – q; – p(p2 – 3q) B. p2 + q; p (p2 – 3p)
C. p2; p3 – 3pq D. p2 – 3q; p2 – q
10. La ecuación: x2 – Ax + B = 0; tiene una raíz que es el triple de la otra, luego “A” y “B”, están relacionadas por: A. A2 = 16B B. 3A2 = 16B
C. A2 = 3B D. 2A2 = 3B
11. Si {r; s} es la solución de la ecuación: x2 + 3x + k = 0 y se sabe que: r2 + s2 = p, entonces se cumple que: A. p + q = 2k B. p – q = 3k
C. p – 8 = 2k D. p – 9 = – 2k
12. Para qué valor de “p” las raíces “x1” y “x2” de la ecuación: 4x2 + px = – 5, verifican: 3x1 + x2 = – 8 x1 + 3x2 = – 4 A. 12 B. 6
C. – 6 D. 18
13. Las raíces “a” y “b” de una ecuación cuadrática satisfacen: 4a – 16b = 7 8a + 4b = 5 Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son respectivamente las inversas de “a” y “b”. A. 16x2 – 8x – 3 = 0 B. 9x2 + 8x + 16 = 0
C. 3x2 – 8x – 16 = 0 D. 3x2 + 8x – 16 = 0
14. Siendo “x’ ” “ y “x”” las raíces de la ecuación: 5x2 – 23x + 11 = 0; el valor de: P = A. 173/35 B. 143/35
3x’ + 1 3x” + 1 . ; es: 2x’ – 9 2x” – 9 C. 153/35 D. 183/35
15. Hallar el menor valor de “m” de modo que las ecuaciones: mx2 – (m + 5) x + 6 = 0 2mx2 – (5m + 1) x + 6 = 0 ; tengan una raíz común. A. 2,5 B. 1
C. 1,5 D. 2
16. Indique si existe un valor de “x” que cumple con la siguiente igualdad: 13x – 16 + 13x – 1 = 1 A. x = 3 B. x = 4
C. x = 5 D. Absurdo
121
Ciclo
Católica
17. Resolver:
12x + 1 –
3x + 6 =
A. 10 B. – 12 18. Si: x =
6.
3x – 5
x2 – 2x(1 + 3m) + 7 (3 + 2m) = 0; raíces iguales?
C. 13 D. 8
1+
A. 5; 2
3 B. 1; – 5
1 + 1 + ... ; puede decirse que: C. x = 2 D. 1 < x < 2
A. x = 3 B. 0 < x < 1
7.
19. Resolver la siguiente ecuación: (a – b)x +
(a2
b2)2
+ = (a + b)x
2a(a2
+ a+b
b2)
;a–b
8.
A. 3 B. 6
25x – 29 = 3 x +
9.
4x – 11
C. 9 D. 2
Al resolver la ecuación: 3x(x – 1) = 5(x – 1). Se obtiene: A. B. C. D.
2.
Una raíz mayor que 2. Una raíz menor que – 1. Una raíz entre 3/2 y 2. Una raíz entre – 1 y 0.
A. 3 B. 31 3.
2x – 2 =
C. – 31 D. – 28
x2 + kx + 8 = k; sean iguales (k > 0).
4.
C. 6 D. 4
Calcule “a” si las raíces de la siguiente ecuación: ax2 + (2a + 1)x + 3a + 2 = 0, son simétricas. A. 1/2 B. – 1
5.
C. – 1/2 D. 0
¿Qué valor positivo debe tomar “k” para que las raíces de la ecuación en “x”: 2x2 – (k – 1)x + k + 1 = 0, difieran en 1? A. 5 B. 12
x2 – (3n – 2)x + n2 = 1, son números enteros y una de ellas es el triple de la otra, estas son: A. 1 y 3 B. 2 y 6
C. 11 D. 9
C. – 6 D. 12
11. Dada la ecuación: (2k + 1)x2 + 3(k – 1)x + 1 – k = 0. Hallar “k” si la suma de raíces es 0,75 C. 1 D. 2
12. Hallar “n” para que el producto de raíces sea 6 en la ecuación: (2n – 7)x2 – (2n + 1)x + 10n + 40 = 0 A. 82 B. 40
C. 41 D. 6
13. ¿Para qué valor de “n” el discriminante de la ecuación: x2 – 8x + n = 0; es igual a 20? A. 11 B. 17
C. 22 D. 44
14. Siendo “x1” y “x2” raíces de: mx2 – (m + 1)x + m + 2 = 0, hallar “m” si se cumple: (x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 8 A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
15. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación: x2 – (m + 7)x + 25 = 0; son iguales. (m > 0) A. 6 B. 4
122
C. 3 y 9 D. 4 y 12
3x1 + x2 = – 8 x1 + 3x2 = – 4
A. 0,25 B. 0,5
5x – 14
Hallar “k” para que las raíces de la ecuación:
A. 8 B. 12
Sabiendo que las raíces de la ecuación:
A. – 12 B. 6
Dar como respuesta la suma de sus soluciones: x+6–
C. x2 + 3x – 2 = 0 D. 2x2 – 3x + 1 = 0
10. Indicar para qué valor de “n” las raíces “x1” y “x2” de la ecuación: 4x2 + nx + 5 = 0, verifican:
Tarea domiciliaria 1.
C. 6; 2 D. 4; 8
Formar la ecuación cuyas raíces son las inversas multiplicativas de las raíces de la ecuación: 2x2 – 3x – 1 = 0 A. 2x2 + 3x – 2 = 0 B. x2 – 3x – 2 = 0
C. x1 = a2 + b2; x2 = a2 – b2 a b x2 = D. x1 = b ; a
C. 4; – 2 10 D. 2; – 9
Sea la ecuación: x2 + (4 – m)x + m = 5. Hallar el valor de “m” para que la diferencia de raíces sea 2. A. 3; 6 B. 4; 5
A. x1 = a + b; x2 = a – b a2 + b2 a2 + b2 ; x2 = B. x1 = a+b a–b
20. Hallar una de las raíces de:
¿Para qué valores de “m” tendrá la ecuación:
C. 3 D. 2
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Planteo de ecuaciones I
el Lobo y le pregunta: "¿Cuántas manzanas llevas en tu cesta? "Caperucita responde: “Llevo tantas decenas como el número de docenas más uno”. ¿Cuántas manzanas llevaba Caperucita en su cesta?
Problemas para la clase 1.
La relación de dos números es de 2 a 3. Si el menor se aumenta en 8 y el mayor en 7 la relación es de 3 a 4. Hallar los números. A. 22 y 33 B. 24 y 38
2.
Dividir 85 en dos partes tales que el triple del menor equivalga al doble del mayor. Señalar este último. A. 34 B. 51
3.
B.
n m
m m3 D. n
C. 194 D. 36
El lunes gasté la mitad de lo que tenía y 2 más; el martes la mitad de lo que me quedará y 2 más; el miércoles la mitad de lo que quedará y 2 más y me quedé sin nada. ¿Cuánto tenía el lunes antes de gastar nada? A. 22 B. 24
8.
C.
n2
A cierto número par, se le suma los dos números pares que le preceden y los dos impares que lo siguen, obteniéndose en total 968 unidades. El producto de los dígitos del número par en referencia es: A. 162 B. 120
7.
C. 126 D. 127
Dos números “A” y “B” están en relación “m” es a “n”, si a “A” le aumentó “n”, ¿cuánto debo aumentar a “B” para que se mantenga la relación? A. m2
6.
C. 9/8 D. 9/10
Existen dos números consecutivos tal que el menor exceda en 81 a la diferencia entre los 3/4 del menor y los 2/5 del mayor. El menor de los números es: A. 124 B. 125
5.
C. 55 D. 38
El denominador de una fracción excede al numerador en 1. Si el denominador se aumenta en 15, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción. A. 7/8 B. 8/9
4.
C. 26 y 39 D. 12 y 23
C. 26 D. 28
Caperucita Roja va por el bosque llevando una cesta de manzanas para su abuelita. Si en el camino la detiene
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Quinto Católica
A. 6 B. 20 9.
C. 30 D. 60
En un examen de "n" preguntas un estudiante contestó correctamente 15 de las primeras 20. De las preguntas restantes contestó correctamente la tercera parte. Si todas las preguntas tienen el mismo valor y la nota del estudiante fue del 50%, calcular el número de preguntas del examen. A. 50 B. 100
C. 25 D. 200
10. Jacinto hace dos apuestas, en la primera gana 2/3 de lo que tiene más S/. 10 y luego en la segunda, pierde 1/4 de lo que ahora tiene más S/. 10. Si lo que le queda excede en S/. 5 a lo que tenía al principio, ¿cuánto ganó en la primera apuesta? A. S/. 20 B. 25
C. 30 D. 35
11. Se compra “a” borradores a $“a” cada uno, (a + 10) cuadernos a $(a + 10) cada uno y “4a” lapiceros a “4a” el par. Si se gastó en total $250, ¿qué cantidad de borradores se compró? A. 1 B. 3
C. 7 D. 5
12. Un padre tiene cinco veces la edad de su hijo y la suma de los cuadrados de sus edades es igual a 2106. Hallar la edad del padre. A. 25 B. 35
C. 40 D. 45
13. El cuadrado de un número disminuido en 9 equivale a ocho veces, el número menos 2. Hallar el valor que puede tomar. A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
14. ¿En qué tiempo harán "A", "B" y "C" un trabajo juntos, si "A" puede hacerlo solo en 6 horas más, "B" en una hora más y "C" en el doble del tiempo? 2 horas 3 3 B. 2 A.
C. 2 D. 1
123
Ciclo
Católica
15. Un gran auditorio tiene sus sillas dispuestas en filas. Si se cuentan exactamente 5600 sillas y además el número de sillas por fila excede en 10 al número de filas, calcular el número de sillas por fila. A. 70 B. 80
C. 90 D. 50
16. En una reunión se cuentan tantos caballeros como tres veces el número de damas, después se retiran ocho parejas y el número de caballeros ahora es igual a cinco veces el número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente? A. 16 B. 48
C. 30 D. 25
17. En un centro comercial se acondicionaron 25 galerías para cafetería, joyería y peluquería. Si tres de las joyerías terminaron siendo peluquerías, entonces el duplo del número de peluquerías es igual al quíntuplo del número de joyerías. Si el número de joyerías es múltiplo de 3, ¿cuántas peluquerías hay en el centro comercial? A. 12 B. 9
C. 14 D. 10
18. Una pieza de género tiene 20 metros de longitud. En una segunda compra que hizo, se adquirió los 2/3 del resto que había quedado después de la primera. Sabiendo que las dos compras son iguales, ¿cuántos metros se compraron la primera vez? A. 7 B. 8
C. 9 D. 13
19. Una compañía urbanizadora adquirió un terreno en $7200, después de vender todo excepto 20 acres, con utilidades de $30 por acre ya se había recuperado el costo total del terreno. ¿Cuántos acres se vendieron? A. 80 B. 60
C. 100 D. 90
20. El dueño de una librería compra 80 libros y 150 tableros de dibujo por un valor de S/.1410. Al vender todo, recauda por los libros S/.1200 y por los tableros S/.600. Si la ganancia de un libro es el triple de la utilidad de un tablero, ¿cuánto le costó un tablero al dueño de la librería? A. S/.3 B. 4
C. 2 D. 5
21. Un padre tiene “a” años y su hijo “b” años. ¿Hace cuántos años su edad del padre fue el triple de la edad de su hijo? A. B.
a + 2b 3 a – 2b 2
3b – a 2 a – 3b D. 2
C.
22. La edad de María es el triple de la de Rosa más 15 años y ambos suman 59 años. Dar como respuesta la suma de las cifras de la edad de Rosa. A. 1 B. 2
124
C. 12 D. 15
23. Tres veces el producto de la edad de Natalia disminuido en uno, con su edad aumentado en tres es igual a 63. Hallar dicha edad. A. 6 años B. 8
C. 9 D. 4
24. Juana tuvo su primer hijo a los 20 años y 8 años después tuvo a su segundo hijo. Si en 1992, las edades de los tres suman 42 años, ¿en qué año nació Ana? A. 1980 B. 1969
C. 1968 D. 1962
25. Las edades de un padre y su hijo se diferencian en 20 años. Si dentro de cinco años la edad del padre será el doble de la edad del hijo, calcular la edad actual del hijo. A. 25 años B. 15 años
C. 16 años D. 20 años
26. Mario le dice a José: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 126 años". ¿Cuál es la edad de Mario? A. 63 años B. 28
C. 70 D. 42
27. La razón entre las edades de Pedro y Luis es de "x" a 1 (x > 1). Si "E" es la menor edad, ¿dentro de cuántos años la relación será de "y" a 1? A. B.
E(y + x) x+1 E(y + x) x–1
E(y – x) 1–y E–x D. y–1
C.
28. Carla tiene “n” años de edad y su hermano Félix tiene “n2” años. En ocho años más, Félix tendrá el doble de lo que tendrá Carla. ¿Qué edad tiene actualmente Félix? A. 10 B. 12
C. 15 D. 16
29. ¿Dentro de cuántos años tendrás la edad que yo tendré cuando tú tengas 20 años, si ahora tengo 20 años y tú 15 años? A. 5 B. 10
C. 15 D. 3
30. La bisabuela de Juan tiene 80 años actualmente; y tenía 15 años cuando nació la abuela de Juan. La madre de Juan dice: “Tu abuela tiene 45 años más que tú, y tú tienes 18 años menos que yo”. ¿Cuántos años tiene la madre de Juan? A. 32 B. 35
C. 38 D. 40
31. La edad de Daniel es un número de dos dígitos y la de su hijo tiene los mismos dígitos pero en orden inverso. Sus dos nietos tienen edades que coinciden con cada uno de los dígitos de la edad de Daniel, respectivamente. Se sabe que la edad del hijo es cinco veces la edad del
Trilce Católica
Álgebra mayor de los nietos. ¿En qué relación está la edad de Daniel y la del nieto menor? A. 52 a 5 B. 5 a 1
C. 26 a 12 D. 26 a 1
32. La edad promedio de "F" alumnos en un salón de clase es de "4E" años; en dicho salón estudian un grupo de trillizos. Si ninguno de los alumnos es mayor de "E" años, ¿cuál es la edad mínima que puede tener uno de los hermanos? A.
E(F + 1) años
B. EF + 2 años
2F + E C. años 3 D. F(E + 2) años
40. Una liebre que va una rapidez de 5 m/s persigue a un ciclista cuya rapidez es de 3 m/s y lo alcanza después que el ciclista ha recorrido un tramo que excede en 10 metros a la distancia que los separaba inicialmente. ¿Qué distancia recorrió la liebre? A. 30 m B. 50
Tarea domiciliaria 1.
33. ¿Qué día del año 2003 marcará la hoja del almanaque cuando el número de hojas arrancadas exceda en 2 a los 3/8 del número que faltan por arrancar? A. 10 de abril B. 11 de abril
C. 12 de abril D. 13 de abril
C. 11:00 p.m. D. 11:30 p.m.
35. Una mujer ha estado caminando durante 14 horas. Si hubiera caminado una hora menos, con una velocidad mayor en 5 km/h, habría recorrido 5 km menos. ¿Cuál es su velocidad? A. 60 km/h B. 50 km/h
2.
A. 2 s B. 3
3.
C. 4 D. 5
37. Un automóvil recorre una distancia BC de 200 km con velocidad constante. Si por “B” pasa a las 6:00 a.m. y por “C” pasa a las 10:00 a.m., ¿cuál es la velocidad del automóvil? A. 20 km/h B. 30
C. 40 D. 50
38. Luis y David parten de una ciudad a otra situada a 12 km de la primera, la velocidad de Luis es 2 km/h menos que la de David, por lo que llega a su destino con una hora de retraso. Hallar la velocidad de David. A. 4 km/h B. 6
C. 8 D. 5
39. Dos caminantes recorren cada uno 34 km. Si una persona tiene una velocidad que es un cuarto de kilómetro por hora mayor que la otra, y se demora media hora menos que esta, hallar la velocidad del más veloz.(en km/h) A. 4 B. 4,25
Trilce Católica
C. 4,5 D. 3,75
C. 4 D. 10
En una reunión el número de caballeros es dos veces más que el número de damas, después que se retiran ocho parejas, el número de caballeros que ahora queda es cuatro veces más el número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente? A. 16 B. 32
7.
C. 41 D. 40
El agua contenida en un pozo se agota en 2 horas. En cada hora baja el nivel del agua la mitad de la altura, más un metro. Determinar la altura del agua contenida en el pozo. A. 8 m B. 6
6.
C. 8 D. 16
Juan trabaja cinco días seguidos y descansa el día siguiente. Si empezó a trabajar un lunes, ¿cuántos días debe transcurrir para que le toque descansar un día domingo? A. 30 B. 31
5.
C. 334 D. 224
Hallar el doble de cierto número donde la suma de su mitad, cuarta y octava parte, resulta dicho número disminuido en una unidad. A. 1 B. 4
4.
C. 62 D. 61
La diferencia de dos números es 36. Si el mayor disminuye en 12 se tiene el cuádruple del menor. Hallar el producto de los números dados. A. 352 B. 328
C. 70 km/h D. 65 km/h
36. Un móvil recorre un tramo AB de 2500 m para luego recorrer un tramo BC con la misma velocidad. Si AB lo recorrió en 20 s y recorrió cinco veces la distancia recorrida en el tramo BC, ¿qué tiempo empleó en viajar de "B" a "C"?
La suma de tres números consecutivos es 180, hallar el mayor de los números. A. 60 B. 59
34. Preguntándole a Omar por la fecha, este respondió: "El mes es octubre y quedan del mes 215 horas menos que las transcurridas". ¿A qué hora se le hizo la pregunta? A. 10:00 p.m. B. Imposible
C. 20 D. 40
C. 48 D. 72
Pamela tenía cierta cantidad de dinero. Perdió 1/3, luego perdió 1/5 de lo que le quedaba. Finalmente, aumentó lo que quedaba en 1/5, terminando con 32 dólares. ¿En cuánto ha aumentado su capital con todas esas operaciones? A. $18 B. 25
C. 20 D. Su capital ha disminuido en 18
125
Ciclo
Católica
8.
La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar la diferencia positiva de dichos números. A. 2 B. 3
9.
C. 4 D. 5
Un cierto número de personas compra un auto que vale $1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántas personas compraron el auto? A. 6 B. 5
C. 4 D. 7
10. Un padre tiene cinco veces la edad de su hijo y la suma de los cuadrados de sus edades es igual a 2106. Hallar la edad del padre. A. 25 B. 35
C. 40 D. 45
11. Al preguntársele a un hombre por su edad, este respondió: “Multipliquen por tres los años que tendré dentro de tres años, réstenle el triple de los que tenía hace tres años y obtendrán precisamente los años que tengo”. ¿Qué edad tendrá dentro de tres años? A. 21 años B. 18
C. 15 D. 12
12. La tercera parte de la edad de "M" es 13 años más que la edad de "N" y el quíntuplo de la edad de "N" es 25 años menos que la edad de "M". Hallar la edad de "N". A. 8 años B. 5
C. 7 D. 9
13. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si ahora el hijo tiene 20 años, ¿qué edad tenía cuando las edades de los tres sumaban 70 años? A. 5 B. 10
C. 15 D. 18
14. Tengo 23 años menos que mi padre pero 22 años más que mi hijo. Si las tres edades suman 100 años, ¿qué edad tiene mi padre? A. 45 años B. 54
126
15. María tiene 24 años y su edad es el doble de lo que tenía Flor cuando María tenía la edad que ahora tiene Flor. ¿Qué edad tiene Flor? A. 15 años B. 16
C. 17 D. 18
16. Una persona multiplica la fecha del día de su nacimiento por 12 y el número del mes por 31. Si la suma de estos productos es 170, determinar la fecha de nacimiento de dicha persona. A. 6 de enero B. 9 de febrero
C. 7 de marzo D. 4 de abril
17. Si a la mitad de los días transcurridos del año se le agrega la tercera parte de los que faltan para acabar el año se obtiene el número de días transcurridos. ¿Qué fecha es si no se trata de un año bisiesto? A. 26 de mayo B. 27 de mayo
C. 26 de junio D. 27 de junio
18. En cinco horas "A" camina 4 km más que "B" en cuatro horas, y "A" en 7 horas camina 2 km más que "B" en seis horas. ¿Cuántos kilómetros camina "B" en cada hora? A. 9 B. 8
C. 7 D. 6
19. Jaimito ha recorrido los 3/5 del camino que une a "A" con "B". Si aún le falta recorrer “n” km y lleva caminando siete horas, ¿cuál es la velocidad de Jaimito en km/h? A. 6n/7 B. 3n/7
C. 2n/7 D. 3n/14
20. Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente, el primero se consume en cuatro horas y el segundo, en tres horas. Si cada cirio se quemó en forma constante, ¿dentro de cuántas horas, después de haber encendidos los cirios, la altura del primero es el doble que la altura del segundo? A. 12/5 B. 9/5
C. 7/5 D. 8/5
C. 56 D. 64
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ÁLGEBRA Semana 24
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
sistema de Ecuaciones Lineales y no lineales Y PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES II Problemas para la clase 1.
x + y = 0,8..................... (1) Resolver: 1,5x + 2y = 1,3.................... (2)
7.
Hallar: 2x + 3y
y dar como respuesta “x – y” A. 0,1 B. 0,2 2.
A. 12 B. 13
C. 0,3 D. 0,4
Dado el sistema de ecuaciones:
xm.yn = 2m xn.ym = 2n
8.
C. 4 D. 32
Si el sistema de ecuaciones de variables “x” e “y”: ( a + 2b)x + (a – 2b)y = 1 (2a + b)x – (a – b)y = 11 tiene como solución x = 2 e y = 3, hallar “5a + 4b” A. 13 B. 12 Resolver:
C. 21 D. 30 x + 4y – z = 6 2x + 5y – 7z = – 9 3x – 2y + z = 2
A. x = 1, y = – 2, z = 3 B. x = – 1, y = 2, z = 3 5.
Resolver:
C. x = 1, y = 3, z = 2 D. x = 1, y = 2, z = 3
Al resolver el sistema:
Trilce Católica
C. 18 D. 13
La suma de los valores de “m” que hacen que el sistema de ecuaciones: mx + y = 1 x+y=2 x–y=m sea compatible es: A. – 2 B. – 1
C. 0 D. 1 2ax – b2y = ab 2x + by = a
Calcular: “y”
B.
a b a–b a+b
a(a – b) b(a + b) b(a – b) D. a(a + b) C.
x+y+z=a 11. Resolver: (x + y)2 – z2 = b2 (x + z)2 – y2 = c2 C. 3 D. 4 1 3 + = x y + 1 4 7 – = x y + 1
5 .................... (I) 4 1 (II) 4 ....................
Hallar “xy”. A. 2 B. 1
9.
A.
x+z y
A. 1 B. 2
A. 12 B. 15
10. Dado el sistema:
x y z = = 2 3 4 2z – x + y = 45
Hallar el valor de:
6.
Calcular el valor de “m” si al resolver el sistema:
se obtuvo que “y” excede en 8 unidades al valor de “x”.
A. 2 B. 64
4.
C. 18 D. 17
4x + 5y = m – x + 2y = m
Hallar: xxy
3.
20 10 + =9 x+3 y–1 Si: 10 2 – =1 x+3 y–1
Dar como respuesta el valor de “x”. A. a2 + b2 B. (b2 + c2)/2a 12. Resolver:
C. b2 – c2 D. (a2 – c2)/2b
bz + cy = a cx + az = b ay + bx = c
Dar como respuesta el valor de “y”. C. 3 D. 6
A. (a2 + c2 + b2)/2 B. (a2 + c2 – b2)/2ac
C. (a2 + b2)/2 D. (b2 + c2 – a2)/2
127
Ciclo
Católica
13. Hallar “x”, si:
ax + by = 8ab 2bx – 3ay =10b2 – 9a2
A. 3a B. 5b
C. 3b D. 5a
14. En el sistema:
nx – 6y = 5n – 3 2x + (n – 7)y = 29 – 7n
el valor de “n” para que el sistema sea imposible es: A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
15. Resuelve el sistema:
xy + x + y = 29 x2 + y2 = 41
Indica la suma de los valores reales de “x”. A. 9 B. 13 16. Resolver:
C. 4 D. 11 xy = – 150 x – y = – 31
C. – 25 D. – 16
17. Hallar “xyz” en:
(x + 3) (y – 2) = 4 .... (1) (z + 1) (x + 3) = 12 .... (2) (y – 2) (z + 1) = 3 .... (3)
A. 12 B. 6
C. 3 D. 144
18. Calcular “z”, del sistema: A. 1/3 B. 2/3
19. Si:
x(x + y + z) = 16 y(x + y + z) = 16 z(x + y + z) = 4 C. 1 D. 4/3
y+z+w–x=a z+w+x–y=b x+w+y–z=c x+y+z–w=d
20. Resolver:
C. (b + c + d – 2a)/4 D. (b + c + d – a)/4
x3 – y3 = 224 x–y=8
Indicar el producto de las raíces. A. 216 B. 120
C. 256 D. 144
21. El costo de transportar 10 kg de equipaje es $65 y por cada kg adicional es $0,9. ¿Cuántos kilos se transportó, si se pagó $ 353? A. 320 kg B. 330
128
C. 3/10 D. 4/5
23. Tenía “x”, cobré “y” y gasté $500. Si me queda el doble de lo que tenía ( antes de cobrar) y lo que cobré fue seis veces lo que tenía ( antes de cobrar), ¿cuánto cobré? A. $400 B. 100
C. 600 D. 200
24. Para ganar S/. 240 en la rifa de una radio y una plancha se hicieron 100 boletos. Si solo se pudo vender 44 boletos, lo que originó una pérdida de S/. 40, hallar el precio de cada boleto y los precios de los premios, si además se sabe que la radio cuesta S/. 40 más que la plancha. A. S/.5; S/.110; S/.150 B. S/.10; S/.120; S/.160
A. 30 h B. 15
C. S/.10; S/.110; S/.150 D. S/.5; S/.120; S/.160
C. 340 D. 350
C. 60 D. 10
26. Se gasta diariamente en una fábrica, para jornales de los operarios, hombres, mujeres y niños, 714 nuevos soles. Cada hombre gana diariamente 10 nuevos soles; cada mujer, ocho y cinco cada niño. Se sabe que el número de mujeres es dos más que el séxtuplo del número de hombres, y que el de niños es seis menos que el duplo del número de mujeres. Averiguar el número de operarios de cada clase. A. B.
H = 38; M = 70; Ch = 6 H = 70; M = 38; Ch = 6
C. H = 6; M = 38; Ch = 70 D. H = 70; M = 6; Ch = 38
27. Un comerciante compró cierto número de unidades de un artículo por un total de 720 nuevos soles. Hallar el número de unidades que compró sabiendo que al venderlas a 40 nuevos soles cada una obtiene una ganancia igual al dinero que le costaron ocho de ellas. A. 26 B. 25
Entonces “x” vale: A. (b + c + d – 2a)/2 B. (b + c + d – a)/2
A. 2/5 B. 3/5
25. Una cierta tarea puede ser hecha por Aldo y Paúl en 12 horas; por Aldo y Ernesto en 20 horas y por Paúl y Ernesto en 15 horas. Encontrar el tiempo que tardaría en hacer la tarea trabajando los tres juntos.
Indicar la menor raíz. A. 30 B. – 15
22. Una fracción ordinaria equivale a 1/2; si se aumentan 2 unidades a su numerador, equivale a 1/4. Si ese aumento se hace al denominador, ¿cuál es la fracción?
C. 24 D. 20
28. En una reunión, unos empiezan jugando, charlando otros y bailando la cuarta parte de los reunidos, después cuatro de ellos dejan el juego por el baile, uno deja la charla por el juego y dos dejan el baile por la charla, con lo cual resulta entonces que bailan tantos como juegan y juegan tantos como charlan. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión? A. 20 B. 24
C. 16 D. 27
29. Carlos ha observado que los precios de los cuatro productos que más vende al mes en su bodega, sumando de tres en tres, suman 8; 7; 9; y 6 nuevos soles. Halle el precio del producto más caro. A. S/. 5 B. 4
C. 3,5 D. 3
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Álgebra 30. Se envasan botellas de dos litros y tres litros. Si la cantidad de botellas de tres litros es el doble que las otras y se ha empleado en total 136 litros, ¿cuántas botellas de dos litros se envasarán? A. 15 B. 21
C. 34 D. 17
31. Ricardo tiene en el bolsillo cierta suma de dinero. Compra un pantalón y una camisa, entonces le quedan tantos nuevos soles como costó el pantalón. Si quisiera comprar una camisa más, le faltaría 30 nuevos soles. ¿Cuánto cuesta la camisa, sabiendo que si hubiera obtenido una rebaja de 15 nuevos soles en cada objeto, sólo hubiera gastado 58 nuevos soles? A. S/.19 B. 29
C. 30 D. 59
32. Con billetes de S/. 100 y de S/. 50 se pagó una deuda de S/. 2800. El número de billetes de S/. 50 excede en ocho al número de billetes de S/. 100. Si los billetes que tenemos de S/.100, los contaremos como billetes de S/. 50 y viceversa, ¿qué cantidad de dinero tendríamos? A. S/.4500 B. 2900
C. 3200 D. 3800
33. Un comerciante tiene al inicio del día ocho lapiceros de S/. 10 cada uno y cuatro lapiceros de S/. 20 cada uno. Si al final del día tiene S/. 120, ¿cuántos lapiceros le sobran si le quedan por lo menos un lapicero de cada precio? A. 4 B. 5
C. 6 D. 3
34. Un fabricante desea surtir un pedido de 700 galones de ácido con una concentración de 24%. En existencia tiene ácido al 20% y 30% de concentración. ¿ Cuántos galones de ácido al 20% debe utilizar para satisfacer el pedido? A. 280 B. 380
A. 24 B. 20
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A. S/.100 B. 160
C. 30 D. 32
C. 140 D. 120
40. José adquiere cuatro balanzas que pueden pesar hasta 5000 lb cada una. José pone un negocio de balanzas en el cual cada balanza solo puede pesar hasta el 90% de su capacidad. Una empresa metalmecánica decide llevar tres camiones. Cada camión lleva ocho planchas de acero de igual peso. Si José las pesa usando todos sus recursos, ¿cuántos kilogramos pesa cada plancha? A. 750 B. 454
C. 340,5 D. 350,5
Tarea domiciliaria 1.
Resolver:
x + y = 12 x – y = 4
Dar como respuesta el producto de las soluciones. A. 24 B. 36 2.
Resolver:
C. 32 D. 30 2(2x – 5) + 3y = – 10 4(8 – 3x) + 3(15 – 2y) = 41
hallar “xy”: A. 96 B. – 96 3.
Resolver:
C. 108 D. – 108 x + y + z = 10 x – y + z = 2 x + y – z = 8
(1) (2) (3)
Hallar “xyz” A. 10 B. 20
C. 1200 D. 1600
37. El número de monedas que tengo de 50 centavos y 20 centavos es el doble y el triple de los de diez centavos. Si regalo seis de 50 centavos y 15 de 20 centavos, me quedaría con $ 34,8. ¿Cuántas monedas de diez centavos tengo?
C. 20 D. 25
39. Cada Domingo, al ir de compras al supermercado observo que al comprar una docena de latas de leche y siete panetones gasto S/. 164. En un domingo de ofertas cada lata de leche tiene un descuento del 10% mientras que los panetones, 20%. Gastando en esa oportunidad S/. 133, 60 por la misma cantidad de productos. ¿Cuánto gastaría si compro diez latas de leche sin descuento y cinco panetones con descuento.
C. 70 D. 60
36. Después de haber perdido S/. 50 en la venta de un artefacto, Juan decide duplicar el precio de los dos restantes obteniendo así una ganancia neta de S/. 350. Si hubiese vendido los tres artefactos con el precio duplicado, ¿cuál hubiera sido su ganancia? A. S/. 600 B. 1000
A. 10 B. 15
C. 420 D. 320
35. Un almacén debe vender todo su stock de televisores para cubrir algunos gastos de emergencia. Si vende cada televisor a su precio normal se ganará S/. 4000; pero si se vende cada televisor en S/. 90 menos, perdería S/. 2300, ¿cuántos televisores posee? A. 120 B. 100
38. Mary compra 136 naranjas a S/. 0,5 cada una, se le malograron varias de ellas y vende las restantes a S/. 0,8 cada una; con lo cual obtiene un beneficio de S/. 20,8. ¿Cuántas naranjas se malograron?
4.
C. 30 D. 40
Dado el sistema de ecuaciones:
xa . yb = 2a xb . ya = 2b
Hallar: xxy A. 2 B. 64
C. 4 D. 32
129
Ciclo
Católica
5.
x + 5 2(y – 1) y + = x + ........ (I) 3 2 2 Resolver el sistema: 3x – 1 y + 10 + = x + 2........ (II) 5 4 Hallar: xy A. – 70 B. 70
6.
C. 80 D. 90
x – 2y = – 13...... (I) Luego de resolver el sistema: 2z + 3y = 19......... (II) 3x – z + 4y = 9........... (III) indicar el valor de: x + y + z A. 4 B. 2
7.
C. 6 D. 1
Para qué valor de “m” el sistema:
(m – 2)x + 3y = 4 6x + (2m + 1)y = 12
tiene infinitas soluciones. A. 1 B. 2 8.
C. 3 D. 4
Hallar: E = x + y + z, si “x”, “y” y “z” son los valores positivos que cumplen con el sistema: x y z = = 2 3 6 x2 + y2 + z2 = 1 A. 3/5 B. 17/4
9.
Resolver:
10. Resolver:
C. 13/3 D. 11/7 x+y=8 (x + 5)(y + 3) = 60
C. 16 D. 6 x2 + xy – y2 = –19 x – y = –7
C. 2 D. 8
11. Se tiene S/. 1470 en billetes de S/. 20 y S/. 50. Si en total hay 42 billetes, ¿cuántos son de S/. 20? A. 21 B. 19
C. 15 D. 17
12. Entre pollos, patos y pavos un granjero tiene en total 75 aves. Si tuviera 12 pavos más, cuatro patos más y siete pollos menos, tendría la misma cantidad de aves de cada especie. El número de pollos que tiene es: A. 42 B. 33
130
C. 39 D. 35
C. 15 D. 17
14. En una familia, el padre gana 105 pesos por hora, y la madre 95 pesos. Después de haber trabajado ambos 25 días, el padre que ha trabajado en cuatro horas más por día que la madre ha recibido 11 750 pesos más que ella. ¿Cuántas horas diarias ha trabajado el padre? A. 12 B. 9
C. 8 D. 10
15. El precio de un radio es S/. 80. Si compro “n” radios me sobraría S/. 120. Si me rebajan la quinta parte en el precio de cada radio podría comprar (n + 5) radios y me sobraría S/. 56. Entonces la cantidad de dinero que tengo es: A. S/. 1400 B. 1500
C. 1600 D. 1700
16. Tres amigos se reparten S/. 550 de manera que lo recibido por Pedro es a lo de Raúl como 7 es a 3 y lo recibido por Juan es a lo de Pedro como 5 es a 2. ¿Cuánto más recibió Juan de lo que recibió Pedro y Raúl juntos? C. 130 D. 150
17. En una granja, por cada gallina hay tres pavos y por cada pavo hay cuatro patos. Si en total se han contado 160 patas de animales, ¿cuántos pavos hay? A. 30 B. 10
Indicar la suma de cifras de una raíz. A. 6 B. 9
A. S/. 18 B. 16
A. S/. 100 B. 120
Indicar la suma de los valores de “x”. A. 15 B. 13
13. Un panetón envuelto en bolsa de plástico y en caja de cartón, cuesta S/. 21. El panetón sin bolsa de plástico pero con caja cuesta S/.20. Si el panetón cuesta tres veces lo que cuesta la caja, ¿cuánto costará un panetón envuelto en bolsa únicamente?
C. 15 D. 20
18. Una sala tiene tres metros más de largo que de ancho. Si el largo fuese tres metros más de lo que es y el ancho fuese dos metros menos, la superficie del piso sería la misma. Halle el área de dicha superficie. A. 150 m2 B. 180
C. 160 D. 170
19. Dos obreros trabajan juntos ganando diariamente, uno de ellos, dos nuevos soles más que el otro. Después de igual número de días de trabajo reciben 240 y 210 nuevos soles respectivamente. ¿Cuánto gana diariamente el que recibe mayor suma de dinero? A. S/. 12 B. 14
C. 16 D. 18
20. Elena repartió sus ahorros entre 15 mendigos. ¿Cuál es la mínima cantidad de dinero que pudo haber aumentado a lo que repartió para que cada mendigo hubiese recibido exactamente S/. 10 más de lo que recibió? A. S/.120 B. 140
C. 150 D. 130
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 25
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Desigualdad e inecuaciones 8.
Problemas para la clase 1.
12x – 8 2x – 3 6x – 8 8x – 4 + > + 3 4 3 6
Si: A =]– ∞; 1[
B =]– 4; 8]
C =]5; 16]
hallar: (A ∪ B)' – C A. ]16; + ∞[ B. [16; + ∞[ 2.
C. ]– ∞; 5] D. ]– ∞; 5[
Si: A =]– ∞; 2[
B = [– 2; 7[
hallar: A – B A. ]– 2; + ∞[ B. ]– ∞; – 2[ 3.
C. ]– ∞; – 2] D.
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1 1 > x y 2 II. Si: x < 0 ⇒ x > x3 III. Si: x ∈ – ⇒ x > x – 1 I.
C. V F V D. V F F
En el conjunto de los números reales tenemos: I. II.
Si: x < y ⇒ x + z < y + z Si: x < 0 ⇒ – x > 0 x+y <0 III. Si: x > 0 ∧ y > 0 ⇒ x
5.
6.
7.
C. I y II D. Todas
C. x ≤ 1 D. x ≥ 1
Hallar el menor valor entero de “y” si: A. 1 B. 2
x = 4y + 2x x–3
C. 3 D. 4
Hallar el mayor valor entero que satisface: x–1 x–2 x–3 x–4 + ≤ + 2 3 4 5 A. 2 B. 1
Trilce Católica
Resolver: 2x + 4 ≤ 3x + 6 ≤ 5x – 10 A. [– 2; + ∞[ B. [– 8; + ∞[
C. [8; + ∞[ D. f
10. Resolver: 3x + 4 ≤ 2x + 8 ≤ 2x + 6 A. B. ]– ∞; 4[
C. ]4; + ∞[ D. f
11. Resolver: 2 ≤ 5 – 3x < 11 A. ]– ∞; 2[ B. ]– 2; + ∞[
C. ]– 2; 1] D. [– 2; 1]
4x – 5 < x + 3.......................................... (I) 7 3x + 8 > 2x – 5........................................ (II) 4 es: A. – 21 B. – 36
M={x∈
3(x + 4) + x > 2(x + 1) Resolver: 4 A. x < 1 B. x > 1
9.
C. 6 D. 8
C. 0 D. – 1
C. – 18 D. – 30
13. Dado los conjuntos:
Son verdaderas: A. Solo I B. Solo II
A. 2 B. 4
12. La suma de todos los enteros “x” que satisfacen el sistema:
Si: x < y ⇒
A. V V V B. F V V 4.
Cuál es el menor número par que verifica:
N={x∈
1 1 ≥ – 3x + } 4 3 x 1 / + 2x ≤ x – } 3 2 /–x+
Hallar: M – N A. f
C.
B.
D.
3 4 8; 27 1 ;+∞ 24
–
14. Hallar un número de dos cifras, si se sabe que la suma de ellas es mayor que nueve y que la diferencia entre la cifra de las decenas y el duplo de la que ocupa el lugar de las unidades es mayor que seis. A. 19 B. 91
C. 81 D. 41
15. Un comerciante vendió en un año la tercera parte del total de artículos que tenía; al año siguiente vendió la quinta parte de los que inicialmente tenía y cinco más, y al año siguiente, vendió la cuarta parte de lo que tenía inicialmente y tres más. En el primer año vendió menos
131
Ciclo
Católica artículos que en el segundo año y más que el tercero. ¿Cuántos artículos tenía? A. 51 B. 37
C. 29 D. 33
A. [0; 64] B. [0; 69]
16. Un escolar encola de nuevo todos sus sellos en otro álbum similar. Si pega 20 sellos en cada hoja, entonces no le alcanza el álbum, si pega 23 sellos, le sobrará por lo menos una hoja vacía y si al escolar se le regala igual álbum con 21 sellos en cada hoja, el escolar tendrá 500 sellos. ¿Cuántas hojas tiene el álbum? A. 15 B. 14
C. 120 D. 164
C. 147 D. 141
19. Si el producto de dos números positivos y diferentes es uno, la suma de ellos es: A. B. C. D.
Siempre menor que 10. Siempre mayor que 2. En algunos casos menor que 1. En algún caso igual a 2.
2 A. [ ; 3〉 3 2 B. 〈 ; 3] 3
x+2 x–2
5 C. 〈 ; 3] 3 4 D. 〈 ; 3] 3
22. Si: (2x – 1) ∈ [– 5; 7〉, entonces, ¿a qué intervalo pertenece “x”? A. x ∈ [– 2; 4] B. x ∈ 〈– 2; 4]
C. x ∈ [– 2; 4〉 D. x ∈ [– 4; 2〉
23. Si: x ∈]2; 4[y luego (
1 ), ¿a qué intervalo pertenece? 2x + 3
A. B.
132
1 1 ; 11 7 1 1 ; 5 3
C. D.
1 1 ; 2 6 1 3 ; 12 4
–
: x2 + x – 8 ≥ x – x2 – 10 el conjunto
27. En
C. f D.
se define la operación: a * b =
a–b 2
(x – 1) * 2 ≤ (3 * x) * A. [2; 8] B. [2; 3]
1 ≤ (1 + 2x) * 5 2 C. [2/3; 8/3] D. [2; 8/3]
28. La tercera parte de cierto número entero disminuido en 3 es mayor que 25; pero la cuarta parte del mismo número disminuida en 2 es menor que 24. Dar como respuesta el producto de cifras del número si este número es múltiplo de 12. C. 54 D. 45
29. Si a un número de dos cifras se le resta el que resulta de invertir sus cifras se obtiene otro mayor que 71. Si la suma de cifras es mayor que 9, ¿cuántos divisores positivos admite dicho número?
C. 7 D. 14
21. Si: (x + 1) ∈ [5; 9〉, hallar el intervalo para:
C. 〈– 2; 3〉 D.
A. {– 8; 4} B. [– 8; 4]
A. 8 B. 40
7 ∈ ]m; n[, hallar “m . n” 20. Si: x ∈ ]2; 8[ ∧ x–1 A. 1 B. 2
A. [– 2; 3] B. 〈2; 3〉
según ello halle el conjunto solución de:
18. Un carpintero hizo un cierto número de mesas. Vende 70 y le quedan por vender más de la mitad. Hace después 6 mesas y vende 36, quedándose menos de 42 mesas por vender. ¿Cuántas mesas hizo? A. 145 B. 157
C. [– 5; 64] D. [0; 64〉
25. Entre que límites debe variar “m” para que la inecuación: x2 + 2mx + m > – 6, se verifique para cualquier valor de “x”.
26. Al resolver en solución es:
C. 18 D. 12
17. La edad en años de una tortuga es mayor en 20 que el cuadrado de un número “N”; y menor en 5 que el cuadrado del número siguiente a “N”. ¿Cuántos años tiene la tortuga? A. 276 B. 245
24. Dada la expresión: K = a2 + 5. ¿Entre qué valores varía “K” si: a ∈ 〈– 3; 8]?
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
30. Un padre dispone de 320 nuevos soles para ir a un evento deportivo con sus hijos. Si toma entradas de 50 nuevos soles le falta dinero y si las toma de 40 nuevos soles le sobra dinero. ¿Cuántos hijos tiene el padre? A. 5 B. 7
C. 6 D. 4
31. Los lados de un rectángulo se diferencian en tres unidades, indicar el intervalo de valores para el menor de los lados de modo que el área sea numéricamente menor que el perímetro. A. 〈– 2; 3〉 B. 〈– 1; 3〉
C. 〈0; 3〉 D. 〈0; 2〉
32. Resolver: (x – 3)2 ≤ 16. Indicar un intervalo solución. A. – 1 ≤ x ≤ 7 B. – 2 ≤ x ≤ 2
C. 1 ≤ x ≤ 8 D. – 4 ≤ x ≤ 2
Trilce Católica
Álgebra 33. Resolver: (x – 2)(x + 1)(x – 3) > (x – 1)(x + 2)(x + 4) Se obtiene como conjunto solución: x ∈〈a; b〉. Indicar: “a + b”. A. 2/3 B. 1/9
C. – 1/9 D. 1/3
El conjunto solución es de la forma: 〈a; b〉. Hallar:
b a
36. Señalar cuál(es) de las inecuaciones siguientes se verifica ∀ x ∈ : I. x2 + 2x + 5 > 0 II. – x2 + 3x – 3 > 0 III. x2 – 2x + 1 > 0 C. Solo III D. I y II
37. Resolver: (x2 – x – 12)(x + 6) < 0. Indicar un intervalo solución. A. 〈– 6; 3〉 B. 〈– 6; – 3〉
C. 〈– 3; 4〉 D. 〈– 3; + ∞〉
38. Resolver: x4 – 17x + 16 > 0. Indicar un intervalo solución. 〈– ∞; – 4〉 〈– 1; 1〉 〈– ∞; 1〉 Más de una es correcta
C. – 1 D. 1
40. Resolver: (x + 1)(x + 2)(x + 3) ≤ (x + 2)(x + 3)(x + 4). Indique el conjunto no solución. x ∈ [– 3; – 2] x ∈ 〈– 3; – 2〉 x ∈ [– 3; – 2〉 x ∈ 〈– ∞; – 3] ∪ [– 2; + ∞〉 x+5 ≥0 x–3
x ∈〈– ∞; – 5] ∪ [3; + ∞〉 x ∈〈– ∞; – 5] ∪ 〈3; + ∞〉 x ∈〈– ∞; – 5〉 ∪ [3; + ∞〉 x ∈〈– ∞; – 5〉 ∪ 〈3; + ∞〉
Trilce Católica
C. 2 D. 7/9
45. Hallar el conjunto solución de: (x + 1)7(x – 2)5(x – 3)3(x2 + 1) <0 (x + 7)9.(x + 5)
A. – 4 B. – 5
C. – 6 D. – 8
46. Resolver: (x – 1)9(x + 1)11(x + 2)2 < (x – 1)10(x + 1)10(x + 2)2 Señalar la suma de valores enteros negativos que no verifican. A. – 3 B. – 2
C. 0 D. 2 1 1 1 1 + ≥ + x+3 x x–2 x
Señalar el número de valores enteros que verifica.
2)2(x3
A. – 2 B. 2
A. B. C. D.
A. 9/7 B. 18/7
47. Resolver:
39. Al resolver: – 1)(x – + 1) ≥ 0, se obtiene como solución: x ∈ [a; + ∞〉 ∪ { – a}. Señalar “a”.
41. Resolver:
El conjunto solución es de la forma: [a; b〉. Hallar “ab”.
Dar como respuesta la suma de los extremos finitos de los intervalos solución.
A. Solo I B. Solo II
A. B. C. D.
C. 〈– 3; – 2〉 D. 〈– ∞; – 3〉
x2 + 1 44. Al resolver la desigualdad: x – 2 ≤ x – 5
C. 2 D. – 2
(x4
(x2 – 1)(x2 – 4) ≥0 x2 + 3x
A. 〈1; 2〉 B. [– 1; 0]
x+3 >2 35. Al resolver la desigualdad: 2 x +1
A. B. C. D.
C. x ∈ 〈0; + ∞〉 D. x ∈
Indicar un intervalo solución.
x ∈ 〈– 2; 2〉 x ∈ 〈– 2 – 1; – 2 + 1〉 x ∈ 〈1 – 2; 1 + 2〉 x ∈ 〈– 2 – 1; 2 – 1〉
A. 1 B. – 1
x2 4 > –2 x+2 x+2
A. x ∈ 〈– 2; 0〉 B. x ∈ 〈0; 2〉 43. Resolver:
34. Resolver: (x2 + x + 1)(x2 + 2x – 1) < 0 A. B. C. D.
42. Resolver:
A. 1 B. 2 48. Resolver:
C. 3 D. 4 2 3 2 3 + ≥ + x–2 x–3 x+2 x–3
Indicar el menor valor entero positivo que verifica. A. 2 B. 3 49. Sabiendo que: a ∈
C. 4 D. 5 +
∧b∈
–;
luego de resolver:
b – x ax x + b + +
C. b D. a
133
Ciclo
Católica
50. Considerando que: a ∈ – ∧ b ∈ valor entero que satisface:
+; proporcione el mayor
8.
a x b x a+b 1+ + 1– < b a a b b A. a – 1 B. b – 1
C. a + 1 D. b + 1
La suma de los valores enteros de “x” que satisfacen el sistema: 13x – 5 3x – 8 2x + 7 + > + 1............................. (I) 2 5 3 3x – 1 x+1 x –1< – ................................... (II) 5 2 7 A. 5 B. 9
2.
3.
Si:
C. – 15 D. – 6
Si la inecuación: x2 – mx + n < 0; presenta como conjunto solución: x ∈〈3; 5〉, calcular “(2m + n)”. A. 23 B. 18
7.
C. 10 D. 8
1 1 1 ∈ ; entonces: x ∈ [m; n]. Halle: m.n 12 6 2x + 8
A. – 8 B. – 2 6.
C. 3 D. 5
Se desea saber el menor número de postulantes que rinden un examen conociendo que su doble disminuido en 23 no llega a 95 y que al retirarse 13 quedaron más de las tres cuartas partes del número inicial, siendo estos últimos los que ingresaron. Indicar la suma de cifras del número. A. 7 B. 11
5.
C. 1800 D. 1200
Entre Pedro y Luis tienen menos de ocho hijos. Luis tiene más hijos que Ramón y aunque Pedro tuviera tres hijos menos, seguiría teniendo más hijos que Ramón. ¿Cuántos hijos tiene Ramón? A. 2 B. 1
4.
C. 14 D. 20
Se tiene cierta cantidad de vasos cuyo costo total fue de S/.9200. Si se vendiera cada uno a S/. 400, se produciría cierta pérdida, pero si se vendiera a S/. 420 cada uno, se produciría cierta ganancia. ¿Cuánto se ganaría, si se vendiera a S/. 500 cada uno? A. S/. 1000 B. 800
C. 31 D. 15
Resolver: (x – 3)3(x2 – 1)2(x – 1)5x(x – 10)6 > 0 3 5 B. x ∈ 〈0; 1〉 ∪ 〈3; + ∞〉 C. x ∈ 〈– 1; 0〉 ∪ 〈1; 3〉 D. x ∈ 〈0; 1〉 ∪ 〈3; + ∞〉 – {10} A. x ∈ 〈– ∞; 1〉 ∪ 2;
134
A. 1 B. 2 9.
C. 3 D. 4
Calcular la variación de “m”, si la ecuación: x2 – 2(m – 1)x + 4m – 7 = 0, tiene raíces reales.
Tarea domiciliaria 1.
El menor número natural par “x” que verifica la inecuación: (x – 4)(x + 2)(x – 5) ≤ 0; es: (x + 6)(3 – x)
A. ]– ∞; 2] ∪ [4; + ∞[ B. ]– ∞; 2[∪]4; + ∞[
C. [2; 4] D. [4; + ∞[
10. Una persona dispone de cierta cantidad para premiar a sus sobrinos. Pensó darles 500 pesos a cada uno, pero le faltaban más de 200 pesos. Después pensó darles 450 pesos a cada uno y le sobraban más de 300 pesos. Por último decide darles 400 pesos a cada uno y le sobraban menos de 875 pesos. Hallar el número de pesos que tenía sabiendo que es múltiplo de 20. A. 5280 B. 5300
C. 5250 D. 5260
11. A un estudiante le dieron a vender una cierta cantidad de pollitos de los que vendió 35 y le quedaron más de la mitad, luego le devuelven 3 y vende después 18 con lo que le restan menos de 22 pollitos. ¿Cuántos pollitos le dieron? A. 69 B. 70
C. 71 D. 72
12. Resolver: – x2 – x + 2 < 0. Indicar el intervalo solución. A. B. C. D.
x ∈ 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈1; + ∞〉 x ∈ 〈– 2; 1〉 x ∈ 〈3; 4〉 x ∈ [– 2; 8]
13. Si la inecuación: x2 – mx + n < 0; presenta como conjunto solución: x ∈ 〈4; 7〉. Calcular: (2m + n) A. 53 B. 51 14. Resolver:
C. 50 D. 52 x2 – 1 x2 + 2 x2 + 3 > > 5 7 6
A. 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈– 2; + ∞〉 B. 〈– ∞; – 4〉 ∪ 〈4; + ∞〉
C. 〈– 4; – 2〉 ∪ 〈2; 4〉 D. 〈– 4; 4〉
15. Resolver: x5 > x A. 〈– ∞; – 1〉 ∪ 〈0; 1〉 B. 〈– 1; 0〉 ∪ 〈1; + ∞〉
C. 〈– ∞; 0〉 ∪ 〈1; + ∞〉 D. 〈– ∞; 1〉 ∪ 〈2; + ∞〉
9 16. Resolver: 2 ≥ 1 x A. B. C. D.
x ∈ [– 3; 3] x ∈ [– 3; 3] – {0} x ∈ [– 2; 2] – {0} x ∈ 〈– ∞; – 3] ∪ [3; + ∞〉
Trilce Católica
Álgebra 17. Resolver:
2 x + >2 3 x+3
20. Al resolver:
(– x + 7)(x2 – 3x)(– x2 + 2) ≥0 (x2 + 2x + 3)(x2 – 9)(x – 7)
Indicando la suma de valores enteros que la verifican.
su solución es de la forma:
A. – 45 B. – 50
〈– ∞; a〉 ∪ [b; 0] ∪ [c; + ∞〉 – {d; e}
C. – 55 D. – 60
18. Resolver: x6(x6 – 1) ≤ 0. Indicar cuántos valores enteros la verifican. A. 1 B. 2 19. Al resolver:
C. 3 D. 4
Hallar “a + b + c + d + e” A. 7 B. 10
C. 13 D. 12
– x2 – x + 42 >0 – x2 – 3x + 28
Indique el número de valores enteros que no la verifican. A. 1 B. 2
Trilce Católica
C. 4 D. 5
135
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 26
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Funciones I: NOTACIÓN FUNCIONAL 9.
Problemas para la clase 1.
Si: f(x) =
(2x + 1)2 – 1 ; hallar: f(1) + f(0) 8
A. 1 B. 0 2.
C. – 1 D. – 2
Si: f(x) = 4x + 2; H(x) = x2 – 1; hallar: f(H(1)) A. 3 B. 2
3.
C. 1 D. 0
Si: f(x + 1) = mx – 2 f(1) + f(2) – f(– 1) = 7
4.
7.
Si: A = {x ∈
f(1) . f(0) f(2)
C. 3/5 D. 3/4 f(x + 1) = 3x – 1 g(x – 1) = 2x + 1
hallar (m + n + q)/p C. 0 D. 2
8.
C. 6 D. 8
Si: f(x) = x2 – 2ax + m f(a – b) = 0
x
f(x)
2 4 6 10
12 22 32 52
Se cumple: I. f(2) + f(3) = 29 II. f(f(2)) = 61 III. f(x) = 5x + 2 A. Solo I B. I y II 13. Si: f(x) =
/ f(x) ≤ g(x)}, halla “n(A)”
A. 4 B. 5
C. 6a + 9 D. 2a + 3
12. De:
C. 3 D. 4
A. 7/3 B. 3/7
C. I y II D. II y III
A. 6a + 3 B. 2a + 1
Si: f(x) = 2x + 7 f(m + f(m)) = 39
Si: f(2 – x) = 4x – 7 halla:
halla “f(5) + f(– 3)” A. 18 B. 8
Trilce Católica
C. 13 D. – 8
14. Dada la función: f(x) =
C. a2 – b2 D.
C. I y III D. Solo II
x + 3; x ≥ 1 2 x – 2; x < 1
halla “m”. 1 A. a+b 1 B. a–b
III. h(x) = 8x
x
f –f 10. Dada la función: f(x) = x2 – 2x + 3 halla: E = (a + 3) (a) f(0)
halla “m”.
6.
f(x) =
A. Solo I B. Solo II
C. 5 D. 6
A. 1 B. 2
II.
A. – 1 B. 1
Si: f(x) = mx + n; con m, n ∈ f(f(x)) = 4x + 9 halla “m + n”
5.
f(x) = – x4
g = {(0, 2m – n), (0, n), (3, 5p), (0, 2 – n), (3, – 10 – 5p), (12; 3 – q), (12; 9 + 2q)}
C. 8 D. 10
A. 3 B. 4
I.
11. Si “g” es función; donde:
halla: f(5) A. 4 B. 6
Se define “f(x)” como función par, si se cumple que: f(– x) = f(x), para todo “x”. Según esto son funciones pares:
a+b a–b
halla el valor de: E = A. – 5 B. – 3
x + 3; si "x" es natural. 2x; si "x" no es natural.
f(0) + f(3/2) f(– 1)
C. 0 D. 3
137
Ciclo
Católica
15. Si: f(x) =
Hallar:
22. Sea: F = {(x,y) / y = 2x – 1} y además: DF = {– 5; 2; 3; 4} hallar el rango de “F”.
x + 7; x < 3 0; 3 ≤ x < 10 2x; x ≥ 10
A. {– 4; – 1; 2; 3} B. {– 4; 1; 2; 3}
f(0) + f(5) – f(11) f(– 2)
A. 3 B. – 3
23. Calcular “n” de la función: F = {(4; 25), (5; 4), (4; n2), (n; 6)} C. 1 D. – 1
2 + x ; – 1 ≤ x < 4 x – 6; 4≤x<8 3; 8 ≤ x ≤ 100
16. Sea: g(x) =
g(– 1) + g(2) + g(7)
Hallar: M =
g(98) + g(99) + g(100)
A. 1 B. 9/4
C. 4/9 D. 7/6
17. Si: f(x) = 3x2 – 6x + 4 p(x) = 2x2 T = {a ∈
A. 3 B. 4
C. 5 D. – 5
24. Sea la función: f(x) = x2 + x + 5 Si el par ordenado: (– 1; m) pertenece a “f”, calcular “m”. A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
25. Hallar “a + b” si el siguiente conjunto representa una función: A = {(2; 5), (– 1; – 3), (2; 2a – b), (0; 9), (– 1; b – a)}
/ f(a) = p(a + 1) – 7}
hallar “n(T)” A. 0 B. 4
C. {– 11; 3; 5; 7} D. {– 9; 5; 7}
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
26. Sea la función: f = {(3; 5), (6; b), (3; a), (a – b; a + b), (6; 1)} C. 1 D. 2
18. Si “f” es una función cuyo rango es un conjunto unitario: f = {(a + b; b), (ab; a – b), (a; 1), (3b, a – 1)}
Hallar: f(4) A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
27. Sea: A = {2; 4; 6; 8}, B = {10; 11; 12; 13}
halla la suma de los elementos del dominio de “f”.
se define la función: f = {(x; y) ∈ A × B / y = f (x) = x + 5}
A. 2 B. 3
Indicar la suma de los elementos del “Rf”.
C. 4 D. 5
19. Si: N + = {1; 2; 3; 4; ...}
P = {1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; ..} (Sucesión de Fibonacci)
f:
+⇒
P; f(n): # de la sucesión que ocupa el lugar “n”.
Indique lo correcto: A. f(5) = f(3) + f(2) B. f(f(1)) = 2
C. f(f(5)) = 5 D. f(7) = f(6) + f(5)
20. Se define la función “f” en A = {2; 4; 6} donde: f = {(2; 6), (4; m + 3), (n – 1;6), (4;4)}
C. 7 D. 8
21. Si: F = {(5; 3), (8; a + 4b), (8; 3), (5; 2a – 3b)} b representa una función, el valor de: , es: a A. 4 B. 2
138
C. 40 D. 24
28. Si: G = {(6; 4), (3; 6), (3; |x|), (x; 5)} representa una función, su rango y dominio son en ese orden respectivamente: A. {6; – 6; 5}, {3; 6} B. {3; 6; – 6}, {3; – 6}
C. {4; 6; 5}, {3; 6; – 6} D. {4; 6; 5; – 6}, {3; 6; – 6}
29. Calcular (a + b) de la función: f = {(a; ab), (2b; ba), (a; aa – b)} A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
30. Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente función: F = {(2; 5), (– 1; – 3), (2; 2a – b), (– 1; b – a), (a + b2; a)}
Luego “m .n” es: A. 5 B. 6
A. 16 B. 18
C. 1/4 D. 1/7
A. 6 B. 5 31. Dado: f:
C. 4 D. 8 +→
+/y=x+2∧x<5
Cuál es el número de elementos del conjunto “A”, si: A = Dom(f) ∩ Ran(f) A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
Trilce Católica
Álgebra 32. Si: F = {(2; a + 3), (2; 2a – 1), (4; b + 3), (a; 3b – 1)} es función, calcular “ab” A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
Calcular la suma de los elementos del “DF”. A. 3 B. 5
A. 1 B. 2
3
(2; 0)
A. Solo I B. Solo II
III. (3; 2)
C. Solo III D. Todos
36. Sea la función: F(x) = ax + b la cual contiene los pares ordenados: (– 2; 1), (– 5; 2) y (– 1; m). Calcular: m + F(0) A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
37. Dada la función: F(x) = ax + b; donde: F(4) = 5; F(3) = 2F(1) entonces podemos afirmar: A. F(0) = 2 B. F(0) = 1
G
1 2
A
b
A. 1 B. 2
a
2
4
C
C. 3 D. 6
41. Si: R(x) = 3x – 2x; S(x) = 4; T(x) = R(x) / S(x), son correctas:
35. ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenecen a la función: “f(x) = ax + b”, que contiene a los puntos: (2; 3) y (3; 5)? II.
2
a 1
C. 3 D. 4
(1; 1)
3
F
C. 8 D. 13
34. Señale el número de elementos del rango de la función: F(x) = x2 – 1, siendo: x = {– 2; – 1; 1; 2}
C. F(1) = 3 D. F(1) = 4
I. R(2) = 5 II. S(1) = S(2) = S(3) = 4 III. T(4) = 75/4 A. Solo I B. I y II
C. Solo III D. II y III
42. Dada la función: g(x) = nx2 + m, se conocen las coordenadas: (1; 8), (3; 16). Dar el valor de: (m + n)/4n A. 7 B. 8 43. Si: f(x) = 2x – 5 hallar:
C. 2 D. 4 F(bx + h) – F(bx)
A. h B. 1
2h
C. 2 D. bh
44. Si f(x) = 1 – x; ¿cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. f(f(f(f(f(f(5)))))) = 5 II. f(f(f(4))) = – 3 III. f(1 – x) = f(x)
38. Sea: A = {2; 4; 6; 8}
A. Solo I B. Solo III
B = {10; 11; 12; 13} Se define la función: F = {(x; y) ∈ A x B / y = F(x) = x + 5} Indicar la suma de los elementos del “RF”. A. 16 B. 18
C. 40 D. 24
39. Dada la función: F: A → B
A 3 a
C. I y II D. I y III
45. Si: g(x) = 3x – 2, hallar: g(g(0)) + [g(2)]2 – g(– 1) A. 3 B. 7
C. 9 D. 13
46. Sea “f” una función definida en
por la regla de corres3
pondencia: f(x + 3) = x + 7. Hallar: f 2
Calcular la suma de los elementos del dominio
Trilce Católica
B
4
F = {(3; a2), (3; 1), (5; 4), (5; a + b), (b; 4)}
A. 1 B. 2
Calcular: G(F(1)) + F(G(2)) B
33. Sea la función “F”; tal que:
I.
40. Dadas las funciones: F: A → B; G: C → D
F
B a –1 1 3–a C. 3 D. 5
A. B.
17 2 11 2
15 2 13 D. 2 C.
47. Si: F((2x + 3) / 5) = 8x – 2, hallar: A. 1/x2 B. 20/3
F(x2 + 3h) – F(3h) 3x2
C. 20 / x2 D. 3h/20
139
Ciclo
Católica
48. Si la gráfica siguiente representa a una función, c > 0 hallar:
6.
(a + b + c) (a + c)2
A. 3 B. – 3 b – 2a 3a 12 3c2 + 9
a c
A. 0 B. 10
C. 1 D. 5
7.
hallar: G(F(3)) C. 3 D. 4 →
definida por: f(x) =
2n + 8; si: n ≤ 8 n + f(n – 8); si: n > 8
8.
C. 3 D. 9
Determine: R = f(1) + f(f(1)) + f(f(f(1))) A. 9 B. 7 10. Si: f(x) = g(x) =
C. 3 D. 5 x2; 2x;
si: x ≥ 0 si: x < 0
3x + 1; si: x > – 2 1 – x; si: x ≤ – 2
A. 16 B. 14
Indicar cuál(es) representa(n) una función: A = {(2; 3), (3; 3), (4; 1), (5; 6)} B = {(1; 2), (7; 3), (4; 3), (1; 5)} C = {(2; 2), (3; 3), (4; 4)} D = {(0; 1), (2; 5), (0; 3), (5; 2)} C. II y III D. I y III
Si: f(x) = 3x + 4, hallar “z” en: f(5z) – f(z – 1) = 15 C. 2 D. 3
Si f(2x – 5) = 1 – x; halla: f(3) + f(1) A. – 7 B. – 5
C. – 3 D. 1
Calcular “a” de la función: F = {(3; a – 4), (5; 7), (3; 7)} A. 3 B. 7
5.
Dada la función: f = {(1; 1), (2; 3), (3; 5)}
hallar: f(g(– 2)) + g(f(– 3)).
A. 0 B. 1
4.
9.
C. 27 D. 16
A. 5 B. 4
A. Solo I B. Solo II
3.
Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente función: f = {(1; 2a), (2; 7), (5; 1), (1; 3a – 5), (7, 9)}
I. II. III. IV.
2.
C. 18 D. 20
Calcular: f(1994). Indique la cifra de las centenas.
Tarea domiciliaria 1.
Señale la suma de elementos del rango de la función: g(x) = 3x – 2; x = {1; 2; 3}
A. 22 B. 15
Además: F(2) + 1 = F(1) = 4 4G(x) = F(x) – x G(x)
A. 1 B. 2
C. 9 D. 6
A. 6 B. 12
49. Si: F(x + 1) = F(x) + F(x – 1)
50. Sea: f:
A partir de: F = {(5; 2), (4; 1), (3; 8), (7; – 6)} hallar: M = F(4) + F(5) – F(7)
C. 11 D. 13
Calcular el rango de la función: F = {(2; 4), (5; a + 2), (2; a – 3)} A. {4} B. {4; 9}
140
C. {2; 5} D. {5}
C. 12 D. 18
11. Dadas las funciones: F = {(4; 3), (2; 7), (3; 6)} G = {(1; 2), (2; 3), (3; – 4)} Calcular “F[G(2)]”. A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
12. Si: F = {(1; 1 – a), (1; a – 1), (a; b), (b; a)} es función, calcular “a + b” A. – 2 B. – 1
C. 0 D. 1
13. Sea la función “F”, tal que: F = {(5; a2), (4; 8), (5; 9), (b; 3), (4; a + b)} Calcular la suma de los elementos del “DF”. A. 4 B. 9
C. 14 D. 20
14. Señale la suma de los elementos del rango de la función: F(x) = x + 5, siendo: x = {1; 2; 6} A. 24 B. 18
C. 14 D. 10
Trilce Católica
Álgebra 15. ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenecen a la función lineal, que contienen a los puntos (0; 2) y (3; 7)? I.
(1; 1)
II.
A. Solo I B. Solo II
(2; 4)
19. Dada la función: F: A → B, calcular: B
III. (– 2; 8)
4 3
C. NInguno D. Todos
2 1
16. Sea la función: F(x) = ax – b la cual contiene los pares ordenados: (1; 3), (2; 4) y (– 1; m). Calcular: m – F(b) A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
17. Dada la función F(x) = ax + b donde: F(4) = 1; 2F(2) = 3F(3) entonces podemos afirmar: A. F(2) = 7 B. F(2) = 5
C. F(6) = – 1 D. F(7) = 2
A 2
A. 1 B. 2
3
4
5
C. 3 D. 4
20. Si: P(x – b) = b(x + 1) – a(x – 1) P(x) = ax Calcular: b A. – 3 B. – 3/2
18. Sea:
F(F(3)) + F(F(4)) F(F(5))
C. – 8 D. 2
A = {– 2; – 1; 0; 1; 2} B = {0; 1; 2; 3; 4} Se define la función: F = {(x, y) ∈ A x B / y = F(x) = x2}. Indicar la suma de los elementos del “RF”. A. 3 B. 4
Trilce Católica
C. 5 D. 6
141
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 27
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Funciones II: DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN 12. De la gráfica:
Problemas para la clase
y OO
De las preguntas, 1 a la 10, utiliza la gráfica de la función “f”. y
(2; 4)
4
1
(0; 3)
f
(–3; 0)
10
(6; 0) 0
(–6; –3)
–5
x (8; –2)
–3
Determina: f(0) y f(– 6)
2.
Determina: f(6) y f(11)
3.
¿Es f(2) positivo o negativo?
4.
¿Es f(8) positivo o negativo?
13. De la función: f(x) = 2x; x ∈ [4; 10], indique lo correcto:
C. I y III D. Todas
14. Hallar el dominio de: F(x) = – 3x + 6
¿Para qué números “x” se cumple que: f(x) = 0?
6.
¿Para qué números “x” se cumple que: f(x) > 0?
7.
¿Cuál es el dominio de “f”?
A. x ∈ B. x ∈
¿Cuál es el rango de “f”?
9.
¿Cuáles son las intersecciones con el eje “x”?
10. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje “y”? 11. Sea la gráfica:
– {6}
15. Hallar el dominio: F(x) = A. x ∈ B. x ∈
8.
– {3}
C. x ∈ – {3} D. x ∈ f 4x + 1 x–3 C. x ∈ f D. x ∈ – {2}
16. Hallar el dominio: F(x) = x2 – 4 A. x ∈ B. x ∈
– 〈– 2; 2〉
C. x ∈ [– 2; 2] D. x ∈ [– 4; 4]
17. Hallar el dominio de la función: F(x) = y
A. B. [1; + ∞〉
5
f
1 2
x2
1 –1
C. – [– 1; 1] D. 〈– ∞; – 1〉 ∪ 〈1; + ∞〉
x2 18. Hallar el rango de la función: F(x) = 2 x +1
3
4
x
A. [0; 1〉 B. [0; 2]
C. f(2) = 3 D. f(4) = 5
C. 〈– ∞; 0] D. 〈– 1; 1]
19. Si: D(F) = [2; 5], ¿cuál es el rango de dicha función? F(x) =
Indique lo incorrecto:
Trilce Católica
Dom(h) = ]1; + ∞[ Dom(h) = ]5; + ∞[ h(3) > h(2) Más de una es correcta.
A. I y II B. II y III
5.
A. Dom(f) = [– 3; 4] B. Ran(f) = [1; 5]
A. B. C. D.
I. Ran(f) = [8; 20] II. f(5) = 10 III. f(3) = 6
1.
–3
x
Indique lo correcto:
(11; 1) –5
h 5
7 2x – 3
A. [1; 5] B. [1; 7]
C. [2; 5] D. [3; 7]
143
Ciclo
Católica
20. Hallar el rango de la función definida por:
25. ∀ x ∈
H(x) = 2x2 + 3x + 2; ∀x ∈ A.
F(x) =
7 ;+∞ 8
C.
2x3 + ax2 + bx + 1 x2 + 1
Entonces la gráfica aproximada es:
D. 〈2; + ∞〉
B. 〈– 1; + ∞〉
21. Hallar el dominio de: F(x) = – x – A. 〈– ∞; 0] B. 〈0; + ∞〉
y
y
7 A.
C. 〈– 5; 5〉 D. 〈– 25; 0]
F
C.
y x
1 A. F(x) = x – 5 2 1 B. F(x) = x + 5 2
x
B.
D.
y
F 0
y = mx + b q>0 (m; 2m)
2m
x
q
1 C. F(x) = x – 10 2 8 D. F(x) = x – 5 5
0
m
x
A. 0 B. 3
23. Graficar: F(x) = (x + 2)2 – 4 y
C. 2 D. 4
27. Si: F(x) = C (es una función constante) sabiendo que: F(0) = 10; evaluar: F(9999)
y 4
A. 103 – 1 B. 102
–2
–2
x y
–4
C.
y
26. En el gráfico, hallar “m2”, sabiendo que: y = F(x) es una función lineal.
5
(– 8; 1)
x
x
x + 52
22. A partir de la gráfica mostrada de la función “F”, la regla de correspondencia de la función es:
A.
la función lineal “F” se define por:
x
C. 1000 D. 10
28. Dada la función: f(x) = (x + a)2 + b; cuya gráfica es:
y
y x
2 –1
4
x
–2
D.
B.
x
24. Si: b < 0; la gráfica de: F(x) = x2 + 2bx + b2 es: y
entonces “a + b” es: A. – 3 B. 3
y
29. Sea: f(x): → da en la figura:
C. – 1 D. 2 / f(x) = ax2 + bx + c; cuya gráfica se y
A.
x y
C.
x y 3
x B.
144
0
x D.
x
Hallar el conjunto solución: (x2 – 2x – 3) f(x) < 0 A. 〈– 3; 3〉 B. 〈– 1; 3〉
C. 〈– 1; 1〉 D. 〈– ∞; – 1〉
Trilce Católica
Álgebra 30. Se da el gráfico: y
38. Si: y = f(x); expresa el área de un rectángulo de base “x” cuya longitud del perímetro es “2a” (a > 0). Hallar el rango de “f”. (0; 6) (1; b)
a2 4 B. 〈0; a2]
A.
(a; 3) (2; 0)
0
(– 2; 0)
x
Calcular: Rf ∩ Rg C. 9 D. 3
A.
31. Sea “F” una función real definida por: F(x) = x2 – 4x – 1, si: x ∈ 〈– 2; 5〉. Determinar el rango de “F”. A. 〈– 5; 9〉 B. [– 5; 9〉
C. 〈4; 11〉 D. [– 5; 11〉
5 32. Encontrar el dominio de la función: F(x) = 3 x –x A. B.
– {0} – {0; 1}
33. Dada la función: F(x) = A. [0; 3〉 ∪ 〈3; + ∞〉 B. 〈0; + ∞〉 34. Dada la función: f(x) =
C. D.
– {– 1; 0; 1} – {1}
1 1 . Calcular su dominio. + x x–3 C. 〈0; 3] ∪ 〈4; + ∞〉 D. 〈0; 3〉 ∪ 〈3; + ∞〉
C. 2 D. 3
35. Dada la función: f(x) =
Si: t ∈
2x + 1; x ≥ 2 12x; x < 2
2 ; 1 , dar el valor de: F(3t) – F( t ) 3 2
A. 0 B. 1/2
C. D.
A. 〈0; 2〉 B. 〈0; 2]
x2 + 3 41. Hallar el rango de: g(x) = 2 x +6 A. y ∈
– {1}
C. y ∈
–
B. y ∈
– {0}
D. y ∈
1 ;1 2
x2 – 5x + 6 ; es [a; b〉 – {c}. Hallar: a + b + c 7x – x2 – 12
A. 5 B. 6
C. 7 D. 9
2x + 5 ; 3 ≤ x ≤ 5. Hallar su rango. 43. Sea: F(x) = x+3 C.
11 15 ; 6 8
D. [11; 15]
A. y ∈ [3; + ∞〉 B. y ∈ [0; 3]
C. y ∈ 〈1; 3〉 D. y ∈ – 〈– ∞; 3〉
45. Dada la función: f(x) =
f1; a ≤ x ≤ b f2; c < x ≤ d f 3; e < x < h
y 6 f3 –2–1
–1 + 4x2 – 1 es: x ∈ [– a; – b] ∪ [b; a] 3x – 7 – 8x2
Trilce Católica
1 1 ; 8 6
44. Hallar el rango de: H(x) = 2x2 – 4x + 5
x2
C. 2/3 D. 3/2
– {– 3}
42. Si el dominio de la función:
C. 1 D. 2
A. 1/2 B. 1
13 4 13 8
C. 〈0; 1/2〉 D. 〈0; 1/2]
37. Hallar “a + b”, si el dominio de la función: F(x) =
1 ; 3 2 ; 3
4 . Proporcionar: Df ∩ Rf 40. Dada la función: f(x) = 2 x +2
B.
C. 5 D. 4
36. Sea “F”, una función definida por: F(x) =
13 4 13 4
A. 〈3; 5〉
x+3+ 3–x x2 – 1
Indicar el número de valores enteros de su dominio. A. 7 B. 6
B.
2 ; 3 7 ; 8
F(x) =
x–2 . x+2
¿Cuál de los siguientes valores no pertenece al dominio de “f”? A. – 5 B. 1
0;
39. Dadas las funciones: f(x) = – x2 + 3x + 1 g(x) = 2x2 + 3x + 2
Calcular el valor de “a2b” A. 6 B. 12
a2 4 D. 〈0; a2〉 C.
0;
(2; 1) 1
f1 (– 4; – 4)
f2
5
x
–3
145
Ciclo
Católica Se puede afirmar que:
2.
Dada la gráfica de la función “f” y
I. El Dom(f1) = [– 4; – 2] II. El Ran(f2) = 〈– 1; 1] III. Dom(f3) ∩ Ran(f3) = 〈2; 5〉 A. Solo I B. I y II
f
C. II y III D. I y III
46. Del ejercicio anterior, hallar: E = A. 5/4 B. 3/2
f(– 4) + f(0) + f(1)
–2
3f(3)
C. – 5/4 D. 6
+ . Además: F(13) = 17
Determinar: E =
A. [– 2; 1] B. [– 2; 2〉 3.
a3 + b3 + c3 45k
A. 0 B. 2
4.
Hallar el rango de: F(x) =
– 4x 1 + x2
C. D.
– {– 1} – {– 1; 2/7}
C. 〈0; + ∞〉 D. 〈– ∞; 0〉
Hallar el rango de: F(x) = x2 – 10x + 28 A. [28; + ∞〉 B. [0; 28]
7x – 2 48. Calcular el dominio de: f(x) = 3 x + x2 + 9x + 9 A. [2/7, + ∞〉 B. [2/7; 1〉
C. 〈– 2; 10〉 D. [– 2; 10]
A. [– 2; 2] B. 〈– 1; 1〉
C. 4 D. 5
5.
C. [3; + ∞〉 D. [3; 6]
Hallar la Ley de correspondencia de la gráfica mostrada: y
x(x – 1) ; g(x) = x. Dar el valor (x – 1) de verdad de las siguientes proposiciones:
5
49. Dadas las funciones: f(x) =
C. FVF D. FFF
50. Si: f(x) = 9 – x 2 es una función cuyo dominio es: [– 4; – 2〉 ∪ 〈1; 3], determine su rango. A. [– 8, 7〉 B. 〈– 8; 7〉
6.
x y + =1 5 –3
A. 3x – 5y – 15 = 0
C.
3 B. y = x – 3 5
D. 3x + 5y + 15 = 0
La regla de correspondencia de la función cuya gráfica se muestra, es: y
C. [– 7, 8〉 D. 〈– 8; 7]
4 4
Tarea domiciliaria 1.
x
–3
I. f = g II. Ran(g) – Ran(f) = {– 1} III. Dom(g) – Dom(f) ≠ f A. FFV B. VVF
x
–1 –2
halle el Ran(f) ∩ Dom(F)
47. Si: F(x) = (a – 20)x3 + (b + 15)x2 + (c + 5)x + k2 + 1 es una función constante (a, b, c ∈ ) k∈
– 11 1
x
–3
Dada la gráfica de “f” 4 (x + 3)2 + 8 9 2 B. – (x + 3)2 + 8 9
y c 3
A. –
1 –2
x
7.
1 (x + 3)2 + 8 9 4 D. – (x + 3)2 + 8 3 C. –
La figura representa la gráfica de una función cuadrática con vértice en (3, 2). Hallar el valor de: E = m2 + n2
Si su rango es: 〈– ∞; a〉 ∪ 〈0; b〉 ∪ 〈5; + ∞〉, halle “c + b – a” A. 0 B. 4
146
C. 8 D. 10
Trilce Católica
Álgebra y (5; 6) m
n
A. 6 B. 10 8.
A. 〈2; 6] B. [2; 6]
x
y = F(x) = 3x + b
(0; 2) (m; n)
C. [1; 17〉 D. 〈1; 17〉
14. Calcular el rango de la siguiente función: f(x) = A. 〈– ∞; + ∞〉 B. [1; + ∞〉
C. [– 4; + ∞〉 D. 〈– ∞; – 4]
A. 〈4; 25] B. 〈5; 26]
3m 2 Hallar: n + 2
C. [– 5; – 2〉 D.
C. 1 D. 3000
A. [– 2; 4] B. 〈– ∞; 2]
C. [– 2; – 4] D. [2; 4]
17. Calcular el rango de: F(x) = A. y ∈ B. y ∈
10. Si: f(x) = 9x2 – ax + 1; tiene por gráfico:
x–5 x+6
– {– 6} – {1}
C. y ∈ D. y ∈
y f(x) x
18. Se define la función: f(x) = |x| =
– {– 1} – 〈– 5; 5〉
x; x ≥ 0 – x; x < 0
¿cuál sería la gráfica de la función: f(x) = |x + 5|?
y
y f
f Calcular “a” A. 3 B. 6
5
A. C. – 6 D. B ∨ C
11. Dada la ecuación cuadrática: f(x) = (x + a)2 + a encontrar el mínimo valor de “f”, para que 3 sea la imagen de 3. A. – 3 B. – 6
C. – 1 D. B y C
x+2
Si: x ∈ [2; 14]
Sea la función constante: F(x) = kx + m2 + 1, ∀ x ∈ m cuando (x = 30; F(x) = 10), m ∈ +. Calcular: 3
0
– 0
16. Determinar el rango de la función: F(x) =
C. – 2 D. 1
A. 0 B. 2
x–1–4
15. Hallar el rango de: F(x) = x2 – 6x + 10 si su dominio está dado por: x ∈ [– 2; 1〉
x
9.
C. 〈0; 6〉 D. [0; 6]
A. 〈– 3; 3〉 B. [1; 17]
En el gráfico:
A. – 1 B. 0
6–x
13. Dada la siguiente función: f(x) = x2 + 2x + 2; si: x ∈ 〈– 3; 3〉, indicar su rango.
C. 14 D. 18
y
x–2+
12. Indicar el dominio de la función: F(x) = + x
x y
C.
–5 y
5
–5 f
x
x
B. 19. Calcular el dominio de: f(x) =
x
D.
f
4–x 2x + 11 – 2 x –9
e indicar el número de valores enteros que tiene. A. 4 B. 5
Trilce Católica
C. 6 D. 8
147
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 28
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Funciones III: función lineal y cuadrática 5.
Problemas para la clase 1.
Dada la función: f(x) = (x + a)2 + b; cuya gráfica es: y
Hallar “g(20)” en: y g (x)
–4
–1
37º x
A. 14 B. 10 2.
2
C. 18 D. 19
y
A. – 3 B. 3 6.
–2 7.
2 3
C. –
B. – 2 3.
D.
4 3
4 3 8.
y = ax + b (2a; 4a)
2a A. 1 B. 2 4.
9.
C. I; II y IV D. II; III y IV
10. Si: f(x) = x2 – 6x + 5; indique lo correcto:
C. 4 D. 9
I. Ran(f) = [– 4; + ∞[ II. El punto (0; 6) ∈ f III. Su vértice es (3; – 4)
Si: f(x) = 16x2 – mx + 1; tiene por gráfico:
A. Solo I B. Solo II
y
C. I y III D. II y III
11. Determine el máximo valor de la función: f(x) = – x2 + 2x + 3
f(x) 0
C. [3; + ∞〉 D. [– 3; 3]
Si: f: → es tal que: f(x) = x2 – 4x + 3. ¿Por qué cuadrantes pasa la gráfica de “f”? A. I y IV B. I y II
x
C. [– 2; 8] D. [– 2; 8〉
Determine el rango de la función: f(x) = x2 + 3 A. [– 3; + ∞〉 B. 〈– ∞; 3]
y
C. (– 1; – 2) D. (1; 2)
Sea: h: A → 〈– 3; 7], h(x) = – x + 5. Hallar su dominio. A. [8; 12] B. 〈– 2; 8〉
En el gráfico, halla “a2”
4a
Hallar las coordenadas de vértice de la función:
A. (– 1; 2) B. (0; 2)
Calcular: ab A.
C. – 1 D. 2
f(x) = 2(x – 1)2 + 2
x
3
vértice
entonces “a + b” es:
Dada la función: F(x) = ax + b, siendo su gráfica:
0
x
x
A. – 1 B. 2
C. – 2 D. 4
12. Determine el máximo o mínimo valor de la función: Calcular “m”. A. 18 B. 8
Trilce Católica
f(x) = – x2 – 2x + 1 C. – 8 D. B ∨ C
A. fmáx = 2 B. fmín = 1
C. fmáx =1 D. fmín = 2
149
Ciclo
Católica
13. Sea una función “F” real definida por: F(x) = x2 – 8x + 13; si: x ∈ 〈– 1; 6〉
A. f(x) = – 2x + 1 B. f(x) = – x + 4
Hallar el rango. A. 〈– 3; 3〉 B. [– 3; 22〉
C. 〈– 3; 22〉 D. 〈– 8; 22]
14. Si: f(x) = 2x2 + 20x + 35, halla: Ran(f) A. ]– ∞; – 15] B. ]– ∞; – 15 [
C. [– 15; + ∞[ D. ]– 15; + ∞[
15. Si: f(x) = 2x + 3; g(x) = x + 1 y además se cumple que f(3) = g(m), halla “m”. A. 2 B. 3
C. 5 D. 8
16. En qué punto de la abscisa “x” se cortan las siguientes funciones: F(x) = mx + n G(x) = nx + m m, n ∈
+,
C. 1 D. 3
17. Hallar el área de la región formada por la función constante f: →→ , f(x) = 7 y la función lineal g: → , g(x) = 3x – 2 y el eje “y”. A. 9 u2
C.
B. 3
D.
27 9 9 2
18. Hallar el área formada por la funciones: P(x) = – 1 M(x) = – 3x + 5
A. 4 m2 B. 6
C. 8 D. 10
19. Hallar el área formada por los ejes coordenados y la función: y = – 2x + 6 A. 3 m2 B. 6
C. 9 D. 12
20. Hallar el área determinada por las funciones: H(x) = 3: F(x) = x – 2 y el eje de ordenadas. A. 10 m2 B. 12,5
C. 15 D. 20
21. Si: f(x) = x2 + k y f(0) = – 2; halla las coordenadas del vértice en la gráfica de “f”. A. (0; 2) B. (0; – 2) C. (– 2; 0)
150
A. ]– 7; + ∞[ B. ]– ∞; 7]
D. (0; 0)
C. ]– ∞; 7[ D. ]7; + ∞[
24. Dadas las funciones: f(x) = 3x – 2; x ∈ [0; 2] g(x) = 1 – x; x ∈]2; 5] halla Ran(f) ∩ Ran(g) A. B. [– 4; 4]
C. f D. [– 2; – 1[
25. Sea f: Z → Z una función definida por la ecuación f(x) = ax2 + bx + c. Halla “f(2)”, si: f(0) = 0; f(– 1) = – 3 y f(1) = – 1. C. 4 D. – 4
26. Si: x ∈ [1; 3〉, ¿cuál es el rango de la función: f(x) = A. 〈1; 7〉 B. 〈1; 7]
7 ? 3x – 2
C. 〈– 7; 1〉 D. 〈– 7; 1]
27. Si: F(x) = 2x + 5 y Df: x ∈ [– 2; 3] determine el rango de “f”. A. [1; 11] B. [– 2; 10]
C. [2; 12] D. [0; 9〉
28. Dada la función cuadrática: f(x) = ax2 + 4ax + 7, si el vértice es (h; – 5), halla “h + a”. A. 1 B. – 1
y el eje de ordenadas.
C. f(x) = – x + 5 D. f(x) = – 3x – 4
23. Si: f(x) = – x2 + 7; halla Dom (f) – Ran (f).
A. 6 B. – 6
m≠n
A. 0 B. 2
22. Encuentra una función lineal: f(x) = ax + b, tal que: f(2) = 3; f(3) = 2f(4).
C. 0 D. 2
29. Si “f” es una función cuadrática definida por: f(x) = x2 + 1; con – 1 ≤ x ≤ 2; halla “Ran(f)”. A. ]– ∞; 5] B. [1; 5]
C. [2; 5] D. [0; 5]
30. La gráfica de la función: f(x) = 2x + 6; no pasa por el: A. III cuadrante B. IV cuadrante
C. III y IV cuadrante D. I y III cuadrante
31. ¿Por qué cuadrantes no pasa la gráfica de la función f(x) = (x – 7)2 + 3? A. I B. II
C. III y IV D. I y IV
17 2 17 51 x – x + ; halla la suma 16 8 16 de todos los valores naturales del rango de “f”.
32. Dada la función: f(x) = –
A. 15 B. 10
C. 6 D. 3
Trilce Católica
Álgebra 33. Encuentra la regla de correspondencia de la función lineal afín que pasa por los puntos: (– 2; 1) y (4; – 3). 2 1 A. y = – x – 3 3 1 5 B. y = – x + 3 3
1 5 C. y = – x + 3 3 1 5 D. y = x – 3 3
34. Determina los coeficientes “b” y “c” para que la parábola y = x2 + bx + c pase por los puntos de intersección de la recta: y = 3x – 6, con los ejes coordenados. A. b = – 1; c = 6 B. b = 1; c = – 6
41. Encontrar una recta que pasa por el origen de coordenadas y por la intersección de las rectas: L1: 3x + 2y – 14 = 0 y L2: x – 3y – 1 = 0 A. x = 3y B. x = 4y
C. x = 2y D. x = – 2y
42. Dada la función: f(x) =
C. b = – 1; c = – 6 D. b = 1; c = 6
y
35. Hallar el área de la recta que pasa por el punto (1; 1) y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 2. A. x + y = 1 B. x – y = 2
x – 1; x > c –3x + 1; x ≤ c
c
C. x + y = 2 D. y = x + 2
b
x
b
36. Hallar el valor o valores de “k” para que las rectas de ecuación: Halla “a + b + c”.
L1: 2y – kx – 3 = 0 y L2: (k + 1)y – 4x + 2 = 0 sean perpendiculares. A. 1 B. – 1/3
C. 2/3 D. – 2/3
37. Hallar la ecuación de la recta “L” que pasa por el punto “P0(1; 7)” y es paralela a la recta L1: 8x + 5y + 40 = 0 A. 8x = 5y + 43 B. 8x + 5y – 43 = 0
C. 5x + 8y – 40 = 0 D. 5x = 8y + 40
38. Hallar la suma de los valores de “k” para que la recta k2x + (k + 1)y + 3 = 0; sea perpendicular a la recta: 3x – 2y – 11 = 0. A. 2 B. 1/3
C. 2/3 D. – 2/3
39. Hallar la pendiente de la recta que pasa por el punto “P(4; 6)”, de modo que su ordenada en el origen es el doble de su abscisa en el origen, siendo ambos positivos. A. 2 B. 1
C. 2/3 D. – 2/3
A. 1 B. 4/3
C. 3 D. – 2
43. Dadas las rectas: L1 y L2 I. II.
L1: pasa por los puntos (1; 5) y (– 2; 1) L2: 2ax – (a + 3)y = 5
Si: L1 es paralela a L2, hallar “a” C. 4 D. 6
A. 2 B. 3/2
44. De la pregunta anterior; hallar el valor de “a”, si L1 es perpendicular a L2. A. – 9/11 B. – 9/13
45. De las funciones es cierto que:
y
→
/g(x) = (210 – 39)x +
3
f
5 x
3
1–
y
y
h
40. Bosquejar la gráfica de: g:
C. 4/3 D. 6/13
0
g
x
0
x
2 Indique lo falso:
A.
C.
B.
D.
Trilce Católica
I.
La pendiente de “f” es mayor que la pendiente de: “g”, ∀ x ∈ . II. h(0) > f(0) > g(0) III. f(3) > g(3) A. Solo I B. Solo II
C. II y III D. Ninguna
151
Ciclo
Católica
46. Sea: f(x): siguiente:
→
/ f(x) = ax2 + bx + c, cuya gráfica es la
6.
De la pregunta anterior, la gráfica de la función es: y
y
y
f
f x
x A. 3
f x
0
C.
y
f x
x D.
B. Hallar el conjunto solución: (x2 – 2x – 3) f(x) < 0 A. 〈– 3; 3〉 B. 〈– 1; 3〉
7.
C. 〈– 1; 1〉 D. 〈– ∞; – 1〉
¿Cuál es la pendiente de la recta: 3x – 2y = 4? A. 3/2 B. 2/3
2.
8.
¿Cuál sería la gráfica de la función: f(x) = 3x – 1?
A.
f
x C.
y
C. II y III D. Todas
Hallar la ecuación de la recta “L” de pendiente 2, que pasa por el punto “A(1; 3)”. A. y = 2x + 1 B. x – 3y = 0
y
f
x
9.
C. 2x + y = 1 D. 2y = x – 2
Hallar la ecuación de la recta cuya gráfica es: y
y
x
4
f –4
D.
B.
Sea la función constante “F(x)”
A. y = x + 4 B. y = x – 4
y (0; b)
(m; c2)
F(x) x
C. y = – x + 4 D. y = – x – 4
10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P(– 1; 2) y Q(5; 2). A. y = 5x + 7 B. y = 3x
Determinar: A. 1 B. 2 4.
b – c2 3
(m + b + c2)
y
C. 0 D. 3
4 c
f(x) = 3x – 4 g(x) = 2x + 1
5.
152
f 1 2
C. (– 11; 5) D. (5; 11)
Halla “a + b” en la función: f(x) = ax + b, si: f(2) = 8 y f(5) = 17 A. 8 B. 9
C. y = 2 – x D. y = 2
11. Sea: f(x) = ax + b, hallar: a + b + c
En qué punto se intersecan las funciones lineales:
A. (0; 5) B. (11; 5)
x
x
f
3.
A. I y II B. I y III
C. 1/2 D. – 3/2
y
¿Cuáles de las siguientes rectas tienen la misma pendiente? 3 I. y = 2 x + 5 II. 2x + 3y = 8 III. 3x – 2y – 10 = 0
Problemas para la clase 1.
y
C. 5 D. 10
A. 2 B. 3
x C. 4 D. 5
12. De la función y = – x + 3; x ∈ 〈– 2; 3〉, indique su rango. A. 〈0; 5〉 B. 〈1; 4〉
C. 〈2; 7〉 D. [0; 7〉
Trilce Católica
Álgebra 13. Si:
17. Dadas las funciones: f(x) =
y
(3; 3)
3 f –2 (– 2; – 1)
c b x
a
A. I B. II
C. III D. IV
C. 9 D. 3/5
Sabiendo que: (0 < a < b < c < d < e); a, b, c, d, e ∈ Graficar “f” y
14. Hallar el área de la región formada por la función lineal f: → , f(x) = 2x – 5; con los ejes coordenados. A. B.
25 2 25 4
C. 10
C. I, II y IV D. I y II
16. Se tienen las siguientes rectas: L1: 3x + 2y = 29 L2: 2x – y = 3
Trilce Católica
C. 12 D. 74
x C.
y
y
x B.
x D.
19. Hallar el área de la región formada por la función constante f: → , f (x) = 7 y la función lineal g: → , g(x) = 3x – 2 y el eje “y”. A.
9 u2
B. 3
Si las rectas se intersecan en “(a, b)” hallar: (a2 + b2) A. 5 B. 49
A.
.
y x
D. 9
15. Si f: → es tal que: f(x) = – 5x + 12, ¿por qué cuadrantes pasa la gráfica de “f”? A. I, II y III B. II, III y IV
, hallar el cuadrante en el que se inter-
18. Dado: F = {(a; a),(b; b),(c; c),(d; d),(e; e)}
Hallar: a.b.c A. 9/5 B. – 9/5
g(x) = 7; ∀x ∈ secan.
2x + 3; x > 0 – 5; x≤0
C. D.
27 2 9 2
20. Si: f(x) = ax2 + bx + c Además: f(– 1) = – 6; f(0) = – 2; f(2) = 12, calcular: a + b + c A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
153
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 29
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Funciones IV: biyectiva 5.
Problemas para la clase
Sea f: ]– 1; 2] → continuación.
la función cuya gráfica se muestra a
BLOQUE I 1.
y
y
y R
A.
f
C.
1
x
y
x
y
I. f = {(1; 3), (2; 4), (3; 6)} II. f = {(2; 5), (3; 5), (6; 6)} III. f = {(– 1; 4), (1; – 3), (6; 8)}
6.
Sea f: [– 3; 5] → [– 2; 6] la función cuya gráfica se muestra. y 6
Si: f: [1; 8] → [– 1; 10]. ¿Cuál podría ser “f(x)” para decir que “f(x)” es una función suryectiva?
A. –1 y 10 B. –1
f
y 10
–1 y 10
x
8
–3
1
8
x
x
8
A. B. C. D. 1
8
x
7.
f
A.
y
A
C.
B.
1 2 3 4
Trilce Católica
B 6 8 10 12
1 2 3 4
–3
3 2 1 1
4
x
f
8 A
f
f 6 8 10 12
1 2 3 4
x
Sea f: [– 3; 4] → [– 2; 3] la función cuya gráfica se muestra.
A = {1; 2; 3; 4} y B = {6; 8; 10; 12}? 8
5
“f” es inyectiva y suryectiva. “f” es inyectiva pero no suryectiva. “f” es suryectiva pero no inyectiva. “f” no es inyectiva ni suryectiva.
Si: f: A → B, ¿cuál de los siguientes diagramas sagitales representa a una función suryectiva; en donde:
A
2
Se cumple que:
D.
1
4 3
–2
C.
1
x
“f” es inyectiva y sobreyectiva. “f” es inyectiva pero no sobreyectiva. “f” es sobreyectiva pero no inyectiva. “f” no es inyectiva ni sobreyectiva.
C. 2 D. 3
y 10
4.
A. B. C. D.
x
¿Cuántas de las siguientes son funciones inyectivas?
A. 0 B. 1
2
Se cumple que:
x
3.
–1
D.
B.
2.
3
¿Cuál de los siguientes gráficos es una función inyectiva?
B 6 8 10 12
A
D.
1 2 3 4
B 6 8 10 12
Se cumple que: A. B. C. D.
“f” es inyectiva y sobreyectiva. “f” es inyectiva pero no sobreyectiva. “f” es sobreyectiva pero no inyectiva. “f” no es inyectiva ni sobreyectiva.
155
Ciclo
Católica
8.
Sea f: [0; 5[ → ]1; 7] definida por: 4 – x; 0≤x<3 –x2 + 6x – 1; 3 ≤ x < 5
f(x) =
Se cumple que: A. B. C. D. 9.
“f” es inyectiva y sobreyectiva. “f” es inyectiva pero no sobreyectiva. “f” es sobreyectiva pero no inyectiva. “f” no es inyectiva ni sobreyectiva.
Sea: A = {1; 3; 5} y B = {2; 4; 6}. Si f: A → B, ¿cuál de las siguientes son funciones inyectivas ? I. II. III. IV.
f = {(1; 4); (3; 4); (5; 4)} f = {(1; 2); (3; 4); (5; 6)} f = {(1; 4); (3; 6)} f = {(1; 2); (3; 4); (5; 4)}
A. Solo I B. Solo II
C. I y II D. III y IV
10. De la pregunta anterior, ¿cuáles son funciones suryectivas? A. Solo I B. Solo II I y II
C. III y IV
11. Sea f: → ]– ∞; a], definida por f(x) = – 2x2 + 12x + 11. Halla el valor de “a” tal que “f” es sobreyectiva. A. 28 B. 29
C. 12 D. 3
12. Sea: f: [0; 2[ → f(x) = 3 –
16. Hallar las coordenadas del vértice de la función: f(x) = 2(x – 1)2 + 2 A. (– 1; 2) B. ( 0; 2 )
C. (– 1; – 2) D. (1; 2)
17. Sea una función “F”, real definida por: F(x) = x2 – 6x + 4; si: x ∈ 〈– 2; 7〉. Hallar el rango. A. 〈– 5; 20〉 B. [– 5; 20〉
C. 〈– 4; 20〉 D. 〈– 6; 20]
18. Sea: F(x) = (k2 – 16)x + k – 4 una función constante; G(x) = kx2 – 4; k > 0 una función cuadrática. Halle uno de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones “F” y “G”. A. (0; 0) B. (1; 1)
C. (1; 0) D. (2; 1)
19. Dada la función f: [0; 3] → B, con regla de correspondencia f(x) = x2; halla “B” para que “f” sea suryectiva. A. [0; 6] B. [0; 9]
C. [– 3; 3] D. [2; 18]
20. Dada la función f: [– 2; 4] → B, con regla de correspondencia f(x) = x2 + 2; hallar “B” para que “f” sea suryectiva. A. [2; 9] B. [2, 12]
C. [2; 16] D. [2; 18]
21. Si: f: ]– 3; 3] → [1; 6]
7 ;+∞ 2
6
1 x–2
f
determina el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. “f” es inyectiva, pero no suryectiva. II. “f” es suryectiva, pero no inyectiva. III. “f” es biyectiva. A. F F V B. F F F
C. V F V D. V V V
BLOQUE II 13. Si: f: [– 2; 3〉 →
/ F(x) = x2 + 3. Hallar el rango.
A. [– 1; 12〉 B. 〈0; 12〉
C. [3; 12〉 D.
I. “f(x)” es inyectiva II. “f(x)” es suryectiva III. “f(x)” es biyectiva A. Solo I B. Solo II
C. Solo III D. Ninguna
22. Del gráfico de la siguiente función: 7
y f 1
C. 12 D. 3
2
5
8
y
–3 Para cuál de los siguientes intervalos la función sería inyectiva.
F(x) = 3x2 – 12x + 17
156
x
2 3
Indique cuáles son ciertas:
15. Hallar el valor mínimo de la siguiente función:
A. 0 B. 1
1
–3
14. El valor mínimo de la función: f(x) = x2 + bx + c es – 4. Halle el valor absoluto de la diferencia de las raíces de “f(x)”. A. 8 B. 4
2
y
C. – 1 D. 5
A. 〈1; 8] B. [2; 5]
C. [2; 7] D. [4; 8]
Trilce Católica
Álgebra 31. Sea: F: [1; 4] → [11; b], determinar los valores de “a” y “b” de modo que: F(x) = 3x + 2a, sea suryectiva. Dar como respuesta “a + b”.
23. Dada la gráfica de la función “g”: y 4
A. 12 B. 16
2 1 –1
3
5
x
C. 24 D. 20
32. ¿Cuál de las siguientes funciones cuyo gráfico se adjunta es inyectiva?
A. ]– 1; 3] B. [3; 5]
y = f(x)
C. [0; 5] D. Más de una
“f(x)” es inyectiva “f(x)” es suryectiva
A. Solo I B. Solo II
I.
2 – 2x; – 2;
f(x) =
x<2 x ≥2
II. A. Solo I B. II y III
F(x) =
C. [– 4; + ∞[ D. [2; + ∞[
26. Si el mínimo valor de la función: f(x) = halla el valor de “b” (b > 0). A. 2 B. 3
+ bx + 5 es 1;
→
x – 3; 2x + 7;
es biyectiva.
x
A. Si; 〈1; 10] B. No; 〈– 5/4; 11]
C. No; 〈– 1; 10] D. No; 〈– 5/4; 11]
Tarea domiciliaria 1.
Para las funciones que se enuncian: f: 〈– ∞; + ∞〉 → [1; + ∞〉 / f(x) = x2 + 1; es suryectiva. g: + → < 1; + ∞ > / g(x) = x + 1; es inyectiva. x+1 ; es biyectiva. III. h: 〈3; 7〉 → 〈4/3; 2〉 / h(x) = x–1 I. II.
A. – 12 B. 10
C. – 10 D. 7
¿Cuáles son ciertas?
28. Sea f: [– 3; 1] → [– 1; 11] tal que: f(x) = kx + 2. Si “f” es biyectiva, calcula “f(– 2)”. A. 8 B. 6
C. 0 D. 4
29. ¿Cuáles de las siguientes funciones son inyectivas? f(x) = 1 – f(x) = 2
C. [0; 2] D. 〈– ∞; – 2 ] ∪ [ 2; + ∞〉
34. Sea: F: 〈– 3; 2] → [– 2; 15], tal que F(x) = x2 + 3x + 1. ¿Es sobreyectiva? dar además el rango de “F”
halla “k”.
I. II.
x2 – 4; es inyectiva?
A. 〈– ∞; – 2] B. [– 2; 2]
C. 6 D. 4
27. La función f: f(x) =
x2
C. Solo II D. Todas
33. ¿En cuál de los siguientes dominios la función “F”:
halla el conjunto “B”. A. [0; + ∞[ B. [– 2; + ∞[
III.
x
C. Solo III D. Todas
→ B es una función suryectiva tal que:
x
y y=f (x)
III. “f(x)” es biyectiva
BLOQUE III 25. Si f:
y = f(x)
x
24. Si f: x ∈ + → 〈1; + ∞〉 tal que f(x) = x2 + 1, ¿cuál de las siguientes proposiciones son ciertas? I. II.
y
y
Para cuál de los siguientes intervalos la función sería inyectiva.
x2
–x
A. Solo I B. Solo II
III. f(x) = 4x – 2 C. Solo III D. II y III
30. ¿En qué intervalo de los indicados, la función: f(x) = 2x2; es inyectiva? A. [– 2; 2] B. [– 1, 3]
Trilce Católica
C. [0; 6] D. [– 5; 2]
A. Solo I B. Solo II 2.
C. Solo III D. I, II y III
La gráfica de la función: f: [0; 6] → [– 4; 4] es dada por: y 4
0
f 6
x
–4 ¿Cuáles son verdaderas?
157
Ciclo
Católica I. “f” es biyectiva II. |f| no es biyectiva III. Si: h(x) = f(x) + 4; " x ∈ [0; 6] entonces: Ran(h) = Ran(|f|) A. V V V B. V V F
3.
Dada la función: F: [1; 3] → [– 13; 3] tal que: F(x) = ax2 + b; siendo “F” biyectiva. Calcular: (a + b). A. 3 B. 1
4.
C. V F V D. F F V
C. 2 D. 13
10. Dada la función f biyectiva, tal que: f: [m; 4] → [6; n] f(x) = – 2x2 + 16x – 24 Halla:
m+5 n
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
11. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función biyectiva? y
y
Sea f = {(1;1), (2;4), (3;5), (4;3), (5;2)}. Decir el valor de verdad de: I. II. III. IV.
“f” es inyectiva y creciente. “f” es inyectiva y decreciente. “f” no es creciente ni decreciente. “f” es inyectiva.
A.
x y
x
C.
y
x
A. V F V V B. F V V V 5.
x Dada la función biyectiva f(x) = – + 1, tal que f: A → B, lue2 go podemos afirmar que: Si: A = [ 2; 6 ], entonces “B” es: A. [– 2; 0] B. [– 1; 3]
6.
C. – 2 D. – 3/2
De la pregunta anterior, si: B = [2; 4〉 entonces: “A” es: A. 〈– 6; – 2] B. [– 2; 4]
8.
C. [1; 8] D. [– 5; 2]
De la pregunta anterior, si: A = [– 1; a] y B = [2; b], luego: “a + b” es: A. 1/2 B. – 1/2
7.
C. F F V V D. F V F V
C. [– 3; 0] D. [5; 12]
C. ]– 3; 1[ D. ]– 2; 2[
Determina cuál o cuáles de las siguientes funciones son inyectivas. 2x – 5 ,x>3 x–2 II. g(x) = x2 – 16 – 1; x ∈ ]– 5; – 4[ III. h(x) = – x2 + 2x + 2; x ∈ ]0; 2[ I.
f(x) =
A. Solo I B. Todas
158
A. 24 B. 18
C. 30 D. 42
13. Sabiendo que la función f: [ 5; a ] → [ b; 72 ] tal que: f(x) = x2 – 8x + 7 es biyectiva. Halla “a + b”. A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
14. Sean los conjuntos: A = {3; 4; 5} B = {6; 7; 8}
Halla “a.b”
Si “f” es suryectiva, determina el conjunto “A”.
9.
12. Sea la función “f” tal que: f: ]– 1; 3] → ]m; m + n] definida por f(x) = x2 + 4x – 3; la cual es sobreyectiva. Halla “n – m”.
f = {(a – b; 6), (5; a + b), (3; 7)} de “A” en “B”.
4x – 6 x–3
A. ]– 2; 1[ B. ]– 3; 2[
D.
Se define la función biyectiva:
Sea f: A → ]1; 3[ f(x) =
B.
x
A. 14 B. 16
C. 12 D. 20
15. Sea la función: f: [2; 5] → [a; b] f(x) = x2 – x + 2 biyectiva. Halla “a + b”. A. 22 B. 24
C. 26 D. 28
C. I y II D. I y III
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 30
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
rEPASO I 9.
Problemas para la clase Teoría de exponentes 1.
Halla: “a + m + n”
Sabiendo que: 2a . 3b = 24 2b . 3a = 54
A. 11 B. 13
Calcular: E = (a + b)a – b A. 2 B. 4 2.
C. 8 D. 16
F Si: F(x – 1) = 21 + x . x, resolver para “m”: (m + 2) = 16 m+3 A. 5 B. 2
3.
C. 3 D. 0
Sabiendo que: a b . b a = ab ab, calcular: G = 1 – b a1 – a b–1
A. ab B. a–1 4.
Efectuar:
C. D. 1 b b–a x 4b
.
2b 4a + b x
x4a + 5b C. 4 x D. x2
A. x B. x Polinomios 5.
Si: P(x) =
(2x + 1)2 – 1 ; calcula: E = P(x + 1) – P(x – 1) – 2x 8
A. 5 B. 7 6.
C. 8 D. 1
F – F(x + 2) Si: F(x) = (x – 1)2 + a, determine: M = (x) x A. 4 B. – 4
7.
C. 1 D. – 2
Si: P(x) = ax + b Q(x) = bx + a
C. 7 D. 9 (a ≠ b)
Además: P(Q(x)) = Q(P(x)). Se cumple: A. a – b = 0 B. a + b = 1
Trilce Católica
A. 7 B. 6
C. 10 D. 8
11. Si la expresión: M(x, y, z) = xm + nyn + pzp + m, es de grado 18, y los grados relativos a “x”, “y”, “z” son tres números consecutivos (en ese orden). Calcular: m . n . p A. 9 B. 12
C. 24 D. 26
12. El grado absoluto del monomio: M = abx2a + bya + 2b es 45. Además el grado relativo a “x” es al grado relativo a “y” como 2 es a 3. Hallar el coeficiente del monomio. A. 16 B. 12
C. 24 D. 36
13. Calcular el GR(z), si: GR(x) = 27 y GR(y) = 54, en el siguiente monomio: 3 3 2 M(x,y,z) = [xn . y3n . z9n] p
q
A. 8 B. 36
C. 72 D. 108
14. Determine el grado del siguiente polinomio: n
P(x, y) = xn – 4y 2
+1
n
– xn – 5y 4
+1
– xn + 2yn + 3
Además: 6 < GR(x) < 12 C. 21 D. 25
15. Si el grado absoluto de “P” es 11; hallar el valor de “n”.
Calcular: Q(5)
8.
C. 14 D. 16
10. Calcular “n” si la suma de coeficientes del desarrollo de (5x – 1)n – 4 es cuatro veces el término independiente del desarrollo de: (x + 3y + 2)n.
A. 13 B. 17
Si: P(x + 2) ≡ 6x + 1 P(Q(x)) ≡ 12x – 17
A. 3 B. 5
Si: P(x) = 2x3yn – 2 Q(x) = axmya + 1 P(x) + Q(x) = 7x3yn – 2
C. a – b = 1 D. a + b = 0
P(x, y) = x3n – 1yn – 2x2n – 3y2n + xn – 3y3n A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
16. Indicar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio homogéneo: 2 2 P(x, y) = (n2 + 1)xnyn + 2 + (n – 1)xn – 3y2n
A. 5 B. 15
C. 20 D. 30
159
Ciclo
Católica
17. Dado el polinomio: b–4
P(x, y) = 2xa
2(b – 4)
+ 3ya
b–4
+ 4(xy)a
+ 5y4 + a
b–4
Si la suma de los grados absolutos de todos los términos del polinomio es (a6 + 2)2; calcular el valor de “b”. A. 11 B. 18
C. 10 D. 20
m(x – 2)2 + n(x – 2) + p = 3(x – 4)2 – 2(x – 6) + 7 C. 16 D. 18
2
a2
a1
a3
A. 31 B. 27
A. 260 B. 180
C. 140 D. 124
Multiplicación de polinomios – Productos notables 21. ¿Qué cantidad debe agregarse a: 1 + x(x + 1)(x + 2)(x – 1) para que sea igual a: (x2 + x + 1)2? A. x2 + 4x B. 4x2 + 4
+ (5a – 3)
xy2
+ (2a +
A. 9 B. 3
División de polinomios 3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 x2 – 2x + 3
Indicar la veracidad de los siguientes enunciados.
A. 7 B. 8
C. 18 D. 27
29. Halle la suma de coeficientes del divisor de la división exacta. 2x5 – x4 + x3 + x2 + x + 1 – 2ax4 + ax3 – 2bx3 x3 – ax2 – bx – c A. 3 B. – 4
C. – 3 D. 5
30. Calcule el valor de “ab” si la división: tiene como residuo: 70x
6x3 + 4x2 + ax + b x2 – 3x + 1
C. 240 D. 250
A. p2 + q3 = 0 B. p2 – q3 = 0
C. p3 – q2 = 0 D. p2 + q3 = 1
Factorización 5–
3 + 1)
C. 9 D. 10 2x
C. 4 D. 5
32. Indique el factor primo de mayor número de términos en: x3(y – z) + y3(z – x) + z3(x – y) A. y – z B. x – y
24. Si: (x – y)3 = x3 – y3; x > 0; y > 0, calcula: y A. 2 B. 3
C. F V F D. F F V
x4 + (p + 2m)x – q – 1 , es exacta. x2 + mx – 1
3)y4
23. Efectuar: M = ( 3 + 1)( 5 + 1)( 15 –
13x + 3y x
C. x – z + y D. x + y + z
33. Un factor de: P(x, a) = 1 – a2 + (1 + ax)2 – (a + x)2 es: A. 1 + a B. 2a + x
C. 1 + a – x D. 1 – a – x
34. Factorizar: F(x) = x2 – 2acx + a2(c2 – b2).
25. Si: x + x–1 = 4; hallar “x – x–1”
160
C. ab + bc + ac D. – 1
31. Hallar la relación entre “p” y “q” si la división:
es un trinomio cuadrado perfecto, halle “a”, si a ∈ ZZ+ .
A. 2 3 B. 3 3
A. 1 B. 0
A. 220 B. 230
C. x2 + x D. 4x2 + 4x
22. Si la expresión de variable “x” e “y”: (a +
27. Si: a + b + c = 0
A. V V F B. V V V
C. 30 D. 35
20. Si el polinomio: P(x) = ax2n + 1 + axm + ... + axa – 4 + axa – 5, es completo, ordenado y tiene (3n – 15) términos, calcular la suma de sus coeficientes.
1)x2
C. k2 – 2 D. k2 – 1
I. El cociente es: 3x2 + 4x – 1 II. El residuo es: – 3x + 2 III. Es una división exacta.
3
+
A. k2 + 2 B. k2 + 1
28. Al dividir:
19. Si el polinomio: P(x) = x3 + a1x2 + a2x + a3; es un cubo perfecto; halla el valor de: a1
x2 + 1 = k; calcula “x2 + x–2”. x
Hallar: (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 – (a2 + b2 + c2)
18. Calcular: m + n + p, si se cumple que:
A. 12 B. 13
26. Si:
C. 4 3 D. – 3 3
Señalar un término de un factor primo. A. ax B. 3ab
C. ab D. – 2ac
Trilce Católica
Álgebra (x2
8)2
6x(x2
27x2.
35. Factorizar: f(x) = + – + 8) – Indicar la suma de coeficientes de un factor primo cuadrático. A. 10 B. 12
44. Reducir:
A. 4x – 6 B. 4x + 6
A. 1/2 B. 1/8
1.
C. 3 D. 19
2.
C. a – b D. 1
Si: P(x + 3) = 3x – 5 P(Q(x)) = 6x + 4
A. 0 B. 1 3.
1 b2 + ac2 , hallar: x – x 2c C. b/c D. c/b
4.
C.
x y
B. – 1
D.
y x
Si: P(x) = A(x – 3)(x – 2) + B(x – 2)(x – 1) + C Q(x) = 2x2 + 1
A. 64 B. 128 5.
A. 0
C. 0 D. 1/2
Son idénticos, halla el valor de: (A + B)c.
C. 4 D. 3 x2 y2 x y + – – 2 xy + y xy + x2 y x
C. 2 D. 3
Hallar un polinomio “P(x)” de segundo grado, sin término independiente, que cumpla: P(x) – P(x – 1) = x, indicar el coeficiente de “x” en el polinomio. A. – 1/2 B. 2
5x – 7 m n + ≡ 2x2 – 5x + 2 2x – 1 x – 2
Trilce Católica
C. Disminuye en 4 D. Disminuye en 1/8
Hallar: Q(– 3)
a – b a + b a2 + b2 a2 + b2 a2b2 + +2 –2 a+b a–b ab ab a4 – b4
43. Reducir:
C. 1/4 D. 1/3
x +3 2
A. Disminuye en 1 B. Aumenta en 1
40. Indicar el resultado de efectuar:
A. 1 B. 2
f(x) 2 f(x + 1) – f(x – 1)
Si “x” disminuye en dos unidades.
Se tiene una expresión de la forma m(a2 + b2)12 – p. Calcula “m + p”
42. Hallar “m”, si:
2
En cuanto varía el valor de “M” en la expresión: M=
[(a + b)2 – (a – b)2][(a + b)2 + (a – b)2] ab
A. b + c B. b – c
C. a2 D. x + a
Tarea domiciliaria
C. 3x D. x + 10
b+
(a2 + x2)2 – a2x2 a6 – x6
46. Si: f(x) = x2 – 2x + 1; halla:
3 1 x + 10 – – 2x – 4 x + 2 2x2 – 8
A. 2 B. a + b
C. 1 D. x2
A. x B. 1
C. 4 D. 5
A. 1 B. 0
1 x
1–x x2 + 1 x– 2 x +x
f(1)
A = x3 + x2y B = x2 – y2 C = x2 – 2xy + y2
39. Al simplificar:
+
Dar como respuesta el numerador resultante.
37. Hallar el número de factores primos del MCM de:
A. 0 B. 2x
1+
45. Simplificar: E =
C. 4x + 2 D. 4x – 2
A. 2 B. 3
x
A. x B. 0
Expresiones algebraicas racionales
41. Si: x =
1+
C. 14 D. 16
36. Factorizar: Q (x) = P (x) + 6x – 4; sabiendo que: P(x) = 4x2 – (x – 2)2 y da como respuesta la suma de los factores primos:
38. Efectuar:
x
C. 256 D. 512
El costo de producción “C” de “x” artículos está dado por: C = Cvx + CF. Cuando se producen 120 artículos, el costo es $ 4080 y cuando se producen 200, el costo es de $ 6000. ¿Cuál es el costo cuando se producen 90 artículos? A. $ 3080 B. 3240
C. 3360 D. 3400
161
Ciclo
Católica
6.
La suma de dos números es 23 y la suma de sus cuadrados es 227. Hallar su producto. A. 261 B. 126
7.
C. 136 D. 151
La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de sus cuadrados. A. 31 B. 27
8.
C. 28 D. 21
4 1 Si se cumple que: 2a + = 5, encontrar el valor de: 4a + 1 a a2
A. 21 B. 24 9.
C. 23 D. 22
Sabiendo que: a
a b –3=b –3 b a
Hallar el valor de: M = (a – b + c)3 – (a – b – c)3 C. b3 D. 2c3
A. 0 B. a3 10. Si: x + y + z = 0
(x + y – 2z)3 + (y + z – 2x)3 + (z + x – 2y)3 ; xyz ≠ 0 xyz C. – 27 D. – 81
A. 9 B. 27
11. Simplificar: (x3 – 3x)2 – [(x + 1)(x – 1)]2 (x + 2)(x – 2) C. 3 D. 2
A. 4 B. 1 12. Si: x =
y=
a–
2ab – b2
a+
2ab – b2
mx4 + nx3 + nx2 – 41x – 28 3x2 + 5x + 7 A. 81 B. 63 15. Determine el residuo en:
A. 4 B. 2
A. x + 14 B. x + 16
(a + b + c)(a + b – c) + (a + b – c)(a – b + c) + (a + b – c) (b – a – c) + (a – b + c)(b + c – a) + 4ab C. 0 D. 6ab
C. x + 18 D. x + 20
Señalar un factor primo. C. x + xy + y2 D. x2 + xy + y2
18. ¿Cuántos binomios se obtienen de la factorización de: a8 – x4? 81 A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
19. ¿Cuántos factores primos binomios se obtienen al factorizar: R = xn + 2 – axn + 1 + bxn + 1 – abxn?
A. x B. 1
C. 2 D. 3 x+1 x2 + 2 2x + 2 – x–2 x– x+1 C. – 1 D. x + 1
a2 – a + 1 2a3 – 2a + 4 ; se obtiene: 21. Al simplificar: 2 a + a + 1 a + a3 – a – 1 A. 1 B. a
C. a – 1 D. a2
x+y x2 + y2 yB= , siendo “A” y “B” números x–y xy positivos, halla el valor numérico de: E = (A – 1)(B – 2)
22. Si:
A=
A. 2 B. 4
162
(x – 6)2 010 + x + 19 x2 – 12x + 35
17. Factorizar: F(x, y) = x4y + 2x3y2 + xy4 + 2x2y3
20. Efectuar: Q =
13. Efectuar:
A. 8ab B. 4bc
C. 1 D. – 3
16. Halle el residuo de dividir:
A. 0 B. 1
C. a2 – b2 D. a2 – b
6x3 – 5x2 + mx – 1 2x + 1
Sabiendo que su cociente toma el valor numérico 2, para: x = 1.
calcula “xy”; si: a > b A. a + b B. a – b
C. 36 D. 27
A. x2 – xy + y2 B. x2 – xy + y
Calcular: R=
14. Calcular “m + n” si la división es exacta:
C. 6 D. 8
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 31
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Repaso II Problemas para la clase Ecuaciones de primer grado 1.
2 1 x+4 + = x – 2 x – 3 x2 – 5x + 6
Resuelve: A. {3} B. f
2.
C. {5} D. {6}
x +1 –
3
B.
C.
5 4 2x +
2
3
+
x–
A. 3+ 2 B. 5 + 2 6 Resolver: A.
1 2
B. – 5.
2 2x + 2 +
1 2
1 3
D. –
C. 2/3 D. 3/2
mx + 1 = x
C. 2 D. 3
A. B.
Trilce Católica
17 C. – 4 17 D. 5
4 1 1 + = x1 x2 3
A. 6 B. 9
C. 15 D. 36
13. Señale la diferencia de las raíces en la ecuación:
A. ± 1 B. ± 2
C. ± 1/2 D. ± 4
14. Determinar “m” para que las raíces de la ecuación: mx2 – 2(m – 1)x + m = 0; sean inversas aditivas.
3mx2 – 5 + 2 = – x se reduce a x+m una ecuación de segundo grado. ¿Cuánto debe valer “m” para que la ecuación resulte de primer grado? Señalar “x” 17 2 17 3
C. 16 D. 4
2x2 – (8K + 3)x + (8K2 + 6K + 1) = 0
C. a – b = 0 D. |a| = |b|
La siguiente ecuación:
11. Si “m” y “n”, son raíces de: x(x + 2) = 2(1 – x). Hallar: E = (m– 1 + n– 1)m + n
Hallar “p”, si:
¿Qué relación existe entre “a” y “b” si la ecuación ab–1(x – a) = a–1 . b(x – b) es incompatible?
A. Ninguna B. 1
C. – 2 D. 3
12. En la ecuación: 3x2 – px + 27 = 0; donde: “x1” y “x2” son raíces de la ecuación.
Calcular el valor de “m” para que la ecuación no acepte solución: 5mx – 2 = 4x + 30
¿Para cuántos valores de “m” la ecuación:
A. – 1 B. – 3
A. 1/4 B. 1/16
1 3
x+3 , se convierte en otra de primer grado? mx – 1
8.
3
6
C. 2 3 3+1 D.
C.
A. a + b = 0 B. |a| = b 7.
=
C. P ⊂ N ⊂ M D. M ⊂ N ⊂ P
10. Hallar el coeficiente del término lineal de la ecuación de segundo grado, cuyas raíces son las inversas de las raíces de: 2x2 – 3x = – 1
5 2
(x – 3).(x – 1) + 2 x + 3 –2 = (x + 5).(x + 1) + 5 x–2
A. 1/5 B. 4/5 6.
3 2
∧ x2 = 4} ∧ x = 4} ∧ x2 = – 4}
A. M = N – P B. M = N ≠ P
D. 3
Resolver:
Si: M = {x / x ∈ N = {x / x ∈ P = {x / x ∈
entonces se cumple que:
x –1 = 6 x – 1
A. 1
4.
9.
Resolver la siguiente ecuación en “x”: 3
3.
Ecuaciones de segundo grado
A. 1 B. 2
C. – 1 D. 0
x2 x 15. Hallar el valor de “n” para que la ecuación: – = x – 1; n n tenga raíces recíprocas. A. – 1, 2 B. – 1
C. 1 D. 1, – 2
16. Dada la ecuación: x2 – (m + 7)x + (m + 5) = 0, con raíces 2
2
x1; x2 y la expresión: R = x1 + x2 , hallar el mínimo valor de “R”. A. – 3 B. 3
C. 1 D. – 7
163
Ciclo
Católica
17. Sea: {x1; x2} el conjunto solución de: 3x2 – x – 1 = 0. Además se define: f(n) =
n
n x1
+
n x2 ,
calcular “f(2) + f(– 2)”
7 A. B.
C.
21 10 7 21
D.
7 3 10 7
18. Determinar los valores de “m” y “n” respectivamente; tales que las ecuaciones: (5m – 52)x2 + (m – 4)x + 4 = 0 (2n + 1)x2 + 5nx + 20 = 0
tengan las mismas raíces. A. 11; 7 B. 7; 11
25. Luego de resolver el sistema: x – 2y = – 13.................................................... (I) 2z + 3y = 19 .................................................... (II) 3x – z + 4y = 9 ................................................ (III) Indicar el valor de: x + y + z A. 4 B. 2 26. Dado el sistema:
2ax – b2y = ab 2x + by = a
Calcular: y A.
C. – 7; – 11 D. – 11; – 7
C. 6 D. 1
B.
a b a–b a+b
19. Calcular la menor de las raíces de: 8x2 – 3nx + n – 1 = 0; sabiendo que una de ellas es el doble de la otra. A. 0,2 B. 0,5
C. 0,25 D. 1,5
20. Determinar “K” en la ecuación: x2 – 2(K – 1)x + (K + 5) = 0. Si las raíces son iguales. A. – 1 B. 4
C. 3 D. Más de una
21. Si las raíces de la ecuación: x2 – 10x + (m + 5) = 0; son complejas conjugadas, señale el menor valor entero de “m”. A. 22 B. 21
C. 20 D. 19
22. Si las raíces de la ecuación: (m + 4)x2 – 5x + 1 = 0 son reales y diferentes, indique el mayor valor entero de “m”. A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
23. Dada la ecuación en “x”: x2 – (2λ)x + λ2 – λ – 2 = 0. Indicar la proposición correcta: A. Si: λ = 0; entonces sus dos raíces son iguales. B. Si: λ ≠ 0; entonces sus dos raíces son reales y diferentes. C. Si: λ > 0; entonces sus dos raíces son complejas. D. Si: λ > 0; entonces sus dos raíces son reales y diferentes. Sistema de Ecuaciones
xy (I) 6 . .................... xz 3x + 2z = . .................... (II) 8 yz 3y + 5z = (III) 6 . .................... 5x + 4y =
27. Resolver el sistema:
para luego indicar el valor de “y”. A. 48 B. 80
C. 60 D. 90
28. Si: x+y 8 = xy 15 x+z 1 = xz 2 y + z 11 = yz 30 hallar “x.y.z”. A. 15 B. 30 29. Si:
C. 60 D. 90
3 x + y – 7 + 2 x – y – 4 = 13 2 x + y – 7 – x – y – 4 = 4
Hallar: x.y A. 12 B. 54
C. 48 D. 36
(n + 3) x + (2n + 3) y = 12 (n – 3) x + (n – 1) y = 4
x+y+z=3 x–y+z=1 2x + y – z = 2
164
D.
30. Calcular “n” si el siguiente sistema:
24. Hallar “(x + y)z”
A. 1 B. 4
a(a – b) b(a + b) b(a – b) a(a + b)
C.
tiene infinitas soluciones. C. 2 D. 9
A. 3 B. 6
C. 1 D. – 1
Trilce Católica
Álgebra 31. En el sistema:
x – 2y = b – 2 .... (I) 2x + y = b + 1 .... (II)
¿Cuál es el valor de “b”, para tener: x = 3y? A. 5 B. 5/2
C. 8 D. 2
Planteamiento de Ecuaciones 32. Adolfo quiere pagar una deuda de abc nuevos soles con monedas S/. (a + b); S/. (a – b) y S/. c. Halle una posible solución del número de monedas de S/.(a + b) y de S/.c. Indicar la clave incorrecta. A. 39 y 7 B. 55 y 1
C. 45 y 1 D. 45 y 55
33. Ocho socios de un grupo de estudios deciden comprar un edificio aportando cada uno cantidades iguales. Al final dos personas se retiran y cada uno de los restantes tuvo que aportar $ 4000 adicionales. ¿Cuánto cuesta el edificio? A. $ 108 000 B. $ 96 000
C. $ 72 000 D. $ 120 000
34. Los alumnos de una escuela están sentados en bancas de nueve cada una. Si se colocaran en bancas de ocho, ocuparían dos bancas más. ¿Cuántos alumnos hay en la escuela? A. 22 B. 144
C. 63 D. 16
35. Un pavo, tres panetones y seis latas de leche cuestan S/. 117 y tres pavos, cinco panetones y diez latas de leche cuestan S/. 275. ¿Cuánto cuesta un pavo, dos panteones y cuatro latas de leche? A. S/. 88 B. S/. 68
C. S/. 112 D. S/. 98
36. El precio de un radio es $ 80. Si compro “n” radios, me sobraría $ 120. Si me rebajan la quinta parte en el precio de cada radio, podría comprar “(n + 5)” radios y me sobraría $ 56. Halla la cantidad de dinero que tengo. A. $ 1280 B. $ 1400
C. $ 1320 D. $ 1440
37. Si Rosa recibe S/. 12, tendría el doble que si hubiera recibido S/. 2 ¿Cuánto tiene Rosa? A. S/. 5 B. 9
C. 6 D. 8
38. Un niño tiene una tina cuya capacidad es 490 litros. Para que la tina esté llena, cuando el niño esté dentro, es preciso echar 24 baldes con agua. Si el niño tuviese doble volumen, se echaría 4 baldes menos, ¿cuál es el volumen del niño y cuál es el volumen del balde? A. 70 L; 18 L B. 74 L; 18,5 L
Trilce Católica
C. 70 L; 17,5 L D. 72 L
39. Una gaseosa de 500 ml cuesta S/. 1,8 y una gaseosa de 2250 ml cuesta S/. 3,6. Al comprar la segunda, ¿cuánto ahorro por decilitro con respecto a la primera? A. S/. 0,15 B. 0,25
C. 0,2 D. 0,24
40. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/. 1200. El dinero que aporta cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántas personas participaron en la compra? A. 4 B. 5
C. 6 D. 8
41. Gasto la mitad de mi sueldo, más $ 100 en alimentos; luego la cuarta parte de lo que me queda, más $ 100 en pagos diversos y lo que me queda es la tercera parte de mi sueldo, menos $ 100. ¿Cuál es mi sueldo? A. $ 1800 B. 1600
C. 2000 D. 1500
42. Un profesor compró cierta cantidad de caramelos de limón y de naranja para regalar a sus 40 alumnos. El número de caramelos de limón era el doble que el número de caramelos de naranja. Si repartió indistintamente cuatro caramelos a cada alumno y le sobraron dos, ¿cuántos caramelos eran de naranja? A. 54 B. 108
C. 72 D. 36
43. Dos personas tienen $ 164 000 y $ 248 000, respectivamente. Cada una de ellas compra un terreno, luego de lo cual les queda la misma cantidad de dinero; si los terrenos tienen un costo de $ 400 m2, hallar el área de uno de los terrenos, sabiendo que el área de uno es el doble del otro. A. 100 m2 B. 105
C. 125 D. 210
44. Pedro compró cuatro pares de medias negras y algunos pares de medias azules. El precio de las medias negras es dos veces el de las azules. Cuando recibió el pedido se dio con la sorpresa de que el número de pares de los dos colores había sido cambiado, lo cual aumentó la cuenta en un 50%. ¿Cuántos pares de medias azules pidió? A. 12 B. 14
C. 16 D. 18
45. Un alambre de 13 metros de longitud se corta en dos partes. Sobre cada una de dichas partes se construye un cuadrado cuyo lado mide lo mismo que la parte correspondiente. Si el área encerrada por el primer cuadrado excede al área encerrada por el segundo cuadrado en 65 m2, ¿cuál es la longitud de la mayor parte? A. 4 m B. 7 m
C. 9 m D. 8 m
165
Ciclo
Católica 10. Si:
Tarea domiciliaria 1.
A. 1 B. 2 2.
C. Incompatible D. Indeterminado
Resolver en “x”:
1 + ax 3 + a2 . x2 = 1 – ax 1 – a2 . x2
A. a B. 1/a 3.
Hallar “x” en:
x+2 325
4.
Hallar “x” en:
5x 512 – x = 2
x+1+
3
A. 14/11 B. 14/13 5.
3x2 – 6x + 1 = 0 x2 – 5x + 4 = 0 2x2 – 9x – 3 = 0 5x2 – 3x + 5 = 0 3x2 – 9x = 0
A. 1 B. 2
→ → → → →
x1 + x2 = – 2 x1 . x2 = 4 x1 . x2 = 9/2 x1 . x2 = 1 x1 + x2 = 3 C. 3 D. 4
C. 1 D. 4
Si la ecuación: 3mx2 – (6m + 1)x + (m + 4) = 0 tiene raíces recíprocas, señalar una de ellas. C. 3/4 D. 4/5
Señalar qué ecuación tiene raíces iguales: A. x2 + 3x + 2 = 0 B. x2 – 5x + 4= 0
9.
C. – 14/13 D. 15/13
Hallar “m”, si en la ecuación: + m = x, se cumple: 2 2 5 x1 + x2 = 9 ; siendo: “x1”, “x2” raíces de la ecuación.
A. 1/2 B. 2/3 8.
x – 1)
9x2
A. – 22/9 B. – 2 7.
3
Siendo: x1 ∧ x2 las raíces de cada ecuación, indicar cuántas relaciones no se cumplen: I. II. III. IV. V.
6.
3
x – 1 = 2( x + 1 –
Si:
A. 1 B. 2
166
C. x2 + 2x + 3 = 0 D. 9x2 – 30x + 25 = 0
x + 4y – z = 6 2x + 5y – 7z = – 9, hallar “x.y.z” 3x – 2y + z = 2 C. 3 D. 6
hallar “7y” C. 27 D. 15
11. Resolver en “x” e “y”, luego hallar “y”: a/x + b/y = 1 .... (1) a/x – 3b/y = 5 .... (2) A. b B. – b
C. 2 D. 4 3
10 2 + =1 x+3 y–1
A. 13 B. 10
C. Incompatible D. Indeterminado
A. 3 B. 5
x
20 10 + =9 x+3 y–1
2x 4 2x2 – 3x – 3 + = 2 Resolver: x + 3 x – 1 x + 2x – 3
12. Si:
x – y = 20 , hallar: “x . y” y = 10
x +
A. 12 B. 24 13. Si:
C. 1/b D. – 1/b
C. 72 D. 576
2x + y = 5 , hallar “x2 + 2xy + y2” x + 2y = 7
A. 4 B. 9
C. 16 D. 25
14. Dos apostadores entran a un juego con la misma cantidad de dinero. Si al perder uno de ellos S/.500 y el otro S/.100, resulta que uno tiene el doble de dinero que el otro, ¿con cuánto dinero empezó el juego cada uno? A. S/.1000 B. 900
C. 800 D. 750
15. Dos personas tienen para la venta la misma cantidad de libros. El primero los vende a S/. 20 cada uno y obtiene S/. 240 de ganancia, mientras que el segundo los vende a S/. 24 y gana S/. 360. ¿Cuántos libros tiene cada uno para la venta? A. 20 B. 30
C. 40 D. 50
16. Se quiere dividir 60 en dos partes tales que el triple de la mitad de una parte aumentado en el doble de la tercera parte de la segunda es igual a 50. Da como respuesta una de las partes. A. 12 B. 16
C. 42 D. 31
17. El doble de la tercera parte de la cantidad de días transcurridos en el mes de agosto, aumentado en 9, resulta 23. ¿Qué día del mes es hoy? A. 12 de agosto B. 25 de agosto
C. 21 de agosto D. 18 de agosto
Trilce Católica
Álgebra 18. Una persona compra cinco artículos a un costo de (100 – x) nuevos soles cada uno. ¿Cuántos nuevos soles recibe de vuelto, si paga con (200 – x) monedas de S/. 5 cada una y (800 – 100x) monedas de 20 céntimos cada una? A. 660 – 20x B. 560 – 20x
C. 660 D. 500 – 20x
19. Se han comprado 77 latas de leche de dos capacidades distintas: unas tienen ocho onzas y las otras, 15 onzas. Si el contenido total es 861 onzas, ¿cuántas latas de ocho onzas se compraron? A. 42 B. 35
Trilce Católica
20. En una fábrica de cigarrillos se disponen de dos máquinas. La primera de ellas produce 245 cigarrillos por minuto y la segunda, 280. Cierto día, la primera máquina comienza a funcionar a las 8 a.m. y la segunda, media hora después. En dicho día, ¿a qué hora ambas máquinas habrán producido la misma cantidad de cigarrillos? A. 10 a.m. B. 12 m.
C. 2 p.m. D. 4 p.m.
C. 56 D. 21
167
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 32
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
REPASO iii
La suma de las dos cifras de un número es 11; y si el número se divide por la suma de cifras el cociente es 7 y el residuo 6. Hallar el número.
Si te doy lo que a ti te falta para que los dos tengamos lo mismo y luego me das una parte de lo que tendrían, resulta que lo mío es a lo tuyo como 3 es a 1. ¿En qué relación se encontraban lo que teníamos inicialmente? (Obs. Lo que tú tenías era S/. 40 y lo que me diste es tanto como los 3/2 de lo que te di al inicio).
A. 73 B. 63
A. 4/3 B. 1/2
Problemas para la clase 1.
2.
Divídase el número 180 en dos partes, tales que dividiendo la primera entre 25 dé lo mismo que dividiendo la segunda entre 20. Una de las partes es: A. 80 B. 100
3.
C. 80 D. 72
Un holgazán duerme tantas horas del día como las que no duerme. ¿Cuántas horas permanece despierto diariamente? A. 4 h B. 8 h
8.
C. 3/5 D. 9/11
Los 4/5 de las aves de una granja son palomas; los 3/4 del resto, gallinas y las cuatro aves restantes, gallos. ¿Cuántas aves hay en la granja? A. 76 B. 82
7.
C. 120 D. 100
Se tiene dos números tales que si al primero se le sumase 1/5 del segundo daría lo mismo que si al segundo se le sumase 1/9 del primero. Hallar la relación del primero al segundo. A. 1/2 B. 9/10
6.
C. 100 D. 121
Una persona tiene S/. 120 y otra S/. 50. Después de que cada una de ellas gastó la misma cantidad de dinero, a la primera le queda el triple de lo que le queda a la segunda. ¿Cuánto le queda en conjunto a ambas personas? A. 140 B. 150
5.
C. 60 D. “A” o “B”
La suma de tres números cuadrados consecutivos es igual a 30 veces la raíz cuadrada del intermedio, aumentado en 2. Hallar el menor. A. 81 B. 64
4.
C. 83 D. 43
C. 10 h D. 12 h
Un obrero ha recibido como pago en un mes S/. 2500 entre su sueldo y horas extras. Su sueldo excede en S/. 2000 a las horas extras. ¿Cuál es su sueldo? A. S/. 2000 B. 2300
Trilce Católica
C. 2250 D. 500
9.
Quinto Católica
C. 5/4 D. 3/2
10. Se compra cierto número de sacos de arroz por $ 240, si se hubiera comprado tres sacos más por el mismo dinero, cada uno habría costado $ 4 menos. ¿Cuántos sacos se compró? A. 12 B. 14
C. 16 D. 18
11. Leonardo y Julio tienen entre los dos 10 botellas de Ron. Si la mitad de las botellas que tiene Julio multiplicado por la tercera parte de las botellas de Leonardo es cuatro, ¿cuántas botellas tiene Julio? A. 6 B. 4
C. 7 D. 2
12. La base de un triángulo es dos unidades mayor que su altura. Si el área del triángulo es 40, encontrar la base del triángulo. A. 8 B. 7 C. C
D. 9 E. 10
13. La edad de Pepe hace seis años era la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de seis años. Hallar la edad actual. A. 16 B. 10
C. 8 D. 14
14. Siete veces un número entero disminuido en su inversa da como resultado seis. Señalar dicho número aumentado en siete. A. 1 B. 8
C. 48/7 D. 3
15. Se tiene dos secretarias, la primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 20 cartas por hora. Si la primera empieza a las 8 a.m. y la segunda recién a las 11 a.m., ¿a qué hora las dos secretarias han escrito igual número de cartas? A. 8 p.m B. 11 p.m
C. 10 p.m D. 9 p.m
16. Se reparten 400 caramelos en partes iguales a un grupo de niños. Si hubiese cinco niños más, a cada niño le tocaría cuatro caramelos menos. ¿Cuántos niños son? A. 20 B. 22
C. 26 D. 25
169
Ciclo
Católica
17. Para envasar 15 000 litros de aceite se disponen de botellas de 1/2 litro, 1 litro y 5 litros. Por cada botella de 5 litros, hay 10 de un litro y 20 de medio litro. Al terminar de envasar el aceite no sobró ninguna botella vacía. ¿Cuántas botellas habían en total? A. 14 600 B. 18 600
C. 27 000 D. 24 200
18. Tú tenías el triple de lo que tienes y tendrás el doble, de lo que tenías más lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, entonces ello excedería a lo que yo tengo, que es S/. 5 más de lo que tenías, en S/. 40, ¿cuánto tenemos entre los dos? A. S/. 15 B. 20
C. 25 D. 30
19. Con $360 compraría “n” objetos y me sobraría $10. Si tuviera $6n más, compraría exactamente 12 objetos. Halla “n”. A. 8 B. 10
C. 12 D. 15
20. Dentro de 30 años tendré el triple de la edad que tuve hace 20 años. ¿Cuántos años tengo? A. 40 B. 45
C. 50 D. 55
21. Pedro tendrá “P2” años dentro de 12 años. ¿Cuántos años tuvo hace 13 años? A. P2 – 25 B. P + 5
C. P2 + 1 D. P2 – 1
22. Si la edad de Ángel es la mitad de la edad de César, y la edad de Manuel es el doble de la edad de César, ¿quién es el mayor y quién es el menor, respectivamente? A. Manuel y César B. Manuel y Ángel
C. César y Manuel D. César y Ángel
23. Hallar la edad de Patty si sabemos que al agregarle 40 años obtenemos el triple de dicha edad, aumentada en 10 años. A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
24. La suma de las edades de un hijo con la de su padre es 50 años, dentro de cinco años sus edades estarán en la relación de 1 a 2. ¿En qué relación están actualmente? A. 1 a 2 B. 5 a 3
C. 3 a 7 D. 2 a 5
25. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas y dar por respuesta la menor. A. 15 B. 22
170
A. 42 años B. 32 años
C. 40 y 8 D. 20 y 4
C. 36 años D. 38 años
28. Las edades actuales de “A”; “B” y “C” son entre sí como a los números 6; 8 y 11, respectivamente. Si hace seis años la edad de “A” era la mitad de la edad que tendrá “B” dentro de cuatro años, entonces “C” es mayor que “B” en: A. 16 años B. 5 años
C. 12 años D. 10 años
29. La edad de Vivas en 1975 era tanto como la mitad del número formado por las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tendrá en 2002? A. 75 años B. 25 años
C. 77 años D. 52 años
30. Preguntándole a Romina por la fecha, ésta respondió: el mes es octubre y quedan del mes 215 horas menos que las transcurridas, ¿a qué hora se le hizo la pregunta? A. 10:00 p.m. B. Imposible
C. 11:00 p.m. D. 11:30 p.m.
31. Hallar el tiempo que tardarán en encontrarse dos móviles que están separados una distancia de 300 km y cuyas velocidades son 10 km/h y 20 km/h. A. 5 h B. 10 h
C. 15 h D. 20 h
32. Dos ejecutivos que están separadas entre sí por 400 kilómetros en línea recta, conducen a una cita de negocios en una localidad que está ubicada entre dos ciudades. Parten simultáneamente y se encuentran en dicha cita al cabo de 4 horas. Determinar la velocidad de cada automóvil si uno viaja a 20 km/h más rápido que el otro. Dar como respuesta la velocidad del más veloz. A. 60 km/h B. 48 km/h
C. 50 km/h D. 70 km/h
33. Un muchacho sube un cerro a razón de 2 km/h y luego se desliza hacia abajo a razón de 10 km/h. Si en subir y bajar emplea 36 minutos en total, ¿qué distancia hay desde el pie del cerro hasta la cima? A. 1 km B. 1,5
C. 2 D. 2,5
34. Se tienen tres móviles “A”, “B” y “C” que parten simultáneamente en una misma dirección, como se muestra en la figura. 3 m/s 5 m 2,5 m/s A B
C. 36 D. 12
26. Hace dos años Martha le dijo a su hijo: Dentro de cinco años la relación de nuestras edades será como 23 a 7. Calcular las edades actuales si hoy la relación es de 5 a 1. A. 35 y 7 B. 30 y 6
27. Luis nació 14 años antes que Rosa. Hace “4m” años sus edades estaban en la relación de 10 a 3 y hace “4n” años estaban en la relación de 12 a 5; dentro de “6m” años sus edades serán como 20 es a 13 y dentro de “10n” años serán como 19 es a 12. ¿Cuánto suman sus edades actualmente?
10 m
1,5 m/s C
Cuando “A” alcanza a “C”, “B” ¿dónde se ubicará? A. B. C. D.
5 m a la derecha de “C”. 5 m a la izquierda de “C”. 15 m a la derecha de “C”. Se encuentra en el mismo punto.
Trilce Católica
Álgebra 35. Un bus parte de Lima a Tacna a las 6:00 a.m. con una velocidad de 30 km/h y a las 11:00 a.m. sale otro bus de Tacna a Lima con una velocidad desconocida “V”. Si la distancia entre Lima y Tacna es de 300 km, hallar la hora de encuentro si este se produce a 60 km de Tacna. A. 12:00 p.m. B. 1:00 p.m.
C. 2:00 p.m. D. 3:00 p.m.
36. Un peatón recorre 23 km en 7 horas, los primeros 8 km con una velocidad superior en 1 km/h a la velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió los primeros 8 km. A. 3 km/h B. 4 km/h
C. 5 km/h D. 2 km/h
37. Un móvil parte de “A” a las 6 a.m. y llega a “B” a las 4 p.m., otro móvil parte de “B” a las 7 a.m. y llega a “A” a las 3 p.m., si la distancia de “A” a “B” es 400 km, ¿a qué hora se encontrarán por el camino? A. 11 a.m. B. 10 a.m
C. 12 m. D. 9 a.m.
38. Una lancha “X” se desplaza cinco horas río abajo para ir de una ciudad “A” a una ciudad “B”. El recorrido de vuelta lo realiza en siete horas. ¿Cuántas horas requiere una lancha “Y” para ir de “A” a “B” si su velocidad ordinaria es igual que la velocidad de la corriente? A. 12 h B. 17,5 h
C. S/.30 D. S/.18
40. Averiguar para qué número de tres cifras se verifica que la cifra de las centenas, sumada con la de las unidades, es igual a nueve; que la diferencia de estas cifras da las cifras de las unidades y que la diferencia entre las cifras de las centenas y decenas es el doble de esta última. A. 263 B. 623
C. 362 D. 632
41. El cuadrado de la suma de las dos cifras que forman un número positivo es igual a 121. Si a este cuadrado le restamos el cuadrado de la cifra de las decenas y el doble producto de las dos cifras se obtiene 81. ¿Cuál es el número? A. 83 B. 92
C. 56 D. 29
42. En una rifa se pensaban vender “A” boletos para ganar “a”, al venderlos todos. Sin embargo, solo se pudieron vender “B” boletos, originándose una pérdida de “b” nuevos soles. Calcula el precio de un boleto. A. (a + b) / (A – B) B. (A + B) / (a + b)
Trilce Católica
A. $ 0,36 B. $ 0.40
C. (a – b) / (A + B) D. (A – B) / (a + b)
C. $ 0,45 D. $ 0,35
44. Un automóvil para recorrer 120 km, emplea un galón menos de gasolina de 95 octanos que de 84 octanos. ¿Cuántos galones de 84 octanos usa para el recorrido, si se sabe que el de 95 octanos recorre 10 km más por galón que el de 84? A. 2 galones B. 3 galones
C. 4 galones D. 6 galones
45. El costo de la llamada telefónica por minuto desde una ciudad “A” a otra “B” es menor a partir de la 7 p.m. Una llamada de 6:55 p.m. a 7:13 p.m. costó $ 3,94 y otra de 6:59 p.m. a 7:09 p.m. costó 1, 94. ¿Cuánto costará una llamada de 7:00 p.m. a 7:15 p.m.? A. $ 2,82 B. 2,74
C. 2,78 D. 2,70
46. Un proveedor de la industria electrónica, fabrica los teclados y pantallas para calculadoras gráficas en plantas en Panamá y Taiwán. En la tabla se indican las cantidades producidas por hora en cada planta: Planta Panamá Taiwán
C. 35 h D. 15 h
39. Juan dispone de 100 nuevos soles para comprar los productos “x1” y “x2”. Si compra dos unidades de “x1” y cuatro unidades de “x2”, gasta todo su dinero. Por otro lado, si compra cinco unidades de “x1” y dos unidades de “x2”, le sobra el 10% de su dinero. ¿Cuánto costará comprar un producto x1 y un producto “x2”? A. S/.20 B. S/.40
43. Un comerciante vende a $ 0,6 cada manzana y a $ 6,4 la docena. Compra 200 manzanas y las vende todas ganando $ 27,2. ¿A cuánto compra cada una?
Teclados Pantallas 40 32 20 32
¿Cuántas horas debe operar cada planta para cumplir exactamente con un pedido de 4000 teclados y 4000 pantallas? Dar como respuesta la suma de las horas que operan las dos plantas. A. 125 h B. 100 h
C. 75 h D. 50 h
47. Por cada cinco adultos que ingresan a un cine, entran tres niños. Si cada niño paga S/. 3, que es la mitad de lo paga un adulto, halla cuántas personas ingresaron al cine, si se recaudó en total lo mismo que si hubieran ingresado solo 156 niños. A. 36 B. 48
C. 84 D. 96
48. Se tiene “x”, “(x + y)” y “2y” monedas de S/. 1; S/. 2 y S/. 5 respectivamente. Al cambiar todo el dinero en billetes de S/. 10 se cuentan 30 billetes, coincidiendo con el número de monedas que excedía las monedas de S/. 2 a las de S/. 5. Calcule cuánto dinero se tiene en monedas de S/. 2. A. S/. 24 B. S/. 116
C. S/. 64 D. S/. 120
49. Se tiene arroz de dos calidades diferentes cuyos precios son S/. 2 y S/. 1,50 el kilogramo; se quiere mezclarlos para obtener 200 kg y venderlos a S/. 1,60 el kg. ¿Cuántos kilogramos de arroz del mayor precio se debe poner en la mezcla? A. 10 kg B. 40 kg
C. 30 kg D. 35 kg
171
Ciclo
Católica
50. PIEDRA FINA es una joyería a la cual Paloma acude con regularidad. Paloma quiere comprar dijes y pulseras. En los modelos que ella desea llevar, cada dije se vende al doble del precio de una pulsera. Finalmente, Paloma compró tres dijes y cuatro pulseras. Si en vez de eso, hubiera comprado cuatro dijes y tres pulseras, habría gastado 25 dólares más. ¿Cuál es el precio de una pulsera? A. $ 20 B. 25
A. 3 B. 7 2.
3.
C. 600 D. 700
Cada vez que un niño visita a su abuelita, esta le duplica el dinero que él lleva. El nieto siempre le agradece con S/. 40 la bondad de su abuela; un día el niño queriendo ganar más dinero realizó cuatro visitas sucesivas a la abuelita, pero fue tal la sorpresa del niño que al final de la cuarta visita se quedó sin un sol. ¿Cuánto llevó al iniciar la visita? A. S/. 30 B. 35
7.
C. 64 D. 40
Un padre de familia plantea a su hijo el siguiente problema: En mi bolsillo derecho tengo 48 nuevos soles más que en el izquierdo. Si a la sexta parte de lo que tengo en el derecho le aumento 8 nuevos soles obtengo una suma que es igual a la cuarta parte de lo que tengo en el izquierdo, disminuido en 34 nuevos soles. ¿Cuánto tengo en el bolsillo izquierdo? A. S/. 800 B. 500
6.
C. 20 D. 31
Hans recorre cierta distancia en tres días, de manera que cada día recorre la mitad de la distancia que le falta recorrer, más 8 km. ¿Cuánto recorrió el primer día? A. 56 km B. 48
5.
C. 10 D. 12
La suma de dos números naturales es 77. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el resto es 8. Hallar la diferencia de dichos números. A. 54 B. 23
4.
C. 6 D. 5
La suma de tres números es 72. El segundo es un quinto del tercero y el primero excede al tercero en 6. Hallar el menor número. A. 6 B. 8
C. 37,5 D. 39
Cada día una persona escribe en un cuaderno 1/3 de las hojas en blanco, más cuatro hojas. Si después de tres días consecutivos le quedan aún 12 hojas en blanco. ¿Cuántas hojas ha escrito dicha persona? A. 50 B. 69
172
B. n – 9.
El cuadrado de la suma de dos números consecutivos es 81. Hallar la diferencia entre el triple del mayor y el doble del menor.
C. 70 D. 57
Un estudiante gasta S/. 7 en pasajes cuando va a una conferencia. Si en “n” días ha gastado “p” nuevos soles, ¿cuántos días no asistió a la conferencia durante los “n” días? A. n –
C. 30 D. 40
Tarea domiciliaria 1.
8.
p 2 p 7
C. n – D. p –
p n n 7
Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar el producto de las cifras del número menor. A. 20 B. 5
C. 12 D. 15
10. Las dimensiones de un campo rectangular son tales que el largo excede al ancho en 3 m. Calcular dichas dimensiones, sabiendo que la superficie del campo es de 180 m2. Dar como respuesta la suma de las cifras del número que representa el ancho. A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
11. Mario le dice a José yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 126 años. ¿Cuál es la edad de Mario? A. 56 B. 28
C. 70 D. 42
12. La edad de Sara es mayor en 7 que el cuadrado de un número “P” y menor en 4 que el cuadrado del número siguiente a “P”. ¿Cuántos años tiene Sara? A. 25 años B. 32 años
C. 4 años D. 28 años
13. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de seis años tu edad sumada a la mía es 18 años menos que la edad de él, ¿qué edad tengo actualmente? A. 12 años B. 14 años
C. 18 años D. 16 años
14. Si al año que cumplí los 12 años le sumas el año cuando cumplí los 20 años y a dicha suma le restas la suma del año en que nací y el año actual obtendremos 6. ¿Qué edad tengo? A. 15 años B. 12 años
C. 20 años D. 26 años
15. ¿Qué hora es si la mitad del tiempo transcurrido desde las 09:00 horas, es igual a la tercera parte del tiempo que falta transcurrir para ser las 19:00 horas. A. 12:00 h B. 13:00 h
C. 14:00 h D. 13:20 h
16. La velocidad de un auto es 10 km/h mayor que la de una moto. ¿Cuál es la velocidad de la moto, si en igual tiempo el auto recorre 200 000 metros y la moto 160 000 metros? A. 4 km/h B. 40 km/h
C. 30 km/h D. 400 km/h
Trilce Católica
Álgebra 17. Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240 km. Si la velocidad hubiera sido 20 km por hora más que la que llevaba hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia. ¿En qué tiempo recorrió los 240 km? A. 5 h B. 6 h
C. 8 h D. 10 h
18. Un ciclista sale de un pueblo “A” hacia otro “B” a las 8 horas con una rapidez de 27 km/h; otro ciclista sale una hora después del mismo pueblo “A”, con una rapidez de 30 km/h y llega al pueblo “B” a la misma hora que el primer ciclista. Calcular la distancia que hay entre los dos pueblos. A. 400 km B. 270 km
C. 700 km D. 150 km
19. En una fábrica de cigarrillos se disponen de dos máquinas. La primera de ellas produce 245 cigarrillos por minuto y la segunda, 280. Cierto día, la primera máquina comienza a funcionar a las 8 a.m. y la segunda, media hora después. En dicho día, ¿a qué hora ambas máquinas habrán producido la misma cantidad de cigarrillos? A. 10 a.m. B. 12 m.
C. 2 p.m. D. 4 p.m.
20. El precio de un libro excede en $ 8 el precio de una docena de lapiceros. Si compro 44 lapiceros y 6 libros por un total de $ 222, ¿cuánto costó un libro? A. $ 18 B. 22
C. 24 D. 26
21. Un patio tiene forma rectangular, si tuviera 3 metros más de largo y 4 metros más de ancho, sería 192 m2 más grande. Si tuviera 4 metros menos de largo y 3 metros menos de ancho, sería 158 m2 más pequeño. Hallar las dimensiones del patio, A. 15 m y 45 m B. 10 m y 40 m
C. 30 m y 20 m D. 20 m y 50 m
22. Si compro “b” cosas a “b + 2” dólares cada una, me sobran “3b – 1” dólares. Sin embargo, si cada cosa costara 2 dólares más, me sobrarían 60 dólares, ¿cuánto cuesta cada cosa en el primer caso? A. $ 61 B. $ 63
Trilce Católica
C. $ 62 D. $ 58
23. La compañía de teléfonos “ Ni Hablar” tiene dos planes de pago mensual por consumo de llamadas telefónicas mediante celulares: Plan
Pago Mensual
Minuto adicional
TIPO A
$ 14
$ 0,75
TIPO B
$ 28
$ 0,25
¿Para qué tiempo los dos planes tiene el mismo costo? A. 30 min B. 28 min
C. 25 min D. 33 min
24. Una casa amoblada cuesta $ 15 000, la casa amoblada y con piscina cuesta $ 17 000, los muebles y la piscina solamente cuestan $ 3500. Si los muebles constan de dos mesas de $ 100 cada uno (con sus respectivas sillas), una vitrina y un juego de sala de $ 750. ¿Cuánto cuesta la vitrina? A. $ 250 B. $ 350
C. $ 550 D. $ 525
25. En un colegio los alumnos del turno mañana pagan S/. 80 mensuales y los de la tarde S/. 65 mensuales. Si el director ha recibido en total de la pensión del segundo mes de clases S/. 4080 y los alumnos de la tarde son 7 más que los del turno mañana. Halle el total de alumnos. A. 25 B. 32
C. 57 D. 56
26. En una familia, el hermano mayor dice: “Mis hermanos son el doble de mis hermanas”. Y la hermana mayor dice: “Tengo cinco hermanos más que hermanas”. ¿Cuántas hijas tiene la familia? A. 9 B. 11
C. 3 D. 10
27. Un barril contiene agua y vino, se sabe que: los 3/4 del contenido de un barril, más 7 litros es vino y 1/3 del mismo barril, menos 20 litros es agua. ¿Cuál es el contenido del barril en litros? A. 148 B. 156
C. 162 D. 164
173
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 33
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Repaso IV Determinar: P(x).
Problemas para la clase 1.
2.
Hallar “xy”, si se cumple: (x + y; 7) = (5; x – y)
A.
A. – 1 B. – 2
B.
Los pares ordenados: (m + 2n + 1; n) y (m – 9; m + 5) son iguales, entonces “(m; n)” está ubicado en: A. B. C. D.
3.
C. 2 D. – 6
Sea “F” la función definida por:
C. {2} D. {3}
Si: P(x + 1) = 2x – 1 Q(x – 1) = 3x + 2
C. 35 D. 37
Si: P(x + 2) = 2x – 7 P(Q(x)) = 6x + 1
6.
C. 4x + 6 D. 4x – 6
C. 46 D. 48
C. 12 D. 14
Si “P(x)” es una función lineal Además: P(12) = 1 P(6) = 0
Trilce Católica
C. 2 D. 4
A. 1 B. 2
C. – 1 D. – 3
A. 5 B. 1
f(5) + f(f(0)) f(– 1)
C. 10 D. 25
13. Sean “f”, “g” y “h” funciones de ZZ en ZZ, tales que:
f(a) = – 9 g(b) = a h(f(a)) = c
Hallar: a + b + c C. – 37 D. 37
I. f(0) = 0 II. f(2) + f(– 2) = 0 III. f(0) = 4f(2) A. I y II B. II y III
Calcular: a + b
8.
A. 7 B. 8
14. Sea “F” una función definida en por: f(x + 2) = f(x) + f(2). ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?
Si: P(x + 1) = x2 + 2 P(x + 3) = x2 + ax + b
A. 8 B. 10
+1
C. 3/4 D. – 1/2
A. – 35 B. 35
Determinar: ab
7.
6
–1
Sea F(x) = 2mx + 5 una función. Si el par ordenado (2; 3) es un elemento de la función, entonces el valor de “m” es:
Se sabe que:
Si: P(x – 1) = x2 – 1 P(x + 2) = x2 + ax + b
A. 40 B. 42
3 x
f(x) = 2x – 3; g(x) = x – 5; h(x) = 4x
Determinar: Q(x) A. 3x – 6 B. 3x + 6
D.
12. De la pregunta anterior, hallar: E =
Reducir: 2Q(x + 1) – 3P(x – 1)
5.
–1
x
11. Si: f(x) = ax2 + bx + c, y f(1) = 1; f(2) = 4; f(– 3) = 9; hallar: “a + b + c”.
Determine: DomF ∩ RanF.
A. 31 B. 33
6
C.
10. Dada la función: g(x) = nx2 + m; se conocen las coordenadas (1, 8); (3, 16). Dar el valor de: (m + n)/4n
F = {(2; 5), (m + n2; m), (–1; – 3), (2; 2m – n), (–1; n – m)}.
4.
3 x
+1
A. 1/2 B. – 3/4
El primer cuadrante. El segundo cuadrante. El tercer cuadrante. El cuarto cuadrante.
A. f B. {– 1}
9.
x
C. I y III D. Todas
15. Si: R(x) = 3x – 2x, S(x) = 4, T(x) = R(x) / S(x), son correctas: I. R(2) = 5 II. S(1) = S(2) = S(3) = 4 III. T(4) = 75/4 A. Solo I B. I y II
C. Solo III D. I y III
175
Ciclo
Católica Enunciado para los problemas: 27; 28; 29
16. El rango de la función: F(x) = 2 – 3x; donde x ∈ 〈– 2; 4], es: A. [3; 6〉 B. 〈– 6; 4〉
C. [– 10; 8〉 D. [– 8; 12〉
•
17. ¿Cuál es la pendiente de la siguiente recta: 3x – 2y = 4? A. 3/2 B. 2/3
C. 1/2 D. – 3/2
18. Dada la función cuadrática: f(x) = – 3x2 + 12x + 11; hallar el rango de “f”. A. ]– ∞; 23[ B. ]– ∞; – 23[
C. ]– ∞; 23] D. ]– ∞; – 23]
I=–
C. (2; 3) D. (2; 0)
g:
→
g(x) = x2 – 2x – 12
A. 14 B. – 11
C. – 13 D. 1
22. Encuentra la regla de correspondencia de la función lineal afín que pasa por los puntos (– 3; 2) y (– 2; – 1). A. 3x + y + 7 = 0 1 7 – B. y = 3x 3
C. y = 3x – 7 D. – 3x + 7y – 1 = 0
23. Determina los coeficientes “m” y “n” para que la parábola: y = x2 + mx + n; pase por los puntos de intersección de la recta: y = – 2x + 8; con los ejes coordenados. A. m = – 6; n = – 8 B. m = – 6; n = 8
C. m = 6; n = – 8 D. m = 6; n = 8
24. De la función: P(x) = 4x2 – 16x + 17; indicar por qué cuadrantes pasa. A. I y II B. II y III
C. III y IV D. I y III
25. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P(– 1; 2) y Q(5; 2). A. y = 5x + 7 B. y = 3x
C. y = 2 – x D. y = 2
26. El costo de producción de un artículo está dado por la expresión: C(x) = x2 – 12x + 80; donde “C(x)” es el costo en miles de dólares para producir “x” miles de unidades. ¿Cuántas unidades se deben producir para obtener el menor costo posible? A. 1000 B. 2000
176
C. 3000 D. 6000
+ 15q
C. 40 D. 60
28. Hallar la ganancia máxima. A. 100 B. 40
C. 220 D. 1 600
29. ¿Cuántos artículos se debe de producir para obtener la ganancia máxima? A. 100 B. 40
C. 5 D. 2
21. Hallar el mínimo valor que puede tomar la función:
10
A. 20 B. 30
20. Si: f(x) = – 3x2 + 6x + 2; determinar su máximo o mínimo valor si es que lo hay. A. – 1 B. – 5
q2
27. Halla la mayor cantidad de artículos que hace que la empresa gane 60.
19. Hallar las coordenadas del vértice de la función: g(x) = x2 – 4x + 4. A. (1; 2) B. (1; 3)
Cuando una empresa produce “q” artículos, su costo es C = 7q + 60; y al vender “q” artículos, su ingreso es:
C. 220 D. 1 600
Enunciado para los problemas: 30; 31; 32 •
En la empresa Liliputense el empleado que recién ingresa cobra $ 450 y el empleado con cinco años de antigüedad recibe un sueldo de $ 560. Asumiendo que el sueldo del empleado es función lineal de la antigüedad.
30. Halla la regla de correspondencia de dicha función. A. f(x) = 22x – 450 B. f(x) = 22x + 450
C. f(x) = 10x + 250 D. f(x) = 10x – 250
31. ¿Cuánto cobrará alguien con siete años de antigüedad? A. $ 712 B. 768
C. 604 D. 624
32. ¿Cuál es la variación del sueldo de un empleado en un año? A. $ 22 B. 450
C. 20 D. 250
33. En una compañía los costos de producir “x” muebles están dados por: c = ax + b. Cuando se producen 20 y 32 muebles los costos son $ 1560 y $ 2040, respectivamente. ¿Cuál es el costo de producir 40 muebles? A. $ 3 120 B. 2 840
C. 2 520 D. 2 360
34. La utilidad obtenida por una empresa al fabricar y vender “x” artículos está dada por: U(x) = x2 + 14x – 168. ¿Cuántos artículos debe fabricar y vender para ganar $744? A. 24 B. 20
C. 18 D. 16
Enunciado para los problemas: 35; 36; 37 35. La utilidad que se obtiene al producir y vender maletas en determinada empresa está dada por:
Trilce Católica
Álgebra U(x) = –
x2 10
41. Si: F(x) = 5x + a – 1 y F(F(2)) + F(4F(1)) = 987. Hallar el valor de “a”
+ 40x
donde “x” representa el número de maletas y “U(x)” está dada en nuevos soles. Halla la utilidad al vender 60 maletas. A. S/. 1840 B. 1960
36. Si se quiere obtener la máxima utilidad posible, ¿cuántas maletas hay que producir y vender? C. 100 D. 200
37. ¿Entre qué valores debe estar el número de maletas, si la utilidad debe ser como mínimo S/. 3000? A. 150 ≤ x ≤ 350 B. 120 ≤ x ≤ 320
C. 32 D. 33
42. Halle el valor máximo de: F(x) = 4x(– x + 8)
C. 2060 D. 2040
A. 60 B. 80
A. 30 B. 31
C. 80 ≤ x ≤ 280 D. 100 ≤ x ≤ 300
38. Sea: f(x) = ax + b; hallar: a + b + c
A. – 64 B. – 16
C. 64 D. 16
43. Dada la función F: [– 5; 3〉 → lR, cuya regla de correspondencia es: F(x) = x2 – 2x – 13. Calcular la suma del máximo y el mínimo valor entero de la función. A. 10 B. 8
C. 7 D. 5
44. El valor mínimo del trinomio: y = 2x2 + bx + p, ocurre para x = 3. Sabiendo que uno de los valores de “x” que anulan ese trinomio es el doble del otro. Dar el valor de “p”. A. 32 B. 64
y
C. 16 D. 128
45. L a f i g u r a m u e s t r a e l g r á f i c o d e l a f u n c i ó n : f(x) = ax2 + bx + c, siendo – 1 su valor mínimo. Si: g(x) = 3x – f(x); entonces: f(3) + g(2), es igual a:
4 c
y
f 1
2
A. 2 B. 3
x
C. 4 D. 5
0
39. Sea: f(x) = – 2x + 8. Determinar el área máxima del rectángulo que se encuentra inscrito entre la gráfica de la función “f(x)” y los ejes coordenados. y
2
x
–1
A. – 6 B. 9
C. – 3 D. 6
46. La gráfica de la función: f(x) = x2 – 2mx + m, se encuentra por encima del eje de las abscisas. Entonces, podemos afirmar que: f x
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
40. Hallar la regla funcional de primer grado “F(x)” tal que: F(1) + 3F(2) = 4F(3) + 70; F(5) = – 67. Indicar: F(F(x)). A. 198x – 43 B. 196x – 39
Trilce Católica
C. 194x – 41 D. 192x – 39
A. m < 0 ∨ m > 1 B. m > 0
C. – 1 < m < 0 D. 0 < m < 1
47. Si el rango de: F(x) = 33x + 21; es el intervalo: [– 639; – 45], obtener el dominio. A. [– 1; 17] B. [– 4; 7]
C. [– 2; 10] D. [– 20; – 2]
48. ¿Cuál es el rango de la función: f = (x; 6x – x2)/ 2x – x2 ∈ A. [– 1; 7] B. [0; 9]
? C. [1; 9] D. [2; 10]
177
Ciclo
Católica Indique lo correcto:
49. Hallar “a + b”, si el dominio de la función: F(x) =
x2 – 1 + 3x – 7 – 8x2
2x – x2 es: x ∈ [b; a]
A. 1/2 B. 1
C. f(2) = 3 D. f(4) = 5
A. Dom(f) = [– 3; 4] B. Ran(f) = [1; 5] Enunciado:
C. 2/3 D. 3/2
g(x) = ax2 + bx + c
Enunciado:
y
Sea la función “f(x)” dada en el siguiente gráfico. (a; b)
4 g
f(x) = –x2 + 10x + 75 –2
x
1
(m; n)
(4; –4) (p; q) 55. Hallar: Dom(g) ∩ Ran(g)
50. Proporcionar el dominio de la función: A. [0; 15] B. [0; 15[
A. [– 2, 3〉 B. 〈– 5; 3〉
C. [0; 12] D. [0; 12〉
56. Hallar “a + b + c”
51. Hallar el rango. A. [0; 90] B. [0; 80]
A. 1/2 B. 1
C. [0; 100] D. [0; 120]
(5; 100) = (a, b) p = 15
III. m + n = 75 IV. El punto (1; 84) ∈ f(x)
A. 1 B. 2
C. 2 D. 4
57. Indicar verdadero (V) o falso (F)
52. Indicar ¿cuántas son falsas? I. II.
C. [– 2, 4[ D. 〈– 2, 3]
C. 3 D. 4
I. g(1) = 4 II. g(4) no existe III. g(– 2) = 0 A. V F F B. V V F
53. Si:
C. V V V D. F F V
58. Hallar “c”. 3
y
(3; 3)
A. – 4 B. 8/9
f –2
Enunciado para las preguntas: 59 – 61
c b
a
(– 2; –1)
C. 4 D. 32/9
x
Si: f(x) = ax2 + bx + c y 9
Hallar: “a.b.c” A. 9/5 B. – 9/5
C. 9 D. 3/5
54. Sea:
0
3
6
8
x
y 5 3
f
– 16
1 –3
178
2
4
x
Trilce Católica
Álgebra 59. Indique lo correcto:
65. Bosquejar la gráfica de:
I. Las raíces de “f” son {0; 6} II. Dom(f) = [0; 8[ III. El vértice es (3; 9) A. Solo I B. Solo II
g: A.
B.
C. 2 D. 3
1.
a b
x D.
y x
=1–b
C. 1 D. 3
Si: F = {(1; 5), (2; n), (1; m), (3; m + 1), (n; m)} es una función, calcule: F(3) + F(n). A. 12 B. 11
2.
f(0) no existe Si: x1 < x2; entonces: f(x1) > f(x2) f(2) = 1 Ran(f) = [0; + ∞〉
Si: P(x – 1) = 3x + 2 P(Q(x)) = 9x + 8
A. 3x + 1 B. 3x – 1 3.
2x2 – 1; – 3 ≤ x ≤ 1 2x + 3; 1 < x ≤ 3
Indicar su rango:
64. Si “a” es entero y mayor que cero, ¿cuál de los siguientes gráficos cumple la siguiente función: f(x) = x2 – 2ax + a2?
A. – 2x + 7 B. 3x + 2 4.
y
y
5.
C. 5x – 7 D. 4x – 5
Siendo: F(x) = mx – m + 6, hallar “F(– 1)” sabiendo que la gráfica de la función “F” pasa por el punto (3; – 4). A. 16 B. 8
x D.
P(2) = 3 P(1) = 5
Determine: P(x)
C. [– 1; 17] – {5} D. ]– 1; 17] – {5}
x
C. 3x + 2 D. 3x – 2
Sea “P(x)” un polinomio lineal: Además:
C.
C. 10 D. 9
Determinar: Q(x)
63. Dada la función:
y
y
Tarea domiciliaria
Indique lo falso:
B.
x
A. 1/2 B. 2
x
y
2
a a + b ab . ba Calcular: M = b
f
A. [1; 17[ B. [– 1; – 17]
y
b
y
A.
C.
Además: P a
2 62. Sea la función: f(x) = x ; x > 0
f(x) =
1–
66. Se tiene: P(x) = xa – b aa
f(f(3) – 3) x f(5) f( – 1) + f(4)
A. 0 B. 1
A. B. C. D.
y
3
x
f(6) = 0 Ran(f) = 〈– 16; 9] Si: 3 ≤ x ≤ 6; entonces: f(x) ≥ 0 f(8) = – 16
61. Hallar: E =
/ g(x) = (210 – 39)x +
C. I y II D. I y III
60. Todas son ciertas, excepto: A. B. C. D.
→
C. 10 D. 12
Si: f(x) = mx + 5 g(x) = x + n f(2) = 7 g(2) = f(1) hallar: f(g(0))
x
Trilce Católica
x
A. 5 B. 7
C. 9 D. 11
179
Ciclo
Católica
6.
7.
¿por qué cuadrantes pasa la gráfica de “f”?
debo pagar en un tercer día de alquiler si en ésta ocasión pienso en recorrer 100 Kilómetros más que el día anterior?
A. I, II y III B. II, III y IV
A. 40 B. 56
Si f:
→
es tal que: f(x) = – 5x + 12
De la función y = – x + 3; x ∈ 〈– 2; 3〉, indique su rango. A. 〈0; 5〉 B. 〈1; 4〉
8.
C. 68 D. 76
16. Bosquejar la gráfica de: f: x → f(x) = 3 1 +
Hallar el rango de: y = x2 + 1; si: – 1 ≤ x ≤ 2 C. [1; 5] D. [0; 5]
Hallar el mínimo valor que puede tomar la función: g: → ; g(x) = x2 – 2x – 12 A. 14 B. – 11
C. – 13 D. 1
10. Si: f(x) = – x2 + 10x – 21; hallar el valor máximo de “f(x)”. A. 25 B. – 4
C. 4 D. – 21
x
A.
y x
x y
D. x
17. Sea: f(x) = – 3x + 5.
Determinar el área máxima del rectángulo que se encuentra inscrito entre la gráfica de la función “f(x)” y los ejes coordenados. y
11. Si: g(x) = 4x2 – 4x + 5, hallar el valor mínimo de “g(x)”. C. – 4 D. – 1
A. 1 B. 4
C.
B.
f
12. Hallar el área de la región formada por la función: g:
→
, g(x) = – 2x + 3; con sus ejes coordenados.
A. 3 B. 6 13. Dada la función: f(x) =
C. 1/9 D. 9/4 x+3+
3–x
C = 0,2x + 20 Si el lunes recorrí 100 kilómetros y el martes recorrí 80 kilómetros, ¿cuánto debo pagar en total? C. 86 D. 82
15. El costo diario “C” (en dólares) por alquilar un automóvil depende del número de kilómetros recorridos (x) siendo esta una relación lineal. El primer día que alquile un automóvil recorrí 100 kilómetros y pague 40 dólares. El segundo día alquile otro automóvil y pagando 36 dólares, recorrí 20 kilómetros menos que el primer día, ¿cuánto
180
A. 5/6 B. 5/3
C. 25/36 D. 25/12
18. Hallar la gráfica de: f(x) = (x – 2)2 – 4
A.
C.
B.
D.
C. 5 D. 4
14. El costo diario “C” (en dólares) por alquilar un automóvil depende del número de kilómetros recorridos (x) según la siguiente ecuación:
A. $66 B. 76
x
x2 – 1
Indicar el número de valores enteros de su dominio. A. 7 B. 6
2x2 + bx + c
y
y
C. 〈2; 7〉 D. [0; 7〉
A. [2; 5] B. [3; 5] 9.
C. I, II y IV D. I y II
19. Al graficar las funciones: f(x) = x2 – 4x + 5; g(x) = – 6x – x2 + 10 indique: Ran(f) ∩ Ran(g) A. 〈1; 19〉 B. [1; 19〉
C. [1; 19] D. 〈– ∞; 19]
20. Hallar el dominio y el rango de la función: A. B. C. D.
x ∈ ] – 4; 6] – {2} e y ∈ 〈 – 5; 3]– {– 1} x ∈ 〈 – 5; 3] – {– 1} y ∈ ]– 4; 6] – {2} x ∈ [– 5; 3〉 – {– 1} e y ∈ 〈– 4; 6] x ∈ ]– 5; 3[ e y ∈] – 4; 6[– {2}
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 34
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Repaso General Problemas para la clase
10. Si la división:
Operaciones con Polinomios 1.
2.
Si el grado absoluto de: M(x) =
nn
nn n
x
Dado el polinomio: P(x)
11. Hallar el resto en: 4nn
x
11 – n n–6 = 2x 3 + 5x 2
es 3; hallar “n”.
+ 3. Hallar “n”.
Hallar “n – m” para que el grado de:
sea grado absoluto igual a 8 y de grado relativo a “y” es igual a 5.
Hallar “a/b”, si el polinomio: P(x; y) = 3mnxayb(mx2a + 1 + ny6b + 1) es homogéneo.
6.
C. 3 D. 4
7.
2x
Si: (x – y)3 = x3 – y3; x > 0 e y > 0; calcula: y
8.
Efectuar: A =
416 + 9(52 + 42)(54 + 44)(58 + 48)
A. 5 B. 5 9.
C. 25 D. 416
Si: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac; hallar: R=
13x + 3y x
C. 6 D. 4 8
2 3 a3 + 3b2c 5a bc – 3c b + 2ab2c abc
A. 5 B. 4
Trilce Católica
C. 3 D. 2
C. 7 D. 8
13. ¿Qué termino hay que sumarle a: P(x; y) = x(x + 8y) + 21y2 para que sea factorizable? C. 6xy D. 2xy
14. ¿Cuántos factores primos de segundo grado se obtiene al factorizar: P(x; y) = 8x8y + 63x5y – 8x2y? A. 1 B. 2
A. 1 B. 2
C. 128 D. 256
A. 2 B. 3
A. 5 B. 6
C. 3 D. 4
15. Factorizar: x12 – 17x6 + 72. Indicar el número de factores primos.
x4 x 4y Si se cumple que: 4y = 2. Calcular: y + x A. 32 B. 64
C. 24 D. 19
5x3 – mx2 – mx + m
A. 3xy B. 8xy
C. 6 D. 1
A. 1 B. 2
A. 10 B. 17
5x2 + 2x – 4
E(x; y) = 3xm + 1yn – 3 + 7xm + 2yn – 1 + 4xm + 3yn – 2;
5.
x2 + x – 4
12. ¿Para qué valor de “m” la división es exacta?
C. 6 D. 8
A. 7 B. 5
C. 4 D. – 4 (x2 + x – 3)55 + (x2 + x – 2)4 + 7
C. 3 D. 4
A. 2 B. 5 4.
A. – 5 B. – 3
C. 3 D. 4
A. 2 B. 1 3.
es exacta, calcular la suma de coeficientes del cociente.
32n + 1 + 9n + 1 ;n∈ Simplificar: n + 1 9 – 32n + 1 A. 1 B. 2
n3x5 – 7nx3 + (n2 – 6)x2 + n(n – 1) – 6 nx + 2
C. 3 D. 4
16. Factorizar: x4– 29x2 + 100. Indicar un factor primo. A. x – 5 B. x + 5
C. x + 2 D. Todos
17. Factorizar: x3 – 3x2 + 4x – 2 A. (x + 1)(x2 – 2x + 2) B. (x – 1)(x2 – 2x – 2)
C. (x + 1)(x2 + 2x + 2) D. (x – 1)(x2 – 2x + 2)
18. Factorizar: a4 + 2a2 + 9 A. B. C. D.
(a2 + 2a + 3)(a2 – 2a + 3) (a2 – a – 4)(a2 + a + 1) (a2 + a + 3)(a2 – a – 3) (a2 + a + 9)(a2 – a – 1)
181
Ciclo
Católica
19. Factorizar: x4 + 6x2 + 25; e indicar el número de factores primos. A. 1 B. 2
¿Qué podemos afirmar de la solución?
C. 3 D. 4
20. Indicar la suma de los factores de primer grado que se obtienen al factorizar: 8x6 + 7x3 – 1 A. 3x – 1 B. 3x
A. 4x – 6 B. 4x + 6
1+
C. 4x + 2 D. 4x – 2 5–2 6 1–x 2 = 2, hallar: 1+x x
A. 1 B. 1/3
C. abc D. ab/c
C. 1 001 001 000 D. 10 010 010 000
3x + 1 x + 1 11x + 6 + = 2 x+2 x–2 x –4
C. Incompatible D. Indeterminado
31. Resolver para la ecuación lineal en “x”:
Siendo “a”, “b” números impares positivos, ¿qué podemos afirmar siempre de la solución? Es un número impar. Es un número par. En un cuadrado perfecto. Es un número positivo.
A. 8 B. 10
C. 12 D. 15
C. 20 D. 25 x+1+5=
x+6
35. Resolver:
C. – 5 D. Incompatible 3
36 + 4 x +
A. 16 B. 25
3
36 – 4 x = 6 C. 36 D. 49
36. Halla el valor o los valores de “m” que hacen que la ecuación: C. – 9 D. – 10
28. Sabiendo que: ab = bb = 2, hallar: E = abab
182
1 3
Es un número comprendido entre 0 y 1. Es un número mayor que 1. Es un número mayor que 2. Es un número comprendido entre – 1 y 0.
A. 3 B. – 2
1 + ax 3 + a2x2 = 1 – ax 1 – a2x2
señale la menor de las raíces.
A. 16 B. 4ab
A. B. C. D.
34. Resolver:
2 x2 – 5x + 4 = x2 – 5x + 2 27. Luego de resolver: 2 x + 3x + 2 x + 3x + 1
A. – 8 B. – 11
1+
A. $24 B. 18
C. 2 D. 3/2
A. a B. 1/a
1
33. Al comprar 10 camisas y 15 pantalones ó 30 camisas y tres pantalones siempre gasto $840. ¿Cuánto cuesta una camisa?
Teoría de Ecuaciones
A. – 3/2 B. – 3/4
1+
32. Con $ 360 compraría “n” objetos y me sobraría $ 10. Si tuviera $ “6n” más, compraría exactamente 12 objetos. Halla “n”.
24. Calcular: 109 – 1 entre 999. A. 1 001 001 B. 10 010 010
1 x+ 2 =
1
¿Qué se puede afirmar de la inversa de la solución?
A. B. C. D.
a bc 1 E = ab + a + 1 + b + bc + c + a + c + 1 A. 1/2 B. b
30. Resolver:
1
x(a + b) – 3 – a(a – 2) = 2(x – 1) – x(a – b)
C. 2/3 D. 2
23. Si; ab = c, con “a”, “b”, “c” ≠ 0; calcular el valor de:
26. Resolver:
Es un número positivo Es un número primo No existe Es el consecutivo de 4 1
P(x) = 4x2 – (x – 2)2 y da como respuesta la suma de los factores primos.
25. Resolver:
A. B. C. D.
C. 2x – 3 D. 4x – 1
21. Factoriza: Q(x) = P(x) + 6x – 4; sabiendo que:
22. Si: (5 + 2 6)x +
x2 – 25 29. Resolver: x – 5 = 10
C. 4a D. 4b
ab
x – a 2x + 1 = x+2 x–1 tenga solución única. A. a = 1 B. a = 1, a = 13
C. a = 13 D. a = – 13
Trilce Católica
Álgebra 37. Si: x ∈ , cuántos elementos tiene el conjunto solución 2 de: (x – 2)(x – 4) = 1 A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
38. ¿Para qué valor del parámetro real “a” las raíces de la ecuación: 2x2 – (a – 1)x + 4 = 0 difieren en 1? A. 2; 3 B. 11; – 1
C. 2; 5 D. – 5; 7
39. Sea la ecuación: x2 – (p – 4)x + p – 5 = 0
45. Resolver y dar como respuesta la suma de valores de 2 “x”, en: 253x – 2 = 125x – 1 A. 1/2 B. 2/3
C. 2 D. 5
46. Calcular “a/b” en:
C. 6; 2 D. 4; 8
40. Con respecto a la ecuación cuadrática en “x”:
4x + 12 xy + 9y = 676 3 x + y = 18
47. Halla “x + y”: A. 45 B. 25 48. Resolver en
C. 52 D. 41 2 : x2 – 4y + 7 = 0 y – 2x – 2 = 0
Indique su C.S.
Indicar el valor de la verdad de las siguientes proposiciones:
A. {(1; 2)} B. {(1; 3)}
I. II.
A. F V V B. V V V
C. V V F D. V F V
41. Si: “r” y “s” son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0; el valor de: A.
b2 – 4ac
B.
b2 – 4ac 2a
1 + r2
1 ; es: s2 b2 – 4ac C. c2 b2 – 2ac D. c2
42. Las ecuaciones cuadráticas: x2 – 9x – 22 = 0 2ax2 – 36x + 65 = 0 tienen la misma suma de raíces, ¿cuál es el producto de las raíces de la segunda ecuación? A. 9/2 B. – 22
C. 65/4 D. – 18
43. Si se disminuye en “b” unidades cada una de las raíces de: x2 – (2b – 1)x + b2 – b – a = 0; se obtiene la ecuación: A. x2 + 2x – a = 0 B. x2 – 2x – a = 0
C. x2 – x + a = 0 D. x2 + x – a = 0
44. Calcular “n” si el siguiente sistema:
tiene infinitas soluciones.
Trilce Católica
49. Resolver:
C. {(1; 5)} D. {( – 1; 2)} x+5 y+4 = 4 5 x+6 y+5 = 5 6
¿Que se puede afirmar de “x2 + 1”? A. B. C. D.
Es un número primo. Es un número impar. Es un número mayor que 2. Es un número menor que 2.
50. En la siguiente ecuación cuadrática: P(x) = x2 – (2n + 5)x + n = 0; si una raíz excede a la otra en tres unidades. Si “x1”, “x2” son las raíces de la ecuación, calcular: (1 – x1)(3 – x2)(1 – x2)(3 – x1) A. 6 B. – 6
C. 8 D. – 8
51. El cuadrado de la mitad de un número excede al triple de dicho número en 27. Halla el número. A. 9 B. 16
C. 18 D. 20
52. Si un ladrillo pesa “x” gramos, dos ladrillos pesan (3a – 200) gramos y además cinco ladrillos pesan (6a + 400) gramos, ¿cuánto pesan 80 ladrillos? A. 44 kg B. 48
C. 56 D. 64
53. Acudí a una tienda de ropa con S/. 600. Si no hubiera comprado un pantalón que me costó S/. 80, tan solo hubiera gastado los 2/3 de lo que no hubiera gastado, ¿cuánto gasté?
(n + 3)x + (2n + 3)y = 12 (n – 3)x + (n – 1)y = 4
A. “b” y “d” B. 6
= 625 C. 5/2 D. 8
x2 + (c – 1)x + c2 + c – 2 = 0, c ∈
Admite raíces simétricas si: c = 1. La ecuación tiene raíces positivas si: c ∈ [– 3; – 2〉 5 1 III. La ecuación tiene raíces reales, si: c ∈ – ; 2 2
a+b
5 5
A. 2 B. 4
Hallar el valor de “p” para que la diferencia de raíces sea 2. A. 3; 6 B. 4; 5
3a – 3b = 81
C. 1 D. – 1
A. S/. 200 B. 320
C. 240 D. 360
183
Ciclo
Católica
54. Dos personas tienen juntas un total de $ 5000. La primera persona pierde la cuarta parte de su dinero y la segunda persona pierde $ 800, resultando ambas personas con la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto suma lo que han perdido ambos? A. $1200 B. 1300
C. 1400 D. 1600
55. En un vivero se tiene la misma cantidad de girasoles de tipo “A” y de tipo “B”. Se observó que cada girasol de tipo “A” produce cinco semillas por día y cada girasol de tipo “B” produce tantas semillas como girasoles hay de tipo “B”. Si en cierto día se recogieron 300 semillas en total, ¿cuántos girasoles del tipo “A” hay en el vivero en dicho día? A. 10 B. 15
C. 20 D. 25
56. El tiempo que estudio diariamente es la mitad del tiempo que duermo. El tiempo que veo televisión es la mitad del tiempo que estudio o duermo. Si el resto del día es 10,5 horas, ¿qué tiempo estudio? A. 3 h B. 3,5
C. 2,5 D. 4
57. En un examen cada pregunta bien contestada vale 4 puntos y la pregunta mal contestada resta 1 punto. De 120 preguntas, contesté mal la quinta parte de las que contesté bien. Si dejé de contestar 30 preguntas, ¿qué puntaje obtuve? A. 260 puntos B. 285
C. 290 D. 260
58. Pedro compró cuatro pares de medias negras y algunos pares de medias azules. El precio de las medias negras es dos veces el de las azules. Cuando recibió el pedido se dio con la sorpresa de que el número de pares de los dos colores había sido cambiado, lo cual aumentó la cuenta en un 50%. ¿Cuántos pares de medias azules pidió? A. 12 B. 14
C. 16 D. 18
59. Al preguntarle a un postulante qué parte del examen ha resuelto, este responde: “He contestado los 4/5 de lo que no contesté, ¿qué parte del examen ha contestado?” A. 5/9 B. 1/5
C. 1/9 D. 4/9
60. Se han comprado 77 latas de leche de dos capacidades distintas: unas tienen 8 onzas y las otras, 15 onzas. Si el contenido total es 861 onzas, ¿cuántas latas de 8 onzas se compraron? A. 42 B. 35
C. 56 D. 21
61. Ocho socios de un grupo de estudios deciden comprar un edificio aportando cada uno cantidades iguales. Al final dos personas se retiran y cada uno de los restantes tuvo que aportar $ 4000 adicionales. ¿Cuánto cuesta el edificio? A. $ 108 000 B. 96 000
184
C. 72 000 D. 120 000
62. Cierto número de gorriones están volando y se posan en postes con travesaños. Cuando haya 6 gorriones en cada poste. Quedarán 4 gorriones volando; pero cuando en cada poste haya 8 gorriones, quedarán 4 postes libres. ¿Cuántos postes hay? A. 16 B. 18
C. 20 D. 22
63. Una persona tiene “x” años y otra “z” años. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad de la primera será “n” veces la edad de la segunda? A.
x – zn n x – zn D. n–1
n
C.
B. x – 7 Funciones
64. Se define la función “f” en: A = {2; 4; 6} donde: f = {(2; 6); (4; a + 3); (b – 1; 6 ); (4; 4)} Luego “a.b” es: A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
65. Si: a b =
(a∇a)3 ∧x a+b
y=
x (y∇x)2
Calcular: 6 2 A. – B.
3 4
3 4
C. – D.
4 3
4 3
66. Si: P(P(x) – 1) = P(x – 2) + P(x + 1) + 1 y además P(2) = 1; hallar “P(3)”. A. 1 B. – 1
C. – 3 D. – 2
67. Dado el siguiente cuadro de valores que satisfacen la ecuación: y = ax + b, calcula el valor de “y” cuando: x = 12. x y A. 15 B. 17
2 3
4 7 C. 21 D. 23
68. Sean “f” y “g” dos funciones tales que: f(x + 1) = x – a g(x – 1) = 2x + b Si (2; 2) pertenece a ambas funciones, hallar: 3a – 2b. A. – 5 B. 5
C. – 11 D. – 8
69. Sean “f” y “g” dos funciones definidas en de correspondencia son:
, cuyas reglas
f(x) = mx + b g(x) = 2x + 1
Trilce Católica
Álgebra Si: f(g(x)) = 4x – 1, hallar: “a + m” A. – 3 B. – 1
76. Si: f: → es tal que f(x) = – 5x + 12, ¿por qué cuadrantes pasa la gráfica de “f”?
C. 1 D. 2
A. I, II y III B. II, III y IV
70. Si: f(x) = mx + 8, m < 0, x ∈ [2; 4]
77. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1; 1) y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 2.
Ran(f) = [a; 2], halla “a + m”. A. – 9 B. – 7
C. – 4 D. 7/2
A. x + y = 1 B. x – y = 2
71. La función: F(x) = x2 + px + q, con “p” y “q” mayores que cero tiene su valor mínimo cuando: p A. x = – 2 p B. x = 2
C.
x = – 2p
D. x =
p2 4q
72. Dada la función F: [– 5; 3〉 → , cuya regla de correspondencia es: F(x) = x2 – 2x – 13. Calcular la suma del máximo y el mínimo valor entero de la función. A. 10 B. 8
C. x + y = 2 D. y = x + 2
78. Dada la función “f” definida según: f(x) = – 2x2 + 16x – 16, 1 ≤ x < 5 halla: Ran (f) – Dom (f) A. [5; 16] B. [– 2; 1[ ∪ [5; 16]
C. [1; 16[ D. [– 2; 5[
79. Si: f(x) = – 3x(x – 2) + 2; determinar su máximo o mínimo valor si es que lo hay. A. – 1 B. – 5
C. 7 D. 5
73. El valor mínimo del trinomio: y = 2x2 + bx + p, ocurre para: x = 3. Sabiendo que uno de los valores de “x” que anulan ese trinomio es el doble del otro. Dar el valor de “p”. A. 32 B. 64
C. II y IV D. I y II
C. 5 D. 2
80. De la función: f(x) =
5–x+3
Hallar el “Dom(f) ∩ Ran(f)” A. [ 3; 5 〉 B. [ 3; 5 ]
C. 16 D. 128
74. La figura representa la gráfica de una función cuadrática con vértice: (3, – 2). Hallar el valor de: E = m2 + n2 y
C. [ 3; + ∞ 〉 D. 〈 – ∞; 5 〉
81. Calcular el rango de la siguiente función: F(x) = x – 1 – 4 A. 〈– ∞; + ∞〉 B. [1; + ∞〉
C. [– 4; + ∞〉 D. 〈– ∞; – 4]
4 . Proporcionar: Df ∩ Rf 82. Dada la función: f(x) = 2 x +2 A. 〈0; 2〉 B. 〈0; 2]
(5, 6) m A. 6 B. 20
n
x
C. 14 D. 18
75. Dada la gráfica de la función “g”:
C. 〈0; 1/2〉 D. 〈0; 1/2]
x2 + 3 83. Hallar el rango de: g(x) = 2 x +6 A. y ∈
– {1}
B. y ∈
– {0}
– – {– 3} 1 D. y ∈ [ ; 1〉 2
C. y ∈
84. Si el dominio de la función:
y F(x) =
4
x2 – 5x + 6 ; es [a; b〉 – {c}. Hallar: a + b + c 7x – x2 – 12
A. 6 B. 7
2
C. 8 D. 9
Preguntas: 85 – 87 –1
3
5
x
Hallar “Dom(g) – Ran(g)” A. ]– 1; 4] B. [1; 4]
Trilce Católica
OO
Luego de “t” años de comprado un auto, su precio “P” es: P = 14 400 – 1200t (dólares)
85. ¿Cuál será su valor luego de 10 años? C. ]– 1; 1[ ∪ ]4; 5] D. ]– 1; 1[ ∪ [4; 5[
A. $ 3000 B. 2800
C. 2400 D. 2500
185
Ciclo
Católica 96. Sean “a” y “b” dos números reales; si se tiene las siguientes proposiciones:
86. ¿Luego de cuántos años costará $ 6000? A. 7 B. 6
C. 5 D. 8
87. Después de dos años se compra otro auto idéntico. ¿Luego de cuántos años de comprado el primer auto la suma de los precios de los dos autos será $ 16 800? A. 5 B. 6
A. Solo II B. Solo III
Tarea domiciliaria 8 – 2 15 +
97. Si: x ∈
17 – 2 60
¿Qué se puede afirmar del valor de: P2? A. B. C. D.
89. Reducir: M =
(2 –
90. Efectuar: A = A. 4 2 – B. – 2 2
11 + 6 2 11 – 72
C. 1 D. 3 2 – 1
A. 2 B. 3 2 3)2 +
(2 2 – 3)2 + 2 2
3–1
–2 –1
A. 2 B. 3 93. Si: xyzw < 0;
C
C. 5 D. 7 –5 w2 >0 >0∧ x yz
¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta? A. y > 0 B. z > 0 94. Si:
C. w > 0 D. w < 0
A. Es siempre positivo. B. Es siempre negativo.
C. Es igual a “a – 1”. D. Puede ser cero.
95. Ordena de mayor a menor, si: x ∈ P=
2x – 7 3x – 1 x–3 ;Q= ;R= 6 9 3
A. PQR B. PRQ
186
100. Resolver:
C. 141 D. 142 x+3 ≥ 0; hallar el complemento del conjunto x–2
C. QRP D. QPR
C. [– 3; 2[ D. ]– 3; 2[
101. Resolver, y señalar un intervalo: A. 〈– ∞; 5〉 B. 〈– 2; 3〉
(3 – x)(2 + x) <0 (4 – x)(5 + x)
C. 〈– 5, – 2〉 D. 〈– 3; ∞〉
102. Cuando una empresa produce “x” miles de artículos, su costo de producción es una relación lineal definida por: C(x) = 2x + 41. Si se venden los “x” miles de artículos, a un costo por unidad de “16 – x” dólares. ¿Cuántos artículos tengo que producir para obtener una ganancia máxima? A. 7000 B. 8000
a b+a > 1; entonces: b b–a
C. 〈– ∞; 1〉 D. 〈– ∞; – 1〉
99. Un comerciante adquirió cierto número de artículos, de los que vendió 70 y le quedaron más de la mitad, al día siguiente le devolvieron 6, pero logró vender 36, después de lo cual le quedaron menos de 42. ¿Cuántos artículos formaban el lote?
A. [– 3; 2] B. ]– 3; 2]
92. Calcular: “A + B + C” 9+2 7–2 6 =A B +
x+1 <5 2
A. 〈– ∞; 1] B. 〈– ∞; 9]
solución.
C. 0 D. 1
7+4 5+2
C. 143/3 D. 13
A. 139 B. 140
C. 5 – 3 D. – 3
91. Efectuar: B = (2 3 – 3 2)2 + (3 – 2 3)2 – 27 – 6 18 A. B.
1 3 x+5 ; además: ∈ [ m; n]. Calcular “mn” 2; 2 x–2
98. Resolver: 2x – 1 <
7 + 40 +
33 + 8 2 + 3 – 8 +
C. I ∧ II D. II ∧ III
A. 3/143 B. 143
Es un número mayor que 2. Es un número menor que 2. Es un número par. Es un número irracional. 13 – 2 40 +
Si: a < b ⇒
¿Cuáles de las proposiciones son verdaderas?
C. 7 D. 8
88. Reducir: P =
1 1 < b a 25 Si: a > 0 ⇒ a + ≥ 10 a II. III. Si: a < 0 ∧ ab < ac ⇒ c – b < 0 I.
C. 90 000 D. 41 000
103. Si se sabe que para producir 185 ml de sulfato de sodio (Na2SO4) se necesita 320 ml de ácido sulfúrico (H2SO4). Además con 240 ml de H2SO4 se produce 165 ml de Na2SO4. Suponiendo que para producir sulfato de sodio, utilizando ácido sulfúrico, la relación es lineal. Encontrar una expresión que represente dicha relación. A. y = 0,25x + 105 B. y = 0,5x + 95
C. y = 0,25x + 95 D. y = 0,5x + 105
Trilce Católica
Álgebra
Claves Tarea Nº 1
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
A B A C D C B C B D
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
Tarea Nº 2
A A A C B A B A D A
Tarea Nº 6
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
C C C D A A C B B C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
B B A B C C A D C A
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
D D D B D D B B B D
D C A C D C C B C D
Tarea Nº 16
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
D D D D B C C C C A
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
D C C C A B C A C C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
D B C D A A C A B C
Trilce Católica
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
C B B C A C A A A C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
A A A B A B B A D B
B A D B B B A A D C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
C C D B D D C C D A
A D B C B D A A C D
Tarea Nº 17
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
D C C C A B C B D C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
A B C C C B D A D D
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
Tarea Nº 4
C A B A D C D D D D
Tarea Nº 8
Tarea Nº 12
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Álgebra
Tarea Nº 3
Tarea Nº 7
Tarea Nº 11
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
de
C C B C C C C D B D
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
* B D D A C A D A C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
D D B D C C D D B A
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
C C * D D C B C B A
C A D B D D A B C D
Tarea Nº 18
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
D C D B D C D C D C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
D B D A C B D C C C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
A D B C C B D A D B
Tarea Nº 9
Tarea Nº 13
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Tarea Nº 5
C D B A C D C B A C
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
C D B D C C B B C C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
D C D A A C B C D A
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
C B C A A D D D C B
B D D A A C C C A B
Tarea Nº 19
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
D B B D D C C D A
10. D
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.
A C C D B A A C C C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
D C C C C B A D A C
Tarea Nº 10
Tarea Nº 14
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
C B B C B D B A B
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
C A C C C C D C C C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
A B B A B B C A C C
Tarea Nº 15
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
A B D C B C C A C B
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
A C C C A D C C B C
Tarea Nº 20
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
C C B A C A A B C A
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
C C C A D B C B A B
187
Ciclo
Católica
Claves Tarea Nº 21
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
B C C B B C B B A A
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.
B C D D D D B B B
Tarea Nº 26
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
D B B C B C B C C A
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
C D D A C B C C A A
188
C C A B B A B D D A
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
B D C B B A C A A B
Álgebra
Tarea Nº 23 Tarea Nº 22
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
C A D C C D D C
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
A D B C A B C
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
D B A C B A C D C B
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.
D A D D B D D D A D
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
D B C C B D B C D
A B C D C C B A B D
Tarea Nº 32
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
B A D C C C D B B
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
A C B C D B A A D A
Tarea Nº 28
Tarea Nº 27
Tarea Nº 31
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
de
10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
A 19. B C 20. D B 21. C D 22. B D 23. B B 24. C B 25. A B 26. C B 27. B
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
C A B B C D A D C D
Tarea Nº 24
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
D D B C B A D D C D
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
A D B D A D C B C C
Tarea Nº 29
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
C B A C A B A C
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
C D D C B C C
Tarea Nº 33
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
B A A A C C A C C C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
B D C B B D D B C B
Tarea Nº 25
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
D C B D B C D D A D
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
C A C B B B D C C A
Tarea Nº 30
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
A A D D C B D A D D
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
A B A B D D D B C B
Tarea Nº 34
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
A C C C D C B D
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
D C C C B C A A
Trilce Católica
