LOGARITMI- DEFINICIJA I OSOBINE Logaritam broja b za osnovu a je realan broj x kojim kojim treba stepenovati osnovu bi se dobilo pozitivan broj b. ( a > 0, a ≠ 0) ili
a da
log a b = x ⇔ b = ax
Važno: b > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je a ∈ R, a ≠ 1, i a > 0 b-se zove numerus (logaritmand), a je osnova (baza) Osnovna svojstva logaritma 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a ( xy) = log a x + log a y 4. log a
x y
= log a x − log a y
5. log a x n = n log a x 6. log a s x =
1 s
log a x
7. log a b ⋅ logb a = 1 tj.
log a b =
1 logb a
8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. a
log a b
log a b =
log c b log c a
=b
→ Ako je baza (osnova) a =10 takvi se logaritmi nazivaju DEKADNI i DEKADNI i označavaju se log10 x = log x . Neki profesori profesori pišu samo lg x lg x ( da vas ne zbuni) (Znači kad nema da piše osnova, podrazumeva se da je 10) logaritmi, po engleskom matematičaru Henry Briggs-u Još se nazivaju i Brigsovi logaritmi, po PRIRODNI i → Ako je osnova (baza) a = e ( e ≈ 2,7 ) onda se takvi logaritmi zovu PRIRODNI i označavaju se
log e x = ln x
logaritmi, po škotskom matematičaru Ovi prirodni logaritmi se još nazivaju i Neperovi logaritmi, po John Napier-u. → Moramo voditi računa o zapisu:
(log a x )2 = log 2a x = log a x ⋅ log a x log a x 2 = log a x ⋅ x = 2 log a x Upoznajmo se sa svojstvima logaritma kroz sledeće primere:
1
Izračunati: 1) log 5 1 = ? log 6 1 = ?
Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 0. Znači, za bilo koju osnovu, od jedinice rešenje je 0 ( log a 1 = 0 ) log 5 1 = 0
log 1 1 = ?
log 6 1 = 0
2
log 1 = ?
log 1 1 = 0
ln 1 = ?
2
log1 = 0 ln1 = 0
2) log12 12 = ? log 2 3
2 3
=?
Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 1, jer je log a a = 1 PAZI: log 10 = log10 10 = 1 ln e = log e e = 1
log10 = ?
log12 12 = 1 log 2
ln e = ?
3
2 3
=1
log10 = 1 ln e = 1
3) a) log 6 2 + log 6 3 = ? b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = ? log a x + log a y = log a ( xy)
Primenićemo svojstvo 3: Dakle:
a) log 6 2 + log 6 3 = log 6 ( 2 ⋅ 3) = log 6 6 = ( po drugom svojstvu)=1 b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = log 30 ( 2 ⋅ 5 ⋅ 3) = log 30 30 = 1
4) a) log 5 10 − log5 2 = ? b) log 2 20 − log 2 10 = ? Primenićemo:
log a x − log a y = log a
x y
Dakle: a) log 5 10 − log 5 2 = log 5
10
b) log 2 20 − log 2 10 = log 2
= log 5 5 = 1
2 20 10
= log 2 2 = 1
2
5) Izračunati: a) log 2 8 = ? 1
b) log 5
125
=?
Ovde ćemo upotrebiti log a x n = n log a x n
a =? 2
5
v) log a
m
Podsetnik:
a =a n
m
i
1 a
n
= a −n
a) log 2 8 = log 2 23 = 3 log 2 2 = 3 ⋅1 = 3
b) log 5
1
= log5
125
1
= log5 5−3 = −3log5 5 = − 3 ⋅ 1 = − 3
3
5
v) 2
log a
5
a = log a a 5 = 2
2 5
log a a =
2 5
⋅1 =
2 5
6) Izračunati: a) log81 3 = ? b) log v) log
2
3
2=? 27 = ?
Ovde ćemo upotrebiti da je log a s x =
a)
log81 3 = log 34 3 =
b)
log
2
2 = log
1 4
2=
1
22
log 3 3 =
1 4
1 s
log a x
⋅1 =
1 4
1 log 2 2 = 2 ⋅ 1 = 2 1 2
v)
log
27 = log 1 33 = 3 ⋅ 3 32
1 log 3 3 = 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6 1 2
3
7) Izračunati: a) log 5 2 ⋅ log 2 5 = ?
Važi:
b) log10 15 ⋅ log15 10 = ?
log a b ⋅ log b a = 1
Dakle rešenja oba ova zadačića je 1. log 5 2 ⋅ log 2 5 = 1 log10 15 ⋅ log15 10 = 1 8) Izračunati: a) log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log 8 7 = ? b) Ako je log 5 2 = a i log 5 3 = b izračunati log 45 100 = ? Rešenje: log c b
Ovde ćemo primeniti prelazak na novu osnovu: log a b =
log c a
a) log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log 8 7 = ? log 2
Ajde recimo da uzmemo novu osnovu 10, tada je: log 3 2 =
log 3
; log 4 3 =
log 3 log 4
, itd.
Dakle: log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log8 7 = Kao što vidimo dosta toga se “skratiti’’ =
log2 log3
log 2 log 8
⋅
3
1
1
1
3
3
3
log 4
log4
⋅
log5
⋅
log5 log6
⋅
log6 log7
⋅
log7 log8
=
= (sad vidimo da je bilo bolje da uzmemo
osnovu 2, ali nema veze , vraćamo se u zadatak =
= log8 2 = log 2 2 = log 2 2 = ⋅1 =
log3
log c a log c b
= log b a )
b) Ako je log5 2 = a i log 5 3 = b izračunati log 45 100 = ? log 5 2 = a ∧ log 5 3 = b log 45 100 = (ovde je jasno da nova osnova mora biti 5.) =
= =
log 5 102 log 5 (5 ⋅ 9)
=
2(1 + log5 2) 1 + 2 log5 3
2 log5 10 log5 5 + log5 9
=
=
2 log5 (5 ⋅ 2) 1 + log5 32
=
log 5 100 log 5 45
2 ( log5 5 + log5 2 ) 1 + 2 log5 3
=
=
2(1 + a ) 1 + 2b 4
9) Izračunati: a) 3 3 = ? log 5 b) 10 =? log 81
Dakle:
3
Primenjujemo: log b a a =?
= 81
log 3 81
10 log 5 = 5
i
Sad kad smo se upoznali sa osnovnim svojstvima logaritama , pokažimo još neke osnovne tipove zadataka: 1) Logaritmovati sledeće izraze za osnovu 10. a) A = b) B =
x ⋅ y z x 2 ⋅ y 3 z 5 3
v) C = 5
x
y 2 ⋅ y
d) D = 3 5 x 4 y 3 Rešenja: a) A =
x ⋅ y z
log A = log
xy z
= log( xy) − log z = log x + log y − log z
b) B =
x 2 ⋅ y 3 5
z
x ⋅ y 2
log B = log
3
5
= log( x 2 ⋅ y 3 ) − log z 5 = log x 2 + log y 3 − log z 5 =
z = 2 log x + 3 log y − 5 log z
v) 3
C = 5
2
n
x
PAZI:
⋅ z 3
log C = log 5
x
a =a , n
= log x − log 3
y ⋅ z 2
m
1
2
1
3
5
2
m
(
5
1
a = a2
2 1 5 y ⋅ z = log x − log y + log z 2 = 2
)
1
3
= log x − log y − log z
5
g) D = 3 5 x 4 y 3 1
D = 5 x y = 5 x 4
3
3
3
3
43
4
y = 5 ⋅ x 3 ⋅ y 3
3
13 43 log D = log 5 ⋅ x ⋅ y 1
4
3
3
= log 5 + log x + log y 2) Rešiti po x jednačine: a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log 15 b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H 1 v) 2 log x − 3 log a = log 5 + log b + log c 2 Rešenje: Ideja je da se upotrebom svojstva logaritma “spakuju’’ obe strane! Dobićemo izraz log x = log ⊗, ovde izvršimo takozvano ANTILOGARITMOVANJE, tj. skratimo logaritme i dobijemo x = ⊗
a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log 15 SAVET: Prvo brojeve ispred prebacimo kao stepen numerusa! n log a x = log a x n log x = log 4 + log 52 + log 6 − log15 log x = log log x = log
4 ⋅ 25 ⋅ 6 15 600
15 log = log 40................../ ANTILOGARITMOVANJE x = 40
b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H log( x ⋅ 3) = log r 2 + log π + log H log(3 x ) = log(r 2π H )......................................./ ANTILOGARITMOVANJE 3 x = r 2π H x =
r 2π H 3
...............................................(V kupe )
6
v) 2 log x − 3log a = log 5 + log b +
1 2
log c 1
log x − log a = log 5 + log b + log c 2 2
log x 2 a3
x 2 a3
3
= log 5 ⋅ b ⋅ c ................. / ANTILOGARITMOVANJE
= 5b c
x 2 = 5a 3b c x = 5a3b c
3) Ako je log14 7 = a
i
log14 5 = b
Izračunati log 35 28 = ?
Rešenje: ovo je onaj tip zadataka gde moramo uzeti novu osnovu, naravno, to će biti 14. log14
196
log14 196 − log14 7 log14 14 2 − log14 7 7 log 35 28 = = = = = log14 35 log14 (7 ⋅ 5) log14 7 + log14 5 log14 7 + log14 5 log14 28
=
2 log14 14 − log14 7 log14 7 + log14 5
=
2−a a+b
Vi se sada naravno pitate kako smo mi znali da napišemo 28 =
196 7
=
14 2 7
. Probajte razne opcije, nešto mora da
“upali’’. Uglavnom, iskustvo je presudno! www.matematiranje.in.rs
7
