Matematika Diskrit
Kombinatorika
(combinatoric (combinatoric )
adalah
–
cabang
matematika
yang
mempelajari pengaturan objek objek. Solusi yang ingin kita peroleh dengan
–
kombinatorial adalah jumlah cara pengaturan objek objek tertentu dalam himpunannya. Contoh ilustrasi berikut dikemukakan untuk memperjelas masalah seperti apa yang akan di pecahkan dengan kombinatorika. 1)
Misalkan, nomor plat mobil di negara X terdiri dari 5 angaka diikuti oleh 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat yang di buat?
2)
–
Misalkan, sandi lewat ( password ) sistem kmputer panjangnya enam sampai delapan karakter. Tiap karakter boleh berupa angka atau huruf; huruf besar dan huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak sandi lewat yang dapat dibuat.
Kombinatorika merupakan bagian penting dari matematika diskrit. Dalam bab ini akan di bahas mengenai prinsip dasar perhitungan, permutasi dan kombinasi. Salah satu manfaat teknik perhitungan adalah untuk menentukan kompleksitas dalam algoritma.
Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi, percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi, maka bila hanya satu percobaan saja yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2), terdapat p + q kemungkinan hasil percobaan. Dengan kata lain : Percobaan 1 = p = p hasil Percobaan 2 = q hasil
2
Matematika Diskrit
Kombinatorika
(combinatoric (combinatoric )
adalah
–
cabang
matematika
yang
mempelajari pengaturan objek objek. Solusi yang ingin kita peroleh dengan
–
kombinatorial adalah jumlah cara pengaturan objek objek tertentu dalam himpunannya. Contoh ilustrasi berikut dikemukakan untuk memperjelas masalah seperti apa yang akan di pecahkan dengan kombinatorika. 1)
Misalkan, nomor plat mobil di negara X terdiri dari 5 angaka diikuti oleh 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat yang di buat?
2)
–
Misalkan, sandi lewat ( password ) sistem kmputer panjangnya enam sampai delapan karakter. Tiap karakter boleh berupa angka atau huruf; huruf besar dan huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak sandi lewat yang dapat dibuat.
Kombinatorika merupakan bagian penting dari matematika diskrit. Dalam bab ini akan di bahas mengenai prinsip dasar perhitungan, permutasi dan kombinasi. Salah satu manfaat teknik perhitungan adalah untuk menentukan kompleksitas dalam algoritma.
Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi, percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi, maka bila hanya satu percobaan saja yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2), terdapat p + q kemungkinan hasil percobaan. Dengan kata lain : Percobaan 1 = p = p hasil Percobaan 2 = q hasil
2
Matematika Diskrit
Maka, Percobaan 1
percobaan 2 = p + q hasil hasil
Misalkan dua buah dadu yang berbeda warnanya (Dadu merah dan Dadu
putih)
dilontarkan.
Ada
berapa
macam
cara
untuk
mendapatkan jumlah angka 4 atau 8?
a. Cara untuk mendapatkan dadu dengan jumlah angka 4 adalah sebagai berikut :
Jadi, ada 3 cara untuk mendapatkan dadu dengan jumlah angka 4.
b. Cara untuk mendapatkan dadu dengan jumlah angka 8 adalah sebagai berikut :
Jadi, ada 5 cara untuk mendapatkan dadu dengan jumlah angka 8. Jadi banyaknya cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8 adalah 3 + 5 = 8 cara
3
Matematika Diskrit
Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi, percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi , maka bila percobaan 1 dan percobaan 2 dilakukan, maka terdapat pxq hasil percobaan. Dengan kata lain : Percobaan 1 = p = p hasil Percobaan 2 = q hasil Maka, Percobaan 1
percobaan 2 = p = p x q hasil hasil
Sekelompok mahasiswa terdiri atas 24 orang pria dan 13 orang wanita. Berapa jumlah cara untuk memilih satu orang wakil pria dan satu orang wakil wanita?
Ada 24 kemungkinan untuk memilih satu wakil pria, dan 13 kemungkinan memilih salah satu wakil wanita. Jika 2 orang wakil yang harus dipilih, maka jumlah kemungkinannya adalah 24 x 13 = 312. Perbedaan antara prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian adalah kata o
o
dan kata
.
untuk prinsip perkalian . untuk prinsip penjumlahan.
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1. Untuk n = = 0 atau dengan kata lain 0! didefinisikan =1.
4
Matematika Diskrit
Tuliskan 10 faktorial pertama :
0! = 1 1! = 1 2! = 2 . 1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Dst...
adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula.
Urutan diperhatikan
Perulangan tidak diperbolehkan
Misalkan Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri dari Ketua, Sekretaris
dan
Bendahara
dimana
urutan
dipertimbangkan
merupakan salah satu contoh permutasi. Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy) yang akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, maka dengan menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat menentukan banyaknya susunan panitia yang mungkin, yaitu:
Pertama menentukan Ketua, yang dapat dilakukan dalam 3 cara.
Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukan dalam 2 cara.
Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendahara dapat ditentukan dalam 1 cara.
5
Matematika Diskrit
Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkin adalah 3.2.1 = 6.
1. Gunakan Teorema 3.1 untuk mencari berapa banyak permutasi dari huruf ABC ?
Terdapat adalah
unsur dari huruf ABC, jadi banyaknya permutasinya
, atau
Terdapat
permutasi dari huruf ABC.
2. Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika huruf ABC harus selalu muncul bersama?
Karena huruf ABC harus selalu muncul bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4 unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya permutasi adalah 4.3.2.1 = 24.
dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r
buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada objek yang sama. Dan dapat di notasikan dengan P(n,r). Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah
Atau dengan kata lain, secara umum permutasi r objek dari n buah objek dapat di hitung dengan persamaan berikut :
6
Matematika Diskrit
Jika r = n , maka persamaan menjadi
Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.
Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah
Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.
adalah menyusun (memilih) objek sejumlah r dari n buah objek yang ada. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C (n , r ), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen. Aturan kombinasi adalah:
Urutan tidak diperhatikan
Tidak boleh ada pengulangan
Misalnya pemilihan 3 orang untuk mewakili kelompak 5 orang (misalnya Dedi, Eka, Feri, Gani dan Hari) dalam mengikuti suatu kegiatan. Dalam masalah ini, urutan tidak dipertimbangkan karena tidak ada bedanya antara Dedi, Eka dan Feri dengan Eka, Dedi dan Feri. Dengan mendata semua kemungkinan 3 orang yang akan dipilih dari 5 orang yang ada, diperoleh: {Dedi,Eka,Feri} {Dedi,Eka,Gani}
7
Matematika Diskrit
{Dedi,Eka,Hari} {Dedi,Feri,Gani} {Dedi,Feri,Hari} {Dedi,Gani,Hari} {Eka,Feri,Gani} {Eka,Feri,Hadi} {Eka,Gani,Hari} {Feri,Gani,Hari} Sehingga terdapat 10 cara untuk memilih 3 orang dari 5 orang yang ada.
Selanjutnya kita dapat mendenisikan kombinasi secara formal seperti dibawah ini: dari n unsur yang berbeda x1, x2,.., xn adalah seleksi tak terurut r anggota dari himpunan {x1, x2,..., xn} (sub-himpunan dengan r unsur).Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda dinotasikan dengan C(n,r) atau
().
Tentukan kombinasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE?
Kombinasi-3 dari huruf ABCDE adalah ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE Sehingga banyaknya kombinasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 10.
8
Matematika Diskrit
1. Gunakan rumus kombinasi-r untuk menentukan kombinasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.
Karena r = 3 dan n = 5 maka kombinasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah
Jadi banyaknya kombinasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 10.
2. Berapa banyak cara memilih sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang, dengan kandidat sebanyak 6 orang ??
Karena panitia yang terdiri dari 4 orang merupakan susunan yang tidak terurut, maka masalah ini merupakan kombinasi-4 dari 6 unsur yang tersedia. Sehingga dengan mengunakan rumus kombinasi-r dimana n = 6 dan r = 4 diperoleh:
Jadi terdapat 15 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang.
Permutasi
dan kombinasi multi himpunan di terapkan untuk
menghitung pengaturan (atau pengurutan) n buah objek dari himpunan ganda S (himpunan S terdiri dari n buah objek yang tidak perlu semuanya berbeda). Dengan persamaannya adalah sebagai berikut : Persamaan permutasi disebut permutasi bentuk umum (Generalized Permutation ).
9
Matematika Diskrit
Persamaan kombinasi disebut kombinasi bentuk umum (Generalized Combination ).
Berapa banyak cara untuk menyusun kembali huruf
– huruf dari kata
KAKIKUKAKU ?
S = {K,A,K,I,K,U,K,A,K,U} Huruf K = 5 buah (n 1 ) Huruf A = 2 buah (n 2 ) Huruf U = 2 buah (n 3) Huruf I = 1 buah (n 4 ) n = 5+2+2+1 = 10 buah. Penyelesaian Cara-1 :
Penyelesaian Cara-2 :
merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan, misalkan (x + y)n . Yang dalam hal ini, n adalah bilangan bulat.
(x + y)0 = 1 (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x2+2xy+y2 (x + y)3 = x3+3 x2y+3xy2+y3
10
Matematika Diskrit
(x + y)4 = x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4 (x + y)5 = x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5
Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan (x + y) n adalah : 1. Suku pertama adalah xn, sedangkan suku terakhir yn 2. Pada setiap suku berikutnya, pangkat x berkurang satu sedangkan pangkat y bertambah satu.untuk setiap suku, jumlah pangkat x dan y adalah n. 3. Koefisien untuk xn-k yk , yaitu suku ke-(k+1), adalah C(n,k). Bilangan C(n,k) disebut koefisien binomial Dari Aturan diatas dapat disimpulkan bahwa : (x+y)n= C(n,0)xn + C(n,1)xn-1y1+...+ C(n,k)xn- k yk +...+C(n,n)yn =
Jabarkan (x+y)4 ?
(x + y)4 = C(4,0)x4-0y0 + C(4,1)x4-1y1 + C(4,2)x4-2y2 + C(4,03)x4-3y3 + C(4,4)x4-4y4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Perhatikan sifat-sfat yang timbul dari penjabaran tersebut: 1. Banyaknya suku adalah (n+1) = 6+1 = 7. 2. Jumlah dari eksponen a dan b dalam setiap suku adalah n.
Multinomial merupakan perluasan dari Binomial. Multinomial adalah jumlahan t buah suku berbeda, yaitu x 1 + x2 + ..... + xt. Binomial merupakan kasus khusus dari multinomial, yakni untuk t = 2.
11
Matematika Diskrit
Teorema multinomial adalah rumus penjabaran (x1 + x 2 + ..... + x t )n. Secara formal, teorema multinomial adalah sebagai berikut :
–
Misalkan x1, x2, ..... , x t adalah bilangan bilangan riil dan n adalah bilangan bulat positif. Dengan demikian,
∑
Penjumlahan dilakukan terhadap semua q1, q2, ... , qt dengan q1 + q2 + ... + qt = n.
Banyaknya suku pada
adalah ( ).
Hitunglah koefisien dari : a. b.
dalam ekspresi dalam ekspresi –
Ada berapa banyak suku dalam ekspresi ekspresi tersebut?
a.
Koefisien
12600 adalah
Banyak suku b.
( )
Misal x1 = 2x; x2 = -3y; dan x3= 5z,
–
Maka (2x 3y + 5z)8 = (x1 + x2 + x3)8 Koefisien
sehingga koefisien x y z adalah
3 3 2
adalah (2)3(-3)3(5)2.560 = -3.024.000 Banyak suku =
12
( )
Matematika Diskrit
Makalah pertama tentang teori graf ditulis pada tahun 1736 oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler. Ia menggunakan teori graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg (sekarang, bernama Kaliningrad). Berikut adalah ilustrasi masalah tersebut :
Masalah yang dikemukakan Euler : Dapatkah melewati setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula? Berikut adalah sketsa yang merepresentasikan ilustrasi jembatan Königsberg yang pada gambar diatas. Himpunan titik yaitu {A, B, C, D} merepresentasikan sebagai daratan, dan garis yang menghubungkan titik-titik tersebut adalah sebagai jembatan
Jawaban pertanyaan Euler adalah tidak mungkin. Agar bisa melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula maka jumlah jembatan yang menghubungkan setiap daratan harus genap.
13
Matematika Diskrit
Graf adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterprestasikan secara tepat. Tujuannya adalah sebagai visualisasi
–
objek objek agar lebih mudah dimengerti.
–
Tiap tiap diagram memuat sekumpulan objek (kotak, titik, dan lain
– lain)
beserta garis
– garis
yang menghubungkan objek
– objek
tersebut. Representasi visual dari graf adalah menyatakan objek dinyatakan sebagai noktah, bulatan, atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.
Suatu graf terdiri dari 2 himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik
– titik tidak kosong (simbol V(G)) dan himpunan garis – garis
(simbol E(G)). Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), di tulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak-
–
kosong dari simpul simpul (vertice and node) dan E adalah himpunan sisi (edges and arcs ) yang menghubungkan sepasang simpul.
Definisi di atas menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Jadi, sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada, minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi dinamakan
Graf dinyatakan dengan gambar. Gambar suatu Graf G terdiri dari
–
–
himpunan titik titik atau simpul V(G), himpunan garis garis atau sisi yang dinyatakan dengan E(G) yang menghubungkan titik tersebut (beserta arah garis pada graf berarah), dan label pada garisnya (jika ada).
14
Matematika Diskrit
Simpul pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c, . , v, w,
dengan bilangan asli , , , , atau gabungan dari keduanya.
Sedangkan sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u,v) atau dinyatakan dengan lambang e1, e2,
Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan simpul u
dan v, maka e dapat di tulis sebagai
Secara geometri graf di gambarkan sebagai sekumpulan noktah (simpul) yang di hubungkan dengan sejumlah garis. Dan berikut adalah beberapa contoh Graf.
–
Setiap garis berhubungan dengan satu atau dua titik. Titik titik tersebut dinamakan
.
Garis yang hanya berhubungan dengan satu titik ujung disebut
Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang sama disebut
Dua titik dikatakan
(adjacent) jika ada garis yang
menghubungkan keduanya.
Titik yang tidak memiliki garis yang berhubungan dengannya disebut
15
(Isolating Point)
Matematika Diskrit
Graf yang tidak memiliki titik (sehingga tidak memiliki garis) disebut
Perhatikan gambar berikut ini:
Gambar tesebut memperlihatkan tiga buah graf, G1, G2 , dan G3. G1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan Himpunan sisi E adalah : V (G) = {1, 2, 3, 4} E (G) = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)}
G2 adalah graf dengan himpunan simpul V dan Himpunan sisi E adalah : V (G) = {1, 2, 3, 4} E (G) = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4)}
Himp. Ganda. = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}
16
Matematika Diskrit
G3 adalah graf dengan himpunan simpul V dan Himpunan sisi E adalah : V (G) = {1, 2, 3, 4} E (G) = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4), (3, 3)}
Himp. Ganda
= {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}
Pada G2, sisi e3 = (1,3) dan sisi e4 = (1,3) dinamakan (Multiple edges atau paralel adges ) karena kedua simpul menghubungkan dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dengan simpul 3.
Pada G3, sisi e8 = (3,3) dinamakan juga sebagai
atau
atau disebut
karena dia berawal dan berakhir di simpul yang
sama.
Ada 7 kota (A,..,G) yang beberapa diantaranya dapat dihubungkan seca ra langsung dengan jalan darat. Hubungan
– hubungan langsung yang
dapat dilakukan adalah sebagai berikut : A dengan B A dengan D B dengan D C dengan B E dengan F Buatlah graf yang menunjukan keadaan transportasi di 7 kota tesebut:
–
–
Misalkan kota kota dianggap sebagai titik titik. Dua titik / atau lebih dihubungkan dengan garis bila dan hanya bila ada jalan yang menghubungkan langsung kedua kota tersebut. Untuk itu keadaan transportasi dalam kota tersebut adalah sebagai berikut :
17
Matematika Diskrit
Dalam graf tersebut, e1 berhubungan dengan titik A dan B (keduanya disebut titik ujung e1). Titik A dan Bdikatakan berhubungan, sedangkan titik A dan C tidak berhubungan karena tidak ada garis yang menghubungkannya secara langsung. Titik G adalah titik terasing karena tidak ada garis yang berhubungan dengan G.
Sisi pada graf dapat mempunyai orientasi arah, berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis : 1. Graf Tak Berarah , adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak berarah. Pada graf tak
– berarah,
urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak di perhatikan. Jadi (u,v) = (v,u) adalah sisi yang sama. 2. Graf Berarah , adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Sisi berarah disebut sebagai arch (busur). Pada graf berarah, (u,v) dan (v,u) menyatakan dua buah busur yang berbeda. Untuk simpul (u,v), simpul u dinamakan sebagai
18
.
dan simpul v disebut
Matematika Diskrit
adalah graf yang tidak mengandung Loop maupun Garis Paralel. Graf d bawah ini adalah contoh graf sederhana.
Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut (Unordered Pairs). Jadi menuliskan sisi (u,v) sama saja dengan (v,u). Kita juga dapat mendeskripsikan graf sederhana G=(V,E) terdiri dari himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak-terurut yang berbeda yang disebut sisi. adalah graf yang mengandung garis paralel atau Loop. Ada dua macam Graf tak sederhana, yaitu : 1. Graf Ganda (MultiGraph), adalah graf yang mengandung sisi ganda (garis paralel). Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah.
2. Graf Semu (Pseudograph), adalah graf yang mengandung Loop. Contoh geaf di bawah ini disebut graf semu walaupun memiliki sisi ganda sekalipun.
19
Matematika Diskrit
Gambarlah sebuah graf sederhana yang dapat di bentuk dari 4 titik {a, b, c, d} dan 2 garis.
Sebuah garis dalam graf sederhana selalu berhubungan dengan 2 titik. Oleh karena ada 4 titik, maka ada C(4,2) = 6 garis yang mungkin di
–
buat. Yaitu garis garis dengan titik ujung {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. Dari keenam garis yang mungkin tersebut, selanjutnya dipilih 2 garis diantaranya. Jadi ada C(6,2) = 15 buah graf yang mungkin di bentuk dari 4 buah titik dan 2 buah garis. Jadi, 15 buah graf tersebut di gambarkan seperti gambar di bawah ini.
dengan n titik (simbol Kn) adalah graf sederhana dengan n titik, di mana setiap 2 titik berbeda dihubungkan dengan suatu garis.
20
Matematika Diskrit
Banyaknya garis dalam suatu graf lengkap dengan n titik adalah .
Gambarlah K2, K3, K4, K5, K6 !
-
K2
Jadi banyak garisnya adalah 1, dan gambarnya adalah :
21
-
K3
-
K4
-
K5
Matematika Diskrit
-
K6
Komplemen suatu graf G (Simbol
̅ ) dengan n titik adalah suatu
graf sederhana dengan :
– titik sama dengan titik – titik G. Jadi, V ( ̅) = V(G). ̅ adalah komplemen garis – garis G terhadap graf 2. Garis – garis 1. Titik
lengkapnya (Kn).
Titik
– titik
yang dihubungkan dengan garis dalam G tidak
̅. Sebaliknya, titik – titik yang terhubung dalam G menjadi tidak terhubung dalam ̅ . terhubung dalam
Gambarlah Komplemen graf G yang di definisikan dalam Gambar di bawah ini !
–
̅
–
Titik titik dalam sama dengan titik titik dalam G, sedangkan garis
– garis dalam ̅ adalah garis – garis yang tidak berada dalam G. Pada gambar (a), titik – titik yang tidak dihubungkan dengan garis dalam G adalah garis dengan titik – titik ujung {a,d}, {a,e}, {b,c}, dan {b,e}. 22
Matematika Diskrit
Jadi graf
dapat digambarkan sebagai berikut :
̅
Silakan gambar graf untuk gambar (b) dan (c) ! Misalkan G adalah suatu graf. Graf H dikatakan sub-graf G bila dan hanya bila :
V (G) b. E(H) E (G) a. V(H)
c. Setiap garis dalam H memiliki titik ujung yang sama dengan garis tersebut dalam G.
Dari definisi di atas, ada beberapa hal yang dapat diturunkan : 1. Sebuah titik dalam G merupakan Sub-Graf G.
–
2. Sebuah garis dalam G bersama- sama dengan titik titik ujungnya merupakan sub-graf G. 3. Setiap graf merupakan subgraf dari dirinya. 4. Dalam subgraf berlaku sifat transitif : Jika H adalah Subgraf G dan G adalah Subgraf K, maka K adalah subgraf K.
Contoh Soal Sub-Graf: Perhatikan gambar di bawah ini, apakah H merupakan subgraf G ??
23
Matematika Diskrit
Apakah H merupakan Sub-Graf dari G?
V (H) = {v2, v3} dan V (G) = {v 1 , v2, v3} sehingga V(H)
V (G).
E (G). Garis e
E(H) = {e4} dan E(G)= {e1,e2, e 3, e4} sehingga E(H)
4
di
H merupakan Loop pada v2 dan Garis e4 juga merupakan loop pada v2 di G. Dengan demikian, H merupakan subgraf G.
Definisi Misalkan V adalah suatu titik dalam graf G. Derajat titik V (Simbol d(v)) adalah jumlah garis yang berhubungan dengan titik v dan garis suatu loop dihitung 2 kali. Derajat total G adalah jumlah derajat semua titik dalam G.
Contoh Soal derajat:
–
Tentukan derajat tiap tiap titik dalam graf pada gambar di bawah ini !
24
Matematika Diskrit
d(v1) = 4 karena garis yang berhubungan dengan v1 adalah e2,e3 dan loop e1 yang dihitung dua kali. d(v2) = 2 karena garis yang berhubungan dengan v2 adalah e2 dan e3. d(v3) = d(v5) = 1 karena garis yang berhubungan dengan v 3 dan v5 adalah e4. d(v4) = 2 karena garis yang berhubungan dengan v4 adalah loop e5 yang dihitung 2 kali. d(v6) = 0 karena tidak ada garis yang berhubungan dengan v6.
Dan derajat total dari graf tersebut adalah :
∑
Jadi, total derajatnya adalah 10.
Misalkan G adalah suatu Graf, Misalkan pula v dan W adalah 2 titik dalam G.
–
Suatu walk dari v ke w adalah barisan titik titik berhubungan
–
dan garis secara selang seling, diawali dari titik v dan di akhiri pada titik w.
Walk dengan panjang n dari v ke w dituliskan sebagai berikut : v0 e1 v1 e2 v2
v
n-1 en vn dengn
v0 = v; vn = w; vi-1; dan vi adalah titik
–
titik ujung garis ei
Path dengan panjang n dari v ke w adalah walk dari v ke w yang semua garisnya berbeda. Path dari v ke w dituliskan sebagai v = v 0 e1 v1 e2 v2
. V
n-1 en vn =
w dengan e i
≠e. j
Path sederhana dengan panjang n dari v ke w adalah path dari v ke w yang semua titiknya berbeda. Path sederhana dari v ke w
25
Matematika Diskrit
. v ≠ j dan v ≠ v untuk k ≠ m. berbentuk v = v0 e 1 v 1 e 2 v2 k
n-1 e n v n =
w dengan e i
≠ e untuk i j
m
Sirkuit dengan panjang n adalah path yang dimulai dan di kahiri pada titik yang sama. Sirkuit adalah path yang berbentuk v = v 0 e1 v1 e2 v2
. v
n-1 en vn dengan
v0 = vn
Sirkuit sederhana dengan panjang n adalah sirkuit yang semua
. v e v dengan e ≠ e untuk i ≠ j dan v ≠ v untuk k ≠ m, kecuali v titiknya berbeda. Sirkuit sederhana berbentuk v0 e 1 v 1 e 2 v2 n
n
i
j
k
m
n-1 0
= vm
Definisi
–
definisi
diatas
dapat
di
gambarkan
menggunakan gambar berikut ini :
Semua garis berbeda
Semua titik berbeda
Titik awal dan titik akhir sama (V0 = Vn)
26
Titik awal dan titik akhir sama (V0 = Vn)
Semua titik berbeda kecuali (V0 = Vn)
dengen
Matematika Diskrit
Contoh Soal Path dan Sirkuit: Tentukan mana di antara barisan titik dan garis pada gambar di bawah ini yang merupakan walk, path, path sederhana, sirkuit dan sirkuit sederhana.
a. v1 e1 v2 e3 v3 e4 v3 e5 v4 b. v1 e1 v2 e3 v3 e5 v4 e5 v3 e6 v5 c. v2 e3 v3 e5 v4 e10 v5 e6 v3 e7 v6 e8 v2 d. v2 e3 v3 e5 v4 e10 v5 e9 v6 e8 v2 e. v1
a. Garis yang muncul adalah (e1, e3, e4, dan e5) dan semua garis yang muncul berbeda. Lalu titik yang muncul adalah (v1, v2, v3, v3 dan v4) dan titik v3 muncul 2 kali. Titik awal dan titik akhir tidak sama. Disimpulkan bahwa barisan tersebut adalah
dari v1 ke v4
dengan panjang 4. b. Ada garis yang muncul lebih dari sekali, yaitu e5 (muncul 2 kali) berarti barisan tersebut merupakan panjang 5.
27
dari v1 ke v5 dengan
Matematika Diskrit
c. Semua garis berbeda. Ada titik berulang (v3 muncul 2 kali). Titik awal dan titik akhirnya sma, yaitu v2. Barisan tersebut merupakan dengan panjang 6. d. Semua garis dan titiknya berbeda. Barisan diawali dan diakhiri pada titik yang sama yaitu v2. Disimpulkan barisan tersebut adalah dengan panjang 5. e. Oleh karena barisan hanya memuat satu titik saja, berarti tidak ada garis yang sama. Barisan di awali dan di akhiri pada titik yang sama serta tidak memiliki titik yang sama diantaranya. Dengan demikian disimpulkan bahwa barisan tersebut merupakan sirkuit sederhana (sering kali disebut sirkuit Trivial).
Misalkan G adalah suatu graf. •
Dua titik v dan w dalam G dikatakan tehubung bila dan hanya bila ada walk dari v ke w.
•
Graf G dikatakan terhubung bila dan hanya bila setiap dua titik dalam G terhubung.
•
Graf G dikatakan tidak terhubung bila dan hanya bila ada 2 titik dalam G yang tidak terhubung.
Manakah di antara graf pada gambar di bawah ini yang merupakan graf terhubung ?
28
Matematika Diskrit
a. Graf (a) merupakan graf terhubung karena ada walk yang bisa menghubungkan keseluruhan titik dan garis yang ada di dalam graf tersebut. b. Graf (b) merupakan graf tak terhubung karena tidak ada walk dari v5 ke v4. c. Graf (c) merupakan graf tak terhubung karena tidak ada walk dari titik v2 ke v3. d. Graf (d) merupakan graf terhubung.
Suatu graf berarah G terdiri dari :
– }, himpunan garis – garis E(G): }, dan suatu fungsi g yang mengawankan setiap garis dalam
Himpunan titik titik V(G): {v1, v 2, {e1, e 2,
E(G) ke suatu pasangan berurutan titik (v i,vj).
Jika ek = (v i,vj) adalah suatu garis dalam G, maka vi disebut titik awal ek dan vj disebut titik akhir vk. arah garis adalah dari vi ke vj.
Jumlah garis yang keluar dari titik v i disebut derajat keluar (out degree), titik vi (simbol d+(vi)), sedangkan jumlah garis yang menuju ke titik vi disebut derajat masuk (in degree) titik vi (simbol d- (vi)).
Titik terasing adalah titik dalam G di mana derajat keluar dan derajat masuknya adalah 0.
Titik pendan adalah titik di mana jumlah derajat masuk dan jumlah derajat keluarnya adalah 1.
29
Matematika Diskrit
Dua garis berarah dikatakan paralel jika keduanya memiliki titik awal dan titik akhir yang sama,
Tentukan:
–
–
a. Himpunan titik titik, himpunan garis garis dan fungsi perkawanan g;
–
b. Derajat masuk dan derajat keluar tiap tiap titik; c. Titik terasing dan titik pendan; d. Garis paralel.
a.
–
Himpunan titik titik V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}
–
Himpunan garis garis E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9} Fungsi perkawanan g : e1 dengan (v1, v2)
e6 dengan (v3, v4)
e2 dengan (v4, v1)
e7 dengan (v3, v5)
e3 dengan (v1, v4)
e8 dengan (v5, v4)
e4 dengan (v1, v3)
e9 dengan (v5,v4)
e5 dengan (v3,v3) b.
d+(v1) = 3 ; d-(v1) = 1 d+(v2) = 0 ; d-(v2) = 1 d+(v3) = 3 ; d-(v3) = 2 d+(v4) = 1 ; d-(v1) = 4
30
Matematika Diskrit
d+(v5) = 2 ;
d-(v1) = 1
d+(v6) = 0 ;
d-(v6) = 0
c.
Titik terasing adalah titik v6. titik pendan adalah v2
d.
Garis paralel adalah e8 dan e9
Pengertian walk, path dan sirkuit dalam graf berarah sama dengan pengertian dalam graf tak berarah. Hanya saja dalam graf berarah suatu perjalanan harus mengikuti arah garis. Untuk membedakan dengan graf berarah dan graf tak berarah, maka walk, path, dan sirkuit dalam graf berarah disebut walk berarah, path berarah, dan sirkuit berarah. Suatu graf berarah yang tidak memuat sirkuit berarah disebut Asiklik.
Suatu graf tak berarah dikatakan terhubung jika ada walk yang menghubungkan tiap 2 titiknya. Pengertian itupun berlaku untuk graf berarah. Berdasarkan arah garisnya, dalam graf berarah dikenal 2 jenis keterhubungan, yaitu terhubung kuat dan terhubung lemah. Misalkan G adalah suatu Graf berarah dan v,w adalah sembarang 2 titik dalam G.
G disebut terhubung kuat jika ada path berarah dari v ke w.
G disebut terhubung lemah, jika G tidak terhubung kuat, tetapi
graf tak berarah yang bersesuaian dengan G terhubung.
31
Matematika Diskrit
Manakah di antara graf
– graf tersebut yang terhubung kuat dan
terhubung lemah?
Dalam G1, setiap 2 titik dapat dihubungkan dengan path berarah sehingga graf berarah G1 adalah graf terhubung kuat. Sebaliknya dalam G2, tidak ada path berarah yang menghubungkan v4 ke v3. Akan tetatpi, jika semua garis dihilangkan (sehingga G2 menjadi Graf tidak berarah), maka G 2 merupakan graf yang terhubung. Jadi, G 2 merupakan graf terhubung lemah.
–
Misalkan G adalah graf tak berarah dengan titik titik v1 v2 .. v n (n berhingga). Matriks hubung yang sesuai dengan graf G adalah matriks A = (aij) dengan aij = jumlah garis yang menghubungkan titik vi dengan titik vj; i,j = 1,2, ... , n. Oleh karena dalam graf tak berarah jumlah garis yang menghubungkan titik vi dan titik vj selalu sama dengan jumlah garis yang menghubungkan vj dengan vi, maka jelaslah bahwa matriks
hubungnya selalu merupakan matriks yang simetris (a ij = aji i,j)
32
Matematika Diskrit
Nyatakan
graf
di
bawah
ini
kedalam
matriks
hubung
!
Graf A memiliki 4 buah titik, jadi matriksnya adalah sebagai berikut : V
V
V
V
0
0
1
1
V
0
0
2
0
V
1
2
0
0
V
1
0
0
1
V
1
2
3
4
1
2
3
4
Matriks hubung dapat dipakai untuk menghitung banyaknya kemungkinan walk dengan panjang tertentu antara 2 titik. Dalam hal ini yang dapat dihitung adalah banyaknya kemungkinan walk, dan bukan walknya sendiri. Misalkan A = (aij) adalah matriks hubung graf G. Misalkan pula A n adalah hasil kali matriks A dengan dirinya sendiri sebanyak n kali. Banyaknya kemungkinan walk dengan panjang n dari titik vi ke titik vj adalah elemen aij pada matriks An (=aijn) Contoh Soal :
33
Matematika Diskrit
Hitunglah walk dengan panjang 2 dari titk v1 ke titik v1.
Penyelesaian : Matriks hubung yang sesuai dengan graf tersebut adalah: V V V V
V
1
2
V
3
1
1
1
2
2
1
0
1
3
2
1
0
Untuk menghitung jumlah walk dengan panjang 2 yang mungkin dilakukan, terlebih dahulu dihitung A2
A2 =
1
1
2
1
0
1
2
1
0
x
1
1
2
1
0
1
2
1
0
=
6
3
3
3
2
2
3
2
5
Jumlah walk dari v1 ke v1 dengan panjang 2 yang dapat dilakukan adalah elemen A211, yaitu 6 buah.
34
Matematika Diskrit
Misalkan G adalah graf tanpa loop dengan n titik v1, v 2, .. , vn dan k garis e1, e2, .. ek . Matriks biner yang sesuai dengan graf G adalah matriks A berukuran n x k yang elemennya adalah :
aij =
1
Jika titik vi berhubungan dengan garis ej
0
Jika titik vi tidak berhubungan dengan garis ej
Sesuai namanya, matriks biner hanya berisi bilangan 0 atau 1 saja. Contoh soal : Nyatakan Graf di bawah ini kedalam sebuah matriks biner!
Penyelesaian: Ada 6 titik dan 8 garis dalam graf tersebut, maka matriksnya terdiri dari 6 baris dan 8 kolom. Matriksnya adalah sebagai berikut: e V V V V V V
35
1
e
e
2
3
e
4
e
5
e
6
e
e
7
8
1
1
0
0
0
0
1
0
0
2
1
1
1
1
0
0
0
0
3
0
1
0
0
0
0
0
0
4
0
0
1
0
1
0
1
1
5
0
0
0
1
1
1
0
0
6
0
0
0
0
0
0
1
1
Matematika Diskrit
Misalkan G adalah graf yang memuat q buah sirkuit sederhana dan e buah garis. Matriks sirkuit A = (aij) yang bersesuaian dengan G adalah matriks yang terdiri dari q baris dan e kolom dengan elemen : aij =
1
Jika sirkuit ke-i memuat garis ke-j
0
Jika sirkuit ke-i tidak memuat garis ke-j
Contoh soal : Nyatakan Graf di bawah ini kedalam sebuah matriks sirkuit!
Penyelesaian : Graf tersebut terdapat 8 garis dan terdapat 4 buah sirkuit sederhana, yaitu : S1 = e7 e8 S2 = e3 e4 e6 S3 = e1 e4 e6 S4 = e1 e3 e5 e6 Dengan demikian, matriks sirkuit yang sesuai terdiri dari 4 baris dan 8 kolom.
36
Matematika Diskrit
e
1
e
2
e
e
3
4
e
e
5
6
e
7
e
8
s
0
0
0
0
0
0
1
1
s
0
0
1
1
1
0
0
0
s
1
0
0
1
0
1
0
0
s
1
0
1
0
1
1
0
0
1 2 3 4
Misalkan G adalah graf berarah yang terdiri dari n titik tanpa garis paralel. Matriks hubung yang sesuai dengan Graf G adalah matriks bujur sangkar n x n A=(aij) dengan
aij =
1
Jika ada garis dari titik vi ke titik vj
0
Jika tidak ada garis dari titik vi ke titik vj
Contoh soal: Nyatakan graf dibawah ini kedalam matriks hubung.
Penyelesaian: Graf tersebut terdiri dari 6 titik (v 1 ... v6) sehingga matriks hubungnya adalah matriks bujur sangkar 6 x 6. matriksnya adalah :
37
jadi bentuk
Matematika Diskrit
V
V
V
V
V
V
1
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
1
1
0
3
0
1
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
1
5
1
0
0
1
0
0
6
0
0
0
1
0
0
1
V V V V V V
2
3
4
5
6
Misalkan G adalah graf berarah dengan e buah garis dan q buah sirkuit atau sirkuit berarah. Sembarang arah orientasi (searah /
–
berlawanan dengan arah jarum jam) diberikan ke tiap tiap sirkuit. Matriks sirkuit yang bersesuaian dengan graf G adalah matriks A =(aij) dengan
–
1
Jika sirkuit ke-i memuat garis ke j dan arah garis ke j sama dengan arah orientasi
-1
Jika sirkuit ke-i memuat garis ke j dan arah garis ke j berlawanan dengan arah orientasi
0
Jika sirkuit ke-i tidak memuat garis ke j
aij =
– –
–
–
Perbedaan matrik sirkuit untuk menyatakan graf berarah dan tidak berarah terletak pada tanda negatif pada elemen matriks, yang menyatakan bahwa garis yang bersesuaian memiliki arah yang berlawanan dengan arah yang orientasi yang didefinisikan. Orientasi yang diberlakukan pada setiap sirkuit dapat dibuat sembarang sehingga suatu graf berarah dapat dinyatakan dengan beberapa matriks sirkuit berbeda.
38
Matematika Diskrit
Contoh Soal : Nyatakan Graf Berarah di bawah ini dengan matriks Sirkuit !
Penyelesaian:
–
Ada 4 sirkuit pada graf tersebut, masing masing sirkuit itu adalah S1 = v4 v6 v4 S2 = v2 v4 v5 v2 S3 = v1 v2 v5 v1 S4 = v1 v2 v4 v5 v1 Misalkan orientasi yang dipilih pada s2 dan s3 sesuai dengan arah jarum jam, sedangkan pada s1 dan s4 berlawanan dengan arah jarum jam. Dengan demikian, matriks sirkuitnya adalah : e
e
e
s
0
0
0
0
s
0
0
1
s
1
0
s
-1
0
1
1 2 3 4
2
e
e
e
0
0
1
1
-1
0
-1
0
0
0
1
1
0
0
0
-1
0
-1
1
0
0
3
e
4
e
5
6
7
8
8.
Misalkan G adalah suatu Graf Sederhana (tidak memiliki Loop dan Garis Paralel). G disebut Pohon bila dan hanya bila G tidak memuat sirkuit dan terhubung.
39
Matematika Diskrit
Pohon semu (Trivial Tree) adalah pohon yang hanya terdiri dari sebuah titik. Pohon kosong (Empty Tree) adalah pohon yang tidak meiliki titik. G disebut hutan (Forest) bila dan hanya bila G tidak memuat sirkuit. Contoh soal :
–
Tentukan mana diantara graf graf dibawah ini yang merupakan pohon atau hutan!
Penyelesaian : a. Gambar (a) merupakan Pohon, karena gambar tersebut tidak memiliki sirkuit dan merupakan graf yang terhubung; b. Gambar (b) merupakan pohon; c. Gambar (c) bukan merupakan pohon maupun hutan, karena terdapat sirkuit yakni dari titik v 3 v4 v5 v3, dan juga merupakan graf terhubung. d. Gambar (d) merupakan Hutan, karena bukan merupakan Graf terhubung.
40
Matematika Diskrit
Misalkan T adalah suatu Pohon. Daun (Leaf / Terminal vertex) adalah titik dalam T yang berserajat 1. Titik dalam T yang berderajat > 1 disebut titik cabang (Branch / Interval Vertex).
Contoh Soal: Tentukan daun dan titik cabang pohon pada gambar di bawah ini.
Penyelesaian : -
Titik v4, v5, v6, v7, v8 derajatnya = 1, jadi titik
– titik tersebut
merupakan Daun. -
–
–
Titik v1, v2, v3 derajatnya masing masing >1, maka titik titik tersebut merupakan titik cabang.
Pohon berakar (Rooted Tree) adalah suatu pohon dimana ada satu titik yang dikhususkan dari yang lain. Titik ini disebut akar (root). Tingkat (level) suatu titik adalah banyaknya garis antara titik tersebut dengan akar. Tinggi (height) pohon adalah tingkat
–
maksimum yang dimiliki oleh titik titik pohon. Anak
(children)
dari
titik
v
adalah
semua
titik
yang
berhubungan langsung dengan v, tetapi memiliki tingkat yang lebih tinggi dari v. Jika w adalah anak dari v, maka v disebut orang tua
41
Matematika Diskrit
(parent) dari w. Dua titik yang memiliki orang tua yang sama disebut saudara (sibling). Contoh soal : Perhatikan gambar di bawah ini!
–
a. Tentukan tingkat tiap tiap titik jika akarnya adalah V2! b. Berapa tinggi pohon jika akarnya adalah V2? c. Tentukan anak, orang tua, dan saudara titik V1 jika akarnya adalah V2.
–
d. Apakah pertanyaan a c memiliki jawaban yang berbeda jika akarnya adalah v1? Penyelesaian: Gambar Pohon dengan akar v2 adalah sebagai berikut : v2
v1
v4
v5
v3
v7
v8
a. Tingkat titik v1 = v4 = v5 = v6 = 1 Tingkat titik v3 = 2 Tingkat titik v7 = v8 = 3
42
Matematika Diskrit
b. Tinggi pohon = 3 c. Anak v1 = v3 ; orang tua v1 = v2; saudara v1 = v4 v5 v6 d. Gambar pohon dengan akar v1 v1
v2
v4
v5
v3
v6
v7
v8
Tingkat titik v2 = v3 = 1 Tingkat titik v4=v5=v6=v7=v8=2 Tinggi pohon = 2 Anak v1 = v2 v3; orang tua dan saudara v1 tidak ada karena v1 merupakan akar.
Pohon biner (Binary Tree) adalah pohon berakar yang setiap titiknya memiliki paling banyak 2 anak, yang disebut Anak Kiri (Left Child) dan Anak Kanan (Right Child); Pohon Biner Penuh (Full Binary Tree) adalah pohon biner yang setiap titiknya memiliki tepat 2 anak. Pohon biner banyak digunakan dalam ilmu komputer untuk menyatakan
ekspresi
aljabar
maupun
untuk
pencarian
dan
pengurutan data (searching and shorting). Untuk menyatakan ekspresi aljabar dalam pohon biner, dilakukan cara berikut : Setiap operand / operator dalam ekspresi aljabar besesuaian dengan satu titik dalam pohon biner. Kedua operand dalam ekspresi biner merupakan anak dari operatornya. Contoh : Nyatakan ekspresi aljabar x / y kedalam bentuk pohon biner !
43
Matematika Diskrit
/
x
y
Pohon Rentang (Spaning Tree) suatu graf terhubung G adalah Subgraf G yang merupakan pohon yang memuat semua titik dalam G. Contoh : Carilah semua pohon rentang yang mungkin dibuat dari graf G yang tampak pada gambar dibawah ini.
Penyelesaian : Di dalam graf tersebut terdapat satu buah sirkuit, yakni sirkuit dari titik v1 v2 v5 v 4 v1, karena pohon merupakan graf yang tidak memiliki sirkuit dan pohon rentang adalah subgraf yang harus melibatkan semua titik dalam G, jadi pohon rentang dari Graf tersebut di atas adalah sebagai berikut:
44
v1
v2
v3
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v4
v5
v6
